2019-2020年新编人教版高一数学必修一基本初等函数解析
2019-2020学年高中人教A版数学必修1精练：第二章 基本初等函数(Ⅰ) 单元质量测评2 Word版含解析
第二章 单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 答案 C解析 要使函数f (x )有意义，需使(log 2x )2－1>0，即(log 2x )2>1，∴log 2x >1或log 2x <－1.解得x >2或0<x <12.2．若集合M ＝{y |y ＝2x }，P ＝{x |y ＝log 2x －13x －2}，则M ∩P ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1∪(1，＋∞) 答案 D解析 集合M 表示函数y ＝2x 的值域，为(0，＋∞)；集合P 表示函数y ＝log 2x －13x －2的定义域，则⎩⎪⎨⎪⎧3x －2>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得x >23且x ≠1，即为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1∪(1，＋∞)．故选D.3．已知a ＝2－13 ，b ＝log 213，c ＝log 1213，则a 、b 、c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a答案 C解析 由指数函数和对数函数的单调性易知0<2－13<1，log 213<log 21＝0，log 1213>log 1212＝1，故选C.4．函数f (x )＝4x ＋12x 的图象( ) A ．关于原点对称 B ．关于直线y ＝x 对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y 轴对称答案 D解析 易知f (x )的定义域为R ，关于原点对称． ∵f (－x )＝4－x ＋12－x ＝1＋4x2x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称．5．已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝ln x ，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2的值为( )A.1ln 2 B ．－1ln 2 C ．－ln 2 D ．ln 2 答案 C解析 设x <0，则－x >0，于是有f (－x )＝ln (－x )．因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝ln (－x )，所以f (x )＝－ln (－x )，x <0.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，－ln (－x )，x <0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝f (－2)＝－ln 2.6．已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )答案 B解析 y ＝|f (x )|≥0，排除C ；取x ＝12，则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝|2－2|＝2－2<1，排除D ；取x ＝－12，y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－2＝2－22>1，排除A ，故选B.7．函数y ＝lg (4＋3x －x 2)的单调递增区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32D.⎝⎛⎦⎥⎤－1，32答案 D解析 由真数大于0得4＋3x －x 2>0，即x 2－3x －4<0，解得－1<x <4，所以函数的定义域为(－1,4)．令u ＝4＋3x －x 2，则y ＝lg u ．因为u ＝4＋3x －x 2＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋254，且对称轴x ＝32∈(－1,4)，所以函数u 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32内单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4内单调递减．又因为y ＝lg u 是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以y ＝lg (4＋3x －x 2)的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤－1，32.8．已知f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1，则f (x )的大致图象是( )答案 B解析 当x >0时，指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x为减函数，将其图象向上平移1个单位长度，可得函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1(x >0)的图象，而f (x )是R 上的奇函数，所以只有选项B 符合要求．9．已知函数f (x )＝log a 1x ＋1(a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a ＝( )A.12B. 2C.22 D ．2 答案 A解析 令t ＝1x ＋1，当x ∈[0,1]时，t ＝1x ＋1为减函数，∵当a >1时，y ＝log a t 为增函数， ∴f (x )＝log a 1x ＋1在[0,1]上为减函数．