【K12教育学习资料】高考数学一轮总复习第6章数列第1节数列的概念及简单表示法模拟创新题理

教育是最好的老师，小学初中高中资料汇集 专注专业学习坚持不懈勇攀高峰1 【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第6章 数列 第1节 数列的概念及简单表示法模拟创新题 理 一、选择题 1.(2016·陕西西安模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 若数列{an}为递增数列，则an＋1－an>0，即2n＋1>2λ对任意n∈N*都成立，于是有

3>2λ，λ<32，由λ<1可得λ<32；反之由λ<32不能得到λ<1，因此“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件，故选A. 答案 A

2.(2016·玉溪一中模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an （n为正奇数），an＋1 （n为正偶数），则其前6项之和是( ) A.16 B.20 C.33 D.120 解析 a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，∴S6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33. 答案 C 3.(2015·天津南开中学月考)下列可作为数列{an}：1，2，1，2，1，2，…的通项公式的是( )

A.an＝1 B.an＝（－1）n＋12

C.an＝2－|sin nπ2| D.an＝（－1）n－1＋32 解析 A项显然不成立；n＝1时，a1＝－1＋12＝0，故B项不正确；n＝2时，a2＝（－1）2－1＋32

＝1，故D项不正确.由an＝2－|sin nπ2|可得a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，…，故选C. 答案 C 4.(2014·济南外国语学校模拟)已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an－33an＋1(n∈N*)，则a2 016

等于( ) A.0 B.－3 教育是最好的老师，小学初中高中资料汇集 专注专业学习坚持不懈勇攀高峰2 C.3 D.32 解析 由已知得a1＝0，a2＝－3，a3＝3，a4＝0，a5＝－3＝a2，a6＝a3，…，由此归纳得出an＋3＝an，故a2 016＝a3×672＝a3＝3，选C. 答案 C 5.(2014·北大附中模拟)在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝7，an＋2等于anan＋1(n∈N*)的个位数，则a2 013的值是( ) A.8 B.6 C.4 D.2 解析 a1a2＝2×7＝14，∴a3＝4，4×7＝28，∴a4＝8，4×8＝32，∴a5＝2，2×8＝16，∴a6＝6，a7＝2，a8＝2，a9＝4，a10＝8，a11＝2，∴从第三项起，an的值成周期排列，周期数为6，2 013＝335×6＋3，∴a2 013＝a3＝4. 答案 C 二、填空题 6.(2014·山东聊城二模)如图所示是一个类似杨辉三角的数阵，则第n(n≥2)行的第2个数为________.

解析 每行的第2个数构成一个数列{an}，由题意知a2＝3，a3＝6，a4＝11，a5＝18，所以 a3－a2＝3，a4－a3＝5，a5－a4＝7，…，an－an－1＝2(n－1)－1＝2n－3，由累加法得an

－a2＝[（2n－3）＋3]×（n－2）2＝n2－2n， 所以an＝n2－2n＋a2＝n2－2n＋3(n≥2). 答案 n2－2n＋3 创新导向题 利用递推公式求数列通项公式问题 7.已知正项数列{an}满足a2n＋1－6a2n＝an＋1an，若a1＝2，则数列{an}的前n项和为________. 解析 ∵a2n＋1－6a2n＝an＋1an，∴(an＋1－3an)(an＋1＋2an)＝0，∵an>0，∴an＋1＝3an，又a1＝2，

∴{an}是首项为2，公比为3的等比数列，∴Sn＝2（1－3n）1－3＝3n－1. 答案 3n－1 教育是最好的老师，小学初中高中资料汇集 专注专业学习坚持不懈勇攀高峰3 利用Sn与an关系式求an问题 8.已知数列{an}的前n项和Sn＝5n－3，则数列{an}的通项公式为an＝________(n∈N*). 解析 数列的前n项和Sn＝5n－3， ∴当n＝1时，a1＝S1＝5－3＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(5n－3)－(5n－1－3)＝4×5n－1.此式中令n＝1，得a1＝4， ∴a1不适合an＝4×5n－1(n≥2).

故数 列的通项公式an＝2 （n＝1），4×5n－1 （n≥2）.

