2021~2021学年度第二学期2021学年度第二学期一年级数学期末质量检测试卷(无答案)
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2021~2021学年度第二学期2021学年度第
二学期一年级数学期末质量检测试卷（无答
案）
…………○…………○…………内…………○…………
装…………○…………订…………○…………
线…………○…………班级：
姓名：
考号：
20XX学年度第二学期期末质量检测试卷 一年级数学 说
明：1.本卷共2页，满分100分，考试用时40分钟，本卷共六大
题。
2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在密封线内
填写好自己的班级、姓名、考号。
一、填空题
（每空1分，共10分）
1.62的前面是（ ），后面是（ ）。
2.比26大3的数是（ ）。比84小20的数是（ ）。
3.一个数，个位上5，十位上的数比个位上的数多3，这个数
是（ ）。
4.5个大小相同的正方形可以拼成一个（ ）形。
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5.72里面有（ ）个十和（ ）个一。
6.一张10元可以换（ ）张五元，也可以换（ ）张1元。
二、选择
（每题2分，共10分）
1.根据下图，正确列式的是（ ）。
①50＋30＝80 ②30＋50＝80 ③80－50＝30
2.一道算式的被减数是60，减数是20，这个算式是
（ ）。
①60－20＝40 ②60－40＝20 ③20＋40＝60 3.
一个加数是35，另一个加数是4，和是（ ）。
①40 ②39 ③38 4.红花有89朵，
黄花比红花少很多。黄花可能有（ ）。
①88只 ②25只 ③90只 5、2张1
元，2张5角，5张1角组成（ ）。
①3元 ②3元5角 ③10
元
三、判断题（每题1分，共5分）
（1）九十六写作906。
（ ）
（2）86中的“8”在十位上，表示8个十。
（ ）
（3）文具盒是长方形。
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（ ）
（4）若○+20=△+15，那么○＜△。
（ ）
（5）一个两位数，高位是个位，低位是十位。 （ ）
三、计算
（共16分）
(1)口算（12分）
24－8=
26－
8= 9+50= 30+40+7=
80－40= 69－60= 57－
5= 9+（30-20）=
34+8= 9+27= 6
4+8= 7+36－9=
（2）在○填上“>”“﹤”或“=” 89○98
1元3角○16角 57-3○45+2 73-3○80
五、数一数、涂一涂、填一填（每空1分，共10分）
（1）
填一填
（2）数一数、涂一涂
（3）（ ）的数量最多，（ ）的数量最少。
六、解决问题
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（共35分）
1、小芳读完《童话选》可能用了多少天？（在合适的答案下
面画“√”）
7天
15天
24天
2.三个小朋友比赛跳绳，小红跳了78下，小亮跳了60下，
小东跳了86下。
（1）小红比小亮多跳多少下？
（2）
小亮比小东少跳多少下？ 3、天鹅湖里有白天鹅47只，
黑天鹅20只，天鹅湖里一共有天鹅多少只？
4、 开学前，妈妈带小红去买文具和新衣服，价格是这样
的： ①买一衣服和一条裤子一共需要多少钱？ ②一个书
包比一个铅笔盒贵多少钱？ ③ 妈妈带了50元钱，买了一
个书包，还剩多少钱？
2021-2022学年江苏省邳州市高一年级上册学期第二次学情检测数学试题【含答案】
2021-2022学年江苏省邳州市高一上学期第二次学情检测数学试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）．{0,1,2}A ={22,}B x x x Z =-<<∈∣A B ⋃=A ．B ．C ．D ．{0,1}{1,0,1}-{1,0,1,2}-{2,1,0,1,2}--【答案】C【解析】先化简集合的元素再求.B A B ⋃【详解】由，所以{}{}22,1,0,1B x x x z =-<<∈=-A B ⋃={1,0,1,2}-故选：C【点睛】易错点点晴：要注意集合中的条件.B x z ∈2．设x ∈R ，则x >2的一个必要条件是（ ）A ．x >1B ．x <1C ．x >3D ．x <3【答案】A【分析】根据必要条件的概念即可判断．【详解】因为，一定有；而，不一定有，2x >1x >1x >2x >故是的必要不充分条件．1x >2x >故选：A ．3．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）x 2680kx kx k -++≥x ∈R k A ．B ．01k ≤≤01k <≤C ．或D ．或0k <1k >0k ≤1k ≥【答案】A【分析】对进行分类讨论，当时不等式恒成立，时不等式恒成立，需要时且k 0k =0k ≠0k >，可求得的范围．0∆≤k 【详解】当时，不等式化为恒成立，0k =2680kx kx k -++≥80≥当时，要使不等式恒成立，需，解得，0k ≠2680kx kx k -++≥220Δ364(8)0k k k k >⎧⎨=-+≤⎩01k <≤综上可得，不等式对任意恒成立，则的取值范围是．2680kx kx k -++≥x ∈R k []0,1故选：A ．4．计算log 225·log 3·log 59的结果为( )A ．3B ．4C ．5D．6【答案】D【详解】原式＝＝6.3lg 2lg 25lg 92lg 52lg 32lg 2lg 5lg 2lg 3lg 5=⋅⋅5．与为同一函数的是（）y x=A ．B ．2y =log a xy a=C ．D ．,(0),(0)x x yx x >⎧=⎨-<⎩y =【答案】D【分析】要先看定义域是否相同，再看在定义域内化简后的式子是否相同，两者全同，函数才是同一个函数．【详解】对于，函数，与的定义域不同，不是同一函数；A ()20y x =≥()R y x x =∈对于，函数，与定义域不同，不是同一函数．B log (0)a xy ax =>()R y x x =∈对于，函数，与的定义域不同，不是同一函数；C ()(0)0(0)x x y x x x x >⎧==≠⎨-<⎩，，()Ry x x =∈对于，函数，与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；D ()R y x x ==∈()R y x x =∈故选：．D 6．已知过定点，则点的坐标为（ ）()223x f x a +=-P P A ．B ．C ．D ．()2,3--()0,1-()2,1--()0,3-【答案】C【解析】根据指数函数恒过定点，即可求得的坐标.(0,1)P 【详解】解：令，20x +=解得：，2x =-，0(2)211f a -=⨯-=恒过定点.()f x ∴()2,1--故选：C.7．小亮发现时钟显示时间比北京时间慢了一个小时，他需要将时钟的时针旋转（ ）A ．B ．C ．D ．3radπ-6radπ-rad6πrad3π【答案】B【解析】先判断每个刻钟之间相隔，，再结合旋转方向定正负即可.6πrad 【详解】时钟上一圈的弧度是，共12个刻钟，每个刻钟相隔，2πrad 2126ππ=rad 现在时钟显示时间比北京时间慢了一个小时，小亮需要将时针顺时针旋转，6πrad 针顺时针旋转为负角，故他需要将时钟的时针旋转.6radπ-故选：B.8．已知，则（ ）1cos 62πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D 12-12【答案】B【解析】利用诱导公式将题干条件化简，即可得答案.【详解】由题意得：，1sin()sin (+)cos(+)32662ππππααα⎡⎤-=-==⎢⎥⎣⎦故选：B.二、多选题9．已知角终边上一点，且，则可能的值为（ ）α(P x cos α=sin αA B ．C ．D ．01【答案】AD【分析】由，解出，然后再根据定义计算正弦即可．cos x α==x【详解】根据三角形函数定义可知，，，解得：或r =cos x rα===0x =，23x =当时，，0x =r ==sin 1α==当时，，23x =r ==sin α==故选：AD ．10．下列说法错误的是（ ）A ．若角，则角为第二象限角2rad α=αB ．如果以零时为起始位置，那么钟表的分针在旋转时所形成的角为负角C ．若角为第一象限角，则角也是第一象限角α2αD ．若一扇形的圆心角为30°，半径为，则扇形面积为3cm 23 c m 2π【答案】CD【解析】利用负角的定义、象限角的定义和扇形面积公式对选项逐一判断正误即可.【详解】选项A 中，，故角为第二象限角，正确；2,2ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α选项B 中，以零时为起始位置，则钟表的分针是顺时针旋转，故所形成的角为负角，正确；选项C 中，角为第一象限角，例如，则不是第一象限角，故错误；α361α=︒180.52α=︒选项D 中，扇形的圆心角为30°，即，半径为，故扇形面积为，故rad6π3cm 21326S π=⨯⨯=3 4π2cm 错误.故选：CD.11．下列关于幂函数的性质，描述正确的有（ ）ay x =A ．当时函数在其定义域上是减函数1a =-B ．当时函数图像是一条直线0a =C ．当时函数是偶函数2a =D ．当时函数有一个零点3a =0【答案】CD【分析】根据幂函数的图像与性质，判断选项中的命题是否正确即可．【详解】对于A 选项，，函数在和上递减，不能说在定义域上递减，故A 选项1y x =(,0)-∞(0,)+∞错误；对于B 选项，，函数定义域为，图像是直线并且除掉点，故B 选项错误；y x ={}0x x ≠1y =(0,1)对于C 选项，，函数定义域为，函数图像关于轴对称，是偶函数，所以C 选项正确；2y x =R y 对于D 选项，，函数为单调递增的奇函数，只有一个零点0，所以D 选项正确．3y x =故选：CD ．12．设函数，对于任意的，下列命题正确的是（ ）()2xf x =()1212,x x x x ≠A ．B ．()()()1212f x x f x f x +=()()()1212f x x f x f x ⋅=+C ．D ．()()1212f x f x x x ->-()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】根据指数运算法则可知A 正确，利用反例可知B 错误；根据指数函数单调性可知C 正确；结合基本不等式可确定D 正确.【详解】对于A ，，A 正确；()()()12121212222x x x x f x f x f x x +=⋅==+对于B ，令，，则，，，11x =22x =()()1224f x x f ==()12f x =()24f x =，B 错误；()()()1212f x x f x f x ∴≠+对于C ，为定义在上的增函数，，C 正确；()f x R ()()1212f x f x x x -∴->对于D ，，()()1212122222x x x x f x f x f +⎛⎫+=+>== ⎪⎝⎭ ，D 正确.()()121222f x f x x x f æö++ç÷\<ç÷èø故选：ACD.三、填空题13．已知函数的定义域为，函数，则的定义域为________．()f x []2,1-()g x =()g x 【答案】1,22⎛⎤⎥⎝⎦【解析】根据定义域以及分母不为零、偶次根式下被开方数非负列不等式，解得定义域．()f x 【详解】由题意得，即定义域为2111{22102x x x -≤-≤∴<≤->1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦故答案为：1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题．14．若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是()f x ()42，()()21f a f a ->-a __________．【答案】312⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再利用函数定义域和单调性求不等式的解()f x 集．【详解】设幂函数，其图像过点，则，解得；()y f x xα==()42，42α=12α=∴，函数定义域为，在上单调递增，()12f x x ==[)0,∞+[)0,∞+不等式等价于，解得；()()21f a f a ->-210a a ->-≥312a ≤<则实数的取值范围是.a 31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭故答案为：31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭15．是第四象限角，化简_______.αcos sin +=【答案】0【分析】利用同角的三角函数的基本关系式化简即可，注意终边的位置对符号的影响.αsin ,cos αα【详解】原式，1sin 1cos cos sin sin cos cos sin αααααααα--=+--因为是第四象限角，所以，αsin 0,cos 0αα<>所以原式()1sin 1cos cos sin cos sin cos sin αααααααα--=+---，()()()1sin 1cos cos sin 0αααα=-----=故填0.【点睛】同角三角函数的基本关系式有平方关系和商数关系，平方关系式，它是22sin cos 1αα+=一个恒等式，体现了三角函数式中二次与常数的转化，我们常利用这个性质来化简与三角函数相关、）.sin cos x x=-sin cos x x=+16．设，，是方程的两根，则_________.,(0,)αβπ∈cos αcos β26320x x -=-sin sin αβ=【解析】由韦达定理得，由平方后化为，然后凑配成cos cos ,cos cos αβαβ+sin sin αβcos ,cos αβ的代数式，再代入求值．cos cos ,cos cos αβαβ+【详解】由，是方程的两根cos αcos β26320x x -=-所以，11cos cos ,cos cos 23αβαβ+==-从而()()222(sin sin )1cos 1cos αβαβ=--22221cos cos cos cos αβαβ=--+222212cos cos cos cos (cos 2cos cos cos )αβαβααββ=++-++.22(1cos cos )(cos cos )αβαβ=+-+22114171329436⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又由知，从而,(0,)αβπ∈sin sin 0αβ>sin sin αβ=【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的平方关系，考查韦达定理，解题关键是利用平方关系化正弦为余弦，解答本题的关键是将化为()()222(sin sin )1cos 1cos αβαβ=--的形式，属于中档题.22(1cos cos )(cos cos )αβαβ+-+四、解答题17．已知，并且是第二象限的角.4cos 5α=-α（1）求和的值；sin αtan α（2）求.2sin 3cos cos sin αααα+-【答案】（1），；（2）3sin 5α=3tan 4α=-67【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式，求解；（2）上下同时除以，化简求值.cos α【详解】（1）是第二象限角，，α 4cos 5α=-可得，3sin 5α==，sin 3tan cos 4ααα==-，.∴3sin 5α=3tan 4α=-（2）原式上、下同时除以得，cos α.2sin 3cos 2tan 36cos sin 1tan 7αααααα++==--18．已知集合，2{|60}A x x x =+-≤{|35}B x m x m =-≤≤+（1）若，求的范围A B A = m （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的范围x B ∈x A ∈m 【答案】（1）；（2）．6m ≥(,1)-∞-【解析】（1）解不等式得集合，由交集结论得，由子集定义得出结论；A A B ⊆（2）问题等价于，这时需讨论的情形．