三角形全等角平分线线课件

北
比例尺1：20000
如何作 一个角 的平分 线?
下列两图中，能表示直线l1上一点P到直线l2的距 图1 离的是（ ）
l1 P
P
l1
A l2
B
l2
图1
图2
下列两图中，能表示角的平分线上的一点P到角 图1 的边上的距离的是（ ）
N
M
P A
P A
问题探究
已知：如图，OC是的∠AOB的平分线，点P在OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。 求证：PD=PE 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知） ∴∠PDO=∠PEO=90°（垂直的定义） 在△PDO和△PEO中 ∠ PDO= ∠ PEO ∠ AOC= ∠ BOC OP=OP ∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS）
∴
BD = CD ，( 在角的平分线上的点到这 )
个角的两边的距离相等。
A B C
（×）
D
不必再证全等
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
DB = DC ，（ 角的平分线上的点到角的两 ）
边的距离相等。
B
√
A
D
C
例 △ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
①要证什么 ②已有什么 ③还缺什么 ④创造条件
①如图，已知△ABC中，AE为角平分线，D 为AE上一点，且∠BDE=∠CDE,求证：AB=AC ②若把①中的“AE为角平分线”改为“AE为 高线”，其它条件不变，结论还成立吗？如 果结论成立，请予以说明。
1
A
D
问题引入
如图，河南区一个工厂，在公路西侧，到 公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河上 公路桥较近桥头的距离为300米。在图上标出工 厂的位置，并说明理由。
O
A
D
P
C
E
B
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
问题探究
角平分线性质
定理1 角的平分线上的点到角 的两边的距离相等。

强化巩固
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴
BD = CD ，( 在角的平分线上的点到这 )
个角的两边的距离相等。
（×）
A
B D C
∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
知识点 1、全等三角形的定义：
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 2、全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等。 3、三角形全等的条件： SSS SAS ASA AAS
4、应用：
利用全等三角形性质证明两条线段或两个角相等。
例题一:
已知:如图∠B=∠DEF,BC=EF,补充条件求证:ΔABC≌ ΔDEF A D
（点D到AB的距离是3）
C
D
A
E
B
例.如图，在△ABC中,∠C=90°,AC=BC， AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E。求证： △DBE的周长等于AB的长。
课堂练习
1 已知：如图， ∠ C= ∠ D=90° ， BC=BD 。 求证：（1）∠BAC= ∠BAD （2） AC=AD A
D B
例3已知：如图,P是BD上的任意一点
AB=CB,AD=CD.
A
求证: PA=PC
①要证明PA=PC可将其 放在ΔAPB和ΔCPB 或ΔAPD和ΔCPD考虑
D
=
P B
_
分 析：
C
②已有两条边对应相等 （其中一条是公共边） ③还缺一组夹角对 应相等 若能使∠ABP=∠CBP 或∠ADP=∠CDP 即可。
C
2 如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足 分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 60 度，
A在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB， ∠1=∠2，且AC=6cm，那么AE+DE= 6cm 。
如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分 线交BC于D，BC=15，且CD：DB=1：2，则点D到AB的 距离为_________。
=
_
创造条件
例3已知：P是BD上的任意一点AB=CB,AD=CD. 求证PA=PC
证明：在△ABD和△CBD中 AB=CB
A
AD=CD
BD=BD ∴ △ABD≌△CBD(SSS)
D
=
P B
_
∴∠ABD=∠CBD
=
C
_ 在△ABP和△CBP中
AB=BC
∠ABP=∠CBP BP=BP ∴ △ABP ≌ △CBP(SAS) ∴PA=PC
E C F (1)若要以“SAS”为依据，还缺条件AB=DE ＿＿＿＿＿； (2) 若要以“ASA”为依据，还缺条件＿＿＿＿； ∠ACB= ∠DFE (3) 若要以“AAS”为依据，还缺条件＿＿＿＿ ∠A= ∠D ＿ AB=DE (4)若要以“SSS” 为依据，还缺条件＿＿＿ AC=DF
B
证明题的分析思路：