反证法步骤
八年级反证法知识点
八年级反证法知识点反证法是一种论证方法，在数学、逻辑学、哲学以及其他领域中都得到广泛应用。
其基本思想是通过否定一个命题的逆否命题来证明原命题的正确性。
在八年级数学中，学生要学习如何应用反证法解决一些问题。
本文将介绍八年级反证法知识点，帮助学生更好地掌握这一方法。
初步了解反证法反证法的思路是假设所要证明的命题P不成立，然后推出一个矛盾的结论，进而证明命题P成立。
或者说，反证法是采用反面求证的方法，即证明“不是P”来间接证明“是P”。
例如，在证明“若a是偶数，则a²也是偶数”的时候，可以采用反证法：假设a是偶数但a²不是偶数，则a²为奇数。
但是，偶数的平方一定是偶数，与假设矛盾，因此可证明原命题成立。
如何运用反证法？反证法需要具备以下几个步骤：1. 先假设所要证明的命题P不成立，并推出一些合法的结论。
2. 分析这些结论是否有矛盾之处。
3. 如果这些结论存在矛盾，则说明所假设命题不成立，原命题P成立。
4. 如果这些结论不存在矛盾，则说明所假设的命题成立，而原命题P不成立。
举个例子，如果要用反证法证明“n²为偶数，则n也是偶数”，那么可以首先假设n是奇数。
因为奇数的平方还是奇数，所以n²也是奇数，而偶数的定义是2的倍数，不可能是奇数，因此推出结论矛盾，得证原命题成立。
需要注意的是，在运用反证法的时候，如果所得出的结论不够严密或存在漏洞，那么不能得出最终结论。
为了提高证明的严密性，可以结合其他证明方法进行运用。
例题1. 证明：不存在无理数x和y，使得x² - 2y² = 3。
解答：假设存在无理数x和y，满足x² - 2y² = 3。
考虑对这个方程两侧同时取立方根，得：x³ - 6xy² - 3y³ = 0。
注意到x和y都是无理数，而立方根是唯一的，因此x³也是无理数。
同理，3y³也是无理数。
用反证法证明的步骤
用反证法证明的步骤
宝子，今天咱来唠唠反证法证明的步骤哈。
那啥是反证法呢？简单说就是咱们先假定要证明的这个事儿它不成立。
比如说咱要证明“三角形内角和是180度”，那咱就先假设它不是180度。
这就像是走一条路，本来大家都觉得应该是往这个方向走才对，咱呢，偏先假设不是这个方向。
然后呢，就根据这个假设去进行推理。
这一步就像是顺着这个错误的假设去编故事一样。
还拿三角形内角和举例，按照这个错误的假设，我们就用三角形的各种定理、性质啥的去推其他的东西。
结果就会推出一些特别奇怪的结论，就像你本来觉得能走到一个美好的地方，结果却走到了一个超级荒诞的地方。
比如说可能会推出两条平行线能相交这种违背基本几何常识的结论。
为啥会推出这么奇怪的东西呢？这就是因为咱最开始那个假设是错的呀。
所以呀，这就得出了矛盾。
这个矛盾就像是一个大大的警示灯，告诉咱们之前的假设是完全不靠谱的。
最后呢，因为这个假设推出了矛盾，那就说明我们最开始那个假设是不成立的。
既然假设不成立，那原来我们要证明的那个事儿就肯定是成立的啦。
就像我们否定了三角形内角和不是180度这个假设，那三角形内角和就只能是180度喽。
反证法就像是一个调皮的小机灵鬼，先故意走错路，然后发现错得离谱，从而证明正确的路应该是啥样的。
宝子，你看这样说是不是就很好理解反证法的步骤啦？。
浙教版八年级数学下册课件：4.6反证法 (共25张PPT)
反证法的一般步骤:
假设
假设命题结论不成立 假设命题结论反面成立 与已知条件矛盾
所证命题成立 假设不 成立
推理得出的结论
或与定理，定义， 公理矛盾
试一试
你能说出下列结论的反面吗?
