2019年江苏省镇江市中考数学试卷真题及答案解析
19年江苏省中考数学真题汇编-专题04 图形的性质
2019年江苏省中考数学专题04 图形的性质参考答案与试题解析一．选择题（共19 小题）1．（2019•连云港）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是（）A．B．C．D．【答案】解：由题意可知，该几何体为四棱锥，所以它的底面是四边形．故选：B．【点睛】本题主要考查了几何体的展开图，熟练掌握棱锥的展开图是解答本题的关键．2．（2019•常州）如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（）A．线段PA B．线段PB C．线段PC D．线段PD【答案】解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B．故选：B．【点睛】本题考查的是直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，这属于基本的性质定理，属3．（2019•苏州）如图，已知直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点A，B．若∠1＝54°，则∠2等于（）A．126°B．134°C．136°D．144°【答案】解：如图所示：∵a∥b，∠1＝54°，∴∠1＝∠3＝54°，∴∠2＝180°﹣54°＝126°．故选：A．【点睛】此题主要考查了邻补角的性质以及平行线的性质，正确得出∠3 的度数是解题关键．4．（2019•宿迁）一副三角板如图摆放（直角顶点C重合），边AB与CE交于点F，DE∥BC，则∠BFC等于（）A．105°B．100°C．75°D．60°【答案】解：由题意知∠E＝45°，∠B＝30°，∴∠BCF＝∠E＝45°，在△CFB 中，∠BFC＝180°﹣∠B﹣∠BCF＝180°﹣30°﹣45°＝105°，故选：A．【点睛】本题考查了特殊直角三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等，解题关键是要搞清楚一副三角板是指一个等腰直角三角形和一个含30°角的直角三角形．5．（2019•徐州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．2，2，4 B．5，6，12 C．5，7，2 D．6，8，10【答案】解：∵2+2＝4，∴2，2，4 不能组成三角形，故选项A 错误，∵5+6＜12，∴5，6，12 不能组成三角形，故选项B 错误，∵5+2＝7，∴5，7，2 不能组成三角形，故选项C 错误，∵6+8＞10，∴6，8，10 能组成三角形，故选项D 正确，故选：D．【点睛】本题考查三角形三边关系，解答本题的关键是明确三角形两边之和大于第三边．6．（2019•淮安）下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（）A．2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cmC．3cm，4cm，5cm D．4cm，5cm，6cm【答案】解：A、2+3＞4，能构成三角形，不合题意；B、1+2＝3，不能构成三角形，符合题意；C、4+3＞5，能构成三角形，不合题意；D、4+5＞6，能构成三角形，不合题意．故选：B．【点睛】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三个数．7．（2019•泰州）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC 的重心是（）A．点D B．点E C．点F D．点G【答案】解：根据题意可知，直线CD 经过△ABC 的AB 边上的中线，直线AD 经过△ABC 的BC 边上的中线，∴点D 是△ABC 重心．故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的重心的定义，属于基础题意，比较简单．8．（2019•扬州）已知n是正整数，若一个三角形的3边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有（）A．4 个B．5 个C．6 个D．7 个【答案】解：①若n+2＜n+8≤3n，则，解得，即4≤n＜10，∴正整数n 有6 个：4，5，6，7，8，9；②若n+2＜3n≤n+8，则，解得，即2＜n≤4，∴正整数n 有2 个：3 和4；综上所述，满足条件的n 的值有7 个，故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的运用，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．9．（2019•盐城）如图，点D、E分别是△ABC边BA、BC的中点，AC＝3，则DE的长为（）A．2 B．C．3 D．【答案】解：∵点D、E 分别是△ABC 的边BA、BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE AC＝1.5．故选：D．【点睛】此题主要考查了三角形中位线定理，正确得出DE 是△ABC 的中位线是解题关键．10．（2019•镇江）如图，菱形ABCD的顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），顶点A、D在x轴上方，对角线BD 的长是，点E（﹣2，0）为BC 的中点，点P 在菱形ABCD 的边上运动．当点F（0，6）到EP 所在直线的距离取得最大值时，点P 恰好落在AB 的中点处，则菱形ABCD 的边长等于（）A．B．C．D．3【答案】解：如图1 中，当点P 是AB 的中点时，作FG⊥PE 于G，连接EF．∵E（﹣2，0），F（0，6），∴OE＝2，OF＝6，∴EF 2 ，∵∠FGE＝90°，∴FG≤EF，∴当点G 与E 重合时，FG 的值最大．如图 2 中，当点G 与点E 重合时，连接AC 交BD 于H，PE 交BD 于J．设BC＝2a．∵PA＝PB，BE＝EC＝a，∴PE∥AC，BJ＝JH，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC⊥BD，BH＝DH ，BJ ，∴PE⊥BD，∵∠BJE＝∠EOF＝∠PEF＝90°，∴∠EBJ＝∠FEO，∴△BJE∽△EOF，∴，∴，∴a ，∴BC＝2a ，故选：A．【点睛】本题考查菱形的性质，坐标与图形的性质，相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．11．（2019•连云港）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC 与CD 总长为12m，则该梯形储料场ABCD 的最大面积是（）A．18m2B．18 m2C．24 m2D．m2【答案】解：如图，过点C 作CE⊥AB 于E，则四边形ADCE为矩形，CD＝AE＝x，∠DCE＝∠CEB＝90°，则∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝12﹣x，在Rt△CBE中，∵∠CEB＝90°，∴BE BC＝6 x，∴AD＝CE BE＝6 x，AB＝AE+BE＝x+6 x x+6，∴梯形ABCD 面积S （CD+AB）•CE （x x+6）•（6 x）x2+3 x+18（x﹣4）2+24 ，∴当x＝4 时，S＝24 ．最大即CD 长为4m 时，使梯形储料场ABCD 的面积最大为24m2；故选：C．【点睛】此题考查了梯形的性质、矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、二次函数的运用，利用梯形的面积建立二次函数是解题的关键．12．（2019•苏州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C 的方向平移，得到△A'B'O'．当点A'与点C 重合时，点A 与点B'之间的距离为（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC AC＝2，OB＝OD BD＝8，∵△ABO 沿点A 到点C 的方向平移，得到△A'B'O'，点A'与点 C 重合，∴O'C＝OA＝2，O'B'＝OB＝8，∠CO'B'＝90°，∴AO'＝AC+O'C＝6，∴AB' 10；故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质、平移的性质、勾股定理；熟练掌握菱形的性质和平移的性质是解题的关键．13．（2019•无锡）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．内角和为360°B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直【答案】解：矩形和菱形的内角和都为360°，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线垂直且平分，∴矩形具有而菱形不具有的性质为对角线相等，故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键．14．（2019•镇江）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，．若∠C＝110°，则∠ABC 的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°【答案】解：连接AC，∵四边形ABCD 是半圆的内接四边形，∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，∵，∴∠CAB∠DAB＝35°，∵AB 是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，故选：A．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．15．（2019•宿迁）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6 个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（）A．6 πB．6 2πC．6 πD．6 2π【答案】解：6 个月牙形的面积之和＝3π﹣（22π﹣6 2 ）＝6 π，故选：A．【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正六边形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．16．（2019•苏州）如图，AB为⊙O的切线，切点为A连接AO、BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O 交于点D，连接AD．若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为（）A．54°B．36°C．32°D．27°【答案】解：∵AB 为⊙O 的切线，∴∠OAB＝90°，∵∠ABO＝36°，∴∠AOB＝90°﹣∠ABO＝54°，∵OA＝OD，∴∠ADC＝∠OAD，∵∠AOB＝∠ADC+∠OAD，∴∠ADC∠AOB＝27°；故选：D．【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握切线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．17．（2019•连云港）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM 折叠，点D 的对应点为E，ME 与BC 的交点为F；再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP，此时点B 的对应点为G．下列结论：①△CMP 是直角三角形；②点C、E、G 不在同一条直线上；③PC MP；④BP AB；⑤点F 是△CMP 外接圆的圆心，其中正确的个数为（）A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个【答案】解：∵沿着CM 折叠，点D 的对应点为E，∴∠DMC＝∠EMC，∵再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP，∴∠AMP＝∠EMP，∵∠AMD＝180°，∴∠PME+∠CME180°＝90°，∴△CMP 是直角三角形；故①正确；∵沿着CM 折叠，点D 的对应点为E，∴∠D＝∠MEC＝90°，∵再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP，∴∠MEG＝∠A＝90°，∴∠GEC＝180°，∴点C、E、G 在同一条直线上，故②错误；∵AD＝2 AB，∴设AB＝x，则AD＝2x，∵将矩形ABCD 对折，得到折痕MN；∴DM AD x，∴CM x，∵∠PMC＝90°，MN⊥PC，∴CM2＝CN•CP，∴CP x，∴PN＝CP﹣CN x，∴PM x，∴，∴PC MP，故③错误；∵PC x，∴PB＝2 x x x，∴，∴PB AB，故④，∵CD＝CE，EG＝AB，AB＝CD，∴CE＝EG，∵∠CEM＝∠G＝90°，∴FE∥PG，∴CF＝PF，∵∠PMC＝90°，∴CF＝PF＝MF，∴点F 是△CMP 外接圆的圆心，故⑤正确；故选：B．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，折叠的性质，直角三角形的性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．18．（2019•无锡）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则∠B的度数为（）A．20°B．25°C．40°D．50°【答案】解：连接OA，如图，∵PA 是⊙O 的切线，∴OA⊥AP，∴∠PAO＝90°，∵∠P＝40°，∴∠AOP＝50°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB，∵∠AOP＝∠B+∠OAB，∴∠B∠AOP50°＝25°．故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．19．（2019•常州）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．﹣2 B．C．0 D．【答案】解：当n＝﹣2 时，满足n＜1，但n2﹣1＝3＞0，所以判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，举出n＝﹣2．故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．二．填空题（共33 小题）1．（2019•泰州）命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是真命题（填“真命题”或“假命题”）．【答案】解：三角形的三个内角中至少有两个锐角，是真命题；故答案为：真命题【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．2．（2019•常州）如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于55°．【答案】解：∵∠α＝35°，∴∠α的余角等于90°﹣35°＝55°故答案为：55．【点睛】本题考查的两角互余的基本概念，题目属于基础概念题，比较简单．3．（2019•苏州）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．图①是由边长为10cm 的正方形薄板分为7 块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形．该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为cm（结果保留根号）．【答案】解：10×10＝100（cm2）（cm）答：该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为cm．故答案为：．【点睛】考查了七巧板，关键是得到该“七巧板”中7 块图形之一的正方形面积是大正方形面积的．4．（2019•扬州）将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC＝26°，则∠ACD＝128°．【答案】解：延长DC，由题意可得：∠ABC＝∠BCE＝∠BCA＝26°，则∠ACD＝180°﹣26°﹣26°＝128°．故答案为：128．【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及平行线的性质，正确应用相关性质是解题关键．5．（2019•南京）结合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵∠1+∠3＝180°，∴a∥b．【答案】解：∵∠1+∠3＝180°，∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．故答案为：∠1+∠3＝180°．【点睛】本题主要考查了平行的判定，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．6．（2019•盐城）如图，直线a∥b，∠1＝50°，那么∠2＝50°．【答案】解：∵a∥b，∠1＝50°，∴∠1＝∠2＝50°，故答案为：50．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确掌握平行线的性质是解题关键．7．（2019•镇江）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝40°．【答案】解：∵△BCD 是等边三角形，∴∠BDC＝60°，∵a∥b，∴∠2＝∠BDC＝60°，由三角形的外角性质可知，∠1＝∠2﹣∠A＝40°，故答案为：40．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、平行线的性质，掌握三角形的三个内角都是60°是解题的关键．8．（2019•扬州）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，若进行以下操作，在边BC上从左到右依次取点D1、D2、D3、D4、…；过点D1 作AB、AC 的平行线分别交AC、AB 于点E1、F1；过点D1 作AB、AC 的平行线分别交AC、AB于点E2、F2；过点D3作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E3、F3…，则4（D1E1+D2E2+…+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+…+D2019F2019）＝40380 ．【答案】解：∵D1F1∥AC，D1E1∥AB，∴，即，∵AB＝5，BC＝4，∴4D1E1+5D1F1＝20，同理4D2E2+5D2F2＝20，…，4D2019E2019+5D2019F2019＝20，∴4（D1E1+D2E2+…+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+…+D2019F2019）＝20×2019＝40380；故答案为40380．【点睛】本题考查平行线的性质，探索规律；能够根据平行线的性质和等量代换得到4D1E1+5D1F1＝20是解题的关键．9．（2019•苏州）如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°．P为弧AB上的一点，过点P作PC⊥OA，垂足为C，PC 与AB 交于点D．若PD＝2，CD＝1，则该扇形的半径长为 5 ．【答案】解：连接OP，如图所示．∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝45°．∵PC⊥OA，∴△ACD 为等腰直角三角形，∴AC＝CD＝1．设该扇形的半径长为r，则OC＝r﹣1，在Rt△POC中，∠PCO＝90°，PC＝PD+CD＝3，∴OP2＝OC2+PC2，即r2＝（r﹣1）2+9，解得：r＝5．故答案为：5．【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形以及圆的认识，利用勾股定理，找出关于扇形半径的方程是解题的关键．10．（2019•南京）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是4＜BC．【答案】解：作△ABC 的外接圆，如图所示：∵∠BAC＞∠ABC，AB＝4，当∠BAC＝90°时，BC是直径最长，∵∠C＝60°，∴∠ABC＝30°，∴BC＝2AC，AB AC＝4，∴AC ，∴BC ；当∠BAC＝∠ABC 时，△ABC 是等边三角形，BC＝AC＝AB＝4，∵∠BAC＞∠ABC，∴BC 长的取值范围是4＜BC ；故答案为：4＜BC ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系、直角三角形的性质、等边三角形的性质；作出△ABC 的外接圆进行推理计算是解题的关键．11．（2019•南京）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 5 cm．【答案】解：由题意可得：杯子内的筷子长度为：15，则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20﹣15＝5（cm）．故答案为：5．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的长是解决问题的关键．12．（2019•常州）平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）到原点的距离是5．【答案】解：作PA⊥x 轴于A，则PA＝4，OA＝3．则根据勾股定理，得OP＝5．故答案为5．【点睛】此题考查了点的坐标的知识以及勾股定理的运用．点到x 轴的距离即为点的纵坐标的绝对值．13．（2019•徐州）如图，A、B、C、D为一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则∠OAD＝30°．【答案】解：连接OB、OC，多边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得多边形的边数为：，∴∠AOB ，∴∠AOD＝40°×3＝120°．∴∠OAD ．故答案为：30°【点睛】本题主要考查了正多边形的外角以及内角，熟记公式是解答本题的关键．14．（2019•徐州）如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若MN＝4，则AC 的长为16 ．【答案】解：∵M、N 分别为BC、OC 的中点，∴BO＝2MN＝8．∵四边形ABCD 是矩形，∴AC＝BD＝2BO＝16．故答案为16．【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及三角形中位线的定理，解题的关键是找到线段间的倍分关系．15．（2019•常州）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N 在线段BD 上．若△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC 相等，则MN＝ 6 或．【答案】解：分两种情况：①MN 为等腰△PMN 的底边时，作PF⊥MN 于F，如图1 所示：则∠PFM＝∠PFN＝90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝3，∠A＝∠C＝90°，∴AB＝CD ，BD 10，∵点P 是AD 的中点，∴PD AD ，∵∠PDF＝∠BDA，∴△PDF∽△BDA，∴，即，解得：PF ，∵CE＝2BE，∴BC＝AD＝3BE，∴BE＝CD，∴CE＝2CD，∵△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC 相等，PF⊥MN，∴MF＝NF，∠PNF＝∠DEC，∵∠PFN＝∠C＝90°，∴△PNF∽△DEC，∴2，∴MF＝NF＝2PF＝3，∴MN＝2NF＝6；②MN 为等腰△PMN 的腰时，作PF⊥BD 于F，如图2 所示：由①得：PF ，MF＝3，设MN＝PN＝x，则FN＝3﹣x，在Rt△PNF中，（）2+（3﹣x）2＝x2，解得：x ，即MN ；综上所述，MN 的长为6 或；故答案为：6 或．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．16．（2019•无锡）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD 为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE 面积的最大值为8 ．