二次函数图像和abc的关系专题训练
二次函数的图像与性质专题训练
二次函数的图象与性质专题【知识点1 二次函数的配方法】二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)配方成顶点式y =a (x +b 2a )2+4ac−b 24a 2， 对称轴为2b x a =−，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，．【题型1 二次函数的配方法】【例1】用配方法将下列函数化成y ＝a （x -h ）2+k 的形式，并指出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．（1）y ＝2x 2+4x -1 （2）y =12x 2﹣2x +3； （3）y ＝（1﹣x ）（1+2x ）；【知识点2 二次函数的五点绘图法】利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =−+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.【题型2 二次函数的五点绘图法】【例2】已知抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3（1）写出该抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、与x 、y 轴交点；（2）选取适当的数据填表格，并在直角坐标系内描点画出该抛物线的图象．【知识点3 二次函数的图象与各系数之间的关系】①二次项系数a ：a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． ②一次项系数b ：在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置，概括的说就是“左同右异”. ③常数项c ：总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．【题型3 二次函数的图象与各系数之间的关系】【例3-1】如图所示的四个二次函数图象分别对应 ①y =ax 2， ②y =bx 2， ③y =cx 2， ④y =dx 2，则a ，b ，c ，d 的大小关系为 .(用“>”连接)【例3-2】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图像如图，下列结论：①abc>0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b>am2+bm；④a-b+c>0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，x1+x2=2．其中正确的有（）A．②④B．②⑤C．①②③D．②③⑤【例3-3】函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【知识点4 二次函数图象的平移变换】平移步骤：①将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=−+，确定其顶点坐标()h k，；②平移规律概括成八个字“左加右减，上加下减”．【题型4 二次函数图象的平移变换】【例4】要得到函数y＝﹣（x﹣2）2+3的图象，可以将函数y＝﹣（x﹣3）2的图象（）A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位【知识点5 二次函数图象的对称变换】2y ax bx c=++关于x轴对称，得到2y ax bx c=−−−；关于y轴对称，得到2y ax bx c=−+；()2y a x h k=−+关于x轴对称，得到()2y a x h k=−−−；关于y轴对称，得到()2y a x h k=++；2y ax bx c=++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c=−+−；()2y a x h k=−+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=−+−；【题型5 二次函数图象的对称变换】【例5】在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2a﹣b）x+b+1与y＝﹣x2+（a+b）x+a﹣4关于x轴对称，则a+b的值为（）A．﹣5B．3C．5D．15【变式5-1】抛物线y＝﹣（x+2）2关于y轴对称的抛物线的表达式为．【变式5-2】在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x+3绕着原点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y＝﹣（x﹣1）2﹣2 B．y＝﹣（x+1）2﹣2C．y＝﹣（x﹣1）2+2D．y＝﹣（x+1）2+2【题型6 利用二次函数的性质判断结论】【例6】对于抛物线y＝﹣2（x+1）2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1：③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞﹣1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式6-1】关于抛物线y ＝x 2﹣（a +1）x +a ﹣2，下列说法错误的是（ ）A ．开口向上B ．当a ＝2时，经过坐标原点OC ．不论a 为何值，都过定点（1，﹣2）D ．a ＞0时，对称轴在y 轴的左侧【变式6-2】对于二次函数y ＝x 2﹣2mx ﹣3，有下列结论：③ 它的图象与x 轴有两个交点；②如果当x ≤﹣1时，y 随x 的增大而减小，则m ＝﹣1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m ＝1；④如果当x ＝2时的函数值与x ＝8时的函数值相等，则m ＝5．其中一定正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）【题型7 利用二次函数的性质比较函数值】【例7】已知二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3的自变量x 1，x 2，x 3对应的函数值分别为y 1，y 2，y 3．当﹣1＜x 1＜0， 1＜x 2＜2，x 3＞3时，y 1，y 2，y 3三者之间的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 3＜y 1C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 1＜y 3【变式7-1】抛物线y ＝x 2+x +2，点（2，a ），（﹣1，﹣b ），（3，c ），则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c ＞a ＞bB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．无法比较大小【变式7-2】已知点A （b ﹣m ，y 1），B （b ﹣n ，y 2），C （b +m+n 2，y 3）都在二次函数y ＝﹣x 2+2bx +c 的图象上， 若0＜m ＜n ，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 3＜y 1C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 1＜y 3＜y 2 【题型8 利用二次函数的性质求字母的范围】【例8】已知抛物线y ＝﹣（x ﹣2）2+9，当m ≤x ≤5时，0≤y ≤9，则m 的值可以是（ ）A ．﹣2B ．1C ．3D ．4【变式8-1】若抛物线y ＝（x ﹣m ）（x ﹣m ﹣3）经过四个象限，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜﹣3B ．﹣1＜m ＜2C ．﹣3＜m ＜0D ．﹣2＜m ＜1【题型9 利用二次函数的性质求最值】【例9】若实数m 、n 满足m+n ＝2，则代数式2m 2+mn +m ﹣n 的最小值是_______．【变式9-2】抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）过A （4，4），B （2，m ）两点，点B 到抛物线对称轴的距离记为d ，满足0＜d ≤1，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≤2或m ≥3B ．m ≤3或m ≥4C ．2＜m ＜3D ．3＜m ＜4*【题型10 二次函数给定范围内的最值问题】【例10】若二次函数y ＝﹣x 2+mx 在﹣1≤x ≤2时的最大值为3，那么m 的值是（ ）A ．﹣4或72B ．﹣2√3或72C ．﹣4 或2√3D ．﹣2√3或2 √3【变式10-1】已知二次函数y ＝mx 2+2mx +1（m ≠0）在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2，则m ＝（ ）A ．3B ．﹣3或38C ．3或−38D ．﹣3或−38 【变式10-2】若二次函数y ＝x 2﹣2x +5在m ≤x ≤m +1时的最小值为6，那么m 的值是 ．二次函数的图象与性质— 易错精选 —1. 二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下面五条信息：①c ＜0；②ab ＜0； ③a ﹣b +c ＞0；④2a ﹣3b ＝0；⑤c ﹣4b ＞0．你认为其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2. 如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c 图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出四个结论：①abc ＞0；②2a ﹣b ＝0；③4ac ﹣b 2＜0；④若点B （﹣，y 1）、C （﹣，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＞y 2；⑤am 2+bm ＜a ﹣b （m 为任意实数）；其中，正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43. 在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，现给出以下结论：①abc ＜0；②c +2a ＜0；③9a ﹣3b +c ＝0；④a ﹣b ≥m （am +b ）（m 为实数），其中正确的结论有 ．（只填序号）4. 已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图像如图，有下列6个结论：①abc＜0；②b＜a ﹣c ；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b ；⑤a+b＜m （am+b ），（m≠1的实数）⑥2a+b+c＞0，其中正确的结论的有_____．5. 如图是抛物线21(0)y ax bx c a =++≠图像的一部分，抛物线的顶点坐标为(1,3)A ，与x 轴的一个交点为(4,0)B ，点A 和点B 均在直线2(0)y mx n m =+≠上.①20a b +=；②>0abc ；③抛物线与x 轴的另一个交点时(4,0)−；④方程23ax bx c ++=−有两个不相等的实数根；⑤4a b c m n −+<+；⑥不等式2mx n ax bx c +>++的解集为14x <<.上述六个结论中，其中正确的结论是_____________.（填写序号即可）6. 在同一个平面直角坐标系xOy 中，二次函数211y a x =，222y a x =，233y a x 的图象如图所示，则123,,a a a 的大小关系为___________（用“>”连接）．。
九年级中考数学考点提升训练：二次函数图像与系数的关系(三)(Word版,带答案)
九年级中考数学考点提升训练——函数专题：二次函数图像与系数的关系（三）1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），抛物线与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①a+b+c＞0；②对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；③关于x的方程ax2+bx+c＝n有两个相等的实数根；④﹣1≤a≤﹣，其中结论正确个数为（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3：③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣，结合图象分析下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④＜0；⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2．其中正确的结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示，下列说法中：①abc＜0；②2a+b＝0；③当﹣1＜x＜3时，y ＞0；④a﹣b+c＜0；⑤2c﹣3b＞0．其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．55．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且经过点（﹣3，0）．下列结论：①abc＜0；②若（﹣4，y1）和（3，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2；③a+b+c＜0；④对于任意实数m，均有am2+bm+c≥﹣4a．其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，以下结论：①abc＜b2；②方程ax2+bx+c ＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x≤3；⑤当x＜0时，y随x的增大而增大．其中正确个数是（）A．4 B．3 C．2 D．17．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＝0；③当x＞1时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个实数根．