28.2.2应用举例(2)
53模拟试卷初中数学九年级下册28.2.2第2课时坡度、坡角,实际生活问题
第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用28.2.2应用举例第2课时坡度、坡角,实际生活问题基础过关全练知识点3解直角三角形的应用——坡度、坡角问题9.(2022湖南邵阳模拟)如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,其中AD ∥BC,迎水坡AB的坡角∠ABC=45°,背水坡CD的坡比为1∶,迎水坡AB的长为8 m,则背水坡CD的长为()A.6 mB.8 mC.4 mD.8 m10.(2023广东汕头金平三模)如图,斜坡AB的坡度i1=1∶,现需要在不改变坡高AH的前提下将坡度变缓,调整后的斜坡AC的坡度i2=1∶2.4,已知斜坡AB=10米,那么斜坡AC=米.(M9228005)11.(2023四川绵阳游仙模拟)如图,某水上乐园在一平地推出了“急流勇进”的项目,项目有两条斜坡滑道(BC、AD)以满足不同的难度需求,游客可以乘坐垂直升降电梯沿AB自由上下选择项目难度.其中斜坡滑道BC的坡度为i=5∶12,BC=13米,CD=16米,∠D=32°(其中点A、B、C、D均在同一平面内),则垂直升降电梯的升降高度AB约为米.(参考数据:sin 32°≈0.530,cos 32°≈0.848,tan 32°≈0.625)(M9228005)12.(2022湖南株洲中考)如图1所示,某登山运动爱好者由山坡①的点A处沿线段AC行至山谷点C处,再从点C处沿线段CB行至山坡②的点B处.如图2所示,将直线l视为水平面,山坡①的坡角∠ACM=30°,AM=0.6千米,山坡②的坡度i=1∶1,BN⊥l于N,且CN=千米.(1)求∠ACB的度数;(2)求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程.知识点4解直角三角形在其他实际问题中的应用13.(2022福建中考)如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,∠ABC=27°,BC=44 cm,则高AD约为(参考数据:sin 27°≈0.45,cos 27°≈0.89,tan 27°≈0.51)()A.9.90 cmB.11.22 cmC.19.58 cmD.22.44 cm14.(2023河南郑州金水二模)如图,一个钟摆的摆长OB为1.5米,当钟摆向两边摆动时,摆角∠BOD为2α,且两边的摆动角度相同,则它摆至的最高位置与最低位置的高度之差AC为(M9228005)()A.(1.5-1.5cos α)米B.米C.(1.5-1.5sin α)米D.米15.(2023内蒙古赤峰中考)为发展城乡经济,建设美丽乡村,某乡村对A 地和B地之间的一处垃圾填埋场进行改造,把原来A地去往B地需要绕行到C地的路线,改造成可以直线通行的公路AB.如图,经测量,AC=6千米,∠CAB=60°,∠CBA=37°,则改造后的公路AB的长是千米(精确到0.1千米;参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,≈1.73).(M9228005)16.【教材变式·P84T9】(2022内蒙古通辽中考)某型号飞机的机翼形状如图所示,根据图中数据计算AB的长度(结果保留小数点后一位,≈1.7).(M9228005)能力提升全练17.(2023湖北十堰中考,7,★☆☆)如图所示,有一天桥高AB为5米,BC是通向天桥的斜坡,∠ACB=45°,市政部门启动“陡改缓”工程,决定将斜坡的底端C延伸到D处,使∠ADB=30°,则CD的长度约为(参考数据:≈1.414,≈1.732)(M9228005)()A.1.59米B.2.07米C.3.55米D.3.66米18.(2022广东深圳福田三模,8,★★☆)某学校安装了红外线体温检测仪(如图1),其红外线探测点O在垂直于地面的支杆CP上(如图2).已知最大探测角∠OBC=67°,最小探测角∠OAC=37°.若要使测温区域AB的长度为2 m,则OC应调整为精确到0.1 m.参考数据:sin67°≈,cos 67°≈,tan 67°≈,sin 37°≈,cos 37°≈,tan37°≈(M9228005)()A.2.4 mB.2.2 mC.3.0 mD.2.7 m19.【方程思想】(2022黑龙江牡丹江中考改编,10,★★☆)如图,小明去爬山,在山脚B处看山顶A的仰角为30°,沿着坡比为5∶12的山坡走1 300米到达E点,此时小明看山顶A的仰角为60°,则山高AC为(M9228005)()A.(600-250)米B.(600-250)米C.(350+350)米D.500米20.