复变函数5-1
复数与复变函数
6. 乘方与开方 乘方 z r (cos i sin )
z r (cos 2 i sin 2 )
2 2
z r (cos n i sin n )
n n
开方为乘方的逆运算
n 1 n
设wn = z , 令w =r(cosy+isiny)
2kπ 2kπ z r cos( ) i sin( ) n n
ppΒιβλιοθήκη 5 i cosp
5
显然 r z 1,
p p 3p sin cos - cos , 5 2 5 10
3p p p cos sin - sin , 10 5 2 5
3p 3p 故 z cos 10 i sin 10
p
e
3 pi 10
8
9p 9p w1 2 cos i sin , 16 16
8
17p 17p w2 2 cos i sin , 16 16
8
25p 25p w3 2 cos i sin . 16 16
8
w1
w2
y
w0
这四个根是内接于中 心在原点半径为 8 2 的 圆的正方形的四个顶点.
5 相等的概念 1 z乘方公式
w - 1 cos i sin - 1 因为 z w 1 cos i sin 1
2 sin - sin i cos 2 2 2 i tan , 2 2 cos cos i sin 2 2 2
x > 0,
x = 0, y ≠ 0,
argz =
y arctan π x < 0, y ≥ 0, x y arctan - π x < 0, y < 0, x π y π (其中 - arctan ) 2 x 2
复变函数第5讲
例题1
解方程 sin z ish1 .
解： sin z sin x iy sin x cos iy cos x sin iy
sin xchy i cos xshy ish1
sin xchy 0 cos xshy sh1
k
1 2
双曲正弦和双曲余弦函数的性质
1)shz、chz都是以 2 i为周期的函数 .
2)chz 偶函数 , shz 奇函数 .
3) (chz)' shz , ( shz )' chz, shz和chz在 整 个 复 平 面 内 处 处 析 解.
4) 由定义shiy i sin y, chiy cos y.
自然地，定义复平面上的指数函数为
exp( z ) e x (cos y i sin y )
e z : e x (cos y i sin y )
2
注 (1)e z 仅仅是个符号 , 它的定义为 e x (cos y i sin y ) ， 没有幂的意义.
( 2)特别当z的实部x 0时,就得到 Euler 公式 : e iy cos y i sin y .
带形域映射成角形域常用指数函数 .
4
(1.2) 指数函数的性质
(1) f ( z ) e z 在复平面上处处解析， 且(e z ) e z .
(2)加法定理 : e xpz1 e xpz2 e xp(z1 z2 ).
(3) e 是以2 i为周期的周期函数 .
z
这个性质是实变指数函数所没有的！
8
3) sinz是奇函数 , cos z是偶函数 .
4) sinz的零点 , 即方程sinz 0的根为 z k ,
Ch5-复变函数
Ch5-复变函数186-192第五章复变函数复变函数和实变函数有很深的联系，很多复变函数的定理和运算规则都是对实变函数理论的推⼴，明⽩了这⼀点对于学习复变函数有很⼤的帮助。
但是复变函数有很⼤的帮助。
但是复变函数⼜有它⾃⾝的特点，某些运算规则来源于对实变函数运算规则的推⼴，但是⼜有明显不同于实变函数的特点。
本章讲述的是MA TLAB在复变函数中的运⽤。
正是因为复变函数和实变函数有如此深的联系，所以⼤多数处理复变函数的MA TLAB命令和处理实变函数的命令是同⼀个命令。
5-1 复数5-1-1 复数的表⽰1.复数的表⽰我们知道在数学中复数z有实部和虚部组成，表⽰为：z=x+iy，x和y为实数，i为虚数单位。
在MATLAB中也是采⽤这种表⽰⽅式来表⽰复数，只不过除了⽤i表⽰复数单位外，还常常使⽤j表⽰复数单位。
所以我们以后在定义变量时最好不要使⽤i和j，以免让MATLAB系统发⽣混淆，出现错误。
我们可以使⽤直接输⼊的⽅法定义⼀个复数，例如：>> z=2+3iz =2.0000 +3.0000i也可以使⽤命令函数complex()来定义⼀个复数、复数数组和复数矩阵。
范例5-1使⽤命令函数complex()来定义⼀个复数、复数数组和复数矩阵。
程序设计：>> clear>> z1=complex(2,3)z1 =2.0000 +3.0000i>> a=(1:4);b=(5:8);>> z2=complex(a,b)z2 =1.0000 + 5.0000i2.0000 + 6.0000i3.0000 + 7.0000i4.0000 + 8.0000i>> A=[1,2,3;4,5,6];B=[7,8,9'0,1,2];>> A=[1,2,3;4,5,6];B=[7,8,9;0,1,2];>> z3=complex(A,B)z3 =1.0000 + 7.0000i2.0000 + 8.0000i3.0000 + 9.0000i4.00005.0000 + 1.0000i6.0000 + 2.0000i2．有关复数的⼏个命令real(X): 显⽰复数X的实部，这⾥X还可以使复数数组和fushu矩阵。
复变函数1到5章测试题及答案
