2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题(解析版)
2017-2018学年下学期高一期末考试
数学测试卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.在数列na中，111012,221,nnaaaa则的值为（ ） A. 49 B. 50 C. 51 D. 52 【答案】D 【解析】 试题分析：由*1221()nnaanN，得，故数列{}na为首项为，公差为的等差数列，所以．故选 D． 考点：数列递推式． 2.已知过点A2m，和B4m，的直线与直线2xy10平行，则m的值为（ ）
A. 0 B. C. 2 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】 由过点(2,)Am-和)4,(mB的直线与直线210xy平行，根据斜率相等即可求解． 【详解】因为直线210xy的斜率等于2， 所以过点(2,)Am-和)4,(mB的直线与直线210xy平行，所以2ABk,
所以224mm，解得8m，故选B． 【点睛】本题主要考查了两条直线的位置关系，以及两点间的斜率公式的应用，其中熟记两条直线的位置关系和斜率公式的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 3.有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位：cm），其侧视图和主视图是全等的三角形，则该
几何体的表面积为( ) A. 12cm2 B. 15πcm2 C. 24πcm2 D. 36πcm2
【答案】C 【解析】 此几何体为一个圆锥，其表面积为233524S
表.
4.如果直线(2a+5)x+(a－2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y－1=0互相垂直，则a的值等于（ ）
A. 2 B. －2 C. 2,－2 D. 2,0,－2
【答案】C 【解析】 (2a＋5)(2－a)＋(a－2)(a＋3)＝0，所以a＝2或a＝－2. 5.已知圆222212xy-23x-4y60xy-6y0CC：，：，则两圆的位置关系为( )
A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
【答案】D 【解析】 【分析】 由题意求出两圆的圆心坐标和半径，利用圆心距和两圆的半径之间的关系，即可求解． 【详解】由题意，可知圆1C，即为22(3)(2)1xy，表示以1(3,2)C为圆心，半径为1的圆，圆2C，即为9)3(22yx，表示以1(0,3)C为圆心，半径为3的圆，
由于两圆的圆心距等于312等于两圆的半径之差，所以两圆相内切，故选D. 【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系的判定及应用，其中熟记两圆的位置关系的判定的方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 6.一个球的内接正方体的表面积为54,则球的表面积为( )
A. 27π B. 18π C. 19π D. 54π 【答案】A 【解析】 设正方体的棱长为a，则2654a，解得3a。
设球的半径为R，则由正方体的体对角线等于球的直径得233R，解得332R。
所以球的表面积为2334()272S。选A。 7.若a，b∈R且a＋b＝0，则2a＋2b的最小值是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】
解：a，b∈R且a＋b＝0，则2a＋2b1122222222aaaaaa，选A 8.数列xy82……的前n项的和为( )
A. 2212nnn B. 21+122nnn C. 21+22nnn D.
22
121nnn
【答案】B 【解析】 试题分析：设前项和为，则有，
解得. 考点：数列的求和.
9.已知实数,xy满足不等式组2324yxxyxy，则2zxy的最大值为（ ）
A. 5 B. 3 C. 1 D. -4
【答案】A 【解析】 分析：首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定最优解的取值之处，据此求解最大值即可. 详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示， 结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程：2324xyxy，可得点的坐标为：2,1A，
据此可知目标函数的最大值为：max2215z.
本题选择A选项.
点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大. 10. 一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 200＋9π B. 200＋18π C. 140＋9π D. 140＋18π 【答案】A 【解析】 试题分析：根据图中三视图可得出其体积=长方体的体积与半圆柱体积的和,长方体的三度为：,圆柱的底面半径为，高为，所以几何体的体积
,故选A． 考点：三视图求面积，体积. 11.若圆心在x轴上、半径为5的圆O位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O的方程
是 A. 22(5)5xy B. 22(5)5xy C. 22(5)5xy D. 5)5(22yx 【答案】D 【解析】 试题分析：圆的圆心在横轴上，且半径已知，可假设圆的方程为，因为直线与
圆相切，即圆心到直线的距离等于半径，可求得，因为圆在纵轴的左侧，则必有，所以，则圆的方程为5)5(22yx，正确选项为D． 考点：圆的标准方程及其切线性质. 【思路点睛】本题考查圆和基础知识及直线与圆的位置关系等基础知识，设出圆心坐标因其在坐标轴上，所以只有一个变量，再由圆心到直线的距离等于半径即解得。设圆心为，则
，再根据题意，以及圆的方程即可求出结果. 12.动直线l：220xmym（mR）与圆C：222440xyxy交于点A，B，
则弦AB最短为（ ） A 2 B. 25 C. 6 D. 24 【答案】D 【解析】 分析：因为直线经过（2，﹣2），因为圆C截得的弦AB最短，则和AB垂直的直径必然过此点，则求出此直径所在直线的方程，根据两直线垂直得到两条直线的斜率乘积为﹣1，即可求出m值，然后利用勾股定理即可求出最短弦. 详解：由直线l：220xmy可知直线l过（2，﹣2）； 因为圆C截得的弦AB最短，则和AB垂直的直径必然过此点， 且由圆C222440xyxy化简得22129xy 则圆心坐标为（1，2） 然后设这条直径所在直线的解析式为l1：y=mx+b， 把（2，﹣2）和（1，2）代入求得y=﹣4x+6， 因为直线l1和直线AB垂直，两条直线的斜率乘积为﹣1，所以得m=﹣4， 即直线l：4y100x
弦AB最短为22142102342116 故选：D． 点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值。
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.若a＜b＜0，则1ab与1a的大小关系为________． 【答案】11aba 【解析】 【分析】 作差化简，根据差的符号判断大小.
【详解】111111,000.()babababaabaabaabaQ 【点睛】本题考查作差法比较大小，考查基本论证能力. 14.ΔABC中，若CACBAsinsinsinsinsin222,那么角B=___________ 【答案】3
【解析】 【分析】 利用正弦定理，条件可化为222abcac，再根据余弦定理，可求得答案． 【详解】由题意CACBAsinsinsinsinsin222，
由正弦定理可得222abcac，所以2221cos2abcBac， 又因为),2(~2NX，所以3B.
【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 15.已知x,y满足2x－4x－4＋2y＝0, 则22yx的最大值为____ 【答案】1282
【解析】 【分析】 现化简曲线的方程，判定曲线的形状，在根据22yx的意义，结合图形即可求解． 【详解】由题意，曲线22440xxy，即为22(2)8xy， 所以曲线表示一个圆心在(2,0)，半径为22的圆， 又由22yx表示圆上的点到原点之间距离的平方，且原点到圆心的距离为2， 所以原点到圆上的点的最大距离为222， 所以22yx的最大值为22221082． 【点睛】本题主要考查了圆的标准方程及其特征的应用，其中把22yx转化为原点到圆上的点
河北省景县中学2017-2018学年高一下学期4月月考数学试卷(含答案)
2017--2018年度高一数学试卷考试时间：120分钟 满分： 150分第I 卷 （ 选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）1．已知集合{}01234A =，，，，，{}| 3 B x x =≥，则集合)(B C A R ⋂的子集个数为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 82．在ABC ∆中，角，，所对的边分别是，，，若，，，则等于( )A.B.C.D.3．等差数列()()()333log 2,log 3,42,x x log x +的第四项等于（ ）A. 3B. 4C. 3log 18D. 3log 24 4．已知, 向量的夹角为30°, 则以向量为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为( )A. 10B.C. 2D. 22 5．已知向量，.若与平行，则（ ）A.B.C.D.6．设}{n a 是公比为q 的等比数列，，令，若数列}{n b 有连续四项在集合}82,37,19,23,53{--中，则的值为（ ）A.B.C. -2D.7．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2sin sin c ba B C+=，则ABC ∆是（ ） A. 等边三角形 B. 锐角三角形C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形 8．若函数()()()3sin 2cos 2f x x x θθ=+++为奇函数，且在,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，则θ的一个值为（ ） A. 3π-B. 6π-C. 23πD. 56π9．已知x ，y 满足不等式组10,{10, 330,x y x y x y -+≥+-≥--≤则目标函数23z x y =-+的最小值为（ ）A. 7B. 4C.72D. 210．已知3tan24θ=，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2sin cos2sin 4θθπθ+⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A.20 B. 53 C. 103 D. 101011．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3A π=，且2sin 2sin 3b B c C bc a +=+，则ABC ∆的面积的最大值为（ ）A.B. 3C. 33D. 312．设0,0>>b a ，2lg是a 4lg 与b 2lg 的等差中项，则ba 12+的最小值为（ ）A.B.C.D.第II 卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．不等式132+≤x x 的解集为________．14．数列}{n a 的通项公式为122++=n a nn ，则其前项和n S =___________．15．已知向量，若（为实数），则_______.16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若26S =，123n n a S +=+，*n N ∈，则=n S __________．三、解答题（17题10分，18—22每题12分）17．在等差数列{}n a 中，已知公差0d <，110a =，且1a ，222a +，35a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求1220a a a ++⋅⋅⋅+.18．已知ABC 的内角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、，且3tan tan cos cA B a B=+.（1）求角A 的大小；（2）设D 为AC 边上一点，且5BD =，3DC =，7a =，求c . 19．已知x>0,y>0,且082=-+xy y x ,求:(1) xy 的最小值; (2)y x +的最小值.20．已知函数()()312f x x a x b =--+． （1）若22033f ⎛⎫=⎪⎝⎭，且0,0a b >>，求ab 的最大值； （2）当[]0,1x ∈时，()1f x ≤恒成立，且233a b +≥，求21a b z a ++=+的取值范围．21．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足21=a ，221=-+n n S S .（1）求数列}{n a 的通项； （2）令2+=n n S nb ，求数列}{n b 的前项和n T . 22．已知向量23,1,cos ,cos 444x x x m sinn ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎭⎝⎭，记()f x m n =⋅. (1)求()f x 的单调递减区间及最小正周期； (2)将函数()y f x =的图象向右平移23π个单位得到()y g x =的图象，若函数()y g x k =-在70,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个零点，求实数k 的取值范围.参考答案1．D2．D3．A4．C5．D6．B7．C8．D9．D10．A 11．C 【解析】由,22sin 33A bsinB cC bc a π=+=，可得3s i ns i n s i n b B c b c s i n A a A+=+，得222b c a +=+，由余弦定理可得32cos bc A =，解得23c o 3a A ==，所以2232,3b c bc bc bc +=+≥∴≤，从而133sin 2ABC S bc A ∆=≤，故选C. 13．}253253|{-≤+≥x x x 或14．15．16．