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a+3b+c＞0；④c＜﹣3a；⑤a+b≥m（am+b），其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个9．如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，那么下列说法中不正确的是（）A．ac＜0B．抛物线的对称轴为直线x＝1C．a﹣b+c＝0D．点（﹣2，y1）和（2，y2）在抛物线上，则y1＞y210．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②a+b+c＜0；③5a+4c＜0；④4ac﹣b2＞0；⑤若P（﹣5，y），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．其1中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．411．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），且对称轴为直线x＝1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①b＝2a；②4a+2b+c＞0；③若n＞m＞0，则x＝1+m时的函数值小于x＝1﹣n时的函数值；④点（，0）一定在此抛物线上．其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，则以下四个结论中：①abc＞0，②2a+b＝0，③4a+b2＜4ac，④3a+c＜0．正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．413．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（）A．abc＜0B．4ac﹣b2＞0C．c﹣a＞0D．当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c14．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是x＝1．下列结论中：①abc＞0；②2a+b＝0；③方程ax2+bx+c ＝2有两个不相等的实数根；④4a﹣2b+c＝0；⑤若点A（m，n）在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个15．已知二次函数y＝2x2﹣bx+1，当x＜1时，y随x的增大而减小，则实数b的取值范围为（）A．b≤4 B．b≥2 C．b≤2 D．b≥416．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为x＝1，有下列结论①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＜0；④a+b≥m（am+b），其中正确的结论有（）A．①②B．②③C．①④D．②④17．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x＝，且经过点（2，0）．下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤b＞m（am+b）（其中m≠）．其中说法正确的是（）A．①②④⑤B．①②④C．①④⑤D．③④⑤18．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③3b﹣2c＜0；④am2+bm≥a+b（m为实数）．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个19．如图，抛物线y1＝a（x+2）2﹣3与y2＝（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A 作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②2a＝1；③当x＝0时，y2﹣y1＝4；④2AB＝3AC；其中正确结论是（）A．①②B．②③C．③④D．①④20．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点，有下列结论：其中正确的结论是（）①abc＞0；②a﹣2b+4c＞0；③2a+b＝0；④3b+2c＞0．A．①③B．①④C．①②D．②④参考答案1．解：由图象可知，当x＝1时，y＞0，∴a+b+c＞0，所以①正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴x＝1时，二次函数值有最大值n，∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以②正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n有一个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c＝n有两个相等的实数根，所以③正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∵b＝﹣2a，∴a+2a+c＝0，∴c＝﹣3a，∵2≤c≤3，∴2≤﹣3a≤3，∴﹣1≤a≤﹣，所以④正确；故选：D．2．解：①由图象可知：抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故①正确；②（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点为（3，0），∴ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，故②正确；③对称轴为x＝1，故﹣＝1，∴b＝﹣2a，∵x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0，即3a+c＝0，故③错误；④当y＞0时，由图象可知：﹣1＜x＜3，故④错误；⑤当x＜1时，y随着x的增大而增大，故⑤正确；故选：B．3．解：由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣可得，9a﹣3b+c＝0，﹣＝﹣，即a＝b，与x轴的另一个交点为（2，0），4a+2b+c ＝0，抛物线开口向下，a＜0，b＜0，抛物线与y轴交于正半轴，因此c＞0，所以，abc＞0，因此①正确；由9a﹣3b+c＝0，而a＝b，所以6a+c＝0，又a＜0，因此3a+c＞0，所以②正确；抛物线的对称轴为x＝﹣，a＜0，因此当x＜﹣时，y随x的增大而增大，所以③不正确；由于抛物线的顶点在第二象限，所以＞0，因此＜0，故④正确；抛物线与x轴的交点为（﹣3，0）（2，0），因此当y＝﹣3时，相应的x的值应在（﹣3，0）的左侧和（2，0）的右侧，因此m＜﹣3，n＞2，所以⑤正确；综上所述，正确的结论有：①②④⑤，故选：B．4．解：∵抛物线开口向下，则a＜0．对称轴在y轴右侧，a、b异号，则b＞0．抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，∴abc＜0，故①正确；∵抛物线的对称轴是直线x＝1，则﹣＝1，b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故②正确；由图象可知，抛物线与x轴的左交点位于0 和﹣1 之间，在两个交点之间时，y＞0，在x＝﹣1 时，y＜0，故③错误；当x＝﹣1 时，有y＝a﹣b+c＜0，故④正确；由2a+b＝0，得a＝﹣，代入a﹣b+c＜0得﹣+c＜0，两边乘以2 得2c﹣3b ＜0，故⑤错误．综上，正确的选项有：①②④．所以正确结论的个数是3个．故选：B．5．解：∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0，∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，∴c＜0，∵对称轴是直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，∴abc＜0，故①正确；∵（﹣4，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标是（2，y1），又∵当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，2＜3，∴y1＜y2，故②错误；∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0），∴抛物线与x轴另一交点为（1，0）．∴当x＝1时，y＝a+b+c＝0，故③错误；∵当x＝1时，y＝a+b+c＝0，b＝2a，∴c＝﹣3a，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴当x＝﹣1时，y有最小值，∴am2+bm+c≥a﹣b+c（m为任意实数），∴am2+bm+c≥﹣4a，故④正确，故结论正确有2个．故选：B．6．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴的右侧，∴﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线交y轴的正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，∴abc＜b2，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，故②正确；∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，故③错误；由②得，方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），又抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，∴当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，故④错误；当x＜时，y随x的增大而增大，故⑤正确；因此正确的结论有3个．故选：B．7．解：抛物线开口向上，则a＞0，对称轴x＝﹣＝1，则b＝﹣2a＜0．与y轴交于负半轴，则c＜0，故abc＞0，所以①错误；抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以②正确；x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确；抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以④错误；综上所述，正确的结论有：②③，故选：B．8．解：①∵对称轴在y轴的右侧，∴ab＜0，由图象可知：c＞0，∴abc＜0，故①不正确；②∵x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故②不正确；③由对称知，当x＝3时，函数值小于0，即y＝9a+3b+c＜0，故③不正确；④∵b＝﹣2a，a﹣b+c＜0，∴a+2a+c＜0，∴3a＜﹣c，即c＜﹣3a，故④正确；⑤当x＝1时，y＝a+b+c值最大．∴a+b+c≥am2+bm+c，故a+b≥am2+bm，即a+b≥m（am+b），故⑤正确．故④⑤正确．故选：A．9．解：A、∵抛物线开口向上，交y轴的负半轴，∴a＞0，c＜0，∴ac＜0，故A正确；B、∵抛物线经过点（﹣1，0）和点（2，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝＝，故B不正确；C、当x＝1时，y＝a﹣b+c＝0，故C正确；D、点（﹣2，y）和（2，y2）在抛物线上，1∵y1＞0，y2＝0，∴y1＞y2，故D正确；故选：B．10．解：①观察图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，∴①正确；②当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，∴②错误；③对称轴x＝﹣1，即﹣＝﹣1得b＝2a，当x＝时，y＜0，即a+b+c＜0，即a+2b+4c＜0，∴5a+4c＜0．∴③正确；④因为抛物线与x轴有两个交点，所以△＞0，即b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0．∴④错误；⑤∵（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标是（3，y1），∴当y1＞y2时，﹣5＜m＜3．∴⑤正确．故选：C．11．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，故①错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，而点（﹣2，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（4，0），∵抛物线开口向下，∴当x＝2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，故②正确；∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，∴横坐标是1﹣n的点的对称点的横坐标为1+n，∵若n＞m＞0，∴1+n＞1+m，∴x＝1+m时的函数值大于x＝1﹣n时的函数值，故③错误；∵b＝﹣2a，∴抛物线为y＝ax2﹣2ax+c，∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），∴4a+4a+c＝0，即8a+c＝0，∴c＝﹣8a，∴﹣＝4，∵点（﹣2，0）的对称点是（4，0），∴点（﹣，0）一定在此抛物线上，故④正确，故选：C．12．解：①根据抛物线开口向下可知：a＜0，因为对称轴在y轴右侧，所以b＞0，因为抛物线与y轴正半轴相交，所以c＞0，所以abc＜0，所以①错误；②因为抛物线对称轴是直线x＝1，即﹣＝1，所以b＝﹣2a，所以b+2a＝0，所以②正确；③因为b＝﹣2a，由4a+b2＜4ac，得4a+4a2＜4ac，∵a＜0，∴c＜1+a，根据抛物线与y轴的交点，c＞1，所以③错误；④当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，因为b＝﹣2a，所以3a+c＜0，所以④正确．所以正确的是②④2个．故选：B．13．