2020-2021年高中数学教材初中升高中数学衔接教材
1 第一节乘法公式、因式分解重点：和（差）的立方公式，立方和（差）公式及应用，十字相乘法，分组分解法，试根法难点：公式的灵活运用，因式分解教学过程：一、乘法公式引入：回顾初中常用的乘法公式：平方差公式，完全平方公式，（从项的角度变化）那三数和的平方公式呢？acbcabcbacba222)(2222
（从指数的角度变化）看看和与差的立方公式是什么？如?)(
3
ba，
能用学过的公式推导吗？（平方―――立方）32232333)()()(babbaabababa···················①
那?)(3ba呢，同理可推。那能否不重复推导，直接从①式看出结果？将3
)(ba
中的b换成－b即可。（Rb）▲这种代换的思想很常用，但要清楚什么时候才可以代换3223333)(babbaaba············符号的记忆，和――差从代换的角
度看问：能推导立方和、立方差公式吗？即（）（）＝33ba
由①可知，))(()33()(2222333
bababaabbababa······②
立方差呢？②中的b代换成－b得出：))((
2233
babababa
▲符号的记忆，系数的区别
例1：化简)1)(1)(1)(1(
22
xxxxxx
法1：平方差――立方差2
法2：立方和――立方差（2）已知,012xx求证：xxx68)1()1(33
▲注意观察结构特征，及整体的把握
二、因式分解：将一个多项式化成几个整式的积的形式，与乘法运算是互逆变形。初中学过的方法有：提取公因式法，公式法（平方差、完全平方、立方和、立方差等）（1）十字相乘法试分解因式：)2)(1(23
2
xxxx
要将二次三项式x2 + px + q因式分解，就需要找到两个数a、b，使它们的积等于常数项q，和等于一次项系数p, 满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即x2 + px + q = x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b). 用十字交叉线表示: 1 a 1 b a + b （交叉相乘后相加）若二次项的系数不为1呢？)0(2acbxax，如：3722
xx
如何处理二次项的系数？类似分解：1 －3 2 －1 -6 + -1 = -7 )12)(3(3722xxxx整理：对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因3
数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下：a1 +c1
a2 +c2
a1c2 + a2c1 = a1c2 + a2c1
按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c
的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1
与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=（a1x+c1）
（a2x+c2）。〔按行写分解后的因式〕十字相乘法关键：（1）看两端，凑中间；（2）分解后的因式如何写（3）二次项系数为负时，如何简化
例2：因式分解：（1）5762xx（2）22
865yxyx（3）
2)322)((yxyx
（2）分组分解法分解ynymxnxm，观察；无公因式，四项式，则不能用提公因式法，公式法及十字相乘法两种方法适当分组后提出公因式，各组间又出现新的公因式，····叫分组分解法▲如何适当分组是关键（尝试，结构），分组的原则，目的是什么？分组后可以提取公因式，或；利用公式
练习：因式分解（1）xxx33923（2）22
4)1(4yxyx4
（3）43
3
xx（试根法，竖式相除）
归纳：如何选择适当的方法
作业：将下列各式分解因式（1）652xx；（2）652xx；（3）652xx；（4）652
xx
（5）2223aaxx；（6）2233xyyxyx；（7）baabba2222（8）64
6a；（9）axax)1(2
第二节二次函数及其最值重点：二次函数的三种表示形式，韦达定理，给定区间的最值问题难点：给定区间的最值问题教学过程：一、韦达定理（二次方程根与系数之间的关系）二次方程)0(0
2
acbxax什么时候有根（判别式0时），此时由求根公式得，
aacbbx242，求出了具体的根，还反映了根与系数的关系。那可以不解方
程，直接从方程中看出两根和（积）与系数的关系吗，
abaacbbaacbbxx24242221
acaacbbaacbbxx242422215
反过来，若21,xx满足acxxabxx2121,，那么21,xx一定是)0(02acbxax的
两根，即韦达定理的逆定理也成立。作用：（1）已知方程，得出根与系数的关系（2）已知两数，构造出以两数为根的一元二次方程（系数为1）：0)(21212xxxxxx例1：21,xx是方程05322xx的两根，不解方程，求下列代数式的值；
①2221xx②||21xx③3231xx
二、二次函数的三种形式(1)一般式：)0(2acbxaxy
(2)顶点式：)0()(2akhxay，其中顶点坐标为（h，k）练：求下列函数的最值。（1）542xxy（2）8632
xxy（3）
4322xxy
除了上述两种表示方法外，我们还可以借助图像与x轴的交点，得出另一种表示方法；函数)0(2acbxaxy的图像与x轴公共点的横坐标就是方程02
cbxax的
根，那它根的情况由谁决定，（判别式），当方程有两根21,xx时，由韦达定理可
知acxxa
b
xx2121,，
所以))((])([)(
212121
222
xxxxaxxxxxxaacxabxacbxaxy，这是二次
函数的交点式。（3）交点式：)0)()((
21axxxxay6
▲根据题目所给条件，适当选择三种形式。例2：分别求下列一元二次函数的解析式。（P43－44）（1）已知二次函数的图象过点（－3，0），（1，0），且顶点到x轴的距离等于2；（2）已知二次函数的对称轴为x＝1，最大值为15，图象与x轴有两个交点，其横坐标的立方和为17；
三、二次函数在给定范围内的最值问题例3、已知函数32
2
xxy，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的
最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值: (1)2x; (2)2x; (3)12x; (4)30x
动范围问题（选讲）例4、已知aax(1为大于－1的常数），求函数2xy的最大值M和最小值m。
（P50）▲数形结合，根据对称轴与取值范围内图象的相对位置进行分类讨论，把握好为什么要分类讨论、如何进行分类讨论。（要讲到位）
作业：1、已知某二次函数的图象的顶点为A（2，18），它与x轴两个交点之间的距离为6，求此二次函数的解析式。7
2、如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃。（1）设矩形的一边为x（m），面积为y（2m），求y关于x的函数关系式，并写
出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少
\ 第三节比例关系，性质及其应用教学过程：4个非零数a，b，c，d成比例，即dcba::，也可写成dcb
a，其中a，d叫做
比例外项，b，c叫做比例内项，d叫做a，b，c的第四比例项。特别的当比例内项相等时，即cbba::，（或cbb
a），此时b叫做ac的比例中项。
一、比例的性质1、基本性质)0(bdbcad
dcb
a，比例的两个外项的乘积等于两个内项的
乘积。特别地，)0(
2
bcacb
cbb
a
2、更比性质当abcd0时，cadbcdabbcaddcb
a
比例式有多种变形形式：内项和外项可以相应的交换位置（注意是对应位置，
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初下中数教贯串课本之阳早格格创做咱们正在初中已经教习过了下列一些乘法公式：（1）仄圆好公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）真足仄圆公式222()2a b a ab b ±=±+．咱们还不妨通过道明得到下列一些乘法公式：（1）坐圆战公式2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）坐圆好公式2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数战仄圆公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）二数战坐圆公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）二数好坐圆公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．对于上头列出的五个公式，有兴趣的共教不妨自己去道明．例1 估计：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：本式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x -．解法二：本式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +-=61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，供222a b c ++的值．解：2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练 习1．挖空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m +22)164(m m =++)；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++)．2．采用题：（1）假如212x mx k ++一个真足仄办法，则k 等于（ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）没有管a ，b 为何真数，22248a b a b +--+的值（ ）（A ）经常正数 （B ）经常背数（C ）不妨是整 （D ）不妨是正数也不妨是背数2．果式领会果式领会的主要要领有：十字相乘法、提与公果式法、公式法、分组领会法，其余还应相识供根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 领会果式：（1）x2－3x ＋2； （2）x2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．1－1，将二次项x2领会成图中的二个x 的积，再将常数项2领会成－1与－2的乘积，而图中的对于角线上的二个数乘积的战为－3x ，便是x2－3x ＋2中的一次项，所以，有x2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．道明：以后正在领会与本例类似的二次三项式时，不妨间接将图1．1－1中的二个x 用1去表示（如图1．1－2所示）． （2）由图1．1－3，得x2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图1．1－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by --（4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y)－1＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）．课堂训练一、挖空题：1、把下列各式领会果式：（1）=-+652x x __________________________________________________.（2）=+-652x x __________________________________________________.（3）=++652x x __________________________________________________.（4）－1 －2 x x 图1．1－1 －1 －2 1 1 图1．1－2 －2 6 1 1 图1．1－3 －ay－by x x 图1．1－4 －1 1 x y 图1．1－5=--652x x __________________________________________________.（5）()=++-a x a x 12__________________________________________________.（6）=+-18112x x __________________________________________________.（7）=++2762x x __________________________________________________.（8）=+-91242m m __________________________________________________.