北师大版九年级数学上册《相似三角形的性质》PPT课件(3篇)
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【北师大版】九年级数学上册：4.5《相似三角形判定定理的证明》ppt课件
2
∴ AB CD . BC AC
D A
又∠B =∠ACD,
∴△ABC∽△DCA，
∴ BC AC . AC AD
∴AD= 25 . 4
B C
课堂小结
相似三角形判定 定理的证明
定理 证明
定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角 形相似.
定理3：三边成比例的两个三角形相似.
谢谢大家
A′
B′ A
D
∴ △ADE ≌ △A'B'C' .
B
∴ △ABC ∽△A'B'C' .
C′
E C
二 相似三角形判定定理的运用
例：已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.
解： ∵ ∠ A= ∠ A , ∠ABD=∠C,
∴ △ABD ∽ △ACB ,
∴ AB : AC = AD : AB,
•
12、人乱于心，不宽余请。2021/4/302021/4/302021/4/30Fri day, April 30, 2021
•
13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。2021/4/302021/4/302021/4/302021/4/304/30/2021
•
14、抱最大的希望，作最大的努力。2021年4月30日 星期五 2021/4/302021/4/302021/4/30
∴ △ADE ≌△A' B ' C ' ．
∴ △ABC ∽△A'B'C.
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 已知：如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，∠A =∠ A'， AB AC
北师大版初中九年级上册数学课件 《相似三角形的性质》图形的相似PPT1(第1课时)
△A1B1C1的相似比为k.
若BAD
1 3BAC，B1 NhomakorabeaA1D1
1 3
B1
A1C1，
则 AD 等于多少？ A1D1
k，因为两角对应相等的两个三角形相
知识讲 解
1
知识讲 解
例1.如图，AD是△ABC的高，AD=h， 点R在AC边上，点S在AB边上，
当SRSR⊥A1 DBC，时垂，求足D为E的E.长. 2
A．1：2B．1：4 C．1：8D．1：16
目标测 试
2．△ABC∽△A′B′C′，且相似比为2： 3，则对应边上的A高的比等于 （）
A．2：3B．3：2
C．4：9D．9：4
目标测 试
3.如果两个相似三角形对应高的比为5：4，
那么这两个相似三5：角形的相似比为． 4
4.如图，△ABC∽△A1B1C1，那么它们的2 :相1 似比是．
目标测 试
5.已知一个三角形的三边长分别为5，8，7，则 另一个与之相似的三10角,1形6,1的三边长可以 是．（任写一组即可4 ）
九年级数学北师 版·上册
第四章图形的相似
相似三角形的性质
第1课时
新课引入
如图，小王依据图纸上的△ABC，以1:2的比例 建造了模型房的房梁△A1B1C1，CD和C1D1分 别是它们的立柱.
（1）△ACD与△A1C1D1相似吗？为什么？ 如果相似，指出它相们似的；相三边似对比应. 成比例；相
（2）如果CD=1.5似cm比，为那1:么2. 模型房的房梁立
即 AD DE SR . AD BC
当SR 1 BC时，得 h DE 1 .解得DE 1 h.
2
h2
2
当SR 1 BC时，得 h DE 1.解得DE 2 h.
若BAD
1 3BAC，B1 NhomakorabeaA1D1
1 3
B1
A1C1，
则 AD 等于多少？ A1D1
k，因为两角对应相等的两个三角形相
知识讲 解
1
知识讲 解
例1.如图，AD是△ABC的高，AD=h， 点R在AC边上，点S在AB边上，
当SRSR⊥A1 DBC，时垂，求足D为E的E.长. 2
A．1：2B．1：4 C．1：8D．1：16
目标测 试
2．△ABC∽△A′B′C′，且相似比为2： 3，则对应边上的A高的比等于 （）
A．2：3B．3：2
C．4：9D．9：4
目标测 试
3.如果两个相似三角形对应高的比为5：4，
那么这两个相似三5：角形的相似比为． 4
4.如图，△ABC∽△A1B1C1，那么它们的2 :相1 似比是．
目标测 试
5.已知一个三角形的三边长分别为5，8，7，则 另一个与之相似的三10角,1形6,1的三边长可以 是．（任写一组即可4 ）
九年级数学北师 版·上册
第四章图形的相似
相似三角形的性质
第1课时
新课引入
如图，小王依据图纸上的△ABC，以1:2的比例 建造了模型房的房梁△A1B1C1，CD和C1D1分 别是它们的立柱.
