高一数学抽象函数常见重点题型解析归纳
第 1 页 共 8 页 高一数学抽象函数常见重点题型解析归纳
对于刚上高一的学生而言，掌握好抽象函数常见题型的解法，有助于他们在高考数学的考试中发挥的更加出色。下面是小编为大家整理的高一数学必修1常见题型解法，希望对大家有所帮助!
高一数学抽象函数常见题型高一数学填空题解题方法
一、直接法
从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。
二、特殊化法
当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。
三、数形结合法
对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。
四、等价转化法
将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。
解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解。
高一数学复习答疑
问题1:我的基础还可以，上课老师讲的也都能听懂，但是一到自己做就做不出来了，帮忙分析一下原因。
第 2 页 共 8 页 答:数学这个东西是靠着逻辑吃饭的，是靠着逻辑演绎向前推进和发展的。当一个老师把你抱到了逻辑的起点上，告诉你这个逻辑关系是怎样的，比如说饿了就应该找饭吃，下雨了就应该找伞来打，告诉你了这个逻辑规则，你自己肯定会按照逻辑的顺序往前跑，这就叫为什么上课听得懂。
为什么课下自己不会做了呢?是因为课下你找不到逻辑的起点，就像一个运动员空有一身本领，跑得飞快，没有找到起点，没有到起点做好认真的准备，结果人家一发令，你没反应。
有两种学习的模式，一种是靠效仿，老师给我变一个数，出两道类似的练习题，照老师的模子描下来，结果做对了，好象我学会了，这就是效仿的方式来学数学，这种方式在小学是主要手段，在初中，这种手段还占着百分之六七十的分量，但是到了高中就不行了，靠模仿能得到的分数也就是五六十分，其他的分数都要靠你的理解。
所谓理解就是听了老师的一段讲解，看了老师的一个解题过程，你要把他提炼、升华成理性认识，在你的头脑中，应该存下老师讲解的这一段知识和解答的这一道题，他所体现出来的规律性的东西。当你遇到新问题、新试题的时候，你应该拿着这个规律去面对它，这样的话，你就可以把老师讲解的东西很自然地、流畅地用在你的解题里，这就是所谓通过理解，通过顿悟来学习数学。那么高中数学百分之六七十的成分是要靠着这种方式进行学习的。
问题2:我有时候看基础知识的时候定义都没有问题，但是一做题的时候，就转不过来了，耗的时间比较多，怎么办?
第 3 页 共 8 页 答:那你就看看定理、定义、公式都是怎么使用，除了背下它们之外，关键是要把握住这些数学的定义、定理、公式、法则，在解题中是如何运用的，建议你好好从课本出发，如何利用刚才讲的这个定理或者定义去解题的，把它先搞清楚，适当的时候自己做做笔记，问问自己，这个定义是怎么使用的，在这个定理里怎么用的，你自己在旁边注上一两句话。若是一句话也写不出来，显然以后你还不会用。
问题3:现在高考数学题讲究的是通性通法，最后是不是应该加强这方面的训练，再突破一些难题?
答:目前的高考是确实通性通法，但是中等题和难题体现的不完全一样，比如说中等题，在体现通性通法方面就比较暴露，比较直接。
在综合性题目里面，这个通性通法的使用就比较灵活，必须剥掉几层皮之后才能看到。
鉴于这种情况，针对不同层次的同学们，你们对通性通法可以做这样不同层次的追求，比如我市高考数学分数期望值在一百到一百一十几分之间的这样一个档次的，你就要特别注重通性通法在同等题里面的应用，要保证在中等题里面运用通性通法做到万无一失。
如果做得再好一点，你这个分数的期望值完全可以做到的。
在难题里运用通性通法，这个外壳剥不开，个别看不透问题不太大。
如果你期望值是一百二十分以上，甚至达到一百四十几分，相信你在选择填空和中等题方面是有基础和把握的，你们攻克的要点就是通性通法在综合题中间怎么使用，怎么穿破这个迷魂阵，能够剥出里
第 4 页 共 8 页 面的，把通性通法用上，这是大家要攻克的，当然这个堡垒比前一个要困难一些。
问题4:老师，关于填空、选择这样小题我现在应该怎样准备?而对于函数数列解析不等式等主体知识，哪部分是现在我应该重点把握的，应该怎样来复习?