【答案】解：过点C 作CG⊥BA 于点G，作EH⊥AB 于点H，作AM⊥BC 于点M．∵AB＝AC＝5，BC＝4 ，∴BM＝CM＝2 ，易证△AMB∽△CGB，∴，即∴GB＝8，设BD＝x，则DG＝8﹣x，易证△EDH≌△DCG（AAS），∴EH＝DG＝8﹣x，∴SBDE ，△当x＝4 时，△BDE 面积的最大值为8．故答案为8．【点睛】本题考查了正方形，熟练运用正方形的性质与相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．17．（2019•扬州）如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N 分别是DC、DF 的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝．【答案】解：连接CF，∵正方形ABCD 和正方形BEFG 中，AB＝7，BE＝5，∴GF＝GB＝5，BC＝7，∴GC＝GB+BC＝5+7＝12，∴13．∵M、N 分别是DC、DF 的中点，∴MN ．故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质及中位线定理、勾股定理的运用．构造基本图形是解题的关键．18．（2019•淮安）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数是5．【答案】解：设这个多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝540°，解得n＝5，故答案为：5．【点睛】本题考查了多边形外角与内角．此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式来寻求等量关系，构建方程即可求解．19．（2019•泰州）八边形的内角和为1080°．【答案】解：（8﹣2）•180°＝6×180°＝1080°．故答案为：1080°．【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟记内角和公式是解题的关键．20．（2019•常州）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝30°．【答案】解：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°，∴∠CDB∠BOC＝30°．故答案为30．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．21．（2019•常州）如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB＝．【答案】解：连接OB，作OD⊥BC 于D，∵⊙O 与等边三角形ABC 的两边AB、BC 都相切，∴∠OBC＝∠OBA∠ABC＝30°，∴tan∠OBC ，∴BD 3，∴CD＝BC﹣BD＝8﹣3＝5，∴tan∠OCB ．故答案为．【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．22．（2019•泰州）如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A作AP的垂线交⊙O 于点B、C．设PB＝x，PC＝y，则y 与x 的函数表达式为y ．【答案】解：连接PO 并延长交⊙O 于D，连接BD，则∠C＝∠D，∠PBD＝90°，∵PA⊥BC，∴∠PAC＝90°，∴∠PAC＝∠PBD，∴△PAC∽△PBD，∴，∵⊙O 的半径为5，AP＝3，PB＝x，PC＝y，∴，∴y ，故答案为：y ．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．23．（2019•连云港）如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为6．【答案】解：∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，又OB＝OC，∴△BOC 是等边三角形∴OB＝BC＝6，故答案为6．【点睛】本题综合运用圆周角定理以及等边三角形的判定和性质．24．（2019•泰州）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为6πcm．【答案】解：该莱洛三角形的周长＝36π（cm）．故答案为6π．【点睛】本题考查了弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．也考查了等边三角形的性质．25．（2019•盐城）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且为50°，则∠E+∠C＝155°．【答案】解：连接EA，∵为50°，∴∠BEA＝25°，∵四边形DCAE 为⊙O 的内接四边形，∴∠DEA+∠C＝180°，∴∠DEB+∠C＝180°﹣25°＝155°，故答案为：155．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．26．（2019•扬州）如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB 是⊙O 的内接正n 边形的一边，则n＝15 ．【答案】解：连接BO，∵AC 是⊙O 内接正六边形的一边，∴∠AOC＝360°÷6＝60°，∵BC 是⊙O 内接正十边形的一边，∴∠BOC＝360°÷10＝36°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝60°﹣36°＝24°，∴n＝360°÷24°＝15；故答案为：15．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正十边形的性质；根据题意求出中心角的度数是解题的关键．27．（2019•南京）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A+∠C＝219°．【答案】解：连接AB，∵PA、PB 是⊙O 的切线，∴PA＝PB，∵∠P＝102°，∴∠PAB＝∠PBA（180°﹣102°）＝39°，∵∠DAB+∠C＝180°，∴∠PAD+∠C＝∠PAB+∠DAB+∠C＝180°+39°＝219°，故答案为：219°．【点睛】本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．28．（2019•连云港）一圆锥的底面半径为2，母线长3，则这个圆锥的侧面积为6π．【答案】解：该圆锥的侧面积2π×2×3＝6π．故答案为6π．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．29．（2019•淮安）若圆锥的侧面积是15π，母线长是5，则该圆锥底面圆的半径是3．【答案】解：设该圆锥底面圆的半径是为r，根据题意得2π×r×5＝15π，解得r＝3．即该圆锥底面圆的半径是3．故答案为3．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．30．（2019•宿迁）直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为2．【答案】解：直角三角形的斜边13，所以它的内切圆半径2．故答案为2．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角；直角三角形的内切圆的半径为（其中a、b 为直角边，c 为斜边）．31．（2019•无锡）已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2，则这个圆锥的底面圆半径为3cm．【答案】解：∵圆锥的母线长是5cm，侧面积是15πcm2，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l 6π，∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，∴r 3cm，故答案为：3．【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确地进行圆锥与扇形的转化．32．（2019•徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l为6cm．【答案】解：圆锥的底面周长＝2π×2＝4πcm，设圆锥的母线长为R，则：4π，解得R＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：．33．（2019•无锡）如图，在△ABC中，AC：BC：AB＝5：12：13，⊙O在△ABC内自由移动，若⊙O的半径为1，且圆心O 在△ABC 内所能到达的区域的面积为，则△ABC 的周长为25 ．【答案】解：如图，由题意点O 所能到达的区域是△EFG，连接AE，延长AE 交BC 于H，作HM⊥AB 于M，EK⊥AC 于K，作FJ⊥AC 于J．∵EG∥AB，EF∥AC，FG∥BC，∴∠EGF＝∠ABC，∠FEG＝∠CAB，∴△EFG∽△ACB，∴EF：FG：EG＝AC：BC：AB＝5：12：13，设EF＝5k，FG＝12k，∵5k×12k ，∴k或（舍弃），∴EF ，∵四边形EKJF 是矩形，∴KJ＝EF ，设AC＝5m，BC＝12m，AB＝13m，∵∠ACH＝∠AMH＝90°，∠HAC＝∠HAM，AH＝AH，∴△HAC≌△HAM（AAS），∴AM＝AC＝5m，CH＝HM，BM＝8m，设CH＝HM＝x，在Rt△BHM 中，则有x2+（8m）2＝（12m﹣x）2，∴x m，∵EK∥CH，∴ ，∴，∴AK ，∴AC＝AK+KJ+CJ 1 ，∴BC 12＝10，AB 13 ，∴△ABC 的周长＝AC+BC+AB 10 25，故答案为25．【点睛】本题考查动点问题，轨迹，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题三．解答题（共31 小题）1．（2019•南京）如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F．求证：△ADF≌△CEF．【解答】证明：∵DE∥BC，CE∥AB，∴四边形DBCE 是平行四边形，∴BD＝CE，∵D 是AB 的中点，∴AD＝BD，∴AD＝EC，∵CE∥AD，∴∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E，∴△ADF≌△CEF（ASA）．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定，两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．2．（2019•无锡）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，BD＝CE，BE、CD相交于点O．（1）求证：△DBC≌△ECB；（2）求证：OB＝OC．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ECB＝∠DBC，在△DBC 与△ECB 中，∴△DBC≌△ECB（SAS）；（2）证明：由（1）知△DBC≌△ECB，∴∠DCB＝∠EBC，∴OB＝OC．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．3．（2019•镇江）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在AD、BC上，AE＝CF，过点A、C分别作EF 的垂线，垂足为G、H．（1）求证：△AGE≌△CHF；（2）连接AC，线段GH 与AC 是否互相平分？请说明理由．【解答】（1）证明：∵AG⊥EF，CH⊥EF，∴∠G＝∠H＝90°，AG∥CH，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，∵∠AEG＝∠DEF，∠CFH＝∠BFE，∴∠AEG＝∠CFH，在△AGE 和△CHF 中，，∴△AGE≌△CHF（AAS）；（2）解：线段GH 与AC 互相平分，理由如下：连接AH、CG，如图所示：由（1）得：△AGE≌△CHF，∴AG＝CH，∵AG∥CH，∴四边形AHCG 是平行四边形，∴线段GH 与AC 互相平分．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．4．（2019•扬州）如图，平面内的两条直线l1、l2，点A，B在直线l1上，点C、D在直线l2上，过A、B两点分别作直线l2 的垂线，垂足分別为A1，B1，我们把线段A1B1 叫做线段AB 在直线l2 上的正投影，其长度可记作TAB，CD）或T ，特别地线段AC 在直线l2 上的正投影就是线段（A1C．请依据上述定义解决如下问题：（1）如图1，在锐角△ABC 中，AB＝5，TAC，AB）＝3，则T（BC，AB）＝ 2 ；（（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，TAC，AB）＝4，T（BC，AB）═9，求△ABC的面积；（（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A＝60°，点D在AB边上，∠ACD＝90°，TAD，AC）＝2，T（BC，AB）＝6，（求TBC，CD），（【解答】解：（1）如图1中，作CH⊥AB．∵TAC，AB）＝3，（∴AH＝3，∵AB＝5，∴BH＝5﹣3＝2，∴TBC，AB）＝BH＝2，（故答案为2．（2）如图2 中，作CH⊥AB 于H．∵TAC，AB）＝4，T（BC，AB）═9，（∴AH＝4，BH＝9，∵∠ACB＝∠CHA＝∠CHB＝90°，∴∠A+∠ACH＝90°，∠ACH+∠BCH＝90°，∴∠A＝∠BCH，∴△ACH∽△CBH，∴，∴，∴CH＝6，∴SABC •AB•CH 13×6＝39．△（3）如图3 中，作CH⊥AD 于H，BK⊥CD 于K．∵∠ACD＝90°，TAD，AC）＝2，（∴AC＝2，∵∠A＝60°，∴∠ADC＝∠BDK＝30°，∴CD AC＝2 ，AD＝2AC＝4，AH AC＝1，DH＝AD﹣AH＝3，∵TBC，AB）＝6，CH⊥AB，（∴BH＝6，∴DB＝BH﹣DH＝3，在Rt△BDK中，∵∠K＝90°，BD＝3，∠BDK＝30°，∴DK＝BD•cos30°，∴CK＝CD+DK＝2 ，∴TBC，CD）＝CK ．（【点睛】本题属于三角形综合题，考查了正投影的定义，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．5．（2019•淮安）已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点．求证：BE＝DF．【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵点E、F 分别是▱ABCD 边AD、BC 的中点，∴DE AD，BF BC，∴DE＝BF，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴BE＝DF．【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．6．（2019•宿迁）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF．（1）求证：四边形AECF 是菱形；（2）求线段EF 的长．【解答】（1）证明：∵在矩形ABCD 中，AB＝4，BC＝2，∴CD＝AB＝4，AD＝BD＝2，CD∥AB，∠D＝∠B＝90°，∵BE＝DF ，∴CF＝AE＝4 ，∴AF＝CE ，∴AF＝CF＝CE＝AE ，∴四边形AECF 是菱形；（2）解：过F 作FH⊥AB 于H，则四边形AHFD 是矩形，∴AH＝DF ，FH＝AD＝2，∴EH 1，∴EF ．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．7．（2019•扬州）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝6，BE＝8，DE＝10．（1）求证：∠BEC＝90°；（2）求cos∠DAE．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC＝AB＝，AD＝BC，DC∥AB，∴∠DEA＝∠EAB，∵AE 平分∠DAB，∴∠DAE＝∠EAB，。
2019年江苏省镇江市中考数学试卷
系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极
星时，短边与棉线的夹角 的大小是变化的．
【实际应用】
观测点 在图 所示的 上，现在利用这个工具尺在点 处测得 为 ，在点 所在子午线往北的另一个观测
点 ，用同样的工具尺测得 为 ． 是 的直径，
．
子题:
中，
， 长为半径的圆过点 ．
，过 延长线上的点 作
，交 的延长线于点 ，以 为圆心
子题:
1.
求证：直线 与 相切；
2.
若
， 的半径为 ，则
．
6. (3分)
如图，点
和点 是反比例函数
经过点 ，与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，过点 作
与
的面积满足
．
图象上的两点，一次函数 轴，垂足为 ，连接 ，
．已知
的图象
，用科学记数法把
表示为
．
6. (3分)
已知点
、
都在反比例函数
的图象上，则
．（填“ ”或“ ”）
7. (3分)
计算：
．
8. (3分)
如图，直线 ， ，则
的顶点 在直线 上，边 ．
与直线 相交于点 ．若
是等边三角形，
9. (3分)
若关于 的方程
有两个相等的实数根，则实数 的值等于
．
10. (3分)
将边长为 的正方形
子题:
1.
2. 已知点
，； 在线段
上，当
时，求点 的坐标．
7. (3分)
在三角形纸片
（如图 ）中，
都是正五边形的图形（如图 ）．
参考值：
，
，
2019年江苏省镇江市中考数学试卷
2021年江苏省镇江市中|考数学试卷一、填空题 (本大题共有12小题 ,每题2分 ,共计24分. )1． (2分 ) (2021•镇江 )2019-的相反数是 ． 2． (2分 ) (2021•镇江 )27的立方根为 ．3． (2分 ) (2021•镇江 )一组数据4 ,3 ,x ,1 ,5的众数是5 ,那么x = ．4． (2分 ) (2021•镇江 )假设代数式4x -有意义 ,那么实数x 的取值范围是 ．5． (2分 ) (2021•镇江 )氢原子的半径约为0.00000000005m ,用科学记数法把0.00000000005表示为 ．6． (2分 ) (2021•镇江 )点1(2,)A y -、2(1,)B y -都在反比例函数2y x=-的图象上 ,那么1y 2y ． (填 ">〞或 "<〞 )7． (2分 ) (2021•镇江 )计算：123-= ．8． (2分 ) (2021•镇江 )如图 ,直线//a b ,ABC ∆的顶点C 在直线b 上 ,边AB 与直线b 相交于点D ．假设BCD ∆是等边三角形 ,20A ∠=︒ ,那么1∠= ︒．9． (2分 ) (2021•镇江 )假设关于x 的方程220x x m -+=有两个相等的实数根 ,那么实数m 的值等于 ．10． (2分 ) (2021•镇江 )将边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置 (如图 ) ,使得点D 落在对角线CF 上 ,EF 与AD 相交于点H ,那么HD = ． (结果保存根号 )11． (2分 ) (2021•镇江 )如图 ,有两个转盘A 、B ,在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1 ,2 ,分别转动转盘A 、B ,当转盘停止转动时 ,假设事件 "指针都落在标有数字1的扇形区域内〞的概率是19 ,那么转盘B 中标有数字1的扇形的圆心角的度数是 ︒． 12． (2分 ) (2021•镇江 )抛物线2441(0)y ax ax a a =+++≠过点(,3)A m ,(,3)B n 两点 ,假设线段AB 的长不大于4 ,那么代数式21a a ++的最|小值是 ． 二、选择题 (本大题共有5小题 ,每题3分 ,共计15分 ,在每题所给出的四个选项中恰有一项符合题目要求 )13． (3分 ) (2021•镇江 )以下计算正确的选项是( )A ．236a a a =B ．734a a a ÷=C ．358()a a =D ．22()ab ab =14． (3分 ) (2021•镇江 )一个物体如下图 ,它的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．15． (3分 ) (2021•镇江 )如图 ,四边形ABCD 是半圆的内接四边形 ,AB 是直径 ,DC CB =．假设110C ∠=︒ ,那么ABC ∠的度数等于( )A ．55︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒16． (3分 ) (2021•镇江 )以下各数轴上表示的x 的取值范围可以是不等式组2(21)60x a a x +>⎧⎨--<⎩的解集的是( ) A ．B ．C ．D ．17． (3分 ) (2021•镇江 )如图 ,菱形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴上(B 在C 的左侧 ) ,顶点A 、D 在x 轴上方 ,对角线BD 的长是2103,点(2,0)E -为BC 的中点 ,点P 在菱形ABCD 的边上运动．当点(0,6)F 到EP 所在直线的距离取得最|大值时 ,点P 恰好落在AB 的中点处 ,那么菱形ABCD 的边长等于( )A ．103B 10C ．163D ．3三、解答题 (本大题共有11小题 ,共计81分 .解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . )18． (8分 ) (2021•镇江 ) (1 )计算：011(22)()2cos603-+-︒； (2 )化简：21(1)11x x x +÷--． 19． (10分 ) (2021•镇江 ) (1 )解方程：23122x x x =+--；(2 )解不等式：14(1)2x x --< 20． (6分 ) (2021•镇江 )如图 ,四边形ABCD 中 ,//AD BC ,点E 、F 分别在AD 、BC 上 ,AE CF = ,过点A 、C 分别作EF 的垂线 ,垂足为G 、H ．(1 )求证：AGE CHF ∆≅∆；(2 )连接AC ,线段GH 与AC 是否互相平分 ?请说明理由．21． (6分 ) (2021•镇江 )小丽和小明将在下周的星期一到星期三这三天中各自任选一天担任值日工作 ,请用画树状图或列表格的方法 ,求小丽和小明在同一天值日的概率．22． (6分 ) (2021•镇江 )如图 ,在ABC ∆中 ,AB AC = ,过AC 延长线上的点O 作OD AO ⊥ ,交BC 的延长线于点D ,以O 为圆心 ,OD 长为半径的圆过点B ．(1 )求证：直线AB 与O 相切；(2 )假设5AB = ,O 的半径为12 ,那么tan BDO ∠= ．23． (6分 ) (2021•镇江 )如图 ,点(2,)A n 和点D 是反比例函数(0,0)m y m x x=>>图象上的两点 ,一次函数3(0)y kx k =+≠的图象经过点A ,与y 轴交于点B ,与x 轴交于点C ,过点D 作DE x ⊥轴 ,垂足为E ,连接OA ,OD ．OAB ∆与ODE ∆的面积满足:3:4OAB ODE S S ∆∆=．(1 )OAB S ∆= ,m = ；(2 )点(6,0)P 在线段OE 上 ,当PDE CBO ∠=∠时 ,求点D 的坐标．24．(6分) (2021•镇江)在三角形纸片ABC(如图1)中,78AC=．小霞用5BAC∠=︒,10张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形(如图2)．(1 )ABC∠=︒；(2 )求正五边形GHMNC的边GC的长．参考值：sin780.98︒≈．︒=,tan78 4.7︒≈,cos780.2125．(6分) (2021•镇江)陈老师对他所教的九(1 )、九(2 )两个班级|的学生进行了一次检测,批阅后对最|后一道试题的得分情况进行了归类统计(各类别的得分如下表) ,并绘制了如下图的每班各类别得分人数的条形统计图(不完整)．各类别的得分表得分类别0A：没有作答1B：解答但没有正确3C：只得到一个正确答案6D：得到两个正确答案,解答完全正确两个班一共有50%的学生得到两个正确答案,解答完全正确,九(1 )班学生这道试题的平均得分为3.78分．请解决如下问题：(1 )九(2 )班学生得分的中位数是；(2 )九(1 )班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数各是多少?26．(6分) (2021•镇江)【材料阅读】地球是一个球体,任意两条相对的子午线都组成一个经线圈(如图1中的)O．