（1）△ACD与△A1C1D1相似吗？为什么？ 如果相似，指出它相们似的；相三边似对比应. 成比例；相
（2）如果CD=1.5似cm比，为那1:么2. 模型房的房梁立
即 AD DE SR . AD BC
当SR 1 BC时，得 h DE 1 .解得DE 1 h.
2
h2
2
当SR 1 BC时，得 h DE 1.解得DE 2 h.
北师大版九年级数学上册相似三角形的性质 课件
ABBCCA ABBCCA
性质3
类似三角形面积的比都等于类似比的平 方。
推 理
△ABC∽△A'B'C', AB BC CA K
AB BC CA
分别作出△ABC与△A'B'C'的高AD和 A'D'
则 SABC
1 BCAD 2
1 KBCKAD
2
K²
SABC 1 BCAD 1 BCAD
2
2
三、例题精析
类似三角形对应高的比,对应角平分线 的比,对应中线的比都等于类似比。
∵△ABC∽△A′B′C′
∴
A B F DE
A/
C
B/ F‘ D/ E/
C/
性质2 类似三角形周长的比都等于类似比。
推 理
△ABC∽△A'B'C', AB BC CA K
AB BC CA
由合比性质可得： ABBCCA KABKBCKCAK
解：设 ED＝MN＝PN＝x
∵△APN∽△ABC
∴PBNC
AE AD
∴x 80 x
120 80
∴x＝48，∴这个正方形零件的边
长为48毫米．
【变式1-1】已知，△ABC∽A'B'C',AD 与A'D'是它们的对应角平分线，已知则 它们对应高的比为（ ）
【变式1-2】已知△ABC∽△A′B′C′, 在这两个三角形的一组对应中线中，如果 较短的中线为3cm，则较长的中线为（）
【巩固训练5】如图，在平行四边形 ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1 ，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与 △DAF的面积之比为（ B ）
性质3
类似三角形面积的比都等于类似比的平 方。
推 理
△ABC∽△A'B'C', AB BC CA K
AB BC CA
分别作出△ABC与△A'B'C'的高AD和 A'D'
则 SABC
1 BCAD 2
1 KBCKAD
2
K²
SABC 1 BCAD 1 BCAD
2
2
三、例题精析
类似三角形对应高的比,对应角平分线 的比,对应中线的比都等于类似比。
∵△ABC∽△A′B′C′
∴
A B F DE
A/
C
B/ F‘ D/ E/
C/
性质2 类似三角形周长的比都等于类似比。
推 理
△ABC∽△A'B'C', AB BC CA K
AB BC CA
由合比性质可得： ABBCCA KABKBCKCAK
解：设 ED＝MN＝PN＝x
∵△APN∽△ABC
∴PBNC
AE AD
∴x 80 x
120 80
∴x＝48，∴这个正方形零件的边
长为48毫米．
【变式1-1】已知，△ABC∽A'B'C',AD 与A'D'是它们的对应角平分线，已知则 它们对应高的比为（ ）
【变式1-2】已知△ABC∽△A′B′C′, 在这两个三角形的一组对应中线中，如果 较短的中线为3cm，则较长的中线为（）
【巩固训练5】如图，在平行四边形 ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1 ，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与 △DAF的面积之比为（ B ）
北师大版九年级数学上册4.7相似三角形的性质课件1 (共22张PPT)
归纳：相似三角形的周长比等于相似比。
BACK
归纳概括
1、相似三角形的对应高、对应中线、 对应角平分线的比等于相似比。 2、相似三角形的周长比等于相似比。
相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线)以及周长 的比都等于相似比。
相似三角形的面积
有什么关系呢？
右图（1）（2）（3）分别是边 长为1、2、3的等边三角形，它 们都相似．
符号语言：∵ DE//BC
“A”型 A
∴ △ADE∽ △ABC
D
E
结
论 ∴
AD AE DE B
C
AB AC BC
∴ ∠A = ∠A,∠B = ∠ADE,∠C = ∠AED.
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边或延 长线相交,所构成的三角形与原三角形相似
符号语言： ∵ DE//BC
“X”型 D
B′
与A′ D′有什么关系？
A D′ C′
(2)如右图两个相似三角形相似比 为k，则对应边上的高有什么关系 呢？__________
B DC
说说你判断的理由是什么？ _△__A__D__C__∽__△A′D′C′
归纳：相似三角形对应边上的高之比等于相似比。BACK
相似三角形对应边上的中线
有什么关系呢？
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C' B
C B'
C'
相似三角形判定定理2：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个 角对应相等，那么这两个三角形相似.