答:现在关于选择和填空题，一般的安排是这样，因为我不了解你的学习状况，你的数学水平，所以我只能泛泛的说。
对于一般同学来讲，剩下这四五十天，你可以每天，指的是中等以下，中等或中等以下的同学，每天都做一个选择和填空题的训练，做一次。
如果程度较好的同学你可以两天做一次选择和填空题的训练，这个就是所谓经常热身。另外在热身中，寻求解题的成功率和提高解题速度。
至于说解答题中的属于主体内容的那些大的解答题，应该怎么复习。
首先应该抓住解答题的前三个中等题，一般的考试里面，我们要求考生中等题基本上不丢分，或者丢分不超过5分，看看你是否达到了这个要求。
我们为什么提出这个要求，因为解答题的前三个题，考什么有章可循，题目的难度比最难的选择和填空题都要容易，而且它是凭步骤给分，所以应该说得分是相对较为容易，是我们得分的基础。
至于说最后两道难题，你可以把你做过的属于这个范畴内的题目
第 5 页 共 8 页 进行归类和总结，看看这类题的一般解题规律，你在解这类题中的得与失，这样备考也就足够了。
问题5:老师，我现在基础知识还不清楚，现在看高考大纲还能解决问题吗?
答:看考试大纲只是了解高考的考试内容，考试要求，试卷的组成等等，看这个并不能提高你的应试能力，因此还是要回到基础，回到课本上去。
问题6:在考前最后一个月里，数学应该怎样复习才能保证高考能够达到正常的分数?
答:学习方法、准备方法确实是个大问题。大家不要小看这件事情。
比如说，明天就要高考数学了，今天晚上你做什么，如果事先不做好准备，这天晚上过得忙乱的话，想看书看不进去，看书的时候又不知道看哪篇好，是看解析几何还是看代数呢?是看片子呢还是看书呢?还是看参考书呢?
如果事先不计划好，当时很忙乱的话，会给你的心理造成负面影响，使得你当天心理不踏实，晚上睡觉也睡不好，那会直接影响第二天的考试。所以最后这二十几天，学习方法和准备方法是非常非常重要的。
在这里，我给大家关于这方面提几点建议。
第一，应该认识到，就数学知识和数学能力而言，你经过这一年的复习，到了这个时候，基本上已经定型了，你是哪个级别的，那么
第 6 页 共 8 页 基本上二十几天不会对这个级别产生更大的变化。因此，我们的工作关键是要把你这一年来复习工作的收获尽量地归纳、提炼、总结。
比如说，我们可以做这样一些工作，按照数学的各个章节，比如说函数，比如三角函数，三角变换，不等式、数列等等，按照课本的这样一个自然的章节顺序，把每一章主要的知识点、基本方法、典型例题，是不是可以做成卡片。
一天做一章，数学有11个左右章节，你11天可以完成这个工作。
这个工作完全之后，有这样的好处，使得我们对知识重新归纳、整理又梳理了一遍，那么知识的网络结构我们就比较清楚了，这一章涉及到的通性通法我也就明白了，再上一点选择例题，作为借鉴，作为参考，这是非常有意义的。
当你做好了这十一张卡片之后，那么你明天高考数学，今天晚上干什么?我就看我自己做的卡片就好了，我把这十几张的卡片从头到尾细细回味一下，冲个澡，踏踏实实睡一觉，因为把数学又重新过了一遍，非常有好处，而且对你大脑的刺激非常明显，短时间内大量的信息进入大脑，使得你对数学的掌握又快又好。这是一个工作要做的，这个工作做好了，对你这二十几天，甚至考前的晚上都会有很好的作用。
其次是你的练习卷子，一定要整理好。按照你做题的先后顺序，把它整理好，装订好。
然后，你就花时间在数学复习里面，就沿着你这一年走过的足迹
第 7 页 共 8 页 好好地翻阅你做过的练习，翻阅这个练习，要确定一个主题思想，比如我现在确定这样一个主题，就看我立体几何试题做得如何，那好，这一年做过的卷子，就光看立体几何题，选择填空中的立体几何试题，都看完了，而且一遍做一遍做笔记，这个题亏了，当时做错了，一道题就得了这么一点分，吃亏在什么地方，哪个地方没过来，你想一想，做点笔记，这样的话，这一年走过的足迹，短时间之内在你脑子里又过了一遍电影，好坏得失就归纳开来，这样等于立体集合又复习了一遍。
第二个，可以复习函数或者数列，从知识的角度确定主题，确定十几个、二十几个，一天解决一个。
另外一方面，你的主题可以是考试过程，考试方法和答题技巧，看看这张卷子选择题，你回忆一下当时用了多长时间，第二张卷子当时用了多长时间，一直到最后一张卷子，用了多长时间，看看是不是时间用得越来越少，还有成功率是不是保持在85%左右，如果你能在二十到二十五分钟之内把12道题都做完，而且成功率达到85%，那么我告诉你，祝贺你，高考选择题这一段你已经达到要求了，在选择题上已经有了相当的基础了。