解：由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，又对称轴方程为x＝﹣1，所以﹣＜0，所以b＞0，∴abc＞0，故A错误；∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故B错误；∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴a﹣2a+c＜0，∴c﹣a＜0，故C错误；当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）2+b（﹣n2﹣2）+c＝an2（n2+2）+c，∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，∴y＝an2（n2+2）+c≥c，故D正确，故选：D．14．解：由图象可得，a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①错误，﹣＝1，则b＝﹣2a，故2a+b＝0，故②正确；抛物线与直线y＝2有两个交点，故方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根，故③正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是x＝1，∴该抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，故④正确；∵当x＝1时，该函数取得最大值，此时y＝a+b+c，∴点A（m，n）在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c，故⑤正确；故选：D．15．解：∵y＝2x2﹣bx+1，∴对称轴为x＝，∵当x＜1时，y随x的增大而减小，∴≥1，∴b≥4，故选：D．16．解：①根据图象可知：a＜0，c＞0，对称轴在y轴左侧，∴b＞0，∴abc＜0．∴①正确；②根据图象可知：当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，即b＞a+c．∴②错误；③观察图象可知：当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0．∴③错误．④∵当x＝1时，顶点的纵坐标最大，∴a+b+c≥am2+bm+c，∴a+b≥m（am+b），∴④正确．所以①④，2个．故选：C．17．解：①∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为x＝﹣＝，∴b＝﹣a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；②∵对称轴为x＝，且经过点（2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴＝﹣1×2＝﹣2，∴c＝﹣2a，∴﹣2b+c＝2a﹣2a＝0所以②正确；③∵抛物线经过（2，0），∴当x＝2时，y＝0，∴4a+2b+c＝0，所以③错误；④∵点（﹣，y1）离对称轴要比点（，y2）离对称轴远，∴y1＜y2，所以④正确；⑤∵抛物线的对称轴x＝，∴当x＝时，y有最大值，∴a+b+c＞am2+bm+c（其中m≠）．∵a＝﹣b，∴b＞m（am+b）（其中m≠），所以⑤正确．所以其中说法正确的是①②④⑤．故选：A．18．解：①∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴ab＜0，∵c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵对称轴x＝﹣＝1，∴2a+b＝0；故②正确；③∵2a+b＝0，∴a＝﹣b，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，∴﹣b﹣b+c＞0，∴3b﹣2c＜0，故③正确；④根据图象知，当x＝1时，y有最小值；当m为实数时，有am2+bm+c≥a+b+c，所以am2+bm≥a+b（m为实数）．故④正确．本题正确的结论有：①②③④，4个；故选：D．19．解：∵y2＝（x﹣3）2+1，∴y2的最小值为1，所以①正确；把A（1，3）代入y1＝a（x+2）2﹣3得a（1+2）2﹣3＝3，∴3a＝2，所以②错误；当x＝0时，y1＝（x+2）2﹣3＝﹣，y2＝（x﹣3）2+1＝，∴y2﹣y1＝+＝，所以③错误；抛物线y1＝a（x+2）2﹣3的对称轴为直线x＝﹣2，抛物线y2＝（x﹣3）2+1的对称轴为直线x＝3，∴AB＝2×3＝6，AC＝2×2＝4，∴2AB＝3AC，所以④正确．故选：D．20．解：由抛物线的对称性，可知抛物线与x轴的另一个交点为（﹣，0），①由图象可得，开口向下，则a＜0，对称轴x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0，抛物线与y轴的交点c＞0，∴abc＞0；②∵抛物线与x轴的交点为，（﹣，0），∴＝﹣，∴c＝﹣a，∴a﹣2b+4c＝a﹣4a﹣5a＝﹣8a＞0；③2a+b＝2a+2a＝4a＜0；④3b+2c＝6a﹣a＝a＜0；∴①②正确；故选：C．。
初三二次函数知识点和练习
二次函数的图象与解析式一、二次函数的图象1．二次函数图象与系数的关系 （1）a 决定抛物线的开口方向及开口大小 正负性决定开口方向，绝对值大小决定开口大小．a 越大，抛物线开口越小；温馨提示：几条抛物线的解析式中，若a 相等，则其形状相同，图象经过平移、中心对称（旋转180︒）a 不变．（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置（口诀：左同右异）（3）c 的大小决定抛物线与y 轴交点的位置（抛物线与y 轴的交点坐标为()0c ，） 2．二次函数的图形信息（1）根据抛物线的开口方向判断a 的正负性． （2）根据抛物线的对称轴判断2ba-的大小． （3）根据抛物线与y 轴的交点，判断c 的大小．（4）根据抛物线与x 轴有无交点，判断24b ac -的正负性．（5）根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于a b c ，，的等式． （6）根据抛物线的顶点，判断244ac b a-的大小2.二次函数图象的画法若是无图，建议画出图象然后根据图象来分析进行解答，数形结合是解答压轴题的终极方法，因为二次函数的图象能极大的方便做题，简易绘图法：根据以下五条就可以画图二次函数的简易图象 ①a 的正负性，看图形的开口方向是往上还是往下 ②c 的正负性，看图象与y 轴的交点是在正半轴还是负半轴 ③△的正负性，看图象与x 轴有无交点 ④对称轴的位置，看a 和b 的符号是否一致 压轴题绘图法：因为压轴题的作图需要精准，以帮助解答，所以需要画出带刻度的坐标系 ①利用对称轴公式，计算出对称轴，然后画出图形的对称轴②将对称轴代入解析式，算出顶点的纵坐标（若不为整数，则舍弃这一步） ③找出与y 轴交点，并利用对称轴画出对称点，④令0y =，算出与x 轴两个交点（若不为整数，则舍弃这一步） ⑤利用对称轴画出一条尽量对称且平滑的曲线三、二次函数的图象及性质1． 二次函数2y ax bx c =++0a ≠（）或2()y a x h k =-+（0a ≠）的性质（1）开口方向：00a a >⇔⎧⎨<⇔⎩向上向下（2）对称轴：2bx a=-（或x h =） （3）顶点坐标：24(,)24b ac b a a--（或(,)h k ）（4）最值：0a >时有最小值244ac b a -（或k ）（如图1）； 0a <时有最大值244ac b a-（或k ）（如图2）；⑸单调性：二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的变化情况（增减性） ①如图1所示，当0a >时，对称轴左侧2bx a<-，y 随着x 的增大而减小，在对称轴的右侧2bx a>-， y 随x 的增大而增大；②如图2所示，当0a >时，对称轴左侧2bx a<-， y 随着x 的增大而增大，在对称轴的右侧2b x a>-， y 随x 的增大而减小；⑹与坐标轴的交点：①与y 轴的交点：（0，C ）；②与x 轴的交点：使方程20ax bx c ++=（或2()0a x h k -+=）成立的x 值．考点一：根据二次函数的定义确定参数的值☞考点说明：根据二次函数的定义反求参数，一般情况下会结合在综合题中处，也有可能以填空题的形式出现，考察点在二次项系数不为零【例1】 函数()()2223ay a x a x a -=++-+．当______a =，它为二次函数；当____a =，它为一次函数．【例2】 若抛物线2(1)mmy m x -=-开口向下，则______m =考点二：二次函数的对称轴☞考点说明：在求二次函数的对称轴时，根据解析式的不同，求法也不尽相同，并不仅仅只有2bx a=-的这一种求法，需灵活掌握，一般情况下，以选择、填空出现的可能性较大。
二次函数的图像与字母a、b、c的关系
课次教学方案教学过程：一、知识要点二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号确实定：〔1〕a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，那么a ＞0；否那么a ＜0． 〔2〕b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．〔3〕c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，那么c ＞0；否那么c ＜0．〔4〕b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0；1个交点，b 2-4ac=0； 没有交点，b 2-4ac ＜0．〔5〕当x=1时，可确定a+b+c 的符号，当x=-1时，可确定a-b+c 的符号． 〔6〕由对称轴公式x=，可确定2a+b 的符号．二、根底练习1、抛物线y=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕在平面直角坐标系中的位置如下图，那么以下结论中，正确的选项是〔 D 〕 A 、a ＞0 B 、b ＜0 C 、c ＜0 D 、a+b+c ＞02、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=-1，给出以下结果①b 2＞4ac ； ②abc ＞0；③2a+b=0； ④a+b+c ＞0；⑤a-b+c ＜0，那么正确的结论是〔 D 〕 A 、①②③④ B 、②④⑤ C 、②③④ D 、①④⑤任课教师学科 版本 年段 辅导类型 上课时间学生签名数学北师大初三课题二次函数y=a 2x +bx+c 系数符号确实定方法课次教学目标掌握二次函数中字母 a 、b 、c 三者与图象之间的关系。
教学策略 教学重点、难点：利用图形的性质与特殊性来确定字母a 、b 、c 三者之间的关系。
3、如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为〔21，1〕，以下结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac-b 2=4a ；④a+b+c ＜0．其中正确结论的个数是〔 C 〕1\2\3 A 、1 B 、2 C 、3 D 、44、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，对称轴为直线x=1，那么以下结论正确的选项是〔B 〕 A 、ac ＞0 B 、方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=-1，x 2=3 C 、2a-b=0 D 、当x ＞0时，y 随x 的增大而减小5、二次函数y=ax 2+bx+c 〔a ，b ，c 为常数，a ≠0〕的图象如下图，有以下结论： ①abc ＞0，②2b -4ac ＜0，③a-b+c ＞0，④4a-2b+c ＜0，其中正确结论的个数是〔A4 〕 A 、1 B 、2 C 、3 D 、46、〔如下图的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息： 〔1〕b 2-4ac ＞0；〔2〕c ＞1；〔3〕2a-b ＜0；〔4〕a+b+c ＜0．你认为其中错误的有〔D2〕 A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、1个7、抛物线y=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕的图象如下图，那么以下说法正确的选项是〔C 〕 A 、b 2-4ac ＜0 B 、abc ＜0 C 、 -a2b＜-1 D 、a-b+c ＜08、二次函数y=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕的图象如下图，现有以下结论：①b 2-4ac ＞0 ②a ＞0 ③b ＞0 ④c ＞0 ⑤9a+3b+c ＜0，那么其中结论正确的个数是〔B 〕1/2/5 A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个9、二次函数y=ax 2的图象开口向上，那么直线y=ax-1经过的象限是〔D 〕 A 、第一、二、三象限 B 、第二、三、四象限 C 、第一、二、四象限 D 、第一、三、四象限10、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，那么以下结论正确的选项是〔D 〕A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＞0B 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＜0C 、a ＜0，b ＞0，c ＜0，b 2-4ac ＞0D 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，b 2-4ac ＞011、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，那么以下判断不正确的选项是〔B 〕 A 、ac ＜0 B 、a-b+c ＞0C 、b=-4aD 、关于x 的方程a 2x +bx+c=0的根是x 1=-1，x 2=512、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，那么a ，b ，c 满足〔A 〕A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，2b -4ac ＞0 B 、a ＜0，b ＜0，c ＜0，2b -4ac ＞0 C 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，2b -4ac ＜0 D 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，2b -4ac ＞013、二次函数y=2ax +bx+c 〔a ≠0〕的图象如下图，有以下4个结论，其中正确的结论是〔B 〕 A 、abc ＞0 B 、b ＞a+c C 、2a-b=0 D 、2b -4ac ＜014、二次函数y=2ax +bx+c 〔a ≠0〕的图象如下图，那么以下结论： ①ac ＞0；②a-b+c ＜0；③当x ＜0时，y ＜0；④方程2ax +bx+c=0〔a ≠0〕有两个大于-1的实数根．