如何比较一次函数与反比例函数的大小
如何比较一次函数与反比例函数的大小
一次函数和反比例函数是初中数学教学的重要内容，也是学生应掌握的最基
础，最核心的内容。它们之间的大小关系是一次函数和反比例函数的综合应用，
遇到这样的问题时同学们不知从何下手，易出现错误。下面我们就结合一条例题
的讲解，介绍如何轻松的解决这样的问题。
例：如图,一次函数y1=x－1与反比例函数y2=x2的图像交于点A(2 ，1)；
B(－1，－2)，则使y1>y2的x的取值范围是（ ）
A. x>2 B. x>2或－1
分析：根据图象特点结合A，B两点就可以找出使y1>y2的x的取值范围
解：由A(2，1)，B(－1，－2)两点可知当x>2 或－1
学生在看图像比较一次函数与反比例函数的大小时，往往不知从何下手，我
经过多年的教学实践，认为可以按照如下的步骤解决这样的问题：
1、数学结合：根据题意画出图像（本例题已经画出了图像）
2、找交点：根据函数图像，找到两函数的交
点坐标。如本题两函数的交点坐标分别是A(2，1)和B(－1，－2)。
3、画三线：根据两条函数的交点画出三条垂x直于轴的直线。如本题的三条直
线分别为x=－1；x=0(即y轴)和x=2。
4、分四域：以三线为界可将直角平面划分为四个区域。如本题可分为
①x＜－1；②－1＜x＜0；③0＜x＜2；④x＞2。
5、定大小：根据“上大下小”原则。在“4”中我们已经得到4个区域，下面我
们就根据分的区域比较大小：①x＜－1时，一次函数图像在反比例函数图像的
下面，即y1＜y2；②－1＜x＜0时，一次函数图像在反比例函数图像的上面，即
y1＞y2；③0＜x＜2时，一次函数图像在反比例函数图像的下面，即y1＜y2；
④x＞2时，一次函数图像在反比例函数图像的上面，即y1＞y2。
(-1 -2)
(2 1)
(-1 -2)
(2 1)
x=-1
x=2
x=0
(-1 -2)
(2 1)
x=-1
x=2
x=0
区域 ① 区
域
②
区域 ③ 区
域
④
总结：如果一次函数图像与反比例函数图像有交点时，我们就可以利用上面的步
骤去解决问题；若没有交点时，我们就可以借助y轴分两个区域，再直接用“上
大下小”原则去解决问题。
一次函数与反比例函数
一次函数与反比例函数一、知识点1、变量与函数1）变量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，那么数值始终不变的量称之为常量。
2）函数：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x•的每个确定的值，y•都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x•是自变量，y是x的函数。
如果当x=a时，y=b，那么b•叫做当自变量的值为a时的函数值。
3）自变量的取值范围：使式子有意义的自变量的值。
练习1：1、求下列函数中自变量x的取值范围。
(1)y=3x－l (2)y＝2x2＋7 (3)y=1x＋2(4)y=x－22、下图反映的过程是小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家．•其中x表示时间，y表示小明离他家的距离。
根据图象回答下列问题：１、菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？２、小明给菜地浇水用了多少时间？３、菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？４、小明给玉米地锄草用了多长时间？５、玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家平均速度是多少？2、正比例函数1）定义：一般地，•形如y=•kx•（k是常数，k•≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数。
2）正比例函数图象特征：①正比例函数的图象都经过坐标原点。
②作正比例函数y=kx的图象时，除原点外，还需找一点，一般找（1,k）点。
③在正比例函数y=kx的图象中，当k>0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y也增大。
④在正比例函数y=kx的图象中，当k>0时，图象经过二、四象限，从左向右下降，即随x 的增大y却减小。
⑤y=kx与y= -kx图象关于y轴对称。
练习2：1、下列一次函数中，y 的值随x 值的增大而增大的是（ ）A 、y=-5x+3B 、y=-x-7C 、y=x 3x-5D 、y=-x7x+4 2、下列一次函数中，y 的值随x 值的增大而减小的是（ ）A 、y=32x-8 B 、y=-x+3 C 、y=2x+5 D 、y=7x-6 3、一次函数 1）定义：一般地，形如y=kx+b （k 、b 是常数，k ≠0）的函数，叫做一次函数。
【中考数学复习】一次函数与反比例函数知识
【中考数学复习】一次函数与反比例函数知识提要初中代数中涉及的函数有：一次函数（包括正比例函数）、反比例函数、二次函数.每种函数一般从下面四个方面研究：定义，图象，性质，求解析式.本讲研究一次函数和反比例函数.一、一次函数1、定义：函数)0(≠+=k b kx y 称为一次函数，若0=b 则称函数为正比例函数.2、图象：一次函数是过点（0，b ）和点（kb -，0）的直线.当b=0时的正比例函数)0(≠=k kx y 是过原点的一条直线，若k 与b 的符号不同，则直线经过的象限也不同，如图所示：3、性质：当0>k 时，y 随x 的增大而增大；当0<k 时，y 随x 的增大而减小.（此性质为一次函数的单调性）另外，正比例函数关于原点O 中心对称4、求解析式：求一次函数的解析式，一般需要两个条件，求出表达式b kx y +=中的k 及b 的值，常用待定系数法来求一次函数.而正比例函数的解析式只需要一个条件.二、反比例函数1、定义：形如)0(≠=k x k y 形式称为反比例函数，定义域为0≠x 的所有实数.2、图象：反比例图象为双曲线，如图所示：3、性质：反比例函数x k y =在0>k 且0>x 时，函数值y 随x 的增大而减小；在0>k 且0<x 时，函数值y 随x 的增大而减小.即：当0>k 时，反比例函数x k y =分布在一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，如图（1）所示.当0<k 时，反比例函数xk y =分布在二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，如图（2）所示.反比例函数x k y =图象上的点关于原点O 成中心对称的.当0>k 时，函数的图象关于直线x y =成轴对称；当0<k 时，函数的图象关于直线x y -=成轴对称.4、求解析式：反比例函数的解析式，只需要一个条件，求出xk y =)0(≠k 中的k 即可.在解决有关一次函数及反比例函数的问题时，常运用数形结合及分类讨论的思想方法.待定系数法是研究函数表达式的基本方法，同时紧密结合图象寻求思路，是处理这类问题的重要方法.例1、已知正比例函数x y =和)0(>=a ax y 的图象与反比例函数xky =（k>0）的图象在第一象限内分别相交于A 、B 两点，过A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，设△AOC 和△BOD 的面积分别为1S 、2S ，则1S 与2S 的大小关系怎样？例2、两个反比例函数x y 3=，x y 6=在第一象限内的图象如图所示，点1P ，2P ，3P ，…2005P 在反比例函数x y 6=图象上，它们的横坐标分别是1x ，2x ，3x ，…2005x ，纵坐标分别是1，3，5，…，共2005个连续奇数，过点1P ，2P ，3P ，…2005P 分别作y 轴的平行线，与xy 3=的图象交点依次是)(111y x Q ，，)(222y x Q ，，)(333y x Q ，，…)(200520052005y x Q ，，则_________2005=y .例3、平面直角坐标系内有A （2，－1）、B （3，3）两点，点P 是y 轴上一动点，求P 到A 、B 距离之和最小时的坐标.例4、已知一次函数的图象经过点（2，2），它与两坐标轴所围成的三角形的面积等于1，求这个一次函数的解析式.例5、已知A （-2，0）、B （4，0），点P 在直线221+=x y 上，若△PAB 是直角三角形，求点P 的坐标.例6、已知两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模（产量）进行调查，提供两个方面的信息，如图所示，请根据图中提供的信息，求：（1）第2年全县生产甲鱼的只数及甲鱼池的个数；（2）到第6年，这个县的甲鱼养殖规模比第1年是扩大了还是缩小了，请说明理由.例7、如图，已知C 、D 是双曲线xm y =在第一象限内的分支上的两点，直线CD 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，设C 、D 的坐标分别是（11y x ，）、（22y x ，），连接OC 、OD.（1）求证：111y m y OC y +<<；（2）若α=∠=∠AOD BOC ，31tan =α，10=OC ，求直线CD 的解析式.（3）在（2）的条件下，双曲线是否存在一点P ，使POD POC S S ∆∆=？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.例8、有一个附有进、出水管的容器，每单位时间进、出的水量都是一定的，设从某时刻开始5分钟内只进水不出水，在随后的15分钟内既进水又出水，得到时间x （分）与水量y （升）之间的关系如图所示，若20分钟后只放水不进水，求多长时间能将水放完？例9、为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧后，y 与x 成反比例（如图），观测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克，请根据题中提供的信息解答下列问题：（1）药物燃烧时，y 关于x 的函数关系式为__________，自变量x 的取值范围是___________；药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为____________.（2）研究表明，当空气中的每立方米含药量低于1.6毫克时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室.（3）研究表示，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？