人们在北半球可观测到北极星,我国古人在观测北极星的过程中创造了如图2所示的工具尺(古人称它为"复矩〞),尺的两边互相垂直,角顶系有一段棉线,棉线末端系一个铜锤,这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点,当工具尺的长边指向北极星时,短边与棉线的夹角α的大小是变化的．【实际应用】观测点A在图1所示的O上,现在利用这个工具尺在点A处测得α为31︒,在点A所在子午线往北的另一个观测点B,用同样的工具尺测得α为67︒．PQ是O的直径,PQ ON⊥．(1 )求POB∠的度数；(2 )6400=,求这两个观测点之间的距离即O上AB的长．(π取OP km3.1)27． (10分 ) (2021•镇江 )如图 ,二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ,对称轴是直线1 ,一次函数215y x =+的图象与x 轴交于点A ,且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ． (1 )点D 的坐标是 ；(2 )直线l 与直线AB 交于点C ,N 是线段DC 上一点 (不与点D 、C 重合 ) ,点N 的纵坐标为n ．过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P 、Q ,使得DPQ ∆与DAB ∆相似． ①当275n =时 ,求DP 的长； ②假设对于每一个确定的n 的值 ,有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似 ,请直接写出n 的取值范围 ．28． (11分 ) (2021•镇江 )学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．在相距150个单位长度的直线跑道AB 上 ,机器人甲从端点A 出发 ,匀速往返于端点A 、B 之间 ,机器人乙同时从端点B 出发 ,以大于甲的速度匀速往返于端点B 、A 之间．他们到达端点后立即转身折返,用时忽略不计．兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况,这里的〞迎面相遇"包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．【观察】①观察图1 ,假设这两个机器人第|一次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度,那么他们第二次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为个单位长度；②假设这两个机器人第|一次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度,那么他们第二次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为个单位长度；【发现】设这两个机器人第|一次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度,他们第二次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．兴趣小组成员发现了y与x 的函数关系,并画出了局部函数图象(线段OP,不包括点O,如图2所示)．①a ；②分别求出各局部图象对应的函数表达式,并在图2中补全函数图象；【拓展】设这两个机器人第|一次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度,他们第三次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．假设这两个机器人第三次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度,那么他们第|一次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是．(直接写出结果)2021年江苏省镇江市中|考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有12小题,每题2分,共计24分. )1．(2分)2019-的相反数是2021．【分析】直接利用相反数的定义进而得出答案．【解答】解：2019-的相反数是：2021．故答案为：2021．2．(2分)27的立方根为3．【分析】找到立方等于27的数即可．【解答】解：3327=,∴的立方根是3 ,27故答案为：3．3．(2分)一组数据4 ,3 ,x,1 ,5的众数是5 ,那么x=5．【分析】根据众数的概念求解可得．【解答】解：数据4 ,3 ,x,1 ,5的众数是5 ,∴=,5x故答案为：5．x．4．(2分),那么实数x的取值范围是4【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．x-,【解答】解：由题意得40x．解得4x．故答案为：45．(2分)氢原子的半径约为0.00000000005m,用科学记数法把0.00000000005表示为11⨯．510-【分析】绝|对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为10n⨯,与较大数a-的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第|一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：用科学记数法把0.0000 0000 005表示为11⨯．510-故答案为：11510-⨯．6． (2分 )点1(2,)A y -、2(1,)B y -都在反比例函数2y x =-的图象上 ,那么1y < 2y ． (填 ">〞或 "<〞 )【分析】反比例函数2y x=-的图象在第二象限 ,在第二象限内 ,y 随x 的增大而增大 ,根据x 的值大小 ,得出y 值大小．【解答】解：反比例函数2y x=-的图象在二、四象限 ,而1(2,)A y -、2(1,)B y -都在第二象限 ,∴在第二象限内 ,y 随x 的增大而增大 ,21-<-12y y ∴<．故答案为：<7． (2分 )计算：123-= 3 ．【分析】先化简1223= ,再合并同类二次根式即可．【解答】解：1232333-=-=．故答案为：3．8． (2分 )如图 ,直线//a b ,ABC ∆的顶点C 在直线b 上 ,边AB 与直线b 相交于点D ．假设BCD ∆是等边三角形 ,20A ∠=︒ ,那么1∠= 40 ︒．【分析】根据等边三角形的性质得到60BDC ∠=︒ ,根据平行线的性质求出2∠ ,根据三角形的外角性质计算 ,得到答案．【解答】解：BCD ∆是等边三角形 ,60BDC ∴∠=︒ ,//a b ,260BDC ∴∠=∠=︒ ,由三角形的外角性质可知 ,1240A ∠=∠-∠=︒ ,故答案为：40．9． (2分 )假设关于x 的方程220x x m -+=有两个相等的实数根 ,那么实数m 的值等于 1 ．【分析】利用判别式的意义得到△2(2)40m =--= ,然后解关于m 的方程即可．【解答】解：根据题意得△2(2)40m =--= ,解得1m =．故答案为1．10． (2分 )将边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置 (如图 ) ,使得点D 落在对角线CF 上 ,EF 与AD 相交于点H ,那么HD =21- ． (结果保存根号 )【分析】先根据正方形的性质得到1CD = ,90CDA ∠=︒ ,再利用旋转的性质得2CF ,根据正方形的性质得45CFDE ∠=︒ ,那么可判断DFH ∆为等腰直角三角形 ,从而计算CF CD -即可．【解答】解：四边形ABCD 为正方形 ,1CD ∴= ,90CDA ∠=︒ ,边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置 ,使得点D 落在对角线CF 上 ,2CF ∴,45CFDE ∠=︒ ,DFH ∴∆为等腰直角三角形 , 21DH DF CF CD ∴==-=-．故答案为21-．11． (2分 )如图 ,有两个转盘A 、B ,在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1 ,2 ,分别转动转盘A 、B ,当转盘停止转动时 ,假设事件 "指针都落在标有数字1的扇形区域内〞的概率是19,那么转盘B 中标有数字1的扇形的圆心角的度数是 80 ︒．【分析】先根据题意求出转盘B 中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率 ,再根据圆周角等于360︒计算即可．【解答】解：设转盘B 中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率为x ,根据题意得：1129x = , 解得29x = , ∴转盘B 中标有数字1的扇形的圆心角的度数为：2360809︒⨯=︒． 故答案为：80． 12． (2分 )抛物线2441(0)y ax ax a a =+++≠过点(,3)A m ,(,3)B n 两点 ,假设线段AB 的长不大于4 ,那么代数式21a a ++的最|小值是 74． 【分析】根据题意得413a + ,解不等式求得12a,把12x =代入代数式即可求得． 【解答】解：抛物线2441(0)y ax ax a a =+++≠过点(,3)A m ,(,3)B n 两点 ,∴4222m n a a+=-=- 线段AB 的长不大于4 ,413a ∴+12a ∴21a a ∴++的最|小值为：2117()1224++=； 故答案为74． 二、选择题 (本大题共有5小题 ,每题3分 ,共计15分 ,在每题所给出的四个选项中恰有一项符合题目要求 )13． (3分 )以下计算正确的选项是( )A ．236a a a =B ．734a a a ÷=C ．358()a a =D ．22()ab ab =【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法那么、积的乘方运算法那么、幂的乘方运算法那么分别化简得出答案．【解答】解：A 、235a a a = ,故此选项错误；B 、734a a a ÷= ,正确；C 、3515()a a = ,故此选项错误；D 、222()ab a b = ,故此选项错误；应选：B ．14． (3分 )一个物体如下图 ,它的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．【分析】从图形的上方观察即可求解；【解答】解：俯视图从图形上方观察即可得到 ,应选：D ．15． (3分 )如图 ,四边形ABCD 是半圆的内接四边形 ,AB 是直径 ,DC CB =．假设110C ∠=︒ ,那么ABC ∠的度数等于( )A ．55︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒【分析】连接AC ,根据圆内接四边形的性质求出DAB ∠ ,根据圆周角定理求出ACB ∠、CAB ∠ ,计算即可．【解答】解：连接AC ,四边形ABCD 是半圆的内接四边形 ,18070DAB C ∴∠=︒-∠=︒ ,DC CB = ,1352CAB DAB ∴∠=∠=︒ , AB 是直径 ,90ACB ∴∠=︒ ,9055ABC CAB ∴∠=︒-∠=︒ ,应选：A ．16． (3分 )以下各数轴上表示的x 的取值范围可以是不等式组2(21)60x a a x +>⎧⎨--<⎩的解集的是( )A ．B ．C ．D．【分析】由数轴上解集左端点得出a的值,代入第二个不等式,解之求出x的另外一个范围,结合数轴即可判断．【解答】解：由2x a+>得2x a>-,A．由数轴知3x>-,那么1a=-,360x∴--<,解得2x>-,与数轴不符；B．由数轴知0x>,那么2a=,360x∴-<,解得2x<,与数轴相符合；C．由数轴知2x>,那么4a=,760x∴-<,解得67x<,与数轴不符；D．由数轴知2x>-,那么0a=,60x∴--<,解得6x>-,与数轴不符；应选：B．17．(3分)如图,菱形ABCD的顶点B、C在x轴上(B在C的左侧) ,顶点A、D在x轴上方,对角线BD的长是2103,点(2,0)E-为BC的中点,点P在菱形ABCD的边上运动．当点(0,6)F到EP所在直线的距离取得最|大值时,点P恰好落在AB的中点处,那么菱形ABCD的边长等于()A．103B10C．163D．3【分析】如图1中,当点P是AB的中点时,作FG PE⊥于G,连接EF．首|先说明点G与点F重合时,FG的值最|大,如图2中,当点G与点E重合时,连接AC交BD于H,PE交BD于J．设2BC a=．利用相似三角形的性质构建方程求解即可．【解答】解：如图1中,当点P是AB的中点时,作FG PE⊥于G,连接EF．(2,0)E-,(0,6)F,2OE∴=,6OF=,2224210EF∴=+=,90FGE∠=︒,FG EF∴,∴当点G与E重合时,FG的值最|大．如图2中,当点G与点E重合时,连接AC交BD于H,PE交BD于J．设2BC a=．PA PB=,BE EC a==,//PE AC∴,BJ JH=,四边形ABCD是菱形,AC BD ∴⊥,10BH DH==,10BJ=,PE BD∴⊥,90 BJE EOF PEF∠=∠=∠=︒,EBJ FEO∴∠=∠,BJE EOF ∴∆∆∽ , ∴BE BJ EF EO= ,∴62= , 53a ∴= , 1023BC a ∴==, 应选：A ．三、解答题 (本大题共有11小题 ,共计81分 .解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . )18． (8分 ) (1 )计算：0112)()2cos603-+-︒； (2 )化简：21(1)11x x x +÷--． 【分析】 (1 )根据零指数幂、负整数指数幂的运算法那么、特殊角的三角函数值计算； (2 )根据分式的混合运算法那么计算．【解答】解： (1 )0112)()2cos603-+-︒ 132=+-2=；(2 )21(1)11x x x +÷-- 211()111x x x x x -=+÷--- (1)(1)1x x x x x+-=- 1x =+．19． (10分 ) (1 )解方程：23122x x x =+--； (2 )解不等式：14(1)2x x --< 【分析】 (1 )方程两边同乘以(2)x -化成整式方程求解 ,注意检验；(2 )按照去括号 ,移项 ,合并同类项 ,系数化为1来解即可．【解答】解； (1 )方程两边同乘以(2)x -得232x x =+-1x ∴=检验：将1x =代入(2)x -得1210-=-≠1x =是原方程的解．∴原方程的解是1x =．(2 )化简14(1)2x x --<得 1442x x --< 932x ∴<32x ∴< ∴原不等式的解集为32x <． 20． (6分 )如图 ,四边形ABCD 中 ,//AD BC ,点E 、F 分别在AD 、BC 上 ,AE CF = ,过点A 、C 分别作EF 的垂线 ,垂足为G 、H ．(1 )求证：AGE CHF ∆≅∆；(2 )连接AC ,线段GH 与AC 是否互相平分 ?请说明理由．【分析】 (1 )由垂线的性质得出90G H ∠=∠=︒ ,//AG CH ,由平行线的性质和对顶角相等得出AEG CFH ∠=∠ ,由AAS 即可得出AGE CHF ∆≅∆；(2 )连接AH 、CG ,由全等三角形的性质得出AG CH = ,证出四边形AHCG 是平行四边形 ,即可得出结论．【解答】 (1 )证明：AG EF ⊥ ,CH EF ⊥ ,90G H ∴∠=∠=︒ ,//AG CH ,//AD BC ,DEF BFE ∴∠=∠ ,AEG DEF ∠=∠ ,CFH BFE ∠=∠ ,AEG CFH ∴∠=∠ ,在AGE ∆和CHF ∆中 ,G H AEG CFHAE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ,()AGE CHF AAS ∴∆≅∆；(2 )解：线段GH 与AC 互相平分 ,理由如下：连接AH 、CG ,如下图：由 (1 )得：AGE CHF ∆≅∆ ,AG CH ∴= ,//AG CH ,∴四边形AHCG 是平行四边形 ,∴线段GH 与AC 互相平分．21． (6分 )小丽和小明将在下周的星期一到星期三这三天中各自任选一天担任值日工作 ,请用画树状图或列表格的方法 ,求小丽和小明在同一天值日的概率．【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数和小丽和小明在同一天值日的情况数 ,然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：根据题意画树状图如下：共有9种等情况数 ,其中小丽和小明在同一天值日的有3种 , 那么小丽和小明在同一天值日的概率是3193=． 22． (6分 )如图 ,在ABC ∆中 ,AB AC = ,过AC 延长线上的点O 作OD AO ⊥ ,交BC 的延长线于点D ,以O 为圆心 ,OD 长为半径的圆过点B ．(1 )求证：直线AB 与O 相切；(2 )假设5AB = ,O 的半径为12 ,那么tan BDO ∠= 23．【分析】 (1 )连接OB ,由等腰三角形的性质得出ABC ACB ∠=∠ ,OBD D ∠=∠ ,证出90OBD ABC ∠+∠=︒ ,得出AB OB ⊥ ,即可得出结论； (2 )由勾股定理得出2213OA AB OB += ,得出8OC OA AC =-= ,再由三角函数定义即可得出结果．【解答】 (1 )证明：连接AB ,如下图： AB AC = ,ABC ACB ∴∠=∠ ,ACB OCD ∠=∠ ,ABC OCD ∴∠=∠ ,OD AO ⊥ ,90COD ∴∠=︒ ,90D OCD ∴∠+∠=︒ ,OB OD = ,OBD D ∴∠=∠ ,90OBD ABC ∴∠+∠=︒ ,即90ABO ∠=︒ ,AB OB ∴⊥ ,点B 在圆O 上 ,∴直线AB 与O 相切；(2 )解：90ABO ∠=︒ ,222251213OA AB OB ∴=+=+= ,5AC AB == ,8OC OA AC ∴=-= ,82tan 123OC BDO OD ∴∠===； 故答案为：23．23． (6分 )如图 ,点(2,)A n 和点D 是反比例函数(0,0)m y m x x=>>图象上的两点 ,一次函数3(0)y kx k =+≠的图象经过点A ,与y 轴交于点B ,与x 轴交于点C ,过点D 作DE x ⊥轴 ,垂足为E ,连接OA ,OD ．OAB ∆与ODE ∆的面积满足:3:4OAB ODE S S ∆∆=．(1 )OAB S ∆= 3 ,m = ；(2 )点(6,0)P 在线段OE 上 ,当PDE CBO ∠=∠时 ,求点D 的坐标．【分析】 (1 )由一次函数解析式求得点B 的坐标 ,易得OB 的长度 ,结合点A 的坐标和三角形面积公式求得3OAB S ∆= ,所以4ODE S ∆= ,由反比例函数系数k 的几何意义求得m 的值； (2 )利用待定系数法确定直线AC 函数关系式 ,易得点C 的坐标；利用PDE CBO ∠=∠ ,90COB PED ∠=∠=︒判定CBO PDE ∆∆∽ ,根据该相似三角形的对应边成比例求得PE 、DE 的长度 ,易得点D 的坐标．【解答】解： (1 )由一次函数3y kx =+知 ,(0,3)B ．又点A 的坐标是(2,)n ,13232OAB S ∆∴=⨯⨯=． :3:4OAB ODE S S ∆∆=．4ODE S ∆∴=．点D 是反比例函数(0,0)m y m x x =>>图象上的点 , ∴142ODE m S ∆== ,那么8m =． 故答案是：3；8；(2 )由 (1 )知 ,反比例函数解析式是8y x=． 28n ∴= ,即4n =． 故(2,4)A ,将其代入3y kx =+得到：234k +=． 解得12k =． ∴直线AC 的解析式是：132y x =+． 令0y = ,那么1302x += , 6x ∴=- ,(6,0)C ∴-．6OC ∴=．由 (1 )知 ,3OB =．设(,)D a b ,那么DE b = ,6PE a =-．PDE CBO ∠=∠ ,90COB PED ∠=∠=︒ ,CBO PDE ∴∆∆∽ , ∴OB OC DE PE = ,即366b a =-① , 又8ab =②．联立①② ,得24a b =-⎧⎨=-⎩ (舍去 )或81a b =⎧⎨=⎩． 故(8,1)D ．24． (6分 )在三角形纸片ABC (如图1)中 ,78BAC ∠=︒ ,10AC =．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形 (如图2)．(1 )ABC ∠= 30 ︒；(2 )求正五边形GHMNC 的边GC 的长．参考值：sin780.98︒≈ ,cos780.21︒= ,tan78 4.7︒≈．【分析】 (1 )根据多边形内角和定理、正五边形的性质计算；(2 )作CQ AB ⊥于Q ,根据正弦的定义求出QC ,根据直角三角形的性质求出BC ,结合图形计算即可．【解答】解： (1 )五边形ABDEF 是正五边形 ,(52)1801085BAF -⨯︒∴∠==︒ , 30ABC BAF BAC ∴∠=∠-∠=︒ ,故答案为：30；(2 )作CQ AB ⊥于Q ,在Rt AQC ∆中 ,sin QC QAC AC∠= ,sin 100.989.8QC AC QAC ∴=∠≈⨯= ,在Rt BQC ∆中 ,30ABC ∠=︒ ,219.6BC QC ∴== ,9.6GC BC BG ∴=-=．25． (6分 )陈老师对他所教的九 (1 )、九 (2 )两个班级|的学生进行了一次检测 ,批阅后对最|后一道试题的得分情况进行了归类统计 (各类别的得分如下表 ) ,并绘制了如下图的每班各类别得分人数的条形统计图 (不完整 )．各类别的得分表 得分类别 0A ：没有作答 1B ：解答但没有正确 3C ：只得到一个正确答案 6D ：得到两个正确答案 ,解答完全正确两个班一共有50%的学生得到两个正确答案 ,解答完全正确 ,九 (1 )班学生这道试题的平均得分为3.78分．请解决如下问题：(1 )九 (2 )班学生得分的中位数是 6分 ；(2 )九 (1 )班学生中这道试题作答情况属于B 类和C 类的人数各是多少 ?【分析】(1 )由条形图可知九(2 )班一共有学生48人,将48个数据按从小到大的顺序排列,第24、25个数据都在D类,所以中位数是6分；(2 )先求出两个班一共有多少学生,减去九(2 )班的学生数,得出九(1 )班的学生数,再根据条形图,用九(1 )班的学生数分别减去该班A、D两类的学生数得到B类和C类的人数和,再结合九(1 )班学生这道试题的平均得分为3.78分,即可求解．【解答】解：(1 )由条形图可知九(2 )班一共有学生：36122748+++=人,将48个数据按从小到大的顺序排列,第24、25个数据都在D类,所以中位数是6分．故答案为6分；(2 )两个班一共有学生：(2227)50%98+÷=(人),九(1 )班有学生：984850-=(人)．设九(1 )班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数各是x人、y人．由题意,得52250053622 3.7850 x yx y+++=⎧⎨⨯+++⨯=⨯⎩,解得617xy=⎧⎨=⎩．答：九(1 )班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数各是6人、17人．26．(6分)【材料阅读】地球是一个球体,任意两条相对的子午线都组成一个经线圈(如图1中的)O．人们在北半球可观测到北极星,我国古人在观测北极星的过程中创造了如图2所示的工具尺(古人称它为"复矩〞),尺的两边互相垂直,角顶系有一段棉线,棉线末端系一个铜锤,这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点,当工具尺的长边指向北极星时,短边与棉线的夹角α的大小是变化的．【实际应用】观测点A在图1所示的O上,现在利用这个工具尺在点A处测得α为31︒,在点A所在子午线往北的另一个观测点B,用同样的工具尺测得α为67︒．PQ是O的直径,PQ ON⊥．(1 )求POB∠的度数；(2 )6400=,求这两个观测点之间的距离即O上AB的长．(π取OP km3.1)【分析】(1 )设点B的切线CB交ON延长线于点E,HD BC⊥于D,CH BH⊥交BC于点∠=︒,证出67C,那么67DHC∠=∠=︒,由平行线的性质得出HBD DHCBOE∠=︒,得出∠=∠=︒,由直角三角形的性质得出23BEO HBD67∠=︒-︒=︒；902367POB(2 )同(1 )可证31∠=∠-∠=︒,由弧长公式即可得出结POAAOB POB POA∠=︒,求出36果．【解答】解：(1 )设点B的切线CB交ON延长线于点E,HD BC⊥于D,CH BH⊥交BC 于点C,如下图：那么67∠=︒,DHCHBD BHD BHD DHC∠+∠=∠+∠=︒,90∴∠=∠=︒,67HBD DHC//ON BH ,67BEO HBD ∴∠=∠=︒ ,906723BOE ∴∠=︒-︒=︒ ,PQ ON ⊥ ,90POE ∴∠=︒ ,902367POB ∴∠=︒-︒=︒；(2 )同 (1 )可证31POA ∠=︒ ,673136AOB POB POA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒ , ∴3664003968()180AB km π⨯⨯==．