高一数学必修1第一章1-3-2-2
[解析]
f(x)在[0，＋∞)上是减函数，且是奇函数，所以
当 x>0 时，f(x)<f(0)＝0；当 x<0 时，f(x)>f(0)＝0.
第一章 1.3
1．3.2 第2课时
第一章 集合与函数概念
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第一章
第 2 课时 习题课
第一章 集合与函数概念
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知 识 整 合 课堂基础巩固 方法警示探究 题型讲解
课后强化作业
探索延拓创新 课后强化作业
第一章 1.3
1．3.2 第2课时
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2
式． [分析] 利用函数的性质再得到一个关于 f(x)与 g(x)的等
式，然后把 f(x)，g(x)看作未知量，利用方程的观点求解 f(x)， g(x)．
第一章 1.3
1．3.2 第2课时
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[解析]
用－x 代替 x 得
2 f(－x)－g(－x)＝(－x)2＋ x ∵y＝f(x)为奇函数，y＝g(x)为偶函数 2 ∴f(x)＋g(x)＝－x －x
知识整合
第一章 1.3
1．3.2 第2课时成才之路 ·数学 ·人教A · 必修11．网络构建
第一章 1.3
1．3.2 第2课时
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2．规律小结 (1)判断函数单调性的步骤： ①任取 x1，x2∈R，且 x1<x2； ②和差：f(x1)－f(x2)； ③变形(通分、配方、因式分解)； ④判断差的符号，下结论．
2
2 它与 f(x)－g(x)＝x2－x 联立得 2 f(x)＝－ ，g(x)＝－x2. x
第一章 1.3
1．3.2 第2课时
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命题方向 2 单调性与不等式
[例 2]
若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，在(－∞，0]
上是减函数，且 f(2)＝0，则使得 f(x)<0 的 x 的取值范围是 ( ) A．(－∞，2) B．(－2,2) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
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1．对于定义域是 R 的任意奇函数 f(x)有( A．f(x)－f(－x)＝0 C．f(x)f(－x)＝0
)
B．f(x)＋f(－x)＝0 D．f(0)≠0
[答案]
B
[解析]
根据奇函数的定义即得．
第一章 1.3
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第一章 1.3
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[解析] ＝0.
(1)令 x1＝x2＝1， f(1×1)＝f(1)＋f(1)， 得 解得 f(1)
(2)f(x)为偶函数． 证明： x1＝x2＝－1， f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)， 令 则 解得 f(－1)＝0.令 x1＝－1，x2＝x，则 f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴ f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(5)奇函数的性质： ①图象关于原点对称； ②在关于原点对称的区间上单调性相同； ③若在 x＝0 处有定义，则有 f(0)＝0. (6)偶函数的性质： ①图象关于 y 轴对称； ②在关于原点对称的区间上单调性相反； ③f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
第一章 1.3
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(7)若奇函数 f(x)在[a，b]上有最大值 M，则在区间[－b， －a]上有最小值－M；若偶函数 f(x)在[a，b]上有最大值 m， 则在区间[－b，－a]上也有最大值 m.
第一章 1.3
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题型讲解
第一章 1.3
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第一章 1.3
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(2)求函数单调性要先确定函数的定义域． (3)若 f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数． (4)复合函数 y＝f(g(x))的单调性遵循“同增异减”的原 则．
第一章 1.3
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第一章 1.3
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[分析]
给出函数关系而未给出解析式， 要证明函数的奇
偶性与单调性， 关键是紧紧扣住条件 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， 且当 x>0 时，f(x)<0，对其中的 x，y 不断赋值．
第一章 1.3
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第一章 1.3
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[点评]
对抽象函数的奇偶性与单调性的证明， 围绕证明
奇偶性与单调性所需要的关系式，对所给的函数关系式赋值．
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函数 f(x)的定义域为 D＝{x|x≠0}，且满足对于任意 x1， x2∈D，有 f(x1·2)＝f(x1)＋f(x2)． x (1)求 f(1)的值； (2)判断 f(x)的奇偶性并证明； (3)如果 f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且 f(x)在(0，＋ ∞)上是增函数，求 x 的取值范围．
第一章 1.3
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(3)解：f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝ 3.f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，即 f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)． ∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数且 f(x)是偶函数，
[解析]
(1)令 y＝－x，得 f[x＋(－x)]＝f(x)＋f(－x)，
∴f(x)＋f(－x)＝f(0)． 又∵f(0＋0)＝f(0)＋f(0)， ∴f(0)＝0，∴f(x)＋f(－x)＝0， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数．
第一章 1.3
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∴g(－2)＋g(2)＝0，∴f(－2)＋8＋f(2)＋8＝0， ∵f(－2)＝10，∴f(2)＝－26，∴选 A.
[答案]
A
第一章 1.3
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已知函数 y＝f(x)是奇函数，y＝g(x)是偶函数，且对于定 2 义域内的任一 x 都有 f(x)－g(x)＝x － ，求 f(x)与 g(x)的解析 x
第一章 1.3
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命题方向 3 分段函数的图象与最值
[例 3]
对于每个实数 x，设 f(x)取 y＝4x＋1，y＝x＋2，
y＝－2x＋4 三个函数中的最小值，用分段函数写出 f(x)的解 析式，并求 f(x)的最大值．
第一章 1.3
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探索延拓创新
第一章 1.3
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命题方向 4 函数性质的综合应用
[例 4]
函数 f(x)的定义域为 R，且对任意 x，y∈R，有
f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当 x>0 时，f(x)<0，f(1)＝－2. (1)证明 f(x)是奇函数； (2)证明 f(x)在 R 上是减函数； (3)求 f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值．
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第一章
集合与函数概念
第一章 集合与函数概念
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第一章
1．3 函数的基本性质
第一章 集合与函数概念
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第一章
1. 3.2 奇偶性
3x＋12x－6>0， ∴ 3x＋12x－6≤64 3x＋12x－6<0， 或 －3x＋12x－6≤64.
