数学手册 第二章 初等几何图形的计算与作图 2
高中数学第二章 2 三角形中的几何计算
问题：直线x－2y－2k＝0与直线2x－3y－k＝0的交点在圆x2＋ y2＝9上或圆的内部，如何求k的最大值？ 答案
先求出两直线交点坐标(－4k，－3k)，再把约束条件“点在圆 上或内部”转化为代数式(－4k)2＋(－3k)2≤9，从中求得k的
3 最大值为 5 .
梳理
类似地，对于求平面图形中的最值问题，首先要选用恰当的变量，然 后选择正弦定理或余弦定理建立待求量与变量间的函数关系，借助于 三角函数的相关知识求最值.
C 2
A＋B ，cos 2 ＝
sin
C 2
.
(5)三角形常用面积公式
①S＝
1 2aha
(ha 表示
a
边上的高)；
②S＝12absin
C＝
1 2acsin
B ＝ 12bcsin
A
；
③S＝a4bRc(可由正弦定理推得)；
④S＝2R2sin A·sin B·sin C(R 是三角形外接圆半径)；
⑤S＝12r(a＋b＋c)(rA＋cacos B＋abcos C
b2＋c2－a2
c2＋a2－b2
a2＋b2－c2
＝bc· 2bc ＋ca· 2ca ＋ab· 2ab
＝a2＋b22＋c2＝32＋422＋62＝621.
12345
规律与方法
1.正弦、余弦定理沟通了三角形中的边与角之间的数量关系. 2.不论题目如何千变万化，变换条件也好，变换结论也好.甚至在立体 几何中的计算问题，只要紧紧抓住正弦、余弦定理，依托三角恒等变 换和代数恒等变换，就可以将复杂问题转化为简单问题来计算或证明.
(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝π3，求△ABC的面积. 解答
由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0. ∴a＋b＝ab. 由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b) 2－3ab， 即(ab) 2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1). ∴S＝12absin C＝12·4·sinπ3＝ 3.
第二章 度量几何学
§2.3 面积与体积
• 一、面积的概念 • 二、直线型面积的计算 • 三、圆的面积 • 四、球的体积与表面积
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 29
一、面积的概念
• 面积就是指平面上一个封闭图形所包围的平面部分（区域）的大小. • 和线段与角的度量类似，我们取定一个平面图形e（一般取边长等于
• 定理1：底相等的两个矩形面积之比，等于它们的高之比. • 定理2：矩形的面积等于底与高的乘积.
– 推论：正方形的面积等于其边长的平方.
• 用割补法得到平行四边形、梯形、多边形的面积.
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 31
三、圆的面积
圆的内接或外切正多边形，当边数无限递增时，其面积的 极限，叫做圆的面积.
§2.2 角与弧的度量
1.度量单位
（1）角度的单位
– 角度制: 以两相交射线的交点为中心, 以任意的长度r 为半径, 做一个圆周; 然后, 把该圆周用射线等分成360 个等份, 并把其中的每一份称1“度”.
1周角=360°,1°=60′,1′=60′′
– 弧度制是度量角度大小的另一种方式. 它的办法是以两条相交直线的交点 为中心, 以单位长度1 为半径作一个圆周(数学上称之为单位圆) ,然后把两 条相交直线所夹的单位圆的弧长, 作为度量两直线的夹角的值.取弧长等于 半径的弧所对的圆心角为度量单位，叫做1弧度的角.
性）
初等数学研究（Ⅱ）——度量几何学 8
2. 度量线段的基本理论
• （2）阿基米德公理
• 设AB和CD（AB>CD）是任意给定的两条线段，则必定存在正整数n， 使得
nCD≤AB<(n+1)CD
• 定理1 用长度单位线段e去度量任一线段AB，总可以得到一个唯一确 定的量数（正实数）.
高中数学第2章平面解析几何初步2
解法一： 将圆 C化为标准方程，得 (x 5)2 ( y 5)2 50
则圆心 C(5,5) ，半径为 5 2.
所以经过此圆心和原点的直线方程为： x y 0 设所求圆的方程为 (x a)2 ( y b)2 r 2
由题可知，O(0,0), A(0,6) 在此圆上，且圆心 M (a,b)在直线
二典型例题
题型探究
两圆位置关系的判定
例1．判断下列两圆的位置关系：
（1）(x＋2)2＋(y－2)2＝1与(x－2)2＋(y－5)2＝16；
解:(1)根据题意得，两圆的半径分别为 r1 1 和 r2 4,
两圆的圆心距 d [(2) 2]2 (2 5)2 5
因为 d r1 r2
所以两圆外切.
【解】 (1)两圆方程相减得x－2y＋4＝0， 即公共弦AB所在的直线方程为x－2y＋4＝0
小结：求两个圆的公共弦所在直线的方 程就是将两个圆的方程相减.
