安徽省皖南八校2021届高三上学期第二次联考数学(文)试题(图片版)
安徽省皖南八校2021届高三第二次(12月)联考数学(文科)试题
本题主要考查了几何概型，属于中档题.
4．A
【解析】
【分析】
根据指数函数、对数函数的性质，估算三个数的大致范围，即可比较大小.
【详解】
因为 ， ， ，
所以 .
故选A.
【点睛】
本题主要考查了指数函数、对数函数的增减性，属于中档题.
5．C
【分析】
由三角形面积公式可求b,再根据余弦定理可求c.
【详解】
A． B． C． D．
9．已知曲线 ，则过点 ，且与曲线 相切的直线方程为
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
10．已知函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称，将函数 的图象向左平移 个单位长度后，得到函数 的图象，则
A． B． C． D．
11．已知一个三棱锥的六条棱的长分别为 ，且长为 的棱与长为 的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为（）
（Ⅰ）在侧棱 上找一点 ，使 平面 ，并证明你的结论；
（Ⅱ）若 ， ，求四棱锥 的体积.
19．如图，已知椭圆 的右焦点为 ，点 在椭圆 上，过原点 的直线与椭圆 相交于 、 两点，且 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设 ， ，过点 且斜率不为零的直线与椭圆 相交于 、 两点，证明： .
20．已知函数 .
（Ⅱ）若函数 的最小值为 ，且 ，求 的最小值.
参考答案
1．B
【分析】
化简集合A,根据交集求解.
【详解】
因为 ,
所以 .
故选B.
【点睛】
本题主要考查了集合的交集，属于中档题.
2．C
【解析】
【分析】
计算 ，根据实部，虚部确定复数 对应的点所在的象限.
【详解】
安徽省皖南八校2021届高三上学期第二次联考数学(理)DA
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2021-2022学年安徽省皖南八校高三上学期第二次联考数学试卷(理科)(12月份)(含答案解析)
2021-2022学年安徽省皖南八校高三上学期第二次联考数学试卷(理科)(12月份)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知复数z 满足z(1−i)=i 4+i 5(其中i 为虚数单位)，则复数z 的虚部是( )A. −1B. 1C. −iD. i2.已知A ={x|y =−2x,x ∈R}，B ={y|y =x 2−3,x ∈R}，则A ∩B 等于( )A. {(1,−2)，(−3,6)}B. RC. [−3,+∞)D. ⌀3.设命题p ：∀x ∈(0,+∞)，lnx ≤x −1，则￢p 为( )A. ∀x ∈(0,+∞)，lnx >x −1B. ∃x 0∈(0,+∞)，lnx 0≤x 0−1C. ∀x ∉(0,+∞)，lnx >x −1D. ∃x 0∈(0,+∞)，lnx 0>x 0−14.散点图上有5组数据：(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，(x 3,y 3)，(x 4,y 4)，(x 5,y 5)据收集到的数据可知x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=55，由最小二乘法求得回归直线方程为y ˆ=0.76x +45.84，则y 1+y 2+y 3+y 4+y 5的值为( )A. 54.2B. 87.64C. 271D. 438.25.在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则第五天走的路程为( )里．A. 6B. 12C. 24D. 486.已知函数f(x)={log 2(x +2)−1,(x ≥0)1−log 2(2−x),(x <0)，则函数f(x)是( )A. 偶函数，在R 上单调递增B. 偶函数，在R 上单调递减C. 奇函数，在R 上单调递增D. 奇函数，在R 上单调递减7.若a >b >1，0<c <1，则( )A. a c <b cB. ab c <ba cC. log a c >log b cD. alog b c >blog a c8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积是( )A. 14πB. 10πC. 7√143πD.143π9.已知tanα−11+tanα=2，则sin(2α+π6)的值为( )A. −4+3√310B. −4−3√310C. 4+3√310D. −3√3−41010. 在(√x −12x)n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中x 5的系数为( )A. −7B. −358C. 358D. 711. 已知抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，若直线l 过F ，且与抛物线C 交于A ，B ，过点A 作直线y =−1的垂线，垂足为点M ，点N 在y 轴上，AF ，MN 互相垂直平分，则|AB|=( )A. 43B. 163C. 4D. 812. 已知a =−sin0.01，b =sin0.1，c =ln0.99，d =ln 109，则a ，b ，c ，d 的大小关系为( )A. d >b >a >cB. b >d >a >cC. d >b >c >aD. b >d >c >a二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，|a ⃗ +b ⃗ |=√2，则cos <a ⃗ ，b ⃗ >=______． 14. 在等差数列{a n }中，a 1=1，其前n 项和为S n ，若S 6−3S 2=24，则S 10=______． 15. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1左、右焦点分别为F 1，F 2，若过右焦点的直线与以线段OF 1为直径的圆相切，且与双曲线在第二象限交于点P ，且PF 1⊥x 轴，则双曲线的离心率是______．16. 在直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为边长为2的菱形，∠BAD =60°，AA 1=2√3，点P 在线段BD 1上运动，且BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则以下命题中正确的是______． ①当λ=23时，三棱锥A −CPD 1的体积为23；②随点P 在线段BD 1上运动，点B 到平面ACP 的最大距离为2； ③当二面角B −AC −P 的平面角为60°时，λ=13；④知BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，N 为CC 1的中点，当平面AMN 与BD 1的交点为P 时，∠APC =120°． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A.B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sinC =ab +ba −c 2ab ．(1)求角C ；(2)若c =1，A =π3，求△ABC 的面积．18. 2021年7月25日，在东京奥运会自行车公路赛中，奥地利数学女博士安娜⋅基森霍夫(Anna Kiesenℎofer)以3小时52分45秒的成绩获得冠军，震惊了世界！广大网友惊呼“学好数理化，走遍天下都不怕”.某市对中学生的体能测试成绩与数学测试成绩进行分析，并从中随机抽取了200人进行抽样分析，得到如表(单位：人)：体能一般 体能优秀 合计数学一般 50 50 100 数学优秀 40 60 100 合计90110200(1)根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“体能优秀”还是“体能一般”与数学成绩有关？(结果精确到小数点后两位)(2)①现从抽取的数学优秀的人中，按“体能优秀”与“体能一般”这两类进行分层抽样抽取10人，然后，再从这10人中随机选出4人，求其中至少有2人是“体能优秀”的概率；②将频率视为概率，以样本估计总体，从该市中学生中随机抽取10人参加座谈会，记其中“体能优秀”的人数为X ，求X 的数学期望和方差．参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ． 参考数据： P(K 2≥k 0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k 02.0722.7063.8415.0246.63519. 在直棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB ⊥AD ，AD//BC ，且AB =AD =2，BC =4，AA 1=2√2，BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)求证：CD ⊥BE ；(2)求直线D 1E 与平面BCE 所成角的正弦值．