高二精选题库 数学8-6北师大版

第8模块 第6节 [知能演练] 一、选择题

1．椭圆x2＋my2＝1的离心率为32，则m的值为 ( ) A．2或12 B．2

C.14或4 D.14 解析：∵x2＋my2＝1，即x2＋y21m＝1是椭圆，∴m>0.

当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝1，b2＝1m，c2＝a2－b2＝1－1m，此时m>1， 由e＝ca＝c2a2＝1－1m＝32⇒m＝4； 当焦点在y轴上时，a2＝1m，b2＝1，c2＝a2－b2＝1m－1，此时0

由e＝ca＝c2a2＝1m－11m＝32⇒m＝14.故选C. 答案：C 2．动点P为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上异于椭圆顶点(±a,0)的一点，F1、F2为椭圆的两个焦点，动圆C与线段F1P、F1F2的延长线及线段PF2相切，则圆心C的轨迹为除去坐标轴上的点的 ( ) A．椭圆 B．双曲线的右支 C．抛物线 D．一条直线

解析：如右图所示，设三个切点分别为M、N、Q， ∴|PF1|＋|PF2|＝ |PF1|＋|PM|＋|F2N|＝|F1M|＋|F2N|＝|F1N|＋|F2N|＝|F1F2|＋2|F2N|＝2a， ∵|F2N|＝a－c，∴N点是椭圆的右顶点，∴CN⊥x轴，∴C点轨迹为直线． 答案：D 3．以坐标轴为对称轴，离心率为32且经过点(2,0)的椭圆方程是 ( ) A.x24＋y2＝1

B.x24＋y2＝1或x216＋y24＝1 C.x24＋y2＝1或x2＋y24＝1 D.x24＋y2＝1或y216＋x24＝1 解析：由于椭圆的焦点位置不确定，从而分两种情况：(1)当焦点在x轴时，设椭圆方程为：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，

由 ba＝a2－c2a2＝1－c2a2＝1－(32)2＝12，22a2＋02b2＝1， 解得： a＝2，b＝1，(2)当焦点在y轴时，设椭圆方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)，由

 ba＝a2－c2a2＝1－c2a2＝1－(32)2＝1

2，

02a2＋22b2＝1，

解得： b＝2，a＝4，故选D. 答案：D 4．已知椭圆x24＋y23＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，点P为该椭圆上一动点，则当PF2→·PA1

→

取最小值时，|PF2→＋PA1→|的值为 ( ) A．22 B．3 C．23 D.13 解析：由已知得：a＝2，b＝3，c＝1，所以F2(1,0)，

A1(－2,0)，设P(x，y)，所以PF2→·PA1→＝(－2－x)(1－x)＋y2，又点P在椭圆上，所以y2＝3－34x2，代入上式可得： PF2→·PA1→＝(x＋2)(x－1)＋y2＝14x2＋x＋1＝14(x2＋4x＋4)＝14(x＋2)2， 显然当x＝－2时PF2→·PA1→取得最小值，所以P(－2,0)，容易知|PF2→＋PA1→|＝3. 答案：B 二、填空题 5．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(－23，0)，且长轴是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是__________．

解析：设椭圆的标准方程是x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．

由题意知： a＝2b，c＝23，a2＝b2＋c2 解得 a＝4，b＝2，c＝23. ∴标准方程为x216＋y24＝1. 答案：x216＋y24＝1 6．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦距为2c，以点O为圆心，a为半径作圆M.若过点P(a2c，0)所作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为__________． 解析：如右图，切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，

故a2c＝2a，解得e＝ca＝22.

答案：22

三、解答题 7．求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6； (2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆

的长轴长是6，且cos∠OFA＝23. 解：(1)如下图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，

∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18. 故所求的椭圆的方程为x218＋y29＝1.

(2)∵椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝23， ∴A不是长轴的端点(是短轴的端点)． ∴|OF|＝c，|AF|＝a＝3，∴c3＝23. ∴c＝2，b2＝32－22＝5. ∴椭圆的方程是x29＋y25＝1或x25＋y29＝1. 8．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围； (2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．

解：(1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)， |PF1|＝m，|PF2|＝n. 在△PF1F2中，由余弦定理可知， 4c2＝m2＋n2－2mncos60°. ∵m＋n＝2a， ∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4a2－2mn， ∴4c2＝4a2－3mn.即3mn＝4a2－4c2.

