二次函数中的存在性问题
二次函数中的存在性问题（讲义）
一、知识点睛
解决“二次函数中存在性问题”的基本步骤：
①____________．研究确定图形，先画图解决其中一种情形．
②____________.先验证①的结果是否合理，再找其他分类，类比第一种情形求解．
③____________.结合点的运动范围，画图或推理，对结果取舍．
二、精讲精练
1. 如图，已知点P是二次函数y=-x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，将直线y=-2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于A、B两点. 若以AB为直角边的△PAB与△OAB相似，请求出所有符合条件的点P的坐标．
2. 抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C．点P在抛物线上，直线PQ//BC交x轴于点Q，连接BQ．
（1）若含45°角的直角三角板如图所示放置，其中一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，求直线BQ的函数解析式；
（2）若含30°角的直角三角板的一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上（点D不与点Q重合），另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．
3. 如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且OD＝10，OB＝8．将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合．
（1）若抛物线经过A、B两点，则该抛物线的解析式为______________________；
（2）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N．是否存在点M，使△AMN与△ACD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
4. 已知抛物线经过A、B、C三点，点P（1，k）在直线BC：y=x3上，若点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、N、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
5. 抛物线与y轴交于点C，与直线y=x交于A(-2，-2)、B(2，2)两点．如图，线段MN在直线AB上移动，且，若点M的横坐标为m，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q．以P、M、Q、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．
三、回顾与思考
____________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________
【参考答案】
一、 知识点睛
① 画图分析 ②分类讨论 ③验证取舍
二、 精讲精练
1.解：由题意，设OA=m，则OB=2m；
当∠BAP=90°时，△BAP∽△AOB或△BAP∽△BOA；
① 若△BAP∽△AOB，如图1，
可知△PMA∽△AOB，相似比为2：1；则P1（5m，2m），
代入，可知，
② 若△BAP∽△BOA，如图2，
可知△PMA∽△AOB，相似比为1：2；则P2（2m，），
代入，可知，
当∠ABP=90°时，△ABP∽△AOB或△ABP∽△BOA；
③ 若△ABP∽△AOB，如图3，
可知△PMB∽△BOA，相似比为2：1；则P3（4m，4m），
代入，可知，
④ 若△ABP∽△BOA，如图4，
可知△PMB∽△BOA，相似比为1：2；则P4（m，），
代入，可知，
2.解：（1）由抛物线解析式可得B点坐标（1，3）.
要求直线BQ的函数解析式，只需求得点Q坐标即可，即求CQ长度.
过点D作DG⊥x轴于点G，过点D作DF⊥QP于点F.
则可证△DCG≌△DEF.则DG=DF，
∴矩形DGQF为正方形.
则∠DQG=45°，则△BCQ为等腰直角三角形.
∴CQ=BC=3，此时，Q点坐标为（4，0）
可得BQ解析式为y=－x+4.
（2）要求P点坐标，只需求得点Q坐标，然后根据横坐标相同来求点P坐标即可.
而题目当中没有说明∠DCE=30°还是∠DCE=60°，所以分两种情况来讨论.
① 当∠DCE=30°时，
a）过点D作DH⊥x轴于点H，过点D作DK⊥QP于点K.
则可证△DCH∽△DEK.则，
在矩形DHQK中，DK=HQ，
则.
在Rt△DHQ中，∠DQC=60°.
则在Rt△BCQ中，
∴CQ=，此时，Q点坐标为（1+,0）
则P点横坐标为1+.代入可得纵坐标.
∴P（1+,）.
b）又P、Q为动点，∴可能PQ在对称轴左侧，与上一种情形关于对称轴对称.
由对称性可得此时点P坐标为（1－,）
② 当∠DCE=60°时，
a) 过点D作DM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥QP于点N.
则可证△DCM∽△DEN.则，
在矩形DMQN中，DN=MQ，
则.