例10、某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表所示：家电名称空调器彩电冰箱工时/个213141产值/千元432问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元为单位）练习1、已知0≠abc 并且p b a c a c b c b a =+=+=+而直线p px y +=一定通过（）A 第一、二象限B 第二、三象限C 第三、四象限D 第一、四象限2、函数kx y =和)0(<=k x k y 在同一坐标系中的图象是（）3、一次函数b kx y +=过点)(11y x ，和)(22y x ，，且0>k ，b<0，当210x x <<时，有（）A 21y b y >>B 21y b y <<C b y y <<<210D 012<<<y b y 4、若点（-2，1y ），（1，2y ），（2，3y ）在反比例函数x y 21=的图象上，则下列结论正确的是（）A 123y y y >>B 312y y y >>C 132y y y >>D 321y y y >>5、反比例函数x k y =的图象是轴对称图形，它的一条对称轴是下列正比例函数图象中的（）A kxy -=B x k y =C x k k y =D kxy =6、一个一次函数图象与直线49545+=x y 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点（-1，-25），则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有（）A 4个B 5个C 6个D 7个7、如图，正比例函数x y 3=的图象与反比例函数xk y =（0>k ）的图象交于点A ，若取k 为1，2，3，…，20，对应的Rt △AOB 的面积分别为1S ，2S ，…20S ，则__________2021=+++S S S .8、不论k 为何值，解析式0)11()3()12(=--+--k y k x k 表示函数的图象都经过一定点，则这个定点是_________.9、如图所示，直线l 和双曲线x k y =（0>k ）交于A 、B 两点，P 是线段AB 上的点（不与A 、B 重合），过点A 、B 、P 分别向x轴作垂线，垂足分别为C 、D 、E ，连接OA 、OB 、OP.设△AOC 的面积为1S ，△BOD 的面积为2S ，△POE 的面积为3S ，则321S S S 、、的大小关系是______________.10、甲、乙两车出发后再同一条公路行驶，行驶路程与时间的关系如图所示，那么可以知道：（1）出发行驶在前面的车是_________，此时两车相隔_________；（2）两车的速度分别为甲：___________千米/小时，乙：_________千米/小时，经过___________小时，快车追上慢车；（3）甲、乙两车均行驶600千米时各用的时间分别是：甲用_________小时，乙用__________小时.11、如图，函数221+-=x y 的图象交y 轴于M ，交x 轴于N ，MN 上两点A ，B 在x 轴上射影分别为11B A 、，若411>+OB OA ，则A OA 1∆的面积1S 与B OB 1∆的面积2S 的大小关系是_____________.12、已知非负数x 、y 、z 满足323=++z y x ，433=++z y x ，则z y x w 423+-=的最大值为_________，最小值为__________.13、在直角坐标系中，有四个点：A （-8，3），B （-4，5），C （0，n ），D （m ，0）,当四边形ABCD 的周长最短时，求nm 的值.14、设直线1)1(=++y k kx （k 是自然数）与两坐标轴所围成的图形的面积为1S ，2S ，…，2000S .求200021S S S +++ 的值.15、如图（1），已知直线m x y +-=21与反比例函数xk y =的图象在第一象限内交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），分别于x 、y 轴交于C 、D ，AE ⊥x 轴于E.（1）若OE·CE=12，求k 的值；（2）如图（2），作BF ⊥y 轴于F ，求证：EF ∥CD ；（3）在（1）（2）的条件下，5=EF ,52=AB ，P 是x 轴正半轴上一点，且△PAB 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，求P 点的坐标.（1）（2）16、已知直线62+-=-k y x 和143+=+k y x ，若它们的交点在第四象限内.（1）求k 的取值范围；（2）若k 为非负整数，点A 的坐标为（2，0），点P 在直线62+-=-k y x 上，求使△PAO 为等腰三角形的点P 的坐标.17、A 市、B 市和C 市分别有某种机器10台、10台和8台，现决定把这些机器支援给D 市18台，E 市10台.已知从A 市调运一台机器到D 市、E 市的运费分别为200元和800元，从B 市调运一台机器到D 市、E 市的运费分别为300元和700元，从C 市调运一台机器到D 市、E 市的运费分别为400元和500元.（1）设从A 市、B 市各调x 台到D 市，当28台机器全部调运完毕后，求总运费w （元）关于x （台）的函数式，并求w 的最大值和最小值；（2）设从A 市调x 台到D 市，从B 市调y 台到D 市，当28台机器全部调运完毕后，用x ，y 表示总运费w （元），并求w 的最大值和最小值.18、直线133+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，其中∠BAC=90°.如果第二象限内有一点P （a ，21），使△ABP 的面积和△ABC 的面积相等，求a 的值.文式思维教育，传播知识，分享快乐19、如图，在直角坐标系中，点1O 的坐标为（1，0），⊙1O 与x 轴交于原点O 和点A ，又点B 、C 的坐标分别为（-1，0），（0，b ），且30<<b ，直线l 是过B 、C 点的直线.（1）当点C 在线段OC 上移动时，过点1O 作l D O 直线⊥1，交l 于D ，若a S S CBO BOC=∆∆1，试求b a 与的函数关系式及a 的取值范围.20、某仓储系统有20条输入传送带、20条输出传送带.某日，控制室的电脑显示，每条输入传送带每小时进库的货物流量如图（a ），每条输出传送带每小时出库的货物流量如图（b ）,而该日仓库中原有货物8吨，在0时至5时，仓库中货物存量变化情况如图（c ），则在0时至2时有多少条输入传送带在工作？在4至5时有多少条输入传送带和输出传送带在工作？。
一次函数与反比例函数
一次函数与反比例函数第一部分 知识梳理一、一次函数和反比例函数的解析式1．一次函数的定义：函数y= kx+b (k 、b 为常数，k ≠0，自变量x 的次数是1次)叫做一次函数。
2．一般地，函数xky =（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数。
反比例函数的解析式也可以写成1-=kx y 的形式。
自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
二、一次函数和反比例函数的图像1．一次函数y=kx+b 的k 、b 的值对一次函数图象的影响。
y① k ﹥0，b ﹥0， y ＝kx +b 的图象在一、二、三象限； ② k ﹥0， b ﹤0， y ＝kx +b 的图象在一、三、四象限； ③ k ﹤0，b ﹥0， y ＝kx +b 的 图象在一、二、四象限； ④ k ﹤0， b ﹤0， y ＝kx +b 的图象在二、三、四象限。
2．反比例函数的性质3．反比例函数中反比例系数的几何意义 ①过双曲线xky =(k ≠0) 上任意一点作x 轴、y 轴的垂线段，所得矩形(如图)面积为k 。
第二部分 例题与解题思路方法归纳类型一 一次函数的图像与性质【例题1】已知一次函数y=（6+3m ）x+n ﹣4． （1）当m 、n 为何值时，函数的图象过原点？（2）当m 、n 满足什么条件时，函数的图象经过第一、二、三象限？〖选题意图〗本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k 、b 的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．〖解题思路〗（1）将点（0，0）代入一次函数解析式y=（6+3m）x+n﹣4求得n值，利用一次函数的性质知系数6+3m≠0求得m值；（2）根据一次函数的性质知，当该函数的图象经过第一、二、三象限时，6+3m＞0，且n ﹣4＞0，据此求m、n的值．〖参考答案〗解：（1）∵一次函数y=（6+3m）x+n﹣4的图象过原点，∴6+3m≠0，且n﹣4=0，解得，m≠﹣2，n=4；（2）∵该函数的图象经过第一、二、三象限，∴6+3m＞0，且n﹣4＞0，解得m＞﹣2，n＞4．【课堂训练题】1．如图，直线y=﹣x+4与y轴交于点A，与直线y=x+交于点B，且直线y=x+与x 轴交于点C，则△ABC的面积为．〖参考答案〗解：因为直线y=﹣x+4中，b=4，故A点坐标为（0，4）；令﹣x+4=0，则x=3，故D点坐标为（3，0）．令x+=0，则，x=﹣1，故C点坐标为（﹣1，0），因为B点为直线y=﹣x+4直线y=x+的交点，故可列出方程组﹣，解得，故B点坐标为（，2），故S△ABC=S△ACD﹣S△BCD=CD•AO﹣CD•BE=×4﹣×4×2=4．2．如图，有一种动画程序，屏幕上正方形ABCD是黑色区域（含正方形边界），其中A（1，1），B（2，1），C（2，2），D（1，2），用信号枪沿直线y=﹣2x+b发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的b的取值范围为．〖参考答案〗解：由题意可知当直线y=﹣2x+b经过A（1，1）时b的值最小，即﹣2×1+b=1，b=3；当直线y=﹣2x+b过C（2，2）时，b最大即2=﹣2×2+b，b=6，故能够使黑色区域变白的b 的取值范围为3≤b≤6．3．已知直线l n：y=﹣+（n是不为零的自然数）．当n=1时，直线l1：y=﹣2x+1与x轴和y轴分别交于点A1和B1，设△A1OB1，（其中O是平面直角坐标系的原点）的面积为S1；当n=2时，直线l2：y=﹣x+与x轴和y轴分别交于点A2和B2，设△A2OB2的面积为S2；…依此类推，直线l n与x轴和y轴分别交于点A n和B n，设△A n OB n的面积为S n．则s1+s2+s3+s4+s5=；S n=．〖参考答案〗解出l1、l2、l3、l4…l n的解析式为l1：y=﹣2x+1，l2：y=﹣x+，l3：y=﹣x+，l4：y=﹣x+，l5：y=﹣x+…l n：y=﹣+（n是不为零的自然数）．于是S1=1××=；S2=××=；S3=××=；S4=××=；S5=××=…．S n=××=（）s1+s2+s3+s4+s5=++++=．4．（2011•绍兴）在平面直角坐标系中．过一点分別作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如．图中过点P分別作x轴，y轴的垂线．