鲁教版解直角三角形全章教案

课题

§1.1 锐角三角函数（第一课时）

课时二课时备课时间月日

教学目标

1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与

现实生活的联系.

2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾

斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.

教学重点

与难点

重点：1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.

2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活

的联系.

难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比.

教学准备

及手段

引导—探索法.

三角板

教学流程动态修改部分

一、情境引入:

1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？

2、生活问题数学化：

⑴如图：梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？

⑵以下三组中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？

二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题）

⑴Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?

⑵

2

2

2

1

1

1

B

AC

C

B

AC

C

和有什么关系？

⑶如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3)呢?

⑷由此你得出什么结论?

三、尝试探究

如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?

四、巩

固提

高：

1、如

图，△

ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗?

2、如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为

55m，求山的坡度.(结果精确到0.001)

4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角

为θ，则tanθ＝______.

5、如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m，

它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：

1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号)

五、课后练习：

1、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______.

2、在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______.

3、在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______.

4、在Rt△ABC中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,且a=24,c= 25,求tanA、

tanB的值.

5、若三角形三边的比是25:24:7,求最小角的正切值.

6、如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于E,EC=1,tanB=

12

5

, 求菱形的边

长和四边形AECD的周长.

E

D

B

A

C

7、已知:如图,斜坡AB 的倾斜角a,且tan α=

3

4

,现有一小球从坡底A 处以20cm/s 的速度向坡顶B 处移动,则小球以多大的速度向上升高?

课 题 §1.1 锐角三角函数（第二课时）

课 时

二 课时

备课时间 月 日

教学目标

1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.

2.能够运用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.

3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.

4.理解锐角三角函数的意义.

教学重点 与难点 重点：1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明. 2.能用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.

3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算. 难点： 用函数的观点理解正弦、余弦和正切. 教学准备 及手段

三角板

探索——交流法.

教 学 流 程

动态修改部分

1、怎样判断梯子的倾斜程度？

2、正切的定义。 二、探究发现

（[师]我们在上一节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度，并且得出了当倾斜角确定时，其对边与斜边之比随之确定.也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关.并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切. 现在我们提出两个问题：

[问题1]当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗? [问题2]梯子的倾斜程度与这些比有关吗?如果有，是怎样的关系? 正弦、余弦及三角函数的定义） 想一想：如图

(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系?

(2) 211

122BA C A BA C A 和有什么关系? 2

112BA BC BA BC 和

呢? (3)如果改变A 2在梯子A 1B 上的位置呢?你由此可得出什么结论?

B

A

C

B

A

C

(4)如果改变梯子A 1B 的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论? 请讨论后回答. 在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.如图，∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦(sine)，记作sinA ，即 sinA ＝

斜边

的对边

A ∠

∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine)，记作cosA ，即 cosA=

斜边

的邻边

A ∠

锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数 问：由图讨论梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 的关系：梯子的倾斜程度与cosA 也有关系.cosA 的值越小，梯子越陡. 三、尝试探究

例1、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AC ＝200.sinA ＝0.6，求BC 的长.

例2、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA ＝

13

12

，AC ＝10，AB 等于多少?sinB 呢?cosB 、sinA 呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达. 四、巩固提高：

1、在等腰三角形ABC 中，AB=AC ＝5，BC=6，求sinB ，cosB ，tanB.

2、在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝5

4

，BC=20，求△ABC 的周长和面积.

3、在△ABC 中.∠C=90°，若tanA=

2

1

，则sinA= . 4、已知：如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，求证：BC 2

＝AB ·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明) 五、课后练习： 1

、

在

Rt△ABC

中

,∠

C=90°,tanA=

34,则

sinB=_______,tanB=______. 2、在

Rt△ABC

中,∠C=90°,AB=41,sinA=

941

,则

AC=______,BC=_______.

3、如图,在△ABC 中,∠C=90°,sinA=

35,则BC AC

等于( ) A.34 B.43 C.35 D.45

4、Rt△ABC 中,∠C=90°,已知cosA=3

5

,那么tanA 等于( )

D

B

A C

A.

43 B.34 C.45 D.54

5、已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β, 若甲坡比乙坡更徒些, 则下列结论正确的是( ) A.tan αcos β

6、如图,在Rt△ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,则下列线段的比中不等于sinA 的是( )

A.CD AC

B.DB CB

C.CB AB

D.CD

CB

7、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是( )m

A.100sin β

B.100sin β

C.100

cos β

D. 100cos β

8、在△ABC 中,AB=5,BC=13,AD 是BC 边上的高,AD=4.求:CD,sinC.

