2020年北京市东城区北京市第十一中学高三一模数学试卷(含答案及解析)
限购令”，根据表格数据，判断这名市民来自哪组的可能性最大？请直接写出你的判断结 果．
20. 已知函数． （ 1 ）当时，求的单调区间．
/
（ 2 ）设直线是曲线的切线，若的斜率存在最小值，求的值，并求取得最小斜率时切线的方程． （ 3 ）已知分别在，（）处取得极值，求证：．
得
，∴
．
故答案为：
．
的值 ，可
14. 平面向量
，
，
则
．
【答案】
，且 与 的夹角等于 与 的夹角，
/
【解析】 由已知可得
，且
，
所以
，即
，
即
，解得
．
15. 以
，
为圆心的两圆均过
，与 轴正半轴分别交于
，
，且满足
，则点
的轨迹方程为
．
【答案】
【解析】 ∵
，
∴
，
和
的中点坐标为
，
∵
在线段 的垂直平分线上，
∴
，
∴
（ 2 ）求函数
的值域．
【答案】（ 1 ）
；
，
/
（2）
【解析】（ 1 ）由
，得
，
，
，
在锐角
中，
，
，故有
；
（ 2 ）在锐角
中，
，故
．
．
，
，
，
，
函数
的值域为
．
19. 某市调研机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查，抽调了 名市民，他们月收入频
数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表：
月收入（单位：百元）
/
A.
B.
C.
D. 以上都不对
6. 设 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若
，
，则
B. 若
， ，则
C. 若
， ， ，则
D. 若
， ， ，则
7. 数列 的通项公式为 条件． A. 必要而不充分 C. 充分而不必要
．则“
”“是 为递增数列”的（ ）
B. 充要 D. 即不充分也不必要
，
．在不超过 的
素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 的概率是（ ）．
A.
B.
C.
D. 以上都不对
【答案】 A 【解析】 不超过 的素数有 ， ， ， ， ， ， ， 共 个，
/
从这 个素数中任选 个，有
种可能，
其中选取的两个数，其和等于 的有
，
故随机选出两个不同的数，其和等于 的概率是
故选 ．
中抽取 人，那么高二年级被抽取的人数为
．
【答案】 人
【解析】 设高一、高二、高三人数分别为 、 、 ，
则
，
且
，
解得
，
用分层抽样的方法抽取 人，那么高二年级被抽取的人数为
人．
13. 角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点
是
．
，则
【答案】
【解析】 由于角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点
，
，
故本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为 ．
三、解答题
（本大题共6小题，共80分）
17. 如图所示，已知 且
平面
，
．
，
为等边三角形， 为 边上的中点，
（ 1 ）求证：
面
．
（ 2 ）求证：平面
平面
．
（ 3 ）求该几何体
的体积．
【答案】（ 1 ）证明见解析． （ 2 ）证明见解析． （3） ．
频数
频率
赞成人数
（ 1 ）若所抽调的 名市民中，收入在
的有 名，求 ， ， 的值，并完成频率分布直
C. D.
【答案】 D 【解析】 对于 ，
对于 ，
则
，故 错误；
是在 单调递增，
，
∴
，故 错误；
对于 ， 对于 ，
，
，
，∴
．故 错误;
在 单调递增，又
，
∴
，故 正确．
综上，不等式成立的是 ，故选 ．
5. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于
的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如
，
和
的中点坐标为
，
∵
在线段 的垂直平分线上，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴点
的轨迹方程为
．
故答案为：
．
16. 某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对 名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详
见选票．这 名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的 ， ， ，则本次
投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为百分之
2020年北京东城区北京市第十一中学高三一模数学试卷
答案及解析
一、选择题
（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 已知集合
，
，且 、 都是全集 ( 为
实数集)的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）．
A. C. 【答案】 C 【解析】
图中表示的是 ∵ ∴ 故选 ．
B. D.
， ， ， ．
8. 设函数 A. B. C. D.
，则使得
成立的 的取值范围是（ ）．
9. 已知函数
．下列命题：①函数 的图象关于原点对称；②函数 是周期函
数；③当
时，函数 取最大值；④函数 的图象与函数
的图象没有公共点，
其中正确命题的序号是（ ）．
A. ①④
B. ②③
C. ①③④
D. ①②④
10. 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点
到这个平面的距离．已知平面 ， ， 两两互相垂直，点
，点 到 ， 的距离都是 ，
点 是 上的动点，满足 到 的距离与 到点 的距离相等，则点 的轨迹上的点到 的距离
的最小值是（ ）．
A.
B.
C.
D.
二、填空题
（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
/
11. 如图，在复平面内，复数 ， 对应的向量分别是 ， ，则
.每. 张. 选. 票. “”的. 个. 数. 不. 超. 过. 时. 才. 为. 有. 效. 票. ．
三、解答题
（本大题共6小题，共80分） 17. 如图所示，已知平面，，为等边三角形，为边上的中点，且．
/
（ 1 ）求证：面． （ 2 ）求证：平面平面． （ 3 ）求该几何体的体积．
18. 在锐角中，、、分别是角、、的对边，，，且． （ 1 ）求角的大小； （ 2 ）求函数的值域．
3. 已知双曲线 A. C.
的一条渐近线倾斜角为 ，则 B. D.
（ ）．
4. 下列不等式成立的是（ ）． A. B.
C. D.
5. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于
的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如
，
．在不超过 的
素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 的概率是（ ）．
，
，故B错
误；
对于C，
， ，得到
，又 ，所以
，故C正确；
对于D，设
，则当 为 内与 平行的直线时，
，故D错误．
故选：C．
7. 数列 的通项公式为 条件． A. 必要而不充分 C. 充分而不必要
【答案】 A
【解析】 数列 若“
的通项公式为 是递增数列”，则
即
，
化简的
，
又
，
∴
，
．则“
”“是 为递增数列”的（ ）
【解析】（ 1 ）取 的中点 ，连接 ， ，
/
则
，
，
∴
，
∴四边形
为平行四边形，
∴
．
又
面
，
平面
，
∴
面
．
（2）
为等边三角形， 为 中点，
∴
．
又
，
∵
，
∴
面
．
又
，
∴
面
，
∴面
平面
．
（ 3 ）几何体
是四棱锥
，
作
交 于点 ，即
面
，
．
18. 在锐角
中， 、 、 分别是角 、 、 的对边，
，且
．
（ 1 ）求角 的大小；
，故
，即点 的轨迹上的点到 的距离的最小值
是 ，故选 ．
二、填空题
（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11. 如图，在复平面内，复数 ， 对应的向量分别是 ， ，则
．
/
【答案】 【解析】 由图可知
．
，
，所以
12. 某高中共有 人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列，现用分层抽样的方法从
．
/
候选人 甲 乙 丙
“我身边的榜样”评选选票
符号 注:
.同意画“ ”，不同意画 ．
.每. 张. 选. 票. “ ”的. 个. 数. 不. 超. 过. 时. 才. 为. 有. 效. 票. ．
【答案】
【解析】 不妨设共有选票 张，投 票的有 ， 票的 ， 票的 ，则由题意可得：
2020-2021北京市高三数学上期中一模试卷(含答案)
2020-2021北京市高三数学上期中一模试卷(含答案)一、选择题1．设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ） A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形2．已知数列{}n a 满足11a =，12nn n a a +=+，则10a =（ ）A ．1024B ．2048C ．1023D ．20473．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49B ．91C ．98D ．1824．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．()()3,24,5--⋃C ．(]4,5D ．（4,5）5．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，33c =，30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )A ．372 B ．34C ．32或372D ．34或3726．当()1,2x ∈时，不等式220x mx ++≥恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．()3,-+∞B ．()22,-+∞C ．[)3,-+∞D ．)22,⎡-+∞⎣7．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019111a a a ++⋯+=（ ） A ．20202019B ．20191010C ．20171010D ．403720208．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为56米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．若国歌长度约为秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为()（米 /秒）A ．110B ．310C ．12D ．7109．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形10．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A += )2223S b a c =+-，则B ∠=A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒11．在等差数列{}n a 中，如果123440,60a a a a +=+=，那么78a a +=（ ） A ．95B ．100C ．135D ．8012．已知正项数列{}n a *12(1)()2n n n a a a n N ++=∈，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =二、填空题13．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a 使得122m n a a a ⋅=，则14m n+的最小值为__________． 14．已知在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c +=，则C ∠的取值范围为________15．已知函数()3af x x x=++，*x ∈N ，在5x =时取到最小值，则实数a 的所有取值的集合为______.16．在△ABC 中，2BC =，7AC =3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．17．在△ABC 中，已知sinA:sinB:sinC=3：5：7，则此三角形最大内角的大小．．为________．18．已知数列{}n a 的通项11n n a n+=+，则其前15项的和等于_______.19．已知,x y 满足条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数=+z -ax y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为__________．20．设变量,x y 满足约束条件：21y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值为__________．三、解答题21．在平面四边形ABCD 中，已知34ABC π∠=，AB AD ⊥，1AB =．（1）若5AC =，求ABC ∆的面积；（2）若25sin 5CAD ∠=，4=AD ，求CD 的长． 22．为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB ＝3百米，AD ＝5百米，且△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设∠BAD＝θ，θ∈(2π，π)．（1）当cos θ＝55-时，求小路AC 的长度； （2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．23．如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距()533+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？24．ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos cos a C c A a +=． （1）求证：A B =； （2）若6A π=，ABC 3，求ABC 的周长．25．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，225+=-a S ，515=-S . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求12231111+++⋯+n n a a a a a a . 26．在ABC ∆角中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若3asinB bcosA =． （1）求角A ；（2）若ABC ∆的面积为235a =，，求ABC ∆的周长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，得出2,33B AC ππ=+=,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，所以23sin sin sin 4B AC =⋅=，整理计算即可得出答案.【详解】因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，所以2,33B AC ππ=+=, 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， 所以23sin sin sin 4B AC =⋅=所以222sin sin sin sin cos sin cos 333A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111132sin 2cos 2sin 2424442344A A A A A π⎛⎫=+=-+=-+= ⎪⎝⎭ 即sin 213A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又因为203A π<< 所以3A π=故选B 【点睛】本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得2,33B AC ππ=+=，再利用三角公式转化，属于中档题.2．C解析：C 【解析】 【分析】 根据叠加法求结果. 【详解】因为12n n n a a +=+，所以12nn n a a +-=，因此10981010921198122221102312a a a a a a a a -=-+-++-+=++++==-，选C.【点睛】本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题.3．B解析：B 【解析】∵3572a a +=，∴11272(4)a d a d ++=+，即167a d +=，∴13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=，故选B ．4．A解析：A 【解析】 【分析】不等式等价转化为(1)()0x x a --<，当1a >时，得1x a <<，当1a <时，得1<<a x ，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出a 的取值范围。