例3.若两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0， C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0相交于A,B两点， (1)求两圆公共弦AB所在的直线的方程；
0
解得xy
04或xy
0即A(4,0), 2
B(0,2)
所以r AM 10
所以经过A, B两点的圆的方程为 (x 3)2 ( y 3)2 10
【点评】 涉及圆的弦长问题，一般都考 虑利用半径、弦心距、半弦长构成的直角 三角形求解．而不采取求出弦的两端点坐 标，然后利用两点间的距离求解．
所以两圆相交.
变式：已知两圆
(x － 3)2＋(y+2)2＝4a2，(x+1)2＋(y－1)2＝ (a 1)2 (a 0) 试求 a 为何值时，两圆 ：(1)有唯一公共点;
七年级数学下册 第二章 相交线与平行线 2.4 用尺规作角课件_2
法
•示
范
•(1) 作射线(shèxiàn)A’C’ ；
(2) 以点A’为圆心，
以AB的长为半径 画弧，
交射线A’ C’于点B’， 20A21’/B12’/1就0 是所求作的线段。
A’ 第二页，共十一页。
B’ C’
（2）作一个角等于已知角
已知： ∠AOB。
求作： ∠A’O’B’ 使∠A’O’B’=∠AOB。
No ∠A’O’B’就是所求的角.。(1) 作射线O’A’。交O’A’于点C’。利用尺规作： ∠A’O’B’。∠A’O’B’为所求.。画角、线段
的倍数(bèishù)、和、差。1.过点x、点x作直线。或作直线xx，射线xx.。2.连结两点x、x。3.在xx上截取xx=xx。 4.以点x为圆心，xx为半径作圆（弧）。)
作
法
示
范
(1) 作射线O’A’;
(2) 以点O为圆心(yuánxīn)，
任意(rènyì)长为半画径弧，
交OA于点C， 交OB于点D;
(3) 以点O’为圆心(yuánxīn)， 同样(OC)长为半径 画弧，
交O’A’于点C’;
(4) 以点C’为圆心，
CD长为半径 画弧，
交前面的弧于点D’ ，
(5) 过2点021D/1’2作/10射线O’B’.
Image
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第十一页，共十一页。
作法(zuò fǎ) 一:
B’
CB
C
B’
O
A
E
O
A’ A
2021/12/1∠0 A’O’B’为所求.
第七页，共十一页。
C’
O’
A
∠A’O’B’为所求.
尺规作图：
高中数学第二章解析几何初步本章知识体系课件高一数学课件
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第三十三页，共三十八页。
(2)证明：由()及中点坐标公式，得
E(123，－14， 66)，F(－123，14，0)，
(1)求反射光线所在直线的方程； (2)求光线从 A 到 B 经过的路程．
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第二十七页，共三十八页。
解：(1)如图，设点 A 关于直线 l 的对称点为 A′(x，y)，
由2yx－ ＋·x－422＝2－－y12＋2. 4－7＝0， 即2x＋x－2yy－ －262＝＝00，， 解得xy＝ ＝1－0， 2.
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第三十二页，共三十八页。
∵正四面体 A－BCD 的棱长为 1，点 O 为底面△BCD 的中心，
∴OD＝23DM＝23
1－14＝
33，OM＝13DM＝
3 6.
OA＝ AD2－OD2＝ 1－13＝ 36，BM＝CM＝12.
∴A(0,0， 36)，B( 63，－12，0)，C( 63，12，0)，D(－ 33，0,0)．
第二十四页，共三十八页。
即 3a－b－6＝0.② 解①②得 a＝3，b＝3，∴B′(3,3)， 于是 AB′的方程为3y－－11＝3x－－44，即 2x＋y－9＝0.
解32xx－＋yy－－19＝＝00，， 得xy＝＝25.， 故 l 与 AB′的交点 P(2,5)即为所求．
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第二十五页，共三十八页。
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(1)如图所示，设点 B 关于 l 的对称点 B′的坐标为(a，b)， 则 kBB′·kl＝－1，
即 3·b－a 4＝－1， ∴a＋3b－12＝0.① 又由线段 BB′的中点坐标为a2，b＋2 4，且在直线 l 上，∴ 3×a2－b＋2 4－1＝0，
苏教版必修2数学课件-第2章平面解析几何初步第2节直线与方程教学课件
3．如何判断点(m，n)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系？ [提示] 将点A(m，n)代入方程左边，若(m－a)2＋(n－b)2＝r2， 点A在圆上；若(m－a)2＋(n－b)2<r2，点A在圆内；若(m－a)2＋(n－ b)2>r2，点A在圆外．
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【例3】 已知圆C的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)． (1)若点M(6，9)在圆上，求半径a； (2)若点P(3，3)与Q(5，3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的 取值范围．
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自主预习 探新知
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1．圆的定义及标准方程 (1)圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．其中定点是 圆的圆心；定长是圆的半径．
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(2)圆的标准方程
圆
特殊情况
一般情况
圆心
(0，0)
(a，b)
半径 标准方程
备注
r(r>0)
r(r>0)
_x_2_＋__y_2＝__r_2_
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[解] 法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
a＋b＋5＝0，
则（0－a）2＋（2－b）2＝r2， （－3－a）2＋（3－b）2＝r2，
a＝－3，
解得b＝－2， r＝5.