B A ⊆B =∅【详解】（1）由题意，若，则，∴，解得；{|32}A x x =-≤≤A B A = A B ⊆3352m m -≤-⎧⎨+≥⎩6m ≥（2）若“”是“”的充分不必要条件，则，x B ∈x A ∈B A ⊆若即时，，53m m +<-1m <-B A =∅⊆若，则，解得．1m ≥-3352m m -≥-⎧⎨+≤⎩m ∈∅综上的取值范围是．m (,1)-∞-【点睛】结论点睛：本题考查由充分不必要条件求参数范围，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；p q qp （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；p q p q（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；p q p q（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．p qq p 19．已知函数．2()3f x x x a =-+(1)若在上恒成立，求实数的取值范围；()0f x >x R ∈a (2)若在上恒成立，求实数的取值范围．()0f x <()1,2x ∈-a 【答案】(1)9,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)(],4-∞-【分析】（1）计算函数的最小值为，根据题意得到，解得答案.()min 94f x a =-904a ->（2）计算函数在在上的最大值为，根据题意得到，得到答案.[]1,2-()max 4f x a =+40a +≤【详解】（1），则，2239()324f x x x a x a ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭()min 3924f x f a ⎛⎫==-⎪⎝⎭在上恒成立，即，故.()0f x >x R ∈()min 904f x a =->94a >（2），2239()324f x x x a x a ⎛⎫=-+=-+-⎪⎝⎭在上的最大值为，[]1,2-()2max39(1)1424f x f a a⎛⎫=-=--+-=+ ⎪⎝⎭故在上满足，故，即.()f x ()1,2x ∈-()4f x a<+40a +≤4a ≤-20．已知一扇形的中心角为，所在圆的半径为．αR （1）若，求该扇形的弧长．,6cm3R απ== l （2）若扇形的周长为，问当多大时，该扇形有最大面积？并求出这个最大面积．12cm α【答案】（1）； （2），扇形的最大面积为.2π2α=29cm 【分析】（1）由扇形的弧长公式，即可求得该扇形的弧长；（2）由扇形的周长为，求得，再由扇形的面积公式，可得,结合二次12cm 122l R =-26S R R =-+函数性质，即可求解面积的最大值，以及对应的的值.α【详解】（1）由扇形的弧长公式，可得该扇形的弧长为；623l R παπ==⨯=（2）由题意，扇形的周长为，所以，可得，12cm 212R l +=122l R =-又由扇形的面积公式，可得,2211(122)6(3)922S lR R R R R R ==-=-+=--+当时，扇形的面积取得最大值，此时最大面积为，3R =29S cm =此时，即，解得.1226l R =-=36R αα=⨯=2α=【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和扇形的面积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21．已知.sin(2)cos 2()cos tan()2f ππαααπαπα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭（1）化简，并求；()f α3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）若，求的值；tan 2α=224sin 3sin cos 5cos αααα--（3）求函数的值域.2()2()12g x f x f x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭【答案】（1），；（2）；（3）.()cos f αα=π132f æöç÷=ç÷èø1250,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）由诱导公式化简可得，进而可得；()cos f αα=3f π⎛⎫⎪⎝⎭（2）由平方关系和商数关系可转化条件为，即可得解；224tan 3tan 5tan 1ααα--+（3）转化条件为，结合二次函数的性质即可得解.()21252sin 48g x x ⎛⎫=--+⎪⎝⎭【详解】（1）由题意可得，sin(2)cos 2()cos tan()2f ππαααπαπα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭sin (sin )cos sin tan ααααα-⋅-==⋅故；1cos 332f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭（2）∵，tan 2α=故224sin 3sin cos 5cos αααα--22224sin 3sin cos 5cos sin cos αααααα--=+；224tan 3tan 51tan 1ααα--==+（3）因为，()cos f αα=所以，22()2cos cos 12cos sin 12g x x x x x π⎛⎫=-++=++ ⎪⎝⎭22sin sin 3x x =-++21252sin 48x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭因为，sin [1,1]x ∈-所以当时，，当时，1sin 4x =max 25()8g x =sin 1x =-min ()0g x =所以的值域为.()g x 250,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用诱导公式、同角三角函数的关系对原式进行合理变形.22．设函数是定义在上的奇函数，且．()21ax bf x x +=+()1,1-()11f =（1）求函数的解析式；()f x （2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明；()f x ()1,1-（3）解不等式.()()()210f t f t f -+<【答案】（1），；（2）增函数，证明见解析；（3）．()221x f x x =+()1,1x ∈-⎛ ⎝【解析】（1）利用奇函数的定义可求得，再由可求得的值，由此可得出函数的0b =()11f =a ()f x 解析式；（2）任取、且，通过作差、因式分解、判断差值符号，由此可证1x ()21,1x ∈-12x x <()()12f x f x -明出函数在上的单调性；()f x ()1,1-（3）将所求不等式变形为，利用函数的定义域和单调性可得出关于实数的()()21f t f t <-()f x t 不等式组，由此可解得实数的取值范围.t 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，()21ax bf x x +=+()1,1-则，所以，，可得，，()()f x f x -=-()2211ax bax b x x -++=-++-0b =()21axf x x ∴=+而，解得，()112af ==2a =因此，，；()221xf x x =+()1,1x ∈-（2）函数在上为增函数.()221xf x x =+()1,1-证明如下：任意、且，1x ()21,1x ∈-12x x <则()()()()()()()()()()22221221121212121222222212121221212222111111x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+-+--=-==++++++，()()()()()()()()12121212122222121222211111x x x x x x x x x x x x x x -----==++++，，，1211x x -<<< 120x x ∴-<1210x x ->所以，，即，()()120f x f x -<()()12f x f x <因此，函数在上为增函数；()f x ()1,1-（3）由题意，不等式可化为，()()()210f t f t f -+<()()210f t f t -+<即解不等式，()()()211f t f t f t <--=-所以，解得，22111111t t t t ⎧-<<⎪-<-<⎨⎪<-⎩0t <<所以不等式的解集为．()()()210f t f t f -+<⎛ ⎝【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：（1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且；1x 2x 12x x <（2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符()()12f x f x -号的方向变形；（3）定号：确定差的符号；()()12f x f x -（4）下结论：判断，根据定义得出结论.即取值作差变形定号下结论.→→→→。
2021-2022学年江苏省常州市第二中学高一年级下册学期5月学情调研数学试题【含答案】
2021-2022学年江苏省常州市高一下学期5月学情调研数学试题一、单选题1．已知复数12z i =+，其中i 为虚数单位，则复数2z 在复平面内对应的点的坐标为（ ） A ．()4,5- B ．()4,3 C ．()3,4- D ．()5,4C【分析】根据题意得234i z =-+，再分析求解即可. 【详解】根据题意得：()22212i 14i 4i 34i z =+=++=-+， 所以复数2z 在复平面内对应的点的坐标为.()3,4- 故选：C.2．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，若bcosC +ccosB ＝b ，则△ABC 一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．直角三角形A【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出结果. 【详解】解：△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ， 由bcosC +ccosB ＝b ，根据正弦定理：sinBcosC +sinCcosB ＝sinB ， 整理得sin （B +C ）＝sinA ＝sinB ， 故a ＝b ，则△ABC 一定是等腰三角形. 故选：A.本题考查的知识要点：正弦定理和三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.3．已知向量()()1,2,4,a b k ==，若a 与b 垂直，则a 与a b +夹角的余弦值为（ ）A B ．34C D ．45A【分析】利用垂直向量的坐标表示求解k ，进而得到a b +的坐标，利用向量数量积的坐标表示求解夹角的余弦值即可.【详解】解：因为a 与b 垂直，故1420a b k ⋅=⨯+=，解得2k =-，则(4,2)b =-, (5,0)a b +=，设a 与a b +夹角为θ，则22()55cos 5125a ab a a bθ⋅+===⋅++⨯. 故选：A.4．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，2BC =，点D 为BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为A ．2π B ．3π C ．4π D ．6πB【分析】取11B C 的中点1D ，连结11A D ,这样求异面直线AD 与1A C 所成的角就转化成求11CA D ∠的大小．【详解】取11B C 的中点1D ，连结111A D CD 、,在直三棱柱111ABC A B C -，点D 为BC 的中点,11AA DD ∴= 且11AA DD ，11AD A D ∴且11AD A D =，所以11CA D ∠就是异面直线AD 与1A C 所成的角．A 2B AC ==2BC =可以求出111AD A D ==，在11Rt CC D ∆中，由勾股定理可求出13CD ，在1Rt AAC ∆中，由勾股定理可求出12AC =，显然11A D C ∆是直角三角形，11113sin CD CA D AC ∠=,所以113CA D π∠=，因此本题选B.本题考查了异面直线所成角的问题，解决的关键转化成相交线所成的角，但要注意异面直线所成角的范围是(0,]2π．5．已知α为锐角，且sin sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan α=（ ）A 3B ．23C 6D 63B【分析】运用两角和与差的正弦公式和同角的商数关系，计算即可得到所求值【详解】因为sin sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1331sin cos sin cos 2222αααα+=-，所以()()31cos 31sin αα+=-，所以31tan 2331α+==+-. 故选：B6．已知某圆锥的的底面半径为2，侧面积是底面积的3倍.将该圆锥切割成一个正四棱锥，且四棱锥的顶点和圆锥的顶点重合，四棱锥的底面是圆锥底面的内接正方形，则该四棱锥的体积为（ ） A ．1623B ．2023C ．2823D ．3223D【分析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l .利用侧面积是底面积的3倍求出36l r ==，再求出正四棱锥的高42OP =，和底面积ABCD S ，即可求出该四棱锥的体积. 【详解】如图示，设圆锥的底面半径为r ，母线长为l .O 为底面圆的圆心，ABCD 为底面的一个圆内接正方形，OP 为圆锥的高.由题意可得：23rl r ππ=，解得：36l r ==，所以22226242OP l r =-=-=. 而()2228ABCD S AB BC =⨯==.所以该四棱锥的体积为11322842333ABCD V S OP =⨯=⨯⨯=. 故选：D7．如图，已知平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线与,AB AD 所在直线分别交于点M ，N ，满足,,(0,0)AB mAM AN nAD m n ==>>，若13mn =，则mn 的值为（ ）A ．23B ．34C ．45D ．56B【分析】用向量,AM AN 表示AO ，再利用点M ，O ，N 共线列式计算作答. 【详解】因平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，则1122AO AB AD =+， 而,,(0,0)AB mAM AN nAD m n ==>>，于是得122m AO AM AN n=+，又点M ，O ，N 共线， 因此，1122m n +=，即12mn n +=，又13mn =，解得12,23m n ==， 所以34m n =. 故选：B8．在长方体1111ABCD A B C D -中，直线1AC 与平面ABCD 所成角为α，与平面11ABB A 所成角为β，与平面11ADD A 所成角为γ，若1tan 2α=，1tan 3β=，tan γ=（ ） A ．6 B ．16CDD【分析】根据题意得1C AC α∠=，11C AB β∠=，11C AD γ∠=，设11C B a =，11A B b =，1CC c =，根据1tan 2α=，1tan 3β=，可以得到2217a b =，2227c b =，而tan γ=再分析求解即可.【详解】根据题意，画出如下示意图：根据长方体的性质，1CC ⊥平面ABCD ，所以1C AC α∠=，11C B ⊥平面11ABB A ，所以11C AB β∠=，11C D ⊥平面11ADD A ，所以11C AD γ∠=，所以11tan 2CC AC α==，1111tan 3C B AB β==，111tan C D AD γ=，设11C B a =，11A B b =，1CC c =，所以AC =12=，即2224c a b =+，又1AB ==13=，即2229a b c =+，又1AD所以111tan C D AD γ=，联立22222249c a b a b c ⎧=+⎨=+⎩，解得22221727a b c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以222221tan 31277b b ac b b γ===++.