复变函数1到5章测试题及答案(总20页)--本页仅作预览文档封面，使用时请删除本页--- 2 -第一章 复数与复变函数(答案)一、 选择题1．当iiz -+=11时，5075100z z z ++的值等于（B ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．设复数z 满足arg(2)3z π+=，5arg(2)6z π-=，那么=z （A ）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+-（D ）i 2123+-3．复数)2(tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（D ）（A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i（C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（C ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（B ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线- 3 -６．一个向量顺时针旋转3π，对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（A ）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得22z z =成立的复数z 是（D ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（B ） （A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --43９．满足不等式2≤+-iz iz 的所有点z 构成的集合是（D ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（C ）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（B ） （A ）221=+-z z （B ）433=--+z z- 4 -（C ）)1(11<=--a azaz （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则12()f z z -=（C ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．000Im()Im()limz z z z z z →--（D ）（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（C ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续15．设C z ∈且1=z ，则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为（A ）（A ）3- （B ）2- （C ）1- （D ）1二、填空题1．设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=，则=z2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 8arctan -π 3．设43)arg(,5π=-=i z z ，则=z i 21+- 4．复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 ie θ16- 5 -5．以方程i z 1576-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式522<++-z z522=++-z （或1)23()25(2222=+y x ） 的内部 ７．方程1)1(212=----zi iz 所表示曲线的直角坐标方程为 122=+y x８．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连接点 12i -+ 和 2i - 的线段的垂直平分线９．对于映射zi =ω，圆周1)1(22=-+y x 的像曲线为()2211u v -+= 10．=+++→)21(lim 421z z iz 12i -+三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ，试求2+z 的取值范围． (]25,25[+-（或25225+≤+≤-z ）) 四、设0≥a ，在复数集C 中解方程a z z =+22. (当10≤≤a 时解为i a )11(-±±或)11(-+±a 当+∞≤≤a 1时解为)11(-+±a ) 五、设复数i z ±≠，试证21zz+是实数的充要条件为1=z 或Im()0z =. 六、对于映射)1(21zz +=ω，求出圆周4=z 的像.- 6 -(像的参数方程为π≤θ≤⎪⎩⎪⎨⎧θ=θ=20sin 215cos 217v u ．表示w 平面上的椭圆1)215()217(2222=+v u ) 七、设iy x z +=，试讨论下列函数的连续性：1.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,2)(22z z y x xyz f2.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f .(1．)(z f 在复平面除去原点外连续，在原点处不连续； 2．)(z f 在复平面处处连续)第二章 解析函数（答案）一、选择题：1．函数23)(z z f =在点0=z 处是( B )（A ）解析的 （B ）可导的（C ）不可导的 （D ）既不解析也不可导 2．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( B )（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件也非必要条件 3．下列命题中，正确的是( D )（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x- 7 -（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C ）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析 （D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是( C )（A ）xyi y x 222-- （B ）xyi x +2 （C ）)2()1(222x x y i y x +-+- （D ）33iy x + 5．