随机信号分析与应用第三章
第三章 随机信号的描述
一、概率分布函数 1. 一维概率分布函数 对于一个随机变量,用来表示它的概率分布函数，则有： Px ( x1 , n) = 概率[ x n ≤ x1 ] (3-1) 如果的取值是离散的，则用来表示概率密度函数： p x ( x1 , n) = 概率[ x n = x1 ] (3-2) 表示取某一值的概率。例如前面抛掷硬币的例子，只有两 种可能的值：－1和＋1，如果＝＋1的概率为p，则＝－1 1 1 1 p 1 的概率为（1－p）。两者之间的关系为： P ( x , n) = ∫ p ( x, n)dx (3-3) 图3-2表示了这个随机变量的概率分布函数及概率密度函 数。
第三章 随机信号的描述
（Random Signal Representation）
信号可分为确定性信号和随机信号。在数字 信号处理中，随机信号的处理有重要的意义，因 为随机信号的普遍存在的，如信号的任何实际测 量都会带来随机干扰。在很多实际应用领域，消 除随机信号的干扰，提取被掩埋于其中的确定成 分是根本的任务。还因为随机信号处理技术在信 号处理领域作为一种强有力的工具使用。在实际 应用中要区别的是随机性与非线性，随机信号与 非线性信号。应该注意的是，在信号处理中作为 一种工具使用的伪随机数或伪随机信号，是由计 算机用非线性算法产生的非线性信号，“伪”的 真实意义即在于此(貌似随机实为确定)。
二、统计特征量 1.数学期望（均值） 数学期望（ 数学期望 均值） 随机变量的均值用表示定义为： m = E[x ] = ∫ xp ( x ) dx (3-7) 如果是电压或者电流，均值可理解为第n点上电压或电流的“直流分量”。 2.均方值 均方值 随机变量的均方值定义为： E [ x ] = ∫ x p ( x ) dx (3-8) 如果是电压或者电流，均方值可理解为在第n点上电压或电流在1欧姆电阻上 的“平均功率”。 3.方差 方差 随机变量的方差定义为： 2 σ xn = E[( x n m xn ) 2 ] (3-9) 如果是电压或者电流，方差可以理解为电压或者电流的起伏分量在1欧姆电阻 上消耗的平均功率。 利用（3－6）容易得到方差、均值、均方值的关系： (3-10) σ xn 2 = E[ x n 2 ] m xn 2 以上三个特征量仅与一维概率密度有关。对于平稳随机过程，方差、均值、 均方值都是与时间无关的常熟，可以将时间坐标省去，今后将用和来表示均 值与方差。
随机信号分析与处理(第2版)
随机信号分析与处理（第2版）概述本文档介绍了随机信号分析与处理（第2版）的主要内容。
随机信号是一种在时间上或空间上具有随机性质的信号，在诸多领域中都有广泛的应用，如通信、图像处理、控制系统等。
随机信号的分析和处理对于了解其性质、提取有用信息以及设计有效的处理算法都是必不可少的。
主要内容第一章：随机信号的基本概念本章介绍了随机信号的基本概念和特性，包括随机信号的定义、概率密度函数、均值、方差等。
通过对随机信号的特性分析，可以为后续的分析和处理提供基础。
第二章：随机过程本章讨论了随机过程的定义和性质。
随机过程是一类具有随机性质的信号集合，其在时间上的取值不确定，但具有统计规律性。
通过对随机过程的分析，可以了解其演化规律和统计性质。
本章介绍了随机信号的表示与分解方法。
随机信号可以通过不同的数学模型进行表示，如傅里叶级数、傅里叶变换、小波变换等。
通过将随机信号进行分解，可以提取出其中的有用信息。
第四章：随机信号的功率谱密度本章研究了随机信号的功率谱密度。
功率谱密度描述了随机信号在频率域上的分布，通过分析功率谱密度可以获得随机信号的频率特性和频谱信息。
第五章：随机信号的相关与协方差本章讨论了随机信号的相关与协方差。
相关是用来描述随机信号之间的依赖关系，协方差是用来描述随机信号之间的线性关系。
通过分析随机信号的相关与协方差，可以研究信号之间的相关性和相关结构。
本章介绍了随机信号的滤波和平均处理方法。
滤波是用来抑制或增强随机信号中的某些频率分量，平均则是通过对多次采样的随机信号进行求平均来减小随机性。
第七章：随机信号的参数估计本章研究了随机信号的参数估计方法。
参数估计是通过对随机信号进行采样和分析，通过估计参数来了解信号的统计性质和特征。
第八章：随机信号的检测和估计本章讨论了随机信号的检测和估计方法。