东城区2022-2023第二学期高三一模数学试题答案终稿
- 北京市东城区2022—2023学年度第二学期高三综合练习（一）数学参考答案及评分标准 2023.3一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）B （2）A （3）D （4）B （5）C （6）B（7）A（8）D（9）B （10）C 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）(0,1] （12）2±（13）2214y x -= (答案不唯一) （14）111424n -（15 ② ③三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分）解：（Ⅰ）因为()sin sin()3f x x x π=++=1sin sin 2x x x ++=3sin 2x x +6x π+（）所以()f x 的最小正周期为2π ………………6分（Ⅱ）由题设，()()))66y f x f x x x ϕϕππ=-+=+++，由6x π=是该函数零点可知，sin()sin(+)06666ϕππππ+-+=，即sin()32ϕπ+=. 故+=+2,33k k ϕπππ∈Z 或+=+2,33k k ϕπ2ππ∈Z ， 解得2,k k ϕ=π∈Z 或23k ϕπ=+π,k ∈Z . 因为0ϕ>，所以ϕ的最小值为3π. ………13分 （17）（共13分）解：（Ⅰ）从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，有13种等可能的情形，其中有4次成绩超过90分．则从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，该次成绩超过90分的概率为413． …3分（Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为1，2，3.133346C C 1(1)5C P X ===； 223346C C 3(2)5C P X ===； 313346C C 1(3).5C P X === 则随机变量X 的分布列为：X 1 2 3 P153515故随机变量X 的数学期望1311232555EX =⨯+⨯+⨯=． ………11分（Ⅲ）EX EY >． ………13分（18）（共15分）解：（Ⅰ）连接1AD ，11B D ，BD .因为长方体1111ABCD A B C D -中,1BB ∥1DD 且11BB DD =， 所以四边形11BB D D 为平行四边形. 所以E 为1BD 的中点，在△1ABD 中，因为E ，F 分别为1BD 和AB 的中点， 所以1EFAD .因为EF ⊄平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ， 所以EF平面11ADD A . ………………6分（II ）选条件①：1CE B D ⊥.(ⅰ)连接1B C .因为长方体中12AA AD ==，所以122B C =在△1CBD 中,因为E 为1B D 的中点，1CE B D ⊥，xyz所以122CD B C ==如图建立空间直角坐标系D xyz -，因为长方体中12A A AD ==,22CD =，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(0,22,0)C ，(2,22,0)B ，2,0)F ，12,2)B ，2,1)E . 所以(1,2,1)CE =-，(2,2,0)CF =-，(2,0,0)CB =. 设平面CEF 的法向量为111(,,)x y z =m ，则0,0,CE CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即1111120,220.x z x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ 令11x =，则12y =11z =，可得2,1)=m .设平面BCE 的法向量为222(,,)x y z =n ， 则0,0,CE CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即222220,20.x y z x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩令21y =，则20x =，22z =，所以2)=n .设平面CEF 与平面BCE 的夹角为θ ， 则||6cos |cos ,|.||||3θ⋅=<>==m n m n m n所以平面CEF 与平面BCE 的夹角的余弦值为63. (ⅱ)因为(0,2,0)AF =， 所以点A 到平面CEF 的距离为||1||AF d ⋅==m m . ………………15分选条件②：1B D 与平面11BCC B 所成角为4π. 连接1B C .因为长方体1111ABCD A B C D -中，CD ⊥平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ， 所以1CD B C ⊥.所以1DB C ∠为直线1B D 与平面11BCC B 所成角，即14DB C π∠=.所以△1DB C 为等腰直角三角形.因为长方体中12AA AD ==，所以1B C =所以1CD B C == 以下同选条件① .（19）（共15分）解：（Ⅰ）当0a =时，()ln f x x x =-，定义域为(0,)+∞.()ln 1f x x '=--，令()0f x '=，得1ex =， 当1(0,)e x ∈时，()0f x '>，当1(,+)ex ∈∞时，()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为1(0,)e. ………………5分（Ⅱ）令()()2ln 1h x f x ax x '==--，则121()2ax h x a x x-'=-=. 当e 2a ≥时，令()0h x '=，得12x a =. 当1(0,)2x a ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当1(,)2x a∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增；所以当12x a=时，()h x 最小值为()g a =1()ln(2)2h a a =.当e2a ≥时，ln(2)a 的最小值为1，所以()g a 的最小值为1. ………………11分（III ）由（Ⅱ）知()f x '在11[,]42a a 上单调递减，在13[,]24a a上单调递增, 又313()ln 424f a a'=-，111()ln 424f a a '=--，所以13(ln(2),ln )24M a a =-，11(ln(2),ln )24N a a=--，111331(ln )(ln )ln ln 1ln 310242444a a a a----=--=->， 所以M ⫋N . ………………15分（20）（共14分）解：（Ⅰ）由题设，得2221,.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得a 所以椭圆E 的方程为2213x y +=． ………………5分（Ⅱ）直线BC的方程为1(y k x -=．由221( 33y k x x y ⎧-=+⎪⎨+=⎪⎩得2222(31)6)90k x k x k +++++=．由22226)4(31)(9)0k k k ∆=+-⨯+⨯+>，得0k <．设1122(,),(,)B x y C x y，则12x x +=，12x x =．直线AB 的方程为1111y y x x -=+．令0y =，得点M的横坐标为111M x x y =-=-．同理可得点N的横坐标为221N x x y =-=-．1M N x x k +=-+1k =-1k =-1k =-=-．因为点D坐标为(，则点D 为线段MN 的中点，所以12MD MN=． ………………14分 （21）（共15分）解：（Ⅰ）满足条件的数表22A 为141424233231⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，所以1112a a +的值分别为5，5，6. …………5分（Ⅰ）若当11121n a a a +++取最大值时，存在1j n ≤≤，使得22j a n =.由数表2n A 具有性质P 可得j 为奇数， 不妨设此时数表为1112122222n n n aa a A n a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ①若存在1(1)k a k k n ≤≤为偶数，，使得111k a a >，交换1k a 和2n 的位置，所得到的新数表也具有性质P ， 调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，所以存在1i n ≤≤，使得12i a n =.②若对任意的1(1)k a k k n ≤≤为偶数，，都有111k a a <，交换12a 和11a 的位置，所得到的新数表也具有性质P ，此时转化为①的情况.综上可知，存在正整数(1)k k n ≤≤，使得12k a n =. ………………10分 （Ⅲ）当n 为偶数时，令2n k =，对任意具有性质P 数表11121221222n n n a a a A a a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 一方面，122214241,22,2()()()(41)(43)(21)k k a a a a a a k k k -+-++--+-+++≤，因此212141,222242,2()()3k k a a a a a a k +++++++≤．①另一方面，211(1351)i i a a i n -=-，，，，≥， 因此11131,2121232,21()()k k a a a a a a k --++++++-≤. ② 记111121,2221222,2,n n S a a a S a a a =+++=+++．由①+②得2123S S k k +-≤.又21282S S k k +=+，可得21112k kS +≤.构造数表2143415427433231312142638413n k kk k k k k k k k k A k k k k k k k ++-+-+-+-+⎛⎫=⎪++++-⎝⎭可知数表2n A 具有性质P ，且2211111228k k n nS ++==. 综上可知，当n 为偶数时，11121n a a a +++的最大值为21128n n+. ………………15分。
2022年东城区高三一模数学试题+答案
数学参考答案 第 1 页（共 8 页）北京市东城区2021—2022学年度第二学期高三综合练习（一） 高三数学参考答案及评分标准 2022.4一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）D（2）C （3）B （4）A （5）C （6）D （7）B （8）A（9）B （10）D 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）64 （12）5（13）4；7 （14）(1ln 2)-，；(e,)+∞（15）①③④（答案不唯一）三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）()sin cos sin 22a f a x x x x ωωω==. 选择条件①④：因为函数()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π， 所以22ωπ=π，即1ω=. 所以()sin 22a f x x =. 因为41f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以sin 122a π=，即2a =. 所以()sin 2f x x =. ………7分 选择条件③④：因为函数()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π， 所以22ωπ=π，即1ω=. 所以()sin 22a f x x =. 因为函数()f x 的最大值为1，所以12a =，即2a =. 所以()sin 2f x x =. 7分数学参考答案 第 2 页（共 8 页）（Ⅱ）()()22cos 1sin 2cos 224g f x x x x x x ωπ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭. 因为sin y x =在(2,2)22k k ππ-+π+π()k ∈Z 上单调递增， 所以222242k x k πππ-+π<-<+π()k ∈Z . 所以388k x k ππ-+π<<+π()k ∈Z . 所以函数g()x 在(0,)π上的单调递增区间为3(0,)8π和7,8π⎛⎫π ⎪⎝⎭. ………13分 （17）（共14分）解：（Ⅰ）因为1AA ⊥平面ABC ，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥.因为AB AC ⊥，所以AC ⊥平面11AA B B .所以1AC AB ⊥.因为在三棱柱111ABC A B C -中，11//AC AC ， 所以111AC AB ⊥. 又因为1AA AB=，所以四边形11AA B B 为正方形. 连结1A B ，则11AB A B ⊥.又因为1111=A B AC A ，所以1AB ⊥平面11BAC . 因为BM ⊂平面11BAC ，所以1AB BM ⊥. ………………6分 （Ⅱ）因为AB ，AC ，1AA 两两垂直，所以如图建立空间直角坐标系A xyz -.可得(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)C ，1(0,0,1)A ，1(1,0,1)B ，1(0,1,1)C ．则(1,1,0)BC =-，1(1,0,1)AB =，1(1,0,1)A B =-. 设111(01)A M AC λλ=≤≤，则 11111(1,0,1)(0,1,0)(1,,1)BM BA A M BA AC λλλ=+=+=-+=-.数学参考答案 第 3 页（共 8 页）设(,,)x y z =n 为平面BCM 的法向量，则00BC BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即00.x y x y z λ-+=⎧⎨-++=⎩， 令1x =，则1y =，1z λ=-，可得(1,1,1)λ=-n ．则111sin cos 4AB AB AB ⋅π=<>===，n n n . 解得12λ=，则1(11)2，，=n . 因为113A B ⋅=nn ， 所以点1A 到平面BCM 的距离为13. ………………14分 （18）（共13分） 解：（Ⅰ）设事件A ＝“该市民年龄为15岁及以上”.事件B ＝“该市民受教育程度为硕士研究生”.依题意，()0.85P A =，(|)0.06P B A =.由概率的乘法公式可得，()()(|)0.850.060.051P AB P A P B A ==⨯=.因此，从全市常住人口中随机选取1人，该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率约为0.051. ………………3分（Ⅱ） 从Z 市15岁及以上的常住人口中随机选取1人，受教育程度为大学本科及以上的概率为0.23＋0.06＋0.01＝0.3.X 的所有可能取值为0，1，2.2(0)(10.3)0.49P X ==-=，12(1)0.3(10.3)0.42P X C ==⨯⨯-=，数学参考答案 第 4 页（共 8 页） 2(2)0.30.09P X ===，所以X 的分布列为故X 的数学期望()00.4910.4220.090.6E X =⨯+⨯+⨯=. …………11分（III ）a ＞b . ………………3分（19）（共15分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()(),11,1(1,)-∞--+∞．