9、在Rt△ABC 中,∠BCA=90°,CD 是中线,BC=8,CD=5.求sin∠ACD,cos∠ACD 和tan∠ACD. 六、课堂小结：

1、三种三角函数的定义

2、已知一种三角函数如何求其他的三角函数？

板 书

教 后 反 思

课 题 §1.2 30°、45°、60°角的三角函数值

课 时

一课时

备课时间 月 日

教学目标

1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.

2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.

3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.

教学重点 与难点

重点：1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.

2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.

3.比较锐角三角函数值的大小. 难点： 进一步体会三角函数的意义.

教学准备 及手段

三角板 自主探索法

教 学 流 程 动态修改部分

一、问题引入

[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度. 二、探究发现

[问题] 1、观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? [问题] 2、sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. [问题] 3、cos30°等于多少?tan30°呢?

[问题] 4、我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，

它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?

三角函数

角度

sin α cos α tan α 30° 45° 60°

[例1]计算：

(1)sin30°+cos45°； (2)sin 260°+cos 2

60°-tan45°. 三、尝试探究

[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m) 四、巩固提高 1.计算：

(1)sin60°-tan45°； (2)cos60°+tan60°；

(3)

22sin45°+sin60°-2cos45°； ⑷1

32

30sin 1+-?；

⑸(2+1)-1+2sin30°-8； ⑹(1+2)0

-｜1-sin30°｜1+(

2

1)-1

； ⑺sin60°+

?-60tan 11； ⑻2-3-(0032+π)0

-cos60°-2

11-.

2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m ，扶梯的长度是多少?

3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB ＝CD=30 m ，两楼问的距离AC=24 m ，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1 m ，)

五、课后练习：

1、Rt △ABC 中，8,60=?=∠c A ，则__________,==b a ；

2、在△ABC 中，若2,32==b c ,，则____tan =B ，面积S ＝ ；

3、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝

4、等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2，则顶角为 （ ） （A ）600

（B ）900

（C ）1200

（D ）150

5、有一个角是?30的直角三角形，斜边为cm 1，则斜边上的高为 （ ） （A ）

cm 41 （B ）cm 2

1

（C ）cm 43 （D ）cm 23 6、在ABC ?中，?=∠90C ，若A B ∠=∠2，则tanA 等于 （ ）． （A ）3 （B ）

33 （C ）23 （D ）2

1

7、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于 （ ）． （A ）

2

1 （B ）22

（C ）23 （D ）1

8、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这

种草皮至少要（ ）． （A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元

9、计算：

⑴、?+?60cos 60sin 2

2

⑵、??-?30cos 30sin 260sin ⑶、?-?45cos 30sin 2

⑷、3245cos 2-+

?

⑸、0

45cos 360sin 2+ ⑹、 1

30sin 560cos 30

- ⑺、?30sin 22·?+?60cos 30tan tan60° ⑻、?-?30tan 45sin 2

2 10、请设计一种方案计算tan15°的值。

六、课堂小结：特殊角的三角函数值往往结合负指数幂和零指数幂

?

15020米

30米

板 书

教 后 反 思

课 题 解直角三角形

课 时

二课时

备课时间 月 日

教学目标 1、初步了解解直角三角形的意义。 2、会用两边解直角三角形

教学重点 与难点 重点：用两边解直角三角形 难点：（同上） 教学准备 及手段

三角板

引导---交流法

教 学 流 程 动态修改部分

1．在三角形中共有几个元素？（几条边，几个角）

2．直角三角形ABC 中，90C ∠=?，a b c A B ∠∠、、、、这五个元素间有哪些等量关系呢？

(1)边角之间关系 sin A =

c a cos A =c b tan A b a ；

(2)三边之间关系222a b c +=(勾股定理)； (3)锐角之间关系90A B ∠+∠=?．

从上面可以看出，直角三角形的边与角，边与边，角与角之间都存在着密切的关系，能否根据直角三角形的几个已知元素去求其余的未知元素呢？这节课就来探究这个问题，引出课题.《解直角三角形》

二、尝试探究

例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=6，解这个直角三角形．

解：∵tanA=

6

2

BC AC =

=3， ∴∠A=60°．

∠B=90°-∠A=90°-60°=30°．

AB=2AC=22．

例2在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=35°，b=20，?解这个直角三角形．（精确到0.1）

解：∠A=90°-∠B=90°-35°=55°． ∵tanB=b a

． ∴a=

2020

tan tan 350.70b B =≈

?≈28.6． ∵sinB=b

c ，

∴c=2020

sin sin 350.57

b B =≈

?≈35.1． 三、巩固提高

P 16 习题1、2、3 P 18 习题1 （先分析求法，再让生板演） 四、课堂小结

1.在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素．

2. 解决问题要结合图形。

3.解直角三角形的几种情况： 五、作业

补充1.在Rt △ABC 中，根据下列条件解直角三角形：

（1）c=20 ∠A=450 （2） a=36 ∠B=300

（3）a=19 c=219 （4） a=66,26=b

2.在Rt △ABC 中，∠C=900

，cosA=23，∠B 的平分线BD=16，求AB.