20. 已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√32，且经过点A(−2,0)，B(2,0)，过M(−23,0)作直线l 与椭圆交于点P ，Q(点P ，Q 异于点A ，B)，连接直线AQ ，PB 交于点N ． (1)求椭圆的方程；(2)当点P 位于第二象限时，求tan∠PNQ 的取值范围．21. 已知函数f(x)=lnx −x 2−x ． (1)求f(x)的极值； (2)设g(x)=f(x)+(a+2)x 22−(a −1)x +32(a >0)，若g(x)存在唯一极大值，极大值点为x 0，且g(x 0)∈(3e 2−22−2e 2,e 2−2e)，求a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+ty =2−t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=6sinθ+8cosθ． (1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；(2)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点P(−2,6)，求|PA|+|PB|．23. 已知函数f(x)=−|x +1|−|x +2|． (1)求不等式f(x)≥−3的解集；(2)若对∀x ∈[−4,2]，都有f(x)+|a −2|≥0桓成立，求a 的取值范围．参考答案及解析1.答案：B解析：∵z(1−i)=i4+i5=1+i，∴z=1+i1−i =(1+i)(1+i)(1−i)(1+i)=i，∴复数z的虚部为1．故选：B．根据已知条件，结合复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．本题主要考查复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，属于基础题．2.答案：C解析：∵A={x|y=−2x,x∈R}={y|y∈R}，B={y|y=x2−3,x∈R}={y|y≥−3}，∴A∩B=[−3,+∞)．故选：C．求出集合A，B，利用交集定义能求出A∩B．本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：D解析：本题考查含有一个量词的命题的否定．是基本知识的考查．全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．解：由全称命题的否定是特称命题．可知命题p：∀x∈(0,+∞)，lnx≤x−1，则￢p是：￢p：∃x0∈(0,+∞)，lnx0>x0−1．故选：D．4.答案：C解析：因为x1+x2+x3+x4+x5=55，所以x−=555=11，又回归直线方程ŷ=0.76x+45.84过样本中心点(x−,y−)，所以y−=0.76x−+45.84=0.76×11+45.84=54.2，所以y1+y2+y3+y4+y5=5y−=5×54.2=271．故选：C．由线性回归方程的公式即可解决．本题考查回归方程，考查学生的运算能力，属于中档题．5.答案：B解析：根据题意：S6=a1⋅(1−1 26 )1−12=378，q=12，所以a1=192，故a5=192×(12)4=12．故选：B．直接利用已知条件求出数列的通项公式，进一步求出结果．本题考查的知识要点：等比数列的通项公式的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6.答案：C解析：当x=0时，f(0)=0，当x>0时，−x<0，所以f(−x)=1−log2(2+x)=−f(x)，当x<0时，−x>0，所以f(−x)=log2(2−x)−1=−f(x)，所以函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=log2(x+2)−1，由复合函数的单调性可得f(x)单调递增，由奇函数的性质可得函数f(x)在R上单调递增．故选：C．利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再确定函数的单调性得解．本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题．7.答案：C解析：对于A，令a=3，b=2，满足a>b>1，0<c<1，但a c>b c，故A错误，对于B，令a=3，b=2，满足a>b>1，0<c<1，但ab c>ba c，故B错误，对于C，∵a>b>1，0<c<1，∴lga>0，lgb>0，lgb−lga<0，lgc<0，∴log a c−log b c=lgclga −lgclgb=lgc(lgb−lga)lga⋅lgb>0，即log a c>log b c，故C正确，对于D，令a=3，b=2，满足a>b>1，0<c<1，但3log212=−3=log3127<log314=2log312，故D错误．故选：C．根据已知条件，结合特殊值法，以及作差法，即可求解．本题主要考查不等式的性质，掌握作差法，以及特殊值法是解本题的关键，属于基础题．8.答案：A解析：如图所示，此几何体为长宽高分别为1，2，3的长方体中的四个顶点构成的三棱锥，所以R=√12+22+322=√142，所以外接球的表面积为S=4πR2=4π×(√142)2=14π，故选：A．首先根据三视图还原几何体，从而可知该几何体外接球即为其所在长方体的外接球，从而可得外接球半径，代入球的表面积公式可得结果．本题考查了由三视图还原实物图，以及几何体外接球问题，属于中档题．9.答案：A解析：由于tanα−11+tanα=2，整理得tanα=−3，所以sin2α=2tanα1+tan2α=−610=−35；cos2α=1−tan2α1+tan2α=−810=−45；所以sin(2α+π6)=(−35)×√32+(−45)×12=−4+3√310．故选：A．直接利用三角函数的关系式的变换和三角函数的值的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的关系式，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.答案：D解析：根据题意，只有第五项的二项式系数最大，即C nn2最大，即n2+1=5，解得n =8，所以通项为：T k+1=C 8k √x8−k(−12x)k =(−12)k C 88−k x 4+k 2， 令4+k2=5得，k =2．故x 5的系数为：(−12)2C 86=7． 故选：D ．根据二项式系数的性质可知，只有第五项的二项式系数最大，说明是偶数项，且是中间项，由此列出n 满足的方程求解，再进一步求解即可．本题考查二项式系数的性质及通项的应用．同时考查学生的运算能力以及逻辑推理能力．属于中档题．11.答案：B解析：如图所示，因为AF ，MN 互相垂直平分，所以四边形AMFN 为菱形， 又由抛物线定义可知AF =MN ，故△AMF 为正三角形，从而∠FMC =30°，所以在Rt △FMC 中，sin∠FMC =∣FC ∣∣MF ∣=12，又FC =2，所以|MF|=|AF|=4，又1∣AF ∣+1∣BF ∣=2p =1，得|BF|=43，所以|AB|=|AF|+|BF|=4+43=163．故选：B ．AF ，MN 互相垂直平分，知四边形AMFN 为菱形，进而可得∠FMC =30°，从而可求|MF|=|AF|=4，结合1∣AF ∣+1∣BF ∣=2p =1，得|BF|=43，进而得|AB|的长．本题主要考查了抛物线的应用，考查了考生的基础知识的综合运用和知识迁移的能力，是中档题．12.答案：A解析：∵a =−sin0.01<0，b =sin0.1>0，∴a <0<b ， ∵c =ln0.99<0，d =ln 109>0，∴c <0<d ，d =ln109=−ln 910=−ln0.9，设f(x)=sinx+ln(1−x)，x∈(0,1)，则f′(x)=cosx−1，1−x>1，∵x∈(0,1)，∴cosx<1，11−x∴f′(x)=cosx−1<0，∴f(x)=sinx+ln(1−x)在(0,1)上单调递减，1−x∴f(x)<f(0)=0，∴f(0.1)=sin0.1+ln0.9<0，∴−ln0.9>sin0.1，∴d>b，f(0.01)=sin0.01+ln0.99<0，∴ln0.99<−sin0.01，∴c<a，∴d>b>a>c，故选：A．利用对数函数，三角函数的单调性得到a<0<b，c<0<d，再构造f(x)=sinx+ln(1−x)，利用导数判断单调性得到d>b，c<a，即可求解．本题考查了对数函数，三角函数的单调性，利用导数判断构造函数的单调性，属于中档题．13.答案：−34解析：因为|a⃗|=1，|b⃗ |=2，|a⃗+b⃗ |=√2，所以(a⃗+b⃗ )2=a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ =5+4cos<a⃗，b⃗ >=2，解得cos<a⃗，b⃗ >=−3．4．