（9）=-+2675x x __________________________________________________.（10）=-+22612y xy x __________________________________________________.2、()() 3 42++=+-x x x x3、若()()422-+=++x x b ax x 则 =a ， =b .二、采用题：（每小题四个问案中惟有一个是精确的）1、正在多项式（1）672++x x （2）342++x x （3）862++x x （4）1072++x x（5）44152++x x 中，有相共果式的是（ ）A 、惟有（1）（2）B 、惟有（3）（4）C 、惟有（3）（5）D 、（1）战（2）；（3）战（4）；（3）战（5）2、领会果式22338b ab a -+得（ ）A 、()()3 11-+a aB 、()()b a b a 3 11-+C 、()()b a b a 3 11--D 、()()b a b a 3 11+-3、()()2082-+++b a b a 领会果式得（ ）A 、()()2 10-+++b a b a B 、()()4 5-+++b a b a C 、()()10 2-+++b a b a D 、()()5 4-+++b a b a 4、若多项式a x x +-32可领会为()()b x x --5，则a 、b 的值是（ ）A 、10=a ，2=bB 、10=a ，2-=bC 、10-=a ，2-=bD 、10-=a ，2=b5、若()()b x a x mx x ++=-+ 102其中a 、b 为整数，则m 的值为（ ）A 、3或者9B 、3±C 、9±D 、3±或者9±三、把下列各式领会果式1、()()3211262+---p q q p2、22365ab b a a +-3、6422--y y4、8224--b b2．提与公果式法例2 领会果式：（1）()()b a b a -+-552 （2）32933x x x +++解： （1）．()()b a b a -+-552=)1)(5(--a b a（2）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．或者32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+ ＝2(3)(3)x x ++课堂训练：一、挖空题：1、多项式xyz xy y x 42622+-中各项的公果式是_______________.2、()()()•-=-+-y x x y n y x m __________________.3、()()()•-=-+-222y x x y n y x m ____________________.4、()()()•--=-++--z y x x z y n z y x m _____________________.5、()()•--=++---z y x z y x z y x m ______________________.6、523623913x b a x ab --领会果式得_____________________.7．估计99992+=二、推断题：（精确的挨上“√”，过失的挨上“×” ）1、()b a ab ab b a -=-24222………………………………………………………… （ ）2、()b a m m bm am +=++…………………………………………………………… （ ）3、()5231563223-+-=-+-x x x x x x …………………………………………… （ ）4、()111+=+--x x x x n n n ……………………………………………………………… （ ）3：公式法例3领会果式： （1）164+-a （2）()()2223y x y x --+解：(1)164+-a =)2)(2)(4()4)(4()(4222222a a a a a a -++=-+=-(2)()()2223y x y x --+=)32)(4()23)(23(y x y x y x y x y x y x ++=+-+-++课堂训练一、222b ab a +-，22b a -，33b a -的公果式是______________________________.二、推断题：（精确的挨上“√”，过失的挨上“×” ）1、()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1.032 1.0321.03201.094222x x x x …………………………（ ）2、()()()()b a b a b a b a 43 4343892222-+=-=-………………………………… （ ）3、()()b a b a b a 45 4516252-+=-………………………………………………… （ ）4、()()()y x y x y x y x -+-=--=-- 2222………………………………………… （ ）5、()()()c b a c b a c b a +-++=+- 22……………………………………………… （ ）五、把下列各式领会1、()()229n m n m ++--2、3132-x 3、()22244+--x x 4、1224+-x x4．分组领会法例4 （1）x y xy x 332-+- （2）222456x xy y x y +--+-．（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+-=22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或者222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+---=(22)(3)x y x y -++-．课堂训练：用分组领会法领会多项式（1）by ax b a y x 222222++-+-（2）91264422++-+-b a b ab a5．闭于x 的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的果式领会．若闭于x 的圆程20(0)ax bx c a ++=≠的二个真数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠便可领会为12()()a x x x x --.例5 把下列闭于x 的二次多项式领会果式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．解： （1）令221x x +-=0，则解得11x =-21x =-， ∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤--+--⎣⎦⎣⎦=(11x x ++．（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(2x y =-+，1(2x y =--，∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y ++．练 习1．采用题：多项式22215x xy y --的一个果式为 （ ）（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y -2．领会果式：（1）x2＋6x ＋8； （2）8a3－b3；（3）x2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-．习题1．21．领会果式：（1） 31a +； （2）424139x x -+；（3）22222b c ab ac bc ++++； （4）2235294x xy y x y +-++-．2．正在真数范畴内果式领会：（1）253x x -+ ； （2）23x --；（3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+．3．ABC ∆三边a ，b ，c 谦脚222a b c ab bc ca ++=++，试判决ABC ∆的形状．4．领会果式：x2＋x －(a2－a)．5. （测验考查题）已知abc=1，a+b+c=2，a²+b²+c²=，供1-c ab 1++1-a bc 1++1-b ca 1+的值. 1、一元二次圆程、一元二次没有等式与二次函数的闭系2、一元二次没有等式的解法步调一元二次没有等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相映的一元二次圆程()002≠=++a c bx ax 的二根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则没有等式的解的百般情况如下表：0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数 c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2一元二次圆程()的根002>=++a c bx ax 有二相同真根)(,2121x x x x < 有二相等真根 a b x x 221-== 无真根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R 的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ∅ ∅例1解没有等式：（1）x2＋2x －3≤0； （2）x －x2＋6＜0；（3）4x2＋4x ＋1≥0； （4）x2－6x ＋9≤0；（5）－4＋x －x2＜0．例2 解闭于x 的没有等式0)1(2>---a a x x解：本没有等式不妨化为：0))(1(>--+a x a x若)1(-->a a 即21>a 则a x >或者a x -<1 若)1(--=a a 即21=a 则0)21(2>-x R x x ∈≠,21 若)1(--<a a 即21<a 则a x <或者a x ->1 例3已知没有等式20(0)ax bx c a ++<≠的解是2,3x x <>或供没有等式20bx ax c ++>的解．解：由没有等式20(0)ax bx c a ++<≠的解为2,3x x <>或，可知0a <，且圆程20ax bx c ++=的二根分别为2战3，∴5,6b c a a-==， 即 5,6b c a a=-=． 由于0a <，所以没有等式20bx ax c ++>可形成20b c x x a a ++< ， 即 －2560,x x ++<整治，得所以，没有等式20bx ax c +->的解是x ＜－1，或者x ＞65． 道明：本例利用了圆程与没有等式之间的相互闭系去办理问题．练 习1．解下列没有等式：（1）3x2－x －4＞0； （2）x2－x －12≤0；（3）x2＋3x －4＞0； （4）16－8x ＋x2≤0．2.解闭于x 的没有等式x2＋2x ＋1－a2≤0（a 为常数）．做业：1.若0<a<1,则没有等式(x －a)(x －a1)<0的解是 ( )A.a<x<a1 B.a 1<x<a C.x>a 1或者x<a D.x<a1或者x>a 2.如果圆程ax2＋bx ＋b ＝0中，a ＜0，它的二根x1，x2谦脚x1＜x2，那么没有等式ax2＋bx ＋b ＜0的解是______.3．解下列没有等式：（1）3x2－2x ＋1＜0； （2）3x2－4＜0；（3）2x －x2≥－1； （4）4－x2≤0．(5)4+3x －2x2≥0;(6)9x2－12x>－4;4．解闭于x 的没有等式x2－(1＋a)x ＋a ＜0（a 为常数）．5．闭于x 的没有等式02<++c bx ax 的解为122x x <->-或 供闭于x 的没有等式02>+-c bx ax 的解．4.三角形的“四心”1.“四心”的观念及本量内心：本量：中心：本量：沉心：本量：垂心：例1 供证：三角形的三条中线接于一面，且被该接面分成的二段少度之比为2：1.已知D 、E 、F 分别为△ABC 三边BC 、CA 、AB 的中面， 供证AD 、BE 、CF 接于一面，且皆被该面分成2：1.道明 连结DE ，设AD 、BE 接于面G ，D 、E 分别为BC 、AE 的中面，则DE//AB ，且12DE AB ， GDE ∽GAB ，且相似比为1：2，2,2AGGD BG GE . 设AD 、CF 接于面'G ，共理可得，'2','2'.AG G D CG G F则G 与'G 沉合， AD 、BE 、CF 接于一面，且皆被该面分成2:1.例 2 已知ABC 的三边少分别为,,BC a AC b AB c ，I 为ABC 的内心，且I 正在ABC 的边BC AC AB 、、上的射影分别为D E F 、、，供证：2b c a AE AF . 道明 做ABC 的内切圆，则D E F 、、分别为内切圆正在三边上的切面，,AE AF 为圆的从共一面做的二条切线，AE AF ，共理，BD=BF ，CD=CE. 即2b c a AE AF . 例3 若三角形的内心与沉心为共一面，供证：那个三角形为正三角形. 已知O 为三角形ABC 的沉心战内心.供证 三角形ABC 为等边三角形.道明 如图，连AO 并延少接BC 于 D.O 为三角形的内心，故AD 仄分BAC ，AB BD AC DC （角仄分线本量定理）O 为三角形的沉心，D 为BC 的中面，即BD=DC. 1AB AC ，即AB AC . 共理可得，AB=BC. ABC 为等边三角形.例4 供证：三角形的三条下接于一面.已知ABC 中，,AD BC D BE AC E 于于，AD 与BE 接于H 面. 供证CH AB .道明 以CH 为曲径做圆，D E 、正在以CH 为曲径的圆上，FCB DEH .共理，E 、D 正在以AB 为曲径的圆上，可得BED BAD .BCH BAD ， 又ABD 与CBF 有大众角B ，90o CFB ADB。