∴圆的标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
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法二：因为A(0，2)，B(－3，3)，所以线段AB的中点坐标为 －32，52，直线AB的斜率kAB＝－3－3－20＝－13，
_(x_－__a_)_2_＋__(y_－__b_)_2＝__r_2_
确定圆的标准方程的关键是确定_圆__心__和_半__径__
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七下第二章几何作图 平行线与三线八角以及角的相关计算与证明(讲义及作业)
几何作图（讲义）课前预习1.说出日常生活现象中应用的数学原理：（1）如图1，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是__________________________________________．QCPA B图1 图2（2）如图2，PC∥AB，QC∥AB，则点P，C，Q在一条直线上，理由是___________________．2.估计下列角的度数，然后用量角器度量并填在横线上：（结果精确到1°）QOOOPNMEDCBO∠BOC=____，∠DOE=____，∠MON=_____，∠POQ=____．知识点睛1.常见几何语言书写：①连接AB；②延长线段AB到点C，使BC=AB；③延长线段AB交线段CD的延长线于点E；④过点A作AB∥CD；⑤过点A作AB⊥CD于点E．2.几何作图：①理解题意，找准_____________；②___________________；③位置不确定时，需考虑_______________．精讲精练1.如图，已知四点A，B，C，D，按要求作图：（1）连接AB，CD；（2）延长CD交AB的延长线于点G；（3）过点B作直线BM⊥CD，垂足为点M．2.如图，点M，P分别在直线AB上和直线AB外，以下是在此图基础上作图的过程及作法，请根据作图的过程叙述作法．ACBD3.作一条线段等于已知线段．已知：如图，线段a．求作：线段AB，使AB=a．作法：（1）作射线AP；（2）以_________为圆心，_______为半径作弧，交射线AP于点B．___________即为所求．4.已知线段a，b（a b），作一条线段，使它等于a+b．ba作法：（1）作射线AP；（2）在射线AP上依次截取__________，_________．___________即为所求．5.如图，已知线段AB，请用尺规按下列要求作图：（1）延长线段AB到点C，使BC=AB；（2）延长线段BA到点D，使AD=AC．BA6. 在直线l 上任取一点A ，截取AB =8 cm ，再截取AC =12 cm ，则线段BC 的长为______________．7. 在直线l 上任取一点A ，截取AB =16 cm ，再截取AC=40 cm ，则点B 与AC 的中点D 之间的距离为__________．8. 已知A ，B ，C 三点在同一条直线上，AB =60，BC =40，M ，N 分别为线段AB ，BC 的中点，则MN的长为__________．9. 已知线段AB =16 cm ，点C 在直线AB 上，AC =3BC ，则BC 的长为______________．10. 从O 点出发的三条射线OA ，OB ，OC ，若∠AOB 是直角，∠AOC 为30°，则∠BOC 的度数为_____________．11. 已知∠AOB =90°，∠BOC =30°，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOC ，则∠MON 的度数为_____________．12. 已知∠AOB =40°，∠AOD =3∠AOB ，OC 平分∠AOB ，OM 平分∠AOD ，则∠MOC 的度数为_____________．13. 已知∠AOB =48°，∠BOC =3∠AOC ，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠AOB ，则∠MON 的度数为__________．几何作图（习题）例题示范例1：在直线l 上任取一点A ，截取AB =20cm ，再截取BC=50cm ，则AB 的中点D 与AC 的中点E 之间的距离为__________，并作图说明．巩固练习1. 如图1，点C ，D 是直线AB 外两点，按下列要求作图：（1）____________________________________________； （2）____________________________________________． 得到的图形如图2，请在横线填上作法．ABCD 图1图22. 如上右图，已知线段AB ，按要求作图：①分别以点A 和点B 为圆心、以AB 的长为半径作弧，两弧相交于点C 和点D ；②作直线CD ，交线段AB 于点E ；③请通过测量猜想线段AB 和直线CD 的位置关系，线段AE 与线段BE 的数量关系．AB3. 作图：已知线段a ，b （a b >），作一条线段，使它等于a b -．（保留作图痕迹，不必写作法）ba4. 已知线段AB =15cm ，点C 在直线AB 上，且BC =2AB ，则线段AC 的长为________________，并作图说明．5. 已知点C 在直线AB 上，若AC =4cm ，BC =6cm ，E ，F 分别为线段AC ，BC 的中点，则EF 的长为_____________，并作图说明．6. 已知线段AB=24，点C 在直线AB 上，BC=3AC ，M ，N 分别为线段AB ，AC 的中点，则MN 的长为_____________，并作图说明．7. 已知从点O 出发的三条射线OA ，OB ，OC ，若∠AOB =60°，13AOC AOB=∠∠，则∠BOC 的度数为________________，并作图说明．8. 已知∠AOB 为直角，∠BOC =40°，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOC ，则∠MON 的度数为_______________，并作图说明．9. 已知∠AOB =120°，∠AOC =4∠BOC ，OD 平分∠AOB ，OE 平分∠AOC ，则∠EOD 的度数为____________，并作图说明．