答案 

2 （n＝1），

4×5n－1 （n≥2） 专项提升测试 模拟精选题 一、选择题

9.(2016·广东佛山一模)数列{an}满足a1＝1，a2＝1，an＋2＝1＋sin2nπ2an＋4cos2nπ2，则a9，a10的大小关系为( )

二、填空题 10.(2015·温州质检)已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·78n，则当an取得最大值时，n等于________.

解析 由题意知an≥an－1，an≥an＋1，∴（n＋2）78n≥（n＋1）78n－1，（n＋2）78n≥（n＋3）78n＋1. 解得n≤6，n≥5.∴n＝5或6. 答案 5或6 11.(2015·天津新华中学模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则满足ann≤2的正整数n的集合为________.

解析 因为Sn＝2an－1， 所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1， 两式相减得an＝2an－2an－1， 整理得an＝2an－1， 教育是最好的老师，小学初中高中资料汇集 专注专业学习坚持不懈勇攀高峰4 所以{an}是公比为2的等比数列. 又因为a1＝2a1－1，所以a1＝1，

故an＝2n－1，而ann≤2，即2n－1≤2n， 所以有n∈{1，2，3，4}. 答案 {1，2，3，4}

12.(2016·河南洛阳模拟)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1＋an1－an(n∈N*)，则该数列的前2 015项的乘积a1·a2·a3·…·a2 015＝________. 解析 由题意可得，a2＝1＋a11－a1＝－3，

a3＝1＋a21－a2＝－12，a4＝1＋a31－a3＝13，a5＝1＋a41－a4＝2＝a1，所以{an}是以4为周期的数列，而2015

＝4×503＋3，a1a2a3a4＝1，则前2 015项的乘积为1503·a1·a2·a3＝3. 答案 3 三、解答题

13.(2015·青岛一中模拟)在数列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋12an＋1(n∈N*). (1)求数列{an}的通项an； (2)若存在n∈N*，使得an≤(n＋1)λ成立，求实数λ的最小值.

解 (1)当n≥2时，由题可得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝n2an.①

a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋12an＋1

，②

②－①得nan＝n＋12an＋1－n2an， 即(n＋1)an＋1＝3nan，（n＋1）an＋1nan＝3， ∴{nan}是以2a2＝2为首项，3为公比的等比数列(n≥2)， ∴nan＝2·3n－2，

∴an＝2n·3n－2(n≥2)，

∵a1＝1，∴an＝1，n＝1，2n·3n－2，n≥2. (2)an≤(n＋1)λ⇔λ≥ann＋1，由(1)可知当n≥2时，ann＋1＝2·3n－2n（n＋1）， 教育是最好的老师，小学初中高中资料汇集 专注专业学习坚持不懈勇攀高峰5 设f(n)＝n（n＋1）2·3n(n≥2，n∈N*)， 则f(n＋1)－f(n)＝2（n＋1）（1－n）2·3n＋1<0， ∴1f（n＋1）>1f（n）(n≥2)， 又1f（2）＝13及a12＝12，可得λ≥1f（2）， ∴所求实数λ的最小值为13. 创新导向题 利用Sn求an及数列求和问题 14.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝a，Sn＋1＝2Sn＋n＋1，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)当a＝1时，若bn＝nan＋1－an，数列{bn}的前n项和为Tn，n∈N*，证明：Tn<2. (1)解 由Sn＋1＝2Sn＋n＋1得Sn＝2Sn－1＋n(n≥2)， 两式相减得Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即an＋1＝2an＋1(n≥2)，

∴an＋1＋1＝2(an＋1)，即an＋1＋1an＋1＝2(n≥2). 故数列{an＋1}从第2项起，是以a2＋1为首项，2为公比的等比数列. 又S2＝2S1＋1＋1，a1＝a，∴a2＝a＋2， ∴an＝(a＋3)·2n－2－1(n≥2)， 又a1＝a，不满足an＝(a＋3)·2n－2－1.

∴an＝a （n＝1），（a＋3）·2n－2－1 （n≥2）.

(2)证明 由a1＝a＝1，得an＝2n－1(n∈N*)，则bn＝n（2n＋1－1）－（2n－1）＝n2n＋1－2n＝n2n，

∴Tn＝12＋2·122＋3·123＋…＋n·12n①， 从而12Tn＝122＋2·123＋…＋(n－1)·12n＋n·12n＋1②，

①－②得：12Tn＝12＋122＋…＋12n－n2n＋1，故12Tn＝121－12n1－12－n2n＋1，