江苏省如皋中学2018—2019学年度第一学期高三理科数学模拟练习六

江苏省如皋中学2018—2019学年度第一学期模拟练习六高三理科数学第I 卷（必做题 共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上。

1.函数()f x =的定义域为 .2.设全集U R =，集合{}{}3,16A x x B x x =≥=-≤≤，则集合()U C A B = .3.已知复数),(R y x yi x z ∈+=，且5)21(=+z i ，则=+y x .4.已知函数()22f x x x =-，点集{}(,)()()2M x y f x f y =+≤，{}(,)()()0N x y f x f y =-≥，则MN 所构成平面区域的面积为 .5.若函数*cos()()6y x N πϖϖ=+∈的一个对称中心是(,0)6π，则ω的最小值为 .6.向量(2,0),(,)a b x y ==，若b 与b a -的夹角等于6π，则｜b ｜的最大值为 .7.已知双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为y =，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于 . 8.设是定义在上的增函数，且对任意，都有恒成立，如果实数满足不等式，那么的取值范围是 .9.如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，D 为棱1AA 的中点．若 14AA =，2AB =，则四棱锥1B ACC D -的体积为 .10.过点(引直线l 与曲线y =相交于,A B 两点，O 为坐标原 点，当AOB ∆的面积取最大值时，直线l 的斜率等于 .11.定义在R 上的奇函数()f x ,当0x ≥时,2log (1)(01)()|3|1(1)x x f x x x +≤<⎧=⎨--≥⎩,则函数1()()2g x f x =-的所有零点之和为 .12.若关于,x y 的不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（a 为常数）所表示的平面区域的面积等于3，则a 的值为 .13.在ABC 中，tan 3A =-，ABC 的面积为1，0P 为线段BC 上一定点，且满足013CP BC =，若P 为线段BC 上任意一点，且恒有00PA PC P A PC ⋅≥⋅，则线段BC 的长为_____ 14.已知数列251,n n a n b n =+=，将它们中相同的项按从小到大的顺序排列成一个新数列{}n c ，则6c =__256第9题二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在△ABC 中，,,A B C 为三个内角,,a b c 为三条边，32C ππ<<，且sin 2.sin sin 2b Ca b A C=--（I ）判断△ABC 的形状；（II ）若||2BA BC +=，求BA BC ⋅的取值范围．16. 在三棱柱111ABC A BC -中,AA ,1BC ⊥︒=∠601AC A ,11AA AC BC ===, 21=B A(1)求证：平面1A BC ⊥平面11ACC A ；(2)如果D 为AB 的中点,求证:1BC ∥平面1ACD .17. 17.如图，海上有,A B 两个小岛相距10，船O 将保持观望A 岛和B 岛所成的视角为，现从船O 上派下一只小艇沿方向驶至处进行作业，且．设． （1）用分别表示和，并求出的取值范围；（2）晚上小艇在处发出一道强烈的光线照射A 岛，B 岛至光线的距离为，求BD 的最大值．18.的中心在原点，长轴在x 轴上，右顶点(2,0)A 到右焦点的距离与它到右准线的距离不过A 交椭圆O 于P ,Q 两点． （1）求椭圆的标准方程；（2）证明,P Q 两点的横坐标的平方和为定值；（3）过点,,A P Q 的动圆记为圆C ，已知动圆C 过定点A 和B (异于点A )，请求出定点B 的坐km 60︒BO C OC BO =AC x =km x 22OA OB +OA OB ⋅x C CA BD (第17题图)标.19.已知数列{a n }满足：a 1=1，a 2=a （a ≠0），a n +2=p ·21n na a +（其中p 为非零常数，n ∈N *）（1）判断数列{1n naa +}是不是等比数列？ （2）求a n ；（3）当a =1时，令b n =2n nnaa +，S n 为数列{b n }的前n 项和，求S n 。

20.已知函数． （1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，且函数当且仅当在处取得极值，其中为的导函数，求的取值范围；（3）若函数在区间内的图象上存在两点，使得在该两点处的切线相互垂直，求的取值范围．()ln 3()f x a x ax a =--∈R 0a ＞()f x ()y f x =(2(2))f ，45︒21()()()2g x x nx mf x m n '=++∈R ，1x =()f x '()f x m ()y f x =1(3)3，aAMCO DE第Ⅱ卷（附加题 共40分）21.已知矩阵1201M=,N=3413-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． （1）求矩阵MN ；（2）若点P 在矩阵MN 对应的变换作用下得到Q (0，1)，求点P 的坐标22.求圆3cos ρθ=被直线22,14x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 是参数）截得的弦长.23.如图，平面ABDE ⊥平面ABC ，ABC ∆是等腰直角三角形，4AC BC ==，四边形ABDE 是直角梯形，//BD AE ，BD ⊥BA ，122BD AE ==,O M 、分别为CE AB 、的中点． (1) 求异面直线AB 与CE 所成角的大小；(2) 求直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值．