思考小结1. 我们学过的需要分类讨论的情况：第一类：由定义本身引起的． 比如：已知23x +=，3y =，求xy 的值．思路分析由绝对值的定义，得x =________，y =________然后借助___________进行分类讨论，求解可得xy =________． 第二类：位置不确定引起的． 比如：习题中的第9题． 思路分析首先可画出∠AOB ，然后根据题意画出射线OC ，但射线OC 的位置不确定，所以要分情况讨论： ①射线OC 在∠AOB 的内部； ②射线OC 在∠AOB 的________．O BA同位角、内错角、同旁内角（讲义）课前预习1. 回顾余角、补角、对顶角有关内容，回答下列问题：（1）若∠1与∠2互为余角，则∠1+∠2=______；（2）若∠1与∠2互为补角，则∠1+∠2=______；（3）若∠1与∠2互为对顶角，则____________．2. 在同一平面内，_________________________叫做平行线．3. 如图，三根木条相交成∠1，∠2．固定木条b ，c ，转动木条a ，当转动到a ∥b 时，用量角器测量一下∠1，∠2的度数，你会发现∠1_____∠2．（填“＞”、“＜”或“＝”）cc知识点睛1. 同位角、内错角、同旁内角：ab12345678cabc412385672. 平行线的判定：①____________相等，两直线平行；②____________相等，两直线平行； ③____________互补，两直线平行． 3. 平行线的性质：①两直线平行，____________相等；②两直线平行，____________相等； ③两直线平行，____________互补．精讲精练1. 如上右图所示：（1）∠1和∠2是直线______和直线______被直线_____所截得到的_________角； （2）∠3和∠4是直线______和直线______被直线_____所截得到的_________角； （3）∠1和∠5是直线______和直线______被直线_____所截得到的_________角； （4）∠6和∠4是同位角吗？ （5）∠1和∠4是内错角吗？ （6）∠5和∠6是同位角吗？ 2. 如图所示：（1）∠NOP 和∠OMD 是直线______和直线______被直线_______所截得到的_______角； （2）∠BON 和∠DMN 是直线______和直线______被直线_______所截得到的_______角；QDP BOM CAN第1题图123456abcd（3）∠AOM 和∠CMO 是直线______和直线______被直线_______所截得到的_________角． 3. 如图，在所标识的角中，是内错角的是（ ）A ．∠1和∠B B ．∠1和∠3C ．∠3和∠BD ．∠2和∠34. 如图，判断正误：①∠1和∠4是同位角； （ ） ②∠1和∠5是同位角； （ ） ③∠1和∠3是内错角； （ ） ④∠1和∠2是同旁内角．（ ）5. 如图，若∠1=∠A ，则______∥______，理由是：___________________________________________． 若∠1=∠DFE ，则______∥______，理由是：___________________________________________． 若∠DEC +∠C =180°，则______∥______，理由是：___________________________________________． 若∠ADE =_________，则DE ∥BC ，理由是：___________________________________________． 6. 已知：如图，∠1=∠ADC ，∠DAB +∠ABC =180°．求证：（1）AB ∥CD ；（2）AD ∥BC ．第5题图1D CBA7. 推理是由一个或几个已知条件出发，推导出一个未知结论的思维过程．以下是一个题目及完整的推理过程，请填写推理的依据．如图，直线AB ，CD 被直线EF 所截，∠1=∠2． 求证：AB ∥CD ． 证明：如图，∵∠3=∠2 （________________________________） ∠1=∠2 （________________________________） ∴∠1=∠3 （________________________________） ∴AB ∥CD （________________________________） 8. 如图，直线a 和直线b 被直线c 所截，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠6；③∠4+∠7=180°； ④∠5+∠8=180°．其中能判断a ∥b 的条件是（ ）A ．①②B ．②④C ．①②④D ．①②③④9. 如图，已知AD ∥BC ，∠B =30°，DB 平分∠ADE ，则第5题图CE 1FDA a b48623751c54321DC34B1A 2F H DBEACG 132∠DEC =______．10. 如图，AD ∥CE ，AB ∥CD ，∠C =50°，则∠DAB =______．11. 如图，易拉罐的上下底面互相平行，用吸管吸饮料时，若∠1=110°，则∠2=______．理由可叙述如下： ∵AB ∥CD ∴∠1=∠2（____________________________）∵∠1=110° （____________________________） ∴∠2=110° （____________________________） 12. 请根据给出的图形完成推理过程： （1）若∠1=∠2，则______∥______，理由是：__________________________________________． （2）若∠DAB +∠ABC =180°，则______∥______，理由是：__________________________________________． （3）若______∥______，则∠C +∠ABC =180°，理由是：__________________________________________． （4）若______∥______，则∠3=∠C ，理由是：__________________________________________． 