高考数学圆的方程典例精讲精练

B．(x＋2)2＋(y－4)2＝20
C．(x－2)2＋(y＋4)2＝10
D．(x－2)2＋(y＋4)2＝20
【提示】 原点在圆上．
【同步训练】
2．过点A(－1，1)，B(0，－2)，且圆心在x轴上的圆的标准方程是( A
)
A．(x－1)2＋y2＝5
B．(x＋1)2＋y2＝5
C．x2＋(y－1)2＝5
解：令x＝0，代入5x＋2y－6＝0，得圆心P(0，3)，
由点到直线的距离公式，得圆的半径为
33 42 9
r＝
＝2，
32 42
因此所求圆的标准方程为x2＋(y－3)2＝4，
故所求圆的一般方程为x2＋y2－6y＋5＝0.
【同步训练】 12．已知圆x2＋y2＋ax＋2ay＋ a ＝0的圆心在直线2x＋y－5＝0上，求
D．x2＋(y＋1)2＝5
3B．已知圆x2＋y2＋ax＋by－4＝0的圆心坐标是(2，－1)，则该圆的半径
为( )
5
A【．提9 示】 设圆心B．坐3标为(a，0C)，．由5 两点之间D距. 离公式得a＝1，r＝ 5.
a
b
【提示】 由－ 2 ＝2，－ 2 ＝－1，得a＝－4，b＝2，r＝3.
【同步训练】
2
圆心坐标和半径．
解：圆心坐标
a 2
,
2a 2
a 2
,
a
,
代入直线方程中可得a＝－
5 2
,
∴圆心坐标为
5 4
,
5 2
,
同时求出r＝ 145 .
4
8.4.2 直线与圆的位置 关系
【知识精讲】
1．点与圆的位置关系：点在圆内、点在圆上和点在圆外． 判断方法：设点到圆心的距离为d，当d<r时，点在圆内；当d＝r 时，点在圆上；当d>r时，点在圆外． 2．直线与圆的位置关系：相离、相切和相交． (1)判定方法： ①直线方程与圆的方程联立方程组，所得一元二次方程的判别式 Δ，Δ>0⇔直线与圆相交，Δ＝0⇔直线与圆相切，Δ<0⇔直线与圆相 离；
【提示】 由方程组可得交点为(a－1，3a－1)，∴(a－1)2＋(3a－1)2<4.
【提示】 设圆心坐标为(0，b)，由两点间距离公式可得b＝1，r＝5.
【同步训练】 9．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4外一点P(2，－2)与该圆上一点之间的最短距 离是____3____． 10．圆心为(2，3)，且过直线x－2y－1＝0与x＋2y＋2＝0的交点的圆的
【典例剖析】
【例1】 求圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的圆心坐标和半径．
【分析】 已知圆的一般方程，求圆心坐标和半径，一般通过配 方将方程化为标准方程的方法，也可利用圆的一般方程的结论．
【答案】 解法一：将方程左边配方，整理得(x－1)2＋(y＋3)2＝2，
∴圆心坐标为(1，－3)，半径为 2.
即5m2－6m＋1>0，∴(5m－1)(m－1)>0，解得m< 1 或m>1，

故实数m的取值范围是
,
1 5
∪(1，＋∞)．
【典例剖析】
【变式训练2】 求过点A(2，－3)，B(－2，－5)，且圆心在直线x－y－1＝0上的 圆的方程．
解：由已知设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 将已知条件代入可解得a＝－1，b＝－2，r2＝10. ∴圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
【提示】 由D2＋E2－4F＝4＋1－4k>0可得．
【提示】 由两点间距离公式d＝ a 12 a 12 <2可得．
【同步训练】 6．过点A(1，2)，且与两坐标轴同时相切的圆的方程为( A ) A．(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y－5)2＝25
B．(x－1)2＋(y－3)2＝2 C．(x－5)2＋(y－5)2＝25 D．(x－1)2＋(y－1)2＝1
解：由圆心在直线2x－7y＝0上可设圆心坐标为
a,
2 7
a
,
再由点到直线的距离公式可求得a＝0或a＝7，
故圆的方程为x2＋y2＝2或(x－7)2＋(y－2)2＝
49 2
.
【知识精讲】
②把圆心到直线的距离d与半径r比较，d<r⇔直线与圆相交，d＝ r⇔直线与圆相切，d>r⇔直线与圆相离．
(2)过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2(也可 先求得斜率，斜率为过已知点和圆心连线斜率的负倒数，再用点斜 式求得切线方程)；求过圆外一点的切线方程，可先设直线方程的点 斜式，再利用d＝r求得k，切线有两条，应注意斜率不存在的情况． 已知直线的斜率求切线方程，可先设直线为点斜式y＝kx＋b，再利用 d＝r，求得待定系数b.
