广东省广州市八年级数学下册16二次根式16.3二次根式的加减2导学案无答案新版新人教版
人教版八年级数学下册《16.3二次根式的加减》练习含答案
初中数学试卷人教版八年级数学下册《16.3二次根式的加减》练习含答案一、选择题1．下列各式：①33+3=63；②177=1；③2+6=8=22；④243=22，其中错误的有（）．A．3个B．2个C．1个D．0个2．下列运算正确的是（）A．√8-√2=√2B．√419=213C．√5-√3=√2D．√(2-√5)2=2-√53．计算√1142-642-502之值为何？（）A．0 B．25 C．50 D．804．已知x=1+√2，y=1-√2，则代数式√x2+2xy+y2的值为（）A．2 B．±2 C．4 D．√25．已知实数x，y满足（x-√x2-2008）（y-√y2-2008）=2008，则3x2-2y2+3x-3y-2007的值为（）A．-2008 B．2008 C．-1 D．16．a是√15-5的整数部分，则a为（）A．-1 B．1 C．0 D．-2二、填空题7．在8、1753a 、293a 、125、323a a 、30.2、-218中，与3a 是同类二次根式的有________．8．计算二次根式5a -3b -7a +9b 的最后结果是________．9．如果最简二次根式2√2x -3与√9-4x 是同类二次根式，那么x= 。
10．已知a-b=√2+√3，b-c=√3-√2，求a-c 的值是___________。
11．化简：（1）（√3+2）（1-√3）的结果是____________；（2）(√5-√7)( √7+√5) 的结果是____________；（3）(2√2−√3)2的结果是____________。
三、解答题12．计算：23x √9x −x 2√1x +6x √4x，其中x=5。
13．已知a=12+√3，求a 2-a -6a+2+√a 2-2a+1a 2-a 的值。
14．已知x ＝√1+√1+√1+x ，求x 6+x 5+2x 4-4x 3+3x 2+4x-4的整数部分。
八年级数学下册 第16章 二次根式 16.3 二次根式的加减
根式进行合并,与整式加减中合并同类项类似,即只把系数 相加减,根指数和被开方数不变;
②在进行运算时还要注意,根号外的因式就是这个根式 的系数,二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式;
③被开方数不相同的最简二次根式不能合并,对于没有
合并的二次根式一定不能丢掉,其也是结果的一部分.
[方法归纳] 二次根式的加减运算(yùn suàn),第一步是将不 是最简二次根式的化成最简二次根式;第二步是将被 开方数相同的最简二次根式合并,如果有括号,先去括号.
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课堂(kètáng) 二次根式加减时,可以先将小二结次根式化成最简二次根
式,再将被开方数相同的二次根式进行(jìnxíng)合并.
(3)化简后,被开方数不相同的根式不能合并.
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例：(教材(jiàocái)例1)计算:
1 8 0 -4 5 ； 2 9 a 2 5 a .
解 ： 8 0 4 5 = 45 35 =5 .
解 ： 9 a 2 5 a = 3a 5a = 8a .
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A.①和② B.②和③ C.①和④ D.③和④
【解析】 ①
；②
；
12 =2 3
22 =2
③ 2 ；6 ④.
被开方数 .
(bèi kāi fānɡ
=
27 =3 3
shù)相同3的是3 ①和④，故选C.
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3 3. 计算(jìsuàn) 2 2
的值是
A.2 B.3 C. 2 D.2 2
人教版八年级下册数学16.3二次根式的加减教案
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次根式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力：通过二次根式加减法则的推导与应用，让学生理解数学知识之间的内在联系，提高逻辑思维和推理能力。
2.提升数学运算能力：使学生掌握二次根式的加减运算方法，培养他们准确、迅速地进行数学计算的能力。
3.增强数学抽象素养：引导学生从实际问题中抽象出二次根式加减的数学模型，培养学生运用数学语言表达现实问题的能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调合并同类项和化简二次根式这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解，例如如何将$\sqrt{8}$化简为$2\sqrt{2}$。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次根式相关的实际问题，如计算两个物品的长度的和或差。
-在进行二次根式加减运算时，对于含有不同根号的表达式，不知道如何将其转换为同类项；
-难以理解二次根式的乘除运算与加减运算之间的关系，例如$\sqrt{ab} \neq \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$；