在Rt△DMQ中，∠DQM=30°.
则在Rt△BCQ中，
∴CQ=BC=，此时，Q点坐标为（1+，0）
则P点横坐标为1+.代入可得纵坐标.
∴P（1+,）.
b）又P、Q为动点，∴可能PQ在对称轴左侧，与上一种情形关于对称轴对称.
由对称性可得此时点P坐标为（1－,）
综上所述，P点坐标为（1+,），（1－,），（1+,）或（1－,）.
3．解：（1）∵AB=BC=10，OB=8
∴在Rt△OAB中，OA=6 ∴ A（6，0）
将A（6，0），B（0，-8）代入抛物线表达式，得，
（2）存在：
如果△AMN与△ACD相似，则或
设M（0 1） 假设点M在x轴下方的抛物线上，如图1所示： 当时，，即 ∴ ∴ 如图2验证一下： 当时，，即 ∴（舍） 2）如果点M在x轴上方的抛物线上： 当时，，即 ∴ ∴M 此时, ∴ ∴△AMN∽△ACD ∴M满足要求 当时，，即 ∴m=10（舍） 综上M1,M2 4.解：满足条件坐标为： 思路分析：A、M、N、P四点中点A、点P为顶点，则AP可为平行四边形边、对角线； (1)如图，当AP为平行四边形边时，平移AP； ∵点A、P纵坐标差为2 ∴点M、N纵坐标差为2； ∵点M的纵坐标为0 ∴点N的纵坐标为2或-2 ①当点N的纵坐标为2时 解： 得 又∵点A、P横坐标差为2 ∴点M的坐标为： 、 ②当点N的纵坐标为-2时 解： 得 又∵点A、P横坐标差为2 ∴点M的坐标为： 、 (2)当AP为平行四边形边对角线时； 设M5（m,0） MN一定过AP的中点（0，-1） 则N5（-m，-2） N5在抛物线上 ∴ （负值不符合题意，舍去） ∴ ∴ 综上所述: 符合条件点P的坐标为： 5．解：分析题意，可得：MP∥NQ，若以P、M、N、Q为顶点的四边形为平行四边形，只需MP=NQ即可 由题知：，，， 故只需表达MP、NQ即可.表达分下列四种情况： ①如图1，，，令PM=QN， 解得：（舍去），； ②如图2，，，令PM=QN， 解得：（舍去），； ③如图3，，，令PM=QN， 解得：，（舍去）； ④如图4，，，令PM=QN， 解得：，（舍去）； 综上，m的值为、、、． 二次函数中的存在性问题（作业） 1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点． （1）求直线AC的解析式及B，D两点的坐标； （2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2. 如图，已知二次函数的图象过点 A(-4，3)，B(4，4)，交x轴于C、D两点． （1）求证：△ACB是直角三角形； （2）若点P是x轴上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PH⊥x轴于点H，是否存在以P、H、D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
二次函数中的存在性问题(答案)(可编辑修改word版)
二次函数中的存在性问题 姓名
1. 已知抛物线 y=﹣x2+ x﹣3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C．在直线 CA 上方的抛物线上是否存在一点 D，使得△ACD 的面积最大？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．
2. 已知 y=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线 y=kx+4 相交于 A（1，m），B（4，8）两点，与 x 轴交于原点及点 C．
（1） 求直线和抛物线解析式；
（2） 在 x 轴上方的抛物线上是否存在点 D，使 S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出点 D 坐标，如果不存在，说明理由．
3. 已知直线 y=x﹣3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，抛物线 y=﹣x2+mx+n 经过点 A 和点 C．
（1） 求此抛物线的解析式；
（2） 在直线 CA 上方的抛物线上是否存在点 D，使得△ACD 的面积最大？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，
说明理由． 4. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=﹣x2+bx+c 与x 轴交于A、B 两点（点 A 在点B 的左侧），过点 A 的直线 y=kx+1
交抛物线于点 C（2，3）．
（1） 求直线 AC 及抛物线的解析式；
（2） 若直线 y=kx+1 与抛物线的对称轴交于点 E，以点 E 为中心将直线 y=kx+1 顺时针旋转 90°得到直线 l，设直线 l 与 y 轴的交点为 P，求△APE 的面积；
（3） 若 G 为抛物线上一点，是否存在 x 轴上的点 F，使以 B、E、F、G 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由．
5. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交 x 轴于 A，B 两点（A 在 B 的左侧），交 y 轴于点 C．
（1） 求直线 BC 的解析式；
（2） 求抛物线的顶点及对称轴；
（3） 若点 Q 是抛物线对称轴上的一动点，线段 AQ+CQ 是否存在最小值？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由；
【中考数学几何模型】第二十二节：二次函数特殊平行四边形存在性问题
中考数学几何模型
第二十二节:二次函数特殊平行四边形存在性问题
422.二次函数正方形存在性问题(初三)
在平面直角坐标系中,抛物线y=―1
3x2
+bx+c
交x
轴于A(―3,0),B(4,0)
两点,交y
轴于点C
.