与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是和谐点．（1）判断点M（l，2），N（4，4）是否为和谐点，并说明理由；（2）若和谐点P（a，3）在直线y=﹣x+b（b为常数）上，求a，b 的值．〖参考答案〗（1）解：∵1×2≠2×（1+2），4×4=2×（4+4），∴点M不是和谐点，点N是和谐点．（2）解：由题意得：当a＞0时，（a+3）×2=3a，∴a=6，点P（a，3）在直线y=﹣x+b上，代入得：b=9当a＜0时，（﹣a+3）×2=﹣3a，∴a=﹣6，点P（a，3）在直线y=﹣x+b上，代入得：b=﹣3，∴a=6，b=9或a=﹣6，b=﹣3．类型二一次函数图像与几何变换【例题2】（2011•咸宁）在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度．（1）实验操作：在平面直角坐标系中描出点P从点O出发，平移1次后，2次后，3次后可能到达的点，并把相应点的坐标填写在表格中：（2）观察发现：任意一次平移，点P可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上，如：平移1次后在函数的图象上；平移2次后在函数的图象上…由此我们知道，平移n 次后在函数的图象上．（请填写相应的解析式）（3）探索运用：点P从点O出发经过n次平移后，到达直线y=x上的点Q，且平移的路径长不小于50，不超过56，求点Q的坐标．〖选题意图〗本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．〖解题思路〗（1）根据点的平移特点描出每次平移后P点的位置即可；（2）先根据P点平移一次后的点的坐标求出过此点的函数解析式，再根据函数图象平移的性质解答即可；（3）设点Q 的坐标为（x ，y ），求出Q 点的坐标，得出n 的取值范围，再根据点Q 的坐标为正整数即可进行解答．〖参考答案〗解：（1）如图所示：（2）设过（0，2），（1，0）点的函数解析式为：y=kx+b （k≠0）， 则，解得 ﹣ ， 故第一次平移后的函数解析式为：y=﹣2x+2； ∴答案依次为：y=﹣2x+2；y=﹣2x+4；y=﹣2x+2n ． （3）设点Q 的坐标为（x ，y ），依题意， ﹣．解这个方程组，得到点Q 的坐标为（，）．∵平移的路径长为x+y ， ∴50≤≤56．∴37.5≤n≤42． ∵点Q 的坐标为正整数，∴点Q 的坐标为（26，26），（28，28）． 【课堂训练题】1．（1）点（0，1）向下平移2个单位后的坐标是 ，直线y=2x+1向下平移2个单位后的解析式是 ；（2）直线y=2x+1向右平移2个单位后的解析式是 ；（3）如图，已知点C 为直线y=x 上在第一象限内一点，直线y=2x+1交y 轴于点A ，交x 轴于B ，将直线AB 沿射线OC 方向平移 个单位，求平移后的直线的解析式．〖参考答案〗解：（1）（0，﹣1），y=2x+1﹣2=2x﹣1；（2）y=2（x﹣2）+1=2x﹣3；（3）y=2（x﹣3）+1+3，即y=2x﹣2．2．如图，将直线y=2x沿y轴向下平移后，得到的直线与x轴交于点（，），与双曲线在第一象限交于点B，且△OAB的面积．（1）求直线AB的解析式（2）求双曲线的解析式．〖参考答案〗解：（1）直线AB的解析式为y=2x﹣b，把A（，0）代入得，0=2×﹣b，解得b=5，故此直线的解析式为：y=2x﹣5；（2）作BD⊥x轴，∵△OAB的面积，即OA•BD=，∵A（，0），∴BD=3，∵B点在直线y=2x﹣5上，∴3=2x﹣5，解得x=4，∴B （4，3）∵B 点在反比例函数y=上， ∴k=3×4=12，∴此反比例函数的解析式为：y=．3．如图，直线y=x+4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 在OB 上，若将△ABC 沿AC 折叠，使点B 恰好落在x 轴上的点D 处，则点C 的坐标是 （0，1.5） ．〖参考答案〗解：由题意得：A （﹣3，0），B （0，4）； ∴OA=3，OB=4．那么可得AB=5．易得△ABC ≌△ADC ，∴AD=AB=5，∴OD=AD ﹣OA=2．设OC 为x ．那么BC=CD=4﹣x ．那么x 2+22=（4﹣x ）2，解得x=1.5， ∴C （0，1.5）．类型三 反比例函数的图像与性质【例题3】（2011•防城港）如图，是反比例函数y=和y=（k 1＜k 2）在第一象限的图象，直线AB ∥x 轴，并分别交两条曲线于A 、B 两点，若S △AOB =2，则k 2﹣k 1的值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8〖选题意图〗本题主要考查对反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出cd ﹣ab=4是解此题的关键．〖解题思路〗设A （a ，b ），B （c ，d ），代入双曲线得到k 1=ab ，k 2=cd ，根据三角形的面积公式求出cd ﹣ab=4，即可得出答案．〖参考答案〗解：设A （a ，b ），B （c ，d ），代入得：k 1=ab ，k 2=cd ， ∵S △AOB =2，∴cd ﹣ab=2，∴cd﹣ab=4，∴k2﹣k1=4，故选C．【课堂训练题】1．（2011•东营）如图，直线l和双曲线（＞）交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、0P，设△AOC的面积为S1、△BOD的面积为S2、△POE的面积为S3，则（）A、S1＜S2＜S3B、S1＞S2＞S3C、S1=S2＞S3D、S1=S2＜S3〖参考答案〗解：结合题意可得：AB都在双曲线y=上，则有S1=S2；而AB之间，直线在双曲线上方；故S1=S2＜S3．故选D．2．如图，点A是反比例函数y=的图象上任意一点，延长AO交该图象于点B，AC⊥x 轴，BC⊥y轴，求Rt△ACB的面积．〖参考答案〗解：设点A的坐标为（x，y），则点B坐标为（﹣x，﹣y），所以AC=2y，BC=2x，所以Rt△ACB的面积为AC•BC=×2x•2y=2xy=2|k|=24．类型四反比例函数与一次函数的交点问题【例题4】（2011•雅安）如图，过y轴上点A的一次函数与反比例函数相交于B、D两点，B（﹣2，3），BC⊥x轴于C，四边形OABC面积为4．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点D的坐标；（3）当x在什么取值范围内，一次函数的值大于反比例函数的值．（直接写出结果）〖选题意图〗此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式以及待定系数法求一次函数解析式，利用图象判定函数的大小关系是中学的难点同学们应重点掌握．〖解题思路〗（1）先设出反比例函数和一次函数的解析式：y=和y=ax+b，把点B的坐标代入反比例函数的解析式求出k即可；（2）两个解析式联立，求得点D的坐标即可；（3）利用函数图象求出分别得出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．〖参考答案〗解：（1）设反比例函数的解析式y=和一次函数的解析式y=ax+b，图象经过点B，∴k=﹣6，∴反比例函数解析式为y=﹣，又四边形OABC面积为4．∴（OA+BC）OC=8，∵BC=3，OC=2，∴OA=1，∴A（0，1）将A、B两点代入y=ax+b有﹣，解得﹣∴一次函数的解析式为y=﹣x+1，（2）联立组成方程组得﹣﹣，解得x=﹣2或3，∴点D（3，﹣2）（3）x＜﹣2或0＜x＜3．【课堂训练题】1．（2011•潼南县）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数（m≠0）的图象相交于A、B两点．求：（1）根据图象写出A、B两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出：当x为何值时，一次函数值大于反比例函数值．〖参考答案〗解：（1）由图象可知：点A的坐标为（2，）点B的坐标为（﹣1，﹣1）∵反比例函数（m≠0）的图象经过点（2，），∴m=1∴反比例函数的解析式为：∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（2，）点B（﹣1，﹣1）∴﹣﹣解得：k=b=﹣∴一次函数的解析式为﹣（2）由图象可知：当x＞2或﹣1＜x＜0时一次函数值大于反比例函数值2．如图，已知一次函数y1=x+m（m为常数）的图象与反比例函数（k为常数，k≠0）的图象相交点A（1，3）．（1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点B的坐标；（2）观察图象，写出使函数值y1≥y2的自变量x的取值范围．〖参考答案〗解：（1）由题意，得3=1+m，解得：m=2．所以一次函数的解析式为y1=x+2．由题意，得3=，解得：k=3．所以反比例函数的解析式为y2=．由题意，得x+2=，解得x1=1，x2=﹣3．当x2=﹣3时，y1=y2=﹣1，所以交点B（﹣3，﹣1）．（2）由图象可知，当﹣3≤x＜0或x≥1时，函数值y1≥y2．类型五函数的应用【例题5】（2011•岳阳）某工厂有一种材料，可加工甲、乙、丙三种型号机械配件共240个．厂方计划由20个工人一天内加工完成，并要求每人只加工一种配件．根据下表提供的信息，解答下列问题：（1）设加工甲种配件的人数为x，加工乙种配件的人数为y，求y与x之间的函数关系式．（2）如果加工每种配件的人数均不少于3人，那么加工配件的人数安排方案有几种？并写出每种安排方案．（3）要使此次加工配件的利润最大，应采用（2）中哪种方案？并求出最大利润值．〖选题意图〗此题主要考查了一次函数的应用，一次函数的应用是中考中的重点题型，利用图表得出正确的信息是解决问题的关键．〖解题思路〗（1）根据图表得出16x+12y+10（20﹣x﹣y）=240，从而求出y与x的关系式即可；（2）利用（1）中关系式即可得出方案；（3）分别求出（2）中方案的利润即可．〖参考答案〗解：（1）∵厂方计划由20个工人一天内加工完成，设加工甲种配件的人数为x，加工乙种配件的人数为y，∴加工丙种配件的人数为（20﹣x﹣y）人，∴16x+12y+10（20﹣x﹣y）=240，∴y=﹣3x+20；（2）设加工丙种配件的人数为z=（20﹣x﹣y）人，当x=3时，y=11，z=6，当x=4时，y=8，z=8，当x=5时，y=5，z=10，其他都不符合题意，∴加工配件的人数安排方案有三种；（3）由图表得：方案一利润为：3×16×6+11×12×8+10×6×5=1644元，方案二利润为：4×16×6+8×12×8+10×8×5=1552元，方案三利润为：5×16×6+5×12×8+10×10×5=1460元，∴应采用（2）中方案一，最大利润为1644元．【课堂训练题】1．（2011•孝感）健身运动已成为时尚，某公司计划组装A、B两种型号的健身器材共40套，捐给社区健身中心．