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初高中数学衔接教材之袁州冬雪创作我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +-=61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．解：2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练 习1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m +22)164(m m =++)；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++)．2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ）（A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不管a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ）（A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数2．因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，别的还应懂得求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x2－3x ＋2； （2）x2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．1－1，将二次项x2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x2－3x ＋2中的一次项，所以，有x2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：此后在分解与本例近似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来暗示（如图1．1－2所示）．（2）由图1．1－3，得x2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图1．1－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by --（4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y)－1 ＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）．讲堂操练一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）=-+652x x __________________________________________________.（2）=+-652x x __________________________________________________.（3）=++652x x __________________________________________________.（4）=--652x x __________________________________________________.（5）()=++-a x a x 12__________________________________________________.（6）－1 －2 x x 图1．1－1 －1 －2 1 1 图1．1－2 －2 6 1 1 图1．1－3 －ay －by xx 图1．1－4 －1 1x y 图1．1－5=+-18112x x __________________________________________________.（7）=++2762x x __________________________________________________.（8）=+-91242m m __________________________________________________.（9）=-+2675x x __________________________________________________.（10）=-+22612y xy x __________________________________________________.2、()() 3 42++=+-x x x x3、若()()422-+=++x x b ax x 则 =a ， =b .二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）1、在多项式（1）672++x x （2）342++x x （3）862++x x （4）1072++x x（5）44152++x x 中，有相同因式的是（ ）A 、只有（1）（2）B 、只有（3）（4）C 、只有（3）（5）D 、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）2、分解因式22338b ab a -+得（ ）A 、()()3 11-+a aB 、()()b a b a 3 11-+C 、()()b a b a 3 11--D 、()()b a b a 3 11+-3、()()2082-+++b a b a 分解因式得（ ）A 、()()2 10-+++b a b aB 、()()4 5-+++b a b aC 、()()10 2-+++b a b aD 、()()5 4-+++b a b a4、若多项式a x x +-32可分解为()()b x x --5，则a 、b 的值是（ ）A 、10=a ，2=bB 、10=a ，2-=bC 、10-=a ，2-=bD 、10-=a ，2=b5、若()()b x a x mx x ++=-+ 102其中a 、b 为整数，则m 的值为（ ）A 、3或9B 、3±C 、9±D 、3±或9±三、把下列各式分解因式1、()()3211262+---p q q p2、22365ab b a a +-3、6422--y y4、8224--b b2．提取公因式法例2 分解因式：（1）()()b a b a -+-552 （2）32933x x x +++解： （1）．()()b a b a -+-552=)1)(5(--a b a（2）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+ ＝2(3)(3)x x ++讲堂操练：一、填空题：1、多项式xyz xy y x 42622+-中各项的公因式是_______________.2、()()()•-=-+-y x x y n y x m __________________.3、()()()•-=-+-222y x x y n y x m ____________________.4、()()()•--=-++--z y x x z y n z y x m _____________________.5、()()•--=++---z y x z y x z y x m ______________________.6、523623913x b a x ab --分解因式得_____________________.7．计算99992+=二、断定题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）1、()b a ab ab b a -=-24222………………………………………………………… （ ）2、()b a m m bm am +=++…………………………………………………………… （ ）3、()5231563223-+-=-+-x x x x x x …………………………………………… （ ）4、()111+=+--x x x x n n n ……………………………………………………………… （ ）3：公式法例3分解因式： （1）164+-a （2）()()2223y x y x --+解：(1)164+-a =)2)(2)(4()4)(4()(4222222a a a a a a -++=-+=-(2)()()2223y x y x --+=)32)(4()23)(23(y x y x y x y x y x y x ++=+-+-++讲堂操练一、222b ab a +-，22b a -，33b a -的公因式是______________________________.二、断定题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）1、()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1.032 1.0321.03201.094222x x x x …………………………（ ）2、()()()()b a b a b a b a 43 4343892222-+=-=-………………………………… （ ）3、()()b a b a b a 45 4516252-+=-………………………………………………… （ ）4、()()()y x y x y x y x -+-=--=-- 2222………………………………………… （ ）5、()()()c b a c b a c b a +-++=+- 22……………………………………………… （ ）五、把下列各式分解1、()()229n m n m ++--2、3132-x 3、()22244+--x x 4、1224+-x x4．分组分解法例4 （1）x y xy x 332-+- （2）222456x xy y x y +--+-．（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+-=22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+---=(22)(3)x y x y -++-．讲堂操练：用分组分解法分解多项式（1）by ax b a y x 222222++-+-（2）91264422++-+-b a b ab a5．关于x 的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠便可分解为12()()a x x x x --.例5 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．解： （1）令221x x +-=0，则解得11x =-21x =-，∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦ =(11x x ++．（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(2x y =-+，1(2x y =--，∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y ++．练 习1．选择题：多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ）（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y -2．分解因式：（1）x2＋6x ＋8； （2）8a3－b3；（3）x2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-．习题1．21．分解因式：（1） 31a +； （2）424139x x -+；（3）22222b c ab ac bc ++++； （4）2235294x xy y x y +-++-．2．在实数范围内因式分解：（1）253x x -+ ； （2）2223x x --；（3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+．3．ABC ∆三边a ，b ，c 知足222a b c ab bc ca ++=++，试断定ABC ∆的形状．4．分解因式：x2＋x －(a2－a)．5. （测验测验题）已知abc=1，a+b+c=2，a ²+b ²+c ²=，求1-c ab 1++1-a bc 1++1-b ca 1+的值. 1、一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系2、一元二次不等式的解法步调一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数 c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根 ab x x 221-== 无实根 的解集)0(02>>++ac bx ax {}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ∅ ∅例1解不等式：（1）x2＋2x －3≤0； （2）x －x2＋6＜0；（3）4x2＋4x ＋1≥0； （4）x2－6x ＋9≤0；（5）－4＋x －x2＜0．