检测是用来判断随机信号的存在或不存在，估计是通过对随机信号的采样和分析来估计信号的参数。
第九章：随机信号的最优滤波本章研究了随机信号的最优滤波方法，最优滤波是通过优化设计滤波器来最小化系统误差或最大化输出信噪比。
通信原理第3章_随机信号
此时Ｘ(t)是很多随机变量．记为{Ｘ(t) ,t＝０, １, 2 , ….}
10
引例3
具有随机初位相的简谐波， X(t)=Acos（wt+ φ ） 其中Ａ，ω为常数，φ服从[0,2π]上的均匀分布。 由于初位相的随机性，在某时刻t＝t0，Ｘt0是一个 随机变量．
思考：如何观察该谐波的波形与规律？ 需要在任意时刻t处观察，即观察随机变量Ｘ(t)，此时Ｘ (t)是很多随机变量.记为{Ｘ(t)，t∈[0，+∞)}
xn
随机过程 (t) 的n维概率密度函数：
n Fn ( x1，x2， ，x n；t1，t2， ，t n ) f n ( x1，x2， ，x n；t1，t2， ，t n ) x1x2 x n 30
随机过程分布函数的例子
例子1 ：X (t ) A cost t 0;其中A具有以下的概率分布 1 P（A i） i 1 ， 2 ， 3 3
显然，n越大，对 随机过程统计的描 述就越充分，但问 若上式中的偏导存在的话。 题的复杂性也随之 随机过程 (t) 的n维分布函数： 增加。在一般的实 际问题中，掌握二 Fn ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,t n ) 维分布函数就已经 P (t1 ) x1 , (t 2 ) x2 ,, (t n ) 足够了。
14 Nhomakorabeat一定时， φ变化，X(t)，就变化，所有变化 的全部构成样本函数集 只有样本函数集可以较为全面的反映所想了 解的随机现象. 为此将概率论中的随机变量推广为样本函数 集.
15
随机过程
随机过程的基本特征
它是时间的函数，当然这个函数会随着时间的变 化而变化 在某个固定的时刻t1，,全体样本在时刻t1的取值 X(t1)是一个不含t变化的随机变量 因此，随机过程看成依照时间参数的一般随机变 量，可见，随机过程具有随机变量和时间函数的 特点
随机信号分析(常建平,李林海)课后习题答案第三章 习题讲解
、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。
求（1）证明X(t)是平稳过程。
（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。
（3）画出该随机过程的一个样本函数。
（1）（2）3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232()(16)X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？ ②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？解[][]()[]2()cos 211,cos 5cos 22X E X t E A E t B A B R t t EA τττ=++=⎡⎤⎣⎦+=+=+与相互独立()()()21521()lim2TT T E X t X t X t X t dt AT-→∞⎡⎤=<∞⇒⎣⎦==⎰是平稳过程()()[]()()4112211222222242'4(1)24()()444(0)41132(1)224414414(2)121tan 13224X X XE X t G d RFG F e R G d d d arc x x ττωωωωωππωωπωωπωπωω∞----∞∞-∞-∞∞--∞∞⎡⎤⨯⎡⎤==⋅=⋅⎢⎥+⎣⎦====+==⎛⎫+ ⎪==⎣⎦=++⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰P P P P 方法一()方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功)2d ω=3-7如图3.10所示，系统的输入()X t 为平稳过程，系统的输出为()()()Y t X t X t T =--。