13. 请根据题意，完成推理并填空：如图，已知∠A =∠F ，∠C =∠D ． 求证：BD ∥CE ． 证明：如图， ∵∠A =∠F（__________________________________）∴AC ∥DF （__________________________________） ∴∠D =_______ （__________________________________） ∵∠C =∠D （__________________________________） ∴∠1=∠C （__________________________________） ∴BD ∥CE（__________________________________）巩固练习1. 如上右图，直线CD 与∠O 的两边相交．（1）∠O 和∠2是直线_____和直线_____被直线_____所截得到的_________角； （2）∠2和∠8是直线_____和直线_____被直线_____所截得到的_________角； （3）∠2和∠5是直线_____和直线_____被直线______所截得到的_________角． 2. 如图，判断正误：①∠1和∠5是同位角； （ ） ②∠2和∠5是内错角； （ ） ③∠3和∠5是内错角； （ ） ④∠1和∠4是同旁内角．（ ）A2DB1第11题图DCEAADCBE C31D E 21FEDBCDBCA 52143DCB OA 8765432132EC D3. 如图所示，当____________________时，有AB ∥CE 成立，理由是___________________________________．（只需写出一个条件即可）4. 如图，若∠1=∠2，则下列结论：①∠3=∠4；②AB ∥CD ；③AD ∥BC ．其中正确的是______________．（填序号）5. 如图，点B 在DC 上，若BE 平分∠ABD ，∠DBE =∠A ，则BE _____AC ． 理由如下： ∵BE 平分∠ABD （______________________________） ∴∠ABE =∠DBE （ 角平分线的定义 ）∵∠DBE =∠A （______________________________） ∴_______=∠A （______________________________） ∴BE _____AC （______________________________）6. 已知：如图，E 为DF 上的点，B 为AC 上的点，∠1=∠2，AC ∥DF ．求证：∠C =∠D ． 证明：如图， ∵∠1=∠2 （__________________________________） ∠1=∠3 （__________________________________）∴∠2=∠3 （__________________________________）∴BD ∥CE（__________________________________）∴∠C =∠ABD （__________________________________） ∵AC ∥DF （__________________________________） ∴∠D =∠ABD （__________________________________） ∴∠C =∠D（ 等量代换 ）7. 已知：如图，AB ∥DE ，∠BAC =70°，则∠ACD =__________．理由可叙述如下： ∵AB ∥DE（____________________________） ∴∠BAC +_____=180° （____________________________） ∵∠BAC =70°（____________________________）∴∠ACD =180°-∠BAC=180°-70°=110° （ 等式性质 ）思考小结1. 动手操作：利用如图所示的方式，可以折出“过直线外一点和已知直线平行”的直线，依据是______________________．4A BCD 231EACBDE 312A BD FFEACBD2. 阅读材料什么是推理生活中，我们往往可以通过观察、实验来寻找规律，从而得出结论．但是要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步一步、有理有据地进行推理． 推理就是由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程．其作用是从已知的知识得到未知的知识，特别是可以得到不可能通过感觉经验掌握的未知知识．几何推理是我们中学接触最多的一种推理形式．要想进行严格的几何推理，首先要有一些对应前提．这些前提我们叫做“基本事实”或“定理”，比如我们学过的“同位角相等，两直线平行”、“两点确定一条直线”等都是一些基本事实．这些作为大前提，是我们进行推理的主要依据．而根据这些“基本事实”或“定理”，我们对某个句子进行判断或说明的过程就是证明． 例如，如下的推理： 已知：如图，∠ABC =∠1． 求证：AD ∥BC ． 证明：如图， ∵∠ABC =∠1（已知）∴AD ∥BC （同位角相等，两直线平行）我们分析可知，每一个判断都有自己的条件和结论．上述推理中的条件就是∠ABC =∠1，代表着一组同位角相等，而结论就是AD ∥BC ．由条件得到结论的过程叫做证明，而这个证明必须依据基本事实．我们把基本事实放在结论后的括号中，表明我们是以此为依据进行推理的．角的相关计算和证明（讲义）课前预习背默我们到目前学习过的定理：（1）平行线：判定：①_______________，两直线平行；②_______________，两直线平行； ③_______________，两直线平行．性质：①两直线平行，_______________；②两直线平行，_______________； ③两直线平行，_______________．（2）余角、补角、对顶角：同角（或等角）的余角__________；同角（或等角）的补角________；对顶角________．（3）三角形：三角形的内角和等于_______；直角三角形两锐角________； 三角形的一个外角等于______________________________．