2020年北京市西城区中考数学二模试卷(解析版)
2020年北京市西城区中考数学二模试卷 一．选择题（共8小题） 1．下列各组图形中，能将其中一个图形经过平移变换得到另一个图形的是（ ）
A． B． C． D． 2．中国国家航天局2020年4月24日在“中国航天日”之际宣布，将中国行星探测任务命名为“天问”，将中国首次火星探测任务命名为“天问一号”．火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近的时候距离约5500万千米，将5500用科学记数法表示为（ ） A．0.55×104 B．5.5×103 C．5.5×102 D．55×102 3．如图是某个几何体的平面展开图，该几何体是（ ）
A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（ ）
A．a•a2＝a3 B．a6÷a2＝a3 C．2a2﹣a2＝2 D．（3a2）2＝6a4 5．如图，实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．|a|＞3 B．﹣1＜﹣b＜0 C．a＜﹣b D．a+b＞0 6．如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，OC＝2，则BC的长为（ ） A． B．2 C．2 D．4 7．某人开车从家出发去植物园游玩，设汽车行驶的路程为S（千米），所用时间为t（分），s与t之间的函数关系如图所示．若他早上8点从家出发，汽车在途中停车加油一次，则下列描述中，不正确的是（ ）
A．汽车行驶到一半路程时，停车加油用时10分钟 B．汽车一共行驶了60千米的路程，上午9点5分到达植物园 C．加油后汽车行驶的速度为60千米/时 D．加油后汽车行驶的速度比加油前汽车行驶的速度快 8．张老师将自己2019年10月至2020年5月的通话时长（单位：分钟）的有关数据整理如表： ①2019年10月至2020年3月通话时长统计表 时间 10月 11月 12月 1月 2月 3月 时长（单位：分钟） 520 530 550 610 650 660 ②2020年4月与2020年5月，这两个月通话时长的总和为1100分钟 根据以上信息，推断张老师这八个月的通话时长的中位数可能的最大值为（ ） A．550 B．580 C．610 D．630 二．填空题（共8小题） 9．若分式在实数范围内有意义，则 x的取值范围是 ． 10．因式分解：a3﹣a＝ ． 11．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，若△ADE的面积为1，则△ABC的面积等于 ． 12．如图，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠E，点F在AB的延长线上，则∠CBF的度数是 ．
13．如图，双曲线y＝与直线y＝mx交于A，B两点，若点A的坐标为（2，3），则点B的坐标为 ．
14．如图，用10个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个宽为50cm的大矩形，设每个小矩形的长为xcm，宽为ycm，则可以列出的方程组是 ．
15．某调查机构对某地互联网行业从业情况进行调查统计，得到当地互联网行业从业人员年龄分布统计图和当地90后从事互联网行业岗位分布统计图：
对于以下四种说法，你认为正确的是 （写出全部正确说法的序号）． ①在当地互联网行业从业人员中，90后人数占总人数的一半以上 ②在当地互联网行业从业人员中，80前人数占总人数的13% ③在当地互联网行业中，从事技术岗位的90后人数超过总人数的20% ④在当地互联网行业中，从事设计岗位的90后人数比80前人数少 16．一个袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是 ． （2）若乙盒中最终有5个红球，则袋中原来最少有 个球． 三．解答题（共12小题） 17．计算：+（π﹣2020）0﹣3tan30°+|﹣1|． 18．解方程：+1＝． 19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根大于2，求k的取值范围． 20．下面是小明设计的“在已知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外两边的距离相等”的尺规作图过程： 已知：△ABC． 求作：点D，使得点D在BC边上，且到AB，AC边的距离相等． 作法：如图， 作∠BAC的平分线，交BC于点D． 则点D即为所求． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F， ∵AD平分∠BAC， ∴ ＝ （ ）（括号里填推理的依据）． 21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥DC，CE∥DA． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）连接DE，若AC＝2，BC＝2，求证：△ADE是等边三角形．
22．某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生理指标x，y，于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取20人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图如图：
根据以上信息，回答下列问题： （1）在这40名被调查者中， ①指标y低于0.4的有 人； ②将20名患者的指标x的平均数记作，方差记作S1
2
，20名非患者的指标x的平均数
记作，方差记作S22，则 ，S12 S22（填“＞”，“＝”或“＜”）； （2）来该院就诊的500名未患这种疾病的人中，估计指标x低于0.3的大约有 人； （3）若将“指标x低于0.3，且指标y低于0.8”作为判断是否患有这种疾病的依据，则发生漏判的概率是 ．
23．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且＝，连接OC，BD，OD． （1）求证：OC垂直平分BD； （2）过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接AD，CD． ①依题意补全图形； ②若AD＝6，sin∠AEC＝，求CD的长．
24．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC交BC于点E，D是AB边上一动点，连接CD交AE于点P，连接BP．已知AB＝6cm，设B，D两点间的距离为xcm，B，P两点间的距离为y1cm，A，P两点间的距离为y2cm． 小明根据学习函数的经验，分别对函数y2，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值： x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y1/cm 2.49 2.64 2.88 3.25 3.80 4.65 6.00 y2/cm 4.59 4.24 3.80 3.25 2.51 0.00 （2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象： （3）结合函数图象，回答下列问题： ①当AP＝2BD时，AP的长度约为 cm； ②当BP平分∠ABC时，BD的长度为 cm．
25．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象G与直线l：y＝kx﹣4k+1交于点A （4，1），点B （1，n）（n≥4，n为整数）在直线l上． （1）求m的值； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G与直线l围成的区域（不含边界）为W． ①当n＝5时，求k的值，并写出区域W内的整点个数； ②若区域W内恰有5个整点，结合函数图象，求k的取值范围． 26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B（A在B的左侧），抛物线的对称轴与x轴交于点D，且OB＝2OD． （1）当b＝2时， ①写出抛物线的对称轴； ②求抛物线的表达式； （2）存在垂直于x轴的直线分别与直线l：y＝x+和拋物线交于点P，Q，且点P，Q均在x轴下方，结合函数图象，求b的取值范围． 27．在正方形ABCD中，E是CD边上一点（CE＞DE），AE，BD交于点F． （1）如图1，过点F作GH⊥AE，分别交边AD，BC于点G，H． 求证：∠EAB＝∠GHC； （2）AE的垂直平分线分别与AD，AE，BD交于点P，M，N，连接CN． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明．
28．对于平面直角坐标系xOy中的定点P和图形F，给出如下定义：若在图形F上存在一点N，使得点Q，点P关于直线ON对称，则称点Q是点P关于图形F的定向对称点． （1）如图，A（1，0），B（1，1），P（0，2）， ①点P关于点B的定向对称点的坐标是 ； ②在点C（0，﹣2），D（1，﹣），E（2，﹣1）中， 是点P关于线段AB的定向对称点． （2）直线l：y＝x+b分别与x轴，y轴交于点G，H，⊙M是以点M（2，0）为圆心，r（r＞0）为半径的圆． ①当r＝1时，若⊙M上存在点K，使得它关于线段GH的定向对称点在线段GH上，求b的取值范围； ②对于b＞0，当r＝3时，若线段GH上存在点J，使得它关于⊙M的定向对称点在⊙M上，直接写出b的取值范围． 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．下列各组图形中，能将其中一个图形经过平移变换得到另一个图形的是（ ）
A． B． C． D． 【分析】根据平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选出正确答案． 【解答】解：各组图形中，选项A中的图形是一个图形经过平移能得到另一个图形， 故选：A． 2．中国国家航天局2020年4月24日在“中国航天日”之际宣布，将中国行星探测任务命名为“天问”，将中国首次火星探测任务命名为“天问一号”．火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近的时候距离约5500万千米，将5500用科学记数法表示为（ ） A．0.55×104 B．5.5×103 C．5.5×102 D．55×102 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：5500＝5.5×103， 故选：B． 3．如图是某个几何体的平面展开图，该几何体是（ ）
A． B． C． D． 【分析】侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱．
2020年中考数学二模试卷(解析版)
2020年中考数学二模试卷一．选择题（共12小题）1．5的相反数是（）A．B．5C．﹣D．﹣52．如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．3．2020庚子鼠年，新型冠状病毒席卷全国，据统计，截止到3月8号，全国已有346支医疗队、42600余名医护人员抵达湖北救援，数字42600用科学记数法表示为（）A．0.426×105B．4.26×104 C．4.26×105 D．42.6×103 4．下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起，若∠1＝30°，则∠2的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．30°6．下列运算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．a7÷a4＝a3C．（﹣3a）2＝﹣6a2D．（a﹣1）2＝a2﹣17．某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示，下列结论不正确的是（）A．众数是8B．中位数是8C．平均数是8D．极差是48．实数a、b、c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是（）A．B．C．D．9．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，以AB的中点O为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣B．+C．2﹣πD．4﹣11．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30B．30+10C．10+30D．3012．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线y＝x+上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．a≤﹣2B．a＜C．1≤a＜或a≤﹣2D．﹣2≤a＜二．填空题（共6小题）13．分解因式：x2+4x+4＝．14．计算+的结果是．15．在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑球的个数是．16．一个正多边形的中心角等于45°，它的边数是．17．小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离y（km）与小王的行驶时间x（h）之间的函数关系．则根据图象求小李的速度是km/h．18．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM 折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①△CMP是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③PC＝MP；④BP＝AB；⑤PG＝2EF．其中一定成立的是（把所有正确结论的序号填在横线上）．三．解答题（共9小题）19．计算：．20．解不等式组，并写出它的所有整数解．21．如图，在▱ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且∠BAE＝∠DCF．求证：BF＝DE．22．某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表所示：类别成本价（元/箱）销售价（元/箱）甲2535乙3548求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？23．如图AB是⊙O的直径，P A与⊙O相切于点A，BP与⊙O相交于点D，C为⊙O上的一点，分别连接CB、CD，∠BCD＝60°．（1）求∠ABD的度数；（2）若AB＝6，求PD的长度．24．央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注，我市某校就“中华文化我传承﹣地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查，对收集的信息进行统计，绘制了下面两副尚不完整的统计图，请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：图中A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”．（1）被调查的总人数是人，扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有学生1800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中D类有人；（4）在抽取的A类5人中，刚好有3个女生2个男生，从中随机抽取两个同学担任两角色，用树形图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率．25．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A （1，a）和B两点，与x轴交于点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标；（3）若点P在y轴上，是否存在点P，使△ABP是以AB为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．26．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE．将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，＝；②当α＝180°时，＝．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决△CDE绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，求线段BD的长．27．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．5的相反数是（）A．B．5C．﹣D．﹣5【分析】根据相反数的概念解答即可．【解答】解：根据相反数的定义有：5的相反数是﹣5．故选：D．2．如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看是一个矩形中间上面挖去一个矩形，故选：A．3．2020庚子鼠年，新型冠状病毒席卷全国，据统计，截止到3月8号，全国已有346支医疗队、42600余名医护人员抵达湖北救援，数字42600用科学记数法表示为（）A．0.426×105B．4.26×104 C．4.26×105 D．42.6×103 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：42600＝4.26×104，故选：B．4．下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．5．将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起，若∠1＝30°，则∠2的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．30°【分析】根据平行线的性质，即可得出∠1＝∠ADC＝30°，再根据等腰直角三角形ADE 中，∠ADE＝45°，即可得到∠1＝45°﹣30°＝15°．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠ADC＝30°，又∵等腰直角三角形ADE中，∠ADE＝45°，∴∠1＝45°﹣30°＝15°，故选：B．6．下列运算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．a7÷a4＝a3C．（﹣3a）2＝﹣6a2D．（a﹣1）2＝a2﹣1【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方运算法则以及完全平方公式逐一判断即可．【解答】解：A．a3•a2＝a5，故本选项不合题意；B．a7÷a4＝a3，正确；C．（﹣3a）2＝9a2，故本选项不合题意；D．（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故本选项不合题意．故选：B．7．某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示，下列结论不正确的是（）A．众数是8B．中位数是8C．平均数是8D．极差是4【分析】根据众数、中位数、平均数以及极差的算法进行计算，即可得到不正确的选项．【解答】解：由图可得，数据8出现3次，次数最多，所以众数为8，故A选项正确，不合题意；10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，所以中位数是：（8+8）＝8，故B选项正确，不合题意；平均数为（6+7×2+8×3+9×2+10×2）＝8.2，故C选项错误，符合题意；极差为10﹣6＝4，故D选项正确，不合题意；故选：C．8．实数a、b、c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是（）A．B．C．D．【分析】根据不等式的性质，先判断c的正负．再确定符合条件的对应点的大致位置．【解答】解：因为a＞b且ac＜bc，所以c＜0．选项A符合a＞b，c＜0条件，故满足条件的对应点位置可以是A．选项B不满足a＞b，选项C、D不满足c＜0，故满足条件的对应点位置不可以是B、C、D．故选：A．9．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】设甲每小时做x个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等得出方程解答即可．【解答】解：设甲每小时做x个零件，可得：，故选：D．10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，以AB的中点O为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣B．+C．2﹣πD．4﹣【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得DE的长、∠DOB的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积是△ABC的面积减去△AOD的面积和扇形BOD的面积，从而可以解答本题．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，∴tan A＝，∴∠A＝30°，∴∠DOB＝60°，∵OD＝AB＝，∴DE＝，∴阴影部分的面积是：＝，故选：A．11．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30B．30+10C．10+30D．30【分析】根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB ＝30，过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝30，∴AE＝BE＝AB＝30km，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，∴CE＝BE＝10km，∴AC＝AE+CE＝30+10，∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，故选：B．12．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线y＝x+上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．a≤﹣2B．a＜C．1≤a＜或a≤﹣2D．﹣2≤a＜【分析】分a＞0，a＜0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围．【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，∴令x+＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0∴△＝9﹣8a＞0∴a＜①当a＜0时，解得：a≤﹣2∴a≤﹣2②当a＞0时，解得：a≥1∴1≤a＜综上所述：1≤a＜或a≤﹣2故选：C．二．填空题（共6小题）13．分解因式：x2+4x+4＝（x+2）2．【分析】本题中没有公因式，总共三项，其中有两项能化为两个数的平方和，第三项正好为这两个数的积的2倍，直接运用完全平方公式进行因式分解．【解答】解：x2+4x+4＝（x+2）2．14．计算+的结果是．【分析】首先通分，然后根据异分母的分式相加减的法则计算即可．【解答】解：+＝+＝＝故答案为：．15．在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑球的个数是22．