其中错误的结论有〔C 〕 A 、②③ B 、②④ C 、①③ D 、①④15、如下图为二次函数y=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕的图象，在以下选项中错误的选项是〔C 〕 A 、ac ＜0 B 、x ＞1时，y 随x 的增大而增大 C 、a+b+c ＞0 D 、方程ax 2+bx+c=0的根是1x =-1，2x =316、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，以下结论错误的选项是〔B 〕 A 、ab ＜0 B 、ac ＜0C 、当x ＜2时，函数值随x 增大而增大；当x ＞2时，函数值随x 增大而减小D 、二次函数y=2ax +bx+c 的图象与x 轴交点的横坐标就是方程2ax +bx+c=0的根17、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，那么以下结论正确的选项是〔D 〕 A 、a ＞0 B 、c ＜0 C 、b 2-4ac ＜0 D 、a+b+c ＞018、二次函数y=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕的图象如下图，以下结论①a ，b 异号；②当x=1和x=3时，函数值相等； ③4a+b=0；④当y=4时，x 的取值只能为0，结论正确的个数有〔 C 〕个．1/2/3 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4三、能力练习c bx ax y ++=2的图象如图 l －2－2所示，那么a 、b 、c 满足〔 〕 A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0D ．a ＞0，b ＜0，c ＞02.二次函数c bx ax y ++=2(a≠0〕且a ＜0，a －b+c ＞0，那么一定有〔 〕A ．b 2－4ac ＞0B ．b 2－4ac ＝0C ．b 2－4ac ＜0D ．b 2－4ac≤03.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1－2－10，那么点〔b ，c a〕在〔 〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．假设二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，那么ac_____0〔“＜〞“＞〞或“=〞〕第4题图5．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图 1－2－14所示，那么以下关于a 、b 、c 间的关系判断正确的选项是〔 〕 A ．ab ＜0 B 、bc ＜0 C ．a+b ＋c ＞0 D ．a －b 十c ＜0四、知识小结：例题．抛物线c bx ax y ++=2过三点〔－1，－1〕、〔0，－2〕、〔1，l 〕．〔1〕求抛物线所对应的二次函数的表达式； 〔2〕写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；〔3〕这个函数有最大值还是最小值？ 这个值是多少？五、中考真题回忆：〔09佛山〕19．〔1〕请在坐标系中画出二次函数22y x x =-+的大致图象；〔2〕在同一个坐标系中画出22y x x =-+的图象向上平移两个单位后的图象； 〔3〕直接写出平移后的图象的解析式. 注：图中小正方形网格的边长为1.〔1〕画图〔略〕注：根本反映图形的特征〔如顶点、对称性、变化趋势、平滑〕给2分， 满足其中的两至三项给1分，满足一项以下给0分； 〔2〕画图、写解析式〔略〕注：画图总分值2分，同〔1〕的标准；写解析式2分〔无过程不扣分〕．〔11·佛山〕21.如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过A 〔－1，－1〕、B 〔0，2〕、C 〔1，3〕； 〔1〕求二次函数的解析式； 〔2〕画出二次函数的图像；【答案】解：〔1〕根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝－1c ＝2a ＋b ＋c ＝3………………2分解得a ＝－1，b ＝2，c ＝2………………4分所以二次函数的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋2………………5分〔2〕二次函数的图象如图………………8分 给分要点：顶点、对称、光滑〔各1分〕〔12佛山〕xyO第19题图xyoABC1xyoABC122.(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数c bx ax y ++=2的解析式； ①y 随x 变化的局部数值规律如下表：②有序数对()0,1-、()4,1、()0,3满足c bx ax y ++=2； ③函数c bx ax y ++=2的图象的一局部〔如图〕． (2)直接写出二次函数c bx ax y ++=2的三个性质．解析：〔1〕方法一：由 可得：C=3，0=+-c b a ，4=++c b a ，所以1-=a ，2=b ，C=3，所以二次函数解析式为：322++-=x x y方法二：由②可得：0=+-c b a ，4=++c b a ，039=++c b a ，解之得：1-=a ，2=b ，C=3，所以二次函数解析式为：322++-=x x y 方法三：由③可得：C=3，0=+-c b a ，12=-ab，解之得：1-=a ，2=b ，C=3， 所以二次函数解析式为：322++-=x x y 〔三种选其一即可〕〔2〕1、对称轴为1=x ， 2、开口向下 3、与x 轴有2个交点 4、交 y 轴正半轴考察知识：待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质及图像〔2021•佛山〕24．如图①，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A 〔0，3〕，B 〔3，0〕，C 〔4，3〕．x -1 0 1 2 3 y343〔1〕求抛物线的函数表达式；〔2〕求抛物线的顶点坐标和对称轴；〔3〕把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S〔图②中阴影局部〕．分析：〔1〕把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解即可；〔2〕把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；〔3〕根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影局部的面积等于平行四边形的面积，列式进展计算即可得解．解：〔1〕∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A〔0，3〕，B〔3，0〕，C〔4，3〕，∴，解得，所以抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3；〔2〕∵y=x2﹣4x+3=〔x﹣2〕2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为〔2，﹣1〕，对称轴为直线x=2；〔3〕如图，∵抛物线的顶点坐标为〔2，﹣1〕，∴PP′=1，阴影局部的面积等于平行四边形A′APP′的面积，平行四边形A′APP′的面积=1×2=2，∴阴影局部的面积=2．点评：此题考察了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，〔3〕根据平移的性质，把阴影局部的面积转化为平行四边形的面积是解题的关键．【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评和关注，我们将会做得更好】。
初中数学精品试题：二次函数与系数a,b,c的关系
专题02 二次函数与系数a 、b 、c 的关系【知识梳理】知识梳理一、二次函数2y ax bx c =++中a 、b 、c 的基本认知b 2-4ac =0知识梳理二、关于a 、b 、c 代数式的取值问题．a 、b 、m知识梳理三、图像共存问题．（一般分为以下三类）（1）通过给出的系数系数信息，判断图像共存（2）通过给出的图像判断系数，再判断图像共存（3）不给出任何系数信息，通过题意判断【例题精讲】例1．函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax+a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．例2．已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（）A．B．C．D．例3．函数y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象与一次函数y＝mx+n的图象可能是（）A．B．C．D．例4．反比例函数y＝与y＝﹣kx+1（k≠0）在同一坐标系的图象可能为（）A．B．C．D．例5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y ＝cx﹣与反比例函数y＝在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．例6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（，0）和（m，y），对称轴为直线x＝﹣1，下列5个结论：其中正确的结论为．（注：只填写正确结论的序号）①abc＞0；②a+2b+4c＝0；③2a﹣b＞0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b），例7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，经过点（0，1）有以下结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞0；③abc＞0；④4a﹣2b+c＞0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是．例8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（不包括这两个点），下列结论：①当﹣1＜x＜3时，y＞0；②﹣1＜a＜﹣．③当m≠1时，a+b＞m（am+b）；④b2﹣4ac＝15a2．其中正确的结论的序号．例9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣4，x2＝1；④当y＞0时，﹣4＜x＜2，其中正确的结论有．例10．已知二次函数y＝（m﹣2）x2+2mx+m﹣3的图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0）．则下列说法正确的有：．（填序号）①该二次函数的图象一定过定点（﹣1，﹣5）；②若该函数图象开口向下，则m的取值范围为：＜m＜2；③当m＞2，且1≤x≤2时，y的最大值为4m﹣5；④当m＞2，且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1、x2满足﹣3＜x1＜2，﹣1＜x2＜0时，m的取值范围为：＜m＜11．【专项训练】1．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（）A．B．C．D．2．抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝ax+c（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．3．一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．4．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx+2b与y＝﹣ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．6．如图，一次函数y1＝﹣x与二次函数y2＝ax2+bx+c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象可能为（）A．B．C．D．7．函数y＝ax2+bx与y＝ax+b在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2﹣bx与y＝bx+a的图象可能是（）A．B．C．D．9．如图，关于x的二次函数y＝x2﹣x+m的图象交x轴的正半轴于A，B两点，交y轴的正半轴于C点，如果x＝a时，y＜0，那么关于x的一次函数y＝（a﹣1）x+m的图象可能是（）A．B．C．D．10．在同一平面直角坐标系中，函数y＝6ax+b与y＝ax2﹣bx的图象可能是（）A．B．C．D．11．已知函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，．则函数y＝cx2﹣bx+a的图象可能是下图中的（）A．B．C．D．12．若b＞0时，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象如下列四图之一所示，根据图象分析，则a 的值等于（）A．﹣1B．1C．D．13．已知函数y1＝mx2+n，y2＝nx+m（mn≠0），则两个函数在同一坐标系中的图象可能为（）A．B．C．D．14．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（）A．B．C．D．15．函数y＝k（x﹣k）与y＝kx2，y＝（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（）A．B．C．D．