由2()1-=-x a f x x 得22221()(1)x ax f x x -+-'=-. 则45(2)19a f -'==-， 解得1a =-． …………………5分（Ⅱ）22221()(1)x ax f x x -+-'=-． 令2()21g x x ax =-+-(1)x >，① 当0a ≤时，20ax ≤，因此2()210g x x ax =-+-<恒成立，所以22221()0(1)x ax f x x -+-'=<-. 所以()f x 在(1,)+∞上单调递减，没有最大值．② 当01a <≤时，2()21(1)0g x x ax g =-+-<≤恒成立，所以22221()0(1)x ax f x x -+-'=<-.所以()f x 在(1,)+∞上单调递减，没有最大值．③ 当1a >时，方程2210x ax -+-=的两个根为1x a =2x a =+由1a >得101x <<，且21a x <<．数学参考答案 第 5 页（共 8 页）当(1,)x ∈+∞时有函数()f x在=x a 处取得最大值． 综上，a 的取值范围为(1)+∞，．……………………15分（20）（共15分） 解：（Ⅰ）由题设，得2222.⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩c a c a b c 解得21a b ==，.所以椭圆C 的方程为2214x y +=． ………………5分 （Ⅱ）存在直线1x =符合题意.直线l 的方程为(4)y k x =-. 由22(4),14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(41)32(644)0k x k x k +-+-=. 由2222(32)4(41)(644)0k k k ∆=--+->得k << 设112212(,),(,)()A x y B x y x x <， 则21223241k x x k +=+，212264441k x x k -=+. 设直线x t =与直线l 交于点(,)Q Q t y ， 因为||||||||PA QA PB QB =，数学参考答案 第 6 页（共 8 页） 所以11224||||4x x t x t x --=--. 由题设，知122x -≤≤，222x -≤≤，12x t x ≤≤. 所以12404->-x x ，120->-x t t x . 所以112244x x t x t x --=--. 整理，得12128(4)()20-+⋅++=t t x x x x 所以2222322(644)8(4)04141k k t t k k --+⋅+=++. 解得1t =.所以存在直线1x =符合题意. ………………15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）4123，，，； 3124，，，； 2134，，，. ………………4分 （Ⅱ）由于数列121n E e e e -：，，，，其中{}01(1212)i e i n n ∈=-≥，，，，，，不妨设121n E e e e -：，，，中恰有s 项为1， 若0s =，则:,1,,1A n n -符合题意； 若1s n =-，则:1,2,,A n 符合题意；若01s n <<-，则设这s 项分别为：1212()s k k k s e e e k k k <<<，，，， 构造数列12n A a a a ：，，，，令12111s k k k a a a +++，，，分别为12n s n s n -+-+，，，， 数列A 其余各项1212()m m n s n s a a a m m m --<<<，，，分别11n s n s ---，，，. 经验证，数列A 符合题意. ………………9分 （III ）对于符合题意的数列12(5)n A a a a n ≥：，，，.①当n 为奇数时，存在数列11,,,n n A a a a -'：符合题意，数学参考答案 第 7 页（共 8 页） 且数列A 与A '不同，()T A 与()T A '相同， 按这样的方式可由数列A '构造出数列A . 所以n 为奇数时，这样的数列A 有偶数个. 当3n =时，这样的数列A 也有偶数个. ②当n 为偶数时，如果1n n -，是数列A 中不相邻两项，交换n 与1n -得到数列A '符合题意， 且数列A 与A '不同，()T A 与()T A '相同， 按这样的方式可由数列A '构造出数列A . 所以这样的数列A 有偶数个.如果1n n -，是数列A 中的相邻两项，由题设知，必有1n a n -=，1n a n =-， 12a n =-. 除这三项外，232,,n a a a -是一个3-n 项的符合题意的数列A . 由①可知，这样的数列A 有偶数个. 综上，这样的数列A 有偶数个. ………………15分。
2020年北京市东城区中考数学一模试卷-解析版
2020年北京市东城区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.2019年上半年北京市实现地区生产总值15212.5亿元，同比增长6.3%.总体来看，经济保持平稳运行，高质量发展．将数据15212.5用科学记数法表示应为()A. 1.52125×105B. 1.52125×104C. 0.152125×105D. 0.152125×1062.如图是某几何体的三视图，该几何体是()A. 长方体B. 正方体C. 球D. 圆柱3.如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1=48°，那么∠2的度数是()A. 48°B. 78°C. 92°D. 102°4.把2a2−8分解因式，结果正确的是()A. 2(a2−4)B. 2(a−2)2C. 2(a+2)(a−2)D. 2(a+2)25.点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，AC=1，OA=OB.若点C所表示的数为a，则点B所表示的数为()A. −(a+1)B. −(a−1)C. a+1D. a−16.已知锐角∠AOB，如图，⏜，交射线OB于点D，(1)在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作MN连接CD；(2)分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；(3)作射线OP交CD于点Q．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是()A. CP//OBB. CP=2QCC. ∠AOP=∠BOPD. CD⊥OP7.将4张长为a、宽为b(a>b)的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为(a+b)的正方形，图中空白部分的面积之和为S1，阴影部分的面积S2，则a，b满足()之和为S2.若S1=53A. 2a=5bB. 2a=3bC. a=3bD. a=2b8.党的十八大以来，全国各地认真贯彻精准扶贫方略，扶贫工作力度、深度和精准度都达到了新的水平，为2020年全面建成小康社会的战略目标打下了坚实基础．以下是根据近几年中国农村贫困人口数量(单位：万人)及分布情况绘制的统计图表的一部分．年份201720182019人数地区东部30014747中部1112181西部1634916323(以上数据来源于国家统计局)根据统计图表提供的信息，下面推断不正确的是()A. 2018年中部地区农村贫困人口为597万人B. 2017−2019年，农村贫困人口数量都是东部最少C. 2016−2019年，农村贫困人口减少数量逐年增多D. 2017−2019年，虽然西部农村贫困人口减少数量最多，但是相对于东、中部地区，它的降低率最低二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.如果√2x−1在实数范围内有意义，那么x的取值范围是______．10.随机从1，2，3，4中任取两个不同的数，分别记为a和b，则a+b>4的概率是______．11.若x2+x−3=0，则代数式2(x−2)(x+2)−x(x−1)的值是______．12.如果一个正n边形的每个内角为108°，那么这个正n边形的边数为______．13.《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒(优质酒)1斗，价值50钱；行酒(劣质酒)1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为______．14.如图，半径为√3的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB=______．15.甲、乙两队参加了“端午情，龙舟韵”赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s(米)与时间t(秒)之间的函数图象如图所示，根据图象有以下四个判断：①乙队率先到达终点；②甲队比乙队多走了126米；③在47.8秒时，两队所走路程相等；④从出发到13.7秒的时间段内，甲队的速度比乙队的慢．所有正确判断的序号是______．16.从−1，0，2，3四个数中任取两个不同的数(记作a k，b k)构成一个数对M k={a k,b k)(其中k=1，2，…，s，且将{a k,b k}与{b k,a k}视为同一个数对)，若满足：对于任意的M i={a i,b i}和M j={a j,b j)(i≠j,1≤i≤s,1≤j≤s)都有a i+b i≠a j+b j，则s 的最大值是______．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17.计算：|−√3|−(3−π)0+2cos60°+(12)−1．18.解不等式组：{2x−6<3xx+25−x−14≥0．19.观察下列分式方程的求解过程，指出其中错误的步骤，说明错误的原因，并直接给出正确结果．解分式方程：1−x−32x+2=3xx+1．解：去分母，得2x+2−(x−3)=3x，…步骤1 去括号，得2x+2−x−3=3x，…步骤2移项，得2x−x−3x=2−3，…步骤3合并同类项，得−2x=−1，…步骤4解得x=12.…步骤5所以，原分式方程的解为x=12.…步骤620.已知关于x的方程ax2+2x−3=0有两个不相等的实数根．(1)求a的取值范围；(2)若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根．21.如图，在菱形ABCD中，BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F．(1)求证：BF=DE；(2)分别延长BE和AD，交于点G，若∠A=45°，求DGAD的值．22.如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0,x>0)的图象在第一象限内交于点A，B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E.已知A(1,4)，CDCE =14．(1)求m的值和一次函数的解析式；(2)若点M为反比例函数图象在A，B之间的动点，作射线OM交直线AB于点N，当MN长度最大时，直接写出点M的坐标．23.如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA=5.C是直线l上一点，连接CP并延长，交⊙O于点B，且AB=AC．(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若tan∠ACB=1，求线段BP的长．224.人口数据又称为人口统计数据，是指国家和地区的相关人口管理部门通过户口登记、人口普査等方式统计得出的相关数据汇总．人口数据对国家和地区的人口状况、管理以及各项方针政策的制定都具有重要的意义．下面是关于人口数据的部分信息．a.2018年中国大陆(不含港澳台)31个地区人口数量(单位：千万人)的频数分布直方图(数据分成6组：0≤x<2，2≤x<4，4≤x<6，6≤x<8，8≤x<10，10≤x≤12)：b.人口数量在2≤x<4这一组的是：2.22.42.52.52.62.73.13.63.73.83.93.9c.2018年中国大陆(不含港澳台)31个地区人口数量(单位：千万人)、出生率(单位：‰)、死亡率(单位：‰)的散点图：0～14岁人口比例15～59岁人口比例60岁以上人口比例第二次人口普查40.4%54.1% 5.5%第五次人口普查22.89%66.78%10.33%第六次人口普查16.6%70.14%13.26%20‰，2018年我国人口出生率降低至10.94‰，比2017年下降1.43个千分点．根据以上信息，回答下列问题：(1)2018年北京人口为2.2千万人，我国大陆(不含港澳台)地区中，人口数量从低到高排列，北京排在第______位．(2)人口增长率=人口出生率−人口死亡率，我国大陆(不含港澳台)地区中人口在2018年出现负增长的地区有______个，在这些地区中，人口数量最少的地区人数为______千万人(保留小数点后一位)．(3)下列说法中合理的是______．①我国人口基数较大，即使是人口出生率和增长率都缓慢增长的前提下，人口总数仍然是在不断攀升的，所以我国计划生育的基本国策是不变的；②随着我国老龄化越来越严重，所以出台了“二孩政策”，目的是为了缓解老龄化的压力．25.如图，P是线段AB上的一点，AB=6cm，O是AB外一定点．连接OP，将OP绕点O顺时针旋转120°得OQ，连接PQ，AQ.小明根据学习函数的经验，对线段AP，PQ，AQ的长度之间的关系进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)对于点P在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP，PQ，AQ的长度(单位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7 AP0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 PQ 4.00 2.310.84 1.43 3.07 4.77 6.49 AQ 4.00 3.08 2.23 1.57 1.40 1.85 2.63在，，的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和______的长度都是这个自变量的函数；(2)在同一平面直角坐标系xOy中，画出(1)中所确定的函数的图象；(3)结合函数图象，解决问题：当AQ=PQ时，线段AP的长度约为______cm．26.在平面直角坐标系xOy中，橫、纵坐标都是整数的点叫做整点．直线y=ax与抛物线y=ax2−2ax−1(a≠0)围成的封闭区域(不包含边界)为W．(1)求抛物线顶点坐标(用含a的式子表示)；(2)当a=1时，写出区域W内的所有整点坐标；2(3)若区域W内有3个整点，求a的取值范围．27.如图，在正方形ABCD中，AB=3，M是CD边上一动点(不与D点重合)，点D与点E关于AM所在的直线对称，连接AE，ME，延长CB到点F，使得BF=DM，连接EF，AF．(1)依题意补全图1；(2)若DM=1，求线段EF的长；(3)当点M在CD边上运动时，能使△AEF为等腰三角形，直接写出此时tan∠DAM的值．28.在△ABC中，CD是△ABC的中线，如果CD⏜上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称CD⏜为△ABC的中线弧．(1)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，D是AB的中点．①如图1，若∠A=45°，画出△ABC的一条中线弧CD⏜，直接写出△ABC的中线弧CD⏜所在圆的半径r的最小值；②如图2，若∠A=60°，求出△ABC的最长的中线弧CD⏜的弧长l．(2)在平面直角坐标系中，已知点A(2,2)，B(4,0)，C(0,0)，在△ABC中，D是AB的中点．求△ABC的中线弧CD⏜所在圆的圆心P的纵坐标t的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：15212.5用科学记数法表示应为1.52125×104，故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2.【答案】D【解析】解：根据主视图和左视图为矩形是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱．故选：D．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力．3.【答案】D【解析】解：∵将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，∠1=48°，∴∠2=∠3=180°−48°−30°=102°．故选：D．直接利用已知角的度数结合平行线的性质得出答案．此题主要考查了平行线的性质及邻补角，正确得出∠3的度数是解题关键．