又mn≤(m＋n2)2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)， ∴4a2－4c2≤3a2，∴c2a2≥14，即e≥12. ∴e的取值范围是[12，1)． (2)证明：由(1)知mn＝43b2， ∴S△PF1F2＝12mnsin60°＝33b2， 即△PF1F2的面积只与短轴长有关． [高考·模拟·预测] 1．如右图，有公共左顶点和公共左焦点F的椭圆Ⅰ和Ⅱ的长半轴长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，则下列结论不正确的是 ( )

A．a1＋c1>a2＋c2 B．a1－c1＝a2－c2 C．a1c2a2c1 解析：由题意知，a1＝2a2，c1>2c2，则有a1c2答案：D

2．过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为 ( )

A.22 B.33 C.12 D.13 解析：∵|PF1|＋|PF2|＝2a，

又∠F1PF2＝60°， ∴|PF1|＝12|PF2|，∴32 |PF2|＝2a ⇒|PF2|＝43a，|PF1|＝23a，

在Rt△PF1F2中，|PF1|2＋|F1F2|2＝|PF2|2，∴(23a)2＋(2c)2＝(43a)2⇒e＝ca＝33，故选B. 答案：B 3．过点M(－2,0)的直线m与椭圆x22＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为( ) A．2 B．－2

C.12 D．－12 解析：由题意直线m的方程为y＝k1(x＋2)， 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 由 y＝k1(x＋2)x22＋y2＝1得 (1＋2k21)x2＋8k21x＋8k21－2＝0， ∴x1＋x2＝－8k211＋2k21，∴y1＋y2＝4k11＋2k21，

∴P(－4k211＋2k21，2k11＋2k21)，

∴k2＝2k11＋2k21－4k211＋2k21＝－12k1，∴k1k2＝－12. 答案：D 4．椭圆x29＋y22＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝__________；∠F1PF2的大小为__________． 解析：依题知a＝3，b＝2，c＝7.由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝6，∵|PF1|＝4，

∴|PF2|＝2.又|F1F2|＝27.在△F1PF2中由余弦定理可得cos∠F1PF2＝－12，∴∠F1PF2＝120°. 答案：2；120°

5．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y＝14x2

的焦点，离心率为255. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若MA→＝λ1AF→，MB→＝λ2BF→，求λ1＋λ2的值． 解：(1)设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)， 抛物线方程化为x2＝4y，其焦点为(0,1)， 则椭圆C的一个顶点为(0,1)，即b＝1，

由e＝ca＝a2－b2a2＝255，∴a2＝5， ∴椭圆C的标准方程为x25＋y2＝1. (2)易求出椭圆C的右焦点为F(2,0)， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)，显然直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y＝k(x－2)，代入方程x25＋y2＝1并整理， 得(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0， ∴x1＋x2＝20k21＋5k2，x1x2＝20k2－51＋5k2， 又MA→＝(x1，y1－y0)，MB→＝(x2，y2－y0)，AF→＝(2－x1，－y1)，BF→＝(2－x2，－y2)， 而MA→＝λ1AF→，MB→＝λ2BF→， 即(x1，y1－y0)＝λ1(2－x1，－y1)，(x2，y2－y0)＝λ2(2－x2，－y2)，

∴λ1＝x12－x1，λ2＝x22－x2，∴λ1＋λ2＝x12－x1＋x22－x2＝2(x1＋x2)－2x1x24－2(x1＋x2)＋x1x2＝－10. [备选精题] 6．设椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a，b>0)，过M(2，2)，N(6，1)两点，O为坐标原点． (1)求椭圆E的方程； (2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，

且OA→⊥OB→？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由． 解：(1)将M、N的坐标代入椭圆E的方程得

 4a2＋2b2＝1，

6a2＋1b2＝1，

解得a2＝8，b2＝4，

所以椭圆E的方程为x28＋y24＝1. (2)证明：假设满足题意的圆存在，其方程为x2＋y2＝R2，其中0设该圆的任意一条切线AB和椭圆E交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点， 当直线AB的斜率存在时，令直线AB的方程为y＝kx＋m，① 将其代入椭圆E的方程并整理得 (2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－8＝0. 由韦达定理得

x1＋x2＝－4km2k2＋1，x1x2＝2m2－82k2＋1② 因为OA→⊥OB→， 所以x1x2＋y1y2＝0.③ 将①代入③并整理得 (1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0.