∴由题意可得⎩⎨⎧ f (0)＝log a 1＝1，f (1)＝log a 12＝0，此时方程组无解；∵当0<a <1时，f (x )＝log a 1x ＋1在[0,1]上为增函数，∴由题意可得⎩⎨⎧f (0)＝log a 1＝0，f (1)＝log a 12＝1，解得a ＝12.10．函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( )A ．f (－4)＝f (1)B ．f (－4)>f (1)C ．f (－4)<f (1)D ．不能确定答案 B解析 因为函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a >1，又f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2，所以f (－4)>f (1)．11．已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝⎛⎭⎪⎫15log 30.3，则( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．a >c >b D ．c >a >b答案 C解析 ∵log 23.4>log 22＝1，log 43.6<log 44＝1，又y ＝5x 是增函数，∴a >b ；c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3＝5log 3103>1>b ，而log 23.4>log 2103>log 3103，∴a >c ，故a >c >b .故选C.12．若f (x )＝⎩⎨⎧a x ，x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(4,8)C ．[4,8)D ．(1,8)答案 C解析 ∵函数f (x )是R 上的单调递增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2×1＋2，4－a 2>0，解得4≤a <8.故实数a 的取值范围为[4,8)．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．若f (x )＝a ·2x ＋2a －12x ＋1为R 上的奇函数，则实数a 的值为________．答案 13解析 因为f (x )＝a ·2x ＋2a －12x ＋1为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即a ·20＋2a －120＋1＝0，所以a ＝13.14．已知125x＝12.5y＝1000，则y －xxy ＝________.答案 13解析 因为125x ＝12.5y ＝1000，所以x ＝log 1251000，y ＝log 12.51000，y －x xy ＝1x －1y ＝log 1000125－log 100012.5＝log 100012512.5＝log 100010＝13. 15．已知函数y ＝log a (3a －1)的值恒为正数，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23∪(1，＋∞)解析 因为函数y ＝log a (3a －1)的值恒为正数，即log a (3a －1)＞0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，3a －1＜1，3a －1＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，3a －1＞1， 解得13＜a ＜23或a ＞1.16．给出函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (log 23)＝________.答案 124解析 ∵log 23<4，∴f (log 23)＝f (log 23＋1)＝f (log 23＋1＋1)＝f (log 23＋1＋1＋1)＝f (log 224)．∵log 224>4，∴f (log 224)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 224＝124.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)计算下列各式的值： (1)12－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫350＋⎝ ⎛⎭⎪⎫94－0.5＋ 4(2－e )4；(2)lg 500＋lg 85－12lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2. 解 (1)原式＝2＋1－1＋23＋e －2＝23＋e.(2)原式＝lg 5＋lg 102＋lg 23－lg 5－12lg 26＋50(lg 10)2＝lg 5＋2＋3lg 2－lg 5－3lg 2＋50＝52.18．(本小题满分12分)已知f (x )＝(log 12x )2－2log 12x ＋4，x ∈[2,4]．(1)设t ＝log 12x ，x ∈[2,4]，求t 的最大值与最小值； (2)求f (x )的值域．解 (1)因为函数t ＝log 12x 在[2,4]上是单调减函数，所以t max ＝log 122＝－1，t min ＝log 124＝－2.(2)令t ＝log 12x ，则g (t )＝t 2－2t ＋4＝(t －1)2＋3，由(1)得t ∈[－2，－1]，因此当t ＝－2，即x ＝4时，f (x )max ＝12；当t ＝－1，即x ＝2时，f (x )min ＝7.因此，函数f (x )的值域为[7,12]．19．(本小题满分12分)设a >0，f (x )＝e x a ＋ae x 是R 上的偶函数． (1)求a 的值；(2)证明f (x )在(0，＋∞)上是增函数．解 (1)因为f (x )＝e x a ＋a e x 是R 上的偶函数，所以f (x )＝f (－x )，即e xa＋a e x ＝e －x a ＋ae－x ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a (e x －e －x )＝0，又e x －e －x 不可能恒为0，所以当1a －a ＝0时，f (x )＝f (－x )恒成立，故a ＝1.