19-20学年广西南宁三中高二上学期期末数学试卷 (含答案解析)

19-20学年广西南宁三中高二上学期期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.设x∈R，则“0

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

2.若命题“ax2?2ax+3>0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是()

A. (?∞,0)∪[3,+∞)

B. (?∞,0]∪[3,+∞)

C. (?∞,0)∪(3,+∞)

D. (0,3)

3.已知x>0，y>0，且x+y=1，则1

x +1

y

的最小值为()

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

4.直线x+2y=0被圆(x?1)2+(y?2)2=10所截得的弦长等于()

A. √5

B. √3

C. 4√5

D. 2√5

5.某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的

概率为()

A. 1

10B. 1

5

C. 3

10

D. 2

5

6.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，

BC=1，则质点落在以CD为直径的半圆内的概率是()

A. π

8B. π

6

C. π

4

D. π

2

7.已知实数x，y满足约束条件，则z=?2x+y的最大值是()

A. 1

B. 2

C. ?1

D. 0

8.正方体ABCD?A1B1C1D1，异面直线AB1，BC1所成的角是()

A. π

6B. π

4

C. π

3

D. π

2

9.设抛物线y2=4x上的一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离为()

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

10.函数y=1

2

x2?lnx的单调递减区间是()

A. (1,+∞)

B. (0,+∞)

C. (0,1)

D. (?1,1)

11. 如图所示点F 是抛物线y 2=8x 的焦点，点A ，

B 分别在抛物线y 2=8x 及圆x 2+y 2?4x ?12=0的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则△FAB 的周长的取值范围是( )

A. (6,10)

B. (8,12)

C. [6,8]

D. [8,12]

12. 过双曲线

x 2a 2

?y 2

b 2=1(a >0,b >0)的右顶点A 作斜率为?1的直线，该直线与双曲线的两条渐近

线的交点分别为B ，C.若AB ?????

=1

2BC ????? ，则双曲线的离心率是( ) A. √2 B. √3

C. √5

D. √10

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若实数x ，y 满足(x ?2)2+y 2=1，则y

x 的最大值是______ ． 14. 设F 1，F 2为双曲线

x 2a 2

?y 2=1的两个焦点，已知点P 在此双曲线上，且PF 1??????? ?PF 2??????? =0.若此双曲

线的离心率等于√52

，则点P 到x 轴的距离等于______ ．

15. 若函数f(x)=x ?alnx 在点(1,1)处的切线方程为y =2x ?1，则实数a =_______． 16. 设F 1，

F 2分别是椭圆x 2

25

+y 2

16=1的左，右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM|+|PF 1|的最大值为______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

17. 已知等差数列{a n }的首项a 1=1，且a 2+1、a 3+1、a 4+2构成等比数列．

(1)求数列{a n }的通项公式 (2)设b n =2

a n a n+1

，求数列{b n }的前n 项和S n

18.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，a(sin A?sin B)=(c?b)(sin B+sin C)．

(1)求角C的值；

(2)若a=4b，求sin B的值．

19.设函数f(x)=xe a?x+bx，曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e?1)x+4

(1)求a，b的值；

(2)求f(x)的单调区间．

20.共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服

务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问

卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照[50,60),[60,70)，…，[90,100]分成5组，制成如图所示频率分布直方图．

(1)求图中x的值；

(2)求这组数据的平均数和中位数；

(3)已知满意度评分值在[50,60)内的男生数与女生数的比为3:2，若在满意度评分值为[50,60)的

人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女生的概率．

21.如图，四棱锥S?ABCD中，SA=SD=BC，底面ABCD为正方形，

且平面SAD⊥平面ABCD，M，N分别是AB，SC的中点．

(1)若R为CD中点，分别连接MR，RN，NM，求证：BC//平面

MNR；

(2)求二面角S?CM?D的余弦值．

22.设圆x2+y2+2x?15=0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两

点，过B作AC的平行线交AD于点E．

(Ⅰ)证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：A

解析：

利用一元二次不等式的解法可得x2?2x?3<0的解集，即可判断出结论．

本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解：x2?2x?3<0化为：(x?3)(x+1)<0，解得?1