故答案为：−34利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积转化求解即可．本题考查向量数量积的性质及其运算，向量模的求法，考查运算求解能力，属于基础题．14.答案：100解析：设等差数列{a n}的公差为d，d−3×(2+d)=24，由a1=1，S6−3S2=24，得6×1+6×52解得d=2．×2=100．∴S10=10×1+10×92故答案为：100．设等差数列{a n}的公差为d，由已知列式求解d，再由等差数列的前n项和公式求解．本题考查等差数列的前n项和公式的应用，考查运算求解能力，是基础题．15.答案：√2解析：如图，因为且PF 1⊥x 轴，所以P(−c,b 2a)，直线PF 2的斜率k =−b 22ac .直线PF 2的方程为y =−b 22ac (x −c)， 即b 2x +2acy −b 2c =0，因为直线PF 2与以线段OF 1为直径的圆相切，所以圆心(−c2,0)到直线PF 2的距离等于半径c2． 所以32b 2c √b 4+4a 2c 2=c2，整理可得√2e 2−e −√2=0， 故答案为：√2．可得P(−c,b 2a )，直线PF 2的方程为y =−b22ac(x −c)，利用圆心(−c 2,0)到直线PF 2的距离等于半径c2.即可求解．本题考查了双曲线的性质、直线与圆的位置关系，考查了计算能力，属于中档题．16.答案：①④解析：对于①：当λ=23时，S △D 1CP =13S △BCD 1，所以V A−PCD 1=13V A−PCD 1=13V D 1−ABC =23，故①正确； 对于②：当点P 为线段BD 1的中点时，平面APC ⊥底面ABCD ，此时，点B 到平面ACP 的最大距离为1，所以②错误；对于③：由△APC 为等腰三角形，线段AC 的中点为O ，则OP ⊥AC ，在底面上有BO ⊥AC ，所以二面角B −AC −P 的平面角为∠BOP =60°， 又tan∠DBD 1=2√32=√3，则∠DBD 1=60°，所以△BOP 为正三角形，所以BP =BO =1=14BD 1， 则λ=14，故③错误；对于④：知BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=14BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，N 为CC 1的中点，当平面AMN 与DD 1的交点为E ，此时EM 与BD 1的交点为BD 1的四等分点，由③知，此时OP =BO =1，在直角三角形AOPA 中，∠APO =60°，由于△APC 为等腰三角形，有∠APC =120°，故④正确． 故答案为：①④． 对各个命题逐项判断即可．本题考查空间几何体的体积，空间中点到面的距离问题，以及空间角问题，属中档题．17.答案：解：(1)因为2sinC =a b +b a −c 2ab=a2+b 2−c 2ab=2cosC ，所以tanC =1， 因为C ∈(0,π)， 所以C =π4．(1)若c =1，A =π3，由正弦定理可得a sin π3=csin π4，解得a =√62，又sinB =sin(A +C)=sin(π3+π4)=sin π3cos π4+cos π3sin π4=√32×√22+12×√22=√6+√24，所以△ABC 的面积S =12acsinB =12×√62×1×√6+√24=3+√38．解析：(1)将已知等式化简，利用余弦定理化简可得tanC =1，从而可求角C 的大小；(2)由正弦定理可求得a ，利用诱导公式及两角和的正弦公式可求得sinB ，再由三角形面积公式求解即可．本题主要考查正、余弦定理在解三角形中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．18.答案：解：(1)由表格的数据可得，K 2=200×(50×60−50×40)290×110×100×100≈2.02<2.706，故不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“体能优秀”还是“体能一般”与数学成绩有关． (2)①∵在数学优秀的人群中，“体能一般”与“体能优秀”的比例为2：3， ∴“体能一般”的人数为10×22+3=4，“体能优秀”的人数为10×32+3=6， 故再从这10人中随机选出4人，其中至少有2人是“体能优秀”的概率P =1−C 41C 61+C 42C 104=67．②由题意可得，随机抽取一人“体能优秀”的概率为110200=0.55，且X ～B(10,0.55)， 故E (X)=10×0.55=5.5，D(X)=10×0.55×(1−0.55)=2.475． 解析：(1)根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解． (2)①结合分层抽样的定义，以及古典概型的概率公式，即可求解． ②根据已知条件，结合期望与方差公式，即可求解．本题主要考查离散型随机变量的期望与方差，以及独立性检验公式的应用，属于中档题．19.答案：(1)证明：因为直棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB ⊥AD ，所以以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AA 1为坐标轴建立空间直角坐标系， 所以C(2,4,0)，D(0,2,0)，B(2,0,0)，D 1(0,2,2√2)， BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,2√2)，因为BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,√2)， 故E (−1,3,√2)，所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,3,√2)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2,0)， BE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3×(−2)+3×(−2)=0， 所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即CD ⊥BE ；(2)因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−1,√2)，D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−√2)， 设平面BCE 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 所以{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =y =0n⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3x −y +√2z =0，可取n ⃗ =(2,0,3√2)，设直线D 1E 与平面BCE 所成角为α， 所以sinα=|cos <n⃗ ,D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅D 1E⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||D 1E|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|−2−62×√22|=2√2211，所以直线D 1E 与平面BCE 所成角的正弦值为2√2211． 解析：(1)建立空间直角坐标系，证明BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可证明结论； (2)将直线与平面所成角转化为向量夹角进行计算即可．本题考查了用向量法证明两直线的垂直以及求线面角的问题，属于基础题．20.答案：解：(1)由题意a =2，又由a 2=c 2+b 2⋅e =c a =√32，所以c =√3,b =1， 故椭圆方程为x 34+y 2=1．(2)设直线PB 倾斜角为α，斜率为k 1，直线AQ 倾斜角为β，斜率为k 2，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2).PQ 直线方程为：x =my −23，{x =my −23x 24+y 2=1⇒(m 2+4)y 2−43my −329=0，{y 1+y 2=4m3(m 2+4)y 1y z =−329(m 2+4)⇒my 1y 2=−83(y 1+y 2)， 所以k AQkBP=k 2k 1=y 2x 2+2y 1x 1−2=y 2(x 1−2)y 1(x 2+2)=y 2(my 1−23−2)y 1(my 2−23+2)=my 1y 2−83y 2my 1y 2+43y 1=−163y 2−83y 1−83y 2−43y 1=2，即k 2=2k 1，tan∠PNQ =tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=k 1−k 21+k1k 2=k 1−2k 11+2k 12=−k 11+2k 12=−11k 1+2k 1，由图可知，当点P 位于第二象限时，设直线PB 的斜率k 1∈(−12,0)，所以1k 1+2k 1∈(−∞,−3)，故tan∠PNQ =−11k 1+2k 1∈(0,13)．