抽象函数常见题型解法

抽象函数常见题型解法总结

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽

象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。常见的特殊模型:

目录：一.定义域问题 二、求值问题 三、值域问题

四、解析式问题 五、单调性问题 六、奇偶性问题

七、周期性与对称性问题 八、综合问题

一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。

例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 。

例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。

练习：定义在(]8,3上的函数f(x)的值域为[]2,2-，若它的反函数为f -1(x)，则y=f -1

(2-3x)的定义域为 ，值域为 。

二、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验;

例3.①对任意实数x,y ，均满足f(x+y 2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.

②R 上的奇函数y=f(x)有反函数y=f -1(x),由y=f(x+1)与y=f -1(x+2)互为反函数，则f(2009)= .

例4.已知f(x)是定义在R 上的函数，f(1)=1,且对任意x ∈R 都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________

练习： 1. f(x)的定义域为(0,)+∞，对任意正实数x,y 都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2

，则f =

（2.的值是则且如果)

2001(f )2000(f )5(f )6(f )3(f )4(f )1(f )2(f ,2)1(f ),y (f )x (f )y x (f ++++==+Λ 。 2(1)(2)(1)f f f ++222(2)(4)(3)(6)(4)(8)(3)(5)(7)

f f f f f f f f f +++++= . 3、对任意整数y x ,函数)(x f y =满足：1)()()(+++=+xy y f x f y x f ，若1)1(=f ，则=-)8(f

A.-1

B.1

C. 19

D. 43

4、函数f(x)为R 上的偶函数，对x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，若(1)2f =，则(2005)f =（ ）

A . 2005 B. 2 C.1 D.0

5、定义在R 上的函数Y=f(x)有反函数Y=f -1(x)，又Y=f(x)过点（2，1），Y=f(2x)的反函数为Y=f -1(2x)，则Y=f -1(16)为（ ）

A ）18

B ）116

C ）8

D ）16 的值求的值求均有对所有上的函数，满足，是定义在为实数，且、已知)71()2()1()()()1()2

(,

,1)1(,0)0(]

10[)(,106f a y af x f a y x f y x f f x f a a +-=+≤==<<

三、值域问题

例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠，求函数f(x)的值域。

四、解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法，

例5. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x, 求f(x)

例6、设对满足x ≠0,x ≠1的所有实数x ，函数f(x)满足,()x x x f x f +=??

? ??-+11 ,求f(x)的解析式。 小结：通过解方程组的方法可求表达式。怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。 例7.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x).

例8.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件:

①f(n)>0,n ∈N; ②f(n 1+n 2)=f(n 1)f(n 2),n 1,n 2∈N*;

③f(2)=4同时成立?若存在,求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由.

例9、已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)2

1()23

(+=-x f x f 恒成立，当[]3,2∈x 时，x x f =)(，则当)0,2(-∈x 时，函数)(x f 的解析式为（ ）

A ．2-x

B ．4+x

C ．12++x

D ． 13+-x

小结：利用函数的周期性和对称性把未知区间转移到已知区间，利用已知区间的表达式求未知区间的表达式，是求解析式中常用的方法。

1.（2006重庆）已知定义域为R 的函数f(x)满足f (f (x )-x 2+x )=f (x )-x 2+x.

（Ⅰ）若f (2)=3，求f (1)；又若f (0)=a ，求f (a )；

（Ⅱ）设有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)=x 0，求函数f (x )的解析表达式。

2、函数f (x )对一切实数x ,y 均有f (x +y)-f (y)=(x +2y+1)x 成立，且f (1)=0， （1）求(0)f 的值；

（2）对任意的11

(0,)2x ∈，21(0,)2

x ∈，都有f (x 1)+2

五、单调性问题 （抽象函数的单调性多用定义法解决）

例10.设函数f(x)对任意实数x,y ，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)= -2,求f(x)

在[-3，3]上的最大值和最小值.

练习：设f(x)定义于实数集上，当x>0时，f(x)>1,且对于任意实数x 、y ，有f(x+y)=f(x)f(y)，

求证：f(x)在R 上为增函数。

例11、已知偶函数f (x )的定义域是x ≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1,x 2都有1212()()()f x x f x f x ?=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=，

（1）f (x )在(0,+∞)上是增函数； （2）解不等式2(21)2f x -<

练习：已知函数f (x )的定义域为R ，且对m 、n ∈R ,恒有f (m +n )=f (m )+f (n )－1,且f (－

21)=0,当x >－2

1时，f (x )>0.求证：f (x )是单调递增函数；

例12、定义在R +上的函数f(x)满足: ①对任意实数m,f(x m )=mf(x); ②f(2)=1.