【分析】设袋中黑球的个数为x，利用概率公式得到方程，解方程即可．【解答】解：设袋中黑球的个数为x，根据题意得＝，解得x＝22，即袋中黑球的个数为22个．故答案为：22．16．一个正多边形的中心角等于45°，它的边数是8．【分析】根据正n边形的中心角是即可求解．【解答】解：正多边形的边数是：＝8．故答案为：8．17．小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离y（km）与小王的行驶时间x（h）之间的函数关系．则根据图象求小李的速度是20km/h．【分析】根据题意，可知甲乙两地的距离是30km，小王从甲地到乙地用的时间为3h，从而可以求得小王的速度，然后根据图象可知，两人1h时相遇，从而可以求得小李的速度，本题得以解决．【解答】解：由图象可得，小王的速度为30÷3＝10（km/h），则小李的速度为：30÷1﹣10＝30﹣10＝20（km/h），故答案为：20．18．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM 折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①△CMP是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③PC＝MP；④BP＝AB；⑤PG＝2EF．其中一定成立的是①④⑤（把所有正确结论的序号填在横线上）．【分析】由折叠的性质，可得∠DMC＝∠EMC，CD＝CE，∠AMP＝∠EMP，AB＝GE，由平角的定义可求∠PME+∠CME＝×180°＝90°，可判断①正确；由折叠的性质可得∠GEC＝180°，可判断②正确；设AB＝x，则AD＝2x，由勾股定理可求MP和PC的长，即可判断③错误，先求出PB＝x，即可判断④正确，由平行线分线段成比例可求PG＝2EF，可判断⑤正确，即可求解．【解答】解：∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，∴∠DMC＝∠EMC，CD＝CE，∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，∴∠AMP＝∠EMP，AB＝GE，∵∠AMD＝180°，∴∠PME+∠CME＝×180°＝90°，∴△CMP是直角三角形；故①正确；∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，∴∠D＝∠MEC＝90°，∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，∴∠MEG＝∠A＝90°，∴∠GEC＝180°，∴点C、E、G在同一条直线上，故②错误；∵AD＝2AB，∴设AB＝x，则AD＝2x，∵将矩形ABCD对折，得到折痕MN；∴DM＝AD＝x，∴CM＝＝x，∵∠PMC＝90°，MN⊥PC，∴CM2＝CN•CP，∴CP＝＝x，∴PN＝CP﹣CN＝x，∴PM＝＝x，∴＝＝，∴PC＝PM，故③错误，∵PC＝x，∴PB＝BC﹣PC＝2x﹣x＝x，∴＝，∴BP＝AB，故④正确，∵∠MEC＝∠G＝90°，∴PG∥ME，∴，∵AB＝GE＝CD＝CE，∴CG＝2CE，∴PG＝2EF，故⑤正确，故答案为：①④⑤．三．解答题（共9小题）19．计算：．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、二次根式的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝＝2+1﹣1+5＝7．20．解不等式组，并写出它的所有整数解．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的方法部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解即可．【解答】解：解不等式①得：x≥1，解不等式②得：x＜4，所以，原不等式组的解集是1≤x＜4，它的所有整数解有：x＝1；x＝2；x＝3．21．如图，在▱ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且∠BAE＝∠DCF．求证：BF＝DE．【分析】欲证明BF＝DE，只要证明△ABE≌△DCF即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF（ASA），∴BE＝DF，∴BE+EF＝DF+EF，即BF＝DE．22．某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表所示：类别成本价（元/箱）销售价（元/箱）甲2535乙3548求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？【分析】（1）设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱，根据该商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据总利润＝单箱利润×销售数量，即可求出结论．【解答】解：（1）设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱，依题意，得：，解得：．答：购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱．（2）（35﹣25）×300+（48﹣35）×200＝5600（元）．答：该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元．23．如图AB是⊙O的直径，P A与⊙O相切于点A，BP与⊙O相交于点D，C为⊙O上的一点，分别连接CB、CD，∠BCD＝60°．（1）求∠ABD的度数；（2）若AB＝6，求PD的长度．【分析】（1）解法一：要的圆周角定理得：∠ADB＝90°，由同弧所对的圆周角相等和直角三角形的性质可得结论；解法二：根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可得∠BOD＝120°，由同圆的半径相等和等腰三角形的性质可得结论；（2）如图1，根据切线的性质可得∠BAP＝90°，根据直角三角形30°角的性质可计算AD的长，由勾股定理计算DB的长，由三角函数可得PB的长，从而得PD的长．【解答】解：（1）方法一：如图1，连接AD．∵BA是⊙O直径，∴∠BDA＝90°．∵＝，∴∠BAD＝∠C＝60°．∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°．方法二：如图2，连接DA、OD，则∠BOD＝2∠C＝2×60°＝120°．∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝（180°﹣120°）＝30°．即∠ABD＝30°．（2）如图1，∵AP是⊙O的切线，∴∠BAP＝90°．在Rt△BAD中，∵∠ABD＝30°，∴DA＝BA＝×6＝3．∴BD＝DA＝3．在Rt△BAP中，∵cos∠ABD＝，∴cos30°＝＝．∴BP＝4．∴PD＝BP﹣BD＝4﹣3＝．24．央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注，我市某校就“中华文化我传承﹣地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查，对收集的信息进行统计，绘制了下面两副尚不完整的统计图，请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：图中A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”．（1）被调查的总人数是50人，扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为216°；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有学生1800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中D类有180人；（4）在抽取的A类5人中，刚好有3个女生2个男生，从中随机抽取两个同学担任两角色，用树形图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率．【分析】（1）由A的人数除以所占百分比得出调查的总人数；由360°乘以C部分所占的比例即可得出C部分所对应的扇形圆心角的度数；（2）求出B部分的人数，补全条形统计图即可；（3）由该校总人数乘以D类所占的比例即可得出答案；（4）由列表法和概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）5÷10%＝50（人），扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为360°×＝216°；故答案为：50；216°；（2）如图所示，总人数为50人，则B的人数＝50﹣5﹣30﹣5＝10（人）；补全条形统计图如图：（3）1800×＝180（人）；故答案为：180；（4）设3个女生分别为女1，女2，女3，2个男生分别为男1，男2，所有可能出现的结果如下表：女1女2女3男1男2女1（女1，女2）（女1，女3）（女1，男1）（女1，男2）女2（女2，女1）（女2，女3）（女2，男1）（女2，男2）女3（女3，女1）（女3，女2）（女3，男1）（女3，男2）男1（男1，女1）（男1，女2）（男1，女3）（男1，男2）男2（男2，女1）（男2，女2）（男2，女3）（男2，男1）从中随机抽取两个同学担任两角色，所有可能的结果有20种，每种结果的可能性都相同，其中，抽到性别相同的结果有8种，所以P（被抽到的两个学生性别相同）＝．25．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A （1，a）和B两点，与x轴交于点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标；（3）若点P在y轴上，是否存在点P，使△ABP是以AB为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A坐标代入两个解析式可求a的值，k的值，即可求解；（2）设P（x，0），由三角形的面积公式可求解；（3）分两种情况讨论，由两点距离公式分别求出AP，AB，BP的长，由勾股定理可求解．【解答】解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，∴A（1，2），把A（1，2）代入反比例函数，∴k＝1×2＝2；∴反比例函数的表达式为；（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，∴C（3，0），设P（x，0），∴PC＝|3﹣x|，∴S△APC＝|3﹣x|×2＝5，∴x＝﹣2或x＝8，∴P的坐标为（﹣2，0）或（8，0）；（3）存在，理由如下：联立，解得：或，∴B点坐标为（2，1），∵点P在y轴上，∴设P（0，m），∴AB＝＝，AP＝，PB＝，若BP为斜边，∴BP2＝AB2+AP2 ，即＝2+，解得：m＝1，∴P（0，1）；若AP为斜边，∴AP2＝PB2+AB2 ，即＝+2，解得：m＝﹣1，∴P（0，﹣1）；综上所述：P（0，1）或P（0，﹣1）．26．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE．将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，＝；②当α＝180°时，＝．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决△CDE绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，求线段BD的长．【分析】（1）①当α＝0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．②α＝180°时，可得AB∥DE，然后根据＝，求出的值是多少即可．（2）首先判断出∠ECA＝∠DCB，再根据＝＝，判断出△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点E在AV的延长线上时，②如图3﹣2中，当点E在线段AB上时，分别求解即可．【解答】解：（1）①当α＝0°时，∵Rt△ABC中，∠B＝90°，∴AC＝＝＝2，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴AE＝AC＝，BD＝BC＝1，∴＝．②如图1﹣1中，当α＝180°时，可得AB∥DE，∵＝，∴＝＝．故答案为：①，②．（2）如图2，当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，∵∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA＝∠DCB，又∵＝＝，∴△ECA∽△DCB，∴＝＝．．（3）①如图3﹣1中，当点E在AB的延长线上时，在Rt△BCE中，CE＝，BC＝2，∴BE＝＝＝1，∴AE＝AB+BE＝5，∵＝，∴BD＝＝．②如图3﹣2中，当点E在线段AB上时，易知BE＝1，AE＝4﹣1＝3，∵＝，∴BD＝，综上所述，满足条件的BD的长为或．27．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）①S△PBC＝PG（x C﹣x B），即可求解；②分点P在直线BC下方、上方两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5…①，令y＝0，则x＝﹣1或﹣5，即点C（﹣1，0）；（2）①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝x+1…②，设点G（t，t+1），则点P（t，t2+6t+5），S△PBC＝PG（x C﹣x B）＝（t+1﹣t2﹣6t﹣5）＝﹣t2﹣t﹣6，∵＜0，∴S△PBC有最大值，当t＝﹣时，其最大值为；②设直线BP与CD交于点H，当点P在直线BC下方时，∵∠PBC＝∠BCD，∴点H在BC的中垂线上，线段BC的中点坐标为（﹣，﹣），过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，设BC中垂线的表达式为：y＝﹣x+m，将点（﹣，﹣）代入上式并解得：直线BC中垂线的表达式为：y＝﹣x﹣4…③，同理直线CD的表达式为：y＝2x+2…④，联立③④并解得：x＝﹣2，即点H（﹣2，﹣2），同理可得直线BH的表达式为：y＝x﹣1…⑤，联立①⑤并解得：x＝﹣或﹣4（舍去﹣4），故点P（﹣，﹣）；当点P（P′）在直线BC上方时，∵∠PBC＝∠BCD，∴BP′∥CD，则直线BP′的表达式为：y＝2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s＝5，即直线BP′的表达式为：y＝2x+5…⑥，联立①⑥并解得：x＝0或﹣4（舍去﹣4），故点P（0，5）；故点P的坐标为P（﹣，﹣）或（0，5）．。
北京市西城区2019-2020学年中考数学模拟试题(3)含解析
北京市西城区2019-2020学年中考数学模拟试题（3）一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，将△ABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠DOF ＝142°，则∠C的度数为（）A．38°B．39°C．42°D．48°2．如图的平面图形绕直线l旋转一周，可以得到的立体图形是（）A．B．C．D．3．下列式子成立的有( )个①﹣12的倒数是﹣2②(﹣2a2)3＝﹣8a52325 2④方程x2﹣3x+1＝0有两个不等的实数根A．1 B．2 C．3 D．44．在银行存款准备金不变的情况下，银行的可贷款总量与存款准备金率成反比例关系．当存款准备金率为7.5%时，某银行可贷款总量为400亿元，如果存款准备金率上调到8%时，该银行可贷款总量将减少多少亿（）A．20 B．25 C．30 D．355．如图，是一个工件的三视图，则此工件的全面积是（）A．60πcm2B．90πcm2C．96πcm2D．120πcm26．关于x的方程（a﹣1）x|a|+1﹣3x+2＝0是一元二次方程，则（）A．a≠±1B．a＝1 C．a＝﹣1 D．a＝±17．一元二次方程210--=的根的情况是()x xA．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断8．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地（轿车的平均速度大于货车的平均速度），如图线段OA和折线BCD分别表示两车离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．则下列说法正确的是（）A．两车同时到达乙地B．轿车在行驶过程中进行了提速C．货车出发3小时后，轿车追上货车D．两车在前80千米的速度相等9．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2=40°，则图中∠1的度数为（）A．115°B．120°C．130°D．140°10．如图，已知AB∥CD，DE⊥AF，垂足为E，若∠CAB=50°，则∠D的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°11．如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（）A．B．C．D．12．下列计算正确的是（）A．5﹣2=3B．4=±2C．a6÷a2=a3D．（﹣a2）3=﹣a6二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．对于一元二次方程2520x x-+=，根的判别式24b ac-中的b表示的数是__________．14．如图，点A，B是反比例函数y=kx（x＞0）图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA，BC，已知点C（2，0），BD=2，S△BCD=3，则S△AOC=__．15．若关于x的分式方程2122x ax-=-的解为非负数，则a的取值范围是_____．16．布袋中装有2个红球和5个白球，它们除颜色外其它都相同．如果从这个布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是 ________．17．写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式_____（写一个即可）．18．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°．（1）OC的长为；（2）D是OA上一点，以BD为直径作⊙M，⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时，sin∠BOQ=；（3）如图2，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时动点D以相同的速度，从点B沿折线B﹣C﹣O向点O运动．当点P到达点A时，两点同时停止运动．过点P作直线PE∥OC，与折线O﹣B﹣A交于点E．设点P运动的时间为t（秒）．求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标．20．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°．（1）作∠ACB的平分线交AB边于点O，再以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；（要求：不写做法，保留作图痕迹）（2）判断（1）中AC与⊙O的位置关系，直接写出结果．21．（6分）下表给出A、B、C三种上宽带网的收费方式：收费方式月使用费/元包时上网时间/h超时费/（元/min）A 30 25 0.05B 50 50 0.05C 120 不限时设上网时间为t小时．（I）根据题意，填写下表：月费/元 上网时间/h 超时费/（元） 总费用/（元） 方式A 30 40 方式B50100（II ）设选择方式A 方案的费用为y 1元，选择方式B 方案的费用为y 2元，分别写出y 1、y 2与t 的数量关系式；（III ）当75＜t ＜100时，你认为选用A 、B 、C 哪种计费方式省钱（直接写出结果即可）？22．（8分）已知关于x 的一元二次方程2(3)0x m x m ---=.求证：方程有两个不相等的实数根；如果方程的两实根为1x ，2x ，且2212127x x x x +-=，求m 的值．23．（8分）如图，反比例y=4x的图象与一次函数y=kx ﹣3的图象在第一象限内交于A （4，a ）． （1）求一次函数的解析式；（2）若直线x=n （0＜n ＜4）与反比例函数和一次函数的图象分别交于点B ，C ，连接AB ，若△ABC 是等腰直角三角形，求n 的值．24．（10分）如图，直线y 1=﹣x+4，y 2=34x+b 都与双曲线y=kx 交于点A （1，m ），这两条直线分别与x轴交于B ，C 两点．求y 与x 之间的函数关系式；直接写出当x ＞0时，不等式34x+b ＞kx 的解集；若点P在x 轴上，连接AP 把△ABC 的面积分成1：3两部分，求此时点P 的坐标．25．（10分）一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为12．求口袋中黄球的个数；甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；26．（12分）如图，某校准备给长12米，宽8米的矩形ABCD 室内场地进行地面装饰，现将其划分为区域Ⅰ（菱形PQFG ），区域Ⅱ（4个全等的直角三角形），剩余空白部分记为区域Ⅲ；点O 为矩形和菱形的对称中心，OP AB P ，2OQ OP =，12AE PM =，为了美观，要求区域Ⅱ的面积不超过矩形ABCD 面积的18，若设OP x =米.甲 乙 丙单价（元/米2） 2m 5n 2m（1）当3x =时，求区域Ⅱ的面积.计划在区域Ⅰ，Ⅱ分别铺设甲，乙两款不同的深色瓷砖，区域Ⅲ铺设丙款白色瓷砖，①在相同光照条件下，当场地内白色区域的面积越大，室内光线亮度越好.当x 为多少时，室内光线亮度最好，并求此时白色区域的面积.②三种瓷砖的单价列表如下，,m n 均为正整数，若当2x =米时，购买三款瓷砖的总费用最少，且最少费用为7200元，此时m =__________，n =__________. 27．（12分）已知：a+b ＝4（1）求代数式（a+1）（b+1）﹣ab 值；（2）若代数式a 2﹣2ab+b 2+2a+2b 的值等于17，求a ﹣b 的值．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．A 【解析】分析：根据翻折的性质得出∠A=∠DOE ，∠B=∠FOE ，进而得出∠DOF=∠A+∠B ，利用三角形内角和解答即可．详解：∵将△ABC 沿DE ，EF 翻折，∴∠A=∠DOE ，∠B=∠FOE ，∴∠DOF=∠DOE+∠EOF=∠A+∠B=142°，∴∠C=180°﹣∠A ﹣∠B=180°﹣142°=38°．故选A ．点睛：本题考查了三角形内角和定理、翻折的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会把条件转化的思想，属于中考常考题型． 2．B 【解析】 【分析】根据面动成体以及长方形绕一边所在直线旋转一周得圆柱即可得答案. 【详解】由图可知所给的平面图形是一个长方形， 长方形绕一边所在直线旋转一周得圆柱， 故选B. 【点睛】本题考查了点、线、面、体，熟记各种常见平面图形旋转得到的立体图形是解题关键． 3．B 【解析】 【分析】根据倒数的定义，幂的乘方、二次根式的混合运算法则以及根的判别式进行判断． 【详解】 解：①﹣12的倒数是﹣2，故正确； ②(﹣2a 2)3＝﹣8a 6，故错误；)﹣2，故错误；④因为△＝(﹣3)2﹣4×1×1＝5＞0，所以方程x 2﹣3x+1＝0有两个不等的实数根，故正确． 故选B ． 