故选：D.二、多选题9．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，则下列命题正确的是A ．若m α⊥，n β⊥，//αβ，则//m nB ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若//m β，βn//，,m n α⊂，则//αβD ．若n ⊂α，n β⊥，则αβ⊥AD【分析】A 利用线面垂直的性质判断；B 利用面面关系来判断；C 利用面面平行的判定定理来判断；D 利用面面垂直的判定定理来判断.【详解】解：对A ：若m α⊥，//αβ，则m β⊥，又n β⊥，所以//m n ，故正确； 对B ：若αγ⊥，βγ⊥，则α与β可能平行，也可能相交，故错误；对C ：若//m β，βn//，,m n α⊂，由于没有强调m 与n 相交，故不能推出//αβ，故错误；对D ：若n ⊂α，n β⊥，根据面面垂直的判定定理，可得αβ⊥，故正确. 故选：AD.本题考查线面面面平行与垂直的判定和性质，是基础题. 10．已知,αβ满足π0π2αβ<<<<，且253sin 5αβ==-，则（ ）A ．αβπ+<B ．2πβα-<C ．20βα-=D ．tan2tan20αβ+>BCD【分析】根据平方关系求出cos ,sin αβ，再根据两角和的正弦公式即可判断A ；根据两角差的余弦公式即可判断B ；根据()2βαβαα-=--结合两角差的正弦公式即可判断C ；根据二倍角的正切公式即可判断D.【详解】解：因为π0π2αβ<<<<，且3sin 5αβ==-，所以4cos 5αβ==，322ππαβ<+<， 则()34sin 55αβ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭ 所以32ππαβ<+<，故A 错误； 由π0π2αβ<<<<，得0βαπ<-<， ()34cos 55βα-=-=， 所以02πβα<-<，则2πβα-<，故B 正确；由02πβα<-<，02πα<<，得222ππβα-<-<，()sin βα-=()()0s i 2sin n βαβαα-=--==⎡⎤⎣⎦， 所以20βα-=，故C 正确； 因为sin sin 4tan 2,tan cos cos 3αβαβαβ====-， 所以2282tan 442tan 243tan2,tan2161tan 1431tan 719αβαβαβ-===-===----， 故42444tan2tan203721αβ+=-+=>，故D 正确. 故选：BCD.11．三棱锥P ABC -中，已知PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且1PA AC BC ===，则下列说法正确的有（ ） A ．AC PB ⊥B ．BC ⊥平面PACC ．二面角C PB A --的大小为60︒D ．三棱锥的外接球表面积为3πBCD【分析】用反证法证明A 错误，由线面垂直的判定定理的性质定理证明B 正确，作出二面角的平面角，并计算后判断C ，确定外接球的直径（半径）计算出表面积判断D ． 【详解】PA ⊥平面ABC ，,,AC BC AB ⊂平面ABC ，则,,PA AB PA AC PA BC ⊥⊥⊥， 若AC PB ⊥，PA PB P =，,PA PB ⊂平面PAB ，则AC ⊥平面PAB ，而AB 平面PAB ，所以AC AB ⊥，与AC BC ⊥矛盾，A 错； 由AC BC ⊥，PA BC ⊥，PAAC A =，,PA AC ⊂平面PAC 得BC ⊥平面PAC ，B 正确；作AE PB ⊥于E ，PF PC ⊥于F ，连接EF ，如图，由BC ⊥平面PAC ，AF ⊂平面PAC ，得AF BC ⊥，又PC BC C ⋂=，,PC BC ⊂平面PBC ，所以AF ⊥平面PBC ，,EF PB ⊂面PBC ，所以AF EF ⊥，⊥AF PB ， AE AF A ⋂=，,AE AF ⊂平面AEF ，所以PB ⊥平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以PB EF ⊥，所以AEF ∠是二面角C PB A --的平面角，因为1PA AC BC ===，所以22AF =，2AB =，126312PA AB AE PB ⨯⨯===+， AEF 中，232sin 263AF AEF AE ∠===，60AEF ∠=︒，C 正确； 由上面证明知PB 是三棱锥P ABC -外接球的直径，3PB =，所以球表面积为2432PB S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，D 正确．故选：BCD ．12．如图，正方形1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 有两个动点E ，F ，且2EF 则下列结论正确的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．异面直线,AE BF 所成角为定值C ．直线AB 与平面BEF 所成角为定值D ．以ABEF 为顶点的四面体的体积不随EF 位置的变化而变化 ACD【分析】A.连接BD 交AC 于O ，连接OE ，由正方体特征易证AC ⊥平面11BB D D 判断；B.易证EFBO 是平行四边形，得到//OE BF ，则OEA ∠是异面直线,AE BF 所成的角求解判断；C.由AC ⊥平面11BB D D ，得到OBA ∠是直线AB 与平面BEF 所成的角求解判断；D.由四面体的体积为11132A BEF V EF BB OA -=⋅⋅⋅⋅判断. 【详解】如图所示：连接BD 交AC 于O ，连接OE ，由正方体特征知：1,AC BD AC BB ⊥⊥，且1BD BB B ⋂=，则AC ⊥平面11BB D D ，所以AC BE ⊥，故A 正确；因为//,EF OB EF OB =，所以EFBO 是平行四边形，则//OE BF ，所以OEA ∠是异面直线,AE BF 所成的角，又AC ⊥平面11BB D D ，则tan OAOEA OE∠=，因为OE 变化，则OEA ∠变化，故B 错误；由AC ⊥平面11BB D D ，得OBA ∠是直线AB 与平面BEF 所成的角，且45OBA ∠=为定值，故C 正确；以ABEF 为顶点的四面体的体积为1111332A BEF BEFV S h EF BB OA -==⋅⋅⋅⋅ 为定值，故正确； 故选：ACD 三、填空题13．若i 为虚数单位，且复数z 满足()1i 3i z +=-，则复数z 的模是________. 5【分析】根据复数代数形式的除法运算法则化简复数z ，再根据复数模的计算公式计算可得；【详解】解：由()1i 3i z +=-，得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z ----====-++-， ∴()22125z =+-=. 故514．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一千多年.其中有这样一个问题：“今有勾三步，股四步，间勾中容方几何？"其意思为：今有直角三角形ABC ，勾AC （短直角边）长3步，股BC （长直角边）长为4步，问该直角三角形能容纳的正方形(,,CDEF D E F 分别在边,,CB BA AC 上）边长为多少？在求得正方形CDEF 的边长后，可进一步求得BAD ∠的正切值为___________.1637【分析】利用三角形相似求出正方形边长，再利用DAB BAC DAC ∠=∠-∠及两角差的正切公式，即可求解.【详解】设正方形的边长为x ，则,4DE EF CD x BD x ====-， 由BDEBCA ，可得BD DEBC AC，即443x x -=，解得127x =， 因为44tan ,tan 37BC DC BAC DAC AC AC ∠==∠==，所以441637tan tan()4437137DAB BAC DAC -∠=∠-∠==+⨯. 故答案为.163715．已知正三棱柱111ABC A B C -，底面正三角形ABC 的边长为2，侧棱1AA 的长为2，则点1B 到平面1A BC 的距离为___________. 【分析】根据题意得1111B A BC C A BB V V --=，再分析求解即可.【详解】根据题意作出如下示意图，取AB 的中点为D ，连接CD ， 因为正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，所以CD AB ⊥，1CD AA ⊥， 又1AB AA A ⋂=，所以CD ⊥平面11ABB A ，设点1B 到平面1A BC 的距离为：h ，所以1111B A BC C A BB V V --=，即1111133A BC A BB S h S CD ⨯⨯=⨯⨯△△，因为CD =1112222A BB S =⨯⨯=△，在1A BC中，1AC =，1A B =2BC =， 所以1A BC 中边BC，所以1122=⨯=A BC S △所以111A BB A BC S CD h S ⨯==△△故答案为四、双空题16．已知一个底面边长为33的正三棱锥，则此三棱锥的侧面与底面所成三面角的余弦值为___________，此三棱锥内切球的半径为___________.6305-【分析】设顶点P 在底面ABC 内的射影为O ，得到O 为底面ABC 的重心，取AB 的中点D ，连接,OD PD ，证得PDO ∠为三棱锥的侧面与底面所成三面角的平面角，分别求得,OD OC 的长，得到,PO PD 的长，在直角POD 中，求得6cos PDO ∠=棱锥的表面和体积，结合13S r V ⋅=，即可求得内切球的半径.【详解】如图所示，正三棱锥P ABC -，底面边长为33， 设顶点P 在底面ABC 内的射影为O ，则O 为底面ABC 的重心， 取AB 的中点D ，连接,OD PD ，则,OD AB PD AB ⊥⊥， 所以PDO ∠为三棱锥的侧面与底面所成二面角的平面角， 因为121,233OD CD OC CD ====，在直角POC △中，因为2,3OC PC ==，可得225PO PC OC - 在直角POD 中，可得2222(5)16PD PO OD +=+ 在直角POD 中，可得6cos 6OD PDO PD ∠== 又由112363222PABSAB PD =⋅=⨯=23(23)33ABCS ==所以正三棱锥P ABC -的表面积为39233PABABCS S S=+=+表面积，正三棱锥P ABC -的体积为113351533ABCV SPO =⋅=⨯⨯=，设正三棱锥P ABC -的内切球的半径为r ， 则1111133333PABPACPBCABCS r S r S r S r S r V ⋅+⋅+⋅+⋅=⋅=表面积， 所以内切球的半径为33151530559233323V r S -====++表面积.故66；3055-.五、解答题17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1AD 的中点，N 是1DC 的中点.(1)求证：MN 平面ABCD ；(2)求证.11D B B C ⊥ (1)见解析 (2)见解析【分析】（1）连接1,AC D C ，易得MN AC ∥，根据线面平行的判定定理即可得证； （2）根据正方体的结构特征可得11BC B C ⊥，11C D ⊥平面11BCC B ，则有111C D B C ⊥，再根据线面垂直的判定定理可得1B C ⊥平面11BC D ，再根据线面垂直的性质即可得证.【详解】(1)证明：连接1,AC D C ， 则1DC 与1CD 互相平分，因为M 是1AD 的中点，N 是1DC 的中点， 所以点N 为1D C 的中点， 所以MN AC ∥，又AC ⊂平面ABCD ，MN ⊄平面ABCD ， 所以MN平面ABCD ；(2)证明：连接111,,BD BC B C ， 在正方体1111ABCD A B C D -中， 11BC B C ⊥，11C D ⊥平面11BCC B ，因为1B C ⊂平面11BCC B ， 所以111C D B C ⊥，又1111C D BC C ⋂=，111,C BC D ⊂平面11BC D ， 所以1B C ⊥平面11BC D ， 又1BC ⊂平面11BC D ， 所以11D B B C ⊥.18．已知复数12cos isin ,cos isin ,,z z ααββαβ=+=-均为锐角，且1225z z -=.(1)求()cos αβ+的值；(2)若4cos 5α=，求cos β的值. (1)35 (2)2425【分析】（1）先求出()()12cos cos i sin sin z z αβαβ=-+-+，利用12z z -=即可求出()cos αβ+的值；（2）利用平方关系求出()4sin 5αβ+=，3sin 5α=，再利用和差角公式即可求得.【详解】(1)因为复数12cos isin ,cos isin z z ααββ=+=-，所以()()12cos cos i sin sin z z αβαβ=-+-+.所以12z z =-因为12z z -==.()3cos 5αβ+=(2)因为,αβ均为锐角，所以0αβ<+<π，所以()4sin 5αβ+==.因为α为锐角，4cos 5α=，所以sin 53α==.所以()cos cos +βαβα=-⎡⎤⎣⎦()()cos +cos sin +sin αβααβα=+43345555=⨯+⨯ 2425=. 19．在梯形ABCD 中，,2,1,120,,AB CD AB BC CD BCD P Q ===∠=∥分别为线段BC ，CD 上的动点.(1)求BC AB ⋅；(2)若14BP BC =，求AP ； (3)若1,6BP BC DQ DC μμ==，求AP BQ ⋅的最小值；(1)2-(3)43-【分析】（1）根据题意得60ABC ∠=，所以cos BC AB BC AB BC AB =⨯⨯⋅⋅，求解计算即可；（2）根据题意得14AP AB BC =+，所以214B P C A AB ⎛⎫=+ ⎪；（3）根据题意得125536AP BQ μμ=⋅+-，且116μ≤≤，再分析单调性求解即可. 【详解】(1)因为,2,120AB CD AB BC BCD ==∠=∥，所以60ABC ∠=， 所以,180120BC AB ABC =-∠=，所以cos 22cos1202BC AB BC AB BC AB =⨯⨯=⨯⨯=⋅-⋅. (2)由（1）知，2BC AB ⋅=-，因为14BP BC =，所以14AP AB BP AB BC =+=+，所以()222222111111322221146264AP AB AB AB BC BC BC ⎛⎫=+=+⋅+=+⨯-+⨯= ⎪⎝⎭，所以132AP =. (3)因为BP BC μ=，16DQ DC μ=， 则()()()616AP BQ AB BP BC CQ AB BC BC CD μμμ⎛⎫-⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪⎝⎭2611666AB BC AB CD BC CB CD μμμμ--=⋅+⋅++⋅ 261161125221221566236μμμμμμ--⎛⎫=--⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯-=+- ⎪⎝⎭， 因为011016μμ<≤⎧⎪⎨<≤⎪⎩，解得116μ≤≤，设()125536f μμμ=+-，116μ≤≤，根据对勾函数的单调性可知，()f μ在1,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以当16μ=时，()f μ取得最小值.5254266316f ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭ 20．在ABC 中，角A B C ､､所对的边分别为2,,3a b c A AD π=､､平分BAC ∠，交BC 于点D ，已知2AD =，2b c =.(1)求ABC 的面积S ；(2)若BC 的中点为E ，求DE 的长. (1)932； (2)172. 【分析】（1）利用余弦定理求出cos B ，再利用正弦定理结合角平分线求出边c 即可计算作答.（2）利用（1）的结论直接计算作答. 