《配套练习册》1.6、1.7

c

b=20

a

35?

C

B

A

板 书

教 后 反 思

课 题 解直角三角形的应用（第一课时）

课 时

一课时

备课时间 月 日

教学目标 1、能够把实际问题转化为数学问题，并进一步对结果的意义进行说明。

2、经历解决实际问题的过程，体会三角函数的作用，发展数学应用意识和解决问题的能力。

教学重点 与难点 重点：三角函数的合理使用

难点：由实际问题转化为三角函数问题 教学准备 及手段

三角板 尝试教学法

教 学 流 程

动态修改部分

一、情境引入 问题1. 如图，当登山缆车的吊箱经过点A 到达点B 时，它走过了200米，已知缆车行驶的路程与小平面的夹角为 ∠α＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？

想一想：在本节一开始的问题中，当缆车继续由点B 到达D 时，它又走过了200米，缆车由点B 到点D 的行驶路线与水平面的夹角为∠β＝42°，由此你还能计算什么？ 二、尝试探究

[例]如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤．在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤．已知肿瘤在皮下6.3cm 的A 处，射线从肿瘤右侧9.8cm 的B 处进入身体，求射线的入射角度．

D

A

B

C

β

E

α

解：如图，在Rt △ABC 中，

AC ＝6.3cm ，BC ＝9.8cm ，

∴tan B ＝

BC AC ＝8

93

6..≈0.6429． ∴∠B ≈32°44′13″．

因此，射线的入射角度约为32°44′13″．

注：这两例都是实际应用问题，确实需要知道角度，而且角度又不易测量，这时我们根据直角三角形边角关系，即可用计算器计算出角度，用以解决实际问题． 三、巩固提高 P 22 习题 2、3

1.如图，一灯柱AB 被一钢缆CD 固定，CD 与地面成40°夹角，且DB ＝5 m ，现再在C 点上方2m 处加固另一条钢缆ED ，那么钢缆ED 的长度为多少?

2如图,小山上有一座铁塔AB,在D 处测得点A 的仰角为∠ADC=60°,点B 的仰角为塔高AB(精确到0.1米). 四、课堂小结

找出图形中的直角三角形，加以分析。

课 题 解直角三角形的应用（第二课时）

课 时

一课时

备课时间 月 日

教学目标 1、能够把实际问题转化为数学问题，并进一步对结果的意义进行说明。

2、经历解决实际问题的过程，体会三角函数的作用，发展数学应用意识和解决问题的能力。

教学重点 与难点

重点：能够把实际问题转化为数学问题 难点：三角函数的灵活运用

B

D

C

E

教学准备

及手段

三角板

尝试教学法

教学流程动态修改部分一、情境引入：

如图，小明想测量塔CD 的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角

为30°，再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为60°.那么该塔

有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)

（生画出图形并分析讲解）

二、尝试探究：

某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角

由40°减至35°，已知原楼梯长为4 m，调整后的

楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精

确到0.0l m)

（生画出图形并分析讲解）

三、巩固提高

P24 习题1、2、3

补充练习

1、如图所示，某公司入口处原有三级台阶，每

级台阶高为20cm，台阶面的宽为30cm，为了方便残疾人士，拟将

台阶改为坡角为12°的斜坡，设原台阶的起点为A，斜坡的起点

为C，求AC的长度(精确到1cm)．

2、如图,某学校为了改变办学条件,计划在甲教学楼的正北方21

米处的一块空地上(BD=21米),再建一幢与甲教学等高的乙教学楼

(甲教学楼的高AB=20米),设计要求冬至正午时,太阳光线必须照

射到乙教学楼距地面5米高的二楼窗口处, 已知该地区冬至正午

时太阳偏南,太阳光线与水平线夹角为30°,试判断: 计划所建的

乙教学楼是否符合设计要求?并说明理由.

四、课堂小结

测量高度问题中常常用两测点的距离列方程

五、作业

乙

教

学

楼

甲

教

学

楼

B

30

D

A C

南

课题解直角三角形的应用（第三课时）

课时一课时备课时间月日

教学目标1、能够把实际问题转化为数学问题，并进一步对结果的意义进行说明。

2、经历解决实际问题的过程，体会三角函数的作用，发展数学应用意识和解决问题的能力。

教学重点与难点重点：能够把实际问题转化为数学问题难点：三角函数的灵活运用

教学准备及手段三角板

尝试教学法

教学流程动态修改部分

海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向

东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达

该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮

继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交

流.