4.【答案】C【解析】解：原式=2(a2−4)=2(a+2)(a−2)，故选：C．原式提取2，再利用平方差公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和数轴可以用含a的式子表示出点B表示的数，本题得以解决．【解答】解：∵O为原点，AC=1，OA=OB，点C所表示的数为a，∴点A表示的数为a−1，∴点B表示的数为：−(a−1)，故选：B．6.【答案】A【解析】解：由作图可知：射线OP即为∠AOB的角平分线，∴∠AOP=∠BOP，故C正确，不符合题意；由作图(1)(2)可知：OC=OD，CP=DP，∴OP是CD的垂直平分线，∴CD⊥OP，故D正确，不符合题意；由作图(2)可知：CD=CP=PD，∴△CDP是等边三角形，∵CD⊥OP，∴CP=2CQ，故B正确，不符合题意；∵∠AOP=∠BOP，当OC=CP时，∠AOP=∠CPO，∴∠CPO=∠BOP，∴CP//OB，故A错误，符合题意；故选：A．由作图知OC=OD，CD=CP=DP，根据等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定、角平分线的基本作图，逐一判断可得．本题考查作图−基本作图，等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握角平分线这个基本作图，属于中考常考题型．7.【答案】C【解析】解：由题意得：S2=1ab×4=2ab，2S1=(a+b)2−2ab=a2+b2，S2，∵S1=53∴3S1=5S2∴3a2+3b2=5×2ab，∴3a2−10ab+3b2=0，∴(3a−b)(a−3b)=0，∴3a=b(舍)，或a=3b．故选：C．S2得到关于a、b的等式，整先用含有a、b的代数式分别表示出S1和S2，再根据S1=53理即可．本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式及因式分解的方法是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：A、2018年中部地区农村贫困人口为：1660−147−916=597(万人).故A的说法正确；B、由统计表可知B选项说法正确；C、∵4335−3046=1289，3046−1660=1386，1660−551=1109，∴1109<1289<1386，故C不正确，D、∵300−47300≈0.843，1112−1811112≈0.837，1634−3231634≈0.802，∴0.802<0.837<0.843，∴D说法正确．∴只有C推断不正确．故选：C．分别对照统计表和统计图分析或计算即可．本题考查了条形统计图及统计表，明确相关统计基础知识并会根据图表进行分析是解题的关键．9.【答案】x≥12【解析】解：由题意得：2x−1≥0，解得：x≥12，故答案为：x≥12．根据二次根式有意义的条件可得2x−1≥0，再解不等式即可．此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．10.【答案】23【解析】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，任取两个不同的数，a+b>4的有8种结果，∴a+b>4的概率是812=23，故答案为：23．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与a+b>4的情况，再利用概率公式即可求得答案．本题考查了列表法与树状图法：运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．11.【答案】−5【解析】解：原式=2(x 2−4)−x 2+x=2x 2−8−x 2+x=x 2+x −8，∵x 2+x −3=0，∴x 2+x =3，则原式=3−8=−5，故答案为：−5．先根据整式的混合运算法则化简原式，再将x 2+x =3代入计算可得．本题主要考查代数式求值，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则及整体代入思想的运用．12.【答案】5【解析】解：由题意得，(n−1)×180°n =108°，解得，n =5，故答案为：5．根据多边形的内角和公式列出算式，计算即可．本题考查的是多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．13.【答案】{x +y =250x +10y =30【解析】解：依题意得：{x +y =250x +10y =30， 故答案是：{x +y =250x +10y =30． 设买美酒x 斗，买普通酒y 斗，根据“美酒一斗的价格是50钱、买两种酒2斗共付30钱”列出方程组．考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．14.【答案】√35【解析】【分析】根据切线长定理得出∠OBC =∠OBA =12∠ABC =30°，解直角三角形求得BD ，即可求得CD ，然后解直角三角形OCD 即可求得tan∠OCB 的值．本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．【解答】解：连接OB，作OD⊥BC于D，∵⊙O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，∴∠OBC=∠OBA=12∠ABC=30°，∴tan∠OBC=ODBD，∴BD=ODtan30=√3√33=3，∴CD=BC−BD=8−3=5，∴tan∠OCB=ODCD =√35．故答案为√35．15.【答案】③④【解析】解：由函数图象可知，甲走完全程需要82.3秒，乙走完全程需要90.2秒，甲队率先到达终点，故①错误；由函数图象可知，甲、乙两队都走了300米，路程相同，故②错误；由函数图象可知，在47.8秒时，两队所走路程相等，均为174米，故③正确；由函数图象可知，从出发到13.7秒的时间段内，甲队的速度慢，故④正确．∴正确判断的有：③④．故答案为：③④．根据函数图象所给的信息，逐一判断．本题考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．16.【答案】5【解析】解：∵−1+1=0，−1+2=1，−1+3=2，0+2=2，0+3=3，2+3=5，∴a i+b i共有5个不同的值．又∵对于任意的M i={a i,b i}和M j={a j,b j)(i≠j,1≤i≤s,1≤j≤s)都有a i+b i≠a j+b j，∴s的最大值是5．故答案为：5．找出a i+b i的值，结合对于任意的M i={a i,b i}和M j={a j,b j)(i≠j,1≤i≤s,1≤j≤s)都有a i+b i≠a j+b j，即可得出s的最大值．本题是一道考查数字的变化类的题型，找出a i+b i共有几个不同的值是解题的关键．17.【答案】解：原式=√3−1+2×12+2=√3−1+1+2=√3+2．【解析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18.【答案】解：不等式组可以转化为：{x>−6x≤13，在坐标轴上表示为：∴不等式组的解集为−6<x≤13．【解析】本题可根据不等式组分别求出x的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式组的解集．若没有交集，则不等式组无解．求不等式组的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．19.【答案】解：出错的步骤：步骤1：去分母时，方程两边同时乘2(x+1)，等号右边应该是6x；步骤2：遇到负号去括号时要变号，等号左边−3改成+3；步骤3：移项要变号，等号右边是3−2；步骤6：分式方程的根要检验．正确结果：1−x−32x+2=3xx+1．2x+2−(x−3)=6x2x+2−x+3=6x2x−x−6x=−2−3−5x=−5x=1检验：把x=1代入2(x+1)≠0，所以原分式方程的解是x=1．【解析】根据解分式方程的步骤来分析，记得验根．本题主要考查了解分式方程的步骤，尤其是最后的检验步骤，一定不能忘记，这也是分式方程根整式方程的不同之处．20.【答案】解：(1)∵关于x的方程ax2+2x−3=0有两个不相等的实数根，∴△>0，且a≠0，即22−4a⋅(−3)>0，且a≠0，∴a>−13且a≠0；(2)将x=1代入方程ax2+2x−3=0，解得：a=1，把a=1代入ax2+2x−3=0，得x2+2x−3=0，解方程得，x1=1，x2=−3，∴a的值为1，方程的另一个实数根为−3．【解析】(1)由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是b2−4ac>0即可进行解答；(2)解方程即可得到结论．本题重点考查了一元二次方程根的判别式，在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，(1)当△>0时，方程有两个不相等的实数根；(2)当△=0时，方程有两个相等的实数根；(3)当△<0时，方程没有实数根．21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴CB =CD ，∵BE ⊥CD 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，∴∠BEC =∠DFC =90°，∵∠C =∠C ，∴△BEC≌△DFC(AAS)，∴EC =FC ，∴BF =DE ；(2)解：∵∠A =45°，四边形ABCD 是菱形，∴∠C =∠A =45°，AG//BC ，∴∠CBG =∠G =45°，∴△DEG 与△BEC 是等腰直角三角形，设BE =CE =a ， ∴BC =AD =√2a ， ∵∠A =∠G =45°，∴AB =BC ，∠ABG =90°，∴AG =2a ，∴DG =(2−√2)a ，∴DG AD =√2√2=√2−1．【解析】(1)根据菱形的性质得到CB =CD ，根据全等三角形的性质健康得到结论；(2)根据菱形的性质得到∠C =∠A =45°，AG//BC ，推出△DEG 与△BEC 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．22.【答案】解：(1)把A(1,4)代入y =mx 得m =1×4=4，∴反比例函数解析式为y =4x ；∵BD ⊥y 轴，AD ⊥y 轴，∴AD//BE ，∴△CDA∽△CEB ，∴CD CE =AD BE ，即1BE =14，∴BE =4，当x =4时，y =4x =44=1，∴B(4,1)，把A(1,4)，B(4,1)代入y =kx +b 得{k +b =44k +b =1，解得{k =−1b =5， ∴一次函数解析式为y =−x +5；(2)∵点A 与点B 关于直线y =x 对称，反比例函数y =−4x 关于y =x 对称，∴当OM的解析式为y=x时，MN的长度最大，解方程组{y=4xy=x得{x=2y=2或{x=−2y=−2，∴此时M点的坐标为(2,2)．【解析】(1)先把A点坐标代入y=mx 中求出m得到反比例函数解析式为y=4x；再证明△CDA∽△CEB，利用相似比求出BE=4，则利用反比例函数解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；(2)利用点A与点B关于直线y=x对称，反比例函数y=−4x关于y=x对称可判断当OM的解析式为y=x时，MN的长度最大，然后解方程组{y=4xy=x得此时M点的坐标．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式和相似三角形的判定与性质．23.【答案】证明：(1)连接OB，则OP=OB，∴∠OBP=∠OPB=∠CPA，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，∵OA⊥l，∴∠OAC=90°，∴∠ACB+∠CPA=90°，∴∠ABP+∠OBP=90°，∴∠ABO=90°，∴OB⊥AB，∴AB是⊙O的切线；(2)如图，过点O作OD⊥BP于D，∵tan∠ACB=APAC =12，∴设AP=x，AC=2x，∴AB=2x，OP=OB=5−x，∵AO2=OB2+AB2，∴25=(5−x)2+4x2，∴x=2，∴AP=2，AC=4∴OB=OP=3，∴CP=√AC2+AP2=√16+4=2√5，∵∠CAP=∠ODP=90°，∠APC=∠OPD，∴△ACP∽△DOP，∴PDPA =OPCP=ODCA，∴PD=OP⋅PACP =35√5，∵OB=OP，OD⊥BP，∴BP=2PD=6√55．【解析】(1)连接OB，由等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC，∠OBP=∠OPB=∠CPA，由余角的性质可求∠ABO=90°，可得结论；(2)过点O作OD⊥BP于D，设AP=x，AC=2x，由勾股定理可求AP=2，AC=4，由勾股定理可求CP的长，通过证明△ACP∽△DOP，可求PD的长，由等腰三角形的性质可求BP的长．本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，锐角三角函数，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题关键．24.【答案】6 2 3.8①②【解析】解：(1)∵人口为0≤x<2千万人的有5的地区，又∵人口数量在2≤x<4这一组的是：2.22.42.52.52.62.73.13.63.73.83.93.9，北京在第一位，∴我国大陆(不含港澳台)地区中，人口数量从低到高排列，北京排在第6位．故答案为6．(2)由散点图可知：在2018年出现负增长的地区有2个，在这些地区中，人口数量最少的地区人数为3.8千万人，故答案为2，3.8．(3)①我国人口基数较大，即使是人口出生率和增长率都缓慢增长的前提下，人口总数仍然是在不断攀升的，所以我国计划生育的基本国策是不变的，正确．②随着我国老龄化越来越严重，所以出台了“二孩政策”，目的是为了缓解老龄化的压力，正确．故答案为①②．(1)观察统计图结合已知条件即可判断．(2)观察散点图可得结论．(3)根据题意①②说法都是合理的．本题考查频数分布直方图，统计表等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．25.【答案】AP PQ AQ 3.07(答案不唯一)【解析】解：(1)根据变量的定义，AP 是自变量，PQ 、AQ 是因变量，即PQ 、AQ 是AP 的函数，故答案为：AP 、PQ 、AQ ；(2)依据表格中的数据描点、连线即可得；(3)当AQ =PQ 时，即为两个函数图象的交点，从图上看，交点的横坐标大约为3.07cm ，故答案为：3.07(答案不唯一)．(1)根据变量的定义即可求解；(2)依据表格中的数据描点、连线即可得；(3)两函数图象交点的横坐标即为所求．本题是动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．26.【答案】解：(1)y =ax 2−2ax −1=a(x −1)2−a −1，故顶点的坐标为：(1,−a −1)；(2)a =12时，概略画出直线y =12x 和抛物线y =12x 2−x −1的图象如下：从图中看，W 区域整点为如图所示4个黑点的位置，其坐标为：(1,0)、(2,0)、(3,1)、(1,−1)；(3)①当a >0时，由(2)知，当a =12时，区域W 内的所有整点数有4个； 参考(2)可得：当a >12时，区域W 内的所有整点数多于3个；当13<a <12时，区域W 内的所有整点数有4个；同理当a =13时，区域W 内的所有整点数有3个；当0<a <13时，区域W 内的所有整点数多于3个；②当a <0时，当−1≤a <0时，区域W 内的所有整点数为0个；当a <−32时，区域W 内的所有整点数多于3个；∴区域W 内有3个整点时，a 的取值范围为：−32≤a <−1，综上，区域W 内有3个整点，a 的取值范围为：a =13或−32≤a <−1．【解析】(1)将抛物线化成顶点式表达式即可求解；(2)概略画出直线y =12x 和抛物线y =12x 2−x −1的图象，通过观察图象即可求解；(3)分a >0、a <0两种情况，结合(2)的结论，逐次探究即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质等，这种探究性题目，通常按照题设的顺序逐次求解，一般较为容易得出正确的结论．27.