(1)求抛物线的表达式,
(2)如图,直线y=3
4x+9
4与抛物线交于A,D
两点,与直线BC
交于点E
.若M(m,0
)是线段AB
上的动点,过点M
作x
轴的垂
线,交抛物线于点F
,交直线AD
于点G
,交直线BC
于点H
.
①当点F
在直线AD
上方的抛物线上,且S
△EFG=5
9S
△OFG时,求m
的值;
②在平面内是否存在点P
,使四边形EFHP
为正方形?若存在,请直接写出点P
的坐标;若不存在,请说明理由.
423.二次函数面积最大值矩形存在性问题(初三)
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2
+2x+c(a≠0)
与x
轴交于点A
、B
,与y
轴交于点C
,连接BC,OA=1
,对称
轴为直线x=2
,点D
为此拋物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式
(2)抛物线上C、D两点之间的距离是_______
(3)点E
是第一象限内抛物线上的动点,连接BE
和CE
,求△BCE
面积的最大值;
(4)点P
在抛物线对称轴上，平面内存在点Q
，使以点B
、C
、P
、Q
为顶点的四边形为矩形,请直接写出点Q
的坐
标.
424.二次函数线段最大值相等角矩形存在性问题(初三)
如图,抛物线y=ax2
+bx+c
与x
轴交于点A(―1,0)
,点B(―3,0)
,且0O=
OC.
(1)求抛物线的解析式
(2)点P
在抛物线上,且∠POB=∠ACB
,求点P
的坐标;
(3)抛物线上两点M,N
,点M
的横坐标为m
,点N
的横坐标为m+4
.点D
是抛物线上M,N
之间的动点,过点D
作y
轴的平
行线交MN
于点E
.
①求DE的最大值
②点D
关于点E
的对称点为F
,当m
为何值时,四边形MDNF为矩形.