解析：(1)由题意确定a ，b ，c 的值即可求得椭圆方程；(2)联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理和基本不等式即可求得tan∠PNQ 的取值范围． 本题主要考查椭圆方程的求解，直线与椭圆的位置关系等知识，属于中等题．21.答案：解：(1)由题意知f(x)定义域为(0,+∞)，f′(x)=1x −2x −1=−2x 2−x+1x=(x+1)(1−2x)x，当x ∈(0,12)，f′(x)>0，则f(x)单调递增， x ∈(12,+∞)，f′(x)<0，则f(x)单调递减， 故f(x)极大值为f(12)=−ln2−34，无极小值， (2)由题意g(x)=lnx +ax 22−ax +32，则g′(x)=1x +a(x −1)=ax 2−ax+1x，令φ(x)=ax 2−ax +1，当Δ=a 2−4a ≤0，即a ∈(0,4]时，φ(x)≥0恒成立， 故g(x)在(0,+∞)单调递增，不存在极大值，当Δ=a 2−4a >0，即a ∈(4,+∞)时，φ(x)对称轴为x =12， φ(0)=φ(1)=1>0，φ(12)=4−a 4<0，故φ(x)在(0,12)，(12,1)上分别有一个零点为x 1，x 2， 当x ∈(0,x 1)，φ(x)>0，即g′(x)>0，则g(x)单调递增， 当x ∈(x 1,x 2)，φ(x)<0，即g′(x)<0，则g(x)单调递减，当x ∈(x 2,1)，φ(x)>0，即g′(x)>0，则g(x)单调递增， 故g(x)极大值点为x 1，即x 0=x 1，所以a =1x 0−x 02，x 0∈(0,12)，则g(x 0)=lnx 0+ax 022−ax 0+32=lnx 0+1x 0−x 02⋅x 02−2x 02+32=lnx 0+x 0−22(1−x 0)+32=12(x0−1)+1，令F(x)=lnx +12(x−1)+1(x ∈(0,12))， F′(x)=1x −12(x−1)2=(2x−1)(x−2)2x(x−1)2>0，则F(x)在(0,12)单调递增，x ∈(1e 2,1e )，F(x)∈(3e 2−22−2e,e2−2e )，故x 0∈(1e 2,1e )， 所以a =1x0−x 02∈(e 2e−1,e 4e 2−1).解析：(1)利用导数f′(x)=(x+1)(1−2x)x ，可得极大值f(12)=−ln2−34，无极小值；(2)g(x)=lnx +ax 22−ax +32，可得g′(x)=ax 2−ax+1x，再令φ(x)=ax 2−ax +1，对φ(x)依据Δ进行讨论，进一步求出a 的范围．本题考查函数的单调性与导数的综合运用，考查了函数思想和转化思想，属难题．22.答案：解：(1)直线l 的参数方程为{x =2+ty =2−t (t 为参数)，转换为普通方程为x +y −4=0；曲线C 的极坐标方程为ρ=6sinθ+8cosθ，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，整理得x 2+y 2−8x −6y =0，整理得(x −4)2+(y −3)2=25，故曲线C 的直角坐标方程为(x −4)2+(y −3)2=25； (2)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点P(−2,6)， 所以直线l 的参数方程为{x =−2−√22ty =6+√22t ，代入(x −4)2+(y −3)2=25，整理得：t 2+9√2t +20=0， 所以t 1+t 2=−9√2，t 1t 2=20， 所以|PA|+|PB|=|t 1+t 2|=9√2．解析：(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．23.答案：解：(1)不等式f(x)≥−3即为−|x +1|−|x +2|≥−3，当x ≥−1时，−(x +1)−(x +2)≥−3，解得x ≤0，所以−1≤x ≤0； 当x ≤−2时，x +1+x +2≥−3，−解得x ≥−3，所以−3≤x ≤−2； 当−2<x <−1时，x +1−x −2≥−3，即−1≥−3，所以−2<x <−1， 综上可得f(x)≥−3的解集为[−3,0]； (2)f(x)={−2x −3,x ≥−1−1,−2<x <−12x +3,x ≤−2，由x ∈[−4,2]，可得f(x)的最大值为−1，f(−4)=−5，f(2)=−7，所以f(x)的最小值为−7， 因为对∀x ∈[−4,2]，都有f(x)+|a −2|≥0桓成立， 即f(x)min ≥−|a −2|，即−7≥−|a −2|，解得a ≤−5或a ≥9， 即a 的取值范围是(−∞,−5]∪[9,+∞)．解析：(1)由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集可得所求解集；(2)求出f(x)的最小值，将不等式转化为f(x)min ≥−|a −2|，解绝对值不等式即可求得a 的取值范围． 本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式恒成立问题，考查分类讨论思想与转化思想的应用，考查运算求解能力，属于中档题．。
安徽省皖南八校2024届高三上学期第二次大联考数学试题(高频考点版)
一、单选题1.已知集合，则A．B．C．D．2. 已知圆，圆，若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B，使得，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．3. 已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．4. 已知函数的定义域是，为的导函数，若，则在上的最小值为（ ）A．B．C．D．5. 某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( )A ．80B ．90C ．100D ．1206. 已知函数，则的值为（ ）A．B ．0C ．1D ．27. 函数对任意，由得到的数列均是单调递增数列，则下列图像对应的函数符合上述条件的是（ ）A．B．安徽省皖南八校2024届高三上学期第二次大联考数学试题(高频考点版)安徽省皖南八校2024届高三上学期第二次大联考数学试题(高频考点版)二、多选题三、填空题C．D．8. 已知的边的中点为D ，点E 在所在平面内，且，若，则（ ）A ．7B ．6C ．3D ．29. 已知函数的相邻对称轴之间的距离为，且图象经过点，则下列说法正确的是（ ）A．该函数解析式为B．函数的一个对称中心为C ．函数的定义域为D．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，且函数的图象关于原点对称，则b 的最小值为.10.已知正方体的棱长为2，为棱上的动点，平面，下面说法正确的是（ ）A ．若N 为中点，当最小时，B ．当点M 与点重合时，若平面截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大C ．直线AB 与平面所成角的余弦值的取值范围为D ．若点M为的中点，平面过点B ，则平面截正方体所得截面图形的面积为11. 某工厂研究某种产品的产量x （单位：吨）与需求某种材料y （单位：吨）之间的相关关系，在生产过程中收集了4组数据如表所示x 3467y2.5345.9根据表中的数据可得回归直线方程，则以下正确的是（ ）A ．变量x 与y 正相关B ．y 与x的相关系数C．D ．产量为8吨时预测所需材料约为5.95吨12.已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）A．B．C ．取得最小值时等于5D ．设，为的前项和，则13. 已知双曲线的离心率为为双曲线的右焦点，点在双曲线的右支上，为关于坐标原点的对称点，且．若，则______．四、解答题14.展开式中的系数为10， 则实数的值为_________15. 写出满足“直线：与圆：相切”的一个的值_________.16.已知椭圆与双曲线的焦距之比为．(1)求椭圆和双曲线的离心率；(2)设双曲线的右焦点为F ，过F 作轴交双曲线于点P （P 在第一象限），A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q ，O 为坐标原点，证明：．17.如图，是圆的直径，圆所在的平面，为圆周上一点，为线段的中点，，．(1)证明：平面平面．(2)若为的中点，，求点到平面的距离．18.已知锐角三角形的内角A ，B ，C 所对的边分别记作a ，b ，c ，满足，且．(1)求；(2)若点，分别在边和上，且将分成面积相等的两部分，求的最小值．19. 2021年春节前，受疫情影响，各地鼓励外来务工人员选择就地过年.某市统计了该市4个地区的外来务工人数与就地过年人数（单位：万），得到如下表格：A 区B 区C 区D 区外来务工人数x /万3456就地过年人数y /万2.5344.5(1)请用相关系数说明y 与x 之间的关系可用线性回归模型拟合，并求关于的线性回归方程.(2)假设该市政府对外来务工人员中选择就地过年的每人发放1000元补贴.（i ）若该市E 区有2万名外来务工人员，根据（1）的结论估计该市政府需要给E 区就地过年的人员发放的补贴总金额；（ii ）若A 区的外来务工人员中甲､乙选择就地过年的概率分别为，，该市政府对甲､乙两人的补贴总金额的期望不超过1500元，求的取值范围.参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.20.已知函数，其中为实数.（1）根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若，判断函数在上的单调性，并说明理由.21. 如图，在四棱柱中，侧面为正方形，侧面，侧面，且，．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．。