组装一套A型健身器材需甲种部件7个和乙种部件4个，组装一套B 型健身器材需甲种部件3个和乙种部件6个．公司现有甲种部件240个，乙种部件196个．（1）公司在组装A、B两种型号的健身器材时，共有多少种组装方案？（2）组装一套A型健身器材需费用20元，组装一套B型健身器材需费用18元，求总组装费用最少的组装方案，最少总组装费用是多少？〖参考答案〗解：（1）设该公司组装A型器材x套，则组装B型器材（40﹣x）套，依据题意得（﹣），（﹣）解得22≤x≤30，由于x 为整数，所以x取22，23，24，25，26，27，28，29，30．故组装A、B两种型号的健身器材共有9套组装方案；（2）总的组装费用y=20x+18（40﹣x）=2x+720，∵k=2＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x=22时，总的组装费用最少，最少组装费用是2×22+720=764元，总的组装费用最少的组装方案为：组装A型器材22套，组装B型器材18套．2．为发展旅游经济，我市某景区对门票釆用灵活的售票方法吸引游客．门票定价为50元/人，非节假日打a折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即m人以下（含m人）的团队按原价售票；超过m人的团队，其中m人仍按原价售票，超过m人部分的游客打b折售票．设某旅游团人数为x人，非节假日购票款为y1（元），节假日购票款为y2（元）．y1与y2之间的函数图象如图所示．（1）观察图象可知：a=6；b=8；m=10；（2）直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；（3）某旅行社导游王娜于5月1日带A团，5月20日（非节假日）带B团都到该景区旅游，共付门票款1900元，A，B两个团队合计50人，求A，B两个团队各有多少人？〖参考答案〗解：（1）门票定价为50元/人，那么10人应花费500元，而从图可知实际只花费300元，是打6折得到的价格，所以a=6；从图可知10人之外的另10人花费400元，而原价是500元，可以知道是打8折得到的价格，所以b=8，看图可知m=10；（2）设y1=kx，当x=10时，y1=300，代入其中得，k=30y1的函数关系式为：y1=30x同理可得，y2=50x（0≤x≤10），当x＞10时，设其解析式为：y2=（x﹣10）×50×0.8+500，化简得：y2=40x+100；（3）设A团有n人，则B团有（50﹣n）人，当0≤n≤10时，50n+30（50﹣n）=1900解得，n=20这与n≤10矛盾，当n＞10时，40n+100+30（50﹣n）=1900，解得，n=30，50﹣30=20．答：A团有30人，B团有20人．【例题6】用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系．寄宿生小红、小敏晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水（约10升），小敏每次用半盆水（约5升），如果她们都用了5克洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5克，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2克．（1）请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数关系式；（2）当洗衣粉的残留量降至0.5克时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么？〖选题意图〗现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．〖解题思路〗（1）设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为：y1=，y2=，后根据题意代入求出k1和k2即可；（2）当y=0.5时，求出此时小红和小敏所用的水量，后进行比较即可．〖参考答案〗解：（1）设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为：y1=，y2=，将和分别代入两个关系式得：1.5=，2=，解得：k1=1.5，k2=2．∴小红的函数关系式是=，小敏的函数关系式是．（2）把y=0.5分别代入两个函数得：=0.5，=0.5，解得：x1=3，x2=4，10×3=30（升），5×4=20（升）．答：小红共用30升水，小敏共用20升水，小敏的方法更值得提倡．【课堂训练题】1．一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V=10m3时，ρ=1.43kg/m3．（1）求ρ与V的函数关系式；（2）求当V=2m3时求氧气的密度ρ．〖参考答案〗解：（1）设ρ=，当V=10m3时，ρ=1.43kg/m3，所以1.43=，即k=14.3，所以ρ与V的函数关系式是ρ=；（2）当V=2m3时，把V=2代入得：ρ=7.15（kg/m3），所以当V=2m3时，氧气的密度为7.15（kg/m3）．类型六一次函数与反比例函数的综合题【例题7】（2011•宜宾）如图，一次函数的图象与反比例函数﹣（＜）的图象相交于A点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0）．当x＜﹣1时，一次函数值大于反比例函数值，当x＞﹣1时，一次函数值小于反比例函数值．（1）求一次函数的解析式；（2）设函数y2=（＞）的图象与﹣（＜）的图象关于y轴对称，在y2=（＞）的图象上取一点P（P点的横坐标大于2），过P作PQ丄x轴，垂足是Q，若四边形BCQP的面积等于2，求P点的坐标．〖选题意图〗此题主要考查反比例函数的性质，注意通过解方程组求出交点坐标．同时要注意运用数形结合的思想．〖解题思路〗（1）根据x＜﹣1时，一次函数值大于反比例函数值，当x＞﹣1时候，一次函数值小于反比例函数值得到点A的坐标，利用待定系数法求函数的解析式即可；（2）求得B点的坐标后设出P点的坐标，利用告诉的四边形的面积得到函数关系式求得点P的坐标即可．〖参考答案〗解：（1）∵x＜﹣1时，一次函数值大于反比例函数值，当x＞﹣1时候，一次函数值小于反比例函数值．∴A点的横坐标是﹣1，∴A（﹣1，3），设一次函数的解析式为y=kx+b，因直线过A、C，则﹣，解之得﹣，∴一次函数的解析式为y=﹣x+2；（2）∵y2=的图象与﹣（＜）的图象关于y轴对称，∴y2=（x＞0），∵B点是直线y=﹣x+2与y轴的交点，∴B（0，2），设p（n，）n＞2，S四边形BCQP=S四边形OQPB﹣S△OBC=2，∴（2+）n﹣×2×2=2，n=，∴P（，）．【课堂训练题】1．（2011•成都）如图，已知反比例函数（）的图象经过点（，8），直线y=﹣x+b经过该反比例函数图象上的点Q（4，m）．（1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；（2）设该直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连接0P、OQ，求△OPQ的面积．〖参考答案〗解：（1）把点（，8）代入反比例函数（），得k=•8=4，∴反比例函数的解析式为y=；又∵点Q（4，m）在该反比例函数图象上，∴4•m=4，解得m=1，即Q点的坐标为（4，1），而直线y=﹣x+b经过点Q（4，1），∴1=﹣4+b，解得b=5，∴直线的函数表达式为y=﹣x+5；（2）联立﹣，解得或，∴P点坐标为（1，4），对于y=﹣x+5，令y=0，得x=5，∴A点坐标为（0，5），∴S△OPQ=S△AOB﹣S△OBP﹣S△OAQ=•5•5﹣•5•1﹣•5•1=．2．（2010•苏州）如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数（x＞0）的图象经过点B、（1）求k的值；（2）将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC′、NA′BC．设线段MC′、NA′分别与函数（x＞0）的图象交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式．〖参考答案〗解：（1）∵四边形OABC是面积为4的正方形，∴OA=OC=2，∴点B坐标为（2，2），∴k=xy=2×2=4．（2）∵正方形MABC′、NA′BC由正方形OABC翻折所得，∴ON=OM=2OA=4，∴点E横坐标为4，点F纵坐标为4．∵点E、F在函数y=的图象上，∴当x=4时，y=1，即E（4，1），当y=4时，x=1，即F（1，4）．设直线EF解析式为y=mx+n，将E、F两点坐标代入，得，∴m=﹣1，n=5．∴直线EF的解析式为y=﹣x+5．第三部分课后自我检测试卷A类试题：1．（2011•阜新）反比例函数y=与y=在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（）A．B．2 C．3 D．12．如图，直线y=x+2交x轴于A，交y轴于B（1）直线AB关于y轴对称的直线解析式为；（2）直线AB绕原点旋转180度后的直线解析式为；（3）将直线AB绕点P（﹣1，0）顺时针方向旋转90度，求旋转后的直线解析式．3．将一次函数y=kx﹣1的图象向上平移k个单位后恰好经过点A（3，2+k）．（1）求k的值；（2）若一条直线与函数y=kx﹣1的图象平行，且与两个坐标轴所围成的三角形的面积为，求该直线的函数关系式．4．（2011•肇庆）如图．一次函数y=x+b的图象经过点B（﹣1，0），且与反比例函数（k为不等于0的常数）的图象在第一象限交于点A（1，n）．求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）当1≤x≤6时，反比例函数y的取值范围．5．如图所示，反比例函数y=的图象与一次函数y=kx﹣3的图象在第一象限内相交于点A （4，m）．（1）求m的值及一次函数的解析式；（2）若直线x=2与反比例和一次函数的图象分别交于点B、C，求线段BC的长．B类试题：6．已知直线x﹣2y=﹣k+6和x+3y=4k+1，若它们的交点在第四象限内．（1）求k的取值范围；（2）若k为非整数，点A的坐标（2，0），点P在直线x﹣2y=﹣k+6上，求使△PAO为等腰三角形的点的坐标．7．在△ABC中，AB=AC=12cm，BC=6cm，D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿B→A→C的方向运动．设运动时间为t，那么当t=秒时，过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．8．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与Y轴和X轴分别交于点A、点B，与反比例函数在第一象限的图象交于点c（1，6）、点D（3，n）．