2020年云南省高考数学一模试卷(文科)
第1页，共16页 高考数学一模试卷（文科） 题号一二三总分得分
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合S={0，1，2}，T={0，3}，P=S∩T，则P的真子集共有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
2.已知i为虚数单位，则=（ ）
A. B. C. D. 3.某学校为了了解高一年级、高二年级、高三年级这三个年级的学生对学校有关课外活动内容与时间安排的意见，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ）A. 抽签法B. 随机数法C. 分层抽样法D. 系统抽样法
4.已知点A（-1，1），B（0，2），若向量=（-2，3），则向量=（ ）A. （3，-2）B. （2，-2）C. （-3，-2）D. （-3，2）
5.执行如图所示的程序框图，则输出S的值等于（ ）
A. B. C. D. 6.如图，网格纸上小正方形的边长为1（单位mm），粗实线画出的是某种零件的三视图，则该零件的体积（单位：mm3）为（ ）第2页，共16页
A. 108+24πB. 72+16πC. 96+48πD. 96+24π
7.为得到函数y=2sin（3x-）的图象，只需要将函数y=2sin（3x）的图象（ ）
A. 向左平行移动个单位B. 向右平行移动个单位
C. 向左平行移动个单位D. 向右平行移动个单位
8.已知α，β都为锐角，若tanβ=，cos（α+β）=0，则cos2α的值是（ ）A. B. C. D. 9.已知M是抛物线C：y2=2px上的任意一点，以M为圆心的圆与直线x=-1
相切且经
过点N（1，0），设斜率为1的直线与抛物线C交于P，Q两点，则线段PQ的中点的纵坐标为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8
10.已知函数f（x）=，若f（a）=-3，则f（a-7）=（ ）A. B. C. D. 11.双曲线M的焦点是F1，F2，若双曲线M上存在点P，使△PF1F2是有一个内角为的等腰三角形，则M的离心率是（ ）A. B. C. D.
12.已知e是自然对数的底数，不等于1的两正数x，y满足logxy+logyx=，若logxy＞l，
则xlny的最小值为（ ）A. -1B. C. D. -第3页，共16页
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设向量=（x-1，x），=（1，2），若⊥．则x=______．
14.若x，y满足约束条件，则目标函数z=y-x的最大值等于______．15.已知△ABC中内角A，B，C对的边分别为a，b，c，∠ABC=，BD平分∠ABC交AC于点D，BD=2，则△ABC面积的最小值为______．16.已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB=DC=AD=2，BC=4，PA⊥PD，平面PAD⊥平面ABCD，则球O的表面积为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.数列{an}中，a1=2，（n+1）（an+1-an）=2（an+n+1）．
（1）求a2，a3的值；
（2）已知数列{an}的通项公式是an=n+1，an=n2+1，an=n2+n中的一个，设数列{}
的前n项和为Sn，{an+1-an}的前n项和为Tn，若＞360，求n的取值范围．
18.为降低汽车尾气排放量，某工厂设计制造了A、B两种不同型号的节排器，规定性能质量评分在[80，100]的为优质品．现从该厂生产的A、B两种型号的节排器中，分别随机抽取500件产品进行性能质量评分，并将评分分别分成以下六个组；[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，绘制成如图所
示的频率分布直方图：
（1）设500件A型产品性能质量评分的中位数为M，直接写出M所在的分组区间；（2）请完成下面的列联表（单位：件）（把有关结果直接填入下面的表格中）；A型节排器B型节排器总计
优质品非优质品总计5005001000第4页，共16页
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为A、B两种不同型号的节排器性能质量有差异？
附：K2=．其中n=a+b+c+d
．
P（K2≥k0）0.100.0100.001
k02.7066.63510.828
19.在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，且∠ABC=，M，N分别为棱AP，CD的中点．（1）求证：MN∥平面PBC；（2）若PD⊥平面ABCD，PB=2AB=2，求点M到平面PBC的距离．
20.已知椭圆E的中心在原点，左焦点F1、右焦点F2都在x轴上，点M是椭圆E上的动点，△F1MF2的面积的最大值为，在x轴上方使=2成立的点M只有一个．（1）求椭圆E的方程；（2）过点（-1，0）的两直线l1，l2分别与椭圆E交于点A，B和点C，D，且l1⊥l2
，求证：12（|AB|+|CD|）=7|AB||CD|．第5页，共16页
21.已知e是自然对数的底数，函数f（x）=与F（x）=f（x）-x+的定义域都是（0，+∞）．
（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求证：函数F（x）只有一个零点x0，且x0∈（1，2）．
22.已知常数a是实数，曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cosθ=asinθ．（1）写出C1的普通方程与C2的直角坐标方程；（2）设曲线C1与C2相交于A，B两点，求|AB|的最小值．
23.已知函数f（x）=|2x-a|+|x-2a+3|．（1）当a=2时，解关于x的不等式f（x）≤9；（2）当a≠2时，若对任意实数x，f（x）≥4都成立，求实数a的取值范围．第6页，共16页
答案和解析1.【答案】B
【解析】解：∵S={0，1，2}，T={0，3}；∴P=S∩T={0}；
∴P的真子集为：∅，共1个．
故选：B．根据集合S，T，即可求出P={0}，从而得出集合P的真子集为∅，共1个．考查列举法的定义，以及交集的运算，真子集的定义．2.【答案】C
【解析】解：====故选：C．分子分母同乘以分母的共轭复数1-i，化简即可．本题考查复数的代数形式的乘除运算，属基础题．3.【答案】C
【解析】解：某学校为了了解高一年级、高二年级、高三年级这三个年级的学生对学校有关课外活动内容与时间安排的意见，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是分层抽样．故选：C．利用抽签法、随机数法、分层抽样、系统抽样的性质直接求解．本题考查抽样方法的判断，考查抽签法、随机数法、分层抽样、系统抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】D
【解析】解：；∴．
故选：D．根据A，B点的坐标即可求出，又知，根据即可求
出向量的坐标．考查根据点的坐标求向量坐标的方法，向量减法几何意义，以及向量坐标的减法运算．5.【答案】C第7页，共16页
【解析】解：模拟执行程序框图，可得第1次运行，S=，a=2
第2次运行，S=，a=3第3次运行，S=，a=4…第2019次运行，S=，a=2020
刚好满足条件a＞2019，则退出循环，输出S的值为．故选：C．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，a的值，当a=2020时，刚好满足条件
a＞2019，则退出循环，输出S的值为．
本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，a的值是解题的关键，属于基础题．6.【答案】A
【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，左右两边均为圆柱，上部圆柱的底面半径为2，母线长为6，下部是底面边长为6，高为3的长方体．∴该零件的体积
V=π×2
2×6+6×6×3=108+24π
．
故选：A．由三视图还原原几何体，可知该几何体为组合体，上部是圆柱，下部是长方体，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．7.【答案】D
【解析】解：将函数y=2sin（3x）的图象向右平移个单位，得到：y=2sin[3（x-）+]=2sin（3x-）的图象．故选：D．直接利用三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．8.【答案】B
【解析】解：由β为锐角，且tanβ=，联立，可得sinβ=，cos．
【精准解析】云南省昆明市2020届高三“三诊一模”教学质量检测数学(文)试题+Word版含解析
故选：A. 【点睛】本题考查了复数的运算，熟练掌握运算性质是解题的关键，本题是一道基础题.
3.在正项等比数列an 中，若 a1 1 ， a3 2a2 3 ，则其前 3 项的和 S3 （ ）
-1-
A. 3
B. 6
【答案】C
【解析】
C. 13
【分析】
由等比数列通项公式求出公比 q，再利用公式求出前 3 项的和 S3 .
昆明市 2020 届“三诊一模”高三复习教学质量检测
文科数学
一､选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A x | x 1或 x 2 ， B 3, 2, 1, 0,1, 2,3，则 A B （ ）
A. 3, 2
的准线上，可求出点 P（−1，4），从而得到直线 PF 的斜率为−2，又 PF AB ，所以直线 AB 的斜率为 1 ，再利用点斜式即可求出直线 AB 的方程.
2 【详解】解：由题意可知，抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的坐标为（1，0），准线方程为：x＝﹣1， 由△PAB 为“阿基米德三角形”，且线段 AB 经过抛物线 y2＝4x 焦点，可得：P 点必在抛物线
S 6 ，输出 T 4 . 3
故选：C
【点睛】本题主要考查了程序框图的计算，属于基础题.
7.已知 f x 是定义在 R 上的减函数，则关于 x 的不等式 f x2 x f x 0 的解集为
（）
A. ,0 2,
B. 0, 2
C. , 2
D. 2,
【答案】B 【解析】 【分析】
由函数的单调性可得 x2 x x ，求解即得 0 x 2 .
A. -14
B. -4
【精准解析】2020年高考新课标(全国卷1)数学(文科)模拟试题(一)+Word版含答案byde
23、(选修 4-5 不等式选讲) 已知函数 f x 2x 1 mx 2(m R) 。（1）若 m 1，解 不等式 f x 6 ；（2）若 f x 有最小值，且关于 x 的方程 f x x2 x 1 有两个不等实
只要坚持 梦想终会实现
-7-
高中学习讲义
这个数能被 3 整除的概率为 P
．故选：C．
12 解 析： f ' x 1 ax a 1 (ax 1)(1 x) ， x 1 时， f ' x 0 ； 0 x 1 时，
x
x
f 'x 0，
∴ f x 在 0,1 上递增，在 1, 上递减，
高中学习讲义
2020 年高考新课标（全国卷 1）数学（文科）模拟试题（一）
ห้องสมุดไป่ตู้
考试时间：120 分钟 满分 150 分
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
1、已知集合
A
x |
x
1
2 ，
B
x
| log 1
x
1
，则
A
B
2
A．x | 0 x 4
质量与尺寸的比在区间
e 9
,
e 7
内时为优等品．现随机抽取
6
件合格产品，测得数据如下：
尺寸 x（mm）
38
48
58
68
质量 y (g)
16.8 18.8 20.7 22.4
2020年高考全国1卷数学(文科)模拟试卷(含答案)
2020年高考全国1卷数学（文科）模拟试卷考试时间：120分钟 满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣= A ．12B 2C 2D ．22、已知集合{}|12A x x =-<，12|log 1B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，则AB =A ．{}|04x x <<B ．{}|22x x -<<C ．{}|02x x <<D ．{}|13x x << 3、以下判断正确的个数是（ ）①相关系数r r ,值越小，变量之间的相关性越强；②命题“存在01,2<-+∈x x R x ”的否定是“不存在01,2≥-+∈x x R x ”； ③“q p ∨”为真是“p ”为假的必要不充分条件；④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程是08.023.1ˆ+=x y. A ．4 B ．2 C.3 D ．14、设,a b 是非零向量，则“存在实数λ，使得=λa b ”是“||||||+=+a b a b ”的A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5、 已知正三角形ABC 的顶点()()3,1,1,1B A ，顶点C 在第一象限，若点()y x ,在ABC ∆的内部，则y x z +-=的取值范围是 A.()2,31- B.()2,0 C.()2,13- D.()31,0+6、使函数)2cos()2sin(3)(θθ+++=x x x f 是偶函数，且在]4,0[π上是减函数的θ的一个值是 A ．6π B ．3π C ．34π D ．67π7、在如图的程序框图中，()i f x '为()i f x 的导函数，若0()sin f x x =，则输出的结果是8、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足121a a ==，21n n S a +=-，则下列命题错误的是( ) A.21n n n a a a ++=+B.13599100a a a a a ++++=…C.2469899a a a a a ++++=…D.12398100100S S S S S ++++=-…9、某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：① 三棱锥的体积为16② 三棱锥的四个面全是直角三角形,③ 三棱锥四个面的面积中最大的值是32所有正确的说法 A 、①B 、①②C 、②③D 、①③10、已知双曲线)0,(12222＞b a by a x =-的左、右顶点分别为B A ,,右焦点为F ,过点F 且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于N M ,两点,P 为直线l 上的一点，当APB ∆的外接圆面积达到最小值时,点P 恰好在M (或N )处,则双曲线的离心率为 A.2 B.3 C.2 D.511、珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的《数术记遗》•2013年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产．如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”．未记数（或表示零）时，每档的各珠位置均与图中最左档一样；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”，例如：当千位档一个上珠、百位档一个上珠、十位档一个下珠、个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是5515．现选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，若规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，这个数能被3整除的概率为（ ） A ．12B ．25C ．38D ．1312、已知函数()21ln (1)(0)2x ax a f a x x a =-+-+>的值域与函数()()f f x 的值域相同，则a 的取值范围为（ ） A. (]0,1B. ()1,+∞C. 40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)样卷(一)(解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）样卷（一）一、单选题1．已知集合{(,)|2,,}A x y x y x y N =+≤∈，则A 中元素的个数为（ ） A ．1 B ．5C ．6D ．无数个【答案】C【解析】直接列举求出A 和A 中元素的个数得解. 【详解】由题得{(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}A =， 所以A 中元素的个数为6. 故选C 【点睛】本题主要考查集合的表示和化简，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2．已知复数z ，z 是共轭复数，若21i z i ⋅=-，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A ．12B ．2CD ．2【答案】B【解析】原等式两边同乘以i -，可求得1122z i =--，从而可得1122z i =-+，利用复数模的公式可得结果. 【详解】因为21i z i ⋅=-，所以()()()21i i z i i -⋅⋅=-⋅-， 即()()211z i i i =-⋅-=--，1122z i =--，可得1122z i =-+，所以，2z ==，故选B. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 3．函数ln ()xf x x=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】抓住这几个选项的相同点和不同点，比如()0,1x ∈时()f x 的正负性和单调性等进行判断。