(1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y 都成立; (2)证明f(x)是R +上的单调增函数;

(3)若f(x)+f(x-3)≤2,求x 的取值范围.

)293()3--+?x x x f 223)3..(;.........2)(1)2()2);.......(1()1()2

(2)()()0(),()()()),0(,(),0()(1+<<<=+==<<=++∞∈+∞b x f f f b a f b f a f b a b a mn f n f m f n m n m x f 求证：，解不等式若求满足、且满足

、任意的上的单调增函数，对于是定义在已知：练习

练习2、 定义在R 上的函数y =f （x ），f （0）≠0，当x ＞0时，f （x ）＞1，且对任意的a 、b ∈R ，有f （a +b ）=f （a ）·f （b ）.

（1）求证：f （0）=1； （2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f （x ）＞0；

（3）求证：f （x ）是R 上的增函数；（4）若f （x ）·f （2x －x 2）＞1，求x 的取值范围.

关键点注：解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“f （x 2）=f ［（x 2－x 1）+x 1］”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略

练习3.设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ，当a+b ≠0，都有 b

a b f a f ++)()(＞0 （1）.若a ＞b ，试比较f （a ）与f （b ）的大小；

（2）.若f （k ＜0对x ∈ [－1，1]恒成立，求实数k 的取值范围。 （由 >0可得f(a)>f(b).122-1时,f(x)<1.

试判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并说明理由. )2()0,2()1,3()2()1,3()2,1()1,2()(0)1()1(0)2()0,()(5∞+?---∞+?-?-->+-=-∞，、、，、、的解集为，则上单调递减，且在、奇函数练习D C B A C

x f x f x f K K

练习6、. 已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：

(1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥；

(2)(1)3f =

(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-.

(I)求(0)f 的值；

(II)求()f x 的最大值；

(III)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*

12(3),n n S a n N =--∈. 求证：1231123

32()()()()2n n f a f a f a f a n -?++++≤+-L . 六、奇偶性问题

例13. （1）已知函数f(x)(x ≠0的实数)对任意不等于零的实数x 、y 都有f(x ﹒y)=f(x)+f(y)，试判

断函数f(x)的奇偶性。

（2）已知y=f (2x +1)是偶函数，则函数y=f (2x )的图象的对称轴是（ ）

A.x =1

B.x =2

C.x =－21

D.x =2

1 注：若由奇偶性的定义看复合函数，一般用一个简单函数来表示复合函数，化繁为简。F （x ）=f(2x+1)为偶函数，则f(-2x+1)=f(2x+1)→f(x)关于x=1对称。

b

a b f a f --+)

()(

例14：已知函数f(x)的定义域关于原点对称且满足())

()(1)()()(1x f y f y f x f y x f -+=

-，（2）存在正常数a ，使f(a)=1.求证：f(x)是奇函数。

例15：设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在)0,(-∞上是增函数，又)123()12(22+-<++a a f a a f 。求实数a 的取值范围。

（设计理由：此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题，所以本题弹性较大，可以作一些条件变换如：)21()1()1()1(a f a f f a f -<+<+或等；也可将定义域作一些调整）

例16：定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f (x +y )=f (x )+f (y )．

(1)求证f (x )为奇函数；

(2)若f (k ·3x )+f (3x -9x

-2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．

立。

说明：问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x ∈R 上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t 2-(1+k)t+2对于任意t ＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．本题还有更简捷的 上述解法是将k 分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖．

练习：1、已知f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的函数a,b 都满足f(ab)=af(b)+bf(a).

(1)求f(0)，f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;

(3)若f(2)=2,u n =f(2n ) (n ∈N*),求证:u n+1>u n (n ∈N*).

2.定义域为R 的函数f(x)满足：对于任意的实数x ，y 都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x ＞0时f(x)＜0恒成立.

(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；

(2)证明f(x)为减函数；若函数f(x)在[-3，3）上总有f(x)≤6成立，试确定f(1)应满足的条件； )0a ,n (),a (f )x a (f n 1)x (f )ax (f n 1x )3(22<->-是一个给定的自然数的不等式解关于

3、已知f (x )是定义在［－1，1］上的奇函数，且f (1)=1,若a ,b ∈［－1,1］,a +b ≠0时，有

b a b f a f ++)()(＞0. (1)判断函数f (x )在［－1，1］上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；

（2）解不等式：f (x +21)＜f (1

1-x ); (3)若f (x )≤m 2－2pm +1对所有x ∈［－1,1］,p ∈［－1,1］(p 是常数）恒成立，求实数m 的取值范围.

