高中数学选修1-2综合测试题(附答案)
高中新课标数学选修（1-2）综合测试题 姓名： 班级： 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1.独立性检验，适用于检查______变量之间的关系 （ ） A.线性 B.非线性 C.解释与预报 D.分类 2.在回归直线方程
表示回归系数中bbxay,ˆ
( )
A．当0x时，y的平均值 B.当x变动一个单位时，y的实际变动量 C．当y变动一个单位时，x的平均变动量 D.当x变动一个单位时，y的平均变动量 3.复平面上矩形ABCD的四个顶点中，CBA、、所对应的复数分别为i32、i23、i32，则D点对应的复数是 （ ） A.i32 B.i23 C.i32 D.i23
4.在复数集C内分解因式5422xx等于 （ ）
A.)31)(31(ixix B.)322)(322(ixix C.)1)(1(2ixix D.)1)(1(2ixix 5.已知数列,11,22,5,2，则52是这个数列的 （ ） A.第6项 B.第7项 C.第19项 D.第11项 6. 某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为（ ）
A．12581 B．12554 C．12536 D．12527 7.2020)1()1(ii的值为 （ ） A.0 B.1024 C.1024 D.10241 8.经过对2K的统计量的研究，得到了若干个临界值，当23.841K时，我们 （ ）
A．有95%的把握认为A与B有关 B．有99%的把握认为A与B有关
C．没有充分理由说明事件A与B有关系 D．有97.5%的把握认为A与B有关
9.把正整数按下图所示的规律排序，则从2003到2005的箭头方向依次为（ ） 10.下面说法正确的有 ( ) （1）演绎推理是由一般到特殊的推理； （2）演绎推理得到的结论一定是正确的； （3）演绎推理一般模式是“三段论”形式； （4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.命题“对于任意角2cossincos,44”的证明：
“2cossincos)sin)(cossin(cossincos22222244”过程应用了 ( ) A.分析发 B.综合法 C.综合法、分析法结合使用 D.间接证法
12.执行下列的程序框图，输出的s
A．9900 B．10100 C．5050 D．4950 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中的横线上。） 13.在等腰Rt△ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率
。
14.从),4321(16941,321941),31(41,11，概括出
第n个式子为___________。 15.已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min.则乘客到达站台立即乘上车的概率是
。
16.已知iaii31)1(3，则__________a。 三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17.（12分）（1）已知方程03)12(2imxix有实数根,求实数m的值。
(2)Cz,解方程izizz212。
输出s 开始 i=i+1 i=1 a=100- (i MOD 100) s=s+a S=0 i >200? 结束
是 否 18.（12分）考查小麦种子经灭菌与否跟发生黑穗病的关系，经试验观察，得到数据如 下表所示:
试按照原实验目的作统计分析推断。
19.（12分）有人要走上一个楼梯，每步可向上走一级台阶或二级台阶，我们用na
表示该人走到n级台阶时所有可能不同走法的种数，试寻求na的递推关系。
20.（12分）已知Rdcba、、、，且,11bdacdcba，求证：dcba、、、
中至少有一个是负数。
种子灭菌 种子未灭菌 合计 黑穗病 26 184 210 无黑穗病 50 200 250 合计 76 384 460 21.（12分）某校高一.2班学生每周用于数学学习的时间x（单位：h）与数学成绩y（单位：分）之间有如下数据： x 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13
y 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59
某同学每周用于数学学习的时间为18小时，试预测该生数学成绩。
22.（14分）为积极配合深圳2011年第26届世界大运会志愿者招募工作，某大学数学学院
拟成立由4名同学组成的志愿者招募宣传队，经过初步选定，2名男同学，4名女同学共6名同学成为候选人，每位候选人当选宣传队队员的机会是相同的．
(1)求当选的4名同学中恰有1名男同学的概率； (2)求当选的4名同学中至少有3名女同学的概率． 高中新课标数学选修（1-2）综合测试题答案 一、选择题 1.D；2.D；3.D；4.B；5.B；6.D ；7.A；8.A；9.B；10.C；11.B；12.B 。
二、填空题 13.22； 14.2
)1()1()1(16941121nnnnn
；
15.101; 16.i32。 三、解答题17. 解：(1)设方程的实根为0x，则03)12(020imxix， 因为Rmx、0，所以方程变形为0)12()3(0020ixmxx，
由复数相等得012030020xmxx，解得121210mx， 故121m。 （2）设),(Rbabiaz，则ibiaibiabia21)(2))((， 即iaibba212222。 由12222bbaaa得0111ba或2122ba， izz211或。
18.解：841.38.438476250210)5018420026(46022k， 有95℅的把握认为小麦种子灭菌与否跟发生黑穗病有关。
19.解：由实验可知2,121aa，第三级台阶可以从第二级台阶上一步走一级台阶走上来；或从第一级台级上一步走二级台阶走上来。 因此，123aaa。 类比这种走法，第n级台级可以从第1n台阶上一步走一级台阶走上来；或从第2n级台级上一步走二级台阶走上来，于是有递推关系式：)3(21naaannn。 20.证明：假设dcba、、、都是非负数 因为1dcba， 所以1))((dcba，又bdacbcadbdacdcba))((， 所以1bdac，这与已知1bdac矛盾。 所以dcba、、、中至少有一个是负数。 21.解：因为学习时间与学习成绩间具有相关关系。可以列出下表并用科学计算器进行计算。
ix 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13
iy 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59
iiyx 2208 1185 2231 1691 1024 517 1660 1088 1207 767
4.17x 9.74y
31821012iix 583751012iiy 13578101iiiyx
于是可得53.34.1544.5451010ˆ21012101xxyxyxbiiiii， 5.134.1753.39.74ˆxbya，
因此可求得回归直线方程5.1353.3ˆxy， 当18x时，7704.775.131853.3ˆy， 故该同学预计可得77分左右。
22.解：解答：(1)将2名男同学和4名女同学分别编号为1,2,3,4,5,6(其中1,2是男同学，3,4,5,6是女同学)，该学院6名同学中有4名当选的情况有(1,2,3,4)，(1,2,3,5)，(1,2,3,6)，(1,2,4,5)，(1,2,4,6)，(1,2,5,6)，(1,3,4,5)，(1,3,4,6)，(1,3,5,6)，(1,4,5,6)，(2,3,4,5)，(2,3,4,6)，(2,3,5,6)，(2,4,5,6)，(3,4,5,6)，共15种，当选的4名同学中恰有1名男同学的情况有(1,3,4,5)，(1,3,4,6)，(1,3,5,6)，(1,4,5,6)，(2,3,4,5)，(2,3,4,6)，(2,3,5,6)，(2,4,5,6)，共8种，
故当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为P(A)＝815. (2)当选的4名同学中至少有3名女同学包括3名女同学当选(恰有1名男同学当选),4名女同学当选这两种情况，而4名女同学当选的情况只有(3,4,5,6)，则其概率为P(B)＝115，
又当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为P(A)＝815，故当选的4名同学中至少有3名女同学的概率为P＝815＋115＝35.
高中数学选修二综合测试题知识集锦(带答案)
高中数学选修二综合测试题知识集锦单选题1、等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3，S n为{a n}的前n项和．若S m=63，则m的值是（）A．6B．7C．8D．不存在答案：A分析：利用基本量代换，求出公比q，再根据前n项和公式，即可求出m.等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3，则q2=a5a3=4，则q=±2．当q=2时，若S m=63，则有1×(1−2m)1−2=63，解得m=6；当q=−2时，若S m=63，则有1×[1−(−2)m]1−(−2)=63，整理可得(−2)m=−188，无整数解．故m=6．故选：A．2、下列求导运算不正确．．．的是（）A．(cosx)′=−sinx B．(log2x)′=1xln2C．(e−x)′=e−x D．(√x )′=2x√x答案：C分析：根据基本初等函数的导数以及求导运算法则判断即可.由基本初等函数导数可知：(cosx)′=−sinx，(log2x)′=1xln2，故AB正确；由复合函数求导法则可知：(e−x)′=e−x×(−x)′=−e−x，故C错误；又幂函数的导数可知：(√x )′=(x−12)′=−12x−32=2x√x，故D正确；故选：C.3、若曲线y=x−12在点(a,a−12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a=（）A．24B．32C．64D．86答案：C分析：根据导数的几何意义可求切线斜率即可求出切线方程，由直线求出截距可得三角形面积.∵y=x−12，∴y′=−12x−32，∴曲线在点(a,a−12)处的切线斜率k=−12a−32，∴切线方程为y−a−12=−12a−32(x−a).令x=0，得y=32a−12；令y=0，得x=3a.∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S=12⋅3a⋅32a−12=94a12=18，∴a=64.故选：C4、设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y=(2−x)f′(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(−2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(−2)D．函数f(x)有极大值f(−2)和极小值f(2)答案：B分析：由函数图象，确定f′(x)的零点并判断f′(x)的区间符号，进而可得f(x)的单调性，即可知极值情况. 由图知：当y=0时，有x=±2、x=1，∴f′(1)=0，f′(−2)=0，又x<−2时y>0，而2−x>0则f′(x)>0，即f(x)递增；−2<x<1时y<0，而2−x>0则f′(x)<0，即f(x)递减；1<x<2时y>0，而2−x>0则f′(x)>0，即f(x)递增；x >2时y <0，而2−x <0则f ′(x)>0，即f(x)递增； 综上，(−∞,−2)、(1,+∞)上f(x)递增；(−2,1)上f(x)递减. ∴函数f(x)有极大值f(−2)和极小值f(1). 故选：B5、已知数列{a n }满足a n =1+2+4+⋯+2n−1，则数列{2n a n a n+1}的前5项和为（ ）A ．131B ．163C ．3031D ．6263答案：D分析：先求出a n =2n+1−1，得到2nan a n+1=12n −1−12n+1−1，利用裂项相消法求和.因为a n =1+2+4+⋯+2n−1=2n −1,a n+1=2n+1−1， 所以2na n a n+1=2n(2n −1)(2n+1−1)=(2n+1−1)−(2n −1)(2n −1)(2n+1−1)=12n −1−12n+1−1.所以{2na n a n+1}前5项和为(121−1−122−1)+(122−1−123−1)+⋯+(125−1−126−1)=121−1−126−1=1−163=6263故选：D6、在等比数列{a n }中，a 1=1，a 2a 3=8，则a 4+a5a 1+a 2=（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2 答案：A分析：由题设结合等比数列通项公式求得公比q =2，进而求a 4+a5a 1+a 2.由题设，a 2a 3=a 12q 3=8，又a 1=1，可得q =2，∴a 4+a 5a 1+a 2=a 1q 3+a 1q 4a 1+a 1q=243=8.故选：A7、已知数列{a n }、{b n }都是等差数列，设{a n }的前n 项和为S n ，{b n }的前n 项和为T n .若S n T n=2n+13n+2，则a5b 5=（ ）A ．1929B ．1125C ．1117D ．23 答案：A分析：由题意利用等差数列的性质、等差数列的前n 项和公式，得出结论．∵S n T n =2n+13n+2，∴a 5b 5=2a 52b 5=a 1+a 9b 1+b 9=9(a 1+a 9)29(b 1+b 9)2=S 9T 9=2×9+13×9+2=1929，故选：A8、函数f(x)=3x +ln2的导数为（ ） A ．3x ln3B ．3x ln3+12C ．3x +12D ．3x 答案：A分析：利用导数的计算公式，直接判断选项. f ′(x )=(3x )′+(ln2)′=3x ln3. 故选：A 多选题9、如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第n 层有a n 个球，从上往下n 层球的总数为S n ，则（ ）A ．S 5=35B ．a n+1−a n =nC ．S n −S n−1=n(n+1)2，n ≥2D ．1a 1+1a 2+1a 3+⋯+1a 100=200101答案：ACD分析：根据a 1，a 2，a 3的值，可得a n −a n−1=n ，利用累加法可得a n ，再计算前5项的和可判断A ；由递推关系可判断B ；由S n −S n−1=a n 可判断C ；利用裂项求和可判断D ，进而可得正确选项. 