-对于复杂的二次根式加减问题，不知道如何选择合适的策略进行求解。
-教学策略：
-通过对比不同类型的二次根式，引导学生发现合并同类项的规律；
此外，小组讨论的环节学生们表现得非常积极，他们能够提出自己的观点，并与小组成员进行交流。这说明学生们在合作学习中能够更好地理解和掌握知识。今后，我会继续增加这种形式的教学活动，让学生在互动交流中提高自己的数学素养。
人教版八年级数学下册教案-16.3二次根式的加减
-实验操作：指导学生进行简单的二次根式加减计算；
-分组讨论：学生分成小组，讨论解决实际问题时如何应用二次根式加减。
4.学生小组讨论（10分钟）
-主题：围绕“二次根式在实际生活中的应用”展开讨论；
-引导与启发：提出问题，引导学生思考，激发他们的想象力。
5.成果展示（5分钟）
-每个小组选派一名代表分享讨论成果；
二、核心素养目标
1.培养学生逻辑推理能力，通过对二次根式性质的探究，理解并掌握二次根式的加减法则；
2.培养学生数学运算能力，能够熟练运用二次根式加减法则进行混合运算；
3.培养学生数学抽象能力，从实际问题中抽象出二次根式加减的数学模型，提升解决实际问题的能力；
4.培养学生合作交流能力，通过小组讨论、问题探究等形式，提高学生团队协作和沟通表达能力。
(2)指导学生在混合运算中如何识别同类二次根式，如√18 + √50，化简后为3√2 + 5√2，进而合并为8√2；
(3)通过设计不同类型的实际应用题，帮助学生克服在具体问题中应用二次根式加减法则的困难，例如在几何图形面积计算中，如何将不同长度的边转化为同类二次根式进行计算。
直接输出：
三、教学流程
1.导入新课（5分钟）
三、教学难点与重点
1.教学重点
-掌握二次根式的定义及性质，特别是二次根式乘除法的运算规律；
-熟练运用二次根式的加减法则进行计算，并能解决相关问题；
-能够将实际问题抽象为二次根式加减的数学模型。
举例解释：
(1)重点讲解二次根式乘除法的运算规律，如√a × √b = √(ab)等，并通过例题演示；
(2)强调二次根式加减法则，如√a + √b ≠ √(a+b)，通过具体计算题指导学生正确运用；
人教版八年级数学下第16章16.3二次根式的加减(教案)
（1）掌握二次根式的定义及性质，理解二次根式中的“根号”表示的含义。
举例：理解√9和√(9a²)的含义，以及它们与3和3a的区别。
（2）熟练运用二次根式的加减法则，进行合并同类二次根式的运算。
举例：解决如下问题：√3 + √6 - √3，以及2√5 - √(20/4)。
（3）掌握将二次根式化简为最简形式的方法，包括分解质因数、提取平方因子等。
3.培养学生数学抽象素养，让学生理解二次根式的概念，并能将其应用于实际问题，提高数学抽象素养。
4.培养学生数学建模素养，通过解决实际应用问题，使学生学会建立数学模型，运用所学知识解决现实问题。
5.培养学生合作交流能力，课堂讨论与小组合作中，提高学生表达、沟通、协作能力，增强团队意识。
三、教学难点与重点
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次根式的定义、性质、加减法则以及在实际生活中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对二次根式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在这次教授《二次根式的加减》的课程中，我发现学生们对于二次根式的概念和性质的理解总体上是比较顺利的。他们在课堂上能够跟随我的讲解，对于基本的运算法则也能够较快地掌握。然而，我也注意到了一些需要改进的地方。
另外，我也注意到，在学生小组讨论的环节，有些学生并不是很积极。为了鼓励他们更主动地参与到讨论中来，我打算在下次的课堂中尝试一些新的策略，比如设置更具挑战性的问题，或者引入一些竞争机制，激发学生的学习兴趣。
在课程的总结回顾环节，我觉得自己可以做得更好。我意识到，我应该更多地引导学生自己来总结今天的学习内容，这样不仅能够检验他们对于知识点的掌握情况，还能培养他们的自主学习能力。下次，我会尝试让学生们自己来总结二次根式的关键概念和运算规则，我来辅助补充和纠正。
16.3 二次根式的加减(第1课时)(课件)八年级数学下册(人教版)
知识点一 同类二次根式
活动1 观察下列二次根式的被开数有什么共同特征：
（1） 2，3 2，-
2
5
1
2，
3
2 ···
2
（2） 3，17 3，- 5 3， ·
3··
13
每组的二次根式的被开方数相同
活动2 思考下列二次根式具有的被开数以上特征吗？你怎样发现的？：
9
（3） 2， 8， 18， 32， 0.5，2
2 10
8
2
3
5
3
2
ab
2
b
(1) 75 =____；(2) 8a b =_______；(3) =_____.
5
5
问题 现有一块长 7.5 dm、宽 5 dm 的木板，能否采用如图的方式，在这
块木板上截出两个分别是 8 dm2 和 18 dm2 的正方形木板？
5 dm
5 dm
8 18
8
18
2
2
2
5
2
1 4.
课堂总结
一般地，二次根式的
法
则
加减时，可以先将二次根
式化成最简二次根式，再
将被开方数相同的二次根
二次根
式加减
式进行合并.
注
运算原理
运算律仍然适用
运算顺序
与实数的运
算顺序一样
意
(乘法分配律逆用)
5 2
(有理数的加减)
归纳知识
2.二次根式的加减法法则
将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并.