函数)Im()(2z z z f =在0z =处的导数( A )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于1- （D ）不存在 6．若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常 数=a ( C )（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2- 7．如果)(z f '在单位圆1<z 内处处为零，且1)0(-=f ，那么在1<z 内≡)(z f ( C )（A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）任意常数8．设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是( C )（A ）若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 （B ）若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 （C ）若)(z f 与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是一常数- 8 -（D ）若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 9．设22)(iy x z f +=，则=+')1(i f ( A )（A ）2 （B ）i 2 （C ）i +1 （D ）i 22+ 10．i i 的主值为( D )（A ）0 （B ）1 （C ）2πe （D ）2e π-11．z e 在复平面上( A )（A ）无可导点 （B ）有可导点，但不解析 （C ）有可导点，且在可导点集上解析 （D ）处处解析 12．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( C )（A ）)(z f 在复平面上处处解析 （B ）)(z f 以π2为周期（C ）2)(iziz e e z f --= （D ）)(z f 是无界的13．设α为任意实数，则α1( D )（A ）无定义 （B ）等于1（C ）是复数，其实部等于1 （D ）是复数，其模等于114．下列数中，为实数的是( B )（A ）3)1(i - （B ）i cos （C ）i ln （D ）i e 23π-15．设α是复数，则( C )（A ）αz 在复平面上处处解析 （B ）αz 的模为αz- 9 -（C ）αz 一般是多值函数 （D ）αz 的辐角为z 的辐角的α倍 二、填空题1．设i f f +='=1)0(,1)0(，则=-→zz f z 1)(limi +1 2．设iv u z f +=)(在区域D 内是解析的，如果v u +是实常数，那么)(z f 在D 内是 常数 3．导函数x v i x u z f ∂∂+∂∂=')(在区域D 内解析的充要条件为 xv x u ∂∂∂∂,可微且满足222222,xvy x u y x v x u ∂∂-=∂∂∂∂∂∂=∂∂ 4．设2233)(y ix y x z f ++=，则=+-')2323(i f i 827427- 5．若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=，那么=)(z f ic xyi y x ++-222或ic z +2c 为实常数6．函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z i 处可导 7．设z i z z f )1(51)(5+-=，则方程0)(='z f 的所有根为 3,2,1,0),424sin 424(cos 28=π+π+π+πk k i k8．复数i i 的模为),2,1,0(2 ±±=π-k e k9．=-)}43Im{ln(i 34arctan -- 10 -10．方程01=--z e 的全部解为),2,1,0(2 ±±=πk i k三、试证下列函数在z 平面上解析，并分别求出其导数 1．;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -= （;sin )(z z f -='）2．);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f x x ++-=（.)1()(z e z z f +='） 四、已知22y x v u -=-，试确定解析函数iv u z f +=)(. （c i z i z f )1(21)(2++-=.c 为任意实常数）第三章 复变函数的积分（答案）一、选择题：1．设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2( D )（A ）i 6561- （B ）i 6561+- （C ）i 6561-- （D ）i 6561+2．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为( D)（A ）2i π （B ）2iπ- （C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能 3．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz z zc c c 212sin ( B ) （A ） i π2- （B ）0 （C ）i π2 （D ）i π44．设c 为正向圆周2=z ，则=-⎰dz z zc2)1(cos ( C)（A ）1sin - （B ）1sin （C ）1sin 2i π- （D ）1sin 2i π5．设c 为正向圆周21=z ，则=--⎰dz z z z c23)1(21cos( B) （A ）)1sin 1cos 3(2-i π （B ）0 （C ）1cos 6i π （D ）1sin 2i π-6．设ξξξξd ze zf ⎰=-=4)(，其中4≠z ，则='）i f π(( A ) （A ）i π2- （B ）1- （C ）i π2 （D ）1 7．