∴0

故选A．

2.答案：A

解析：

本题考查了命题的真假的应用，转化是关键，属于基础题．

命题“ax2?2ax+3>0恒成立”是假命题，即“存在x0∈R，使ax02?2ax0+3≤0”，分类讨论即可．

解：命题“ax2?2ax+3>0恒成立”是假命题，

即“存在x0∈R，使ax02?2ax0+3≤0”，

当a=0时，不符合题意；

当a<0时，符合题意；

当a>0时，Δ=4a2?12a≥0，即a≥3，

综上，实数a的取值范围是：(?∞,0)∪[3,+∞)．

故选A．

3.答案：D

解析：

利用“1”的代换的思想，将1

x

+1

y

转化为(1x+1y)(x+y)，展开，利用基本不等式即可求得1x+1y的最

小值．

本题考查了基本不等式在最值问题中的应用．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三

相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．属于中档题． 解：∵x +y =1，

∴1

x +1

y =(1

x +1

y )(x +y)=y

x +x

y +2≥2√y

x ?x

y +2=4，

当且仅当y

x =x

y ，即x =y =1

2时取“=”，

∴1x +1

y 的最小值为4． 故选：D ．

4.答案：D

解析：

利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，再由垂径定理得答案． 本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用垂径定理求弦长，是基础题． 解：圆(x ?1)2+(y ?2)2=10的 圆心坐标为(1,2)，半径为√10， 圆心到直线x +2y =0的距离d =

√5

=√5，

∴直线x +2y =0被圆(x ?1)2+(y ?2)2=10 所截得的弦长为2√(√10)2?(√5)2=2√5． 故选：D ．

5.答案：C

解析：

本题考查古典概型的计算，记2名男生分别为A ，B ，3名女生分别为a ，b ，c ，将任选两名学生的所有情况写出来，再找出两名学生都是女生的情况，即可求出恰好选中2名女生的概率． 解：记2名男生分别为A ，B ，3名女生分别为a ，b ，c ，

则从中任选2名学生有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，ab ，ac ，bc ，共10种情况， 其中恰好选中2名女生有ab ，ac ，bc ，共3种情况， 故所求概率为3

10． 故选C

6.答案：C

解析：解：∵AB =2，BC =1， ∴长方体的ABCD 的面积S =1×2=2， 圆的半径r =1，半圆的面积S =π

2，

则由几何槪型的概率公式可得质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是π2

2=π4，

故选：C ．

利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论．

本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的图形的面积是解决本题的关键，比较基础．

7.答案：C

解析：

本题考查线性规划，考查学生数形结合思想，属于中档题．

先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z =?2x +y 表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可．

解：由实数 x,?y 满足约束条件 ，作出可行域如图，

联立 {x ?y =0y =1解得 A(1,1)，化目标函数z =?2x +y 为y =2x +z ，

由图可知，当直线y =2x +z 过点A 时，直线在y 轴上的截距最大， 此时z 有最大值为?1， 故选C ．

8.答案：C

解析：解：如图，∵BC1//AD1，

∴∠D1AB1即为异面直线AB1，BC1所成的角

在三角形D1AB1中，AD1=AB1=B1D1，

∴∠D1AB1=π

3

∴异面直线AB1，BC1所成的角是π

3

故选C

连接AD1，B1D1，由BC1//AD1，即可得∠D1AB1即为异面直线AB1，BC1所成的角，再在平面三角形D1AB1中，计算此角即可

本题主要考查了正方体的几何特征，异面直线所成的角的作法、证法、求法，空间问题转化为平面问题的思想方法，属基础题

9.答案：C

解析：解：由于抛物线y2=4x上一点P到y轴的距离是4，故点P的横坐标为4．

再由抛物线y2=4x的准线为x=?1，

以及抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离，

故点P到该抛物线焦点的距离是4?(?1)=5，

故选：C．

由题意可得点P的横坐标为4，由抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线x=?1的距离，由此求得结果．