23351-⋅=-n n S17．（1）11n a n =-；（2）100解析：（1）由题意可得，则210a d =+，3102a d =+，()2213225a a a +=，即()()241150102d d +=+，化简得2340d d --=，解得1d =-或4d =（舍去）. ∴()10111n a n n =--=-. （2）由（1）得11n a n =-时，由110n a n =-≥，得111n ≤≤，由110n a n =-<，得11n >， ∴1220a a a ++⋅⋅⋅+()1211a a a =++⋅⋅⋅+()1220a a -+⋅⋅⋅+20112S S =-+()120202a a +=-()1111121002a a ++=.∴1220100a a a ++⋅⋅⋅+=. 18．(1)3A π=(2)c=5（1）在ABC 3tan tan c A B =+3sin sin sin cos cos C A BA B=+sin cos sin cos cos cos A B B A A B +=1cos A =则：tan 3A =3A π=（2）由5BD =，3DC =，7a =，可得：1cos BDC 2∠=-， ∴∠2BDC 3π=，又3A π=，∴△BDC 为等边三角形，∴c=519．(1) 64 ,(2) x+y 的最小值为18.试题解析：(1)由2x+8y-xy=0,因为x>0,y>0,,所以xy≥64,当且仅当x=16,y=4时,等号成立,所以xy 的最小值为64 . (2)由2x+8y-xy=0,则x+y=(28y x + )(x+y)=10+28x y y x +28*x y y x=18, 当且仅当x=12,y=6时,等号成立,所以x+y 的最小值为18. 20．（1）()max 16ab =；（2）7,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 试题解析：（1）∵()()32f x a x b a =-+-，22033f ⎛⎫=⎪⎝⎭， ∴42033a b +-=，即8a b +=，∴2a b ab +≥，4ab ≥16ab ≤， ∵0a >，0b >，当且仅当4a b ==时等号成立，即()max 16ab =． （2）∵当[]0,1x ∈时，()1f x ≤恒成立，且233a b +≥，∴()()01{11f f ≤≤，且233a b +≥，即1{23 233b a b a a b -≤+≤+≥，满足此不等式组的点(),a b 构成图中的阴影部分，由图可得，经过两点(),a b 与()1,1--的直线的斜率的取值范围是2,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴21111a b b z a a +++==+++的取值范围是7,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦．21．（1）；（2）.（1）∵……①，∴……②， ②-①得，∵，∴，∴，∴时，，，即时，，∴数列是为首项，为公比的等比数列，∴.（2），则，∴……③，∴……④，④-③得.22．（1）单调递减区间是284,433k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,4π；（2）30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 试题解析：（1）()2311113sin cos cos cos sin 4442222262x x x x x f x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭ 由13222262k x k πππππ+≤+≤+，得1422323k x k ππππ+≤≤+，284433k x k ππππ+≤≤+ 所以()f x 的单调递减区间是284,4,Z 33k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦最小正周期为T=4π. （2）)23,21[。
天一大联考2017-2018学年高一年级期末考试(安徽版)数学(解析版)
天一大联考2017—2018学年高一年级期末考试(安徽版)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：将角度制转化为弧度制即可.详解：由角度制与弧度制的转化公式可知：.本题选择B选项.点睛：本题主要考查角度值转化为弧度制的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 下列选项中,与向量垂直的单位向量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意逐一考查所给的选项即可.详解：逐一考查所给的选项：，选项A错误；，选项B错误；，选项C错误；，且，选项D正确；本题选择D选项.点睛：本题主要考查向量垂直的充分必要条件，单位向量的概念及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有（）①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人；③西部地区学生小刘被选中的概率为；④中部地区学生小张被选中的概率为A. ①④B. ①③C. ②④D. ②③【答案】B【解析】分析：由题意逐一考查所给的说法是否正确即可.详解：逐一考查所给的说法：①由分层抽样的概念可知，取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人，题中的说法正确；②新生的人数较多，不适合用简单随机抽样的方法抽取人数，题中的说法错误；③西部地区学生小刘被选中的概率为，题中的说法正确；④中部地区学生小张被选中的概率为，题中的说法错误；综上可得，正确的说法是①③.本题选择B选项.点睛：本题主要考查分层抽样的概念，简单随机抽样的特征，古典概型概率公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 将小王6次数学考试成绩制成茎叶图如图所示,则这些数据的中位数是（）A. 81B. 83C. 无中位数D. 84.5【答案】D【解析】分析：由题意结合茎叶图首先写出所有数据，然后求解中位数即可.详解：由茎叶图可知，小王6次数学考试的成绩为：，则这些数据的中位数是.本题选择D选项.5. 一个盒子中装有红、黄、蓝三种颜色的球各5个,从中任取3个球.事件甲：3个球都不是红球；事件乙：3个球不都是红球；事件丙：3个球都是红球；事件丁：3个球中至少有1个红球，则下列选项中两个事件互斥而不对立的是（）A. 甲和乙B. 甲和丙C. 乙和丙D. 乙和丁【答案】B【解析】分析：由题意逐一考查事件之间的关系即可.详解：由题意逐一考查所给的两个事件之间的关系：A.甲和乙既不互斥也不对立；B.甲和丙互斥而不对立；C.乙和丙互斥且对立；D.乙和丁既不互斥也不对立；本题选择B选项.点睛：“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.6. 已知在边长为2的正方形内，有一月牙形图形，向正方形内随机地投射100个点，恰好有15个点落在了月牙形图形内，则该月牙形图形的面积大约是（）A. 3.4B. 0.3C. 0.6D. 0.15【答案】C【解析】分析：由题意结合蒙特卡洛模拟的方法整理计算即可求得最终结果.详解：设该月牙形图形的面积大约是，由题意结合蒙特卡洛模拟方法可知：，解得：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查几何概型的应用，古典概型的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7. 若锐角满足，则（）A. B. C. D. 3【答案】A【解析】分析：由题意结合三角函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由同角三角函数基本关系可知：结合题意可得：.本题选择A选项.点睛：本题主要考查切化弦的方法，二倍角公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8. 已知满足 (其中是常数)，则的形状一定是（）A. 正三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形【答案】C【解析】分析：由题意结合向量的运算法则和平面几何的结论确定△ABC的形状即可.详解：如图所示，在边(或取延长线)上取点，使得，在边(或取延长线)上取点，使得，由题意结合平面向量的运算法则可知：，，而，据此可得：，从而：，结合平面几何知识可知：，而，故.即△ABC为等腰三角形.本题选择C选项.点睛：用平面向量解决平面几何问题时，有两种方法：基向量法和坐标系法，利用基向量的时候需要针对具体的题目选择合适的基向量，建立平面直角坐标系时一般利用已知的垂直关系，或使较多的点落在坐标轴上，这样便于迅速解题．9. 如图所示的程序框图，若输入的的值为，则输出（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意结合流程图分类讨论输出的值即可.详解：结合流程图分类讨论：若，则，输出值，若，则，输出值，即输出值为：.本题选择D选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．10. 函数在区间上的所有零点之和等于（）A. -2B. 0C. 3D. 2【答案】C【解析】分析：首先确定函数的零点，然后求解零点之和即可.详解：函数的零点满足：，解得：，取可得函数在区间上的零点为：，则所有零点之和为.本题选择C选项.点睛：本题主要考查三角函数的性质，函数零点的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11. 设非零向量夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意首先利用平面向量数量积的运算法则进行化简，然后结合一次函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：不等式等价于：，即，①其中，，将其代入①式整理可得：，由于是非零向量，故：恒成立，将其看作关于的一次不等式恒成立的问题，由于，故：，解得：；且：，解得：；综上可得，实数的取值范围为.本题选择A选项.点睛：本题主要考查平面向量数量积的运算法则，恒成立问题的处理，函数思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.A. B. C. D. 1【答案】A【解析】分析：由题意结合切化弦公式和两角和差正余弦公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：.点睛：本题主要考查两角和差正余弦公式，二倍角公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分13. 从这十个自然数中任选一个数，该数为质数的概率为__________．【答案】0.4【解析】分析：由题意结合古典概型计算公式整理计算即可求得最终结果.详解：由质数的定义可知：这十个自然数中的质数有：等4个数，结合古典概型计算公式可知该数为质数的概率为.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.14. 数据，，…，的平均数是3，方差是1，则数据，，…，的平均数和方差之和是__________．【答案】3【解析】分析：由题意结合平均数、方差的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合平均数和方差的性质可知：数据，，…，的平均数为：，方差为：，则平均数和方差之和是.点睛：本题主要考查均值的性质、方差的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15. 下图是出租汽车计价器的程序框图，其中表示乘车里程(单位：)，表示应支付的出租汽车费用(单位：元).有下列表述：①在里程不超过的情况下，出租车费为8元；②若乘车，需支付出租车费20元；③乘车的出租车费为④乘车与出租车费的关系如图所示：则正确表述的序号是__________．【答案】①②【解析】分析：结合流程图逐一考查所给的说法是否正确即可.详解：逐一考查所给的说法：①在里程不超过的情况下，，则，即出租车费为8元，该说法正确；②由流程图可知，超出的部分的计费方式为向上取整后每公里元，若乘车，，需支付出租车费为：元，该说法正确.当乘车里程为和时，出租车车费均为元，据此可知说法③④错误.综上可得，正确表述的序号是①②.点睛：本题主要考查流程图知识的应用，生活实际问题解决方案的选择等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16. 如图为函数的部分图象，对于任意的，，若，都有，则等于__________．【答案】【解析】分析：由题意结合三角函数的性质和函数图象的对称性整理计算即可求得最终结果.详解：由三角函数的最大值可知，不妨设，则，由三角函数的性质可知：，则：，则，结合，故.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知向量，.(1)若实数满足，求的值；(2)若，求实数的值.【答案】（1）2；（2）【解析】分析：(1)由题意得，据此求解关于m,n的方程组有所以.(2)由题意可得，，结合向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程可知.详解：(1)由题意得所以解得所以.(2)，，·因为，所以解得.点睛：本题主要考查平面向量的坐标运算，向量平行的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18. 某企业根据供销合同生产某种型号零件10万件，规定：零件长度(单位：毫米)在区间内，则为一等品；若长度在或内，则为二等品；否则为不合格产品.现从生产出的零件中随机抽取100件作样本，其长度数据的频率分布直方图如图所示.(1)试估计该样本的平均数；(2)根据合同，企业生产的每件一等品可获利10元，每件二等品可获利8元，每件不合格产品亏损6元，若用样本估计总体，试估算该企业生产这批零件所获得的利润.【答案】（1）100.68；（2）68万元【解析】分析：(1)由频率分布直方图结合平均数计算公式可估计该样本的平均数为100.68.(2)由题意知，一等品的频率为0.38，二等品的频率为0.48，不合格产品的频率为0.14.据此可估计该企业生产这批零件所获得的利润为万元.详解：(1)由频率分布直方图可得各组的频率分别为0.02，0.18，0.38，0.30，0.10，0.02.平均数估计值是.(2)由题意知，一等品的频率为0.38，二等品的频率为0.48，不合格产品的频率为0.14.