27． (10分 )如图 ,二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ,对称轴是直线1 ,一次函数215y x =+的图象与x 轴交于点A ,且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ． (1 )点D 的坐标是 (2,9) ；(2 )直线l 与直线AB 交于点C ,N 是线段DC 上一点 (不与点D 、C 重合 ) ,点N 的纵坐标为n ．过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P 、Q ,使得DPQ ∆与DAB ∆相似． ①当275n =时 ,求DP 的长； ②假设对于每一个确定的n 的值 ,有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似 ,请直接写出n 的取值范围 ．【分析】 (1 )直接用顶点坐标公式求即可；(2 )由对称轴可知点9(2,)5C ,5(2A - ,0) ,点A 关于对称轴对称的点13(2,0) ,借助AD 的直线解析式求得(5,3)B ；①当275n =时 ,27(2,)5N ,可求95DA = ,185DN = ,365CD =当//PQ AB 时 ,DPQ DAB ∆∆∽ ,95DP =；当PQ 与AB 不平行时 ,95DP =；②当//PQ AB ,DB DP =时 ,35DB =,245DN =,所以21(2,)5N ,那么有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似时 ,92155n <<； 【解答】解： (1 )顶点为(2,9)D ；故答案为(2,9)；(2 )对称轴2x = ,9(2,)5C ∴ , 由可求5(2A - ,0) , 点A 关于2x =对称点为13(2,0) , 那么AD 关于2x =对称的直线为213y x =-+ ,(5,3)B ∴ ,①当275n =时 ,27(2,)5N , 95DA ∴,185DN = ,365CD = 当//PQ AB 时 ,DPQ DAB ∆∆∽ ,DAC DPN ∆∆∽ , ∴DP DN DA DC= ,DP ∴=当PQ 与AB 不平行时 ,DPQ DBA ∆∆∽ ,DNQ DCA ∴∆∆∽ , ∴DP DN DB DC= ,DP ∴=综上所述 ,DN =②当//PQ AB ,DB DP =时 ,DB =, ∴DP DN DA DC= , 245DN ∴=, 21(2,)5N ∴ , ∴有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似时 ,92155n <<； 故答案为92155n <<； 28． (11分 )学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．在相距150个单位长度的直线跑道AB 上 ,机器人甲从端点A 出发 ,匀速往返于端点A 、B 之间 ,机器人乙同时从端点B 出发 ,以大于甲的速度匀速往返于端点B 、A 之间．他们到达端点后立即转身折返 ,用时忽略不计．兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况 ,这里的〞迎面相遇 "包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．【观察】①观察图1 ,假设这两个机器人第|一次迎面相遇时 ,相遇地点与点A 之间的距离为30个单位长度 ,那么他们第二次迎面相遇时 ,相遇地点与点A 之间的距离为 90 个单位长度； ②假设这两个机器人第|一次迎面相遇时 ,相遇地点与点A 之间的距离为40个单位长度 ,那么他们第二次迎面相遇时 ,相遇地点与点A 之间的距离为 个单位长度；【发现】设这两个机器人第|一次迎面相遇时 ,相遇地点与点A 之间的距离为x 个单位长度 ,他们第二次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．兴趣小组成员发现了y与x 的函数关系,并画出了局部函数图象(线段OP,不包括点O,如图2所示)．①a=；②分别求出各局部图象对应的函数表达式,并在图2中补全函数图象；【拓展】设这两个机器人第|一次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度,他们第三次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．假设这两个机器人第三次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度,那么他们第|一次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是．(直接写出结果)【分析】【观察】①设此时相遇点距点A为m个单位,根据题意列方程即可得到结论；②此时相遇点距点A为m个单位,根据题意列方程即可得到结论；【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点B时,设机器人甲的速度为v,那么机器人乙的速度为150xvx-,根据题意列方程即可得到结论；②设机器人甲的速度为v,那么机器人乙的速度为150xvx-,根据题意列函数解析式即可得到结论；【拓展】由题意得到150150150(150150)xx y x yx-+++=-+-,得到5300y x=-+,根据第三次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度,列不等式即可得到结论．【解答】解：【观察】①相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度,∴相遇地点与点B之间的距离为15030120-=个单位长度,设机器人甲的速度为v,∴机器人乙的速度为1204 30v v=,∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为120 v,机器人乙从相遇地点到点A再返回到点B所用时间为30150454v v+=,而12045v v>,∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时,机器人乙从第|一次相遇地点到点A,返回到点B,再返回向A时和机器人甲第二次迎面相遇,设此时相遇点距点A为m个单位,根据题意得,301501504(30)m m++-=-,90m∴=,故答案为：90；②相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度,∴相遇地点与点B之间的距离为15040110-=个单位长度,设机器人甲的速度为v,∴机器人乙的速度为11011 404v v=,∴机器人乙从相遇点到点A再到点B所用的时间为40150760 11114vv+=,机器人甲从相遇点到点B所用时间为110v,而11076011v v>,∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时,机器人从第|一次相遇点到点A,再到点B,返回时和机器人乙第二次迎面相遇,设此时相遇点距点A为m个单位,根据题意得,11 40150150(40)4m m++-=-,120m∴=,故答案为：120；【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点B时,设机器人甲的速度为v ,那么机器人乙的速度为150x v x - , 根据题意知 ,150150(150)x x x x-+=- , 50x ∴= , 经检验：50x =是分式方程的根 , 即：50a = ,故答案为：50；②当050x <时 ,点(50,150)P 在线段OP 上 , ∴线段OP 的表达式为3y x = , 当150x v v x-<时 ,即当5075x << ,此时 ,第二次相遇地点是机器人甲在到点B 返回向点A 时 , 设机器人甲的速度为v ,那么机器人乙的速度为150x v x - , 根据题意知 ,150(150150)x x y x y x-+=-+- , 3300y x ∴=-+ ,即：3(050)3300(5075)x x y x x <⎧=⎨-+<<⎩ , 补全图形如图2所示 ,【拓展】如图 ,由题意知 ,150150150(150150)x x y x y x-+++=-+- , 5300y x ∴=-+ , 第三次迎面相遇时 ,相遇地点与点A 之间的距离y 不超过60个单位长度 , 530060x ∴-+ ,48x ∴ ,75x < ,4875x ∴< ,故答案为4875x <．。
2019年江苏省镇江市中考数学第三次联合测评试卷附解析
2019年江苏省镇江市中考数学第三次联合测评试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．下列不等式中一定成立的是（ ） A ．32x x >B ．2x x −>−C ．34x x −<−D ．43y y> 2．若|2|a =−，|4|b =−−，0c =，下列用不等号连结正确的是（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c <<D ．b c a >> 3．2006200720082009(1)(1)(1)0−+−−−+等于（ ） A ．0 B ．-1C ．1D ．24．432()()()7143−÷−÷−=（ ） A ．169−B ．449−C ．4D ．-45．已知一叠2元和5元两种面值的人民币，其价值是24元，则面值为2元的人民币的张数是 （ ） A ．2张B ．7张C 12张D ．2张或7张6．下列语句中正确的是 （ ） A ．两条不相交的直线叫做平行线 B ．一条直线的平行线只有一条C ．在同一平面内的两条线段，若它们不相交，则一定互相平行D ．在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线7．将一圆形纸片对折后再对折，得到右图，然后沿着图中的虚线剪开， 得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是 （ ）8．在数轴上，原点及原点右边的点表示的数是（ ） A ． 正数B ．负数C ．非负数D ．非正数 9．样本3、6、4、4、7、6的方差是（ ）A ．12B ．23C ．2D ．210．在一个晴朗的好天气里，小明向正北方向 走路时，发现自己的身影向右偏，则小明当时所处的时间是（ ）ABCDA ．上午B ．中午C ．下午D ．无法确定 11．在同一平面内，两条直线可能的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交 C ．平行或相交 D ．平行、相交或垂直12．为了要了解一批数据在各个范围内所占比例的大小，将这批数据分组，落在各个小组里的数据个数叫做（ ） A ．频数 B ．频率C ．样本容量D ．频数累计13．在△ABC 中，∠A=70°，⊙O 截△ABC 的三边，所截得的弦都相等，则∠BOC 等于（ ） A ．110°B ．125°C ．130°D ．不能确定14．二次函数y ＝2（x －1）2＋1先向左平移l 个单位，再向上平移1个单位后得解析式为 y ＝2x 2＋bx ＋c ，则b, c 分别为（ ） A ．－8, 0B ．－8, 2C ． 0, 2D ．0, 015．ABC ∆中，AD 是BC 边上高，已知2AB =，AC ＝2，45B ∠=︒,则C ∠的度数是（ ） A ．30° B ． 45°C ． 60°D ．90°16．由四个大小相同的小正方体搭成的几何体的左视图如图，则这个几何体的搭法不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．17．如图，左端所示物体的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题18．如图为长方形时钟钟面示意图，时钟的中心在长方形对角线的交点上，长方形的宽为20厘米，钟面数字２在长方形的顶点处，则长方形的长为 厘米． 19．竖直放着的圆柱的主视图是 ，左视图是 ，俯视图是 ．20．等腰三角形的腰长与底边长之比为2；3，其周长为28 cm ，则底边长等于 cm ． 21．已知562y a b +和2244x y a b −−是同类项，则x= ,y= ．22．将如图所示中标号为A ，B ，C ，D 的正方形沿虚线剪开后得到标号为P ，Q ，M ，N 的四组图形．试按照“哪个正方形剪开后得到哪组图形”的对应关系填空：A 与 对应；B 与 对应；C 与 对应；D 与 对应．23．计算：(1)22222(43)3(2)a b ab a b ab −−−+= ； (2) 22(32)5(1)5m mn −−−+−三、解答题24．如图所示，AB 是⊙O 的直径，CD 切⊙O 于点 C ，若 QA= 1，∠BCD= 60°，求∠BAC 的度数和 AC 的长.25．已知函数223y x x =−−，结合图象，试确定 x 取何值时，y>0，y=0，y<0？26．不画图象，说出抛物线24y x =−和214y x =的对称轴、顶点坐标和开口方向.27．在菱形ABCD中，∠A与∠B的度数比为1：2，周长是48cm．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．28．如图，在△DEF中，已知DE=17cm，EF=30 cm，EF边上的中线DG=8 cm，试说明△DEF是等腰三角形．29．(1)计算21(3)62−−+⨯；(2)给出三个多项式212 2x x−+、231 2x x+−、21 2x x+，请你选择其中的两个多项式进行加法或减法运算.30．借助计算器计算下列各题.31=3312+=333123++33331234+++从上面计算结果，你发现了什么规律？你能把发现的规律进行拓展吗？【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．C2．B3．B4．D5．D6．D7．C8．C9．C10．C11．C12．A13．B14．C15．A16．D17．C二、填空题18．19．长方形，长方形，圆20．l221．2，-122．M，P，Q，N23．(1)22− (2)611a b ab1112−−+mn m三、解答题24．连结 OC，∵CD 是⊙O的切线，∠BCD= 60°，∴∠BCO=30°．∵AB 是⊙O的直径，∴∠OCA=60°，∵ AO=CO，∴△AOC是正三角形，∴∠BAC=60°，∵OA=1，∴AC=125．令2230x x −−=，解得11x =−，23x =，结合图可知当 x<—1或 x>3 时，y>0；当 一1<x<3 时，y<0；当 x= 一 1 或x=3 时，y=0．26．24y x =−的对称抽是 y 轴，顶点坐标(0，0)，开口方向向下.214y x =的对称轴是y 轴，顶点坐标(0，0)，开口方向向上. 27． （1）12cm ，3；（2）3cm 228．说明DG 是EF 是中垂线29．(1) 12； (2)答案不唯一. 如22213(2)(1)2122x x x x x x −+++−=++； 2213(2)(1)2322x x x x x −+−+−=−+；22211(2)()2222x x x x x −+++=+；2211(2)()222x x x x x −+−+=−+；22231(1)()22122x x x x x x +−++=+−；2231(1)()122x x x x x +−−+=−30．(1) 1 (2) 3 (3) 6 (4) 10 33312123n n +++=++++。
江苏镇江2019中考试题-数学
江苏镇江2019中考试题-数学【一】填空题〔本大题共12小题，每题2分，总分值24分〕1、12的倒数是、2、计算：(－2)×3＝、3、化简：3a－5a＝、4、假设x2＝9，那么x＝、5、化简：(m＋1)2－m2＝、6、如图，∠1是Rt△ABC的一个外角，直线DE∥BC，分别交边AB、AC于点D、E，∠1＝120º，那么∠2的度数是、7、假设圆锥的底面半径为3，母线长为6，那么圆锥的侧面积等于、8、有一组数据：6、3、4、x、7，它们的平均数是10，那么这组数据的中位数是、9、写出一个你喜爱的实数k的值，使得反比例函数y＝k－2x的图象在每一个象限内，y随x的增大而增大、10、如图，E是□ABCD的边CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，且AD＝4，CE AB＝13，那么CF的长为、11、假设1m＋1n＝7m＋n，那么nm＋mn的值为、12、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB通过点A(－4，0)、B(0，4)，⊙O的半径为1(O为坐标原点)，点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，那么切线长PQ的最小值为、【二】选择题〔本大题共5小题，每题3分，总分值15分〕13、假设式子3x－4在实数范围内有意义，那么x的取值范围是【】A 、x ≥4 3B 、x ＞ 4 3C 、x ≥ 3 4D 、x ＞ 3 4 14、以下运算正确的选项是【】A 、x 2·x 4＝x 8B 、3x ＋2y ＝6xyC 、(－x 3)2＝x 6D 、y 3÷y 3＝y15、二元一次方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＝82x －y ＝0的解是【】A 、⎩⎨⎧x ＝2y ＝－4B 、⎩⎨⎧x ＝2y ＝4C 、⎩⎨⎧x ＝－2y ＝4D 、⎩⎨⎧x ＝－2y ＝－416、假设二次函数y ＝(x ＋1)(x －m )的图象的对称轴在y 轴的右侧，那么实数m 的取值范围是【】A 、m ＜－1B 、－1＜m ＜0C 、0＜m ＜1D 、m ＞117、边长为a 的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取那个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形(如图)，…，按此方式依次操作，那么第6个正六边形的边长为【】A 、a 52131⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯B 、a 53121⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯ C 、a 62131⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯D 、a 63121⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯【三】解答题〔本大题共11小题，总分值81分〕18、〔此题总分值8分〕(1)计算：2－4sin45º＋(－2018)0；(2)化简：x －1x 2－2x ＋1 ÷(x ＋1)、 19、〔此题总分值10分〕(1)解方程：1 x －2 ＋1＝x ＋1 2x －4 ；(2)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＞1， 5x ＋1 2≤x ＋5． 20、〔此题总分值5分〕某校为了开设武术、舞蹈、剪纸等三项活动课程以提升学生的体艺素养，随机抽取了部分学生对这三项活动的兴趣情况进行了调查(每人从中只能选一项)，并将调查结果绘制成如下两幅统计图，请你结合图中信息解答问题、(1)将条形统计图补充完整；(2)本次抽样调查的样本容量是；(3)该校有1200名学生，请你依照样本可能全校学生中喜爱剪纸的人数、21、〔此题总分值6分〕如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF、(1)求证：△ADE≌△BFE；(2)连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由、22、〔此题总分值6分〕学校举办“大爱镇江”征文活动，小明为此次活动设计了一个以三座山为背景的图标(如图)，现用红、黄两种颜色对图标中的A、B、C三块三角形区域分别涂色，一块区域只涂一种颜色、(1)请用树状涂列出所有涂色的可能结果；(2)求这三块三角形区域中所涂颜色是“两块黄色、一块红色”的概率、23、〔此题总分值6分〕如图，AB是⊙O的直径，DF⊥AB于点D，交弦AC于点E，FC＝FE、(1)求证：FC是⊙O的切线；(2)假设⊙O的半径为5，cos∠ECF＝25，求弦AC的长、24、〔此题总分值6分〕如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋n与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y＝4x在第一象限内交于点C(1，m)、(1)求m和n的值；(2)过x轴上的点D(3，0)作平行于y轴的直线l，分别与直线AB和双曲线y＝4x交于点P、Q，求△APQ的面积、25、〔此题总分值6分〕在平面直角坐标系xOy中，点A(0，2)，直线OP位于【一】三象限，∠AOP＝45º(如图1)，设点A关于直线OP的对称点为B、(1)写出点B的坐标；(2)过原点O的直线l从OP的位置开始，绕原点O顺时针旋转、①如图1，当直线l顺时针旋转10º到l1的位置时，点A关于直线l1的对称点为C，那么∠BOC的度数是，线段OC的长为；②如图2，当直线l顺时针旋转55º到l2的位置时，点A关于直线l2的对称点为D，那么∠BOD的度数是；③直线l顺时针旋转nº(0＜n≤90)，在那个运动过程中，点A关于直线l的对称点所通过的路径长为(用含n的代数式表示)、26、〔此题总分值8分〕甲、乙两车从A地将一批物品匀速运往B地，甲动身0.5h后乙开始动身，结果比甲早1h到达B地、如图，线段OP、MN分别表示甲、乙两车离A地的距离S(km)与时间t(h)的关系，a表示A、B两地之间的距离、请结合图中的信息解决如下问题：(1)分别计算甲、乙两车的速度及a的值；(2)乙车到达B地后以原速马上返回，请问甲车到达B地后以多大的速度马上匀速返回，才能与乙车同时回到A地？并在图中画出甲、乙两车在返回过程中离A地的距离S(km)与时间t(h)的函数图象、27、〔此题总分值9分〕关于二次函数y＝x2－3x＋2和一次函数y＝－2x＋4，把y＝t(x2－3x＋2)＋(1－t)(－2x＋4)称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E、现有点A(2，0)和抛物线E上的点B(－1，n)，请完成以下任务：【尝试】(1)当t＝2时，抛物线E的顶点坐标是；(2)判断点A是否在抛物线E上；(3)求n的值、【发明】通过(2)和(3)的演算可知，关于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，那个定点的坐标是、【应用1】二次函数y＝－3x2＋5x＋2是二次函数y＝x2－3x＋2和一次函数y＝－2x＋4的一个“再生二次函数”吗？假如是，求出t的值；假如不是，说明理由、【应用2】以AB为一边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上，假设抛物线E通过点A、B、C、D中的三点，求出所有符合条件的t的值、28、〔此题总分值11分〕等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点(与B、C不重合)，连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N(如图1)、(1)求证：AM＝AN；(2)设BP＝x、①假设BM＝38，求x的值；②求四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积S与x之间的函数关系式以及S的最小值；③连接DE分别与边AB、AC交于点G、H(如图2)、当x为何值时，∠BAD＝15º？如今，以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特别三角形，请说明理由、。
2019年江苏省镇江市中考数学试卷