【详解】(1)在ABC 中，2b c =，23A π=，由余弦定理得：222222222cos 422cos73a b c bc A c c c c π=+-=+-⨯=，即7a c =， 22227cos 27a cb B ac +-==，则221sin 1cos 7B B =-=， 在ABD △中，3BAD π∠=，由正弦定理得：3sin2327sin 217AD BD Bπ⨯===，又()11sin sin 122112sin πsin 22ABD ACDAD BD ADB AD AB DABS BDc CD Sb AD CD ADBAD AC DAC ⋅∠⋅∠=====⋅-∠⋅∠，则227CD BD ==，即有337a BD ==，3c =，所以ABC 的面积2112π93sin 2sin 2232S bc A c ==⨯=. (2)由（1）知，1137222BE BC a ===，所以172DE BE BD =-=. 21．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，60BAD BPD ∠=∠=︒，2PB PD ==.(1)证明：平面PAC ⊥平面ABCD ；(2)若二面角P BD A --的余弦值为13，求二面角B PA D --的正弦值.(1)证明见解析 (2)223【分析】（1）依据面面垂直判定定理去证明平面PAC ⊥平面ABCD ； （2）建立空间直角坐标系，以向量的方法去求二面角B PA D --的正弦值. 【详解】(1)设ACBD O =，连接PO ，在菱形ABCD 中，O 为BD 中点，且BD AC ⊥， 因为PB PD =，所以BD PO ⊥， 又因为POAC O =，且PO ，AC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ；(2)作OM ⊥平面ABCD ，以{},,OA OB OM 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，易知2PB PD BD AB AD =====，则3OA OP =1OB =， 因为OA BD ⊥，OP BD ⊥，所以POA ∠为二面角P BD A --的平面角，所以1cos 3POA ∠=，则326P ⎝⎭，)3,0,0A ，()0,1,0B ，()0,1,0D -，所以()3,1,0AD =--，()3,1,0AB =，2326AP ⎛= ⎝⎭，设平面PAB 的法向量为()111,,m x y z =，由00m AB m AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111302326033x y x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ 取11z =，则12x =，16y =，所以()2,6,1m =，设平面PAD 的法向量为()222,,n x y z =，由00n AD n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2222302326033x y x z ⎧--=⎪⎨-+=⎪⎩ 取21z =，则22x =，26y =-，所以()2,6,1n =-，设二面角B PA D --为θ，则2611cos 3261261m n m nθ⋅-+===++⋅++⋅，又[]0,πθ∈，则222sin 1cos 3θθ=-=. 22．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，M 为棱AC 的中点.AB ＝BC ，AC ＝2，AA 1＝2.（1）求证：B 1C //平面A 1BM ； （2）求证：AC 1⊥平面A 1BM ；（3）在棱BB 1上是否存在点N ，使得平面AC 1N ⊥平面AA 1C 1C ？如果存在，求此时1BNBB 的值；如果不存在，请说明理由.（1）证明见解析；（2）证明见解析；（2）存在，12.（1）首先连接1AB 与1A B ，两线交于点O ，连接OM ，利用三角形中位线性质得到1//OM B C ，再利用线面平行的判定即可证明1//B C 平面1A BM .（2）首先易证BM ⊥平面11ACC A ，从而得到1BM AC ⊥，根据11AC C A MA ∠=∠和111190AC C C AC A MA C AC ∠+∠=∠+∠=，得到11A M AC ⊥，再利用线面垂直的判定即可证明1AC ⊥平面1A BM . （3）当点N 为1BB 的中点，即112BN BB =时，平面1AC N ⊥平面11AAC C .首先设1AC 的中点为D ，连接DM ，DN ，易证四边形BNDM 为平行四边形，从而得到//BM DN ，DN ⊥平面11ACC A ，再利用面面垂直的判定即可证明平面1AC N ⊥平面11ACC A . 【详解】（1）连接1AB 与1A B ，两线交于点O ，连接OM ，如图所示：在1B AC △中，因为M ，O 分别为AC ，1AB 的中点， 所以1//OM B C ，又因为OM ⊂平面1A BM ，1B C ⊄平面1A BM ， 所以1//B C 平面1A BM .（2）因为侧棱1AA ⊥底面ABC ，BM ⊂平面ABC ， 所以1AA BM ⊥.又因为M 为棱AC 的中点，AB BC =，所以BM AC ⊥. 因为1AA AC A =，1AA ，AC ⊂平面11ACC A ，所以BM ⊥平面11ACC A ，所以1BM AC ⊥. 因为2AC =，所以1AM =.又因为12AA 1RT ACC 和1RT A AM △中，11tan tan 2AC C AMA ∠=∠， 所以11AC C A MA ∠=∠，即111190AC C C AC A MA C AC ∠+∠=∠+∠=， 所以11A M AC ⊥. 因为1BMA M M =，BM ，1A M ⊂平面1A BM ，所以1AC ⊥平面1A BM . （3）当点N 为1BB 的中点，即112BN BB =时，平面1AC N ⊥平面11AAC C . 证明如下：设1AC 的中点为D ，连接DM ，DN ，如图所示：因为D ，M 分别为1AC ，AC 的中点， 所以1//DM CC ，且112DM CC =又因为N 为1BB 的中点，所以//DM BN ，且DM BN =， 所以四边形BNDM 为平行四边形， 所以//BM DN ，由（2）知：BM ⊥平面11ACC A ，所以DN ⊥平面11ACC A . 又因为DN ⊂平面1AC N ， 所以平面1AC N ⊥平面11ACC A .方法点睛：本题考查垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型，属于中档题.（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. （2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. （3）证明线线垂直需转化为证明线面垂直.。
2021-2022学年江苏省盐城市响水中学高一年级下册学期第二次学情分析考试数学试题【含答案】
2021-2022学年江苏省盐城市响水中学高一下学期第二次学情分析数学试题一、单选题1．设复数z 满足（其中i 为虚数单位），则（ ）2i z =-z =ABC ．5DA【分析】利用复数求模长公式进行计算.=故选：A2．已知样本9，10，11，x ，y 的平均数是10xy =（ ）A ．93B ．94C ．95D ．96D【分析】根据平均数和标准差列方程即可求解.【详解】由题意 ，91011105x y++++=，解得 或 ，()()222010108x y x y +=⎧⎪∴⎨-+-=⎪⎩812x y =⎧⎨=⎩128x y =⎧⎨=⎩∴ ；96xy=故选：D.3．设， ，）1cos 662a =22tan131tan 13b =-c =A ．B ．C．D ．a b c >>a b c <<a c b<<b c a<<C【分析】利用和差公式，二倍角公式等化简，再利用正弦函数的单调性比较大小.,,a b c 【详解】，1cos 66sin 30cos 6cos30sin 6sin(306)sin 242a ==-=-= ，，22tan13tan 261tan 13b ==-sin 25c == 因为函数在上是增函数，，sin y x =()0,90 242526<<所以sin 24sin 25sin 26<<由三角函数线知：，，因为，sin 26MP = tan 26AT =MP AT <所以，所以sin 26tan 26<a c b<<故选：C.4．已知平面平面，直线平面，直线平面，，在下列说法α⊥βm ⊂αn ⊂βl αβ= 中，①若，则；②若，则；③若，则.m n ⊥m l ⊥m l ⊥m β⊥m β⊥m n ⊥正确结论的序号为（ ）A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③D【分析】由面面垂直的性质和线线的位置关系可判断①；由面面垂直的性质定理可判断②；由线面垂直的性质定理可判断③．【详解】平面平面．直线平面，直线平面，，α⊥βm ⊂αn ⊂βl αβ= ①若，可得，可能平行，故①错误；m n ⊥m l ②若，由面面垂直的性质定理可得，故②正确；m l ⊥m β⊥③若，可得，故③正确．m β⊥m n ⊥故选：D ．本题考查空间线线和线面、面面的位置关系，主要是平行和垂直的判断和性质，考查推理能力，属于基础题．5．在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若，则的形ABC 1cos cos b B a A -=ABC 状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形C【分析】通过正弦定理将边化为角，化简即可得结果.【详解】由正弦定理得，即，sin cos sin sin cos B A A A B =-sin sin C A =由于为三角形内角，所以.,A C C A =故选：C.6．如图正方体中，M ，N 分别是，的中点，则正确的是1111ABCD A B C D -1AD 1BD （ ）A ．且平面ABCD 11A D BD ⊥MN ∥B ．且平面11A D BD ⊥MN ∥11BDD B C ．与相交且平面ABCD 1A D 1BD MN ∥D ．与异面且平面1A D 1BD MN ∥11BDD B A【分析】结合线线垂直、线面平行和直线相交、异面等知识正确答案.【详解】由于平面，所以与平交，由此排除BD 选项.1N BD ∈⊂11BDD B MN 11BDD B 由于平面，平面，且，1BD ⊂11BDD B 1A D ⋂11BDD B D =1D BD ∉根据异面直线的知识可知：与是异面直线.由此排除C 选项.1A D 1BD 对于A 选项，根据正方体的性质可知，1111,,A D AD A D AB AD AB A ⊥⊥= 所以平面，所以.1A D ⊥1ABD 11A D BD ⊥由于分别是的中点，所以，,M N 11,AD BD //MN AB由于平面平面，所以平面，所以A 选项正确.MN ⊂,ABCD AB ⊂ABCD //MN ABCD 故选：A7．在△中，，E 是上一点．若，则（ ）ABC 2BD DC =AD 12λ=+ CE CA CB λ=A ．B ．C ．D ．16121413A【分析】根据图形可设，从而得到，根据已知条件= AE m AD (1)3m CE m CA CB =-+，即可求出的值.12λ=+ CE CA CBλ【详解】如图所示，设，=AE m AD 则1()3⎛⎫=+=+=+-=+- ⎪⎝⎭CE CA AE CA mAD CA m CD CA CA m CB CA ，(1)3=-+m m CA CB又∵，∴，∴，12λ=+CE CA CB 12m =136λ==m 故选：．A 8．如图，在平行六面体中，点是棱上靠近的三等分点，点1111ABCD A B C D -E 1BB B 是棱的中点，且三棱锥的体积为2，则平行六面体的F 1CC 1A AEF -1111ABCD A B C D -体积为（ ）A ．8B ．12C ．18D ．20B【分析】首先设点到的距离为，点到平面的距离为，得到E 1AA dF 11ABB A h，11112△=A AE ABB A S S 再计算平行六面体的体积即可.1111ABCD A B C D -【详解】如图设点到的距离为，点到平面的距离为，E 1AA dF 11ABB A h 则，，1112△=⋅⋅A AE S AA d ,1=⋅ABB A S AA d 所以11112△=A AE ABB A S S ，111,1263△△-=⋅⋅=⇒⋅=A AEF A AE A AEV S h Sh 平行六面体的体积为1111ABCD A B C D -111111-=⋅ABCD A B C D ABB A S V h所以.11111212△-==⋅ABCD A A D AE B C S h V 故选：B本题主要考查几何体的体积，同时考查了三棱锥的体积，属于简单题.二、多选题9．为了了解参加运动会的名运动员的年龄情况，从中抽取了名运动员的年龄200020进行统计分析.就这个问题，下列说法中正确的有（ ）A ．名运动员是总体；B ．所抽取的名运动员是一个样本；200020C ．样本容量为；D ．每个运动员被抽到的机会相等.20CD【分析】根据总体、样本、总体容量、样本容量等概念及在整个抽样过程中每个个体被抽到的机会均等即可求解.【详解】由已知可得，名运动员的年龄是总体，名运动员的年龄是样本，总200020体容量为，样本容量为，在整个抽样过程中每个运动员被抽到的机会均为，2000201100所以A 、 B 错误，C 、D 正确.故选：CD.本题主要考查总体、样本、总体容量、样本容量等概念及抽样的公平性问题，属基础题.10．已知复数的实部为，则下列说法正确的是（ ）()()()32=-+∈z a i i a R 1-A ．复数的虚部为B ．复数的共轭复数z 5-z 15=-z iC ．D ．在复平面内对应的点位于第三象限z =z ACD首先化简复数，根据实部为-1，求，再根据复数的概念，判断选项.z a 【详解】，()()()()23232323223z a i i a ai i i a a i=-+=+--=++-因为复数的实部是-1，所以，解得：，321a +=-1a =-所以，15z i =--A.复数 的虚部是-5，正确；B.复数的共轭复数，不正确；z z 15z i =-+，正确；D.在复平面内对应的点是，位于第三象=z ()1,5--限，正确.故选：ACD11．下列命题中是真命题的是（ ）A ．在四边形ABCD 中，若，且，则四边形ABCD 是菱形0AB CD +=0AC BD ⋅= B ．若点G 为的外心，则ABC 0GA GB GC ++=C ．向量，能作为平面内的一组基底1(2,3)e =-213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．若O 为△所在平面内任一点，且满足，则△ABC ()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=为等腰三角形ABC AD【分析】A 由相反向量的定义及向量数量积的垂直表示知ABCD 是菱形，B 根据钝角三角形外心即可判断命题的真假，C 由平面内基底的性质判断真假，D 利用向量加减法的几何含义及向量数量积的垂直表示即可判断真假.【详解】A ：四边形ABCD 中，由知：线段、平行且相等，由0AB CD +=AB CD 知：对角线相互垂直，即ABCD 是菱形，真命题；0AC BD ⋅=B ：以钝角△的外心为例，显然若点G 为外心时，，假命题；ABC 0GA GB GC ++≠C ：由已知有，显然共线，所以不能作为平面内的一组基底，假命题；124e e =D ： ，，若为中点，则，OB OC CB -=OB OA OC OA AB AC -+-=+ D BC 2AB AC AD += 由有，所以垂直平分，即，()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-= 0CB AD ⋅= AD BC AB AC =故△为等腰三角形.ABC 故选：AD.关键点点睛：利用相反向量的定义、向量数量积的垂直表示、平面中基底的性质、几何图形中向量加减法表示判断各选项所描述命题的真假.12．在正方体中，分别为的中点，则下列结论中1111ABCD A B C D -,,E F G 11,,BC CC BB 正确的是（ ）A ．1D D AF⊥B ．二面角F AEC --C ．异面直线与1A G EFD ．