简单说成：两角对应相等，两三角形相似.
符号语言：
A
A'
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
北师大版九年级数学上册《图形的相似——探索三角形相似的条件》教学PPT课件(4篇)
定理应注意两个方面： (1)找等角，应注意图形中的公共角、 对顶角及有公共部分的角；(2)等角的两边对应成比例．
2. 判断两个三角形相似，在已知一个角相等的情况下， 夹这个角的两边的比相等有两种情况，不要只考虑其中一种， 而忽视了另一种．
第四章 图形的相似
4.4 探索三角形相似的条件
第3课时
教学目标
3. 如图，已知 D 是△ ABC 的边 AB 上一点，若∠1＝ ∠∠B ， 则 △ ADC∽△ACB ， 若 ∠2 ＝ ∠AACCBB ， 则 △ ADC∽△ACB.
4. 如图，已知在△ ABC 与△ DEF 中，∠C＝54°，∠A ＝47°，∠F＝54°，∠E＝79°，△ ABC 与△ DEF 相似吗？ 为什么？
知识点 2 相似三角形的应用 例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P， 在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过 点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 于 PS 的直线 b 的交点 R.如果测得 QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60 m， 求河的宽度 PQ.
知识点 2 相似三角形的应用 例2 如图，D，E 分别是△ ABC 的边 AC，AB 上的点．AE ＝1.5，AC＝2，BC＝3，且AADB＝34，求 DE 的长．
【
思
路
点
拨
】
由
条
件
可
得
AE AC
＝
AD AB
，
可
说
明
△ AED∽△ACB，再利用相似三角形的性质可得到 DE.
解：∵AE＝1.5，AC＝2，∴AAEC＝12.5＝34＝AADB，且∠EAD ＝∠CAB，∴△AED∽△ACB，
2. 判断两个三角形相似，在已知一个角相等的情况下， 夹这个角的两边的比相等有两种情况，不要只考虑其中一种， 而忽视了另一种．
第四章 图形的相似
4.4 探索三角形相似的条件
第3课时
教学目标
3. 如图，已知 D 是△ ABC 的边 AB 上一点，若∠1＝ ∠∠B ， 则 △ ADC∽△ACB ， 若 ∠2 ＝ ∠AACCBB ， 则 △ ADC∽△ACB.
4. 如图，已知在△ ABC 与△ DEF 中，∠C＝54°，∠A ＝47°，∠F＝54°，∠E＝79°，△ ABC 与△ DEF 相似吗？ 为什么？
知识点 2 相似三角形的应用 例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P， 在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过 点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 于 PS 的直线 b 的交点 R.如果测得 QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60 m， 求河的宽度 PQ.
知识点 2 相似三角形的应用 例2 如图，D，E 分别是△ ABC 的边 AC，AB 上的点．AE ＝1.5，AC＝2，BC＝3，且AADB＝34，求 DE 的长．
【
思
路
点
拨
】
由
条
件
可
得
AE AC
＝
AD AB
，
可
说
明
△ AED∽△ACB，再利用相似三角形的性质可得到 DE.
解：∵AE＝1.5，AC＝2，∴AAEC＝12.5＝34＝AADB，且∠EAD ＝∠CAB，∴△AED∽△ACB，
最新北师大版九年级数学上册《相似三角形的性质》精品教学课件
(3) 设△ABD，△A′B′D′，△BCD，△B′C′D′ 的面积分别是 S△ABD，
S△A′B′D′，S△BCD，S△B′C′D′，则Biblioteka △D各是多少？
△
解：(3) ∵△ABD∽△A′B′D′，△BCD∽△A′B′D′，
A
C
且相似比都为 k.
∴
B
D′
A′
C′
B′
△
， △
′′′ ′′′
课堂小结
相似三角形周长之比等于相似比
相似三角形的性质2
相似三角形面积之比等于相似比的平方
强调：以上结论，相似多边形也成立.
4.7.2 相似三角形的周长比、面积比的性质
实践与拓展
附加：如图， 在△ABC 中， 点 D，E 分别在边 AB 和 AC 上，且 DE//BC.
(1) 若 AD : DB = 1:1，则S△ADE : S四边形DBCE = 1:3 .
如果是四边形呢？
你能通过类比得出
四边形的结论吗？
4.7.2 相似三角形的周长比、面积比的性质
例2
如图，四边形 ABCD ∽四边形 A′B′C′D′，相似比为 k ( k > 0 ).