【点睛】考查了倒数的定义，幂的乘方、二次根式的混合运算法则以及根的判别式，属于比较基础的题目，熟记计算法则即可解答． 4．B 【解析】设可贷款总量为y ，存款准备金率为x ，比例常数为k ，则由题意可得：ky x=，4007.5%30k =⨯=，∴30y x=， ∴当8%x =时，303758%y ==（亿）， ∵400-375=25，∴该行可贷款总量减少了25亿. 故选B. 5．C 【解析】 【分析】先根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为12cm ，高为8cm ，再计算母线长为10，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形半径等于圆锥的母线长计算圆锥的侧面积和底面积的和即可. 【详解】圆锥的底面圆的直径为12cm ，高为8cm ，所以圆锥的母线长， 所以此工件的全面积=π⋅62+12⋅2π⋅6⋅10=96π(cm2). 故答案选C. 【点睛】本题考查的知识点是圆锥的面积及由三视图判断几何体，解题的关键是熟练的掌握圆锥的面积及由三视图判断几何体. 6．C 【解析】 【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案． 【详解】由题意可知：1012a a -≠⎧⎨⎩＋＝，解得a ＝−1故选C ． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义，本题属于基础题型． 7．A 【解析】 【分析】把a=1,b=-1,c=-1,代入24b ac ∆=-，然后计算∆，最后根据计算结果判断方程根的情况. 【详解】21,1,14145a b c b ac ==-=-∴∆-=+=Q∴方程有两个不相等的实数根.故选A. 【点睛】本题考查根的判别式，把a=1,b=-1,c=-1,代入24b ac ∆=-计算是解题的突破口. 8．B 【解析】 【分析】①根据函数的图象即可直接得出结论;②求得直线OA 和DC 的解析式,求得交点坐标即可；③由图象无法求得B 的横坐标;④分别进行运算即可得出结论. 【详解】 由题意和图可得，轿车先到达乙地，故选项A 错误，轿车在行驶过程中进行了提速，故选项B 正确，货车的速度是：300÷5＝60千米/时，轿车在BC 段对应的速度是：()80080 2.5 1.213÷-=千米/时，故选项D 错误，设货车对应的函数解析式为y ＝kx ， 5k ＝300，得k ＝60，即货车对应的函数解析式为y ＝60x ， 设CD 段轿车对应的函数解析式为y ＝ax ＋b ，2.5804.5300a b a b +=⎧⎨+=⎩，得110195a b =⎧⎨=-⎩， 即CD 段轿车对应的函数解析式为y ＝110x －195， 令60x ＝110x －195，得x ＝3.9，即货车出发3.9小时后，轿车追上货车，故选项C 错误， 故选：B ． 【点睛】此题考查一次函数的应用，解题的关键在于利用题中信息列出函数解析式 9．A【解析】解：∵把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A 落在CD 边上的点A′处，点B 落在点B ′处，∴∠BFE=∠EFB'，∠B'=∠B=90°．∵∠2=40°，∴∠CFB'=50°，∴∠1+∠EFB'﹣∠CFB'=180°，即∠1+∠1﹣50°=180°，解得：∠1=115°，故选A ． 10．B 【解析】试题解析：∵AB ∥CD ，且50CAB ∠=︒， 50ECD ∴∠=︒， ED AE Q ，⊥ 90CED ∴∠=︒，∴在Rt CED V 中，905040D ．∠=︒-︒=︒ 故选B ． 11．A 【解析】试题分析：观察图形可知，该几何体的主视图是．故选A ．考点：简单组合体的三视图． 12．D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则,同类二次根式的判断，开算术平方根，同底数幂的除法及幂的乘方运算． 【详解】A. 不是同类二次根式，不能合并，故A 选项错误； 4，故B 选项错误； C. a 6÷a 2=a 4≠a 3，故C 选项错误； D. (−a 2)3=−a 6，故D 选项正确． 故选D. 【点睛】本题主要考查了二次根式的运算法则，开算术平方根，同底数幂的除法及幂的乘方运算，熟记法则是解题的关键.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．-5 【解析】【分析】分清一元二次方程中，二次项系数、一次项系数和常数项，直接解答即可． 【详解】解：b 表示一元二次方程2520x x -+=的一次项系数5-． 【点睛】此题考查根的判别式，在解一元二次方程时程根的判别式△=b 2-4ac ，不要盲目套用，要看具体方程中的a ，b ，c 的值．a 代表二次项系数，b 代表一次项系数，c 是常数项． 14．1． 【解析】 【分析】由三角形BCD 为直角三角形，根据已知面积与BD 的长求出CD 的长，由OC+CD 求出OD 的长，确定出B 的坐标，代入反比例解析式求出k 的值，利用反比例函数k 的几何意义求出三角形AOC 面积即可． 【详解】∵BD ⊥CD ，BD=2， ∴S △BCD =12BD•CD=2， 即CD=2． ∵C （2，0）， 即OC=2，∴OD=OC+CD=2+2=1，∴B （1，2），代入反比例解析式得：k=10， 即y=10x， 则S △AOC =1． 故答案为1． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k 的几何意义是解答本题的关键． 15．1a ≥-且2a ≠ 【解析】分式方程去分母得：2（2x-a ）=x-2， 去括号移项合并得：3x=2a-2， 解得：223a x -=，∵分式方程的解为非负数，∴223a-≥且22203a--≠，解得：a≥1 且a≠4 ．16．【解析】试题解析：∵一个布袋里装有2个红球和5个白球，∴摸出一个球摸到红球的概率为：．考点：概率公式．17．y＝x2+2x（答案不唯一）．【解析】【分析】设此二次函数的解析式为y＝ax（x+2），令a＝1即可．【详解】∵抛物线过点（0，0），（﹣2，0），∴可设此二次函数的解析式为y＝ax（x+2），把a＝1代入，得y＝x2+2x．故答案为y＝x2+2x（答案不唯一）．【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，此题属开放性题目，答案不唯一．18．60°【解析】解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°（直径所对的圆周角是直角），∵∠CBD=30°，∴∠D=60°（直角三角形的两个锐角互余），∴∠A=∠D=60°（同弧所对的圆周角相等）；故答案是：60°三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（4）4；（2）35；（4）点E的坐标为（4，2）、（53，103）、（4，2）．【解析】分析：（4）过点B作BH⊥OA于H，如图4（4），易证四边形OCBH是矩形，从而有OC=BH，只需在△AHB 中运用三角函数求出BH 即可．（2）过点B 作BH ⊥OA 于H ，过点G 作GF ⊥OA 于F ，过点B 作BR ⊥OG 于R ，连接MN 、DG ，如图4（2），则有OH=2，BH=4，MN ⊥OC ．设圆的半径为r ，则MN=MB=MD=r ．在Rt △BHD 中运用勾股定理可求出r=2，从而得到点D 与点H 重合．易证△AFG ∽△ADB ，从而可求出AF 、GF 、OF 、OG 、OB 、AB 、BG ．设OR=x ，利用BR 2=OB 2﹣OR 2=BG 2﹣RG 2可求出x ，进而可求出BR ．在Rt △ORB 中运用三角函数就可解决问题．（4）由于△BDE 的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况（①∠BDE=90°，②∠BED=90°，③∠DBE=90°）讨论，然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立关于t 的方程就可解决问题．详解：（4）过点B 作BH ⊥OA 于H ，如图4（4），则有∠BHA=90°=∠COA ，∴OC ∥BH ． ∵BC ∥OA ，∴四边形OCBH 是矩形，∴OC=BH ，BC=OH ． ∵OA=6，BC=2，∴AH=0A ﹣OH=OA ﹣BC=6﹣2=4． ∵∠BHA=90°，∠BAO=45°， ∴tan ∠BAH=BHHA=4，∴BH=HA=4，∴OC=BH=4． 故答案为4．（2）过点B 作BH ⊥OA 于H ，过点G 作GF ⊥OA 于F ，过点B 作BR ⊥OG 于R ，连接MN 、DG ，如图4（2）．由（4）得：OH=2，BH=4．∵OC 与⊙M 相切于N ，∴MN ⊥OC ． 设圆的半径为r ，则MN=MB=MD=r ． ∵BC ⊥OC ，OA ⊥OC ，∴BC ∥MN ∥OA ． ∵BM=DM ，∴CN=ON ，∴MN=12（BC+OD ），∴OD=2r ﹣2，∴DH=OD OH -=24r -．在Rt △BHD 中，∵∠BHD=90°，∴BD 2=BH 2+DH 2，∴（2r ）2=42+（2r ﹣4）2． 解得：r=2，∴DH=0，即点D 与点H 重合，∴BD ⊥0A ，BD=AD ． ∵BD 是⊙M 的直径，∴∠BGD=90°，即DG ⊥AB ，∴BG=AG ． ∵GF ⊥OA ，BD ⊥OA ，∴GF ∥BD ，∴△AFG ∽△ADB ， ∴AF AD =GF BD =AG AB =12，∴AF=12AD=2，GF=12BD=2，∴OF=4，∴同理可得：，∴BG=12．设OR=x ，则x ．∵BR ⊥OG ，∴∠BRO=∠BRG=90°，∴BR 2=OB 2﹣OR 2=BG 2﹣RG 2，∴（2﹣x 2=（）2﹣（x ）2．解得：x=5，∴BR 2=OB 2﹣OR 2=（2﹣（5）2=365，∴BR=5．在Rt △ORB 中，sin ∠BOR=BR OB35．故答案为35． （4）①当∠BDE=90°时，点D 在直线PE 上，如图2．此时DP=OC=4，BD+OP=BD+CD=BC=2，BD=t ，OP=t ． 则有2t=2． 解得：t=4．则OP=CD=DB=4． ∵DE ∥OC ，∴△BDE ∽△BCO ，∴DE OC =BD BC =12，∴DE=2，∴EP=2， ∴点E 的坐标为（4，2）． ②当∠BED=90°时，如图4．∵∠DBE=OBC ，∠DEB=∠BCO=90°，∴△DBE ∽△OBC ，∴BEBC =2DB BE OB ∴，，∴BE=5t ． ∵PE ∥OC ，∴∠OEP=∠BOC ．∵∠OPE=∠BCO=90°，∴△OPE ∽△BCO ，∴OEOB =OPBC ，2t ，∴t ．∵解得：t=53，∴OP=53，，∴=103， ∴点E 的坐标为（51033，）． ③当∠DBE=90°时，如图4．此时PE=PA=6﹣t ，OD=OC+BC ﹣t=6﹣t ．则有OD=PE ，（6﹣t ），∴BE=BA ﹣t ）t ﹣．∵PE ∥OD ，OD=PE ，∠DOP=90°，∴四边形ODEP 是矩形， ∴DE=OP=t ，DE ∥OP ，∴∠BED=∠BAO=45°．在Rt△DBE中，cos∠BED=BEDE=22，∴DE=2BE，∴t=22（t﹣22）=2t﹣4．解得：t=4，∴OP=4，PE=6﹣4=2，∴点E的坐标为（4，2）．综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标为（4，2）、（51033，）、（4，2）．点睛：本题考查了圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的定义、平行线分线段成比例、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的数学思想，有一定的综合性．20．（1）见解析（2）相切【解析】【分析】（1）首先利用角平分线的作法得出CO，进而以点O为圆心，OB为半径作⊙O即可；（2）利用角平分线的性质以及直线与圆的位置关系进而求出即可．【详解】（1）如图所示：；（2）相切；过O点作OD⊥AC于D点，∵CO平分∠ACB，∴OB=OD，即d=r，∴⊙O与直线AC相切，【点睛】此题主要考查了复杂作图以及角平分线的性质与作法和直线与圆的位置关系，正确利用角平分线的性质求出d=r是解题关键．21．（I）见解析;（II）见解析；（III）见解析．【解析】【分析】（I）根据两种方式的收费标准分别计算，填表即可；（II）根据表中给出A，B两种上宽带网的收费方式，分别写出y1、y2与t的数量关系式即可；（III）计算出三种方式在此取值范围的收费情况，然后比较即可得出答案．【详解】（I）当t=40h时，方式A超时费：0.05×60（40﹣25）=45，总费用：30+45=75，当t=100h时，方式B超时费：0.05×60（100﹣50）=150，总费用：50+150=200，填表如下：（II）当0≤t≤25时，y1=30，当t＞25时，y1=30+0.05×60（t﹣25）=3t﹣45，所以y1=30(025){345(25)tt t≤≤->；当0≤t≤50时，y2=50，当t＞50时，y2=50+0.05×60（t﹣50）=3t﹣100，所以y2=50(050){3100(50)tt t≤≤->；（III）当75＜t＜100时，选用C种计费方式省钱．理由如下：当75＜t＜100时，y1=3t﹣45，y2=3t﹣100，y3=120，当t=75时，y1=180，y2=125，y3=120，所以当75＜t＜100时，选用C种计费方式省钱．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答时理解三种上宽带网的收费标准进而求出函数的解析式是解题的关键．22．（1）证明见解析（1）1或1 【解析】试题分析：（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的△的值大于0即可； （1）根据根与系数的关系可以得到关于m 的方程，从而可以求得m 的值．试题解析：（1）证明：∵()230x m x m ---=，∴△=[﹣（m ﹣3）]1﹣4×1×（﹣m ）=m 1﹣1m+9=（m﹣1）1+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（1）∵()230x m x m ---=，方程的两实根为1x ，2x ，且2212127x x x x +-=，∴123x x m +=- ，12x x m =- ，∴()2121237x x x x +-=，∴（m ﹣3）1﹣3×（﹣m ）=7，解得，m 1=1，m 1=1，即m 的值是1或1．23．（1）y=x ﹣3（2）1 【解析】 【分析】（1）由已知先求出a ，得出点A 的坐标，再把A 的坐标代入一次函数y=kx-3求出k 的值即可求出一次函数的解析式；（2）易求点B 、C 的坐标分别为（n ，4n），（n ，n-3）．设直线y=x-3与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，易得OD=OE=3，那么∠OED=45°．根据平行线的性质得到∠BCA=∠OED=45°，所以当△ABC 是等腰直角三角形时只有AB=AC 一种情况．过点A 作AF ⊥BC 于F ，根据等腰三角形三线合一的性质得出BF=FC ，依此得出方程4n-1=1-（n-3），解方程即可． 【详解】解：（1）∵反比例y=4x的图象过点A （4，a ）， ∴a=44=1， ∴A （4，1），把A （4，1）代入一次函数y=kx ﹣3，得4k ﹣3=1， ∴k=1，∴一次函数的解析式为y=x ﹣3；（2）由题意可知，点B 、C 的坐标分别为（n ，4n），（n ，n ﹣3）． 设直线y=x ﹣3与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，如图，当x=0时，y=﹣3；当y=0时，x=3，∴OD=OE，∴∠OED=45°．∵直线x=n平行于y轴，∴∠BCA=∠OED=45°，∵△ABC是等腰直角三角形，且0＜n＜4，∴只有AB=AC一种情况，过点A作AF⊥BC于F，则BF=FC，F（n，1），∴4n﹣1=1﹣（n﹣3），解得n1=1，n2=4，∵0＜n＜4，∴n2=4舍去，∴n的值是1．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，难度适中．24．（1）3yx；（2）x＞1；（3）P（﹣54，0）或（94，0）【解析】分析：（1）求得A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y=kx，可得y与x之间的函数关系式；（2）依据A（1，3），可得当x＞0时，不等式34x+b＞kx的解集为x＞1；（3）分两种情况进行讨论，AP把△ABC的面积分成1：3两部分，则CP=14BC=74，或BP=14BC=74，即可得到OP=3﹣74=54，或OP=4﹣74=94，进而得出点P的坐标．详解：（1）把A（1，m）代入y1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3，∴A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y=kx，可得k=1×3=3，∴y与x之间的函数关系式为：y=3x；（2）∵A（1，3），∴当x＞0时，不等式34x+b＞kx的解集为：x＞1；（3）y1=﹣x+4，令y=0，则x=4，∴点B的坐标为（4，0），把A（1，3）代入y2=34x+b，可得3=34+b，∴b=94，∴y2=34x+94，令y2=0，则x=﹣3，即C（﹣3，0），∴BC=7，∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分，∴CP=14BC=74，或BP=14BC=74∴OP=3﹣74=54，或OP=4﹣74=94，∴P（﹣54，0）或（94，0）．点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．25．(1)1;(2)1 6【解析】【分析】（1）设口袋中黄球的个数为x个，根据从中任意摸出一个球是红球的概率为12和概率公式列出方程，解方程即可求得答案；（2）根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出都是红球的情况，再利用概率公式即可求得答案；【详解】解：（1）设口袋中黄球的个数为x个，根据题意得：21 212x= ++解得：x=1经检验：x=1是原分式方程的解∴口袋中黄球的个数为1个（2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两次摸出都是红球的有2种情况 ∴两次摸出都是红球的概率为： 21126=. 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件． 26．（1）8m 2;（2）68m 2;(3) 40，8 【解析】 【分析】（1）根据中心对称图形性质和,OP AB P ,12OM AB =,12AE PM =可得42x AE -=,即可解当83x =时，4个全等直角三角形的面积；（2）白色区域面积即是矩形面积减去一二部分的面积，分别用含x 的代数式表示出菱形和四个全等直角三角形的面积，列出含有x 的解析式表示白色区域面积，并化成顶点式，根据04OP <<，06OQ <≤，1968II S ≤⨯，求出自变量的取值范围，再根据二次函数的增减性即可解答；（3）计算出x=2时各部分面积以及用含m 、n 的代数式表示出费用，因为m,n 均为正整数，解得m=40，n=8. 【详解】（1） ∵O 为长方形和菱形的对称中心，OP AB P ，∴142OM AB == ∵12AE PM =，OP PM OM +=，∴42x AE -= ∴当83x =时，41223AE -==，21124468223II S AM AE m =⨯⋅=⨯⨯⨯= （2）∵()2211442422I S OP OQ x x x m =⨯⋅=⨯⋅=，()214(246)2II S AM AE x m =⨯⋅=-∴I IIII I S AB BC S S =⋅--=-()22234672474.254x x x m ⎛⎫++=--+ ⎪⎝⎭，∵04OP <<，06OQ <≤，1968II S ≤⨯∴040261246968x x x ⎧⎪<<⎪<≤⎨⎪⎪-≤⨯⎩解不等式组得23x ≤≤，∵40a =-<，结合图像，当34x ≥时，III S 随x 的增大而减小. ∴当2x =时， III S 取得最大值为()2242627268m -⨯+⨯+= （3）∵当2x =时，S Ⅰ=4x 2=16 m 2，246II S x =-=12 m 2，III S =68m 2，总费用:16×2m+12×5n+68×2m=7200,化简得：5n+14m=600,因为m,n 均为正整数，解得m=40，n=8.【点睛】本题考查中心对称图形性质，菱形、直角三角形的面积计算，二次函数的最值问题，解题关键是用含x 的二次函数解析式表示出白色区面积.27．（1）5；（2）1或﹣1．【解析】【分析】（1）将原式展开、合并同类项化简得a+b+1，再代入计算可得；（2）由原式=（a-b ）2+2（a+b ）可得（a-b ）2+2×4=17，据此进一步计算可得． 【详解】（1）原式=ab+a+b+1﹣ab=a+b+1，当a+b=4时，原式=4+1=5；（2）∵a 2﹣2ab+b 2+2a+2b=（a ﹣b ）2+2（a+b ），∴（a ﹣b ）2+2×4=17，∴（a ﹣b ）2=9，则a ﹣b=1或﹣1．【点睛】本题主要考查代数式的求值，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则及整体思想的运用．。
2020北京各区初三二模数学分类汇编—二次函数的图象、性质和应用含答案