因为a 1=1， a 2−a 1=2， a 3−a 2=3， ……，a n −a n−1=n ，以上n个式子累加可得：a n=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2，所以S5=a1+a2+a3+a4+a5=1+3+6+10+15=35，故选项A正确；由递推关系可知：a n+1−a n=n+1，故选项B不正确；当n≥2，S n−S n−1=a n=n(n+1)2，故选项C正确；因为1a n =2n(n+1)=2(1n−1n+1)，所以1a1+1a2+⋯+1a100=2(1−12)+2(12−13)+⋯+2(1100−1101)=2(1−1101)=200101，故选项D正确；故选：ACD.10、（多选）下列命题中为真命题的是（）．A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列B．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c可能成等差数列C．若a，b，c成等差数列，则ka+2，kb+2，kc+2（k为常数）一定成等差数列D．若a，b，c成等差数列，则1a ，1b，1c可能成等差数列答案：BCD分析：举特例说明即可判断选项A，B，D；利用等差数列的定义推理即可判断选项C作答.对于A，取a=1，b=2，c=3，显然a，b，c成等差数列，而a2=1，b2=4，c2=9，此时a2，b2，c2不成等差数列，A是假命题；对于B，令a=b=c，显然a，b，c成等差数列，则2a=2b=2c，此时2a，2b，2c是公差为0的等差数列，B是真命题；对于C，因a，b，c成等差数列，则b−a=c−b=d(d为常数)，于是得(kb+2)−(ka+2)=k(b−a)=kd，(kc+2)−(kb+2)=k(c−b)=kd，而k为常数，因此，(kb+2)−(ka+2)=(kc+2)−(kb+2)=kd(kd为常数)，所以ka+2，kb+2，kc+2(k为常数)成等差数列，C是真命题；对于D，令a=b=c≠0，显然a，b，c成等差数列，则1a =1b=1c，此时1a，1b，1c是公差为0的等差数列，D是真命题. 故选：BCD 11、已知f (x )=lnx x，下列说法正确的是（ ）A ．f (x )在x =1处的切线方程为y =x +1B ．f (x )的单调递减区间为(e,+∞)C ．f (x )的极大值为1e D ．方程f (x )=−1有两个不同的解 答案：BC分析：对于A ，利用导数的几何意义求解，对于B ，求导后，由导数小于零求解，对于C ，求导后求极值，对于D ，函数y =f(x)与y =−1的交点个数判断 对于A ，由f (x )=lnx x （x >0），得f ′(x)=1−lnx x 2，f(1)=0，则f ′(1)=1，所以f (x )在x =1处的切线方程为y =x −1，所以A 错误，对于B ，由f ′(x)<0，得1−lnx <0，x >e ，所以f (x )的单调递减区间为(e,+∞)，所以B 正确，对于C ，由f ′(x)=0，得x =e ，当0<x <e 时，f ′(x)>0，当x >e 时，f ′(x)<0，所以当x =e 时，f (x )取得极大值f(e)=1e ，所以C 正确，对于D ，由C 选项可知f (x )的最大值为1e，且当0<x <e 时，f (x )<1e，当x >e 时，f (x )=lnx x>0， 所以函数y =f(x)与y =−1的交点个数为1，所以f (x )=−1有1个解，所以D 错误， 故选：BC 填空题12、定义在(0，+∞)上的函数f (x )满足：∀x >0有f (x )+xf ′(x )>0成立且f (1)=2，则不等式f (x )<2x 的解集为__________． 答案：(0，1)分析：由f (x )+xf′(x )>0，判断出函数ℎ(x )=xf (x )的单调性，利用单调性解f (x )<2x 即可 设 ℎ(x )=xf (x )∵ℎ′(x )=(xf (x ))′=f (x )+xf′(x ),又∵∀x >0有f (x )+xf′(x )>0成立， ∴函数ℎ′(x )>0，即ℎ(x )是(0，+∞)上的增函数．∀x>0，f(x)<2x⇔xf(x)<2，即ℎ(x)<2=1×f(1)=ℎ(1),∴0<x<1，所以答案是：(0，1)．13、数列{a n}中，a1=5，a n+1=a n+3，那么这个数列的通项公式是______．答案：a n=3n+2分析：根据给定条件，判定数列{a n}是等差数列，再求出通项公式作答.数列{a n}中，因a n+1=a n+3，即a n+1−a n=3，因此，数列{a n}是等差数列，公差d=3，所以数列{a n}的通项公式是a n=a1+(n−1)d=3n+2.所以答案是：a n=3n+214、已知{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{b n}满足b1=a1，且b n=a1+a2+⋅⋅⋅+a n−1+a n+a n−1+⋅⋅⋅+a2+a1(n≥2,n∈N∗)，若a m+(b m−27)=2019，则m的值为______．答案：10分析：分别求出{a n}，{b n}的通项公式，代入a m+(b m−27)=2019，进而解方程求得m．解：由题意得：a n=1⋅2n−1=2n−1设{a n}的前n项和为S n，则b n=a1+a2+⋅⋅⋅+a n−1+a n+a n−1+⋅⋅⋅+a2+a1=(a1+a2+⋅⋅⋅+a n−1+a n)+(a1+a2+⋅⋅⋅+a n−1)=S n+S n−1=1−2n1−2+1−2n−11−2=2n+2n−1−2(n≥2,n∈N∗)．∵a m+(b m−27)=2019∴a m+b m=2046．又∵a m+b m=2m−1+2m+2m−1−2=2⋅2m−2∴2⋅2m−2=2046，解得m=10．所以答案是：10解答题15、已知数列{a n}满足递推关系a n+1=2a n+1，且a1=1.(1)求a2，a3，a4；(2)尝试归纳出数列{a n}的通项公式.答案：(1)a2=3，a3=7，a4=15(2)a n=2n−1分析：（1）根据递推公式，直接代入求解即可=2n，进而可求解（2）根据题意归纳出规律：a n+1+1a n+1(1)因为a n+1=2a n+1，所以，a1=1=2−1，a2=2×1+1=3=4−1，a3=2×3+1=7=8−1，a4=2×7+1=15=16−1.(2)由（1）可归纳得，a2+1=2，a1+1a3+1=2，a2+1⋯a n+1+1=2n，可以猜测，a n+1=2na n+1所以，可以猜测a n=2n−1。
部编版高中数学选修二综合测试题带答案典型例题
(名师选题)部编版高中数学选修二综合测试题带答案典型例题单选题，则该函数在x=1处的切线斜率为（）1、已知函数f(x)=x−1xA．0B．1C．2D．32、我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（）A．小寒比大寒的晷长长一尺B．春分和秋分两个节气的晷长相同C．小雪的晷长为一丈五寸D．立春的晷长比立秋的晷长长3、设数列{an}的通项公式为an＝2n－7，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a15|＝（）A．139B．153C．144D．178，对任意的n∈N∗都有na n=(n+2)a n+1，则S2021=（）4、已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=12A ．20192020B ．20202021C ．20212022D ．101010115、若函数f(x)=x 2−ax +lnx 在区间(1,e )上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．[3,+∞)B ．(−∞,3]C ．[3,e 2+1]D ．[e 2+1,3]6、若等差数列的首项是−24，且从第10项开始大于0，则公差d 的取值范围是（ ） A ．[83,+∞)B ．(−∞,3)C ．[83,3)D ．(83,3]7、已知函数f (x )=(x −1)(x −2)(x −3)，则曲线y =f (x )在点(2,0)处的切线方程为（ ） A ．y =x +2B ．y =−x +2C ．y =x −2D ．y =−x −28、设曲线y =e 2ax (e =2.718…为自然对数的底数)在点(0,1)处的切线及直线2x −y −1=0和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，则a =（ ） A ．−1B ．−14C ．14D ．1 多选题9、若直线y =12x +b 是函数f(x)图像的一条切线，则函数f(x)可以是（ ）A ．f(x)=1x B ．f(x)=x 4C ．f(x)=sinx D ．f(x)=e x 10、下列四个选项中，不正确的是（ ） A ．数列23,34,45,56，…的一个通项公式是a n =n n+1B ．数列的图象是一群孤立的点C ．数列1，−1，1，−1，…与数列−1，1，−1，1，…是同一数列D ．数列12,14，…，12n 是递增数列11、设数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，S 1=1，S n+1=n+2nS n ，且b n =a n+12an a n+2，则下列结论正确的是（ ）A ．a 2021=2021B ．S n =n (n+1)2C ．b n =1−1n (n+2)D ．13≤T n −n <34填空题12、已知数列{a n }满足a 1=32，a n+1=3a na n +3，则数列{a n }的通项公式为______．部编版高中数学选修二综合测试题带答案(四十四)参考答案1、答案：C分析：利用导数的定义求解.因为f(1+Δx)−f(1)=(1+Δx)−11+Δx −(1−11)，=Δx+1−11+Δx =Δx+Δx1+Δx，所以斜率k=limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx，=limΔx→0(1+11+Δx)=1+1=2．故选：C2、答案：C分析：先计算从夏至到冬至的晷长构成等差数列的公差和冬至到夏至的晷长构成等差数列的公差，再对选项各个节气对应的数列的项进行计算，判断说法的正误，即得结果.由题意可知，夏至到冬至的晷长构成等差数列{a n}，其中a1=15寸，a13=135寸，公差为d寸，则135=15+12d，解得d1=10（寸）；同理可知，由冬至到夏至的晷长构成等差数列{b n}，首项b1=135，末项b13=15，公差d2=−10（单位都为寸）.故小寒与大寒相邻，小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，选项A正确；∵春分的晷长为b7，∴b7=b1+6d2=135−60=75，∵秋分的晷长为a7，∴a7=a1+6d1=15+60=75，故春分和秋分两个节气的晷长相同，所以B正确；∵小雪的晷长为a11，∴a11=a1+10d1=15+100=115，115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，C错误；∵立春的晷长，立秋的晷长分别为b4，a4，∴a4=a1+3d1=15+30=45，b4=b1+3d2=135−30=105，∴b4>a4，故立春的晷长比立秋的晷长长，故D正确.故选：C.小提示：关键点点睛：本题的解题关键在于看懂题意，二十四节气的晷长变化形成两个等差数列，即结合等差数列项的计算突破难点.3、答案：B分析：根据数列的通项公式，可得数列{an}为等差数列，即可求得a1,d，进而可得前n项和S n，所求可化简为S15−2S3，代入公式，即可得答案.∵an＝2n－7，∴a n+1−a n=2(n+1)−7−(2n−7)=2，∴数列{an}为等差数列，且a1＝－5，d＝2.∴前n项和S n=na1+n(n−1)d2=−5n+n(n−1)×22=n2−6n.∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝−a1−a2−a3+a4+⋅⋅⋅+a15=−S3+(S15−S3)=S15−2S3=153.故选：B4、答案：C解析：由na n=(n+2)a n+1，可得n(n+1)a n=(n+1)(n+2)a n+1，数列{n(n+1)a n}为常数列，令n=1，可得n(n+1)a n=2a1=1，进而可得a n=1n(n+1)，利用裂项求和即可求解.数列{a n}满足a1=12，对任意的n∈N∗都有na n=(n+2)a n+1，则有n(n+1)a n=(n+1)(n+2)a n+1，可得数列{n(n+1)a n}为常数列，有n(n+1)a n=2a1，得n(n+1)a n=1，得a n=1n(n+1)，又由a n=1n(n+1)=1n−1n+1，所以S2021=1−12+12−13+⋅⋅⋅12021−12022=1−12022=20212022．故选：C小提示：方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{a n}的前n项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和； （4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如a n =(−1)n f (n )类型，可采用两项合并求解. 5、答案：B分析：由f ′(x )≥0分离常数a ，利用构造函数法，结合导数，求得a 的取值范围. 依题意f ′(x )=2x −a +1x ≥0在区间(1,e )上恒成立，即a ≤2x +1x在区间(1,e )上恒成立，令g (x )=2x +1x(1<x <e )，g ′(x )=2−1x 2=2x 2−1x 2=(√2x+1)(√2x−1)x 2>0，g (x )在(1,e )上递增，g (1)=3， 所以a ≤3.所以a 的取值范围是(−∞,3]. 故选：B 6、答案：D分析：直接写出等差数列的通项公式，由a 9⩽0且a 10>0联立不等式组求得公差d 的取值范围． 解：∵等差数列的首项是−24，则等差数列的通项公式为a n =−24+(n −1)d ， 要使从第10项开始为正，则由{a 10=−24+9d >0a 9=−24+8d ⩽0 ，解得：83<d ⩽3．故选：D ． 7、答案：B分析：求得函数f (x )的导数，得到切线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解.由题意，函数f (x )=(x −1)(x −2)(x −3)=(x −2)[(x −1)(x −3)]， 可得f ′(x )=(x −1)(x −3)+(x −2)[(x −1)(x −2)]′， 所以曲线y =f (x )在点(2,0)处切线的斜率为k =f ′(2)=−1, 所以切线方程为y −0=−(x −2)，即y =−x +2. 故选：B. 8、答案：B分析：由导数的几何意义，求得切线的方程y =2ax +1，根据围成的四边形有外接圆，得到切线与直线2x −y −1=0垂直，列出方程，即可求解.