用样本估计总体，一等品约有3.8万件，二等品约有4.8万件，不合格产品约有1.4万件.故该企业生产这批零件预计可获利润万元.点睛：频率分布直方图问题需要注意：在频率分布直方图中，小矩形的高表示，而不是频率；利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.19. 某中学每周定期举办一次数学沙龙，前5周每周参加沙龙的人数如下表：参加人数(1)假设与线性相关，求关于的回归直线方程；（2）根据(1)中的方程预测第8周参加数学沙龙的人数.附：对于线性相关的一组数据，其回归方程为.其中，.【答案】（1）；（2）33【解析】分析：(1)由题意结合回归方程计算公式可得，，则线性回归方程为.(2)利用(1)中求得的回归方程结合回归方程的预测作用可得第8周参加数学沙龙的人数预计为33人.详解：(1)，，所以关于的回归直线方程是.(2)当时，由回归方程可得，即第8周参加数学沙龙的人数预计为33人.点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．20. 函数的最小正周期为，点为其图象上一个最高点.（1）求的解析式；（2）将函数图象上所有点都向左平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的值域【答案】（1）；（2）【解析】分析：(1)由最小正周期公式可得.由最大值可知，结合三角函数的性质可得，则.(2)由题意得，结合三角函数的性质可知函数在区间上的值域为.详解：(1)因为最小正周期为，得，.点为其图象上一个最高点，得，，又因为，所以.所以.(2)由题意得，当时，.因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，，，所以在区间上的值域为.点睛：本题主要考查三角函数解析式的求解，函数的平移变换，三角函数值域的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21. 甲乙两人玩卡片游戏：他们手里都拿着分别标有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片，各自从自己的卡片中随机抽出1张，规定两人谁抽出的卡片上的数字大，谁就获胜，数字相同则为平局.(1)求甲获胜的概率.(2)现已知他们都抽出了标有数字6的卡片，为了分出胜负，他们决定从手里剩下的卡片中再各自随机抽出1张，若他们这次抽出的卡片上数字之和为偶数，则甲获胜，否则乙获胜.请问：这个规则公平吗，为什么？【答案】（1）；（2）见解析【解析】分析：(1)由题意列出所有可能的事件，结合古典概型计算公式可知甲获胜的概率为. (2)由古典概型计算公式可知甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为，则这个规则不公平.详解：(1)两人各自从自己的卡片中随机抽出一张，所有可能的结果为：，，，共36种，其中事件“甲获胜”包含的结果为：，有15种.所以甲获胜的概率为.(2)两人各自从于里剩下的卡片中随机抽出一张，所有可能的结果为：，共25种.其中卡片上的数字之和为偶数的结果为：，共13种.根据规则，甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为，所以这个规则不公平.点睛：本题主要考查古典概型计算公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22. 如图所示，扇形中，，，矩形内接于扇形.点为的中点，设，矩形的面积为.（1）若，求；（2）求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】分析：(1)设与，分别交于，两点，由几何关系可得，.由矩形面积公式可得，结合三角函数的性质可知时，.(2)结合(1)中矩形的面积表达式可知当时，取得最大值.详解：(1)如图所示，设与，分别交于，两点，由已知得，.，，所以.故，所以，当时，.(2)因为，所以，当且仅当，即时，取得最大值.点睛：本题主要考查三角函数的应用，三角函数的性质，利用三角函数求最值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。
南昌2017-2018学年度高一下学期调研测试数学试卷及答案
— 高一调研考试(数学) 第1页(共4页) —2017-2018学年度第二学期高一调研测试数 学注意事项：1．本试卷分选择题、填空题、解答题三部分.2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置. 3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．数列11111,2,3,4 (248)16的通项公式可以是 A.12n n + B.12n n + C.122n n + D.122n n +2．已知a b >，则下列关系正确的是A.11a b <B.22a b > 33a b > D.3311a b< 3．某班统计一次数学测验的平均分与方差，计算完毕以后才发现有位同学的卷子还未登分，只好重算一次．已知原平均分和原方差分别为x 、2s ，新平均分和新方差分别为1x 、21s ，若此同学的得分恰好为x ，则A. x =1x ,2s 21s =B. x =1x ,2s <21sC. x 1x =,2s >21sD. x 1x <,2s 21s =4．若实数x 为2与8的等比中项，则x =A.16B.4C.4-D.4±5．某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓 球运动员6人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽 取一个容量为n 的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样 法，则都不用剔除个体；当抽取样本的容量为1n +时，若采 用系统抽样法，则需要剔除一个个体，则样本容量n =A. 6B. 7C. 12D. 186．执行如图的程序框图. 若输入3A =, 则输出i 的值为A.3B.4C.5D.67．在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边长分别为,,a b c ，若2,3,3a b B π===，则cos A =6 3 C.6± D.3± 8． 已知实数0,0x y >>，32x xy +=，则2x y +的最小值为A.12B.14C.16D.18— 高一调研考试(数学) 第2页(共4页) —oxy P 2第12题图9．已知2a <，则不等式223210x ax a a -++-<的解集是A. (1,21)a a -+B.(21,1)a a +-C.(1,21)a a +-D.(21,1)a a -+ 10．“勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理”，三国时期吴国 的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出 了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的 直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为4的大正方形，若直 角三角形中较小的锐角0=15α，现在向该大正方形区域内随机地投 掷一枚飞镖，飞镖落在图中区域1或区域2内的概率是A.12 B.58 C. 34 D.7811．已知在ABC ∆中， tan 3,3,19A AB BC =-==，则BC 边上的中线AD 的长为5 7 C.7 D. 7212．“贪吃蛇”的游戏中，设定贪吃蛇从原点出发，沿着如图所示的逆时针方向螺旋式前进，不停的吞食沿途的每一个格点（不包括原点）．已知贪吃蛇的初始长为0，并且每吞食一个格点，长度就增 加1个单位，如它头部到达点2(2,2)P ，其长度增 加到12，若当它头部到达点9(9,9)P 时，则它的长 度增加到A.186B.306C.360D.720二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分．13．甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，它们的 环数方差分别为22=2.1=2.6ss 甲乙，，则射击稳定程度较高的是 __________（填甲或乙）．14．执行如右图的程序框图，若输入的2x =，则输出 的y =__________．15．求和：1092891032323232+⨯+⨯++⨯+=__________．16．如图，已知,,A B C 三点均在一个半径为R 的圆上，如图，B 在A 的正东方向，距离A 处202C 在A 的东偏北α角处， 同时C 也在B 的东偏北β角处(0)2παβ<<<，若sin sin 2cos cos αβαβ=，sin()3cos cos βααβ-=， 则此圆的半径R =________公里.— 高一调研考试(数学) 第3页(共4页) —三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分) 单调递增的等差数列{}n a 满足11a =，且123,1,2+3a a a +成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .18．(本小题满分12分) 已知不等式2(1)0x a x a -++<的解集为M ． （Ⅰ）若2M ∈，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当M 为空集时，求不等式12x a<-的解集．19．(本小题满分12分) 2018年3月19日，世界上最后一头雄性北方白犀牛“苏丹”在肯尼亚去世，从此北方白犀牛种群仅剩2头雌性，北方白犀牛种群正式进入灭绝倒计时。
陕西省西安市长安区第一中学2017-2018学年高一(实验班)下学期期中考试数学试题(解析版)
长安一中2017-2018学年度第二学期期中考试高一年级数学（实验）试题一、选择题(5×14＝70分)1.已知全集为R，集合，则中整数的个数是（）A. 0B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】由题意可知：，，∴∴中整数为故选：C点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos2＝，则△ABC是( )A. 直角三角形B. 等腰三角形或直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】A【解析】∵cos2=，2cos2﹣1=cosA，∴cosA=，∴△ABC是直角三角形．故选：A．3.正数a、b、c、d满足a＋d＝b＋c，|a－d|<|b－c|，则( )A. ad＝bcB. ad<bcC. ad>bcD. ad与bc的大小关系不定【解析】因为a，b，c，d均为正数，又由a+d=b+c得a2+2ad+d2=b2+2bc+c2所以（a2+d2）﹣（b2+c2）=2bc﹣2ad．①又因为|a﹣d|＜|b﹣c可得a2﹣2ad+d2＜b2﹣2bc+c2，②将①代入②得2bc﹣2ad＜﹣2bc+2ad，即4bc＜4ad，所以ad＞bc故选：C．4.在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝4∶3∶2，则cos A的值是 ( )A. －B.C. －D.【答案】A【解析】∵sin A：sin B：sin C=4：3：2，∴由正弦定理可得a：b：c=4：3：2，∴可设三边长分别为a=4k，b=3k，c=2k，k＞0，∴利用余弦定理可得：cosA===﹣．故选：A．5.已知数列{a n}的首项为1，并且对任意n∈N+都有a n＞0．设其前n项和为S n，若以（a n，S n）（n∈N+）为坐标的点在曲线y＝x（x＋1）上运动，则数列{a n}的通项公式为（）A. a n＝n2＋1B. a n＝n2C. a n＝n＋1D. a n＝n【答案】D【解析】试题分析：由题意得，所以时，综上考点：求数列通项公式6.已知，，则的最小值是（）A. B. C. D.【解析】试题分析：由可知，，当且仅当，即时等号成立，又，当且仅当，即，，所以时等号成立．考点：均值定理7.等比数列的各项均为正数，且，则A. 12B. 10C. 8D.【答案】B【解析】根据等比数列的性质，由知，，++…+，故选B.8.观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有________个小正方形，第n个图中有________个小正方形( )A. 28，B. 14，C. 28，D. 12，【答案】A【解析】试题分析：观察所给图形的小正方形，可得,即，，……，，这个式子相加得到，，解得，验证成立，当时，，故选A.考点：数列9.若关于的不等式，对任意恒成立，则的取值范围是( )A. B. C. D.【解析】设y=x3﹣3x2﹣9x+2，则y′=3x2﹣6x﹣9，令y′=3x2﹣6x﹣9=0，得x1=﹣1，x2=3，∵3∉[﹣2，2]，∴x2=3（舍），列表讨论：∵f（﹣2）=﹣8﹣12+18+2=0，f（﹣1）=﹣1﹣3+9+2=7，f（2）=8﹣12﹣18+2=﹣20，∴y=x3﹣3x2﹣9x+2在x∈[﹣2，2]上的最大值为7，最小值为﹣20，∵关于x的不等式x3﹣3x2﹣9x+2≥m对任意x∈[﹣2，2]恒成立，∴m≤﹣20，故选：B．10.已知目标函数中变量满足条件 ,则( )A. B. 无最小值C. 无最大值D. 无最大值,也无最小值【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出表示的平面区域，画出直线并上下平移，当直线经过点A（1，1）时，最小为3，因为是虚点，所以无最大值，故选C.【方晴】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.11.如果函数f(x)对任意a，b满足f(a＋b)＝f(a)·f(b)，且f(1)＝2，则＋＋＋…＋＝( )A. 4 018B. 1 006C. 2 010D. 2 014【答案】D【解析】∵函数f（x）满足：对任意实数a，b都有f（a+b）=f（a）f（b），且f（1）=2，∴=2+2+…+2=2×1007=2014．故选：D．12.利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变成时，左边增加了（）A. 1项B. 项C. 项D. 项【答案】C当时，不等式左边为，当时，不等式左边为，则增加了项，故选D。
人教版数学高三第一章解三角形单元测试精选(含答案)1
（1）求 BC 边长； （2）求 AB 边上中线 CD 的长.