第一章 1.3
1．3.2 第2课时
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1 x>3或x<－3， 解得 －7≤x≤5 3
第一章 1.3
1．3.2 第2课时
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(3)∵f(x)在 R 上是减函数． ∴f(x)在[－3,3]上的最大值是 f(－3)，最小值是 f(3)． f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×(－2)＝－6， ∴f(－3)＝－f(3)＝6. 从而 f(x)在区间[－3,3]上的最大值是 6，最小值是－6.
第一章 1.3
1．3.2 第2课时
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[解析]
由题意知 f(－2)＝f(2)＝0，
第一章 1.3
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当 x∈(－2,0)时，f(x)<f(－2)＝0，由对称性知，x∈[0,2) 时，f(x)为增函数，f(x)<f(2)＝0，故 x∈(－2，2)时，f(x)<0， 因此选 B.
[答案]
B
第一章 1.3
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[点评] 示可知选 B.
高中数学课本全套pdf
高中数学课本全套pdf篇一:人教版必修1高一数学全套打包,150页)人教版高中数学必修1精品教案(整套)课题:集合的含义与表示(1)课型:新授课教学目标:(1) 了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征;(2) 理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系;(3) 掌握常用数集及其记法;教学重点:掌握集合的基本概念;教学难点:元素与集合的关系;教学过程:一、引入课题军训前学校通知:8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员;试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生,在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体，而1不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合(宣布课题)，即是一些研究对象的总体。
阅读课本P2-P3内容二、新课教学(一)集合的有关概念1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
2. 一般地，我们把研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集。
3. 思考1:判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由:(1) 大于3小于11的偶数;(2) 我国的小河流;(3) 非负奇数;(4) 方程x2?1?0的解;(5) 某校2007级新生;(6) 血压很高的人;(7) 著名的数学家;(8) 平面直角坐标系内所有第三象限的点(9) 全班成绩好的学生。
2对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。
4. 关于集合的元素的特征(1)确定性:设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
(2)互异性:一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
(3)无序性:给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。
高中人教A版数学必修1课件第一章 集合与函数概念1-3-1-2ppt版本
所以当 x＝4 050，即每辆车的租金为 4 050 元．
[巧归纳] 解决函数最值应用题的方法 (1)解决实际问题，首先要理解题意，然后建立数学模型转化 成数学问题解决． (2)分清各种数据之间的关系是正确构造函数关系式的关键．
[练习 3]如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个 方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水 平方向为 x 轴，竖直方向为 y 轴建立平面直角坐标系．那么水流 喷出的高度 h(单位：m)与水平距离 x(单位：m)之间的函数关系 式为 h＝－x2＋2x＋54，x∈0，52.求水流喷出的高度 h 的最大值是 多少？
所以 f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)， 故 f(x)在区间[0,2]上是增函数． 因此，函数 f(x)＝－x＋2 1在区间[0,2]的左端点取得最小值， 右端点取得最大值，即最小值是 f(0)＝－2，最大值是 f(2)＝－23.
类型 3 与最值有关的应用问题 [要点点击] 解答实际问题的步骤 (1)审题：审读实际问题，找出已知条件，未知条件，确定自 变量和因变量的条件关系． (2)建模：建立数学模型，列出函数关系式． (3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定 注意自变量的取值范围)． (4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案．
2．求函数的最值时一般需要确定函数的什么性质？ 答案：求函数的最值时一般需借助函数的单调性，故需要确 定函数的单调性.
类型 1 图象法求函数的最值 [要点点击] 图象法求最值的一般步骤
x2，－1≤x≤1，
[典例 1] 已知函数 f(x)＝1x，x＞1.
求 f(x)的最大
值、最小值．
[思路点拨] 可先画出 f(x)的图象，观察图象的最高点与最
高一数学必修1
高一数学必修1高一数学必修1导论数学是一门学科，涉及数理逻辑、代数、几何、数论、集合论等许多分支学科。
数学是一种思维工具，它用抽象的符号表示客观事物和数学关系，用严格的推理推演出一般性结论。
高一数学必修1主要包括代数、平面几何和立体几何三个部分，在这三个部分中，代数是基础，平面几何是拓展，立体几何是独立的。
因此，代数是首先需要掌握的基础，在此基础上再学习平面几何和立体几何。
第一章代数专题1.1初中代数回忆初中代数的学习主要涉及到方程和不等式，而高中代数除了方程和不等式之外，还会涉及到函数、数列和三角函数等内容。
1.2线性方程组在本节中，将详细介绍线性方程组的概念、解法和特殊情况。
1.3一元二次方程在本节中，将详细介绍二次函数、二次方程的定义、性质以及解法。
1.4复数及其运算在本节中，将详细介绍复数的定义、性质及其运算，以及如何用复数形式表示方程的解。
1.5函数及其基本性质在本节中，将详细介绍函数与自变量、函数的符号性、奇偶性、单调性、周期性等基本性质以及反函数的相关知识。
1.6函数的图像在本节中，将详细介绍函数的图像、对称性和平移变换，以便更好地理解和掌握函数的性质。
1.7函数的运算在本节中，将详细介绍函数的四则运算、复合函数、反比例函数及其性质，以及求函数的反函数和复合函数的复合性质。
1.8三角函数在本节中，将详细介绍三角函数的定义、性质、三角函数的值域和范围以及其他相关知识。
第二章平面几何专题2.1平面向量在本节中，将详细介绍平面向量的定义、平面向量的数量积、向量的投影及其他相关知识。
2.2平面直角坐标系中的图形在本节中，将详细介绍平面直角坐标系中的图形的表示、性质和判定方法。
2.3圆在本节中，将详细介绍圆的定义、性质及相关定理，以及圆与直线、圆与圆的位置关系。
2.4圆锥曲线在本节中，将详细介绍抛物线、双曲线、椭圆的定义、性质、公式及其他相关知识。
第三章立体几何专题3.1空间几何初步在本节中，将从空间几何的基本定义、空间向量及空间直角坐标系入手，详细介绍空间几何的相关知识。
高中数学 1-3-2-1函数的奇偶性 新人教A版必修1
总结：(1)偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
【归纳提升】 (1)奇偶函数的定义域关于原点对称，如 果函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数也 不是偶函数．
(4)由于 f(－x)＝0＝f(x)，且 f(－x)＝0＝－f(x)， ∴f(x)＝0 既是奇函数，又是偶函数． (5)函数 y＝2x＋1 的定义域为 R，关于原点对称． ∵f(－x)＝－2x＋1，－f(x)＝－2x－1， ∴f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)， ∴y＝2x＋1 既不是奇函数，又不是偶函数．
∴f(x)为偶函数．
判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝1x； (2)f(x)＝－3x2＋1； (3)f(x)＝xx2－＋xx2，，xx<>00，； (4)f(x)＝0；
(5)f(x)＝2x＋1； (6)f(x)＝xx3－－1x2. [分析] 根据函数奇偶性的定义，先看函数的定义域是否 关于原点对称，若是，再检查函数解析式是否满足奇偶性的 条件．
②若奇函数 y＝f(x)的定义域内有零，则由奇函数的定义 知 f(－0)＝－f(0)，即 f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.
③奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致； 偶函数则相反．
通过以上所学，完成下列练习． 判断下列函数的奇偶性 ①f(x)＝x； ②f(x)＝x－1； ③f(x)＝|x|； ④f(x)＝x2 (x≥1)； ⑤f(x)＝|x＋1|－|x－1|； ⑥f(x)＝ 1－x2＋ x2－1.
数学必修一：1-3-2-1函数的基本性质课件
(2)在判断 f(－x)与 f(x)的关系时，可以从 f(－x)开始化简，也可 以去考虑 f(－x)＋f(x)或 f(－x)－f(x)是否为 0，当 f(x)不等于 0 时 也可考虑，ff－xx与 1 或－1 的关系．
第七页，编辑于星期日：十一点 三十一分。
1.3.2 奇偶性 第 1 课时 函数奇偶性的概念
第一页，编辑于星期日：十一点 三十一分。
【课标要求】 1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2．掌握判断函数奇偶性的方法． 3．了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系． 【核心扫描】 1．对函数奇偶性概念的理解．(难点) 2．根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性．(重点)
第三页，编辑于星期日：十一点 三十一分。
2．奇、偶函数的图象 (1)偶函数的图象关于 y轴 对称． (2)奇函数的图象关于 原点 对称． 想一想：奇函数、偶函数的图象有何特征？ 提示 (1)若一个函数是奇函数，则其图象关于原点对称，反之， 若一个函数图象关于原点中心对称，则其一定是奇函数． (2)若一个函数是偶函数，则其图象关于 y 轴对称，反之，若一 个函数图象关于 y 轴成轴对称，则其必为偶函数．
第二页，编辑于星期日：十一点 三十一分。
自学导引 1．函数奇偶性的概念 设函数 f(x)的定义域为 D， (1)偶函数：对任意 x∈D，都有 f(－x)＝f(x) ，则 f(x)为偶函数． (2)奇函数：对任意 x∈D，都有f(－x)＝－f(x) ，则 f(x)为奇函数． 想一想：若奇函数 f(x)在 x＝0 处有定义，则 f(0)等于什么？ 提示 f(0)＝0.
第十一页，编辑于星期日：十一点 三十一分。
(2)f(x)定义域为{x|x≠0}，关于原点对称， 又 f(－x)＝ 1 ＝ 1 ＝f(x)，故 f(x)为偶函数．
1-1-3-2 集合的基本运算(第2课时)
A．M⊆∁UN C．∁UM＝∁UN
第23页
第一章
1.1 1.1.3 第2课时
高考调研
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【思路点拨】
这里M与N是两个抽象的集合，因此经过补
集运算后，它们之间的关系就更加抽象了，而这时用韦恩图 法，则使问题变得形象、直观起来．由图可知M⊆∁UN.要注意： 由已知有可能出现∁UM＝N.因此有可能∁UN＝M.
③把集合S和A表示在数轴上，如图所示．
由图知∁SA＝{x|－4≤x＜－1或x＝1}．
第40页
第一章
1.1 1.1.3 第2课时
高考调研
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点评
(1)用不等式表示的集合的交、并、补运算，往往用
第19页
第一章
1.1 1.1.3 第2课时
高考调研
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探究2 (1)数轴法的特点是简单直观，因此，要注意将数轴 画出来，只有对数轴的运用达到熟练掌握的情况下，才可以不 画数轴了，但也应在草稿上或自己的头脑中画出数轴，避免出 错． (2)要注意各个端点的画法：能取到端点的值时，用实心的 点在数轴上表示；取不到端点的值时，用空心的圆在数轴上表 示． (3)一定要注意A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅，从而决定端点的去 向．
【解析】
借助韦恩图，如右图所示，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}． ∵∁UB＝{1,4,6,8,9}， ∴B＝{2,3,5,7}．
第14页
第一章
1.1 1.1.3 第2课时
高考调研
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【讲评】
补集是在全集的范围内来求的，若题中未指出
全集，则本题不能求其补集． 探究1 求补集时，首先要正确理解全集及子集中所含的元
(完整版)高一数学必修一知识点汇总
高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ …} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列举法与描述法。
注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……}2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn图:4、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集A⊆有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B同一集合。
⊆/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊇/A或B2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。
A⊆A②真子集:如果A⊆B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)③如果A⊆B, B⊆C ,那么A⊆C④如果A⊆B 同时B⊆A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A B（读作‘A交B’），即A B=｛x|x∈A，且x∈B｝．由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：A B（读作‘A并B’），即A B ={x|x∈A，或x∈B})．设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作ACS，即C S A=},|{AxSx x∉∈且韦恩图示A B图1A B图2SA二、函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．2．值域: 先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法(3)代换法3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示．4．映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A 到集合B的一个映射。
高一数学必修一第一章
高一数学必修一第一章在高一的数学课上，大家肯定都听过“函数”这个词吧？哦，听到这个，可能有些小伙伴就开始打哈欠了，心里想着：“这又是啥玩意儿？”函数就像是一位神秘的魔法师，把输入的数变成你想要的输出。
简单点说，你给它一个数，它就给你一个结果。
比如说，你把数字放进去，就像把一个苹果放进果汁机，最后出来的就是一杯新鲜的苹果汁，哈哈，是不是感觉很形象呢？说到函数，它有个特别的名字，叫“映射”。
听起来是不是有点酷炫？其实它就像一条桥，把输入和输出连接起来。
你知道吗？函数有很多种，像一次函数、二次函数、三次函数……感觉就像是不同的音乐风格，每一种都有自己的韵味。
一开始学习函数的时候，大家可能会觉得这些字母和符号像外星语，但慢慢的，你会发现其实它们就像朋友一样，可以相处得很好。
尤其是一开始，函数的图像出现时，大家都好奇，“哇，这是什么鬼？”不过，看到它们慢慢变得规则，心里就会有种莫名的满足感。
在学习函数的过程中，我们经常会用到坐标系。
坐标系就像一个大舞台，把每一个点都安排得明明白白。
横坐标和纵坐标就像是舞者，配合得当才能跳出好看的舞蹈。
想象一下，如果横坐标是小明，纵坐标是小红，他们俩如果合作得好，就能在舞台上演绎出完美的爱情故事，哈哈！在图像中，每一个点都是一个故事，连接起来就是一幅美丽的画卷。
这就是函数图像的魅力所在。
大家听说过“函数的性质”吗？这就像是每个函数都有自己的性格。
有的函数爱高冷，比如说二次函数，它的图像是一个优美的抛物线，只有在特定的范围内才能和你互动；而有的函数则非常热情，比如一次函数，随时随地都能跟你聊天。