比如说这次考试我是按照题号答的题，看看你的成败得失，下一份试卷是按照我会的题先做，不会的题后做，看看那次考试情况怎么样，总结一下哪个方法最适合你。
另外再看看自己的习惯性错误，比如说数字计算你怎么样，是不是经常马虎啊，数字计算这方面错误多吗?如果多的话，看看都在什
第 8 页 共 8 页 么时候发生的，发生在哪一类问题上，恐怕这一年一大摞卷子放在那儿，你就会掌握一个犯错误的基本规律，这样你就有了自知之明，到考场上，一看到又是这样的题，可能会犯错误，小心一点，你就会用非常平常的心微笑地面对这个困难，可能这时候你过去常犯的错误就不会再犯了。
高中数学 12抽象函数常见题型解法概述
1 抽象函数常见题型解法概述
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：
一、定义域问题
例1. 已知函数)(2xf的定义域是［1，2］，求f（x）的定义域。
解：)(2xf的定义域是［1，2］，是指21x，所以)(2xf中的2x满足412x,从而函数f（x）的定义域是［1，4］
评析：一般地，已知函数))((xf的定义域是A，求f（x）的定义域问题，相当于已知))((xf中x的取值范围为A，据此求)(x的值域问题。
例2. 已知函数)(xf的定义域是]21[，，求函数)]3([log21xf的定义域。
解：)(xf的定义域是]21[，，意思是凡被f作用的对象都在]21[，中，由此可得
4111)21(3)21(2)3(log11221xxx
所以函数)]3([log21xf的定义域是]4111[，
评析：这类问题的一般形式是：已知函数f（x）的定义域是A，求函数))((xf的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知)(x的值域B，且AB，据此求x的取值范围。例2和例1形式上正相反。
二、求值问题
例3. 已知定义域为0,的函数f（x），同时满足下列条件： ①51)6(1)2(ff，；②)()()(yfxfyxf，求f（3），f（9）的值。
解：取32yx，，得)3()2()6(fff
因为51)6(1)2(ff，，所以54)3(f
又取3yx,得58)3()3()9(fff
评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取32yx，，这样便把已知条件51)6(1)2(ff，与欲求的f（3）沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。
抽象函数常见题型的思维导图讲解及其针对性测试题.docx
永年县第二中学高一数学
抽象函数常见题型的思维导图讲解及其针对性测试题
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给岀了一些体现函数特征的式子的一类函数。 由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见 题型及解法评析如下：
一、 定义域问题
例1・已知函数/（■?）的定义域是[1,2],求/（x）的定义域。
思维导图：第一步：审题，/（/）的定义域是[1,2],即XW[1,2]T第二步：由xe[l,2] 求l^t =
x2的值域T第三步：确定/（x）的定义域。
解析：•・•/（〒）的定义域是[1,2],即1<%<2,贝ijl /. f（x）的定义域是[1,4] o 评析：一般地，已知函数/（從兀））的定义域是A,求/（兀）的定义域问题，相当于已 知/@（兀））中x的取值范围为A,据此求0（兀）的值域问题。 例2・已知函数/（Q的定义域是|-,2|,求函数/（2^）的定义域。 思维导图：第一步：审题，/（兀）的定义域是[丄,2],即凡是被“ / ”作用的对象都在[丄,2] 2 2 内T第二步：令丄52^52 T第三步：解出兀的范围T第四步：确定 2 /（2A_1）的定义域。 解析：/（无）的定义域是[-1,2],由此可得^<2X_1<2, 即 2_, < 2r_l < 2 , .\-1 所以函数/（2V-'）的定义域是[0,2] o 评析：这类问题的一般形式是：已知函数/（x）的定义域是A,求函数/（俠劝）的定 义域。正确理解两数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题 实质上相当于已知0（兀）的值域B,且Be A,据此求x的取值范围。例2和 例1形式上正相反。 二、 求函数值问题 例3・已知定义域为疋的函数/(兀)，同吋满足下列条件：@/(2) = 1, /(6)=-；② /(x-y) = /(x) + /(y),求 /(3),/(9)的值。 