抽象函数-题型大全(例题-含答案)
高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。
现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1xf x x -=- 2.凑合法：在已知(())()fg xh x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例2：已知3311()f x x xx+=+，求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x xx x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。
∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,∵()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0()lg(1),0x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩例5．一已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1g x x =-， 求()f x ,()g x . 解：∵()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,不妨用-x 代换()f x +()g x =11x - ………①中的x , ∴1()()1f xg x x -+-=--即()f x －1()1g x x =-+……②显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1xg x x =-5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()f x 的表达式例6：设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x 解：∵()f x 的定义域为N ，取y =1,则有(1)()1f x f x x +=++ ∵(1)f =1,∴(2)f =(1)f +2,(3)(2)3f f =+……()(1)f n f n n =-+ 以上各式相加，有()f n =1+2+3+……+n =(1)2n n +∴1()(1),2f x x x x N =+∈ 二、利用函数性质，解()f x 的有关问题 1.判断函数的奇偶性：例7 已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。
证明：令x =0, 则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……①在①中令y =0则2(0)f =2(0)f ∵ (0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数。
2.确定参数的取值范围例8：奇函数()f x 在定义域（-1，1）内递减，求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。
解：由2(1)(1)0f m f m -+-<得2(1)(1)f m f m -<--，∵()f x 为函数，∴2(1)(1)f m f m -<-又∵()f x 在（-1，1）内递减，∴221111110111m m m m m -<-<⎧⎪-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩3.解不定式的有关题目例9：如果()f x =2ax bx c ++对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小 解：对任意t 有(2)2)f t f t +=-∴x =2为抛物线y =2ax bx c ++的对称轴 又∵其开口向上∴f (2)最小，f (1)=f (3)∵在［2，＋∞)上，()f x 为增函数 ∴f (3)<f (4),∴f (2)<f (1)<f (4)五类抽象函数解法1、线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。
例1、已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。
分析：由题设可知，函数f （x ）是的抽象函数，因此求函数f （x ）的值域，关键在于研究它的单调性。
解：设，∵当，∴，∵，∴，即，∴f （x ）为增函数。
在条件中，令y ＝－x ，则，再令x ＝y ＝0，则f （0）＝2 f （0），∴ f （0）＝0，故f （－x ）＝f （x ），f （x ）为奇函数，∴ f （1）＝－f （－1）＝2，又f （－2）＝2 f （－1）＝－4， ∴ f （x ）的值域为［－4，2］。
例2、已知函数f （x ）对任意，满足条件f （x ）＋f （y ）＝2 + f （x ＋y ），且当x ＞0时，f（x ）＞2，f （3）＝5，求不等式的解。
分析：由题设条件可猜测：f （x ）是y ＝x ＋2的抽象函数，且f （x ）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。
解：设，∵当，∴，则，即，∴f （x ）为单调增函数。
∵，又∵f （3）＝5，∴f （1）＝3。
∴，∴，即，解得不等式的解为－1 < a < 3。
2、指数函数型抽象函数例3、设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。
求：（1）f（0）；（2）对任意值x，判断f（x）值的正负。
分析：由题设可猜测f（x）是指数函数的抽象函数，从而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。
解：（1）令y＝0代入，则，∴。
若f（x）＝0，则对任意，有，这与题设矛盾，∴f（x）≠0，∴f（0）＝1。
（2）令y＝x≠0，则，又由（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，故对任意x，f（x）＞0恒成立。
例4、是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x∈N；②；③f（2）＝4。
同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。
分析：由题设可猜想存在，又由f（2）＝4可得a＝2．故猜测存在函数，用数学归纳法证明如下：（1）x＝1时，∵，又∵x∈N时，f（x）＞0，∴，结论正确。
（2）假设时有，则x＝k＋1时，，∴x＝k＋1时，结论正确。
综上所述，x为一切自然数时。
3、对数函数型抽象函数对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。
例5、设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足，求：（1）f（1）；（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围。
分析：由题设可猜测f（x）是对数函数的抽象函数，f（1）＝0，f（9）＝2。
解：（1）∵，∴f（1）＝0。
（2），从而有f（x）＋f（x－8）≤f（9），即，∵f（x）是（0，＋∞）上的增函数，故，解之得：8＜x≤9。
例6、设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）。
如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g （b）是否正确，试说明理由。
分析: 由题设条件可猜测y＝f（x）是对数函数的抽象函数，又∵y＝f（x）的反函数是y＝g（x），∴y ＝g（x）必为指数函数的抽象函数，于是猜想g（a＋b）＝g（a）·g（b）正确。