例2 解关于x 的不等式0)1(2>---a a x x解：原不等式可以化为：0))(1(>--+a x a x若)1(-->a a 即21>a 则a x >或a x -<1 若)1(--=a a 即21=a 则0)21(2>-x R x x ∈≠,21 若)1(--<a a 即21<a 则a x <或a x ->1 例3已知不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解是2,3x x <>或求不等式20bx ax c ++>的解．解：由不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解为2,3x x <>或，可知0a <，且方程20ax bx c ++=的两根分别为2和3，∴5,6b c a a-==， 即 5,6b c a a=-=． 由于0a <，所以不等式20bx ax c ++>可变成20b c x x a a++< ， 即 －2560,x x ++<整理，得所以，不等式20bx ax c +->的解是x ＜－1，或x ＞65． 说明：本例操纵了方程与不等式之间的相互关系来处理问题．练 习1．解下列不等式：（1）3x2－x －4＞0； （2）x2－x －12≤0；（3）x2＋3x －4＞0； （4）16－8x ＋x2≤0．2.解关于x 的不等式x2＋2x ＋1－a2≤0（a 为常数）．作业：1.若0<a<1,则不等式(x －a)(x －a1)<0的解是 ( )A.a<x<a 1B.a1<x<a C.x>a 1或x<a D.x<a1或x>a 2.如果方程ax2＋bx ＋b ＝0中，a ＜0，它的两根x1，x2知足x1＜x2，那末不等式ax2＋bx ＋b ＜0的解是______.3．解下列不等式：（1）3x2－2x ＋1＜0； （2）3x2－4＜0；（3）2x －x2≥－1； （4）4－x2≤0．(5)4+3x －2x2≥0;(6)9x2－12x>－4;4．解关于x 的不等式x2－(1＋a)x ＋a ＜0（a 为常数）．5．关于x 的不等式02<++c bx ax 的解为122x x <->-或 求关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解．4.三角形的“四心”1.“四心”的概念及性质心坎：性质：外心：性质：重心：性质：垂心：例 1 求证：三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知D、E 、F 分别为△ABC 三边BC 、CA 、AB 的中点，求证AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2： 1.证明 保持DE ，设AD 、BE 交于点G ，D 、E 分别为BC 、AE 的中点，则DE//AB ，且12DE AB ， GDE ∽GAB ，且相似比为1：2，2,2AG GD BG GE . 设AD 、CF 交于点'G ，同理可得，'2','2'.AG G D CG G F则G 与'G 重合， AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2:1.例2 已知ABC 的三边长分别为,,BC a AC b AB c ，I 为ABC 的心坎，且I 在ABC 的边BC AC AB 、、上的射影分别为D E F 、、，求证：2b c a AE AF . 证明 作ABC 的内切圆，则D E F 、、分别为内切圆在三边上的切点，,AE AF 为圆的从同一点作的两条切线，AE AF ，同理，BD=BF ，CD=CE. 即2b c a AE AF . 例 3 若三角形的心坎与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.已知O 为三角形ABC 的重心和心坎.求证 三角形ABC 为等边三角形.证明 如图，连AO 并延长交BC 于 D. O 为三角形的心坎，故AD 平分BAC ， AB BD AC DC（角平分线性质定理） O 为三角形的重心，D 为BC 的中点，即BD=DC. 1AB AC ，即AB AC . 同理可得，AB=BC. ABC 为等边三角形.例4 求证：三角形的三条高交于一点.已知ABC 中，,AD BC D BE AC E 于于，AD 与BE 交于H 点.求证CH AB . 证明 以CH 为直径作圆，D E 、在以CH 为直径的圆上，FCB DEH .同理，E 、D 在以AB 为直径的圆上，可得BED BAD .BCH BAD ， 又ABD 与CBF 有公共角B ，90o CFB ADB。
初高中数学衔接教材 (2)
初高中数学衔接教材一、引言初高中数学衔接教材是指帮助初中学生顺利过渡到高中数学学习的教材资源。
在初中阶段，学生主要学习基础的数学知识和方法，而到了高中阶段，数学的难度和复杂度也会逐渐增加。
因此，为了让学生在初高中之间的转换中尽量减少困惑和障碍，编写一本合适的数学衔接教材是非常重要的。
本文将介绍初高中数学衔接教材的编写内容和方法，目标是为初中学生提供有力的数学学习支持，使他们能够更好地适应高中的数学学习任务。
二、教材编写内容初高中数学衔接教材的编写内容应围绕以下几个方面展开：1. 复习初中知识初中学生在数学课程中已经学习了很多基础知识，例如代数、几何、统计等等。
为了顺利过渡到高中数学学习，首先要对初中知识进行复习和巩固。
在教材中，可以设置一些复习练习和例题，帮助学生回顾初中知识，并增强对基础知识的掌握。
2. 引入高中知识高中数学的内容相对较为广泛和深入，包括数列、函数、导数、积分等等。
为了帮助初中学生理解和掌握这些高中知识，教材可以适当引入一些相关概念和思想，并通过简单的例题进行讲解和示例。
这样既能引起学生的兴趣，又能使他们对高中知识有一定的了解。
3. 培养解决问题的能力数学学科强调解决问题的能力，而高中数学中的问题往往更加复杂和抽象。
为了帮助初中学生顺利衔接到高中数学学习，教材可以设计一些问题练习，要求学生运用初中和高中知识思考和解决问题，从而提高他们的问题解决能力。
4. 注重思维方法的培养高中数学对学生的思维能力要求更高，需要培养学生的逻辑思维、推理能力等。
因此，初高中数学衔接教材应注重培养学生的思维方法。
在教材中，可以适当引入一些思维导图、解题方法和技巧，帮助学生养成良好的思维习惯和解题思路。
三、教材编写方法编写初高中数学衔接教材需要遵循以下几个方法：1. 理论与实践结合教材编写时，应将理论知识与实践应用相结合。
在讲解概念和定理时，要引入实际问题和例题进行说明，让学生能够将理论知识与实际问题相结合，增强学习的实用性和趣味性。
初高中数学衔接教材(已整理精品)
初高中数学衔接教材之羊若含玉创作我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1 盘算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +-=61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．解：2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练 习1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m +22)164(m m =++)；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++)．2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方法，则k 等于 （ ）（A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不管a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值（ ）（A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数2．因式分化因式分化的主要办法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分化法，别的还应懂得求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分化因式：（1）x2－3x ＋2； （2）x2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．1－1，将二次项x2分化成图中的两个x 的积，再将常数项2分化成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x2－3x ＋2中的一次项，所以，有x2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：往后在分化与本例相似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来暗示（如图1．1－2所示）．（2）由图1．1－3，得x2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图1．1－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y)－1 ＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）． 教室演习一、填空题：1、把下列各式分化因式：（1）=-+652x x __________________________________________________.（2）=+-652x x __________________________________________________.（3）=++652x x __________________________________________________.（4）=--652x x __________________________________________________.（5）()=++-a x a x 12__________________________________________________.（6）=+-18112x x __________________________________________________.（7）=++2762x x __________________________________________________.（8）－1 －2 x x 图1．1－1 －1 －2 1 1 图1．1－2 －2 6 11 图1．1－3 －ay －by x x 图1．1－4 －11x y 图1．1－5=+-91242m m __________________________________________________.（9）=-+2675x x __________________________________________________.（10）=-+22612y xy x __________________________________________________. 2、()() 3 42++=+-x x x x3、若()()422-+=++x x b ax x 则 =a ， =b .二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）1、在多项式（1）672++x x （2）342++x x （3）862++x x （4）1072++x x（5）44152++x x 中，有相同因式的是（ ）A 、只有（1）（2）B 、只有（3）（4）C 、只有（3）（5）D 、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）2、分化因式22338b ab a -+得（ ）A 、()()3 11-+a aB 、()()b a b a 3 11-+C 、()()b a b a 3 11--D 、()()b a b a 3 11+- 3、()()2082-+++b a b a 分化因式得（ ）A 、()()2 10-+++b a b aB 、()()4 5-+++b a b aC 、()()10 2-+++b a b aD 、()()5 4-+++b a b a4、若多项式a x x +-32可分化为()()b x x --5，则a 、b 的值是（ ）A 、10=a ，2=bB 、10=a ，2-=bC 、10-=a ，2-=bD 、10-=a ，2=b5、若()()b x a x mx x ++=-+ 102其中a 、b 为整数，则m 的值为（ ）A 、3或9B 、3±C 、9±D 、3±或9±三、把下列各式分化因式1、()()3211262+---p q q p2、22365ab b a a +-3、6422--y y4、8224--b b2．提取公因式法例2 分化因式：（1）()()b a b a -+-552 （2）32933x x x +++解： （1）．