【详解】当()0,1x ∈时，ln ()0xf x x =<，当()1,0x ∈-时，()ln ()0x f x x-=>，选项B,C 都不满足这两个条件. 又当()1,x ∈+∞时，ln ()xf x x=，则()21ln 'x f x x -=，当()1,x e ∈时()f x 单调递增，当(),x e ∈+∞时()f x 单调递减，则选项D 不符合这个条件，因此A 正确. 故选：A 【点睛】本题考查函数的图像，需要用函数单调性的知识进行解答，并对学生的直观分析能力做一定考查，是一道中档题。
云南省昆明市2020届高三“三诊一模”高考模拟考试(三模)数学试题(文)(解析版)
云南省昆明市2020届高三“三诊一模”高考模拟考试（三模）数学试题（文）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数(1)z i i =-对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限『答案』A 『解析』1z i =+，∴z 对应的点为(1,1)， ∴点位于第一象限，故选：A.『点睛』本题考查复数的几何意义，考查对概念的理解，属于基础题.2.已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}2|B b b A =+∈，则A B =（ ）．A. {}2,1,0--B. {}1,0,1-C.2,0,2D. {}0,1,2『答案』D『解析』因为集合{}2,1,0,1,2A =--，所以{}{}2|0,1,2,3,4B b b A =+∈=，因此{}0,1,2AB =.故选：D.3.已知一家便利店从1月份至5月份的营业收入与成本支出的折线图如下：关于该便利店1月份至5月份的下列描述中，正确的是（ ）．A. 各月的利润保持不变B. 各月的利润随营业收入的增加而增加C. 各月的利润随成本支出的增加而增加D. 各月的营业收入与成本支出呈正相关关系『答案』D『解析』对于A ，通过计算可得1至5月的利润分别为0.5，0.8，0.7，0.5，0.9，故A 错误； 对于B ，由A 所得利润，可知利润并不随收入增加而增加，故B 错误； 对于C ，同理可得C 错误；对于D ，由折线图可得支出越多，收入也越多，故而收入与支出呈正相关，故D 正确， 故选：D ．4.已知tan()3αβ-=，tan 2β=，则tan α的值为（ ）A.1-B. 1C. 12-D.12『答案』A『解析』因为()()()tan +tan tan =tan +1-tan tan αββααββαββ-⎡⎤-=⎣⎦-又tan()3αβ-=，tan 2β=， 故5tan -116α==-. 故选：A.5.已知点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线上，该双曲线的离心率为（ ）A.3B.C.2D.4『答案』C『解析』由题，点P 在直线b y x a =b a =，故离心率2c a ==.故选：C.6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为（）A. 216B. 108C.D. 36『答案』B『解析』根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为等腰三角形，高为6的三棱柱体，如图所示：所以：16661082V=⨯⨯⨯=．故选：B．7.执行如图所示的程序框图，若输出65S=，则输入的N可以是（）A. 3B. 4C. 5D. 6『答案』B『解析』依据流程图考查程序的运行过程如下：初始化：1,1k S ==，第一次循环： 112,1S =+=1N >不成立，第二次循环：112k =+=，111,22S =+=，、2N >不成立； 第三次循环：213k =+=，114,133S =+=3N >不成立；第四次循环：314k =+=，311,44S =+=4N >不成立；第五次循环：415k =+=， 116,155S =+=5N >成立输出65S =.据此可得：4N =. 故选：B.8.材料一：已知三角形三边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积为S =，其中2a b cp ++=．这个公式被称为海伦-秦九韶公式 材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius ）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆．根据材料一或材料二解答：已知ABC 中，4BC =，6AB AC +=，则ABC 面积的最大值为（ ）A.B. 3C. D. 6『答案』C『解析』由材料二可得点A 的轨迹为椭圆，其焦距24c =，长轴26a =，短轴2b =当点A 运动到椭圆短轴的顶点时，可得ABC 的面积取得最大值，∴max 142S =⋅= 故选：C.9.已知4log 3a =，ln3b =，33log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a c b >>B. a b c >>C. b c a >>D. b a c >>『答案』D 『解析』ln31b =>，433log 31,log 12a c =<=<， ∴b 最大，343,32a c ==，∴2142323a c a c -=⋅⇒=， 考察函数2xy =与3xy =图象，可得2110c a c a a <-⇒-<-<，∴a c >， ∴b a c >>，故选：D.的10.如图1，已知PABC 是直角梯形，AB ∥PC ，AB BC ⊥，D 在线段PC 上，AD PC ⊥．将PAD △沿AD 折起，使平面PAD ⊥平面ABCD ，连接PB ，PC ，设PB的中点为N ，如图2．对于图2，下列选项错误的是（ ）A. 平面PAB ⊥平面PBCB. BC ⊥平面PDCC. PD AC ⊥D. 2PB AN =『答案』A『解析』由已知PABC 是直角梯形，AB ∥PC ，AB BC ⊥，AD PC ⊥得四边形ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ,AD DC ⊥,AD PC ⊥，PD DC D ⋂= 所以AD ⊥平面PCD ,又AD ∥BC ,BC ∴⊥平面PDC ,所以B 正确 平面PAD ⊥平面ABCD 平面PAD平面ABCD AD =,PD AD ⊥PD ∴⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD PD AC ∴⊥,所以C 正确PD ⊥平面ABCD ,PD AB ⊥又AB AD ⊥,PD DA D ⋂=AB ∴⊥平面PAD ,AB PA ∴⊥,PAB ∴是直角三角形，又PB 的中点为N所以2PB AN =，所以D 正确. 故选：A11.设函数()|sin |cos f x x x =+，下述四个结论： ①()f x 是偶函数②()f x 的图象关于直线2x π=对称③()f x 的最小值为④()f x 在(,0)π-上有且仅有一个极值点 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④『答案』B『解析』①()()f x f x -=是偶函数，①正确；②()f x π-|sin()|cos()x x ππ=-+-|sin |cos x x =-()f x ≠, 故()f x 的图象不关于直线2x π=对称，②错误；③去绝对值，则sin cos ,[2,2]()sin cos ,[2,22]x x x k k f x x x x k k πππππππ+∈+⎧=⎨-+∈++⎩)cos ,[2,2]4()),(2,22]4x x x k k f x x x k k πππππππππ++∈+=⎨⎪-∈++⎪⎩故[2,2]x k k πππ∈+，则()[f x ∈-，(2,22x k k ππππ∈++，则()(f x ∈-，综合得()[f x ∈-，即()f x 的最小值为1-，③错误；④由x ∈(,0)π-，化简()|sin |cos f x x x =+sin cos x x =-+)4x π=-，令4t x π=-，则5sin ,(,)44y t t ππ=∈--， 此时sin y t =有且仅有一个极小值点，故()f x 在(,0)π-上有且仅有一个极值点. ④正确. 故选：B12.已知F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，准线为l ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，点,A B 在准线上的射影分别为,D C ，且满足||||DF CF =，则||||FA FB =（ ）A.B. C. 3D.32『答案』C『解析』设()11,A x y ，()22,B x y ,准线l 与x 轴交于点E ，如图：在Rt FED 和Rt FEC ∆中，由勾股定理得：222222112DF EF ED p y p px =+=+=+， 222222222CF EF EC p y p px =+=+=+，又因为DF =，所以2211222222322DF p px p x p px p x CF++===++. 由抛物线定义知，11222x p p FA x +=+=，22222x p p FB x +=+=， 所以12232FA x pFBx p+==+.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 是CD 的中点，则AE DB ⋅=______．『答案』1『解析』如图所示：12AE AB AD =+，DB AB AD =-，所以()22111222⎛⎫⋅=+⋅-=-+⋅ ⎪⎝⎭AE DB AB AD AB AD AB AD AB AD ， 因为AB AD ⊥，所以0AB AD ⋅=，又2AB =，1AD =，所以2AB =，1AD =， 代入数据可得14112⋅==⨯-=AE DB . 故答案为：114.已知ABC 内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且a =b =4B π=，则c =_____．『答案』3『解析』因为a =b =4B π=，由余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-可得2522c =+-⨯， 化简可得223=0c c --，解得3c =或-1c =（舍）. 故答案为：3.15.若“0x ∃∈R ，()20ln 10x a +-=”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．『答案』[0,)+∞ 『解析』“200,(1)0x R ln x a ∃∈+-=”是真命题， 20(1)10a ln x ln ∴=+=；故答案为：[0,)+∞．16.某校同时提供A 、B 两类线上选修课程，A 类选修课每次观看线上直播40分钟，并完成课后作业20分钟，可获得积分5分；B 类选修课每次观看线上直播30分钟，并完成课后作业30分钟，可获得积分4分．每周开设2次，共开设20周，每次均为独立内容，每次只能选择A 类、B 类课程中的一类学习．当选择A 类课程20次，B 类课程20次时，可获得总积分共_______分．如果规定学生观看直播总时间不得少于1200分钟，课后作业总时间不得少于900分钟，则通过线上选修课的学习，最多可以获得总积分共________分．『答案』 (1). 180 (2). 190『解析』根据题意，当选择A 类课程20次，B 类课程20次时，可获得总积分520420180⨯+⨯=分.设学生选择A 类选修课()x x N ∈次，B 类选修课()y y N ∈次，则x 、y 所满足的约束条件为40301200203090040,x y x y x y x N y N +≥⎧⎪+≥⎪⎨+≤⎪⎪∈∈⎩，即43120239040,x y x y x y x N y N +≥⎧⎪+≥⎪⎨+≤⎪⎪∈∈⎩，目标函数为54z x y =+，如下图所示：则可行域为图中阴影部分中的整数点（横坐标和纵坐标均为整数的点）， 联立402390x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得3010x y =⎧⎨=⎩，可得点()30,10A ，平移直线54z x y =+，当直线54z x y =+经过可行域的顶点A 时，直线54z x y =+在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 530410190z =⨯+⨯=. 因此，通过线上选修课的学习，最多可以获得总积分共190分. 故答案为：180；190.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.已知数列{}n a 为正项等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若321S =，2316a a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）从两个条件：①3nn n a b =；②2log 3n n a b =中任选一个作为已知条件，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解：（1）因为：2316a a a +=，所以21116a q a q a +=，故：260q q +-=，解得：2q 或3q =-（舍去），故2q ，由321S =，得：()21121a q q++=，将2q代入得：13a =，所以数列{}n a 的通项公式为：132n n a -=⨯；（2）选择①3nn n a b =： 11322333n n n n n na b --⨯⎛⎫=== ⎪⎝⎭，数列{}n b 是首项为11b =，公比为23的等比数列， 所以2123312313nnn T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，选择②2log 3nn a b =： 1122232log log log 2133n n n n a b n --⨯====-，数列{}n b 是首项为0，公差为1的等差数列． 所以(1)2n n n T -=． 18.