等腰三角形的性质和判定经典例习题
第 1 页 共 5 页 等腰三角形的性质和判定复习经典例习题
一、 知识梳理
知识点1：等腰三角形的性质定理1
（1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）
（2）符号语言： ∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）
（3）证明：取BC的中点D，连接AD
在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SSS）
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）
思考：你还有其它证法吗？
（4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。
知识点2：等腰三角形性质定理2
（1）文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”）
（2）符号语言：
∵AB=AC ∵AB=AC ∵AB=AC
∠1=∠2 （已知） AD⊥BC（已知） BD=DC（已知）
∴AD⊥BC，BD=DC （三线合一）∴∠1=∠2 BD=DC（三线合一）∴∠1=∠2 AD⊥BC（三线合一）
（3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。
说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相重合，如何添加要根据具体情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条”。
知识3：等腰三角形的判定定理
（1）文字语言：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）
（2）符号语言：
∵∠B=∠C （已知）
∴AB=AC（等角对等边）
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（3）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。
在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD （AAS）
∴AB=AC（对应边相等）
思考：你还有其它证法吗？
（4）定理的作用：证明同一个三角形中的边相等。
说明：①本定理的证明还有其他证明方法（如作顶角的平分线）。
②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：1、利用定义 2、利用定理。
二、 典型例题分析
例1、 有关等腰三角形的基本图形．
（1）如图3，若OD平分∠AOB，DE∥OB交OA于E．求证：EO＝ED．提问：这个结论的逆命题是否正确？
（2）如图 3，若 OD平分∠AOB， EO＝ED，求证： DE∥OB．
（3）如图 3，若 DE∥OB交OA于E， EO＝ED，求证： OD平分∠AOB．
（4）如图4，AD∥BC， BD平分∠ABC．求证： AB＝AD．
（5）已知：如图5（a），AB＝AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．问：
①图中有几个等腰三角形？
②如图5（b），若过D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，图中又增加了几个等腰三角形？
③如图5（c），若将第（2）题中的△ABC改为不等边三角形，其它条件不变，情况会如何？还可证出哪些线段的和差关系？
（6）如图6，若BD，CD分别平分∠ABC和∠ACB，过D作DE∥AB交BC于E，作DF∥AC交BC于F．求证：BC的长等于△DEF的周长．
例2. 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠ 第 3 页 共 5 页 C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B。
求证：△DEF是等腰三角形。
例3. 已知：如图，AC和BD相交于点O，AB∥CD，OA=OB，求证：OC=OD
例4. 求证：等腰三角形两腰上的中线相等
解：已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的中线
求证：BD=CE
三、巩固练习
1. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ）
A. 60° B. 120° C. 60°或150° D. 60°或120°
2. 在△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B的大小为 。
3. 如图，△ABC中AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（ ）
A. 30° B. 36° C.
95° D. 70°
4. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，那么∠ABC的大小是 （ ）
A. 40° B. 45° C.
50° D. 60°
5. 聪明的小明用含有30°角的两个完全相同的三角板拼成如图所示的图案，并发现图中有等腰三角形，请你帮他找出两个等腰三角形：
。
6. 如图，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2= 度。 第 4 页 共 5 页 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图
7、如图，ABAC，30BAD，且ADAE．求EDC的度数．
8．如图，点D、E在ABC的边BC上，ABAC，ADAE．
求证：BDCE
9.如图，ABC中，90ACB，CDBA于D，AE平分BAC交CD于F，交BC于E，求证：CEF是等腰三角形．
10．△ABC为非等腰三角形，分别以AB、AC为 腰 向△ABC外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，且∠DAB=∠EAC=90°．
求证：（1）BE=CD；（2）BE⊥CD．
11..已知：如图，△ABC中，D在AB上，E在AC延长线上，且BD＝CE，DE交BC于M，MD＝ME，求证：△ABC是等腰三角形． EMDCBA 第 5 页 共 5 页
专题1.1 等腰三角形的性质与判定【十大题型】(举一反三)(北师大版)(原卷版)
专题1.1 等腰三角形的判定与性质【十大题型】
【北师大版】
【题型1 根据等边对等角求角度】.......................................................................................................................1