2020北京各区初三二模数学分类汇编 —二次函数的图象、性质和应用1.（2020▪东城初三二模）若点1(1,)A y ，2(2,)B y 在抛物线2(1)2y a x =++(0a ＜)上，则下列结论正确的是（ ） A.122y y >>B ．212y y >>C ．122y y >>D ．212y y >>2.（2020▪海淀初三二模）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P (a , b )，若ab >0，则称点P 为“同号点”. 下列函数的图象中不存在．．． “同号点”的是（ ） A.1y x =-+ B.22y x x =-C.2y x=-D.21y x x=+3.（2020▪海淀初三二模） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，有五个点(2,0)A ，(0,2)B -，(2,4)C -，(4,2)D -，(7,0)E ，将二次函数2(2)y a x m =-+(0)m ≠的图象记为W .下列的判断中①点A 一定不在W 上； ②点B ，C ，D 可以同时在W 上； ③点C ，E 不可能同时在W 上. 所有正确结论的序号是_______．4.（2020▪丰台初三二模）如图，抛物线21=-y x .将该抛物线在x 轴和x 轴下方的部分记作C 1，将C 1沿x 轴翻折记作C 2，C 1和C 2构成的图形记作C 3.关于图形C 3，给出如下四个结论，其中错误．．的是( ) （A ）图形C 3恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点） （B ）图形C 3上任意一点到原点的距离都不超过1 （C ）图形C 3的周长大于2π（D ）图形C 3所围成的区域的面积大于2且小于π5. （2020▪海淀初三二模） 在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y =mx 2+2mx +3的图象与x 轴交于点(3,0)A -，与y 轴交于点B ，将其图象在点A ，B 之间的部分（含A ,B 两点）记为F . （1）求点B 的坐标及该函数的表达式；（2）若二次函数y =x 2+2x +a 的图象与F 只有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围.6. （2020▪西城初三二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2+y x bx c =+与x 轴交于点A ，B （A 在B 的左侧），抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，且OB =2OD . （1）当2b =时， ①写出抛物线的对称轴； ②求抛物线的表达式；（2）存在垂直于x 轴的直线分别与直线l ：22b y x +=+和抛物线交于点P ，Q ，且点P ，Q 均在x 轴下方，结合函数图象，求b 的取值范围.7. （2020▪东城初三二模）在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（0，4），点B 的坐标为（6，4），抛物线y=x 2-5x+a-2的顶点为C .（1）当抛物线经过点B 时，求顶点C 的坐标；（2）若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围； （3）若满足不等式x 2-5x+a-2≤0的x 的最大值为3，直接写出实数a 的值.8. （2020▪朝阳初三二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax a x c =++与y 轴交于点()0,2. (1)求c 的值;(2)当2a =时，求抛物线顶点的坐标; (3)已知点()()2,0,1,0A B -，若抛物线22y ax a x c =++与线段AB 有两个公共点，结合函数图象.求a 的取值范围.9．（2020▪丰台初三二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线243=-+y ax ax a 与y 轴交于点A . （1）求点A 的坐标（用含a 的式子表示）； （2）求抛物线与x 轴的交点坐标；（3）已知点P (a ，0)，Q (0，2-a )，如果抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围． 10．（2020▪燕山初三二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24(0)y ax ax a =-≠与x 轴交于点A ，B (A 在B 的左侧)．(1)求点A ，B 的坐标及抛物线的对称轴；(2)已知点P (2，2)，Q (2＋2a ，5a )，若抛物线与线段PQ 有公共点，请结合函数图象，求a 的取值范围．11．（2020▪房山初三二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线22y ax ax c =++与x 轴交于点A 、B ，且4AB =.抛物线与y 轴交于点C ，将点C 向上移动1个单位得到点D . （1）求抛物线对称轴；（2）求点D 纵坐标（用含有a 的代数式表示）；（3）已知点()4,4P -，若抛物线与线段PD 只有一个交点，求a 的取值范围.12．（2020▪顺义初三二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线()()231210=--+-≠．y mx m x m m（1）当m=3时，求抛物线的顶点坐标；（2）已知点A（1，2）．试说明抛物线总经过点A；（3）已知点B（0，2），将点B向右平移3个单位长度，得到点C，若抛物线与线段BC只有一个公共点，求m的取值范围．13. （2020▪密云初三二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点B的坐标为（3，0），将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后，恰好经过B、C两点．（1）求k的值和点C的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标；（3）已知点E是点D关于原点的对称点，若抛物线C2：y=ax2-2（0a≠）与线段AE恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．14．（2020▪平谷初三二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=mx 2-2mx -1（m >0）与x 轴的交点为A ，B ，与y 轴交点C.（1）求抛物线的对称轴和点C 坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域为图形W （不含边界）．①当m =1时，求图形W 内的整点个数；②若图形W 内有2个整数点，求m 的取值范围．15．（2020▪门头沟初三二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线222y x ax a =-+的顶点为A ，直线3y x =+与抛物线交于点B ，C （点B 在点C 的左侧）. （1）求点A 坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记线段BC 及抛物线在B ，C 两点之间的部分围成的封闭区域（不含边界）记为W .①当0a =时，结合函数图象，直接写出区域W 内的整点个数； ②如果区域W 内有2个整点，请求出a 的取值范围.xy–5–4–3–2–112345–2–1123456O2020北京各区初三二模数学分类汇编—二次函数的图象、性质和应用参考答案1.A2.C3.①②．4.C5.解：（1）∵y =mx 2+2mx +3的图象与与y 轴交于点B ， ∴点B 的坐标为(0,3).∵y =mx 2+2mx +3的图象与x 轴交于点(3,0)A -， ∴将(3,0)A -代入y =mx 2+2mx +3可得9630m m -+=. ∴m = -1.∴该函数的表达式为y =-x 2-2x +3.（2）∵将二次函数y =mx 2+2mx +3的图象在点A ，B 之间的 部分（含A ,B 两点）记为F ，∴F 的端点为A ,B ，并经过抛物线y =mx 2+2mx +3的 顶点C （其中C 点坐标为(-1,4)）. ∴可画F 如图1所示.∵二次函数y =x 2+2x +a 的图象的对称轴为x =-1， 且与F 只有一个公共点,∴可分别把A ,B ,C 的坐标代入解析式y =x 2+2x +a 中. ∴可得三个a 值分别为-3，3，5. 可画示意图如图2所示.图 1图 2∴结合函数图象可知：二次函数y =x 2+2x +a 的图象与F 只有一个公共点时，a 的取值范围是-3≤a <3或a =5.6．解：（1）当2b =时，2y x bx c =++化为22y x x c =++．①1x =-．②∵抛物线的对称轴为直线1x =-， ∴点D 的坐标为（-1，0），OD =1． ∵OB =2OD ， ∴OB =2．∵点A ，点B 关于直线1x =-对称， ∴点B 在点D 的右侧． ∴点B 的坐标为（2，0）．∵抛物线22y x x c =++与x 轴交于点B （2，0），∴440c ++=．解得8c =-．∴抛物线的表达式为228=+-y x x ． （2）设直线22b y x +=+与x 轴交点为点E ，∴E （22b +-，0）．抛物线的对称轴为2b x =-， ∴点D 的坐标为（2b -，0）． ①当0b >时，2b OD =． ∵OB =2OD ， ∴OB = b ．∴点A 的坐标为（2b -，0），点B 的坐标为（b ，0）． 当2b -<22b +-时，存在垂直于x 轴的直线分别与直线l ：22b y x +=+解得23b >②当0b <∴2b OD =-．∵OB =2OD ， ∴OB = -b ．∵抛物线2+y x bx c =+与x 轴交于点A ，B ，且A 在B 的左侧， ∴点A 的坐标为（0，0），点B 的坐标为（-b ，0）． 当0 <22b +-时，存在垂直于x 轴的直线分别与直线l ：22b y x +=+和抛物线交于点P ，Q ，且点P ，Q 均在x 轴下方， 解得b <-2．综上，b 的取值范围是2b <-或23b >. ·················· 6分7. 解：(1)依据题意，得 4 = 36 — 30+a — 2. 解得a = 0.此时 , y== 2x — 5 x — 2. 所以顶点C 的坐标为 533(,)24-....................................... 2分(2)当抛物线过A (0,4)时, a = 6； 当抛物线过B (6,4)时, a = 0;当抛物线顶点在线段AB 上时, a = 494结合图象可知, a 的取值范围是0≤a ＜6或a = 494...................... 4分(3) a = 8. .......................................................... 6 分 8.解：26．解：（1）∵抛物线22y ax a x c =++与y 轴交于点（0,2），∴c =2.（2）当a =2时，抛物线为2422++=x x y ， ∴顶点坐标为（,0）.（3）当0a ＞时，①当a =2时，如图1，抛物线与线段AB 只有一个公共点. ②当21+=a 时，如图2，抛物线与线段AB 有两个公共点.结合函数图象可得212a <+≤.当0a ＜时，抛物线与线段AB 只有一个或没有公共点. 综上所述，a 的取值范围是212a <+≤. 9.解：（1）令x =0，则y =3a.∴点A 的坐标为（0，3a ）. ………………………………………………1分 （2）令y =0，则ax 2-4ax +3a =0. …………………………………………2分 ∵a ≠0，∴解得121,3x x ==.∴抛物线与x 轴的交点坐标分别为（1，0）, （3，0）.…………4分 （3）①当a <0时， 可知3a ≥a -2.解得a ≥-1. ∴a 的取值范围是-1≤a <0.图2②当a ＞0时，由①知a ≥-1时，点Q 始终在点A 的下方，所以抛物线与线段PQ 恰有一个公共点时，只要1≤a <3即可.综上所述，a 的取值范围是-1≤a <0或1≤a <3. .......….........….....………7分 10．解：(1) ∵24y ax ax =-＝(4)ax x -， ∴抛物线与x 轴交于点A (0，0)，B (4，0)． 抛物线24y ax ax =-的对称轴为直线：422ax a-=-=． (2) 24y ax ax =-＝2(4)a x x -＝2(2)4a x a --， 抛物线的顶点坐标为(2，－4a )． 令5y a =，得245ax ax a -=，(5)(1)0a x x -+=，解得1x =-，或5x =，∴当5y a =时，抛物线上两点M (－1，5a )，N (5，5a )．①当0a >时，抛物线开口向上，顶点位于x 轴下方，且Q (2＋2a ，5a )位于点P 的右侧， 如图1，当点N 位于点Q 左侧时，抛物线与线段PQ 有公共点， 此时2＋2a >5， 解得32a>． ②当0a <时，抛物线开口向下，顶点位于x 轴上方，点Q (2＋2a ，5a )位于点P 的左侧， (ⅰ)如图2，当顶点位于点P 下方时，抛物线与线段PQ 有公共点， 此时－4a <2， 解得12a>-．(ⅱ)如图3，当顶点位于点P 上方，点M 位于点Q 右侧时，抛物线与线段PQ 有公共点， 此时2＋2a <－1， 解得32a<-． 综上，a 的取值范围是32a>，或102<a<-，或32a<-．11．解：（1）对称轴-1=22-=aax ……………………………………1分 （2）∵4AB =A （-3，0），B （1，0）……………………………………2分把（1，0）代入表达式：0=c +2a +a 得：a 3-=c ……………3分 ∴C （0，-3a ）∴D （0，-3a+1）, 31D y a =-+…………………………4分（3）当0a >时将点()4,4P -代入抛物线223y ax ax a =+-得：41683a a a =--,45a =∴当45a ≥时，抛物线与线段PD 只有一个交点…………………5分 当0a <时抛物线的顶点为()1,4a --当44a -=时1a =-………6分综上所述，当45a ≥或1a =-时，抛物线与线段PD 只有一个交点. 12．解：（1）把m =3代入()23121y mx m x m =--+-中，得223653(1)2y x x x =-+=-+，∴抛物线的顶点坐标是（1，2）．…………………………………2分 （2）当x =1时，3(1)2133212y m m m m m m =--+-=-++-=． ∵点A （1，2），∴抛物线总经过点A ．………………………………………………3分 （3）∵点B （0，2），由平移得C （3，2）． ①当抛物线的顶点是点A （1，2）时，抛物线与 线段BC 只有一个公共点．由（1）知，此时，m =3．……………………………………4分②当抛物线过点B （0，2）时， 将点B （0，2）代入抛物线表达式，得 2m -1=2． ∴m =32>0．此时抛物线开口向上（如图1）．11图1yxCB A O∴当0<m <32时，抛物线与线段BC只有一个公共点．………………………………………5分 ③当抛物线过点C （3，2）时， 将点C （3，2）代入抛物线表达式，得 9m -9(m -1)+2m -1=2． ∴m =-3<0．此时抛物线开口向下（如图2）． ∴当-3<m <0时，抛物线与线段BC 只有一个公共点．………………… 6分 综上，m 的取值范围是m =3或0<m <32或-3<m <0．13.（1）解：∵直线y=kx +3经过点B （3，0） ∴3k+3=0k=-1………………………………1分∴y=-x +3与y 轴的交点，即为点C （0，3）………………………………2分 （2）解：∵抛物线y=x 2+bx+c 经过点B （3，0）和点C （0，3） ∴y=x 2+bx+3 ∴ 9+3b +3=0b=-4∴抛物线C 1的函数表达式为y =x 2-4x+3 ………………………3分 ∴y =（x-2）2-1∴顶点D 的坐标为（2，-1）………………………………4分图2（3）解：∵点E 是点D 关于原点的对称点 ∴点E 的坐标为（-2，1）当y=ax 2-2经过点E （-2，1）时，a = 当y=ax 2-2经过点A （1，0）时，a =2∴a 的取值范围是≤a <2 ……………6分14.解：（1）1a2b-x == ··························· 1 C （0，-1） ······························· 2 (2)①1个 ······························· 3 ②当抛物线顶点为（1，-2）时，m=1 当抛物线顶点为（1，-3）时，m=2所以，2m 1≤< ····························· 6 15. 解：（1）∵抛物线 y x 22ax a 2的顶点为 A ，∴22a x -=-= a ,y a 2 2a a a 20 .∴ A a ，0 ； ............................................................ 2 分 （2）①4 个 ..............................................................4 分 ②如图所示： 当抛物线 yx 22axa 2 经过点0 ，2 时，a 22 ，a =2±a =2 不符合题意舍去；当抛a 2 1 ， a1.4343a 1不符合题意舍去；∴-2 a ≤ 1 ............................................... 6 分。
2022年北京市西城区九年级统一测试数学试题(二模)及答案解析
2022年北京市西城区九年级统一测试数学试题（二模）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是( )A. 圆柱B. 长方体C. 圆锥D. 三棱锥2. 2022年4月28日，京杭大运河实现全线通水．京杭大运河是中国古代劳动人民创造的一项伟大工程，它南起余杭(今杭州)，北到涿郡(今北京)，全长约1800000m.将1800000用科学记数法表示应为A. 0.18×107B. 1800×103C. 18×105D. 1.8×1063. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是A. B.C. D.4. 在同一条数轴上分别用点表示实数−1.5，0，−√11，|−4|，则其中最左边的点表示的实数是( )A. −√11B. 0C. −1.5D. |−4|5. 学校图书馆的阅读角有一块半径为3m，圆心角为120°的扇形地毯，这块地毯的面积为( )A. 9πm2B. 6πm2C. 3πm2D. πm26. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在BA的延长线上，AB=2AE，EC，BD交于点F.若BD= 10，则DF的长为( )A. 3.5B. 4.5C. 4D. 57. 一条观光船沿直线向码头前进，下表记录了4个时间点观光船与码头的距离，其中t表示时间，y表示观光船与码头的距离．t/min0369y/m675600525450如果观光船保持这样的行进状态继续前进，那么从开始计时到观光船与码头的距离为150m时，所用时间为( )A. 25minB. 21minC. 13minD. 12min8. 教练将某射击运动员50次的射击成绩录入电脑，计算得到这50个数据的平均数是7.5，方差是1.64.后来教练核查时发现其中有2个数据录入有误，一个错录为6环，实际成绩应是8环；另一个错录为9环，实际成绩应是7环．教练将错录的2个数据进行了更正，更正后实际成绩的平均数是x，方差是s2，则A. x<7.5，s2=1.64B. x=7.5，s2>1.64C. x>7.5，s2<1.64D. x=7.5，s2<1.64二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9. 若1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．x−410. 方程组{x−y=33x+y=5的解为________．11. 如图，将直角三角形纸片ABC进行折叠，使直角顶点A落在斜边BC上的点E处，并使折痕经过点C，得到折痕CD.若∠CDE=70°，则∠B=°.12. 用一个a的值说明命题“若a>0，则a2>1”是错误的，这个值可以是a=．a13. 如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，点F在线段DE上，且AF⊥BF.若AB=4，BC=7，则EF的长为．14. 将抛物线y=2x2向下平移b(b>0)个单位长度后，所得新抛物线经过点(1,−4)，则b的值为________．15. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，OB=√13，BC=4，则tanA的值为．16. 如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a～ℎ的小球．甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下：①每人首次取球时，只能取走2个或3个球；后续每次可取走1个，2个或3个球；②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走；③最后一个将球取完的人获胜．(1)若甲首次取走写有b，c，d的3个球，接着乙首次也取走3个球，则(填“甲”或“乙”)一定获胜；(2)若甲首次取走写有a，b的2个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是．三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）17. 计算：|−√2|+2cos45°−√8+(13)−2．18. 解不等式：5x−26<x2+1，并写出它的正整数解．四、解答题（本大题共10小题，共80.0分。
2020-2021学年北京市各区中考数学二模《代数》综合考点题汇总含答案
最新北京市各区初三数学二模代数综合题汇总西城27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：2144y ax ax =--的顶点在x 轴上，直线l ：25y x =-+与x 轴交于点A ．（1）求抛物线1C ：2144y ax ax =--的表达式及其顶点坐标；（2）点B 是线段OA 上的一个动点，且点B 的坐标为（t ，0）．过点B 作直线BD ⊥x轴交直线l 于点D ，交抛物线2C ：2344y ax ax t =--+于点E ．设点D 的纵坐标为m ，点E 的纵坐标为n ，求证：m n ≥；（3）在（2）的条件下，若抛物线2C ：2344y ax ax t =--+与线段BD 有公共点，结合函数的图象，求t 的取值范围．西城27．（1）解：∵抛物线1C ：2144y ax ax =--， ∴它的对称轴为直线422ax a-=-=．∵抛物线1C 的顶点在x 轴上，∴它的顶点为（2，0）．……………………………………………………1分∴当2x =时，440y a =--=．∴1a =-．∴抛物线1C 的表达式为2144y x x =-+-．………………………………2分（2）证明：∵点B 的坐标为（t ，0），且直线BD ⊥x 轴交直线l ：25y x =-+于点D ，∴点D 的坐标为（t ，5t -+）．……………………………………………3分∵直线BD 交抛物线2C ：2344y x x t =-+-+于点E ，∴点E 的坐标为（t ，254t t -+-）．……………………………………4分 ∵m n -=(5)t -+2(54)t t --+-269t t =-+ 2(3)0t =-≥，∴m n ≥．……………………………………………………………………5分（3）解：∵抛物线2C ：2344y x x t =-+-+与线段BD 有公共点，∴点E 应在线段BD 上．∵由（2）可知，点D 要么与点E 重合，要么在点E 的上方， ∴只需0n ≥， 即2540t t -+-≥． ∵当2540t t -+-=时， 解得1t =或4t =．∴结合函数254y t t =-+-的图象可知，符合题意的t 的取值范围是14t ≤≤．海淀27.已知：点(,)P m n 为抛物线24y ax ax b =-+（0a ≠）上一动点．（1） 1P （1，1n ），2P （3，2n ）为P 点运动所经过的两个位置，判断1n ，2n 的大小，并说明理由；（2） 当14m ≤≤时，n 的取值范围是14n ≤≤，求抛物线的解析式. 西城 解：（1）12n n =． ……………… 1 分理由如下：由题意可得抛物线的对称轴为2x =．∵1P (1，1n )，2P （3，2n ）在抛物线24y ax ax b =-+上， ∴12n n =．………………3分 （2）当0a >时，抛物线的顶点为（2，1），且过点（4，4），∴抛物线的解析式为23344y x x =-+．………………5分 当0a <时，抛物线的顶点为（2，4），且过点（4，1），∴抛物线的解析式为23314y x x =-++． 综上所述，抛物线的解析式为23344y x x =-+或23314y x x =-++．…………7 分房山27.如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知点P （-1,0），C()11-2，，D （0，-3），A ，B 在x 轴上，且P 为AB 中点，1=∆CAP S .（1）求经过A 、D 、B 三点的抛物线的表达式．（2）把抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折，得到一个新的图象G ，点Q 在此新图象G 上，且APC APQ S S ∆∆=，求点Q 坐标．（3）若一个动点M 自点N （0,-1）出发，先到达x 轴上某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点D ，求使点M 运动的总路程最短的点E 、点F 的坐标．房山27.解：(1)∵1=∆CAP S ，C()1,12-，∴1121=⨯AP ,∴AP =2，∵P 为AB 中点，P （-1，0）， ∴A （-3,0），B （1,0）； -----------1分∴过A 、B 、D 三点的抛物线的表达式为：322-+=x x y ----------------------2分(2)抛物线322-+=x x y 沿x 轴翻折所得的新抛物线关系式为322+--=x x y ，∵1==∆∆APC APQ S S ,∴点Q 到x 轴的距离为1，且Q 点在图象G 上（27题图1）∴点Q 的纵坐标为1 ∴1322=+--x x 或1322=-+x x .