本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．

10.答案：C

解析：解：函数y=1

2

x2?lnx的定义域为(0,+∞)．

令y′=x?1

x =x2?1

x

<0，解得0

∴函数y=1

2

x2?lnx的单调递减区间是(0,1)．

故选：C．

令y′=x?1

x

<0，解出即可．

本题考查了利用导数研究函数的单调性，属于基础题．

利用函数的导数公式求得原函数的导数，求导数小于0的区间即是增区间．

11.答案：B

解析：

本题考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，属于中档题．

由抛物线定义可得|AF|=x A +2，从而△FAB 的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A +2+(x B ?x A )+4=6+x B ，确定B 点横坐标的范围，即可得到结论． 解：抛物线的准线l ：x =?2，焦点F(2,0)， 由抛物线定义可得|AF|=x A +2，

圆(x ?2)2+y 2=16的圆心为(2,0)，半径为4， ∴△FAB 的周长=|AF|+|AB|+|BF| =x A +2+(x B ?x A )+4=6+x B ，

由抛物线y 2=8x 及圆(x ?2)2+y 2=16可得交点的横坐标为2， ∴x B ∈(2,6)， ∴6+x B ∈(8,12)， 故选B ．

12.答案：C

解析：

本题考查双曲线的渐近线方程及离心率公式，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．

分别表示出直线l 和两个渐近线的交点，进而表示出AB ????? 和BC ????? ，进而根据AB ?????

=1

2BC ????? 求得a 和b 的关系，进而根据c 2?a 2=b 2，求得a 和c 的关系，则离心率可得． 解：直线l ：y =?x +a 与渐近线l 1：bx ?ay =0交于B(

a 2

a+b ,ab

a+b

)，

l 与渐近线l 2：bx +ay =0交于C(a 2

a?b ,

?ab

a?b

)，A(a,0)，

∴AB ????? =(?

ab a+b

,

ab

a+b

)，BC ????? =(2a 2b a 2?b 2

,?2a 2b

a 2?

b 2)， ∵AB ????? =12

BC ????? ，

∴

?ab a+b

=

a 2

b a ?b ，b =2a ，

∴c 2?a 2=4a 2， ∴e 2=c 2

a 2=5，∴e =√5， 故选C ．

13.答案：√33

解析：解：y

x 的最值即为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率．

设y

x =k ，则kx ?y =0.由√1+k 2=1，得k =±√3

3

，

故(y x )max =√3

3． 故答案为：√3

3．

利用y

x 的几何意义，以及圆心到直线的距离等于半径，求出k 的值，可得最大值． 本题考查直线的斜率，直线与圆的位置关系，考查计算能力，是基础题．

14.答案：√5

5

解析：解：设点P(x,y)， 由双曲线

x 2

a 2

?y 2=1，双曲线的离心率等于√52

，可得a =2， ∴F 1(?√5,0)、F 2(√5,0)， ∵PF 1??????? ?PF 2??????? =0， ∴PF 1⊥PF 2， ∴x+

√

5?

x?

√5

=?1，

∴x 2+y 2=5， 代入双曲线方程

x 24

?y 2=1，

∴y2=1

，

5

∴|y|=√5

，

5

∴P到x轴的距离是√5

，

5

．

故答案为√5

5

设出点P坐标(x,y)，由PF1⊥PF2得到一个方程，将此方程代入双曲线的方程，消去x，求出|y|的值，即得点P到x轴的距离．

本题以双曲线为载体，考查双曲线的几何性质，考查双曲线方程的运用，属于基础题．

15.答案：?1

解析：

本题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，属于基础题．

求出函数的导数，得到切线的斜率，由条件可得a的方程，即可得到所求值．

，

解：函数f(x)=x?alnx的导数为f′(x)=1?a

x

由在点(1,1)处的切线方程为y=2x?1，

可得在点(1,1)处的切线斜率为1?a=2，

解得a=?1.