知识点睛在证明的过程中，由平行想到____________、____________、____________； 由垂直想到__________________、____________________； 由外角想到________________________________________．精讲精练1. 如图，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC =45°，∠CEF =155°，则∠BCE =_________．1DCBAF EBA2. 如图，在正方形ABCD 中，∠ADC =∠DCB =90°，G 是BC 边上一点，连接DG ，AE ⊥DG 于点E ，CF ⊥DG 于点F ．若∠DAE =25°，∠GCF =_________． 3. 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，∠C =45°，在Rt △AFG 中，∠G =90°，∠F AG =45°，∠CAG =20°，则∠AEB =_______，∠ADC =________．4. 如图，点F 是△ABC 边BC 延长线上一点，EF ∥AC ，过点E 作ED ⊥AB 于点D ，交AC 于点G ．若∠A =35°，则 ∠DEF =______． 5. 如右图，在△ABC 中，∠B =60°，P 为BC 上一点，且∠1=∠2，则∠APD =______．6. 已知：如图，直线BD 交CF 于点D ，交AE 于点B ，连接AD ，BC ，∠1+∠2=180°，∠A =∠C ．求证：DA ∥CB ． 证明：如图，∵∠1+∠2=180° （__________________________） ∠2+∠CDB =180° （__________________________） ∴_______=_______ （__________________________） ∴______∥________ （__________________________） ∴∠A +∠CDA =180° （__________________________）∵∠A =∠C （__________________________） ∴______+______=180° （__________________________）∴DA ∥CB （__________________________）7. 已知：如图，E ，F 分别在AB ，CD 上，EC ⊥AF ，垂足为点O ，∠1+∠C =90°，∠2=∠D ．求证：AB ∥CD ．21O E FDCBA8. 如图，在△ABC 中，∠B =35°，∠C =75°，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC ，求∠EAD 的度数．E DC A第6题图21F EDCB A21PDBAGF E DCBAG FE DCAGFE DCB A9. 已知：如图，点E 是△ABC 边BC 延长线上一点，BP 平分∠ABC ，CP 平分△ABC 的外角∠ACE ．求证：∠A =2∠P ． 证明：如图，设∠PBC =α，∠PCE =β ∵BP 平分∠ABC （_____________________） ∴∠ABC =2∠PBC =2α （_____________________） ∵CP 平分∠ACE（_____________________）∴∠ACE =______=_______ （_____________________） ∵∠ACE 是△ABC 的一个外角（_____________________） ∴∠ACE =∠ABC +∠A （_____________________） ∴2β=2α+∠A（_____________________）∴∠A =2(β-α) （_____________________）∵∠PCE 是△BCP 的一个外角（_____________________） ∴∠PCE =∠PBC +∠P（_____________________）∴β=______+_______ （_____________________）∴∠P =β-α （_____________________） ∴∠A =2∠P （_____________________）10. 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠ACB ，CD ⊥AB ，垂足D ．求证：∠A =2∠BCD ．巩固练习1. 已知：如图，AB ⊥BD 于点B ，ED ⊥BD 于点D ，C 是线段BD上一点．若AC ⊥CE ，∠A =30°，则∠E =______．ABC DE21C B A第1题图 第2题图 第3题图2. 已知：如图，△ABC 为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1+∠2=____________．PEC BAD CBAD AE F3. 已知：如图，∠A =32°，∠B =45°，∠C =38°，则∠DFE =（ ） A ．120° B ．115° C ．110° D ．105°4. 已知：如图，在△ABC 中，∠A :∠B =1:2，DE ⊥AB 于E ，且∠FCD =60°，则∠D =（ ） A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°5. 已知：如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ．求证：1902D A∠=︒+∠．证明：如图，设∠DBC =α，∠DCB =β ∵BD 平分∠ABC （__________________________） ∴∠ABC =2∠DBC =2α （__________________________）∵CD 平分∠ACB（__________________________）∴∠ACB =______=_____ （__________________________） ∵∠ABC +∠ACB +∠A =180°（________________________） ∴2α+2β+∠A =180°（ 等量代换 ）∴α+β=_______________ （ 等式性质 ）∵∠DBC +∠DCB +∠D =180° （_______________________） ∴____________________（__________________________） ∴α+β=______________ （__________________________）∴190=1802A D︒-︒-∠∠ （ 等量代换 ）∴1902D A∠=︒+∠（ 等式性质 ）6. 已知：如图，AB ∥DE ，∠1=∠ACB ，AC 平分∠BAD ．求证：AD ∥BC ．7. 已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，EF ⊥AD 于点P ，交BC 的延长线于点M ．已知∠ACB =70°，∠B =40°，求∠M 的度数．ABCDA B CDE F1BCD MPF AEEFA。