【中华优秀传统文化】(2022湖南岳阳中考,15,★★☆)喜迎二十大,“龙舟故里”赛龙舟.丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场的点P处观看200米直道竞速赛.如图所示,东西方向的赛道AB的起点A位于点P的北偏西30°方向上,终点B位于点P的北偏东60°方向上,AB=200米,则点P到赛道AB的距离约为米(结果保留整数,参考数据:≈1.732).(M9228005)21.【新素材】(2022山西太原二模,14,★★☆)图1是劳动课上同学们组装的一个智能机器臂.水平操作台为l,底座AB固定,AB⊥l,AB的长度为24 cm,连杆BC的长度为30 cm,手臂CD的长度为28 cm,点B,C 是转动点,且AB,BC与CD始终在同一平面内.如图2,转动连杆BC和手臂CD,当∠ABC=135°,∠BCD=165°时,端点D离操作台l的距离DE为cm.(M9228005)22.(2023辽宁本溪中考,22,★★☆)暑假期间,小明与小亮相约到某旅游风景区登山.他们需要登顶600 m高的山峰,由山底A处先步行300 m到达B处,再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处.已知点A,B,D,E,F 在同一平面内,山坡AB的坡角为30°,缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°(换乘登山缆车的时间忽略不计).(1)求登山缆车上升的高度DE;(2)若步行速度为30 m/min,登山缆车的速度为60 m/min,求从山底A 处到达山顶D处大约需要多少分钟(结果精确到0.1 min).(参考数据:sin 53°≈0.80,cos 53°≈0.60,tan 53°≈1.33)23.【真实情境】(2023浙江嘉兴中考,22,★★☆)图1是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别),其示意图如图2,摄像头A的仰角、俯角均为15°,摄像头高度OA=160 cm,识别的最远水平距离OB=150 cm.(M9228005)(1)身高208 cm的小杜,头部高度为26 cm,他站在离摄像头水平距离130 cm的点C处,那么小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别? (2)身高120 cm的小若,头部高度为15 cm,踮起脚尖可以增高3 cm,但仍无法被识别,社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°(如图3),此时小若能被识别吗?请计算说明.(精确到0.1 cm,参考数据:sin 15°≈0.26,cos 15°≈0.97,tan 15°≈0.27,sin 20°≈0.34,cos 20°≈0.94,tan 20°≈0.36)素养探究全练24.【应用意识】(2023四川绵阳三台模拟)小丽测量了斜坡上一棵垂直于地面的大树的高度.如图,小丽先在坡角为30°的斜坡AB上的点A处,测得树尖E的仰角为15°,然后沿斜坡走了10米到达坡脚B处,又在水平路面上行走20米到达大树所在斜坡CD的坡脚C处,大树所在斜坡CD的坡度i=3∶4,且大树的底端与坡脚的距离CD为15米,则大树ED的高度约为.(结果精确到0.1米.参考数据:sin 15°≈0.26,cos 15°≈0.97,tan 15°≈0.27, ≈1.73)(M9228005)25.【应用意识】(2023湖南常德中考)今年“五一”小长假期间,小陈、小余和家长去沙滩公园游玩.坐在如图1所示的椅子上休息时,小陈感觉很舒服,这激发了她对这把椅子的好奇心,就想出个问题考考小余.小陈先进行测量,并根据测量结果画出了图1的示意图(如图2).在图2中,已知四边形ABCD是平行四边形,座板CD与地面MN平行,△EBC 是等腰三角形且BC=CE,∠FBA=114.2°,靠背FC=57 cm,支架AN=43 cm,扶手的一部分BE=16.4 cm.这时她问小余:“你能算出靠背顶端F 点距地面(MN)的高度是多少吗?”请你帮小余算出结果(最后结果保留一位小数).(参考数据:sin 65.8°≈0.91,cos 65.8°≈0.41,tan 65.8°≈2.23)答案全解全析基础过关全练9.D 如图,过点A作AF⊥BC,垂足为F,过点D作DE⊥BC,垂足为E.∵AD∥BC,∴AF=DE.在Rt△ABF中,∠ABF=45°,AB=8 m,∴AF=AB·sin 45°=8× m.在Rt△DEC中,tan∠DCE=,∴∠DCE=30°,∴CD=2DE=8(m).故选D.10.13解析∵i1=1∶,∴tan∠ABH=,∴∠ABH=30°,∴AH=×10=5(米),∵坡度i2=1∶2.4,∴,即,解得CH=12(米),∴AC==13(米).11.12.5解析如图,延长AB、DC交于点E,由BC的坡度为i=5∶12,得BE∶CE=5∶12.