安徽省皖南八校2022届高三上学期12月第二次联考丨试题 文数
" 皖南八校”2022届高三第二次联考数学(文科)“ 皖八" 理事会(18校) 审定:徐祝云 章学明 2021. 12考生注意:1. 本试卷分选择题和非选择题两部分 。
满分 150分 ' 考试时间 120分钟 。
2. 考生作答时 ' 请将答案答在答题卡上 。
选择题每小题选出答案后 ' 用 2B 铅笔把答题卡上对 应题 目 的答案标号涂黑;非选择题请用直径 0. 5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答 ' 超． 出答题．．． 区域．． 书． 写． 的答案无效．．．．． , 在试题卷．．．．、草稿纸．．．上作答无效．．．．．o 3. 本卷命题范围:高考范围 。
一 、选择题:本大题共 12小题 , 每小题 5 分 , 共 60分 . 在每小题给出的四个选项中 , 只有一项是 符合题目要求的 .1. 已知复数 义满足 义 . i 4 =1十i 5 (其中 i 为虚数单位) , 则 义=A. 1十iB. —1十iC. 1—iD. —1—i 2. 已知 A = { 儿y =—2儿,儿∈R } , B = {y y = 儿2 —3,儿∈R } , 则 A ∩B 等于A. {(1, —2) , (—3, 6)}B. RC. [—3, 十∞)D. ⑦ 3. 命题 " Y 儿∈ (0, 十∞) , ln 儿≤ 儿—1”的否定是A. 3儿0 ∈ (0, 十∞) , ln 儿0 >儿0 —1B. 3儿0 呋 (0, 十∞) , ln 儿0≤ 儿0 —1C. Y 儿∈ (0, 十∞) , ln 儿>儿—1D. Y 儿呋 (0, 十∞) , ln 儿≤ 儿—14. 已知 a , b >1且a ≠b , 下列各式中最大的是A. \B.C.5. 下列函数中 , 既是偶函数又在(0, 十∞)上是单调递增的是A. y =B. y = 儿2 十儿C. y = ei 儿 i6. 在《增减算法统宗》中有这样一则故事: " 三百七十八里关 , 初行健步不为难;次日脚痛减一半 , 如此六日过其关”. 则第五天走的路程为( )里 .A. 6B. 12C. 24D. 4814 7. 散点图上有 5 组数据 : ( 儿1 , y 1 ) , ( 儿2 , y 2 ) , ( 儿3 , y 3 ) , ( 儿4 , y 4 ) , ( 儿5 , y 5 )据收集到的数据可知 儿1 十儿2 十儿3 十 儿4 十 儿5 = 55, 由 最 小 二 乘 法 求 得 回 归 直 线 方 程 为 y ^ = 0. 76 儿十 45. 84, 则y 1 十y 2 十y 3 十y 4 十y 5 的值为A. 54. 2B. 87. 64C. 271D. 438. 2 8. 若a >b >1, 0<c <1, 则A. a c <b cB. ab c <ba cC. log a c >log b cD. a log b c >b log a c 9. 函数 f=ln 儿十儿十ln 2 的图象在点处的切线方程为A. 2儿十y —3=0B. 2儿十y 十3=0C. 2儿—y 十3=0D. 2儿—y —3=0 10. 已知=2, 则 sin的值为A. \102B. \52C. — \102D. — \5211. 某几何体的三视图如图所示 , 则该几何体的外接球表面积是A. 14πB. 10πC. 7 \14πD. 3π12. 已知抛物线 C : 儿2 =4y 的焦点为F , 若直线 l 过 F , 且与抛物线 C 交于 A , B , 过点 A 作直线y = —1的垂线 , 垂足为点 M , 点 N 在y 轴上 , AF , MN 互相垂直平分 , 则 AB = A. 3 B. 3C. 4D. 8二、填空题 : 本大题共 4 小题 , 每小题 5 分 , 共 20分 .13. 已知向量a , b 满足|a | =1, |b | =2, |a 十b | =3, 则 |a —b | = .14. 在等差数列{a n }中 , a 1 =1, 其前n 项和为S n , 若 S 6 —3S 2 =24, 则 S 8 = . 15. 已知双曲线左右焦点分别为 F 1 , F 2 , 若过右焦点的直线与以线段 OF 1 为直径的圆相切 , 且与双曲线在第二象限交于点 P , 且 PF 1 丄儿轴 , 则双曲线的离心率是 .16. 在直四棱柱 ABCD —A 1B 1C 1D 1 中 , 底面 ABCD 为边长为 2 的菱形 , 上BAD =60o , AA 1 =2\3, 点 P 在线段BD 1 上运动 , 则以下命题中正确的是 .①不管点 P 在线段BD 1 上如何运动 , 都有 A 1D 1Ⅱ平面 BCP ; ②随点 P 在线段BD 1 上运动 , 点 B 到平面 ACP 的最大距离为 1;③当点 P 运动到线段 BD 1 的中点时 , 平面 ABP 截直四棱柱 ABCD —A 1B 1C 1D 1 的截面面 积为 16;④点 A 到平面BCP 的距离为2 \/154 165 .3三、解答题:共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题, 每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题, 考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17. (本小题满分12分)在△ABC中, 角A, B, C的对边分别为a, b, c, 2sin C= 十.(1)求角C;若c=1,A=,求△ABC的面积.18. (本小题满分12分)2021年7 月25 日, 在东京奥运会自行车公路赛中, 奥地利数学女博士安娜● 基森霍夫(Anna kiesenhofer)以3小时52分45秒的成绩获得冠军, 震惊了世界! 广大网友惊呼" 学好数理化 , 走遍天下都不怕”. 某市对中学生的体能测试成绩与数学测试成绩进行分析 , 并从中随机抽取了人进行抽样分析, 得到下表(单位:人) :(1)根据以上数据, 能否在犯错误的概率不超过0. 10的前提下认为" 体能优秀”还是" 体能一般”与数学成绩有关? (结果精确到小数点后两位)(2)现从抽取的数学优秀的人中, 按"体能优秀”与" 体能一般”这两类进行分层抽样抽取5人,然后, 再从这5人中随机选出2人, 求这2人都是" 体能优秀”的概率.参考公式:k2= , 其中n=a十b十c十d.参考数据:19. (本小题满分12分)在直棱柱ABCD—D1中,AB丄AD,ADⅡBC其中AB=AD=BC=2,A点M在DD1上, 且DM= MD1, 延长BM至E使得(1)求证:C D丄B E;(2)求点B到平面CDE距离.20. (本小题满分12分)已知椭圆十的离心率为, 长轴长为4, 过椭圆左焦点F1的直线l与椭圆交于点P,Q,P,Q异于顶点.(1)求椭圆的方程 ;(2)设N(—4, 0) , 证明:上PNF1=上QNF1.21. (本小题满分12分)已知函数f( 儿) =ln 儿—儿2 —儿.(1)求f( 儿)的极值;设g十儿十存在唯一极大值 , 极大值点为儿0 , 求证 :g(二)选考题:共10分. 请考生在第22、23两题中任选一题作答. 如果多做, 则按所做的第一题计分.22. [选修 4—4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系儿oy中, 直线l的参数方程为为参数) , 以坐标原点为极点 ,儿轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C的极坐标方程为p=6sin θ十8Cos θ.(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程;(2)直线l与曲线C交于A, B两点, 点P(—2, 6) , 求|PA| 十|PB| .23. [选修 4—5:不等式选讲](10分)已知函数f( 儿) = —| 儿十1| —| 儿十2| .(1)求不等式f( 儿)≥—3的解集;(2)若对 y儿∈[—4, 2] , 都有f( 儿)十|a—2| ≥0恒成立, 求a的取值范围.。
皖南八校联考2021届高三数学(文)上学期摸底试卷附答案详析
因为 A , 1 1, ，所以 A U B , 0 1, .