你想知道它的斜率是多少吗？简单，斜率就像它的性格，决定了它的“性情”。
有时，斜率大，表明它很直接，有时斜率小，说明它比较温柔。
而函数的零点，更是神秘的存在。
零点就像是寻宝地图上的“X”标记，找到它，你就能解锁函数的秘密。
大家一定在课堂上听过“函数的零点是什么”。
没错，零点就是函数值等于零的地方。
高一数学必修一-第一章-知识点与习题讲解
必修1第一章集合及函数根底学问点整理第1讲 §1.1.1 集合的含义及表示¤学习目的：通过实例，理解集合的含义，体会元素及集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描绘法）描绘不同的详细问题，感受集合语言的意义和作用；驾驭集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.¤学问要点：1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，根本形式为123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描绘法，即用集合所含元素的共同特征来表示，根本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集.3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ⋅⋅⋅表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R .4. 元素及集合之间的关系是属于（belong to ）及不属于（not belong to ），分别用符号∈、∉表示，例如3N ∈，2N -∉.¤例题精讲：【例1】试分别用列举法和描绘法表示下列集合：（1）由方程2(23)0x x x --=的全部实数根组成的集合； （2）大于2且小于7的整数. 解：（1）用描绘法表示为：2{|(23)0}x R x x x ∈--=； 用列举法表示为{0,1,3}-.（2）用描绘法表示为：{|27}x Z x ∈<<； 用列举法表示为{3,4,5,6}.【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有：17 A ； －5 A ； 17 B . 解：由3217k +=，解得5k Z =∈，所以17A ∈；由325k +=-，解得73k Z =∉，所以5A -∉；由6117m -=，解得3m Z =∈，所以17B ∈.【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4） （1）一次函数3y x =+及26y x =-+的图象的交点组成的集合； （2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （3）反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合.解：（1）3{(,)|}{(1,4)}26y x x y y x =+⎧=⎨=-+⎩.（2）2{|4}{|4}y y x y y =-=≥-. （3）2{|}{|0}x y x x x==≠.点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4}，也留意比照（2）及（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时肯定要细心.*【例4】已知集合2{|1}2x a A a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ．解：化方程212x a x +=-为：2(2)0x x a --+=．应分以下三种状况：⑴方程有等根且不是2±：由 △=0，得94a =-，此时的解为12x =，合．⑵方程有一解为2，而另一解不是2-：将2x =代入得2a =-，此时另一解12x =-，合．⑶方程有一解为2-，而另一解不是2：将2x =-代入得2a =，此时另一解为21x =+，合．综上可知，9{,2,2}4A =--．点评：运用分类探讨思想方法，探讨出根的状况，从而列举法表示. 留意分式方程易造成增根的现象.第2讲 §1.1.2 集合间的根本关系¤学习目的：理解集合之间包含及相等的含义，能识别给定集合的子集；在详细情境中，理解全集及空集的含义；能利用Venn 图表达集合间的关系.¤学问要点：1. 一般地，对于两个集合A 、B ，假如集合A 中的随意一个元素都是集合B 中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A 是集合B 的子集（subset ），记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）.2. 假如集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊇），即集合A 及集合B 的元素是一样的，因此集合A 及集合B 相等，记作A B =.3. 假如集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作A ≠⊂B （或B ≠⊃A ）. 4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set ），记作∅，并规定空集是任何集合的子集.5. 性质：A A ⊆；若A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆；若A B A =，则A B ⊆；若A B A =，则B A ⊆. ¤例题精讲：【例1】用适当的符号填空：（1）{菱形} {平行四边形}； {等腰三角形} {等边三角形}.（2）∅ 2{|20}x R x ∈+=； 0 {0}； ∅ {0}； N {0}. 解：（1）， ；（2）=， ∈， ，.A BBA AB A B A ． B ．C ．D ．【例2】设集合1,,}22{|,{|n n x n n A x x B x =∈=+∈==Z}Z ，则下列图形能表示A 及B关系的是（ ）.解：简洁列举两个集合的一些元素，3113{,1,,0,,1,,}2222A =⋅⋅⋅---⋅⋅⋅，3113{,,,,,}2222B =⋅⋅⋅--⋅⋅⋅，易知B ≠⊂A ，故答案选A ．另解：由21,}2{|n x n B x +=∈=Z ，易知B ≠⊂A ，故答案选A ． 【例3】若集合{}{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M ⊆，务实数a 的值.解：由26023x x x +-=⇒=-或，因此，{}2,3M =-. （i ）若0a =时，得N =∅，此时，N M ⊆；（ii ）若0a ≠时，得1{}N a =. 若N M ⊆,满意1123a a ==-或，解得1123a a ==-或.故所务实数a 的值为0或12或13-.点评：在考察“A B ⊆”这一关系时，不要遗忘“∅” ，因为A =∅时存在A B ⊆.从而须要分状况探讨. 题中探讨的主线是根据待定的元素进展.【例4】已知集合A ={a ,a +b ,a +2b }，B ={a ,ax ,ax 2}. 若A =B ，务实数x 的值. 解：若⇒a +ax 2-2ax =0, 所以a (x -1)2=0，即a =0或x =1. 当a =0时，集合B 中的元素均为0，故舍去； 当x =1时，集合B 中的元素均一样，故舍去. 若⇒2ax 2-ax -a =0.因为a ≠0，所以2x 2-x -1=0, 即(x -1)(2x +1)=0. 又x ≠1，所以只有12x =-.经检验，此时A =B 成立. 综上所述12x =-.点评：抓住集合相等的定义，分状况进展探讨. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.第3讲 §1.1.3 集合的根本运算（一）¤学习目的：理解两个集合的并集及交集的含义，会求两个简洁集合的并集及交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能运用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.