设BE=5x米,CE=12x米,在Rt△BCE中,由勾股定理,得BE2+CE2=BC2,即(5x)2+(12x)2=132,解得x=1(负值舍去),即BE=5米,CE=12米,∴DE=DC+CE=16+12=28(米),∵tan D=,∴AE=DE·tan D=28tan 32°(米).∴AB=AE-BE=28tan 32°-5≈12.5(米).12.解析(1)∵山坡②的坡度i=1∶1,∴CN=BN,∴∠BCN=45°,∴∠ACB=180°-30°-45°=105°.(2)在Rt△ACM中,∠AMC=90°,∠ACM=30°,AM=0.6千米,∴AC=2AM=1.2千米,在Rt△BCN中,∠BNC=90°,∠BCN=45°,CN=千米,∴BC==2(千米),∴该登山运动爱好者走过的路程为1.2+2=3.2(千米).答:该登山运动爱好者走过的路程为3.2千米.13.B ∵AB=AC,BC=44 cm,AD⊥BC,∴BD=CD=22 cm.∵∠ABC=27°,∴tan∠ABC=≈0.51,∴AD≈0.51×22=11.22 cm.故选B.14.A 由题意,得OA⊥BD,∠BOC=∠BOD=·2α=α,OB=OA=1.5米,在Rt△BOC中,OC=OB·c os α=1.5cos α米,∴AC=OA-OC=(1.5-1.5cos α)米.故选A.15.9.9解析如图,过点C作CD⊥AB于点D,在Rt△ADC中,AC=6千米,∠CAD=60°,cos∠CAD=,sin∠CAD=,∴AD=AC·cos∠CAD=6cos 60°=3(千米),CD=AC·sin∠CAD=6sin 60°=3(千米).在Rt△CDB中,∠CBD=37°,CD=3千米,tan∠CBD=(千米),∴AB=AD+DB=3+4≈3+4×1.73≈9.9(千米),即改造后的公路AB的长约是9.9千米.16.解析如图,∠BDE=90°-45°=45°,在Rt△BDE中, DE=BE=14 m.∵CM=BE=14 m,在Rt△ACM中,∠ACM=60°,∴AM=(m),∴AB=BM-AM=CE-AM=20+14-14≈10.2(m).答:AB的长约为10.2 m.能力提升全练17. D 在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ACB=45°,∴∠ABC=∠ACB=45°,∴AC=AB=5米.在Rt△ABD中,∠BAD=90°,∠ADB=30°,∴∠ABD=60°,∴=tan∠ABD=tan60°=AB-AC≈1.732×5-5=3.66(米),∴CD的长度约为3.66米.故选D.18. B 设BC=x m,∵AB=2 m,∴AC=(x+2)m.∵OC=BC·tan∠OBC=BC·tan 67°≈x m,OC=AC·tan∠OAC=AC·tan 37°≈(x+2),解得x=≈2.2 m.故选B.19.B 如图,作EF垂直CB于点F,EN垂直AC于点N,∵斜坡BE的坡度为5∶12,∴设EF=5x米,则BF=12x米,由勾股定理得(5x)2+(12x)2=1 3002,解得x=100(舍负),则EF=500米,BF=1 200米.由题意可知,四边形NCFE为矩形,∴NC=EF=500米,NE=CF.在Rt△ANE中,tan∠AEN=tan 60°=,∵tan 60°=AN.在Rt△ACB中,tan∠ABC=tan 30°=,∵tan 30°=,解得AN=(600-750)米,∴山高AC=AN+NC=600-250)米,故选B.20.87解析如图,过点P作PC⊥AB,垂足为C,设PC=x米,在Rt△APC中,∠APC=30°,∴AC=PC·tan 30°=x(米).在Rt△BCP中,∠CPB=60°,∴BC=CP·tan 60°=x(米).∵AB=200米,∴AC+BC=200米,∴x=200,解得x=50≈87,∴点P到赛道AB的距离约为87米.21.(38+15)解析如图,过点B作BF⊥DE于F,过点C作CG⊥BF于G,过点C 作CH⊥DE于H,则四边形ABFE、四边形CGFH都是矩形,∴AB=EF=24 cm,CG=HF,∠BGC=∠ABF=∠GCH=90°.∵∠ABC=135°,∴∠CBG=∠ABC-∠ABF=45°,∴∠BCG=90°-∠CBG=45°.∵∠BCD=165°,∴∠DCH=∠BCD-∠BCG-∠GCH=30°.在Rt△BCG中,BC=30 cm,∴CG=BC·sin 45°=30×cm,在Rt△CDH中,CD=28 cm,∴DH=CD·sin 30°=28×)cm.22.解析(1)如图,过点B作BM⊥AF于点M,由题可知,∠A=30°,∠DBE=53°,DF=600 m,AB=300 m,在Rt△ABM中,∠A=30°,AB=300 m,∴BM=AB=150 m,∴EF=BM=150 m,∴DE=DF-EF=600-150=450(m).