过点C作CE上y轴于E，过点D作DF上x轴于F．（1）求m，n的值；（2）求直线AB的函数解析式；（3）求证：△AEC≌△DFB．C 类试题：9．如图，双曲线y= （k ＞0，x ＞0）的图象上有两点P 1（x 1，y 1）和P 2（x 2，y 2），且x 1＜x 2，分别过P 1和P 2向x 轴作垂线，垂足为B 、D ．过P 1和P 2向y 轴作垂线，垂足为A 、C ．（1）若记四边形AP 1BO 和四边形CP 2DO 的面积分别为S 1和S 2，周长为C 1和C 2，试比较S 1和S 2，C 1和C 2的大小；（2）若P 是双曲线y=（k ＞0，x ＞0）的图象上一点，分别过P 向x 轴、y 轴垂线，垂足为M 、N ．试问当P 点落在何处时，四边形PMON 的周长最小？10．（2011•曲靖）如图：直线y=kx+3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，OA OB =，点C （x ，y ）是直线y=kx+3上与A 、B 不重合的动点．（1）求直线y=kx+3的解析式；（2）当点C 运动到什么位置时△AOC 的面积是6；（3）过点C 的另一直线CD 与y 轴相交于D 点，是否存在点C 使△BCD 与△AOB 全等？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．课后自我检测试卷参考答案A类试题：1．解：分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足，∵由反比例函数系数k的几何意义可知，S四边形OEAC=6，S△AOE=3，S△BOC=，∴S△AOB=S四边形OEAC﹣S△AOE﹣S△BOC=6﹣3﹣=．故选A．2．解：由题意得：A（﹣4，0），B（0，2），（1）∵关于y轴对称则：此直线过点（0，2）和（4，0），∴可得函数解析式为i：y=﹣x+2（2）∵关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数，∴可得函数解析式过点（0，﹣2）和（﹣4，0），∴函数解析式为：y=﹣x﹣2（3）设函数解析式为y=2x+b，又∵过点（﹣1，0），∴函数解析式为：y=2x+2．3．解：（1）根据平移规律可知，平移后解析式为y=kx﹣1+k，将点A（3，2+k）代入，得3k﹣1+k=2+k，解得k=1；（2）设所求直线解析式为y=x+b，则图象与坐标轴两交点坐标为（﹣b，0），（0，b），由三角形面积公式得×|b|×|﹣b|=，解得b=±1，∴y=x+1或y=x﹣1（不合题意，舍去），故所求直线的函数关系式为y=x+1．4．解：（1）把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b得：0=﹣1+b，∴b=1，∴一次函数解析式为：y=x+1，∵点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，∴n=1+1，∴n=2，∴点A的坐标是（1，2）．∵反比例函数的图象过点A（1，2）．∴k=1×2=2，∴反比例函数关系式是：y=，；（2）反比例函数y=，当x＞0时，y随x的增大而减少，而当x=1时，y=2，当x=6时，y=，∴当1≤x≤6时，反比例函数y的值：≤y≤2．5．解：（1）∵点A （4，m）在反比例函数y=的图象上，∴m==1，∴A （4，1），把A （4，1）代入一次函数y=kx﹣3，得4k﹣3=1，∴k=1，∴一次函数的解析式为y=x﹣3，（2）∵直线x=2与反比例和一次函数的图象分别交于点B、C，∴当x=2时，y B==2，y C=2﹣3=﹣1，∴线段BC的长为|y B﹣y C|=2﹣（﹣1）=3．B类试题：6．解：（1）由题可得：﹣﹣，解得：﹣，∴两直线的交点坐标为（k+4，k﹣1），又∵交点在第四象限，∴＞﹣＜，解得：﹣4＜k＜1；（2）由于k为非负整数且﹣4＜k＜1，∴k=0，此函数的解析式为：x﹣2y=6．直线x﹣2y=6与y轴的交点坐标为：（0，﹣3），与x轴交点坐标为（6，0），∵2＜3，∴等腰三角形△PAO只有以OA为底边，∴可得P点坐标为（1，﹣）．7．解：（1）当P把△ABC分成如图（一）两部分时，因为AB=AC=12cm，BD=CD=BC=×6=3cm，所以P在AB上，设P运动了t秒，则BP=t，AP=12﹣t，由题意得：BP+BD=（AP+AC+CD），即t+3=（12﹣t+12+3），解得t=7秒；（2）当DP把△ABC分成如图（二）两部分时，因为AB=AC=12cm，BD=CD=BC=×6=3cm，所以P在AC上，设P运动了t秒，则AB+AP=t，PC=AB+AC﹣t，由题意得：BD+t=2（PC+CD），即3+t=2（12+12﹣t+3），即3t=51，t=17秒．∴当t=7或17秒时，过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．8．解：（1）由题意得1=，∴m=6，∴n=，∴n=2；（2）设直线AB的函数解析式为y=kx+b﹣由题意得，解得∴直线AB的函数解析式为y=﹣2x+8；（3）∵y=﹣2x+8，∴A（0，8），B （4，0）∵CE⊥y轴，DF⊥x轴，∴∠AEC=∠DFB∵AE=DF=2，CE=BF=1∴△AEC≌△DFB．C类试题：9．解：（1）根据反比例函数系数k的几何意义可知S1=S2=k；当y1﹣y2=x2﹣x1即AC=BD时C1=C2；当y1﹣y2＜x2﹣x1即AC＜BD时C1＜C2；当y1﹣y2＞x2﹣x1即AC＞BD时C1＞C2．（2）设P（x，y），即（x，），四边形PMON的周长=2（x+y）=2（x+），因为面积相等的四边形中正方形的周长最小，所以x=，解得x=，故四边形PMON的周长最小=2（x+y）=4．10．解：（1）∵直线y=kx+3与y轴分别交于B点，∴B（0，3），∵OA OB= ，∴OA=4，∴A （4，0），∵直线y=kx+3过A （4，0），∴4k+3=0，∴k=﹣ ，∴直线的解析式为：y=﹣ x+3；（2）∵A （4，0），∴AO=4，∵△AOC 的面积是6，∴△AOC 的高为：3，∴C 点的纵坐标为3，∵直线的解析式为：y=﹣ x+3，∴3=﹣ x+3，x=0，∴点C 运动到B 点时，△AOC 的面积是6；（3）当过点C 的另一直线CD 与y 轴相交于D 点，且CD ⊥y 轴于点D 时，BD=BO=3，△BCD 与△AOB 全等， ∴C 点纵坐标为6，∴6=﹣ x+3，解得：x=﹣4，∴C 点坐标为：（﹣4，6）．。
反比例函数的图像与性质(3))
11.2反比例函数的图像与性质（3）学习目标:1.会根据反比例函数图像的某些特征，分析并掌握反比例函数的性质．2.能运用反比例函数图像与对应的函数关系或之间的内在联系及其几何意义解决有关问题．3.根据所给反比例函数与一次函数的图像解决一些简单的综合问题．学习重点:根据条件确定函数的类型，明确函数图像所在象限及有关性质．学习难点:能结合函数图像及性质，比较函数值的大小和求函数关系式．学习过程:一、预习展示1.填表2..点（-2，y1）（-1，y2）（1，y3）在反比例函数y = -4x的图像上，比较y1、y2、y3的大小．思考：比较y1、y2、y3的大小有哪些方法？（代人法、图像法、增减性法）3.对于反比例函数y = kx（k>0），当x1 < 0< x2 <x3时，其对应的值y1、y2、y3的大小关系是．二、合作探究1.如图，是反比例函数y =2- mx的图像的一支．(1) 函数图像的另一支在第几象限？(2) 求常数m的取值范围．(3) 点A（－3，y1）、B（－1，y2）、C（2，y3）都在这个反比例函数的图像上，比较y1、、y2和y3的大小．2. 已知反比例函数 的图像与一次函数的图像的一个交点的横坐标是 －3 . （1）求k 的值，并画出这个反比例函数的图像；（2）根据反比例函数图像，指出当x ＜－1时， y 的取值范围.练习巩固 1.已知反比例函数 y = kx 与一次函数y=mx+b 的图像交于P(－2,1)和Q （1，n ）两点．(1) 求k 、n 的值；(2) 求一次函数y=mx+b 的解析式．(3) 求△POQ 的面积．3.讨论:(1)已知:点P 是双曲线 上任意一点,PA ⊥OX 于A,PB ⊥OY 于B.求:矩形PAOB 的面积(2)已知:点P 是双曲线 上任意一点,PA ⊥OX 于A,PB ⊥OY 于B.求:矩形PAOB 的面积.（3）已知:点P 是双曲线 上任意一点,PA ⊥OX 于A,PB ⊥OY 于B.则:矩形PAOB 的面积=练习巩固 2.已知反比例函数 y= 的图象上有两点P(1,a), Q(b,2.5). (1) 求a 、b 的值；(2) 过点P 作y 轴的垂线交于点M ，求△PMO 的面积； (3) 过点Q 作x 轴的垂线交于点N ，求△QNO 的面积； (4)过双曲线上任意一点A （m, n ）作x 轴(或y 轴)的k y x＝xy 6=xy 6-=xk y =垂线，垂足为B ，求△ABO 的面积；三．小结与思考 这节课你有何收获？四．当堂训练1.已知反比例函数y = - n-3x 的图像具有以下特征：在同一象限内，y 随x 增大而增大，(1)求n 的取值范围．(2)点（2，a ）、(-1,b)、（-2，c ）都在这个反比例函数图像上，比较a 、b 、c 的大小．2.如图Rt ΔAOB 的顶点A 是直线 y=x+11-m 与双曲线在第一象限的交点，且S ΔAOB = 3。
反比例函数与一次函数综合题的解题技巧
反比例函数与一次函数综合题的解题技巧反比例函数是一类函数，它的特点是其中的变量是互为倒数关系，变量之间的函数关系是y=k/x，其中k为常数，当k<0时，反比例函数为递减；当k>0时，反比例函数为递增。
一次函数是一类函数，它的特点是其中的变量是线性的关系，变量之间的函数关系是y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。
针对反比例函数与一次函数的综合题，我们可以采用以下解题技巧：
1.把反比例函数转换为一次函数
将反比例函数y=k/x，转化为一次函数，则有y=kx^(-1)+b，其中k是常数，b是截距，x^(-1)是x的倒数。
2.把一次函数转换为反比例函数
将一次函数y=kx+b，转化为反比例函数，则有y=k/x+b，其中k是斜率，b是截距，x是变量。
3.计算斜率和截距
可以根据已知点，根据联立方程求出斜率和截距，用于验算正确性。
4.给定一点，求出函数
可以根据已知点，求出函数的斜率和截距，然后根据斜率和截距求出函数的具体形式。
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一次函数与反比例函数中,焦点问题,的最大值
一次函数与反比例函数中，焦点问题，的最大值初中时学过一次函数、反比例函数、二次函数三种函数，内容多，难度大，所以把函数的内容分成两部分来复习。
在这堂课中，我们将复习一次函数和反比例函数。
一次函数1、定义：如果y=kx+b (k0 k,b是常量) ，那么y是x的一次函数。
当b=0时，此时是正比例函数，是一次函数的一种特殊情况。