设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零，c 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分dz z f z f z f z f c ⎰+'+'')()()(2)( ( C )（A ）于i π2 （B ）等于i π2- （C ）等于0 （D ）不能确定 8．设c 是从0到i 21π+的直线段，则积分=⎰cz dz ze （ A ）（A ）21eπ-(B) 21eπ-- (C)i e21π+(D) i e21π-9．设c 为正向圆周0222=-+x y x ，则=-⎰dz z z c1)4sin(2π( A )（A ）i π22（B ）i π2 （C ）0 （D ）i π22-10．设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1，则=-⎰cdz i a zz 2)(cos ( C) （A ）ie π2 （B ）eiπ2 （C ）0 （D ）i i cos 11．设)(z f 在区域D 内解析，c 为D 内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D ．如果)(z f 在c 上的值为2，那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( C )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于2 （D ）不能确定12．下列命题中，不正确的是( D ) （A ）积分⎰=--ra z dz a z 1的值与半径)0(>r r 的大小无关 （B ）2)(22≤+⎰cdz iy x ,其中c 为连接i -到i 的线段（C ）若在区域D 内有)()(z g z f ='，则在D 内)(z g '存在且解析 （D ）若)(z f 在10<<z 内解析，且沿任何圆周)10(:<<=r r z c 的积分等于零，则)(z f 在0=z 处解析13．设c 为任意实常数，那么由调和函数22y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(是 ( D)(A)c iz +2 （B ） ic iz +2 （C ）c z +2 （D ）ic z +2 14．下列命题中，正确的是(C)（A ）设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v =（B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数 （C ）若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则xu∂∂为D 内的调和函数 （D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15．设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是( B )（A ）),(),(y x iu y x v + （B ）),(),(y x iu y x v - （C ）),(),(y x iv y x u - （D ）xv i x u ∂∂-∂∂二、填空题1．设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=⎰cdz z 2 22．设c 为正向圆周14=-z ，则=-+-⎰c dz z z z 22)4(23 i π103．设⎰=-=2)2sin()(ξξξξπd z z f ,其中2≠z ，则=')3(f 0 4．设c 为正向圆周3=z ，则=+⎰cdz zzz i π6 5．设c 为负向圆周4=z ，则=-⎰c z dz i z e 5)(π 12iπ 6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 平均值7．设)(z f 在单连通域B 内连续，且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=⎰cdz z f ，那么)(z f 在B 内 解析8．调和函数xy y x =),(ϕ的共轭调和函数为 C x y +-)(21229．若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部，则常数=a -3 10．设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ，那么),(y x v 的共轭调和函数为),(y x u -三、计算积分 1.⎰=+-R z dz z z z)2)(1(62,其中1,0≠>R R 且2≠R ; （当10<<R 时，0； 当21<<R 时，i π8； 当+∞<<R 2时，0） 2.⎰=++22422z z z dz．（0） 四、求积分⎰=1z zdz z e ，从而证明πθθπθ=⎰0cos )cos(sin d e .（i π2）五、若)(22y x u u +=，试求解析函数iv u z f +=)(. （321ln 2)(ic c z c z f ++=（321,,c c c 为任意实常数））第四章 级 数（答案）一、选择题：1．设),2,1(4)1( =++-=n n nia n n ，则n n a ∞→lim ( C )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于i （D ）不存在 2．下列级数中，条件收敛的级数为( C )（A ）∑∞=+1)231(n n i （B ）∑∞=+1!)43(n nn i （C ） ∑∞=1n n n i （D ）∑∞=++-11)1(n n n i3．下列级数中，绝对收敛的级数为(D )（B ） ∑∞=+1)1(1n n i n （B ）∑∞=+-1]2)1([n n n in(C)∑∞=2ln n n n i （D ）∑∞=-12)1(n nnn i 4．