已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PAD △为正三角形，M 是PC 的中点，过M 的平面α平行于平面PAB ，且平面α与平面PAD 的交线为ON ，与平面ABCD 的交线为OE ．（1）在图中作出四边形MNOE （不必说出作法和理由）；（2）若PC =，四棱锥P ABCD -，求点D 到平面α的距离． 解：（1）如图，四边形MNOE 即为所求，其中N 为PD 中点，O 为AD 中点，E 为BC 中点．（2）连接,,DE NE PO ，依题意：PC ==，所以222PC DC PD =+，则DC PD ⊥，又因为DC AD ⊥且PD AD D ⋂=， 所以DC ⊥平面PAD ，则DC PO ⊥，因为PAD △为正三角形且O 为AD 中点，PO AD ⊥ 所以PO ⊥平面ABCD ．设AB x =，则363P ABCD V x -==，解得2x =，则PO 1ON =，所以111232D ONE N ODE V V --==⨯⨯⨯=，设D 到平面OEN 的距离为d ，12112OENS=⨯⨯=，所以13d =d =即点D 到平面α 19.经过椭圆22:12x C y +=左焦点1F 的直线l 与圆2222:(1)(2)F x y r r -+=>相交于,P Q两点，M 是线段2PF 与C 的公共点，且1||MF MP =． （1）求r ；（2）l 与C 的交点为,A B ，且A 恰为线段PQ 的中点，求2ABF 的面积． 解：（1）22:12x C y +=∴椭圆:C 长轴长2a =，半焦距1c =．点M 在C 上，∴122MF MF a +==1||MF MP =，∴2212||r PF MP MF MF MF ==+=+=（2）设()11,A x y ，()22,B x y ， 根据题意画出图象：如图A 为线段PQ 的中点，则12AF AF ⊥∴22121110AF AF x y ⋅=+-=，又221112x y +=， 解得10x =，11y =±，若11y =，则(0,1)A ，直线l 的方程为1y x =+，由221,1,2y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩解得224,313x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 即41,33B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴2ABF 的面积1212114422233S F F y y =⋅-=⨯⨯=． 若11y =-，同理可求得2ABF 的面积：43S =． 综上所述，2ABF 的面积为：43． 20.近年来，国家为了鼓励高校毕业生自主创业，出台了许多优惠政策，以创业带动就业．某高校毕业生小李自主创业从事海鲜的批发销售，他每天以每箱300元的价格购入基围虾，然后以每箱500元的价格出售，如果当天购入的基围虾卖不完，剩余的就作垃圾处理．为了对自己的经营状况有更清晰的把握，他记录了150天基围虾的日销售量（单位：箱），制成如图所示的频数分布条形图．（1）若小李一天购进12箱基围虾．①求当天的利润y （单位：元）关于当天的销售量n （单位：箱，n N ∈）的函数解析式； ②以这150天记录的日销售量的频率作为概率，求当天的利润不低于1900元的概率； （2）以上述样本数据作为决策的依据，他计划今后每天购进基围虾的箱数相同，并在进货量为11箱，12箱中选择其一，试帮他确定进货的方案，以使其所获的日平均利润最大． 解：（1）①当天的销售量12n ≥时，利润12(500300)2400y =⨯-=；当天的销售量12n <且n N ∈时，利润500123005003600y n n =-⨯=-； 所以当天的利润y 关于销售量n 的函数解析式为5003600,12,()2400,12,n n y n N n -<⎧=∈⎨≥⎩．②记“当天的利润不低于1900元”为事件A ，由50036001900n -≥，解得11n ≥， 所以事件A 等价于当天的销售量不低于11箱； 所以263022181053()15075P A ++++==，即当天的利润不低于1900元的概率为5375． （2）若当天的进货量为11箱时，日销售量为8箱的利润为700元，日销售量为9箱的利润为1200元，日销售量为10箱的利润为1700元，日销售量不低于11箱的利润为2200元则日平均利润为：11[700101200141700202200(2630221810)]1940150y =⨯+⨯+⨯+⨯++++=（元）若当天的进货量为12箱时，日销售量为8箱的利润为400元，日销售量为9箱的利润为900元，日销售量为10箱的利润为1400元，日销售量为11箱的利润为1900元，日销售量不低于12箱的利润为2400元，则日平均利润为：215720[40010900141400201900262400(30221810)]1503y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+++=（元）由于12y y >，所以小李今后应当每天购进11箱基围虾． 21.已知1()22xf x e x =--． （1）证明：()0f x >；（2）对任意1x ≥，sin 21ln 0x e x ax x +--->，求整数a 的最大值． （参考数据：sin10.8,ln20.7≈≈）解：（1）1()22xf x e x =--，则()2x f x e '=-，令()0f x '=，得ln 2x =， 当ln 2x <时，()0f x '<，()f x 在(,ln 2)-∞上单调递减； 当ln 2x >时，()0f x '>，()f x 在(ln 2,)+∞上单调递增． 所以min 13()(ln 2)22ln 22ln 2022f x f ==--=->，所以()0f x >． （2）由sin 21ln 0x e x ax x +--->恒成立，令1x =，则sin1e a >， 由ln 2sin10.812333e e =<<<=，得整数2a ≤， 因此sin 2sin 21ln 21ln x x e x ax x e x x x +---≥+---．下面证明对任意1x ≥，sin 221ln 0x e x x x +--->恒成立即可． 由（1）知122xe x >+，则有sin 12sin 2xex >+， 由此可得：sin 2221121ln 2sin 21ln 2sin 2ln 22x e x x x x x x x x x x x +--->++---=+---， 令212sin 2)l (n 2x x x x x g =+---，则1()2cos 22g x x x x'=+--， 又21()22sin 0g x x x''=+->，所以()g x '单调递增， 当1x >时，()(1)2cos112cos103g x g π''>=->-=，()g x 在(1)+∞上单调递增．故当1x ≥时，3()(1)2sin102g x g ≥=->，所以sin 221ln 0x e x x x +--->恒成立， 综上所述：整数a 的最大值为2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分． 『选修4—4：坐标系与参数方程』22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点()1,0P ，倾斜角为α．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程2sin 2cos ρθθ=．（1）写出直线l 的参数方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若l 与C 相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，且2||3PM =，求sin α． 解：（1）根据直线过点()1,0P ，倾斜角为a 可得直线l 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），由2sin 2cos ρθθ=得22sin 2cos ρθρθ=，将sin y ρθ=，cos x ρθ=代入可得曲线C 的直角坐标方程：22y x =.（2）将1cos x t α=+，sin y t α=代入到22y x =，得22sin 2cos 20t t αα--=，设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则M 对应的参数为122t t +， 由韦达定理得1222cos sin t t αα+=，所以122cos 2||||||2sin 3t t PM αα+===， 所以24cos 4sin 9αα=，所以241sin 4sin 9αα-=， 所以4299sinsin 044αα+-=，解得23sin 4α=，由[0,)απ∈，所以sin α=. 『选修4—5：不等式选讲』23.设函数()()lg 12f x x x a =-+++． （1）当5a =-时，求函数()f x 的定义域； （2）设()12g x x x a =-+++，当[]2,1x ∈-时，()2g x x a ≥-成立，求a 的取值范围．解：（1）当5a =-时，要使函数()y f x =有意义，需满足1250x x -++->.当2x -≤时，则有1250x x ---->，即260x -->，解得3x <-，此时3x <-； 当21x -<<时，则有1250x x -++->，即20->，不合乎题意； 当1x ≥时，则有1250x x -++->，即240x ，解得2x >，此时2x > 综上所述，不等式1250x x -++->的解集为()(),32,-∞-+∞.因此，当5a =-时，函数()y f x =的定义域为()(),32,-∞-+∞；（2）当[]2,1x ∈-时，由()2g x x a ≥-可得23x a a -≤+，则30a +≥，可得3a ≥-，由23x a a -≤+可得323a x a a --≤-≤+，解得333a x a -≤≤+，[][]2,13,33a a ∴-⊆-+，323313a a a -≤-⎧⎪∴+≥⎨⎪≥-⎩，解得213a -≤≤.因此，实数a 的取值范围是2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。
云南省2020年高考数学一模试卷A卷
云南省2020年高考数学一模试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共16分)1. （2分） (2019高一上·上饶月考) 若，，则 ________，________．2. （1分） (2017高二下·定州开学考) 复数 =________．（i是虚数单位）3. （1分） (2018高一下·北京期中) 甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表，s1、s2、s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则s1、s2、s3的大小关系是________.甲的成绩乙的成绩丙的成绩环数78910环数78910环数78910频数5555频数6446频数46644. （2分）如图甲是某市有关部门根据当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图．已知图甲中从左到右第一组的频数为4000，在样本中记月收入在[1000，1500]，[1500，2000]，[2000，2500]，[2500，3000]，[3000，3500]，[3500，4000]的人数依次为A1 ， A2 ，…A6 ．图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的程序框图，则样本的容量n=________，图乙输出的S=________，（用数字作答）5. （1分） (2015高二下·思南期中) 袋中有大小相同的10个乒乓球，其中6个黄色球，4个白色球，要求不放回抽样，每次任取一球，取2次，第二次才取到黄色球的概率为________．6. （1分）(2018·河北模拟) 若实数满足约束条件的最小值为________．7. （1分）(2017·莆田模拟) 已知双曲线C：﹣ =1的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐进线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若2 = ，则双曲线的离心率________．8. （1分） (2016高二上·晋江期中) 已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n，那么它的通项公式为an=________．9. （1分）已知函数f（x）=cos2x+2sinx，x∈[0，α]的值域为[1， ]，其中α＞0，则角α的取值范围是________．10. （1分） (2019高三上·淮南月考) 我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的容积为升（一升为一立方分米），上底边长为分米，下底边长为分米，则该方斗的外接球的表面积为________平方分米.11. （1分） (2016高一下·南沙期中) 如图，在正方形ABCD中，AB=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若• =0，则• =________12. （1分） (2017高三下·长宁开学考) 等比数列{an}的首项a1＞0，公比为q（|q|＜1），满足a2+a3+…+an+…≤ ，则公比q的取值范围是________．13. （1分）已知函数f（x）=x3对应的曲线在点（ak ， f（ak））（k∈N*）处的切线与x轴的交点为（ak+1 ，0），若a1=1，则=________14. （1分） (2019高二上·金华月考) 已知矩形，，，现将沿对角线向上翻折，若翻折过程中的长度在范围内变化，则点的运动轨迹的长度是________．二、解答题 (共12题；共100分)15. （10分） (2016高一下·南沙期中) 如图：已知四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E 是PA的中点，求证：（1）PC∥平面EBD．（2）平面PBC⊥平面PCD．16. （10分）(2020·淄博模拟) 如图，在直角中，，，，点m在线段上.（1）若，求的长；（2）点是线段上一点，，且，求的值.17. （5分） (2019高二上·张家口月考) 已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：双曲线的离心率，若为真，为假，求实数的取值范围.18. （5分）如图，已知动直线l交圆（x﹣3）2+y2=9于坐标原点O和点A，交直线x=6于点B；（1）若|OB|=3，求点A、点B的坐标；（2）设动点M满足=，其轨迹为曲线C，求曲线C的方程F（x，y）=0；（3）请指出曲线C的对称性、顶点和图形范围，并说明理由；（4）判断曲线C是否存在渐近线，若存在，请直接写出渐近线方程；若不存在，说明理由．19. （15分） (2016高二下·赣榆期中) 已知函数f（x）=x﹣alnx+ ．（1）若a=1，求f（x）在x∈[1，3]的最值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜0成立，求a的取值范围．20. （10分） (2017高一下·双鸭山期末) 已知公差不为的等差数列的前项和为，，且成等比数列。
云南省昆明市2020届高三“三诊一模”高考模拟考试(三模)数学(文)试题