答:登山缆车上升的高度DE为450 m.(2)在Rt△BDE中,∠DBE=53°,DE=450 m,∴BD==562.5(m),∴需要的时间=步行时间+乘坐缆车时间=≈19.4(min).答:从山底A处到达山顶D处大约需要19.4分钟.23.解析(1)如图,过C作OB的垂线分别交仰角线、俯角线于点E、D,交水平线于点F,在Rt△AEF中,tan∠EAF=,∴EF=AF·tan 15°≈130×0.27=35.1(cm),∴CE=CF+EF=160+35.1=195.1(cm),∴小杜最少需要下蹲208-195.1=12.9厘米才能被识别.(2)小若能被识别.理由:如图,过B作OB的垂线分别交仰角线、俯角线于M、N,交水平线于P,在Rt△APM中,tan∠MAP=,∴MP=AP·tan 20°≈150×0.36=54.0(cm),∵∠MAP=∠NAP,AP=AP,∠APM=∠APN=90°,∴△AMP≌△ANP(ASA),∴PN=MP=54.0 cm,∴BN=160-54.0=106.0(cm),∵120-15=105(cm),106.0 cm>105 cm,∴小若必须踮起脚尖.∵小若踮起脚尖后头顶距地面的高度为120+3=123(cm),∴小若踮起脚尖后头顶超出点N的高度为123-106.0=17.0(cm)>15 cm,∴小若能被识别.素养探究全练24.7.0米解析如图,延长BC、ED相交于点F,过点A作AG⊥EF,垂足为G,过点A作AH⊥CB,交CB的延长线于点H.由题意,得AH=FG,AG=HF,BC=20米,EF⊥BF,在Rt△ABH中,∠ABH=30°,AB=10米,∴AH=AB=5(米),BH=(米),∴GF=AH=5米.∵斜坡CD的坡度i=3∶4,∴,∴设DF=3x米,则CF=4x米,在Rt△CDF中,CD==5x(米),∵CD=15米,∴5x=15,解得x=3,∴CF=12米,DF=9米,∴AG=HF=BH+BC+CF=(32+5)米,在Rt△AGE中,∠EAG=15°,∴EG=AG·tan 15°≈(32+5)×0.27≈10.98(米),∴ED=EG+FG-DF=10.98+5-9≈7.0(米),∴大树ED的高度约为7.0米.25.解析如图,过点F作FQ⊥CD交直线CD于点Q,过点A作AP⊥MN于点P,过点C作CH⊥AB于点H.∵四边形ABCD是平行四边形,∠FBA=114.2°,∴∠FCQ=∠CBA=180°-114.2°=65.8°,∴FQ=FC·sin∠FCQ=57sin 65.8° cm.由题意知AB∥CD∥MN,FC∥AN,则∠ANP=∠ADC=∠FCQ=65.8°,又AN=43 cm,∴AP=AN·sin∠ANP=43sin 65.8° cm.∵BC=CE,EB=16.4 cm,∴BH=8.2 cm,∴CH=BH·tan∠CBH=8.2×tan 65.8°≈8.2×2.23≈18.29 cm,∴靠背顶端F点距地面(MN)的高度为FQ+AP-CH=57sin 65.8°+43sin 65.8°-18.29≈100×0.91-18.29=72.71 ≈72.7 cm.。
人教版九年级下册数学 28.2.2解直角三角形的应用举例 例5 航海——方位角(共18张PPT)
险区。这渔船如果继续向东追赶鱼群，有没有进入危险 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
方位角
区的可能？ (3)边角之间的关系:
某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向
的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北 方向前进，甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上， 于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处 相遇。 （1）甲船从C处追赶上乙船用了多长时间？ （2）甲船追赶乙船的速度北是每小时多少千米？
B
D
C 75°
45°
西走60米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向。 这渔船如果继续向东追赶鱼群，有没有进入危险区的可能？
C
为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛
2解直角三角形的应用举例
北 为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛
进行了全面调查，一测量船在A岛测得B岛2解直角三角形的应用举例 航海问题——方位角