若幂级数∑∞=0n n n z c 在i z 21+=处收敛，那么该级数在2=z 处的敛散性为( A )（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）不能确定 5．设幂级数∑∑∞=-∞=01,n n n n nn znc z c 和∑∞=++011n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是( D )（A ）321R R R << （B ）321R R R >> （C ）321R R R <= （D ）321R R R == 6．设10<<q ，则幂级数∑∞=02n n n z q 的收敛半径=R ( D )（A ）q （B ）q1（C ）0 （D ）∞+ 7．幂级数∑∞=1)2(2sinn n z n n π的收敛半径=R ( B ) （A ） 1 （B ）2 （C ）2 （D ）∞+8．幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<z 内的和函数为( A )（A ）)1ln(z + （B ）)1ln(z - （D ）z +11ln(D) z-11ln 9．设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n nn z c ，那么幂级数∑∞=0n n n z c 的收敛半径=R ( C )（A ）∞+ （B ）1 （C ）2π（D ）π 10．级数+++++22111z z z z的收敛域是( B ) （A ）1<z （B ）10<<z （C ）+∞<<z 1 （D ）不存在的 11．函数21z在1-=z 处的泰勒展开式为( D)（A ）)11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n （B ）)11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n（C ）)11()1(11<++-∑∞=-z z n n n （D ）)11()1(11<++∑∞=-z z n n n12．函数z sin ，在2π=z 处的泰勒展开式为( B )（A ）)2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n（B ）)2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n nn（C ）)2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n（D ）)2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n nn13．设)(z f 在圆环域201:R z z R H <-<内的洛朗展开式为∑∞-∞=-n n nz z c)(0，c 为H 内绕0z 的任一条正向简单闭曲线，那么=-⎰c dz z z z f 2)()(( B )(A)12-ic π （B ）12ic π （C ）22ic π （D ）)(20z f i 'π14．若⎩⎨⎧--==-+=,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ，则双边幂级数∑∞-∞=n n n z c 的收敛域为( A ) （A ）3141<<z （B ）43<<z（C ）+∞<<z 41 （D ）+∞<<z 3115．设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个，那么=m ( C )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 二、填空题1．若幂级数∑∞=+0)(n n n i z c 在i z =处发散，那么该级数在2=z 处的收敛性为 发散2．设幂级数∑∞=0n nn z c 与∑∞=0)][Re(n n n z c 的收敛半径分别为1R 和2R ，那么1R 与2R 之间的关系是 12R R ≥ ．3．幂级数∑∞=+012)2(n n n z i 的收敛半径=R22 4．设)(z f 在区域D 内解析，0z 为内的一点，d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离，那么当d z z <-0时，∑∞=-=00)()(n n n z z c z f 成立，其中=n c ),2,1,0()(!10)( =n z f n n 或（)0,2,1,0()()(21010d r n dz z z z f ir z z n <<=-π⎰=-+ ）． 5．函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为 )1(12)1(012<+-∑∞=+z z n n n n ．6．设幂级数∑∞=0n nn z c 的收敛半径为R ，那么幂级数∑∞=-0)12(n n n n z c 的收敛半径为2R． 7．双边幂级数∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 的收敛域为 211<-<z ． 8．函数zze e 1+在+∞<<z 0内洛朗展开式为 nn nn z n z n ∑∑∞=∞=+00!11!1 ． 9．设函数z cot 在原点的去心邻域R z <<0内的洛朗展开式为∑∞-∞=n n nz c，那么该洛朗级数收敛域的外半径=R π ．10．函数)(1i z z -在+∞<-<i z 1内的洛朗展开式为 ∑∞=+--02)()1(n n nn i z i 三、若函数211z z --在0=z 处的泰勒展开式为∑∞=0n nn z a ，则称{}n a 为菲波那契(Fibonacci)数列，试确定n a 满足的递推关系式，并明确给出n a 的表达式． （)2(,12110≥+===--n a a a a a n n n ，),2,1,0(})251()251{(5111 =--+=++n a n n n ） 四、求幂级数∑∞=12n nz n 的和函数，并计算∑∞=122n n n 之值.