秘密★启用前【考试时间：6月9日15:00-17:00】昆明市2020届“三诊一模”高考模拟考试文科数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数(1)z i i =-对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{2|}B b b A =+∈，则A B ⋂=（ ）A ．{2,1,0}--B ．{1,0,1}-C ．{2,0,2}-D ．{0,1,2}3．已知一家便利店从1月份至5月份的营业收入与成本支出的折线图如下：关于该便利店1月份至5月份的下列描述中，正确的是（ ）A ．各月的利润保持不变B ．各月的利润随营业收入的增加而增加C ．各月的利润随成本支出的增加而增加D ．各月的营业收入与成本支出呈正相关关系4．已知tan()3αβ-=，tan 2β=，则tan α的值为（ ）A ．1-B ．1C ．12-D ．125．已知点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线上，该双曲线的离心率为（ ）A ．3B C ．2 D ．4 6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为（ ）A ．216B ．108C ．D ．367．执行如图所示的程序框图，若输出65S =，则输入的N 可以是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．材料一：已知三角形三边长分别为,,a b c ，则三角形的面积为S =2a b c p ++=．这个公式被称为海伦-秦九韶公式. 材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius ）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆．根据材料一或材料二解答：已知ABC V 中，4BC =，6AB AC +=，则ABC V 面积的最大值为（ ）B ．3C ．D ．69．已知4log 3a =，ln3b =，33log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．b c a >> D ．b a c >>10．如图1，已知四边形PABC 是直角梯形，//AB PC ，AB BC ⊥，D 在线段PC 上，AD PC ⊥．将PAD V 沿AD 折起，使平面PAD ⊥平面ABCD ，连接,PB PC ，设PB 的中点为N ，如图2．对于图2，下列选项错误的是（ ）A ．平面PAB ⊥平面PBC B ．BC ⊥平面PDCC ．PD AC ⊥ D ．2PB AN =11．设函数()|sin |cos f x x x =+，下述四个结论：①()f x 是偶函数 ②()f x 的图象关于直线2x π=对称③()f x 的最小值为④()f x 在(,0)π-上有且仅有一个极值点其中所有正确结论的编号是A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④12．已知F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，准线为l ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，点,A B 在准线上的射影分别为,D C ，且满足||||DF CF =，则||||FA FB =（ ）A ．B ．C ．3D ．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 是CD 的中点，则AE DB ⋅=u u u r u u u r ______．14．已知ABC V 内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且a =，b =4B π=，则c =_____．15．若“0x R ∃∈，()20ln 10x a +-=”是真命题，则实数a 的取值范围是______．16．某校同时提供A B 、两类线上选修课程，A 类选修课每次观看线上直播40分钟，并完成课后作业20分钟，可获得积分5分；B 类选修课每次观看线上直播30分钟，并完成课后作业30分钟，可获得积分4分．每周开设2次，共开设20周，每次均为独立内容，每次只能选择A 类、B 类课程中的一类学习．当选择A 类课程20次，B 类课程20次时，可获得总积分共_____分．如果规定学生观看直播总时间不得少于1200分钟，课后作业总时间不得少于900分钟，则通过线上选修课的学习，最多可以获得总积分共_____分．（本题第一空2分，第二空3分）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{}n a 为正项等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若321S =，2316a a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）从两个条件：①3n n n a b =；②2log 3n n a b =中任选一个作为已知条件，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PAD V 为正三角形，M 是PC 的中点，过M 的平面α平行于平面PAB ，且平面α与平面PAD 的交线为ON ，与平面ABCD 的交线为OE ．（1）在图中作出四边形MNOE （不必说出作法和理由）；（2）若PC =，四棱锥P ABCD -，求点D 到平面α的距离． 19．（12分） 经过椭圆22:12x C y +=左焦点1F 的直线l 与圆2222:(1)(2)F x y r r -+=>相交于,P Q 两点，M 是线段2PF 与C 的公共点，且1||MF MP =．（1）求r ；（2）l 与C 的交点为,A B ，且A 恰为线段PQ 的中点，求2ABF V 的面积．20．（12分）近年来，国家为了鼓励高校毕业生自主创业，出台了许多优惠政策，以创业带动就业．某高校毕业生小李自主创业从事海鲜的批发销售，他每天以每箱300元的价格购入基围虾，然后以每箱500元的价格出售，如果当天购入的基围虾卖不完，剩余的就作垃圾处理．为了对自己的经营状况有更清晰的把握，他记录了150天基围虾的日销售量（单位：箱），制成如图所示的频数分布条形图．（1）若小李一天购进12箱基围虾．（i ）求当天的利润y （单位：元）关于当天的销售量n （单位：箱，n N ∈）的函数解析式； （ii ）以这150天记录的日销售量的频率作为概率，求当天的利润不低于1900元的概率；（2）以上述样本数据作为决策的依据，他计划今后每天购进基围虾的箱数相同，并在进货量为11箱，12箱中选择其一，试帮他确定进货的方案，以使其所获的日平均利润最大．。
云南省昆明市2020届高三“三诊一模”教学质量检测数学(文)试题( 解析版)
2020年高考（文科）数学（5月份）三诊一模试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x＜﹣1或x＞2}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣3，﹣2}B．{2，3}C．{﹣3，﹣2，3}D．{﹣3，﹣2，2，3}2．若复数z满足（1+2i）z＝5i，则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i3．在正项等比数列{a n}中，若a1＝1，a3＝2a2+3，则其前3项的和S3＝（）A．3B．9C．13D．244．已知向量a→=（1，1），b→=（2，4），则（a→−b→）•a→=（）A．﹣14B．﹣4C．4D．145．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．π2B．32πC．2πD．4π6．执行如图所示的程序框图，则输出的T＝（）A．85B．32C．43D．17．已知f（x）是定义在R上的减函数，则关于x的不等式f（x2﹣x）﹣f（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，0）∪（2，+∞）B．（0，2）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）8．已知圆C：（x﹣1）2+y2＝r2（r＞1）与x轴负半轴的交点为M，过点M且斜率为1的直线l与圆C的另一个交点为N，若MN的中点P恰好落在y轴上，则|MN|＝（）A．2√3B．2√2C．√3D．√29．抛物线上任意两点A、B处的切线交于点P，称△PAB为“阿基米德三角形”．当线段AB经过抛物线焦点F时，△PAB具有以下特征：①P点必在抛物线的准线上；②△PAB为直角三角形，且PA⊥PB③PF⊥AB．若经过抛物线y2＝4x焦点的一条弦为AB，阿基米德三角形为△PAB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为（）A．x﹣2y﹣1＝0B．2x+y﹣2＝0C．x+2y﹣1＝0D．2x﹣y﹣2＝0 10．若直线y＝ax与曲线y＝lnx﹣1相切，则a＝（）A ．eB ．1C ．1eD ．1e 211．已知正四棱锥P ﹣ABCD 的所有顶点都在球O 的球面上，若AB =2√2，且P ﹣ABCD 的体积为323，则球O 的表面积为（ ）A ．25πB ．25π3C ．25π4D ．5π12．如图，某公园内有一个半圆形湖面，O 为圆心，半径为1千米，现规划在半圆弧岸边上取点C ，D ，E ，满足∠AOD ＝∠DOE ＝2∠AOC ，在扇形AOC 和四边形ODEB 区域内种植荷花，在扇形COD 区域内修建水上项目，并在湖面上修建栈道DE ，EB 作为观光路线，则当DE +EB 取得最大值时，sin ∠AOC ＝（ ）A ．√26B ．14C ．√23D ．12二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．能说明命题“∀x ∈R 且x ≠0，x +1x≥2”是假命题的x 的值可以是 ．（写出一个即可）14．由三角形的垂心与各顶点连线的中点构成的三角形称为“欧拉三角形”已知△DEF 是锐角△ABC 的欧拉三角形，若向△ABC 所在区域内随机投一个点，则该点落在△DEF 内的概率为 ．15．已知F 是双曲线M ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，点P 在M 上，O 为坐标原点，若|OP|=2b ，∠POF =π3，则M 的离心率为 ．16．定义域为R 的偶函数f （x ）满足f （1+x ）+f （1﹣x ）＝0，当x ∈[0，1）时，f(x)=sin πx2，给出下列四个结论：①|f（x）|＜1；②若f（x1）+f（x2）＝0，则x1+x2＝0；③函数f（x）在（0，4）内有且仅有3个零点；其中，正确结论的序号是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面ABC为等边三角形，侧棱AA1⊥平面ABC，D为CC1中点，AA1＝2AB，AB1和A1B交于点O．（1）证明：OD∥平面ABC；（2）若AB＝2，求点B到平面A1B1D的距离．18．2020年1月，教育部《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》印发，自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称“强基计划”）．强基计划聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．新材料产业是重要的战略性新兴产业，如图是我国2011﹣2019年中国新材料产业市场规模及增长趋势图．其中柱状图表示新材料产业市场规模（单位：万亿元），折线图表示新材料产业市场规模年增长率（%）．（1）求2015年至2019年这5年的新材料产业市场规模的平均数；（2）从2012年至2019年中随机挑选一年，求该年新材料产业市场规模较上一年的年增加量不少于6000亿元的概率；（3）由图判断，从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大．（结论不要求证明）19．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2＝a2+bc．（1）求A；（2）从三个条件：①a=√3②b=√3③△ABC的面积为√3中任选一个作为已知条件，求△ABC周长的取值范围．20．已知函数f(x)=ax−(a+2)lnx−2x(a＞0)．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，求f（x1）+f（x2）的最小值．21．椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，|MN|＝4，D为旋杆上的一点，且在M，N两点之间，且|ND|＝3|MD|，当滑标M在滑槽EF内作往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动时，将笔尖放置于D处可画出椭圆，记该椭圆为C．如图2所示，设EF与GH交于点O，以EF所在的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设A1，A2是椭圆C的左、右顶点，点P为直线x＝6上的动点，直线A1P，A2P分别交椭圆于Q，R两点，求四边形A1QA2R面积为3√3，求点P的坐标．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4--4：坐标系与参数方程]x=12−√22t，22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{（t为参数），以原点y=32+√22tO为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的极坐标方程；（2）设动点M的极坐标为（ρ，θ），射线OM与直线l相交于点A，且满足|OA|•|OM|＝4，求点M轨迹的极坐标方程．[选修4--5：不等式选讲]23．已知f（x）＝2|x+1|+|x﹣1|．（1）解不等式f（x）≤4；（2）设f（x）的最小值为m，实数a，b，c满足a2+b2+c2＝m，证明：|a+b+c|≤√6．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A＝{x|x＜﹣1或x＞2}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣3，﹣2}B．{2，3}C．{﹣3，﹣2，3}D．{﹣3，﹣2，2，3}【分析】利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{x|x＜﹣1或x＞2}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B＝{﹣3，﹣2，3}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．若复数z满足（1+2i）z＝5i，则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i【分析】通过分母实数化，求出z即可．解：∵z满足（1+2i）z＝5i，∴z=5i1+2i=5i(1−2i)(1+2i)(1−2i)=2+i故选：A．【点评】本题考查了复数的运算，熟练掌握运算性质是解题的关键，本题是一道基础题．3．在正项等比数列{a n}中，若a1＝1，a3＝2a2+3，则其前3项的和S3＝（）A．3B．9C．13D．24【分析】设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，由a1＝1，a3＝2a2+3，可得q2＝2q+3，解得q．再利用求和公式即可得出．解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1＝1，a3＝2a2+3，∴q2＝2q+3，解得q＝3．则其前3项的和S3＝1+3+32＝13．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知向量a→=（1，1），b→=（2，4），则（a→−b→）•a→=（）A．﹣14B．﹣4C．4D．14【分析】先根据平面向量的线性坐标运算求出a→−b→=（﹣1，﹣3），再根据数量积的坐标运算求解即可．解：∵a→=（1，1），b→=（2，4），∴a→−b→=（﹣1，﹣3），∴（a→−b→）•a→=−1﹣3＝﹣4．故选：B．【点评】本题考查平面向量坐标运算的混合运算，考查学生的计算能力，属于基础题．5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．π2B．