¤学问要点：集合的根本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并驾驭符号等，再念属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 及B 的并集（union set ）集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 及B 的交集（intersection set ）不属于集合A 的全部元素组成的集合，称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）记号 A B （读作“A 并B ”） A B （读作“A 交B ”）UA （读作“A 的补集”）符号 {|,}AB x x A x B =∈∈或{|,}AB x x A x B =∈∈且{|,}UA x x U x A =∈∉且图形表示¤例题精讲：【例1】设集合,{|15},{|39},,()U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<<求. 解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示： {|35}A B x x =<≤，(){|1,9}U C A B x x x =<-≥或，【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求： （1）()A B C ； （2）()A A B C . 解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------. （1）又{}3B C =，∴()A B C ={}3； （2）又{}1,2,3,4,5,6B C =， 得{}()6,5,4,3,2,1,0A C B C =------.∴ ()A A C B C {}6,5,4,3,2,1,0=------.【例3】已知集合{|24}A x x =-<<，{|}B x x m =≤，且A B A =，务实数m 的取值范围.解：由A B A =，可得A B ⊆.在数轴上表示集合A 及集合B ，如右图所示：由图形可知，4m ≥.点评：探讨不等式所表示的集合问题，经常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特殊要留意是否含端点的问题.【例4】已知全集*{|10,}U x x x N =<∈且，{2,4,5,8}A =，{1,3,5,8}B =，求()U C A B ，()U C A B ，()()U U C A C B ， ()()U U C A C B ，并比拟它们的关系.解：由{1,2,3,4,5,8}A B =，则(){6,7,9}U C A B =. 由{5,8}A B =，则(){1,2,3,4,6,7,9}U C A B = 由{1,3,6,7,9}U C A =，{2,4,6,7,9}U C B =， 则()(){6,7,9}U U C A C B =， ()(){1,2,3,4,6,7,9}U U C A C B =.由计算结果可以知道，()()()U U U C A C B C A B =，UA-2 4 m x B A A BB A()()()U U U C A C B C AB =.另解：作出Venn 图，如右图所示，由图形可以干脆视察出来结果.点评：可用Venn 图探讨()()()U U U C A C B C A B =及()()()U U U C A C B C A B = ，在理解的根底记住此结论，有助于今后快速解决一些集合问题.第4讲 §1.1.3 集合的根本运算（二）¤学习目的：驾驭集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简洁的问题；驾驭集合运算中的一些数学思想方法.¤学问要点：1. 含两个集合的Venn 图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn 图理解和驾驭各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发觉一些集合性质：()()()U U U C A B C A C B =,()()()U U U C A B C A C B =.2. 集合元素个数公式：()()()()n A B n A n B n A B =+-.3. 在探讨集合问题时，经常用到分类探讨思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考察创新思维.¤例题精讲：【例1】设集合{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，若{}9A B =，务实数a 的值.解：由于{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，且{}9A B =，则有：当219 a -＝时，解得5a ＝，此时={4, 9, 25}={9, 0, 4}A B －，－，不合题意，故舍去； 当29a ＝时，解得33a ＝或－.3 ={4,5,9} ={9,2,2}a A B ＝时，－，－－，不合题意，故舍去； 3={4, 7 9}={9, 8, 4}a A B ＝－，－－，，－，合题意. 所以，3a ＝－.【例2】设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求A B , A B .（教材P 14 B 组题2）解：{1,4}B =.当3a =时，{3}A =，则{1,3,4}A B =，A B =∅； 当1a =时，{1,3}A =，则{1,3,4}A B =，{1}A B =； 当4a =时，{3,4}A =，则{1,3,4}A B =，{4}A B =；当3a ≠且1a ≠且4a ≠时，{3,}A a =，则{1,3,4,}A B a =，A B =∅.点评：集合A 含有参数a ，须要对参数a 进展分状况探讨. 罗列参数a 的各种状况时，需根据集合的性质和影响运算结果的可能而进展分析，不多不少是分类的原则.【例3】设集合A ={x |240x x +=}， B ={x |222(1)10x a x a +++-=，a R ∈}，若A B =B ，务实数a 的值．解：先化简集合A ={4,0}-. 由A B =B ，则B ⊆A ，可知集合B 可为∅，或为{0}，或{－4}，或{4,0}-.(i )若B =∅，则224(1)4(1)0a a ∆=+--<，解得a ＜1-； (ii )若0∈B ，代入得2a 1-=0⇒a =1或a =1-， 当a =1时，B =A ，符合题意；当a =1-时，B ={0}⊆A ，也符合题意．(iii )若－4∈B ，代入得2870a a -+=⇒a =7或a =1， 当a =1时，已经探讨，符合题意；当a =7时，B ={－12，－4}，不符合题意． 综上可得，a =1或a ≤1-．点评：此题考察分类探讨的思想，以及集合间的关系的应用. 通过深入理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时，特殊简洁出现的错误是遗漏了A =B 和B =∅的情形，从而造成错误．这须要在解题过程中要全方位、多角度谛视问题.【例4】对集合A 及B ，若定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，当集合*{|8,}A x x x N =≤∈，集合{|(2)(5)(6)0}B x x x x x =---=时，有A B -= . （由教材P 12 补集定义“集合A 相对于全集U 的补集为{|,}U C A x x x A =∈∉且”而拓展）解：根据题意可知，{1,2,3,4,5,6,7,8}A =，{0,2,5,6}B = 由定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，则 {1,3,4,7,8}A B -=.点评：运用新定义解题是学习实力的开展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的本质性内涵，这里新定义的含义是从A 中解除B 的元素. 假如再给定全集U ，则A B -也相当于()U A C B .第5讲 §1.2.1 函数的概念¤学习目的：通过丰富实例，进一步体会函数是描绘变量之间的依靠关系的重要数学模型，在此根底上学惯用集合及对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；理解构成函数的要素，会求一些简洁函数的定义域和值域.¤学问要点：1. 设A 、B 是非空的数集，假如按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的随意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作y =()f x ，x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），及x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.2. 