解析：取兀=2, y = 3，得 /(6) = /(2) + /(3) 1 4 因为/(2) = 1,几6)二右，所以f(3) = -~ Q 又取兀二 y = 3,得 /(9) = /(3) + /(3) = --o 评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取兀=2,〉，= 3,这样便把已知条 件/(2), /(6)与欲求的/(3)沟通了起來。赋值法是解此类问题的常用技巧。 四、解析式问题 例4・设对满足x H 0的所有实数x ,函数/(兀)满足2 f (工)+ /(—) = 1 +兀，求/(x)的 x 解析式。 思维导图：第一步：令x =—,则有2/(—) + /(x) = 1 ------------ 第二步：把两式联 X X X 立起来，解方程组，求得/(%) O (请同学们根据思维导图完成解题过程)： 评析：如杲把兀和丄分别看作两个变量，怎样实现由两个变虽向一个变虽的转化是解 题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系屮“消失”，进而保 留一个变量，是实现这种转化的重要策略。 五、单调性、奇偶性证明问题 例5・设/(兀)定义于实数集上的函数，且对于任意实数X、y都有/(x+y) = /U) + /(y), 求证：(1) /(兀)为奇函数； (2)若当兀>0时，有/(%) > 0 ,则/(兀)在R上为增函数。 思维导图：(1)第一步：判断定义域T第二步：令y = -Jt,得/(0) = /(x)+ /(-%) T第三步：令兀= y = o,求/(0)T第三步：下结论。 (2)按照利用定义证明函数单调性步骤：取值、作差、变形、判号、下结论进行即可。 解析：(1)由已知得/(兀)的定义域为R,关于原点对称， 令 X=y = O,则 /(0) = 0, 令 y = -兀,得 /(0) = /(x) + /(-%) ・・./(—兀)=_/(兀)，・・./(兀)为奇函数。 (2) 设在只上任取, x2 ,且坷V%2，则兀2一兀1>0， 又 /(兀2)一/<>】)=/(兀2)+/(一兀1)=： /(兀2 一兀】) 已知当兀 >0时,有 /(x) > 0 , f(x2 -xj > 0 , /. /(x2) > /(xj ,・・JO)在R上为增函数。 评析：一般地，抽彖函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或 变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。 针对性测试题： 1. 若奇函数/(兀)(施/?),满足/⑵二l,/(x +2) = /(%) + /⑵，则/⑴等于 () A. 0 B. 1 C. ------------ D.— 2 2 2. 若函数/(兀)满足/(x+刃二/(劝十/(刃,(x,yw/?),则下列各式不恒成立的是 () A. /(0) = 0 B. /⑶= 3/(1) C. /(|) = |/(1) D. /(-%)•/(x)<0 3. 若函数分别为R上的奇函数、偶函数,且满足fM-g(x) = ex，则有 A. /⑵ ⑶ vg(0) B. g(0) 4.已知函数y = /(lg(x+l))的定义域为(0,99],求函数y = /(log2(x + 2))的定义域。 5•设/(x)是R上的函数，且/(0) = 11并且对任意x,ye R都有f(x-y) = f(x)-y(2x-y+\) 求/(x)的解析式。 6.己知函数/(兀)对任意x.ye R，总有f(x+y) = f(x) + f(y),且当兀>0时, C. /⑵ vg(0)v/⑶ D. g(0) < /(2) < f ⑶ /(x)<0,/(l) = -， (1)求证：/(-%) = -/(%) ； (2)求证：/⑴在 R 上为增函数。 (3)求/(兀)在[-3,3]±的最大值和最小值。 7.设/(x)定义于实数集上，当x>0时，/(x) > 1,且对于任意实数x、y,有 /(x+y)= / (x)./(y), (I)求 /(())； (2)求证:f(x)在 R 上为增函数。 X 8・已知定义在(0,+oo)上的函数/(兀)满足f(-L) = f(xi)-f(x2),且当>1时,/(x)<0. 尢2 ■ ⑴ 求/⑴的值；(2)判断兀劝的单调性；(3)若/(3) = -1,解不等式/ ( <-2).