16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y ＝cx+与反比例函数y＝在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．17．反比例函数的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣4x+k2的图象大致是（）A．B．C．D．18．若ab＞0，则一次函数y＝ax﹣b与反比例函数y＝在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．19．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则﹣次函数y＝﹣bx﹣4ac+b2与反比例函数y＝在同一坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．20．下列图中，反比例函数y＝（a≠0）与二次函数y＝ax2+ax（a≠0）的大致图象在同一坐标系中是（）A．B．C．D．21．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b＝0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0，其中错误结论的序号是．第21题图第22题图22．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a＞1；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，另一个根为﹣．其中正确结论的序号是．23．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0）．顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①ab＞0且c＜0；②4a﹣2b+c＞0；③8a+c＞0；④c＝3a﹣3b；⑤直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2+x1x2＝﹣5．其中结论正确是．24．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＜0；②5a﹣b+c＜0；③方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝﹣5，x2＝1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有．25．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①ab c＞0；②2a+b＜0；③a﹣b+c＜0；④a+c＞0；其中正确的说法有（写出正确说法的序号）．26．如图为二次函数y＝ax2+bx+c图象，直线y＝t（t＞0）与抛物线交于A，B两点，A，B两点横坐标分别为m，n．根据函数图象信息有下列结论：①abc＞0；②若对于t＞0的任意值都有m＜﹣1，则a≥1；③m+n＝1；④m＜﹣1；⑤当t为定值时，若a变大，则线段AB变长．其中，正确的结论有．（写出所有正确结论的番号）27．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a+c＝0；③ac+b+1＝0；④2+c 是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，其中正确的有个．28．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③，3a+c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；⑤4a+2b≥am2﹣bm（m为任意实数）．其中正确的结论有．（填序号）29．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②a+b+c＜0；③4a+b＝0；④若点（1，y1）和（3，y2）在该图象上，则y1＝y2，其中正确的结论是（填序号）．30．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣，0），对称轴为直线x＝1，下列5个结论：①abc＜0；②a﹣2b+4c＝0；③2a+b＞0；④2c﹣3b＜0；⑤a+b≤m（am+b）．其中正确的结论为．（注：只填写正确结论的序号）。
二次函数--图像专题及答案解析
二次函数经典题一、选择题61．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1,则正确的结论是（ ）A ．abc>0B ．3a +c ＜0C ．4a+2b+c ＜0D ．b 2 -4ac ＜062．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc ＜0；②2a ﹣b=0；③4a+2b+c ＜0；④若（﹣5，y 1），（，y 2）是抛物线上两点，则y 1＞y 2．其中说法正确的是（ ）~A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④63．如图，半圆D 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O 1与AB 切于点M ，设⊙O 1的半径为y ，AM=x ，则y 关于x 的函数关系式是 （ ）A ．21y x x 4B ．2y x xC ．21y x x 4D ．21y x x 4 64．如右图，已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象过A （－3，0），对称轴为直线x=－1，下列结论：①b 2>4ac ；②2a ＋b=0；③a －b ＋c=0；④5a<b ；⑤a －b>m(am ＋b)(m ≠－1)其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个?65．如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点（0，﹣2），与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，且﹣1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，下列结论正确的是（ ）A ．a ＜0B ．a ﹣b+c ＜0C ．2b a>1 D ．4ac ﹣b 2＜﹣8a 66．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴的交点在(0,2)的下方，与x 轴的交点为（x 1，0）和（2，0），且-2＜x 1＜-1，则下列结论正确的是（ ）A 、0abc >B 、0a b c -+<C 、210a b ++>D 、0a b +>67．给出下列命题及函数y x =，2y x =和1y x =的图象 ：①如果21a a a>>，那么0a 1<<； ②如果21a a a>>，那么a 1>； ③如果21a a a>>，那么1a 0-<<； ④如果21a a a>>时，那么a 1<-. 则（ ）A. 正确的命题是①④B. 错误．．的命题是②③④ C. 正确的命题是①② D. 错误．．的命题只有③ -68．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，有下列结论：①a<0，②b<0，③c<0，④4a-2b+c<0，⑤b+2a=0其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个69．二次函数)0(2≠++=a c bx x a y 图像如图所示，下列结论：①0abc >，②20a b +=，③930a b c ++>，④方程20ax bx c ++=的解是-2和4，⑤不等式20ax bx c ++>的解集是24x -<<，其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个<70．小明从如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab ＞0；②a+b+c ＜0；③b+2c ＞0；④a ﹣2b+4c ＞0；⑤32ab ． 你认为其中正确信息的个数有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个71．已知二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）A ．图象关于直线1x =对称B ．函数2y ax bx c =++(0)a ≠的最小值是-4C ．当1x <时，y 随x 的增大而增大…D ．-1和3是方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根72．给出下列四个命题：（1）将一个n （n≥4）边形的纸片剪去一个角，则剩下的纸片是n+1或n-1边形；（2）若31x x --=，则x=1或x=3；（3）若函数32(23)k y k x x-=-+是关于x 的反比例函数，则32k =；（4）已知二次函数2y ax bx c =++，且a ＞0，a-b+c ＜0,则240b ac -≤。
2018年秋九年级数学上册 第1章 二次函数 专题训练 二次函数y=ax2+bx+c的系数a,b,c与图象的关系 (新版
二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c与图象的关系►类型之一二次函数的图象与系数a，b，c的关系1．2017·成都在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2－ZT －1所示，下列说法正确的是( )A．abc＜0，b2－4ac＞0 B．abc＞0，b2－4ac＞0C．abc＜0，b2－4ac＜0 D．abc＞0，b2－4ac＜02－ZT－12－ZT－22．2017·广安如图2－ZT－2所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x 轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c>0；③2a －b＝0；④c－a＝3.其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个3．2017·绍兴模拟如图2－ZT－3，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点(－1，2)，且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中－2＜x1＜－1，0＜x2＜1，下列结论：①4a－2b＋c＜0；②2a－b＜0；③a＋c＜1；④b2＋8a＞4ac.其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个2－ZT－32－ZT－44．如图2－ZT－4，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点(－1，0)和点(0，－3)，且顶点在第四象限，设P＝a＋b＋c，则P的取值范围是( )A．－3＜P＜－1B．－6＜P＜0C．－3＜P＜0D．－6＜P＜－35．如图2－ZT－5，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点A(－1，0)，与y轴的交点B在点(0，－2)和(0，－1)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x＝1.下列结论：①abc＞0；②4a＋2b＋c＞0；③4ac－b2＜8a；④13＜a＜23；⑤b＞c.其中含所有正确结论的选项是( )A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤2－ZT－52－ZT－66．2017·株洲如图2－ZT－6，二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A(－1，0)，点C(x2，0)，且与y轴交于点B(0，－2)，小强得到以下结论：①0＜a ＜2；②－1＜b ＜0；③c＝－1；④当|a|＝|b|时，x 2＞5－1.其中正确结论的序号是________．7．如图2－ZT －7所示，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于B ，C 两点，与y 轴交于点A.(1)根据图象确定a ，b ，c 的符号；(2)如果OC ＝OA ＝13OB ，BC ＝4，求这个二次函数的表达式．图2－ZT －7► 类型之二 二次函数与其他函数的图象的综合8．在反比例函数y ＝m x中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则二次函数y ＝mx 2＋mx 的图象大致是图2－ZT －8中的( )图2－ZT －89．2017·安徽已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与反比例函数y ＝b x的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y ＝bx ＋ac 的图象可能是( )图2－ZT －9图2－ZT －1010．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图2－ZT －10，则反比例函数y ＝－a x与一次函数y ＝bx －c 在同一直角坐标系内的图象大致是( )图2－ZT －11►类型之三 二次函数的图象与方程(不等式)的关系图2－ZT －1211．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的顶点坐标为(－1，－3.2)及部分图象如图2－ZT －12所示，由图象可知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别是x 1＝1.3和x 2＝( )A ．－1.3B ．－2.3C ．－0.3D ．－3.312．2017·杭州设直线x ＝1是函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是实数，且a ＜0)的图象的对称轴，则下列说法正确的是( )A ．若m ＞1，则(m －1)a ＋b ＞0B ．若m ＞1，则(m －1)a ＋b ＜0C ．若m ＜1，则(m －1)a ＋b ＞0D ．若m ＜1，则(m －1)a ＋b ＜013．如果二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根．