[精]高三第一轮复习全套课件9立体几何：立体几何复习1

ˊ ˊ
o
o
α
a
一、概念
名称 定义
直线a、b是异面直线，经过空间 任意一点o，作直线a’、b’，并 使a’//a，b’//b，我们把直线a’ 和b’所成的锐角（或直角）叫做 异面直线a和b所成的角。 平面的一条斜线和它在这个平面内的 射影所成的锐角，叫做这条直线和这 个平面所成的角，特别地，若Lᅩα则 L与α所成的角是直角，若L//α或 L α，则L与α所成的角是0º 的角。
E 2
3
C
3
A 4 B A 4 B
二面角 D—AE—B 为60º
解：如图（1），作DM⊥AE于M，延长DM交CB于N ， 沿AE折成60º 的二面角后如图（2）
过D作DF⊥平面ABCE, 连结EF、 DC 、 CF. 于是∠DEF是DE与平面ABCE所成的角， ∠DCF是DC与平面ABCE所成的角. D 3 A 4
C1
A1 C A
分析：求二面角B B1C A的度数，要作出平面角，显然二面 角的棱为B1C，故需在B1C上取一点，然后分别在两个面内作垂 直于棱的两条射线。
AN= AB AC = 1 2 = 6 3 3 BC 又 AC AB1 AQ B1C=AC AB1 AB1 AC 2 2 AQ= = =1 B1C AN 26 Sin AQN= AQ =
①作（找） 证 ③ 点 ④ 算 ②
例1： 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F 三、例题
分别是BB1 、CD中点。求AE与D1F所成的角。
连结 解：如图，取AB的中点G ， FG ，A1G ， A1G与AE交于O （作） FG AD又 AD A1D1 A1 A1D1 FG 四边形A1GFD1 为平行四边形 D1 C1
图形
两条异面直线 所成的角
直线与平面 所成的角
A L
α
o
θ
B
二面角及它的
平面角
从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角。以二面角的 棱上任意一点为端点，在两个面内 分别作垂直于棱的两条射线，这两 条射线所成的角叫做二面角的平面 角。
α L
A O
B
β
二、数学思想、方法、步骤：
1.数学思想： 解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化归与转化， 即把空间的角转化为平面的角，进而转化为三角形的内角， 然后通过解三角形求得。 2.方法： a.求异面直线所成的角：平移 构造可解三角形 b.求直线与平面所成的角： 找（或作）射影 c.求二面角的大小： 找（或作）其平面角 3.步骤： 构造可解三角形 构造可解三角形
M A1
B1
解：连结NM并延长交 B1A1 的延长线于点D，连 C 结 C1 D，则截面 C1 MN与底面 A1 B1C1 所成二面 A 角的棱为 C1D。 在 N B1D中， B1N=2 A1 M， 且 B1 N A1 M，D B1 =2DA1 D A1 = A1B1= A1C1 M C1 A1 B1C1 为等边三角形 又 C1A1 D=180-60=120 A1 A1C1D=30，又 A1 C1B1 =60 B1C1D=90，即DC1 B1C1 又 CC1 平面 A1 B1C1 CC1 C1D D C1D 平面 C1B1 BC 又 N C1 平面C1B1BC ， C D C N 1 1 N C1B1 是平面 C1MN与底面所成二面角的平面角。 又 在Rt N B1C1 中，B1N=B1C1 NC1B1=45 即截面 C1MN与底面 A1 B1C1所成二面角为45 ， 利用面积也可作出Cos =
2 2 EF 在Rt∆EFM中， ME MF
5 13
5 5 5 13 13 2 26 2 13
在Rt∆DFE中，Cos∠DEF= ∴∠
5 13 DEF= arccos 26
EF DE
即DE与平面AC所成的角为
5 13 arccos 26
D
D 3
A
2
M
E
F 4
2 C
E C
F
N B
2 2
ME=
DE 2 4 36 52 36 4 （或ME DE 2 DM 2 4 ) AE 13 13 13 13
D
D 3
A
2
M
E
F 4
2 C
E C
F
N B
MF DM COS 60
M
A
图（2）
6 1 3 13 2 13
N B
图（1）
在Rt∆DFM中，
一、概念
名称 定义
直线a、b是异面直线，经过空间任意 一点o，作直线a’、b’，并使a’//a， b’//b，我们把直线a’和b’所成的 锐角（或直角）叫做异面直线a和b所 成的角。
图形
两条异面直线 所成的角
直线与平面
所成的角
二面角及它的 平面角