高一数学之抽象函数专题集锦-含详细解析
第1页，共25页 高一数学之抽象函数专题集锦
一、选择题（本大题共14小题，共70.0分）
1. 设𝑓(𝑥)为定义在R上的偶函数，且𝑓(𝑥)在[0,+∞)上为增函数，则𝑓(−2)，𝑓(−𝜋)，𝑓(3)的大小顺序是( )
A. B.
C. D.
2. 函数𝑓(𝑥)在(0,+∞)上单调递增，且𝑓(𝑥+2)关于𝑥=−2对称，若𝑓(−2)=1，则𝑓(𝑥−2)≤1的x的取值范围是( )
A. [−2,2] B. (−∞,−2]∪[2,+∞)
C. (−∞,0]∪[4,+∞) D. [0,4]
3. 已知函数𝑦=𝑓(𝑥)定义域是[−2,3]，则𝑦=𝑓(2𝑥−1)的定义域是( )
A. [0,52] B. [−1,4] C. [−12,2] D. [−5,5]
4. 函数𝑓(𝑥)在(−∞,+∞)上单调递减，且为奇函数．若𝑓(1)=−1，则满足−1≤𝑓(𝑥−2)≤1的x的取值范围是( )
A. B. C. [0,4] D. [1,3]
5. 若定义在R上的奇函数𝑓(𝑥)在(−∞,0)单调递减，且𝑓(2)=0，则满足𝑥𝑓(𝑥−1)⩾0的x的取值范围是( )
A. [−1,1]∪[3,+∞) B. [−3,−1]∪[0,1]
C. [−1,0]∪[1,+∞) D. [−1,0]∪[1,3]
6. 已知𝑓(𝑥)={𝑥2+4𝑥 𝑥≥0 ,
4𝑥−𝑥2 , 𝑥<0若𝑓(2−𝑎2)>𝑓(𝑎)，则实数a的取值范围是( )
A. (−2 , 1) B. (−1 , 2)
C. (−∞ , −1)⋃(2 , +∞) D. (−∞ , −2)⋃(1 , +∞)
7. 已知定义在R上的函数𝑓(𝑥)满足𝑓(2−𝑥)=𝑓(𝑥)，且在[1,+∞)上为增函数，则下列关系式正确的是
抽象函数常见题型解法[1][1]2.doc
![抽象函数常见题型解法[1][1]2.doc](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/b044e7b7b4daa58da0114afa.webp)
抽象函数常见题型解法总结
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了i些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽 象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点z—.抽象性较强，灵活性大，解抽象函数 重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法(如化 归法、数形结合法等)，这样就能突破“抽彖”带来的困难，做到胸有成竹•另外还要通过对题H的特 征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再山貝体函数模型的图象和性质來指导我们解 决抽彖函数问题的方法。常见的特殊模型：
例1.若两数y二f (x)的定义域是[—2, 2],则函数y二f (x+1) +f (x —1)的定义域为 。
例2：已知函数/(log3 x)的定义域为[3, 11],求函数f(x)的定义域 _______________ o
练习：定义在(3,8] ±的函数f(x)的值域为[-2,2],若它的反函数为广(x),则y=f-[ (2-3x)的定义域为
二、求值问题——捕象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样 特殊模型 抽象函数
正比例函数f(x)=kx (kHO) f(x+y)=f(x)+f(y)
幕函数 f(x)=xn f(xy)=f(x)f(y)［或 f x f(x)］ y f(y)
指数函数f(x)=ax (a>0且aH 1) f(x+y)=f(x)f(y)［或((X 刃 _ f (x)
f(y)
对数函数 f(x)=logax (a>0 且 a H1) f(xy)=f(x)+f(y)［或f(2L)= f(x) - f(y)j
y
正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x)
正切歯数f(x)=tanx f(x + y)= f(X)+ f(y) 1 -f(x)f(y)
余切函数f(x)=cotx