故答案为?1．

16.答案：15

解析：解：由题意F2(3,0)，|MF2|=5，

由椭圆的定义可得，|PM|+|PF1|=2a+|PM|?|PF2|=10+|PM|?|PF2|≤10+|MF2|=15，当且仅当P，F2，M三点共线时取等号，

故答案为：15．

由椭圆的定义可得，|PM|+|PF1|=2a+|PM|?|PF2|≤2a+|MF2|，由此可得结论．

本题考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．

17.答案：解：(1)等差数列{a n}的首项a1=1，公差设为d，

a2+1、a3+1、a4+2构成等比数列，可得

(a3+1)2=(a2+1)(a4+2)，

即为(2+2d)2=(2+d)(3+3d)，

解得d=2或?1，

当d=?1时，a2+1=0，不成立，舍去，则d=2，a1=1，

可得a n=2n?1；

(2)b n=2

a n a n+1=2

(2n?1)(2n+1)

=1

2n?1

?1

2n+1

，

前n项和S n=1?1

3+1

3

?1

5

+?+1

2n?1

?1

2n+1

=1?1

2n+1=2n

2n+1

．

解析：(1)设公差为d，运用等比数列中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差d，即可得到所求通项公式；

(2)求得b n=2

a n a n+1=2

(2n?1)(2n+1)

=1

2n?1

?1

2n+1

，由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．

本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于中档题．

18.答案：解：(1)在△ABC中，因为a(sin A?sin B)=(c?b)(sin B+sin C)，

由正弦定理，

所以a(a?b)=(b+c)(c?b)，

即a2+b2?c2=ab．

由余弦定理c2=a2+b2?2abcos C，得，

因为0

3

；

(2)因为a=4b及a2+b2?c2=ab，

得c2=16b2+b2?4b2=13b2，即c=√13b.

由正弦定理，得，

所以．

解析：本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．

(1)根据a(sin A ?sin B)=(c ?b)(sin B +sin C)，利用正弦定理，得a(a ?b)=(b +c)(c ?b)，即a 2+b 2?c 2=ab.再利用余弦定理即可求出 ；

(2)根据a =4b 及a 2+b 2?c 2=ab ，得c 2=16b 2+b 2?4b 2=13b 2，即c =√13b ． 再由正弦定理解出

．

19.答案：解：(1)∵f(x)=xe a?x +bx ，

∴f′(x)=(1?x)e a?x +b ．

依题设，{f(2)=2e +2f′(2)=e ?1即{2e a?2+2b =2e +2

?e a?2+b =e ?1，

解得a =2，b =e ；

(2)由(1)知f(x)=xe 2?x +ex ． ∴f′(x)=e 2?x (1?x +e x?1)， ∵e 2?x >0，

∴f′(x)与1?x +e x?1同号． 令g(x)=1?x +e x?1， 则g′(x)=?1+e x?1．

∴当x ∈(?∞,1)时，g′(x)<0，g(x)在区间(?∞,1)上单调递减； 当x ∈(1,+∞)时，g′(x)>0，g(x)在区间(1,+∞)上单调递增． 故g(1)=1是g(x)在区间(?∞,+∞)上的最小值， 从而g(x)>0，x ∈(?∞,+∞)．

综上可知，f′(x)>0在(?∞,+∞)恒成立， 所以f(x)在

上单调递增，无减区间..

解析：本题主要考查导数的应用，根据导数的几何意义，结合切线斜率建立方程关系以及利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强．

(1)求函数的导数，根据导数的几何意义求出函数的切线斜率以及f(2)，建立方程组关系即可求a ，b 的值；

(2)求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求求解．

20.答案：解：(1)由(0.005+0.02+0.035+0.030+x)×10=1，

解得x =0.01．

(2)这组数据的平均数为55×0.05+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.1=77．

中位数设为m，

则0.05+0.2+(m?70)×0.035=0.5，

解得m=540

7

．

(3)满意度评分值在[50,60)内有100×0.005×10=5人，

其中男生3人，记为A，B，C，女生2人，记为1，2

则在满意度评分值为[50,60)的人中随机抽取2人进行座谈，有10种情况：(A,B)，(A,C)，(A,1)，(A,2)，(B,C)，(B,1)，(B,2)，(C,1)，(C,2)，(1,2)，恰有1名女生有(A,1)，(A,2)，(B,1)，(B,2)，(C,1)，(C,2)这6种情况，