【同步训练】 1．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且l不通过第四象限，则l的斜
率的取值范围是__[_0_，__2_]_． 2．经过点(3，5)和(－3，7)，且圆心在x轴上的圆的方程为
____(_x_＋__2_)_2＋__y_2_＝__5_0___． 【提示】 l通过圆心(1，2)．
【提示】 这两点的垂直平分线与x轴的交点即为圆心．
【同步训练】
3．若直线2x－y＋m＝0被圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25截得的弦长为8，求 实数m的值．
解：由数形结合知圆心到直线的距离为3，
2 2 m
再由点到直线的距离公式d＝
＝3，
5
得m＝4±3 5.
【同步训练】
4．求圆心在直线2x－7y＝0上，且与直线x－y＋2＝0和x＋y－2＝0都 相切的圆的方程．
【知识精讲】 (3)直线与圆相交，弦长公式为l＝ 2 r2 d2 .
3．判断直线与圆的位置关系及求切线方程时常用到的公式． (1)点到直线的距离公式d＝ | Ax0 By0 C | ;
A2 B2
(2)两点间距离公式|P1P2|＝ x2 x1 2 y2 y1 2 .
【回顾反思】
1．掌握直线与圆的位置关系的判断方程． 2．会求直线被圆截得的弦长和切线长，灵活动用弦长和切线长 公式． 3．会求给定条件下的圆的方程．
【提示】 圆心坐标为(6，0)．
【典例剖析】
【例2】 若方程x2＋y2＋(m－1)x＋2my＋m＝0表示的图形是圆， 求实数m的取值范围．
【分析】 满足圆的充要条件即可求得．
【答案】 由题意得D＝m－1，E＝2m，F＝m. 若方程表示圆，则D2＋E2－4F>0，即(m－1)2＋(2m)2－4m>0，
【提示】 设圆心为(a，a)，则半径r＝a，圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2 ＝a2，将点(1，2)代入得a＝1或a＝5.
【同步训练】 二、填空题 7．两直线y＝x＋2a和y＝2x＋a＋1的交点在圆x2＋y2＝4的内部，则实
数a的取值范围是____15__,1__．
8．过点A(3，5)和B(4，－2)，且圆心在y轴上的圆的标准方程是 ___x_2_＋__(_y_－__1_)2_＝__2_5____．
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
.
(1)当D2＋E2－4F>0时，方程①表示圆心为
D , 2
E 2
,
半径为r＝
1 D2 E2 4F 的圆；
2
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程①表示一个点
D 2
,
E 2
;
【知识精讲】
(3)当D2＋E2－4F<0时，方程①不表示任何图形． 4．一般形式的二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示 圆的充要条件如下． (1)B＝0； (2)A＝C≠0； (3)D2＋E2－4F>0.
解法二：∵ D 2 =1, E 6 = 3,
22 22
1 D2 E2 4F 1 22 62 48 2,
2
2
∴圆心坐标为(1，－3)，半径r＝ 2.
【典例剖析】
【变式训练1】 过点P(12，0)且与y轴切于原点的圆的方程为__(_x_－__6_)2_＋__y_2_＝__3_6_．
8.4.1 圆 的 方 程
【知识精讲】
1．圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹．
2．一个圆以C(a，b)为圆心，r为半径，点P(x，y)在圆上，则根据
两点间距离公式得出圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
3．圆的一般方程：将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0①用配方法化为
x
【回顾反思】
1．确定圆的方程需要三个条件同时满足． 2．一般只有已知圆上三点时设圆的一般方程，而其他题设条件 一般可求出圆心和半径，从而得到标准方程．
【同步训练】
一、选择题
1．以点C(－2，4)为圆心，且圆的一条直径的两个端点分别在x轴与y
轴上的圆的标准方程是( B ) A．(x＋2)2＋(y－4)2＝10
325
标准方程为_(_x_－__2_)_2＋__(_y_－__3_)2_＝___1_6_．
【提示】 由圆心(－1，2)到点P(2，－2)的距离与半径之差可得．
【提示】 先求两直线的交点坐标，再用两点间的距离公式求出半径 即可．
【同步训练】
三、解答题 11．(2019年湖北省技能高考真题)设直线5x＋2y－6＝0与y轴的交点 为P，求以P为圆心，以点(3，－2)到直线3x＋4y＋9＝0的距离为半径的 圆的一般方程．
4．若方程x2＋y2－2x＋y＋k＝0表示的图形是一个圆，则实数k的取值范
围是( A )
A.
,
5 4
B.
5 4
,
C.
,
3 2
D.
3 2
,
5．点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是( A )