2、k值对于一次函数图像的影响当k>0时：y随x的增大而增大，图像为“/”的形式（上坡路）；当k<0时：y随x的增大而减小，图像为“\”的形式（下坡路）。
3、b值对于一次函数图像的影响当b>0时，图像交于y轴的正半轴；当b=0时，图像是正比例函数，过原点；当b<0时，图像交于y轴的负半轴。
4、直线与直线的位置关系①平行：如果两条直线平行，那么这两条直线的k值相等，b 值不等；②垂直：如果两条直线垂直，那么它们的k值相乘等于-1 。
反比例函数1、定义：如果y=k/x (k≠0),那么y是x的反比例函数。
2、k值对于反比例函数图像的影响①当k>0时：双曲线位于一、三象限，横、纵坐标“同号”，y随着x的增大而减小；②当k<0时：双曲线位于二、四象限，横、纵坐标“异号”，y随着x的增大而增大。
3、反比例函数图像的对称性①是轴对称图形k>0时，图像关于直线y=x对称；k<0时，图像关于y=-x对称；②是中心对称图形关于原点对称。
4、比例系数k的几何意义①过双曲线上任意一点分别向x轴和y轴作垂线所得所有矩形的面积都等于|k|；②过双曲线上任意一点向x轴或y轴作垂线由该点、垂足、原点所构成的三角形的面积都等于|k|/2。
接下来我们来看一次函数及反比例函数在中考中是怎样考查的？这对期末考试也有帮助，因为你的老师很可能就在中考真题中扒拉一些好题出卷~考点梳理1.确定反比例函数的关系式例题解析思路点拨这种题型最常用的方法是根据函数图像，根据已知条件求解。
一次函数和反比例函数知识点总结
一次函数知识点总结:函数性质：1. y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k. 即：y=kx+b（k，b为常数，k≠0）当x增加m，k（x+m)+b=y+km, km/m=k。
2. 当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为(0，b)。
3. 当b=0时(即y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。
4. 一次函数的图像：直线5. 在两个一次函数表达式中：当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合；当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行；当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交；当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。
若两个变量x,y间的关系式可以表示成Y=KX+b(k,b为常数，k不等于0）则称y是x的一次函数图像性质1．作法与图形：通过如下3个步骤：（1）列表.（2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。
一般的y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点画直线即可。
正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。
（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。
因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。
（通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b）.2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。
（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。
3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
4．k，b与函数图像所在象限：y=kx时（即b等于0，y与x成正比例)：当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。
反比例函数一次函数二次函数性质及图像
反比例函数1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交K≠0..2、性质：1.当k>0时;图象分别位于第一、三象限;同一个象限内;y随x的增大而减小；当k<0时;图象分别位于二、四象限;同一个象限内;y随x的增大而增大..2.k>0时;函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时;函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数..定义域为x≠0；值域为y≠0..3.因为在y=k/xk≠0中;x不能为0;y也不能为0;所以反比例函数的图象不可能与x轴相交;也不可能与y轴相交..4. 在一个反比例函数图象上任取两点P;Q;过点P;Q分别作x轴;y轴的平行线;与坐标轴围成的矩形面积为S1;S2则S1＝S2=|K|5. 反比例函数的图象既是轴对称图形;又是中心对称图形;它有两条对称轴y=x y=-x即第一三;二四象限角平分线;对称中心是坐标原点..6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点m、n同号;那么A B两点关于原点对称..7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n;要使它们有公共交点;则n^2+4k·m≥不小于0..8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴..9.反比例函数关于正比例函数y=x;y=-x轴对称;并且关于原点中心对称.10.反比例上一点m向x、y分别做垂线;交于q、w;则矩形mwqoo为原点的面积为|k|11.k值相等的反比例函数重合;k值不相等的反比例函数永不相交..12.|k|越大;反比例函数的图象离坐标轴的距离越远..13.反比例函数图象是中心对称图形;对称中心是原点一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：1关系式为整式时;函数定义域为全体实数； 2关系式含有分式时;分式的分母不等于零；3关系式含有二次根式时;被开放方数大于等于零； 4关系式中含有指数为零的式子时;底数不等于零；5实际问题中;函数定义域还要和实际情况相符合;使之有意义.. （二）一次函数 1、一次函数的定义一般地;形如y kx b =+k ;b 是常数;且0k ≠的函数;叫做一次函数;其中x 是自变量..当0b =时;一次函数y kx =;又叫做正比例函数..⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+;要判断一个函数是否是一次函数;就是判断是否能化成以上形式． ⑵当0b =;0k ≠时;y kx =仍是一次函数．⑶当0b =;0k =时;它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例;一次函数包括正比例函数． 2、正比例函数及性质一般地;形如y=kxk 是常数;k≠0的函数叫做正比例函数;其中k 叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y=kx k 不为零 ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零当k>0时;直线y=kx 经过三、一象限;从左向右上升;即随x 的增大y 也增大；当k<0时;•直线y=kx 经过二、四象限;从左向右下降;即随x 增大y 反而减小．(1) 解析式：y=kxk 是常数;k ≠0 (2) 必过点：0;0、1;k(3) 走向：k>0时;图像经过一、三象限；k<0时;•图像经过二、四象限 (4) 增减性：k>0;y 随x 的增大而增大；k<0;y 随x 增大而减小 (5) 倾斜度：|k|越大;越接近y 轴；|k|越小;越接近x 轴 3、一次函数及性一般地;形如y=kx ＋bk;b 是常数;k≠0;那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时;y=kx ＋b 即y=kx;所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式 y=kx+b k 不为零 ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数一次函数y=kx+b 的图象是经过0;b 和-kb;0两点的一条直线;我们称它为直线y=kx+b;它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.当b>0时;向上平移；当b<0时;向下平移 1解析式：y=kx+bk 、b 是常数;k ≠0 2必过点：0;b 和-kb;0 3走向： k>0;图象经过第一、三象限；k<0;图象经过第二、四象限 b>0;图象经过第一、二象限；b<0;图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<00b k 直线经过第二、三、四象限4增减性： k>0;y 随x 的增大而增大；k<0;y 随x 增大而减小.5倾斜度：|k|越大;图象越接近于y 轴；|k|越小;图象越接近于x 轴.6图像的平移： 当b>0时;将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时;将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.一次函数()0k kx b k =+≠k ;b 符号 0k >0k < 0b > 0b < 0b = 0b >0b <0b = 图象Ox yyx OOx yyx OOx yyxO性质y 随x 的增大而增大y 随x 的增大而减小4、一次函数y=kx ＋b 的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线;并且只能画出一条直线;即两点确定一条直线;所以画一次函数的图象时;只要先描出两点;再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：0;b;.