解：设f（a）＝m，f（b）＝n，由于g（x）是f（x）的反函数，∴g（m）＝a，g（n）＝b，从而，∴g（m）·g（n）＝g（m＋n），以a、b分别代替上式中的m、n即得g（a＋b）＝g（a）·g（b）。
4、三角函数型抽象函数三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。
例7、己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：①当是定义域中的数时，有；②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）；③当0＜x＜2a时，f（x）＜0。
试问：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由。
（2）在（0，4a）上,f（x）的单调性如何？说明理由。
分析: 由题设知f（x）是的抽象函数，从而由及题设条件猜想：f（x）是奇函数且在（0，4a）上是增函数（这里把a看成进行猜想）。
解：（1）∵f（x）的定义域关于原点对称，且是定义域中的数时有，∴在定义域中。
∵，∴f（x）是奇函数。
（2）设0＜x1＜x2＜2a，则0＜x2－x1＜2a，∵在（0，2a）上f（x）＜0，∴f（x1），f（x2），f（x2－x1）均小于零，进而知中的，于是f（x1）＜f（x2），∴在（0，2a）上f（x）是增函数。
又，∵f（a）＝－1，∴，∴f（2a）＝0，设2a＜x＜4a，则0＜x－2a＜2a，，于是f（x）＞0，即在（2a，4a）上f（x）＞0。
设2a＜x1＜x2＜4a，则0＜x2－x1＜2a，从而知f（x1），f（x2）均大于零。
f（x2－x1）＜0，∵，∴，即f（x1）＜f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函数。
综上所述，f（x）在（0，4a）上是增函数。
高一抽象函数经典习题
抽象函数练习题参考答案第一组1、 若函数()21f x +的定义域为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则函数()2log f x 的定义域为________．【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦2、 若()()11f n f n +=+，n *∈N ，且()12f =，则()100f =________． 【答案】1023、 定义R 上的函数()()()f xy f x f y =+，且()98f =，则f =________．4、 定义在区间()1,1-上的减函数()f x 满足：()()f x f x -=-．若()()2110f a f a -+-<恒成立，则实数a 的取值范围是_________．【答案】(0,5、 已知函数()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，对正实数,x y ，都有：()()()f xy f x f y =+成立．则不等式()2log 0f x <的解集是_________．【答案】()1,26、 已知函数()f x 是定义在(],3-∞上的减函数，已知()()222f a t f a t -+-≤对[]1,1t ∈-恒成立，则实数a 的取值范围为________．【答案】⎡⎢⎣⎦7、 已知定义在R 上的单调函数()f x ，存在0x ∈R ，使得12,x x ∀∈R ，总有()()()()0102012f x x x x f x f x f x +=++恒成立，则0x =________．【答案】1第二组8、 函数()f x 对于0x >有意义，且满足条件()21f =，()()()f xy f x f y =+，()f x 是减函数．⑴ 证明：()10f =；⑵ 若()()32f x f x +-≥成立，求x 的取值范围．【答案】⑵ []1,3-．9、 已知函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()()f x y f x f y +=+且当0x >，()0f x <，又()12f =-．⑴ 判断()f x 的奇偶性；⑵ 求()f x 在区间[]3,3-上的最大值；⑶ 解关于x 的不等式()()()224f ax f x f ax -<+．【答案】⑴ 奇函数；⑵ 6；⑶ 当0a =时，(),1-∞；当2a =时，()(),11,-∞+∞；当0a <时，2,1a ⎛⎫⎪⎝⎭； 当02a <<时，()2,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；当2a >时，()2,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭．10、 定义在R 上的函数()y f x =满足：① ()00f ≠；② 当0x >时，()1f x >；③ ,a b ∀∈R ，()()()f a b f a f b +=⋅． ⑴ 求证：()01f =；⑵ 求证：对任意的x ∈R ，恒有()0f x >； ⑶ 证明：()f x 是R 上的增函数；⑷ 若()()221f x f x x ⋅->，求x 的取值范围．【答案】⑷ ()0,3．11、 已知函数()f x 的定义域为R 满足：① 任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=⋅； ② 当0x >时，()01f x <<．⑴ 证明：()01f =，且0x <时()1f x >； ⑵ 证明：()f x 在R 上单调递减； ※⑶ 设()()()(){}22,1A x y f x f y f =⋅>，()(){},21,B x y f ax y a =-+=∈R ，若AB =∅，试确定a 的取值范围．【答案】⑶ ⎡⎣12、 已知函数()f x 的定义域为R ，满足：① 任意实数,m n 都有()()()12f m n f m f n +=+=； ② 102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③ 当12x >时，()0f x >． ⑴ 求()1f ； ※⑵ 求和()()()()123f f f f n ++++（n *∈N ）；⑶ 判断函数()f x 的单调性，并证明．【答案】⑴ ()112f =；⑵ 22n ；⑶ 单调递增．13、 函数()f x 的定义域为R ，并满足以下条件：① 对任意x ∈R ，有()0f x >；② 对任意,x y ∈R ，有()()yf xy f x =⎡⎤⎣⎦； ③ 113f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．⑴ 求()0f 的值；⑵ 求证：()f x 在R 上是单调减函数；※⑶ 若0a b c >>>且2b ac =，求证：()()()2f a f c f b +>．【答案】⑴ ()01f =．14、 定义在区间()0,+∞上的函数()f x 满足：① ()f x 不恒为零；② 对任何实数,x q ，都有()()q f x qf x =． ⑴ 求证：方程()0f x =有且只有一个实根；⑵ 若1a b c >>>，且a 、b 、c 成等差数列，求证：()()()2f a f c f b ⋅<⎡⎤⎣⎦；⑶ 若()f x 单调递增，且0m n >>时，有()()22m n f m f n f +⎛⎫== ⎪⎝⎭，求证：32m <<【答案】略．15、 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且它的图象关于直线1x =对称．⑴ 求()0f 的值；⑵ 证明：()()4f x f x +=；⑶ 若()f x x =（01x <≤），求当x ∈R 时，函数()f x 的解析式，并画出满足条件的函数()f x 至少一个周期的图象．【答案】⑴ ()00f =；⑶ ()4,414124,4143x k k x k f x x k k x k --+⎧=⎨-+-+<<+⎩≤≤，k ∈Z ．