32πC．2πD．4π【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体是底面半径为1，高是2的圆柱截去四分之一，再由圆柱体积公式求解．解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体是底面半径为1，高是2的圆柱截去四分之一．其体积为V=34×π×12×2=32π．故选：B．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．6．执行如图所示的程序框图，则输出的T＝（）A ．85B ．32C ．43D ．1【分析】根据程序框图一步一步进行运算，直到跳出循环． 解：k ＝1，S ＝0，T ＝0； S ＝0+1＝1，T ＝1，k ＝2； S ＝1+2＝3，T =43，k ＝3；S ＝3+3＝6，输出T 43； 故选：C ．【点评】本题考查程序框图，注意一步一步运算，属于基础题．7．已知f （x ）是定义在R 上的减函数，则关于x 的不等式f （x 2﹣x ）﹣f （x ）＞0的解集为（ ）A ．（﹣∞，0）∪（2，+∞）B ．（0，2）C ．（﹣∞，2）D ．（2，+∞）【分析】根据题意，由函数的单调性分析：f （x 2﹣x ）﹣f （x ）＞0⇒f （x 2﹣x ）＞f （x ）⇒x 2﹣x ＜x ，结合一元二次不等式的解法分析可得答案．解：根据题意，f （x ）是定义在R 上的减函数，则f （x 2﹣x ）﹣f （x ）＞0⇒f （x 2﹣x ）＞f （x ）⇒x 2﹣x ＜x ，即x 2﹣2x ＜0，解可得0＜x ＜2，即不等式的解集为（0，2）； 故选：B ．【点评】本题考查函数的单调性的性质以及应用，涉及不等式的解法，属于基础题． 8．已知圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝r 2（r ＞1）与x 轴负半轴的交点为M ，过点M 且斜率为1的直线l 与圆C 的另一个交点为N ，若MN 的中点P 恰好落在y 轴上，则|MN |＝（ ） A ．2√3B ．2√2C ．√3D ．√2【分析】由题意画出图形，求出M 的坐标，写出直线l 的方程，与圆的方程联立求得N 点横坐标，再由中点坐标公式求得r ，进一步求出M 与N 的坐标，则答案可求． 解：取y ＝0，可得x ＝1﹣r 或x ＝1+r ， 由题意可得，M （1﹣r ，0）， 设直线l 的方程为y ＝x +r ﹣1，联立{y =x +r −1(x −1)2+y 2=r 2，得x 2+（r ﹣2）x +1﹣r ＝0． 由1﹣r +x N ＝2﹣r ，得x N ＝1．由MN 的中点P 恰好落在y 轴上，得1﹣r +1＝0，即r ＝2．∴M （﹣1，0），N （1，2），则|MN |=√(−1−1)2+(0−2)2=2√2． 故选：B ．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，考查运算能力，是中档题．9．抛物线上任意两点A 、B 处的切线交于点P ，称△PAB 为“阿基米德三角形”．当线段AB 经过抛物线焦点F 时，△PAB 具有以下特征：①P 点必在抛物线的准线上；②△PAB 为直角三角形，且PA ⊥PB ③PF ⊥AB ． 若经过抛物线y 2＝4x 焦点的一条弦为AB ，阿基米德三角形为△PAB ，且点P 的纵坐标为4，则直线AB 的方程为（ ） A ．x ﹣2y ﹣1＝0B ．2x +y ﹣2＝0C ．x +2y ﹣1＝0D ．2x ﹣y ﹣2＝0【分析】由△PAB 为“阿基米德三角形”，且线段AB 经过抛物线y 2＝4x 焦点，可得：P 点必在抛物线的准线上，可求出点P （﹣1，4），从而得到直线PF 的斜率为﹣2， 又PF ⊥AB ，所以直线AB 的斜率为12，再利用点斜式即可求出直线AB 的方程．解：由题意可知，抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0），准线方程为：x ＝﹣1， 由△PAB 为“阿基米德三角形”，且线段AB 经过抛物线y 2＝4x 焦点，可得：P 点必在抛物线的准线上， ∴点P （﹣1，4），∴直线PF 的斜率为：4−0−1−1=−2，又∵PF ⊥AB ，∴直线AB 的斜率为12，∴直线AB 的方程为：y ﹣0=12(x −1)，即x ﹣2y ﹣1＝0，故选：A ．【点评】本题主要考查了抛物线的定义，以及抛物线的性质，是中档题． 10．若直线y ＝ax 与曲线y ＝lnx ﹣1相切，则a ＝（ ）A ．eB ．1C ．1eD ．1e 2【分析】先对曲线求出导数，然后设切点，根据切点是公共点、切点处的导数是切线的斜率列出方程组，即可求出a 的值．解：y′=1x ，设切点为（x ，lnx ﹣1），则{ax =lnx −1a =1x ，解得a =1e 2． 故选：D ．【点评】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法．利用切点是公共点、切点处的导数是切线斜率，构造方程组是此类问题的基本思路．属于基础题．11．已知正四棱锥P ﹣ABCD 的所有顶点都在球O 的球面上，若AB =2√2，且P ﹣ABCD 的体积为323，则球O 的表面积为（ ）A ．25πB ．25π3C ．25π4D ．5π【分析】根据条件作图，数形结合求出球O 的半径r 即可． 解：如图，V P ﹣ABCD =13S 正ABCD ⋅PH =13×（2√2）2•PH =323，则PH ＝8， 设球O 的半径为r ，则在Rt △AOH 中，AO 2＝AH 2+OH 2，即r 2＝（4﹣r ）2+22，解得r =52，则球O 的表面积为4πr 2＝4π×254=25π， 故选：A ．【点评】本题考查正四棱锥的外接球的表面积的求法，考查正四棱锥的结构特征、球的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．如图，某公园内有一个半圆形湖面，O 为圆心，半径为1千米，现规划在半圆弧岸边上取点C ，D ，E ，满足∠AOD ＝∠DOE ＝2∠AOC ，在扇形AOC 和四边形ODEB 区域内种植荷花，在扇形COD 区域内修建水上项目，并在湖面上修建栈道DE ，EB 作为观光路线，则当DE +EB 取得最大值时，sin ∠AOC ＝（ ）A ．√26B ．14C ．√23D ．12【分析】设∠AOC ＝α，则∠AOD ＝∠DOE ＝2α，∠BOE ＝π﹣4α，α∈（0，π4）．可得：DE ＝2sin α，BE ＝2sin （π2−2α），DE +BE ＝2sin α+2sin （π2−2α），化简和差公式、三角函数及其二次函数的单调性即可得出．解：设∠AOC ＝α，则∠AOD ＝∠DOE ＝2α，∠BOE ＝π﹣4α，α∈（0，π4）．可得：DE ＝2sin α，BE ＝2sin （π2−2α），∴DE +BE ＝2sin α+2sin （π2−2α）＝2sin α+2cos2α＝2sin α+2（1﹣2sin 2α）＝﹣4(sinα−14)2+94，∴当sinα=14时，DE+EB取得最大值．故选：B．【点评】本题考查了化简和差公式、三角函数及其二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．能说明命题“∀x∈R且x≠0，x+1x≥2”是假命题的x的值可以是﹣1，（任意负数均可以）．（写出一个即可）【分析】全称命题的否定只需举出一个反例即可．例如x＝﹣1，带入．解：当x＞0时，x+1x≥2，当且仅当x=1取等号，当x＜0时，x+1x≤−2，当且仅当x=−1取等号，∴只需x取值为负数，即可．例如x＝﹣1时x+1x=−2【点评】本题考察了，全称命题的真假，基本不等式应用（也可以利用对勾函数图象来解决），属于基础题．14．由三角形的垂心与各顶点连线的中点构成的三角形称为“欧拉三角形”已知△DEF是锐角△ABC的欧拉三角形，若向△ABC所在区域内随机投一个点，则该点落在△DEF内的概率为14．【分析】做出，根据中点连线三角形与大三角形相似，面积比为相似比的平方即可求解．解：根据中位线定理，显然△DEF ∽△ABC ，且相似比为12．设A ＝“点落在△DEF 内”，Ω＝“点落在△ABC 内”， ∴P(A)=S(A)S(Ω)=(12)2=14． 故答案为：14．【点评】本题考查几何概型条件下的概率计算问题，注意抓住几何图形性质解题．属于中档题．15．已知F 是双曲线M ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，点P 在M 上，O 为坐标原点，若|OP|=2b ，∠POF =π3，则M 的离心率为 √5 ．【分析】设P 的坐标，求出OP →，OF →的坐标，由∠POF =π3，所以cos ∠POF =12=OP →⋅OF→|OP →|⋅|OF →|=x 0⋅c2b⋅c，求出P 的横坐标，代入x 02+y 02＝4b 2进而求出纵坐标，再将P 坐标代入双曲线的方程可得a ，b 的关系，由a ，b ，c 之间的关系求出离心率． 解：设P （x 0，y 0）由题意可得x 0＞0，设y 0＞0，OP →=（x 0，y 0），由题意|OP |＝2b ，可得x 02+y 02＝4b 2，OF →=（c ，0），由∠POF =π3，所以cos ∠POF =12=OP →⋅OF→|OP →|⋅|OF →|=x 0⋅c 2b⋅c ，可得x 0＝b ，y 02＝3b 2，y 0＞0，将P 点的坐标代入双曲线的方程可得：b 2a 2−3＝1，所以b 2＝4a 2，所以双曲线的离心率e =√c 2a 2=√a 2+b 2a 2=√5，故答案为：√5．【点评】本题考查双曲线的性质，及数量积的应用，属于中档题．16．定义域为R的偶函数f（x）满足f（1+x）+f（1﹣x）＝0，当x∈[0，1）时，f(x)=sin πx 2，给出下列四个结论：①|f（x）|＜1；②若f（x1）+f（x2）＝0，则x1+x2＝0；③函数f（x）在（0，4）内有且仅有3个零点；其中，正确结论的序号是①③．【分析】由f（1+x）+f（1﹣x）＝0可知f（x）关于点（1，0）对称，令x＝1，可得f（1）＝0，再结合f（x）为偶函数，且当x∈[0，1）时，f(x)=sin πx2，可以作出函数的图象，根据图象逐一判断每个选项的正误即可得解．解：∵f（1+x）+f（1﹣x）＝0，∴f（x）关于点（1，0）对称，令x＝1，则f（1）+f（1）＝0，∴f（1）＝0，又∵f（x）为偶函数，且当x∈[0，1）时，f(x)=sin πx2，∴可作出函数f（x）的图象如下所示，①﹣1＜f（x）＜1，∴|f（x）|＜1，即①正确；②取x1＝﹣1，x2＝2，满足f（x1）+f（x2）＝0，但x1+x2＝1≠0，即②错误；③函数f（x）在（0，4）内的零点为x＝1，2，3，有且仅有3个，即③正确．∴正确的是①③，故答案为：①③．【点评】本题考查函数的图象与性质，分析出函数的对称性和作出函数图象是解题的关键，考查学生的作图能力和分析能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面ABC为等边三角形，侧棱AA1⊥平面ABC，D为CC1中点，AA1＝2AB，AB1和A1B交于点O．（1）证明：OD∥平面ABC；（2）若AB＝2，求点B到平面A1B1D的距离．【分析】（1）如图所示，取AB的中点E，连接CE，OE．在△ABB1中，利用三角形中位线定理可得：EO∥BB1，EO=12BB1．D为CC1的中点，可得：EO∥CD，EO＝CD．利用平行四边形的性质可得：OD∥EC，利用线面平行的判定定理可得：OD∥平面ABC．（2）AB＝2，△ABC与△A1B1C1为等边三角形，及其侧棱AA1⊥平面ABC，可得A1D＝B1D＝2√2，A1B1＝2，可得S△A1B1D ，S△BB1D，点A1到平面BB1C1C的距离为√3．设点A1到平面A1B1D的距离为h．利用V A1−BB1D =V B−A1B1D，即可得出h．【解答】（1）证明：如图所示，取AB的中点E，连接CE，OE．在△ABB1中，E为AB的中点，O为AB1的中点，∴EO∥BB1，EO=12BB1．∵D为CC1的中点，∴CD=12CC1=12BB1．且CD∥BB1．∴EO∥CD，EO＝CD．∴四边形CDOE为平行四边形．∴OD∥EC，而OD⊄平面ABC，EC⊂平面ABC．∴OD∥平面ABC．（2）解：∵AB＝2，△ABC与△A1B1C1为等边三角形，AA1＝2AB＝4＝CC1．∴C1D＝2．∵侧棱AA1⊥平面ABC，∴A1D＝B1D＝2√2，A1B1＝2，可得S△A1B1D．S△BB1D=12×2×4=4．点A1到平面BB1C1C的距离为√3．设点A1到平面A1B1D的距离为h．则V A 1−BB 1D =V B−A 1B 1D ， ∴13×√3×4=13×√7h ，解得h =4√217．【点评】本题考查了直角与等边三角形三角形的性质、三角形中位线定理、线面面面平行与垂直的判定与性质定理、等体积法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18．2020年1月，教育部《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》印发，自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称“强基计划”）．强基计划聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．新材料产业是重要的战略性新兴产业，如图是我国2011﹣2019年中国新材料产业市场规模及增长趋势图．其中柱状图表示新材料产业市场规模（单位：万亿元），折线图表示新材料产业市场规模年增长率（%）．（1）求2015年至2019年这5年的新材料产业市场规模的平均数；（2）从2012年至2019年中随机挑选一年，求该年新材料产业市场规模较上一年的年增加量不少于6000亿元的概率；（3）由图判断，从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大．（结论不要求证明）【分析】（1）利用折线图能求出2015年至2019年这5年的新材料产业市场规模的平均数．（2）设A表示事件”从2012年至2019年中随机挑选一年，该年新材料产业市场规模的增加值达到6000亿元“，利用列举法能求出该年新材料产业市场规模较上一年的年增加量不少于6000亿元的概率．（3）由图判断，从2012年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大．解：（1）2015年至2019年这5年的新材料产业市场规模的平均数为：x=2.1+2.7+3.1+3.9+4.55=3.26万亿元．（2）设A表示事件”从2012年至2019年中随机挑选一年，该年新材料产业市场规模的增加值达到6000亿元“，从2012年起，每年新材料产业市场规模的增加值依次为：3000，2000，3000，5000，6000，4000，8000，6000，（单位：亿元），∴P（A）=3 8．（3）由图判断，从2012年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大．【点评】本题考查平均数、概率、方差的求法，考查古典概型、列举法、折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2＝a2+bc．（1）求A；（2）从三个条件：①a =√3②b =√3③△ABC 的面积为√3中任选一个作为已知条件，求△ABC 周长的取值范围．【分析】（1）运用余弦定理，结合条件可得所求角；（2）选①②，先通过正弦定理，再由三角函数的和差公式，结合三角函数的图象和性质，可得所求范围；选③，可通过三角形的面积公式，求得bc ＝4，再由余弦定理和基本不等式，计算可得所求范围．