（3)1()1()(z z z z f -+=，6）五、将函数)1()2ln(--z z z 在110<-<z 内展开成洛朗级数.（n n nk k z k n z z z z z z )1()1)1(()2ln(111)1()2ln(001-+--=-⋅⋅-=--∑∑∞==+）第五章 留 数(答案)一、选择题： 1．函数32cot -πz z在2=-i z 内的奇点个数为 ( D ) （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．设函数)(z f 与)(z g 分别以a z =为本性奇点与m 级极点，则a z =为函数)()(z g z f的( B )（A ）可去奇点 （B ）本性奇点 （C ）m 级极点 （D ）小于m 级的极点 3．设0=z 为函数zz ex sin 142-的m 级极点，那么=m ( C ) （A ）5 （B ）4 (C)3 （D ）2 4．1=z 是函数11sin)1(--z z 的( D ) (A)可去奇点 （B ）一级极点 （C ） 一级零点 （D ）本性奇点5．∞=z 是函数2323z z z ++的( B ) (A)可去奇点 （B ）一级极点（C ） 二级极点 （D ）本性奇点6．设∑∞==0)(n n n z a z f 在R z <内解析，k 为正整数，那么=]0,)([Re k zz f s ( C ) （A ）k a （B ）k a k ! （C ）1-k a （D ）1)!1(--k a k7．设a z =为解析函数)(z f 的m 级零点，那么='],)()([Re a z f z f s ( A ) (A)m （B ）m - （C ） 1-m （D ）)1(--m8．在下列函数中，0]0),([Re =z f s 的是（ D ）（A ） 21)(ze zf z -= （B ）z z z z f 1sin )(-= （C ）z z z z f cos sin )(+= (D) ze zf z 111)(--= 9．下列命题中，正确的是( C )（A ） 设)()()(0z z z z f m ϕ--=，)(z ϕ在0z 点解析，m 为自然数，则0z 为)(z f 的m 级极点．（B ） 如果无穷远点∞是函数)(z f 的可去奇点，那么0]),([Re =∞z f s（C ） 若0=z 为偶函数)(z f 的一个孤立奇点，则0]0),([Re =z f s（D ） 若0)(=⎰cdz z f ，则)(z f 在c 内无奇点10． =∞],2cos [Re 3zi z s ( A ) （A ）32- （B ）32 （C ）i 32 （D ）i 32- 11．=-],[Re 12i ez s i z ( B) （A ）i +-61 （B ）i +-65 （C ）i +61 （D ）i +65 12．下列命题中，不正确的是( D)（A ）若)(0∞≠z 是)(z f 的可去奇点或解析点，则0]),([Re 0=z z f s（B ）若)(z P 与)(z Q 在0z 解析，0z 为)(z Q 的一级零点，则)()(],)()([Re 000z Q z P z z Q z P s '= （C ）若0z 为)(z f 的m 级极点，m n ≥为自然数，则)]()[(lim !1]),([Re 1000z f z z dzd n z z f s n n nx x +→-= （D ）如果无穷远点∞为)(z f 的一级极点，则0=z 为)1(zf 的一级极点，并且)1(lim ]),([Re 0zzf z f s z →=∞ 13．设1>n 为正整数，则=-⎰=211z ndz z ( A ) (A)0 （B ）i π2 （C ）n i π2 （D ）i n π214．积分=-⎰=231091z dz z z ( B ) （A ）0 （B ）i π2 （C ）10 （D ）5i π 15．积分=⎰=121sin z dz z z ( C ) （A ）0 （B ）61-（C ）3i π- （D ）i π- 二、填空题 1．设0=z 为函数33sin z z -的m 级零点，那么=m 9 ．2．函数z z f 1cos 1)(=在其孤立奇点),2,1,0(21 ±±=+=k k z k ππ处的留数=]),([Re k z z f s 2)2()1(π+π-k k． 3．设函数}1exp{)(22zz z f +=，则=]0),([Re z f s 0 4．设a z =为函数)(z f 的m 级极点，那么='],)()([Re a z f z f s m - ． 5．设212)(zz z f +=，则=∞]),([Re z f s -2 ． 6．设5cos 1)(z z z f -=，则=]0),([Re z f s 241- ． 7．积分=⎰=113z z dz e z 12i π ．8．积分=⎰=1sin 1z dz z i π2 ． 三、计算积分⎰=--412)1(sin z z dz z e z z ．(i π-316) 四、设a 为)(z f 的孤立奇点，m 为正整数，试证a 为)(z f 的m 级极点的充要条件是b z f a z m az =-→)()(lim ，其中0≠b 为有限数． 五、设a 为)(z f 的孤立奇点，试证：若)(z f 是奇函数，则]),([Re ]),([Re a z f s a z f s -=；若)(z f 是偶函数，则]),([Re ]),([Re a z f s a z f s --=．。
复变函数5章：留数
而 3z + 2 在z=0处解析，且不等于0，所以z=0为二级极点 =0处解析 且不等于0 所以z=0为二级极点 处解析，
z+2
§5.1 孤 立 奇 点
二 孤立奇点的分类
2. 极 点 【例】求下列函数的奇点，如果是极点，指出级数 求下列函数的奇点，如果是极点，
f (z) = ∑cn (z − z0 )n , ( 0 < z − z0 < δ )
∞ n=0
则称孤立奇点 则称孤立奇点z0为f(z)的可去奇点 孤立奇点z 【注】令f(z0)=c0，则f(z)在z0处解析
§5.1 孤 立 奇 点
二 孤立奇点的分类
f (z) =
n=−∞
cn (z − z0 )n , ∑
z→z0
或写作 lim f (z) = ∞.