即横坐标或纵坐标为0的点.b>0 b<0 b=0k>0经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限图象从左到右上升;y 随x 的增大而增大k<0 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限图象从左到右下降;y 随x 的增大而减小5、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx ＋b 的图象是一条直线;它可以看作是由直线y=kx 平移|b|个单位长度而得到当b>0时;向上平移；当b<0时;向下平移6、正比例函数和一次函数及性质正比例函数 一次函数概 念 一般地;形如y=kxk 是常数;k≠0的函数叫做正比例函数;其中k 叫做比例系数 一般地;形如y=kx ＋bk;b 是常数;k≠0;那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时;是y=kx;所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.自变量 范 围X 为全体实数图 象 一条直线必过点 0;0、1;k 0;b 和-k b ;0 走 向 k>0时;直线经过一、三象限； k<0时;直线经过二、四象限 k ＞0;b ＞0;直线经过第一、二、三象限 k ＞0;b ＜0直线经过第一、三、四象限 k ＜0;b ＞0直线经过第一、二、四象限 k ＜0;b ＜0直线经过第二、三、四象限 增减性 k>0;y 随x 的增大而增大；从左向右上升 k<0;y 随x 的增大而减小..从左向右下降 倾斜度 |k|越大;越接近y 轴；|k|越小;越接近x 轴 图像的 平 移 b>0时;将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；b<0时;将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.7、直线11b x k y +=01≠k 与22b x k y +=02≠k 的位置关系 1两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ 2两直线相交⇔21k k ≠3两直线重合⇔21k k =且21b b = 4两直线垂直⇔121-=k k8、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：1根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；2将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程； 3解方程得出未知系数的值；4将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.9、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0a;b 为常数;a ≠0的形式;所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时;求相应的自变量的值. 从图象上看;相当于已知直线y=ax+b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值.10、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0a;b 为常数;a ≠0的形式;所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大小于0时;求自变量的取值范围.11、一次函数与二元一次方程组1以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=bcx b a +-的图象相同. （2）二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解可以看作是两个一次函数y=1111b cx b a +-和y=2222b c x b a +-的图象交点.二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地;形如2y ax bx c =++a b c ，，是常数;0a ≠的函数;叫做二次函数.. 这里需要强调：和一元二次方程类似;二次项系数0a ≠;而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数;右边是关于自变量x 的二次式;x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数;a 是二次项系数;b 是一次项系数;c 是常数项．二、二次函数的基本形式① 一般式：()()20f x ax bx c a =++≠ ② 顶点式：()()()20f x a x m n a =++≠ ③ 零点式：()()()()120f x a x x x x a =--≠当240b ac∆=->时;二次函数的图像和x轴有两个交点()11,0M x;()22,0M x;线段1212M M x xa a=-==．当240b ac∆=-=时;二次函数的图像和x轴有两个重合的交点,02bMa⎛⎫-⎪⎝⎭．特别地;当且仅当0b=时;二次函数()()20f x ax bx c a=++≠为偶函数．1. 二次函数基本形式：2y ax=的性质：a 的绝对值越大;抛物线的开口越小..2. 2y ax c=+的性质：上加下减..3. ()2y a x h=-的性质：左加右减..4.()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+;确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变;将其顶点平移到()h k ，处;具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移;负左移；k 值正上移;负下移”． 概括成八个字“左加右减;上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上下平移m 个单位;c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2或m c bx ax y -++=2⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左右平移m 个单位;c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2或c m x b m x a y +-+-=)()(2四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看;()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式;后者通过配方可以得到前者;即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭;其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+;确定其开口方向、对称轴及顶点坐标;然后在对称轴两侧;左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，;()20x ，若与x 轴没有交点;则取两组关于对称轴对称的点.画草图时应抓住以下几点：开口方向;对称轴;顶点;与x 轴的交点;与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时;抛物线开口向上;对称轴为2bx a =-;顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时;y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时;y 随x 的增大而增大；当2bx a =-时;y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时;抛物线开口向下;对称轴为2b x a =-;顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时;y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时;y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时;y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++a ;b ;c 为常数;0a ≠；2. 顶点式：2()y a x h k =-+a ;h ;k 为常数;0a ≠；3. 两根式：12()()y a x x x x =--0a ≠;1x ;2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式;但并非所有的二次函数都可以写成交点式;只有抛物线与x 轴有交点;即240b ac -≥时;抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中;a 作为二次项系数;显然0a ≠．⑴ 当0a >时;抛物线开口向上;a 的值越大;开口越小;反之a 的值越小;开口越大；⑵ 当0a <时;抛物线开口向下;a 的值越小;开口越小;反之a 的值越大;开口越大．总结起来;a 决定了抛物线开口的大小和方向;a 的正负决定开口方向;a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下;b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在0a >的前提下;当0b >时;02ba-<;即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时;02ba-=;即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时;02ba->;即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下;结论刚好与上述相反;即 当0b >时;02ba->;即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时;02ba-=;即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时;02ba-<;即抛物线对称轴在y 轴的左侧． ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ;在y 轴的右侧则0<ab ;概括的说就是“左同右异”3. 