北 M东
B
A
D
N
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: (2)锐角之间的关系:
(3)边角之间的关系:
Ｂ
c a
Ａ
bＣ
仰角俯角
A
?
E 34
F
18
D
10米
B
方位角
北
C
西
O
B
东
南
利用锐角三角函数解决航海问题
如图，一艘海伦位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯 塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达 位于灯塔P的南偏东34°方向的B处。这时，B处距离 灯塔P有多远？（结果取整数）（cos25°=0.9063, sin34°=0.5291, ）
《28.2.2 应用举例》教学设计教学反思-2023-2024学年初中数学人教版12九年级下册
《应用举例》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 理解应用举例的概念，能够识别数学问题中的应用情境。
2. 学会分析和归纳数学问题中的共性，形成解决应用举例的能力。
3. 培养用数学思想方法解决实际问题的意识和能力。
二、教学重难点1. 教学重点：识别和应用数学问题中的共性。
2. 教学难点：运用所学知识解决实际问题的能力。
三、教学准备1. 准备教学PPT，包含图片、案例和相关概念的解释。
2. 准备一些应用举例的案例，用于课堂讨论和讲解。
3. 准备一些数学练习题，用于学生练习和巩固所学知识。
4. 准备黑板和粉笔，用于课堂讲解和互动讨论。
四、教学过程：本节课是《应用举例》教学的第一课时，教学内容主要分为两个部分：（一）情景导入1. 通过具体实例引导学生分析数量关系，把实际问题抽象成数学问题的过程。
例如：在学习二元一次方程组之前，我们可以引入一个情景：小明一家有5个人，出去野餐的时候，只有一张野餐布不够坐，需要再找一张野餐布，问需要买几张野餐布？如果设买x张野餐布，那么需要满足什么条件？这个问题的答案就是一个二元一次方程组。
2. 介绍本节课的主要内容和学习目标，激发学生对数学的兴趣和好奇心。
通过情景导入，让学生了解到数学在生活中的实际应用，同时也激发了学生对数学的好奇心和求知欲。
（二）新课教学1. 讲解二元一次方程的概念和特点。
例如：设两个未知数的方程就是二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a,b≠0)，其中a,b,c是常数，x,y是未知数。
2. 介绍二元一次方程的解法。
例如：通过代入消元法或者加减消元法，将二元一次方程转化为一次方程(组)的形式。
这种方法不仅可以用来解决实际问题，也可以用来检验其他数学问题的结果是否正确。
3. 通过具体的实例讲解如何把实际问题转化为数学问题。
例如：利用刚才讲过的小明一家出去野餐的问题为例，进一步讲解如何将实际问题转化为数学问题，并且利用二元一次方程组来求解。
这个过程包括收集数据、列方程、求解方程等步骤。
28.2.2【分层练习】《应用举例》(人教)
11．(1)AC＝1 000m；(2)C点在A点的北偏东30°方向上．
12．面积增加24m2，需用240 000m2土石．
13．(1) 提示：作CD⊥AB于D点，则CD＝b·sin，
AD＝b·cos．再利用BC2＝CD2＋DB2的关系，求出BC．
(2)
14．(1)AB＝b·cos＋a·cos.提示：作CD⊥AB于D点．
《28.2.2应用举例》分层练习
基础题
1．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．求AB及BC的长．
2．已知：如图，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD的长．
3．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm．
6．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里， )
7．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°．点D到地面的垂直距离 ，求点B到地面的垂直距离BC．
求AB及BC的长．
4．已知：如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，∠BDC＝60°，BC＝6cm．求AD的长．
能力题
5．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求山的高度及缆绳AC的长(答案可带根号)．