f(x)4-f(y)
归类题库——高一函数——抽象函数单调性奇偶性及解不等式题型解答题
抽象函数单调性奇偶性解不等式题型 y=kx型直线型
类型解析：直线型抽象函数题目设置主要有单调性、奇偶性、解抽象不等式、不等式涉及恒成立问题和有解问题，含
参数不等式，还有求函数值等等问题。
单调+奇偶性+解不等式
例1．函数y=f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且x＞0时，f（x）＜0恒成立．
（1）证明函数y=f（x）是R上的单调性；
（2）讨论函数y=f（x）的奇偶性；
（3）若f（x2
﹣2）+f（x）＜0，求x的取值范围．
解析：（1）证明：设x
1＞x
2，则x
1﹣x
2＞0，而f（a+b）=f（a）+f（b）
∴f（x
1）﹣f（x
2）=f（（x
1﹣x
2）+x
2）﹣f（x
2）=f（x
1﹣x
2）+f（x
2）﹣f（x
2）=f（x
1﹣x
2），
又当x＞0时，f（x）＜0恒成立，∴f（x
1）＜f（x
2），∴函数y=f（x）是R上的减函数；
（2）由f（a+b）=f（a）+f（b），得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），
即f（x）+f（﹣x）=f（0），而f（0）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），即函数y=f（x）是奇函数．
（3）（方法一）由f（x2
﹣2）+f（x）＜0，得f（x2
﹣2）＜﹣f（x），
又y=f（x）是奇函数，即f（x2
﹣2）＜f（﹣x），又y=f（x）在R上是减函数，∴x2
﹣2＞﹣x解得x＞1或x＜﹣2．
（方法二））由f（x2
﹣2）+f（x）＜0且f（0）=0，得f（x2
﹣2+x）＜f（0），
又y=f（x）在R上是减函数，∴x2
﹣2+x＞0，解得x＞1或x＜﹣2．
变式：
1．已知函数y=f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）对任何实数x，y都成立．
（1）求证：f（2x）=2f（x）；（2）求f（0）的值；（3）求证f（x）为奇函数．
证明：（1）∵（x+y）=f（x）+f（y），令y=x，得f（x+x）=f（x）+f（x），即f（2x）=2f（x）；
常见的抽象函数问题及分析方法
常见的抽象函数问题及分析方法
◉山东省菏泽第一中学 管雨坤
摘要:本文中通过对常见的抽象函数问题的讨论,归纳推广一些常用结论;并结合历年高考题浅谈抽象函数问题的分析方法．
关键词:抽象函数;定义域;对称性;周期性
１引言
函数是高中数学内容的重点与难点,是培养学生
数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养的重要载
体．在抽象函数问题中,可以综合考查定义域、单调性、
对称性、周期性等内容,是各类考试的考查热点,对学
生抽象、推理及计算能力提出较高要求．下面我们通过
深入分析常见的抽象函数典型问题,引导学生总结解
决问题的一般分析方法,提升学生的数学核心素养．
２抽象函数常见问题分析
２．１抽象函数的定义域问题
对于这类问题,应注意:(１)函数的定义域是指解
析式中自变量x的取值范围构成的集合;(２)同一法
则f下,f(∗)与f()中“∗”“”的整体意义相
同,取值范围相同．
类型一:已知f(x)的定义域,求f(g(x))的定
义域
例１ 已知f(x)的定义域为(－１,０),求f(２x＋
１)的定义域．
解:由f(x)的定义域可知,－１＜２x＋１＜０,解
之得:－１＜x＜－１２．
题型解法总结:若f(x)的定义域[a,b],则在
f(g(x))中,由a≤g(x)≤b,从中解出x的取值范围
即为f(g(x))的定义域．
类型二:已知f(g(x))的定义域,求f(x)的定
义域
例２ 已知函数y＝f(ln(x＋１))的定义域为０≤
x≤３,求y＝f(x)的定义域．解:由０≤x≤３,得１≤x＋１≤４,所以０≤ln(x＋１)≤ln４,故y＝f(x)的定义域为[０,ln４]．
题型解法总结:若f(g(x))的定义域为m≤x≤
n,则由m≤x≤n确定g(x)的范围,即为f(x)的定
义域．
类型三:已知f(g(x))的定义域,求f(h(x))的
定义域．
例３ 已知函数y＝f(x＋１)定义域为[－１,３],