点到平面的距离是点到平面的距离的2倍G AEF C AEF BCD【分析】由于在正方体中，，与不垂直，故与不垂直，判11//D D A A 1A A AF 1D D AF 断选项A ；过点作，交的延长线于，连接，设正方体的棱长为C CM AE ⊥AE M FM 2，，判断选项B ；取的中点，连接，则，tan FCFMC CM ∴∠=11B C H 1,A H GH //GH EF 与所成角即为直线与所成角，在中用余弦定理，判断1A GEF 1A G GH 1A GH ∠11AC G △选项C ；连接交于点，则点到平面的距离与点到平面的距离CG EF N G AEF C AEF 之比为，而∽，判断选项D.GNCN GNF △CNE 【详解】在正方体中，显然有，且在正方体1111ABCD A B C D -11//D D A A中，与不垂直，1111ABCD A B C D -1A A AF 故与不垂直，选项A 错误；1D DAF 过点作，交的延长线于，连接，由二面角的定义可知，C CM AE ⊥AE M FM 即为二面角的平面角，不妨设正方体的棱长为2，则FMC ∠F AE C --1,CF CM === ，选项B 正确；tan FC FMC CM ∴∠===取的中点，连接，则，11B C H 1,A H GH //GH EF 故异面直线与所成角即为直线与所成角1A G EF 1A G GH 1A GH∠而，1A H =1A G ==GH ==故在中，由余弦定理可得11AC G △，选项C 正确；2221111cos 2A G GH A H A GH A G GH +-∠===⋅⋅连接交于点，则点到平面的距离与点到平面的距离之比为CG EF N G AEF C AEF ，而∽ GNCN GNF △CNE 故， 选项D 正确.2GN GFCN CE ==故选：BCD.三、填空题13．一组数据从小到大排列，依次为，若它们的中位数与平均数相等，则2,3,4,,9,10x______.x =8【分析】先计算平均数和中位数，根据题意得出关于x 的方程，解方程得到x 的值.【详解】因为数据2,3,4，，9,10的中位数与平均数相等，所以x ，解得.423491026x x ++++++=8x =主要考查了平均数，中位数的概念和方程求解的方法．要掌握这些基本概念才能熟练解题．14．如图，某人在高出海平面方米的山上P 处，测得海平面上航标A 在正东方向，俯角为，航标B 在南偏东，俯角，且两个航标间的距离为200米，则30°60︒45︒__________米.h =200【分析】根据题意利用方向坐标，根据三角形边角关系，利用余弦定理列方程求出的值．h 【详解】航标在正东方向，俯角为，由题意得，．A 30°60APC ∠=︒30PAC ∠=︒航标在南偏东，俯角为，则有，．B 60︒45︒30ACB ∠=︒45CPB ∠=︒所以，；BC PC h ==tan 30PCAC ==︒由余弦定理知，2222cos AB BC AC BC AC ACB =+-∠即，224000032h h h =+-可求得（米．200h =)故200．本题考查方向坐标以及三角形边角关系的应用问题，考查余弦定理应用问题，是中档题．15．在 中．已知，为线段上的一点，且满ABC ∆2CD DB =P AD足．若的面积为，则的最小值为12CP CA mCB =+ ABC ∆3ACB π∠=CP_______．2【分析】利用A ，P ，D 三点共线可求出m ，并得到．再利用平面13=1123CP CA CB =+ 向量的基本性质和基本不等式即可求出的最小值．CP【详解】解∵12CP CA mCB=+13(2)22CA m CD CD DB=+⋅=∵A ，P ，D 三点共线，∴，即m ．13122m +=13=∴131223CP CA CD=+⨯ 1122CA CD=+ 112223CA CB =+⨯，1123CA CB =+又∵．3ABC S ACB π=∠=∴，即CA •CB ＝8．12CA CBsin ACB ⋅∠=∴8ab =∴CP ==)CA b CB a ===令，=≥．2==故答案为2．本题考查平面向量共线定理，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量线性运算的运用．四、双空题16．若正三棱台中上底的边长为1，下底的边长为2，侧棱长为1，则它111ABC A B C -的表面积为_________，与所成角的余弦值为_______________．1AA 1BC【分析】根据题目所给边长，直接求表面积即可得解，延长交于点，111,,AA BB CC P 作中点，中点，连接， ，则与1PC N AB M 11,,MN B N MB 1111//,//MB AA B N BC 1AA 所成角即为和所成角，在中解三角形，即可得解.1BC 1MB 1B N1MB N【详解】根据题意正三棱台的上下底面为等边三角形，111ABC A B C -上底面为边长为1的等边三级形，下底为边长为2的等边三角形，侧面为等腰梯形上底边长为1，下底边长为2，腰长为1，所以高h=所以面积，111122322S =⨯⨯⨯⨯延长交于点，111,,AA BB CC P 由上底的边长为1，下底的边长为2，所以分别为中点，111,,A B C ,,PA PB PC 作中点，中点，连接，1PC N AB M 11,,MN B N MB ，则与所成角即为和所成角，1111//,//MB AA B N BC 1AA 1BC 1MB 1B N 连接，在底面的投影为，为底面的中心且在上，MC P O O MC 作于，显然NH MC ⊥H //NH PO 由，23CO ==2PC=所以PO ===所以，34NHPO ==MH MOOH =+==所以，，32MN ==212APMB ==在等腰梯形上底边长为1，下底边长为2，腰长为1，11BCC B 所以，1BC =1B N =在中，，1MB N222111211cos 2MB B N MN MB N MB B N +-∠===⋅根据线线所成角的范围，则与1AA 1BC 故.本题考查了求空间几何体的表面积，考查了异面直线所成角，计算量较大，属于较难题.本题的关键点为：（1）通过平移把异面直线平移到同一平面中；（2）通过空间线面关系进行计算，是本题的核心能力.五、解答题17．已知复数满足（a ＞0，a ∈R ），且，其中为虚数单位．z i 1i ⋅=-+z a 2z z +∈R i (1)求复数；z (2)若复数，，在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，求cos ∠ABC ．z 2z 2z z -(1)1iz =+【分析】（1）根据，得到，进而得到为实数求解.i 1i ⋅=-+z a i z a =+2z z +（2）化简得到复数所对应的点，进而得到向量 和的坐标，然后利用向量的夹BA BC 角公式求解.【详解】(1)解：因为，i 1i ⋅=-+z a 所以，()i 1i i=--+=+z a a 则，22i i +=+++z a z a ，()22i i 1-=+++a a a ，22221i 11⎛⎫=++-∈ ⎪++⎝⎭a a Ra a 所以，22101a -=+所以，21a =又，所以，0a >1a =所以．1i z =+(2)，，()221i 2iz =+=21i z z -=-所以，，，()1,1A ()0,2B ()1,1C -所以，，()1,1BA =-()1,3BC =-．cos cos ,BA BC ABC BA BC BA BC⋅∠=<>==18．某企业员工人参加“抗疫”宣传活动，按年龄分组：第组，第组x 1[)25,302，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图[)30,353[)35,404[)40,455[]45,50所示.区间[)25,30[)30,35[)35,40[)40,45[]45,50频数5050a 150b(1)上表是年龄的频数分布表，结合此表与频率分布直方图，求正整数、、的值；x a b (2)现在要从年龄较小的第、、组中用分层抽样的方法抽取人，问：这三组应各12330取多少人？(3)若同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，根据频率分布直方图估计该企业员工的平均年龄.(1)，，500x =200a =50b =(2)这三组中抽取的人数分别为、、5520(3)41【分析】（1）计算出第组的频率，结合频率、频率和总人数之间的关系可求得的值，1x 再利用频率、频率和总人数之间的关系可求得、的值；a b （2）计算出第、、组的人数之比，结合分层抽样可计算出这三组所抽取的人数；123（3）将每个矩形底边的右端点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全加可得结果.【详解】(1)解：第组的频率为，所以，，150.020.1⨯=505000.1x ==，50050.08200a =⨯⨯=.5000.02550b =⨯⨯=(2)解：第、、组的人数之比为，12350:50:2001:1:4=现在要从年龄较小的第、、组中用分层抽样的方法抽取人，12330第组抽取的人数为人，第组所抽取的人数为人，113056⨯=213056⨯=第组所抽取的人数为人.3430206⨯=(3)解：，300.025350.025400.085450.065500.02541x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=所以估计该企业员工的平均年龄为.4119．在中，角 ，，所对边分别为，，，且.ABC A B C a b c ()tan 2tan b A c b B=-（1）求角；A （2）若向量，，求的取值范围.()cos ,2cos m B A =20,cos 2C n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2m n -（1）；（2）.60︒【分析】（1）首先，利用正弦定理，正切化为正弦和余弦，化简得，求角；1cos 2A =（2）根据（1）的结果，得的坐标，再化简，根据角2m n - 121sin 226m n B π⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭ 的范围求模的范围.B 【详解】解：（1）由，及正弦定理，()tan 2tan b A c b B=-得，()sin sin sin 2sin sin cos cos A BBC B A B =-即，sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=即，()sin 2sin cos A B C A+=所以，.1cos 2A =3A π=（2），()222cos ,12cos cos ,cos cos ,cos 23C m n B B C B B π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以，22241cos 221cos 232cos cos 322B B m n B B ππ⎛⎫+- ⎪+⎛⎫⎝⎭-=+-=+⎪⎝⎭ 11sin 226B π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭由于，得，203B π<<1sin 2,162B π⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦所以.2m n -∈ 20．如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，E 是线段PC 上的一点，．PC =()RPE EC λλ=∈(1)试确定实数，使平面BED ，并给出证明；λ//PA (2)当时，证明：PC ⊥平面BED ．2λ=(1)，证明见解析1λ=(2)证明见解析【分析】（1）作辅助线，连接AC ，可证明当E 为PC 中点时，使平面BED ，即//PA 得答案.（2）证明平面PAC ，即证明，再通过证明△PAC 与△OEC 相似，证明BD ⊥BD PC ⊥，根据线面垂直的判定定理，即可证明PC ⊥平面BED ．PC OE ⊥【详解】(1)连接AC ，且，AC BD O =若平面BED ，因为平面PAC ，平面平面，PA ∥PA ⊂PAC BED EO =所以，又因为O 为AC 中点，PA EO ∥所以E 为PC 中点，即．1λ=当时，E 为PC 中点，又因为O 为AC 中点，1λ=所以，平面BED ，平面BED ，PA OE ∥PA ⊂OE ⊂所以平面BED ．PA ∥(2)连接OE ，因为平面ABCD ，平面ABCD ，PA ⊥BD ⊂所以，在菱形ABCD 中，，PA BD ⊥AC BD ⊥又因为，PA AC A = 所以平面PAC ，平面PAC ，BD ⊥PA ⊂所以，BD PC ⊥在直角三角形PCA 中，，2PA =PC =AC =所以OC =因为，所以，所以2λ=CE =CE OC=又，故△PAC 与△OEC 相似，AC PC=CE AC OC PC =所以，PC OE ⊥又因为，，OE ，平面BED ，PC BD ⊥OE BD O = BD ⊂所以平面BED ．PC ⊥21．如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA ＝BD ，AD ＝2，PA ＝PD E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点．（1）证明：EF ∥平面PAB ；（2）若二面角P －AD －B 为60°．①证明：平面PBC ⊥平面ABCD ；②求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．（1）证明见解析；（2）①证明见解析；．【详解】试题分析：（1）要证明平面，可以先证明平面，利用线//EF PAB //EF MA 面平行的判定定理，即可证明平面；（2）①要证明平面平面//EF PAB PBC ⊥，可用面面垂直的判定定理，即只需证明平面即可；②由①ABCD PB ⊥ABCD平面，所以为直线与平面所成的角，由BE ⊥PBC FEB ∠EF PBC PB 为直角，即可计算的长度，在中，即计算直线与平面ABP ∠,AM EF Rt EBF ∆EF 所成的角的正弦值．PBC 试题解析：（1）证明：如图，取PB 中点M ，连接MF ，AM ．因为F 为PC 中点，故MF ∥BC 且MF ＝BC ．由已知有BC ∥AD ，BC ＝AD ．12又由于E 为AD 中点，因而MF ∥AE 且MF ＝AE ，故四边形AMFE 为平行四边形，所以EF ∥AM ．又AM ⊂平面PAB ，而EF ⊄平面PAB ，所以EF ∥平面PAB ．（2）①证明：如图，连接PE ，BE ．因为PA ＝PD ，BA ＝BD ，而E 为AD 中点，故PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，所以∠PEB 为二面角P －AD －B 的平面角．在△PAD 中，由PA ＝PD AD ＝2，可解得PE ＝2．在△ABD 中，由BA ＝BD AD ＝2，可解得BE ＝1．在△PEB 中，PE ＝2，BE ＝1，∠PEB ＝60°，由余弦定理，可解得PB 从而∠PBE ＝90°，即BE ⊥PB ．又BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC ．又BE ⊂平面ABCD ，所以平面PBC ⊥平面ABCD ．②连接BF ．由①知，BE ⊥平面PBC ，所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角．由PB∠ABP 为直角．而MB ＝PBAMEF12又BE ＝1，故在Rt △EBF 中，sin ∠EFB ＝．BE EF 所以直线EF 与平面PBC 直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质；直线与平面所成角的求解．【方法点晴】本题主要考查了直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面所成角的求解，熟练掌握线面位置关系的判定定理与性质定理是解答基础，同时根据题设条件确定直线与平面所成的角是解答的关键，本题的第二问的解答中，根据平面，可以确定为直线与平面所成的角，可放置在BE ⊥PBC FEB ∠EF PBC 中，即计算直线与平面所成的角的正弦值．Rt EBF ∆EF PBC 22．如图所示，四边形OAPB 中，OA ⊥OB ，PA +PB =10，∠PAO =∠PBO ，∠APB =，56π设∠POA =α，△AOB 的面积为.S （1）用α表示OA 和OB ；（2）求△AOB 面积S 的最大值．（1），；，；（2）π10sin()3sin cos OA ααα+=+π(0,)2α∈π10sin()6sin cos OB ααα+=+π(0,)2α∈【分析】（1）在和中分别利用正弦定理可求得，从而AOP BOP △10sin sin cos AP ααα=+得，在和中再一次分别利用正弦定理可求得OA 和10cos sin cos BP ααα=+AOP BOP △OB ；（2）由（1）表示出，50AOB S = sin cos t αα=+将上式转化为可求出结果25AOB S=π4t α=+∈【详解】解：（1）在中，由正弦定理得．AOP sin sin AP OPPAO α=∠在中，由正弦定理得．BOP △πsin sin()2BP OPPBOα=∠-因为∠PAO =∠PBO ，PA +PB =10，所以，10sin cos AP APαα-=则，．10sin sin cos AP ααα=+10sin 10cos 10sin cos sin cos BP αααααα=-=++因为四边形OAPB 内角和为2，可得∠PAO =∠PBO =，π3π在中，由正弦定理得，AOP sin sin AP OAAPO α=∠即，10πsin cos sin()3OAααα=++所以，π10sin()3sin cos OA ααα+=+π(0,)2α∈在中，由正弦定理得即，BOP △sin sin BP OBBOP BPO =∠∠cos sin BP OB BPO α=∠则，10πsin cos sin()6OBααα=++所以，．π10sin()6sin cos OB ααα+=+π(0,2α∈（2）的面积AOB ππ10sin()10sin()113622sin cos sin cos S OA OB αααααα++=⋅=⋅⋅++=．50=设，．sin cos t αα=+π)4t α+∈则50S ==150(252=当时，即时，t =π4α=S 25=所以AOB。