人教版九年级下册28.2.2应用举例方位角(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解方位角的基本概念。方位角是表示物体方向与参考方向之间的角度，它是解决方向定位问题的关键。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了方位角在航海导航中的应用，以及如何帮助我们准确确定航向。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调方位角的计算方法和实际应用这两个重点。对于难点部分，如方位角与坐标轴的关系，我会通过举例和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与方位角相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用指南针测量物体与正北方向的方位角。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
首先，对方位角定义的讲解可能还不够透彻，有些同学在后续的计算和应用环节出现了一些困惑。我意识到，对于这个概念，需要通过更多具体的例子和图示来进行解释，让学生能够更直观地理解。
其次，在案例分析环节，我发现同学们在将理论知识运用到实际问题中时，还存在一定的难度。这说明我在引导同学们分析问题时，还需要更加细致和耐心，帮助他们逐步掌握解题思路。
b.方位角的计算方法：介绍如何根据给定的坐标点计算方位角，包括起始线的选择、角度的正负以及角度的补角等。例如，如果已知一点A的坐标，要计算从A点到B点的方位角，需要考虑A点的坐标轴位置以及B点相对于A点的位置。
c.实际案例中的应用：通过具体的案例，如船舶导航、地图阅读等，解释方位角在实际情境中的使用方法。例如，给出一个航海案例，让学生根据船舶的起始位置和目的地，计算出航行的方位角，并讨论如何根据风向和洋流调整航向。
28.2.2解直角三角形的应用1-仰角、俯角
P
M
O
B
A
合作与探究 【变式1】如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，且A、B、O三点 在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30°和45 °，求飞机的高度PO .
P
M
O
B
A
合作与探究 【变式2】如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底 部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .
c
c
cos A b , cos B a
c
c
tan A a , tan B b
b
a
注意变式 例：b=c∙sinB
如图，Rt△ABC中，∠C=90°， （1）若∠A=30°，BC=3，则AC=
温故而知新
B
（2）若∠B=60°，BC=3，则AC=
A
C
【定义】 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
解法一：
P
C
30°
D
A
45°Biblioteka 200米OB
合作与探究 【变式2】如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底 部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .
解法二：
C P
30° A
45°
200米
O
B
合作与探究
【变式2】如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底 部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .
abcd仰角水平线俯角合作与探究变式热气球的探测器显示从热气球看一栋高楼顶部的仰角仰角????为为45看这栋高楼底部的俯角俯角????为为60已知这栋楼的高度bc为50m求热气球与高楼的水平距离ad结果保留根号
人教版九年级下册数学：第28章 28.2.2解直角三角形的应用 (2)方位角、坡度坡比
达标测试
1.如图,C岛在A岛的北偏东50°方 向,C岛在B岛的北偏西40°方向,则从C
岛看A,B两岛的视角∠ACB等于 90° 。 50°
40° 50° 40°
2、如下图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与 钢缆固定点O的距离为4米，钢缆与地面的夹角∠BOA为60º，则 这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是多少米．
tanα= 1 = 3 33
∴α=30°
240
C
1: 3
?