425.二次函数菱形存在性三角形相似存在性问题(初三)
如图,已知直线y=―2x+4
分别交x
轴、y
轴于点A
、B
,抛物线过A,B
两点,点P
二次函数-存在性问题-备战2023年中考数学考点微专题
考向3.9 二次函数-存在性问题
例1、（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，一次函数333yx图象与坐标轴交于点A、B，二次函数233yxbxc图象过A、B两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）对于333yx：当x=0时，3y；
当y=0时，3303x，妥得，x=3
∴A（3，0），B（0，3）
把A（3，0），B（0，3）代入233yxbxc得：
33+3+=03bcc
解得，2333bc
∴抛物线的解析式为：2323333yxx； （2）抛物线的对称轴为直线23312323bxa
故设P（1，p），Q（m，n）
①当BC为菱形对角线时，如图，
∵B，C关于对称没对称，且对称轴与x轴垂直，
∴∴BC与对称轴垂直，且BC//x轴
∵在菱形BQCP中，BC⊥PQ
∴PQ⊥x轴
∵点P在x=1上，
∴点Q也在x=1上，
当x=1时，232343113=333y
∴Q（1，433）；
②当BC为菱形一边时，若点Q在点P右侧时，如图，
∴BC//PQ，且BC=PQ
∵BC//x轴，
∴令3y，则有23233=333yxx 解得，120,2xx
∴(2,3)C
∴PQ=BC=2
∵22(3)12
∴PB=BC=2
∴迠P在x轴上，
∴P(1,0)
∴Q(3，0)；
若点Q在点P的左侧，如图，
同理可得，Q（-1，0）
综上所述，Q点坐标为（1，433）或(3，0)或（-1，0）
1、存在性问题的解题思路:假设存在,推理论证,得出结论；
2、解決线段存在性问题的方法:将军饮马问题、垂线段问题、三角形三边关系、函数最值等；
专题06 二次函数中三角形存在性问题(解析版)--2023 年中考数学压轴真题汇编
1挑战2023年中考数学解答题压轴真题汇编
专题06二次函数中三角形存在性问题
一．相似三角形的存在性
1．（2022•陕西）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y
轴的交点为C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的右侧，过点P分别作l，
x轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P
的坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为y
＝x2
﹣x﹣4；
（2）如图：
∵y
＝x2
﹣x﹣4
＝（x﹣1）2
﹣，
∴抛物线y
＝x2
﹣x﹣4的对称轴是直线x＝1，
在y
＝x2
﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
∴OB＝OC＝4，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵△PMN和△OBC相似，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∵PM⊥直线x＝1，PN⊥x轴，
∴∠MPN＝90°，PM＝PN，
设P（m
，m2
﹣m﹣4），
2∴|m﹣1|＝
|m2
﹣m﹣4|，
∴m﹣1
＝m2
﹣m﹣4或m﹣1
＝﹣m2+m+4，
解得m＝+2或m＝﹣+2或m＝或m＝﹣，
∵点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线x＝1的右侧，
∴P的坐标为（+2，+1）或（，1﹣）．
2．（2022•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交
y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求
出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，
DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，
使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的
坐标，若不存在，请说明理由．
3【解答】解：（1）∵顶点D的横坐标为1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
二次函数中点的存在性问题
二次函数中的存在性问题
1．已知抛物线y=﹣x2+x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
2．已知y=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及点C．
（1）求直线和抛物线解析式；
（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出点D坐标，如果不存在，说明理由．
3．已知直线y=x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在直线CA上方的抛物线上是否存在点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．
4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），过点A的直线y=kx+1交抛物线于点C（2，3）．
（1）求直线AC及抛物线的解析式；
（2）若直线y=kx+1与抛物线的对称轴交于点E，以点E为中心将直线y=kx+1顺时针旋转90°得到直线l，设直线l与y轴的交点为P，求△APE的面积；
（3）若G为抛物线上一点，是否存在x轴上的点F，使以B、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）求抛物线的顶点及对称轴；