【答案】解：(1)根据题意作图如下：(2)连接BM ，如图2，∵点D 与点E 关于AM 所在直线对称，∴AE =AD ，∠MAD =∠MAE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB，∠D=∠ABF=90°，∵BM=BF，∴△ADM≌△ABF(SAS)，∴AF=AM，∠FAB=∠MAD，∴∠FAB=∠NAE，∴∠FAE=∠MAB，∴△FAE≌△MAB(SAS)，∴EF=BM，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=AB=3，∵DM=1，∴CM=2，∴BM=√BC2+CM2=√13，∴EF=√13；(3)设DM=x(x>0)，则CM=3−x，∴EF=BM=√CM2+BC2=√x2−6x+18，∵AE=AD=3，AF=AM=√DM2+AD2=√x2+9，∴AF>AE，∴当△AEF为等腰三角形时，只能有两种情况：AE=EF，或AF=EF，①当AE=EF时，有√x2−6x+18=3，解得x=3∴tan∠DAM=DMDA =33=1；②当AF=EF时，√x2−6x+18=√x2+9，解得，x=32，∴tan∠DAM=DMDA =323=12，综上，tan∠DAM的值为1或12．故答案为：tan∠DAM的值为1或12．【解析】(1)根据题意作出图形便可，(2)连接BM，先证明△ADM≌△ABF，再证明△FAE≌△MAB，求得BM，便可得EF；(3)设DM=x(x>0)，求出AE、AF、EF，当△AEF为等腰三角形，分两种情况：AE=EF 或AF=EF，列出方程求出x的值，进而求得最后结果．本题是正方形的综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，分类思想和方程思想，关键是证明三角形全等．28.【答案】解：(1)①如图1中，当直线弧CD⏜的圆心是AC或BC的中点时，CD⏜所在圆的半径r的最小，此时r=12AC=12，∴△ABC的中线弧CD⏜所在圆的半径r的最小值为12．②如图2中，当中线弧CD⏜所在的圆与AC，AB都相切时，CD⏜的弧长最大，此时，CD⏜的圆心在BC上，∵ND⊥BD，∴∠NDB=90°，∵∠A=60°，∠ACB=90°，∴∠B=30°，∴BN=2DN=2CN，∴3CN=BC=√3，∴CN=√33，∴半径为√33．∴CD⏜的长为．(2)如图3中，若中线弧CD⏜在线段CD的下方时，∵△ABC的中线弧CD⏜所在的圆的圆心在线段CD使得垂直平分线上，当中线弧CD⏜所在圆与BC相切时，可得P(0,5)，观察图象可知中线弧CD⏜所在圆的圆心P的纵坐标t≥5．如图4中，若中线弧CD⏜在线段CD的上方时，当中线弧CD⏜所在圆与AC相切时，可得P(52,−52)，观察图象可知中线弧CD⏜所在圆的圆心P的纵坐标t≤−52．综上所述，.中线弧CD⏜所在圆的圆心P的纵坐标t的取值范围为：t≥5或t≤−52．【解析】(1)①如图1中，当直线弧CD⏜的圆心是AC或BC的中点时，CD⏜所在圆的半径r的最小．②如图2中，当中线弧CD⏜所在的圆与AC，AB都相切时，CD⏜的弧长最大．(2)分两种情形：如图3中，若中线弧CD⏜在线段CD的下方时，如图4中，若中线弧CD⏜在线段CD的上方时，分别求解即可解决问题．本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，△ABC的中线弧的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。
2020年北京市东城区中考数学一模试题有答案精析
2020年北京市东城区中考数学一模试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．数据显示，2020年全国新建、改扩建校舍约为51 660 000平方米，全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件工作取得明显成果．将数据51 660 000用科学记数法表示应为（）A．5.166×107B．5.166×108C．51.66×106D．0.5166×1082．下列运算中，正确的是（）A．x•x3=x3B．（x2）3=x5C．x6÷x2=x4D．（x﹣y）2=x2+y23．有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，5，现把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是（）A． B． C． D．4．甲、乙、丙、丁四人参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是13.2秒，方差如下表所示选手甲乙丙丁方差0.030 0.019 0.121 0.022则这四人中发挥最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁5．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=（）A．52°B．38°C．42°D．60°6．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接BC并延长至E，使CE=CB，连接ED．若量出DE=58米，则A，B间的距离为（）A．29米B．58米C．60米D．116米7．在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是（）A．（﹣4，﹣2）B．（2，2）C．（﹣2，2）D．（2，﹣2）8．对式子2a2﹣4a﹣1进行配方变形，正确的是（）A．2（a+1）2﹣3 B．（a﹣1）2﹣C．2（a﹣1）2﹣1 D．2（a﹣1）2﹣39．为了举行班级晚会，小张同学准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个25元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么小张同学应该买的球拍的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．810．如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt △ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：ab2﹣ac2=______．12．请你写出一个一次函数，满足条件：①经过第一、三、四象限；②与y轴的交点坐标为（0，﹣1）．此一次函数的解析式可以是______．13．已知一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是______边形．14．为了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午7：00至9：00来往车辆的车速（单位：千米/时），并绘制成如图所示的条形统计图．这些车速的众数是______．15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱为x，乙持钱为y，可列方程组为______．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC．甲、乙、丙、丁四位同学的主要作法如下：甲同学的作法：如图甲：以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点P，则点P就是所求的点．乙同学的作法：如图乙：作线段AC的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．丙同学的作法：如图丙：以点C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于点P，则点P 就是所求的点．丁同学的作法：如图丁：作线段AB的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．请你判断哪位同学的作法正确______；这位同学作图的依据是______．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：tan60°+|﹣2|﹣（﹣1）0﹣（）﹣1．18．解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．19．已知x2﹣x﹣3=0，求代数式（x+1）2﹣x（2x+1）的值．20．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠BAC=40°，请你选择图中现有的一个角并求出它的度数（要求：不添加新的线段，所有给出的条件至少使用一次）．21．列方程或方程组解应用题：在“春节”前夕，某花店用13 000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快销售一空．根据市场需求情况，该花店又用6 000元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是多少元？22．如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF．（1）求证：四边形ABEF为菱形；（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．23．在平面直角坐标系xOy中，直线y=k1x+b与x轴交于点B，与y轴交于点C，与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A（3，1），连接OA．（1）求反比例函数y=的解析式；（2）若S△AOB：S△BOC=1：2，求直线y=k1x+b的解析式．24．某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数．设每名学生的阅读本数为n，并按以下规定分为四档：当n＜3时，为“偏少”；当3≤n＜5时，为“一般”；当5≤n＜8时，为“良好”；当n≥8时，为“优秀”．将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表：阅读本数n（本） 1 2 3 4 5 6 7 8 9人数（名） 1 2 6 7 12 x 7 y 1请根据以上信息回答下列问题：（1）求出本次随机抽取的学生总人数；（2）分别求出统计表中的x，y的值；（3）估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数．25．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线．（2）若PB=3，DB=4，求DE的长．26．在课外活动中，我们要研究一种四边形﹣﹣筝形的性质．定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形（如图1）．小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究．下面是小聪的探究过程，请补充完整：（1）根据筝形的定义，写出一种你学过的四边形满足筝形的定义的是______；（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对筝形性质的猜想，并选取其中的一条猜想进行证明；（3）如图2，在筝形ABCD中，AB=4，BC=2，∠ABC=120°，求筝形ABCD的面积．27．已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3=0．（1）当m取何值时，此方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴两个交点的横坐标均为整数，且m为正整数时，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象直接写出实数a的取值范围．28．如图，等边△ABC，其边长为1，D是BC中点，点E，F分别位于AB，AC边上，且∠EDF=120°．（1）直接写出DE与DF的数量关系；（2）若BE，DE，CF能围成一个三角形，求出这个三角形最大内角的度数；（要求：写出思路，画出图形，直接给出结果即可）（3）思考：AE+AF的长是否为定值？如果是，请求出该值，如果不是，请说明理由．29．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若存在过点P的直线l交⊙C于异于点P的A，B两点，在P，A，B三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P为⊙C 的相邻点，直线l为⊙C关于点P的相邻线．（1）当⊙O的半径为1时，①分别判断在点D（，），E（0，﹣），F（4，0）中，是⊙O的相邻点有______；②请从①中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程；③点P在直线y=﹣x+3上，若点P为⊙O的相邻点，求点P横坐标的取值范围；（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上存在⊙C的相邻点P，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．2020年北京市东城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．数据显示，2020年全国新建、改扩建校舍约为51 660 000平方米，全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件工作取得明显成果．将数据51 660 000用科学记数法表示应为（）A．5.166×107B．5.166×108C．51.66×106D．0.5166×108【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：51 660 000用科学记数法表示应为5.166×107，故选A．2．下列运算中，正确的是（）A．x•x3=x3B．（x2）3=x5C．x6÷x2=x4D．（x﹣y）2=x2+y2【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加；幂的乘方底数不变指数相乘；同底数幂的除法底数不变指数相减；差的平方等于平方和减积的二倍；可得答案．【解答】解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A错误；B、幂的乘方底数不变指数相乘，故B错误；C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C正确；D、差的平方等于平方和减积的二倍，故D错误；故选：C．3．有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，5，现把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是（）A． B． C． D．【考点】概率公式．【分析】根据有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，其中奇数有1，3，5，共3个，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：∵共有5个数字，奇数有3个，∴抽出的数字是奇数的概率是．故选C．4．甲、乙、丙、丁四人参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是13.2秒，方差如下表所示选手甲乙丙丁方差0.030 0.019 0.121 0.022则这四人中发挥最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】方差．【分析】根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布越稳定进行比较即可．【解答】解：∵0.019＜0.022＜0.030＜0.121，∴乙的方差最小，∴这四人中乙发挥最稳定，故选：B5．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=（）A．52°B．38°C．42°D．60°【考点】平行线的性质．【分析】先求出∠3，再由平行线的性质可得∠1．【解答】解：如图：∠3=∠2=38°°（两直线平行同位角相等），∴∠1=90°﹣∠3=52°，故选A．6．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接BC并延长至E，使CE=CB，连接ED．若量出DE=58米，则A，B间的距离为（）A．29米B．58米C．60米D．116米【考点】全等三角形的应用．【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得答案．【解答】解：在△ABC和△DEC中，，△ABC≌△DEC（SAS），∴AB=DE=58米，故选：B．7．在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是（）A．（﹣4，﹣2）B．（2，2）C．（﹣2，2）D．（2，﹣2）【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标与图形变化-平移．【分析】首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案．