故选：C.
【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题.
2．已知命题 p : x 0 ， 3x x3 .则 p 为（ ）
A． x 0 ， 3x x3
B． x 0 ， 3x x3
C． x0 0 ， 3x0 x03
1 4
个周期后，所得图象对应的函数为（
）
A．
g
x
2
sin
2
x
12
B．
g
x
2
sin
2x
6
C．
g
x
2 sin
2x
7 12
D．
g
x
2 sin
2
x
2 3
r
5．已知向量 a 2, 2 ， b 1, x ，若 a// a 2b ，则 b （ ）
A．10
B．2
6．函数 y= 2 x sin2x 的图象可能是
故选：B.
【点睛】
本题主要考查双曲线和抛物线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
8．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走 378 里路，第一天健步行走， 从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地.”那么，此人第 3 天和第 4 天共走路
b ，然后利用焦距为 2
6，
求得 b，进而得到抛物线的方程求解.
【详解】
8
因为双曲线
y2 a2
x2 b2
1a
0, b
0 的两条渐近线互相垂直，
所以 a b ，又焦距为 2 6 ，
所以
a2
安徽省皖南八校2020-2021学年高三上学期第二次联考理科数学试题
安徽省皖南八校2020-2021学年高三上学期第二次联考理科数学试题一、单选题1．若集合{}2,1,0,1A =--，{}220B x x x =+<，则AB =（ ）A ．{}1-B ．{}1,0-C ．{}2,1,0--D ．{}1,0,1-2．若{} n a 是公比为e 的正项等比数列，则{}31ln n a -是（ ） A ．公比为3e 的等比数列 B ．公比为3的等比数列 C ．公差为3e 的等差数列 D ．公差为3的等差数列二、未知3．数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Kronecker ，1823-1891）说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”．设i 为虚数单位，复数(2)43z i i -=+，则z 的共轭复数是（ ） A ．2i +B ．2i -C ．12i -D ．12i +40y ±=，且与椭圆2228x y +=有共同焦点，则双曲线的方程为（ ）A ．222213y x -=B ．2213y x -=C ．2214y x -=D ．2219y x -=5．(6,13)A 和(12,11)B 是平面上圆C 上两点，过A ，B 两点作圆C 的切线交于x 轴上同一点，则圆C 的面积为（ ） A ．838πB ．212πC ．858πD ．434π6．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，1PA =．过BD 作与侧棱PC 垂直的平面BDE ，交PC 于点E ．则CE 的长为（ ）A ．3B C ．2D ．37．已知正实数a ，b ，满足a b >，则（ ） A ．ln(1)0a b -+< B ．3a b a b π--<C ．11a b a b+>+ D ．11a b a b->- 8．魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4．在某一球内任意取一点，则此点取自球的一个内接正方体的“牟合方盖”的概率为（ ）A ．12B ．23C ．9πD ．99．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(,)M x y 为阴影区域内的动点（不包括边界），这里||,||x y ππ<<，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．sin()0x y ->B ．sin()0x y -<C ．cos()0x y ->D ．cos()0x y -< 10．设正实数a ，b ，c ，满足2ln 2a c e b b ce ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<11．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果*n ∀∈N 都有112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，数列{}n b 满足*9,2n nb S n +=∈N ，数列{}nc 满足12,n n n n c b b b n *++=∈N ．设n T 为{}n c 的前n 项和，则当n T 取得最大值时，n 的值等于（ ） A ．17B ．18C ．19D ．2012．已知直线(1)(0)y a x a =->与曲线()cos ((,))f x x x ππ=∈-相切于点A 、与曲线的另一交点为B ，若A 、B 两点对应的横坐标分别为1212,()x x x x <，则()111tan x x -=（ ） A ．1- B ．2C ．1D ．2-13．已知角6πα+的终边与单位圆交于点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_________．14．若21nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+展开式的各项系数之和为32，则展开式中的含4x 项的系数为________．（用数字作答）．15．如图所示，已知M ，N 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上关于原点对称的两点，点M 与点Q 关于x 轴对称，2516ME MQ =，直线NE 交双曲线右支于点P ，若2NMP π∠=，则e =_____________．16．已知(,0)(0),(1,0)a x x b =>=||||||a b a a +-=，则a =___________．17．已知三角形ABC 三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin cos 2A Cb A +=． （1）求角B ； （2）若4A π=，角B 的平分线交AC 于点D ，2CD =，求BCD S △．18．8月10日，2020年《财富》世界500强排行榜正式发布．中国大陆（含香港）公司数量达到124家，历史上第一次超过美国（121家）．2008年中国加入世贸组织时中国大陆进入世界500强的企业12家，以后逐年增加，以下是2016——2020年（年份代码依次为1，2，3，4，5）中国大陆进入世界500强的企业数量．（1）已知可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的回归方程．并预测2021年中国大陆进入世界500强的企业数量，结果取整；（2）2020年《财富》榜单显示共有7家互联网公司上榜，中国大陆4家、美国3家．现某财经杂志计划从这7家公司中随机选取3家进行深度报道，记选取的3家公司中，中国大陆公司个数为ξ，求ξ的分布列与期望．参考数据：51566ii y==∑，511750i i i x y ==∑．参考公式：回归方程y a bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1122211,nnii i ii i nniii i xx y y x ynx yb a y bx xx xnx ====--⋅-⋅===---∑∑∑∑．