A?
B
在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,AC=240m
∴ sinα= BC = BC
AC 240
∴ BC=240×sin30°=120(m)
答:这座山坡的坡角为30°,小刚上升了120m.
【例4 】水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,
北
PC=PA·cos（90°-65°）=80×cos25°
≈80×0.91 =72.8
65°
在Rt△BPC中,∠B=34°
西
P
∵ sinB = PC
PB
34°
∴
PB
=
PC sinB
=
72.8 sin340
≈
72.8 0.559
≈130.23（海里）
南
?
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°
方向时，它距离灯塔P大约130.23海里。
45° 南
45° 45°
西南
（南偏西45°）
南
东南
（南偏东45°）
典例精析
【例1】如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距
离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位
28.2.2解直角三角形(2)
B 900 A B 900 A
在Rt△ABC中, ∠ C=Rt ∠，根据 下列条件，解直角三角形．
350 6400 6400
课堂小结：
解直角三角形时，运用直角三角形有关知识，通 过数值计算，去求出图形中的某些边的长度或角 的大小．在分析问题时，最好画出几何图形，按 照图中的边角之间的关系进行计算．这样可以帮 助思考、防止出错．
老师提示:当从低处观察高处的目标时.视线与水 平线所成的锐角称为仰角.当从高处观察低处的目 标时.视线与水平线所成的锐角称为俯角.
驶向胜利 的彼岸
小结
拓展
解直角三角形
(1)三边关系：
a2+b2=c2；
∠A+∠B=90°；
(2)锐角之间关系：
(3)边角之间关系
• 解三角形
回味无穷 驶向胜利
的彼岸
B
C
60
D
45
A
3、山顶上有一旗杆，在地面上一点A处测得杆顶B 的仰角为 600，杆底C的仰角为450，已知旗杆高 BC=20米，求山高CD。
B 20
C
x
60
D
45
A
4、在山脚C处测得山顶A的仰角为45°.问题如下： 1.沿着水平地面向前300m到达D点，在D点 测得山顶A的仰角为60 °，求山高AB. 2.沿着坡角为30 °的斜坡前进300m到达D 点，在D点测得山顶A的仰角为60 ° ，求山高AB.
解直角三角形（2）
回顾与思考 1
直角三角形的边角关系
a2+b2=c2.
直角三角形三边的关系: 勾股定理
直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 ∠A+ ∠B=900. 直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数 a a b sin A cos B , cos A sin B , tan A = b c c 互余两角之间的三角函数关系:
28.2 应用举例 仰角、俯角
由已知 l1∥l2,所以 CD∥AF, 所以四边形 ACDF 为矩形, CD=AF=AE+EF=20+10=30(米), 所以 C,D 两点间的距离为 30 米.
解直角三角形应用题的“四个步骤” (1)依据实际问题建立数学模型. (2)根据已知条件,选用适当的三角函数解直角三角形. (3)得到数学问题的答案. (4)得到实际问题的答案.
)C
(A)asin 40°米 (B)acos 40 °米
(C)atan 40°米
(D) a 米 tan 40
3.(2017山西)如图,创新小组要测量公园内一棵树的高度AB,其中一名小组成员站在距
离树10米的点E处,测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE=1.5米,则这棵树的高
度为
米1(5结.3果保留一位小数.参考数据:sin 54°≈0.809 0,
DCE
和
BCE ,求
CE .
和
CE ,求
BE
解:(2)由题意,得CE=AB=30 m, 在Rt△CBE中,BE=CE·tan 20°≈30×0.36=10.8(m), 在Rt△CDE中,DE=CE·tan 18°≈30×0.32=9.6(m), 所以教学楼的高为 BD=BE+DE=10.8+9.6≈20.4(m). 答:教学楼的高约为20.4 m.