O是空间中的任意一点
点o常取在两条异面直线中的一条 b 上 θ a . b
图形
两条异面直线 所成的角
直线与平面 所成的角
二面角及它的
平面角
A L
o α
θ
B
一、概念
名称 定义
直线a、b是异面直线，经过空间 任意一点o，作直线a’、b’，并 使a’//a，b’//b，我们把直线a’ 和b’所成的锐角（或直角）叫做 异面直线a和b所成的角。 平面的一条斜线和它在这个平面内的 射影所成的锐角，叫做这条直线和这 个平面所成的角，特别地，若Lᅩα则 L与α所成的角是直角，若L//α或 L α，则L与α所成的角是的角。
注：在求解图形翻折问题时， （1）分别画好平面图形和翻折后的立体图， 字母一定要一致； （2）弄清平面图中的量与位置关系在翻折后的变
与不变的情况；
（3）按题意作出包含已知与未知的图形，然后
计算和证明。
B1 例3： 如图，在直三棱柱ABC-A1 B1 C1中， BAC=90º ，AB=BB1=1，直 线B1C与平面ABC成30º 的角， B 求二面角B B1C A的余弦值。
M
A
图（2） DM 3 cos 在图（1）中，设∠EDM=α，在Rt∆DME中， DE 13 图（1）
N B
∵DF=DM+MF= 13 13 13 在∆DFC中，由余弦定理得：CF² =DF² +DC² -2DF·DC·Cosα=73/13 在图（2）中∵DF= 在Rt∆DFC中，
DE 2 EF 2 2 2 ( 5 13 )2 4 25 52 25 27 3 3 13 13 13 13
B1
（证） A1G D1F O A1G与AE所成的锐角（或直角） （ 就是AE与D1F所成的角。 点） A G E是BB1的中点 R t A1AG ABE GA1A= GAO AOG=90 即直线AE与D1F所成的角为直角。 （算）
D
F E B
C
例2.已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E为DC边上的中点， 沿AE折成60º 的二面角，分别求DE、DC与平面AC所成的角。 D D E C
S S
B N
B1
3 6 2 =（ 4 a2 ）/（ 4 a2 ）= 2
=45
3
解：作AN BC于N，则AN 平面 B1 BCC1B1，作NQ B1C于Q，则AQ B1C AQN是二面角B B1C A的平面角。 AN BC=AB AC B
C1
A1
Q
N C
A
Cos AQN=
3
3
另解：
AC AB AC AA1 AC 平面AA1B1B 又 AC 平面ACB1 平面ACB1 平面AA1B1B
图形
两条异面直线 所成的角
直线与平面 所成的角
A L
α
o
θ
B
二面角及它的
平面角
从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角。以二面角的 棱上任意一点为端点，在两个面内 分别作垂直于棱的两条射线，这两 条射线所成的角叫做二面角的平面 角。
A α O L β B
一、概念
名称 定义
直线a、b是异面直线，经过空间 任意一点o，作直线a’、b’，并 使a’//a，b’//b，我们把直线a’ 和b’所成的锐角（或直角）叫做 异面直线a和b所成的角。 平面的一条斜线和它在这个平面内的 射影所成的锐角，叫做这条直线和这 个平面所成的角，特别地，若Lᅩα则 L与α所成的角是直角，若L//α或 L α，则L与α所成的角是的角。
6
Байду номын сангаас

3

9
∴
3 219 DCF arctan 73
3 219 即DC与平面AC所成的角为： arctan 73
3 3 DF 3 3 3 219 tanDCF 13 CF 73 73 73 13
D
D 3 A
2
M
E F 4
2
C
E
N B
M F
C
A
图（2）
N B
图（1）
另外，过D作DF ⊥平面ABCE于F；过F作FM ⊥AE于M；连结DM，则DM ⊥AE，从而 ∠DMF=60° 也可。
B1
F E A1
C1
设E为AB1的中点，连接BE则BE 平面ACB1 B 作EF B1C于F，连接BF，则BF B1C
C
EFB是二面角B— B1C —A的平面角。 A AB BB1=AB1 BE 2 AB BB1 1 1 BE = = = 2 2 AB1 又 BC BB1 = B1C BF BC BB1 = 3 1 = 3 BF= 2 2 B1C 3 BE 3 6 2 Cos EFB= Sin EFB= BF = = 3 3 2 2 3 即二面角B— B1C—A的平面角的余弦值为
图（1） D
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