简记：一化、二找、三合并
典例精析
【例3】计算:
(1) 80 45;
1
人教版数学八年级下册16.3二次根式的加减(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次根式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
5.激发学生的自主学习与合作探究：鼓励学生在课堂中积极参与讨论，学会与他人合作探究，培养自主学习和团队协作能力。
本节课将紧扣核心素养目标，关注学生能力的全面发展，提高学生数学学科素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-二次根式的定义及其性质：理解二次根式的概念，掌握其性质，如√a（a≥0）。
-二次根式的加减法则：熟练运用加减法则进行同类项合并和不同类项化简，如√a±√a=±2√a。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我尝试了多种方法来帮助学生理解二次根式的加减。首先，通过日常生活中的实例导入新课，让学生感受到数学与生活的紧密联系。在实际操作中，我发现同学们对这个问题产生了浓厚的兴趣，这为后续的学习打下了良好的基础。
在理论介绍环节，我尽量用简洁明了的语言解释二次根式的定义和性质，让学生易于理解。然而，我也注意到，部分学生在理解不同类项的化简和符号处理上还存在一定的困难。在今后的教学中，我需要更加关注这部分学生，通过设计更多有针对性的练习和实例，帮助他们突破这个难点。
在新课讲授的案例分析环节，我选取了一个与学生生活密切相关的例子，希望能够让他们更好地体会到二次根式在实际中的应用。从学生的反馈来看，这个案例确实帮助他们加深了对二次根式加减的理解。但在实践活动和小组讨论中，我也发现部分学生在将理论知识应用到实际问题解决时，仍然显得有些吃力。这可能是因为他们对二次根式的掌握还不够熟练，需要在今后的教学中加强练习。
人教版八年级数学下册16.3二次根式的加减教案
（4）混合运算的顺序：学生在面对含有多个二次根式的混合运算时，容易混淆运算顺序。
举例：计算2√3 + √5 × √2，学生应先进行乘法运算，得到√10，再进行加法运算。
在教学过程中，教师需针对以上重点和难点内容进行有针对性的讲解和强调，通过实例分析和练习，帮助学生理解并掌握核心知识，突破学习难点。
举例：化简二次根式√24，学生需要找到24的因数4，并将其分解为√4 × √6，进一步化简为2√6。
（2）二次根式的加减运算：学生在进行二次根式加减运算时，容易忽略合并同类项的步骤。
举例：计算√3 + √5 - √3，学生需要意识到两个√3可以相互抵消，最终结果为√5。
（3）实际问题的应用：学生往往难以将实际问题抽象为二次根式的加减问题。
实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作都表现得积极主动，但部分小组在讨论过程中还是偏离了主题。我应该在引导讨论时，更加明确主题，确保学生的讨论能紧扣教学内容。
学生小组讨论环节，我尝试作为一个引导者，发现学生们在面对开放性问题时，思维非常活跃，能提出很多有创意的想法。但在成果分享时，有些学生表达不够清晰，这需要我在今后的教学中加强对学生表达能力的培养。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式的定义和性质。二次根式是形如√a的表达式，其中a是非负实数。它是解决平方根相关问题的重要工具，广泛应用于几何、物理等多个领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。计算√9 + √16，通过这个案例，展示二次根式在实际中的加减运算方法。
（2）熟练运用二次根式的加减法则，进行混合运算。
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16.3 二次根式的加减(2)
课型: 新授课 上课时间： 课时： 1
学习内容：
利用二次根式化简的数学思想解应用题．
学习目标：
1、 运用二次根式、化简解应用题．
2、 通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题．
学习过程
一、 自主学习
（一）、复习引入
上节课，我们已经学习了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，
先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，
（二）、探索新知
例1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/•秒的速
度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒
后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）
分析：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，•
根据三角形面积公式就可以求出x的值．
解：设x 后△PBQ的面积为35平方厘米．
则有PB=x，BQ=2x
依题意，得： 求解得： x=35
所以35秒后△PBQ的面积为35平方厘米．
PQ=
答：35秒后△PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为57厘米．
例2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？
分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，•只需知道这四段的
长度．
B
A
C
Q
P
2 / 3
解：由勾股定理，得AB=
BC=
所需钢材长度为： AB+BC+AC+BD==
二、巩固练习
教材练习
三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展
1、 例3．若最简根式343abab与根式23226abbb是同类二次根式，求a、b
的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）
分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的根式；
解：首先把根式23226abbb化为最简二次根式：
232
26abbb
=
由题意得方程组：
解方程组得：
2、本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题．
四、课堂检测
（一）、选择题
1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）．（•
结果用最简二次根式） A．52 B．50 C．25 D．以上都不对
2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，•为了增加其稳定性，
他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米．（结果同最简二次根式表
示） A．13100 B．1300 C．1013 D．513
（二）、填空题 （结果用最简二次根式）
1．有一长方形鱼塘，已知鱼塘长是宽的2倍，面积是1600m2，•鱼塘的宽是_______m．
2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为2，那么该等腰直角三角形的周长是____．
（三）、综合提高题
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1．若最简二次根式22323m与212410nm是同类二次根式，求m、n的值．
2．同学们，我们观察下式：（2-1）2=（2）2-2·1·2+12=2-22+1=3-22
反之，3-22=2-22+1=（2-1）
2
∴3-22=（2-1）2 ∴322=2-1
求：（1）322； （2）423； （3）你会算412吗？