【来源】北京 101 中学 2018-2019 学年下学期高一年级期中考试数学试卷
【答案】（1） 3 2 ；（2） 13 .
33．ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a 3, cos A 6 , B A ，
【答案】C
3．在 ABC 中，若 a b cb c a 3bc ，则 A （ ）
A． 90
B． 60
C．135
D．150
【来源】2015-2016 学年江西省金溪一中高一下期中数学试卷（带解析)
【答案】B
4．设在 ABC 中,角 A，B,C 所对的边分别为 a，b, c , 若 b cos C c cos B a sin A ,
【答案】C
21．设 ABC 的内角 A, B,C 所对边的长分别为 a, b, c ，若 b c 2a, 3sin A 5sin B ,
则角 C =（ ）
A．
3 3
C．
4
2
B．
3 5
D．
6
【来源】2013 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（安徽卷带解析)
【答案】B
22．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a2 b2 c2 tanB 3ac ，
A．3 6
B．9 6
C．3
D．6
【来源】福建省晋江市季延中学 2017-2018 学年高一下学期期末考试数学试题
【答案】A
2．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且cc−−ba=sinCsi+nAsinB，则 B= (
)
A．π
6
广东省深圳市外国语学校2017-2018学年高一下学期期末数学试题
广东省深圳市外国语学校2017-2018学年高一下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．设,a b 是非零实数，R c ∈，若a b <，则下列不等式成立的是（ ） A ．22a b < B ．11a b > C ．ac bc < D ．a c b c -<- 2．在ABC ∆中，若a =2b =，60A =︒，则B 为（ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°D ．30°或150° 3．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前6项的和6S =（ ） A ．20 B ．21 C ．22 D ．23 4．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 成等比数列，且2c a =，则cos B 等于（ ） A ．14 B ．34 C．3 D．4 5．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，45627a a a =，则313239log log log a a a +++=L （ ）A ．9B ．10C ．11D ．126．若x ，y 满足约束条件032742,x x y x y ，，≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．-2B ．72C ．4D ．5 7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且126a =-，162a =，则n S 取得最小值时n 的值为（ ）A ．13B ．14C ．14或15D ．15 8．若不等式220x ax a -+>对一切实数x ∈R 恒成立，则关于t 的不等式2log (22)0a t t +->的解集为（ ）A ．(3,1)-B．(3,1(1---U C．(11-- D．(,1(1)-∞--++∞U9．已知首项与公比相等的等比数列{}n a 中，满足224m n a a a =（m ，*n N ∈），则21m n+的最小值为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．9210．已知关于x 的方程()2110x a x a b +++++=的两个根分别为,,αβ其中()0,1,α∈()1,β∈+∞，则11b a -+的取值范围是（ ） A ．()2,0- B ．()0,2 C ．()1,0- D ．()0,111．在ABC ∆中，6A π=，ABC ∆的面积为2，则2sin 3sin sin sin 2sin sin B C B C B C +++的最小值为（ ）ABC ．52D ．3212．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，10a <且22n n a a S S =+，对一切正整数n 都成立，记1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则数列1n n T T ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭中的最大值为( ) AB．CD．13．已知a,b,c 分别是ΔABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若b =2√3，三内角A,B,C 成等差数列，则该三角形的外接圆半径等于__________．14．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，若n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，若1021n T =，则n 的值为__________.15．已知[1,1]a ∈-，则不等式2(4)420x a x a +-+->的解是__________． 16．已知ABC ∆中，AB AC ==ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC ∆面积的最大值为__________．17．设函数21()cos cos 2f x x x x =+（1）求()f x 的最小正周期和值域.（2）已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3262A f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，a =3b c +=，求ABC ∆的面积.18．某单位计划建造一间背面靠墙的小屋，其地面面积为12m 2，墙面的高度为3m ，经测算，屋顶的造价为5800元，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，设房屋正面地面长方形的边长为x m ，房屋背面和地面的费用不计. （1）用含x 的表达式表示出房屋的总造价；（2）当x 为多少时，总造价最低？最低造价是多少？19．已知不等式2(1)(2)60a x b x ---+≥的解集为{}31x x -≤≤（1）求,a b 的值.（2）求不等式2(2)40amx bm x -++<的解集 20．若数列{}n a 是递增的等差数列，它的前n 项和为n S ，其中864S =，且125,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .21．在ABC ∆中，已知2AB =，1AC =，且2cos 22sin12B C A ++=． （1）求角A 的大小和BC 边的长； （2）若点P 在ABC ∆内运动（包括边界），且点P 到三边的距离之和为d ，设点P 到,BC CA 的距离分别为,x y ，试用,x y 表示d ，并求d 的取值范围．22．已知数列{}n a 满足12a =，12(1)(*)n n a S n n N +=++∈（1）求证：{}1n a +是等比数列；并写出{}n a 的通项公式（2）求证：对任意()*n n N ∈，有12311111724n a a a a ++++<L。
北京市西城区2017 - 2018学年度第二学期期末考试高一数学试卷
北京市西城区2017 - 2018学年度第二学期期末考试高一数学试卷北京市西城区2017-2018学年度第二学期期末试卷高一数学2018.7 A卷 [立体几何初步与解析几何初步] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1.已知点 M(-1,2)，N(3,0)，则点 M 到点 N 的距离为（）。
A) 2 (B) 4 (C) 5 (D) 2√52.直线 x-y-3=0 的倾斜角为（）。
A) 45 (B) 60 (C) 120 (D) 1353.直线 y=2x-2 与直线 l 关于 y 轴对称，则直线 l 的方程为（）。
A) y=-2x+2 (B) y=-2x-2 (C) y=2x+2 (D) y=1/x-14.已知圆 M: x^2+y^2=1 与圆 N: (x-2)^2+y^2=9，则两圆的位置关系是（）。
A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切5.设m,n 为两条不重合的直线，α,β 为两个不重合的平面，m,n 既不在α 内，也不在β 内。
则下列结论正确的是（）。
A) 若m//α，n//α，则 m//n。
B) 若 m//n，n//α，则m//α。
C) 若 m⊥α，n⊥α，则 m⊥n。
D) 若 m⊥α，m⊥β，则α⊥β。
6.若方程 x^2+y^2-4x+2y+5k=0 表示圆，则实数 k 的取值范围是（）。
A) (-∞,1) (B) (-∞,1] (C) [1,+∞) (D) R7.圆柱的侧面展开图是一个边长为 2 的正方形，那么这个圆柱的体积是（）。
A) π (B) π/2 (C) 2π (D) π/28.方程 x=1-y^2 表示的图形是（）。
A) 两个半圆 (B) 两个圆 (C) 圆 (D) 半圆9.如图，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是梯形，XXX。
若平面 PAD 平面 PBC∥l，则（）。
高一(下学期)期末考试数学试卷
高一（下学期）期末考试数学试卷（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、多选题1．下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）A ．某工厂从老年、中年、青年职工中按2∶5∶3的比例选取职工代表B ．用抽签的方法产生随机数C ．福利彩票用摇奖机摇奖D ．规定凡买到明信片最后四位号码是“6637”的人获三等奖 2．若直线a 平行于平面α，则下列结论正确的是（ ） A ．a 平行于α内的有限条直线 B ．α内有无数条直线与a 平行 C ．直线a 上的点到平面α的距离相等 D ．α内存在无数条直线与a 成90°角3．设a ，b ，l 为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，下列四个命题中错误的是（ ） A ．若//a α，a b ⊥，则b α⊥ B ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥C ．若a α⊂，//a β，b β⊂，//b α，则//αβD ．若αβ⊥，l αβ=，A α∈，AB l ⊥，则AB β⊥4．小王于2017年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2021年底，他没有再购买第二套房子．如图是2018年和2021年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图：根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ） A ．小王一家2021年用于饮食的支出费用跟2018年相同 B ．小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍 C ．小王一家2021年的家庭收人比2018年增加了1倍 D ．小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点F 是棱1BB 的中点，点P 在四边形11BCC B 内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（ ）A ．若P 在线段1BC 上，则三棱锥1P AD F -的体积为定值B ．若P 在线段1BC 上，则DP 与1AD 所成角的取值范围为,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．若//PD 平面1AD F ，则点PD ．若AP PC ⊥，则1A P 与平面11BCC B二、单选题6．已知a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，⋂=c αβ，a α⊂，b β⊂，则“a ，b 相交“是“a ，c 相交”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某校有男生3000人，女生2000人，学校将通过分层随机抽样的方法抽取100人的身高数据，若按男女比例进行分层随机抽样，抽取到的学生平均身高为165cm ，其中被抽取的男生平均身高为172cm ，则被抽取的女生平均身高为（ ） A ．154.5cmB ．158cmC ．160.5cmD ．159cm8．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是（ ） A ．互为余角B ．相等C ．其和为周角D ．互为补角9．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图,估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是（ ）A ．73.3，75，72B ．72，75，73.3C ．75，72，73.3D ．75，73.3，7210．对于数据：2、6、8、3、3、4、6、8，四位同学得出了下列结论：甲：平均数为5；乙：没有众数；丙：中位数是3；丁：第75百分位数是7，正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．为了贯彻落实《中共中央国务院全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校结合自身实际，推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》《烹饪技术》五门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选三门进行学习，学生经考核合格后方能获得该学校荣誉毕业证，则甲､乙两人的选课中仅有一门课程相同的概率为（ ） A ．325B ．15C ．310 D ．3512．已知正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A．2BCD ．1三、填空题13．