证明：输出()Y t 的功率谱密度为()2()(1cos )Y X G G T ωωω=-[][]:()[()()]{()()}{()(}2()()()()()()()()2(()[)()(()()]()())Y X X X Y X X Y Y Y X X X Y Y j T j T R E Y t Y t E X t X t T X t X t T R R R R E Y t Y t G F R T T e e G R G R G G G G ωωτττττωτωττωττττωωωω-⇒⇒=+=--+-+-=--=+=-⇔⇔∴=-+-=已知平稳过程的表达式利用定义求利用傅解系统输入输出立叶平变稳换的延时特性2()2()22()(1cos )j T j T X X X e e G G G T ωωωωωω-⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=-3-9 已知平稳过程()X t 和()Y t 相互独立，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为216()16X G ωω=+22()16Y G ωωω=+令新的随机过程()()()()()()Z t X t Y t V t X t Y t =+⎧⎨=-⎩ ①证明()X t 和()Y t 联合平稳； ②求()Z t 的功率谱密度()Z G ω？ ③求()X t 和()Y t 的互谱密度()XY G ω？ ④求()X t 和()Z t 的互相关函数()XZ R τ？ ⑤求()V t 和()Z t 的互相关函数()VZ R τ 解:()()4124(1)()()()2[()]()0[()]0()2[()]0()()(,)[()][()]0()()(2)()()()()[()()][()()][()X X X Y XY Z X t Y t R F G e E X t R E X t R eE Y t X t Y t R t t E X t E Y t X t Y t Z t X t Y t R E Z t Z t E X t Y t X t τττωτδττττττ---==∞=⇒=⎡⎤⎣⎦=-⇒=∴+=⋅+=⇒=+=+=++、都平稳＝与与联合独平立稳[][]{}2214||()]()()()()()0()()()16()()()116(3)()0()0(4)()[()()]()()()()()()[()]2(5)(X YX XY Y XY Z X Y Z X Y XY XY XZ X XY X X VZ Y t R R R R R R R R G G G R G R E X t Z t E X t X t Y t R R R F G e R ττττττττττωωωωωτωτττττττωτ--++=+++=∴=++∴=+==+=→==+=+++=+==={}4||)[()()][()()][()()]()()()4X Y E V t Z t E X t Y t X t Y t R R e ττττττδτ-=+=-+++=-=+-3-11 已知可微平稳过程()X t 的自相关函数为2()2exp[]X R ττ=-，其导数为()()Y t X t '=。
随机信号分析基础第三章课后答案
第三章，平稳随机过程的n 维概率密度不随时间平移而变化的特性，反映在统计特征上就是其均值不随时间的变化而变化，mx 不是t 的函数。
同样均方值也应是常数。
（2）二维概率密度只与t1,t2的时间间隔有关，而与时间起点t1无关。
因此平稳过程的自相关函数仅是单变量tao 的函数。
则称他们是联合宽平稳的。
第三章Chapter 3 ==========================================3.2 随机过程()t X 为()()ΦωX +=t cos A t 0式中，A 具有瑞利分布，其概率密度为()02222>=-a eaa P a A ，σσ，()πΦ20，在上均匀分布，A Φ与是两个相互独立的随机变量，0ω为常数，试问X(t)是否为平稳过程。