()()b a b a -+-552=)1)(5(--a b a（2）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+ ＝2(3)(3)x x ++教室演习：一、填空题：1、多项式xyz xy y x 42622+-中各项的公因式是_______________.2、()()()•-=-+-y x x y n y x m __________________.3、()()()•-=-+-222y x x y n y x m ____________________.4、()()()•--=-++--z y x x z y n z y x m _____________________.5、()()•--=++---z y x z y x z y x m ______________________.6、523623913x b a x ab --分化因式得_____________________.7．盘算99992+=二、断定题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）1、()b a ab ab b a -=-24222………………………………………………………… （ ）2、()b a m m bm am +=++…………………………………………………………… （ ）3、()5231563223-+-=-+-x x x x x x …………………………………………… （ ）4、()111+=+--x x x x n n n ……………………………………………………………… （ ）3：公式法例3分化因式： （1）164+-a （2）()()2223y x y x --+解：(1)164+-a =)2)(2)(4()4)(4()(4222222a a a a a a -++=-+=-(2)()()2223y x y x --+=)32)(4()23)(23(y x y x y x y x y x y x ++=+-+-++ 教室演习一、222b ab a +-，22b a -，33b a -的公因式是______________________________.二、断定题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）1、()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1.032 1.0321.03201.094222x x x x …………………………（ ）2、()()()()b a b a b a b a 43 4343892222-+=-=-………………………………… （ ）3、()()b a b a b a 45 4516252-+=-………………………………………………… （ ）4、()()()y x y x y x y x -+-=--=-- 2222………………………………………… （ ）5、()()()c b a c b a c b a +-++=+- 22……………………………………………… （ ）五、把下列各式分化1、()()229n m n m ++--2、3132-x3、()22244+--x x4、1224+-x x4．分组分化法例4 （1）x y xy x 332-+- （2）222456x xy y x y +--+-．（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+-=22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+---=(22)(3)x y x y -++-．教室演习：用分组分化法分化多项式（1）by ax b a y x 222222++-+-（2）91264422++-+-b a b ab a5．关于x 的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分化．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分化为12()()a x x x x --.例5 把下列关于x 的二次多项式分化因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．解： （1）令221x x +-=0，则解得11x =-21x =-，∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦=(11x x ++．（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(2x y =-+，1(2x y =--， ∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y ++．练 习1．选择题：多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ）（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y -2．分化因式：（1）x2＋6x ＋8； （2）8a3－b3；（3）x2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-．习题1．21．分化因式：（1） 31a +； （2）424139x x -+；（3）22222b c ab ac bc ++++； （4）2235294x xy y x y +-++-．2．在实数规模内因式分化：（1）253x x -+ ； （2）23x --；（3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+． 3．ABC ∆三边a ，b ，c 知足222a b c ab bc ca ++=++，试剖断ABC ∆的形状．4．分化因式：x2＋x －(a2－a)．5. （测验测验题）已知abc=1，a+b+c=2，a²+b²+c²=，求1-c ab 1++1-a bc 1++1-b ca 1+的值. 1、一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系2、一元二次不等式的解法步调一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各类情况如下表： 0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数 c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R 的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ∅ ∅例1（1）x2＋2x －3≤0； （2）x －x2＋6＜0；（3）4x2＋4x ＋1≥0； （4）x2－6x ＋9≤0；（5）－4＋x －x2＜0．例2 解关于x 的不等式0)1(2>---a a x x解：原不等式可以化为：0))(1(>--+a x a x若)1(-->a a 即21>a 则a x >或a x -<1 若)1(--=a a 即21=a 则0)21(2>-x R x x ∈≠,21 若)1(--<a a 即21<a 则a x <或a x ->1 例3已知不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解是2,3x x <>或求不等式20bx ax c ++>的解．解：由不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解为2,3x x <>或，可知0a <，且方程20ax bx c ++=的两根分离为2和3， ∴5,6b c a a -==， 即 5,6b ca a =-=．由于0a <，所以不等式20bx ax c ++>可变成20b cx x a a ++< ，即 －2560,x x ++<整理，得所以，不等式20bx ax c +->的解是x ＜－1，或x ＞65 ．说明：本例应用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题． 练 习1．解下列不等式：（1）3x2－x －4＞0； （2）x2－x －12≤0；（3）x2＋3x －4＞0； （4）16－8x ＋x2≤0．2.解关于x 的不等式x2＋2x ＋1－a2≤0（a 为常数）．作业：1.若0<a<1,则不等式(x －a)(x －a 1)<0的解是 ( )A.a<x<a 1B.a 1<x<aC.x>a 1或x<a D.x<a 1或x>a2.如果方程ax2＋bx ＋b ＝0中，a ＜0，它的两根x1，x2知足x1＜x2，那么不等式ax2＋bx ＋b ＜0的解是______.3．解下列不等式：（1）3x2－2x ＋1＜0； （2）3x2－4＜0；（3）2x －x2≥－1； （4）4－x2≤0．(5)4+3x －2x2≥0;(6)9x2－12x>－4;4．解关于x 的不等式x2－(1＋a)x ＋a ＜0（a 为常数）．5．关于x 的不等式02<++c bx ax 的解为122x x <->-或求关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解．4.三角形的“四心”1.“四心”的概念及性质心坎：性质：外心：性质：重心：性质：垂心：例1 求证：三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知D 、E 、F 分离为△ABC 三边BC 、CA 、AB 的中点，求证AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2：1.证明 贯穿连接DE ，设AD 、BE 交于点G ，D 、E 分离为BC 、AE 的中点，则DE//AB ，且12DE AB ， GDE ∽GAB ，且相似比为1：2，2,2AG GD BG GE . 设AD 、CF 交于点'G ，同理可得，'2','2'.AG G D CG G F 则G 与'G 重合， AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2:1.例 2 已知ABC 的三边长分离为,,BC a AC b AB c ，I 为ABC 的心坎，且I 在ABC 的边BC AC AB 、、上的射影分离为D E F 、、，求证：2bc a AE AF . 证明 作ABC 的内切圆，则D E F 、、分离为内切圆在三边上的切点，,AE AF 为圆的从同一点作的两条切线，AE AF ，同理，BD=BF ，CD=CE. 即2b c a AE AF . 例3 若三角形的心坎与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形. 已知O 为三角形ABC 的重心和心坎.求证 三角形ABC 为等边三角形.证明 如图，连AO 并延长交BC 于 D. O 为三角形的心坎，故AD 平分BAC ， ABBD AC DC （角平分线性质定理）O 为三角形的重心，D 为BC 的中点，即BD=DC. 1AB AC ，即AB AC .同理可得，AB=BC. ABC 为等边三角形.例4 求证：三角形的三条高交于一点. 已知ABC 中，,AD BC D BE AC E 于于，AD 与BE 交于H 点.求证CH AB .证明 以CH 为直径作圆， D E 、在以CH 为直径的圆上， FCB DEH .同理，E 、D 在以AB 为直径的圆上，可得BED BAD . BCH BAD ， 又ABD 与CBF 有公共角B ，90o CFB ADB。
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初高中数学衔接教材目录第一部分一、初高中数学知识存在的“脱节”二、初高中数学特点的变化三、怎样学好高中数学第二部分一、初中重要知识回顾1、乘法公式2、因式分解3、根式运算4、分式运算5、一元二次方程根与系数的关系6、二次函数的图象和性质7、一元二次不等式与分式不等式的解法8、绝对值和绝对值不等式的解法二、高一主要知识预习1、集合的概念与表示2、集合基本关系3、集合的运算4、函数及其表示5、函数的单调性与最值6、函数的奇偶性与周期性一、初高中数学知识存在的“脱节”1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。
4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。
配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。
7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。
方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。
初高中数学衔接教材
初高中数学衔接教材 202 / 32 初高中数学衔接教材