【解答】解：点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到的B的坐标为（﹣1+3，2），即（2，2），则点B关于x轴的对称点C的坐标是（2，﹣2），故选D．8．对式子2a2﹣4a﹣1进行配方变形，正确的是（）A．2（a+1）2﹣3 B．（a﹣1）2﹣C．2（a﹣1）2﹣1 D．2（a﹣1）2﹣3【考点】配方法的应用．【分析】利用完全平方公式进行变形即可．【解答】解：2a2﹣4a﹣1，=2（a2﹣2a+1）﹣3，=2（a﹣1）2﹣3．故选：D．9．为了举行班级晚会，小张同学准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个25元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么小张同学应该买的球拍的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】一元一次不等式组的应用．【分析】设小张同学应该买的球拍的个数为x个，利用购买金额不超过200元得到20×1.5+25x≤200，然后解不等式后求出不等式的最大整数解即可．【解答】解：设小张同学应该买的球拍的个数为x个，根据题意得20×1.5+25x≤200，解得x≤6.8，所以x的最大整数值为6，所以小张同学应该买的球拍的个数是6个．故选B．10．如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt △ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC和△AOB的关系，即可建立y与x的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的．【解答】解：作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，若右图所示，由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C的纵坐标是y，∵AD∥x轴，∴∠DAO+∠AOD=180°，∴∠DAO=90°，∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠OAB=∠DAC，在△OAB和△DAC中，，∴△OAB≌△DAC（AAS），∴OB=CD，∴CD=x，∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，∴y=x+1．故选A．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：ab2﹣ac2=a（b+c）（b﹣c）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=a（b2﹣c2）=a（b+c）（b﹣c），故答案为：a（b+c）（b﹣c）12．请你写出一个一次函数，满足条件：①经过第一、三、四象限；②与y轴的交点坐标为（0，﹣1）．此一次函数的解析式可以是y=x﹣1（答案不唯一）．．【考点】一次函数图象与系数的关系．【分析】首先根据函数经过的象限确定比例系数的符号，然后根据其与y轴的交点确定答案即可．【解答】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限，∴k＞0，∴设一次函数的解析式为y=x+b，∵经过点（0，﹣1），∴b=﹣1，∴解析式为y=x﹣1，故答案为：y=x﹣1（答案不唯一）．13．已知一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是五边形．【考点】多边形内角与外角．【分析】任何多边形的外角和是360°．用外角和除以每个外角的度数即可得到边数．【解答】解：360÷72=5．故这个多边形是五边形．故答案为：五．14．为了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午7：00至9：00来往车辆的车速（单位：千米/时），并绘制成如图所示的条形统计图．这些车速的众数是70千米/时．【考点】众数；条形统计图．【分析】根据众数是出现次数最多的数直接写出答案即可；【解答】解：70千米/时是出现次数最多的，故众数是70千米/时，故答案为：70千米/时．15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱为x，乙持钱为y，可列方程组为．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【分析】设甲持钱为x，乙持钱为y，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半=50元，乙的钱+甲所有钱的=50元，据此可列方程组．【解答】解：设甲持钱为x，乙持钱为y，根据题意，可列方程组：，故答案为：．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC．甲、乙、丙、丁四位同学的主要作法如下：甲同学的作法：如图甲：以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点P，则点P就是所求的点．乙同学的作法：如图乙：作线段AC的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．丙同学的作法：如图丙：以点C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于点P，则点P 就是所求的点．丁同学的作法：如图丁：作线段AB的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．请你判断哪位同学的作法正确丁同学；这位同学作图的依据是垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；等量代换．【考点】作图—复杂作图．【分析】分别利用线段垂直平分线的性质结合圆的性质分析得出答案．【解答】解：甲同学的作法：如图甲：以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点P，则点P就是所求的点．无法得出AP=BP，故无法得出PA+PC=BC，故此选项错误；乙同学的作法：如图乙：作线段AC的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．无法得出AP=BP，故无法得出PA+PC=BC，故此选项错误；丙同学的作法：如图丙：以点C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于点P，则点P就是所求的点．无法得出AP=BP，故无法得出PA+PC=BC，故此选项错误；丁同学的作法：如图丁：作线段AB的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点，可得：AP=BP，则PA+PC=BC．故答案为：丁；垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；等量代换．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：tan60°+|﹣2|﹣（﹣1）0﹣（）﹣1．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】本题涉及特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂、负整数指数幂4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：tan60°+|﹣2|﹣（﹣1）0﹣（）﹣1=+2﹣﹣1﹣2=﹣1．18．解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2（x﹣2）≤3（x﹣1），得：x≥﹣1，解不等式，得：x＜3，∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3，不等式组的解集在数轴上的表示如下：19．已知x2﹣x﹣3=0，求代数式（x+1）2﹣x（2x+1）的值．【考点】整式的混合运算—化简求值．【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：原式=x2+2x+1﹣2x2﹣x=﹣x2+x+1，由x2﹣x﹣3=0，得到x2﹣x=3，则原式=﹣3+1=﹣2．20．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠BAC=40°，请你选择图中现有的一个角并求出它的度数（要求：不添加新的线段，所有给出的条件至少使用一次）．【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=70°，由角平分线的性质得到∠ABD=∠CBD=35°，根据平行线的性质得到∠E=∠EAB=35°，于是得到结论．【解答】解：∠EAC=75°，∵AB=AC，∠BAC=40°，∴∠ABC=∠ACB=70°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD=∠CBD=35°，∵AE∥BD，∴∠E=∠EAB=35°，∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=75°．21．列方程或方程组解应用题：在“春节”前夕，某花店用13 000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快销售一空．根据市场需求情况，该花店又用6 000元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是多少元？【考点】分式方程的应用．【分析】可设第二批鲜花每盒的进价是x元，根据等量关系：第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，列出方程求解即可．【解答】解：设第二批鲜花每盒的进价是x元，依题意有=×，解得x=120，经检验：x=120是原方程的解，答：第二批鲜花每盒的进价是120元．22．如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF．（1）求证：四边形ABEF为菱形；（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的性质；作图—基本作图．【分析】（1）由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得，AB=AF，∠BAE=∠FAE，根据平行四边形的性质可得∠FAE=∠AEB，然后证明AF=BE，进而可得四边形ABEF为平行四边形，再由AB=AF可得四边形ABEF为菱形；（2）根据菱形的性质可得AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO，利用勾股定理计算出AO的长，进而可得AE的长．【解答】（1）证明：由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=FA，∴四边形ABEF为平行四边形，∵AB=AF，∴四边形ABEF为菱形；（2）解：∵四边形ABEF为菱形，∴AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO，在Rt△AOB中，AO==4，∴AE=2AO=8．23．在平面直角坐标系xOy中，直线y=k1x+b与x轴交于点B，与y轴交于点C，与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A（3，1），连接OA．（1）求反比例函数y=的解析式；（2）若S△AOB：S△BOC=1：2，求直线y=k1x+b的解析式．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式中，得出关于k2的一元一次方程，解方程即可得出结论；（2）分两种情况考虑：①直线y=k1x+b经过第一、三、四象限，由S△AOB：S△BOC=1：2结合三角形的面积公式得出点C的坐标，由待定系数法即可求出此时直线的函数解析式；②直线y=k1x+b经过第一、二、四象限，由S△AOB：S△BOC=1：2结合三角形的面积公式得出点C的坐标，由待定系数法即可求出此时直线的函数解析式．【解答】解：（1）将点A（3，1）代入到y=中，得1=，解得：k2=3．故反比例函数的解析式为y=．（2）符合题意有两种情况：①直线y=k1x+b经过第一、三、四象限，如图1所示．∵S△AOB：S△BOC=1：2，点A（3，1），∴点C的坐标为（0，﹣2）．则有，解得：．∴直线的解析式为y=x﹣2．②直线y=k1x+b经过第一、二、四象限，如图2所示．∵S△AOB：S△BOC=1：2，点A（3，1），∴点C的坐标为（0，2）．则有，解得：．∴直线的解析式为y=﹣x+2．24．某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数．设每名学生的阅读本数为n，并按以下规定分为四档：当n＜3时，为“偏少”；当3≤n＜5时，为“一般”；当5≤n＜8时，为“良好”；当n≥8时，为“优秀”．将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表：阅读本数n（本） 1 2 3 4 5 6 7 8 9人数（名） 1 2 6 7 12 x 7 y 1请根据以上信息回答下列问题：（1）求出本次随机抽取的学生总人数；（2）分别求出统计表中的x，y的值；（3）估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数．【考点】扇形统计图；用样本估计总体．【分析】（1）根据题意当3≤n＜5时为“一般”可知一般档次人数为6+7，结合其所占百分比为26%，相除可得总人数；（2）由良好档次的百分比及总人数可得良好档次的人数，减去阅读本数为5、7的人数可得x的值，将总人数减去其余各项人数可得y的值；（3）根据样本中优秀档次所占百分比乘以九年级总人数可得．【解答】解：（1）由表知被调查学生中“一般”档次的有13人，所占比例是26%，故被调查的学生数是13÷26%=50（人）；（2）被调查的学生中“良好”档次的人数为50×60%=30（人），∴x=30﹣（12+7）=11（人），y=50﹣（1+2+6+7+12+11+7+1）=3（人）；（3）由样本数据可知：“优秀”档次所占的百分比为×100%=8%，∴估计九年级400名学生中优秀档次的人数为：400×8%=32（人）．25．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线．（2）若PB=3，DB=4，求DE的长．【考点】切线的判定与性质．【分析】（1）由已知角相等，及对顶角相等得到三角形DOE与三角形POB相似，利用相似三角形对应角相等得到∠OBP为直角，即可得证；（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC=PB，由PD﹣PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC=r，则有OD=8﹣r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，然后通过相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，∴∠OBP=∠E=90°，∵OB为圆的半径，∴PB为圆O的切线；（2）解：在Rt△PBD中，PB=3，DB=4，根据勾股定理得：PD==5，∵PD与PB都为圆的切线，∴PC=PB=3，∴DC=PD﹣PC=5﹣3=2，在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=4﹣r，根据勾股定理得：（4﹣r）2=r2+22，解得：r=，∴OP==，∵∠E=∠PCO，∠CPO=∠CPO，∴△DEP∽△OBP，∴，∴DE=．26．在课外活动中，我们要研究一种四边形﹣﹣筝形的性质．定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形（如图1）．小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究．下面是小聪的探究过程，请补充完整：（1）根据筝形的定义，写出一种你学过的四边形满足筝形的定义的是菱形；（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对筝形性质的猜想，并选取其中的一条猜想进行证明；（3）如图2，在筝形ABCD中，AB=4，BC=2，∠ABC=120°，求筝形ABCD的面积．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据筝形的定义解答即可；（2）根据全等三角形的判定和性质证明；（3）连接AC，作CE⊥AB交AB的延长线于E，根据正弦的定义求出CE，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）∵菱形的四条边相等，∴菱形是筝形，故答案为：菱形；（2）筝形是轴对称图形；筝形的对角线互相垂直；筝形的一组对角相等．已知：四边形ABCD是筝形，求证：∠B=∠D，证明：如图1，连接AC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC，∴∠B=∠D；（3）如图2，连接AC，作CE⊥AB交AB的延长线于E，∵∠ABC=120°，∴∠EBC=60°，又BC=2，∴CE=BC×sin∠EBC=，∴S△ABC=AB×CE=2，∵△ABC≌△ADC，∴筝形ABCD的面积=2S△ABC=4．27．已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3=0．（1）当m取何值时，此方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴两个交点的横坐标均为整数，且m为正整数时，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象直接写出实数a的取值范围．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．。