16、 设函数()f x 在(),-∞+∞上满足()()22f x f x -=+，()()77f x f x -=+，且在闭区间[]0,7上，只有()()130f f ==．⑴ 试判断函数()y f x =的奇偶性；⑵ 试求方程()0f x =在闭区间[]2013,2013-上的根的个数，并证明你的结论．【答案】⑴ 非奇非偶函数；⑵ 806个根．第三组17、 已知定义在()1,1-上的函数()f x 满足：对任意的(),1,1x y ∈-，都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，⑴ 求()0f 的值；⑵ 求证：函数()f x 是奇函数；⑶ 若当()1,0x ∈-时，有()0f x >，求证：()f x 在()1,1-上是减函数； ※⑷ 写出一个满足已知条件的函数（此问不用写理由）．【答案】⑴ ()00f =；⑷()arctan f x x =-或()1log 1axf x x-=+，其中0a >且1a ≠．18、 定义在R 上的函数()f x 对任意实数,a b 都有()()()()2f a b f a b f a f b ++-=⋅成立，且()00f ≠．⑴ 求()0f 的值；⑵ 试判断()f x 的奇偶性；⑶ 若存在常数0c >使02c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，试问()f x 是否为周期函数，请说明理由．【答案】⑴ ()01f =；⑵ 偶函数；⑶ 2c ．19、 已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且,a b ∀∈R ，()()()f ab af b b a =+．⑴ 求()0f ，()1f 的值；⑵ 判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论； ⑶ 若()22f =，试求12nf ⎛⎫⎪⎝⎭的值． 【答案】⑴ ()00f =，()10f =；⑵ 奇函数；⑶ 122nn n f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．20、 已知定义在R 上的函数()f x 满足：① 值域为()1,1-，且当0x >时，()10f x -<<； ② 对于定义域内任意的实数,x y ，均满足()()()()()1f m f n f m n f m f n ++=+．⑴ 试求()0f 的值；⑵ 判断并证明函数()f x 的奇偶性； ⑶ 判断并证明函数()f x 的单调性．【答案】⑴ ()00f =；⑵ 奇函数；⑶ 单调递减．21、 ()f x 的定义域关于原点对称，且满足①对()f x 定义域D 内的任意两个数1x 、2x （12x x ≠），()()()()()1212211f x f x f x x f x f x +-=-；②()1f a =-，且当0x a <<时，()0f x <． ⑴ 证明：()f x 是奇函数；⑵ 求函数()f x 在()0,4a 上的单调性．【答案】⑵ 单调递增．22、 函数()f x 的定义域为R ，且()f x 不恒等于零．对任意实数m 、n ，总有()()22n m f m f n m f n f ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅+⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立． ⑴ 求()0f 的值；⑵ 求证，对任意实数t ，均有()t f t ⋅≥0；※⑶ 若()01f y =，求所有满足条件的()f x ．【答案】⑴ ()00f =；⑵ 取2m t =，2n t =，有()()242tf t f t =0≥，∴()0t f t ⋅≥ ⑶ ()()222442222n n mm mnf m f n m f n f ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()()()()22222mnf m f n m f n n f m =+ ()()mf n nf m =取1m =，n x =，有()0f x xy =即为所求．23、 已知函数()f x 的定义域为[)0,+∞，值域为[)0,+∞的子集，且满足下列条件：①对任意的[),0,x y ∈+∞都有()()()f xf y f y f x y ⋅=+⎡⎤⎣⎦； ②()20f =；③当02x <≤时()0f x ≠． ⑴ 求证：当2x ≥时，()0f x =； ⑵ 求()f x 的解析式．【答案】⑴ 取2y =即得；⑵ 当[),0,2x y ∈时，取()2xf y =，有()20f y f y ⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，∴()22y f y +≥，()22f y y -≤ 取2x y +=，有()20f xf x -=⎡⎤⎣⎦，∴()22xf x -≥，即()22f x x-≥ 综上，当02x <≤时()22f x x =-．于是()f x 的解析式为()2,0220,2x f x x x ⎧<⎪=-⎨⎪⎩≤≥．24、 已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：① 对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥； ② ()13f =；③ 若10x ≥，2x ≥0且121x x +≤，则有()()()12122f x x f x f x ++-≥． ⑴ 求()0f 的值； ⑵ 求()f x 的最大值；※⑶ 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()132n n S a =--，n *∈N ． 求证：()()()121312223n n f a f a f a n -++++-⋅≤． 【答案】⑴ ()02f =；⑵ 3．25、 对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：① 对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥； ② ()11f =；③ 若10x ≥，20x ≥，121x x +≤，都有()()()1212f x x f x f x ++≥成立． 则称函数()f x 为理想函数．⑴ 若函数()f x 为理想函数，求()0f 的值；⑵ 判断函数()21x g x =-（[]0,1x ∈）是否为理想函数，并予以证明；⑶ 若函数()f x 为理想函数，假定[]00,1x ∃∈，使得()[]00,1f x ∈，且()()00f f x x =，求证：()00f x x =．【答案】⑴ ()00f =；⑵ 是．26、 已知函数()f x ，()g x 在R 上有定义，满足：① ,x y ∀∈R ，()()()()()f x y f x g y g x f y -=-； ② ()10f ≠．⑴ 求证：()f x 为奇函数；⑵ 若()()12f f =，求()()11g g +-的值．【答案】⑵ ()()111g g -+=．。
重难点2-4-抽象函数及其性质8大题型(解析版) (1)
重难点2-4 抽象函数及其性质8大题型抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。
抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一。