解：（1）b 2+c 2＝a 2+bc ，可得cos A =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12，由A ∈（0，π），可得A =π3； （2）选①a =√3，又A =π3，可得a sinA =b sinB=c sinC=2，可设B =π3+d ，C =π3−d ，−π3＜d ＜π3，即有三角形ABC 的周长l ＝a +b +c ＝2sin B +2sin C +√3=2sin （π3+d ）+2sin （π3−d ）+√3＝2（√32cos d +12sin d +√32cos d −12sin d ）+√3=2√3cos d +√3，由cos d ∈（12，1]，可得周长l 的范围是（2√3，3√3]；选②b =√3，由A =π3，由正弦定理可得a =32sinB ，c =√3sinC sinB =√3sin(2π3−B)sinB =3cosB 2sinB +√32， 则周长为l ＝a +b +c =32sinB +3cosB 2sinB +3√32=6cos 2B 24sin B 2cos B 2+3√32 =32tan B 2+3√32，由B ∈（0，2π3），可得0＜B 2＜π3，即有0＜tan B 2＜√3， 可得△ABC 的周长的取值范围是（2√3，+∞）；若选③S △ABC =√3，由A =π3，可得S △ABC =12bc sin A =√34bc =√3，即bc ＝4，由余弦定理可得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝b 2+c 2﹣bc ＝（b +c ）2﹣3bc ＝（b +c ）2﹣12， 则周长l ＝a +b +c =√(b +c)2−12+（b +c ），由b +c ≥2√bc =4，当且仅当b ＝c ＝2时等号成立，所以l ≥√42−12+4＝6， 则△ABC 的周长的范围是[6，+∞）．【点评】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换和三角函数的性质和基本不等式的运用，以及不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．20．已知函数f(x)=ax −(a +2)lnx −2x (a ＞0)．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，求f （x 1）+f （x 2）的最小值．【分析】（1）先求出导函数f '（x ），再对a 的值分情况讨论，分别由导函数f '（x ）的正负得到函数f （x ）的单调性即可；（2）由（1）可知，f （x ）有两个极值点时，a ＞0且a ≠2，不妨设x 1＝1，x 2=2a ，所以f （x 1）+f （x 2）＝（a +2）ln a2−2lna ，设h （x ）＝（x +2）ln x2−2lnx ，x ∈（0，+∞），利用导数得到h （x ）min ＝h （2e）=−2e−2ln 2，所以当a ＞0且a ≠2时，f （x 1）+f （x 2）的最小值为−2e−2ln 2．解：（1）函数f(x)=ax −(a +2)lnx −2x(a ＞0)，定义域为（0，+∞），∴f '（x ）＝a −a+2x+2x2=ax 2−(a+2)x+2x2=(x−1)(ax−2)x， 由f '（x ）＝0得：x ＝1或x =2a，①若0＜a ＜2，则2a＞1，由f '（x ）＜0得，1＜x ＜2a ；由f '（x ）＞0得，0＜x ＜1或x ＞2a，∴函数f （x ）在（1，0）和（2a，+∞）上单调递增，在（1，2a）上单调递减；②若a ＝2，则2a=1，此时f '（x ）=2(x−1)2x2≥0恒成立，∴函数f '（x ）在（0，+∞）上单调递增； ③若a ＞2，则0＜2a＜1，由f '（x ）＜0得，2a＜x ＜1；由f '（x ）＞0得，0＜x ＜2a或x ＞1，∴函数f （x ）在（0，2a）和（1，+∞）上单调递增，在（2a，1）上单调递减；（2）由（1）可知，f （x ）有两个极值点时，a ＞0且a ≠2，不妨设x 1＝1，x 2=2a ，∴f （x 1）＝f （1）＝a ﹣2﹣lna ，f （x 2）＝f （2a）＝2﹣a +（a +2）ln a2−lna ，∴f （x 1）+f （x 2）＝（a +2）ln a 2−2lna ，设h （x ）＝（x +2）ln x2−2lnx ，x ∈（0，+∞），则h （x ）＝（x +2）（lnx ﹣ln 2）﹣2lnx ， ∴h '（x ）＝lnx ﹣ln 2+1，由h '（x ）＜0得0＜x ＜2e，∴函数h （x ）在（0，2e）上单调递减；由h '（x ）＞0得x ＞2e，∴函数h （x ）在（2e，+∞）上单调递增，∴x ＞0时，h （x ）min ＝h （2e）=−2e−2ln 2，∴当a＞0且a≠2时，f（x1）+f（x2）的最小值为−2e−2ln2．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，是中档题．21．椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，|MN|＝4，D为旋杆上的一点，且在M，N两点之间，且|ND|＝3|MD|，当滑标M在滑槽EF内作往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动时，将笔尖放置于D处可画出椭圆，记该椭圆为C．如图2所示，设EF与GH交于点O，以EF所在的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设A1，A2是椭圆C的左、右顶点，点P为直线x＝6上的动点，直线A1P，A2P分别交椭圆于Q，R两点，求四边形A1QA2R面积为3√3，求点P的坐标．【分析】（1）由|MN|的值及|ND|＝3|MD|，可得|MD|，|ND|的值，由题意可得椭圆的长半轴及短半轴长，进而求出椭圆的方程；（2）由（1）可得A1，A2电子版，由题意设P的坐标，进而求出直线A1P，直线A2P的方程，与椭圆联立分别求出Q，R的坐标，进而求出四边形的面积的表达式，换元由均值不等式可得P的坐标．解：（1）由|MN|＝4，D为旋杆上的一点，且在M，N两点之间，且|ND|＝3|MD|，可得|MD|＝1，|ND|＝3所以椭圆的长半轴a为3，短半轴b为1，所以椭圆的方程为：x 29+y 2＝1；（2）由（1可得A 1（﹣3，0），A 2（3，0），设P （6，t ），t ＞0， 则直线A 1P 的方程为：y =t 9（x +3），直线A 2P 的方程为：y =t 3（x ﹣3）， 设Q （x 1，y 1），R （x 2，y 2），由{y =t9(x +3)x29+y 2=1整理可得：（9+t 2）y 2﹣6ty ＝0，因为yA 1=0，所以y Q =6t9+t 2， 由{y =t3(x −3)x29+y 2=1整理可得（1+t 2）y 2+2ty ＝0，因为yA 2=0，所以y R =−2t1+t 2， 所以四边形A 1QA 2R 的面积S =12|A 1A 2||y Q ﹣y R |=12•6•（6t 9+t 2+2t 1+t 2）=24t(3+t 2)(9+t 2)(1+t 2)=24t(3+t 2)(3+t 2)2+4t2=243+t 2t +4t 3+t 2， 因为t ＞0，m =t 2+3t=t +3t≥2√3，所以S =24m+4m=3√3，解得m ＝2√3，即t =√3， 当t ＜0，由对称性可得t =−√3，综上所述：当点P （6，√3）或（6，−√3）时，四边形A 1QA 2R 面积为3√3．【点评】本题考查求椭圆方程的方法及直线与椭圆的综合，及均值不等式的应用，属于中档题． 一、选择题22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=12−√22t，y=32+√22t（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的极坐标方程；（2）设动点M的极坐标为（ρ，θ），射线OM与直线l相交于点A，且满足|OA|•|OM|＝4，求点M轨迹的极坐标方程．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用求出结果．解：（1）直线l的参数方程为{x=12−√22t，y=32+√22t（t为参数），转换为直角坐标方程为x+y ﹣2＝0．转换为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ+2＝0．（2）设动点M的极坐标为（ρ，θ），射线OM与直线l相交于点A，且满足|OA|•|OM|＝4，所以A（4ρ，θ），所以4ρ(sinθ+cosθ)=2，转换为ρ＝2sinθ+2cosθ（ρ＞0）．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4--5：不等式选讲]23．已知f（x）＝2|x+1|+|x﹣1|．（1）解不等式f（x）≤4；（2）设f（x）的最小值为m，实数a，b，c满足a2+b2+c2＝m，证明：|a+b+c|≤√6．【分析】（1）利用绝对值的意义，写出分段函数，即可求不等式f（x）≤4的解集；（2）利用绝对值不等式，求出m ，再利用柯西不等式进行证明．解：（1）f （x ）={−3x −1，x ≤−1x +3，−1＜x ＜13x +1，x ≥1，∴不等式f （x ）≤4等价于{x ≤−1−3x −1≤4或{−1＜x ＜1x +3≤4或{x ≥13x +1≤4，解得−53≤x ≤﹣1或﹣1＜x ＜1或x ＝1，∴不等式的解集为[−53，1]；（2）由（1）可知，f （x ）在（﹣∞，﹣1]递减，在（﹣1，+∞）递增， ∴f （x ）的最小值为f （﹣1）＝2， ∴m ＝2， 即a 2+b 2+c 2＝2，根据柯西不等式得（a +b +c ）2≤（12+12+12）（a 2+b 2+c 2）＝6， 故|a +b +c|≤√6．【点评】本题考查不等式的解法，考查柯西不等式证明不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
云南省昆明市2020届高三“三诊一模”高考模拟考试(三模)数学(文)试题附答案
秘密★启用前【考试时间：6月9日15:00-17:00】昆明市2020届“三诊一模”高考模拟考试文科数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数(1)z i i =-对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{2|}B b b A =+∈，则A B ⋂=（ ）A ．{2,1,0}--B ．{1,0,1}-C ．{2,0,2}-D ．{0,1,2}3．已知一家便利店从1月份至5月份的营业收入与成本支出的折线图如下：关于该便利店1月份至5月份的下列描述中，正确的是（ ）A ．各月的利润保持不变B ．各月的利润随营业收入的增加而增加C ．各月的利润随成本支出的增加而增加D ．各月的营业收入与成本支出呈正相关关系4．已知tan()3αβ-=，tan 2β=，则tan α的值为（ ）A ．1-B ．1C ．12-D ．125．已知点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线上，该双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D ．4 6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为（ ）A ．216B ．108C ．D ．367．执行如图所示的程序框图，若输出65S =，则输入的N 可以是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．材料一：已知三角形三边长分别为,,a b c ，则三角形的面积为S =2a b c p ++=．这个公式被称为海伦-秦九韶公式.材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius ）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆．根据材料一或材料二解答：已知ABC V 中，4BC =，6AB AC +=，则ABC V 面积的最大值为（ ）B ．3C ．D ．69．已知4log 3a =，ln3b =，33log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．b c a >> D ．b a c >>10．如图1，已知四边形PABC 是直角梯形，//AB PC ，AB BC ⊥，D 在线段PC 上，AD PC ⊥．将PAD V 沿AD 折起，使平面PAD ⊥平面ABCD ，连接,PB PC ，设PB 的中点为N ，如图2．对于图2，下列选项错误的是（ ）A ．平面PAB ⊥平面PBC B ．BC ⊥平面PDCC ．PD AC ⊥ D ．2PB AN =11．设函数()|sin |cos f x x x =+，下述四个结论：①()f x 是偶函数 ②()f x 的图象关于直线2x π=对称③()f x 的最小值为④()f x 在(,0)π-上有且仅有一个极值点其中所有正确结论的编号是A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④12．已知F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，准线为l ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，点,A B。
2020届云南民族大学附属中学高三第一次高考仿真模拟数学(文)试题(解析版)
2020届云南民族大学附属中学高三第一次高考仿真模拟数学（文）试题一、单选题1．设集合{}2,xA yy x R ==∈∣，{}210B x x =-<∣，则A B =（ ）A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．(1,)-+∞D ．(0,)+∞【答案】C【解析】根据指数函数的性质化简集合A ，利用一元二次不等式的解法化简集合B ，再求并集即可. 【详解】集合A 表示函数2xy =的值域， 故(0,)A =+∞.由210x -<，得11x -<<， 故(1,1)B =-. 所以(1,)AB =-+∞.故选：C. 【点睛】本题主要考查指数函数的性质、一元二次不等式的解法以及并集的运算，属于基础题. 2．复数z 满足21z i -+=，则||z 的值是（ ）A ．BCD ．【答案】C【解析】结合复数的模长公式求解即可 【详解】由213z i z i z -+=⇒=-⇒=故选：C 【点睛】本题考查复数的模长公式，属于基础题 3．在ABC ∆中，D 在边AC 上满足12AD DC =，E 为BD 的中点，则CE =（）A．51 63BA BC-B．1536BA BC-C．1536BA BC+D ．5163BA BC+【答案】B【解析】根据E为中点，首先易得1122CE CB CD=+，再通过向量加法以及向量的减法和12AD DC=即可得到结果.【详解】如图所示：因为E为BD的中点，所以1122CE CB CD=+，又12AD DC=，23CD CA=∴，12CE CB=∴12111115()23232336CA CB CA CB BA BC BA BC+⨯=+=+-=-，故选B．【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，对向量加法和减法的运用较为灵活，属于基础题．4．幂函数()f x xα=的图象过点(3,5)，且1aeα⎛⎫= ⎪⎝⎭，3bα=1log4cα=，则a，b，c的大小关系为（）A．c a b<<B．a c b<<C．a b c<<D．c b a<<【答案】A【解析】根据题意求得参数α，根据对数的运算性质，以及对数函数的单调性即可判断. 【详解】解：依题意，得35α=，故3log5(1,2)α=∈，故3log5101ea⎛⎫<=<⎪⎝⎭，33log51b=>，3log51log04c=<，则c a b<<.故选：A.【点睛】本题考查利用对数函数的单调性比较大小，以及根据幂函数的定义求参数值，考查推理论证能力，属于基础题.5．“函数()2()311f x ax a x=--+在区间[)1+∞，上是增函数”是“01a≤≤”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】0a<时，“函数()()2311f x ax a x=--+在区间[)1,+∞上不是增函数”，0a=时，()1f x x=+在[)1,+∞上是增函数，0a>时，令3112aa-≤，得01a<≤，∴“()()2311f x ax a x=--+在区间[)1,+∞上是增函数” 的充分必要条件“01a≤≤”，故选C.6．已知x，y满足条件{20xy xx y k≥≤++≤(k为常数)，若目标函数z＝x＋3y的最大值为8，则k＝()A．－16 B．－6 C．-83D．