设a 、b 是两个实数，且a <b ，则：{x |a ≤x ≤b }＝[a ,b ] 叫闭区间； {x |a <x <b }＝(a ,b ) 叫开区间；{x |a ≤x <b }＝[,)a b ， {x |a <x ≤b }＝(,]a b ，都叫半开半闭区间. 符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则 {|}(,)x x a a >=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞. 3. 确定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别一样时，函数才是同一函数.¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域： （1）；（2）. 解：（1）由210x +-≠，解得1x ≠-且3x ≠-， 所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞. （2）由，解得3x ≥且9x ≠，所以原函数定义域为[3,9)(9,)+∞.【例2】求下列函数的定义域及值域：（1）3254x y x+=-； （2）22y x x =-++.解：（1）要使函数有意义，则540x -≠，解得54x ≠. 所以原函数的定义域是5{|}4x x ≠.32112813(45)233233305445445445444x x x y x x x x ++-+==⨯=⨯=-+≠-+=-----，所以值域为3{|}4y y ≠-.（2）22192()24y x x x =-++=--+. 所以原函数的定义域是R ，值域是9(,]4-∞.【例3】已知函数1()1x f x x-=+. 求：（1）(2)f 的值； （2）()f x 的表达式解：（1）由121x x -=+，解得13x =-，所以1(2)3f =-.（2）设11x t x -=+，解得11t x t -=+，所以1()1t f t t -=+，即1()1x f x x-=+.点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有干脆给出，称为抽象函数的探讨，经常须要结合换元法、特值代入、方程思想等.【例4】已知函数.（1）求1()()f x f x+的值；（2）计算：111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++.解：（1）由2222222221111()()1111111x x x x f x f x x x x x x++=+=+==+++++. （2）原式11117(1)((2)())((3)())((4)())323422f f f f f f f =++++++=+=点评：对规律的发觉，能使我们施行巧算. 正确探究出前一问的结论，是解答后一问的关键.第6讲 §1.2.2 函数的表示法¤学习目的：在实际情境中，会根据不同的须要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数；通过详细实例，理解简洁的分段函数，并能简洁应用；理解映射的概念.¤学问要点：1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反响改变趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.2. 分段函数的表示法及意义（一个函数，不同范围的x ，对应法则不同）.3. 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，假如按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的随意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 及之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →”.判别一个对应是否映射的关键：A 中随意，B 中唯一；对应法则f . ¤例题精讲：【例1】如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．解：盒子的高为x ，长、宽为2a x －，所以体积为V ＝2(2)x a x －.又由20a x >－，解得2a x <.所以，体积V 以x 为自变量的函数式是2(2)V x a x =－，定义域为{|0}2a x x <<.【例2】已知f (x )= ，求f [f (0)]的值. 解：∵ 0(,1)∈-∞， ∴ f (0)=32. 又 ∵ 32>1，∴ f (32)=(32)3+(32)-3=2+12=52，即f [f (0)]=52.【例3】画出下列函数的图象：（1）|2|y x =-； （教材P 26 练习题3） （2）|1||24|y x x =-++. 解：（1）由肯定值的概念，有.所以，函数|2|y x =-的图象如右图所示.（2）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，所以，函数|1||24|y x x =-++的图象如右图所示.点评：含有肯定值的函数式，可以采纳分零点探讨去肯定值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段状况，选择相应的解析式作出函数图象.【例4】函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，当( 2.5,3]x ∈-时，写出()f x 的解析式，并作出函数的图象.解：3, 2.522,211,10()0,011,122,233,3x x x f x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪--≤<⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪=⎩. 函数图象如右： 点评：解题关键是理解符号[]m 的概念，抓住分段函数的对应函数式.第7讲 §1.3.1 函数的单调性¤学习目的：通过已学过的函数特殊是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和探讨函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，驾驭增（减）函数的证明和判别.¤学问要点：1. 增函数：设函数y =f (x )的定义域为I ，假如对于定义域I 内的某个区间D 内的随意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是增函数（increasing function ）. 仿照增函数的定义可定义减函数.2. 假如函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫f(x )的单调区间. 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）. 由此，可以直观视察函数图象上升及下降的改变趋势，得到函数的单调区间及单调性.3. 推断单调性的步骤：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1<x 2；→计算f (x 1)－f (x 2) →推断符号→下结论.¤例题精讲：【例1】试用函数单调性的定义推断函数2()1x f x x =-在区间（0，1）上的单调性. 解：任取12,x x ∈(0,1)，且12x x <. 则1221121212222()()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x --=-=----. 由于1201x x <<<，110x -<，210x -<，210x x ->，故12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >.所以，函数2()1x f x x =-在（0，1）上是减函数.【例2】求二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<的单调区间及单调性.解：设随意12,x x R ∈，且12x x <. 