----------------------------------3分解得：311+-=x ，312--=x ，513+-=x ,514--=x -----4分∴所求Q 点的坐标为：)1,31(1+-Q ，)1,31(2--Q ，)1,51(3+-Q ，)1,51(4--Q ----5分27题图227题图1 (3)如图（27题图2）∵N （0，-1）,∴点N 关于x 轴对称点N ′（0，1）， ∵点D (0,-3)，∴点D 关于对称轴的对称点D ′（-2，-3），∴直线N ′D ′的关系式为y =2x +1, -----------------------------------6分∴E （-0,21）当x =-1时，y =-1，∴F （-1,-1） ----------------------------------7分直线与抛物线交点：朝阳27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(9)6y x m x =-++-的对称轴是2x =．（1）求抛物线表达式和顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A ，求点A 的坐标；（3）抛物线22(9)6y x m x =-++-与y 轴交于点C ，点A 关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B ，两条抛物线在点A 、C 和点A 、B 之间的部分（包含点A 、B 、C ）记为图象M ．将直线22y x =-向下平移b （b >0）个单位，在平移过程中直线与图象M 始终有两个公共点，请你写出b 的取值范围_________．朝阳27．解：（1）∵抛物线()2296y x m x =-++-的对称轴是2x =，∴922(2)m +-=⨯-．∴1m =-． ……………………………………………………………1分∴抛物线的表达式为2286y x x =-+-．…………………………………2分 ∴22(2)2y x =--+．∴顶点坐标为（2，2）．………………………………………………3分 （2）由题意得，平移后抛物线表达式为()2232y x =--+……………………4分∵()()222223x x --=--，∴52x =． ∴A （52，32）．………………………5分（3）702b <≤．……………………………7分丰台27.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223(0)y mx mx m =--≠与x 轴交于A ，B 两点，且点A 的坐标为（3，0）． （1）求点B 的坐标及m 的值；（2）当23x -<<时，结合函数图象直接写出y 的取值范围；（3）将抛物线在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象M ．若)0(1≠+=k kx y 直线与图象M 在直线21=x 左侧的部分只有一个公共点，结合图象求k 的取值范围．丰台27.（1）将()3,0A 代入，得1m =．-------1分∴抛物线的表达式为223y x x =--．∴B 点的坐标()1,0-．-------2分 （2）y 的取值范围是45y -≤<．-------5分（3）当x =21时，y =415-. 代入1y kx =+得219-=k .当x =-1时，y =0,代入1y kx =+得k =1.结合图象可得，k 的取值范围是1=k 或192k <-. -------7分怀柔27.已知：二次函数y 1=x 2+bx+c 的图象经过A （-1,0），B （0，-3）两点. (1)求y 1的表达式及抛物线的顶点坐标;(2)点C （4，m ）在抛物线上，直线y 2=kx+b(k ≠0)经过A ， C 两点，当y 1 >y 2时，求自变量x 的取值范围; (3) 将直线AC 沿y 轴上下平移，当平移后的直线与抛物线只有一个公共点时，求平移后直线的表达式.怀柔27.解：(1)把A （-1,0）、B （0，-3）两点带入y 1 得： y 1=x 2-2x-3………………………………1分顶点坐标（1，-4） ………………………………………2分 (2)把C （4，m ）代入y 1, m=5，所以C （4，5）， ……………………………………3分把A 、C 两点代入y 2 得：y 2 =x+1.………………………………………………4分如图所示：x 的取值范围：x<-1或x>4 . …………………………………………………5分 (3)设直线AC 平移后的表达式为y=x+k得： x 2-2x-3=x+k ………………………………………6分 令Δ=0，k=-421 所以平移后直线的表达式：y=x-421. ………………………7分xyO–5–4–3–2–112345–7–6–5–4–3–2–11234567顺义27．已知关于x 的一元二次方程2(21)20x m x m -++=． （1）求证：不论m 为任何实数时，该方程总有两个实数根； （2）若抛物线2(21)2y x m x m =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 与点B 在y 轴异侧），且4AB =,求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，若抛物线2(21)2y x m x m =-++向上平移b 个单位长度后,所得到的图象与直线y x =没有交点，请直接写出b 的取值范围. 顺义27． 解：（1）[]22224(21)42441(21)b ac m m m m m ∆=-=-+-⨯=-+=- -----1分∵不论m 为任何实数时 ，总有2(21)0m ∆=-≥，∴该方程总有两个实数根 . --------------------------------------------------2分（2）24(21)(21)2b b ac m m x -±-+±-==∴12x m =， 21x =………………………………………………….… 4分 不妨设点(1,0)B ，依题意则点(3,0)A - ∴ 32m =-∴ 抛物线的表达式为223y x x =+-…………….…………………5分（3）134b >……………………………………………...………………….…7分 抛物线与抛物线交点东城27.二次函数21:C y x bx c =++的图象过点A （-1,2），B （4,7）.（1）求二次函数1C 的解析式；（2）若二次函数2C 与1C 的图象关于x 轴对称，试判断二次函数2C 的顶点是否在直线AB上；（3）若将1C 的图象位于A ，B 两点间的部分（含A ，B 两点）记为G ，则当二次函数221y x x m =-+++与G 有且只有一个交点时，直接写出m 满足的条件.东城27.解：（1）∵21:C y x bx c =++的图象过点A （-1,2），B （4,7），∴217164.b c b c =-+⎧⎨=++⎩，∴21.b c =-⎧⎨=-⎩，∴221y x x =--. …………2分（2）∵二次函数2C 与1C 的图象关于x 轴对称，∴22:21C y x x =-++.∴2C 的顶点为（1,2）. ∵A （-1,2），B （4,7）,∴过A 、B 两点的直线的解析式：3y x =+. 令x =1，则y =4.∴2C 的顶点不在直线AB 上. …………4分 （3）414m <≤或4m =-. …………7分抛物线与双曲线交点 平谷27．反比例函数()0ky k x=≠过A （3,4），点B 与点A 关于直线y =2对称，抛物线2y x bx c =-++过点B 和C （0,3）．（1）求反比例函数的表达式； （2）求抛物线的表达式；（3）若抛物线2y x bx m =-++在2-ky x=无公共点，求m 的取值范围．平谷27．（1）∵反比例函数ky x=过A （3,4）， ∴12k =． ∴12y x=．…………………………………………………………………………1 （2）∵点B 与点A 关于直线y =2对称，∴B （3,0）． (2)∵抛物线2y x bx c =-++过点B 和C （0,3）∴9303b c c ⎧-++=⎨=⎩．∴23b c ⎧=⎨=⎩．……………………………………………………………………………3 ∴223y x x =-++． (4)（3）12y x=， 令2x =-时,6y =-，即()26,--令2x =时,6y =，即()26, (5)当2y x bx m =-++过()26,--时，2m =． 当2y xbx m =-++过()26,时，6m=． (6)∴26m ＜≤ (7)两个直接写出结果的问题：昌平27. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y=kx +b 的图象经过（1，0），（-2，3）两点，且与y 轴交于点A .（1）求直线y=kx +b 的表达式；（2）将直线y=kx +b 绕点A 沿逆时针方向旋转45º后与抛物线21:1(0)G y ax a =->交于B ，C 两点.若BC ≥4，求a 的取值范围；（3）设直线y=kx +b 与抛物线22:1G y x m =-+交于D ，E直接写出m 的取值范围.昌平27．解：（1）∵直线y=kx +b 的图象经过（1，0），（-2，3）两点，∴0,2 3.k b k b +=⎧⎨-+=⎩………………………………………………………………1分解得：1,1.k b =-⎧⎨=⎩∴直线y=kx +b 的表达式为： 1.y x =-+…………………………………………2分 （2）①将直线1y x =-+绕点A 沿逆时针方向旋转45º后可得直线1y =.…………3分∴直线1y =与抛物线21:1(0)G y ax a =->的交点B ，C 关于y 轴对称.∴当线段BC 的长等于4时，B ，C 两点的坐标分别为（2，1），（-2，1）. ∴1.2a =…………………………………………………………………………………4分由抛物线二次项系数的性质及已知a >0可知，当BC ≥4时，10.2a ≤<……………5分②40.m -≤≤………………………………………………………………………………7分石景山27．已知关于x 的方程()021222=-+-+m m x m x ．（1）求证：无论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）抛物线()m m x m x y 21222-+-+=与x 轴交于()0,1x A ，()0,2x B 两点，且210x x <<，抛物线的顶点为C ，求△ABC 的面积；（3）在（2）的条件下，若m 是整数，记抛物线在点B ，C 之间的部分为图象G （包含B ，C 两点），点D 是图象G 上的一个动点，点P 是直线b x y +=2上的一个动点，若线段DP 的最小值是55，请直接写出b 的值． 石景山27．解：（1）∵1=a ，()12-=m b ，m m c 22-= ∴()()0424144222>=---=-=∆m m m ac b∴无论m 取任何实数时，方程总有两个不相等的实数根．……2分（2）令，则()021222=-+-+m m x m x()()02=-++m x m x∴m x -=或2+-=m x ∵210x x <<∴m x -=1，22+-=m x …………………………………………4分 ∴2=AB当1+-=m x 时，1-=y ∴1-=c y∴121=⨯=∆c ABC y AB S ．………………………………………5分 （3）0=b 或3-=b ．……………………………………………………..7分如何找对称点：通州27. 已知：二次函数c b x -x y ++=2的图象过点A （-1，0）和C （0，2）.（1）求二次函数的表达式及对称轴；（2）将二次函数c b x -x y ++=2的图象在直线y =1上方的部分沿直线y =1翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G ，点M （m ，1y ）在图象G 上，且0y 1≥，求m 的取值范围。
2020北京市西城区九年级数学模拟测试(含答案)
北京市西城区九年级模拟测试数学试卷2020.6考生须知1. 本试卷共 8页，共三道大题， 28 道小题。
满分 100分。
考试时间 120分钟。
2. 在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。
3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4. 在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5. 考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
、选择题（本题共 16分，每小题 2 分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1.下列各组图形中，能将其中一个图形经过平移变换得到另一个图形的是2.中国国家航天局 2020 年 4 月 24 日在“中国航天日”之际宣布，将中国行星探测任务命名为天问”，将中国首次火星探测任务命名为“天问一号”.火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近的时候距离约 5500 万千米，将 5500 用科学记数法表示为4 3 2 2（A）0.55 104（B）5.5 103（C）5.5 102（D）55 1023.图 1 是某个几何体的平面展开图，该几何体是A）（B）（ C）图14.下列运算中，正确的是D）九年级模拟测试数学试卷第1页（共16页）a2 2 （D）3a2 2 6a4A ）a a23 6 2 3 2 a3（B）a6 a2 a3（C）2a2九年级模拟测试数学试卷第2页（共16页）九年级模拟测试数学试卷第 3页（共 16页）二、填空题（本题共 16分，每小题 2 分）19. 若代数式 ________________________________ 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 _______________________________________5. 如图，实数 a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是A ） a 3 （B ） 1 b 0 （C ） a b （D ）a b 06. 如图， △ABC 内接于⊙ O ，若∠A ＝45°， OC ＝2，则 （A ） 2 （B ） 2 2 （C ） 2 3（ D ）47. 某人开车从家出发去植物园游玩，设汽车行驶的BC 的长为 S 与 t 之间的函数关系如图所示．若他早上 8点从家出发，汽车在途中停车加油一次，则下列描述中，不正确．．．的是 （ A ）汽车行驶到一半路程时，停车加油用时10 分钟（B ）汽车一共行驶了 60千米的路程，上午 9点 5分 到达植物园8. 张老师将自己 2019年 10月至 2020年 5月的通话时长 （单位：分钟）的有关数据整理如下：时间10 月 11月 12 月 1月 2月 3月 时长（单位：分钟）520530550610650660根据以上信息，推断张老师这八个月的通话时长的中位数可能的最大值为A ）550B ）580C ）610D ）630② 2020 年 4 月与 2020 年 5 月，这两个月通话时长的总和为 1100 分钟x2310.____________________ 因式分解：a a ＝．九年级模拟测试数学试卷第4页（共16页）九年级模拟测试数学试卷第 5页（共 16页）11. 如图， D ， E 分别是△ ABC 的边 AB ，AC 的中点，若△ ADE 的面积为 1，则△ ABC 的12. 如图，∠ A＝∠ ABC＝∠ C＝∠ D ＝∠ E，点 F 在 AB 的延长线上，则∠ CBF 的度数是 k13.如图，双曲线 y 与直线 y ＝mx 交于 A ，B 两点，若点 A 的坐标为（ 2， 3），则点 x坐标为 _____ ．14. 如图，用 10 个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个宽为 50cm 的大矩形，设每个小矩形的长为 xcm ，宽为 ycm ，则可以列出的方程组是 ___ ．15. 某调查机构对某地互联网行业从业情况进行调查统计，得到当地互联网行业从业人员年龄分布统计图和当地 90 后从事互联网行业岗位分布统计图：90 后从事互联网行业岗位分布图技术 41% 运营 19%市场 15% 产品 12% 设计 8% 其它 5%（写出全部正确说法的序号 ）． 90 后人数占总人数的一半以上80 前人数占总人数的 13%③在当地互联网行业中，从事技术岗位的 90 后人数超过总人数的 20%④在当地互联网行业中，从事设计岗位的 90后人数比 80 前人数少16. 一个袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中 任意取出两个球，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球 是黑球，则另一个球放入丙盒 .重复上述过程，直到袋中所有的球都被放B 的 对于以下四种说法，你认为正确的是①在当地互联网行业从业人员中，面积等于 ___互联网行业从业人员年龄分布入盒中 .1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是.九年级模拟测试数学试卷第6页（共16页）九年级模拟测试数学试卷第 7页（共 16页）（2）若乙盒中最终有 5 个红球，则袋中原来最少有个球 .三、解答题（本题共 68分，第 17-22 题，每小题 5分，第 23-26 题，每小题 6分，第 27， 28 题，每小题 7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17.计算： 12 (2020)0 3tan 30o 3 11）求证：方程总有两个实数根；2）若该方程有一个根大于 2，求 k 的取值范围．20. 下面是小明设计的“在已知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外两边的 距离相等”的尺规作图过程： 作∠BAC 的平分线 ，交 BC 于点 D.则点 D 即为所求 . 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形 （ 保留作图痕迹 ）；（ 2）完成下面的证明 .证明：作 DE ⊥AB 于点 E ，作 DF ⊥AC 于点 F ， ∵AD 平分∠ BAC ，∴=（） （填推理的依据 ） .21. 如图，在 Rt △ABC 中，∠ ACB = 90 ，D 为AB 的中点， AE ∥DC ，CE ∥DA ．1）求证：四边形 ADCE 是菱形；2）连接 DE ，若 AC =2 3 ，BC =2， 求证：△ ADE 是等边三角形．18.解方程： x 1 2xx 1 3x 3219.已知关于 x 的一元二次方(2k 1)x 2k 0. 已知 ： △ ABC.求作 ： 作法 ： 如图，点 D ，使得点22.某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生理指标 x，y，于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取20人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图如下：▲ ”表示非注“•”表示患者，根据以上信息，回答下列问题：1）在这 40 名被调查者中，九年级模拟测试数学试卷第8页（共16页）①指标y低于 0.4 的有人；②将 20名患者的指标 x 的平均数记作2x 1，方差记作s12，20名非患者x的平均数记作 x2 ，方差记作s22，则x1 x2，s12 s22（填“>”，“=”或“ <”）；2）来该院就诊的 500 名未患这种疾病的人中，x 低于 0.3 的大约有人；3）若将“指标 x 低于 0.3，且指标y低于 0.8”作为判断是否患有这种疾病的依据，则发生漏判的概率是23.如图， AB是⊙ O的直径， C，D 是⊙ O上两点，且C?D = C?B ，连接 OC，BD，OD.1）求证： OC 垂直平分 BD ；2）过点 C作⊙O的切线交 AB 的延长线于点E，连接 AD， CD.①依题意补全图形；3②若 AD=6，sin AEC ，求 CD 的长.5B九年级模拟测试数学试卷第9页（共16页）九年级模拟测试数学试卷第 10页（共 163）结合函数图象，回答下列问题： ①当 AP=2BD 时，AP 的长度约为 cm ； ②当 BP 平分∠ ABC 时， BD 的长度约为 cm.24. 如图，在 △ABC 中， AE 平分∠ BAC 交BC 于点 E ，D 是AB 边上一动点，连接 CD 交 AE 于点 P ，连接 BP ．已知 AB =6cm ，设 B ，D 两点间的距离为 xcm ，B ， P 两y 1cm ，A ，P 两点间的距离为 y 2cm.小明根据学习函数的经验， 分别对函数 y 1，y 2 随自变 量 x 的变化而变化的规律进行了探究 . 面是小明的探究过程，请补充完整 :1）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了y ， y 与 x 的几组对应值：x/cm0 1234 5 6 y 1/cm2.49 2.64 2.883.25 3.804.656.00 y 2/cm 4.594.24 3.80 3.252.510.002）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点 （x ， y ），（x ， y 2 ），并画出函数 y 1， y 2 的图象；九年级模拟测试数学试卷第 11页（共 1625.在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y m（ x 0）的图象 G 与直线 l ：y kx 4k 1交于 x点 A （ 4，1），点 B （1，n ）（ n ≥4，n 为整数）在直线 l 上． 1）求 m 的值；2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点． 记图象 G 与直线 l 围成的区域 （不含边界） 为 W ． ①当 n=5 时，求 k 的值，并写出区域 W 内的整点个数；备用图②若区域 W 内恰有 5 个整点，结合函数图象，求 k 的取值范围． 226. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y x 2c 与 x 轴交于点 A ， B （ A 在 B 的左侧），抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D ，且 OB =2OD .1）当 b 2 时， ①写出抛物线的对称轴；2）存在垂直于 x 轴的直线分别与直线 l ： y b 2和抛物线交于点 P ，Q ，且点P ，Q 均在 x 轴下方，结合函数图象，求 b 的取值范围AE ，BD 交于点 F.27.在正方形 ABCD 中， E 是 CD 边上一点（ CE>DE ）， 如图 1，过点 F 作 GH ⊥AE ，分别交边 AD ，BC 于点 1） 2） 求证：∠ EAB=∠GHC ；AD ， AE ，BD 交于点 P ，M ，N ，连接 CN.①依题意补全图形；②用等式表示线段 AE 与 CN 之间的数量关系，并证明．图128. 对于平面直角坐标系 xOy 中的定点 P 和图形 F，给出如下定义：若在图形 F 上存在一点 N，使得点 Q，点 P关于直线 ON对称，则称点 Q是点 P关于图形 F 的定向对称点 .1）如图，A（1，0）， B （1，1）， P（0，2），①点 P 关于点 B 的定向对称点的坐标是；②在点C（0， 2）， D （1， 3）， E （2 ， 1）中，是点 P关于线段AB的定向对称点 .2）直线l：y 3x b分别与 x轴，y 轴交于点 G，H，⊙M 是以点M （2，0）为圆心，3r（r 0）为半径的圆 .①当r 1时，若⊙ M上存在点 K，使得它关于线段 GH的定向对称点在线段GH 上，求b 的取值范围；②对于b 0，当r 3时，若线段 GH 上存在点 J，使得它关于⊙ M 的定向对称点在⊙M 上，直接写出 b 的取值范围 .