由题意，函数f (x )=e 2ax ，可得f ′(x )=2ae 2ax ，则f ′(0)=2a ， 即曲线y =e 2ax 在点(0,1)处的切线的斜率为k =2a ， 所以切线方程为y −1=2ax ，即y =2ax +1，要使得切线与直线2x −y −1=0和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆， 则满足两直线垂直，即2a ×2=−1，解得a =−14.故选：B. 9、答案：BCD分析：求得已知直线的斜率k ，对选项中的函数分别求导，可令导数为k ，解方程即可判断结论 解：直线y =12x +b 的斜率为k =12，由f(x)=1x的导数为f ′(x)=−1x2，即切线的斜率小于0，故A 不正确；由f(x)=x 4的导数为f ′(x)=4x 3，而4x 3=12，解得x =12，故B 正确；由f(x)=sinx 的导数为f ′(x)=cosx ，而cosx =12有解，故C 正确；由f(x)=e x 的导数为f ′(x)=e x ，而e x =12，解得x =−ln2，故D 正确， 故选：BCD小提示：此题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于基础题 10、答案：ACD分析：由a 1=12≠23可判断A ；由数列的通项公式以及n ∈N ∗可判断B ；由数列定义可判断C ；由递减数列定义可判断D ． 对于A ，当通项公式为a n =n n+1时，a 1=12≠23，不符合题意，故选项A 错误；对于B ，由数列的通项公式以及n ∈N ∗可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项B 正确； 对于C ，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项C 错误； 对于D ，数列12,14，…，12n是递减数列，故选项D 错误．故选：ACD ． 11、答案：ABD分析：对于AB ，通过累乘法求出{S n }的通项公式，进而求出{a n }的通项公式，即可求解； 对于CD ，通过{a n }的通项公式求出{b n }的通项公式，再通过裂项相消求T n ，进而求解. 由题意，得S n+1S n=n+2n， ∴当n ≥2时，S n =S n S n−1×S n−1S n−2×⋅⋅⋅×S 2S 1×S 1=n+1n−1×n n−2×⋅⋅⋅×31×1=n (n+1)2，又当n =1时S 1=1也符合上式， ∴S n =n (n+1)2，易得a n =n ，∴a 2021=2021，故A ，B 正确； b n =a n+12an a n+2=(n+1)2n (n+2)=1+1n (n+2)=1+12(1n −1n+2)，∴T n =n +12(1−13+12−14+13−15+⋅⋅⋅+1n−1−1n+1+1n −1n+2)=n +12(1+12−1n+1−1n+2) =n +34−12(1n+1+1n+2)<n +34， 易知{T n −n}单调递增，∴T n −n ≥T 1−1=13，∴13≤T n −n <34，故C 错误，D 正确.故选:ABD ． 12、答案：a n =3n+1分析：对递推数列两边同时去倒数，可得1an+1−1a n=13，所以数列{1a n}是首项为23，公差为13的等差数列，即可求出数列{a n }的通项公式. 因为a 1=32，a n+1=3a na n+3，所以1a n+1=a n +33a n =13+1a n，即1an+1−1a n=13，所以数列{1a n}是首项为23，公差为13的等差数列，所以1a n=23+13(n −1)=n+13，所以a n =3n+1．所以答案是：a n =3n+1.。
高中数学选修二综合测试题典型例题(带答案)
高中数学选修二综合测试题典型例题单选题1、函数y=f(x)的图像如图所示，下列不等关系正确的是（）A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)−f(2)B．0<f′(2)<f(3)−f(2)<f′(3)C．0<f′(3)<f(3)−f(2)<f′(2)D．0<f(3)−f(2)<f′(2)<f′(3)答案：C分析：根据导数的几何意义和函数平均变化率的定义，结合图象，即可求解.如图所示，根据导数的几何意义，可得f′(2)表示切线l1斜率k1>0，f′(3)表示切线l3斜率k3>0，=f(3)−f(2)，表示割线l2的斜率k2，又由平均变化率的定义，可得f(3)−f(2)3−2结合图象，可得0<k3<k2<k1，即0<f′(3)<f(3)−f(2)<f′(2).故选：C.，则f(x)（）2、已知f(x)=3xe xA ．在(−∞,+∞)上单调递增B ．在(−∞,1)上单调递减C ．有极大值3e ，无极小值D ．有极小值3，无极大值 答案：C分析：根据导数判断单调性与极值 f ′(x)=3−3x e x，则x <1时f ′(x)>0，x >1时f ′(x)<0f(x)在区间(−∞,1)上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减 有极大值f(1)=3e故选：C3、若数列{a n }满足a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n =n 2(n ≥2)，则a 3=（ ） A ．9B ．3C ．94D ．49 答案：C分析：利用前n 项积与通项的关系可求得结果. 由已知可得a 3=a 1a 2a 3a 1a 2=3222=94.故选：C.4、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的前n 和为T n ，已知a 5=11,S 10=120,b n =1a n ⋅a n+1，若T k =17，则正整数k 的值为（ ） A ．9B ．8C ．7D ．6 答案：A分析：设等差数列{a n }的公差为d ，根据a 5=11,S 10=120求得公差d ，即可求得数列{a n }的通项，从而求得数列{b n }的通项，再根据裂项相消法求得数列{b n }的前n 和为T n ，从而可得出答案. 解：设等差数列{a n }的公差为d ， S 10=10(a 1+a 10)2=5(a 5+a 6)=5(11+a 6)=120，所以a 6=13，则d =a 6−a 5=2，所以a n =a 5+2(n −5)=2n +1，所以b n =1a n ⋅a n+1=12(12n+1−12n+3)， 所以T n =12(13−15+15−17+⋯+12n+1−12n+3)=12(13−12n+3)=n3(2n+3)， 因为T k =17，所以k 3(2k+3)=17，解得k =9. 故选：A.5、设a ≠0，若x =a 为函数f (x )=a (x −a )2(x −b )的极大值点，则（ ） A ．a <b B ．a >b C ．ab <a 2D ．ab >a 2 答案：D分析：先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到a,b 所满足的关系，由此确定正确选项.若a =b ，则f (x )=a (x −a )3为单调函数，无极值点，不符合题意，故a ≠b .∴f(x)有x =a 和x =b 两个不同零点，且在x =a 左右附近是不变号，在x =b 左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，∴在x =a 左右附近都是小于零的.当a <0时，由x >b ，f (x )≤0，画出f (x )的图象如下图所示：由图可知b <a ，a <0，故ab >a 2.当a >0时，由x >b 时，f (x )>0，画出f (x )的图象如下图所示：由图可知b >a ，a >0，故ab >a 2. 综上所述，ab >a 2成立. 故选：D小提示：本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答. 6、若直线l 与曲线y =√x 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12 答案：D分析：根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 设直线l 在曲线y =√x 上的切点为(x 0,√x 0)，则x 0>0， 函数y =√x 的导数为y ′=2√x ，则直线l 的斜率k =2√x 0，设直线l 的方程为y −√x 0=2√x 0−x 0)，即x −2√x 0y +x 0=0，由于直线l 与圆x 2+y 2=15相切，则√1+4x 0=√5，两边平方并整理得5x 02−4x 0−1=0，解得x 0=1，x 0=−15（舍），则直线l 的方程为x −2y +1=0，即y =12x +12.故选：D.小提示：本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题. 7、已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若−5，S 3，S 6成等差数列，则S 9−S 6的最小值为( ) A ．25B ．20C ．15D ．10答案：B分析：利用等比数列前n 项和的性质表示出S 9−S 6，再表示成同一变量S 3，然后利用基本不等式求出其最小值即可.因为{a n }是正项等比数列，所以S 3，S 6−S 3，S 9−S 6仍然构成等比数列， 所以(S 6−S 3)2=S 3(S 9−S 6). 又−5，S 3，S 6成等差数列，所以S 6−5=2S 3，S 6−S 3=S 3+5， 所以S 9−S 6=(S 6−S 3)2S 3=(S 3+5)2S 3=S 3+25S 3+10.又{a n }是正项等比数列，所以S 3>0，S 3+25S 3+10≥2√S 3⋅25S 3+10=20，当且仅当S 3=5时取等号.故选：B.8、已知等比数列{a n }中，a 1=2a 2，则这个数列的公比为（ ） A ．2B ．√2C ．12D ．√22答案：C分析：结合等比数列的知识求得正确答案. 数列{a n }是等比数列， 所以公比q =a 2a 1=12.故选：C 多选题9、已知数列{a n }满足a 1=−12，a n+1=11−a n，则下列各数是{a n }的项的有（ ）A ．−2B ．23C ．32D ．3 答案：BD分析：根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论．因为数列{a n }满足a 1=−12，a n+1=11−a n，∴a 2=11−(−12)=23；a 3=11−a 2=3；a 4=11−a 3=−12=a 1；∴数列{a n }是周期为3的数列，且前3项为−12，23，3； 故选：BD ．小提示：本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．10、记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1+3a 5=S 7，则以下结论一定正确的是（ ） A ．a 4=0B ．S n 的最大值为S 3C ．S 6=S 1D ．|a 3|<|a 5| 答案：AC分析：根据等差数列的定义及前n 项和公式可求得公差d 与a 1的关系，再对各项进行逐一判断即可. 设等差数列的公差为d ，因为a 1+3a 5=S 7，可得a 1+3(a 1+4d )=7a 1+21d ，解得a 1=−3d ， 又由a n =a 1+(n −1)d =(n −4)d ，所以a 4=0，所以A 正确； 因为公差d 的正负不能确定，所以S 3可能为最大值最小值，故B 不正确； 由S 6−S 1=a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=5a 4=0，所以S 6=S 1，所以C 正确； 因为a 3+a 5=2a 4=0，所以a 3=−a 5，即|a 3|=|a 5|，所以D 错误. 故选:AC.11、已知函数f(x)=xlnx ，若0<x 1<x 2，则下列结论正确的是（ ） A ．x 2f(x 1)<x 1f(x 2)B ．x 1+f(x 1)<x 2+f(x 2) C ．f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0D ．当lnx >−1时，x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>2x 2f(x 1)答案：AD 分析：设g(x)=f(x)x=lnx ，函数g(x)单调递增，可判断A ；设ℎ(x)=f(x)+x ，则ℎ′(x)=lnx +2不是恒大于零，可判断B ；f(x)=xlnx ，f ′(x)=lnx +1不是恒小于零，可判断C ；当x >1e时，lnx >−1，故f ′(x)=lnx +1>0，函数f(x)=xlnx 单调递增，故(x 2−x 1)[f(x 2)−f(x 1)]=x 1f(x 1)+x 2f(x 2)−x 2f(x 1)−x 1f(x 2)>0，即x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>x 2f(x 1)+x 1f(x 2)，由此可判断D.得选项. 解： 对于A 选项，因为令g(x)=f(x)x=lnx ，在(0,+∞)上是增函数，所以当0<x 1<x 2时，g(x 1)<g(x 2)，所以f(x 1)x 1<f(x 2)x 2，即x 2f(x 1)<x 1f(x 2)．故A 选项正确；对于B 选项，因为令g(x)=f(x)+x =xlnx +x ，所以g′(x)=lnx +2，所以x ∈(e −2,+∞)时，g′(x)>0,g(x)单调递增，x ∈(0,e −2)时，g′(x)<0,g(x)单调递减．所以x 1+f(x 1)与x 2+f(x 2)无法比较大小．故B 选项错误；对于C 选项，令f′(x)=lnx +1，所以x ∈(0,1e )时，f′(x)<0,f(x)在(0,1e )单调递减，x ∈(1e ,+∞)时，f′(x)>0,f(x)在(1e,+∞)单调递增，所以当0<x 1<x 2<1e时，f(x 1)>f(x 2)，故f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，当1e<x 1<x 2时，f(x 1)<f(x 2)，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0．故C 选项错误；对于D 选项，由C 选项知，当lnx >−1时，f(x)单调递增，又因为A 正确，x 2f(x 1)<x 1f(x 2)成立， 所以x 1⋅f(x 1)+x 2⋅f(x 2)−2x 2f(x 1)>x 1⋅f(x 1)+x 2⋅f(x 2)−x 2f(x 1)−x 1f(x 2) =x 1[f(x 1)−f(x 2)]+x 2[f(x 2)−f(x 1)] =(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]>0,故D 选项正确. 