24.已知数列{}n a 是等差数列，且123,,a a a 是1(1)2mx +展开式的前三项的系数. （1）求1(1)2mx +展开式的中间项； （2）当2n ≥时，试比较2121111n n n n a a a a ++++++与13的大小.答案： 1.(1,2]； 2. ； 3.1- ； 4.2π 5. 2； 6. 4； 7.12； 8.（9，49）；9.10. ；111；12. 5 ；； 14.256 15. ⑴由CA C b a b 2sin sin 2sin -=-及正弦定理有C B 2sin sin =∴2B C =或π=+C B 2若2B C =，且32C ππ<<，∴23B ππ<<，)(舍π>+C B ； ∴2B C π+=，则A C =， ∴ABC ∆为等腰三角形．⑵∵ ||2BA BC +=，∴222cos 4a c ac B ++⋅=，∴222cos ()a B a c a-==，而C B 2cos cos -=， ∴1cos 12B <<，∴2413a <<，∴2(,1)3BA BC ⋅∈．16. (1)在011160,1,A ACA AC AA AC ∆∠===中， 11,AC ∴= 111,1,A BC AC ∆==中，BC 1A B 1BC AC ∴⊥,又111,,AA BC BC ACC A ⊥∴⊥平面 1BC A BC ⊂平面111A BC ACC A ∴⊥平面平面 (2)连接11,AC AC O 交于,连接DO, 则由D 为AB 中点,O 为1AC 中点得,OD ∥1BC ,[1,3)-⊂OD 平面⊄11,BC DC A 平面DC A 1, ∴1BC ∥平面DC A 117. 解：（1）在中，，， 由余弦定理得，，又，所以 ①， 在中，，由余弦定理得， ②，①+②得，①-②得，即又，所以，即， 又，即，所以； （2）易知，故又，设， 所以，又则在上是增函数， 所以的最大值为，OAC ∆120AOC ∠=︒AC x =2222cos120OA OC OA OC x +-⋅⋅︒=OC BO =2222cos120OA OB OA OB x +-⋅⋅︒=OAB ∆10AB =60AOB ∠=︒222cos60100OA OB OA OB +-⋅⋅︒=2221002x OA OB ++=24cos60100OA OB x ⋅⋅︒=-21002x OA OB -⋅=222OA OB OA OB +⋅≥22210010022x x ⨯+-≥2300x ≤210002x OA OB -⋅=＞2100x ＞10x ＜≤OAB OAC S S ∆∆=122sin 602ABC OAB S S OA OB ∆∆==⋅⋅⋅︒=1ABC S AC BD ∆=⋅⋅()BD f x =()(10f x x =∈，2100())f x x'=+，()f x (10，()f x 10f =12y y +=解得：0,1,x y =⎧⎨=⎩或2,0x y =⎧⎨=⎩(舍). 所以圆过定点(0,1). 19.解：（1）由212n n na a p a ++=⋅，得211n n n n a a p a a +++=⋅．令1n n na c a +=，则1c a =，1n n c pc +=．0≠a ，10c ∴≠，1n nc p c +=（非零常数）， ∴数列1{}n na a +是等比数列． （2）数列{}n c 是首项为a ，公比为p 的等比数列，∴111n n n c c p a p --=⋅=⋅，即11n n na ap a -+=． 当2n ≥时，230121121()()()1n n n n n n n a aaa a ap ap ap a a a -----=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯23212n n n ap-+-=，1a 满足上式， 2321*2,N n n n n a a pn -+-∴=∈．（3）12212211()()n n n n n n n n na a a ap ap a p a a a --++++=⋅=⨯=， ∴当1=a 时，212n n n nna b np pa -+==． 132112n n S p p n p -∴=⨯+⨯++⨯， ①232121 1(1)n n n p S p n p n p -+=⨯++-⨯+⨯ ②∴当21p ≠，即1p ≠±时，①-②得：22132121212(1)(1)1n n n n n p p p S p p pnpnp p-++--=+++-=--， 即221222(1),1(1)1n n n p p np S p p p +-=-≠±--. 而当1p =时，(1)122n n n S n +=+++=， 当1p =-时，(1)(1)(2)()2n n n S n +=-+-++-=-． 综上所述，221222(1),1,2(1),1,2(1), 1.(1)1n n n n n p n n S p p p np p p p +⎧+=⎪⎪+⎪=-=-⎨⎪⎪--≠±⎪--⎩20. （1）， 当时， 令得，令得，故函数的单调增区间为单调减区间为； （2）函数的图象在点处的切线的倾斜角为， 则，即；所以所以 因为在处有极值，故，从而可得，则 又因为仅在处有极值，所以在上恒成立， 当时，由，即，使得，所以不成立，故，又且时，恒成立，所以； （3）由得与分别为的两个不同的单调区间， 因为在两点处的切线相互垂直，所以这两个切点一定分别在两个不同单调区间内． 