2021年人教版小学数学一年级下册第三单元质量检测卷(一)(含答案)
梨
桃子
苹果
个数
5
_____
_____
（3）上面的水果一共有________个；水果个数最多的是________。
8．
(1) 按照卡片形状可以分为（________）类，其中（________）和（________）是一类，（________）
和（________）是一类。
(2) 按照动物名称可以分为（________）类，其中（________）和（________）是一类。 9．把同类物品的序号填在括号里。
人数 （2）按性别分一分填写下表．
性别 男孩 女孩 人数
20．填一填。
（1）填表。 图形 数量 （2）涂一涂。
（3）想一想。 （ ）最多，（
）最少，
比 多（
）个， 比 少（
）个。
参考答案 1．B 2．C 3．B 4．C 5．B 6．11 10 形状 长方形 圆形 11 10 7．√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 9 6 20 桃子 8．3 ① ④ ③ ⑤ 3 ② ③ 9．①⑧ ③④⑥ ②⑤⑦ 10．蔬菜：② ③ ④ ⑥ ⑦ ⑪ ⑫ 水果：① ⑤ ⑧ ⑨ ⑩ 11．服装：① ③ ⑤ ⑦ 玩具：② ④ ⑥ ⑧ 12．①③⑤ ②④⑥ ①② ③④ ⑤⑥ 13．①②、③④、⑤⑥ ①④、②⑤、③⑥
（2）Байду номын сангаас
；
（3） ； ；4；4
小明已经想出了一种分法：①③⑤
②④⑥
第二种：_________________________________
第三种：_________________________________
11．我会分。
三、连线题（8 分） 14．分一分，连一连。
2021-2022学年山东省聊城市聊城高一年级下册学期5月质量检测数学试题【含答案】
2021-2022学年山东省聊城市聊城第一中学高一下学期5月质量检测数学试题一、单选题1．下列四个选项中的命题是真命题的是（ ） A ．若四点不共面，则其中任意三点不共线 B ．空间中，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C ．空间中，两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D ．两个不重合的平面最多可将空间分成三个部分 【答案】A【分析】A 选项用反证法进行判断；BCD 选项根据空间图形的位置关系进行判断. 【详解】A 选项，对于空间中的4个点，若其中3个点共线，则这4个点共面， 此时与“四点不共面”矛盾，所以若四点不共面，则其中任意三点不共线，A 选项正确. B 选项，空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能异面，所以B 选项错误.C 选项，空间中，两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，不是平面图形，所以C 选项错误.D 选项，两个不重合的平面最多可将空间分成四个部分，D 选项错误. 故选：A2．16名跳高运动员参加一项校际比赛，成绩分别为1.70、1.65、1.68、1.69、1.72、1.59、1.60、1.67、1.74、1.78、1.55、1.56、1.64、1.76、1.75、1.79（单位：m ），则比赛成绩的75%分位数是（ ） A ．1.755 B ．1.75C ．1.745D ．1.74【答案】C【分析】将数据由小到大排列，结合百分位数的定义可求得结果.【详解】将成绩由小到大进行排列：1.55、1.56、1.59、1.60、1.64、1.65、1.67、1.68、1.69、1.70、1.72、1.74、1.75、1.76、1.78、1.79， 160.7512⨯=，故比赛成绩的75%分位数是1.74 1.751.7452+=. 故选：C.3．下列说法中正确的是（ ） A ．若//,a b αα⊂，则//a bB ．平面α内ABC 的三个顶点到平面β的距离相等，则α与β平行 C ．若//,//,a a b b αβ⊥，则αβ⊥D ．若//αβ，//a α，则//a β 【答案】C【分析】根据线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A 选项，//,a b αα⊂，则a 与b 可能异面，所以A 选项错误. B 选项，平面α内ABC 的三个顶点到平面β的距离相等， 则α与β可能相交，所以B 选项错误. C 选项，由于,//b a b β⊥，所以a β⊥；由于//a α，根据线面平行的性质可知，在平面α内，存在直线//c a ， 则,c c βα⊥⊂，所以αβ⊥，所以C 选项正确.D 选项，//αβ，//a α，则a 可能在平面β内，所以D 选项错误. 故选：C4．若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且()23P A a =-，()122P B a =-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,43⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】根据互斥事件的知识列不等式，由此求得a 的取值范围. 【详解】由于,A B 互斥，且,A B 发生的概率均不为0， 所以0231102121023212a a a a ⎧⎪<-<⎪⎪<-<⎨⎪⎪<-+-≤⎪⎩，解得1223a ≤<，所以a 的取值范围是12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D5．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1BC =，12AA =，E 为1CC 的中点，则异面直线1AB 与BE 所成角的大小是（ ） A ．90 B ．60C ．45D ．30【答案】B【分析】取1DD 的中点F ，连接AF 、EF 、1B F 、11B D ，分析可知异面直线1AB 与BE 所成角为1B AF∠或其补角，计算出1B AF △三边边长，可求得1cos B AF ∠的值，即可得解. 【详解】取1DD 的中点F ，连接AF 、EF 、1B F 、11B D ，如下图所示：因为11//CC DD 且11CC DD =，E 、F 分别为1CC 、1DD 的中点，则//CE DF 且CE DF =， 所以，四边形CDFE 为平行四边形，所以，//EF CD 且EF CD =， 因为//AB CD 且AB CD =，//EF AB ∴且EF AB =， 故四边形ABEF 为平行四边形，所以，//BE AF ， 所以，异面直线1AB 与BE 所成角为1B AF ∠或其补角，由勾股定理可得222AF AD DF =+=221122AB AB BB =+=2211116B F B D D F +22211AF B F AB ∴+=，则1AF B F ⊥，所以，111cos 2AF B AF AB ∠==，因为10180B AF <∠<，故160BA F ∠=. 因此，异面直线1AB 与BE 所成角的大小是60. 故选：B.6．下列命题正确的是（ ）A ．事件A 、B 满足()()1P A P B +=，则A 、B 是对立事件 B ．互斥事件一定是对立事件C ．若事件A 、B 、C 两两互斥，则()()()1P A P B P C ++=D ．若A B ⋂为不可能事件，则()()()P A B P A P B =+ 【答案】D【分析】利用特例可判断A 选项；利用互斥事件与对立事件的关系可判断B 选项；利用互斥事件的概率加法公式可判断C 选项；利用并事件的概率公式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，例如，在编号为1、2、3、4、5的小球中任取一球，定义事件:A 所抽小球的编号不小于3，定义事件:B 所抽小球编号不小于4， 则B A ⊆，且()()32155P A P B +=+=，A 错；对于B 选项，互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件，B 错；对于C 选项，若事件A 、B 、C 两两互斥，则()()()()1P A P B P C P A B C ++=≤，C 错； 对于D 选项，若A B ⋂为不可能事件，则()()()()()()P A B P A P B P A B P A P B =+-=+，D 对. 故选：D7．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，2BC =，PC 与平面PAB 所成的角为o 30，则该四棱锥外接球的体积为（ ） A ．43π3B ．43πC ．82π3D ．83π3【答案】C【分析】判断出PC 是外接球的直径，求得PC ，从而计算出外接球的体积. 【详解】由于PA ⊥平面ABCD ，,BC CD ⊂平面ABCD ，所以,PA BC PA CD ⊥⊥， 由于四边形ABCD 是矩形，所以,BC AB CD AD ⊥⊥， 由于,,PA AB A PA AB ⋂=⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ， 由于PB ⊂平面PAB ，所以BC PB ⊥；同理可证得CD PD ⊥， 所以PC 是外接球的直径.由BC ⊥平面PAB 可知：CPB ∠是PC 与平面PAB 所成的角， 所以30CPB ∠=︒，所以222PC BC ==. 所以外接球的半径为122PC =，所以外接球的体积为()34π82π233⨯=. 故选：C8．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且1EF =，以下结论不正确．．．的有（ ）A ．AC BE ⊥B ．异面直线,AE BF 所成的角为定值C ．二面角A －EF －B 的大小为定值D ．三棱锥A BEF -的体积是定值 【答案】B【分析】先判断AC ⊥平面11BDD B ，对选项逐一分析，结合线线垂直、异面直线所成角、二面角、三棱锥的体积的知识确定正确答案. 【详解】连接11,,,AD AC BD AB ，设AC BD O =，则AC BD ⊥，根据正方体的性质可知1AC BB ⊥，由于11,,BB BD B BB BD ⋂=⊂平面11BDD B ，所以AC ⊥平面11BDD B ， 由于BE ⊂平面11BDD B ，所以AC BE ⊥，所以A 选项正确. 过E 作//EG BF ，交BD 于G ，连接AG ， 由于//EF BG ，所以四边形GBEF 是平行四边形，所以//BF GE ，所以AEG ∠是异面直线,AE BF 所成的角（或其补角），在AEG △中，AG 是定值，E 点在线段11B D 上运动（非圆弧），所以AEG ∠不是定值， 所以B 选项错误.平面AEF 也即是平面11AB D ，当EF 运动时，平面11AB D 不变，平面BEF （即平面11BDD B ）也不变，所以二面角A EF B --的大小为定值，C 选项正确. 由上述分析可知AO ⊥平面BEF ，13A BEF BEFV SAO -=⨯⨯，由于三角形BEF 的面积和AO 的面积为定值，所以三棱锥A BEF -的体积为定值，D 选项正确. 故选：B二、多选题9．设α，β为两个不同的平面，则//αβ的充分条件可以是（ ） A ．α内的所有直线都与β平行 B ．β内有无数条直线与α平行 C ．α和β都平行于同一平面γ D ．α和β平行于同一条直线【答案】AC【分析】根据线面平行、面面平行的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，若α内的所有直线都与β平行，则α与β没有公共点，所以//αβ，A 选项正确. B 选项，若β内有无数条直线与α平行，则α与β可能相交，B 选项错误.C 选项，若α和β都平行于同一平面γ，则α与β没有公共点，所以//αβ，C 选项正确.D 选项，若α和β平行于同一条直线，则α与β可能相交，D 选项错误. 故选：AC10．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12CC =，点E ，F ，G 分别为棱CD ，1DD ，1CC 的中点，则下列结论中正确的有（ ）A ．11A G C F ⊥B ．1//A G 平面AEFC ．11//AE A CD ．点D 到平面AEF【答案】ABD【分析】以D 为原点，分别以1DA DC DD 、、所在直线为x y z 、、轴建立空间直角坐标系，求出 1AG 、1C F 的坐标，求数量积可判断A ；求出1AG 、平面AEF 的一个法向量的坐标，由线面平行的向量求法可判断B ；求出11AC 、AE 的坐标，根据向量共线的条件可判断C ；利用点到平面的距离的向量求法可判断D.【详解】以D 为原点，分别以1DA DC DD 、、所在直线为x y z 、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()11,0,2A ，()0,1,1G ，()0,0,1F ，()10,1,2C ，对于A ，()11,1,1=--AG ，()10,1,1=--C F ，所以11110⋅=-=AG C F ，即11⊥AG C F ，所以11AG C F ⊥，故A 正确； 对于B ，()1,0,0A ，()0,0,1F ，10,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，()11,0,2A ，()0,1,1G ，()11,1,1=--AG ，()1,0,1=-FA ，10,,12⎛⎫=- ⎪⎝⎭FE ， 设()111,,m x y z =为平面AEF 的一个法向量，所以00m FA m FE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11110102x z y z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令12y =，则111x z ==，所以()1,2,1m =，所以11210⋅=-+-=m AG ，1⊥m AG ，所以1//A G 平面AEF ，故B 正确； 对于C ， ()1,0,0A ，10,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，()11,0,2A ，()10,1,2C ，()111,1,0=-AC ，11,,02AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以11≠AC t AE ，所以AE 与11A C 不平行，故C 错误； 对于D ，平面AEF 的一个法向量为()1,2,1m =，()1,0,0DA =，所以点D 到平面AEF的距离为1⋅==DA m d mD 正确. 故选：ABD ，11．某校高二年级有男生600人，女生400人，张华按男生、女生进行分层，通过分层抽样的方法，得到一个总样本量为100的样本，计算得到男生、女生的平均身高分别为170cm 和160cm ，方差分别为15和30，则下列说法正确的有（ ）A ．若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则男生、女生分别应抽取60人和40人；B ．若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则样本的方差为37.8；C ．若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则样本的平均数为166，此时可用样本平均数估计总体的平均数；D ．