一、现有初高中数学知识存在以下“脱节”： 1.立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“１”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求,但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等. 3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4。初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平,但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容.配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值,研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5。二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系(韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型,而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容,高中教材却未安排专门的讲授。 6．图像的对称、平移变换,初中只作简单介绍,而在高中讲授函数后，对其图像的上、下;左、右平移，两个函数关于原点,轴、直线的对称问题必须掌握。
７.含有参数的函数、方程、不等式,初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理,射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化,不利于高中知识的讲授。
二、初高中数学衔接目录： 前言 第一讲 数与式的运算（两课时） 第二讲 因式分解（两课时） 第三讲 一元二次方程根与系数的关系（一课时） 第四讲 不 等 式（两课时） 第五讲 二次函数的最值问题（一课时） 初高中数学衔接教材 203 / 32 第六讲 简单的二元二次方程组（一课时) 第七讲 分式方程和无理方程的解法（一课时） 第八讲 直线、平面与常见立体图形（一课时） 第九讲 直线与圆，圆与圆的位置关系（一课时）
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初高中数学衔接教材之巴公井开创作1.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明获得下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明．例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +-=61x -．例2 已知4a b c ++=,4ab bc ac ++=,求222a b c ++的值．解：2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练 习1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）；（2）(4m +22)164(m m =++)； (3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++)．2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式,则k 即是（ ）（A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不论a ,b 为何实数,22248a b a b +--+的值 （ ）（A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数2．因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x2－3x ＋2； （2）x2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．1－1,将二次项x2分解成图中的两个x 的积,再将常数项2分解成－1与－2的乘积,而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x,就是x2－3x ＋2中的一次项,所以,有x2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来暗示（如图1．1－2所示）． （2）由图1．1－3,得 x2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图1．1－4,得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y)－1 ＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）． 课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）=-+652x x __________________________________________________.（2）=+-652x x __________________________________________________. －1 －2 x x 图1．1－1 －1 －2 1 1 图1．1－2－2 6 11 图1．1－3 －ay －by x x 图1．1－4 －11x y 图1．1－5（3）=++652x x __________________________________________________.（4）=--652x x __________________________________________________.（5）()=++-a x a x 12__________________________________________________.（6）=+-18112x x __________________________________________________.（7）=++2762x x __________________________________________________.（8）=+-91242m m __________________________________________________.（9）=-+2675x x __________________________________________________.（10）=-+22612y xy x __________________________________________________.2、()() 3 42++=+-x x x x3、若()()422-+=++x x b ax x 则 =a , =b .二、选择题：（每小题四个谜底中只有一个是正确的）1、在多项式（1）672++x x （2）342++x x （3）862++x x （4）1072++x x（5）44152++x x 中,有相同因式的是（ ）A 、只有（1）（2）B 、只有（3）（4）C 、只有（3）（5）D 、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）2、分解因式22338b ab a -+得（ ）A 、()()3 11-+a a B 、()()b a b a 3 11-+ C 、()()b a b a 3 11-- D 、()()b a b a 3 11+-3、()()2082-+++b a b a 分解因式得（ ）A 、()()2 10-+++b a b aB 、()()4 5-+++b a b aC 、()()10 2-+++b a b aD 、()()5 4-+++b a b a4、若多项式a x x +-32可分解为()()b x x --5,则a 、b 的值是（ ）A 、10=a ,2=bB 、10=a ,2-=bC 、10-=a ,2-=bD 、10-=a ,2=b5、若()()b x a x mx x ++=-+ 102其中a 、b 为整数,则m 的值为（ ）A 、3或9B 、3±C 、9±D 、3±或9±三、把下列各式分解因式1、()()3211262+---p q q p2、22365ab b a a +- 3、6422--y y 4、8224--b b2．提取公因式法例2 分解因式：（1）()()b a b a -+-552 （2）32933x x x +++解： （1）．()()b a b a -+-552=)1)(5(--a b a（2）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+ ＝2(3)(3)x x ++课堂练习：一、填空题：1、多项式xyz xy y x 42622+-中各项的公因式是_______________.2、()()()•-=-+-y x x y n y x m __________________.3、()()()•-=-+-222y x x y n y x m ____________________.4、()()()•--=-++--z y x x z y n z y x m _____________________.5、()()•--=++---z y x z y x z y x m ______________________.6、523623913x b a x ab --分解因式得_____________________.7．计算99992+=二、判断题：（正确的打上“√”,毛病的打上“×” ）1、()b a ab ab b a -=-24222………………………………………………………… （ ）2、()b a m m bm am +=++…………………………………………………………… （ ）3、()5231563223-+-=-+-x x x x x x …………………………………………… （ ）4、()111+=+--x x x x n n n ……………………………………………………………… （ ）3：公式法例3分解因式： （1）164+-a （2）()()2223y x y x --+解：(1)164+-a =)2)(2)(4()4)(4()(4222222a a a a a a -++=-+=-(2)()()2223y x y x --+=)32)(4()23)(23(y x y x y x y x y x y x ++=+-+-++课堂练习一、222b ab a +-,22b a -,33b a -的公因式是______________________________.二、判断题：（正确的打上“√”,毛病的打上“×” ）1、()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1.032 1.0321.03201.094222x x x x ………………………… （ ）2、()()()()b a b a b a b a 43 4343892222-+=-=-…………………………………（ ）3、()()b a b a b a 45 4516252-+=-………………………………………………… （ ）4、()()()y x y x y x y x -+-=--=-- 2222………………………………………… （ ）5、()()()c b a c b a c b a +-++=+- 22……………………………………………… （ ）五、把下列各式分解1、()()229n m n m ++--2、3132-x 3、()22244+--x x 4、1224+-x x4．分组分解法例4 （1）x y xy x 332-+- （2）222456x xy y x y +--+-．（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+-=22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+---=(22)(3)x y x y -++-．课堂练习：用分组分解法分解多项式（1）by ax b a y x 222222++-+-（2）91264422++-+-b a b ab a5．关于x 的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ,则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例5 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．解： （1）令221x x +-=0,则解得11x =-21x =-,∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤--+--⎣⎦⎣⎦ =(11x x ++．（2）令2244x xy y +-=0,则解得1(2x y =-+,1(2x y =--,∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y ++．练 习1．选择题：多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ）（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y -2．