【题型2 根据等边对等角证明】...........................................................................................................................2
【题型3 根据三线合一求解】...............................................................................................................................4
【题型4 根据三线合一证明】...............................................................................................................................5
【题型5 根据等腰三角形判定找出图中的等腰三角形】...................................................................................6【题型6 根据等角对等边证明等腰三角形】.......................................................................................................7
等腰三角形练习题(含答案)
等腰三角形练习题(含答案)
等腰三角形
第1课时：等腰三角形的性质
1.已知等腰三角形的一个底角为50°，则其顶角为80°。
2.如图，△ABC中，AB=AC，BC=6cm，AD平分∠BAC，则BD=3cm。
3.如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为45°。
4.已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为80°。
5.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB=AD=DC，∠BAD=40°，求∠C的度数为100°。
6.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE=AF。
证明：DE=DF。
第2课时：等腰三角形的判定
1.在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，则△ABC为钝角三角形。
2.已知△ABC中，∠B=50°，∠A=80°，AB=5cm，则AC=5cm。
3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且BD=DC，则△ABC为等腰三角形。
4.如图，已知△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD为∠ABC的平分线，则图中共有2个等腰三角形。
5.如图，D是△XXX的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，且DE=DF。证明：AB=AC。
6.如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，FG平分∠EFD交直线AB于点G。
证明：△EFG是等腰三角形。
等边三角形
第1课时：等边三角形的性质与判定
1.如图，a∥b，等边△ABC的顶点B，C在直线b上，则∠1的度数为60°。
2.在△ABC中，∠A=60°，现有下面三个条件：①AB=AC；②∠B=∠C；③∠A=∠B。能判定△ABC为等边三角形的有条件①、②、③。
3.如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，若AB=4，则AD=2.
4.如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，连接AD交BC于点E，求∠BAD的度数为75°。
初二等腰三角形性质及判定练习题
初二等腰三角形性质及判定练习题
等腰三角形是初中阶段的重要概念之一。以下是等腰三角形的性质及判定方法：
等腰三角形性质
- 定义：有两个角的角度相等的三角形被称为等腰三角形；
- 两边相等的角也是相等的；
- 等腰三角形的两条等边所对应的角被称为基角，另一个角被称为顶角；
- 基角的角平分线也是等边三角形的高线；
- 等腰三角形的顶角的角平分线与底边垂直，并且将底边平分。
等腰三角形判定方法
- 角角边（AAS）：已知等腰三角形两个角相等，且一个角的对边（边长相等）与已知的一条边相等；
- 边边角（SAS）：已知等腰三角形两边相等，且对应的角相等； - 等边角（SSS）：三角形三边相等。
判定题
练题如下：
1. 已知三角形ABC，其中AB = AC，角B = 40度，角A = 100度，求角C的度数；
2. 三角形DEF中，DE = EF，角F = 120度，角D = 30度，求角E的度数；
3. 三角形UVW中，UV = VW，VW = WU，求角U、角V、角W的度数；
4. 已知三角形XYZ，其中XZ = YZ，角X = 角Y = 70度，求角Z的度数。
以上是初二等腰三角形性质及判定练习题，希望对大家有所帮助！
初中数学专题复习等腰三角形的性质与判定精讲精练(含答案)
等腰三角形的性质与判定
一、重点和难点都是等腰三角形的性质和判定
1. 尺规作图
尺规作图与通常的画图题不同，它规定只准用直尺和圆规为工具，而且每一步都必须有根有据不能随便画。对于较复杂的作图题，要经过严格的分析，才能找到作图的根据和方法，这对推理能力的要求比较高。
2. 等腰三角形的性质与判定
（1）性质
性质定理：等腰三角形的两个底角相等。
定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。判定
定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
3. 等腰三角形性质与判定的应用
（1）计算角的度数
利用等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理及推论计算角的度数，是等腰三角形性质的重要应用。
①已知角的度数，求其它角的度数；
②已知条件中有较多的等腰三角形（此时往往设法用未知数表示图中的角，从中得到含这些未知数的方程或方程组）；
（2）证明线段或角相等；
（3）有等腰三角形条件时的常用辅助线。
如图：若AB=AC ①作AD⊥BC于D，必有结论:∠1=∠2，BD=DC
②若BD=DC，连结AD，必有结论：∠1=∠2，AD⊥BC
③作AD平分∠BAC必有结论：AD⊥BC，BD=DC
作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作AD⊥BC，使∠1=∠2.