若张华采用等额抽取，即男生、女生分别抽取50人，则某男生甲被抽到的概率为110. 【答案】AC【分析】根据分层抽样、方差、平均数、古典概型等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A 选项，男生抽取60010060600400⨯=+，女生抽取106040-=人，A 选项正确.C 选项，样本平均数为6040170160166100100⨯+⨯=，可以用样本平均数估计总体的平均数，C 选项正确.B 选项，样本方差为()()2260401517016630160166100100⎡⎤⎡⎤+-++-⎣⎦⎣⎦931324555=+=，所以B 选项错误. D 选项，男生甲被抽到的概率为50160012=，D 选项错误. 故选：AC12．已知在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形且60BAD ∠=︒，四边形11AAC C 是边长6的正方形，点P 为底面ABCD 内一动点（不包含边界），满足1//B P 平面11DA C ，则下列说法正确的是（ ）A ．异面直线BC 1与1A D 所成角为90︒B ．任意点P 均满足1BD A P ⊥C ．三棱锥111D A C D -D ．点P 【答案】BC【分析】首先分析直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长，然后根据线线角、线线垂直（线面垂直）、锥体体积、动点轨迹等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形且60BAD ∠=︒，四边形11AAC C 的正方形，1111AA BB CC DD AC =====所以,ABD BCD 是等边三角形，设AC BD O =，则tan 30OA OC OB OD ====︒==所以AB BC CD AD ====对于A 选项，根据直四棱柱的性质可知11//A D B C ，设111BC B C O ⋂=，则1BO C ∠是异面直线BC 1与1A D 所成角（或其补角），11B C BC ===11O B OC BC === 所以三角形1BO C 是等边三角形，所以160BO C ∠=︒，所以A 选项错误. 根据直棱柱的性质可知1111//,//AC AC A D B C ，由于11A C ⊄平面1B AC ，AC ⊂平面1B AC ，所以11//A C 平面1B AC ； 同理可证得1A D//平面1B AC ；由于1111111,,AC A D A AC A D ⋂=⊂平面11DA C ， 所以平面11//DAC 平面1B AC ，由于1//B P 平面11DA C ，且P 为底面ABCD 内一动点（不包含边界），所以P 的轨迹是线段AC ，所以点P 的轨迹长度是AC =D 选项错误. 由于四边形ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥， 根据直棱柱的性质 1AA BD ⊥，由于11,,AA AC A AA AC ⋂=⊂平面11AAC C ，所以BD ⊥平面11AAC C ，由于1A P ⊂平面11AAC C ，所以1BD A P ⊥，所以B 选项正确. 1111111111222sin12063322D A C D A C D V SDD -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯︒⨯=，所以C 选项正确. 故选：BC三、填空题13．已知长方体1111ABCD A B C D -中，点A 在平面1A BD 上的射影为O ，则点O 是1A BD 的_______心. 【答案】垂【分析】连接DO 延长交1A B 于F ，连接1A O 延长交DB 于E ，利用线面垂直的性质可得1AA DB ⊥，⊥AO DB ，再由线面垂直的判定定理可得DB ⊥平面1A AO ，从而1A E DB ⊥，同理可得1⊥A B DF ，从而点到答案.【详解】连接DO 延长交1A B 于F ，连接1A O 延长交DB 于E ， 因为1AA ⊥平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ，所以1AA DB ⊥， 因为AO ⊥平面1A BD ，DB ⊂平面1A BD ，所以⊥AO DB ， 又1AA AO A ⋂=，1、⊂AA AO 平面1A AO ，所以DB ⊥平面1A AO ， 1A E ⊂平面1A AO ，所以1A E DB ⊥，因为AD ⊥平面1AA B ，1A B ⊂平面1AA B ，所以1AD A B ⊥， 因为AO ⊥平面1A BD ，1A B ⊂平面1A BD ，所以1AO A B ⊥， 又=ADAO A ，、⊂AD AO 平面ADO ，所以1A B ⊥平面ADO ，DF ⊂平面ADO ，所以1⊥A B DF ，则点O 是1A BD 的垂心. 故答案为：垂.14．两位男同学和两位女学生随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是______. 【答案】12【分析】利用捆绑法可求得两位女同学相邻的排法数；通过全排列求得四位同学排成一列的排法总数，根据古典概型概率公式求得结果.【详解】两位女同学相邻的排法共有：23232612A A =⨯=种排法四位同学排成一列共有：4443224A =⨯⨯=种排法∴两位女同学不相邻的概率：121242p == 本题正确结果：12【点睛】本题考查古典概型求解概率问题，关键是能够利用排列的知识求解出符合题意的排法数和总体的排法数，涉及到利用捆绑法解决排列中的相邻问题.15．已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =4，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为23那么点P 到平面ABC 的距离为___________. 【答案】2【分析】通过线线垂直、线面垂直以及勾股定理等知识求得P 到平面ABC 的距离. 【详解】设P 在平面ABC 内的射影为O ，则OP ⊥平面ABC ， 由于,,AC BC OC ⊂平面ABC ，所以,,OP AC OP BC OP OC ⊥⊥⊥， 过O 作,OE AC OF BC ⊥⊥，垂足分别为,E F ， 由于90ACB ∠=︒，所以四边形OECF 是矩形.由于,,OE OP O OE OP ⋂=⊂平面POE ，所以CE ⊥平面POE ，PE ⊂平面POE ，所以CE PE ⊥；同理可证得CF PF ⊥.所以()224232CE CF ==-=，222222OC =+=，()2242222OP =-=，即P 到平面ABC 的距离是22.故答案为：2216．已知二面角l αβ--的大小为o 60，点A α∈，AC l ⊥，C 为垂足，点B β∈，BD l ⊥，D 为垂足. 若3CD =，1AC BD ==，则AB =_______. 【答案】2【分析】以DB 、DC 为邻边作平行四边形BDCE ，连接AE 、AB ，分析可知二面角l αβ--的平面角为60ACE ∠=，推导出BE AE ⊥，求出AE 、BE 的长，利用勾股定理可求得AB 的长. 【详解】以DB 、DC 为邻边作平行四边形BDCE ，连接AE 、AB ，如下图所示：因为四边形BDCE 为平行四边形， 则//CE BD 且1CE BD ==，3BECD ==//BE CD ，因为BD l ⊥，则CE l ⊥，又因为AC l ⊥， 所以，二面角l αβ--的平面角为60ACE ∠=，因为1AC CE ==，故ACE △为等边三角形，所以，1AE =，AC CD ⊥，CE CD ⊥，则BE AC ⊥，BE CE ⊥，AC CE C =，AC 、CE ⊂平面ACE ，BE ∴⊥平面ACE ， AE ⊂平面ACE ，BE AE ∴⊥，222AB AE BE ∴=+=.故答案为：2.四、解答题17．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14,2AB AD AA ===.(1)求直线1AA 与平面11BDD B 的距离； (2)求四棱锥11A BDD B -的体积； 【答案】45(2)163【分析】（1）先证得1//AA 平面11BDD B ，然后利用等面积法求得直线1AA 与平面11BDD B 的距离. （2）根据锥体体积公式求得正确答案.【详解】（1）由于111//,AA BB AA ⊄平面111,BDD B BB ⊂平面11BDD B ， 所以1//AA 平面11BDD B . 过A 作AH BD ⊥，垂足为H ， 根据长方体的性质可知1BB AH ⊥， 由于11,,BDBB B BD BB =⊂平面11BDD B ，所以AH ⊥平面11BDD B ，在直角三角形ABD 中，224225BD +=1122ABDS AB AD BD AH =⨯⨯=⨯， 解得45AH =1AA 与平面11BDD B 45（2）由（1）知，四棱锥11A BDD B -的高为45AH =， 所以()111451625233A BDDB V -=⨯=.18．如图，在ABC 中，90A ∠=，30C ∠=，4BC =，沿中线AD 将CAD 翻折成EAD 使得平面EAD ⊥平面ABD ，设F 为AD 的中点.(1)求线段BE 的长；(2)求直线BE 与平面ADE 所成角的正切值. 【答案】10 21【分析】（1）推导出BF ⊥平面ADE ，可得出BE EF ⊥，利用余弦定理以及勾股定理可求得线段BE 的长；（2）利用线面角的定义可知BEF ∠即为直线BE 与平面ADE 所成的角，在Rt BEF △中可求得BEF ∠的正切值，即为所求.【详解】（1）翻折前，在ABC 中，90A ∠=，30C ∠=，则60B ∠=， 且12AD BC BD ==，故ABD △是正三角形， 翻折后，连接EF ，仍有ABD △是正三角形，而F 为AD 的中点，所以，BF AD ⊥， 且2sin 603BF ==如图，在AEF △中，1AF =，AE 3=30EAD =∠，由余弦定理得：2222cos7EF AF AE AF AE EAD=+-⋅∠=，因为平面EAD⊥平面ABD，平面EAD平面ABD AD=，BF AD⊥，BF⊂平面ABD，所以BF⊥平面EAD，而EF⊂平面EAD，故BF EF⊥，则有22210EF BF BE+==，即10BE=（2）由（1）知，BF⊥平面EAD，则BEF∠即为直线BE与平面ADE所成的角，在Rt BEF△中，7EF=3BF=321 tan7BFBEFEF∠==所以直线BE与平面ADE所成角的正切值为21 7.19．一个信箱里装有标号为1，2，3，4的4封大小完全相同的信件，先后随机地选取2封信，根据下列条件，分别求2封信上的数字为不相邻整数的概率.(1)信的选取是无放回的；(2)信的选取是有放回的.【答案】(1)12(2)5 8【分析】（1）根据“无放回”选取，利用列举法，结合古典概型概率计算公式、对立事件概率计算公式，计算出正确答案.（2）根据“有放回”选取，利用列举法，结合古典概型概率计算公式计算出正确答案.【详解】（1）记事件A为“选取的2封信上的数字为相邻整数”．从4封信中无放回地随机选取2封，则试验的样本空间Ω={（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）}，共有12个样本点，这12个样本点出现的可能性是相等的，A={（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）}，包含6个样本点．由古典概型的概率计算公式知61 ()122P A==，故无放回地选取2封信，这2封信上数字为不相邻整数的概率为11 122 -=.（2）从4封信中有放回地随机选取2封，则试验的样本空间Ω={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）}，共有16个样本点，这16个样本点出现的可能性是相等的．A={（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）}，包含6个样本点，且这6个样本点出现的可能性是相等的．由古典概型的概率计算公式知63 ()168P A==，故有放回地选取2封信，这2封信上数字为不相邻整数的概率为35 188 -=.20．共享单车入驻某城区5年以来，因其“绿色出行，低碳环保”的理念而备受人们的喜爱，值此5周年之际，某机构为了了解共享单车使用者的年龄段、使用频率、满意度等三个方面的信息，在全市范围内发放10000份调查问卷，回收到有效问卷6300份，现从中随机抽取160份，分别对使用者的年龄段、26～35岁使用者的使用频率、26～35岁使用者的满意度进行汇总，得到如下三个表格：表（一）表（二）表（三）(1)依据上述表格完成下列三个统计图形：(2)某城区现有常住人口80万，请用样本估计总体的思想，试估计年龄在26岁～35岁之间，每月使用共享单车在7～14次的人数.【答案】(1)答案见解析(2)10（万人）【分析】（1）依据表格完成三个统计图形即可；（2）由表（一）年龄在26岁～35岁之间的人数占总抽取人数的比估算80万人口中年龄在26岁～35岁之间的人数即可；由表（二）年龄在26岁～35岁之间每月使用共享单车在7～14次之间的人数占总抽取人数的比来估算年龄在26岁～35岁之间的40万人中每月使用共享单车在7～14次之间的人数可得答案.【详解】（1）（2）由表（一）可知年龄在26岁～35岁之间的有80人，占总抽取人数的12，所以80万人口中年龄在26岁～35岁之间的约有180402⨯=（万人）．由表（二）可知，年龄在26岁～35岁之间每月使用共享单车在7～14次之间的有20人，占总抽取人数的12，所以年龄在26岁～35岁之间的40万人中，每月使用共享单车在7～14次之间的约有140104⨯=（万人） 21．如图，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，BD DC ⊥，点E 是BC 的中点. 将ABD △沿BD 折起，使AB AC ⊥，连接AE 、AC 、DE ，得到三棱锥A BCD -.(1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若2,23AB AD CD ===B AD E --的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2)60︒.【分析】（1）通过证明,AB CD BD CD ⊥⊥来证得CD ⊥平面ABD . （2）作出二面角B AD E --的平面角，解三角形求得平面角的大小. 【详解】（1）由于,,,,AB AC AB AD AC AD A AC AD ⊥⊥⋂=⊂平面ACD ， 所以AB ⊥平面ACD .由于CD ⊂平面ACD ，所以AB CD ⊥. 由于,,,BD CD ABBD B AB BD ⊥=⊂平面ABD ，所以CD ⊥平面ABD .（2）分别取,BD AD 的中点,F G ，连接,,EF FG GE ， 由于,E F 分别是,BC BD 的中点，所以//EF CD ， 由于CD ⊥平面ABD ，所以EF ⊥平面ABD ， 由于,AD FG ⊂平面ABD ，所以,EF AD EF FG ⊥⊥. 由于,G F 分别是,AD BD 的中点，所以//FG AB ， 由于AB AD ⊥，所以FG AD ⊥，由于,,EF FG E EF FG ⋂=⊂平面EFG ，所以AD ⊥平面EFG ， 所以EGF ∠是二面角B AD E --的平面角. 在Rt EFG △中，113,122EF CD FG AB ====，所以tan 3EFEGF FG∠==，则EGF ∠为锐角，且60EGF ∠=︒， 所以二面角B AD E --的平面角为60︒.22．如图，四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，12AD BC =，点E 为PC 上一点，F 为PB 的中点，且//AF 平面BDE .(1)若平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，求证：//l 平面ABCD ；(2)求证：//AF DE . 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）结合线面平行的判定定理和性质定理证得：//l 平面ABCD . （2）结合线面平行的性质定理和三角形重心的知识证得：//AF DE .【详解】（1）∵//BC AD ，AD ⊂平面,PAD BC ⊄平面PAD ，∴//BC 平面PAD . ∵BC ⊂平面PBC ，平面PBC ⋂平面PAD l =，∴//BC l . ∵BC ⊂平面,ABCD l ⊄平面ABCD ， ∴//l 平面ABCD . （2）连接,AC FC ，设ACBD O =，FC BE M ⋂=，连接OM ，∵//AF 平面,BDE AF ⊂平面AFC ，平面AFC 平面BDE OM =，∴//AF OM ， ∵//AD BC ，12AD BC =，所以12AO AD OC BC ==， ∴12FM AO MC OC ==， ∴点M 是PBC 的重心， ∴点E 是PC 的中点， ∴12EM DOMB OB==， ∴//OM DE ， ∴//AF DE .。