z→z0
§5.1 孤 立 奇 点
二 孤立奇点的分类
2. 极 点 【例】求下列函数的奇点，如果是极点，指出级数 求下列函数的奇点，如果是极点，
3z + 2 (1) f (z) = 2 , z (z + 2)
1 (2) 3 z − z2 − z + 1
解：(1) z=0, -2为函数f(z)的孤立奇点 为函数f 由于
3z + 2 (1) f (z) = 2 , z (z + 2)
1 (2) 3 z − z2 − z + 1
解：(1) z=0, -2为函数f(z)的孤立奇点 为函数f 同理
1 3z + 2 3z + 2 = 2 z (z + 2) z + 2 z 2
复变函数-5
e
1 Lna n
e
1 (ln n
a i arg a 2 ki )
e
1 ln n
a
e
i
arg a 2 k n
(k 0,1,2n 1)
arg a 2k arg a 2k a (cos i sin ) a n n
n
1 n
——此时为n值的 (3) 当b为无理数或复数时，乘幂ab 是无穷多值的。
例2.3.5
求1 、i 和i 的值。
2
2
i
2 3
解
1
i
e
2Ln1
e
2 (ln 1 2 ki )
e
2 k 2i
cos(2k 2 i sin(2k 2 ), k Z;
i e
iLni
e
i (ln i i 2ki ) 2
e
( 2k ) 2
， k Z;
( 3 ) 连续性: ln z在除去原点与负实轴外 处处连续。
因为 ln z ln | z | i arg z 的实部 ln | z | ln x y
2 2
在实平面R2上除原点外处处连续，虚部 arg z 在实
平面上除原点和负实轴外处处连续。
(4) 解析性: ln z 在除去原点与负实轴外 处处解析，
其中k Z且k 0。
(5) 奇偶性: sin( z) sinz, cos( z) cosz。
双曲正弦与双曲余弦函数的性质 双曲函数具有完全类似于三角函数的性质。
(1) sinh z及 cosh z是单值函数； (2) sinh z及 cosh z在复平面 C上处处解析，且
(sinh z )' cosh z, (cosh z )' sinh z;
第一章复变函数
3）积： 代数式运算
z1 z2 = ( x1 + iy1 )( x2 + iy2 ) = x1 x2 + ix1 y2 + ix2 y1 − y1 y2
三角运算
z1 z2 = ρ1 (cosθ1 + i sin θ1 ) ρ 2 (cosθ 2 + i sin θ 2 ) = ρ 2 ρ1[(cosθ1 cosθ 2 − i sin θ1 sin θ 2 ) + i (cosθ1 sin θ 2 + cosθ 2 sin θ1 )]
Z 0
y
z0
z0
Z 0
E
x
一点而言。 内点的定义， 内点的定义，不只是对于 Z0 一点而言。 外点
Z0
Z0
及其邻域均不属于点集E 及其邻域均不属于点集E，则称 为点集E的外点。 为点集E的外点。
19
（4）境界点与境界线： 境界点与境界线： 境界点
Z点的每个邻域内，既有属于点集E的点，也 点的每个邻域内，既有属于点集E的点， 0 称为该点集E的境界点 的境界点。 有不属于E的点。 有不属于E的点。点 Z 0称为该点集 的境界点。
A′
x
5、复平面与复数球之关系
A
s
17
§1、2 、
复变函数
一、复变函数的定义与定义域： 复变函数的定义与定义域：
1、复变函数定义： 、复变函数定义： 复数平面上存在一个点集上E 对于E的每一点（每一个Z 复数平面上存在一个点集上E，对于E的每一点（每一个Z ），按照一定的规律 按照一定的规律， 与之相对应， 值），按照一定的规律，有一个或多个复数值 ω 与之相对应， ω ω 的函数--复变函数,z --复变函数,z称为 的宗量。定义域为E 则称 为Z的函数--复变函数,z称为 的宗量。定义域为E，记 ω = f (z) 作, ω 1 ω 2 y 定义域及相关的概念： 2、定义域及相关的概念： （1）定义域： ）定义域： 函数宗量定义的区域。 函数宗量定义的区域。
复变函数 第5讲
v f ( z ) 流线方程为 y(x,y)=c1
等势线方程为 j(x,y)=c2
12
例1 设一平面流速场的复势为f(z)=az(a>0为实 常数), 试求该场的速度, 流函数和势函数. [ 解 ] 因为 f ( z ) a , 所以场中任一点的速度
v f ( z ) a 0 , 方向指向 x 轴正向.