北京市东城区2020届高三数学一模试卷文含解析
北京市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（一）数学 （文科）本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）若集合2{3}A x x x =∈<R ，{12}B x x =-<<，则AB =（A ）{10}x x -<< （B ）{13}x x -<< （C ）{02}x x << （D ）{03}x x << 【知识点】集合的运算 【试题解析】因为，所以，故答案为：B 【答案】B（2）已知直线310ax y +-=与直线3+2=0x y -互相垂直，则a = （A ）3- （B ）1- （C ）1 （D ）3 【知识点】两条直线的位置关系 【试题解析】因为直线与直线互相垂直，所以，故答案为：C 【答案】C（3）已知4log 6a =，4log 0.2b =，2log 3c =，则三个数的大小关系是（A ）c a b >> （B ）a c b >> （C ）a b c >> （D ）b c a >> 【知识点】对数与对数函数 【试题解析】因为 所以，故答案为：A 【答案】A（4）若,x y 满足0230230x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，，，则2u x y =+的最大值为（A ）3 （B ）52 （C ）2（D ）32【知识点】线性规划【试题解析】因为可行域如图，在AC 上任何一点取得最大值3．故答案为：A 【答案】A（5）已知数列{}n a 的前n 项和1159131721(1)(43)n n S n -=-+-+-++--，则11S =（A ）21-（B ）19-（C ）19（D ）21【知识点】数列的求和 【试题解析】因为故答案为：D 【答案】D（6）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“a b =”是“A b B a cos cos =”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【知识点】充分条件与必要条件【试题解析】因为所以，是充分必要条件 故答案为：C 【答案】C （7）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,,a b i 的值分别为6，8，0，则输出a 和i 的值分别为（A ）0,3 （B ）0,4 （C ）2,3 （D ）2,4 【知识点】算法和程序框图 【试题解析】因为输出。
北京市东城区2020届高三数学4月综合练习(一模)试题 理
北京市东城区 2020 学年度第⼆学期高三综合练习（一）数学（理科）本试卷共 5页，共 150 分。
考试时长 120 分钟。
考⼆生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答⼆无效。
考试结束后，将答题卡交回。
第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分。
在每小题列列出的四个选项中，选出符合题目要求的⼆一项。
（1）已知集合，，则（A）（B）（C）（D）R（2）在复平⼆面内，若复数对应的点在第⼆二象限，则可以为（A）（B）（C）（D）（3）在平面直角坐标系XOY 中，角以OX为始边，终边经过点，则下列各式的值一定为负的是(A) (B)(C) (D)（4）正方体被一个平面截去⼆一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为（A）等腰三角形（B）直角三角形（C）平行四边形（D）梯形[]（5）若满足，则的最大值为（A）0 （B）1 （C）2 （D）4（6）已知直线过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与其准线交于点 C.若点F是的AC中点，则线段BC 的长为(A) (B)3 (C) (D)6（7）南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为，被平行于这两个平⼆面的任意平面截得的两个截面的面积分别为，则“相等”是“总相等”的(A) 充分⼆而不不必要条件(B) 必要⼆而不不充分条件(C) 充分必要条件(D) 既不不充分也不不必要条件（8）已知数列满足：，，则下列关于的判断正确的是（A）使得（B）使得（C）总有（D）总有第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
（ 9）在的展开式中，的系数是.（用数字作答）（ 10 ）在中，若，则 .（ 11）若曲线（为参数）关于直线(为参数)对称，则；此时原点O到曲线C上点的距离的最大值为 .（ 12）已知向量a=，向量b为单位向量，且a·b=1，则2 b-a与2 b夹角为 .（13）已知函数，若都有成立，则满足条件的一个区间是 .（14）设A,B是R 中两个子集，对于，定义：①若.则对任意，；[]②若对任意，，则 A,B的关系为.三、解答题共 6 ⼆小题，共 80 分。
北京市各区2020年高考数学一模试题分类解析(3) 导数及其应用 文
三、导数及其应用（选修2-2）21．（2020高考模拟文科）（本小题满分12分） 若1212()x x x x ≠、是函数)0()(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点。
（Ⅰ）若121,13x x =-=，求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）若12x x +=，求b 的最大值。
21．解析：（Ⅰ）∵)0()(223>-+=a x a bx ax x f ，∴)0(23)(22>-+='a a bx ax x f依题意有13-和1是方程02322=-+a bx ax 的两根∴2233133b a a ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩ 解得11a b =⎧⎨=-⎩，∴()32f x x x x =--．（经检验，适合）……5分（Ⅱ）∵)0(23)(22>-+='a a bx ax x f ,依题意，12,x x 是方程()0f x '=的两个根，∵0321<-=ax x且12x x +=， ∴()21212x x -=．∴()2222412,3933b ab a a a ⎛⎫-+=∴=- ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．７分 ∵20b ≥∴09a <≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．８分设()()239p a aa =-，则()2549p a a a '=-．由()0p a '>得06a <<，由()0p a '<得6a >．即函数()p a 在区间(]0,6上是增函数，在区间[]6,9上是减函数，．．．．．．．．10分 ∴当6a =时，()p a 有极大值为324，∴()p a 在(]0,9上的最大值是324， ∴b 的最大值为18． ……………………………12分 18.（2020东城一模文科）（本小题共13分）已知1=x 是函数()(2)e xf x ax =-的一个极值点．(a ∈R ) （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）当1x ，[]20,2x ∈时，证明：12()()e f x f x -≤．（Ⅰ）解：'()(2)e xf x ax a =+-， …………2分由已知得)1('=f ，解得1=a ． …………4分当1a =时，()(2)e xf x x =-，在1x =处取得极小值．所以1a =. …………5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，()(2)e xf x x =-，'()(1)e xf x x =-.当[]1,0∈x 时，0)1()('≤-=xe x xf ，)(x f 在区间[]0,1单调递减；当(]1,2x ∈时，'()(1)0xf x x e =->，)(x f 在区间(]1,2单调递增. …………8分所以在区间[]0,2上，()f x 的最小值为(1)e f =-， 又(0)2f =-，(2)0f =， 所以在区间[]0,2上，()f x 的最大值为(2)0f =. …………12分对于[]12,0,2x x ∈，有12max min ()()()()f x f x f x f x -≤-． 所以12()()0(e)e f x f x -≤--=. …………13分18. （2020丰台一模文科）（本小题共13分）已知函数321()13f x x ax =-+ ()a R ∈． （Ⅰ）若曲线y =f (x )在(1，f (1))处的切线与直线x +y +1=0平行，求a 的值；（Ⅱ）若a >0，函数y =f (x )在区间(a ，a 2-3)上存在极值，求a 的取值范围； （Ⅲ）若a >2，求证：函数y =f (x )在(0，2)上恰有一个零点． 解：（Ⅰ）2()2f x x ax '=-， ……………………1分(1)12f a '=-， ……………………2分因为曲线y =f (x )在(1，f (1))处的切线与直线x +y +1=0平行所以121a -=-， ……………………3分所以1a =． ……………………4分（Ⅱ）令()0f x '=， ……………………5分即()(2)0f x x x a '=-=，所以x =或2x a =． ……………………6分因为a >0，所以0x =不在区间(a ，a 2-3)内，要使函数在区间(a ，a2-3)上存在极值，只需223a a a <<-． ……………………7分所以3a >． ……………………9分（Ⅲ）证明：令()0f x '=，所以 0x =或2x a =．因为a >2，所以2a >4， ……………………10分所以()0f x '<在(0，2)上恒成立，函数f (x )在(0，2)内单调递减． 又因为(0)10f =>，1112(2)03af -=<， ……………………11分 所以f (x )在(0，2)上恰有一个零点． ……………………13分 18．（2020石景山一模文科）（本小题满分14分）已知函数2()2ln f x x a x =+.（Ⅰ）若函数()f x 的图象在(2,(2))f 处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）若函数2()()g x f x x=+在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围. 解：（Ⅰ）2222'()2a x a f x x x x+=+= …………1分 由已知'(2)1f =，解得3a =-. …………3分（II ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.（1）当0a ≥时, '()0f x >，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；……5分（2）当0a <时'()f x =当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下：由上表可知，函数()f x 的单调递减区间是；单调递增区间是)+∞. …………8分 （II ）由22()2ln g x x a x x =++得222'()2ag x x x x=-++，…………9分 由已知函数()g x 为[1,2]上的单调减函数，则'()0g x ≤在[1,2]上恒成立，即22220ax x x -++≤在[1,2]上恒成立. 即21a x x≤-在[1,2]上恒成立. …………11分令21()h x x x =-，在[1,2]上2211'()2(2)0h x x x x x=--=-+<，所以()h x 在[1,2]为减函数. min 7()(2)2h x h ==-,所以72a ≤-. …………14分18. （2020高考仿真文科）（本小题满分13分）设函数c x b ax x f +-=232)(，其图像过点（0,1）. （1）当方程01)('=+-x x f 的两个根分别为是21，1时,求f(x)的解析式；（2）当0,32≠=b a 时，求函数f(x)的极大值与极小值.解：由题意可知，f(0)=1所以c=1 ……………………………….1分 (Ⅰ)由,12)(23+-=x b ax x f 得bxax x f -=2'3)(.因为01)('=+-x x f ，即0132=+--x bx ax 的两个根分别为1,21所以⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+--⨯011301212413b a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧==232b a 故132)(23+-=x x x f ………… ……………………….6分 （Ⅱ）c x bx x f +-=23232)(所以，)2(22)(2'bx x bx x x f -=-=………………. ……………………….7分①若b>0，则当)0,(-∞∈x 时，0)('>x f 函数f(x)单调递增 当)2,0(b x ∈时，0)('<x f 函数f(x)单调递减 当),2(+∞∈b x 时，0)('>x f 函数f(x)单调递增 因此，f(x)的极大值为f （0）=c=1,f(x)的极小值为241)23b b f -=（ ……………………….10分②若b<0，则当)2,(b x -∞∈时，0)('>x f 函数f(x)单调递增 当)0,2(b x ∈时，0)('<x f 函数f(x)单调递减 当),0(+∞∈x 时，0)('>x f 函数f(x)单调递增因此，f(x)的极大值为241)23b b f -=（f(x)的极小值为f （0）=1.综上所述，当b>0时, f(x)的极大值为1, 极小值为2413b -,当b<0时, f(x)的极大值为2413b -, 极小值为 1. ……………………….13分18. （2020朝阳一模文科）（本题满分14分）已知函数()2()1e xf x ax =-⋅,a ∈R .（Ⅰ）若函数()f x 在1x =时取得极值，求a 的值； （Ⅱ）当0a ≤时，求函数()f x 的单调区间.解：（Ⅰ）()2()21e x f x ax ax '=+-⋅.x ∈R ……………………2分 依题意得(1)(31)e =0f a '=-⋅，解得13a =. 