则22121122()()()()f x f x ax bx c ax bx c -=++-++221212()()a x x b x x =-+-1212()[()]x x a x x b =-++. 若0a <，当122b x x a<≤-时，有120x x -<，12b x x a+<-，即12()0a x x b ++>，从而12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 在(,]2b a-∞-上单调递增. 同理可得()f x 在[,)2ba-+∞上单调递减. 【例3】求下列函数的单调区间： （1）|1||24|y x x =-++；（2）22||3y x x =-++.解：（1）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，其图象如右.由图可知，函数在[2,)-+∞上是增函数，在(,2]-∞-上是减函数.（2）22223,02||323,0x x x y x x x x x ⎧-++≥⎪=-++=⎨--+<⎪⎩，其图象如右.由图可知，函数在(,1]-∞-、[0,1]上是增函数，在[1,0]-、[1,)+∞上是减函数.点评：函数式中含有肯定值，可以采纳分零点探讨去肯定值的方法，将函数式化为分段函数. 第2小题也可以由偶函数的对称性，先作y 轴右侧的图象，并把y 轴右侧的图象对折到左侧，得到(||)f x 的图象. 由图象探讨单调性，关键在于正确作出函数图象.【例4】已知31()2x f x x +=+，指出()f x 的单调区间. 解：∵ 3(2)55()322x f x x x +--==+++， ∴ 把5()g x x-=的图象沿x 轴方向向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到()f x 的图象，如图所示.由图象得()f x 在(,2)-∞-单调递增，在(2,)-+∞上单调递增.点评：变形后结合平移学问，由平移变换得到一类分式函数的图象. 需知()f x a b ++平移变换规律.第8讲 §1.3.1 函数最大（小）值¤学习目的：通过已学过的函数特殊是二次函数，理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图像理解和探讨函数的性质. 能利用单调性求函数的最大（小）值.¤学问要点：1. 定义最大值：设函数()y f x =的定义域为I ，假如存在实数M 满意：对于随意的x ∈I ，都有()f x ≤M ；存在x 0∈I ，使得0()f x = M . 那么，称M 是函数()y f x =的最大值（Maximum Value ）. 仿照最大值定义，可以给出最小值（Minimum Value ）的定义.2. 配方法：探讨二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值，先配方成后，当0a >时，函数取最小值为；当0a <时，函数取最大值.3. 单调法：一些函数的单调性，比拟简洁视察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4. 图象法：先作出其函数图象后，然后视察图象得到函数的最大值或最小值. ¤例题精讲：【例1】求函数261y x x =++的最大值.解：配方为，由2133()244x ++≥，得.所以函数的最大值为8.【例2】某商人假如将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 如今他采纳进步售出价，削减进货量的方法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要削减10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.解：设他将售出价定为x 元，则进步了(10)x -元，削减了10(10)x -件，所赚得的利润为(8)[10010(10)]y x x =---.即2210280160010(14)360y x x x =-+-=--+. 当14x =时，max 360y =. 所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大, 最大利润为360元.【例3】求函数21y x x =+-的最小值.解：此函数的定义域为[)1,+∞，且函数在定义域上是增函数， 所以当1x =时，min 2112y =+-=，函数的最小值为2.点评：形如y ax b cx d =+±+的函数最大值或最小值，可以用单调性法探讨，也可以用换元法探讨.【另解】令1x t -=，则0t ≥，21x t =+，所以22115222()48y t t t =++=++，在0t ≥时是增函数，当0t =时，min 2y =，故函数的最小值为2.【例4】求下列函数的最大值和最小值：（1）25332,[,]22y x x x =--∈-； （2）|1||2|y x x =+--. 解：（1）二次函数232y x x =--的对称轴为2b x a=-，即1x =-. 画出函数的图象，由图可知，当1x =-时，max 4y =； 当32x =时，min 94y =-. 所以函数25332,[,]22y x x x =--∈-的最大值为4,最小值为94-. （2） 3 (2)|1||2|2 1 (12)3 (1)x y x x x x x ≥⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-≤-⎩.作出函数的图象，由图可知，[3,3]y ∈-. 所以函数的最大值为3, 最小值为-3. 点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间及对称轴的关系，结合图象进展分析. 含肯定值的函数，常分零点探讨去肯定值，转化为分段函数进展探讨. 分段函数的图象留意分段作出.第9讲 §1.3.2 函数的奇偶性¤学习目的：结合详细函数，理解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和探讨函数的性质. 理解奇函数、偶函数的几何意义，能娴熟判别函数的奇偶性.¤学问要点：1. 定义：一般地，对于函数()f x 定义域内的随意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（even function ）. 假如对于函数定义域内的随意一个x ，都有()()f x f x -=-），那么函数()f x 叫奇函数（odd function ）. 2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y 轴轴对称.3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比拟法、计算和差、比商法等判别()f x -及()f x 的关系.¤例题精讲：【例1】判别下列函数的奇偶性：（1）31()f x x x=-； （2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x =-. 解：（1）原函数定义域为{|0}x x ≠，对于定义域的每一个x ，都有3311()()()()f x x x f x x x-=--=--=--， 所以为奇函数. （2）原函数定义域为R ，对于定义域的每一个x ，都有()|1||1||1||1|()f x x x x x f x -=--+-+=-++=，所以为偶函数.（3）由于23()()f x x x f x -=+≠±，所以原函数为非奇非偶函数.【例2】已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1()()1f xg x x -=+，求()f x 、()g x . 解：∵ ()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴ ()()f x f x -=-，()()g x g x -=.则，即.两式相减，解得2()1x f x x =-；两式相加，解得21()1g x x =-. 【例3】已知()f x 是偶函数，0x ≥时，2()24f x x x =-+，求0x <时()f x 的解析式.解：作出函数22242(1)2,0y x x x x =-+=--+≥的图象，其顶点为(1,2).∵ ()f x 是偶函数， ∴ 其图象关于y 轴对称.作出0x <时的图象，其顶点为(1,2)-，且及右侧形态一样，∴ 0x <时，22()2(1)224f x x x x =-++=--.点评：此题中的函数本质就是224||y x x =-+. 