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 、G 分别为棱11B C 、1CC 、11D C 的中点，P 是底面ABCD 上的一点，若1A P ∥平面GEF ，则下面的4个判断∶点P∶线段1A P ；∶11A P AC ⊥；∶1A P 与1B C 一定异面．其中正确判断的序号为__________．14．甲、乙两同学参加“建党一百周年”知识竞赛，甲、乙获得一等奖的概率分别为14、15，获得二等奖的概率分别为12、35，甲、乙两同学是否获奖相互独立，则甲、乙两人至少有1人获奖的概率为___________.15．数据1x ，2x ，…，8x 平均数为6，标准差为2，则数据126x -，226x -，…，826x -的方差为________. 16．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，并使得平面ABC 垂直于平面ACD ，直线AB 与CD 所成的角为__________.四、解答题17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,AB BC AA AB ⊥=，G 是棱11A C 的中点．(1)证明：1BC AB ⊥；(2)证明：平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为： 甲：0,0,1,2,0,0,3,0,4,0；乙：2,0,2,0,2,0,2,0,2,0． （1）分别求两组数据的众数、中位数；（2）根据两组数据平均数和标准差的计算结果比较两台机床性能．19．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)2030，，[)3040，，，[]8090，，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[)4050，内的人数； （3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.20．某学校招聘在职教师，甲、乙两人同时应聘．应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率依次为113224，，，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为311422，，，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为2132，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为4354，，若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该学校的在职教师．甲、乙两人通过各个环节相互独立． (1)求甲未能参与面试的概率；(2)记乙本次应聘通过的环节数为X ，求(3)P X =的值；(3)记甲、乙两人应聘成功的人数为Y ，求Y 的的分布列和数学期望21．如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面,ABC AB AC =，,M N 分别为,BC AB 的中点，(1)求证：MN //平面P AC (2)求证：平面PBC ⊥平面P AM22．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，其对角线AC 与BD 相交于点O ，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=，13AA =，2AB =.(1)证明：1A O ⊥平面ABCD ； (2)求三棱锥11C A BD -的体积.参考答案：1．BC【分析】由题意，根据简单随机抽样的定义，可得答案.【详解】对于A ，此为分层抽样；对于B ，此为随机数表法；对于C ，此为简单随机抽样；对于D ，此为系统抽样. 故选：BC. 2．BCD【分析】根据直线与平面平行的性质即可判断.【详解】因为直线a 平行于平面α，所以a 与平面α内的直线平行或异面，选项A 错误；选项B ，C ，D 正确.故选：BCD. 3．ACD【分析】选项ACD ，可借助正方体构造反例；选项B ，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥，可证明l m ⊥，l n ⊥，即得证.【详解】A 选项：取11//A C 平面ABCD ，1111AC B D ⊥，但是11B D 不垂直于平面ABCD ，命题A 错误． B 选项：设a αγ⋂=，b βγ=，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥．因为αγ⊥，βγ⊥，所以m α⊥，n β⊥，又l α⊆，l β⊆，所以l m ⊥，l n ⊥，所以l γ⊥．命题B 正确． C 选项：11//A B 平面ABCD ，//CD 平面11ABB A ，但平面ABCD 与平面11ABB A 不平行，命题C 错误． D 选项：平面ABCD ⊥平面11ABB A ，交线为AB ，1B ∈平面11ABB A ，1B C AB ⊥，但1B C 与平面ABCD 不垂直，命题D 错误． 故选：ACD4．BD【分析】由题意，根据扇形统计图的性质，可得答案.【详解】对于A ，小王一家2021年用于饮食的支出比例与跟2018年相同，但是由于2021年比2018年家庭收入多，∶小王一家2021年用于饮食的支出费用比2018年多，故A 错误；对于B ，设2018年收入为a ，∶相同的还款数额在2018年占各项支出的60%，在2021年占各项支出的40%，∶2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用为1.512%0.18a a ⨯=，小王一家2018年用于其他方面的支出费用为0.06a ，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍，故B 正确；对于C ，设2018年收入为a ，则2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，故C 错误； 对于D ，小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同，故D 正确． 故选：BD ． 5．ACD【分析】A. 如图，当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，分析得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN =D. 点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB 1,所以1A P 与平面11BCC B=所以该选项正确. 【详解】A. 如图，因为11//,BC AD AD ⊂平面1,AFD 1BC ⊄平面1,AFD 所以1//BC 平面1,AFD 所以当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，因为11//,BC AD 所以DP 与1AD 所成角就是DP 与1BC 所成的角（锐角或直角），当点P 在1,B C 时，由于∶1BDC 是等边三角形，所以这个角为3π，当1DP BC 时，这个角为2π，由图得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN ,由于//DM AF ,AF ⊂平面1AFD ,DM ⊄平面1AFD ,所以//DM 平面1AFD ，同理可得//MN 平面1AFD ，又,DM MN ⊂平面DMN ,DMMN M =,所以平面//DMN 平面1AFD ，所以//DP 平面1AFD ，MN ==P 选项正确；D.如图，由题得1A P 与平面11BCC B 所成角为11A PB ∠,1112tan A PB PB ∠=,即求1PB 的最小值，因为,PC AP PC AB ⊥⊥,,,AP AB A AP AB ⋂=⊂平面ABP ,所以PC ⊥平面ABP ,所以PC BP ⊥,所以点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB1,所以1A P 与平面11BCC B 所=所以该选项正确.故选：ACD 6．C【分析】根据直线与平面的位置关系进行判断即可.【详解】解：∶若a ，b 相交，a α⊂，b β⊂，则其交点在交线c 上，故a ，c 相交， ∶若a ，c 相交，可能a ，b 为相交直线或异面直线．综上所述：a ，b 相交是a ，c 相交的充分不必要条件． 故选：C ． 7．A【分析】由分层抽样求出100人中的男女生数，再利用平均数公式计算作答. 【详解】根据分层随机抽样原理，被抽取到的男生为60人，女生为40人， 设被抽取到的女生平均身高为cm x ，则6017240165100x⨯+=，解得154.5cm x =，所以被抽取的女生平均身高为154.5cm . 故选：A 8．D【分析】做出图像数形结合即可判断.【详解】如图，A 为二面角--l αβ内任意一点，AB α⊥，AC β⊥，过B 作BD l ⊥于D ， 连接CD ，因为AB α⊥，l α⊂，所以AB l ⊥因为AC β⊥，l β⊂，所以AC l ⊥，且AB AC A ⋂=， 所以l ⊥平面ABCD ，且CD ⊂面ABCD ，所以⊥l CD 则BDC ∠为二面角l αβ--的平面角，90ABD ACD ∠∠︒＝＝，BAC ∠为两条垂线AB 与AC 所成角，所以180A BDC ∠∠︒＋＝， 所以两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角. 故选：D. 9．B【解析】根据频率分布直方图,结合平均数、众数、中位数的求法,即可得解. 【详解】由频率分布直方图可知,平均数为450.00510450.00510550.01510650.02010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯750.03010850.02510950.0051072+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=众数为最高矩形底边的中点,即75中为数为:0.005100.015100.02010100.5x ⨯+⨯+⨯+⨯= 可得0.010x = 所以中为数为0.010701073.30.030+⨯≈ 综上可知,B 为正确选项 故选:B【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,平均数、众数、中位数的计算,属于基础题. 10．B【分析】分别求出平均数，中位数，众数，第75百分位数即可得解. 【详解】解：平均数为2683346858+++++++=，故甲正确；众数为：3，6，8，故乙错误；将这组数据按照从小到大的顺序排列：2,3,3,4,6,6,8,8， 则中位数为4652+=，故丙错误； 875%6⨯=，则第75百分位数为6872+=，故丁正确， 所以正确的个数为2个. 故选：B. 11．C【分析】先分析总的选课情况数，然后再分析甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的情况数，然后两者相除即可求解出对应概率.【详解】甲、乙总的选课方法有：3355C C ⋅种，甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的选法有：5412C C ⋅种，（先选一门相同的课程有15C 种选法，若要保证仅有一门课程相同只需要其中一人从剩余4门课程中选取2门，另一人选取剩余的2门课程即可，故有24C 种选法）所以概率为12543355310C C P C C ==，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析两人的选课仅有1门相同的选法数，可通过先确定相同的选课，然后再分析四门课程中如何做到两人的选课不同，根据古典概型的概率计算方法完成求解. 12．D【详解】试题分析：因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．1//AC 平面BDE ，1AC ∴到平面BDE 的距离等于A 到平面BDE 的距离，由题计算得11111223232E ABD ABD V S CC -=⨯=⨯⨯⨯在BDE 中，BE DE BD ===BD边上的高2==，所以122BDE S =⨯=所以1133A BDE BDE V S h -==⨯，利用等体积法A BDE E ABD V V --=，得: 13⨯=解得: 1h = 考点：利用等体积法求距离 13．∶∶【分析】先证明平面1A BD ∥平面GEF ，可判断P 的轨迹是线段BD ，结合选项和几何性质一一判断即可． 【详解】分别连接11,,BD A B A D ，所以11BD B D ∥，又因为11B D ∥EG ，则BD EG ∥， 同理1A D EF ∥，1,BDA D D EGEF E ==，故平面1A BD ∥平面GEF ，又因为1A P ∥平面GEF ，且P 是底面ABCD 上的一点，所以点P 在BD 上．所以点P 的轨迹是一段长度为BD =，故∶正确；当P 为BD 中点时1A P BD ⊥，线段1A P ，故∶错； 因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1AC ⊥平面1A BD ，又1A P ⊂平面1A BD ， 则11A P AC ⊥，故∶正确；当P 与D 重合时，1A P 与1B C 平行，则∶错． 故答案为：∶∶14．1920【分析】利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，甲不中奖的概率为1111424--=，乙不中奖的概率为1311555--=，因此，甲、乙两人至少有1人获奖的概率为111914520-⨯=.故答案为：1920. 15．16【详解】试题分析：由题意知12868x x x x +++==，(862s x +-=，则12848x x x +++=，24s =，而()()()12826262624886688x x x y -+-++-⨯-⨯===，所以所求方差为()()()2222212812122122124168s x x x s ⎡⎤=-+-++-=⨯=⎣⎦'．故正确答案为16．考点：两组线性数据间的特征数的运算．【方法点晴】此题主要考查两组俱有线性关系的数据的特征数关系，当数据{}12,,,n x x x 与{}12,,,n y y y 中若有i i y ax b =+时，那么它们之间的平均数与方差（标准差）之间的关系是：y x =，222y x s a s =或是y x s as =，掌握此关系会给我们计算带来很大方便． 16．60°【分析】将所求异面直线平移到同一个三角形中，即可求得异面直线所成的角. 【详解】如图，取AC ，BD ，AD 的中点，分别为O ，M ，N ，则11,22ON CD MN AB ∥∥，所以ONM ∠或其补角即为所求的角.因为平面ABC ⊥平面ACD ，BO AC ⊥，平面ABC平面ACD AC =，BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥平面ACD ，又因为OD ⊂平面ACD ，所以BO OD ⊥. 