请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m ，n (m <n )是关于x 的方程2－(x －a )(x －b )＝0的两根，且a <b ，则a ，b ，m ，n 的大小关系是( )A ．m <a <b <nB ．a <m <n <bC ．a <m <b <nD ．m <a <n <b图2－ZT －1314．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)和正比例函数y ＝23x 的图象如图2－ZT －13所示，则方程ax 2＋(b －23)x ＋c ＝0(a ≠0)的两根之和( )A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．不能确定15．2017·常州已知二次函数y ＝ax 2＋bx －3中自变量x 的部分取值和对应的函数值y 如下表：则在实数范围内能使得y －5>0成立的x 的取值范围是________．16．如图2－ZT －14，已知二次函数y 1＝－x 2＋134x ＋c 的图象与x 轴的一个交点为A (4，0)，与y 轴的交点为B ，过A ，B 两点的直线为y 2＝kx ＋b .(1)求二次函数的表达式及点B 的坐标；(2)由图象写出满足y1<y2的自变量x的取值范围．图2－ZT－14详解详析1．B [解析] 由二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，得a＞0，与y轴交点在y轴的负半轴上，得c<0，对称轴在y轴的右侧，得－b2a>0，所以b<0，所以abc＞0；图象与x轴有两个交点，则b2－4ac>0.综上，故选B.2．B [解析] 由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，故结论①不正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，与x轴的一个交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0，0)和(1，0)之间，∴当x＝1时，y＜0，∴a＋b＋c＜0，故结论②不正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝－b2a＝－1，∴2a＝b，即2a－b＝0，故结论③正确；∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，∴a－b＋c＝3.∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，∴2a＝b，∴a－2a＋c＝3，即c－a＝3，故结论④正确．综上所述，正确的结论有2个．故选B.3．D [解析]①由函数的图象可得：当x＝－2时，y＜0，即y＝4a－2b＋c＜0，故①正确；②由函数的图象可知：抛物线开口向下，则a＜0；抛物线的对称轴为直线x＝－b2a＞－1，得出2a－b＜0，故②正确；③已知抛物线经过点(－1，2)，即a－b＋c＝2(1)，由图象知：当x＝1时，y＜0，即a ＋b＋c＜0(2)，联立(1)(2)，得a＋c＜1，故③正确；④因为抛物线的对称轴在直线x＝1右侧，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即4ac－b24a＞2，因为a＜0，所以4ac－b2＜8a，即b2＋8a＞4ac，故④正确．故选D.4．B [解析]∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(c≠0)过点(－1，0)和点(0，－3)，∴0＝a－b＋c，－3＝c，∴b＝a－3.∵当x＝1时，y＝ax2＋bx＋c＝a＋b＋c，∴P＝a＋b＋c＝a＋a－3－3＝2a－6.∵顶点在第四象限，a＞0，∴b＝a－3＜0，∴a＜3，∴0＜a ＜3， ∴－6＜2a －6＜0， 即－6＜P ＜0. 故选B.5．D [解析]∵函数图象开口方向向上， ∴a ＞0.∵对称轴在原点右侧，∴ab 异号，即b <0. ∵抛物线与y 轴的交点在y 轴负半轴上， ∴c ＜0，∴abc ＞0，故①正确；∵图象与x 轴交于点A (－1，0)，对称轴为直线x ＝1， ∴图象与x 轴的另一个交点为(3，0)，∴当x ＝2时，y ＜0，即4a ＋2b ＋c ＜0，故②错误； ∵图象与x 轴交于点A (－1，0)，∴当x ＝－1时，y ＝(－1)2a ＋(－1)b ＋c ＝0， ∴a －b ＋c ＝0， 即a ＝b －c ，c ＝b －a . ∵对称轴为直线x ＝1，∴－b2a＝1，即b ＝－2a ， ∴c ＝b －a ＝(－2a )－a ＝－3a ，∴4ac －b 2＝4·a ·(－3a )－(－2a )2＝－16a 2＜0. ∵8a ＞0，∴4ac －b 2＜8a ，故③正确；∵图象与y 轴的交点B 在点(0，－2)和(0，－1)之间，∴－2＜c ＜－1， ∴－2＜－3a ＜－1，∴13<a <23，故④正确；∵a ＞0，∴b －c ＞0，即b ＞c ，故⑤正确．6．①④ [解析] 由图象可知抛物线开口向上，则a ＞0，由抛物线经过点A (－1，0)，B (0，－2)，对称轴在y 轴的右侧可得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，c ＝－2，－b 2a >0，可得a －b ＝2，b ＜0.故a ＝2＋b ＜2，综合可知0＜a ＜2；由a －b ＝2可得a ＝b ＋2，将其代入0＜a ＜2中得0＜b ＋2＜2，可得－2＜b ＜0；当|a |＝|b |时，因为a ＞0，b ＜0，故有a ＝－b .又a －b ＝2，可得a ＝1，b ＝－1.故原函数为y ＝x 2－x －2，当y ＝0时，有x 2－x －2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝2，在这里，x 2＝2＞5－1.故答案为①④. 7．解：(1)∵抛物线开口向上，∴a >0. 又∵对称轴x ＝－b2a <0，∴a ，b 同号，即b >0. ∵抛物线与y 轴交于负半轴， ∴c <0.综上所述，a >0，b >0，c <0. (2)∵OC ＝OA ＝13OB ，BC ＝4，∴点A 的坐标为(0，－1)，点B 的坐标为(－3，0)，点C 的坐标为(1，0)． 把A ，B ，C 三点的坐标分别代入二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，可得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝c ，0＝9a －3b ＋c ，0＝a ＋b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝23，c ＝－1.∴这个二次函数的表达式是y ＝13x 2＋23x －1.8．A9．B [解析] 由公共点的横坐标为1，且在反比例函数y ＝b x的图象上，当x ＝1时，y ＝b ，即公共点坐标为(1，b )，又点(1，b )在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上，得a ＋b ＋c ＝b ，a ＋c ＝0，再由a ≠0知ac ＜0，故一次函数y ＝bx ＋ac 的图象与y 轴的交点在负半轴上，由反比例函数y ＝b x的图象的一支在第一象限，知b ＞0，故一次函数y ＝bx ＋ac 的图象满足y 随x 的增大而增大，选项B 符合条件．故选B.10．C [解析] 观察二次函数图象可知：开口向上，a ＞0；对称轴在y 轴右侧，即－b2a ＞0，∴b ＜0；二次函数图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴c ＞0.∵反比例函数中k ＝－a ＜0，∴反比例函数图象在第二、四象限内； ∵一次函数y ＝bx －c 中，b ＜0，－c ＜0， ∴一次函数图象经过第二、三、四象限．11．D [解析] 关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根是x 1＝1.3，即二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的一个交点的坐标是(1.3，0)．又知抛物线的对称轴是直线x ＝－1，由抛物线是轴对称图形，可得图象与x 轴的另一个交点的坐标是(－3.3，0)，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0的另一个根是x 2＝－3.3.故选D.12．C [解析]∵直线x ＝1是函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是实数，且a ＜0)的图象的对称轴，∴x ＝－b2a ＝1，即2a ＋b ＝0.∵a ＜0，∴2a ＜0，∴b ＞0.当m ＜1时，(m －1)a >0，即(m －1)a ＋b ＞0.故选C.13．A14．A [解析] 设方程ax 2＋(b －23)x ＋c ＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b －23a，由函数图象易得a >0，b <0，因此－b －23a>0，即x 1＋x 2>0.15．x <－2或x >411 [解析] 由表中自变量与函数值的对应关系可以知道，二次函数y ＝ax 2＋bx －3的图象的顶点坐标为(1，－4)，抛物线开口向上，当x ＝4时，y ＝5，∴使y －5>0成立的x 的取值范围是x <－2或x >4.16．解：(1)将A (4，0)代入y 1＝－x 2＋134x ＋c ，得0＝－42＋134×4＋c ，解得c ＝3，∴二次函数的表达式为y 1＝－x 2＋134x ＋3.∵当x ＝0时，y 1＝3，∴点B 的坐标为(0，3)．(2)由图象知满足y 1<y 2的自变量x 的取值范围是x <0或x >4.。
二次函数中各项系数abc与图像的关系
二次函数中各项系数a ，b ，c 与图像的关系一、首先就y=ax 2+bx+c （a≠0）中的a ，b ，c 对图像的作用归纳如下：1 a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下；决定张口的大小：∣a ∣越大，抛物线的张口越小．2 b 的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关．b 与a 同号，说明02<-a b ，则对称轴在y 轴的左边； b 与a 异号，说明−b2a >0，则对称轴在y 轴的右边；特别的，b = 0，对称轴为y 轴．3 c 的作用：c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标．抛物线与y 轴的交点（0，c ）c > 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴；c < 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴；特别的，c = 0，抛物线过原点．4 a,b,c 共同决定判别式?=b 2−4ac 的符号进而决定图象与x 轴的交点b 2−4ac >0 与x 轴两个交点b 2−4ac =0 与x 轴一个交点b 2−4ac <0 与x 轴没有交点5 几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ；x= -1时，y=a - b + c ．当x = 1时，① 若y > 0，则a + b + c >0；② 若y < 时0，则a + b + c < 0当x = -1时，① 若y > 0，则a - b + c >0；② 若y < 0，则a - b + c < 0．扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。
一．选择题（共8小题）1．已知二次函数y=ax 2+bx +c 的图象大致如图所示，则下列关系式中成立的是（ ）A ．a ＞0B ．b ＜0C ．c ＜0D ．b +2a ＞02．如果二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是（ ）A ．a ＞0B ．b ＜0C ．ac ＜0D ．bc ＜0．3．已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc ＞0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对于下列结论：①a ＜0；②b ＜0；③c ＞0；④2a +b=0；⑤a ﹣b +c ＜0，其中正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个第3题图 第4题图 第5题图 第6题图5．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：：①a ＜0；②b ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④a +b +c ＜0；其中结论正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（﹣1，3），以下结论：①b2﹣4ac＜0；②4a﹣2b+c＜0；③2c﹣b=3；④a+3=c，其中正确的个数（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，下列给出四个结论中，正确结论的个数是（）个①c＞0；②若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；③2a﹣b=0；④＜0；⑤4a﹣2b+c＞0．A．2 B．3 C．4 D．58．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④当x＜时，y随x的增大而减小；⑤a+b+c＞0．其中正确的有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个二．填空题（共4小题）9．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大；其中结论正确有．10．一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为．11．抛物线y=ax2+12x﹣19顶点横坐标是3，则a=．12．将二次函数y=x2+6x+5化为y=a（x﹣h）2+k的形式为．三．解答题（共7小题）13．已知：抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果此抛物线沿y轴平移一次后过点（﹣2，1），试确定这次平移的方向和距离．14．函数y=（m+2）是关于x的二次函数，求：（1）满足条件的m值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y随x的增大而增大？（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x为何值时，y随x的增大而减小．15．已知二次函数的图象经过（0，0）（﹣1，﹣1），（1，9）三点．（1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数图象的顶点坐标．16．已知抛物线的顶点坐标是（1，﹣4），且经过点（0，﹣3），求与该抛物线相应的二次函数表达式．17．已知二次函数y=x2﹣4x+5．（1）将y=x2﹣4x+5化成y=a （x﹣h）2+k的形式；（2）指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？18．如图，二次函数的图象的顶点坐标为（1，），现将等腰直角三角板直角顶点放在原点O，一个锐角顶点A在此二次函数的图象上，而另一个锐角顶点B在第二象限，且点A的坐标为（2，1）．（1）求该二次函数的表达式；（2）判断点B是否在此二次函数的图象上，并说明理由．19．已知二次函数y=a（x﹣h）2，当x=4时有最大值，且此函数的图象经过点（1，﹣3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）当x为何值时，y随x的增大而增大？。