19．已知函数1()()x f x x m e m x -⎛⎫=-+⋅∈⎪⎝⎭R ． （1）求证：当0m =时，函数()f x 在(,0)-∞内单调递减；（2）若函数()f x 在区间(1,2)内有且只有一个极值点，求m 的取值范围．20．已知抛物线C ：22(0)y px p =>，点P 为y 轴左侧一点，A ，B 为抛物线C 上两点，当直线AB 过抛物线C 焦点F 且垂直于x 轴时，AOB 面积为2． （1）求抛物线C 标准方程；（2）若直线,PA PB 为抛物线C 的两条切线，设PAB △的外心为M （点M 不与焦点F 重合），求sin PFM ∠的所有可能取值．21．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(sin cos )1ρθθ+=．（1）求圆C 普通方程和直线l 直角坐标方程； （2）点P 极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，设直线l 与圆C 的交点为A ，B 两点A ，B 中点为Q 求线段PQ 的长．22．已知0,2x y >>=，证明：（1）222x y +≥；（21+．三、解答题23．如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，,//AD CD AB CD ⊥,122AB AD CD ===，点M 是线段EC 的中点.（1）求证：//BM 面ADEF ；（2）求平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值.。
2021年安徽省高三“五校联盟”第二次联考文科数学试题附答案
模型狔＝烅烄４０ｓｉｎ（３π狓）＋１３，０≤狓＜２，假设该人喝一瓶啤酒后至少经过狀（狀∈犖 ）小时才可以驾车，则狀 烆９０·ｅ－０．５ｘ＋１４，狓≥２，
的值为（参考数据：ｌｎ１５≈２．７１，ｌｎ３０≈３．４０）
车辆驾驶人Байду номын сангаас血液酒精含量阈值
驾驶行为类别
饮酒驾车
阈值（犿犵／１００犿犔） ［２０，８０）
由圆锥的底面周长犔 与高犺，计算其体积犞 的近似公式犞＝３１６犔２犺，它实际上是将圆锥体积公式中的圆
周率π近似取为３，那么近似公式犞＝３１８犔２犺，相当于将圆锥体积公式中的π近似取为
Ａ．２８５
Ｂ．３ １７ ２
Ｃ．１６９
Ｄ．７２６５
５．已知平面单位向量犲１，犲２ 满足｜２犲１＋犲２｜＝槡５，设向量犪＝犲１＋犲２，向量犫＝３犲１＋犲２，则｜犪＋犫｜＝
④｜犅犘｜随犿 的减小而增大
Ａ．４
Ｂ．３
Ｃ．２
Ｄ．１
【文科数学试题 第 ２页（共４页）】
二、填空题：本题共４小题，每小题５分，共２０分． 烄狓－狔＋１≥０，
１３．若变量狓，狔 满足线性约束条件烅狓－２狔－１≤０，则目标函数狕＝狓＋２狔 的最小值 ． 烆狓＋狔－４≥０，
１４．已知函数犳（狓＋１）＝狓３－２狓＋１，曲线狔＝犳（狓）在点（０，犳（０））处的切线方程为 ． １５．已知点 犕（１，－１）和抛物线犆：狓２＝４狔，过犆 的焦点且斜率为犽 的直线犾与犆 交于犃，犅 两点，犖 为犃犅
【文科数学试题 第 ４页（共４页）】
颍上一中 涡阳一中 蒙城一中 淮南一中 怀远一中 ２０２１届高三“五校联盟”第二次联考·文科数学
参考答案、提示及评分细则
一、选择题
题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答案 Ｃ Ａ Ｄ Ｃ Ｄ Ｄ Ａ Ａ Ｂ Ｂ Ｂ Ｂ
安徽省皖南八校2022-2023学年高三上学期第二次大联考数学试题(2)
一、单选题二、多选题1.已知数列是公差大于0的等差数列，且满足，，则数列的前10项的和等于（ ）A ．23B ．95C ．135D ．1382. 若复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 已知椭圆C：的右顶点是圆的圆心，其离心率为，则椭圆C 的方程为（ ）A．B．C．D．4. 下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（ ）A ．样本的平均数B ．样本的中位数C ．样本的众数D ．样本的标准差5. 已知函数，其中，若恒成立，则函数的单调递增区间为（ ）A．B．C．D．6. 已知函数，下列命题正确的是（ ）①是奇函数；②方程有且仅有1个实数根；③在上是增函数；④如果对任意，都有，那么的最大值为2.A ．①②④B ．①③④C ．①②③D ．②③④7. 函数在区间上的最大值与最小值之和为，则的最小值为（ ）A ．2B ．e C．D．8. 如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线与的位置关系为（）A ．相交B ．平行C ．异面并且垂直D ．异面但不垂直9. 设数列的前项和（为常数），则下列命题中正确的是（ ）A ．若，则不是等差数列B．若，，，则是等差数列C ．若，，，则是等比数列D ．若，，，则是等比数列安徽省皖南八校2022-2023学年高三上学期第二次大联考数学试题(2)安徽省皖南八校2022-2023学年高三上学期第二次大联考数学试题(2)三、填空题四、解答题10. 在正方体中，，点满足，.下列结论正确的有（ ）A ．直线与一定为异面直线B．直线与平面所成角正弦值为C．四面体的体积恒定且为2D ．当时，的最小值为11. 已知，直线，是的图象的相邻两条对称轴，则下列说法正确的是（ ）A ．函数为偶函数B ．的图象的一个对称中心为C ．在区间上有个零点D．在区间上为单调函数12. 已知O 为坐标原点，抛物线的准线方程为，过焦点F 的直线l 与C 交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为D ，以PQ 为直径的圆与x 轴交于M ，N 两点，则（ ）．A ．C的方程为B ．面积的最小值为p C．的最大值为D ．当时，直线l的斜率为13.记各项均为正数的数列的前项积为，则当的值最小时，对应的一个值是______．14. 已知总体的各个体的值从小到大为：，且总体的中位数为4.若要使该总体的方差最小，则___________．15. 在平面直角坐标系中，若角的始边是 轴非负半轴，终边经过点，则________.16. 已知箱子内有张大小相同的卡片，其中张金卡，张银卡，从中不放回地依次随机抽取张，求下列事件的概率(1)“第二次抽到金卡”(2)“至少抽到一次金卡”17.已知等比数列的公比为.(1)若=，求数列的前n 项和；(2)证明：对任意，，，成等差数列18. 在等比数列{a n }中，公比，其前n 项和为S n ，且S 2=6，___________.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设，且数列{c n }满足c 1=1，c n +1﹣c n =b n +1b n ，求数列{c n }的通项公式.从①.S 4=30，②.S 6﹣S 4=96，③.a 3是S 3与2的等差中项，这三个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线上，并作答.19. 渔船海上外出作业受天气限制，尤其浪高对渔船安全影响最大，二月份是某海域风浪最平静的月份，浪高一般不超过3.某研究小组从前些年二月份各天的浪高数据中，随机抽取50天数据作为样本，制成频率分布直方图：（如图）根据海浪高度将海浪划分为如下等级：浪高海浪等级微浪小浪中浪大浪海事管理部门规定：海浪等级在“大浪”及以上禁止渔船出海作业.(1)某渔船出海作业除受浪高限制外，还受其他因素影响，根据以往经验可知：“微浪”情况下出海作业的概率为0.9，“小浪”情况下出海作业的概率为0.8，“中浪”情况下出海作业的概率为0.6，请根据上面频率分布直方图，估计二月份的某天各种海浪等级出现的概率，并求该渔船在这天出海作业的概率；(2)气象预报预计未来三天内会持续“中浪”或“大浪”，根据以往经验可知：若某天是“大浪”，则第二天是“大浪”的概率为，“中浪”的概率为；若某天是“中浪”，则第二天是“大浪”的概率为，“中浪”的概率为.现已知某天为“中浪”，记该天的后三天出现“大浪”的天数为X，求X的分布列和数学期望.20. 某保险公司给年龄在20~70岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名作为样本进行分析，按年龄段分成了五组，其频率分布直方图如图所示，参保年龄与每人每年应交纳的保费如表所示.年龄(单位：岁)保费(单位：元)6090120150180（1）求频率分布直方图中实数a的值，并求出该样本年龄的中位数；（2）现分别在年龄段中各选出1人共5人进行回访，若从这5人中随机选出2人，求这2人所交保费之和大于260元的概率.21. 已知函数，设为的导数，．（1）求，；（2）猜想的表达式，并证明你的结论．。