常数项c⑴ 当0c >时;抛物线与y 轴的交点在x 轴上方;即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时;抛物线与y 轴的交点为坐标原点;即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时;抛物线与y 轴的交点在x 轴下方;即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来;c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之;只要a b c ，，都确定;那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式;通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点;选择适当的形式;才能使解题简便．一般来说;有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标;一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大小值;一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标;一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点;常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况;可以用一般式或顶点式表达1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后;得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后;得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后;得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后;得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后;得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后;得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称即：抛物线绕顶点旋转180° 2y ax bx c =++关于顶点对称后;得到的解析式是222b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后;得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后;得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质;显然无论作何种对称变换;抛物线的形状一定不会发生变化;因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时;可以依据题意或方便运算的原则;选择合适的形式;习惯上是先确定原抛物线或表达式已知的抛物线的顶点坐标及开口方向;再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向;然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系二次函数与x 轴交点情况：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时;图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠;其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=. ② 当0∆=时;图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时;图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时;图象落在x 轴的上方;无论x 为任何实数;都有0y >；2' 当0a <时;图象落在x 轴的下方;无论x 为任何实数;都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交;交点坐标为(0;)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标;需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大小值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ;b ;c 的符号;或由二次函数中a ;b ;c 的符号判断图象的位置;要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称;可利用这一性质;求和已知一点对称的点坐标;或已知与x 轴的一个交点坐标;可由对称性求出另一个交点坐标.二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系从函数观点来看;一元二次不等式()200ax bx c a ++>≠的解集就是二次函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像上;位于x 轴上方的点的横坐标的集合；一元二次不等式()200ax bx c a ++<≠的解集就是二次函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像上;位于x 轴下方的点的横坐标的集合；一元二次不等式()200ax bx c a ++≥≠的解集就是二次函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像上;位于x 轴上方的点和与x 轴的交点的横坐标的集合；一元二次不等式()200ax bx c a ++≤≠的解集就是二次函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像上;位于x 轴下方的点和与x 轴的交点的横坐标的集合．一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的解就是二次函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像上;与x 轴的交点的横坐标．。
一次函数与反比例函数的取值范围
一次函数与反比例函数的取值范围《一次函数的取值范围真有趣》小朋友们，你们知道什么是一次函数的取值范围吗？其实呀，它就像是一个神秘的魔法盒子，里面装着很多数字的秘密。
比如说，有一个一次函数 y = 2x + 1。
我们来想想，x 可以是任何数字吗？不是的哟！假如 x 是负数，像 5 ，那么 y 就等于2×(5) + 1 = 9 。
如果 x 是很大的正数，比如 100 ，y 就会变得很大很大。
那这个函数的取值范围到底是多少呢？这就要看具体情况啦。
如果题目告诉我们 x 只能在 0 到 5 之间，那 y 的取值范围就是 1 到11 。
就像我们做游戏有规则一样，一次函数的取值范围也有它的规则。
只要我们找到了这个规则，就能解开数字的秘密啦！《探索一次函数的取值范围》小朋友们，今天我要给大家讲一个好玩的数学知识——一次函数的取值范围。
比如说，有一次函数 y = 3x 2 。
我们来想想，如果 x 是 0 ，那么 y 就是 2 ；如果 x 是 1 ，y 就是 1 。
那 x 能不能是任何数呢？不是的哦。
比如，如果这个函数表示的是我们买糖果的数量和花费的钱，x 就不能是负数，因为我们不能买负数个糖果呀。
再比如，如果 x 表示时间，那它也可能有一个范围，不能是无限大或者无限小。
所以呀，一次函数的取值范围是有讲究的，要根据具体的情况来确定。
《一次函数的取值范围之旅》小朋友们，让我们一起踏上一次函数取值范围的奇妙之旅吧！想象一下，有一个一次函数 y = x + 5 。
当 x 是 3 的时候，y 就是 2 ；当 x 是 5 的时候，y 就是 10 。
但是要注意哦，x 不是随便什么数都可以的。
假如这个函数说的是我们跑步的速度和时间，时间总不能是负数吧。
而且，如果有规定说时间只能在 1 小时到 3 小时之间，那速度的取值范围也就跟着定下来啦。
是不是很有趣呀？这就是一次函数的取值范围。
《有趣的一次函数取值范围》小朋友们，你们知道吗？数学里有个很有趣的东西叫一次函数的取值范围。
反比例函数的图像和性质
个性化一对一教学辅导教案学科： 数学 学生姓名 年级 八 任课老师 授课时间 一、教学内容：反比例函数的图像和性质二、教学重、难点：函数值大小的比较，一次函数与反比例函数的大小比较三、教学过程：知识要点：1、反比例函数的图象及其画法反比例函数图象的画法——描点法：（1） 列表——自变量取值应以0（但)0(≠x 为中心，向两边取三对（或三对以上）互为相反数的数，再求出对应的y 的值；（2） 描点——先描出一侧，另一侧可根据中心对称点的性质去找；（3） 连线——按照从左到右的顺序连接各点并延伸，注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交。
反比例函数xky =的图象是由两支曲线组成的。
当0>k 时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当0<k 时，两支曲线分别位于第二、四象限内。
小注：（1）这两支曲线通常称为双曲线。
（2）这两支曲线关于原点对称。
（3）反比例函数的图象与x 轴、y 轴没有公共点。
反比例函数xky =的图象是由两支曲线组成的。
当0>k 时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当0<k 时，两支曲线分别位于第二、四象限内。
2、反比例函数的性质 反比例函数 xky =)0(≠k k 的符号k >0k<0图象 （双曲线）x 、y 取值范围 x 的取值范围x ≠0 y 的取值范围y ≠0 x 的取值范围x ≠0 y 的取值范围y ≠0 位置第一,三象限内第二,四象限内增减性 每一象限内,y 随x 的增大而减小每一象限内,y 随x 的增大而增大渐近性反比例函数的图象无限接近于x,y 轴,但永远达不到x,y 轴,画图象时,要体现出这个特点.对称性 反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形.反比例函数的图象也是轴对称图形.例题：1·下列函数中是反比例关系的有___________________（填序号）。
①3x y -= ②131+=x y ③x y 2-= ④2211x y -= ⑤x y 23-=⑥21=xy ⑦28xy = ⑧1-=x y ⑨2=x y ⑩x ky =k (为常数，)0≠k2·某工人打算利用一块不锈钢条加工一个面积为0.82m 的矩形模具，假设模具的长与宽分别为y 与x 。