设正方形边长为2，OB OD ==2BD =，则112OM BD ==. 所以=1ON MN OM ==.所以OMN 是等边三角形，60ONM ∠=︒. 所以直线AB 与CD 所成的角为60︒． 故答案为： 60° 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）由线面垂直得到1AA BC ⊥，从而求出BC ⊥平面11ABB A ，得到1BC AB ⊥；（2）根据正方形得到11BA AB ⊥，结合第一问求出的1BC AB ⊥，得到1AB ⊥平面1A BC ，从而证明面面垂直. （1）∶1AA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ， ∶1AA BC ⊥． 又因为1,BC AB AA AB A ⊥=，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，所以BC ⊥平面11ABB A ． ∶1AB ⊂平面11ABB A ， ∶1BC AB ⊥． （2）∶1AA AB =，易知矩形11ABB A 为正方形， ∶11BA AB ⊥．由（1）知1BC AB ⊥，又由于11,,A B BC B A B BC =⊂平面1A BC ，∶1AB ⊥平面1A BC ． 又∶1AB ⊂平面1AB G ， ∶平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．（1）甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1；（2）甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定.【分析】（1）根据众数和中位数的公式直接计算，众数是指数据中出现次数最多的数据，中位数是按从小到大排列，若是奇数个，则正中间的数是中位数，若是偶数个数，则正中间两个数的平均数是中位数；（2）平均数指数据的平均水平，标准差指数据的稳定程度，离散水平.【详解】解：（1）由题知：甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1 （2）甲的平均数等于0012003040110+++++++++=乙的平均数等于2020202020110+++++++++=甲的方差等于2222222222(01)(01)(11)(21)(01)(01)(31)(01)(41)(01)210-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=乙的方差等于2222222222(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)110-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=1 因此，甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定！【点睛】本题考查样本的众数，中位数，标准差，重点考查定义和计算能力，属于基础题型. 19．（1）0.4；（2）20；（3）3:2.【分析】（1）根据频率=组距⨯高，可得分数小于70的概率为：1(0.040.02)10-+⨯；（2）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50)内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，分别求出男生、女生的人数，进而得到答案．【详解】解：（1）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1(0.040.02)100.4-+⨯= 故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4； （2）已知样本中分数小于40的学生有5人， 故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间[40，50)内的频率为：1(0.040.020.020.01)100.050.05-+++⨯-=， 估计总体中分数在区间[40，50)内的人数为4000.0520⨯=人， （3）样本中分数不小于70的频率为：0.6， 由于样本中分数不小于70的男女生人数相等． 故分数不小于70的男生的频率为：0.3， 由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，则男生人数为0.610060⨯=， 即女生的频率为：0.4，则女生人数为0.410040⨯=， 所以总体中男生和女生人数的比例约为：3:2． 20．(1)38；(2)13(3)80P X ==；(3)分布列见解析；期望为712． 【分析】(1)甲未能参与面试，则甲笔试最多通过一个环节，结合已知条件计算即可；(2)分析3X =时，分析乙笔试和面试分别通过的环节即可求解；(3)首先分别求出甲乙应聘的概率，然后利用独立事件的性质求解即可.【详解】(1)设事件A =“甲未能参与面试”，即甲笔试最多通过一个环节， 故1131131133()(1)(1)(1)(1)(1)2(1)(1)2242242248P A =---+⨯--⨯+--⨯=；(2)当3X =时，可知乙笔试通过两个环节且面试通过1个环节，或者乙笔试通过三个环节且面试都未通过， 3113114343(3)[(1)(1)2][(1)(1)]4224225454P X ==-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-+-⨯3114313(1)(1)4225480+⨯⨯⨯--=；(3)甲应聘成功的概率为1113113113215[(1)2(1)]2242242243224P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=， 乙应聘成功的概率为2113113113433[(1)2(1)]224224224548P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=，由题意可知，Y 的取值可能为0，1，2， 5395(0)(1)(1)248192P Y ==--=， 535341(1)(1)(1)24824896P Y ==⨯-+-⨯=535(2)24864P Y ==⨯=， 所以Y 的分布列如下表：所以数学期望7()12E Y =. 21．(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）由题意证得//MN AC ,结合线面平行的判定定理，即可证得//MN 平面PAC ；（2）由PA ⊥平面ABC ，证得PA BC ⊥，再由AB AC =，证得AM BC ⊥，根据线面垂直的判定定理证得BC ⊥平面PAM ，进而得到平面PBC ⊥平面PAM . （1）证明：在ABC 中，因为,M N 分别为,BC AB 中点，可得//MN AC , 又因为MN ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以//MN 平面PAC . （2）证明：因为PA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，可得PA BC ⊥， 又因为AB AC =，且M 为BC 中点，可得AM BC ⊥，又由PA AM A =且,PA AM ⊂平面PAM ，所以BC ⊥平面PAM ， 因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAM . 22．(1)证明见解析 (2)【分析】（1）连接1A B ，1A D ，可证明1AO BD ⊥，再证明1A O OA ⊥，从而可证明结论. （2）由线面垂直的判断定理得AC ⊥平面1A BD ，由11//AC A C 得11A C ⊥平面1A BD ，再由棱锥的体积可得答案. （1）连接11,A D A B ，111,,AD AB A AB A AD A A =∠=∠为公共边，1111,∴≅∴=A AB A AD A D A B ，又O 为BD 的中点，1A O BD ∴⊥，在1A AB 中，由余弦定理可知1A B在1Rt AOB 中1AO =13,A A AO = 满足22211A O AO A A +=1A O OA ∴⊥，又AO BD O ⋂=，1A O ∴⊥平面ABCD .（2）由（1）知1A O ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 1A O AC ∴⊥且1BD AC BD AO O ⊥⋂=，， AC ∴⊥平面1A BD ，且11//AC A C ， 11A C ∴⊥平面1A BD ，1111232C A BD V -=⨯⨯。
2017-2018学年广东省深圳市宝安区高一(下)期末数学试卷
2017-2018学年广东省深圳市宝安区高一（下）期末数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线xtanπ3+y+2=0的倾斜角α等于（）A. π3B. π6C. 2π3D. −π32.如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[22，30）内的概率为（）A. 0.2B. 0.4C. 0.5D. 0.63.两直线3ax-y-2=0和（2a-1）x+5ay-1=0分别过定点A、B，则|AB|等于（）A. √895B. 175C. 135D. 1154.某班级有50名学生，现要利用系统抽样在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为13的学生，则在第八组中抽得号码为（）的学生．A. 36B. 37C. 38D. 395.直线y=ax+b和y=bx+a在同一直角坐标系中的图形可能是（）A. B. C. D.6.端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有5个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽2个，白粽1个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，则三种粽子各取到1个概率是（）A. 12B. 13C. 25D. 3107.已知m，n是互不垂直的异面直线，平面α，β分别经过直线m，n，则下列关系中不可能成立的是（）A. m//βB. α//βC. m⊥βD. α⊥β8.如图是计算应纳税所得额的算法流程框图．x表示某人工资，y是某人应交税款．某人工资为4300元时，请计算此人应交税款为（）A. 100B. 160C. 300D. 3259.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x（万元）8.28.610.011.311.9支出y（万元）6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）A. 11.4万元B. 11.8万元C. 12.0万元D. 12.2万元10.正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与CD所成的角为（）A. π6B. π4C. π3D. π211.从直线x-y+3=0上的点向圆x2+y2-4x-4y+7=0引切线，则切线长的最小值为（）A. 3√22B. √142C. 3√24D. 3√22−112.做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数，然后请他们各自检查一下，所写的两个数与1是否构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，作为主角的你，只需将每个人的结论记录下来就行了．假设有n个人说“能”，而有m个人说“不能”，那么有此可以算得圆周率π的近似值为（）A. 4mm+n B. 4nm+nC. mm+nD. nm+n二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知直线l1：mx+3y=2-m，l2：x+（m+2）y=1若l1∥l2，则实数m=______；若l1⊥l2，则实数m=______．14.直线x+2y=0被圆（x-3）2+（y-1）2=25截得的弦长为等于______．15.已知⊙C的方程为x2-2x+y2=0，直线l：kx-y+x-2k=0与⊙C交于A，B两点，当△ABC的面积最大时，k=______．16.某空间几何体的三视图（单位：cm），如图所示，则此几何体侧视图的面积为______cm2，此几何体的体积为______cm3．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从甲、乙两种麦苗的试验田中各抽取6株麦苗测量麦苗的株高，数据如下：（单位：cm）甲：9，10，11，12，10，20乙：8，14，13，10，12，21．（1）在给出的方框内绘出所抽取的甲、乙两种麦苗株高的茎叶图；（2）分别计算所抽取的甲、乙两种麦苗株高的平均数与方差，并由此判断甲、乙两种麦苗的长势情况．18.如图所示，某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A（1，2），B（4，0），一条河所在的直线方程为l：x+2y-10=0，若在河边l上建一座供水站P，使之到A，B两镇的管道最省，那么供水站P应建在什么地方？19.已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．（1）求实数a，b间满足的等量关系；（2）求线段PQ的最小值．20.在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？21.已知函数f（x）=sin2x+√3sin x cosx．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[-π3，m]上的最大值为32，求m的最小值．22.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点．（1）求证：C1F∥平面ABE；（2）求三棱锥E-ABC的体积．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵直线xtan+y+2=0的斜率为-tan=，由tanα=，且0≤α＜π，得．故选：C．由直线方程求出直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率得答案．本题考查了直线的倾斜角，考查了倾斜角与斜率的关系，是基础题．2.【答案】B【解析】解：由茎叶图10个原始数据，数据落在区间[22，30）内的共有4个，包括2个22，1个27，1个29，则数据落在区间[22，30）内的概率为=0.4．故选：B．由茎叶图10个原始数据数据，数出落在区间[22，30）内的个数，由古典概型的概率公式可得答案．