因为 CD=34 米,所以 DE= CD =34÷ 3 ≈40(米),
cos 30
2
所以 DB=DE+BE≈40+40=80(米),故海洋馆 D 处到出口 B 处的距离为 80 米.
5.(2018达州)在数学实验活动课上,老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的 高度.用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30°,再往雕塑方向前进4米至B处,测得 仰角为45°.问:该雕塑有多高?(测角仪高度忽略不计,结果不取近似值)
人教版九年级数学下册：28.2.2《应用举例》说课稿6
人教版九年级数学下册： 28.2.2 《应用举例》说课稿6一. 教材分析《人教版九年级数学下册》第28.2.2节《应用举例》是数列这一章的一部分。
这部分内容主要介绍了等差数列和等比数列的应用。
通过这部分的学习，学生能够理解等差数列和等比数列在实际问题中的应用，提高解决问题的能力。
本节课的内容是学生对数列知识的巩固和拓展，也是对之前学习内容的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了一定程度的数学知识，对数列的概念和性质有一定的了解。
但是，对于数列在实际问题中的应用，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，我将会引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们的解决问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解等差数列和等比数列的应用，能够运用数列的知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过小组合作、讨论交流的方式，培养学生解决问题的能力和团队协作的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解等差数列和等比数列的应用，能够运用数列的知识解决实际问题。
2.教学难点：如何引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们解决问题的能力。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、小组合作法、讨论交流法等，引导学生主动探究、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具，帮助学生直观地理解数列的应用。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入等差数列和等比数列的应用，激发学生的学习兴趣。
2.知识讲解：讲解等差数列和等比数列的应用，引导学生理解理论知识与实际问题的联系。
3.例题解析：分析并解析一些典型的例题，让学生学会如何运用数列的知识解决实际问题。
4.小组讨论：学生分组讨论，分享各自解决问题的方法和经验，培养团队协作的能力。
5.练习巩固：布置一些练习题，让学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ位角
指南或指北的方向线与目标方向线构成小于 900的角,叫做方位角. 如图：点A在O的北偏东30° 点B在点O的南偏西45°（西南方向）
北 30° A
西
O 45°
东
B
南
例5 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南 偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远 （结果取整数）？
AF tan i 11.5 ： BF
i=1:1.5 B
6m
α
33.7
在Rt△CDE中，∠CED=90°
DE tan i 1: 3 CE
18.4
链接中考
如图，一条渔船某时刻在位置A观测灯塔B、C(灯塔B距 离A处较近)，两个灯塔恰好在北偏东60°的方向上，渔 船向正东方向航行l小时45分钟之后到达D点，观测到灯 塔B恰好在正北方向上，已知两个灯塔之间的距离是12 海里，渔船的速度是16海里／时，又知在灯塔C周围 18.6海里内有暗礁，问这条渔船按原来的方向继续航行， 有没有触礁的危险?
A
30°
60°
B
12
D
F
解：由点A作BD的垂线 交BD的延长线于点F，垂足为F， ∠AFD=90° 由题意图示可知∠DAF=30°
设DF= x , AD=2x 则在Rt△ADF中，根据勾股定理
A
2 2 x x 3x 2
AF AD2 DF 2
60°
B D
12
AF tan ABF BF
解得x=6
在Rt△ABF中，
F 30°
3x tan 30 12 x
AF 6 x 6 3 10.4
10.4 > 8没有触礁危险
例5. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直 高度DE与水平宽度CE的比），BC=30m,根据图中数据求：
（1）坡角a和β; （2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m） 解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90° A D i=1:3 β F E C
34°
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大 约130海里．
B
练习.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁， 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏 东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东 航行，有没有触礁的危险？
解：如图 ，在Rt△APC中， PC＝PA· cos（90°－65°） ＝80×cos25° ≈80×0.9 =72.5 在Rt△BPC中，∠B＝34° PC sin B PB PC 72.8 72.8 PB 130 sin B sin 34 0.559
65° P
A C
北
C
B
A
D
E
东