空间点线面的位置关系及公理

1．四个公理
公理1：若是一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在那个平面内(即直线在平面内)． 公理2：通过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即能够确信一个平面)．
公理3：若是两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过那个点的公共直线．
公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．
2．直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类
⎩⎪⎨⎪⎧ 共面直线⎩⎨⎧ 平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
(2)异面直线所成的角
①概念：过空间任意一点P 别离引两条异面直线a ，b 的平行线l 1，l 2(a ∥l 1，b ∥l 2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．
②范围：(]
0，π2. 3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情形．
4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情形．
5．等角定理
空间中，若是两个角的两边别离对应平行，那么这两个角相等或互补．
【知识拓展】
1．唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
2．异面直线的判定定理
通过平面内一点的直线与平面内不通过该点的直线互为异面直线．
【试探辨析】
判定以下结论是不是正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若是两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.()
(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．()
(3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.()
(4)通过两条相交直线，有且只有一个平面．()
(5)没有公共点的两条直线是异面直线．()
1．以下命题正确的个数为()
①梯形能够确信一个平面；
②假设两条直线和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线平行；
③两两相交的三条直线最多能够确信三个平面；
④若是两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．(2016·浙江)已知相互垂直的平面α，β交于直线l.假设直线m，n知足m∥α，n⊥β，那么() A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
3．(2016·合肥质检)已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，那么以下判定正确的选项是() A．假设m∥α，n∥α，那么m∥n
B．假设m⊥α，n∥β，α⊥β，那么m⊥n
C．假设α∩β＝l，m∥α，m∥β，那么m∥l
D．假设α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，那么l⊥α
4.(教材改编)如下图，已知在长方体ABCD－EFGH中，AB＝23，AD＝23，AE＝2，那么BC和EG所成角的大小是______，AE和BG所成角的大小是________．
5．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，那么直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．
题型一平面大体性质的应用
例1(1)(2016·山东)已知直线a，b别离在两个不同的平面α，β内，那么“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()
A．充分没必要要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也没必要要条件
(2)已知空间四边形ABCD(如下图)，E、F别离是AB、AD的中点，G、H别离是BC、CD上的点，且CG＝
1
3BC，CH＝1
3DC.求证：
①E 、F 、G 、H 四点共面；
②三直线FH 、EG 、AC 共点．
如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB
＝90°，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12
AF ，G 、H 别离为F A 、FD 的中点． (1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；
(2)C 、D 、F 、E 四点是不是共面？什么缘故？
题型二 判定空间两直线的位置关系
例2 (1)(2021·广东)假设直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，那么以下命题正确的选项是( )
A ．l 与l 1，l 2都不相交
B ．l 与l 1，l 2都相交
C ．l 最多与l 1，l 2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N别离是BC1，CD1的中点，那么以下判定错误的选项是() A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直
C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行
(3)在图中，G、N、M、H别离是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的极点或所在棱的中点，那么表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)
(1)已知a，b，c为三条不重合的直线，有以下结论：①若a⊥b，a⊥c，那么b∥c；②若a⊥b，a⊥c，那么b⊥c；③若a∥b，b⊥c，那么a⊥c.其中正确的个数为()
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)(2016·南昌一模)已知a、b、c是相异直线，α、β、γ是相异平面，那么以下命题中正确的选项是() A．a与b异面，b与c异面⇒a与c异面
B．a与b相交，b与c相交⇒a与c相交
C．α∥β，β∥γ⇒α∥γ
D．a∥α，b∥β，α与β相交⇒a与b相交
题型三求两条异面直线所成的角
例3(2016·重庆模拟)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面相互垂直，那么异面直线AP与BD所成的角为________．
已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，那么异面直线CE与BD所成角的余弦值为()
16．构造模型判定空间线面位置关系
典例已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有以下四个命题：
①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，那么α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，那么α∥β；
③若m⊥α，n∥β，m⊥n，那么α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，那么m⊥n.
其中所有正确的命题是________．
1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，aα，b⊥β，那么“α∥β”是“a⊥b”的() A．充分没必要要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也没必要要条件2．(2016·福州质检)在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F别离为棱AA1、CC1的中点，那么在空间中与直线A1B1、EF、BC都相交的直线()
A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条
3．关于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l()
A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线
4．在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上别离取E，F，G，H四点，若是EF与HG交于点M，那么() A．M必然在直线AC上
B．M必然在直线BD上
C．M可能在AC上，也可能在BD上
D．M既不在AC上，也不在BD上
5．四棱锥P－ABCD的所有侧棱长都为5，底面ABCD是边长为2的正方形，那么CD与P A所成角的余弦值为()
6．以下命题中，正确的选项是()
A．假设a，b是两条直线，α，β是两个平面，且aα，bβ，那么a，b是异面直线
B．假设a，b是两条直线，且a∥b，那么直线a平行于通过直线b的所有平面
C．假设直线a与平面α不平行，那么此直线与平面内的所有直线都不平行
D．假设直线a∥平面α，点P∈α，那么平面α内通过点P且与直线a平行的直线有且只有一条7．(2016·南昌高三期末)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形．∠ACB＝90°，AC＝6，BC ＝CC1＝2，P是BC1上一动点，那么CP＋P A1的最小值为________．
8.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N别离为DE、BE、EF、EC的中点，在那个正四面体中，
①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；
④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．
9．(2021·浙江)如图，三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N别离是AD，BC的中点，那么异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．
10.(2016·郑州质检)如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成
△A1DE.假设M为线段A1C的中点，那么在△ADE翻折进程中，下面四个命题中不正确的选项是________．
①BM是定值；
②点M在某个球面上运动；
③存在某个位置，使DE⊥A1C；
④存在某个位置，使MB∥平面A1DE.
12.如下图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，假设DA＝1，且E为DA 的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．
13.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F别离为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：
(1)D、B、F、E四点共面；
(2)假设A1C交平面DBFE于R点，那么P，Q，R三点共线．。