青山区2020-2021学年度第一学期一年级期末考试数学试卷
1、小明有5个苹果，他给了小红2个，现在还剩下几个苹果？A、1个B、2个C、3个D、5个（解析：小明原来有5个苹果，给出2个后，应计算5-2=3，所以剩下3个苹果。
）（答案）C2、下列哪个数字是最大的？A、7B、9C、5D、3（解析：直接比较数字大小，9是这些选项中的最大值。
）（答案）B3、一个正方形的四条边都相等，如果一条边长是4厘米，那么它的周长是多少厘米？A、8厘米B、12厘米C、16厘米D、20厘米（解析：正方形的周长是其四条边之和，每条边4厘米，所以周长为4×4=16厘米。
）（答案）C4、小华家养了3只猫，每只猫有4只脚，小华家的猫一共有多少只脚？A、6只B、8只C、12只D、16只（解析：每只猫有4只脚，3只猫则共有3×4=12只脚。
）（答案）C5、下列哪个图形有五个角？A、三角形B、正方形C、五边形D、圆形（解析：三角形有3个角，正方形有4个角，五边形有5个角，圆形没有直角或明确的角。
）（答案）C6、小明的书包重2公斤，他又放了一本1公斤的书进去，现在书包总共重多少公斤？A、1公斤B、2公斤C、3公斤D、4公斤（解析：原重量2公斤加上新增的1公斤，总重量为2+1=3公斤。
）（答案）C7、如果今天是星期一，那么后天是星期几？A、星期二B、星期三C、星期四D、星期五（解析：从星期一开始计算，后天即两天后，是星期三。
）（答案）B8、小丽买了6支铅笔，每支铅笔2元，她一共花了多少钱？A、8元B、10元C、12元D、14元（解析：6支铅笔，每支2元，总花费为6×2=12元。
）（答案）C。
2020-2021 学年度第一学期小学数学期末测试题(含答案))
滨州市小学数学名师工作室绝密★启用前2020-2021 学年度第一学期小学数学期末模拟测试考试范围：二年级考试时间：60 分钟一、填空题1. 明明今年 7 岁，妈妈的年龄是他的 5 倍，妈妈今年（）岁．2. 小刚夜晚在野外迷路了，他用北极星来辨认方向，当他面对北极星时，他的左面是（），他的右面是（ ），他的前面是（ ），他的后面是（）． 3．王雷将自己的 24 本作业本捐给幼儿园的小朋友，每个小朋友分 4 本，可以分给（）个小朋友；如果分给 8 个小朋友，平均每个小朋友分（ ）本．4．（ ）里最大能填几?()×4＜19 8×（ ）＜20 6×( )＜3248＞（ ）×7 7×（ ）＜3265＞8×（）5. 看图写出两个乘法算式和两个除法算式．（）×（ ）=（ ） （ ）÷（ ）=（ ）（）×（）=（）（）÷（）=（）6. 为了丰富校园生活，班级举行“新年联欢”。
王老师买来气球，每 6 个扎一捆，一共扎了 7 捆，还剩下 3个，一共买了（ ）个气球．7．这个图形中有（ ）个锐角，（ ）个直角，（ ）个钝角.二、选择题．（将正确答案的序号填在括号里．） 8．与算式 3×6－5 的结果不相等的算式是（）． A ．2×6＋1 B ．3×5－2 C ．4×6－69．□×5=（）．13.数一数，包含的平行四边形有（ ）个.A ．3B ．4C ． 514. 小霞的爸爸每周上 5 天班，4 周休息的天数是（）天．A ．8B ．9C ． 20三、计算题15. 看谁算的又对又快！3×6= 36÷6= 5×2= 6+6= 7×9= 6×0= 40÷8= 5×4= 42÷7=4×7= 0÷9 = 18-2= 5×7+7= 7×8-8= 42÷7÷2= 2×3×4=3×8÷6=64÷8-2=24÷4×7=5×9+10=16．在圆圈里填上“＞”“＜”或“＝”．5×66＋6 3×7 2×8 5×4－5 30÷549÷7×664÷8×77×8－86×88×4÷84×6÷8四、思考题17. 画一画，你对“2×4”的理解 .18. “8÷2”可以画图表示为 请你画一画对“12÷3”的理解.A ．□＋5B ．□＋□＋□＋□＋□C ．□×□×□×□×□10. 王老师带领 20 位同学去野外露营，5 个帐篷能住下吗？（）A ．能B ．不能最多住 4 人11. 钝角一定大于锐角，这种说法对吗？（）A ．对B ．不对12. 小丽为山区学生捐献爱心彩笔，买一盒彩笔付给售货员 5 张 5 元，找回的钱不到 5 元，这盒彩笔的价格可能是多少元？（ ）A ．20B ．23C ． 25学校班级姓名考场座号滨州市小学数学名师工作室19.丽丽回奶奶家过年，丽丽发现奶奶家鸡的只数是鸭只数的3 倍，请你画图表示一下鸡和鸭只数的关系.（鸡：用 表示鸭：用△表示）鸡的只数：鸭的只数：滨州市小学数学名师工作室我 把 我 把 23. 蛋糕包装问题：天天小朋友要回家了，奶奶给他准备了好多面包让他带回家吃。
2021--2022学年第一学期期末质量检测数学试卷一
2021--2022学年第一学期期末质量检测《19数学》理论试题（ 2019级用）注意事项：1.本试卷共4页，100分。
考试时长60分钟。
2.考生务必将自己的姓名、考号等信息填涂在本试卷和答题卡的相应位置；3.作答时，将选择题和判断题答案按要求涂写在答题卡上，涂写在本试卷上无效；一卷一、单项选择题（每小题3分，共60分）1．一个口袋内有3个不同的白球、5个不同的黑球和8个不同的红球，若从中任取一个球，共有（）种不同的取法．（A）70 （B）17 （C）16 （D）142．一座山的南面有4条路，北面有3条路，这7条路均通往山顶．某人随意选择一条路爬到山顶，再选择另外一条路下山，共有不同的爬山路线（）（A）7条（B）12条（C）42条（D）49条3．二次函数y＝ax2＋bx＋1，其中a，b∈{0，1，2，3}，由此可以得到不同的二次函数的个数为（）（A）8 （B）12 （C）16 （D）74．抛掷两枚质地均匀的硬币，观察正面向上还是反面向上，这一随机试验的样本空间中基本事件的个数是（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）45．袋中有2个黑球和2个白球，从中任意摸取2个球，恰好1黑1白的概率是（）（A）16（B）13（C）23（D）346．甲、乙、丙三位同学计划利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，则甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（）（A ）29 （B ）23 （C ）14 （D ）127．某学校为了解一年级1 500名新入学同学的视力情况，从中随机抽取100名同学进行分析，在这个试验中，下列说法正确的是( )．（A ）1 500名同学是总体 （B ）100名同学是样本（C ）每名同学是个体 （D ）样本容量是1008．在一个容量为502的总体中，要利用系统抽样抽取一个容量为50的样本，那么总体中随机剔除个体的数目是（ ）．（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）209．某单位共有老、中、青职工500人，其中青年职工250人，中年职工180人，老年职工70人．为了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法抽取50人进行调查，则该样本中的老年职工人数为( )．（A ）9 （B ）18 （C ）7 （D ）2510．甲、乙两名射击运动员，在一次连续10次的射击中，他们所射中环数的平均数一样，但方差不同，下列说法正确的是（ ）．（A ）因为他们所射中环数的平均数一样，所以他们水平相同（B ）虽然射中环数的平均数一样，但方差较大的，潜力较大，更有发展前途（C ）虽然射中环数的平均数一样，但方差较小的，发挥较稳定，更有发展前途（D ）虽然射中环数的平均数一样，但方差较小的，发挥不稳定，忽高忽低11． 75cos 的值等于（ ）．（A ）426+ （B ） 226+ （C ） 42-6 （D ）22-6 12．12cos 12sin 22ππ-的值等于（ ）． （A ）23 （B ）21 （C ）23- （D ）21- 13．在△ABC 中， 60A 6b 3===，，a ，则B ＝（ ）．（A ）15°（B ）30° （C ）45° （D ）90°14．在△ABC 中，132b 2+===c a ，，，则cos A ＝（ ）.（A ）23 （B ）22 （C ）21 （D ）0 15．若3tan =α，则)4tan(πα-的值为（ ）． （A ）2 （B ）－2 （C ）21 （D ）－21 16．化简 αα22sin 211cos 2-- 为（ ）． （A ）sin α （B ）cos α （C ）1（D ）－117．若2sin B cos C ＝sin A ，则△ABC 为（ ）． （A ）直角三角形 （B ）等边三角形（C ）等腰三角形 （D ）等腰直角三角形18．在△ABC 中，符合余弦定理的是（ ）．（A ）c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C （B ）c 2＝a 2－b 2－2bc cos A（C ）b 2＝a 2－c 2－2bc cos A （D ）cos C ＝a 2＋b 2＋c 22ab19．函数y ＝cos 2 x 2－sin 2 x 2是（ ）． （A ）奇函数 （B ）偶函数（C ）非奇非偶 （D ）既是奇函数又是偶函数20．已知△ABC 的三边长a ＝3，b ＝5，c ＝6，则△ABC 的面积为（ ）．（A ）14 （B ）214 （C ）15 （D ）215二卷二、填空题（每小题4分，共20分）21．一个盒子里有4个不同的红球，6个不同的黑球和8个不同的白球．从盒子中任取红球、黑球、白球各一个，共有不同的取法___________种．22．用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的四位数，可以组成没有重复数字的个数是______________．23．了调查某班同学的平均身高，现从50名同学中随机抽取10名，可以采用的抽样方法是___________________．24．)4sin()4cos()4cos()4sin(απαπαπαπ-++-+可化简为_________________．25．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，C ＝30°，则三角形的面积S =_______________．三、简答题（共20分）26． 证明：θθθθθtan cos 2cos 1sin 2sin =-+- （本题6分）27 抛掷两枚大小、质地均匀的骰子，朝上一面点数之和恰好为6的概率是多少？（本题7分）28 已知),2(,54sin ππα∈=a ，求a 2sin ，a 2cos ，a 2tan 的值．（本题7分）答案：--试题1一、单项选择题（每题3分，共60分）1．C 2．C 3．B 4．D 5．C 6．D 7．D 8．C 9．C 10．C11．C 12．C 13．C 14．A 15．C 16．C 17．C 18．A 19．B 20．B二、填空题（每题4分，共20分） 21 192 22．120 23．简单随机抽样 24．1 25．5三、简答题（共20分）26．证明：因为 sin2θ－sin θ1＋cos2θ－cos θ＝2sin θ（cos θ－1）2cos(cos θ－1)＝tan θ＝右边， 所以原式成立．27．解：基本事件总数n ＝6×6＝36，每次抛掷骰子的机会都是相等的.设“朝上一面点数之和恰好为6”为事件A ，则事件A 包含的基本事件是（1,5），（2,4），（3,3），（4,2），（5,1），即m ＝5，因此，P （A ）＝536．28．解：因为),2(,54sin ππα∈=a ， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－35， 所以 sin2α＝2sin αcos α＝2×45×（－35）＝－2425，cos2α＝1－2 sin 2α＝1－2×（45）2＝－725，tan2α＝sin2α cos2α＝－2425－725＝247.。
2021年一年级下册数学试题-第二单元测试(含答案)人教版 (5)
2021年一年级数学第二学期质量检测第二单元测试题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 附加题 总分得分一、圈一圈，算一算。
(6分)1. 15-9=□(个)2. 17-8=□(个)二、送小鸟回家。
(连一连)(10分)11-5 13-4 12-5 11-4 10-29 8 7 612-4 14-5 14-8 11-2 11-3三、看谁算得又快又准。
(6分)8+9= 15-8 6+7= 17-8= 11-8= 17-10= 9+7= 11-7+9=14-4+8= 16-9+8= 17-7-8= 6+5-9= 四、数一数，填一填。
(12分)1. 2.9个13-□=□ 9+□=□13-□=□ 13-□=□3. 4.11-□=□ 12-□=□ 3+□=□ 12-□=□ 五、计算下面得数。
(8分)17-9= 15-7= 12-8= 11-6= 15-9= 14-7= 16-8= 12-6= 11-9= 13-7= 13-8= 14-6= 14-9= 12-7= 19-8= 15-6= 六、比较大小。
(在○里填上“>”“<”或“=”)(9分)10-9○13-8 14-7○12-6 12-3○14-5 19-9○18-10 15-9○16-16 17-9○15-6 9+8○19-8 11-7○7+7 14-8○16-8有11个气球 飞走了3个七、我能摘下这些花。
(9分)12- =7 12- =4 11- =214- =8 16- =9 15- =913- =6 14- =5 17- =8八、我会选。
(15分)1.13○5=82. 19○19=014○6=8 16○8=83○6=9 ＋－ 7○8=1512○5=7 18○8=1017○4=13 19○5=6○816○10=14○8 14○9=13○8九、猜猜我是谁。
(6分)16比我多7。
我比15少8。
18减去9就是我。
我是□我是□我是□□○□＝□□○□＝□□○□＝□十、解决问题。
2021年-有答案-人教版一年级(上)期末数学检测卷(1)
2021年人教版一年级（上）期末数学检测卷（1）一、解答题（共1小题，满分8分）1. 先按要求在计数器上画珠子，再在□里写数。
从左数第1个数是由1个十和2个一组成的；从左数第2个计数器上一个珠子也没有；从右数第1个数是最大的一位数。
把这些数按从小到大的顺序排列。
________<________<________<________．二、填一填．（21分，每空1分）比少________，比多________．个位上是7，十位上是1，这个数是________．19的前一个数是________，后一个数是________．在〇里填上“>”“<”或“＝”．想一想。
第二个钟面上的时针应指向________，分针应指向________．星期日的前一天是星期________，后一天是星期________．（1）从右边数，苹苹是第9个，一共有________人。
（2）从左边数，淘淘排在第________个。
（3）从右边数，依依排第2个，苹苹和依依之间有________人。
要拼成一个大正方体（如图），至少还需要________个．三、按要求做一做．（11分）按要求画一画。
（1）画〇：〇和 同样多。
（2）画△:△比 多1个。
（3）画□：□比 少3个。
找朋友，填一填。
（1）先向________走________格，再向________走________格，就到了家。
（2）先向________走________格，再向________走________格，就到了家四、我会算．（21分）计算。
在▢里填上合适的数。
数一数，填一填。
________个________个________个六、解决问题．（31分）有15人在开会，给每人倒一杯水，还需要再倒多少杯水？黄霏霏原来有多少张卡片？一共有多少把伞？龙一鸣从下面物品中选了两样。
他可能花了多少钱？这一队一共有多少人？（1）一共有多少人？（2）你能提出其他数学问题并解答吗？七、附加题．（10分）把苹果都放到盒子里，正好放满哪两个盒子？在盒子下面画“√”．参考答案与试题解析2021年人教版一年级（上）期末数学检测卷（1）一、解答题（共1小题，满分8分）1.【答案】0,9,10,12【考点】整数的读法和写法整数大小的比较【解析】首先根据题意，由1个十和2个一组成的数是12，一个珠子也没有表示的数是0，最大的一位数是9，所以从左向右这4个数分别是12、0、10、9；然后根据整数大小比较的方法，把这些数按从小到大的顺序排列即可。