一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过()()12-f x f x 的变换判定单调性；3、令式子中出现()f x 及()-f x 判定抽象函数的奇偶性；4、换x 为+x T 确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ，判断符号时要变形为：()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ，判断符号时要变形为：()()()112112x f x x x f x f x f -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f . 三、常见的抽象函数模型1、()()()+=+f x y f x f y 可看做()=f x kx 的抽象表达式；2、()()()+=f x y f x f y 可看做()=x f x a 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；3、()()()=+f xy f x f y 可看做()log =a f x x 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；4、()()()=f xy f x f y 可看做()=a f x x 的抽象表达式. 四、抽象函数中的小技巧1、很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质；2、解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是解决问题的突破口；3、抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉一些条件，更不要臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范。
抽象函数常见题型解法(改后)
A 级 抽象函数典型问题及解法梳理一、抽象函数定义域问题例1. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。
例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 21x f -的定义域。
二、抽象函数值域问题例3、若函数)1(+=x f y 的值域为]1,1[-，求函数)2(+=x f y 的值域。
三、求抽象函数解析式问题例4、已知f(x)是奇函数，当x > 0时，f(x) = x(1+x ) , 求当x< 0 时，f(x)的解析式。
例5、 定义在R 上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和,若f(x)=lg(10x +1),x ∈R 则g(x) =_____h(x) = ______例6、已知是偶函数，当时，,求的解析式.四、用函数图象变换求解析式1、 将函数xy 2=的图像向左平移一个单位，得到图像1c ；再将1c 向上平移一个单位得到2c ，求2c 的解析式.2、 把函数11+=x y 的图像沿x 轴向右平移1个单位,所得图像记为C, 求C 关于原点对称的图像的函数表达式.3、将函数的图像沿x 轴向左平移一个单位,再沿y 轴翻折180o ,得到的图像, 求的解析式.4、将函数的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的一半，再将所得图象，沿x 轴方向向右平移4π个单位长度，求所得新图象对应的函数解析式.5、已知函数是偶函数，且x ∈(0,+∞)时有f(x)=x1, 求当x ∈(－∞,－2)时, 求的解析式.五、抽象函数单调性问题1、 若奇函数f(x)在区间[3,7 ]上是增函数，且最小值为5，最大值为7，试判断在[－7,－3]上的单调性及最值情况2、已知f(x)是R 上的奇函数，当x< 0时，f(x)为减函数，且f(2)=0，则f(x)>0的解为______________3、 已知f(x)是周期为2的偶函数，且在区间[0,1]上是增函数，则f(－6.5)、f(－1)、f(0)的大小关系为_____六、抽象函数对称性问题1、函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-时，函数()y f x =的图象关于直线2a b x +=对称。
抽象函数-题型大全(例题-含答案)[1]
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高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难,学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质,培养灵活性；提高解题能力,优化学生数学思维素质.现将常见解法及意义总结如下: 一、求表达式：1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式,从而求出()f x ,这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x 。
解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1xf x x -=- 2.凑合法:在已知(())()fg xh x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x 。
此解法简洁,还能进一步复习代换法。
例2：已知3311()f x x x x+=+，求()f x解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(｜x |≥1)3。
待定系数法：先确定函数类型,设定函数关系式，再由已知条件,定出关系式中的未知系数。
抽象函数练习答案
抽象函数练习1、设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f （ ） A ．0 B ．23 C ．25 D ．23- 2、已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，（1）求证：()f x 是奇函数；（2）若(3)f a -=，用a 表示f3、（1）已知()f x 是R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，()(1f x x =，则()f x 的解析式 为 .（2）已知()f x 是偶函数，x R ∈，当0x >时，()f x 为增函数，若120,0x x <>，且12||||x x <， 则（ ）A 12()()f x f x ->-B 12()()f x f x -<-C 12()()f x f x >-D 12()()f x f x -<-4、已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()(11)y f x x =-≤≤是奇函数又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值5- ①证明：(1)(4)0f f +=；②求(),[1,4]y f x x =∈的解析式；③求()y f x =在[4,9]上的解析式5、若f （x ）在定义域（－1，1）内可导，且a x f 又当;0)(<'、0)1,1(=+-∈b a b 且时，()()0.f a f b +=解2(1)(1)0f m f m -+->6、 函数)(x f 的定义域为D ：}0|{≠x x 且满足对于任意D x x ∈21,，有).()()(2121x f x f x x f +=⋅ （Ⅰ）求)1(f 的值；（Ⅱ）判断)(x f 的奇偶性并证明；（Ⅲ）如果),0()(,3)62()13(,1)4(+∞≤-++=在且x f x f x f f 上是增函数，求x 的取值范围抽象函数练习答案：1、设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f C A ．0 B ．23 C ．25 D ．