初中数学第二章
初中数学第二章
数学是一门重要的学科，它的知识点众多，其中第二章主要介绍了关于平面图形的内容。
平面图形是由线段、直线段、点等简单图形组成，其中包括了圆、矩形、正方形、长方形、三角形、梯形等。
对于这些图形，我们可以通过计算它们的周长和面积来求解相关的问题。
首先来看周长，它指的是图形的边长之和。
例如，对于三角形，它的周长可以通过计算三条边的长度之和得出。
而对于圆，则需计算圆的周长，即圆的边界长度。
根据圆的定义，我们知道它的周长公式为2πr，其中r为圆的半径，π为一个常数，约等于3.14。
而对于面积，则是指图形所围成的空间大小。
例如，对于矩形，我们可以通过计算它的长和宽的乘积来求解面积。
而对于三角形，则需要按照海伦公式或其他公式进行计算。
而对于圆，则需计算圆的面积，圆面积公式为πr^2。
在解决平面图形问题时，我们还需要了解一些基本的性质和定理。
例如，对于平行四边形，它们的对边互相平行且相等；对于等腰三角形，它的底边中线和高互相相等；对于相似三角形，它们的对应边成比例。
掌握这些基本的性质和定理，对于解决平面图形问题有很大的帮助。
总之，通过学习第二章的内容，我们可以更好地掌握平面图形的基本概念和性质，同时也为解决相关问题提供了基础。
高中数学第二章解析几何初步本章知识体系课件高一数学课件
解析几何 初步 (jiě xī jǐhé)
12/13/2021
第一页，共三十八页。
本章(běn zhānɡ)知识体系
12/13/2021
第二页，共三十八页。
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第三页，共三十八页。
专题一 倾斜角、斜率问题 【例 1】 已知点 A(2，－1)，B(5,3)，若直线 l：kx－y＋1 ＝0 与线段 AB 相交，求 k 的取值范围． 【思路探究】 k 为直线 l 的斜率，所以本题可以从倾斜角 入手，找出满足条件的直线 l 的极端位置的斜率，根据倾斜角的 变化情况求 k 的取值范围，也可以写出直线 AB 的方程，与 l 联 立，求出交点的坐标，再对坐标的范围加以限制，这也是一种比 较常见的思路和解法．
立方程组4kxx－－y3＋y－1＝110＝. 0， 解得 x＝－3k1－4 4，满足 2≤3－k－144≤5，解得－1≤k≤25.
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已知实数 x，y 满足 y＝－2x＋8，且 2≤x≤3，求yx的最大值 和最小值．
解：如图，由已知，点 P(x，y)在线段 AB 上运动，其中 A(2,4)， B(3,2)，而yx＝yx－ －00，其几何意义为直线 OP 的斜率，由图可知 kOB≤kOP≤kOA，而 kOB＝23，kOA＝2.
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第三十三页，共三十八页。
(2)证明：由(1)及中点坐标公式，得
E(123，－14， 66)，F(－123，14，0)，
因为⊙M 的方程为(x－4)2＋(y－1)2＝8， 又(3－4)2＋(0－1)2<8，所以点 A 在⊙M 的内部， 所以直线 l 与⊙M 相交．
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第十八页，共三十八页。
高中数学第2章解三角形22三角形中的几何计算课件北师大版必修5
1．与传统的三角形面积的计算方法相比，用两边及其夹角 正弦值之积的一半求三角形的面积有什么优势？
第3页
答：主要优势是不必计算三角形的高，只要知道三角形的 “基本量”就可以求其面积．
第4页
2．求三角形面积的常用公式． 答：(1)S＝21aha(a 为 BC 的边长，ha 为 BC 边上的高)． (2)S＝a4bRc(R 是三角形外接圆的半径)． (3)S＝2R2sinAsinBsinC(R 是三角形外接圆的半径)．
第8页
【解析】 ∵tanB＝12，∴0<B<π2 .
∴sinB＝
55，cosB＝2 5
5 .
又∵tanC＝－2，∴π2 <C<π.
∴sinC＝2
5 5，cosC＝－
5 5.
第9页
则 sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC
＝ 55×(－ 55)＋255×255＝35.
∵sinaA＝sibnB，∴a＝bssiinnBA＝
∴S＝12absinC＝2
3 3.
第15页
题型二 正、余弦定理的综合问题与方程思想 例 2 在四边形 ABCD 中，已知 AD⊥CD，AD＝10，AB＝ 14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求 BC 的长．
第16页
【思路分析】 欲求 BC，在△BCD 中，已知∠BCD，∠BDC 可求，故需再知一条边；而已知∠BDA 和 AB，AD，故可在△ABD 中，用正弦定理或余弦定理求得 BD.这样在△BCD 中，由正弦定 理可求 BC.
第31页
2．等腰三角形的周长为 8，底边为 2，则底角的余弦值等于
()
2 A. 4
B．2 2
1
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§2 圆与正多边形 一、 与圆有关的各量计算公式
⌒AMBBCABAT21
式中⌒AMB表示AMB弧所对应的圆心
角∠AOB的角度（下同），C为ANB弧上的任意点.