二次函数与abc的关系
几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c；x= -1时，y=a - b + c．当x = 1时，①若y > 0，则a + b + c >0；②若y < 时0，则a + b + c < 0当x = -1时，①若y > 0，则a - b + c >0；②若y < 0，则a - b + c < 0．扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。
反之，给我们相应的二次函数图象，我们可以得到其系数a,b,c以及它们组合成的一些关系结构（例如对称轴−b2a ; 判别式b 2−4ac ; y =a +b +c……等等）的符号 4．（2017四川省广安市）如图所示，抛物线c bx ax y ++=2的顶点为B （﹣1，3），与x 轴的交点A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①042=-ac b ；②a +b +c ＞0；③2a ﹣b =0；④c ﹣a =3其中正确的有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．（2017四川省眉山市）若一次函数y =（a +1）x +a 的图象过第一、三、四象限，则二次函数2y ax ax =-（ ）A ．有最大值4aB ．有最大值﹣4aC ．有最小值4aD ．有最小值﹣4a1. （2017贵州遵义第11题）如图，抛物线y =ax 2+bx +c 经过点（﹣1，0），对称轴l 如图所示，则下列结论：①abc ＞0；②a ﹣b +c =0；③2a +c ＜0；④a +b ＜0，其中所有正确的结论是（ ）A ．①③B ．②③C ．②④D ．②③④9. （2017黑龙江齐齐哈尔第10题）如图，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）的对称轴为直线2x =-，与x 轴的一个交点在(3,0)-和(4,0)-之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①40a b -=；②0c <；③30a c -+>；④242a b at bt ->+（t 为实数）；⑤点19(,)2y -，25(,)2y -，31(,)2y -是该抛物线上的点，则123y y y <<，正确的个数有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．（2017四川省绵阳市）将二次函数2x y =的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y =2x +b 的图象有公共点，则实数b 的取值范围是（ ）A ．b ＞8B ．b ＞﹣8C ．b ≥8D ．b ≥﹣82．（2017四川省南充市）二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，且a ≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）A ．4ac ＜b 2B ．abc ＜0C ．b +c ＞3aD ．a ＜b23. (2017浙江金华第6题)对于二次函数()212y x =--+是图象与性质，下列说法正确的是（ ）A ．对称轴是直线1x =，最小值是2B ．对称轴是直线1x =，最大值是2C . 对称轴是直线1x =-，最小值是2D ．对称轴是直线1x =-，最大值是226. （2017新疆乌鲁木齐第15题）如图，抛物线2y ax bx c =++过点()1,0-，且对称轴为直线1x =，有下列结论：①0abc <；②1030a b c ++>；③抛物线经过点()14,y 与点()23,y -，则12y y >；④无论,,a b c 取何值，抛物线都经过同一个点,0c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；⑤20am bm a ++≥，其中所有正确的结论是 ．15.（2017贵州黔东南州第9题）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =﹣1，给出下列结论：①b 2=4ac ；②abc ＞0；③a ＞c ；④4a ﹣2b +c ＞0，其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 16.（2017山东烟台第11题）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，对称轴是直线1=x ，下列结论：①0<ab ；②ac b 42>；③0<++c b a ；④03<+c a .其中正确的是（ ）A ．①④ B．②④ C. ①②③ D ．①②③④17.（2017四川泸州第8题）下列曲线中不能表示y 与x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ． 16. (2017山东日照第12题)已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =2，与x 轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a +b +c =0；③a﹣b+c＜0；④抛物线的顶点坐标为（2，b）；⑤当x＜2时，y随x增大而增大．其中结论正确的是（）A．①②③B．③④⑤C．①②④D．①④⑤12.（2017江苏盐城第6题）如图，将函数y=12（x－2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）A．y＝12(x?2)2?2 B．y＝12(x?2)2+7 C．y＝12(x?2)2?5 D．y＝12(x?2)2+47.（2017广西贵港第10题）将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）A．()211y x=-+ B．()211y x=++C.()2211y x=-+ D．()2211y x=++8.（2017贵州安顺第10题）二次函数y=ax2+bx+c（≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③4a+c＜2b；④m（am+b）+b＜a（m≠1），其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44.（2017浙江宁波第10题）抛物线22y x x m(m是常数)的顶点在( )22A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限1．（2016·山东省滨州市·3分）抛物线y=2x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．32．（2016·山东省滨州市·3分）在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点选择180°得到抛物线y=x2+5x+6，则原抛物线的解析式是（）A．y=﹣（x﹣）2﹣B．y=﹣（x+）2﹣ C．y=﹣（x﹣）2﹣D．y=﹣（x+）2+【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键．3．（2016广西南宁3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（）A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定4．（2016贵州毕节3分）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C．D．5.（2016·福建龙岩·4分）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则|a﹣b+c|+|2a+b|=（）A．a+b B．a﹣2b C．a﹣b D．3a 10．（2016贵州毕节3分）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C．D．【11. （2016·浙江省绍兴市·4分）抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A （2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（）A．4 B．6 C．8 D．1012. （2016·湖北随州·3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个13.（2016·四川南充）抛物线y=x2+2x+3的对称轴是（）A．直线x=1 B．直线x=﹣1 C．直线x=﹣2 D．直线x=2 14．（2016·四川泸州）已知二次函数y=ax2﹣bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a﹣b为整数时，ab的值为（）A．或1 B．或1 C．或D．或15．（2016·四川攀枝花）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（）A．2a﹣b=0B．a+b+c＞0C．3a﹣c=0D．当a=时，△ABD是等腰直角三角形16.（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个17．（2016·湖北黄石·3分）以x为自变量的二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（）A．b≥B．b≥1或b≤﹣1 C．b≥2D．1≤b≤218．（2016·湖北荆门·3分）若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（）A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=719.（2016·青海西宁·3分）如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C=，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（）A．18cm2 B．12cm2 C．9cm2 D．3cm221. （2016·四川眉山·3分）若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（）A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+44．（2016·四川南充）已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点（1，1），双曲线y=经过点（a，bc），给出下列结论：①bc＞0；②b+c＞0；③b，c是关于x的一元二次方程x2+（a﹣1）x+=0的两个实数根；④a﹣b﹣c≥3．其中正确结论是（填写序号）5．（2016·四川泸州）若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，则+的值为7.（2016·湖北荆州·3分）若函数y=（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为8. （2016·辽宁丹东·10分）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？12．（2016·四川内江）(12分)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图14所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．(1)若苗圃园的面积为72平方米，求x；(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．16.（2016·黑龙江龙东·6分）如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．21.（2016·内蒙古包头）一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．24. （2016·山东潍坊）旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费）（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？。
【例题讲解】二次函数y=abc中系数abc与图象的关系例--完整版课件
×(
-74
)=2>0,
∴二次函数与x 轴有两个交点，
设两个交点的横坐标分别为x1，x2，
∵x1·x2=
c a
=-7<0
∴两个交点中，一个位于y 轴的
左侧，另外一个位于y 轴的右
侧，即分别位于y轴的两侧,
∴③正确，④错误；
再见
• 例. 二次函数y=ax²+bx+c的自变量x 与函数y 的部分对应值如下表：
x … -1 0
1
2…
y
… -1 7
-2 7
…
4
4
下列结论正确的有_____.