23- 2、已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，（1）求证：()f x 是奇函数；（2）若(3)f a -=，用a 表示f解：（1）显然()f x 的定义域是R ，它关于原点对称在()()()f x y f x f y +=+中，令y x =-，得(0)()()f f x f x =+-，令0x y ==，得(0)(0)(0)f f f =+，∴(0)0f =，∴()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-， ∴()f x 是奇函数（2）由(3)f a -=，()()()f x y f x f y +=+及()f x 是奇函数，得(12)2(6)4(3)4(3)4f f f f a ===--=-3、（1）已知()f x 是R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，()(1f x x =，则()fx的解析式为(10()(10x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩ （2）已知()f x 是偶函数，x R ∈，当0x >时，()f x 为增函数，若120,0x x <>，且12||||x x <， 则（ B ）A 12()()f x f x ->-B 12()()f x f x -<-C 12()()f x f x >-D 12()()f x f x -<-4、已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()(11)y f x x =-≤≤是奇函数又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值5- ①证明：(1)(4)0f f +=；②求(),[1,4]y f x x =∈的解析式；③求()y f x =在[4,9]上的解析式 解：∵()f x 是以5为周期的周期函数，∴(4)(45)(1)f f f =-=-，又∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(1)(1)(4)f f f =--=-，∴(1)(4)0f f +=②当[1,4]x ∈时，由题意可设2()(2) 5 (0)f x a x a =-->，由(1)(4)f f +=得22(12)5(42)50a a --+--=，∴2a =，∴2()2(2)5(1f x x x =--≤≤③∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(0)0f =，又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，∴可设()(01)f x kx x =≤≤，而2(1)2(12)53f =--=-，∴3k =-，∴当01x ≤≤时，()3f x x =-， 从而当10x -≤<时，()()3f x f x x =--=-，故11x -≤≤时，()3f x =-∴当46x ≤≤时，有151x -≤-≤，∴()(5)3(5)315f x f x x x =-=--=-+当69x <≤时，154x <-≤，∴22()(5)2[(5)2]52(7)5f x f x x x =-=---=--∴2315,46()2(7)5,69x x f x x x -+≤≤⎧=⎨--<≤⎩ 5、若f （x ）在定义域（－1，1）内可导，且a x f 又当;0)(<'、0)1,1(=+-∈b a b 且时，()()0.f a f b +=解2(1)(1)0f m f m -+->解：0)(,)1,1()(<'-x f x f 且内可导在 )1,1()(-∴在x f 上为减函数又当b a ,0)()(,0),1,1(=+=+-∈b f a f b a 时)()(),()(a f a f a f b f -=--=∴即)1,1()(-∴在x f 上为奇函数 )1()1(0)1()1(22m f m f m f m f -->-⇔>-+-∴2111111111)1()1(222<<∴⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-⇔->-⇔m m m m m m f m f ∴原不等式的解集为)2,1(6、 函数)(x f 的定义域为D ：}0|{≠x x 且满足对于任意D x x ∈21,，有).()()(2121x f x f x x f +=⋅ （Ⅰ）求)1(f 的值；（Ⅱ）判断)(x f 的奇偶性并证明；（Ⅲ）如果),0()(,3)62()13(,1)4(+∞≤-++=在且x f x f x f f 上是增函数，求x 的取值范围 （Ⅰ）解：令.0)1(),1()1()11(,121=+=⨯==f f f f x x 解得有（Ⅱ）证明：令121,x x ==-[(1)(1)](1)(1),(1)0f f f f -⨯-=-+--=有解得令).()(),()1()(,121x f x f x f f x f x x x =-∴+-=-=-=有∴)(x f 为偶函数（Ⅲ）.3)4()16()416(,2)4()4()44(=+=⨯=+=⨯f f f f f f∴)64()]62)(13[(3)62()13(f x x f x f x f ≤-+≤-++即 （1）∵),0()(+∞在x f 上是增函数， ∴（1）等价于不等式组:⎩⎨⎧≤-+-<-+⎩⎨⎧≤-+>-+.64)62)(13(,0)62)(13(,64)62)(13(,0)62)(13(x x x x x x x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧∈<<-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--<>R x x x x x ,331,537,313或或 ∴.331313753<<--<≤-≤<x x x 或或 ∴x 的取值范围为}.533313137|{≤<<≤--<≤-x x x x 或或。
归纳抽象函数常见题型及解法
5归纳抽象函数常见题型及解法抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数•由于抽象函数表现 形式的抽象性，使得这类问题是函数内容的难点之一，其性质常常是隐而不漏，但一般情况下大多是以学过的常见 函数为背景，对函数性质通过代数表述给出•抽象函数的相关题目往往是在知识网络的交汇处设计，高考对抽象函 数的要求是考查函数的概念和知识的内涵及外延的掌握情况、逻辑推理能力、抽象思维能力和数学后继学习的潜 能•为了扩大读者的视野，特就抽象函数常见题型及解法评析如下.一、函数的基本概念问题 1 •抽象函数的定义域问题2 例1 已知函数f(x )的定义域是［1 , 2］,求f (X)的定义域.2 2解：由f(x )的定义域是［1 , 2］,是指1 ≤ X ≤ 2 ,所以1 ≤x ≤ 4, 即函数f(x)的定义域是［1 , 4］ • 评析：一般地，已知函数 f ［ (X)］的定义域是A,求f (X)的定义域问题，相当于已知 f ［ (X)］中X 的取值范围为A 据此求 (X)的值域问题.例2已知函数f (X)的定义域是［—1, 2］,求函数f ［log 1(3 X)］的定义域.2解：由f (X)的定义域是［—1, 2］,意思是凡被f 作用的对象都在［—1 , 2］中，由此易得 f(x)的定义域是A,求函数f ( (X))的定义域.正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键•一般地，若函数f (X)的定义域是A,则X 必须是A 中的元素，而不能是 A以外的元素，否则，f (X)无意义.因此，如果f(χo )有意义，则必有x o A 所以，这类问题实质上相当于已知 (X)的值域是A,据此求X 的取值范围，即由(X) A 建立不等式，解出 X 的范围•例2和例1形式上正相反.2 •抽象函数的求值问题1例3已知定义域为R 的函数f(x),同时满足下列条件：①f(2) = 1, f (6)=1:②f(x y)=f(x) + f(y),求 f(3)、f(9)的值.