1. a⊥b
2.d是正数
a不垂直于b d不是正数,即d≤0 a＜ 0 a ∥b
3.a≥0
4.a∥b
常用的互为否定的表述方式： 不是—— 是 不存在—— 存在 不平行—— 平行 不垂直—— 垂直 不等于—— 等于 不都是—— 都是 不大于—— 大于
定理
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行, 那么这两条直线也互相平行. （1）如果你选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾? （2）能不用反证法证明吗？你是怎样证明的？
l１ 已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3 p l２ 求证：l１∥l３ l３ 证明：假设l１不平行l３，则l１与l３相交，设交点为p. ∵l１∥l２ , l２∥l３, 则过点p就有两条直线l１、 l３都与l２平行，这与“经过直线外一点，有且只 有一条直线平行于已知直线”矛盾． ∴假设不成立，所求证的结论成立， 即 l１∥l３
证明：假设所求证的结论不成立，
∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ ＜ １８０度 则 ________________________________
Ｃ
即∠Ａ＿＿６０°， ∠Ｂ＿＿６０°，∠Ｃ＿＿６０° ＜ ＜ ＜
三角形的内角和等于１８０° 矛盾 这于＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
不成立 所以假设命题＿＿＿＿＿＿， 所以，所求证的结论成立．
综上所述,假设不成立. ∴∠B一定是锐角.
已知:如图,直线l与l1,l2,l3都相交,且 l l1∥l3,l2∥l3, 求证: l1 ∥ l2
运用反证法解答证明题的步骤
数学篇
探索探索与与
研研究究
证明题经常出现在各类试题中.此类问题的命题方式多种多样，通常可采用分析法、综合法、换元法、数学归纳法等进行求证.当遇到正面的情况较多、反面的情况较少，或正面的情况较为复杂、反面的情况较为简单的证明题时，采用反证法来求证往往比较有效.反证法的逻辑原理是逆否命题和原命题的真假性相同，即原命题和原命题的否定是对立的，当原命题为真时，则原命题的否定为假；原命题为假，则原命题的否定为真.运用反证法解答证明题的步骤为：1.先假设原命题不成立，即在原命题的条件下，结
论不成立；2.根据题目所给的条件确定要证明的方向和目
标；3.将假设当作已知条件，选择合适的公式、定理、
定义、性质等进行推理、运算；4.推出与已知条件或相关的公式、定理、定义、性
质等相矛盾的结果，判定假设不成立，从而间接地证明原命题成立.下面，我们结合几个例题来进行探讨.例1.设a,b,c，d∈R，且a+b=c+d=1，ac+bd>1，
求证：a,b,c,d中至少有1个是负数.证明：假设a,b,c,d都不是负数，因为a+b=c+d=1，且ac+bd>1，所以(a+b)(c+d)=1，即ac+ad+bc+bd=1≥ac+bd，
而ac+bd>1，所以假设不成立，所以a,b,c,d中至少有1个是负数.本题若从正面求解，需分析多种情况：a,b,c,d中有1个是负数；a,b,c,d中有2个是负数；a,b,c,d中有3个是负数；a,b,c,d中有4个是负数，而其反面情况只有一种：a,b,c,d都不是负数.采用反证法，从问题的反面入手进行求证，这样能简化解题的过程.例2.证明：过直线外一点有且只有1条直线与这条直线平行.证明：假设过直线外一点有2条直线与这条直线平行.设已知直线为l，过直线外一点P的直线a与l平行，另一条过P点，且与l平行的直线为b，
所以a∥l，b∥l，所以a∥b.而过同一点的2条直线相交，所以直线a与直线b不平行，那么直线a与直线b重合，
中学数学中的反证法
归纳法：通过 归纳推理，从 特殊到一般， 得出一般结论
的方法
关系：反证法 和归纳法是两 种不同的证明 方法，但在某 些情况下可以 相互补充，共 同证明一个命
题
区别：反证法 主要适用于证 明一个命题为 真，而归纳法 则主要适用于 证明一个命题
为假
反证法是一种间接证明方法，通过否定结论来证明结论不成立 演绎法是一种直接证明方法，通过已知条件推导出结论 反证法适用于难以直接证明的问题，而演绎法适用于容易直接证明的问题
05
简洁明了：反证法可以简洁明了地证明一个命题 易于理解：反证法易于理解，易于掌握 广泛应用：反证法在数学中广泛应用，可以解决许多问题 逻辑严密：反证法逻辑严密，可以保证证明的准确性
反证法需要找到与结论相反 的命题，可能难以找到