①a＜0；②c＜0；③二次函数与x 轴有两个交点，且分别位于y 轴的两侧；④二次函数与x 轴有
两个交点，且位于y 轴的同侧.
分析： 利用待定系数法求得解析式
解： ∵x=0时，y= 74；x=1时 y=-2； x=-1时，y=-1
，∴c=
7 4
,a+b+c=-2,a-b+c=-1
解得：a=
1，b=-
4
1 2
，c=-
7 4
∴该二次函数的解析式为：y=
1 4
x²-
1 2
x-
7 4
∵a=
1 4
>0，c=-
7 4
<0，∴①错误，②正确；
• 例. 二次函数y=ax²+bx+c的自变量x 与函数y 的部分对应值如下表：
根据系数确定函数图像性质
判断结论的正误
• 例. 二次函数y=ax²+bx+c的自变量x 与函数y 的部分对应值如下表：
x … -2
下列结论正确的有_____.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
WORD格式整理版 学习好帮手 二次函数2yaxbxc图象的位置与abc的关系 归纳：
二次函数2yaxbxc的对称轴为________,顶点坐标为______________ （1）a的符号由 决定： ①开口方向向 a 0；②开口方向向 a 0. （2）b的符号由 决定； ①对称轴在y轴的左侧 ba、 ； ②对称轴在y轴的右侧 ba、 ； ③对称轴是y轴 b 0. ④由对称轴公式x=，可确定2a+b的符号． （3）c的符号由 决定： ①抛物线与y轴交于正半轴 c 0； ②抛物线与y轴交于负半轴c 0； ③抛物线过原点 c 0. （4）acb42的符号由 决定： ①抛物线与x轴有 交点 b2-4ac 0； ②抛物线与x轴有 交点 b2-4ac 0； ③抛物线与x轴有 交点 b2-4ac 0； （5）当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=-1时，可确定a-b+c的符号．
【典型例题】 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列 4个结论中：①abc>0；②b0；④b2-4ac>0； ⑤b=2a.正确的是 （填序号）
【课后作业】 1.根据图象填空，： （1）a 0 ，b 0 ，c 0， abc 0. （2）b2-4ac 0 （3）cba 0；cba 0； （4）当0x时，y的取值范围是 ； 当0y时，x的取值范围是 .
2.若一条抛物线cbxaxy2的顶点在第二象限，交于y轴的正半轴，与x轴有两个交点，则下列结论正确的是（ ）. A.a﹥0,bc﹥0; B.a﹤0,bc﹤0; C. a﹤0, bc﹥0; D.a﹥0, bc﹤0
xyy=ax2+bx+c
-1O1
xyx=1
0-1
xy
O21
21 WORD格式整理版
学习好帮手 3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（ ） A、ac＜0 B、a-b+c＞0 C、b=-4a
D、关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=5
4、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论： ①b2-4ac＞0； ②abc＞0； ③8a+c＞0； ④9a+3b+c＜0 其中，正确结论的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、4
5．已知反比例函数xky的图象在二、四象限，则二次函数222kxkxy的图象大致为（ ）
A 6、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A、a＜0，b＜0，c＞0，b2-4ac＞0 B、a＞0，b＜0，c＞0，b2-4ac＜0 C、a＜0，b＞0，c＜0，b2-4ac＞0 D、a＜0，b＞0，c＞0，b2-4ac＞0 7、如图所示为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，在下列选项中错误的是（ ） A、ac＜0 B、x＞1时，y随x的增大而增大 C、a+b+c＞0 D、方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=3 8、已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ） A、a＞0 B、b＜0 C、c＜0 D、a+b+c＞0
9、小明从图所示的二次函数2yaxbxc的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c；②0abc；③0abc；④230ab；⑤40cb，你认为其中正确信息的个数有（ ）
yOxy
Oxy
Oxy
OxB． C． D． WORD格式整理版
学习好帮手 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（ ） A、①②③④ B、②④⑤ C、②③④ D、①④⑤ 11、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（ 12，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 12、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（ ） A、ac＞0B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3 C、2a-b=0 D、当x＞0时，y随x的增大而减小
13、已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，②b2-4ac＜0，③a-b+c＞0，④4a-2b+c＜0，其中正确结论的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、4
14、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法： ①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 15．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①a＜0；
②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中，正确的结论有（ ） A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 WORD格式整理版
学习好帮手 16、如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息： （1）b2-4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a-b＜0；（4）a+b+c＜0．你认为其中错误的有（ ） A、2个 B、3个 C、4个 D、1个
17．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图，有以下结论： ①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时， x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确结论的个数为（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 18．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为 x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法： ①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0； ④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2． 其中说法正确的是（ ）
A． ①② B． ②③ C． ②③④ D． ①②④ 19、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b2-4ac＞0 ②a＞0 ③b＞0 ④c＞0 ⑤9a+3b+c＜0，则其中结论正确的个数是（ ） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 20、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（ ） A、ac＜0 B、a-b+c＞0 C、b=—4a D、关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=—1，x2=5 21、已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论： WORD格式整理版 学习好帮手 0 1 1 2
2 x
y
①ac＞0；②a-b+c＜0；③当x＜0时，y＜0； ④方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个大于-1的实数根． 其中错误的结论有（ ） A、②③ B、②④ C、①③ D、①④ 22、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①a，b异号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=4时，x的取值只能为0，结论正确的个数有（ ）个． A、1 B、2 C、3 D、4
23、二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，下列几个结论： ①对称轴为x=2；②当y≤0时，x＜0或x＞4；③函数解析式为y=-x（x-4）；④当x≤0时，y随x的增大而增大． 其中正确的结论有（ ） A、①②③④ B、①②③ C、①③④ D、①③ 24、如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论： ①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0． 其中正确结论的个数是（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 25、如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与 y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：
①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4． 其中正确的是（ ） A． ①② B． ③④ C． ①③ D． ①③④
26、已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0）， 且1＜x1＜2，下列结论正确的个数为（ ） ①b＜0；②c＜0；③a+c＜0；④4a﹣2b+c＞0． A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
27、如图所示，二次函数2(0)yaxbxca的图象经过点(12)，，且与x轴交点
的横坐标分别为12xx，，其中121x，201x，下列结论： ①420abc；②20ab；③1a；④284baac． 其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②b＜a+c；③2a+b=0；④a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）． 其中正确的结论有（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
29、如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1，下列结论：①b＜0；②（a+c）2＞