2.1函数及其表示教案(带详解)绝对经典

§2.1 函数及其表示要点梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A .(2)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫作自变量，x 的取值范围A 叫作函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫作函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域．显然，值域是集合B 的子集． (3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图像法、列表法．2．映射的概念设A 、B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射． 3． 函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、配凑法、换元法、构造方程组法等．4． 常见函数定义域的求法(1)分母≠0.(2)偶次方根的被开方式≥0.(3) x 0中，x ≠0(4)对数的真数>0(5)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z . (6)复合函数定义域题型分类 深度解析题型一 函数的定义域例1 (1)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为______________． （2）已知()f x 的定义域为[1,3]，求f (2x ＋1)的定义域；（3）已知(1)f x -的定义域为[1,0]-，求()f x 的定义及(1)f x +的定义域．练习 (1)若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是__________． (2)已知f (x )的定义域是[0,4]，则f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域是__________．（3）已知f(x 2)的定义域为{}31<<x x ，则f(2x-1)的定义域是__________．题型二 分段函数 例2 (1)设f (x )＝⎩⎨⎧≤+>+10))5((103x x f f x x ，，,则f (5)的值为_______． (2)已知a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧≥--<+1212x a x x a x ，，，若f (1-a )＝f (1+a )，则a 的值为_______．练习 （1）设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤2，log 81x ，x >2，则满足f (x )＝14的x 值为 。

（2）设函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+0022x x x x x ，，，若f (f (a ))≤2，则a 的取值范围为 。

题型三 函数解析式的求法1、待定系数法：例 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ．2、配凑法：例 已知221)1(xx x x f +=+)0(>x ，求 ()f x 的解析式．3、换元法：例 ①已知f (x +2)＝x 2＋5x ＋6，求f (x ) ②已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f ．4、代入法：例 已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式．5、构造方程组法：例 设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f ．6、赋值法：例 已知：f (0)=1,对于任意实数x,y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f ． 课后练习一、选择题1．函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为 ( ) A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2] 2． 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋1，x ≤1，2x，x >1，则f (f (3))等于 ( ) A.15 B ．3 C.23 D.1393．设g (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则f (x )等于( ) A ．－2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋74.） A ．[4,1]- B ．[4,0)- C ．(0,1] D ．[4,0)(0,1]-5.函数的定义域为，则函数的定义域是A ．B ．C ．D ． 6.已知函数定义域是，则的定义域（ ）A． C ． D ． ()y f x =[1,5]y f x =-()21[1,5][2,10][1,9][1,3]y f x =+()1[]-23，y f x =-()21[]-14，[]-55，[]-37，二、填空题1．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________.2．若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________． 4、设f (n )＝⎩⎨⎧<+≥-10))5((103x n f f x n ，，, 则f (8)的值为_______． 5、已知f (x )是一次函数，且f [ f (x )]＝x ＋2，则f (x )的解析式为 ．三、解答题1．已知f (x )= 22x x -，求f (1x -)的解析式．2．已知f (x )是二次函数，且f (x +1)＋f (x )=2x 2＋4x ＋2，求f (x )的解析式．3．已知f (x +1)＝223x x ++，求f (x )的解析式．4.已知x x x f +=21-(），求函数f (x )的解析式．5．已知f (x )-2 f (－x )＝x ，求函数f (x )的解析式．6．设对任意数x ，y 均有()()222233f x y f y x xy y x y +=++-++， 求f （x ）的解析式．§2.1 函数及其表示答案要点梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A .(2)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫作自变量，x 的取值范围A 叫作函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫作函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域．显然，值域是集合B 的子集． (3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图像法、列表法．2．映射的概念设A 、B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．3． 函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、配凑法、换元法、构造方程组法等．4． 常见函数定义域的求法(1)分母≠0.(2)偶次方根的被开方式≥0.(3) x 0中，x ≠0(4)对数的真数>0(5)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z . (6)复合函数定义域题型分类 深度解析题型一 函数的定义域例1 (1)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为______________．答案：(－1,1) （2）已知()f x 的定义域为[1,3]，求f (2x ＋1)的定义域；答案：[0,1]（3）已知(1)f x -的定义域为[1,0]-，求()f x 的定义及(1)f x +的定义域．答案：[2,1]--[3,2]--2[()]()()f f x af x b a ax b b a x ab b=+=++=++练习 (1)若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是__________．答案 ⎣⎡⎭⎫0，34 (2)已知f (x )的定义域是[0,4]，则f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域是__________．答案：[1,3]（3）已知f(x 2)的定义域为{}31<<x x ，则f(2x-1)的定义域是__________．答案：[1,5]题型二 分段函数例2 (1)设f (x )＝⎩⎨⎧≤+>+10))5((103x x f f x x ，，,则f (5)的值为_______．答案：21 (2)已知a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧≥--<+1212x a x x a x ，，，若f (1-a )＝f (1+a )，则a 的值为_______．答案：43-练习 （1）设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤2，log 81x ，x >2，则满足f (x )＝14的x 值为 。