二、例题分析
例1 已知一腰和底边上的高，求作等腰三角形。
分析：我们首先在草稿上画好一个示意图，然后对照此图写出已知和求作并构思整个作图过程……
已知：线段a、h
求作：△ABC，使AB=AC=a，高AD=h
作法：
1、作PQ⊥MN，垂足为D；
2、在DM上截取DA=h；
等腰三角形的性质与判定__题型
等腰三角形的性质与判定 题型
等腰三角形的性质
性质1.等腰三角形的两底角相等，两腰相等；
性质2.等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）
等腰三角形的判定
判定1.两边相等的三角形是等腰三角形
判定2.两角相等的三角形是等腰三角形
题型一：等腰三角形的角度问题
例1. 若等腰三角形中的一个角等于50°，则另外两个角的度数分别是（ ）
A. 65°，65° B. 50°，80° C. 50°，50° D. 65°，65°或50°，80°
例2. 若等腰三角形中的其中一角为120°，则它的三个角的度数分别是 。
例3. 已知一个等腰三角形的一个外角是135°，则它的底角为 。
例4. 已知一个等腰三角形的一个内角是另一个内角的7倍，则它的三个角度数分别是 。
例5. 已知一个等腰三角形的两个角分别是（2x-2）°，（3x-5）°，求这个等腰三角形各角的度数。
题型二：等腰三角形的边长问题
例1. 一个三角形的三边分别为4，x，7，那么x的取值范围是（ ）
A. 33 D. -3
例2. 等腰三角形有两边长是3cm和4cm，则这个等腰三角形的周长为 。
例3. 等腰三角形有两边长是4cm和9cm，则这个三角形的周长是（ ）
A. 17cm B. 22cm C. 18cm D. 17cm或22cm
例4. 已知三角形的三边长分别为7，x，13，若x为整数，那么这样的等腰三角 形的周长为 。
例5. 已知一个等腰三角形的三边长分别为x，2x，5x-3，求这个三角形的周长
例6. 已知等腰三角形的底边BC=6，且3BCAC,那个腰AC的长为（ ）
初中数学 等腰三角形的性质与判定 练习题
第八节 等腰三角形
中考考点分析 在教材中的地位 重点、难点
等腰三角形是特殊的三角形之一，在考试中特殊三角形考查更常用辅助线的是重点，对等腰三角形常用辅助线的作法掌握的程度决定考试成绩的好坏。
等腰三角形是在学生学习了三角形的有关知识、掌握了全等三角形的判定及性质与轴对称性质的基础上展开的。它不仅是对前面所学知识的综合应用，也是后面研究等边三角形等内容的预备知识，同时也是今后证明角相等、线段相等及两直线垂直的重要依据。
学生了解、感悟等腰三角形的性质定理和判定定理，归纳总结其证明方法.
等腰三角形常用辅助线的作法.
考点与实例分析
讲点1等腰三角形的性质与判定
【例1】 如图，在△ABC,AC=BC,∠BAC=50°,延长CB至D，使DB=BA，延长BC至E，使CE=CA，连接AD，AE求∠D，∠E的度数. （2013，江汉区期中）
题意分析：等腰三角形“等边对等角”，由此求角度。
解答过程：
解题后的思考：
【练1.1】 如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC,∠ABC=∠ADC=70°，则∠DAO+∠DCO的大小是（ ）
A.70° B.110° C.140° D.150° （2012，武汉）
【练1.2】 如图已知等腰△ABC的周长为34cm，AD是底边上的高，△ABD的周长为24cm，则AD的长为( ).
A.12cm B.10cm C. 8cm D.7cm
(2014,武昌区七校联考)
【例2】 如图已知CE是△ABC的角平分线，D为BC上一点，AD交CE于F，若∠BAC=∠ADC=90°，求证：AE=AF.
题意分析 利用角平分线及垂直得到角相等，推出等腰三角形，对于等腰三角形的性质定理和判定定理，两者的条件和结论正好相反。
第09讲 等腰三角形的性质和判定(原卷版)
第09讲等腰三角形的性质和判定
一、等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角
叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、
∠C是底角．
要点：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或
直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180
2A
.
二、等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
2.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
3.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对
称轴．
三、等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
要点：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的
相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
四.尺规作图：已知底边和底边上的高
已知线段a，h（如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC＝a,BC边上的高线为h.