北京市西城区九年级模拟测试数学试卷答案及评分标准2020.6、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）九年级模拟测试数学试卷第12页（共16、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9．x 2 10. a（a 1）（a 1）11.412．72 13.（-2，- 3）14. x y 50,x 4y15．①③ 16．（ 1）红（ 2） 20．三、解答题（本题共 68分，第 17－22题，每小题 5分，第 23－26题，每小题 6 分，第 27，28 题，每小题 7 分）17．解：12 ( 2020)0 3tan 30o 3 1=2 3 1 3 3 3 1 3=2 3．·5 分18．解：方程两边乘以 3（x 1），得3x 3（x 1） 2x ．3 解得x= 3.43 检验：当x= 时， 3（x 1） 0 ．3 所以，原分式方程的解为x= 3.4·5 分九年级模拟测试数学试卷第13页（共16九年级模拟测试数学试卷第 14页（共 16219．解：（1）依题意，得△ =[-（2k+1）] - 4创1 2k ．2=(2k- 1) ．∵(2k- 1)2≥ 0，x 1= 2k ，x 2= 1．该方程有一个根大于 2， 2k> 2． ∴ k> 1 ．方程总有两个实数根．x=(2k +5分20．解：1）如图 . 2） DE ，DF ，角平分线上的点到角两边的距离相等·5分21．证明：（1）∵ AE ∥DC ，CE ∥DA ，四边形 ADCE 是平行四边形．在 Rt △ABC 中， D 为 AB 的中点，1AD= BD=CD= AB ．22)在 Rt △ABC 中，AC =2 3 ，BC =2，k 的取值范围是 k>tan CAB BC 3 AC 3九年级模拟测试数学试卷第15页（共16∠ CAB =30 ．四边形 ADCE 是菱形．AE = AD，∠ EAD=2∠ CAB=60 ．△ADE 是等边三角形．·5分22．解：（ 1）① 9.②＜，＞.（2） 100.（3）0.25.····....... . . .. . ..... . . ... . . (5)分23．（ 1）证明：∵ C?D = C?B ∴∠ COD =∠COB．∵ OD = OB，∴OC 垂直平分BD ．（ 2）解：①补全图形，如图所示 . ②∵CE是⊙ O切线，切点为 C，∴ OC⊥CE 于点 C．记 OC 与 BD 交于点 F，由（ 1）可知 OC 垂直 BD ，∴∠ OCE =∠OFB =90°．∴DB∥CE．∴∠ AEC=∠ABD．在 Rt△ABD 中， AD=6，sin AEC sin ABD 3，5 ∴BD=8，AB=10．∴ OA= OB=OC=5 ．由（ 1）可知 OC 平分 BD，即 DF= BF，∴BF=DF=4．1∴ OF = AD = 3 ．2∴CF=2．在 Rt△ CFD 中， CD = CF 2+ DF 2= 2 5 ．九年级模拟测试数学试卷第16页（共166分九年级模拟测试数学试卷第17页（共1624．解：（1）x/cm123456y 1/cmy 2/cm1.503）答案不唯一，如： ①3.86； ② 3． ····25．解：（1）∵点 A （ 4， 1）在函数 y （ xx∴ m= 4 ．（2）① y kx 4k 1，经过点 B （ 1，5）， ∴ k 4k 1 5 ．4解得 k 4．3此时区域 W 内有 2 个整点．②∵直线 l y kx 4k 1 过定点6分A（ 4， 1），九年级模拟测试数学试卷第九年级模拟测试数学试卷第 20页（共 16页）∵n 为整数，当n = 6时，直线 y kx 4k 1，经过点 B （1，6），区域W 内有 4个整点，当n = 7时，直线 y kx 4k 1，经过点 B （1，7），区域W 内有 5个整点， 此时，可得 k 2 ．当 n ≥ 8 时，区域 W 内的整点个数大于 5 个． ∴ k 的取值范围是 k 2 ． · ·· ·· ··· ·· ·· ·· ·· ·6 分2226．解：（ 1）当 b 2 时， y x bx c 化为 y x 2x c ．① x 1．②∵抛物线的对称轴为直线 x 1 ，∴点 D 的坐标为（ -1，0 ）， OD=1．∵OB=2OD ，∴ OB=2．∵点 A ，点 B 关于直线 x 1对称， ∴点 B 在点 D 的右侧．∴ 点 B 的坐标为（ 2 ， 0 ）．2∵抛物线 y x 22x c 与 x 轴交于点 B （ 2，0），∴ 4 4 c 0 ． 解得 c 8 ．∴抛物线的表达式为 y x 22x 8 ．抛物线的对称轴为 x∴点 D 的坐标为（ b， 0 ）．2①当 b 0时， OD b．2）设直线 yx b 2 与 x 轴交点为点 E ，E （222，0)2∵ OB =2OD ，∴ OB=b．∴ 点 A 的坐标为（2b ，0 ），点 B 的坐标为（ b，0 ）九年级模拟测试数学试卷第21页（共16页）九年级模拟测试数学试卷第 22页（共 16页）当 2b < b 2时，存在垂直于 x 轴的直线分别与直线 l ： y xb 222和抛物线交于点 P ，Q ，且点 P ，Q 均在 x 轴下方，②当 b 0时， b 0 ．OD∵ OB=2OD ，OB=-b ．22 和抛物线交于点 P ，Q ，且点 P ，Q 均在 x 轴下方， 解得 b<-2．2综上， b 的取值范围是 b 2或b 2.. (6)32∵抛物线 y x 2+bx c 与 x 轴交于点 A ，B ，且 A 在 B 的左侧， ∴ 点 A 的坐标为（ 0 ， 0 ），点 B 的坐标为（ -b ， 0 ）．解得 b 2．3-3y4 3 2 111-327．（ 1）证明：在正方形 ABCD 中， AD∥BC，∠ BAD= 90 °，∴∠ AGH = ∠ GHC ．∵GH⊥AE，∴∠ EAB=∠AGH ．∴∠ EAB=∠GHC ．2）①补全图形，如图所示．② AE 2CN ．证明：连接 AN，连接 EN 并延长，交 AB 边于点 Q．∵四边形 ABCD 是正方形，∴点 A，点 C 关于 BD 对称．∴ NA=NC，∠ 1=∠2．∵ PN 垂直平分 AE ，∴ NA=NE．∴ NC=NE．∴∠ 3=∠ 4．在正方形 ABCD 中， BA∥ CE ，∠ BCD = 90°，∴∠ AQE=∠ 4．∴∠ 1+∠AQE=∠2+∠ 3=90°．∴∠ ANE=∠ ANQ=90°．在 Rt△ ANE 中，∴ AE 2CN ．7分28．解：（ 1）① 2, 0 ；②C，D．2）①由题意，b0 ，若b 0，当直线 l 与以点2, 0 为圆心， 1 为半径的圆相切时，当直线 l 经过点1, 0 时，b九年级模拟测试数学试卷第23页（共16页）九年级模拟测试数学试卷第 24页（共 16页）33≤b ≤433．若 b 0，当 直线 l 经过点 1, 0 时， b 3．3当直线 l 与以点 0, 0 为圆心， 3 为半径的圆相切时， b 23 ．2 3≤b ≤ 3．3≤b ≤1033. 综上， b 的取值范围是 2 3≤b ≤ 33或 33≤b ≤ 433．7分。
2020年北京市西城区高考数学二模试卷（解析版）
2020年北京市西城区高考数学二模试卷一、选择题（共10小题）.1．设全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，则集合（?U A）∪B＝（）A．（﹣∞，2）B．[2，+∞）C．（1，2）D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）2．设复数z＝1+i，则??2＝（）A．﹣2i B．2i C．2﹣2i D．2+2i3．焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（）A．x2＝4y B．y2＝4x C．x2＝8y D．y2＝8x4．在锐角△ABC中，若a＝2，b＝3，A=6，则cos B＝（）A．34B．√34C．√74D．3√345．函数f（x）＝x-1是（）A．奇函数，且值域为（0，+∞）B．奇函数，且值域为RC．偶函数，且值域为（0，+∞）D．偶函数，且值域为R6．圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0截x轴所得弦的长度等于（）A．2B．2√??C．2√??D．4 7．设a，b，c为非零实数，且a＞b＞c，则（）A．a﹣b＞b﹣c B．1＜1??＜1??C．a+b＞2c D．以上三个选项都不对8．设向量→，→满足|??→|＝|??→|＝1，??→???→=12，则|??→+x??→|（x∈R）的最小值为（）A．√52B．√32C．1D．√??9．设{a n}为等比数列，则“对于任意的m∈N*，a m+2＞a m”是“{a n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效，因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的?ABCD由六个正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中，棱AB与CD所在直线的位置关系为（）A．平行B．相交C．异面且垂直D．异面且不垂直二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．在（1+5x）6的展开式中，x的系数为．12．在等差数列{a n}中，若a1+a2＝16，a5＝1，则a1＝；使得数列{a n}前n项的和S n取到最大值的n＝．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．14．能说明“若m（n+2）≠0，则方程2+??2??+2=1表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m，n的值是．15．已知函数f（x）的定义域为R，满足f（x+2）＝2f（x），且当x∈（0，2]时，f（x）＝2x﹣3．有以下三个结论：①f（﹣1）=-12；②当a∈（14，12]时，方程f（x）＝a在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根；③函数f（x）有无穷多个零点，且存在一个零点b∈Z．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥BC，D是A1C1的中点，且AC＝BC＝AA1＝2．（Ⅰ）求证：BC1∥平面AB1D；（Ⅱ）求直线BC与平面AB1D所成角的正弦值．17．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2）同时满足下列四个条件中的三个：）＝0．①最小正周期为π；②最大值为2；③f（0）＝﹣1；④f（-6（Ⅰ）给出函数f（x）的解析式，并说明理由；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．18．随着科技的进步，视频会议系统的前景愈加广阔．其中，小型视频会议软件格外受人青睐．根据调查统计，小型视频会议软件下载量前6名的依次为A，B，C，D，E，F．在实际中，存在很多软件下载后但并未使用的情况．为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这6款软件的下载量W（单位：人次）与使用量U（单位：人次），数据用柱状图表示如图：定义软件的使用率t=，当t≥0.9时，称该款软件为“有效下载软件”．调查公司以调查得到的使用率t作为实际中该款软件的使用率．（Ⅰ）在这6款软件中任取1款，求该款软件是“有效下载软件”的概率；（Ⅱ）从这6款软件中随机抽取4款，记其中“有效下载软件”的数量为X，求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）将（Ⅰ）中概率值记为x%．对于市场上所有小型视频会议软件，能否认为这些软件中大约有x%的软件为“有效下载软件”？说明理由．19．设函数f（x）＝axlnx，其中a∈R，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（3，2）．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）证明：f（x）＞-2??．20．已知椭圆E：22+??2??2=1（a＞b＞0）经过点C（0，1），离心率为√32．O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆E的左、右顶点，D为椭圆E上一点（不在坐标轴上），直线CD交x轴于点P，Q为直线AD上一点，且→→=4，求证：C，B，Q三点共线．21．如图，表1是一个由40×20个非负实数组成的40行20列的数表，其中a m，n（m＝1，2，…，40；n＝1，2，…，20）表示位于第m行第n列的数．将表1中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列（不改变该数所在的列的位置），得到表2（即b i，j ≥b i+1，j，其中i＝1，2，…，39；j＝1，2，…，20）．表1a1，1a1，2…a1，20a2，1a2，2…a2，20…………a40，1a40，2…a40，20表2b1，1b1，2…b1，20b2，1b2，2…b2，20…………b40，1b40，2…b40，20（Ⅰ）判断是否存在表1，使得表2中的b i，j（i＝1，2，…，40；j＝1，2，…，20）等于100﹣i﹣j？等于i+2﹣j呢？（结论不需要证明）（Ⅱ）如果b40，20＝1，且对于任意的i＝1，2，…，39；j＝1，2，…，20，都有b i，j﹣b i+1，j≥1成立，对于任意的m＝1，2，…，40；n＝1，2，…，19，都有b m，n﹣b m，n+1≥2成立，证明：b1，1≥78；（Ⅲ）若a i，1+a i，2+…+a i，20≤19（i＝1，2，…，40），求最小的正整数k，使得任给i ≥k，都有b i，1+b i，2+…+b i，20≤19成立．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．设全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，则集合（?U A）∪B＝（）A．（﹣∞，2）B．[2，+∞）C．（1，2）D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）【分析】进行补集和并集的运算即可．解：U＝R，A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，∴?U A＝{x|x≥2}，（?U A）∪B＝（﹣∞，1）∪[2，+∞）．故选：D．2．设复数z＝1+i，则??2＝（）A．﹣2i B．2i C．2﹣2i D．2+2i【分析】由z求得??，利用两数和的平方公式展开即可得出．解：∵z＝1+i，∴??2＝（1﹣i）2＝﹣2i．故选：A．3．焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（）A．x2＝4y B．y2＝4x C．x2＝8y D．y2＝8x【分析】根据题意，设要求抛物线的标准方程为y2＝2px，结合抛物线的几何性质可得p 的值，代入抛物线的标准方程即可得答案．解：根据题意，要求抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设其标准方程为y2＝2px，又由焦点到准线的距离为4，即p＝4，故要求抛物线的标准方程为y2＝8x，故选：D．4．在锐角△ABC中，若a＝2，b＝3，A=6，则cos B＝（）A．34B．√34C．√74D．3√34【分析】由已知利用正弦定理可求sin B的值，结合B为锐角，利用同角三角函数基本关系式即可求解cosB的值．解：∵在锐角△ABC中，若a＝2，b＝3，A=6，∴由正弦定理=??，可得sinB==3×122=34，∴由B为锐角，可得cos B=√??-??=√74．故选：C．5．函数f（x）＝x-1是（）A．奇函数，且值域为（0，+∞）B．奇函数，且值域为RC．偶函数，且值域为（0，+∞）D．偶函数，且值域为R【分析】根据题意，其出函数的定义域，分析可得f（﹣x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数；进而求出函数的导数，分析其单调性可得在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f（1）＝f（﹣1）＝0；作出函数的草图，分析其值域，即可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝x-1，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝（﹣x）﹣（1 -??）＝﹣（x-1）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，其导数f′（x）＝1+12，在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f（1）＝f （﹣1）＝0；其图象大致如图：其值域为R；故选：B．6．圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0截x轴所得弦的长度等于（）A．2B．2√C．2√??D．4【分析】首先令y＝0，整理得两根和与两根积，进一步求出弦长．解：令y＝0，则圆的方程转换为x2+4x+1＝0，所以x1+x2＝﹣4，x1x2＝1，所以|=|??-????|=√(????+????)-??????=??√??．故选：B．7．设a，b，c为非零实数，且a＞b＞c，则（）A．a﹣b＞b﹣c B．1＜1??＜1??C．a+b＞2c D．以上三个选项都不对【分析】直接利用不等式的性质的应用求出结果．解：设a，b，c为非零实数，且a＞b＞c，所以对于选项A：当a＝3，b＝2，c＝1时，a﹣b＝b﹣c＝1，故错误．对于选项B：当a＝0，b＝﹣1，c＝﹣2时，1无意义，故错误．对于选项C：由于a＞c，b＞c，所以a+b＞2c，故正确．对于选项D：由于C正确，所以选项D错误．故选：C．8．设向量→，→满足|??→|＝|??→|＝1，??→???→=12，则|??→+x??→|（x∈R）的最小值为（）A．√52B．√32C．1D．√??【分析】两边平方，得出|→+x→|2关于x的二次函数，从而得出最小值．解：|→+x →|2=??→+2x??→→+x2??→=x2+x+1＝（x+12）2+34，∴当x=-12时，|→+x→|取得最小值√34=√32．故选：B．9．设{a n}为等比数列，则“对于任意的m∈N*，a m+2＞a m”是“{a n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】对于任意的m∈N*，a m+2＞a m，即a m（q2﹣1）＞0．可得：{＞-??＞??，{????＜??????-??＜??，任意的m∈N*，解出即可判断出结论．解：对于任意的m∈N*，a m+2＞a m，即a m（q2﹣1）＞0．∴{＞-??＞??，{????＜??????-??＜??，任意的m∈N*，∴{＞??＞??，或{????＜????＜??＜??．∴“{a n}为递增数列”，反之也成立．∴“对于任意的m∈N*，a m+2＞a m”是“{a n}为递增数列”的充要条件．故选：C．10．佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效，因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的?ABCD由六个正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中，棱AB与CD所在直线的位置关系为（）A．平行B．相交C．异面且垂直D．异面且不垂直【分析】可将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，即可判断AB，CD的位置关系．解：将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，且AB与CD相交，且B，C两点重合，故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．在（1+5x）6的展开式中，x的系数为30．【分析】先写出二项式的展开式的通项，要求x的系数，只要使得展开式中x的指数是1，求得r，代入数值求出x的系数．解：展开式的通项公式为：T r+1=????16﹣r?（5x）r＝5r???????x r；令x的指数为1，即r＝1；∴x2＝的系数为：5C61＝30；故答案为：30．12．在等差数列{a n}中，若a1+a2＝16，a5＝1，则a1＝9；使得数列{a n}前n项的和S n 取到最大值的n＝5．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由a1+a2＝16，a5＝1，可得2a1+d＝16，a1+4d＝1，解得：a1，d．可得a n．令a n≥0，解得n即可得出．解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a2＝16，a5＝1，∴2a1+d＝16，a1+4d＝1，解得：a1＝9，d＝﹣2．∴a n＝9﹣2（n﹣1）＝11﹣2n．令a n＝11﹣2n≥0，解得n≤112=5+12．∴使得数列{a n}前n项的和S n取到最大值的n＝5．故答案为：9，5．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为4+4√??．【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的表面积．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为边长为2，高为2的正四棱锥体．如图所示：所以=??×??+??×12×??×√??+??=4+4√??．故答案为：4+4√．14．能说明“若m（n+2）≠0，则方程2+??2??+2=1表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m，n的值是答案不唯一，m＝4，n＝2．【分析】由题意可得满足m＝n+2＞0或者m＜0，n+2＜0即可，任意取满足m，n的值即可．解：则方程2+??2??+2=1表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m，n的值为：满足m＝n+2＞0即可，可取m＝4，n＝2，故答案为：m＝4，n＝2．15．已知函数f（x）的定义域为R，满足f（x+2）＝2f（x），且当x∈（0，2]时，f（x）＝2x﹣3．有以下三个结论：①f（﹣1）=-12；②当a∈（14，12]时，方程f（x）＝a在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根；③函数f（x）有无穷多个零点，且存在一个零点b∈Z．其中，所有正确结论的序号是①②．【分析】由题意可得函数f（x）的大致图象，可判断出所给命题的真假．解：①因为函数f（x）的定义域为R，满足f（x+2）＝2f（x），x∈（0，2]时，f（x）＝2x﹣3，所以f（﹣1）=12f（﹣1+2）=12f（1）=12?（21﹣3）=-12；所以①正确；f（x）的大致图象如图所示可得当a∈（14，12]时，方程f（x）＝a在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根；所以②正确因为x∈（0，2]时，f（x）＝2x﹣3﹣0时，x＝log23，又因为f（x+2）＝2f（x），所以函数f（x）由无数个零点，但没有整数零点，所以③不正确；故答案为：①②．三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥BC，D是A1C1的中点，且AC＝BC＝AA1＝2．（Ⅰ）求证：BC1∥平面AB1D；（Ⅱ）求直线BC与平面AB1D所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝E ，连接DE ，可得BC 1∥DE ，再由直线与平面平行的判定得到BC 1∥平面AB 1D ；（Ⅱ）由CC 1⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，得CA ，CB ，CC 1两两互相垂直，分别以CA ，CB ，CC 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面AB 1D 的一个法向量与→的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线BC 与平面AB 1D 所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝E ，连接DE ，由ABC ﹣A 1B 1C 1为三棱柱，得A 1E ＝BE ．