答案：2或3 （2）设函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+0022x x x x x ，，，若f (f (a ))≤2，则a 的取值范围为 。

答案：]2,(-∞可分段带入解析式求解，或数形结合（3）（选讲）设函数f (x )＝⎩⎨⎧≥+-<+0,220,1x x x x ，则满足1)2()(>-+x f x f 的x 的取值范围为 。

题型三 函数解析式的求法 1、待定系数法：例 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ．解：设b ax x f +=)()0(≠a ，则 ∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ， ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 ． 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 ．2、配凑法：例 已知221)1(xx x x f +=+)0(>x ，求 ()f x 的解析式． 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x ， 2)(2-=∴x x f )2(≥x ． 3、换元法：例 ①已知f (x +2)＝x 2＋5x ＋6，求f (x ) ②已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f ． 解：①f (x )＝x 2＋x ②1)(2-=∴x x f )1(≥x ，4、代入法：例 已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式． 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点． 则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'3222y y x x ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上 ， x x y '+'='∴2．把⎩⎨⎧-='--='yy x x 64代入得：)4()4(62--+--=-x x y ． 整理得672---=x x y ， ∴67)(2---=x x x g ．5、构造方程组法：例 设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f ．解 x xf x f =-)1(2)( ① 显然,0≠x 将x 换成x 1，得：xx f x f 1)(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得：x x x f 323)(--=． 6、赋值法：例 已知：f (0)=1,对于任意实数x,y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f ． 解对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，不妨令0x =，则有1)1(1)1()0()(2+-=-+=+--=-y y y y y y f y f ．再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2++=x x x f ． 课后练习一、选择题1．函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为 ( ) A ．[－2,0)∪(0,2] B ．(－1,0)∪(0,2] C ．[－2,2]D ．(－1,2] 答案 B 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，ln (x ＋1)≠0，4－x 2≥0得－1<x ≤2，且x ≠0.2． 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋1，x ≤1，2x，x >1，则f (f (3))等于 ( )A.15 B ．3 C.23 D.139 答案 D 解析 由题意知f (3)＝23，f ⎝⎛⎭⎫23＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139，∴f (f (3))＝f ⎝⎛⎭⎫23＝139. 3．设g (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则f (x )等于( ) A ．－2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7答案 D 解析 由g (x )＝2x ＋3，知f (x )＝g (x ＋2)＝2(x ＋2)＋3＝2x ＋7.4. ） A ．[4,1]- B ．[4,0)- C ．(0,1] D ．[4,0)(0,1]-答案 D 5.函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）A ．B ．C ．D ．答案 D6.已知函数定义域是，则的定义域（ ）A ． C ． D ． 答案 A二、填空题1．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________.答案 62．若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．答案 [－1,0]3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．答案 －3 4、设f (n )＝⎩⎨⎧<+≥-10))5((103x n f f x n ，，, 则f (8)的值为_______．答案 7 5、已知f (x )是一次函数，且f [ f (x )]＝x ＋2，则f (x )的解析式为 ． 答案：f (x )=x ＋1三、解答题()y f x =[1,5]y f x =-()21[1,5][2,10][1,9][1,3]y f x =+()1[]-23，y f x =-()21[]-14，[]-55，[]-37，1．已知f (x )= 22x x -，求f (1x -)的解析式． 答案：f (1x -)=x 2－4x ＋32．已知f (x )是二次函数，且f (x +1)＋f (x )=2x 2＋4x ＋2，求f (x )的解析式．答案：f (x )=x 2＋x3．已知f (x +1)＝223x x ++，求f (x )的解析式．答案：f (x )=x 2＋2 4.已知x x x f +=21-(），求函数f (x )的解析式．答案：f (x )=)1(3522-≥++x x x5．已知f (x )-2 f (－x )＝x ，求函数f (x )的解析式． 答案：f (x )=x 316．设对任意数x ，y 均有()()222233f x y f y x xy y x y +=++-++，求f （x ）的解析式． 答案：f (x )=x 3x 2+。