[两割线及其夹角]
)(21⌒⌒ACBD AE·BE= CE·DE=ET2
⌒⌒BDACAEC
2
1
AE·BE= CE·DE=r2-OE2
式中r为圆的半径.
)(21''⌒⌒TATTBT [圆内接四边形面积S] ))()()((dpcpbpapS 式中)(
2
1
dcbap
a,b,c,d为四边
二、 与圆有关的各种图形的面积、几何重心与转动惯量计算公式 图形 面积、几何重心与转动惯量 O为圆心,r为半径,d为直径
O为圆心,r为半径,d为直径
周长 drL2 重心 G与圆心O重合 转动惯量 (a)转轴通过圆心,且垂直于圆所在平面(图(a)) mrrJ232
(b)转轴与圆圈的直径重合(图(b))
mrrJ223
(c)转轴为圆圈的一条切线(图(c )) mrrJ23233
面积 22
4drS
重心 G与圆心O重合 转动惯量 (a)转轴通过圆心,且垂直于圆所在平面(图(a))
mrrJ2224
(b)转轴与圆的直径重合(图(b)) mrrJ4424
(c)转轴为圆的某直径平行,其距离为h(图(c )) 2224rhrJ
mhr224 图形 面积、几何重心与转动惯量 r为半径,b为弦长,为弧s所对应的圆心角的度数,为其弧度数,O为圆心
面积 2
2
1rS
重心 rrGO4244.0
3
4
转动惯量
(a) 转轴与GO重合(图(a)) mrrJ4824
(b) 转轴通过G点,且平行于直径AB(图(b))
72)649(24r
J
mr)649(36222
弧长 rrs
180
面积 2
2
2136021rr
rsS
重心 2sin3432rrs
b
GO
2sin240r 转动惯量 (a) 转轴在图形平面上通过G点,且垂直于GO(图(a))
)cos1(932sin84rJ
marcos1932sin
4
2
(b) 转轴与GO重合(图(b)) )sin(84rJ mr)sin(42 (当2
时,即为四分之一圆形)
图形 面积、几何重心与转动惯量 r为半径,b为弦长(b=2a),h为拱高,为圆心角度数,为圆心角弧度数,s为弧长,O为圆心
R为外半径,r为内半径,D为外直径,d为内直径,O为圆心
弦长 2sin22rab
hhar222
ah4tan
拱高 4tan4sin22rh 面积 222360ararS 2222
1arar
2)()sin(212bhbsrr
重心
sin2sin3412132rsbGO
(当180
时,弓形即为半圆形)
转动惯量
(a) 转轴与GO重合(图(a)) )cossinsin43(24
4
rJ
(b) 转轴通过重心G,且与弦平行(图(b))
)sin2sin642cossin99(7264rJ 面积 )(
4)(2222dDrRS
tR2 式中 t=R-r为环宽,
2rRR为平均直径
重心 G与圆心O重合 转动惯量 转轴在图形平面上,且通过G点 (图(a))
64)(44dDJ
mdD)(16122
图形 面积、几何重心与转动惯量 RtrR,,,同前,为所对应的圆心角的度数,为其弧度数
r为半径,d为直径,l为圆心距,OO,为新月形张开角度,为其弧度数
面积 RtrRS
180)(36022
tR
重心 22
sin
322233rRrRGO
22sin197.382233rRrR
转动惯量 转轴与GO重合(图(a)) )sin(8
44
rRJ
mrR)sin(422
面积 )sin
180(2rS
)sin(2
r
2r
式中 sin180
重心 lGO
23
lGO
2'
dl 0.1 0.2 0.3 0.4 0.399 0.795 1.182 1.556
dl 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.913 2.247 2.551 2.815 3.024
三、 正多边形各量换算公式与比例系数表 n为边数 R为外接圆半径 a为边长 r为内切圆半径
为圆心角n360 S为多边形面积
重心G与外接圆心O重合
正多边形各量换算公式表 各量 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 正n边形 图
形 S
a R
r
24
3a
24
33R
233r
R3 a3
3
a6
3
2a
22R
24r
R2 a2
2
a2
1
25102541a
R521021 a552102
1
a55252
1
22
33a
22
33R
232r
R
a a2
3
sin22R
n
2tan2nr 2sin2R
2sin2a
2cot2a
正多边形各量比例系数表 n 2/aS 2/RS 2/rS a/R R/a r/a 3 4 5 6 7 8 9 10 0.4330 1.0000 1.7205 2.5981 3.6339 4.8284 6.1818 7.6942 1.2990 2.0000 2.3776 2.5981 2.7364 2.8284 2.8925 2.9389 5.1962 4.0000 3.6327 3.4641 3.3710 3.3137 3.2757 3.2492 1.7321 1.4142 1.1756 1.0000 0.8678 0.7654 0.6840 0.6180 0.5774 0.7071 0.8507 1.0000 1.1524 1.3066 1.4619 1.6180 0.2887 0.5000 0.6882 0.8660 1.0383 1.2071 1.3737 1.5388