分解因式：（1）x2＋6x ＋8； （2）8a3－b3；（3）x2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-．习题1．21．分解因式：（1） 31a +； （2）424139x x -+；（3）22222b c ab ac bc ++++； （4）2235294x xy y x y +-++-．2．在实数范围内因式分解：（1）253x x -+ ； （2）23x --；（3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+．3．ABC ∆三边a ,b ,c 满足222a b c ab bc ca ++=++,试判定ABC ∆的形状．4．分解因式：x2＋x －(a2－a)．5. （检验考试题）已知abc=1,a+b+c=2,a²+b²+c²=,求1-c ab 1++1-a bc 1++1-b ca 1+的值. 3.一元二次不等式的解法 1、一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系2、一元二次不等式的解法步伐一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、,ac b 42-=∆,则不等式的解的各种情况如下表： 0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数 c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R 的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ∅ ∅（1）x2＋2x －3≤0； （2）x －x2＋6＜0；（3）4x2＋4x ＋1≥0； （4）x2－6x ＋9≤0；（5）－4＋x －x2＜0．例2 解关于x 的不等式0)1(2>---a a x x解：原不等式可以化为：0))(1(>--+a x a x若)1(-->a a 即21>a 则a x >或a x -<1 若)1(--=a a 即21=a 则0)21(2>-x R x x ∈≠,21 若)1(--<a a 即21<a 则a x <或a x ->1 例3已知不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解是2,3x x <>或求不等式20bx ax c ++>的解．解：由不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解为2,3x x <>或,可知0a <,且方程20ax bx c ++=的两根分别为2和3, ∴5,6b c a a -==, 即 5,6b c a a=-=． 由于0a <,所以不等式20bx ax c ++>可酿成 20b c x x a a++< , 即 －2560,x x ++< 整理,得所以,不等式20bx ax c +->的解是 x ＜－1,或x ＞65． 说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题． 练 习1．解下列不等式：（1）3x2－x －4＞0； （2）x2－x －12≤0；（3）x2＋3x －4＞0； （4）16－8x ＋x2≤0．2.解关于x 的不等式x2＋2x ＋1－a2≤0（a 为常数）．作业：1.若0<a<1,则不等式(x －a)(x －a 1)<0的解是( ) A.a<x<a 1 B.a1<x<a C.x>a 1或x<a D.x<a 1或x>a2.如果方程ax2＋bx ＋b ＝0中,a ＜0,它的两根x1,x2满足x1＜x2,那么不等式ax2＋bx ＋b ＜0的解是______.3．解下列不等式：（1）3x2－2x ＋1＜0； （2）3x2－4＜0；（3）2x －x2≥－1； （4）4－x2≤0．(5)4+3x －2x2≥0;(6)9x2－12x>－4;4．解关于x 的不等式x2－(1＋a)x ＋a ＜0（a 为常数）．5．关于x 的不等式02<++c bx ax 的解为122x x <->-或 求关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解．4.三角形的“四心”1.“四心”的概念及性质内心：性质：外心：性质：重心：性质：垂心：2.典范例题例 1 求证：三角形的三条中线交于一点,且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知D 、E 、F 分别为△ABC 三边BC 、CA 、AB 的中点,求证AD 、BE 、CF 交于一点,且都被该点分成2：1.证明 连结DE,设AD 、BE 交于点G,D 、E 分别为BC 、AE 的中点,则DE//AB,且12DE AB , GDE ∽GAB ,且相似比为1：2, 2,2AG GD BG GE .设AD 、CF 交于点'G ,同理可得,'2','2'.AG G D CG G F则G 与'G 重合,AD 、BE 、CF 交于一点,且都被该点分成2:1.例2 已知ABC 的三边长分别为,,BC a AC b AB c ,I 为ABC 的内心,且I 在ABC 的边BC AC AB 、、上的射影分别为D E F 、、,求证：2b c a AE AF . 证明 作ABC 的内切圆,则D E F 、、分别为内切圆在三边上的切点,,AE AF 为圆的从同一点作的两条切线,AE AF ,同理,BD=BF,CD=CE.22b c a AF BF AE CE BD CD AF AE AF AE即2b c a AE AF . 例 3 若三角形的内心与重心为同一点,求证：这个三角形为正三角形.已知O 为三角形ABC 的重心和内心.图3.2-3图3.2-4图3.2-6图3.2-5求证 三角形ABC 为等边三角形. 证明 如图,连AO 并延长交BC 于D.O 为三角形的内心,故AD 平分BAC , AB BD AC DC （角平分线性质定理）O 为三角形的重心,D 为BC 的中点,即BD=DC.1ABAC ,即AB AC .同理可得,AB=BC.ABC 为等边三角形.例4 求证：三角形的三条高交于一点. 已知ABC 中,,AD BC D BE AC E 于于，AD 与BE 交于H 点.求证CH AB .证明 以CH 为直径作圆,D E 、在以CH 为直径的圆上,FCB DEH .同理,E 、D 在以AB 为直径的圆上,可得BED BAD .BCH BAD ,又ABD 与CBF 有公共角B ,90o CFBADB 时间：二O 二一年七月二十九日图3.2-7 图3.2-8 图3.2-9。
初高中数学衔接教材(已整理精品)
初高中数学衔接教材之邯郸勺丸创作1.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明．例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +-=61x -．例2 已知4a b c ++=,4ab bc ac ++=,求222a b c ++的值．解：2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练 习1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）；（2）(4m +22)164(m m =++)； (3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++)．2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方法,则k 等于（ ）（A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不管a ,b 为何实数,22248a b a b +--+的值 （ ）（A ）总是正数 （B ）总是正数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是正数2．因式分化因式分化的主要办法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分化法,另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分化因式：（1）x2－3x ＋2； （2）x2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．1－1,将二次项x2分化成图中的两个x 的积,再将常数项2分化成－1与－2的乘积,而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x,就是x2－3x ＋2中的一次项,所以,有x2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分化与本例类似的二次三项式时,可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来暗示（如图1．1－2所示）． （2）由图1．1－3,得 x2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图1．1－4,得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y)－1 ＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）． 课堂练习一、填空题：1、把下列各式分化因式：（1）=-+652x x __________________________________________________.（2）=+-652x x __________________________________________________. －1 －2 x x 图1．1－1 －1 －2 1 1 图1．1－2－2 6 11 图1．1－3 －ay －by x x 图1．1－4 －11x y 图1．1－5（3）=++652x x __________________________________________________.（4）=--652x x __________________________________________________.（5）()=++-a x a x 12__________________________________________________.（6）=+-18112x x __________________________________________________.（7）=++2762x x __________________________________________________.（8）=+-91242m m __________________________________________________.（9）=-+2675x x __________________________________________________.（10）=-+22612y xy x __________________________________________________.2、()() 3 42++=+-x x x x3、若()()422-+=++x x b ax x 则 =a , =b .二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）1、在多项式（1）672++x x （2）342++x x （3）862++x x （4）1072++x x（5）44152++x x 中,有相同因式的是（ ）A 、只有（1）（2）B 、只有（3）（4）C 、只有（3）（5）D 、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）2、分化因式22338b ab a -+得（ ）A 、()()3 11-+a a B 、()()b a b a 3 11-+ C 、()()b a b a 3 11-- D 、()()b a b a 3 11+-3、()()2082-+++b a b a 分化因式得（ ）A 、()()2 10-+++b a b aB 、()()4 5-+++b a b aC 、()()10 2-+++b a b aD 、()()5 4-+++b a b a4、若多项式a x x +-32可分化为()()b x x --5,则a 、b 的值是（ ）A 、10=a ,2=bB 、10=a ,2-=bC 、10-=a ,2-=bD 、10-=a ,2=b5、若()()b x a x mx x ++=-+ 102其中a 、b 为整数,则m 的值为（ ）A 、3或9B 、3±C 、9±D 、3±或9±三、把下列各式分化因式1、()()3211262+---p q q p2、22365ab b a a +- 3、6422--y y 4、8224--b b2．提取公因式法例2 分化因式：（1）()()b a b a -+-552 （2）32933x x x +++解： （1）．