(1) 四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 的周长比是多少？
解：(1) ∵四边形 ABCD ∽四边形 A′B′C′D′，
D
∴
A
C
B
D′
=
=
=k.
=k.
即四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 的周长比是 k .
A′
C′
B′
∴
=
4.7.2 相似三角形的周长比、面积比的性质
【北师大版】九年级数学上册：4.5《相似三角形判定定理的证明》ppt课件
第四章 图形的相似
*4.5 相似三角形判定定理的证明
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.会证明相似三角形判定定理；（重点） 2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.（难点）
导入新课
问题：相似三角形的判定方法有哪些？
① 两角对应相等，两三角形相似. ② 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. ③ 三边对应成比例,两三角形相似.
（或它的延长线）上截取
A′
AD =A'B'，过点D作BC的平
行线，交 AC 于点E，则
B′
C′
∠1=∠B，∠2 =∠C， A D A E .
AB AC
过点 D 作 AC 的平行线,交 BC 于点 F,则
∴ AD CF ， ∴ AE CF .
AB CB
AC CB
∵ DE∥BC, DF∥AC,
A
D1 2
谢谢大家
2021/6/20
15
∴ △ADE ≌△A' B ' C ' ．
∴ △ABC ∽△A'B'C.
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 已知：如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，∠A =∠ A'， AB AC
A' B' A'C'
求证：△ABC ∽ △A'B'C'. A
A′
D1
2E
B′
C′
B
C
证明：在△ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取 AD = A'B'， 过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，则
B
*4.5 相似三角形判定定理的证明
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.会证明相似三角形判定定理；（重点） 2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.（难点）
导入新课
问题：相似三角形的判定方法有哪些？
① 两角对应相等，两三角形相似. ② 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. ③ 三边对应成比例,两三角形相似.
（或它的延长线）上截取
A′
AD =A'B'，过点D作BC的平
行线，交 AC 于点E，则
B′
C′
∠1=∠B，∠2 =∠C， A D A E .
AB AC
过点 D 作 AC 的平行线,交 BC 于点 F,则
∴ AD CF ， ∴ AE CF .
AB CB
AC CB
∵ DE∥BC, DF∥AC,
A
D1 2
谢谢大家
2021/6/20
15
∴ △ADE ≌△A' B ' C ' ．
∴ △ABC ∽△A'B'C.
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 已知：如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，∠A =∠ A'， AB AC
A' B' A'C'
求证：△ABC ∽ △A'B'C'. A
A′
D1
2E
B′
C′
B
C
证明：在△ABC 的边 AB（或它的延长线）上截取 AD = A'B'， 过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，则
B
新北师大版九年级数学上册《相似三角形的性质(一)》公开课课件.ppt
C/
类比探究相似三角形对应中线的比、 对应角平分线的比
• 变式拓展探究： 如果把角平分线、中线变为对应角
的三等分线、四等分线、…n等分线， 对应边的三等分线、四等分线、…n等 分线，那么它们也具有特殊关系吗？
(变式拓展)
(变式拓展)
（3）你能得到哪些结论？
相似三角形对应角的n等分线的比,对应 边的n等分线的比都等于相似比。
第三章 图形的相似
zxxkw zxxkw
第7节 相似三角形的性质（一）
学习目标
理解并掌握相似三角形对应高的比、对应中线 的比、对应角平分线的比都等于相似比
自学指导
• 安静阅读P106——P107页内容，思考以下 问题：zxxkw
1、相似三角形对应高的比、对应中线的比、 对应角平分线的比等于______比?
于相似比)
B P D Q C 设正方形PQRS的边长为xcm,
则AE=(40-x)cm,
40 x x
.
40
60
解得,x=24.
所以正方形PQRS的边长为24cm.
课堂小结 ☞
同学们：经历了这节课的探索学 习，你在知识上和方法上什么收获呢？ 请说说看。
相似三角形的性质: 相似三角形对应高的比,对应角平分线的 比,对应中线的比都等于相似比。
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2020/12/192020/12/192020/12/1912/19/2020 8:40:58 AM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2020/12/192020/12/192020/12/19Dec-2019-Dec-20 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2020/12/192020/12/192020/12/19Saturday, December 19, 2020 • 13、志不立，天下无可成之事。2020/12/192020/12/192020/12/192020/12/1912/19/2020
相似三角形的性质课件北师大版数学九年级上册
九年级北师上册
7.类似三角形的性质
学习目标
1.通过阅读课本及自主学习，理解并掌握类似三角形对应线段
的比、周长比、面积比与类似比之间的关系，培养学生的运
算能力与几何直观能力.