故选：AD ．小提示：用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 填空题12、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 19>0，S 20<0，则使S n 取得最大值的n 为______． 答案：10分析：由S19>0，S20<0，结合等差数列的前n项和公式得到第10项大于0，第10项和第11项的和小于0，得到第10项大于0，这样前10项的和最大．由S19>0，S20<0，可知{a n}为递减的等差数列，设其公差为d，则d<0，由S19=19(a1+a19)2>0，S20=10(a1+a20)<0，得a1+a19=2a10>0，a1+a20=a10+a11<0，所以a10>0，a11<0，所以使S n取得最大值的n为10，所以答案是：10．小提示：一般地，如果{a n}为等差数列，S n为其前n项和，则有性质：（1）若m,n,p,q∈N∗,m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q；（2）S n=n(a k+a n+1−k)2,k=1,2,⋯,n且S2n−1=(2n−1)a n；（3）S n=An2+Bn且{S nn}为等差数列；（4）S n,S2n−S n,S3n−S2n,⋯为等差数列.13、若直线y=2x+a是函数f(x)=x+lnx的图象在某点处的切线，则实数a=____________.答案：−1分析：利用f′(x)=2求得切点坐标，代入切线方程，从而求得a.令f′(x)=1+1x=2，解得x=1，所以切点为(1,1)，将(1,1)代入切线y=2x+a得1=2+a,a=−1.所以答案是：−114、若对任意的x1，x2∈(m,+∞)，且当x1<x2时，都有lnx1−lnx2x1−x2>2x1x2，则m的最小值是________.答案：2分析：将lnx1−lnx2x1−x2>2x1x2变形为x1lnx1+2x1<x2lnx2+2x2，令f(x)=xlnx+2x，利用f(x)在(m,+∞)上是递增函数求解.由题意得：0<x1<x2，所以x 1−x 2<0， 则lnx 1−lnx 2x 1−x 2>2x 1x 2等价于x 1x 2(lnx 1−lnx 2)>2(x 2−x 1)， 即x 1lnx 1+2x 1<x 2lnx 2+2x 2，令f (x )=xlnx+2x，则f (x 1)<f (x 2)，又x 2>x 1>m ，所以f (x )在(m,+∞)上是递增函数， 所以f ′(x )=x−2x 2>0成立，解得x >2所以m ≥2， 故m 的最小值是2， 所以答案是：2 解答题15、在①a 3=5，S 9=63；②3a 2=a 10，S 2=7；③a 1=3，S 8−S 6=19这三个条件中任选一个，补充在下列问题中的横线上，并解答（若选择两个或三个按照第一个计分）.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，___________，数列{b n }是公比为2的等比数列，且b 2=a 2.求数列{a n }，{b n }的通项公式. 答案：a n =n +2；b n =2n分析：设等差数列{a n }的公差为d ，根据等差数列的基本量方法，结合等差数列的性质可得{a n }，进而根据b 2=a 2求得{b n }的通项公式即可 设等差数列{a n }的公差为d .若选①：根据等差数列的性质，由S 9=63有9a 5=63，故a 5=7，所以{a 1+2d =5a 1+4d =7 ，解得{a 1=3d =1，故a n =3+(n −1)=n +2.故b 2=a 2=4，故b n =b 2⋅2n−2=2n若选②：由题意{3(a 1+d )=a 1+9d 2a 1+d =7 ，即{a 1=3d 2a 1+d =7 ，解得{a 1=3d =1，故a n =3+(n −1)=n +2.故b 2=a 2=4，故b n =b 2⋅2n−2=2n若选③：由S 8−S 6=19可得a 7+a 8=19，即{a 1+2d =52a 1+13d =19 ，解得{a 1=3d =1，故a n =3+(n −1)=n +2.故b 2=a 2=4，故b n =b 2⋅2n−2=2n。
高中数学选修1-2(人教A版)第一章统计案例1.2知识点总结含同步练习及答案
为研究不同的给药方式（口服或注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查结果 如表所示．根据所选择的
193
个病人的数据，能否作出药的效果与给药方式有关的结论？ 有效 口服 注射 合计
58 64 122
无效
40 31 71
合计
98 95 193
解：提出假设
H 0 ：药的效果与给药方式没有关系．
） 的前提下，认为＂爱好该项运动与性别有关＂ 的前提下，认为＂爱好该项运动与性别无关＂
以上的把握认为＂爱好该项运动与性别有关＂ 以上的把握认为＂爱好该项运动与性别无关＂
0.01 = 1% 1%
的机会错误，即有
99%
以上的把握认为“爱好这项运动与性别有
关”．同时，在犯错误的概率不超过
的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”．
答案： C 解析： 由题意
K 2 = 7.8 > 6.635 ，有 0.01 = 1% 的机会错误，即有 99% 以上的把握认为“爱好这项运 动与性别有关”．同时，在犯错误的概率不超过 1% 的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”；
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≈ 7.8
附表：
P (K 2 ⩾ k) k 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828
参照附表，得到的正确结论是（ A．在犯错误的概率不超过 B．在犯错误的概率不超过 C．有 D．有 解：C 由题意
K 2 = 7.8 > 6.635 ，有 99% 99% 0.1% 0.1%
答案： A
B．①③
C．②③
D．①②③
3. 分类变量 X 和 Y 的列联表如下：
则下列说法中正确的是 (
高中数学选修一综合测试题知识集锦(带答案)
高中数学选修一综合测试题知识集锦单选题1、双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)过焦点F1的弦AB，A、B两点在同一支上且长为m，另一焦点为F2，则△ABF2的周长为（）．A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m答案：C分析：由双曲线定义得到|BF2|−|BF1|=2a，|AF2|−|AF1|=2a，两式相加得到|BF2|+|AF2|=4a+m，进而求出周长.由双曲线的定义得：|BF2|−|BF1|=2a①，|AF2|−|AF1|=2a②，两式相加得：|BF2|−|BF1|+|AF2|−|AF1|=4a，即|BF2|+|AF2|−|AB|=|BF2|+|AF2|−m=4a，所以|BF2|+|AF2|=4a+m，故△ABF2的周长为|BF2|+|AF2|+|AB|=4a+2m.故选：C2、椭圆x2100+y264=1的焦点为F1，F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2=60°，则点P到x轴的距离为（）A．64√33B．91√33C．32√39D．643答案：C分析：利用椭圆的定义以及余弦定理，可以解得|PF1|⋅|PF2|，一方面S△PF1F2=12|PF1|⋅|PF2|sin60°，另一方面设点P到x轴的距离为d，则S△PF1F2=12×|F1F2|×d，所以12|PF1|⋅|PF2|sin60°=12×|F1F2|×d，即可求解易得c=√a2−b2=6．设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则r1+r2=20．在△PF1F2中，由余弦定理得(2c)2=r12+r22−2r1r2cos60°，即144=r12+r22−r1r2=(r1+r2)2−3r1r2=400−3r1r2，则r1r2=2563，所以S△PF1F2=12r1r2sin60°=12×2563×√32=64√33．设点P到x轴的距离为d，则S△PF1F2=12×|F1F2|×d=6d，故6d=64√33，解得d=32√39．故选：C．3、设圆C1:x2+y2−2x+4y=4，圆C2:x2+y2+6x−8y=0，则圆C1，C2的公切线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条答案：B分析：先根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断出两圆的位置关系，从而得解．由题意，得圆C1:(x−1)2+(y+2)2=32，圆心C1(1,−2)，圆C2:(x+3)2+(y−4)2=52，圆心C2(−3,4)，∴5−3<|C1C2|=2√13<5+3，∴C1与C2相交，有2条公切线．故选：B．4、已知⊙M：x2+y2−2x−2y−2=0，直线l：2x+y+2=0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA,PB，切点为A,B，当|PM|⋅|AB|最小时，直线AB的方程为（）A．2x−y−1=0B．2x+y−1=0C．2x−y+1=0D．2x+y+1=0答案：D分析：由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点A,P,B,M共圆，且AB⊥MP，根据|PM|⋅|AB|=4S△PAM=4|PA|可知，当直线MP⊥l时，|PM|⋅|AB|最小，求出以MP为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB的方程．圆的方程可化为(x−1)2+(y−1)2=4，点M到直线l的距离为d=√22+12=√5>2，所以直线l与圆相离．依圆的知识可知，四点A,P,B,M四点共圆，且AB⊥MP，所以|PM|⋅|AB|=4S△PAM=4×12×|PA|×|AM|=4|PA|，而|PA|=√|MP|2−4，当直线MP⊥l时，|MP|min=√5，|PA|min=1，此时|PM|⋅|AB|最小．∴MP:y−1=12(x−1)即y=12x+12，由{y=12x+122x+y+2=0解得，{x=−1y=0．所以以MP为直径的圆的方程为(x−1)(x+1)+y(y−1)=0，即x2+y2−y−1=0，两圆的方程相减可得：2x+y+1=0，即为直线AB的方程．故选：D.小提示：本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．5、已知从点(−5,3)发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：(x−1)2+(y−1)2=5的圆周，则反射光线所在的直线方程为（）A．2x−3y+1=0B．2x−3y−1=0C．3x−2y+1=0D．3x−2y−1=0答案：A分析：根据反射性质，结合圆的性质、直线斜率公式进行求解即可.设点A的坐标为(−5,3)，圆(x−1)2+(y−1)2=5的圆心坐标为B(1,1)，设C(x,0)是x轴上一点，因为反射光线恰好平分圆(x−1)2+(y−1)2=5的圆周，所以反射光线经过点B(1,1)，由反射的性质可知：k AC+k BC=0⇒3−0−5−x +1−01−x=0⇒x=−12，于是k BC=1−01−(−12)=23，所以反射光线所在的直线方程为：y=23(x+12)⇒2x−3y+1=0，故选：A6、在直角坐标平面内，与点A(0,3)距离为2，且与点B(4,0)距离为3的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条答案：C分析：根据直线是否存在斜率，分类讨论，利用点到直线距离公式进行求解即可.当直线不存在斜率时，设为x=a，由题意可知：|a−0|=2且|a−4|=3，没有实数a使得两个式子同时成立；当直线存在斜率时，设直线方程为：y=kx+b⇒kx−y+b=0，点A(0,3)到该直线的距离为2，所以有22=2(1)，点B(4,0)到该直线的距离为3，所以有22=3(2)，由(1)(2)得：b =8k +9或b =9−8k 5，当b =8k +9时，代入(1)中，得15k 2+24k +8=0，该方程的判别式Δ=242−4×15×8=96>0，该方程有两个不相等的实数根， 当b =9−8k 5时，代入(1)中，得9k 2−24k +16=0，该方程的判别式Δ=(−24)2−4×9×16=0，该方程有两个相等的实数根， 所以这样的直线共有三条， 故选：C.小提示：关键点睛：本题的关键是解方程组.7、已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点与抛物线y 2=2px(p >0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD|=√2|AB|．则双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．3 答案：A分析：设公共焦点为(c,0)，进而可得准线为x =−c ，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得a 2=12c 2，再由双曲线离心率公式即可得解. 设双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)与抛物线y 2=2px(p >0)的公共焦点为(c,0)，则抛物线y 2=2px(p >0)的准线为x =−c ， 令x =−c ，则c 2a 2−y 2b 2=1，解得y =±b 2a ，所以|AB|=2b 2a,又因为双曲线的渐近线方程为y =±bax ，所以|CD|=2bc a，所以2bc a=2√2b 2a，即c =√2b ，所以a 2=c 2−b 2=12c 2，所以双曲线的离心率e =ca =√2. 故选：A.8、已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A(72，4)，则|PA |+|PM |的最小值是（ ） A ．5B ．92C ．4D ．32分析：先根据抛物线的方程求得焦点坐标和准线方程，延长PM交准线于H点推断出|PA|＝|PH|，进而表示出|PM|，问题转化为求|PF|+|PA|的最小值，由三角形两边长大于第三边得到|PF|+|PA|的最小值，则|PA|+|PM|的最小值可得．依题意可知焦点F(12,0)，准线x=−12，延长PM交准线于H点．则|PF|＝|PH|，∴|PM|＝|PH|−12=|PF|−12∴|PM|+|PA|＝|PF|+|PA|−12，∴要使|PM|+|PA|当且仅当|PF|+|PA|最小．