反证法需要假设结论不成立， 可能导致结论错误
反证法需要证明假设不成立， 可能难以证明
04
解方程：通过反 证法证明方程无 解
解不等式：通过 反证法证明不等 式成立
解函数问题：通 过反证法证明函 数性质
解数列问题：通 过反证法证明数 列性质
证明两直线平行 证明三角形全等 证明四边形内角和为360度 证明圆周角等于360度
反证法在解三角函数问题时的应用 反证法在证明三角函数恒等式时的应用 反证法在解决三角函数不等式问题时的应用 反证法在解决三角函数最大值和最小值问题时的应用
反证法和演绎法都是数学证明的重要方法，各有优缺点，需要根据具体情况选择使用
汇报人：
证明一个命题的否定为真，但 无法直接证明原命题为假
03
假设结论不成立 假设结论成立的条件 假设结论成立的结果 假设结论成立的结论
推导出与已知条件相矛盾的 结论
假设结论成立
反证法(初中课件)
∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1
∴a2是奇数，则2不能整除a2 ，这与已 知矛盾。∴假设不成立，故2能整除a。
1.命题”三角形中最多有一个内角是直角“的结论 的否定是（ C ） A、有两个内角是直角 B、有三个内角是直角 C、至少有两个内角是直角 D、没有一个内角是直角 2.否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时，正 确的反设为（ ） D A.a、b、c都是奇数 B. a、b、c都是偶数 C. a、b、c中至少有两个偶数 D. a、b、c中都是奇数或至少有两个偶数
我来告诉你（经验之谈）
探究4：
1.存在性问题 2.否定性问题 3.唯一性问题 4.至多、至少类问题 5.一些基本命题、基本定理
哪些问题适宜用反证法
总之，直接证明比较困难的命题
反思与收获
你能谈谈举反例与反证法 的联系和区别吗？
同学们，学了这节课， 你们有何体会？ ---德国数学家希尔伯特说， 禁止数学家使用反证法， 就象禁止拳击家使用拳头。
C
2.已知：如图，直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3 ∥l1， 求证： l3∥l2
l1
P
证明： l2 假设l3∥l2，即l3与l2相交，记交点为Pl3
而l1∥l2,l3 ∥l1
这与“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线 平行”相矛盾， 所以假设不成立， 即l3∥l2
例1：已知：a是整数，2能整除a2 求证：2能整除a。 证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整 除a”,因为a是整数，故a是奇数 不妨设a=2n+1(n是整数)
道 旁 苦 李
王戎七岁时，爱和小朋友结伴玩耍。一 天，他们发现路边的一棵树上结满了李子， 小朋友一哄而上去摘李子，独有王戎没动。 等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！ 他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的
反证法
反证法一、方法指导：“反证法”即首先对命题的结论作出相反的假设，并从此假设出发，经过正确的推理，导出矛盾的结果，就否定了作为推理出发点的假设，从而肯定原结论是正确的。
反证法的过程可简述为以下三个步骤：（1）反设：假设所要证明的结论不成立，而设结论的反面成立；（2）归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾――与已知条件、已知的公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；（3）结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，那么就肯定了结论成立。
在直接证明难以下手，反面情况比较具体、简单时，可考虑使用反证法。
运用反证法的关键在于导出矛盾。
成语故事“自相矛盾”中，“以子之矛攻子之盾”（用你的矛去刺你的盾），正是采用了反证法。
二、例题选讲：例1．是否存在这样的三位数abc,它等于如下3个两位数之和：ab ,bc ,ac ?例2．某个国家共在四种不同面额的货币：1元，10元，100元，1000元。
试问：能否用50万张货币刚好组成100万元？例2．能否在10行10列的方格表的每个空格中分别填上1、2、3这三个数之一，而使大正方形的每行、每列及对角线上的各个数字和互不相同？对你的结论加以说明。