留意两抛物线形态一样，则二次项系数a 的肯定值一样. 此类问题，我们也可以干脆由函数奇偶性的定义来求，过程如下.【另解】当0x <时，0x ->，又由于()f x 是偶函数，则()()f x f x =-，所以，当0x <时，22()()2()4()24f x f x x x x x =-=--+-=--.【例4】设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(,0)-∞上是减函数，实数a 满意不等式22(33)(32)f a a f a a +-<-，务实数a 的取值范围.解：∵ ()f x 在区间(,0)-∞上是减函数， ∴ ()f x 的图象在y 轴左侧递减.又 ∵ ()f x 是奇函数，∴()f x 的图象关于原点中心对称，则在y 轴右侧同样递减.又 (0)(0)f f -=-，解得(0)0f =， 所以()f x 的图象在R 上递减.∵ 22(33)(32)f a a f a a +-<-，∴ 223332a a a a +->-，解得1a >.点评：定义在R 上的奇函数的图象肯定经过原点. 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性一样，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.集合及函数根底测试一、选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求)1．函数y ＝＝x 2－6x ＋10在区间（2，4）上是（ ）A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增D ．选递增再递减．2．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是 （ ）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{3．已知集合A ={a ，b ，c },下列可以作为集合A 的子集的是 （ ）A. aB. {a ，c }C. {a ，e }D.{a ，b ，c ，d }4．下列图形中，表示N M ⊆的是 （ ）M N A M N B N M C M N D5．下列表述正确的是 （ ）A.}0{=∅B. }0{⊆∅C. }0{⊇∅D. }0{∈∅6、设集合A ＝{x|x 参与自由泳的运发动}，B ＝{x|x 参与蛙泳的运发动}，对于“既参加自由泳又参与蛙泳的运发动”用集合运算表示为 ( )A.A∩BB.A ⊇BC.A∪BD.A ⊆B7.集合A={x Z k k x ∈=,2} ,B={Z k k x x ∈+=,12} ,C={Z k k x x ∈+=,14}又,,B b A a ∈∈则有（ ）A.（a+b ）∈ AB. (a+b) ∈BC.(a+b) ∈ CD. (a+b) ∈ A 、B 、C 任一个8．函数f （x ）＝－x 2＋2（a －1）x ＋2在（－∞，4）上是增函数，则a 的范围是（ ）A ．a ≥5B ．a ≥3C ．a ≤3D ．a ≤－59.满意条件{1,2,3}⊂≠M ⊂≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是 （ ）A. 8B. 7C. 6D. 510.全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ，6 }，那么集合 { 2 ，7 ，8}是 （ ）A. A BB. B AC. B C A C U UD. B C A C U U11.下列函数中为偶函数的是（ ）A ．x y =B ．x y =C ．2x y =D ．13+=x y12. 假如集合A={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是 （ ）A ．0B ．0 或1C ．1D ．不能确定二、填空题(共4小题，每题4分，把答案填在题中横线上)13．函数f （x ）＝2×2－3｜x ｜的单调减区间是___________．14．函数y ＝11＋x 的单调区间为___________． 15.含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成}0,,{2b a a +，则=+20042003b a .16.已知集合}33|{≤≤-=x x U ，}11|{<<-=x x M ，}20|{<<=x x N C U 那么集合=N ，=⋂)(N C M U ，=⋃N M .三、解答题(共4小题，共44分）17. 已知集合}04{2=-=x x A ，集合}02{=-=ax x B ，若A B ⊆，务实数a 的取值集合．18. 设f （x ）是定义在R 上的增函数，f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），f （3）＝1，求解不等式f （x ）＋f （x －2）＞1．19. 已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 3＋2x 2—1，求f （x ）在R 上的表达式．20. 已知二次函数222)1(2)(m m x m x x f -+-+-=的图象关于y 轴对称，写出函数的解析表达式，并求出函数)(x f 的单调递增区间.必修1 第一章 集合测试集合测试参考答案：一、1~5 CABCB 6~10 ABACC 11~12 cB二、13 ［0，43］，（－∞，－43）14 （－∞，－1），（－1，＋∞） 15 -1 16 03|{≤≤-=x x N 或}32≤≤x ；}10|{)(<<=⋂x x N C M U ；13|{<≤-=⋃x x N M 或}32≤≤x . 三、17 .{0.-1,1}； 18. 解：由条件可得f （x ）＋f （x －2）＝f ［x （x －2）］，1＝f （3）．所以f ［x （x －2）］＞f （3），又f （x ）是定义在R 上的增函数，所以有x （x －2）＞3，可解得x ＞3或x ＜－1．答案：x ＞3或x ＜－1．19. ．解析：本题主要是培育学生理解概念的实力．f （x ）＝x 3＋2x 2－1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝-1．当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3＋2（－x ）2－1＝－x 3＋2x 2－1， ∴f （x ）＝x 3－2x 2＋1．20. 二次函数222)1(2)(m m x m x x f -+-+-=的图象关于y 轴对称，∴1=m ，则1)(2+-=x x f ，函数)(x f 的单调递增区间为(]0,∞-.．。
高一数学必修1第一章1-2-2-2
第一章
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第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
映射是一种特殊的对应，它具有： ①方向性：映射是有次序的，一般地从 A 到 B 的映射与 从 B 到 A 的映射是不同的； ②任意性：集合 A 中的任意一个元素在 B 中都有元素和 它对应，但不要求 B 中的每一个元素在 A 中都有元素和它对 应；
)
[答案]
D
第一章
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6．某班连续进行了 5 次数学测试，其中智方同学 成绩 如表所示，在这个函数中，定义域是 {1,2,3,4,5} {85,88,86,93,95} . 次数 1 2 88 3 93 4 86 5 95 ，值域是
分数 85
第一章
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规律总结：函数图象直观清晰，能够帮助我们理解概 念和有关性质．数形结合是研究数学的一种重要方法，画函 数的图象是学习数学必须掌握的一个重要技能．因此，我们 在学习中要养成画图的习惯，并会用函数的图象来理解函数 的性质．
第一章
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m≤－2， (3)f(m)>m ⇔ m＋1>m， m≥2， m>1
m≥2， 或 2m－1>m
⇔ m≤ － 2 ， 或
⇔m≤－2，或 m≥2.
所以，所求 m 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
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第2课时