由三角形两边长大于第三边可知，|PF|+|PA|≥|FA|，①当P与线段AF与抛物线的交点P0重合时取到最小值，．由A(72,4),可得|FA|=√(72−12)2+42=5．则所求为(|PM|+|PA|)min=5−12=92．故选：B．多选题9、若椭圆C：x2m +y2m2−1=1上的一个焦点坐标为(0,1)，则下列结论中正确的是（）A．m=2B．C的长轴长为2√3C．C的长轴长为4D．C的离心率为13分析：先根据焦点坐标求出m，结合选项逐个验证.因为焦点坐标为(0,1)，所以m2−1−m=1，解得m=2或m=−1（舍），所以椭圆C的方程为x22+y23=1，长轴长为2√3，离心率e=√3=√33.故选：AB.10、关于x，y的方程x2m2+2+y24−m2=1(其中m2≠4)表示的曲线可能是（）A．焦点在y轴上的双曲线B．圆心为坐标原点的圆C．焦点在x轴上的双曲线D．长轴长为2√6的椭圆答案：BC分析：根据各曲线的定义逐项验证参数的取值即可得出答案. 解：对于A：若曲线表示焦点在y轴上的双曲线，则m2+2<0，无解，选项A错误；对于B：若曲线表示圆心为坐标原点的圆，则m2+2=4−m2，解得m=±1，选项B正确；对于C：若曲线表示焦点在x轴上的双曲线，则4−m2<0，所以m>2或m<−2，选项C正确；对于D：若曲线表示长轴长为2√6的椭圆，则2a=2√6，a=√6，则{4−m2>0m2+2>4−m2 2a=2√m2+2或{4−m2>0m2+2<4−m22√4−m2=2a，无解，选项D错误. 故选：BC.11、已知椭圆C:x2n−1+y2n2−2=1的一个焦点坐标为（0，1），则下列结论正确的是（）A．n=2B．椭圆C的长轴长为2√2C．椭圆C的短轴长为1D．椭圆C的离心率为√32答案：AB分析：由题意，a2=n2−2,b2=n−1,c=1，结合a2=b2+c2，可得n=2，根据椭圆的性质依次验证，即得解由题意，a2=n2−2,b2=n−1,c=1∴n2−2−(n−1)=1，即n2−n−2=(n−2)(n+1)=0∴n=−1或n=2当n=−1时，a2=n2−2<0,b2=n−1<0不成立故n=2，A正确；此时a2=2,b2=1故长轴长2a=2√2，B正确；短轴长2b=2，C错误；离心率e=ca =√22，D错误故选：AB 填空题12、已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(x1,y1)，Q(－x1,−y1)在椭圆C上，其中x1>0，y1>0，若|PQ|=2|OF2|，|QF1PF1|≥√33，则椭圆C的离心率的取值范围为_____．答案：(√22，√3−1]分析：设PF1=n，PF2=m，由已知得到mn的范围，再由椭圆的定义得到n，m间的关系，代入、换元，求出e的范围.设PF1=n，PF2=m，由x1>0，y1>0，知m<n，因为P，Q在椭圆C上，|PQ|=2|OF2|，所以四边形PF1QF2为矩形，QF1=PF2；由|QF1||PF1|≥√33，可得√33≤mn<1，由椭圆的定义可得m+n=2a，n2+m2=4c2①，平方相减可得mn=2(a2－c2)②，由①②得4c22(a2−c2)=m2+n2mn=mn+nm；令t=mn +nm，令v=mn ∈[√33，1)，所以t=v+1v ∈(2，4√33]，即2<4c22(a2−c2)≤4√33，所以a2－c2<c2≤2√33(a2－c2)，所以1－e2<e2≤2√33(1－e2)，所以12<e2≤4−2√3，解得√22<e≤√3−1.所以答案是：(√22，√3−1] .13、若曲线2x=√4+y2与直线y=m(x+1)有公共点，则实数m的取值范围是___________.答案：(−2,2)分析：由曲线2x=√4+y2，整理得x2−y24=1(x>0)表示以(√5,0)为焦点的双曲线的右支部分，利用直线y=m(x+1)与双曲线的渐近线的关系求解.如图，曲线2x=√4+y2，即为x2−y24=1(x>0)，表示以(√5,0)为焦点的双曲线的右支部分，此时该双曲线的渐近线为y=−2x与y=2x因为y=m(x+1)过定点(−1,0)，要使直线y=m(x+1)与双曲线右支有交点，则该直线的斜率一定在两渐近线之间，则−2<m <2 所以答案是：(−2,2)14、若方程4x 2+ky 2=4k 表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于______． 答案：2√−k分析：首先写出双曲线标准方程的形式，再求虚抽长. 显然k ≠0，将4x 2+ky 2=4k 化为x 2k +y 24=1，若该方程表示双曲线，则k <0， 且双曲线的标准方程为y 24−x 2−k =1， 即b 2=−k ，虚轴长2b =2√−k . 所以答案是：2√−k . 解答题15、如图，已知正方体ABCD −A ′B ′C ′D ′，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中x ，y ，z 的值.（1）BD′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =xAD ⃑⃑⃑⃑⃑ +yAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +zAA ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ； （2）AE⃑⃑⃑⃑⃑ =xAD ⃑⃑⃑⃑⃑ +yAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +zAA ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：（1）x ＝1，y ＝－1，z ＝1；（2）x =12,y =12,z =1.分析：（1）根据空间向量的线性运算算出答案即可； （2）根据空间向量的线性运算算出答案即可.(1)因为BD ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +DD ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +DD ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AA ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 又BD ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =xAD⃑⃑⃑⃑⃑ +yAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +zAA ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑所以x ＝1，y ＝－1，z ＝1.(2)因为AE ⃑⃑⃑⃑⃑ =AA ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +A ′E ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AA ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +12A ′C ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AA ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +12(A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +A ′D ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )=AA ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +12A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +12A ′D′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AA′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 又AE⃑⃑⃑⃑⃑ =xAD ⃑⃑⃑⃑⃑ +yAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +zAA ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 所以x ＝12，y ＝12，z ＝1.。
高中数学选修1-2第二章训练题及答案
高中数学选修1-2第二章训练题及答案一:选择题1．设,,(,0),a b c ∈-∞则111,,a b c b c a+++（ ） A ．都不大于2- B ．都不小于2-C ．至少有一个不大于2-D ．至少有一个不小于2-2．函数]2,0[)44sin(3)(ππ在+=x x f 内（ ） A ．只有最大值 B ．只有最小值C ．只有最大值或只有最小值D ．既有最大值又有最小值3．函数x y 1=在点4=x 处的导数是 ( )A ．81B ．81-C ．161D ．161- 4．设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是（ ）A ．22-B ．335- C ．－3 D ．27- 5．设c b a ,,三数成等比数列，而y x ,分别为b a ,和c b ,的等差中项，则=+y c x a （ ）A ．1B ．2C ．3D ．不确定6．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字09 和字母A F 共16A ．6EB ．72C ．5FD ．0B二、填空题7．从222576543,3432,11=++++=++=中得出的一般性结论是_____________。
8．已知b a ,是不相等的正数，b a y b a x +=+=,2，则y x ,的大小关系是_________。
9．若lg lg 2lg(2)x y x y +=-，则_____x y=。
三、解答题10)n 是正整数11．设函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 中，c b a ,,均为整数，且)1(),0(f f 均为奇数。
求证：0)(=x f 无整数根。
参考答案:一:选择题:1.D 2.D 3.D 4.C 5.B 6.A二:填空题:7: 2*1...212...32(21),n n n n n n n N ++++-+++-=-∈8: x y <,2222()2a b y a b x +==+=>= 9．4 2222lg()lg(2),(2),540,,4xy x y xy x y x xy y x y x y =-=--+===或 而20,444x y x y >>∴==三:解答题: 10．解：===311...133...3n n==⨯=11．证明：假设0)(=x f 有整数根n ，则20,()an bn c n Z ++=∈ 而)1(),0(f f 均为奇数，即c 为奇数，a b +为偶数，则,,a b c 同时为奇数‘或,a b 同时为偶数，c 为奇数，当n 为奇数时，2an bn +为偶数；当n 为偶数时，2an bn +也为偶数，即2an bn c ++为奇数，与20an bn c ++=矛盾。
[精品]新人教A版选修1-2高中数学跟踪检测(十)复数代数形式的乘除运算和答案
课时跟踪检测(十) 复数代数形式的乘除运算一、选择题1．(辽宁高考)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( )A ．2＋3iB ．2－3iC ．3＋2iD ．3－2i解析：选A z ＝52－i ＋2i ＝5(2＋i)(2－i)(2＋i)＋2i ＝2＋i ＋2i ＝2＋3i.2．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2z z －1＝( ) A ．2iB ．－2iC ．2D ．－2解析：选B 法一：因为z ＝1－i ，所以z 2－2z z －1＝(1－i)2－2(1－i)1－i －1＝－2－i＝－2i. 法二：由已知得z －1＝－i ，而z 2－2z z －1＝(z －1)2－1z －1＝(－i)2－1－i＝2i＝－2i. 3．若i 为虚数单位，如图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i 的点是( )A ．EB ．FC．G D．H 解析：选D 由题图可得z＝3＋i，所以z1＋i＝3＋i1＋i＝(3＋i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝4－2i2＝2－i，则其在复平面上对应的点为H(2，－1)．4．(安徽高考)设i是虚数单位，是复数z的共轭复数．若z·i ＋2＝2z，则z＝( )A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i解析：选A 设z＝a＋b i(a，b∈R)，则z＝a－b i，又z·z i＋2＝2z，∴(a2＋b2)i＋2＝2a＋2b i，∴a＝1，b＝1，故z＝1＋i.5．已知复数z＝3＋i(1－3i)2，是z的共轭复数，则z·等于( )A.14B.12C．1 D．2解析：选A ∵z＝3＋i (1－3i)2＝－3i2＋i(1－3i)2＝i(1－3i)(1－3i)2＝i1－3i＝i(1＋3i)4＝－34＋i4，∴z＝－34－i4，∴z ·z ＝14. 二、填空题6．若z ＝－1－i 2，则z 2 012＋z 102＝________. 解析：z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1－i 22＝－i. z 2 012＋z 102＝(－i)1 006＋(－i)51＝(－i)1 004·(－i)2＋(－i)48·(－i)3＝－1＋i.答案：－1＋i7．设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i ，则x ＋y ＝________. 解析：x 1－i ＋y 1－2i ＝x (1＋i)2＋y (1＋2i)5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2y 5i ， 而51－3i ＝5(1＋3i)10＝12＋32i ， 所以x 2＋y 5＝12且x 2＋2y 5＝32， 解得x ＝－1，y ＝5，所以x ＋y ＝4.答案：48．设z 2＝z 1－i 1(其中1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为________．解析：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝z 1－i 1＝a ＋b i －i(a －b i)＝(a －b )－(a －b )i.因为z 2的实部是－1，即a －b ＝－1，所以z 2的虚部为1.答案：1三、解答题9．计算：(1)(1＋2i)2＋3(1－i)2＋i； (2)1－3i (3＋i)2. 解：(1)(1＋2i)2＋3(1－i)2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i＝i 2＋i ＝i(2－i)5＝15＋25i. (2)1－3i (3＋i)2＝(3＋i)(－i)(3＋i)2 ＝－i 3＋i＝(－i)(3－i)4 ＝－14－34i.10．已知z 1＝1－i ，z 2＝1－3i ，z 3＝1－2i ，且x z 1－5z 2＝y z 3. (1)求实数x ，y 的值； (2)求z 1·z 2. 解：(1)由已知x z 1－5z 2＝y z 3， 得x 1－i －51－3i ＝y 1－2i， 即x －12＋x －32i ＝y 5＋2y5i.∵x ，y ∈R ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －12＝y 5，x －32＝2y 5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－5. (2)由(1)知z 1＝1＋i ，z 2＝1＋3i ， 则z 1·z 2＝(1＋i)(1＋3i)＝1＋4i ＋3i 2＝－2＋4i.。