2021届天一大联考“皖豫名校联盟体”高三上学期高三第二次考试数学(文)试卷及答案解析
绝密★启用前2021届天一大联考“皖豫名校联盟体”高三上学期高三第二次考试数学（文）试题学校：___________注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合A ＝{x|x 2-10≤}，B ＝{x|0＜x ＜2}，则A∩B＝（）A ．(0，1)B ．(0，1]C ．[-1，1]D ．[-1，2) 答案：B求出集合A ，再利用集合的交运算即可求解.解：{}11A x x =-≤≤，B ＝{x|0＜x ＜2}，故A∩B＝(0，1]．故选：B2．22i (1i)z +=-的共轭复数为（） A ．1i 2-- B ．1i 2-+ C ．1i 2- D ．1i 2+ 答案：A 根据复数的乘法运算以及共轭复数的概念即可求解.解：因为22i 2i 1i 2i 2(1i)z ++===-+--，所以z 的共轭复数为1i 2--． 故选：A3．已知向量(,0)AB m =，(2,2)BC =-，()AB AC BC +⊥，则m 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B向量垂直的定义及向量的数量积坐标公式计算即可．解：因为(2,2)AC AB BC m =+=-，(22,2)AB AC m +=-，()()0AB AC BC AB AC BC +⊥⇒+⋅=，故()222402m m --+=⇒= 故选：B4．某校高三学生小李每天早晨7点下课后，从教室到学校餐厅吃早餐，步行4分钟，统计小李一段时间打饭所需时间Z （单位：分钟），整理得到如图所示的频率分布直方图，吃饭需要15分钟，而后步行4分钟返回教室．已知学校要求学生7：30开始在教室内上自习，则小李上自习不迟到的概率约为（）A ．0.7B ．0.5C ．0.4D ．0.3答案：C 由频率分布直方图求出打饭时间小于7分钟的概率即得．解：解：由题意，小李打饭时间小于7分钟才不会迟到，因为P(Z <7)＝0.1+0.15+0.15＝0.4，故小李上自习不迟到的概率约为0.4．故选：C ．5．在平面四边形ABCD 中，CD ＝1，AC ⊥BD，∠CDB＝φ（φ为锐角），∠ACB＝45°，3sin cos 3ϕϕ+=，则BC ＝（）A ．1B 3C ．22D ．12 答案：C利用两角和的正弦公式求出锐角ϕ，在DBC △中，由正弦定理可求得结果. 3cos 2sin(30)3ϕϕϕ+=+=°φ为锐角，所以解得φ＝30°，因为AC BD ⊥，45ACB ∠=，所以∠DBC＝45°，在DBC △中，由正弦定理sin sin BC CD BDC DBC=∠∠，得12sin sin30sin sin 45CD BC BDC DBC =⋅∠=⋅=∠°°． 故选：C点评：关键点点评：：在DBC △中，由正弦定理求解是解题关键.6．过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，7-)的圆与圆x 2+y 2＝16的相交弦所在直线的方程为（）A ．x -2y+2＝0B ．x -y+2＝0C ．x -2y ＝0D ．x+2y+2＝0答案：A 求出过三点的圆的方程，两圆方程相减得相交弦所在直线方程． 解：解：由题意得321143AB k -==--，27341CB k +==-，所以k AB k CB ＝-1，所以AB⊥CB， 即△ABC 为直角三角形，则其外接圆的圆心为AC 的中点(1，-2)，10AC =，半径为5，所以其外接圆方程为(x -1)2+(y+2)2＝25，与x 2+y 2＝16左右两边分别相减可得相交弦所在直线的方程为x -2y+2＝0．故选：A ．7．某日化用品厂家研发了一种新的牙膏产品，该产品的成本由生产成本和销售成本组成．每批产品的销售成本y （元）与生产该产品的数量x （千件）满足指数函数模型y ＝3.47×10mx ，已知每件产品的生产成本为10元，生产12千件该产品时，总成本为123470元．若销售成本增加1倍，则生产该产品的数量增加了（）千件．(lg2≈0.3)A ．1.2B ．1.1C ．0.9D ．0.3 答案：A由题意写出生产总成本与生产件数的关系式，再由g(12)=123470求解m 值，得到函数解析式，再由销售成本增加1倍求解生产该产品的数量的增加数.解：设生产了x 千件该产品，则生产总成本为g(x)＝3.47×10mx +x×10×1000． 因为g(12)＝3.47×1012m +120000＝123470，所以3.47×1012m ＝3470，所以1012m ＝1000，所以m ＝0.25．所以y ＝3.47×100.25x ．设现在的销售成本为y 1，对应的生产数量为x 1，原来的销售成本为y 2，对应的生产数量为x 2，由销售成本增加1倍，知y 1＝2y 2，所以120.25()102x x -=，故x 1-x 2＝4lg2≈1.2（千件）．故选：A点评：关键点点评：：根据已知每件产品的生产成本为10元，生产12千件该产品时，总成本为123470元，求出m ，得出函数解析式是解题的关键所在,属于中档题.8．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，点P 在C 上且P 在准线上的投影为Q ，直线QF交C 于点D ，且|QD|＝2|DF|，则PFQ △的面积为（）A ．4B ．43C ．83D ．163 答案：D根据三角形相似和抛物线定义，可知||||1||||2DF FE QD FQ ==，从而可得∠PQF＝60°，进而可得PFQ △为等边三角形，由4||8cos60FQ ==°，根据等边三角形的面积公式即可求解. 解：设E 为准线与x 轴的交点，根据三角形相似和抛物线定义，可知||||1||||2DF FE QD FQ ==， 可得∠QFE＝60°，所以∠PQF＝60°， 又|PQ|＝|PF|，所以PFQ △为等边三角形，又4||8cos60FQ ==°， 所以PFQ △的面积为238163⨯=．故选：D9．已知函数y ＝2|cosx|+cos2x 在[0，a]上单调递减，则实数a 的最大值为（）A ．π4B ．π3C ．π2D ．π 答案：C将函数分解为2221y t t =+-和|cos |t x =，分类讨论a ，根据复合函数的单调性可得结果.解：y ＝2|cosx|+cos2x ＝2|cosx|+2cos 2x-1，令t ＝|cosx|，则y ＝2t 2+2t-1， 当02a π<≤时，t ＝|cosx|cos =x 在[0,]a 上单调递减，t∈[cos a ，1]，0cos 1a ≤<， 因为y ＝2t 2+2t-1在[cos a ，1]上单调递增，所以函数y ＝2|cosx|+cos2x 在[]0,a 上单调递减．。