绝密★启用前江苏省镇江市2019年中考试卷数 学（满分：120分 考试时间：120分钟）一、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 1.2019-的相反数是 . 2.27的立方根为 .3.一组数据4，3，x ，1，5的众数是5，则x = . 4x 的取值范围是 .5.氢原子的半径约为0.000 000 000 05 m ，用科学记数法把0.000 000 000 05表示为 .6.已知点()12A y -，、()21B y -，都在反比例函数2y x=-的图象上，则1y 2y . （填“＞”或“＜”） 7= .8.如图，直线a b ∥，ABC △的顶点C 在直线b 上，边AB 与直线b 相交于点D .若BCD △是等边三角形，20A ∠=︒，则1∠= .（第8题）（第10题）9.若关于x 的方程220x x m -+=有两个相等的实数根，则实数m 的值等于 . 10.将边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置（如图），使得点D 落在对角线CF 上，EF 与AD 相交于点H ，则HD = .11.如图，有两个转盘A 、B ，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1，2，分别转动转盘A 、B ，当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内”的概率是19，则转盘B 中标有数字1的扇形的圆心角的度数是 .12.已知抛物线()24410y ax ax a a =+++≠过点()3A m ，，()3B n ，两点，若线段AB 的长不大于4，则代数式21a a ++的最小值是 .二、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共计15分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 13.下列计算正确的是（ ）A .236•a a a =B .734a a a ÷=C .()538a a ＝D .()22ab ab ＝ 14.一个物体如图所示，它的俯视图是（ ）ABCD15.如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径， DCCB =.若110C ∠=︒，则ABC ∠的度数等于 （ ）A .55︒B .60︒C .65︒D .70︒16.下列各数轴上表示的x 的取值范围可以是不等式组()22160x a a x +⎧⎨--⎩＞＜的解集的是（ ）ABCD毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效-------------17.如图，菱形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴上（B 在C 的左侧），顶点A 、D 在x 轴上方，对角线BD点()20E -，为BC 的中点，点P 在菱形ABCD 的边上运动.当点()06F ，到EP 所在直线的距离取得最大值时，点P 恰好落在AB 的中点处，则菱形ABCD 的边长等于 （ ）A .103 BC .163D .3三、解答题（本大题共有11小题，共计81分.解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 18.（本小题满分8分）（1）计算：112)2cos 603-⎛⎫-+-︒ ⎪⎝⎭；（2）化简：21111x x x ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭.18.（本小题满分10分）（1）解方程：23122x x x =+--； （2）解不等式：14(1)2x x --<.19.（本小题满分6分）如图，四边形ABCD 中，AD BC ∥，点E 、F 分别在AD 、BC上，=AE CF ，过点A 、C 分别作EF 的垂线，垂足为G 、H . （1）求证：AGE CHF △≌△；（2）连接AC ，线段GH 与AC 是否互相平分？请说明理由.21.（本小题满分6分）小丽和小明将在下周的星期一到星期三这三天中各自任选一天担任值日工作，请用画树状图或列表格的方法，求小丽和小明在同一天值日的概率.22.（本小题满分6分）如图，在ABC △中，=AB AC ，过AC 延长线上的点O 作OD AO ⊥，交BC 的延长线于点D ，以O 为圆心，OD 长为半径的圆过点B . （1）求证：直线AB 与O 相切（2）若=5AB ，O 的半径为12，则tan BDO ∠= .23.（本小题满分6分）如图，点2A n （，）和点D 是反比例函数(0,0)my m x x=＞＞图象上的两点，一次函数30y kx k =+≠（）的图象经过点A ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ，过点D 作DE x ⊥轴，垂足为E ，连接OA ，OD .已知OAB △与ODE △的面积满足34OAB ODE S S =△△：：.（1）OAB S =△ ，m = ；（2）已知点60P （，）在线段OE 上，当PDE CBO ∠=∠时，求点D 的坐标.24.（本小题满分6分）在三角形纸片ABC （如图1）中，78BAC ∠=︒，10AC =.小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）. （1）ABC ∠= ︒；（2）求正五边形GHMNC 的边GC 的长.参考值：sin 780.98︒≈，cos 780.21︒=，tan 78 4.7︒≈.图1图225.（本小题满分6分）陈老师对他所教的九（1）、九（2）两个班级的学生进行了一次检测，批阅后对最后一道试题的得分情况进行了归类统计（各类别的得分如下表），并绘制了如图所示的每班各类别得分人数的条形统计图（不完整）.各类别的得分表得分 类别0 A ：没有作答 1 B ：解答但没有正确 3 C ：只得到一个正确答案6D ：得到两个正确答案，解答完全正确已知两个班一共有50%的学生得到两个正确答案，解答完全正确，九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分.请解决如下问题： （1）九（2）班学生得分的中位数是 ；（2）九（1）班学生中这道试题作答情况属于B 类和C 类的人数各是多少？26.（本小题满分6分）【材料阅读】地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的O ）.人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直.站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的.【实际应用】观测点A 在图1所示的O 上，现在利用这个工具尺在点A 处测得α为31︒，在点A 所在子午线往北的另一个观测点B ，用同样的工具尺测得α为67︒.PQ 是O 的直径，PQ ON ⊥.（1）求POB ∠的度数；（2）已知6400OP km =，求这两个观测点之间的距离即O 上 AB 的长.（π取3.1） 毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无---------------------------------图1图227.（本小题满分10分）如图，二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ，对称轴是直线l ，一次函数215y x =+的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B .（1）点D 的坐标是 ；（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n .过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P 、Q ，使得DPQ △与DAB △相似.①当275n =时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个DPQ △与DAB △相似，请直接写出n 的取值范围 .28.（本小题满分11分）学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动.在相距150个单位长度的直线跑道AB 上，机器人甲从端点A 出发，匀速往返于端点A 、B 之间，机器人乙同时从端点B 出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B 、A 之间.他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计.兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种. 【观察】①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为 个单位长度；②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为 个单位长度；图1图2【发现】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为x 个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为y 个单位长度.兴趣小组成员发现了y 与x 的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP ，不包括点O ，如图2所示）.①a = ；②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象； 【拓展】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为x 个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为y 个单位长度.若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离y 不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离x 的取值范围是 .（直接写出结果）。
2019江苏省镇江市中考试题解析-
2019年江苏省镇江市中考试题解析（满分120分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题共12题，每小题2分，共24分） 1．（2019江苏镇江，1，2分） 2019-的相反数是 ． 【答案】2019【解析】解：2019-的相反数是：2019．故答案为：2019． 【知识点】相反数2. （2019江苏镇江，2，2分） 27的立方根为 ． 【答案】3【解析】解：3327=Q ，27∴的立方根是3，故答案为：3． 【知识点】立方根3. （2019江苏镇江，3，2分）一组数据4，3，x ，1，5的众数是5，则x = ． 【答案】5【解析】解：Q 数据4，3，x ，1，5的众数是5，5x ∴=，故答案为：5． 【知识点】众数4. （2019江苏镇江，4，2分）若代数式4x -有意义，则实数x 的取值范围是 ． 【答案】4x …【解析】解：由题意得40x -…，解得4x …．故答案为：4x …．【知识点】二次根式有意义的条件5. （2019江苏镇江，5，2分）氢原子的半径约为0.00000000005m ，用科学记数法把0.00000000005表示为 ． 【答案】11510-⨯【解析】解：用科学记数法把0.0000 0000 005表示为11510-⨯．故答案为：11510-⨯． 【知识点】科学记数法-表示较小的数6.（2019江苏镇江，6，2分）已知点1(2,)A y -、2(1,)B y -都在反比例函数2y x=-的图象上，则1y 2y ．（填“>”或“<” )【答案】<【解析】解：Q 反比例函数2y x=-的图象在二、四象限，而1(2,)A y -、2(1,)B y -都在第二象限，∴在第二象限内，y 随x 的增大而增大，21-<-Q 12y y ∴<．故答案为：<【知识点】反比例函数的图象7. （2019江苏镇江，7，2分）计算：123-= ． 【答案】3【解析】解：1232333-=-=．故答案为：3． 【知识点】二次根式的加减法8. （2019江苏镇江，8，2分）如图，直线//a b ，ABC ∆的顶点C 在直线b 上，边AB 与直线b 相交于点D ．若BCD ∆是等边三角形，20A ∠=︒，则1∠= ︒．【答案】40【解析】解：BCD ∆Q 是等边三角形， 60BDC ∴∠=︒， //a b Q ，260BDC ∴∠=∠=︒，由三角形的外角性质可知，1240A ∠=∠-∠=︒， 故答案为：40．【知识点】等边三角形的性质；平行线的性质9.（2019江苏镇江，9，2分）若关于x 的方程220x x m -+=有两个相等的实数根，则实数m 的值等于 ． 【答案】1【解析】解：根据题意得△2(2)40m =--=，解得1m =．故答案为1． 【知识点】一元二次方程根的判别式10. （2019江苏镇江，10，2分）将边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置（如图），使得点D 落在对角线CF 上，EF 与AD 相交于点H ，则HD = ．（结果保留根号）【答案】21-【解析】解：Q 四边形ABCD 为正方形，1CD ∴=，90CDA ∠=︒，Q 边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置，使得点D 落在对角线CF 上，2CF ∴=，45CFDE ∠=︒，DFH ∴∆为等腰直角三角形，21DH DF CF CD ∴==-=-．故答案为21-．【知识点】旋转的性质；正方形的性质11. （2019江苏镇江，11，2分）如图，有两个转盘A 、B ，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1，2，分别转动转盘A 、B ，当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内”的概率是19，则转盘B 中标有数字1的扇形的圆心角的度数是 ︒．【答案】80【解析】解：设转盘B 中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率为x ， 根据题意得：1129x =，解得29x =，∴转盘B 中标有数字1的扇形的圆心角的度数为：2360809︒⨯=︒． 故答案为：80．【知识点】列表法与树状图法12. （2019江苏镇江，12，2分）已知抛物线2441(0)y ax ax a a =+++≠过点(,3)A m ，(,3)B n 两点，若线段AB 的长不大于4，则代数式21a a ++的最小值是 ．【答案】74【解析】解：Q 抛物线2441(0)y ax ax a a =+++≠过点(,3)A m ，(,3)B n 两点，∴4222m n aa+=-=- Q 线段AB 的长不大于4，413a ∴+…12a ∴…21a a ∴++的最小值为：2117()1224++=；故答案为74．【知识点】二次函数的性质；二次函数的最值；二次函数的图象二、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 13. （2019江苏镇江，13，3分）下列计算正确的是( ) A ．236a a a =g B ．734a a a ÷=C ．358()a a =D ．22()ab ab =【答案】B【解析】解：A 、235a a a =g ，故此选项错误； B 、734a a a ÷=，正确； C 、3515()a a =，故此选项错误； D 、222()ab a b =，故此选项错误； 故选：B ．【知识点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法；同底数幂的除法14. （2019江苏镇江，14，3分）一个物体如图所示，它的俯视图是( )【答案】D【解析】解：俯视图从图形上方观察即可得到，故选：D ． 【知识点】简单组合体的三视图15. （2019江苏镇江，15，3分）如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，·¶DC CB =．若110C ∠=︒，则ABC ∠的度数等于( )A ．55︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒【答案】A【解析】解：连接AC ，Q 四边形ABCD 是半圆的内接四边形，18070DAB C ∴∠=︒-∠=︒， Q ·¶DCCB =， 1352CAB DAB ∴∠=∠=︒，AB Q 是直径，90ACB ∴∠=︒，9055ABC CAB ∴∠=︒-∠=︒，故选：A ．【知识点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质16.（2019江苏镇江，16，3分）下列各数轴上表示的x 的取值范围可以是不等式组2(21)60x aa x +>⎧⎨--<⎩的解集的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】解：由2x a +>得2x a >-，A ．由数轴知3x >-，则1a =-，360x ∴--<，解得2x >-，与数轴不符；B ．由数轴知0x >，则2a =，360x ∴-<，解得2x <，与数轴相符合；C ．由数轴知2x >，则4a =，760x ∴-<，解得67x <，与数轴不符； D ．由数轴知2x >-，则0a =，60x ∴--<，解得6x >-，与数轴不符； 故选：B ．【知识点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组17. （2019江苏镇江，17，3分）如图，菱形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴上(B 在C 的左侧），顶点A 、D 在x 轴上方，对角线BD 的长是2103，点(2,0)E -为BC 的中点，点P 在菱形ABCD 的边上运动．当点(0,6)F 到EP 所在直线的距离取得最大值时，点P 恰好落在AB 的中点处，则菱形ABCD 的边长等于( )A ．103B ．10C ．163D ．3【答案】A【解析】解：如图1中，当点P 是AB 的中点时，作FG PE ⊥于G ，连接EF ．(2,0)E -Q ，(0,6)F ，2OE ∴=，6OF =，2224210EF ∴=+=， 90FGE ∠=︒Q ，FG EF ∴…，∴当点G 与E 重合时，FG 的值最大．如图2中，当点G 与点E 重合时，连接AC 交BD 于H ，PE 交BD 于J ．设2BC a =．PA PB =Q ，BE EC a ==，//PE AC ∴，BJ JH =， Q 四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，103BH DH ==，106BJ =， PE BD ∴⊥，90BJE EOF PEF ∠=∠=∠=︒Q ， EBJ FEO ∴∠=∠， BJE EOF ∴∆∆∽，∴BE BJEF EO=， ∴1062210a =，53a ∴=， 1023BC a ∴==， 故选：A ．【知识点】菱形的性质；平面直角坐标系；相似三角形的判定和性质；垂线段最短三、解答题（本大题共11小题，满分81分，各小题都必须写出解答过程） 18. （2019江苏镇江，18，8分）（1）计算：011(22)()2cos603--+-︒；（2）化简：21(1)11xx x +÷--． 【思路分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算；（2）根据分式的混合运算法则计算．【解题过程】解：（1）011(22)()2cos603--+-︒132=+-2=；（2）21(1)11xx x +÷-- 211()111x xx x x -=+÷--- (1)(1)1x x x x x+-=-g1x =+．【知识点】特殊角的三角函数值；负整数指数幂；零指数幂；实数的运算；分式的混合运算19.（2019江苏镇江，19，10分）（1）解方程：23122x x x =+--； （2）解不等式：14(1)2x x --< 【思路分析】（1）方程两边同乘以(2)x -化成整式方程求解，注意检验； （2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1来解即可．【解题过程】解：（1）方程两边同乘以(2)x -得 232x x =+- 1x ∴=检验：将1x =代入(2)x -得1210-=-≠ 1x =是原方程的解．∴原方程的解是1x =．（2）化简14(1)2x x --<得 1442x x --< 932x ∴< 32x ∴<∴原不等式的解集为32x <． 【知识点】解一元一次不等式；解分式方程20. （2019江苏镇江，20，6分）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，点E 、F 分别在AD 、BC 上，AE CF =，过点A 、C 分别作EF 的垂线，垂足为G 、H ．（1）求证：AGE CHF ∆≅∆；（2）连接AC ，线段GH 与AC 是否互相平分？请说明理由．【思路分析】（1）由垂线的性质得出90G H ∠=∠=︒，//AG CH ，由平行线的性质和对顶角相等得出AEG CFH ∠=∠，由AAS 即可得出AGE CHF ∆≅∆；（2）连接AH 、CG ，由全等三角形的性质得出AG CH =，证出四边形AHCG 是平行四边形，即可得出结论． 【解题过程】解：（1）证明：AG EF ⊥Q ，CH EF ⊥， 90G H ∴∠=∠=︒，//AG CH ， //AD BC Q ，DEF BFE ∴∠=∠，AEG DEF ∠=∠Q ，CFH BFE ∠=∠， AEG CFH ∴∠=∠，在AGE ∆和CHF ∆中，G HAEG CFHAE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AGE CHF AAS ∴∆≅∆；（2）解：线段GH 与AC 互相平分，理由如下： 连接AH 、CG ，如图所示： 由（1）得：AGE CHF ∆≅∆， AG CH ∴=， //AG CH Q ，∴四边形AHCG 是平行四边形， ∴线段GH 与AC 互相平分．【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；平行线的性质21. （2019江苏镇江，21，6分）小丽和小明将在下周的星期一到星期三这三天中各自任选一天担任值日工作，请用画树状图或列表格的方法，求小丽和小明在同一天值日的概率． 【思路分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数和小丽和小明在同一天值日的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解题过程】解：根据题意画树状图如下：共有9种等情况数，其中小丽和小明在同一天值日的有3种， 则小丽和小明在同一天值日的概率是3193=．【知识点】列表法与树状图法22. （2019江苏镇江，22，6分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，过AC 延长线上的点O 作OD AO ⊥，交BC 的延长线于点D ，以O 为圆心，OD 长为半径的圆过点B ． （1）求证：直线AB 与O e 相切；（2）若5AB =，O e 的半径为12，则tan BDO ∠= ．【思路分析】（1）连接OB ，由等腰三角形的性质得出ABC ACB ∠=∠，OBD D ∠=∠，证出90OBD ABC ∠+∠=︒，得出AB OB ⊥，即可得出结论；（2）由勾股定理得出2213OA AB OB =+=，得出8OC OA AC =-=，再由三角函数定义即可得出结果． 【解题过程】解：（1）证明：连接AB ，如图所示： AB AC =Q ， ABC ACB ∴∠=∠， ACB OCD ∠=∠Q ， ABC OCD ∴∠=∠， OD AO ⊥Q ， 90COD ∴∠=︒， 90D OCD ∴∠+∠=︒，OB OD =Q ，OBD D ∴∠=∠，90OBD ABC ∴∠+∠=︒，即90ABO ∠=︒，AB OB ∴⊥，Q 点B 在圆O 上，∴直线AB 与O e 相切；（2）解：90ABO ∠=︒Q ，222251213OA AB OB ∴=+=+=，5AC AB ==Q ，8OC OA AC ∴=-=，82tan 123OC BDO OD ∴∠===； 故答案为：23．【知识点】等腰三角形的性质；切线的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形；勾股定理；三角函数定义23. （2019江苏镇江，23，6分）如图，点(2,)A n 和点D 是反比例函数(0,0)m y m x x=>>图象上的两点，一次函数3(0)y kx k =+≠的图象经过点A ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ，过点D 作DE x ⊥轴，垂足为E ，连接OA ，OD ．已知OAB ∆与ODE ∆的面积满足:3:4OAB ODE S S ∆∆=．（1）OAB S ∆= ，m = ；（2）已知点(6,0)P 在线段OE 上，当PDE CBO ∠=∠时，求点D 的坐标．【思路分析】（1）由一次函数解析式求得点B 的坐标，易得OB 的长度，结合点A 的坐标和三角形面积公式求得3OAB S ∆=，所以4ODE S ∆=，由反比例函数系数k 的几何意义求得m 的值；（2）利用待定系数法确定直线AC 函数关系式，易得点C 的坐标；利用PDE CBO ∠=∠，90COB PED ∠=∠=︒判定CBO PDE ∆∆∽，根据该相似三角形的对应边成比例求得PE 、DE 的长度，易得点D 的坐标．【解题过程】解：（1）由一次函数3y kx =+知，(0,3)B ．又点A 的坐标是(2,)n ，13232OAB S ∆∴=⨯⨯=． :3:4OAB ODE S S ∆∆=Q ．