解：由题意可得:()[]()()002121020222220002222=⇒+=*+=⎰⎰⎰⎰∞--∞φφωπσφπσφωX E πσσπd t cos da e a a dad eat cos a t a a ()()()[]()()()()()()[]()()()()()120212021202021202022212020220210120220222020100222222002010212121221122102122121212212122222222222222t t cos t t cos t t cos det t cos da e e a t t cos dea d t t cos t t cos a d ea d t cos t cos da eaadad e at cos a t cos a t t t t R a a a a a a a -=-⨯=-⨯-=-⨯⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-∞+-=-⨯-=⎩⎨⎧⎭⎬⎫+++---=++=++==-∞∞---∞∞-∞--∞⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ωσωσωσωωφφωωπσφπφωφωσφσπφωφωX X E σσσσπσπσσπXX ）（，可见()[]t X E 与t 无关，()21t t R ，XX 与t 无关，只与()12t t -有关。
第三章随机过程的线性变换NEW随机信号分析与处理
h(k)mX(nk)
相关函数:
k
R X ( n 1 , n Y 2 ) E { X ( n 1 ) Y ( n 2 ) h } ( n 2 ) R X ( n 1 , n 2 )
R Y ( n 1 , n 2 ) h ( n 1 ) h ( n 2 ) R X ( n 1 , n 2 )
Y (t) X (t)h ()d h (t) X (t)
3.2随机过程通过线性系统分析
1. 冲击响应法
X(t)
h(t)
Y(t)
Y (t) X (t)h ()d h (t) X (t)
•均值
m Y (t) m X (t)h ()d h (t) m X (t)
G Y () H () G X (Y ) H * () G Y (X )
H * ( )H ( )G X ( )H ( )2 G X ( )
3.2随机过程通过线性系统分析
电路
R
C
C
R
L R
R L
H ()
1
1 jRC
jRC 1 jRC
R
R jL
X (n)
h(n)
Y (n)
系统描述 系统输出
பைடு நூலகம்
H() h(n)ejn n
H(z) h(n)zn n
Y(n) h(k)X(nk)h(n) X(n) k
3.3随机序列通过离散线性系统分析
1. 冲击响应法
X (n)
h(n)
Y (n)
均值: m Y ( n ) E { Y ( n ) } h ( n ) m X ( n )
通讯原理第3章 随机信号分析资料
n维概率 密度函数
pn ( x1,
x2 ,,
xn;t1, t2 ,, tn )
nFn ( x1, x2 ,, xn;t1, t2 ,, tn ) x1x2 x1
n维概率分布可以描述任意n个时刻的取值之间关联，比其低维
概率分布含有更多的统计特性信息，对随机过程的描述更细微些，
故若随机过程的观测时刻点数取得越多，则随机过程的统计特性可
显然X 2 (t )非广义平稳
例 2: 某随机过程 X(t) =A cos(w t+φ)，其中A，w为常量， φ为0－2π范围均匀分布的随机变量，试求该过程的数学期望 和相关函数。说明是否为广义平稳随机过程。
解:
E[ X (t )]
2π
0 [ Acos(ω0t φ) / 2π]dφ 0
一维概率分布与时间无关
二维分布: pn( x1, x2;t1, t2 ) pn( x1, x2;t1 τ, t2 τ )
令τ t1
pn ( x1, x2;0, t2 t1 ) p( x1, x2 , τ )
二维概率分布与时间起点无关，仅与时间间隔τ 有关
矩函数:
E[X (t)] x p( x)dx m
以描述得越细致。
从理论上来说，完全描述一个随机过程的统计特性，需要维数
趋于无穷，但从工程实际来说，许多场合仅取二维即可。
若X (t1), X (pn( x1, x2 ,, xn;t1, t2 ,, tn ) p( x1, t1 ) p( x2 , t2 ) p( xn , tn )
矩，它们只能表示随机过程在各个孤立时刻的平均统计特性，不能 反映随机过程在任意两时刻的取值之间关联。
随机信号分析基础第三章习题
首先讨论平稳性，由题可知
E [ X (t )] 1 T
T 0
S (t )
1 T
d
tT t
S ( ) d
co n st