(好题)高中数学选修1-2第一章《统计案例》检测(答案解析)(3)
一、选择题1．某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为37和27，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为（ ） A ．2949B ．649C ．2349D ．43492．在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方体连续抛掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为（ ） A ．14 B ．89 C ．116D ．5323．下列命题不正确的是（ ）A ．研究两个变量相关关系时，相关系数r 为负数，说明两个变量线性负相关B ．研究两个变量相关关系时，相关指数R 2越大，说明回归方程拟合效果越好．C ．命题“∀x ∈R ，cos x ≤1”的否定命题为“∃x 0∈R ，cos x 0＞1”D ．实数a ，b ，a ＞b 成立的一个充分不必要条件是a 3＞b 3 4．“人机大战，柯洁哭了，机器赢了”，2017年5月27日，岁的世界围棋第一人柯洁不敌人工智能系统AlphaGo ，落泪离席.许多人认为这场比赛是人类的胜利，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查.在参与调查的男性中，有人持反对意见，名女性中，有人持反对意见.再运用这些数据说明“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”是否有关系时，应采用的统计方法是（ ）A ．分层抽样B ．回归分析C ．独立性检验D ．频率分布直方图5．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从09中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为（ ）A ．25 B ．310 C ．15D ．1106．从345678910,1112，，，，，，，，中不放回地依次取2个数，事件A = “第一次取到的数可以被3整除”,B = “第二次取到的数可以被3整除”，则()P B|?A =( ) A ．59B ．23C ．13 D ．297．下列说法中正确的是（ ）A ．设随机变量~(10,0.01)X N ，则1(10)2P X >=B ．线性回归直线不一定过样本中心点(,)x yC ．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1D ．先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m ，然后抽取编号为50m +，100m +，150m +，……的学生，这样的抽样方法是分层抽样 8．随机变量a 服从正态分布()21,N σ，且()010.3000P a <<=.已知0,1a a >≠，则函数1xy a a =+-图象不经过第二象限的概率为( ) A ．0.3750B ．0.3000C ．0.2500D ．0.20009．下列关于回归分析的说法中错误的是（ ） A ．回归直线一定过样本中心(,)x yB ．残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适C ．两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好D ．甲、乙两个模型的2R 分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好10．在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果一次性抽取 2道题，已知有一道是理科题的条件下，则另一道也是理科题的概率为 A ．13B ．14C ．12D ．3511．某商品的售价x （元）和销售量y （件）之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是3.ˆ2yx a =-+，则实数a =( ) A ．30B ．35C ．38D ．4012．2020年2月，全国掀起了“停课不停学”的热潮，各地教师通过网络直播、微课推送等多种方式来指导学生线上学习.为了调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调查了相同数量的男、女学生，发现有80%的男生喜欢网络课程，有40%的女生不喜欢网络课程，且有99%的把握但没有99.9%的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男、女学生总数量可能为（ ）参考公式附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：A．130 B．190C．240 D．250二、填空题13．掷三个骰子,出现的三个点数的乘积为偶数的概率是________.14．一盒子中装有6只产品，其中4只一等品，2只二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样.则在第一次取到的是一等品的条件下，第二次取到的是二等品的概率为__________．15．已知x、y之间的一组数据如下：=+所表示的直线必经过点________.则线性回归方程ˆy a bx16．甲袋中装有2个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，4个黑球，从甲、乙两袋中各取一球均为白球的概率为______________17．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2，要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需要至少布置___________门高炮？（用数字作答，已知=）=，lg30.4771lg20.301018．体育课上定点投篮项目测试规则：每位同学有3次投篮机会，一旦投中，则停止投篮，视为合格，否则一直投3次为止.每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率为p，若该同学本次测试合格的概率为0.784，则p=_____．19．某质检员检验一件产品时，把正品误判为次品的概率是0.1，把次品误判为正品的概率是0.05．如果一箱产品中含有8件正品，2件次品，现从中任取1件让该质检员检验，那么出现误判的概率为___________．20．一名信息员维护甲乙两公司的5G网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为________三、解答题21．一个口袋中有4个红球和3个黑球．（1）从口袋中随机地连续取出三个球，取出后不放回，求：（i）三个球中有两个红球一个黑球的概率；（ii）第二次取出的是红球且第三次取出的也是红球的概率．（2）从口袋中随机地连续取出三个球，取出后放回，求至少有两个是红球且第三个是红球的概率22．中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查结果如下面22⨯列联表.22⨯与性别有关”？（2）现在从这100名学生中按性别采取分层抽样的方法抽取5名学生，如果再从中随机选取2人进行有关“嫦娥五号”情况的宣讲，求选取的2名学生中恰有1名女生的概率.若将频率视为概率. 附：()()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++ 23．某小区停车场的收费标准为:每车每次停车时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元（不足1小时的部分按1小时计算）.现有甲乙两人独立来停车场停车（各停车一次），且两人停车时间均不超过5小时，设甲、乙两人停车时间（小时）与取车概率如表所示：（1）求甲、乙两人所付车费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望()E ξ. 24．随着运动App 和手环的普及和应用，在朋友圈、运动圈中出现了每天1万步的健身打卡现象，“日行一万步，健康一辈子”的观念广泛流传.“健康达人”小王某天统计了他朋友圈中所有好友（共400人）的走路步数，并整理成下表：间中点值作代表）；（2）若用A 表示事件“走路步数低于平均步数”，试估计事件A 发生的概率；（3）若称每天走路不少于8千步的人为“健步达人”，小王朋友圈中岁数在40岁以上的中老年人有200人，其中健步达人恰有150人，请填写下面22⨯列联表.根据列联表判断有多大把握认为，健步达人与年龄有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++25．在疫情这一特殊时期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线学习.复课后进行了摸底考试，某校数学教师为了调查高三学生这次摸底考试的数学成绩与在线学习数学时长之间的相关关系，对在校高三学生随机抽取45名进行调查.知道其中有25人每天在线学习数学的时长是不超过1小时的，得到了如下的等高条形图：（Ⅰ）是否有99%的把握认为“高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关”；（Ⅱ）将频率视为概率，从全校高三学生这次数学成绩超过120分的学生中随机抽取10人，求抽取的10人中每天在线学习时长超过1小时的人数的数学期望和方差.()20P K k ≥ 0.050 0.010 0.001 0k3.8416.63510.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++26．2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占23，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额．（1）完成22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？（2）若将频率视为概率，现再从该校一年级全体学生中，采用随机抽样的方法每次抽取1名学生，抽取5次，记被抽取的5名学生中对冰球有兴趣的人数为x ，若每次抽取的结果是相互独立的，求x 的分布列，期望和方差． 附表：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】考虑都没有获得扶持资金的情况，再计算对立事件概率得到答案. 【详解】根据题意：32291117749p ⎛⎫⎛⎫=---=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A . 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.2．D解析：D 【分析】首先确定是条件概率，在出现数字乘积为偶数的前提下，乘积为非零偶数的概率， 首先求两次数字乘积为偶数的概率， 然后两次为非零偶数的概率，再按照条件概率的公式求解. 【详解】两次数字乘积为偶数，可先考虑其反面——只需两次均出现1向上，概率是22169⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以两次数字乘积为偶数的概率P =228169⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ； 若乘积非零且为偶数，需连续两次抛掷小正方体的情况为(1,2)或(2,1)或(2,2)，P =111152366636⨯⨯+⨯=,.故所求条件概率为55368329P ==.故选：D 【点睛】本题主要考查了条件概率的计算和独立事件，考查了学生的计算能力，属于基础题.3．D解析：D 【分析】根据相关系数、相关指数的知识、全称命题的否定的知识，充分、必要条件的知识对四个选项逐一分析，由此得出命题不正确的选项. 【详解】相关系数r 为负数，说明两个变量线性负相关，A 选项正确. 相关指数2R 越大，回归方程拟合效果越好，B 选项正确.根据全称命题的否定是特称命题的知识可知C 选项正确.对于D 选项，由于33a b a b >⇔>，所以33a b >是a b >的充分必要条件，故D 选项错误.所以选D. 【点睛】本小题主要考查相关系数、相关指数的知识，考查全称命题的否定是特称命题，考查充要条件的判断，属于基础题.4．C解析：C 【解析】 【分析】根据“性别”以及“反对与支持”这两种要素，符合，从而可得出统计方法。
部编版高中数学选修一综合测试题带答案典型例题