4ODE S ∆∴=．Q 点D 是反比例函数(0,0)m y m x x =>>图象上的点， ∴142ODE m S ∆==，则8m =． 故答案是：3；8；（2）由（1）知，反比例函数解析式是8y x=． 28n ∴=，即4n =． 故(2,4)A ，将其代入3y kx =+得到：234k +=． 解得12k =． ∴直线AC 的解析式是：132y x =+． 令0y =，则1302x +=， 6x ∴=-，(6,0)C ∴-．6OC ∴=．由（1）知，3OB =．设(,)D a b ，则DE b =，6PE a =-．PDE CBO ∠=∠Q ，90COB PED ∠=∠=︒，CBO PDE ∴∆∆∽， ∴OB OC DE PE =，即366b a =-①， 又8ab =②．联立①②，得24a b =-⎧⎨=-⎩（舍去）或81a b =⎧⎨=⎩． 故(8,1)D ．【知识点】反比例函数综合题24. （2019江苏镇江，24，6分）在三角形纸片ABC （如图1)中，78BAC ∠=︒，10AC =．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2)．（1）ABC ∠= ︒；（2）求正五边形GHMNC 的边GC 的长．参考值：sin780.98︒≈，cos780.21︒=，tan78 4.7︒≈．【思路分析】（1）根据多边形内角和定理、正五边形的性质计算；（2）作CQ AB ⊥于Q ，根据正弦的定义求出QC ，根据直角三角形的性质求出BC ，结合图形计算即可．【解题过程】解：（1）Q 五边形ABDEF 是正五边形，(52)1801085BAF -⨯︒∴∠==︒， 30ABC BAF BAC ∴∠=∠-∠=︒，故答案为：30；（2）作CQ AB ⊥于Q ，在Rt AQC ∆中，sin QC QAC AC∠=， sin 100.989.8QC AC QAC ∴=∠≈⨯=g ，在Rt BQC ∆中，30ABC ∠=︒，219.6BC QC ∴==，9.6GC BC BG ∴=-=．【知识点】正多边形和圆；解直角三角形25. （2019江苏镇江，25，6分）（2019•镇江）陈老师对他所教的九（1）、九（2）两个班级的学生进行了一次检测，批阅后对最后一道试题的得分情况进行了归类统计（各类别的得分如下表），并绘制了如图所示的每班各类别得分人数的条形统计图（不完整）．各类别的得分表 得分类别 0A ：没有作答 1B ：解答但没有正确 3C ：只得到一个正确答案 6D ：得到两个正确答案，解答完全正确已知两个班一共有50%的学生得到两个正确答案，解答完全正确，九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分．请解决如下问题：（1）九（2）班学生得分的中位数是 ；（2）九（1）班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数各是多少？【思路分析】（1）由条形图可知九（2）班一共有学生48人，将48个数据按从小到大的顺序排列，第24、25个数据都在D类，所以中位数是6分；（2）先求出两个班一共有多少学生，减去九（2）班的学生数，得出九（1）班的学生数，再根据条形图，用九（1）班的学生数分别减去该班A、D两类的学生数得到B类和C类的人数和，再结合九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分，即可求解．【解题过程】解：（1）由条形图可知九（2）班一共有学生：36122748+++=人，将48个数据按从小到大的顺序排列，第24、25个数据都在D类，所以中位数是6分．故答案为6分；（2）两个班一共有学生：(2227)50%98+÷=（人)，九（1）班有学生：984850-=（人)．设九（1）班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数各是x人、y人．由题意，得52250053622 3.7850 x yx y+++=⎧⎨⨯+++⨯=⨯⎩，解得617xy=⎧⎨=⎩．答：九（1）班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数各是6人、17人．【知识点】条形统计图；中位数；加权平均数26.（2019江苏镇江，26，6分）【材料阅读】地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的)Oe．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”)，尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的．【实际应用】观测点A 在图1所示的O e 上，现在利用这个工具尺在点A 处测得α为31︒，在点A 所在子午线往北的另一个观测点B ，用同样的工具尺测得α为67︒．PQ 是O e 的直径，PQ ON ⊥．（1）求POB ∠的度数；（2）已知6400OP km =，求这两个观测点之间的距离即O e 上¶AB 的长．(π取 3.1)【思路分析】（1）设点B 的切线CB 交ON 延长线于点E ，HD BC ⊥于D ，CH BH ⊥交BC 于点C ，则67DHC ∠=︒，证出67HBD DHC ∠=∠=︒，由平行线的性质得出67BEO HBD ∠=∠=︒，由直角三角形的性质得出23BOE ∠=︒，得出902367POB ∠=︒-︒=︒；（2）同（1）可证31POA ∠=︒，求出36AOB POB POA ∠=∠-∠=︒，由弧长公式即可得出结果．【解题过程】解：（1）设点B 的切线CB 交ON 延长线于点E ，HD BC ⊥于D ，CH BH ⊥交BC 于点C ，如图所示：则67DHC ∠=︒，90HBD BHD BHD DHC ∠+∠=∠+∠=︒Q ，67HBD DHC ∴∠=∠=︒，//ON BH Q ，67BEO HBD ∴∠=∠=︒，906723BOE ∴∠=︒-︒=︒，PQ ON ⊥Q ，90POE ∴∠=︒，902367POB ∴∠=︒-︒=︒；（2）同（1）可证31POA ∠=︒，673136AOB POB POA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴¶3664003968()180AB km π⨯⨯==．【知识点】切线的性质；弧长的计算27. （2019江苏镇江，27，10分）如图，二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ，对称轴是直线1，一次函数215y x =+的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ． （1）点D 的坐标是 ；（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n ．过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P 、Q ，使得DPQ ∆与DAB ∆相似．①当275n =时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似，请直接写出n 的取值范围 ．【思路分析】（1）直接用顶点坐标公式求即可；（2）由对称轴可知点9(2,)5C ，5(2A -，0)，点A 关于对称轴对称的点13(2，0)，借助AD 的直线解析式求得(5,3)B ；①当275n =时，27(2,)5N ，可求952DA =，185DN =，365CD =当//PQ AB 时，DPQ DAB ∆∆∽，95DP =；当PQ 与AB 不平行时，95DP =；②当//PQ AB ，DB DP =时，35DB =，245DN =，所以21(2,)5N ，则有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似时，92155n <<； 【解题过程】解：（1）顶点为(2,9)D ；故答案为(2,9)；（2）对称轴2x =，9(2,)5C ∴， 由已知可求5(2A -，0)， 点A 关于2x =对称点为13(2，0)， 则AD 关于2x =对称的直线为213y x =-+，(5,3)B ∴，①当275n =时，27(2,)5N ， 952DA ∴=，185DN =，365CD = 当//PQ AB 时，DPQ DAB ∆∆∽，DAC DPN ∆∆Q ∽， ∴DP DN DA DC=， 95DP ∴=；当PQ 与AB 不平行时，DPQ DBA ∆∆∽，DNQ DCA ∴∆∆∽， ∴DP DN DB DC=， 95DP ∴=； 综上所述，95DN =；②当//PQ AB ，DB DP =时，35DB =， ∴DP DN DA DC=， 245DN ∴=，21(2,)5N ∴， ∴有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似时，92155n <<； 故答案为92155n <<； 【知识点】二次函数综合题；二次函数的图象及性质；三角形的相似28. （2019江苏镇江，28，11分）学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．在相距150个单位长度的直线跑道AB 上，机器人甲从端点A 出发，匀速往返于端点A 、B 之间，机器人乙同时从端点B 出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B 、A 之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计． 兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的”迎面相遇“包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．【观察】①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为 个单位长度；②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为 个单位长度；【发现】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为x 个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为y 个单位长度．兴趣小组成员发现了y 与x 的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP ，不包括点O ，如图2所示）． ①a = ；②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象；【拓展】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为x 个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为y 个单位长度．若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离y 不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离x 的取值范围是 ．（直接写出结果）【思路分析】【观察】①设此时相遇点距点A 为m 个单位，根据题意列方程即可得到结论； ②此时相遇点距点A 为m 个单位，根据题意列方程即可得到结论；【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点B 时，设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速度为150x v x -，根据题意列方程即可得到结论；②设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速度为150x v x -，根据题意列函数解析式即可得到结论； 【拓展】由题意得到150150150(150150)x x y x y x-+++=-+-，得到5300y x =-+，根据第三次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离y 不超过60个单位长度，列不等式即可得到结论．【解题过程】解：【观察】①Q 相遇地点与点A 之间的距离为30个单位长度，∴相遇地点与点B 之间的距离为15030120-=个单位长度，设机器人甲的速度为v ，∴机器人乙的速度为120430v v =， ∴机器人甲从相遇点到点B 所用的时间为120v， 机器人乙从相遇地点到点A 再返回到点B 所用时间为30150454v v +=，而12045v v >， ∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人乙从第一次相遇地点到点A ，返回到点B ，再返回向A 时和机器人甲第二次迎面相遇， 设此时相遇点距点A 为m 个单位，根据题意得，301501504(30)m m ++-=-，90m ∴=，故答案为：90；②Q 相遇地点与点A 之间的距离为40个单位长度，∴相遇地点与点B 之间的距离为15040110-=个单位长度，设机器人甲的速度为v ，∴机器人乙的速度为11011404v v =， ∴机器人乙从相遇点到点A 再到点B 所用的时间为4015076011114v v +=， 机器人甲从相遇点到点B 所用时间为110v ，而11076011v v>， ∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人从第一次相遇点到点A ，再到点B ，返回时和机器人乙第二次迎面相遇，设此时相遇点距点A 为m 个单位， 根据题意得，1140150150(40)4m m ++-=-， 120m ∴=， 故答案为：120；【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点B 时，设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速度为150x v x-， 根据题意知，150150(150)x x x x -+=-， 50x ∴=， 经检验：50x =是分式方程的根，即：50a =，故答案为：50；②当050x <„时，点(50,150)P 在线段OP 上，∴线段OP 的表达式为3y x =， 当150x v v x-<时，即当5075x <<，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点B 返回向点A 时， 设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速度为150x v x -， 根据题意知，150(150150)x x y x y x-+=-+-， 3300y x ∴=-+，即：3(050)3300(5075)x x y x x <⎧=⎨-+<<⎩„， 补全图形如图2所示， 【拓展】如图，由题意知，150150150(150150)x x y x y x-+++=-+-， 5300y x ∴=-+，Q 第三次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离y 不超过60个单位长度，530060x ∴-+„，48x ∴…，75x <Q ，4875x ∴<„，故答案为4875x <„．【知识点】一次函数的应用；两点间的距离；分式方程的应用；一元一次方程的应用。
2019年江苏省镇江市中考数学试卷
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
初中-数学-中考-江苏省镇江市2019年中考数学试卷
江苏省镇江市2019年中考数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分．1、﹣2019的相反数是______．2、27的立方根为______．3、一组数据4，3，x ，1，5的众数是5，则x ＝______．44x -x 的取值范围是______．5、氢原子的半径约为0.00000000005m ，用科学记数法把0.00000000005表示为______．6、已知点()12,A y -、()21,B y -都在反比例函数2y x=-的图象上，则1y ______2y ．（填“＞”或“＜”）7123=______．8、如图，直线a b ∥，ABC ∆的顶点C 在直线b 上，边AB 与直线b 相交于点D ．若BCD ∆是等边三角形，20A ∠=︒，则1∠＝______°9、已知关于x 的方程2x 2x m 0-+=有两个相等的实数根，则m 的值是______.． 10、将边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置（如图），使得点D 落在对角线CF 上，EF 与AD 相交于点H ，则HD ＝______.（结果保留根号）11、如图，有两个转盘A 、B ，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1、2，分别转动转盘A 、B ，当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内”的概率是19，则转盘B 中标有数字1的扇形的圆心角的度数是______°．12、已知抛物线()24410y ax ax a a =+++≠过点(),3A m ，(),3B n 两点，若线段AB 的长不大于4，则代数式21a a ++的最小值是______．二、选择题（本大题共有5小题，每小题3分，共计15分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题目要求）．13、下列计算正确的是（ ）A. a 2•a 3=a 6B. a 7÷a 3=a 4C. （a 3）5=a 8D. （ab ）2=ab 2 14、一个物体如图所示，它的俯视图是（ ）A. B. C. D.15、如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，DC CB =．若110C ∠=︒，则ABC ∠的度数等于（ ）A. 55︒B. 60︒C. 65︒D. 70︒16、下列各数轴上表示的x 的取值范围可以是不等式组()22160x a a x +>⎧⎨--<⎩的解集的是（ ）A. B.C. D. 17、如图，菱形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴上（B 在C 的左侧），顶点A 、D 在x 轴上方，对角线BD ，点()2,0E -为BC 的中点，点P 在菱形ABCD 的边上运动．当点()0,6F 到EP 所在直线的距离取得最大值时，点P 恰好落在AB 的中点处，则菱形ABCD 的边长等于（ ）A. 103B.C. 163D. 3三、解答题（本大题共有11小题，共计81分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）18、（1）计算：)0112()2cos602-+-︒；（2）化简：21(1)11x x x +÷--． 19、（1）解方程：23122x x x =+--；（2）解不等式：14(1)2x x --<． 20、如图，四边形ABCD 中，AD BC ∥，点E 、F 分别在,AD BC 上，AE CF =，过点A 、C 分别作EF 的垂线，垂足为G 、H ．（1）求证：AGE CHF ∆≅∆；（2）连接AC ，线段GH 与AC 是否互相平分？请说明理由．21、小丽和小明将在下周的星期一到星期三这三天中各自任选一天担任值日工作，请用画树状图或列表格的方法，求小丽和小明在同一天值日的概率．22、如图，在ABC ∆中，AB AC =，过AC 延长线上的点O 作OD AO ⊥，交BC 的延长线于点D ，以O 为圆心，OD 长为半径的圆过点B（1）求证：直线AB 与O 相切；（2）若5AB =，O 的半径为12，则tan BDO ∠＝_____． 23、如图，点()2,A n 和点D 是反比例函数()0,0m y m x x =>>图象上的两点，一次函数()30y kx k =+≠的图象经过点A ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ，过点D 作DE x ⊥轴，垂足为E ，连接,OA OD ．已知OAB ∆与ODE ∆的面积满足:3:4OAB ODE S S ∆∆=．（1）OAB S ∆＝_____，m ＝_____；（2）已知点()6,0P 在线段OE 上，当PDE CBO ∠=∠时，求点D 的坐标． 24、在三角形纸片ABC （如图1）中，78BAC ∠=︒，10AC =．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）．（1）ABC ∠=_____°；（2）求正五边形GHMNC 的边GC 的长．参考值：sin780.98︒≈，cos780.21︒≈，tan78 4.7︒≈．25、陈老师对他所教的九（1）、九（2）两个班级的学生进行了一次检测，批阅后对最后一道试题的得分情况进行了归类统计（各类别的得分如下表），并绘制了如图所示的每班各类别得分人数的条形统计图（不完整）．各类别的得分表已知两个班一共有50%的学生得到两个正确答案，解答完全正确，九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分．请解决如下问题：（1）九（2）班学生得分的中位数是_____；（2）九（1）班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数各是多少？26、【材料阅读】：地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的O）．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的．【实际应用】：观测点A在图1所示的O上，现在利用这个工具尺在点A处测得α为31︒，在点A所在子午线往北的另一个观测点B，用同样的工具尺测得α为67︒．PQ ⊥．是O的直径，PQ ON（1）求POB ∠的度数；（2）已知6400OP =km ，求这两个观测点之间的距离即O 上AB 的长．（π取3.1） 27、如图，二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ，对称轴是直线l ，一次函数215y x =+的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ．（1）点D 的坐标是_____；（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n ．过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P ，Q ，使得DPQ ∆与DAB ∆相似．①当275n =时，求DP 的长； ①若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似，请直接写出n 的取值范围_____．28、学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．在相距150个单位长度的直线跑道AB 上，机器人甲从端点A 出发，匀速往返于端点A 、B 之间，机器人乙同时从端点B 出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B 、A 之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．【观察】①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为_____个单位长度；②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为_____个单位长度；【发现】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP，不包括点O，如图2所示）．①a＝_____；②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象；【拓展】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是_____．（直接写出结果）参考答案1、【答案】2019【分析】直接利用相反数的定义进而得出答案．【解答】﹣2019的相反数是：2019．故答案为：2019．2、【答案】3【分析】找到立方等于27的数即可．【解答】解：①33=27，①27的立方根是3，故答案为：3．3、【答案】5【分析】根据众数的概念求解可得．【解答】①数据4，3，x，1，5的众数是5，①x=5，故答案为：5．4、【答案】x≥4【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．【解答】由题意得x-4≥0，解得x≥4．故答案为：x≥4．5、【答案】11510-⨯【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】用科学记数法把0.00000000005表示为5×10-11．