—1≤ log 1 (3 — X )≤ 2 (1) 2 ≤ 3 — X ≤( 1) 12 2111 ≤ X ≤4•••函数f[∣og 1(3X )］的定义域是［1 , 7]评析：这类问题的一般形式是：已知函数解：取 X = 2 , y = 3 ,得 f(6)= f(2) + f (3),1 4•• f(2) = 1 , f(6)= ,∙∙∙ f(3)=-5 5又取 X = y = 3 ,得 f (9) = f (3) + f (3) =- 8.51评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地取X = 2 , y = 3 ,这样便把已知条件f (2) = 1 , f (6)= 与欲求的5f(3)沟通了起来.这是解此类问题的常用技巧.3.抽象函数的值域问题例4设函数f (x)定义于实数集上，对于任意实数 X 、y, f (x + y) = f (x) f (y)总成立，且存在 X I ≠χ设存在 X 0 ∈ R 使得 f ( X 0) = 0 ,则 f (0) = f ( X 0 — x 0) = f ( X 0) f ( — x 0) = 0 这与f (0) ≠0矛盾，因此，对任意 X∈ R f (x) ≠0. 所以 f (x) > 0.4 .抽象函数的解析式问题1 2x 一 1f (———)=,⑵使得f (X 1 ) ≠ f ( X 2 ),求函数f (X)的值域.解：令 X = y = 0 ,得 f (0) = f 2(0),即有 f (0) = 0若 f (0) = 0 ,贝U f (X) = f (X + 0) = f (X) f (0) 由于 f (X + y)==f (X)f (y) 对任意X 、 y ∈R 均成立, XZX X 上，x 、 r X2f (X) = f (- + —) =(―) f (―)=[f (―)] 2 ≥2 22 22下面只需证明，对任意x ∈ R f (0) ≠0 即可.或 f (0) = 1 .,对任意X ∈R 均成立，这与存在实数 X I ≠χ 2 ,使得因此，对任意 x∈ R 有评析：在处理抽象函数的问题时, 往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是 般向特殊转化的必要手段.式.解：在 设对满足 X≠0, X≠1的所有实数X,函数f (X)满足f (X) + f (X 1)=1 + X ,求f (X)的解析Xf (X) + f (+ X , (1)X 1中以 代换其中X ,得:Xf (x 1 ) ≠ f ( X 2 )成立矛盾•故 f (0) ≠0,即 f (0) =1X 1 X1 1 X 2再在(1)中以一——代换X,得:f(———)+ f (X)= ------------------- , ⑶X 1 X 1 X 13 2 1(1) — (2) + ⑶ 化简得：f(x) = -__X——.2X(X— 1)X 1评析：如果把X和-一1分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键•通常情况下，X给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略.二、寻觅特殊函数模型问题1 •指数函数模型例6 设f (X)定义于实数集 R上，当x>0时，f (X) > 1 ，且对于任意实数 X、y ,有f (x + y) = f (X)∙ f (y)，同时f (1) = 2 ,解不等式f (3x — X2 ) >4•联想：因为a x y= a X∙a y(a > 0，a≠ 1),因而猜测它的模型函数为f(x) = a x (a > 0，a≠ 1)(由f(1) = 2 ，还可以猜想f (X) = 2 x) •思路分析：由f(2)= f (1 1)=f(1)∙ f (1)= 4 ,需解不等式化为f(3x — X2 ) > f (2) •这样，证明函数f(x) 的(由f (X) = 2 X ,只证明单调递增)成了解题的突破口.解：由f (x + y) = f (x) ∙ f (y)中取 X =y = 0 2得f (0) = f (0),若f (O) = 0 ,令 x> 0 , y = 0 ,则f(X)=0 ,与f (X) > 1 矛盾.∙∙∙ f (0) ≠ 0 ,即有f (0)= 1当X > 0时,f (X) > 1 > 0 ,当XV 0 时，—X > 0 , f ( — X) > 1> 0 ,而f(X) •f ( — x) = f (0) = 1∙∙∙ f(X)=1 > 0 •f( X)又当X = 0 时，f (0) = 1 > 0 ,∙ X∈R , f (X) > 0 •设一∞V X I V X 2 V +∞ ,贝y X 2 —X 1 > 0 ,f ( X 2 —X I) > 1•∙ f ( X 2) =f [ X I + ( X 2 - X1 )]= :f (X1) f ( X 2 — X1 ) > f ( X I ) •∙∙∙ y = f在R上为增函数(X)又∙∙∙ f! ,∙ f (3x — X2) > f (1) • f (1) = f (1 + 1) = f (2),由f (X)的单调递增性质可得: (1) = 23x — x 2> 2,解得 K XV 2. 2. 对数函数模型1例7已知函数f (X)满足：⑴f (1) = 1;⑵函数的值域是［—1, 1］;⑶在其定义域上单调递减；⑷ f (X) +2I I1 1f(y)= f (X ∙ y)对于任意正实数x 、y 都成立•解不等式 f (x) ∙ f () ≤ 1 X 2以猜测它的模型函数为 f (X) =log I X 且f 1 (x)的模型函数为f 1(x) = (1)x .22思路分析：由条件⑵、⑶知,f(x)的反函数存在且在定义域 ［—1, 1］上递减，由⑴知f 1(1) =- •剩下的只需2由f 1(x)的模型函数性质和运算法则去证明 f 1(X 1) ∙ f 1(X 2) = f 1(X 1 X 2),问题就能解决了.解：由已知条件⑵、⑶知，f (x)的反函数存在，且 f 1(1)=—,又在定义域［—1 , 1］上单调递减.2设 y 1= f 1 (X 1), y 2 = f 1(X 2),则有 χ1=f (yj , χ2=f ( y 2)，1∙∙∙χ 1 + X 2 =f (y 1) + f ( y 2) = f (y 1y 2),即有 yd 2=f (X 1 + X 2).∙∙∙ f 1(x 1) ∙ f 1(x 2) = f 1(X 1 X 2),于是，原不等式等价于：11 11f (X )f (1),X11 X1 X1 ,11 X 1 ,1 X1,1 X1 XX = 0 .1 X 1,1 X 1,111 - 1 .1 1 . 1 X1 X故原不等式的解集为{0}.解这类冋题可以通过化抽象为具体的方法，即通过联想、分析，然后进行类比猜测，经过带有非逻辑思维成份的推理，即可寻觅出它的函数模型，由这些函数模型的性质、法则来探索此类问题的解题思路.3 •幕函数模型例8 已知函数f (x)对任意实数x 、y 都有f (Xy) = f (x) ∙ f (y),且f( 1) =1, f (27) =9,当0≤XV 1时, 0≤f (x) V 1 时.⑴判断f(x)的奇偶性；联想：因为 Iog a (X ∙ y) = Iog X + log a y,而 Iog1 丄=1 , y = Iog2 21 X 在其定义域［—1, 1］内为减函数，所 2⑵判断f (X)在[0,+∞ )上的单调性，并给出证明；⑶若a≥0且f (a 1) ≤ 39 ,求a的取值范围.2 联想：因为X n∙y n = (X ∙ y)n，因而猜测它的模型函数为 f (x) = X n (由f(27)=9,还可以猜想f (x) = X ).2思路分析：由题设可知 f (X)是幕函数y = X1的抽象函数，从而可猜想 f (X)是偶函数，且在[O,+∞ )上是增函数.解：⑴令 y = -1 ,则f( X) = f(X) ∙f( 1),∙∙∙ f( 1)=1,∙∙∙ f ( X)= f(X),即f (X)为偶函数.⑵若X≥0,贝y f(X)= f (、. X X) = f X) ∙ f (、. x) =[ f ( '一X)] 2≥0.设 0≤χ I VX2 ,则 0≤ 0 V 1,X2X1X1∙ f (X I)= f (一X2)=f( I)∙ f (X2 ),X2X2∙.∙当 x≥0 时f (x) ≥0,且当0≤X V 1 时，0≤ f (x) V 1.