七、周期性与对称性问题（由恒等式．．．

简单判断：同号看周期，异号看对称）

1 ()()a x f a x f -=+→T=2a ()()a x f a x f +-=+→对称轴a x =?()y f x a =+是偶函数；

()()a x f a x f +--=+→对称中心（a,0）?()y f x a =+是奇函数

2 ()()x b f x a f +=+→T=a b -

()()x b f x a f +=-→对称轴2

b a x +=； ()()x b f x a f +-=-→对称中心)0,2(

b a +； 3 f(x)= -f(x+a)→T=2a f(x)= -f(-x+a)→对称中心??

? ??0,2a 4 ()()x b f x a f +-=+→T=2a b -

()()x b f x a f --=+→对称中心??? ??+0,2b a 5

f(x)=±()x f 1→T=2a f(x)= b-f(-x+a)→对称中心??? ??2,2b a 6 f(x)=1-

()()0)(1≠+x f a x f →T=3a

结论：(1) 函数图象关于两条直线x=a ，x=b 对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b|

(2) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b|

(3) 函数图象关于直线x=a ，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4|a-b|

（4） 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别:

y=f(a+x)与y=f(b-x)关于2a b x -=对称；y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点)0,2

(a b -对称 （可以简单的认为：一个函数的恒等式，对应法则下的两式相加和的一半为对称轴：两个同法则不同表达式的函数，对应法则下的两式相减等于0，解得的x 为对称轴）

例1：①已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +2) = – f (x )，则f (6)的值为（ ）

A. –1

B. 0

C. 1

D. 2

练习：（2010重庆）已知函数()f x 满足：()114

f =，()()()()()4,f x f y f x y f x y x y R =++-∈，则()2010f =_____________.

例2. 已知函数y=f(x)满足2002)()(=-+x f x f ，求()()x f x f -+--200211的值。

例19. 奇函数f (x )定义在R 上，且对常数T > 0，恒有f (x + T ) = f (x )，则在区间［0，2T ］上，方程f (x ) = 0根的个数最小值为（ ）

A. 3个

B.4个

C.5个

D.6个

例3．① f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a ∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调。

求a 的值。

②设y=f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数，函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线x=1对称，

且当x [2,3]时，g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3(a 为常数且a R)

（1）求f(x);

（2）是否存在a [2,6]或a (6,+∞),使函数f(x)的图象的最高点位于直线y=12上？ 若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.

练习1、函数)1(+=x f y 是偶函数，则)(x f y =的图象关于 对称。

2、函数)(x f y =满足)

(1)3(x f x f -=+，且1)3(=f ，则=)2010(f 。 3、函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且11()()22

f x f x +=-,则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++=

4、已知函数(21)y f x =-是定义在R 上的奇函数，函数()y g x =是()y f x =的反函数，若120x x +=则12()()g x g x +=（ ）

A ）2

B ）0

C ）1

D ）-2

5.设f (x )是R 的奇函数,f (x+2)= — f (x ),当0≤x ≤1,时,f (x )=x ,则f(7.5)=

6.定义在R 上的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=3,则f -1(x)+f -1(3-x)= .

7、 f （x ）是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f （2）=0，则方程f （x ）=0在区间（ 1,6 ）内解的个数的最小值是（ ）

A.4

B.5

C.6

D.7

8、设函数f(x)的定义域为[1,3],且函数f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称,已知当x [2,3]时f(x)=

2x,求当x [1,2]时,f(x)的解析式.

9、（09山东）已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++=

八、综合问题

例1. 定义在R 上的函数f(x)满足：对任意实数m ，n ，总有，

且当x>0时，0

，，若 φ=B A I ，试确定a 的取值范围。

评析：（1）要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题：一是f(0)的取值问题，二是f(x)>0的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。

例2.设定义在R 上的函数f(x),满足当x>0时,f(x)>1,且对任意x,y ∈R,有f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2 例3.)xy

1y x (f )y (f )x (f ),1,1(y ,x )1(:)x (f )1,1(++=+-∈-都有对任意满足上的函数定义在 (2)当x ∈(-1,0)时,有f(x)>0.求证:(Ⅰ)f(x)是奇函数； （Ⅱ）).31(f )5

n 5n 1(f )191(f )111(f 2>+++++Λ