故答案为：5×10-11．6、【答案】＜【分析】反比例函数2yx=-的图象在第二象限，在第二象限内，y随x的增大而增大，根据x的值大小，得出y值大小．答案第1页，共18页【解答】①反比例函数2y x=-的图象在二、四象限，而A （-2，y 1）、B （-1，y 2）都在第二象限，①在第二象限内，y 随x 的增大而增大，①-2＜-1①y 1＜y 2．故答案为：＜7、再合并同类项.==8、【答案】40【分析】根据等边三角形的性质得到①BDC =60°，根据平行线的性质求出①2，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【解答】如图，①①BCD 是等边三角形，①①BDC =60°，①a ①b ，①①2=①BDC =60°，由三角形的外角性质可知，①1=①2-①A =40°，故答案为：40．9、【答案】1【分析】由根的判别式来解．【解答】①关于x 的一元二次方程220x x m ++=有两个相等的实数根，①①=0，①4﹣4m =0，①m =1，故答案为：1．10、1【分析】先根据正方形的性质得到CD=1，①CDA=90°，再利用旋转的性质得CF，根据正方形的性质得①CFE=45°，则可判断①DFH为等腰直角三角形，从而计算CF-CD 即可．【解答】①四边形ABCD为正方形，①CD=1，①CDA=90°，①边长为1正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，①CF，①CFDE=45°，①①DFH为等腰直角三角形，①DH=DF=CF-CD -1．-1．11、【答案】80【分析】先根据题意求出转盘B中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率，再根据圆周角等于360°计算即可．【解答】设转盘B中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率为x，根据题意得：12x＝19，解得x＝29，①转盘B中标有数字1的扇形的圆心角的度数为：360°×29=80°．故答案为：80．12、【答案】7 4【分析】根据题意得4a+1≥3，解不等式求得a≥12，把x=12代入代数式即可求得．【解答】①抛物线y=ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，①4222m n aa+=-=-，顶点为（-2，1）①由题意可知a＞0，①线段AB的长不大于4，①4a+1≥3的答案第3页，共18页①a≥1 2①a2+a+1的最小值为：（12）2+12+1=74；故答案为：74．13、【答案】B【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】A、a2•a3=a5，故此选项错误；B、a7÷a3=a4，正确；C、（a3）5=a15，故此选项错误；D、（ab）2=a2b2，故此选项错误；选B.14、【答案】D【分析】从图形的上方观察即可求解．【解答】俯视图从图形上方观察即可得到，选D．15、【答案】A【分析】连接AC，根据圆内接四边形的性质求出①DAB，根据圆周角定理求出①ACB、①CAB，计算即可．【解答】连接AC，①四边形ABCD是半圆的内接四边形，①①DAB=180°-①C=70°，①DC CB，①①CAB=12①DAB=35°，①AB是直径，①①ACB=90°，①①ABC=90°-①CAB=55°，选A．16、【答案】B【分析】由数轴上解集左端点得出a的值，代入第二个不等式，解之求出x的另外一个范围，结合数轴即可判断．【解答】由x+2＞a得x＞a-2，A．由数轴知x＞-3，则a=-1，①-3x-6＜0，解得x＞-2，与数轴不符；B．由数轴知x＞0，则a=2，①3x-6＜0，解得x＜2，与数轴相符合；C．由数轴知x＞2，则a=4，①7x-6＜0，解得x＜67，与数轴不符；D．由数轴知x＞-2，则a=0，①-x-6＜0，解得x＞-6，与数轴不符；选B．17、【答案】A【分析】如图1中，当点P是AB的中点时，作FG①PE于G，连接EF．首先说明点G与点F 重合时，FG的值最大，如图2中，当点G与点E重合时，连接AC交BD于H，PE交BD于J．设BC=2a．利用相似三角形的性质构建方程求解即可．【解答】如图1中，当点P是AB的中点时，作FG①PE于G，连接EF．①E（-2，0），F（0，6），①OE=2，OF=6，①EF①①FGE=90°，①FG≤EF，①当点G与E重合时，FG的值最大．如图2中，当点G与点E重合时，连接AC交BD于H，PE交BD于J．设BC=2a．答案第5页，共18页①P A =PB ，BE =EC =a ，①PE ①AC ，BJ =JH ，①四边形ABCD 是菱形，①AC ①BD ，BH =DHBJ， ①PE ①BD ，①①BJE =①EOF =①PEF =90°，①①EBJ =①FEO ，①①BJE ①①EOF ， ①BE BJ EF EO=，62=， ①a =53， ①BC =2a =103， 选A ．18、【答案】（1）2；（2）1x +．【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算； （2）根据分式的混合运算法则计算．【解答】（1）)0112()2cos602-+-︒ 121=+-2=；（2）21(1)11x x x +÷-- 211()111x x x x x -=+÷---答案第7页，共18页 ()()111x x x x x+-=⋅- 1x =+．19、【答案】（1）1x =；（2）32x <． 【分析】（1）方程两边同乘以（x -2）化成整式方程求解，注意检验；（2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1来解即可．【解答】（1）方程两边同乘以()2x -得232x x =+-1x ∴=检验：将1x =代入()2x -得1210-=-≠1x =是原方程的解．①原方程的解是1x =．（2）化简()1412x x --<得 1442x x --< 932x ∴< 32x ∴< ∴原不等式的解集为32x <．20、【答案】（1）见解答；（2）线段GH 与AC 互相平分，见解答．【分析】（1）由垂线的性质得出①G =①H =90°，AG ①CH ，由平行线的性质和对顶角相等得出①AEG =①CFH ，由AAS 即可得出①AGE ①①CHF ；（2）连接AH 、CG ，由全等三角形的性质得出AG =CH ，证出四边形AHCG 是平行四边形，即可得出结论．【解答】（1）证明：AG EF ⊥，CH EF ⊥，90G H ∴∠=∠=︒，AG CH ∥，AD BC ∵∥，DEF BFE ∴∠=∠，AEG DEF ∠=∠，CFH BFE ∠=∠，AEG CFH ∴∠=∠，在AGE ∆和CHF ∆中，G H AEG CFH AE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AGE CHF AAS ∴∆≅∆；（2）线段GH 与AC 互相平分，理由如下：连接AH 、CG ，如图所示：由（1）得：AGE CHF ∆≅∆，AG CH ∴=，AG CH ∥，①四边形AHCG 是平行四边形，①线段GH 与AC 互相平分．21、【答案】小丽和小明在同一天值日的概率是13． 【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数和小丽和小明在同一天值日的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】根据题意画树状图如下：共有9种等情况数，其中小丽和小明在同一天值日的有3种， 则小丽和小明在同一天值日的概率是3193=．22、【答案】（1）见解答；（2）23． 【分析】（1）连接OB ，由等腰三角形的性质得出①ABC =①ACB ，①OBD =①D ，证出①OBD +①ABC =90°，得出AB ①OB ，即可得出结论；（2）由勾股定理得出13OA ==，得出OC =OA -AC =8，再由三角函数定答案第9页，共18页义即可得出结果．【解答】（1）证明：连接AB ，如图所示：AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，ACB OCD ∠=∠，ABC OCD ∴∠=∠，OD AO ⊥，90COD ∴∠=︒，90D OCD ∴∠+∠=︒，OB OD =，OBD D ∴∠=∠，90OBD ABC ∴∠+∠=︒，即90∠=︒ABO ，AB OB ⊥，①点B 在圆O 上，①直线AB 与O 相切； （2）90ABO ∠=︒，13OA ∴===，5AC AB ==，8OC OA AC =-=，82tan 123OC BDO OD ∴∠===； 故答案为：23． 23、【答案】（1）3，8；（2）()8,1D ．【分析】（1）由一次函数解析式求得点B 的坐标，易得OB 的长度，结合点A 的坐标和三角形面积公式求得S ①OAB =3，∴S ①ODE =4，由反比例函数系数k 的几何意义求得m的值；（2）利用待定系数法确定直线AC 函数关系式，易得点C 的坐标；利用①PDE =①CBO ，①COB =①PED =90°判定①CBO ①①PDE ，根据该相似三角形的对应边成比例求得PE 、DE 的长度，易得点D 的坐标．【解答】（1）由一次函数3y kx =+知，()0,3B ．又点A 的坐标是()2,n ，13232OAB S ∆∴=⨯⨯=． :3:4OAB ODE S S ∆∆=．4ODE S ∆∴=．①点D 是反比例函数()0,0m y m x x=>>图象上的点， 142ODE m S ∆∴==，则8m =． （2）由（1）知，反比例函数解析式是8y x=． 28n ∴=，即4n =．故()2,4A ，将其代入3y kx =+得到：234x +=． 解得12k =． ①直线AC 的解析式是：132y x =+． 令0y =，则1302x +=， 6x ∴=-，()6,0C ∴-．6OC ∴=．由（1）知，3OB =．设(),D a b ，则DE b =，6PE a =-．PDE CBO ∠=∠，90COB PED ∠=∠=︒，CBO PDE ∴∆∆，OB OC DE PE ∴=，即366b a =-①， 又8ab =①．答案第11页，共18页联立①①，得24a b =-⎧⎨=-⎩（舍去）或81a b =⎧⎨=⎩． 故()8,1D ．24、【答案】（1）30；（2）9.6=GC ．【分析】（1）根据多边形内角和定理、正五边形的性质计算；（2）作CQ ①AB 于Q ，根据正弦的定义求出QC ，根据直角三角形的性质求出BC ，结合图形计算即可．【解答】（1）①五边形ABCDEF 是正五边形，()521801085BAF -⨯︒∴∠==︒， 30∴∠=∠-∠=︒ABC BAF BAC ，故答案为：30；（2）作CQ AB ⊥于Q ，在Rt AQC ∆中，sin QC QAC AC∠=， sin QC AC QAC ∴=∠100.989.8≈⨯=，在Rt BQC ∆中，30ABC ∠=︒，219.6BC QC ∴==，9.6GC BC BG ∴=-=．25、【答案】（1）6分；（2）九（1）班学生中这道试题作答情况属于B 类和C 类的人数各是6人、17人．【分析】（1）由条形图可知九（2）班一共有学生48人，将48个数据按从小到大的顺序排列，第24、25个数据都在D 类，∴中位数是6分；（2）先求出两个班一共有多少学生，减去九（2）班的学生数，得出九（1）班的学生数，再根据条形图，用九（1）班的学生数分别减去该班A 、D 两类的学生数得到B 类和C 类的人数和，再结合九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分，即可求解．【解答】（1）由条形图可知九（2）班一共有学生：36122748+++=人，将48个数据按从小到大的顺序排列，第24、25个数据都在D 类，∴中位数是6分． 故答案为：6分；（2）两个班一共有学生：()222750%98+÷=（人），九（1）班有学生：984850-=（人）．设九（1）班学生中这道试题作答情况属于B 类和C 类人数各是x 人、y 人．由题意，得52250053622 3.7850x y x y +++=⎧⎨⨯+++⨯=⨯⎩，解得617x y =⎧⎨=⎩．答：九（1）班学生中这道试题作答情况属于B 类和C 类的人数各是6人、17人．26、【答案】（1）67∠=︒POB ；（2）3968=AB （km ）．【分析】（1）设点B 的切线CB 交ON 延长线于点E ，HD ①BC 于D ，CH ①BH 交BC 于点C ，则①DHC =67°，证出①HBD =①DHC =67°，由平行线的性质得出①BEO =①HBD =67°，由直角三角形的性质得出①BOE =23°，得出①POB =90°-23°=67°；（2）同（1）可证①POA =31°，求出①AOB =①POB -①POA =36°，由弧长公式即可得出结果．【解答】（1）设点B 的切线CB 交ON 延长线于点E ，HD BC ⊥于D ，CH BH ⊥交CB 于点C ，如图所示：则67DHC ∠=︒， 的答案第13页，共18页90HBD BHD BHD DHC ∠+∠=∠+∠=︒，67HBD DHC ∴∠=∠=︒，ON BH ∥，67BEO HBD ∴∠=∠=︒，906723BOE ∴∠=︒-︒=︒，PQ ON ⊥，90POE ∠=︒，902367POB ∴∠=︒-︒=︒；（2）同（1）可证31POA ∠=︒，673136AOB POB POA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，3664003968180AB π⨯⨯∴==（km ）．27、【答案】（1）()2,9；（2）①DP =①92155n <<． 【分析】（1）直接用顶点坐标公式求即可；（2）由对称轴可知点C （2，95），A （-52，0），点A 关于对称轴对称的点（132，0），借助AD 的直线解析式求得B （5，3）；①当n =275时，N （2，275），可求DA=2，DN =185，CD =365，当PQ ①AB 时，①DPQ ①①DAB ，DP当PQ 与AB 不平行时，DP①当PQ ①AB ，DB =DP 时，DBDN =245，∴N （2，215），则有且只有一个①DPQ 与①DAB 相似时，95＜n ＜215． 【解答】（1）顶点为()2,9D ；故答案为()2,9；（2）对称轴2x =，9(2,)5C ∴， 由已知可求5(,0)2A -，点A 关于2x =对称点为13(,0)2， 则AD 关于2x =对称的直线为213y x =-+，(5,3)B ∴，①当275n =时，27(2,)5N ，DA ∴=，182DN =，365CD = 当PQ AB ∥时，PDQDAB ∆∆， DACDPN ∆∆， DP DN DA DC∴=，DP ∴=当PQ 与AB 不平行时，DPQ DBA ∆∆，DNQ DCA ∴∆∆，DP DN DB DC∴=，DP ∴=综上所述DP =①当PQ AB ∥，DB DP =时，DB =DP DN DA DC∴=， 245DN ∴=， 21(2,)5N ∴， ①有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似时，92155n <<； 故答案为92155n <<；28、【答案】【观察】：①90；②120；【发现】：①50；②见解答；【拓展】：0＜x ≤12或48≤x ≤72．【分析】[观察]①设此时相遇点距点A 为m 个单位，根据题意列方程即可得到结论； ②此时相遇点距点A 为m 个单位，根据题意列方程即可得到结论；[发现]①当点第二次相遇地点刚好在点B 时，设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速答案第15页，共18页 度为150x v x-，根据题意列方程即可得到结论； ②设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速度为150x v x -，根据题意列函数解析式即可得到结论；[拓展]由题意列不等式即可得到结论．【解答】[观察]①∵相遇地点与点A 之间的距离为30个单位长度，∴相遇地点与点B 之间距离为15030120-=个单位长度，设机器人甲的速度为v ， ∴机器人乙的速度为120430v v =， ∴机器人甲从相遇点到点B 所用的时间为120v， 机器人乙从相遇地点到点A 再返回到点B 所用时间为30150454v v +=，而12045v v >， ∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人乙从第一次相遇地点到点A ，返回到点B ，再返回向A 时和机器人甲第二次迎面相遇，设此时相遇点距点A 为m 个单位，根据题意得，()30150150430m m ++-=-，90m ∴=，故答案为：90；②∵相遇地点与点A 之间的距离为40个单位长度， ∴相遇地点与点B 之间的距离为15040110-=个单位长度， 设机器人甲的速度为v ， ∴机器人乙的速度为11011404v v =， ∴机器人乙从相遇点到点A 再到点B 所用的时间为4015076011114v v +=， 机器人甲从相遇点到点B 所用时间为110v ，而11076011v v >， ∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人从第一次相遇点到点A ，再到点B ，返回时和机器人乙第二次迎面相遇， 设此时相遇点距点A 为m 个单位， 的根据题意得，()114015015044m m ++-=-， 120m ∴=，故答案为：120；[发现]①当点第二次相遇地点刚好在点B 时，设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速度为150x v x -， 根据题意知，()150150150x x x x-+=-， 50x ∴=，经检验：50x =是分式方程的根，即：50a =，故答案为：50；②当050x <≤时，点()50,150P 在线段OP 上，∴线段OP 的表达式为3y x =， 当150x v v x-<时，即当5075x <<，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点B 返回向点A 时， 设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速度为150x v x -， 根据题意知，()150150150x x y x y x-+=-+-， 3300y x ∴=-+，即：()()305033005075x x y x x ⎧<≤⎪=⎨-+<<⎪⎩， 补全图形如图2所示，[拓展]①如图，答案第17页，共18页由题意知，1504(150)150y x y x=⨯+--， ∴y =5x ，∵0＜y ≤60，∴0＜x ≤12；②如图，∴(150)1501503150y x y x-+=+⨯-， ∴y =-5x +300，∵0≤y ≤60，∴48≤x ≤60，③如图，由题意得，300300(150)150y x y x+=+--， ∴y =5x -300，∵0≤y ≤60，∴60≤x≤72，∵0＜x＜75，∴48≤x＜72，综上所述，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是0＜x≤12或48≤x≤72，故答案为0＜x≤12或48≤x≤72．。
2019江苏省镇江市中考试题解析-
2019年江苏省镇江市中考试题解析（满分120分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题共12题，每小题2分，共24分） 1．（2019江苏镇江，1，2分） 2019-的相反数是 ． 【答案】2019【解析】解：2019-的相反数是：2019．故答案为：2019． 【知识点】相反数2. （2019江苏镇江，2，2分） 27的立方根为 ． 【答案】3【解析】解：3327=Q ，27∴的立方根是3，故答案为：3． 【知识点】立方根3. （2019江苏镇江，3，2分）一组数据4，3，x ，1，5的众数是5，则x = ． 【答案】5【解析】解：Q 数据4，3，x ，1，5的众数是5，5x ∴=，故答案为：5． 【知识点】众数4. （2019江苏镇江，4，2分）若代数式4x -有意义，则实数x 的取值范围是 ． 【答案】4x …【解析】解：由题意得40x -…，解得4x …．故答案为：4x …．【知识点】二次根式有意义的条件5. （2019江苏镇江，5，2分）氢原子的半径约为0.00000000005m ，用科学记数法把0.00000000005表示为 ． 【答案】11510-⨯【解析】解：用科学记数法把0.0000 0000 005表示为11510-⨯．故答案为：11510-⨯． 【知识点】科学记数法-表示较小的数6.（2019江苏镇江，6，2分）已知点1(2,)A y -、2(1,)B y -都在反比例函数2y x=-的图象上，则1y 2y ．（填“>”或“<” )【答案】<【解析】解：Q 反比例函数2y x=-的图象在二、四象限，而1(2,)A y -、2(1,)B y -都在第二象限，∴在第二象限内，y 随x 的增大而增大，21-<-Q 12y y ∴<．故答案为：<【知识点】反比例函数的图象7. （2019江苏镇江，7，2分）计算：123-= ． 【答案】3【解析】解：1232333-=-=．故答案为：3． 【知识点】二次根式的加减法8. （2019江苏镇江，8，2分）如图，直线//a b ，ABC ∆的顶点C 在直线b 上，边AB 与直线b 相交于点D ．若BCD ∆是等边三角形，20A ∠=︒，则1∠= ︒．【答案】40【解析】解：BCD ∆Q 是等边三角形， 60BDC ∴∠=︒， //a b Q ，260BDC ∴∠=∠=︒，由三角形的外角性质可知，1240A ∠=∠-∠=︒， 故答案为：40．【知识点】等边三角形的性质；平行线的性质9.（2019江苏镇江，9，2分）若关于x 的方程220x x m -+=有两个相等的实数根，则实数m 的值等于 ． 【答案】1【解析】解：根据题意得△2(2)40m =--=，解得1m =．故答案为1． 【知识点】一元二次方程根的判别式10. （2019江苏镇江，10，2分）将边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置（如图），使得点D 落在对角线CF 上，EF 与AD 相交于点H ，则HD = ．（结果保留根号）【答案】21-【解析】解：Q 四边形ABCD 为正方形，1CD ∴=，90CDA ∠=︒，Q 边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置，使得点D 落在对角线CF 上，2CF ∴=，45CFDE ∠=︒，DFH ∴∆为等腰直角三角形，21DH DF CF CD ∴==-=-．故答案为21-．【知识点】旋转的性质；正方形的性质11. （2019江苏镇江，11，2分）如图，有两个转盘A 、B ，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1，2，分别转动转盘A 、B ，当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内”的概率是19，则转盘B 中标有数字1的扇形的圆心角的度数是 ︒．【答案】80【解析】解：设转盘B 中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率为x ， 根据题意得：1129x =，解得29x =，∴转盘B 中标有数字1的扇形的圆心角的度数为：2360809︒⨯=︒． 故答案为：80．【知识点】列表法与树状图法12. （2019江苏镇江，12，2分）已知抛物线2441(0)y ax ax a a =+++≠过点(,3)A m ，(,3)B n 两点，若线段AB 的长不大于4，则代数式21a a ++的最小值是 ．【答案】74【解析】解：Q 抛物线2441(0)y ax ax a a =+++≠过点(,3)A m ，(,3)B n 两点，∴4222m n aa+=-=- Q 线段AB 的长不大于4，413a ∴+…12a ∴…21a a ∴++的最小值为：2117()1224++=；故答案为74．【知识点】二次函数的性质；二次函数的最值；二次函数的图象二、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 13. （2019江苏镇江，13，3分）下列计算正确的是( ) A ．236a a a =g B ．734a a a ÷=C ．358()a a =D ．22()ab ab =【答案】B【解析】解：A 、235a a a =g ，故此选项错误； B 、734a a a ÷=，正确； C 、3515()a a =，故此选项错误； D 、222()ab a b =，故此选项错误； 故选：B ．【知识点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法；同底数幂的除法14. （2019江苏镇江，14，3分）一个物体如图所示，它的俯视图是( )【答案】D【解析】解：俯视图从图形上方观察即可得到，故选：D ． 【知识点】简单组合体的三视图15. （2019江苏镇江，15，3分）如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，·¶DC CB =．