故可设存在的两点分别为其中， 由该两点处的切线相互垂直，得， 即，而，故， 可得，由得，则，又，则，即 (1)()(0)a x f x x x-'=＞0a ＞()0f x '＞01x ＜＜()0f x '＜1x ＞()f x (01)，，(1)+∞，()y f x =(2(2))f ，45︒(2)1f '=2a =-212()(2)2g x x nx m x=++-，322222()m x nx mg x x n x x ++'=++=，()g x 1x =(1)0g '=12n m =--322222(1)(22)()x nx m x x mx m g x x x ++---'==，()g x 1x =2220x mx m --≥(0)+∞，0m ＞20m -＜0(0)x ∃∈+∞，200220x mx m --＜0m ＞0m ≤0m ≤(0)x ∈+∞，2220x mx m --≥0m ≤(1)()(0)a x f x x x-'=＞(01)，(1)+∞，()f x ()f x 1122(,())(,())x f x x f x ，，121133x x ＜＜＜＜1212(1)(1)1a x a x x x --⋅=-12212111x x x a x -=-⋅-111(02)x x -∈，2221(02)1x a x -⋅∈-，222(21)2a x a -＞20x ＞2210a -＞222221a x a -＞213x ＜＜222321a a -＜234a ＞，所以的取值范围为．21.（1）MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 54 9；（2）设P (x ，y )，则解法一： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 54 9 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，即⎩⎨⎧2x ＋5y ＝0，4x ＋9y ＝1．解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－1，即P (52，－1)． 解法二：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 54 9－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－92 52 2 －1． 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－92 52 2 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 52－1．即P (52，－1)． 22. 解:将极坐标方程转化成直角坐标方程：3cos ρθ=即：223x y x +=，即2239()24x y -+=；22,14,x t y t =+⎧⎨=+⎩即：23x y -= ,0d ， 即直线经过圆心,所以直线截得的弦长为3. 23．解：∵DB BA ⊥， 又∵面ABDE ⊥面ABC ，面ABDE 面ABC AB =，DB ABDE ⊂面，∴DB ABC ⊥面， ∵BD ∥AE ，∴EA ABC ⊥面，如图所示，以C 为原点，分别以CA ，CB 为x ，y 轴，以过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵4AC BC ==，∴设各点坐标为(0,0,0)C ，(4,0,0)A ，(0,4,0)B ，(0,4,2)D ，(4,0,4)E ， 则(2,0,2)O ，(2,2,0)M ，(4,4,0),CE (4,0,4)AB =-=，(0,4,2)CD =，(2,4,0)OD =-，(2,2,2)MD =-.（1）1cos ,2AB CE <>==-，则AB 与CE 所成角为3π.（2）设平面ODM 的法向量(,,)x y z =n ，则由OD ⊥n ，且MD ⊥n 可得240,2220,x y x y z -+=⎧⎨-++=⎩令2x =，则1y =，1z =，∴(2,1,1)=n ， 设直线CD 和平面ODM 所成角为θ，则(2,1,1)(0,4,2)sin cos ,|(2,1,1)||(0,4,2)|||||CDCD CD θ⋅⋅=<>===n n n a 3(()-∞+∞，，． 24. 解：（Ⅰ）122111(1)1()()222m m m x C x C x +=+++ 依题意11a =，212a m =，3(1)8m m a -=，由2132a a a =+可得1m =（舍去），或8m =所以1(1)2m x +展开式的中间项是第五项为：44458135()28T C x x ==； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，32n a n =-,当2n =时，212234111111111169147101403n n n n a a a a a a a ++++++=++=++=> 当3n =时，212345911111111n n n n a a a a a a a a ++++++=++++11111117101316192225=++++++ 1111111()()7101316192225=++++++ 1111111()()8161616323232>++++++133131181632816163=++>++> 猜测：当2n ≥时，2121111n n n n a a a a ++++++13>.以下用数学归纳法加以证明：①3n =时，结论成立， ②设当n k =时，212111113k k k k a a a a ++++++>， 则1n k =+时，2(1)(1)1(1)2(1)1111k k k k a a a a ++++++++++21)(1)1(1)211111()k k k k k a a a a a +++++=+++++22212(1)1111()kk k k a a a a +++++++-22212(1)11111()3kk k k a a a a +++>++++-21(21)133(1)232k k k +>+-+--221(21)(32)[3(1)2]3[3(1)2][32]k k k k k +--+-=++--2213733[3(1)2][32]k k k k --=++--由3k ≥可知，23730k k -->即2(1)(1)1(1)2(1)111113k k k k a a a a ++++++++++> 综合①②可得，当2n ≥时，212111113n n n n a a a a ++++++>。