求y＝f(２x－１)的定义域．
解:先求f(x)的定义域,由－１≤x≤３,知０≤
高中数学抽象函数的图像以及抽象函数常见类型及部分题目
函数fx的定义域为D，则其图像为：,|,xyyfxxD
1，若把这个图像向左平移a个单位，得到新图像为：,|,xyyfxaxD
简单说明：新图像上任取点,xy，向右平移a个单位得到,xay，这个点在fx图像上，所以yfxa
向右、上、下平移函数图象情况类似，请自己给出
2，若把fx图像按照直线xa作一次对称，得到新函数为2yfax
简单说明：新图像上任取点,xy，按照直线xa作一次对称得到点2,axy，这个点在fx图像上，所以2yfax
按照直线ya作对称类似，请自己给出
需要指出的是，不能按照任意直线作对称得到新函数，因为新的图像不一定是函数图像（实际上那是方程的图像），另外，按照直线yx作对称得到的是反函数，当然前提是该函数存在反函数。
3，若把fx图像按照点,ab作对称，得到新函数22ybfab
简单说明：新图像上任取点,xy，按照点,ab作对称，得到点2,2axby，这个点在fx图像上，则22byfax，整理得22ybfax
4，若把fx图像在水平方向上作伸缩，横坐标都变为原来的a倍（0a），纵坐标不变，那么得到新函数图像是xyfa
简单说明：新函数图像上取点,xy，变回去,xya，这点在fx图像上，所以xyfa
至于竖直方向的伸缩，请自己给出
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝华丽的分割线＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
下面是函数图像本身的对称性
5，如果一个函数向左平移a个单位与原图像重合，即a是一个周期，那么按照第1条，yfxa这个新函数与原函数yfx重合，也就是说：fxafx
6，如果一个函数有一条对称轴xa，那么按照第2条到的新函数2yfax与原函数是同一个，也就是说：2faxfx，至于类似faxfbx这样的条件，改写一下是非常显然的
高中数学总结归纳点拨 攻克“抽象函数与分段函数”的常规题型
高考数学复习总结归纳点拨
1 攻克“抽象函数与分段函数”的常规题型
抽象函数是没有给出函数的具体解析式，只给出函数的抽象表达关系式，利用这些关系式解题；分段函数是将函数的定义域分成若干个子区间，不同的子区间有不同的表达式．由于这两类函数表达形式比较特殊，使得这类问题成为函数内容的难点，而这两类函数在函数内容又占重要位置，本文就这两类函数对其常见的题型归纳评析如下：
一、确定解析式问题
例1 已知y=f(x)满足1()()afxbfcxx，其中a、b、c都是非零的常数，a≠±b，求函数的解析式．
【分析】y=f(x)没有具体结构，条件中的a、b、c a、b、c都是已知的常数，不可用待定系数法去求解．本题可用1()()afxbfcxx，转化出另一个式子，采用解方程组的办法求解．
【解析】∵1()()afxbfcxx，以1x代换x得：11()()afbfxcxx，联立两式消去f(1x)得：22()()()babfxcaxx．∵22ab，∴22()()cbfxaxabx．
【点评】从所给式子出发，看成一个变式，把x换成1x以后得到方程组，故视f(x)为一个未知量，解之得f(x)，称此法为“函数方程法”．求抽象函数解析式这是常用的方法．
例2 设f(x)是定义域为R的函数，且满足f(－x)=－f(x)，当x∈[0，+∞)时，3()(1)fxxx，求f(x)的解析式．
【分析】利用f(－x)=－f(x)求（－∞，0）上的表达式即可．
【解析】∵f(－x)=－f(x)，又当x＜0时，－x＞0，由已知3()(1)fxxx，高考数学复习总结归纳点拨
2 ∴3()(1)fxxx，则3()(1)fxxx （x＜0)，
∴33(1)[0,)()(1)(,0)xxxfxxxx．
【点评】给出某区间上的表达式，求对称区间上的表达式时，常常应用f(－x)=－f(x)或f(－x)= f(x)进行转化．
抽象函数常见题型和解法
抽象函数的常见题型及解法
一、 抽象函数的定义域
1. 已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域
若已知f(x)的定义域x(a,b)，求f[g(x)]的定义域，其方法是：
由a