2.通过合作学习，掌握定理的证明方法，培养学生的逻辑推理
能力.
3.通过教师讲授，学生能利用类似三角形的性质解决相关问题，
培养学生解决问题的能力.
++
′ ′ +′ ′ +′ ′
= ,
= , 即 类 似 三 角 形 的
周长比等于类似比.
教师讲评
知识点5：类似三角形的面积比与类似比的关系
如图，如果 △ ∽△
⋅ =
′ ′
′
∴ =
′ ⋅ =
′
′
′
′
,且 ′ ′
新知导入
在生活中，我们经常利用类似的知识解决建筑类问题.如图，小王根据图
纸上的△ABC，以1：2的比例建造了模型房梁△A’B’C’， CD和C’D’分
别是它们的立柱。
（1）试写出△ABC与△A’B’C’的对应边之间的关系，对应角之间的关系。
（2）△ACD与△A’C’D’类似吗？为什么？如果类似，指出它们的类似比。
∴ ∠ = ∠, ∴△ ∽△ , ∴
=
即类似三角形对应角平分线的比等于类似比.
.
教师讲评
知识点3：类似三角形对应中线的比与类似比的关系
如图， ∵△ ∽△ , ∴ ∠ = ∠,
=
,
∵AM,DN 分别是 △ 和 △ 的中线，
7.类似三角形的性质
学习目标
1.通过阅读课本及自主学习，理解并掌握类似三角形对应线段
的比、周长比、面积比与类似比之间的关系，培养学生的运
算能力与几何直观能力.
2.通过合作学习，掌握定理的证明方法，培养学生的逻辑推理
能力.
3.通过教师讲授，学生能利用类似三角形的性质解决相关问题，
培养学生解决问题的能力.
++
′ ′ +′ ′ +′ ′
= ,
= , 即 类 似 三 角 形 的
周长比等于类似比.
教师讲评
知识点5：类似三角形的面积比与类似比的关系
如图，如果 △ ∽△
⋅ =
′ ′
′
∴ =
′ ⋅ =
′
′
′
′
,且 ′ ′
新知导入
在生活中，我们经常利用类似的知识解决建筑类问题.如图，小王根据图
纸上的△ABC，以1：2的比例建造了模型房梁△A’B’C’， CD和C’D’分
别是它们的立柱。
（1）试写出△ABC与△A’B’C’的对应边之间的关系，对应角之间的关系。
（2）△ACD与△A’C’D’类似吗？为什么？如果类似，指出它们的类似比。
∴ ∠ = ∠, ∴△ ∽△ , ∴
=
即类似三角形对应角平分线的比等于类似比.
.
教师讲评
知识点3：类似三角形对应中线的比与类似比的关系
如图， ∵△ ∽△ , ∴ ∠ = ∠,
=
,
∵AM,DN 分别是 △ 和 △ 的中线，
北师大版数学九年级上册课件：相似三角形的性质
2、 已知：如图，Rt△ABC，CD为斜边AB上的高， C
求：
A
D
B
3、三角形的一条中位线把三角形截成的一个小 三角形与原三角形的周长之比等于___1_:_2___， 面积之比等于___1_:_4___。
4、两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和 18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是 36 ，则较小三角形的周长为____1_4___cm, 面积为__4__ 。
=72－18－24=30cm
例1：已知：△ ∽△
，它们的周长分别
为60cm和72cm，且AB=15cm， =24cm。
求：BC、AC、 、
A
解：∵△ ∽△
∴
B
（相似三角形周长的比等于相似比） C
∵AB=15cm，
∴
∴ =18cm ，BC=20cm ∴ AC=60－15－20=25cm
=72－18－24=30cm
思考题：
在△ABC中，BC=m，DE∥BC，
交AB于E，交AC于D，
求DE的长度。
A
E
D
B
C
小结： 这节课我们学习了相似三角形的 另一重要性质：相似三角形周长的比 等于相似比，相似三角形面积的比等 于相似比的平方。
。
相似三角形周长的比等于相似比。
A A′
B
C B′
C′
相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似三角形周长的比等于相似比。
已知： △ ∽△
A A′
求证：
B 证明： ∵ △ ∽△
C B′
C′
∴
(相似三角形对应边成比例)
∴
(等比性质
)
相似三角形面积的比等于相似比的平方