本题考查古典概型及其概率公式，涉及茎叶图的应用，属基础题．3.【答案】C【解析】解：直线3ax-y-2=0经过定点A（0，-2）．（2a-1）x+5ay-1=0，化为：a（2x+5y）-x-1=0，令，解得x=-1，y=，即直线（2a-1）x+5ay-1=0过定点B．则|AB|==．故选：C．直线3ax-y-2=0经过定点A（0，-2）．（2a-1）x+5ay-1=0，化为：a（2x+5y）-x-1=0，令，解得B．利用两点之间的距离公式即可得出．本题考查了直线系的应用、两点之间的距离，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】C【解析】解：某班级有50名学生，现要利用系统抽样在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，则抽样间隔为f==5，∵在第三组中抽得号码为13的学生，∴在第八组中抽得号码为：13+（8-3）×5=38号的学生．故选：C．先求出抽样间隔为f==5，由在第三组中抽得号码为13的学生，能求出在第八组中抽得号码．本题考查第八组抽得学生的号码的求法，考查系统抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5.【答案】D【解析】解：A、对于y=ax+b，当a＞0，图象经过第一、三象限，则b＞0，y=bx+a也要经过第一、三象限，所以A选项错误；B、对于y=ax+b，当a＞0，图象经过第一、三象限，则b＜0，y=bx+a经过第二、四象限，与y轴的交点在x轴上方，所以B选项不正确；C、对于y=ax+b，当a＜0，图象经过第二、四象限，则b＜0，y=bx+a也要经过第二、四象限，所以C选项错误；D、对于y=ax+b，当a＜0，图象经过第二、四象限，若b＞0，则y=bx+a经过第一、三象限，所以D选项正确．故选：D．对于每个选项，先确定一个解析式所对应的图象，根据一次函数图象与系数的关系确定a、b的符号，然后根据此符号看另一个函数图象的位置是否正确．本题考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．6.【答案】C【解析】解：端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有5个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽2个，白粽1个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，基本事件总数n=，三种粽子各取到1个包含的基本事件个数m==4，则三种粽子各取到1个概率是p==．故选：C．基本事件总数n=，三种粽子各取到1个包含的基本事件个数m= =4，由此能求出三种粽子各取到1个概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7.【答案】C【解析】解：若m⊥β，则m垂直于面β内的任意一条直线，则m⊥n，与已知条件矛盾故选：C．结合点线面位置关系的判定定理和性质定理，和必要的空间模型，可得答案本题考察直线、平面的位置关系，要求熟练掌握平行和垂直的判定定理与性质定理，有较好的空间想象力8.【答案】D【解析】解：根据已知的程序语句可得，该程序的功能是利用条件结构计算并输出变量y的值，当x=4300时，y=25+0.1（4300-1300）=325，故选：D．根据已知的程序语句可得，该程序的功能是利用条件结构计算并输出变量y 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.【答案】B【解析】解：由题意可得=（8.2+8.6+10.0+11.3+11.9）=10，=（6.2+7.5+8.0+8.5+9.8）=8，代入回归方程可得=8-0.76×10=0.4，∴回归方程为=0.76x+0.4，把x=15代入方程可得y=0.76×15+0.4=11.8，故选：B．由题意可得和，可得回归方程，把x=15代入方程求得y值即可．本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算，属基础题．10.【答案】B【解析】解：取BD中点O，连结EO、FO，设正四面体的棱长为a，则OF∥CD，OE∥AB，且OF=OE=，∴∠EFO是异面直线EF与CD所成的角，取CD中点G，连结BG、AG，则AG⊥CD，BG⊥CD，∵BG∩AG=G，∴CD⊥平面ABG，∵AB⊂平面ABG，∴CD⊥AB，∴OF⊥OE，∴∠EFO=．∴异面直线EF与CD所成的角为．故选：B．取BD中点O，连结EO、FO，则OF∥CD，OE∥AB，且OF=OE=，从而∠EFO 是异面直线EF与CD所成的角，由此能求出异面直线EF与CD所成的角．本题考查异面直线所成的角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11.【答案】B【解析】解：圆x2+y2-4x-4y+7=0化为（x-2）2+（y-2）2=1，圆心为C（2，2），半径为1，如图，直线x-y+3=0上的点向圆x2+y2-4x-4y+7=0引切线，要使切线长的最小，则直线上的点与圆心的距离最小，由点到直线的距离公式可得，|PC|=．∴切线长的最小值为．故选：B．由题意画出图形，求出圆心到直线x-y+3=0的距离，再由勾股定理求得切线长的最小值．本题考查圆的切线方程，考查了直线与圆位置关系的应用，是基础题．12.【答案】A【解析】解：总人数为m+n，写出的m+n组数可以看作是m+n个点，满足与1不能构成一个锐角三角形是指两个数构成点的坐标在圆x2+y2=1内，则，即．故选：A．把每一个人所写两数作为一个点的坐标，由题意可得与1不能构成一个锐角三角形是指两个数构成点的坐标在圆x2+y2=1内，进一步得到，则答案可求．本题考查几何概型，正确理解题意是关键，是中档题．13.【答案】-3 -32【解析】解：当l1∥l2时m（m+2）-3×1=0，解得m=-3或m=1，当m=1时，两直线重合，故l1∥l2，则实数m=-3，当l1⊥l2，则m+3（2+m）=0，解得m=-，故答案为：．根据直线平行与直线垂直的性质即可求出本题考查直线方程中参数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线平行与直线垂直的性质的合理运用．14.【答案】4√5【解析】解：由圆（x-3）2+（y-1）2=25，得到圆心坐标为（3，1），半径r=5，∴圆心到直线x+2y=0的距离d==，则直线被圆截得的弦长为2=4．故答案为：4由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线x+2y=0的距离d，利用垂径定理及勾股定理即可求出直线被圆截得的弦长．此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理及勾股定理，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦心距，圆的半径及弦长的一半构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．15.【答案】0或6【解析】解：圆的方程化为（x-1）2+y2=1，圆心C（1，0），半径为1，直线方程化为k（x-2）=y-x，过定点（2，2），设∠ACB=θ，则S△ABC=sinθ=sinθ，当θ=90°时，△ABC的面积最大，此时圆心到直线的距离为，d==，解得k=0或k=6，故答案为：0或6当∠ACB=90°时，三角形面积最大．由此求得圆心到直线的距离．再根据点到直线的距离公式列式解得．本题考查了直线与圆相交的性质．属中档题．16.【答案】2√76√7【解析】解：该几何体是以正视图为底面的四棱锥（如图），几何体的侧视图是直角三角形，直角边长为4，，其面积为：由已知中的三视图可知：该几何体是以正视图为底面的四棱锥，其高为h=．S ABCD=此几何体的体积为V==故答案为：由已知中的三视图可知：该几何体是以正视图为底面的四棱锥，计算出几何体的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键．属于中档题．17.【答案】解：（1）由甲、乙两种麦苗的试验田中各抽取6株麦苗测量麦苗的株高数据， 作出所抽取的甲、乙两种麦苗株高的茎叶图如下： 甲 株高 乙 92 1 0 00 0 1 2 8 4 3 2 0 1-----------------（4分）（2）x 甲=16（9+10+10+11+12+20）=12，x 乙=16（8+10+12+13+14+21）=13， S 甲2=16[（9-12）2+（10-12）2+（10-12）2+（11-12）2+（12-12）2+（20-12）2]=413， S 乙2=16[（8-13）2+（10-13）2+（12-13）2+（13-13）2+（14-13）2+（21-13）2]=503． ∵x 甲＜x 乙，S 甲2＜S 乙2，--------------（8分）乙麦苗普遍长得偏高，但是高低差异明显．----------------（10分）【解析】（1）由甲、乙两种麦苗的试验田中各抽取6株麦苗测量麦苗的株高数据，能作出所抽取的甲、乙两种麦苗株高的茎叶图．（2）分别求出所抽取的甲、乙两种麦苗株高的平均数与方差，由此能判断甲、乙两种麦苗的长势情况．本题考查茎叶图的作法，考查平均数、方差的求法，考查茎叶图、平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18.【答案】解：过A 作直线l 的对称点A ′，连A ′B 交l 于P ，∵|AP ′|+|P ′B |=|A ′P ′|+|BP ′|＞|A ′B |，∴P 点即为所求．设A ′（a ，b ），则{a+12+2⋅b+22−10=0b−2a−1⋅(−12)=−1， 即{b =2a a+2b=15，解得a =3，b =6，即A ′（3，6），∴直线A ′B 的方程为y−06−0=x−43−4，即6x +y -24=0，由{x +2y −10=06x+y−24=0，解得x =3811，y =3611，即P （3811，3611），故供水站P 应建在P （3811，3611），才能使管道最省．【解析】根据两点间的距离公式以及点的对称性，建立方程组关系进行求解即可． 本题主要考查直线对称性的应用，以及直线交点坐标的求解，利用数形结合是解决本题的关键，是中档题．19.【答案】解：（1）∵|PQ |=|PA |，∴|PQ |2=|PA |2，又∵|PQ |2=|PO |2-1，∴a 2+b 2-1=（a -2）2+（b -1）2 ，∴整理得实数a ，b 间满足的等量关系为2a +b -3=0，（2）由（1）可知∵|PQ |2=|PO |2-1=a 2+b 2-1且2a +b -3=0，∴|PQ|2=5a 2−12a +8=5(a −65)2+45≥45，∴(|PQ|)min =2√55． 【解析】（1）∵|PQ|=|PA|，∴|PQ|2=|PA|2又∵|PQ|2=|PO|2-1，再用两点间的距离公式，化简即得；（2）用两点间的距离公式变成二次函数求最小值．本题考查了圆的切线方程，属中档题．20.【答案】解：把3只黄色乒乓球标记为A 、B 、C ，3只白色的乒乓球标记为1、2、3．从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC 、AB 1、AB 2、AB 3、AC 1、AC 2、AC 3、A 12、A 13、A 23、BC 1、BC 2、BC 3、B 12、B 13、B 23、C 12、C 13、C 23、123，共20个 （1）事件E ={摸出的3个球为白球}，事件E 包含的基本事件有1个，即摸出123： P （E ）=120=0.05（2）事件F ={摸出的3个球为2个黄球1个白球}，事件F 包含的基本事件有9个， P （F ）=920=0.45（3）事件G ={摸出的3个球为同一颜色}={摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}， P （G ）=220（4）=0.1，假定一天中有100人次摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G 发生有10次，不发生90次．则一天可赚90×1-10×5=40，每月可赚1200元【解析】（1）先列举出所有的事件共有20种结果，摸出的3个球为白球只有一种结果，根据概率公式得到要求的概率，本题应用列举来解，是一个好方法．（2）先列举出所有的事件共有20种结果，摸出的3个球为2个黄球1个白球从前面可以看出共有9种结果种结果，根据概率公式得到要求的概率．（3）先列举出所有的事件共有20种结果，根据摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱，算一下摸出的球是同一色球的概率，估计出结果．本题是一个通过列举来解决的概率问题，是一个实际问题，这种情景生活中经常见到，同学们一定比较感兴趣，从这个题目上体会列举法的优越性和局限性．21.【答案】解：（I）函数f（x）=sin2x+√3sin x cosx=1−cos2x2+√32sin2x=sin（2x-π6）+12，f（x）的最小正周期为T=2π2=π；（Ⅱ）若f（x）在区间[-π3，m]上的最大值为32，可得2x-π6∈[-5π6，2m-π6]，即有2m-π6≥π2，解得m≥π3，则m的最小值为π3．【解析】（I）运用二倍角公式的降幂公式和两角差的正弦公式和周期公式，即可得到所求值；（Ⅱ）求得2x-的范围，结合正弦函数的图象可得2m-≥，即可得到所求最小值．本题考查三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式和三角函数的周期公式、最值，考查运算能力，属于中档题．22.【答案】（1）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则∵F是BC的中点，∴FG∥AC，FG=12AC；∵E是A1C1的中点，∴FG∥EC1，FG=EC1，∴四边形FGEC1为平行四边形，∴C1F∥EG，∵C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，∴C1F∥平面ABE；（2）∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，∴AB=√3，∴V E−ABC=13S△ABC⋅AA1=13×12×√3×1×2=√33．【解析】（1）取AB中点G，连接EG，FG，证明FG∥EC1，推出C1F∥EG，然后利用直线与平面平行的判定定理证明C1F∥平面ABE；（2）说明AB⊥BC，求出AB，然后求解几何体的体积即可．本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．。