（3）若点Q是抛物线对称轴上的一动点，线段AQ+CQ是否存在最小值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（4）若点P是直线BC上方的一个动点，△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出点P的坐标及此时△PBC的面积；若不存在，说明理由．
1． 已知抛物线y=﹣x2+x﹣3与x轴交于A，B两点，
二次函数中的存在性问题(最新整理)
二次函数中的存在性问题
1. 如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半
轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物
线于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四
边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4：
解：（1）设抛物线顶点为E，根据题意OA=4，OC=3，得：E（2，3），
设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+3，
将A（4，0）坐标代入得：0=4a+3，即a=﹣，
则抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+3=﹣x2+3x；
（2）设直线AC解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（4，0）与C（0，3）代入得：，解得：，
故直线AC解析式为y=﹣x+3，
与抛物线解析式联立得：，解得：或，
则点D坐标为（1，）；
（3）存在，分两种情况考虑：
①当点M在x轴上方时，如答图1所示：
四边形ADMN为平行四边形，DM∥AN，DM=AN，
由对称性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，
∴N1（2，0），N2（6，0）；
②当点M在x轴下方时，如答图2所示：
过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点M作MP⊥x轴于点P，可得△ADQ≌△NMP，
∴MP=DQ=，NP=AQ=3，
将yM=﹣代入抛物线解析式得：﹣=﹣x2+3x，
解得：xM=2﹣或xM=2+，
∴xN=xM﹣3=﹣﹣1或﹣1，
∴N3（﹣﹣1，0），N4（﹣1，0）．
综上所述，满足条件的点N有四个：N1（2，0），N2（6，0），N3（﹣﹣1，0），N4（﹣1，0）．
2． 如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C（1）求抛物线的函数解析式．
（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四
边形，求点D的坐标．
（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得
初中数学二次函数存在性问题题型大全
1 第5关 二次函数存在性问题（讲义部分）
知识点1 等腰三角形存在性问题
1.等腰三角形分类讨论——两圆一线
例如：已知两点，在轴找一点,使得为等腰三角形
(1) 当为顶点时，,做的垂直平分线，与轴交点即为；
(2) 当为顶点时，,以为圆心，为半径做圆，与轴交点即为；
(3) 当为顶点时，,以为圆心，为半径做圆，与轴交点即为；
2. 方法：勾股定理
题型1 等腰三角形存在性问题
【例1】如图， 抛物线223yxx与y轴交于点C，点(0,1)D，点P是抛物线上的动点 ． 若PCD是以CD为底的等腰三角形， 则点P的坐标为 ．
【解答】解：PCDQ是以CD为底的等腰三角形，
点P在线段CD的垂直平分线上，
如图， 过P作PEy轴于点E，则E为线段CD的中点，
Q抛物线223yxx与y轴交于点C，
(0,3)C，且(0,1)D，
E点坐标为(0,2)，
P点纵坐标为 2 ，
在223yxx中， 令2y，可得2232xx，解得12x，
P点坐标为(12，2)或(12，2)，
故答案为：为(12，2)或(12，2)．
【点评】本题考查等腰三角形的性质， 利用等腰三角形的性质求得P点纵坐标是解题的关键 ．
【例2】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为(2,0)，点C的坐标为(0,3)，它的对称轴是直线12x．
（1）求抛物线的解析式； BA,xCABCCCBCAABxCAACABAABxCBBCBABABxC
2 （2）M是线段AB上的任意一点，当MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式21()2yaxk
把(2,0)A、(0,3)C代入得：2504134akak
解得：12258ak
21125()228yx
二次函数中直角三角形存在性问题
1二次函数中直角三角形存在性问题解题方法一、代数法：
二、几何法：（1）先分三种情况进行构造：若已知边做直角边，过直角边的两端点作垂线，则第三个顶点在垂线上，若已知边为斜边，可取斜边为直径作圆，直角顶点在圆上（2）计算：注意题目的几何背景，如有直接的相似则表示线段长度，进行相似求解，无直接相似则围绕顶点分别做坐标轴的平行线，构造一线三角模型进行相似求解。专题训练
例1.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B.设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
代数法：（1）根据条件用坐标表示三边或三边的平方（2）以直角顶点分三种情况，根据勾股定理列方程，解方程（3）根据题目条件及方程解确定坐标
例2.如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P 在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；几何法：
2例3.如图，在平面直角坐标系中，直线123yx交x轴于点P，交y轴于点A，抛物线212yxbxc的图象过点(1,0)E，并与直线相交于A、B两点.⑴求抛物线的解析式（关系式）；⑵过点A作ACAB交x轴于点C，求点C的坐标；⑶除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.