若110C ∠=︒，则ABC ∠的度数等于( )A ．55︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒【答案】A【解析】解：连接AC ，Q 四边形ABCD 是半圆的内接四边形，18070DAB C ∴∠=︒-∠=︒， Q ·¶DCCB =， 1352CAB DAB ∴∠=∠=︒，AB Q 是直径，90ACB ∴∠=︒，9055ABC CAB ∴∠=︒-∠=︒，故选：A ．【知识点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质16.（2019江苏镇江，16，3分）下列各数轴上表示的x 的取值范围可以是不等式组2(21)60x aa x +>⎧⎨--<⎩的解集的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】解：由2x a +>得2x a >-，A ．由数轴知3x >-，则1a =-，360x ∴--<，解得2x >-，与数轴不符；B ．由数轴知0x >，则2a =，360x ∴-<，解得2x <，与数轴相符合；C ．由数轴知2x >，则4a =，760x ∴-<，解得67x <，与数轴不符； D ．由数轴知2x >-，则0a =，60x ∴--<，解得6x >-，与数轴不符； 故选：B ．【知识点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组17. （2019江苏镇江，17，3分）如图，菱形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴上(B 在C 的左侧），顶点A 、D 在x 轴上方，对角线BD 的长是2103，点(2,0)E -为BC 的中点，点P 在菱形ABCD 的边上运动．当点(0,6)F 到EP 所在直线的距离取得最大值时，点P 恰好落在AB 的中点处，则菱形ABCD 的边长等于( )A ．103B ．10C ．163D ．3【答案】A【解析】解：如图1中，当点P 是AB 的中点时，作FG PE ⊥于G ，连接EF ．(2,0)E -Q ，(0,6)F ，2OE ∴=，6OF =，2224210EF ∴=+=， 90FGE ∠=︒Q ，FG EF ∴…，∴当点G 与E 重合时，FG 的值最大．如图2中，当点G 与点E 重合时，连接AC 交BD 于H ，PE 交BD 于J ．设2BC a =．PA PB =Q ，BE EC a ==，//PE AC ∴，BJ JH =， Q 四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，103BH DH ==，106BJ =， PE BD ∴⊥，90BJE EOF PEF ∠=∠=∠=︒Q ， EBJ FEO ∴∠=∠， BJE EOF ∴∆∆∽，∴BE BJEF EO=， ∴1062210a =，53a ∴=， 1023BC a ∴==， 故选：A ．【知识点】菱形的性质；平面直角坐标系；相似三角形的判定和性质；垂线段最短三、解答题（本大题共11小题，满分81分，各小题都必须写出解答过程） 18. （2019江苏镇江，18，8分）（1）计算：011(22)()2cos603--+-︒；（2）化简：21(1)11xx x +÷--． 【思路分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算；（2）根据分式的混合运算法则计算．【解题过程】解：（1）011(22)()2cos603--+-︒132=+-2=；（2）21(1)11xx x +÷-- 211()111x xx x x -=+÷--- (1)(1)1x x x x x+-=-g1x =+．【知识点】特殊角的三角函数值；负整数指数幂；零指数幂；实数的运算；分式的混合运算19.（2019江苏镇江，19，10分）（1）解方程：23122x x x =+--； （2）解不等式：14(1)2x x --< 【思路分析】（1）方程两边同乘以(2)x -化成整式方程求解，注意检验； （2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1来解即可．【解题过程】解：（1）方程两边同乘以(2)x -得 232x x =+- 1x ∴=检验：将1x =代入(2)x -得1210-=-≠ 1x =是原方程的解．∴原方程的解是1x =．（2）化简14(1)2x x --<得 1442x x --< 932x ∴< 32x ∴<∴原不等式的解集为32x <． 【知识点】解一元一次不等式；解分式方程20. （2019江苏镇江，20，6分）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，点E 、F 分别在AD 、BC 上，AE CF =，过点A 、C 分别作EF 的垂线，垂足为G 、H ．（1）求证：AGE CHF ∆≅∆；（2）连接AC ，线段GH 与AC 是否互相平分？请说明理由．【思路分析】（1）由垂线的性质得出90G H ∠=∠=︒，//AG CH ，由平行线的性质和对顶角相等得出AEG CFH ∠=∠，由AAS 即可得出AGE CHF ∆≅∆；（2）连接AH 、CG ，由全等三角形的性质得出AG CH =，证出四边形AHCG 是平行四边形，即可得出结论． 【解题过程】解：（1）证明：AG EF ⊥Q ，CH EF ⊥， 90G H ∴∠=∠=︒，//AG CH ， //AD BC Q ，DEF BFE ∴∠=∠，AEG DEF ∠=∠Q ，CFH BFE ∠=∠， AEG CFH ∴∠=∠，在AGE ∆和CHF ∆中，G HAEG CFHAE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AGE CHF AAS ∴∆≅∆；（2）解：线段GH 与AC 互相平分，理由如下： 连接AH 、CG ，如图所示： 由（1）得：AGE CHF ∆≅∆， AG CH ∴=， //AG CH Q ，∴四边形AHCG 是平行四边形， ∴线段GH 与AC 互相平分．【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；平行线的性质21. （2019江苏镇江，21，6分）小丽和小明将在下周的星期一到星期三这三天中各自任选一天担任值日工作，请用画树状图或列表格的方法，求小丽和小明在同一天值日的概率． 【思路分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数和小丽和小明在同一天值日的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解题过程】解：根据题意画树状图如下：共有9种等情况数，其中小丽和小明在同一天值日的有3种， 则小丽和小明在同一天值日的概率是3193=．【知识点】列表法与树状图法22. （2019江苏镇江，22，6分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，过AC 延长线上的点O 作OD AO ⊥，交BC 的延长线于点D ，以O 为圆心，OD 长为半径的圆过点B ． （1）求证：直线AB 与O e 相切；（2）若5AB =，O e 的半径为12，则tan BDO ∠= ．【思路分析】（1）连接OB ，由等腰三角形的性质得出ABC ACB ∠=∠，OBD D ∠=∠，证出90OBD ABC ∠+∠=︒，得出AB OB ⊥，即可得出结论；（2）由勾股定理得出2213OA AB OB =+=，得出8OC OA AC =-=，再由三角函数定义即可得出结果． 【解题过程】解：（1）证明：连接AB ，如图所示： AB AC =Q ， ABC ACB ∴∠=∠， ACB OCD ∠=∠Q ， ABC OCD ∴∠=∠， OD AO ⊥Q ， 90COD ∴∠=︒， 90D OCD ∴∠+∠=︒，OB OD =Q ，OBD D ∴∠=∠，90OBD ABC ∴∠+∠=︒，即90ABO ∠=︒，AB OB ∴⊥，Q 点B 在圆O 上，∴直线AB 与O e 相切；（2）解：90ABO ∠=︒Q ，222251213OA AB OB ∴=+=+=，5AC AB ==Q ，8OC OA AC ∴=-=，82tan 123OC BDO OD ∴∠===； 故答案为：23．【知识点】等腰三角形的性质；切线的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形；勾股定理；三角函数定义23. （2019江苏镇江，23，6分）如图，点(2,)A n 和点D 是反比例函数(0,0)m y m x x=>>图象上的两点，一次函数3(0)y kx k =+≠的图象经过点A ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ，过点D 作DE x ⊥轴，垂足为E ，连接OA ，OD ．已知OAB ∆与ODE ∆的面积满足:3:4OAB ODE S S ∆∆=．（1）OAB S ∆= ，m = ；（2）已知点(6,0)P 在线段OE 上，当PDE CBO ∠=∠时，求点D 的坐标．【思路分析】（1）由一次函数解析式求得点B 的坐标，易得OB 的长度，结合点A 的坐标和三角形面积公式求得3OAB S ∆=，所以4ODE S ∆=，由反比例函数系数k 的几何意义求得m 的值；（2）利用待定系数法确定直线AC 函数关系式，易得点C 的坐标；利用PDE CBO ∠=∠，90COB PED ∠=∠=︒判定CBO PDE ∆∆∽，根据该相似三角形的对应边成比例求得PE 、DE 的长度，易得点D 的坐标．【解题过程】解：（1）由一次函数3y kx =+知，(0,3)B ．又点A 的坐标是(2,)n ，13232OAB S ∆∴=⨯⨯=． :3:4OAB ODE S S ∆∆=Q ．4ODE S ∆∴=．Q 点D 是反比例函数(0,0)m y m x x =>>图象上的点， ∴142ODE m S ∆==，则8m =． 故答案是：3；8；（2）由（1）知，反比例函数解析式是8y x=． 28n ∴=，即4n =． 故(2,4)A ，将其代入3y kx =+得到：234k +=． 解得12k =． ∴直线AC 的解析式是：132y x =+． 令0y =，则1302x +=， 6x ∴=-，(6,0)C ∴-．6OC ∴=．由（1）知，3OB =．设(,)D a b ，则DE b =，6PE a =-．PDE CBO ∠=∠Q ，90COB PED ∠=∠=︒，CBO PDE ∴∆∆∽， ∴OB OC DE PE =，即366b a =-①， 又8ab =②．联立①②，得24a b =-⎧⎨=-⎩（舍去）或81a b =⎧⎨=⎩． 故(8,1)D ．【知识点】反比例函数综合题24. （2019江苏镇江，24，6分）在三角形纸片ABC （如图1)中，78BAC ∠=︒，10AC =．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2)．（1）ABC ∠= ︒；（2）求正五边形GHMNC 的边GC 的长．参考值：sin780.98︒≈，cos780.21︒=，tan78 4.7︒≈．【思路分析】（1）根据多边形内角和定理、正五边形的性质计算；（2）作CQ AB ⊥于Q ，根据正弦的定义求出QC ，根据直角三角形的性质求出BC ，结合图形计算即可．【解题过程】解：（1）Q 五边形ABDEF 是正五边形，(52)1801085BAF -⨯︒∴∠==︒， 30ABC BAF BAC ∴∠=∠-∠=︒，故答案为：30；（2）作CQ AB ⊥于Q ，在Rt AQC ∆中，sin QC QAC AC∠=， sin 100.989.8QC AC QAC ∴=∠≈⨯=g ，在Rt BQC ∆中，30ABC ∠=︒，219.6BC QC ∴==，9.6GC BC BG ∴=-=．【知识点】正多边形和圆；解直角三角形25. （2019江苏镇江，25，6分）（2019•镇江）陈老师对他所教的九（1）、九（2）两个班级的学生进行了一次检测，批阅后对最后一道试题的得分情况进行了归类统计（各类别的得分如下表），并绘制了如图所示的每班各类别得分人数的条形统计图（不完整）．各类别的得分表 得分类别 0A ：没有作答 1B ：解答但没有正确 3C ：只得到一个正确答案 6D ：得到两个正确答案，解答完全正确已知两个班一共有50%的学生得到两个正确答案，解答完全正确，九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分．请解决如下问题：（1）九（2）班学生得分的中位数是 ；（2）九（1）班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数各是多少？【思路分析】（1）由条形图可知九（2）班一共有学生48人，将48个数据按从小到大的顺序排列，第24、25个数据都在D类，所以中位数是6分；（2）先求出两个班一共有多少学生，减去九（2）班的学生数，得出九（1）班的学生数，再根据条形图，用九（1）班的学生数分别减去该班A、D两类的学生数得到B类和C类的人数和，再结合九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分，即可求解．【解题过程】解：（1）由条形图可知九（2）班一共有学生：36122748+++=人，将48个数据按从小到大的顺序排列，第24、25个数据都在D类，所以中位数是6分．故答案为6分；（2）两个班一共有学生：(2227)50%98+÷=（人)，九（1）班有学生：984850-=（人)．设九（1）班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数各是x人、y人．由题意，得52250053622 3.7850 x yx y+++=⎧⎨⨯+++⨯=⨯⎩，解得617xy=⎧⎨=⎩．答：九（1）班学生中这道试题作答情况属于B类和C类的人数各是6人、17人．【知识点】条形统计图；中位数；加权平均数26.（2019江苏镇江，26，6分）【材料阅读】地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的)Oe．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”)，尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的．【实际应用】观测点A 在图1所示的O e 上，现在利用这个工具尺在点A 处测得α为31︒，在点A 所在子午线往北的另一个观测点B ，用同样的工具尺测得α为67︒．PQ 是O e 的直径，PQ ON ⊥．（1）求POB ∠的度数；（2）已知6400OP km =，求这两个观测点之间的距离即O e 上¶AB 的长．(π取 3.1)【思路分析】（1）设点B 的切线CB 交ON 延长线于点E ，HD BC ⊥于D ，CH BH ⊥交BC 于点C ，则67DHC ∠=︒，证出67HBD DHC ∠=∠=︒，由平行线的性质得出67BEO HBD ∠=∠=︒，由直角三角形的性质得出23BOE ∠=︒，得出902367POB ∠=︒-︒=︒；（2）同（1）可证31POA ∠=︒，求出36AOB POB POA ∠=∠-∠=︒，由弧长公式即可得出结果．【解题过程】解：（1）设点B 的切线CB 交ON 延长线于点E ，HD BC ⊥于D ，CH BH ⊥交BC 于点C ，如图所示：则67DHC ∠=︒，90HBD BHD BHD DHC ∠+∠=∠+∠=︒Q ，67HBD DHC ∴∠=∠=︒，//ON BH Q ，67BEO HBD ∴∠=∠=︒，906723BOE ∴∠=︒-︒=︒，PQ ON ⊥Q ，90POE ∴∠=︒，902367POB ∴∠=︒-︒=︒；（2）同（1）可证31POA ∠=︒，673136AOB POB POA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴¶3664003968()180AB km π⨯⨯==．【知识点】切线的性质；弧长的计算27. （2019江苏镇江，27，10分）如图，二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ，对称轴是直线1，一次函数215y x =+的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ． （1）点D 的坐标是 ；（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n ．过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P 、Q ，使得DPQ ∆与DAB ∆相似．①当275n =时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似，请直接写出n 的取值范围 ．【思路分析】（1）直接用顶点坐标公式求即可；（2）由对称轴可知点9(2,)5C ，5(2A -，0)，点A 关于对称轴对称的点13(2，0)，借助AD 的直线解析式求得(5,3)B ；①当275n =时，27(2,)5N ，可求952DA =，185DN =，365CD =当//PQ AB 时，DPQ DAB ∆∆∽，95DP =；当PQ 与AB 不平行时，95DP =；②当//PQ AB ，DB DP =时，35DB =，245DN =，所以21(2,)5N ，则有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似时，92155n <<； 【解题过程】解：（1）顶点为(2,9)D ；故答案为(2,9)；（2）对称轴2x =，9(2,)5C ∴， 由已知可求5(2A -，0)， 点A 关于2x =对称点为13(2，0)， 则AD 关于2x =对称的直线为213y x =-+，(5,3)B ∴，①当275n =时，27(2,)5N ， 952DA ∴=，185DN =，365CD = 当//PQ AB 时，DPQ DAB ∆∆∽，DAC DPN ∆∆Q ∽， ∴DP DN DA DC=， 95DP ∴=；当PQ 与AB 不平行时，DPQ DBA ∆∆∽，DNQ DCA ∴∆∆∽， ∴DP DN DB DC=， 95DP ∴=； 综上所述，95DN =；②当//PQ AB ，DB DP =时，35DB =， ∴DP DN DA DC=， 245DN ∴=，21(2,)5N ∴， ∴有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似时，92155n <<； 故答案为92155n <<； 【知识点】二次函数综合题；二次函数的图象及性质；三角形的相似28. （2019江苏镇江，28，11分）学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．在相距150个单位长度的直线跑道AB 上，机器人甲从端点A 出发，匀速往返于端点A 、B 之间，机器人乙同时从端点B 出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B 、A 之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计． 兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的”迎面相遇“包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．【观察】①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为 个单位长度；②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为 个单位长度；【发现】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为x 个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为y 个单位长度．兴趣小组成员发现了y 与x 的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP ，不包括点O ，如图2所示）． ①a = ；②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象；【拓展】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为x 个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为y 个单位长度．若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离y 不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离x 的取值范围是 ．（直接写出结果）【思路分析】【观察】①设此时相遇点距点A 为m 个单位，根据题意列方程即可得到结论； ②此时相遇点距点A 为m 个单位，根据题意列方程即可得到结论；【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点B 时，设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速度为150x v x -，根据题意列方程即可得到结论；②设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速度为150x v x -，根据题意列函数解析式即可得到结论； 【拓展】由题意得到150150150(150150)x x y x y x-+++=-+-，得到5300y x =-+，根据第三次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离y 不超过60个单位长度，列不等式即可得到结论．【解题过程】解：【观察】①Q 相遇地点与点A 之间的距离为30个单位长度，∴相遇地点与点B 之间的距离为15030120-=个单位长度，设机器人甲的速度为v ，∴机器人乙的速度为120430v v =， ∴机器人甲从相遇点到点B 所用的时间为120v， 机器人乙从相遇地点到点A 再返回到点B 所用时间为30150454v v +=，而12045v v >， ∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人乙从第一次相遇地点到点A ，返回到点B ，再返回向A 时和机器人甲第二次迎面相遇， 设此时相遇点距点A 为m 个单位，根据题意得，301501504(30)m m ++-=-，90m ∴=，故答案为：90；②Q 相遇地点与点A 之间的距离为40个单位长度，∴相遇地点与点B 之间的距离为15040110-=个单位长度，设机器人甲的速度为v ，∴机器人乙的速度为11011404v v =， ∴机器人乙从相遇点到点A 再到点B 所用的时间为4015076011114v v +=， 机器人甲从相遇点到点B 所用时间为110v ，而11076011v v>， ∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人从第一次相遇点到点A ，再到点B ，返回时和机器人乙第二次迎面相遇，设此时相遇点距点A 为m 个单位， 根据题意得，1140150150(40)4m m ++-=-， 120m ∴=， 故答案为：120；【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点B 时，设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速度为150x v x-， 根据题意知，150150(150)x x x x -+=-， 50x ∴=， 经检验：50x =是分式方程的根，即：50a =，故答案为：50；②当050x <„时，点(50,150)P 在线段OP 上，∴线段OP 的表达式为3y x =， 当150x v v x-<时，即当5075x <<，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点B 返回向点A 时， 设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速度为150x v x -， 根据题意知，150(150150)x x y x y x-+=-+-， 3300y x ∴=-+，即：3(050)3300(5075)x x y x x <⎧=⎨-+<<⎩„， 补全图形如图2所示， 【拓展】如图，由题意知，150150150(150150)x x y x y x-+++=-+-， 5300y x ∴=-+，Q 第三次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离y 不超过60个单位长度，530060x ∴-+„，48x ∴…，75x <Q ，4875x ∴<„，故答案为4875x <„．【知识点】一次函数的应用；两点间的距离；分式方程的应用；一元一次方程的应用。