()()b a b a -+-552=)1)(5(--a b a（2）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+ ＝2(3)(3)x x ++课堂练习：一、填空题：1、多项式xyz xy y x 42622+-中各项的公因式是_______________.2、()()()•-=-+-y x x y n y x m __________________.3、()()()•-=-+-222y x x y n y x m ____________________.4、()()()•--=-++--z y x x z y n z y x m _____________________.5、()()•--=++---z y x z y x z y x m ______________________.6、523623913x b a x ab --分化因式得_____________________.7．计算99992+=二、判断题：（正确的打上“√”,错误的打上“×” ）1、()b a ab ab b a -=-24222………………………………………………………… （ ）2、()b a m m bm am +=++…………………………………………………………… （ ）3、()5231563223-+-=-+-x x x x x x …………………………………………… （ ）4、()111+=+--x x x x n n n ……………………………………………………………… （ ）3：公式法例3分化因式： （1）164+-a （2）()()2223y x y x --+解：(1)164+-a =)2)(2)(4()4)(4()(4222222a a a a a a -++=-+=-(2)()()2223y x y x --+=)32)(4()23)(23(y x y x y x y x y x y x ++=+-+-++课堂练习一、222b ab a +-,22b a -,33b a -的公因式是______________________________.二、判断题：（正确的打上“√”,错误的打上“×” ）1、()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1.032 1.0321.03201.094222x x x x ………………………… （ ）2、()()()()b a b a b a b a 43 4343892222-+=-=-…………………………………（ ）3、()()b a b a b a 45 4516252-+=-………………………………………………… （ ）4、()()()y x y x y x y x -+-=--=-- 2222………………………………………… （ ）5、()()()c b a c b a c b a +-++=+- 22……………………………………………… （ ）五、把下列各式分化1、()()229n m n m ++--2、3132-x 3、()22244+--x x 4、1224+-x x4．分组分化法例4 （1）x y xy x 332-+- （2）222456x xy y x y +--+-．（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+-=22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+---=(22)(3)x y x y -++-．课堂练习：用分组分化法分化多项式（1）by ax b a y x 222222++-+-（2）91264422++-+-b a b ab a5．关于x 的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分化．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ,则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分化为12()()a x x x x --.例5 把下列关于x 的二次多项式分化因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．解： （1）令221x x +-=0,则解得11x =-21x =-,∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤--+--⎣⎦⎣⎦ =(11x x ++．（2）令2244x xy y +-=0,则解得1(2x y =-+,1(2x y =--,∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y ++．练 习1．选择题：多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ）（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y -2．分化因式：（1）x2＋6x ＋8； （2）8a3－b3；（3）x2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-．习题1．21．分化因式：（1） 31a +； （2）424139x x -+；（3）22222b c ab ac bc ++++； （4）2235294x xy y x y +-++-．2．在实数规模内因式分化：（1）253x x -+ ； （2）23x --；（3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+．3．ABC ∆三边a ,b ,c 满足222a b c ab bc ca ++=++,试判定ABC ∆的形状．4．分化因式：x2＋x －(a2－a)．5. （测验考试题）已知abc=1,a+b+c=2,a²+b²+c²=,求1-c ab 1++1-a bc 1++1-b ca 1+的值. 3.一元二次不等式的解法 1、一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系2、一元二次不等式的解法步调一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、,ac b 42-=∆,则不等式的解的各类情况如下表： 0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数 c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R 的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ∅ ∅（1）x2＋2x －3≤0； （2）x －x2＋6＜0；（3）4x2＋4x ＋1≥0； （4）x2－6x ＋9≤0；（5）－4＋x －x2＜0．例2 解关于x 的不等式0)1(2>---a a x x解：原不等式可以化为：0))(1(>--+a x a x若)1(-->a a 即21>a 则a x >或a x -<1 若)1(--=a a 即21=a 则0)21(2>-x R x x ∈≠,21 若)1(--<a a 即21<a 则a x <或a x ->1 例3已知不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解是2,3x x <>或求不等式20bx ax c ++>的解．解：由不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解为2,3x x <>或,可知0a <,且方程20ax bx c ++=的两根辨别为2和3, ∴5,6b c a a -==, 即 5,6b c a a=-=． 由于0a <,所以不等式20bx ax c ++>可变成 20b c x x a a++< , 即 －2560,x x ++< 整理,得所以,不等式20bx ax c +->的解是 x ＜－1,或x ＞65． 说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题． 练 习1．解下列不等式：（1）3x2－x －4＞0； （2）x2－x －12≤0；（3）x2＋3x －4＞0； （4）16－8x ＋x2≤0．2.解关于x 的不等式x2＋2x ＋1－a2≤0（a 为常数）．作业：1.若0<a<1,则不等式(x －a)(x －a 1)<0的解是( ) A.a<x<a 1 B.a1<x<a C.x>a 1或x<a D.x<a 1或x>a2.如果方程ax2＋bx ＋b ＝0中,a ＜0,它的两根x1,x2满足x1＜x2,那么不等式ax2＋bx ＋b ＜0的解是______.3．解下列不等式：（1）3x2－2x ＋1＜0； （2）3x2－4＜0；（3）2x －x2≥－1； （4）4－x2≤0．(5)4+3x －2x2≥0;(6)9x2－12x>－4;4．解关于x 的不等式x2－(1＋a)x ＋a ＜0（a 为常数）．5．关于x 的不等式02<++c bx ax 的解为122x x <->-或 求关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解．4.三角形的“四心”1.“四心”的概念及性质内心：性质：外心：性质：重心：性质：垂心：2.典型例题例 1 求证：三角形的三条中线交于一点,且被该交点分红的两段长度之比为2：1.已知D 、E 、F 辨别为△ABC 三边BC 、CA 、AB 的中点,求证AD 、BE 、CF 交于一点,且都被该点分红2：1.证明 连结DE,设AD 、BE 交于点G,D 、E 辨别为BC 、AE 的中点,则DE//AB,且12DE AB , GDE ∽GAB ,且相似比为1：2, 2,2AG GD BG GE .设AD 、CF 交于点'G ,同理可得,'2','2'.AG G D CG G F则G 与'G 重合,AD 、BE 、CF 交于一点,且都被该点分红2:1.例2 已知ABC 的三边长辨别为,,BC a AC b AB c ,I 为ABC 的内心,且I 在ABC 的边BC AC AB 、、上的射影辨别为D E F 、、,求证：2b c a AE AF . 证明 作ABC 的内切圆,则D E F 、、辨别为内切圆在三边上的切点,,AE AF 为圆的从同一点作的两条切线,AE AF ,同理,BD=BF,CD=CE.22b c a AF BF AE CE BD CD AF AE AF AE即2b c a AE AF . 例 3 若三角形的内心与重心为同一点,求证：这个三角形为正三角形.已知O 为三角形ABC 的重心和内心.图3.2-3图3.2-4图3.2-6图3.2-5求证 三角形ABC 为等边三角形. 证明 如图,连AO 并延长交BC 于D.O 为三角形的内心,故AD 平分BAC , AB BD AC DC （角平分线性质定理）O 为三角形的重心,D 为BC 的中点,即BD=DC.1ABAC ,即AB AC .同理可得,AB=BC.ABC 为等边三角形.例4 求证：三角形的三条高交于一点. 已知ABC 中,,AD BC D BE AC E 于于，AD 与BE 交于H 点.求证CH AB .证明 以CH 为直径作圆,D E 、在以CH 为直径的圆上,FCB DEH .同理,E 、D 在以AB 为直径的圆上,可得BED BAD .BCH BAD ,又ABD 与CBF 有公共角B ,90o CFBADB 时间：二O 二一年七月二十九日图3.2-7 图3.2-8 图3.2-9。
初高中数学衔接教材 (2)
初高中数学衔接教材1. 引言初高中数学衔接是指初中与高中数学之间的过渡过程。
由于高中数学相对于初中数学来说难度增加较大，因此需要有一本专门的教材来帮助学生从初中数学顺利过渡到高中数学。
本文将介绍初高中数学衔接教材的编写内容和教学方法。
2. 教材编写内容初高中数学衔接教材应该包含以下内容：2.1 数学基础知识回顾在初高中数学衔接教材中，应该回顾初中数学的基础知识，包括整数、分数、小数、代数运算、方程与不等式、函数与方程等内容。
这样有助于巩固学生的基础知识，为高中数学的学习打下坚实的基础。
2.2 高中数学预习在初高中数学衔接教材中，还应该包含一定的高中数学预习内容，如函数、解析几何、三角函数等。
这样可以让学生提前了解高中数学的一些基本概念和方法，为高中数学的学习做好准备。
2.3 难点知识讲解在初高中数学衔接教材中，应该重点讲解一些初中到高中数学过渡的难点知识，如平方根、二次方程、立体几何等。
通过详细的讲解和例题分析，帮助学生理解和掌握这些难点知识。
2.4 错题选讲与习题训练在初高中数学衔接教材中，可以选取一些常见的易错题进行讲解和分析，并给出解题技巧和注意事项。
另外，还应该提供一定数量的习题训练，帮助学生巩固所学知识并培养解题能力。
3. 教学方法初高中数学衔接教材的教学方法应该注重以下几点：3.1 温故知新在教学初高中数学衔接时，要注重温故初中数学知识，巩固学生的基础。
可以通过讲解和练习相结合的方式，帮助学生回顾和复习初中数学知识。
3.2 理论与实践结合初高中数学衔接教学过程中，要注重理论与实践的结合。
通过举例、解题演示等方式，让学生能够将理论知识应用到实际问题中，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
3.3 激发学生的学习兴趣在教学初高中数学衔接时，要注重激发学生的学习兴趣。
可以通过生动的讲解、互动性强的教学方式、趣味性的练习等方法，增加学生的学习动力和积极性。
3.4 系统性思维培养在初高中数学衔接教学中，要注重培养学生的系统性思维。