又∵D 是A 1C 1的中点，∴BC 1∥DE ．∵BC 1平面AB 1D ，DE ?平面AB 1D ，∴BC 1∥平面AB 1D ；（Ⅱ）解：∵CC 1⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，∴CA ，CB ，CC 1两两互相垂直，故分别以CA ，CB ，CC 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则C （0，0，0），B （0，2，0），A （2，0，0），B 1（0，2，2），D （1，0，2），∴→=(-??，??，??)，??????→=(??，-??，??)，→=(??，-??，??)．设平面AB 1D 的法向量为→=(??，??，??)，由{→?→=-++=??→??→=??-=??，取y ＝1，得??→=(??，??，??)；设直线BC 与平面AB 1D 所成角为θ．则sin θ＝|cos ＜→，→＞|=|??→→||??→|?|→|=√66．∴直线BC 与平面AB 1D 所成角的正弦值为√66．17．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2）同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为π；②最大值为2；③f（0）＝﹣1；④f（-6）＝0．（Ⅰ）给出函数f（x）的解析式，并说明理由；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．【分析】（Ⅰ）若函数f（x）满足条件③，则由f（0）＝A sinφ＝﹣1，推出与A＞0，0＜φ＜2矛盾，可得函数f（x）不能满足条件③，由条件①，利用周期公式可求ω＝2，由条件②，可得A＝2，由条件④，可得f（-6）＝0，结合范围0＜φ＜??2，可求φ=??3，可得函数解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的单调性即可求解．解：（Ⅰ）若函数f（x）满足条件③，则f（0）＝Asinφ＝﹣1，这与A＞0，0＜φ＜2矛盾，故函数f（x）不能满足条件③，所以函数f（x）只能满足条件①，②，④，由条件①，可得2?? |??|=π，又因为ω＞0，可得ω＝2，由条件②，可得A＝2，由条件④，可得f（-6）＝2sin（-??3+φ）＝0，又因为0＜φ＜2，所以φ=3，所以f （x ）＝2sin （2x+3）．（Ⅱ）由2k π-2≤2x+??3≤2k π+??2，k ∈Z ，可得：-5??12+k π≤x ≤??12+k π，k ∈Z ，可得f （x ）的单调递增区间为[-5??12+k π，12+k π]，k ∈Z ．18．随着科技的进步，视频会议系统的前景愈加广阔．其中，小型视频会议软件格外受人青睐．根据调查统计，小型视频会议软件下载量前6名的依次为A ，B ，C ，D ，E ，F ．在实际中，存在很多软件下载后但并未使用的情况．为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这6款软件的下载量W （单位：人次）与使用量U （单位：人次），数据用柱状图表示如图：定义软件的使用率t =，当t ≥0.9时，称该款软件为“有效下载软件”．调查公司以调查得到的使用率t 作为实际中该款软件的使用率．（Ⅰ）在这6款软件中任取1款，求该款软件是“有效下载软件”的概率；（Ⅱ）从这6款软件中随机抽取4款，记其中“有效下载软件”的数量为X ，求X 的分布列与数学期望；（Ⅲ）将（Ⅰ）中概率值记为x%．对于市场上所有小型视频会议软件，能否认为这些软件中大约有x%的软件为“有效下载软件”？说明理由．【分析】（I ）计算各软件的使用率，得出有效下载软件的个数，从而可得出所求概率；（II ）根据超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列和数学期望；（III ）根据样本是否具有普遍性进行判断．解：（I ）t A =9196＞0.9，t B =8491＞0.9，t C =6985＜0.9，t D =5474＜0.9，t E =6469＞0.9，t F =6365＞0.9．∴6款软件中有4款有效下载软件，∴这6款软件中任取1款，该款软件是“有效下载软件”的概率为46=23．（II ）X 的可能取值有2，3，4，且P （X ＝2）=42??2264=25，P （X ＝3）=??43??21??64=815，P （X ＝4）=4464=115，∴X 的分布列为：X 234P25815115E （X ）＝2×25+3×815+4×115=83．（III ）不能认为这些软件中大约有x%的软件为“有效下载软件”．理由：用样本估计总体时应保证总体中的每个个体被等可能抽取，此次调查是对有视频会议需求的人群进行抽样调查，且只选取下载量排名前6名的软件，不是对所有软件进行的随机抽取6件的样本．19．设函数f （x ）＝axlnx ，其中a ∈一、选择题，曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线经过点（3，2）．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数f （x ）的极值；（Ⅲ）证明：f （x ）＞-2??．【分析】（I ）由题意，结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程，代入已知点的坐标可求a ；（II ）先对函数求导，结合导数与极值的关系即可求解；（III ）由于f （x ）＞-2??等价于xlnx -??????+2??＞0，结合（II ）可得f （x ）＝xlnx ≥-1??，故只要证明1-????≥??即可，（需验证等号不同时成立）结合导数可证．解：（I ）f ′（x ）＝alnx +a ，则f （1）＝0，f ′（1）＝a ，故取消y ＝f （x ）在（1，f （1））处的切线方程y ＝a （x ﹣1），把点（3，2）代入切线方程可得，a ＝1，（II ）由（I ）可得f ′（x ）＝lnx +1，x ＞0，易得，当0＜＜1时，f ′（x ）＜0，函数单调递减，当x ＞1??时，f ′（x ）＞0，函数单调递增，故当x =1时，函数取得极小值f （1）=-1??，没有极大值，证明：（III ）f （x ）＞-2??等价于xlnx -??????+2??＞0，由（II ）可得f （x ）＝xlnx ≥-1（当且仅当x =1??时等号成立）①，所以xlnx -+2??≥1??-??????，故只要证明1-????≥??即可，（需验证等号不同时成立）设g （x ）=1-????，x ＞0则??′(??)=??-1????，当0＜x ＜1时，g ′（x ）＜0，函数单调递减，当x ＞1时，g ′（x ）＞0，函数单调递增，所以g （x ）≥g （1）＝0，当且仅当x ＝1时等号成立，②因为①②等号不同时成立，所以当x ＞0时，f （x ）＞-2??．20．已知椭圆E ：22+??2??2=1（a ＞b ＞0）经过点C （0，1），离心率为√32．O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，D 为椭圆E 上一点（不在坐标轴上），直线CD 交x 轴于点P ，Q 为直线AD 上一点，且→→=4，求证：C ，B ，Q 三点共线．【分析】（Ⅰ）由b ＝1，=√32，a 2＝b 2+c 2，解得a ，c ，进而得出椭圆的方程．（Ⅱ）设D （x 0，y 0）（x 0y 0≠0），则024+??=1，直线CD 的方程为y =0-1??+??，令y ＝0，得点P 的坐标，设Q （x Q ，y Q ），由→→=4，得x Q =4(1-??0)（显然x Q ≠2），写出直线AD 的方程为y =00+2(??+??)，得Q （4(1-??0)??0，??0(4-4??0+2??0)??0(??0+2)），k BQ =-12．所以kBC ＝k BQ ，即C ，B ，Q 三点共线．解：（Ⅰ）由题意，得b ＝1，=√32，又因为a 2＝b 2+c 2，所以a ＝2，c =√??，故椭圆E 的方程为24+??=??．（Ⅱ）A （﹣2，0），B （2，0），设D （x 0，y 0）（x 0y 0≠0），则024+????=1，所以直线CD 的方程为y =0-10??+??，令y ＝0，得点P 的坐标为（01-??0，0），设Q （x Q ，y Q ），由→→=4，得x Q =4(1-??0)（显然x Q ≠2），直线AD 的方程为y =0+2(??+??)，将x Q 代入，得y Q =0(4-4??0+2??0)0(??0+2)，即Q （4(1-??0)0，??0(4-4??0+2??0)??0(??0+2)），故直线BQ 的斜率存在，且k BQ =-2=0(4-4??0+2??0)(??0+2)(4-4??0-2??0)=2??0-2??02+??0??04??02-2??0??0-4??0=-12．又因为直线BC 的斜率k BC =-12，所以k BC ＝k BQ ，即C ，B ，Q 三点共线．21．如图，表1是一个由40×20个非负实数组成的40行20列的数表，其中a m ，n （m ＝1，2，…，40；n ＝1，2，…，20）表示位于第m 行第n 列的数．将表1中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列（不改变该数所在的列的位置），得到表2（即b i ，j≥b i+1，j ，其中i ＝1，2，…，39；j ＝1，2，…，20）．表1a 1，1a 1，2…a 1，20a 2，1a 2，2…a 2，20…………a 40，1a 40，2…a 40，20表2 b 1，1b 1，2…b 1，20b 2，1b 2，2…b 2，20…………b 40，1b 40，2…b 40，20（Ⅰ）判断是否存在表1，使得表2中的b i ，j （i ＝1，2，…，40；j ＝1，2，…，20）等于100﹣i﹣j？等于i+2﹣j呢？（结论不需要证明）（Ⅱ）如果b40，20＝1，且对于任意的i＝1，2，…，39；j＝1，2，…，20，都有b i，j﹣b i+1，j≥1成立，对于任意的m＝1，2，…，40；n＝1，2，…，19，都有b m，n﹣b m，n+1≥2成立，证明：b1，1≥78；（Ⅲ）若a i，1+a i，2+…+a i，20≤19（i＝1，2，…，40），求最小的正整数k，使得任给i≥k，都有b i，1+b i，2+…+b i，20≤19成立．【分析】（Ⅰ）直接利用表格求出结果．（Ⅱ）利用行列式的变换的应用求出结果．（Ⅲ）利用假设法的应用和关系式的变换的应用求出结论．【解答】解（Ⅰ）存在表1，使得b i，j＝100﹣i﹣j，不存在表1，使得，??=??+??-??．证明：（Ⅱ）因为对于任意的i＝1，2，3，…39，j＝1，2，…20，都有b i，j﹣b i﹣1，j≥1．所以b1，20﹣b2，20≥1，b2，20﹣b3，20≥1，b39，20﹣b40，20≥1．所以（b1，20﹣b2，20）+（b2，20﹣b3，20）+（b39，20﹣b40，20）≥39．，即b1，20≥b20，40+39＝40．由于m＝1，2，…40，n＝1，2，3，…19，都有b m，n﹣n m，n+1≥2．所以b1，1﹣b1，2≥2，b1，2﹣b1，3≥2，b1，19﹣b1，20≥2．所以（b1，1﹣b1，2）+（b1，2﹣b1，3）+（b1，19﹣b1，20）≥38，即b1，1≥78．解：（Ⅲ）当表1如下图时，011 (1)011 (1)101 (1)101 (1)110 (1)110...1 (1)111 0111 0111 (1)111…1其中，每行恰有1个0和19个1，每列恰有2个0和38个1．因此每行的和均为19，符合题意．重新排序后，对应表2中，前38行中每行各数均为1，每行的和均为20，后两行各数均为0，因此k≥39．以下先证：对于任意满足条件的表1，在表2中的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r行）的全部实数（即包含a r，1，a r，2，…，a r．20），假设表2的前39行中，不能包含原表1中任一行的全部实数、则表2的前39行中至多含有表1中的40×19＝760个数．这与表2中前39行中共有39×20＝780个数相矛盾．所以：表2的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r行），的全部实数．其次，在表2中，根据重拍规则得：当i≥39时，b i，j≤b39，j≤a i，j，（j＝1，2，…，20）．所以b i，1+b i，2+…+b i，20≤a r，1+a r，2+…+a r，20≤19，所以k≤39．综上所述k＝39．。
北京市2020版数学中考二模试卷(II)卷
北京市2020版数学中考二模试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）下列说法正确的是（）A . 有最小的正数B . 有最小的自然数C . 有最大的有理数D . 有最大的负整数2. （1分）如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其俯视图是（）A .B .C .D .3. （1分）(2019·长沙模拟) 已知某种花粉的直径为米，则用科学计数法表示该花粉的直径为（）A . 米B . 米C . 米D . 米4. （1分） (2017九上·安图期末) 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A .B .C .D .5. （1分）(2020·丹东) 下面计算正确的是（）A .B .C .D .6. （1分）如图，点A、B、C都在圆O上，若∠AOB＝72°，则∠ACB的度数为（）A . 18°B . 30°C . 36°D . 72°7. （1分）不等式2（x+2）﹣5＜10﹣x的非负整数解是（）A . 1，2，3，4B . 1，2，3C . 0，1，2，3D . 0，1，2，3，48. （1分） (2016八上·海盐期中) 等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（）A . 16B . 18C . 20D . 16或209. （1分）(2016·丹东) 一组数据8，3，8，6，7，8，7的众数和中位数分别是（）A . 8，6B . 7，6C . 7，8D . 8，710. （1分）如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（）A . y=B . y=-C . y=-D . y=11. （1分） (2020七下·阳东期末) 皮影戏是中国民间古老的传统艺术，是一种用兽皮或纸板做成人物剪影来表演故事的民间戏剧，老北京人都叫它“驴皮影”，年中国皮影戏入选人类非物质文化遗产代表作名录．如图是孙悟空的皮影造型，在下面的四个图中，能由图中经过平移得到的是（）A .B .C .D .12. （1分）如图，O是等边△ABC内的一点，OB＝1，OA＝2，∠AOB＝150°，则OC的长为（）A .B .C .D . 3二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分） (2016九上·衢州期末) 2014年南京青奥会某项目6名礼仪小姐的身高如下（单位：cm）：168，166，168，167，169，168，则她们身高的众数是________ cm．14. （1分） (2018七下·江都期中) 如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=60°，则∠2的度数为________15. （1分） (2020九下·荆州期中) 因式分解： =________；16. （1分）(2019·江苏模拟) 如图将Rt△ACB绕斜边中点O旋转一定的角度得到△FAE，已知AC=8，BC=6，则cos∠CAE=________．17. （1分） (2019七上·遵义月考) 如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，如果铺设成如图②的图案，其中完整的圆一共有5个，如果铺设成如图③的图案，其中完整的圆一共有13个，如果铺设成如图④的图案，其中完整的圆一共有25个，以此规律下去，第10个图中，完整的圆一共有________个.18. （1分）如图，三个正方形围成一个直角三角形，字母C所表示的正方形面积是100，字母B所表示的正方形面积是36，则字母A所表示的正方形面积为________．三、解答题 (共8题；共17分)19. （1分） (2020八上·石景山期末) 已知：，求代数式的值.20. （2分）如图所示，点在格中的格点上.①画出 A逆时针旋转的②在图中确定格点D，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为中心对称图形.21. （2分） (2017·西秀模拟) 已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．22. （2分）某地区一天的气温变化较大，如图表示该地区一天24小时的气温变化情况.（1）图中描述的两个变量中自变量是什么？因变量是什么？（2）一天中哪个时间气温最高、哪个时间最低，最高最低气温分别是多少？（3）在什么时间范围内气温上升？（4）该地区一天的温差是多少？23. （1分）(2017·磴口模拟) 计算（）﹣1+（π﹣3.14）0﹣2sin60°﹣ +|1﹣3 |24. （3分） (2020七下·沙坪坝月考) “中国梦”是中华民族每个人的梦，也是每个中小学生的梦.各中小学开展经典诵读活动，无疑是“中国梦”教育这一宏大乐章里的响亮音符.某中学在全校800名学生中随机抽取部分学生进行调查，调查内容分为四种: :非常喜欢， :喜欢， :一般， :不喜欢被调查的同学只能选取其中的一种.根据调查结果，绘制出两个不完整的统计图（图形如下），并根据图中信息，回答下列问题:（1）本次调查中，一共调查了多少名学生？（2）条形统计图中， ________， ________；（3）在扇形统计图中，“ :喜欢”所在扇形的圆心角的度数是多少？（4）请估计该学校800名学生中“ :非常喜欢”和“ :喜欢”经典诵读的学生共有多少人？25. （3分）(2018·岳阳) 已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CD为∠ACB的平分线，将∠ACB沿CD所在的直线对折，使点B落在点B′处，连结AB'，BB'，延长CD交BB'于点E，设∠ABC＝2α（0°＜α＜45°）．（1）如图1，若AB＝AC，求证：CD＝2BE；（2）如图2，若AB≠AC，试求CD与BE的数量关系（用含α的式子表示）；（3）如图3，将（2）中的线段BC绕点C逆时针旋转角（α+45°），得到线段FC，连结EF交BC于点O，设△COE的面积为S1 ，△COF的面积为S2 ，求（用含α的式子表示）．26. （3分）(2019·枣庄模拟) 如图，己知抛物线经过点A（-1，0），B（4，Q），C（0，2)三点，点D与点C 关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0)，过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）己知点F（0，），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形?（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共6题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共8题；共17分)19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、22-4、23-1、24-1、24-2、24-3、24-4、25-1、25-2、25-3、26-1、26-2、26-3、。
2020年北京市西城区高考数学二模试卷 (含答案解析)
2020年北京市西城区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设全集U={1,2，3，4，5}，集合A={1,3，4}，B={2,3，5}，则(∁U A)∪B=()A. {2}B. {2,5}C. {2,3，5}D. {2,3，4，5}2.已知复数z满足(1+i)z=(1−i)2，则z=()A. −1+iB. 1+iC. 1−iD. −1−i3.焦点在x 轴，且焦点到准线的距离为2的抛物线方程为()A. y2=2xB. y2=4xC. y2=±2xD. y2=±4x4.已知△ABC中，a=6，b=4，A=60°，则cosB=()A. √33B. 23C. √63D. √325.已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=x2+1x，则f(−1)=()A. −2B. 0C. 1D. 26.圆x2+y2−4x+4y+6=0截直线x–y−5=0所得的弦长为()A. 5B. √6C. 5√22D. 17.已知a<b<0，则()A. 1a <1bB. a2<abC. a2<b2D. 1a−b<1a8.已知向量a⃗=(2,1)，|a⃗+b⃗ |=4，a⃗⋅b⃗ =1，则|b⃗ |=()A. 2B. 3C. 6D. 129.“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件10.如图，是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB、CD这两条线段所在直线的位置关系是()A. 平行B. 相交C. 异面D. 平行或异面二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 在二项式(x 2−1x )5的展开式中，二项式系数之和是_____，含x 4的项的系数_______．12. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 2=5，S 9=−9，则a 8的值为_______． 13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______ ．14. 已知椭圆x 225+y 216=1与双曲线x 2m −y 25=1有共同的焦点F 1,F 2，则m =_________15. 已知函数f(x)={e x ,x ≥0−2x,x <0，则关于x 的方程f[f(x)]+k =0给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有1个实根； ②存在实数k ，使得方程恰有2个不相等的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有4个不相等的实根．其中正确命题的序号是______ (把所有满足要求的命题序号都填上)． 三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16. 如图，四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，M 为PA 的中点．(Ⅰ)求证：PC//平面BDM ；(Ⅱ)若PA =AB =2√2，BD =2√3，求直线BM 与平面PAC 所成角的正弦值．)的最小正周期为π，且图象上有一个最低17.已知函数f(x)=Asin(ωx+θ)(A>0,ω>0,|θ|<π2,−3)．点为M(7π12(1)求f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在[0,π]的单调递增区间18.