(名师选题)部编版高中数学选修一综合测试题带答案典型例题单选题1、在矩形ABCD 中，O 为BD 中点且AD =2AB ，将平面ABD 沿对角线BD 翻折至二面角A −BD −C 为90°，则直线AO 与CD 所成角余弦值为（ ）A ．√55B ．√54C ．3√525D ．4√2252、直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等边三角形， AA 1＝AB ，M 是A 1C 1的中点，则AM 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为（ ） A ．710B ．√1510C ．√8510D ．−√15103、已知边长为2的等边三角形ABC ，D 是平面ABC 内一点，且满足DB:DC =2:1，则三角形ABD 面积的最小值是（ ）A ．43(√3−1)B ．43(√3+1)C ．4√33D ．√334、在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E 在棱AA 1上，AE =3A 1E ，点G 是棱CD 的中点，点F 满足BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<12)，当平面EFG 与平面ABCD 所成（锐）二面角的余弦值为√63时，经过E,F,G 三点的截面的面积为（ ） A ．2√6B ．7√64C ．√17D ．7√665、点P(2,0)关于直线l:x +y +1=0的对称点Q 的坐标为（ ） A ．(−1,−3)B ．(−1,−4)C ．(4,1)D ．(2,3)6、已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点和上顶点分别为点F (c,0)(b >c )和点A ，直线l:6x −5y −28=0交椭圆于P,Q 两点，若F 恰好为△APQ 的重心，则椭圆的离心率为（ ） A ．√22B ．√33C ．√55D ．2√557、如果复数z 满足|z +1−i |=2，那么|z −2+i |的最大值是（ ） A ．√13+2B ．2+√3 C ．√13+√2D ．√13+4 8、若点P 在曲线C 1:x 216−y 29=1上，点Q 在曲线C 2:(x −5)2+y 2=1上，点R 在曲线C 3:(x +5)2+y 2=1上，则|PQ |−|PR |的最大值是（ ） A ．9B ．10C ．11D ．12 多选题9、已知点A(−4,2),B(6,−4),C(12,6),D(2,12)，那么下面四个结论正确的是（ ） A ．AB//CD B ．AB ⊥CD C ．AC//BD D ．AC ⊥BD10、已知双曲线M:x 2a 2−y 2b 2=1(a >b >0)的焦距为4，两条渐近线的夹角为60°，则下列说法正确的是（ ） A ．M的离心率为2√33B ．M的标准方程为x 2−y 23=1C ．M 的渐近线方程为y =±√33x D ．直线x +y −2=0经过M 的一个焦点11、已知直线l:kx −y +2k =0和圆O:x 2+y 2=16，则（ ） A ．直线l 恒过定点(2,0)B ．存在k 使得直线l 与直线l 0:x −2y +2=0垂直C ．直线l 与圆O 相交D ．若k =−1，直线l 被圆O 截得的弦长为4 填空题12、椭圆C ：x 218+y 2b 2=1的上、下顶点分别为A ，C ，如图，点B 在椭圆上，平面四边形ABCD 满足∠BAD =∠BCD =90°，且S △ABC =2S △ADC ，则该椭圆的短轴长为_________．13、如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点Р到直线CC1的距离的最小值为_______.部编版高中数学选修一综合测试题带答案(四十四)参考答案1、答案：C分析：建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线AO 与CD 所成角余弦值. 在平面ABD 中过A 作AE ⊥BD ，垂足为E ； 在平面CBD 中过C 作CF ⊥BD ，垂足为F . 由于平面ABD ⊥平面BCD ，且交线为BD ， 所以AE ⊥平面BCD ，CF ⊥平面ABD ， 设AB =1,AD =2，12×BD ×AE =12×AB ×AD ⇒AE =√5OE =√OA 2−AE 2=2√5，同理可得CF =√5OF =2√5， 以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则A(2√5√5),√52√50),D(−√52,0,0)， CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√510,2√50)， 设AO 与CD 所成角为θ， 则cosθ=|OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||=320√52×12=3√525.故选：C2、答案：B分析：取AC 的中点D ，以D 为原点，BD,DC,DM 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，即可根据线面角的向量公式求出．如图所示，取AC 的中点D ，以D 为原点，BD,DC,DM 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，不妨设AC =2，则A (0,−1,0),M (0,0,2),B(−√3,0,0),N (−√32,−12,2)， 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)，平面BCC 1B 1的一个法向量为n ⃗ =(√32,−32,0)设AM 与平面BCC 1B 1所成角为α，向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与n ⃗ 所成的角为θ， 所以sinα=|cosθ|=|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=32√5×√3=√1510， 即AM 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为√1510． 故选：B ． 3、答案：A分析：建立直角坐标系，设D(x,y)，写出A,B,C 的坐标，利用DB:DC =2:1列式得关于x,y 的等式，可得点D 的轨迹为以(53,0)为圆心，以43为半径的圆，写出直线AB 的方程，计算|AB |和点D 距离直线AB 的最小距离d −r ，代入三角形面积公式计算.以BC 的中点O 为原点，建立如图所示的直角坐标系，则A(0,√3)，B (−1,0)，C (1,0)， 设D (x,y )，因为DB:DC =2:1，所以(x +1)2+y 2=4(x −1)2+4y 2，得(x −53)2+y 2=169，所以点D 的轨迹为以(53,0)为圆心，以43为半径的圆，当点D 距离直线AB 距离最大时，△ABD 面积最大，已知直线AB 的方程为：√3x −y +√3=0，|AB |=2，点D 距离直线AB 的最小距离为：d −r =|5√33+√3|2−43=4√33−43，所以△ABD 面积的最小值为S △ABD =12×2×(4√33−43)=43(√3−1).故选：A4、答案：B分析：以D 为坐标原点，分别以DA,DC,DD 1所在的直线为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，由空间向量结合平面EFG 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为√63求出λ的值，画出截面图，求出截面五边形的边长，再由等腰三角形及等腰梯形的面积求和可得答案解：如图，以D 为坐标原点，分别以DA,DC,DD 1所在的直线为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，则G(0,1,0),E(2,0,32),F(2,2,2λ)，所以GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,32),GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,2λ)， 设平面EFG 的一个法向量为m ⃗⃗ =(x,y,z)，则 {m ⃗⃗ ⋅GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x −y +32z =0m ⃗⃗ ⋅GF⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +y +2λz =0，取z =1，则m ⃗⃗ =(−38−λ2,−λ+34,1)，平面ABCD 的一个法向量为n ⃗ =(0,0,1)， 由题意得|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ ||=√(8+2)2+(−λ+4)2+1=√63，解得λ=14或λ=1320（舍去），延长EF,AB ，设EF ∩AB =I ，连接IG ，交BC 于K ，延长IG ，交AD 的延长线于L ，连接EL ，交DD 1于H ，则五边形EFKGH 为截面图形，由题意求得EF =√5，FK =√12+(12)2=√52，GK =√2，HG =√52，EH =√5，FH =2√2，截面五边形EFKGH 如图所示，则等腰三角形EFH 底边FH 上的高为√3，等腰梯形HGKF 的高为√32， 则截面面积为S =12×2√2×√3+12(√2+2√2)×√32=7√64故选：B小提示：关键点点睛：此题考查二面角的平面角及其求法，考查平面的基本性质及推理，考查运算能力，解题的关键是建立空间直角坐标系，由平面EFG 与平面ABCD 所成（锐）二面角的余弦值为√63求出λ=14，属于中档题 5、答案：A分析：根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解. 设点P(2,0)关于直线x +y +1=0的对称点的坐标为(a,b)， 则{b−0a−2×(−1)=−1a+22+b 2+1=0，解得{a =−1b =−3. 所以点Q 的坐标为(−1,−3) 故选：A. 6、答案：C分析：由题设F (c,0),A (0,b )，利用F 为△APQ 的重心，求出线段PQ 的中点为B (3c2,−b2)，将B 代入直线方程得9c +5b 2−28=0，再利用点差法可得2a 2=5bc ，结合a 2=b 2+c 2，可求出a, b, c ，进而求出离心率.由题设F (c,0),A (0,b ),P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，则线段PQ 的中点为B (x 0,y 0)，由三角形重心的性质知AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即(c,−b)=2(x 0−c,y 0)，解得：x 0=3c 2,y 0=−b 2 即B (3c2,−b2)代入直线l:6x −5y −28=0，得9c +5b 2−28=0①.又B 为线段PQ 的中点，则x 1+x 2=3c,y 1+y 2=−b ， 又P,Q 为椭圆上两点，∴x 12a 2+y 12b 2=1,x 22a 2+y 22b 2=1，以上两式相减得(x 1+x 2)(x 1−x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1−y 2)b 2=0，所以k PQ =y 1−y 2x 1−x 2=−b 2a2⋅x 1+x 2y 1+y 2=−b 2a 2×3c −b=65，化简得2a 2=5bc ②由①②及a 2=b 2+c 2，解得：{a =2√5b =4c =2，即离心率e =√55.故选：C.小提示：方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出a,c ，从而求出e ；②构造a,c 的齐次式，求出e ；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解． 7、答案：A分析：复数z 满足|z +1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z −2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离，求出|CM|即可得出．复数z 满足|z +1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆． |z −2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离． ∵|CM|=√32+22=√13． ∴|z −2+i|的最大值是√13+2． 故选：A ．小提示：本题考查复数的几何意义、圆的方程，求解时注意方程|z +1−i|=2表示的圆的半径为2，而不是√2． 8、答案：B分析：分析可知两圆圆心为双曲线C 1的两个焦点，利用圆的几何性质以及双曲线的定义可求得|PQ |−|PR |的最大值.在双曲线C1中，a=4，b=3，c=5，易知两圆圆心分别为双曲线C1的两个焦点，记点F1(−5,0)、F2(5,0)，当|PQ|−|PR|取最大值时，P在双曲线C1的左支上，所以，|PQ|−|PR|≤|PF2|+1−(|PF1|−1)=|PF2|−|PF1|+2=2a+2=10. 故选：B.9、答案：AD分析：分别计算AB,CD,,AC,BD的斜率，根据斜率的关系判断．因为k AB=−4−26−(−4)=−35，k CD=12−62−12=−35，k AC=6−212+4=14≠−35即C不在直线AB上，所以AB//CD，故A正确，B错误；又k AC=6−212+4=14，k BD=12+42−6=−4，∴k AC⋅k BD=−1，∴AC⊥BD，故D正确，C错误．故选：AD．10、答案：ACD分析：根据题意，过一三象限的渐近线的斜率为√3或√33两种情况，根据a>b>0可求得双曲线方程，再逐个辨析即可根据题意双曲线M:x2a2−y2b2=1(a>b>0)的焦距为 4 ，两条渐近线的夹角为60°，有a2+b2=c2=4，①，双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则过一三象限的渐近线的斜率为√3或√33，即ba=√3或ba=√33，②联立①②可得： a 2=1 ， b 2=3 ， c 2=4 或 a 2=3 ， b 2=1 ， c 2=4 ； 因为 a >b ，所以 a 2=3 ， b 2=1 ， c 2=4 ，故双曲线的方程为 x 23−y 2=1对A ，则离心率为 √43=2√33 ，故 A 正确 . 对B ，双曲线的方程为 x 23−y 2=1 ，故 B 错误； 对C ，渐近线方程为 y =±√33x ，故 C 正确； 对D ，直线 x +y −2=0 经过 M 的一个焦点 (2,0) ，所以 D 正确 . 故选： ACD 11、答案：BC分析：利用直线系方程求出直线l 所过定点坐标判断A 、C ；求出使得直线l 与直线l 0:x −2y +2=0垂直的k 值判断B ；根据弦长公式求出弦长可判断D .解：对于A 、C ，由l:kx −y +2k =0，得k(x +2)−y =0，令{x +2=0−y =0 ，解得{x =−2y =0，所以直线l 恒过定点(−2,0)，故A 错误；因为直线l 恒过定点(−2,0)，而(−2)2+02=4<16，即(−2,0)在圆O:x 2+y 2=16内， 所以直线l 与圆O 相交，故C 正确；对于B ，直线l 0:x −2y +2=0的斜率为12，则当k =−2时，满足直线l 与直线l 0:x −2y +2=0垂直，故B 正确；对于D ，k =−1时，直线l:x +y +2=0，圆心到直线的距离为d =√12+12=√2，所以直线l 被圆O 截得的弦长为2√r 2−d 2=2√42−(√2)2=2√14，故D 错误. 