(2)证明：在(0，＋∞)上任取x 1<x 2， 因为f (x 1)－f (x 2)＝e x 1＋1e x 1－e x 2－1e x 2＝(e x 1－e x 2)＋⎝⎛⎭⎪⎫1e x 1－1e x 2＝(e x 1－e x 2)＋(e x 2－e x 1)·1e x 1e x 2 ＝(e x 1－e x 2)(e x 1e x 2－1)e x 1e x 2， 又e>1，x 1>0，x 2>0，所以1<e x 1<e x 2，所以e x 1－e x 2<0，e x 1e x 2－1>0，故f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．20．(本小题满分12分)若点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点⎝⎛⎭⎪⎫2，12在幂函数g (x )的图象上．(1)求f (x )和g (x )的解析式；(2)定义h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤g (x )，g (x )，f (x )>g (x )，求函数h (x )的最大值以及单调区间．解 (1)设f (x )＝x α，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，所以(2)α＝2，解得α＝2，即f (x )＝x 2.设g (x )＝x β，因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12在幂函数g (x )的图象上，所以2β＝12，解得β＝－1，即g (x )＝x －1.(2)在同一平面直角坐标系中画出函数f (x )＝x 2和g (x )＝x －1的图象，可得函数h (x )的图象如图所示．由题意及图象可知h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x <0或x >1，x 2，0<x ≤1.根据函数h (x )的解析式及图象可知，函数h (x )的最大值为1，单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(－∞，0)和(1，＋∞)．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12018的值； (2)当x ∈(－a ，a ](其中a ∈(0,1))时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)因为函数f (x )的定义域是(－1,1)，f (－x )＝x ＋log 21＋x 1－x ＝－(－x )＋log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－(－x ＋log 21－x 1＋x ＝－f (x )，即f (x )＋f (－x )＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12018＝0.(2)令t ＝1－x 1＋x ＝－1＋21＋x，则t ＝－1＋21＋x 在(－1,1)上单调递减．又y ＝log 2t 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x在(－1,1)上单调递减．所以当x ∈(－a ，a ](其中a ∈(0,1))时，函数f (x )存在最小值，f (x )min＝f (a )＝－a ＋log 21－a 1＋a.22．(本小题满分12分)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求x <0时，函数f (x )的解析式； (2)若f (x )≤1，求实数x 的取值范围．解 (1)设x <0，则－x >0，从而f (－x )＝log 12(－x )．∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－log 12(－x )．即x <0时，f (x )的解析式为f (x )＝－log 12(－x )．(2)由题意及(1)知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，－log 12(－x )，x <0.当x >0时，由f (x )≤1得log 12x ≤1，解得x ≥12；当x ＝0时，f (x )≤1显然成立；当x <0时，由f (x )≤1得－log 12(－x )≤1，解得－2≤x <0.综上可知，x 的取值范围为－2≤x ≤0或x ≥12.。
2019-2020年高中数学 第二章 基本初等函数(I)学案 新人教A版必修1
2019-2020年高中数学第二章基本初等函数（I）学案新人教A版必修1[提出问题](1)若x2＝9，则x是9的平方根，且x＝±3；(2)若x3＝64，则x是64的立方根，且x＝4；(3)若x4＝81，则x是81的4次方根，且x＝±3；(4)若x5＝－32，则x是－32的5次方根，且x＝－2.问题1：观察(1)(3)，你认为正数的偶次方根都是两个吗？提示：是．问题2：一个数的奇次方根有几个？提示：1个．问题3：由于22＝4，小明说，2是4的平方根；小李说，4的平方根是2，你认为谁说的正确？提示：小明．[导入新知]根式及相关概念(1)a的n次方根定义：如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示：(3)根式：式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．[化解疑难]根式记号的注意点(1)根式的概念中要求n >1，且n ∈N *.(2)当n 为大于1的奇数时，a 的n 次方根表示为n a (a ∈R )；当n 为大于1的偶数时，na (a ≥0)表示a 在实数范围内的一个n 次方根，另一个是－na ，从而⎝⎛⎭⎫±n a n ＝a .