∙0≤ f (XI) V 1, ∙ f (x1) V f (X2),故函数f (x)在[0 ,+∞ )上是增函数.X2⑶∙∙∙ f (27)=9 ,又f(3 9)= f (3) ∙f(9)=f(3) ∙f(3) ∙f(3) = [ f (3) ] 3,∙ 9 = [ f(3)] 3 ,∙∙∙ f(3) =39 ,∙∙∙ f (a 1) ≤ 39 ,∙ f (a 1) ≤ f(3),τa≥0 , (a + 1), 3 [0 , +∞ ),函数在[0 , +∞ )上是增函数.∙a+ 1 ≤ 3,即a≤ 2 ,又a≥0,故0≤a≤2.三、研究函数的性质问题1•抽象函数的单调性问题例9 设f (x)定义于实数集上，当x>0时，f(X)> 1 ,且对于任意实数 X、y ,有f (x + y) = f (x) ∙ f (y), 求证：f （X）在R上为增函数.证明：由f (x + y) = f (x) f (y)中取 X = y = 0 ,得f (O) = f 2(0),若f (O) = O ，令 x> O, y = O，贝U f (x) = O ，与f(X)> 1 矛盾..∙. f (O) ≠0,即有f (O) = 1 .当 X>O 时，f (X) > 1 > O,当 X V O 时，一X>O, f ( — x) > 1> O,1而f (X) ∙ f ( — X) = f (O) = 1 ------------------ ,∙∙∙ f (X) = > O .f( X)又当 X = O 时，f (O) = 1 > O ,∙ X ∈ R f (x) > O.设一∞V X I Vx2 V +∞,贝U x2— X I >O, f ( X 2— X I ) > 1.∙ f ( X 2) = f [ X I + ( X 2 — x1 )] = f (X 1 ) f ( X 2 — x1 ) > f ( X I ).∙ y = f (X)在R上为增函数.评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，而变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联.2.抽象函数的奇偶性问题例1O已知函数f (x) (X ∈ R, x≠O)对任意不等于零实数x1' X2都有f (x 1∙χ 2 ) = f (x 1) + f (x 2 ), 试判断函数f (X)的奇偶性.解：取 X I =— 1, X2 = 1 得：f( — 1) = f ( — 1) + f (1) , ∙ f (1) = O .又取 x1 = X 2 =— 1 得：f (1) = f ( — 1) + f ( — 1) , ∙ f ( — 1) = O .再取 x1 = X , X 2 = — 1 则有f( — x) = f ( — 1) + f (x),即f( — x) = f (x),∙∙∙ f (X)为非零函数，∙ f (X)为偶函数.3.抽象函数的周期性问题例11函数f(X)定义域为全体实数，对任意实数a、b,有f (a + b) + f (a — b) =2 f (a) ∙ f (b),且存在C C> O，使得f( ) = O ,求证f (x)是周期函数.2联想：因为 cos(a + b) + cos(a — b) = 2cosacosb ,且cos — = 0,因而得出它的模型函数为y = CoSX ,由y = CoSX2的周期为2 ,可猜想2C为f(x)的一个周期.思路分析：要在证明2C为f (X)的一个周期，则只需证 f (X 2C) = f (X),而由已知条件f (C) = 0和f (a +Cb) + f (a — b) =2 f (a) ∙ f (b)知，必须选择好a、b的值，是得条件等式出现f()和f (χ).2C C证明：令 a = X + , b = ,代入f (a + b) + f (a — b) = 2 f (a) ∙ f (b)可得2 2f (X + C ) = —f (x).∙∙∙ f (X + 2C ) = f [(x + C) + C ] = —f (X + C ) = f (X),即f (X)是以 2C 为周期的函数.评析：如果没有余弦函数作为模型，就很难想到2C就是所求函数的周期，解题思路是难找的•由此可见，寻求或构造恰当的模型函数，可以为思考与解题定向，是处理开放型问题的一种重要策略.4•抽象函数的对称性问题例 12 已知函数 y = f (X)满足f (X) + f ( X) = 2002 ,求f 1(χ)+f 1(2002 χ)的值.解：由已知，在等式f (a X) + f (a X) = 2b中a = 0 , b = 2002 ,所以，函数y = f (X)关于点(0 , 2002)对称，根据原函数与其反函数的关系，知函数y = f 1(X)关于点(2002 , 0)对称.∙ f 1(X 1001)+ f 1(1001 X) = 0 ,将上式中的 X用 x— 1001 换，得f 1(x)+ f 1(2002 X)= 0 .评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：即：设a、b均为常数，函数y=f (X)对一切实数X都满足f(a X)+ f (a X) = 2b ,则函数y = f (x)的图象关于点(a , b)成中心对称图形.四、抽象函数中的网络综合问题例13定义在R上的函数f (x)满足：对任意实数 m n,总有f (m n)=f(m)∙f(n),且当x>0时，0v f (x) V 1.⑴判断f (X)的单调性；⑵设 A = {(x , y)| f(x2) ∙ f (y2) > f(1)}, B = {(x , y)| f (ax y ,2) = 1 , a R},若 A B =,试确定 a的取值范围.解：⑴在f (m n)=f(m) ∙f(n)中，令 m= 1, n = 0 ,得f(1)=f(1) ∙ f (0),因为f(1) ≠ 0,所以f (0) = 1.在f(m n)=f(m) ∙f(n)中，令 m = X , n = — X,■/当 x> 0 时，0V f (x) V 1,∙当 XV 0 时，一X > 0, 0V f ( x) V 1,又当X = 0 时，f (0) = 1 > 0,所以，综上可知，对于任意X ∈ R 均有f (X)> 0.设一∞v X I V X 2 V +∞ ,贝y X 2 — X I > 0, 0v f ( X 2 — X I ) V1.∙∙∙ f ( X 2) = f [ X 1 + ( X 2 — X 1 )] = f (X 1 ) ∙ f ( X 2 — X 1 ) V f ( X 1 ).∙∙∙ y = f (X)在R 上为减函数.2 2 2 2 2 2⑵由于函数y = f (X)在R 上为减函数，所以 f (X ) ∙ f(y)=f(χ + y ) > f (1),即有X + y V 1. 又f (ax y ',2) = 1 = f (0),根据函数的单调性，有ax — y + -, 2 = 0 ._/2由A I B =,所以，直线ax — y+ 2 = 0与圆面X 2+ y 2V 1无公共点，因此有：_ ------------ ≥ 1,解得一1≤a≤ 1.评析：⑴要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题，一是f (0)的取值问题，二是 f (X) > 0的结论都成为解题的关键性步骤，完成这些又在抽象函数式中进行，由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和 解决.而 f (X)f ( - x) = f (0) = 1 , f (χ)=> 1> 0f( X)。
抽象函数常见题型解法
且存在，使得，求函数的值域。 解：令，得，即有或。 若，则，对任意均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必
有。 由于对任意均成立，因此，对任意，有 下面来证明，对任意 设存在，使得，则 这与上面已证的矛盾，因此，对任意。所以 评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的