即由内层函数的值域，求内层函数的定义域，即为f[g(x)]的定义域。
例1. 已知f(x)的定义域为[1，4]，求f()的定义域.
解: 由1≤≤4，得 -1≤≤2
即 -1≤<0 或 0<≤2
解得 X≤-1 或x≥
∴函数的定义域为:
2. 已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域
若已知f[g(x)]的定义域x(a,b)，求f(x)的定义域，其方法是：
由a
即由内层函数的定义域，求内层函数的值域，即为f(x)的定义域。
例2. 若已知f(x+2)的定义域为[-2，2]，求函数f(x)的定义域.
解：∵f(x+2)的定义域为[-2，2]，
∴-2≤x≤2， ∴ 0≤x+2≤4
故f(x)的定义域为[0，4]
3. 已知f[ (x)]的定义域，求f[g(x)]的定义域
先由f[ (x)]的定义域，求f(x)的定义域，再由f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域。
即由第一个函数中内层函数的定义域，求得第一个函数内层函数的值域，第一个函数内层函数的值域就是第二个函数内层函数的值域，由第21x21xx1x1x121,211,
二个函数内层函数的值域，再求出第二个函数内层函数的定义域。
例3. 若已知f(x+1)的定义域为，求函数f ()的定义域.
解：∵f(x+1)的定义域为，
∴-2≤x3， ∴ -1≤x+14
即f(x)的定义域为.
∴ -1≤<4，∴ -3≤<2
即 -3≤<0 或 0<<2
解得 X≤-或 x>
∴函数的定义域为:
3. 已知f(x)的定义域，求f[ (x)] + f[g(x)]的定义域
若已知f(x)的定义域x(a,b)，求f[g(x)]+f[g(x)]的定义域，其方法是：
数学解题方法(抽象函数)
数学解题方法（抽象函数）。
抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数，它是中学数学函数
部分的难点
.因为抽象，学生难以理解，接受困难；因为抽象，教师对教材难以处理，何时讲授，如何讲授，讲
授哪些内容，采用什么方式等等，深感茫然无序
.其实，大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象
函数的“背景”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，常可
觅得解题思路，本文就上述问题作一些探讨.1. 正比例函数型的抽象函数
例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(－
1)＝ －2求f(x)在区间[－2,1]上的值域.分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）
＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1））；再根据区间求其值域.
例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，
f(3)＝ 5，求不等式 f（a2－2a－2）<3的解.分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；
再求出f（1）＝3；最后脱去函数符号.2. 幂函数型的抽象函数
例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，
当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1].（1） 判断f（x）的奇偶性；（2） 判断f（x）在[0，
＋∞]上的单调性，并给出证明；（3） 若a≥0且f（a＋1）≤ ，求a的取值范围.
分析：（1）令y＝－1； （2）利用f（x1）＝f（ ·x2）＝f（ ）f（x2）；
（3）0≤a≤2.3. 指数函数型的抽象函数
例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；
对任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：（1） f（0）；（2） 对任意值x，