6【答案】B【解析】【详解】由z＝x＋3y得y＝－13x＋3z，先作出{xy x≥≤的图象，如图所示，因为目标函数z＝x＋3y的最大值为8，所以x＋3y＝8与直线y＝x的交点为C，解得C(2,2)，代入直线2x＋y＋k＝0，得k＝－6.7．已知数列{}n a的前n项和n S满足21n nS a=-.若对任意正整数n都有1n nS Sλ+-<恒成立，则实数λ的取值范围为（）A ．(),1-∞B ．12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，C ．13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，D ．14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，【答案】C【解析】先利用1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，于是可求出n S ，再利用参变量分离法得到1n n S S λ+<，利用数列的单调性求出数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项的值，可得出实数λ的取值范围． 【详解】当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，得11a =；当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得12n n a a -=， 12nn a a -∴=，所以，数列{}n a 为等比数列，且首项为1，公比为2，11122n n n a --∴=⨯=. 12122121n n n n S a -∴=-=⨯-=-，由10n n S S λ+-<，得()()11111112121112221212221n nn n n n n S S λ+++++---<===----， 所以，数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递增，其最小项为122211213S S -==-，所以，13λ<， 因此，实数λ的取值范围是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故选C ． 【点睛】本题考查利用数列前n 项和求数列的通项，其关系式为1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩，其次考查了数列不等式与参数的取值范围问题，一般利用参变量分离法转化为数列的最值问题来求解，考查化归与转化问题，属于中等题．8．已知直线l 、m 与平面α、β，l α⊂，m β⊂，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//l m ，则必有//αβ B ．若l m ⊥，则必有αβ⊥ C ．若l β⊥，则必有αβ⊥D ．若αβ⊥，则必有m α⊥【答案】C【解析】根据空间点、直线、平面之间的位置关系，结合线线、线面平行垂直的判定和性质，对四个选项逐一判断可得答案. 【详解】解：A .如图所示，设⋂=c αβ，//l c ，//m c 满足条件//l m ，但是α与β不平行，故A 不正确；B .假设//αβ，n β⊂，//n l ，n m ⊥，则满足条件l m ⊥，但是α与β不垂直，故B 不正确；C .若l α⊂，l β⊥，根据面面垂直的判定定理可得αβ⊥，故C 正确；D .设⋂=c αβ，若//l c ，//m c ，虽然αβ⊥，但是可有//m α，故D 不正确， 综上可知：只有C 正确. 故选：C.【点睛】本题考查空间点、直线、平面之间的位置关系，以及线线、线面平行垂直的判定和性质，考查对命题的判断和推理证明思想，属于基础题.9．执行如图所示的程序框图，若输出的S 值为127，则判断框中可以填（ ）A ．5k <？B ．k 6<？C ．7k <？D ．8k <？【答案】C【解析】写出每次循环的运行结果，即可求解. 【详解】由题意知，第一次循环，1S =，1k =；第二次循环，3S =，2k =； 第三次循环，7=S ，3k =；第四次循环，15S =，4k =； 第五次循环，31S =，5k =；第六次循环，63S =，6k =； 第七次循环，127S =，7k =；此时应退出循环，故判断框内可以填入的条件是“7k <？”. 故选：C 【点睛】本题考查了根据程序框图的运行结果补充条件，考查了基本运算能力，属于基础题.10．设1F ，2F 分别为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，点A ，B 分别为椭圆C 的右顶点和下顶点，且点1F 关于直线AB 的对称点为M .若212MF F F ⊥，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B ．13C D ．2【答案】C【解析】根据已知求出M 坐标，利用1AB F M ⊥，建立,,a b c 关系，结合222a b c =+，即可求解. 【详解】设()0,M c y ，则1MF 的中点为00,2y N ⎛⎫⎪⎝⎭， 即N 在y 轴上，N 又在直线AB 上， 即点N 与B 重合，故1111AB BF b b AB BF k k a c ⎛⎫⊥⇒=-⇒⋅-=- ⎪⎝⎭222b ac a c ac ⇒=⇒-=210e e ⇒+-=，∴12e =. 故选:C. 【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质、点关于直线对称的应用，考查计算求解能力，属于中档题.11．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A ．134石 B ．169石C ．338石D ．1365石【答案】B 【解析】【详解】设夹谷x 石，则281534254x =， 所以153428169.1254x ⨯=≈， 所以这批米内夹谷约为169石，故选B. 【考点】用样本的数据特征估计总体.12．函数22log (2),02()2(),20x x f x f x x --+≤<⎧=⎨---<<⎩，若(1)()f a f a -<，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】结合复合函数单调性判断分段函数单增，再由函数的增减性解不等式去“f ”即可 【详解】由复合函数的单调性，可知，22log (2)y x =--+在[)0,2上单调递增，()()222()22log 2log 2y f x x x =--=--+=+⎡⎤⎣⎦在(2,0)-上单调递增，且函数()f x 在0x =处连续，所以()f x 在(2,2)-上是增函数，由(1)()f a f a -<，得121222a aa a -<⎧⎪-<-<⎨⎪-<<⎩，解得122a <<，故选：D 【点睛】本题考查复合函数增减性的判断，由函数增减性解不等式，属于中档题二、填空题13．已知三棱锥P ABC -的体积为3，4APC π∠=，3BPC π∠=，PA AC ⊥，PB BC ⊥，且平面PAC ⊥平面PBC ，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为______.【答案】16π【解析】取PC 中点D ，根据条件证明AD ⊥平面PBC ，即是棱锥的高，设棱长求出体积，然后等体积转化，可求得棱长，再确定球心，求得半径得到答案. 【详解】设2PC a =，因为PA AC ⊥，4APC π∠=，所以APC △为等腰直角三角形，PC 边上的高为a ，作AD PC ⊥，垂足为D ，因为平面PAC ⊥平面PBC ，平面PAC平面PBC PC =，AD ⊂平面PAC ，所以AD ⊥平面PBC ，所以点A 到平面PBC 的距离为a ，因为3BPC π∠=，PB BC ⊥，所以PB a =，BC 3a =，21332PBC S a a ==△， 所以213433P ABC A PBC V V a --==⋅=，解得2a =， 因为PA AC ⊥，PB BC ⊥，所以PC 的中点为外接球的球心，外接球的半径为2， 所以三棱锥P ABC -外接球的表面积为24216ππ⨯=. 故答案为：16π. 【点睛】本题主要考查空间几何体与球接、切问题的求解方法.14．已知:64p x -≤，:11q a x a -<<+，a R ∈，且p 是q 成立的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】[]3,9【解析】先解出不等式64x -≤得出解集为[]2,10，由题意得出()[]1,12,10a a -+，列出不等式组解出实数a 的取值范围.【详解】解不等式64x -≤，即464x -≤-≤，得210x ≤≤，:210p x ∴≤≤. 由于p 是q 成立的必要不充分条件，则()[]1,12,10a a -+，所以12110a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得39a ≤≤，因此，实数a 的取值范围是[]3,9，故答案为[]3,9. 【点睛】本题考查利用充分必要性求参数的取值范围，涉及绝对值不等式的解法，解题的关键就是利用充分必要性转化为两集合间的包含关系，考查化归与转化思想，属于中等题. 15．在平面直角坐标系中，当P(x ，y)不是原点时，定义P 的“伴随点”为2222(,)y xP x y x y -++'；当P 是原点时，定义P 的“伴随点“为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C '定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题： ①若点A 的“伴随点”是点A '，则点A '的“伴随点”是点A ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C '关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）. 【答案】②③【解析】【详解】试题分析：对于①，若令(1,1)P ，则其伴随点为11(,)22P '-，而11(,)22P '-的伴随点为(1,1)--，而不是P ，故错误；对于②，设曲线0(),f x y =关于x 轴对称，则(,)0f x y -=对曲线0(),f x y =表示同一曲线，其伴随曲线分别为2222(,)0y x f x y x y -=++与2222(,)0y xf x y x y --=++也表示同一曲线，又因为其伴随曲线分别为2222(,)0y x f x y x y -=++与2222(,)0y xf x y x y--=++的图象关于y 轴对称，所以正确；③令单位圆上点的坐标为(cos ,sin )P x x 其伴随点为(sin ,cos )P x x '-仍在单位圆上，故正确；对于④，直线y kx b =+上取点后得其伴随点2222(,)y xx y x y-++消参后轨迹是圆，故错误.所以正确的为序号为②③. 【考点】对新定义的理解、函数的对称性.三、双空题16．“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月共织九匹三丈．”其白话意译为：“现有一善织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织了5尺布，现在一个月（按30天计算）共织布390尺．”则每天增加的数量为____尺，设该女子一个月中第n 天所织布的尺数为n a ，则14151617+++=a a a a ______． 【答案】162952 【解析】设从第2天开始,每天比前一天多织d 尺布,由等差数列前n 项和公式求出1629d =,由此利用等差数列通项公式能求出14151617a a a a +++. 【详解】设从第2天开始,每天比前一天多织d 尺布, 则3030293053902S d ⨯=⨯+=, 解得1629d =,即每天增加的数量为1629， 14151617111113141516a a a a a d a d a d a d ∴+++=+++++++ 1458a d =+ 1645585229=⨯+⨯=，故答案为1629，52. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的求和公式，意在考查利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.四、解答题17．已知函数2()sin cos 2f x x x x =+-. （1）求()y f x =的最小正周期，并求其单调递减区间；（2）ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2f A =-，且A 为钝角，2a =，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）()f x 最小正周期T π=；单调递减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2【解析】（1）利用二倍角和辅助角公式可化简函数为()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；利用2T πω=可求得最小正周期；令()3222232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈解出x 的范围即可得到单调递减区间；（2）由()2f A =-sin 232A π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，根据A 的范围可求出A 的取值；利用余弦定理和基本不等式可求出bc 的最大值，代入三角形面积公式求得结果. 【详解】（1）()21sin cos sin 22sin 223f x x x x x x x π⎛⎫=⋅=+=+ ⎪⎝⎭ ()f x ∴最小正周期：22T ππ== 令()3222232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得：()71212k x k k Z ππππ+≤≤+∈ ()f x ∴的单调递减区间为：()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦单调递减区间7,()1212k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由()f A =sin 23A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,2A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭472,333A πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭ 5233A ππ∴+=，解得：23A π= 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：2243b c bc bc =++≥（当且仅当b c =时取等号）43bc ∴≤1142sin sin 22333ABC S bc A π∆∴=≤⨯=即ABC ∆【点睛】本题考查正弦型函数最小正周期和单调区间的求解、解三角形中三角形面积最值的求解问题；涉及到二倍角公式和辅助角公式的应用、余弦定理和三角形面积公式的应用等知识；求解正弦型函数单调区间的常用解法为整体代入的方式，通过与正弦函数图象的对应关系来进行求解.18．某学校高二年级共有1600人，现统计他们某项任务完成时间介于30分钟到90分钟之间，图中是统计结果的频率分布直方图.（1）求平均值、众数、中位数；（2）若学校规定完成时间在[30,50)分钟内的成绩为A 等；完成时间在[50,70)分钟内的成绩为B 等；完成时间在[70,90)分钟内的成绩为C 等，按成绩分层抽样从全校学生中抽取10名学生，则成绩为B 等的学生抽取人数为？（3）在（2）条件下抽取的成绩为B 等的学生中再随机选取两人，求两人中至少有一人完成任务时间在[60,70)分钟的概率.【答案】（1）平均数56.5=，众数为55，中位数为50656+=；（2）B 中抽7人； （3）两人中至少有一人完成任务时间在[60，70）分钟的概率为1121． 