例4．在3×3的方格表中已如图填入了九个质数。
如果将表中同一行或同一列的三个数加上相同的自然数称为一次操作。
问：你能通过若干次操作使得表中九个数都变为相同的数吗？为什么？例5．将某个17位数的数字的排列顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加，试说明，得到的和中至少有一个数字是偶数。
例6．某人发现了如下的魔术钱币机：当塞入一枚一分硬币时，回出一枚一角硬币和一枚五分硬币；当塞入一枚五分硬币时，它回出四枚一角硬币；当塞入一枚一角硬币时，它回出三枚一分硬币。
由一枚一分硬币和一枚五分硬币开始，反复塞入机器，能否出现如下情况：在某一时刻硬币中一分的刚好比一角的少十枚？例7．能否把1，1，2，2，…，50，50这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，…，两个50之间夹着50个数？请对你的结论加以说明。
《反证法》人教版高中数学选修1-2PPT课件(第2.2.2课时)
知识要点
反证法主要适用于以下两种情形： (1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰. (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很 少的几种情形.
知识要点
用反证法证题时,应注意的事项 : （1）周密考察原命题结论的否定事项， 防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条 件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的.
矛盾
所以 _假__设__不__成__立 ,即求证的命题正确. 命题成立
l3
P
l1
l2
知识要点
反证法的步骤 一、提出假设 假设待证命题不成立，或是命题的反面成立. 二、推理论证 以假设为条件，结合已知条件推理，得出与已知条件或是正确命题相矛盾的结论. 三、得出矛盾 这与“......”相矛盾. 四、结论成立 所以假设不成立，所求证的命题成立.
∴ ∠ 1 =∠ 2 =∠3(两直线平行，同位角相等) ∴ l 3∥ l2（同位角相等，两直线平行 ） 归纳
l1
l１
l2
P 2
l1
3
请同学们自己比较两种证明方法的各自特点，从中体验反证法的思考过程和特点.
新知探究
结合我们讲过的例子，我们可以得到什么？
思考
由上面的例子可以看出，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件 矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.
知识要点
宜用反证法证明的题型
（1）以否定性判断作为结论的命题； （2）某些定理的逆命题； （3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题； （4）关于“唯一性”结论的命题； （5）解决整除性问题； （6）一些不等量命题的证明； （7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段； （8）涉及各种“无限”结论的命题等等.
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反证法步骤
反证法是一种常用的推理方法，它是通过证伪（证明或否定）的
方法，以便达到验证某个断言正确性的目的。
反证法的目的是证明一
个命题，那就是说要证明原始断言是正确的，就必须证明任何反面的
断言都是不正确的。
因此，反证法就是在没有可能性条件和可行性强
化时进行推理，而且是将先前证明的反面断言排除在外，从而证明原
始断言是正确的。
反证法本身也是一种独立的推理方法，一般可以把它归为一般逻
辑学中的反证推理（Reductio ad Absurdum）。
反证法大致有如下步骤：
1. 提出要证明的断言，通常称为被证明的断言，也就是原始断言。
2. 根据原始断言推导出反面断言，也就是相对断言。
3. 尽可能地对照推理，并证明反面断言是正确的。
4. 寻求反面断言中的某个断言，以使反面断言不可能满足。
5. 证明原始断言是正确的。
反证法的好处是可以有效地帮助人们通过推理得出最接近真理的
结论，不仅可以用于科学研究，也可以用于对政策和问题的分析。
它
可以有助于解决许多难题。
然而，反证法的使用需要特别的技能，需
要人们具备足够的逻辑能力和理性思维能力，以及足够的经验以及知
道如何正确使用该推理方法。