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．下列说法中正确的是（）A．共线向量的夹角为0°或180°B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D．零向量没有方向2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin|x| B．y=sin2x C．y=﹣sinx+2 D．y=sinx+13．已知角的终边经过点（4，﹣3），则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣4．函数y=cos（4x﹣π）的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．5．在直角坐标系中，直线3x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C． D．6．函数的单调递减区间（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）7．函数y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=0 C．x=πD．8．下列选项中叙述正确的是（）A．终边不同的角同一三角函数值可以相等B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第一象限是锐角D．第二象限的角比第一象限的角大9．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．向量+++化简后等于（）A．B．C．D．11．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=412．给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．以点（0，2）和（4，0）为端点的线段的中垂线的方程是．14．圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离最小值为．15．已知=， =， =， =， =，则+++﹣= ．16．已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）= ．三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17．已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．18．已知△ABC的三个顶点A（0，4），B（﹣2，6），C（8，2）；（1）求AB边的中线所在直线方程．（2）求AC的中垂线方程．19．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（1，2），求这个圆的方程．20．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递增区间．2017-2018学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．下列说法中正确的是（）A．共线向量的夹角为0°或180°B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D．零向量没有方向【考点】向量的物理背景与概念．【分析】根据共线向量、平行向量、相等向量以及零向量的概念便可判断每个说法的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．共线向量的方向相同或相反；方向相同时，夹角为0°，相反时的夹角为180°，∴该说法正确；B．长度相等，方向相同的向量叫做相等向量，∴该说法错误；C．平行向量也叫共线向量，∴共线向量不是向量所在直线在同一直线上；∴该说法错误；D．零向量的方向任意，并不是没有方向，∴该说法错误．故选：A．2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin|x| B．y=sin2x C．y=﹣sinx+2 D．y=sinx+1【考点】函数奇偶性的判断．【分析】要探讨函数的奇偶性，先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，然后探讨f（﹣x）与f（x）的关系，即可得函数的奇偶性．【解答】解：选项A，定义域为R，sin|﹣x|=sin|x|，故y=sin|x|为偶函数．选项B，定义域为R，sin（﹣2x）=﹣sin2x，故y=sin2x为奇函数．选项C，定义域为R，﹣sin（﹣x）+2=sinx+2，故y=sinx+2为非奇非偶函数偶函数．选项D，定义域为R，sin（﹣x）+1=﹣sinx+1，故y=sinx+1为非奇非偶函数，故选：B．3．已知角的终边经过点（4，﹣3），则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的定义进行求解即可．【解答】解：∵角α的终边经过点P（4，﹣3），∴tanα==，故选：B．4．函数y=cos（4x﹣π）的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据余弦函数的最小正周期的求法，将ω=4代入T=即可得到答案．【解答】解：∵y=cos（4x﹣π），∴最小正周期T==．故选：D．5．在直角坐标系中，直线3x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C． D．【考点】直线的倾斜角．【分析】由已知方程得到直线的斜率，根据斜率对于得到倾斜角．【解答】解：由已知直线的方程得到直线的斜率为﹣，设倾斜角为α，则tanα=﹣，α∈[0，π），所以α=；故选：D．6．函数的单调递减区间（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）【考点】正弦函数的单调性．【分析】利用y=sinx的单调性，求出函数的单调递减区间，进而可求函数的单调递减区间．【解答】解：利用y=sinx的单调递减区间，可得∴∴函数的单调递减区间（k∈Z）故选D．7．函数y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=0 C．x=πD．【考点】正弦函数的图象．【分析】利用正弦函数的图象的对称性，求得y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程．【解答】解：∵对于函数y=3sin（2x+）+2图象，令2x+=kπ+，求得x=+，可得函数图象的一条对称轴方程为x=π，故选：C．8．下列选项中叙述正确的是（）A．终边不同的角同一三角函数值可以相等B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第一象限是锐角D．第二象限的角比第一象限的角大【考点】命题的真假判断与应用．【分析】分别举例说明四个选项的正误得答案．【解答】解：对于A，终边不同的角同一三角函数值可以相等，正确，如；对于B，三角形的内角是第一象限角或第二象限角，错误，如是终边在坐标轴上的角；对于C，第一象限是锐角，错误，如是第一象限角，不是锐角；对于D，第二象限的角比第一象限的角大，错误，如是第二象限角，是第一象限角，但．故选：A．9．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据象限得出sinθ，cosθ的符号，得出θ的象限．【解答】解：∵P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，∴sinθcosθ＜0，cosθ＞0，∴sinθ＜0，∴θ是第四象限角．故选：D．10．向量+++化简后等于（）A．B．C．D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．【解答】解：向量+++=，故选：D．11．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=4【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中﹣求得函数的周期，求得ω，最后根据x=时取最大值，求得φ．【解答】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得A=2，B=2函数的周期为（﹣）×4=π，即π=，ω=2当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+φ=2kπ﹣∵∴φ=故选C．12．给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】任意角的概念．【分析】由任意角的三角函数的定义，三角函数值与象限角的关系，即可得出结论．【解答】解：①由任意角的三角函数的定义知，终边相同的角的三角函数值相等，正确．②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B，故正确；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，正确，④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同或终边关于y轴对称，故不正确．⑤若cosα＜0，则α是第二或第三象限角或α的终边落在x轴的非正半轴上，故不正确．其中正确的个数为3个，故选：C．二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．以点（0，2）和（4，0）为端点的线段的中垂线的方程是2x﹣y﹣3=0 ．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】先求出线段AB的中垂线的斜率，再求出线段AB的中点的坐标，点斜式写出AB的中垂线得方程，并化为一般式．【解答】解：设A（0，2）、B（4，0）．=﹣，所以线段AB的中垂线得斜率k=2，又线段AB的中点为（2，1），直线AB的斜率 kAB所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=2（x﹣2）即2x﹣y﹣3=0，故答案为：2x﹣y﹣3=0．14．圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离最小值为 3 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d==5，圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r，从而可求．【解答】解：∵圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d==5，∴圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r=5﹣2=3故答案为：3．15．已知=， =， =， =， =，则+++﹣= ．【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．【解答】解： +++﹣=+++﹣=﹣=，故答案为：．16．已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）= 1 ．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】观察三个函数中的角，发现=﹣（），故tan（）的值可以用正切的差角公式求值【解答】解：∵=﹣（），∴tan（）===1故答案为1三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17．已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用三角函数的定义可求得sinα与cosα，从而可得2sinα+cosα．【解答】解：由已知r==13a…∴sinα=﹣，cosα=，…∴2sinα+cosα=﹣…18．已知△ABC的三个顶点A（0，4），B（﹣2，6），C（8，2）；（1）求AB边的中线所在直线方程．（2）求AC的中垂线方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（1）利用中点坐标公式、斜截式即可得出．（2）利用斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、斜截式即可得出．【解答】解：（1）∵线段AB的中点为（﹣1，5），∴AB边的中线所在直线方程是=，即x+3y﹣14=0．（2）AC的中点为（4.3）==﹣，∵KAC∴y﹣3=4（x﹣4）即y=4x﹣13，∴AC的中垂线方程为y=4x﹣13．19．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（1，2），求这个圆的方程．【考点】圆的一般方程．【分析】设出圆的一般式方程，把三个点的坐标代入，求解关于D、E、F的方程组得答案．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得．∴圆的方程为：．20．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．【考点】二倍角的正切；两角和与差的余弦函数．【分析】（1）利用已知及同角三角函数基本关系式可求sinα，进而可求tanα，利用二倍角的正切函数公式可求tan2α的值．（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，利用同角三角函数基本关系式可求sin（α﹣β），由β=α﹣（α﹣β）利用两角差的余弦函数公式即可计算求值．【解答】解：（1）∵由cosα=，0＜α＜，得sinα===，∴得tan=∴于是tan2α==﹣．…（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，又∵cos（α﹣β）=，∴sin（α﹣β）==，由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）==．…21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的对称轴方程和对称中心坐标．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得A=2， ==+，∴ω=2．再根据五点法作图可得2•（﹣）+φ=，∴φ=，函数f（x）=2sin（2x+）．（Ⅱ）由2x+=kπ+，求得x=﹣，可得函数的图象的对称轴方程为x=﹣，k∈Z．令2x+=kπ，求得x=﹣，可得函数的图象的对称轴中心为（﹣，0），k∈Z．22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用降幂公式降幂，再由辅助角公式化简，由x的范围求得相位的范围，则函数的取值范围可求；（2）利用复合函数的单调性求得原函数的单调区间．【解答】解：（1）f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1==．∵ω＞0，∴T=，则ω=1．∴函数f（x）=sin（2x﹣）﹣．由0，得，∴，∴．∴f（x）的取值范围[﹣1，]；（2）令，得：，（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）．。