随着科技的进步，视屏会议系统的前景愈加广阔，其中，小型视频会议软件格外受人青睐，根据调查统计，小型视频会议软件下载量前6名依次为A，B，C，D，E，F，在实际中，存在很多软件下载后未使用的情况，为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这6款软件的下载量W(单位：人次)与使用量U(单位：人次)，数据用柱状图表示如下：，当t≥0.9时，称该软件为“有效下载软件”，调查公司以调查得到的定义软件的使用率t=UW使用率t作为实际中该款软件的使用率(Ⅰ)在这6款软件中任取1款，求该款软件是“有效下载软件”的概率(Ⅱ)从这6款软件中随机抽取4款，记其中“有效下载软件”的数量为X ，求X 的分布列与数学期望(Ⅲ)将(Ⅰ)中的概率值记为x%，对于市场上所有小型会议视频会议软件，能否认为这些软件中大约有x%的软件为“有效下载软件”？说明理由19. 设函数f(x)=xlnx ．(1)求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若函数F(x)=f(x)−ax 2有两个极值点，求实数a 的取值范围；(3)当x 1>x 2>0时，m2(x 12−x 22)>f(x 1)−f(x 2)恒成立，求实数m 的取值范围．20. 已知点(1,32)在椭圆E:x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)上，设A ，B 分别为椭圆的左顶点、下顶点，原点O 到直线AB 的距离为2√217． (1)求椭圆E 的方程；(2)设P 为椭圆E 在第一象限内一点，直线PA ，PB 分别交y 轴、x 轴于D ，C 两点，求四边形ABCD 的面积．21.数列{a n}满足a1+2a2+3a3+⋯+na n=2−n+2．2n(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=a n，求{b n}的前n项和T n．(1+a n)⋅(1+a n+1)-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查集合的运算，考查计算能力，属于简单题．利用补集和并集运算的定义即可求解．解：∵∁U A={2,5}，B={2,3，5}，∴(∁U A)∪B={2,3，5}，故选C．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z，则z−可求．解：由(1+i)z=(1−i)2=−2i，得z=−2i1+i =−2i(1−i)(1+i)(1−i)=−1−i，∴z−=−1+i．故选：A．3.答案：D解析：本题考查了抛物线的标准方程，属于基础题．焦点到准线的距离为p．解：焦点在x 轴，且焦点到准线的距离为2，可知：p=2，故抛物线方程为y2=±4x．故选D．4.答案：C解析：本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．由已知及正弦定理可得sin B，由b<a，可得范围B<60°，利用同角三角函数基本关系式即可得解cos B的值．解：∵a=6，b=4，A=60°，∴由正弦定理可得：sinB=b⋅sinAa =4×√326=√33，∵b<a，∴B<60°，∴cosB=√1−sin2B=√63．故选：C．5.答案：A解析：由条件利用函数的奇偶性和单调性的性质可得f(−1)=−f(1)，运算求得结果．解：∵函数f(x)为奇函数，x>0时，f(x)=x2+1x，∴f(−1)=−f(1)=−2，故选A．6.答案：B解析：计算直线和圆的相交弦长的通性通法就是，利用几何性质，只要计算出圆心到直线的距离，再用勾股定理即可．已知圆x2+y2−4x+4y+6=0，易得圆心和半径．再利用几何性质，只要计算出圆心到直线的距离，再用勾股定理即可算出弦长．解：已知圆x2+y2−4x+4y+6=0，易得圆心为(2,−2)，半径为√2．圆心为(2,−2)到直线x−y−5=0易得为√22．利用几何性质，则弦长为2√( √2 )2−(√22 )2 =√6．故选B．7.答案：D解析：解：对于A、B、C，令a=−2，b=−1，显然A、B、C错误；对于D，由a<b<0，得a<a−b<0，故1a−b <1a；故D正确；故选：D．根据特殊值判断A、B、C，根据不等式的性质判断D即可．本题考查了不等式的性质，考查特殊值的应用，是一道基础题．8.答案：B解析：解：∵|a⃗+b⃗ |=4，∴a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ =16，∴5+|b⃗ |2+2=16，∴|b⃗ |=3故选：B．将|a⃗+b⃗ |=4两边平方可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．9.答案：C解析：。
2020北 京 市 西 城 区 九 年 级 数学模拟 测 试(含答案)
九年级模拟测试数学试卷第1页（共16页）北 京 市 西 城 区 九 年 级 模拟 测 试数学试卷 2020.6一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.下列各组图形中，能将其中一个图形经过平移变换得到另一个图形的是（A ）（B ）（C ）（D ）2.中国国家航天局2020年4月24日在“中国航天日”之际宣布，将中国行星探测任务命名为“天问”，将中国首次火星探测任务命名为“天问一号”.火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近的时候距离约5500万千米，将5500用科学记数法表示为 （A ）40.5510⨯（B ）35.510⨯（C ）25.510⨯（D ）25510⨯3.图1是某个几何体的平面展开图，该几何体是（A ）（B ）（C ）（D ）图14.下列运算中，正确的是（A ）23⋅=a a a （B ）623÷=a a a （C ）2222-=a a （D ）()22436=a a九年级模拟测试数学试卷第2页（共16页）5.如图，实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（A ）3a >（B ）10b -<-< （C ）a b <-（D ）0a b +>6.如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠A ＝45°，OC ＝2，则BC 的长为 （A （B ） （C ）（D ）47.某人开车从家出发去植物园游玩，设汽车行驶的路程为S （千米），所用时间为t （分）， S 与t 之间的函数关系如图所示．若他早上8点从家出发， 汽车在途中停车加油一次，则下列描述中，不正确．．．的是 （A ）汽车行驶到一半路程时，停车加油用时10分钟 （B ）汽车一共行驶了60千米的路程，上午9点5分到达植物园（C ）加油后汽车行驶的速度为60千米/时（D ）加油后汽车行驶的速度比加油前汽车行驶的速度快8.张老师将自己2019年10月至2020年5月的通话时长（单位：分钟）的有关数据整理如下： ① 2019年10月至2020年3月通话时长统计表② 2020年4月与2020年5月，这两个月通话时长的总和为1100分钟 根据以上信息，推断张老师这八个月的通话时长的中位数可能的最大值为 （A ）550（B ）580（C ）610（D ）630二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9.若代数式12x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_______． 10.因式分解：3-a a ＝_______．分)九年级模拟测试数学试卷第3页（共16页）11.如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，若△ADE面积等于______．第11题图第12题图第13题图12.如图，∠A ＝∠ABC ＝∠C ＝∠D ＝∠E ，点F在AB13.如图，双曲线kyx与直线y＝mx 交于A ，B 两点，若点A 坐标为_______．14.如图，用10个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个宽 为50cm 的大矩形，设每个小矩形的长为x cm ，宽为y cm， 则可以列出的方程组是______．15.分布统计图和当地90后从事互联网行业岗位分布统计图：互联网行业从业人员年龄分布统计图 90后从事互联网行业岗位分布图对于以下四种说法，你认为正确的是 (写出全部正确说法的序号)． ①在当地互联网行业从业人员中，90后人数占总人数的一半以上 ②在当地互联网行业从业人员中，80前人数占总人数的13%③在当地互联网行业中，从事技术岗位的90后人数超过总人数的20% ④在当地互联网行业中，从事设计岗位的90后人数比80前人数少16.一个袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球 是黑球，则另一个球放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中. （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是.BCDFE AA E BCD 5%其它产品8%15%19%41%设计市场运营技术九年级模拟测试数学试卷第4页（共16页）（2）若乙盒中最终有5个红球，则袋中原来最少有个球.三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27， 28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17.0o (2020)3tan 301π--+.18.解方程：21133+=--x xx x ． 19.已知关于x 的一元二次方程2(21)20x k x k -++=.（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根大于2，求k 的取值范围．20.下面是小明设计的“在已知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外两边的距离相等”的尺规作图过程： 已知：△ABC .求作：点D ，使得点D 在BC 边上，且到AB ，AC 边的距离相等. 作法：如图，作∠BAC 的平分线，交BC 于点D .则点D 即为所求.根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形 (保留作图痕迹)； （2）完成下面的证明.证明：作DE ⊥AB 于点E ，作DF ⊥AC 于点F ，∵AD 平分∠BAC ，∴=( ) (填推理的依据) .21.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90︒，D 为AB 的中点，AE ∥DC ，CE ∥DA ． （1）求证：四边形ADCE 是菱形； （2）连接DE ，若AC=BC =2，求证：△ADE 是等边三角形．AB CEDCBA九年级模拟测试数学试卷第5页（共16页）22.某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生理指标x ，y ，于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取20人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图如下：注“●”表示患者，“▲”表示非患者.根据以上信息，回答下列问题： （1）在这40名被调查者中，①指标y 低于0.4的有人；②将20名患者的指标x 的平均数记作1x ，方差记作21s ，20名非患者的指标x 的 平均数记作2x ，方差记作22s ，则1x 2x ，21s 22s (填“>”，“=”或“<”)； （2）来该院就诊的500名未患这种疾病的人中，估计指标x 低于0.3的大约有人； （3）若将“指标x 低于0.3，且指标y 低于0.8”作为判断是否患有这种疾病的依据，则发生漏判的概率是.23.如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上两点，且»»CDCB =，连接OC ，BD ，OD . （1）求证：OC 垂直平分BD ；（2）过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，连接AD ，CD . ①依题意补全图形； ②若AD =6，3sin 5AEC ∠=，求CD 的长.x指标B九年级模拟测试数学试卷第6页（共16页）24.如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC 交BC 于点E ，D 是AB 边上一动点，连接CD 交AE 于点P ，连接BP ．已知AB =6cm ，设B ，D 两点间的距离为x cm ，B ，P 两点间的距离为y 1cm ，A ，P 两点间的距离为y 2cm .小明根据学习函数的经验，分别对函数y 1，y 2随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究.下面是小明的探究过程，请补充完整:（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了y 1，2y 与x 的几组对应值：（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x ，y 1)，(x ，2y )，并画出函数y 1，2y 的图象；（3）结合函数图象，回答下列问题：①当AP =2BD 时，AP 的长度约为cm ； ②当BP 平分∠ABC 时，BD 的长度约为cm .九年级模拟测试数学试卷第7页（共16页）25.在平面直角坐标系xOy 中，函数my x=（0x >）的图象G 与直线41：=-+l y kx k 交于点A （4，1），点B （1，n ）（n ≥4，n 为整数）在直线l 上． （1）求m 的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G 与直线l 围成的区域（不含边界）为W ．①当n =5时，求k 的值，并写出区域W 内的整点个数； ②若区域W 内恰有5个整点，结合函数图象，求k 的取值范围．26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2+y x bx c =+与x 轴交于点A ，B （A 在B 的左侧），抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，且OB =2OD . （1）当2b =时，①写出抛物线的对称轴； ②求抛物线的表达式；（2）存在垂直于x 轴的直线分别与直线l ：22b y x +=+和抛物线交于点P ，Q ，且点P ， Q 均在x 轴下方，结合函数图象，求b 的取值范围.27.在正方形ABCD 中，E 是CD 边上一点（CE >DE ），AE ，BD 交于点F . （1）如图1，过点F 作GH ⊥AE ，分别交边AD ，BC 于点G ，H .求证：∠EAB =∠GHC ；（2）AE 的垂直平分线分别与AD ，AE ，BD 交于点P ，M ，N ，连接CN .①依题意补全图形；②用等式表示线段AE 与CN 之间的数量关系，并证明．图1 备用图AFDCEBG HAFD C EB九年级模拟测试数学试卷第8页（共16页）28. 对于平面直角坐标系xOy 中的定点P 和图形F ，给出如下定义：若在图形F 上存在一点N ，使得点Q ，点P 关于直线ON 对称，则称点Q 是点P 关于图形F 的定向对称点. （1）如图，(10)，A ，(11)，B ，(02)，P ，①点P 关于点B 的定向对称点的坐标是；②在点(02)，-C，(1，-D ，(21)，-E 中，是点P 关于线段AB 的定向对称点.（2）直线：=+l y x b 分别与x 轴，y 轴交于点G ，H ，⊙M 是以点(20)，M 为圆心，(0)>r r 为半径的圆.①当1=r 时，若⊙M 上存在点K ，使得它关于线段GH 的定向对称点在线段GH 上，求b 的取值范围；②对于0>b ，当3=r 时，若线段GH 上存在点J ，使得它关于⊙M 的定向对称点在⊙M 上，直接写出b 的取值范围.北 京 市 西 城 区 九 年 级 模拟 测 试数学试卷答案及评分标准2020.6一、选择题（本题共16分，每小题2分）九年级模拟测试数学试卷第9页（共16页）二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．2x≠10.(1)(1)a a a -+11.4 12．72︒13.（-2，-3）14.50,4x yx y+=⎧⎨=⎩15．①③16．（1）红（2）20．三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）170o (2020)3tan 301π--+131-+ ··············································································································· 5分18．解：方程两边乘以3(1)x -，得33(1)2x x x +-=．解得34x =. 检验：当34x =时，3(1)0x -≠． 所以，原分式方程的解为3=4x .······························································································································ 5分九年级模拟测试数学试卷第10页（共16页）19．解：（1）依题意，得△=[]2(21)412k k -+-创． =()221k -．∵()221k -≥0， ∴ 方程总有两个实数根． （2）解：由求根公式，得x =，∴ 12x k =，21x =．∵ 该方程有一个根大于2，∴ 22k >． ∴1k >．∴ k 的取值范围是1k >． ····································································· 5分20．解：（1）如图.（2）DE ，DF ，角平分线上的点到角两边的距离相等.··························································································································· 5分21．证明：（1）∵ AE ∥DC ，CE ∥DA ，∴ 四边形ADCE 是平行四边形．∵ 在Rt △ABC 中， D 为AB 的中点， ∴ AD = BD =CD =12AB ． ∴ 四边形ADCE 是菱形．（2）在Rt △ABC 中，AC =BC =2，∴tan BC CAB AC ∠==．EDCBA九年级模拟测试数学试卷第11页（共16页）∴ ∠CAB =30︒．∵ 四边形ADCE 是菱形． ∴ AE = AD ，∠EAD =2∠CAB =60︒．∴ △ADE 是等边三角形． ······································································· 5分22．解：（1）① 9.②<，>. （2）100. （3）0.25.·························································································· 5分23．（1）证明：∵»»CDCB = ∴∠COD =∠COB ．∵OD = OB ， ∴OC 垂直平分BD ．（2）解：①补全图形，如图所示.②∵CE 是⊙O 切线，切点为C ，∴OC ⊥CE 于点C ．记OC 与BD 交于点F ，由（1）可知OC 垂直BD ， ∴∠OCE =∠OFB =90°． ∴DB ∥CE ． ∴∠AEC =∠ABD ．在Rt △ABD 中，AD =6，3sin sin 5AEC ABD ∠=∠=，∴BD =8，AB =10． ∴OA = OB =OC =5．由（1）可知OC 平分BD ，即DF = BF ， ∴BF =DF =4． ∴132OF AD ==． ∴CF =2．在Rt △CFD中，CD =······················································································ 6分A九年级模拟测试数学试卷第12页（共16页）24（2）画出函数1y 的图象；（3）答案不唯一，如：①3.86；②3． ····························································································· 6分 25．解：（1）∵点A （4，1）在函数my x=（0x >∴ m = 4．（2）①41y kx k =-+，经过点B （1，5）， ∴ 415k k -+=．解得43k =-．此时区域W 内有2个整点．②∵直线l 41y kx k =-+ 过定点A （4，1），九年级模拟测试数学试卷第13页（共16页）∵n 为整数，当n =6时，直线41y kx k =-+，经过点B （1，6），区域W 内有4个整点， 当n =7时，直线41y kx k =-+，经过点B （1，7），区域W 内有5个整点， 此时，可得2=-k ．当n ≥8时，区域W 内的整点个数大于5个． ∴ k 的取值范围是2=-k ． ····················································· 6分26．解：（1）当2b =时，2y x bx c =++化为22y x x c =++． ①1x =-．②∵抛物线的对称轴为直线1x =-， ∴点D 的坐标为（-1，0），OD =1．∵OB =2OD ，∴ OB =2．∵点A ，点B 关于直线1x =-对称， ∴点B 在点D 的右侧．∴ 点B 的坐标为（2，0）． ∵抛物线22y x x c =++与x 轴交于点B （2，0），∴ 440c ++=． 解得8c =-．∴抛物线的表达式为228=+-y x x ．（2）设直线22b y x +=+与x 轴交点为点E ， ∴ E （22b +-，0）． 抛物线的对称轴为2b x =-， ∴点D 的坐标为（2b-，0）． ①当0b >时，2bOD =．∵OB =2OD ， ∴ OB =b ．∴ 点A 的坐标为（2b -，0），点B 的坐标为（b ，0）．九年级模拟测试数学试卷第14页（共16页）当2b -<P∴ 2b OD =-． ∵OB =2OD ， ∴ OB =-b ．∵抛物线2+y x bx c =+与x 轴交于点A ，B ，且A 在B 的左侧， ∴ 点A 的坐标为（0，0），点B 的坐标为（-b ，0）．当0<22b +-时，存在垂直于x 轴的直线分别与直线l ：22b y x +=+ 和抛物线交于点P ，Q ，且点P ，Q 均在x 轴下方，解得b <-2．综上，b 的取值范围是2b <-或23b >. ······································· 6分九年级模拟测试数学试卷第15页（共16页）27．（1）证明：在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD =90°，∴∠AGH =∠GHC ． ∵GH ⊥AE ， ∴∠EAB =∠AGH ． ∴∠EAB =∠GHC ．（2）①补全图形，如图所示．②AE =．证明：连接AN ，连接EN 并延长，交AB 边于点Q ．∵四边形ABCD 是正方形， ∴点A ，点C 关于BD 对称． ∴NA =NC ，∠1=∠2． ∵PN 垂直平分AE ， ∴NA =NE ． ∴NC =NE ． ∴∠3=∠4．在正方形ABCD 中，BA ∥CE ，∠BCD =90°， ∴∠AQE =∠4．∴∠1+∠AQE =∠2+∠3=90°． ∴∠ANE =∠ANQ =90°．在Rt △ANE 中，∴AE =． ······························································· 7分28．解：（1）①()2,0；②C ，D ．（2）①由题意，0b ≠，若0>b ，当直线l 与以点()2,0-为圆心，1为半径的圆相切时，=b 当直线l 经过点()1,0-时，3=b ． G HAFDCEBEC∴b．若0<b，当直线l经过点()1,0时，3=-b．当直线l与以点()0,0为圆心，3为半径的圆相切时，=-b．∴-≤b≤3 -．综上，b的取值范围是-b≤-b．b ···························································7分九年级模拟测试数学试卷第16页（共16页）。