数学说题案例(上传)

说题题目：2012年广东高考理科19题2013年9月23日题目：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11221n n n S a ++=-+，*n N ∈，且123,5,a a a +成等差数列。

（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a ++⋅⋅⋅+<。

一、目标：数列是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点。

而且往往还以解答题的形式出现，所以我们在复习时应给予重视。

近几年的高考数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了学生的各种能力。

解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数，不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，放缩，等数学思想方法.。

二、题目难度：本题是2012年广东高考理科第19题，题目的难度是属于中高难度。

第一小问属于比较基础的题目，一般在中等学生都可以进行解答，而第二小问需要构建一个新的数列，利用等比数列进行求解，难度中上。

第三小问的难度就比较大，对中等或中上以上的学生进行考察，能让学生有明显的区分度。

三、本题立意：该题是2012年广东高考数学理科第19题。

第（1）问是比较基础的知识，已知11221n n n S a ++=-+，123,5,a a a +成等差数列。

只要掌握等差数列的基本公式和数列的递推，只要是考察学生对数列基础知识的掌握程度。

而第（2）问是数列通项公式的求法，得到nn n a a 231+=+后需要构造一个新的数列nn n a c 2+=，则1112++++=n n n a c ，从而得到nn c c 31=+数列的形式，主要考察学生对递推数列的理解程度。

和等比数列的通项公式。

第（3）问则要用到二项式定理32(12)2n n n nn a =-=+-12211122222n n n n n n n C C C --=+⋅+⋅++⋅+- ，或课本ba b a b b ab aa n n nn n n --=++∙+∙+++--11221的掌握，所以，该题的目的是考察学生对递推数列，等差等比数列的通项公式，二项式定理、列项相消法、等比数列求和，放缩法等方法的掌握程度，考察是否有比较扎实的数学功底，还要对所学的知识进行融会贯通，各个知识点联系和运用。

知识的跨度和灵活度都比较大，题目难度较大。

能区分不同层次的学生。

四、解题思路：第（1）问：从题目给出的条件：已知11221n n n S a ++=-+，123,5,a a a +成等差数列，比较容易让学生联想到等差数列的有关公式，和n a 与n S 的关系1(2)n n n a S S n -=-≥，比较容易得到1a 的值，当然，对一些基础不是很好的学生，可以直接用递推的方法直接得到答案。

例如：当1n =时,1223S a =-,即2123a a -=,当2n =时,2327S a =-,即321227a a a --=,又()21325a a a +=+ （出自课本必修五P31例3） 联立上述三个式子可得11a =.第（2）问：当2n ≥时,由11221n n n S a ++=-+得1221n n n S a -=-+,两式相减整理得132n n n a a +=-（公式源自课本必修五P66第三题），最关键的一步是如何处理成：11312222n n n n a a ++=⋅+（或()11+232n nn n a a ++=+）的形式，然后构造一个新的等比数列求解。

关键是引导学生在得到132nn n a a +=-后两边是同时除以12+n ，而不是除以n2。

要有递推数列的意识。

第（3）问：在第（2）问得到32nnn a =-后，nnn a 2311-=要得到1211132n a a a ++⋅⋅⋅+<，肯定需要用到放缩法。

关键的处理时nn23-的分解。

常规的平方差公式不行。

高次方的分解可以使用二项式定理或对底数进行适当放缩。

难点就是用二项式定理后如何进行适当放缩。

所以，第（3）问解答的难点是将32(12)2n n n n n a =-=+-从而得到12211122222n n n n n n n C C C --=+⋅+⋅++⋅+- 122111222n n n n n C C C --=+⋅+⋅++⋅之后如何进行放缩的问题。

同时，针对学生的基础，需要引导学生如何拿到分步的基础分。

不要因为没有明显的思路或难以分析就直接整题都放弃。

五、讲解策略：第（1）问属于基础题，可以让学生自己摸索解决，只要给一定的时间，让他独立进行递推数列的推导，不难得到1a 。

只要学生懂得数列的递推就可以了。

（个别基础较差的可以适当引导）。

推导过程：当1n =时,1223S a =-,即2123a a -=,当2n =时,2327S a =-,即321227a a a --=,又()21325a a a +=+联立上述三个式子可得11a =.第（2）问需要用到1(2)n n n a S S n -=-≥，在得到nn n a a 231+=+后，第一个难点:由于n2不是常数，)(3)(1k a k a n n +=++（k 为常数）形式不能解决问题，要引导学生学会递推数列的真正含义。

会处理成递推数列的形式：()11+232n n n n a a ++=+。

第二个难点：构造一个新的数列nn n a c 2+=，则1112++++=n n n a c ，从而得到nn c c 31=+（方法源自课本必修五P69第6题）再利用等比数列公式，最后得到32n nn a =-。