作法：1.作线段BC=a.
2.作线段BC的垂直平分线l,交BC与点D.
3.在直线l上截取DA=h,连接AB,AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.
例1．在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A=（）
A．40°B．70°C．50°D．60°
例
．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠C=35°，则∠B的度数为（）
A．50
B．60
C．70
专题：等腰三角形的性质与判定(答案)
专题：等腰三角形的性质与判定
※题型讲练
考点一 等腰三角形的性质定理1：“等边对等角”
1．等腰三角形的性质定理：
(1)性质定理1：等腰三角形的两个
相等(该定理可以简写成“
”)．
注意：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的中线(顶角平分线、底边上的高) ．
【例1】(1)已知等腰三角形的一个外角是100°，则其底角的度数是 50°或80° ．
(2)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD＝___18°_____．
(3)如图，在△ABC中，D在BC上，若AD＝BD，AB＝AC＝CD，则∠BAC的度数是 108° ．
(4)如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：∠BAF＝∠ACF．
变式训练1：
1．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则其顶角为 60°或120° ．
2．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数度数是 50° ．
3．如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，延长CA到点E，使AE=AD，求证：ED⊥BC．
考点二 等腰三角形的性质定理2：“三线合一”
(2)性质定理2：等腰三角形的 的角平分线、底边上的
、底边上的 互相重合，简写成“ ”．
【例2】(1)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为___55°_____．
(2)如图，△ABC的周长为32，且AB＝AC，AD⊥BC于点D，△ACD的周长为24，则AD的长为____8___．
(3)如图，△ABC中，AB＝AC＝10cm，S△ABC＝48cm2，AD平分∠BAC，DE⊥AC于点E，则DE等于___4.8____．
专题04等腰三角形的性质和判定综合题(原卷版)
专题04 等腰三角形的性质和判定（综合题）
知识点1：等腰三角形的定义
的三角形，叫做等腰三角形，其中 叫做腰，另一边叫做 ，两腰所夹的角叫做 ， 叫做底角.
如图所示，在△ABC中， ，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为 ，BC为 ,∠A是 ，∠B、∠C是 ． 知识互联网
易错点拨
细节剖析:
等腰直角三角形的
相等，且都等于
.等腰三角形的底角只能为 ，不能为 ，但顶角可为 .
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
知识点2：等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的 （简称“ ”）．
性质2：等腰三角形的 互相重合（简称“ ”）．
2.等腰三角形的性质的作用
性质1证明 相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明 等．
3.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形 所在直线是它的对称轴，通常情况 对称轴．
知识点3：等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这 也相等（简称“ ”）.
要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
等腰三角形的性质和判定练习题
1.1等腰三角形的性质和判定练习题
一、单项选择题：
1. 在等腰三角形中，已知两个底角之和等于顶角的2倍，那么这个三角形是（ ）
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
2. 下列图形中一定全等的是（ ）
Ａ.两个等边三角形
Ｂ.腰长相等的两个等腰三角形
Ｃ.各有一个角为30°的两个等腰三角形
D.各有一个角为50°且腰长都是5cm的两个等腰三角形
3. 小旺要用一根长13cm的木条做一个等腰三角形的固定架，则架子的底边长为（ ）
A.7cm B.3cm C.5cm和 3cm D.5cm
4. 在命题（1）等腰三角形两腰上的中线相等；（2）等腰三角形两腰上的高相等；（3）等腰三角形两底角的平分线相等；（4）等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等，其中正确的个数有（ ）个。
A.1 B.2 C. 3 D.4
5. 如图（1）△ABC是等边三角形，点P是△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时钟旋转后与△ACP重合，若AP=3，那么下列结论不正确的是（ ）
A. ∠ PAP=60°
B. PP=3
C. △ABP≌ACP
D. ∠ABP=30°
二、填空：
6. 等腰三角形的一个底角为20°，其余两个角为
7. 等腰三角形的顶角为80°，其余两个角为
8. 等腰三角形的一个角为20°，其余两个角为
9. 等腰三角形的一个角为100°，其余两个角为
10. 等腰三角形的周长为36cm，腰比底边长9cm，这个三角形的三条边条分别为
11. 已知等腰三角形的周长为8，边长为整数，则腰长为