（生画

出图形

并分析

讲解）

二、探究发现

如图,

水库大坝的截面是梯形ABCD.坝顶AD＝6m，坡长CD＝8m.坡底BC＝30m，

∠ADC=135°.

(1)求∠ABC的大小：

(2)如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确

到0.01 m3)

（生画出图形并分析讲解）

三、巩固提高

P25 1、2 习题1、2

1．如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西

方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气

象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方

向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.

(1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由.

(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数

据：2≈1.4，3≈1.7)

2、某民航飞机在大连海域失事,为调查失事

原因,决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣

子,如图所示,一潜水员在A处以每小时8海

里的速度向正东方向划行,在A处测得黑匣

子B在北偏东60°的方向,划行半小时后到

达C处,测得黑匣子B在北偏东30 °的方向,在潜水员继续向东划行多

少小时,距离黑匣子B最近,并求最近距离.

四、课堂小结

测量高度问题中常常用两测点的距离列方程

五、作业

课题测量物体的高度

课时一课时备课时间月日

教学目标1、经历设计活动方案及撰写报告的过程

2、能够对所得数据进行分析

3、能运用解直角三角形的知识解决实际问题

F

30?

北

A

60?

C

教学重点 与难点 重点：测量计算物体高度 难点：三角函数的运用 教学准备 及手段

三角板、侧倾器、 分组交流

教 学 流 程

动态修改部分

1.下表是小明同学填写活动报告的部分内容:

课题 在两岸近似平行的河段上测量河宽

测量目 标图示

B

D

A

C

E

测得数据

∠CAD=60°,AB=30m,∠CBD=45°,∠BDC=90°

请你根据以上的条件,计算出河宽CD(结果保留根号).

课题 测量旗杆高

测量示意图

B

D

A

C E

测得数据

测量项目 第一次 第二次 平均值 BD 的长 24.19m 23.97m 测倾器的高 CD=1.23m CD=1.19m 倾斜角

a=31°15′

a=30°45′

a=31°

计算

旗杆高AB(精确到0.1m)

3.学习完本节内容后, 某校九年级数学老师布置一道利用测倾器测量学校旗杆高度的活动课题,下表是小明同学填写的活动报告,请你根据有关测量数据, 求旗杆高AB(计算过程填在下表计算栏内,用计算器计算).

活动报告 课题

利用测倾器测量学校旗杆的高

测量示意图

B

D

A

C E

测量数据

BD 的长 BD=20.00m 测倾器的高 CD=1.21m 倾斜角

α=28°

计算

旗杆高AB 的计算过程(精确到0.1m)

4.某市为促进本地经济发展,计划修建跨河大桥,需要测出河的宽度AB, 在河边一座高度为300米的山顶观测点D 处测得点A,点B 的俯角分别为α=30°,β=60°, 求河的宽度(精确到0.1米)

5.为了测量校园内一棵不可攀的树的高度, 学校数学应用实践小组做了如下的探索:

实践一:根据《自然科学》中光的反射定律,利用一面镜子和一根皮尺, 设计如图(1)的测量方案:把镜子放在离树(AB)8.7(米)的点E 处,然后

沿着直线BE 后退到点D,这时恰好在镜子里看到

树梢顶点A,再用皮尺量得DE=2.7米,观察者目高CD=1.6米,请你计算 树AB 的高度(精确到0.1米)

实践二:提供选用的测量工具有:①皮尺一根;②教学用三角板一副;③长为2. 5米的标杆一根;④高度为1.5米的测角仪一架,请根据你所设计的测量方案, 回答下列问题:

(1)在你设计的方案中,选用的测量工具是__________. (2)在图(2)中画出你的测量方案示意图;

(3)你需要测得示意图中哪些数据,并分别用a,b,c,α,β等表示测得的数据____.

(4)写出求树高的算式:AB=___________.

B

(1)

D

A

C E

B

(2)

6.在1:50000的地图上,查得A 点在300m 的等高线上,B 点在400m 的等高线上, 在地图上量得AB 的长为2.5cm,若要在A 、B 之间建一条索道,那么缆索至少要多长? 它的倾斜角是多少?

(说明:地图上量得的AB 的长,就是A,B 两点间的水平距离AB′,由B 向过A 且平行于地面的平面作垂线,垂足为B′,连接AB′,则∠A 即是缆索的倾斜角.)

B D

A C

350 400

A B 100m

2.5cm×50000

B

A B'

300