故选：BC. 12、答案：6分析：先由∠BAD =∠BCD =90°判断出A,B,C,D 四点共圆，再由题设求出圆心，表示出圆的方程，将B 点代入椭圆及圆，即可求出b ，即可求得短轴长.由题意得A(0,b),C(0,−b)，设B(x 1,y 1),D(x 2,y 2)，由∠BAD =∠BCD =90°可得A,B,C,D 在以BD 为直径的圆上，又原点O 为圆上弦AC 的中点，所以圆心在AC 的垂直平分线上，即在x 轴上，则y 1+y 2=0，又S △ABC =2S △ADC 可得x 1=−2x 2，故圆心坐标为(x 14,0)，所以圆的方程为(x −x 14)2+y 2=916x 12+y 12，将(0,b )代入可得b 2=12x 12+y 12， 又x 1218+y 12b 2=1，解得b 2=9，则b =3，故短轴长为2b =6.所以答案是：6.13、答案：4√55##45√5 分析：建立空间直角坐标系，借助空间向量求出点Р到直线CC 1距离的函数关系，再求其最小值作答. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,4,0),D 1(0,0,4),E(2,4,0),C 1(0,4,4)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,4),ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−4,4)，因点P 在线段D 1E 上，则λ∈[0,1]，EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2λ,−4λ,4λ)，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−2λ,−4λ,4λ)，向量CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 上投影长为d =|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4λ， 而|CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(2−2λ)2+(−4λ)2+(4λ)2，则点Р到直线CC 1的距离 ℎ=√|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−d 2=2√5λ2−2λ+1=2√5(λ−15)2+45≥4√55，当且仅当λ=15时取“=”， 所以点Р到直线CC 1的距离的最小值为4√55. 所以答案是：4√55。
部编版高中数学选修二综合测试题带答案经典大题例题
(名师选题)部编版高中数学选修二综合测试题带答案经典大题例题单选题1、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=12，对任意的n ∈N ∗都有na n =(n +2)a n+1，则S 2021=（ ） A ．20192020B ．20202021C ．20212022D ．101010112、若过点(a,b )可以作曲线y =e x 的两条切线，则（ ） A ．e b <a B ．e a <b C ．0<a <e b D ．0<b <e a3、若等差数列的首项是−24，且从第10项开始大于0，则公差d 的取值范围是（ ） A ．[83,+∞)B ．(−∞,3)C ．[83,3)D ．(83,3]4、等比数列{a n }中，a 1=1，a 5=4a 3，S n 为{a n }的前n 项和．若S m =63，则m 的值是（ ） A ．6B ．7C ．8D ．不存在5、设曲线y =e 2ax (e =2.718…为自然对数的底数)在点(0,1)处的切线及直线2x −y −1=0和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，则a =（ ） A ．−1B ．−14C ．14D ．16、下列求导运算不正确．．．的是（ ） A ．(cosx )′=−sinx B ．(log 2x )′=1xln2C ．(e−x )′=e−xD ．(√x )′=2x √x7、若曲线y =x −12在点(a,a −12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a =（ ） A ．24B ．32C ．64D ．86 8、已知f(x)=3x e x，则f(x)（ ）A ．在(−∞,+∞)上单调递增B ．在(−∞,1)上单调递减C ．有极大值3e ，无极小值D ．有极小值3，无极大值 多选题9、设数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，S 1=1，S n+1=n+2nS n ，且b n =a n+12a n a n+2，则下列结论正确的是（ ）A ．a 2021=2021B ．S n =n (n+1)2C ．b n =1−1n (n+2)D ．13≤T n −n <3410、已知数列0,2,0,2,0,2,⋯，则前六项适合的通项公式为（ ） A ．a n =1+(−1)n B ．a n =2cos nπ2C ．a n =2|sin(n+1)π2|D ．a n =1−cos(n −1)π+(n −1)(n −2)11、（多选）下列命题中为真命题的是（ ）．A ．若a ，b ，c 成等差数列，则a 2，b 2，c 2一定成等差数列B ．若a ，b ，c 成等差数列，则2a ，2b ，2c 可能成等差数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则ka +2，kb +2，kc +2（k 为常数）一定成等差数列D ．若a ，b ，c 成等差数列，则1a ，1b ，1c 可能成等差数列 填空题12、数列{a n }中，a 1=5，a n+1=a n +3，那么这个数列的通项公式是______．部编版高中数学选修二综合测试题带答案(三十九)参考答案1、答案：C解析：由na n=(n+2)a n+1，可得n(n+1)a n=(n+1)(n+2)a n+1，数列{n(n+1)a n}为常数列，令n=1，可得n(n+1)a n=2a1=1，进而可得a n=1n(n+1)，利用裂项求和即可求解.数列{a n}满足a1=12，对任意的n∈N∗都有na n=(n+2)a n+1，则有n(n+1)a n=(n+1)(n+2)a n+1，可得数列{n(n+1)a n}为常数列，有n(n+1)a n=2a1，得n(n+1)a n=1，得a n=1n(n+1)，又由a n=1n(n+1)=1n−1n+1，所以S2021=1−12+12−13+⋅⋅⋅12021−12022=1−12022=20212022．故选：C小提示：方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{a n}的前n项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如a n=(−1)n f(n)类型，可采用两项合并求解.2、答案：D分析：解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线y=e x的图象，根据直观即可判定点(a,b)在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.在曲线y=e x上任取一点P(t,e t)，对函数y=e x求导得y′=e x，所以，曲线y=e x在点P处的切线方程为y−e t=e t(x−t)，即y=e t x+(1−t)e t，由题意可知，点(a,b)在直线y=e t x+(1−t)e t上，可得b=ae t+(1−t)e t=(a+1−t)e t，令f(t)=(a+1−t)e t，则f′(t)=(a−t)e t.当t<a时，f′(t)>0，此时函数f(t)单调递增，当t>a时，f′(t)<0，此时函数f(t)单调递减，所以，f(t)max=f(a)=e a，由题意可知，直线y=b与曲线y=f(t)的图象有两个交点，则b<f(t)max=e a，当t<a+1时，f(t)>0，当t>a+1时，f(t)<0，作出函数f(t)的图象如下图所示：由图可知，当0<b<e a时，直线y=b与曲线y=f(t)的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线y=e x的图象如图所示，根据直观即可判定点(a,b)在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0<b<e a.故选：D.小提示：解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法. 3、答案：D分析：直接写出等差数列的通项公式，由a 9⩽0且a 10>0联立不等式组求得公差d 的取值范围． 解：∵等差数列的首项是−24，则等差数列的通项公式为a n =−24+(n −1)d ， 要使从第10项开始为正，则由{a 10=−24+9d >0a 9=−24+8d ⩽0 ，解得：83<d ⩽3．故选：D ． 4、答案：A分析：利用基本量代换，求出公比q ，再根据前n 项和公式，即可求出m . 等比数列{a n }中，a 1=1，a 5=4a 3，则q 2=a5a 3=4，则q =±2．当q =2时，若S m =63，则有1×(1−2m )1−2=63，解得m =6；当q=−2时，若S m=63，则有1×[1−(−2)m]1−(−2)=63，整理可得(−2)m=−188，无整数解．故m=6．故选：A．5、答案：B分析：由导数的几何意义，求得切线的方程y=2ax+1，根据围成的四边形有外接圆，得到切线与直线2x−y−1=0垂直，列出方程，即可求解.由题意，函数f(x)=e2ax，可得f′(x)=2ae2ax，则f′(0)=2a，即曲线y=e2ax在点(0,1)处的切线的斜率为k=2a，所以切线方程为y−1=2ax，即y=2ax+1，要使得切线与直线2x−y−1=0和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，则满足两直线垂直，即2a×2=−1，解得a=−14.故选：B.6、答案：C分析：根据基本初等函数的导数以及求导运算法则判断即可.由基本初等函数导数可知：(cosx)′=−sinx，(log2x)′=1xln2，故AB正确；由复合函数求导法则可知：(e−x)′=e−x×(−x)′=−e−x，故C错误；又幂函数的导数可知：(√x )′=(x−12)′=−12x−32=2x√x，故D正确；故选：C.7、答案：C分析：根据导数的几何意义可求切线斜率即可求出切线方程，由直线求出截距可得三角形面积. ∵y=x−12，∴y′=−12x−32，∴曲线在点(a,a−12)处的切线斜率k=−12a−32，∴切线方程为y−a−12=−12a−32(x−a).令x =0，得y =32a −12；令y =0，得x =3a .∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S =12⋅3a ⋅32a −12=94a 12=18， ∴a =64. 故选：C 8、答案：C分析：根据导数判断单调性与极值 f ′(x)=3−3x e x，则x <1时f ′(x)>0，x >1时f ′(x)<0f(x)在区间(−∞,1)上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减 有极大值f(1)=3e故选：C 9、答案：ABD分析：对于AB ，通过累乘法求出{S n }的通项公式，进而求出{a n }的通项公式，即可求解； 对于CD ，通过{a n }的通项公式求出{b n }的通项公式，再通过裂项相消求T n ，进而求解. 由题意，得S n+1S n=n+2n，∴当n ≥2时，S n =S nSn−1×S n−1S n−2×⋅⋅⋅×S 2S 1×S 1=n+1n−1×n n−2×⋅⋅⋅×31×1=n (n+1)2，又当n =1时S 1=1也符合上式， ∴S n =n (n+1)2，易得a n =n ，∴a 2021=2021，故A ，B 正确； b n =a n+12a n a n+2=(n+1)2n (n+2)=1+1n (n+2)=1+12(1n −1n+2)， ∴T n =n +12(1−13+12−14+13−15+⋅⋅⋅+1n−1−1n+1+1n −1n+2)=n +12(1+12−1n+1−1n+2) =n +34−12(1n+1+1n+2)<n +34， 易知{T n −n}单调递增，∴T n −n ≥T 1−1=13，∴13≤T n −n <34，故C 错误，D 正确.故选:ABD．10、答案：AC解析：对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案．对于选项A，a n=1+(−1)n取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；对于选项B，a n=2cos nπ2取前六项得：0,−2,0,2,0,−2，不满足条件；对于选项C，a n=2|sin(n+1)π2|取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；对于选项D，a n=1−cos(n−1)π+(n−1)(n−2)取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件；故选：AC11、答案：BCD分析：举特例说明即可判断选项A，B，D；利用等差数列的定义推理即可判断选项C作答.对于A，取a=1，b=2，c=3，显然a，b，c成等差数列，而a2=1，b2=4，c2=9，此时a2，b2，c2不成等差数列，A是假命题；对于B，令a=b=c，显然a，b，c成等差数列，则2a=2b=2c，此时2a，2b，2c是公差为0的等差数列，B是真命题；对于C，因a，b，c成等差数列，则b−a=c−b=d(d为常数)，于是得(kb+2)−(ka+2)=k(b−a)=kd，(kc+2)−(kb+2)=k(c−b)=kd，而k为常数，因此，(kb+2)−(ka+2)=(kc+2)−(kb+2)=kd(kd为常数)，所以ka+2，kb+2，kc+2(k为常数)成等差数列，C是真命题；对于D，令a=b=c≠0，显然a，b，c成等差数列，则1a =1b=1c，此时1a，1b，1c是公差为0的等差数列，D是真命题.故选：BCD12、答案：a n=3n+2分析：根据给定条件，判定数列{a n}是等差数列，再求出通项公式作答.数列{a n}中，因a n+1=a n+3，即a n+1−a n=3，因此，数列{a n}是等差数列，公差d=3，所以数列{a n}的通项公式是a n=a1+(n−1)d=3n+2.所以答案是：a n=3n+2。