五、单调性问题 例6. 设f（x）定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x、y， 有，求证：在R上为增函数。 证明：在中取，得 若，令，则，与矛盾 所以，即有 当时，；当时， 而所以 又当时，。所以对任意，恒有
设，则 所以，所以在R上为增函数。 评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法 则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给 关系式及所求的结果相关联。
， （ ），考察下列结论，① ；②
为偶函数；③数列
为等差数列；④数列
为等比数列，其中正确的是_______（填序号） 答案 ①③④ 3.（岳阳联考题）若
是定义在
上的函数，对任意的实数
，都有
和
且
，则
的值是（ ）答案 C
A．2008
B．2009
C．2010
4．(成都市石室中学高三三诊模拟)定义在[0，1]上的函数
抽象函数专题训练
1 线性函数型抽象函数
【例题1】已知函数对任意实数，均有，且当时，求在区间上的值域。 【例题2】已知函数对任意实数，均有，且当时，求不等式的解。
2 指数函数型抽象函数
【例题3】已知函数定义域为R，满足条件：存在，使得对任何和，成 立。 求：（1） (2) 对任意值,判断值的正负。 【例题4】是否存在函数满足下列三个条件：
抽象函数常见题型解法
教学实践2014-05不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数即为抽象函数。
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如，y=f（x），（x>0，y>0）。
由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图象集于一身，所以在各地高考试题中不断出现；学生在解决这类问题时，往往会感到无从下手，正确率低，本文就这类问题的解法归类如下：题型一：求抽象函数的定义域例1.已知函数f（x-1）的定义域为［0，3］，求f［log12（3-x）的定义域。
解析：自变量x的取值范围即为函数的定义域，因此函数f（x-1）中x-1∈［-1，2］，所以log12（3-x）∈［-1，2］，所求定义域为［1，114］一般情况下，函数y=f（x）定义域为［a，b］，则函数y=f（g（x））的定义域为不等式a≤g（x）≤b的解集；函数y=f（g（x））的定义域［a，b］，则函数y=f（x）定义域为g（x）（x∈［a，b］）的值域。
题型二：求抽象函数值例2.已知函数f（x）满足：当x>4时，f（x）=（12）x，当x<4时，f（x）=f（x+1），求f（2+log23）的值。
解析：首先判断2+log23∈［3，4］，再根据当x<4时，f（x）=f（x+ 1）得f（2+log23）=f（3+log23），所以f（2+log23）=（12）3+log23=124。
题型三：求抽象函数的解析式例3.已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）=1x-1，求f（x）和g（x）。
解析：用-x代换x得：f（-x）+g（-x）=1-x-1，由于已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，所以-f（x）+g（x）=1-x-1，与已知条件解方程组即可得f（x）和g（x）解析式.题型四：判断或证明抽象函数的奇偶性例4.已知函数f（x）（x∈R，x≠0）对任意不等于0的实数x1，x2都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），试判断函数f（x）的奇偶性。
必修一数学抽象函数习题精选含答案
抽象函数单调性和奇偶性1.抽象函数的图像判断单调性例1.如果奇函数f(x)在区间［3, 7］上是增函数且有最小值为5,那么f (x)在区间［7，3］上是()A.增函数且最小值为5B.增函数且最大值为5C.减函数且最小值为 5D.减函数且最大值为5分析：画出满足题意的示意图，易知选Bo2、抽象函数的图像求不等式的解集例2、已知定义在R上的偶函数f (x)满足f(2) 0，并且f (x)在(，0)上为增函数。
若(a 1)f(a) 0 ,则实数a的取值范围二、抽象函数的单调性和奇偶性1.证明单调性例3.已知函数f(x)= ,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0,g(x) 1g(1) =2,g(x) 是增函数.g(m)g(n) g(m n)(m,n R)求证：f(x)是R上的增函数.解:设X1>X2因为，g(x)是R上的增函数,且g(x)>0。
故g(x 1) > g(x 2) >0 o g(X1)+1 > g(x 2)+1 >0 ,2 22> 2>0g(X2)1 g(xj 1g(x2) 1 g(xj 1>0 o增函数。
2.证明奇偶性例5.已知f(x)的定义域为R,且对任意实数x,y 满足f(xy) f(x) 求证：f(x)是偶函数。
分析：在 f(xy) f (x) f(y)中，令 x y 1，得 f(1) f (1) f (1) f (1) 0 令 x y 1,得 f (1) f( 1) f( 1) f( 1) 0于是 f( x) f( 1 x) f( 1) f (x) f (x)，故 f (x)是偶函数。
三、求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中， 关键是利用函数的奇 偶性和它在定义域内的增减性，去掉“ f ”符号，转化为代数不等式 组求解，但要特别注意函数定义域的作用。
f(x 1)- f(x 2)=皿Jg(xj 1gg) 1 g%) 122=1——2——(1-2)g(xj 1 gg) 1>0 g(xj 1可以推出: f(x 1)>f(x 2)，所以 f(x)是 R 上的上为减函数。
抽象函数经典例题
∵ ，
∴ ，即 ，∴f（x）为增函数。
在条件中，令y＝－x，则 ，再令x＝y＝0，则f（0）＝2f（0），∴f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）为奇函数，
∴f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2f（－1）＝－4，
∴f（x）的值域为［－4，2］。
例2、已知函数f（x）对任意 ，满足条件f（x）＋f（y）＝2 +f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式 的解。
解：取 ，得
因为 ，所以
又取
得
评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取 ，这样便把已知条件 与欲求的f(3)沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。
三、值域问题
例4. 设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y， 总成立，且存在 ，使得 ，求函数 的值域。
解：令 ，得 ，即有 或 。
若 ，则 ，对任意 均成立，这与存在实数 ，使得 成立矛盾，故 ，必有 。
分析: 由题设知f（x）是 的抽象函数，从而由 及题设条件猜想：f（x）是奇函数且在（0，4a）上是增函数（这里把a看成 进行猜想）。
解：（1）∵f（x）的定义域关于原点对称，且 是定义域中的数时有
，∴ 在定义域中。∵
，
∴f（x）是奇函数。
（2）设0＜x1＜x2＜2a，则0＜x2－x1＜2a，∵在（0，2a）上f（x）＜0，
分析：由题设条件可猜测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设 ，∵当 ，∴ ，则 ，
即 ，∴f（x）为单调增函数。 ∵ ， 又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3。∴ ，∴ ， 即 ，解得不等式的解为－1 <a< 3。