所以所求事件的概率为P=6

10=3

5

．

解析：本题考查了频率分布直方图，众数、中位数、平均数和古典概型的计算与应用，属于简单题．

(1)利用频率分布直方图，得(0.005+0.02+0.035+0.030+x)×10=1，由此解得x的值；

(2)利用频率分布直方图，结合平均数，中位数的概念计算得结论；

(3)满意度评分值在[50,60)内有100×0.005×10=5人，利用古典概型的计算得结论．

21.答案：证明：(1)∵四边形ABCD为正方形，∴AB//DC，AB=DC，

∵M，N分别是AB，DC的中点，

∴RC//MB，RC=MB，

∴四边形MBCR是平行四边形，

∴RM//BC，

∵BC?平面MNR，MR?平面MNR，

∴BC//平面MNR ．

解：(2)取AD 的中点O ，连结OS ，

过O 作AD 的垂线交BC 于G ，分别以OA 、OG 、OS 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方形ABCD 的边长为2，

则C(?1,2，0)，M(1,1，0)，S(0,0，√3)， ∴CM ?????? =(2,?1,0)，SM ?????? =(1,1，?√3)， 设平面SCM 的一个法向量n

? =(x,y ，z) 则{n ? ?CM

?????? =2x ?y =0n ? ?SM ?????? =x +y ?√3z =0，取x =1，得n

? =(1,2，√3)， 平面ABCD 的一个法向量m

??? =(0,0，1)， 设二面角S ?CM ?D 的平面角为θ， 则cosθ=|m ??? ?n ?? |

|m ??? |?|n ?? |

=√3

√8

=

√6

4

． ∴二面角S ?CM ?D 的余弦值为√6

4

．

解析：本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

(1)推导出四边形MBCR 是平行四边形，从而RM//BC ，由此能证明BC//平面MNR ．

(2)取AD 的中点O ，连结OS ，过O 作AD 的垂线交BC 于G ，分别以OA 、OG 、OS 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角S ?CM ?D 的余弦值．

22.答案：(Ⅰ)证明：因为|AD|=|AC|，EB//AC ，

故∠EBD =∠ACD =∠ADC ， 所以|EB|=|ED|，

故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|， 又因为圆A 的标准方程为(x +1)2+y 2=16， 从而|AD|=4， 所以|EA|+|EB|=4．

由题设得A(?1,0)，B(1,0)，|AB|=2，

由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：

x 24

+

y 23

=1(y ≠0);

(Ⅱ)解：当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y =k(x ?1)(k ≠0)， (x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，

由{

y =k(x ?1)

x 24

+

y 23

=1

得(4k 2+3)x 2?8k 2x +4k 2?12=0，

则x 1+x 2=8k 24k 2+3

，x 1x 2=

4k 2?124k 2+3

，

所以|MN|=√1+k 2|x 1?x 2|=

12(k 2+1)4k 2+3

，

过点B(1,0)且与l 垂直的直线m:y =?1

k (x ?1)， A 到m 的距离为

√k 2+1

，

所以|PQ|=2√42?(

√k 2+1

)2=4√

4k 2+3k 2+1

，

故四边形MPNQ 的面积S =1

2|MN||PQ|=12√1+1

4k 2+3

， 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,8√3)．

当l 与x 轴垂直时，其方程为x =1，|MN|=3，|PQ|=8，四边形MPNQ 的面积为12． 综上所述，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,8√3)．

解析：本题考查了利用定义法求点的轨迹，直线与椭圆的位置关系问题，属于难题．

(Ⅰ)先求得圆A 的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB =ED ，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E 的轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆，求得a ，b ，c ，即可得到E 的轨迹方程；

(Ⅱ)分类讨论，当l与x轴不垂直时，求得四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8√3).当l与x轴垂直时，四边形MPNQ的面积为12.综上可得，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8√3)．