【解析】试题分析：（1）应用条形分布直方图求平均数的公式为350.1450.1550.5650.2750.05850.0556.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）根据系统抽样，按照比例抽得人数（3）用列举法，将满足条件的例子都写出来，根据离散型随机变量的概率计算公式得到1121． （Ⅰ）平均数为350.1450.1550.5650.2750.05850.0556.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=； 众数为55；因为完成时间在[30，50)分钟内的频率为0.2，在[50，60)分钟内的频率为0.5，所以中位数为50656+=．（Ⅱ）因为A ，B ，C 的频率比为2︰7︰1，共抽10人，所以B 中抽7人． （Ⅲ）抽出的成绩为B 等学生中完成任务时间[50，60)分钟的学生有5人，设为a ，b ，c ，d ，e ；在[60，70)分钟的学生人数为2人，设为x ，y ， 则7人中任选两人共有：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，x )，(a ，y )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，x )，(b ，y )，(c ，d )，(c ，e )，(c ，x )，(c ，y )，(d ，e )，(d ，x )，(d ，y )，(e ，x )，(e ，y )，(x ，y )共21种．两人中至少有一人完成任务时间在[60，70）分钟内的有：(a ，x )，(a ，y )，(b ，x )，(b ，y )，(c ，x )，(c ，y )，(d ，x )，(d ，y )，(e ，x )，(e ，y )，(x ，y )共11种．所以两人中至少有一人完成任务时间在[60，70）分钟的概率为1121． 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//DC AB ，1PA =，2AB =，2PD BC ==.（1）求证：CD ⊥平面PAD ；（2）若棱PB 上存在异于P 、B 的一点E ，使得二面角E AC P --的余弦值为33，求AE 与平面ABCD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（25. 【解析】（1）由AD AB ⊥，//CD AB ，推出CD AD ⊥，再根据PA ⊥平面ABCD ，推出CD PA ⊥，最后根据线面垂直的判定定理，从而可证CD ⊥平面PAD ； （2）根据题设条件建立以A 为坐标原点，以AD ，AB ，AP 所在射线分别为,,x y z 轴的空间直角坐标系，设(),,E x y z ，由PE PB λ→→=得出()0,2,1E λλ-，分别求出平面PAC 与平面EAC 的一个法向量，再根据二面角E AC P --的余弦值为33，即可求得λ，从而可得AE 与平面ABCD 所成角的正弦值． 【详解】 （1）证明：AD AB ⊥，//CD AB ，CD AD ∴⊥，PA ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ，CD PA ∴⊥，AD PA A =，且,AD PA ⊂平面PAD ，CD平面PAD.（2）解: 以A为坐标原点，以AD，AB，AP所在射线，分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系A xyz-，如图所示，则221AD PD PA=-=，由点C向AB作垂线CH, 则221BH BC AD=-=，∴1DC AH AB BH==-=，∴()()()()0,0,0,0,0,1,0,2,0,1,1,0A PB C，设(),,E x y z，则()(),,1,0,2,1PE x y z PB→→=-=-，∵E在棱PB上，∴PE PBλ→→=（01λ<<），即()(),,10,2,1x y zλ-=-，解得：21xyzλλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴()0,2,1Eλλ-，设平面PAC的法向量()111,,u x y z→=，()()0,0,1,1,1,0AP AC→→==，∴·0·0u APu AC⎧=⎨=⎩，即()()()()111111,,0,0,10,,1,1,00x y zx y z⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111zx y=⎧⎨+=⎩，取11x=，则11y=-，则()1,1,0u→=-，设平面EAC的法向量()222,,v x y z→=，()()0,2,1,1,1,0AE AC λλ→→=-=，∴ ·0·0v AE v AC ⎧=⎨=⎩，即()()()()222222,,0,2,10,,1,1,00x y z x y z λλ⎧⋅-=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()22222100y z x y λλ⎧+-=⎨+=⎩，取21,x =则22221,(0)11y z λλλλ=-=>--， ∴21,1,1v λλ→⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，∴()21,1,01,1,cos u u vv λθ→→→→⎛⎫-⋅- ⎪⋅====⋅，解得：12λ=， ∴10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，10,1,2AE →⎛⎫= ⎪⎝⎭，易知平面ABCD 的法向量()0,0,1m →=，所以AE 与平面ABCD所成角的正弦值1sin Em AEm A α→→→→⋅===⋅【点睛】本题考查线面垂直的判定定理，以及利用空间向量求二面角和线面角，空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两向量垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20．已知椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>，1F ，2F 分别为E 的左、右焦点，过E 的右焦点2F 作x 轴的垂线交E 于A ，B 两点，1F AB． （1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在与x 轴不垂直的直线l 与E 交于C ，D 两点，且弦CD 的垂直平分线过E 的右焦点2F ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=，（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）根据离心率得c a =，根据1F AB ．得21222b c a ⨯⨯=，从而解得221.2b a ==，可得椭圆E 的方程；（2）假设存在与x 轴不垂直的直线l 满足题意，设:(0)=+≠l y kx m k ，代入2212x y +=，设11(,)C x y ，22(,)D x y ，根据判别式可得2212k m +>，根据韦达定理得弦CD 的中点坐标，可求得弦CD 的垂直平分线方程，将2F 代入可得212k m k+=-，将其代入2212k m +>，得210k +<无解，故不存在符合题意的直线l . 【详解】（1）依题意2c a =，22||b AB a =，所以21222b c a ⨯⨯=，即21b =，所以2221a c b -==，所以22112a a -=，所以22a =， 所以椭圆E 的方程为2212x y +=.（2）假设存在与x 轴不垂直的直线l 满足题意，设:(0)=+≠l y kx m k ，将其代入2212x y +=，整理得222(12)4220k x kmx m +++-=， 所以2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+->，所以2212k m +>， 设11(,)C x y ，22(,)D x y ，则122412kmx x k +=-+，则1212y y kx m kx m +=+++2122242()221212k m mk x x m m k k =++=-+=++， 所以CD 的中点为M 222(,)1212km mk k -++，所以弦CD 的垂直平分线方程为2212()1212m kmy x k k k -=-+++， 因为弦CD 的垂直平分线过E 的右焦点2F (1,0)， 所以22120(1)1212m kmk k k-=--++， 所以212k m k+=-，将其代入2212k m +>，得2222(12)12k k k ++>，化简得210k +<，此不等式不成立， 所以不存在符合题意的直线l . 【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了运算求解能力，属于中档题.21．已知函数()21x f x e x =--（1）求曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程；（2）设()()(1)xg x af x a e =+-，若()g x 有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）y x =-；（2）2⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭. 【解析】（1）求出()f x 的导数，根据切线的斜率即为函数在0x =处的导数值可求出斜率，求出切点坐标，即可写出切线方程；（2）求出()g x 的导数，讨论a 的范围以确定函数的单调性，令min ()0g x <即可求出a 的取值范围. 【详解】（1）由题意知()2x f x e '=-，(0)121k f '==-=-，又0(0)2010f e =-⨯-=，∴()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为y x =-.（2）当时()2x g x e ax a =--，()2xg x e a '=-，当0a ≤时，()0g x '>，∴()g x 在R 上单调递增，不符合题意. 当0a >时，令()0g x '=，得ln(2)x a =， 在(,ln(2))a -∞上，()0g x '<， 在(ln(2),)a +∞上，()0g x '>，∴()g x 在(,ln(2))a -∞上单调递减，在(ln(2),)a +∞上单调递增，∴()()()()()min ln 22ln 22ln 2g x g a a a a a a a ==-=-，∵()g x 有两个零点，且当x →-∞时，()()2210xxg x e ax a e a x =--=-+>，当x →+∞时，()g x →+∞，∴min ()0g x <，即2ln(2)0a a a -<， ∵0a >，∴1ln(2)2a >，解得a >， ∴实数a的取值范围为2⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的零点，属于中档题. 22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求曲线1C 、2C 的直角坐标方程;（2）设曲线1C 、2C 交于点A 、B ，曲线2C 与x 轴交于点E ，求线段AB 的中点到点E 的距离.【答案】（1）()221:24C x y +-=，2:40C x -=；（2）1.【解析】（1）将曲线1C 的极坐标方程变形为24sin 0ρρθ-=，将曲线2C 的极坐标方程变形为cos sin 40ρθθ+-=，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可将曲线1C 、2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）可得出点()4,0E 以及直线2C 的倾斜角为56π，写出直线2C 的参数方程，并将直线2C 的参数方程与曲线1C 的直角坐标方程联立，列出韦达定理，可得出线段AB 的中点所对应的参数，进而可求得线段AB 的中点到点E 的距离. 【详解】（1）曲线1C 的极坐标方程可以化为24sin 0ρρθ-=，所以曲线1C 的直角坐标方程为2240x y y +-=，即()2224x y +-=.曲线2C的极坐标方程可以化为1cos sin 2022ρθρθ+-=， 所以曲线2C的直角坐标方程为40x -=； （2）易知点E 的坐标为()4,0，直线2C 的倾斜角为56π， 所以2C的参数方程为412x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）. 将2C 的参数方程代入曲线1C的直角坐标方程得221+2442t ⎝⎛⎪⎫-= ⎪⎝⎪⎭⎛⎫-⎭，整理得()22160t t -+=，判别式()2264120∆=-=>，设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，则线段AB的中点对应的参数为1212t t +=， 所以线段AB 的中点到点E的距离为1. 【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程之间的相互转化，同时也考查了利用直线的参数方程解决实际问题，考查计算能力，属于中等题.23．已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++- （1）当2a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集； （2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求a 的取值范围. 【答案】（1）{12}x x -≤≤∣；（2）77,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）分段讨论可求出不等式的解集； （2）不等式()()f x g x ≥的解集包含11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦等价于当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()2f x ≥，列出不等式求解即可. 【详解】（1）当2a =时，不等式()()f x g x ≥等价于224|1||1|0x x x x --+-++≤①，当1x <-时，①式化为2440x x --≤，无解；高三质量检测 当11x -≤≤时，①式化为2220x x --≤，解得11x ≤≤； 当1x >时，①式化为240x -≤，解得12x <≤.综上，()()f x g x ≥的解集为{12}x x ≤≤∣.（2）当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()2g x =， 所以()()f x g x ≥的解集包含11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 等价于当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()2f x ≥. 又()f x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值必为12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭与12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭之一， 所以122f ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭且122f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 得7722a -≤≤， 所以a 的取值范围为77,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查含有绝对值不等式的解法，属于中档题.。