巩固复习1、如图，抛物线 与ｘ轴交于Ａ、Ｂ两点，与ｙ轴交于Ｃ点． （１）请求出抛物线顶点Ｍ的坐标（用含ｍ的代数式表示），Ａ、Ｂ两点的坐标；（２）经探究可知，△ＢＣＭ与△ＡＢＣ的面积比不变，试求出这个比值；（３）是否存在使△ＢＣＭ为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由例２、如图，抛物线与ｘ轴交于点Ａ（－２，０），Ｂ（４，０），与ｙ轴交于点Ｃ．（１）求该抛物线的解析式；（２）Ｍ为第一象限内抛物线上一动点，点Ｍ在何处时，△ＡＣＭ的面积最大；（３）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点Ｐ，使得△ＰＡＣ为直角三角形？若存在，请求出所有可能点Ｐ的坐标；若不存在，请说明理由．
二次函数的存在性问题之菱形(含问题详解)
二次函数的存在性问题之菱形
1. 如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点P在第一象限，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；
（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在上，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2. 如图，直线 与 轴、轴分别交于 、两点，抛物线
经过 、两点，与 轴的另一个交点为 ，连接 ．
（1）求抛物线的解析式及点的坐标；
（2）点 在抛物线上，连接 ，当 时，求点 的坐标；
（3）点 从点 出发，沿线段 由 向 运动，同时点 从点 出发，沿线段 由 向 运动， 、 的运动速度都是每秒 个单位长度，当
点到达 点时， 、 同时停止运动，试问在坐标平面是否存在点 ，使 、 运动过程中的某一时刻，以 、 、 、 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，说明理由．
3. 如图所示，顶点为（，﹣）的抛物线y=ax2+bx+c过点M（2，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点A是抛物线与x轴的交点（不与点M重合），点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），点D是反比例函数y= （k＞0）图象上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值．
4. 综合与探究
如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，C．
（1）求抛物线的解析式
（2）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N
二次函数平行四边形存在性问题例题
二次函数平行四边形存在性问题例题
例题：
已知二次函数f(x) = ax² + bx + c，其中a ≠ 0，现给定两点A(x₁,
y₁)和B(x₂, y₂)，求是否存在一个平行四边形ABCD，使得AC和BD都平行于直线y = kx + m。
解题思路：
首先，我们需要确定k和m的值，因为平行四边形ABCD中的AC和BD必须平行于直线y = kx + m。根据平行的性质，我们可以得到AC和BD的斜率都为k。所以，我们首先需要求得二次函数f(x)的斜率。
二次函数f(x) = ax² + bx + c的斜率可以通过求导得到。将f(x)对x求导，得到f'(x) = 2ax + b。所以，二次函数f(x)的斜率k =
f'(x)处的斜率 = 2ax + b。
在已知的两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)处，可以得到f(x₁) = ax₁² +
bx₁ + c = y₁和f(x₂) = ax₂² + bx₂ + c = y₂。我们可以根据这两个条件，列出方程组，并通过求解方程组来求得平行四边形ABCD的存在性。
方程组如下所示：
1. ax₁² + bx₁ + c = y₁
2. ax₂² + bx₂ + c = y₂
为了方便计算，可以移项，得到以下形式：
1'. ax₁² + bx₁ + c - y₁ = 0
2'. ax₂² + bx₂ + c - y₂ = 0 现在我们需要判断是否存在一个平行四边形ABCD，使得AC和BD都平行于直线y = kx + m。根据平行四边形的性质，可以得知AC的斜率等于k，即AC的斜率为2ax + b，同样，BD的斜率也等于k。所以我们需要判断是否存在一组x₁、y₁、x₂、y₂的值，使得如下两个方程成立：
3. 2ax₁ + b = k
4. 2ax₂ + b = k
将方程3和方程4化简，得到如下形式：
3'. 2ax₁ + b - k = 0
4'. 2ax₂ + b - k = 0