25
应当指出, 如果已知一个调和函数u, 那末就可 以利用柯西-黎曼方程(3.7.1)求得它的共轭调 和函数v, 从而构成一个解析函数u+iv. 下面举 例说明求法. 这种方法可以称为偏积分法. 例1 证明u(x,y)=y33x2y为调 和函数, 并求其共 轭调和函数v(x,y)和由它们构成的解析函数. [解] 1) 因为 2 2 u u u 2 2 u 6 xy, 2 6 y, 3 y 3x , 2 6 y x x y y 所以
6
从而可知vydx+vxdy是某一个二元函数y(x,y) 的全微分, 即 dy(x,y)vydx+vxdy. 由此得
y y v y , vx x y (2.4.3)
7
因为沿等值线y(x,y)=c1
d y vy . 这就 dy(x,y)vydx+vxdy=0, 所以, d x vx
故
g ( x) 3x d x x c
2 3
27
从而得到一个解析函数 w=y33x2y+i(x33xy2+c) 这个函数可以化为 w=f(z)=i(z3+c)
28
作业 第二章习题
第68页开始 第24题
29
流函数y(x,y)=ay, 所以流线是直线 y=c1; 势函数j(x,y)=ax, 所以等势线是直线族 x=c2. 该场的流动图像如下图所示, 它刻划了流体 以等速度 a 从左向右流动的情况
李忠复变函数
李忠复变函数
【实用版】
目录
1.李忠简介
2.复变函数概念
3.李忠对复变函数的研究
4.李忠复变函数的贡献
5.总结
正文
1.李忠简介
李忠，我国著名的数学家，生于 20 世纪初，在数学领域有着广泛的研究。
他的研究领域主要集中在复变函数、实变函数、微分方程等。
李忠在数学界的贡献被广泛认可，曾获得过多个奖项，其中包括国家自然科学奖。
2.复变函数概念
复变函数是指以复数为自变量和函数值的函数，它的研究可以追溯到19 世纪。
复变函数在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用，例如复分析、调和分析等。
3.李忠对复变函数的研究
李忠在复变函数领域的研究主要集中在复变函数的性质、复变函数的积分和级数等方面。
他对复变函数的深入研究，使得他在这个领域取得了举世瞩目的成就。
4.李忠复变函数的贡献
李忠在复变函数领域的贡献主要体现在以下几个方面：
（1）李忠首次提出了“李忠级数”的概念，并且证明了它的收敛性。
这一成果极大地丰富了复变函数的理论体系。
（2）李忠对于复变函数的积分进行了深入的研究，提出了一种新的积分方法，被称为“李忠积分”。
（3）李忠对于复变函数的性质进行了系统的研究，特别是对于复变函数的解析性、全纯性、调和性等基本概念进行了深入的探讨。
5.总结
总的来说，李忠在复变函数领域的研究为我国的数学研究做出了巨大的贡献。
复变函数第五章
这是由于 z 0 为f ( z ) 的孤立奇点而使积分 ∫ f ( z )dz 留下”的值 “留下”
11
定义: 的孤立奇点， 定义 设 z0 为 f (z) 的孤立奇点， f (z) 在 z0 邻域内的洛朗级数中负 称为f 在 留数， 幂次项 (z- z0)–1 的系数 c–1 称为 (z)在 z0 的留数，记作 Res [f (z), z0] 或 Res f (z0)。 。 由留数定义, 由留数定义 Res [f (z), z0]= c–1 (1)
z2 z4 z 2n sin z (1) = 1 − + − L + ( −1) n +L z 3! 5! ( 2n + 1)!
特点：没有负幂次项 特点：
e z 1 +∞ z n +∞ z n −1 1 z z n −1 ( 2) = ∑ = ∑ = + 1+ +L+ +L z z n = 0 n! n = 0 n! z 2! n!
1 把扩充z平面上 平面上∞ 作变换 w = 把扩充 平面上∞的去心邻域 R<|z|<+∞映射成扩充 ∞ z w平面上原点的去心邻域： <| w |< 1 . 平面上原点的去心邻域： 平面上原点的去心邻域 0 R 1
又 f ( z ) = f ( ) = ϕ ( w) .这样 我们可把在去心邻域 这样, 这样 我们可把在去心邻域R<|z|<+∞对f (z)的研 ∞ 的研 w 1 的研究.显然 究变为在 0 <| w |< 1 内对ϕ (w)的研究 显然ϕ (w)在 0 <| w |< 内解 的研究 在 R R 所以w=0是孤立奇点 是孤立奇点. 析, 所以 是孤立奇点 在无穷远点 ∞ lim f ( z ) = lim ϕ ( w ) ⇒ f (z)在无穷远点 z=∞ 的奇点类型