R X (t 1 , t 2 ) E [ X (t 1 ) X (t 2 )]
T 0
S (t 1 )S (t 2 )
2
T 0
S (t )
2
1 T
d
tT t
S ( )d
2
• 综合以上讨论，该随相周期过程是宽平稳的
现在讨论各态历经性：
X (t ) lim 1 T 1 T 1 2T
T
T T
s(t ) d t
T 0 T 0
s(t ) d t s( ) d
E [ X (t )]
X (t ) X (t ) lim lim 1 T 1 2T 1 2T
T 0
T
T T T T
x (t ) x (t ) d t s(t )s(t ) d t
T
s( )s( ) d
R X ( )
m X lim 4 e
2
co s 0
2
E [ X (t )] m X 5
2 2
R X ( ) 4 e
1
co s co s 3
2
R X ( ) R X ( )
• 噪声分量 • 信号分量
PN R X (0 ) 4
1
PS R X (0 ) 1
第3章随机信号
ξ(t)的功率谱
• 设ξ(t)的功率谱密度为pξ(f)， ξT(t) FT(f) 则： pξ(f)=E[ps(f)]=lim E[│FT(f)│2]/T ξ(t)的平均功率S为： S=-∞∫+∞ pξ(f)df= -∞∫+∞ lim E[│FT(f)│2]/Tdf 而： E[│FT(f)│2]/T=E{1/T -T/2∫+T/2 ξT(t)e-jωt dt ∫+T/2 ξT(t’)ejωt’ dt’} -T/2 =E{1/T -T/2∫+T/2 ξ(t)e-jωt dt -T/2∫+T/2 ξ(t’)ejωt’ dt’} =1/T-T/2∫+T/2 -T/2∫+T/2 R(t-t’ )e-jω(t-t’) dtdt’} 令：τ=t-t’,k=t+t’，则有： E[│FT(f)│2]/T=-T∫+T [1-│τ│/T]R(τ)e-jωτdτ} 因此： pξ(f)=-∞∫+∞ lim E[│FT(f)│2]/Tdf= ) =-∞∫+∞ R(τ)e-j2πfτdτ
广义平稳随机过程
• 若一ξ(t)的数学期望，方差与t无关，自相关函数只与 τ 有关，则ξ(t)为广义平稳随机过程。 • 平稳随机过程的特性：“各态历经性” 平稳随机过程：数字特征完全由随机过程中任一实现的数 字特征来决定，即： ξ(t)（t为任意时刻）的数字特征= ξ(t1)的数字特征 ξ(t)的数学期望（统计平均值）=任一实现的时间平均值； 方差，自相关函数也可以用“时间平均”来代替“统计 平均”。 也就是说，从随机过程中得到的任一实现，好象它经历了 随机过程的所有可能状态。
统计特性（续） • 经计算，我们有： Rξ(0) =Rξc(0)= Rξs(0) 即： σξ2 =σξc2=σξs2
第3章 随机信号
R( )e
d
P ( f )
R( ) P ( )
维纳——辛钦定理
3.2.4 随机过程的频谱特性
维纳——辛钦定理是联系频域和时域两种分析方法的基本关 系式。
（1）当τ=0时，对PSD进行积分可以得到平稳过程的总功率
R(0)
P ( f )df
（2）各态历经过程的任一样本的PSD等于过程的PSD。 （3）PSD具有非负性和实偶性：
高斯白噪声及其通过理想低通信道和理想带通滤波器。
随机过程是一类随时间作随机变化的过程，具有不可预知
性，不能用确切的时间函数描述。 3.1.1、定义 角度1（样本函数）：随机过程 (t)是随机试验全体样本函 数{ x1(t),x2(t),…xn(t) }的集合
角度2（随机变量）：随机过程 (t)是在时间进程中处于不
如果存在
n Fn ( x1，x2， ，xn；t1，t 2， ，tn ) fn ( x1，x2， ，xn；t1，t 2， ，tn ) x1x2 xn
则称其是随机过程 (t)的n维概率密度函数 n越大，对随机过程统计特性的描述就越好。
3.1.3 随机过程的数字特征
PY ( ) 2 Pn ( ) Pn ( )e jT Pn ( )e jT Pn ( )(2 e jT e jT ) 2(1 cosT ) Pn ( )
1、定义 如果随机过程 (t)的任意n维（n =1,2,...）分布均服从正态 分布，则称它为正态过程或高斯过程。 n维正态概率密度函数表示式为：
定义： 设(t)是实平稳随机过程，它的自相关函数为
R( ) E[ ( t ) ( t )]