第三个难点：得到32nnn a =-后，n n n a 2311-=要得到1211132n a a a ++⋅⋅⋅+<，肯定需要用到放缩法。

关键的处理时nn 23-的分解。

如果使用二项式定理，懂将32(12)2n n n n n a =-=+-从而得到12211122222n n n n n n n C C C --=+⋅+⋅++⋅+-122111222n n n n n C C C --=+⋅+⋅++⋅ 2222(1)n C n n >⋅=-（要得到1211132n a a a ++⋅⋅⋅+<，常用的是拆项相消法。

只需要利用)1(2222-=∙n n c n ）。

第四个难点：拆项相消：又因为2522(21)a =>⨯⨯-,所以2(1),2n a n n n >-≥, 所以11111()2(1)21n a n n n n<=--- 所以12311111111111131(1)1(1)2234122n a a a a n n n ++++<+-+-++-=+-<-（出自课本必修五P47第4题）在题目的讲解和引导中，要充分考虑上述几个难点，给学生分析和探索的时间。

对关键点的解答要进行适当的引导。

解题思路二：（分解因式，直接放缩）（解法二：∵()()123211323233232...23n n n n n n n n a -----=-=-+⨯+⨯++≥（出自课本必修五P62第一题）∴ 1113n n a -≤∴，21123111311111113...1...1333213n n n a a a a -⎛⎫⎛⎫⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++≤++++=<-解法二相对解法更直接，但是要会进行n 次方差的因式分解，和数列的放缩。

可以让学生自己进行分析和尝试。

六、题目的价值和效果：本题是2012年广东高考理科19题，以知识和方法立意，考察了： （1） 递推数列，等差数列通项公式，等比数列通项公式； （2） 知nS 求na 对应公式 ，1(2)n n n a S S n -=-≥，（3） 二项式定理，（解法一）（4） 列项相消求和（解法一），等比数列的求和（解法二）（5）不等式的放缩。

（6） nnb a - 的分解（解法二）。

等知识点。

题目入手容易（第一问），融合了众多的知识点，所用方法和考察点都出自课本，很好地考察了学生对基础知识的掌握程度，和各部分知识点的联系，和知识的综合运用程度，在题目解答过程中个适当地插入课本对数列不同知识点的要求和方法，既有基础，又适当拔高难度。

要求学生对课本的基本公式和定理比较熟悉，还能灵活运用。

在高考中将不同层次的学生很好地进行区分。

这样的命题思路和形式在2013年的高考中得到充分的体现。

2013年广东高考的数列题的解题思路和知识点的考察与2012年的高度相似。

值得我们探讨和研究。

七、题目很好地体现了广东高考：源于课本，高于课本的原则。

解题过程中需要用到的公式或方法基本都是出自课本，很好地体现了广东高考数学题目源自课本，高于课本的原则。

（1）例如：)22323233)(23(231223121-----+∙++∙+∙+-=-n n n n n n n与课本必修五第62页第（1）题：求证：b a b a b b ab aa n n nn n n --=++∙+∙+++--11221是一样的。

如果学生会使用，高考中利用解法二会简单很多。

（2）新数列的构建是教学中学生比较难理解和掌握的方法，例如题目中： 由1(2)n n n a S S n -=-≥，在得到nn n a a 231+=+后，由于n2不是常数，利用)(3)(1k a k a n n +=++（k 为常数）形式不能解决问题，要得到递推数列的形式：()11+232n n n n a a ++=+，需要构造一个新的数列nn n a c 2+=，则1112++++=n n n a c ，从而得到nn c c 31=+这样的方法源自课本必修五P69第6题：数列}{n a 中，)3(32,2,52121≥+===--n a a a a a n n n ，该题解答中也需要将：)3(3221≥+=--n a a a n n n 化为：)(3211---+=+n n n n a a a a 形式。

然后构建一个新的数列,1-+=n n n a a c 然后得到13-=n n c c 。

对比可以发现，两题的解法几乎一致。

还有列项相消，数列递推，二项式定理，数列求和等方法，在课本都能找到出处（部分在前面已经列举）。

所以通过题目的讲解和练习，应该引导学生回归课本，扎扎实实打好基础，不要做一些偏题怪题。

举一反三，充分理解课本题目的涵义。

八、题目的推广、延伸：类似的高考题：1、（2008广东文数）设数列{}n a 满足11a =，22a =，121(2)3n n n a a a --=+ (3,4,)n = 。

数列{}n b 满足11,(2,3,)n b b n == 是非零整数，且对任意的正整数m 和自然数k ，都有111m m m k b b b ++-≤+++≤ 。