经检验符合题意. ………4分 （Ⅱ）()2()21e x f x ax ax '=+-⋅，设2()21g x ax ax =+-，（1）当0a =时，()e xf x =-，()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……5分（2）当0a <时，方程2()21g x ax ax =+-=0的判别式为244a a ∆=+，令0∆=, 解得0a =（舍去）或1a =-.1°当1a =-时，22()21(1)0g x x x x =---=-+≤， 即()2()21e 0x f x ax ax '=+-⋅≤，且()f x '在1x =-两侧同号，仅在1x =-时等于0，则()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……………………7分 2°当10a -<<时，0∆<，则2()210g x ax ax =+-<恒成立，即()0f x '<恒成立，则()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……………9分 3°1a <-时，2440a a ∆=+>，令()0g x =， 方程2210ax ax +-=有两个不相等的实数根11x a =-+，21x a =--，作差可知11-->-+则当1x <-+时，()0g x <，()0f x '<，()f x 在(,1-∞-上为单调减函数；当11x a a -+<<--时，()0g x >，()0f x '>，()f x 在(11-+-上为单调增函数；当1x >-时，()0g x <，()0f x '<，()f x 在(1)--+∞上为单调减函数. ……………………………………………………………………13分 综上所述，当10a -≤≤时，函数()f x 的单调减区间为(),-∞+∞；当1a <-时，函数()f x 的单调减区间为(,1-∞-，(1)--+∞，函数()f x 的单调增区间为(11)a a-+--. …………………………14分 18. （2020东城示范校二模文）(本题满分13分) 已知函数32()231f x ax ax =-+，3()42a g x x =-+()a ∈R . (Ⅰ) 当1a =时, 求函数()y f x =的单调区间；(Ⅱ) 当0≤a 时，若任意给定的[]00,2x ∈,在[]0,2上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使 得0()()i f x g x =成立，求a 的取值范围．解：（I ）2()666(1).f x x x x x '=-=-------------------------2分由()0,10f x x x '>><得或； 由()0,01f x x '<<<得；故函数)(x f 的单调递增区间是)(1,)0,(+∞-∞和；单调递减区间是（0，1）.-------------------------6分 （II ） ①当0a =时，23)(,1)(==x g x f ，显然不可能满足题意； -------------------------7分②当0a <时，)1(666)(2-=-='x ax ax ax x f .分又因为当30,()42a a g x x <=-+时在[0，2]上是增函数， 对任意]232,23[)(],2,0[+-∈∈a x g x ， -------------------------------11分由题意可得a a -<+-1232解得1-<a . 综上，a 的取值范围为)1,(--∞.------------------------13分18. （2020房山一模文科）（本小题共13分）设函数3221()23()3f x x ax a x a a R =-+-+∈. （Ⅰ）当1=a 时，求曲线)(x f y =在点())3(,3f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间和极值；（Ⅲ）若对于任意的∈x (3,)a a ，都有()1f x a <+，求a 的取值范围. 解：（I ）∵当1=a 时，13231)(23+-+-=x x x x f ，………………………1分 34)(2-+-='x x x f …………………………………2分当3=x 时，1)3(=f ，=')3(f 0 …………………………………3分 ∴曲线)(x f y =在点())3(,3f 处的切线方程为01=-y ………………………4分（II ）22()4-3()(3)f x x ax a x a x a '=-+=--- ……………………………5分 0a =时，()0f x '≤，(,)-∞∞是函数的单调减区间；无极值；……………6分 0a >时，在区间(,),(3,)a a -∞∞上，()0f x '<； 在区间(,3)a a 上，()0f x '>， 因此(,),(3,)a a -∞∞是函数的单调减区间，(,3)a a 是函数的单调增区间， 函数的极大值是(3)f a a =；函数的极小值是34()3f a a a =-；………………8分 0a <时，在区间(,3),(,)a a -∞∞上，()0f x '<； 在区间(3,)a a 上，()0f x '>，因此(,3),(,)a a -∞∞是函数的单调减区间，(3,)a a 是函数的单调增区间函数的极大值是34()3f a a a =-，函数的极小值是(3)f a a = ………………10分 (III) 根据（II ）问的结论，(3,)x a a ∈时，34()()3f x f a a a <=-………………11分因此，不等式()1f x a <+在区间(3,)a a 上恒成立必须且只需：⎪⎩⎪⎨⎧<+≤-01343a a a a ，解之，得a ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭ ……………………13分 18． （2020海淀一模文科）（本小题满分13分）已知函数211()ln (0)22f x a x x a a =-+∈≠且R .（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≤？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞.2'()a x af x x x x-+=-=. ………………………………………2分当0a <时，在区间(0,)+∞上，'()0f x <.所以 ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞. (3)分当0a >时，令'()0f x =得x =x =.函数()f x ,'()f x 随x 的变化如下：所以 ()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞.………………………………………6分综上所述，当0a <时， ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：当0a <时, ()f x 在[1,)+∞上单调递减.所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤.当0a >时，① 1≤，即01a <≤时，()f x 在[1,)+∞上单调递减.所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤.② 1>，即1a >时，()f x 在上单调递增，所以 (1)f f >.又 (1)0f =，所以 0f >，与对于任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤矛盾. 综上所述，存在实数a 满足题意，此时a 的取值范围是(,0)(0,1]-∞.………………………………………13分16. （2020门头沟一模文科）（本小题满分13分）已知函数1)(23-++=bx ax x x f 在1=x 处有极值1-．（I ）求实数b a ，的值；（II ）求函数x ax x g ln )(+=的单调区间． 解（I ）求导，得 b ax x x f ++='23)(2 ……2分 由题意⎩⎨⎧='-=0)1(1)1(f f ，解得12=-=b a ，……6分 （II ）函数x ax x g ln )(+=的定义域是}0|{>x x ，……9分xx g 12)(+-='……11分解012>+-x 且}0|{>x x ， 得210<<x ， 所以函数)(x g 在区间)21,0(上单调递增；……12分解012<+-x 得21>x ， 所以函数)(x g 在区间),21(+∞上单调递减。
2020年北京市东城区中考数学一模试卷(含答案解析)
2020年北京市东城区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共7小题，共14.0分）1.如图，点A，B在数轴上对应的实数分别为m，n，则A，B间的距离是()A. m+nB. m−nC. n−mD. |m+n|2. 6.数轴上分别有A、B、C三个点，对应的实数分别为a、b、c且满足，|a|>|c|，b⋅c<0，则原点的位置()A. 点A的左侧B. 点A点B之间C. 点B点C之间D. 点C的右侧3.如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积等于()A. π3B. 2π3C. 4π3D. 2π4.如图，把△ABC经过一定的变化得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为(x,y)，那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为()A. (−x,y−2)B. (−x+2,y+2)C. (−x+2,−y)D. (−x,y+2)5.甲、乙两个工程队进行污水管道整修，已知乙比甲每天多修3km，甲整修6km的工作时间与乙整修8km的工作时间相等，求甲、乙两个工程队每天分别整修污水管道多少km？设甲每天整修xkm，则可列方程为()A. 6x−3=8xB. 6x=8x+3C. 6x+3=8xD. 6x=8x−36.四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有正方体、圆锥、圆柱和球四个图案，现把它们正面朝下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是柱体的概率是()A. 1B. 12C. 14D. 347.如图1为某立交桥示意图(道路宽度忽略不计)，A−F−G−J为高架，以O为圆心的圆盘B−C−D−E位于高架下方，其中AB，AF，CH，DI，EJ，GJ为直行道，且AB=CH=DI=EJ，AF=GJ，弯道FG是以点O为圆心的圆上的一段弧(立交桥的上下高度差忽略不计)，点B，C，D，E是圆盘O的四等分点．某日凌晨，有甲、乙、丙、丁四车均以10m/s的速度由A口驶入立交桥，并从出口驶出，若各车到圆心O的距离y(m)与从A口进入立交后的时间x(s)的对应关系如图2所示，则下列说法错误的是()A. 甲车在立交桥上共行驶10sB. 从I口出立交的车比从H口出立交的车多行驶30mC. 丙、丁两车均从J口出立交D. 从J口出立交的两辆车在立交桥行驶的路程相差60m二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）8.若式子√2x−5在实数范围内有意义，则x的取值为______．9.因式分解：2a2−8a+8=______．10. 一个多边形的边数是10，则这个多边形的内角和是______°. 11. 计算：1xy ÷(1y −1x )=______．12. 如图△ABC 中，∠C =90°，D 、E 分别是BC 、AB 上两点，DE//AC ，BD =2，CD =1，∠BED =30°，则AE 的长为______．13. 将一次函数y =3x −1的图象沿y 轴向上平移3个单位后，得到的图象对应的函数关系式为___________．14. 甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次，命中的环数如下：甲：9、5、7、8、7、6、8、6、7、7；乙：7、8、6、8、6、5、9、10、7、4经过计算，两人射击环数的平均数均为7，S 甲2=1.2，S 乙2=______，因为S 甲2______S 乙2，所以______的成绩更稳定．15. 已知⊙O 的半径是4，则该圆的内接正方形的边长是______ ． 三、计算题（本大题共3小题，共17.0分）16. 计算：4sin60°−|3−√12|+(12)−1−(2018−π)017. 解不等式组{3(x −1)≤5x +12x <9−x 4并写出它的所有整数解．18.已知抛物线y=mx2+(3−2m)x+m−2(m≠0)与x轴有两个不同的交点．(1)求m的取值范围；(2)判断点P(1,1)是否在抛物线上；(3)当m=1时，求抛物线的顶点Q的坐标．四、解答题（本大题共9小题，共51.0分）19.22.如图1，已知ΔABC中，点D在AB边上，DE//BC交边AC于点E，且DE平分∠ADC．(1)求证：DB=DC；(2)如图2，在BC边上取点F，使∠DFC=60∘，若BC=7，BF=2，求DF的长。
2020年北京各区高三一模数学试题分类汇编含答案(二)
2020年北京市各区一模试题分类汇编( 二 )：函数与导数：海淀区：（7）已知函数()||f x x m =-与函数()g x 的图象关于y 轴对称.若()g x 在区间(1,2)内单调递减，则m 的取值范围为 （A ）[1,)-+∞ （B ）(,1]-∞- （C ）[2,)-+∞（D ）(,2]-∞-（10）形如221n+（n 是非负整数）的数称为费马数，记为n F .数学家费马根据0F ,1F ,2F ,3F ,4F 都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出5F 不是质数，那么5F 的位数是（参考数据：lg20.3010≈） （A ）9 （B ）10 （C ）11（D ）12（15）如图，在等边三角形ABC 中，6AB =. 动点P 从点A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点，记P 运动的路程为x ，点P 到此三角形中心O 距离的平方为()f x ，给出下列三个结论：①函数()f x 的最大值为12；②函数()f x 的图象的对称轴方程为9x =； ③关于x 的方程()3f x kx =+最多有5个实数根. 其中，所有正确结论的序号是 .注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。
全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。
（19）（本小题共15分）已知函数()e xf x ax =+．（Ⅰ）当1a =-时，①求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； ②求函数()f x 的最小值；C（Ⅱ）求证：当(2a ∈-，0)时，曲线()y f x =与1ln y x =-有且只有一个交点． 西城区：3.下列函数中,值域为R 且为奇函数的是 (A)y =x +2(B)y =sinx(C)y =x −x 3(D)y =2x10.设函数f(x)={x 2+10x +1,x ≤0|lgx |, x >0若关于x 的方程f(x)=a(a ∈R)有四个实数解x i (i =1,2,3,4),其中x 1<x 2<x 3<x 4,则(x 1+x 2)(x 3−x 4)的取值范围是 (A)(0,101](B)(0,99](C)(0,100](D)(0,+∞)19.(本小题满分14分)设函数f(x)=alnx +x 2−(a +2)x,其中a ∈R.(Ⅰ)若曲线y =f(x)在点(2,f(2))处切线的倾斜角为π4,求a 的值;(Ⅱ)已知导函数f′(x)在区间(1,e)上存在零点,证明:当x ∈(1,e)时,f(x)>−e 2.东城区：(2) 函数22()1x f x x -=+ (A) -(,]12 (B) [,)2+∞ (C) -(,)[,)11+-∞∞U (D) -(,)[,)12+-∞∞U (10) 假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物,则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者. 现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型. 假设捕食者的数量以()x t 表示，被捕食者的数量以()y t 表示.下图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法正确的是：(A) 若在12t t ，时刻满足：12()=()y t y t ，则12()=()x t x t ； (B) 如果()y t 数量是先上升后下降的，那么()x t 的数量一定也是先上升后下降；(C) 被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值； (D) 被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值.(15) 设函数(1),0,()22,0.x a a xa x x f x x --+<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩给出下列四个结论： ① 对0∀>a ，t ∃∈R ，使得()f x t =无解；② 对0∀>t ，a ∃∈R ，使得()f x t =有两解；③ 当0a <时，0t ∀>，使得()f x t =有解； ④ 当2a >时，t ∃∈R ，使得()f x t =有三解.其中，所有正确结论的序号是 .注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。