根式的性质[提出问题] 问题1：⎝⎛⎭⎫323，⎝⎛⎭⎫3－23，⎝⎛⎭⎫424分别等于多少？ 提示：2，－2,2.问题2：3－23，323， 4－24，424分别等于多少？提示：－2,2,2,2.问题3：等式a 2＝a 及(a )2＝a 恒成立吗？提示：当a ≥0时，两式恒成立；当a <0时，a 2＝－a ，(a )2无意义． [导入新知]根式的性质(1)(na )n＝a (n 为奇数时，a ∈R ；n 为偶数时，a ≥0，且n >1)． (2)nan＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 为奇数，且n >1，|a |n 为偶数，且n >1.(3)n0＝0.(4)负数没有偶次方根． [化解疑难](na )n与na n的区别(1)当n 为奇数，且a ∈R 时，有na n＝(na )n＝a ； (2)当n 为偶数，且a ≥0时，有na n＝(na )n＝a .根式的概念[例1] (1)下列说法：①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，na对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，na只有当a≥0时才有意义．其中说法正确的序号为________．(2)若31a－3有意义，则实数a的取值范围是________．[解析] (1)①16的4次方根应是±2；②416＝2，所以正确的应为③④.(2)要使31a－3有意义，则a－3≠0，即a≠3.∴a的取值范围是{a|a≠3}．[答案] (1)③④(2){a|a≠3}[类题通法]判断关于n次方根的结论应关注两点(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数；(2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．[活学活用]已知m10＝2，则m等于( )A.102 B．－102C.210D．±102解析：选D ∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m＝±102.利用根式的性质化简求值[例2] 化简：(1)nx －πn(x <π，n ∈N *)；(2)4a 2－4a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ≤12.[解] (1)∵x <π，∴x －π<0， 当n 为偶数时，n x －πn＝|x －π|＝π－x ； 当n 为奇数时，nx －πn＝x －π.综上，nx －πn＝⎩⎪⎨⎪⎧π－x ， n 为偶数，n ∈N *，x －π，n 为奇数，n ∈N *.(2)∵a ≤12，∴1－2a ≥0.∴4a 2－4a ＋1＝2a －12＝|2a －1|＝1－2a .[类题通法]根式化简应注意的问题(1)⎝⎛⎭⎫n a n已暗含了n a 有意义，据n 的奇偶性不同可知a 的取值范围．(2)na n中的a 可以是全体实数，na n的值取决于n 的奇偶性． [活学活用] 求下列各式的值： (1)8x －28；(2)3－22＋(31－2)3.解：(1)8x －28＝|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≥2，2－x ，x <2.(2)因为3－22＝12－22＋(2)2＝(2－1)2， 所以3－22＋(31－2)3＝2－12＋1－2＝2－1＋1－2＝0.条件根式的化简[例3] (1)若xy ≠0，则使4x 2y 2＝－2xy 成立的条件可能是( ) A ．x >0，y >0B ．x >0，y <0C ．x ≥0，y ≥0D ．x <0，y <0(2)设－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． (1)[解析] ∵4x 2y 2＝2|xy |＝－2xy ， ∴xy ≤0.又∵xy ≠0，∴xy <0，故选B. [答案] B (2)[解] 原式＝x －12－x ＋32＝|x －1|－|x ＋3|.∵－3<x <3，∴当－3<x <1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2. 当1≤x <3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4.∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2 －3<x <1，－4 1≤x ＜3.[类题通法]有条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．[活学活用]若n <m <0，则m 2＋2mn ＋n 2－m 2－2mn ＋n 2等于( ) A ．2m B ．2n C ．－2mD ．－2n解析：选C 原式＝m ＋n2－m －n2＝|m ＋n |－|m －n |，∵n <m <0，∴m ＋n <0，m －n >0， ∴原式＝－(m ＋n )－(m －n )＝－2m .5.忽略n 的范围导致式子nana ∈R化简出错[典例] 化简31＋23＋41－24＝________.[解析]31＋23＋41－24＝(1＋2)＋|1－2|＝1＋2＋2－1＝2 2.[答案] 2 2 [易错防范] 1．本题易忽视41－24>0，而误认为41－24＝1－2而导致解题错误．2．对于根式na n的化简一定要注意n 为正奇数还是正偶数，因为na n＝a (a ∈R )成立的条件是n 为正奇数，如果n 为正偶数，那么na n＝|a |.[活学活用]当a ，b ∈R 时，下列各式恒成立的是( ) A ．(4a －4b )4＝a －b B ．(4a ＋b )4＝a ＋b C.4a 4－4b 4＝a －b D.4a ＋b4＝a ＋b解析：选B 当且仅当a ＝b ≥0时，(4a －4b )4＝a －b ； 当且仅当a ≥0，b ≥0时，4a 4－4b 4＝a －b ； 当且仅当a ＋b ≥0时，4a ＋b4＝a ＋b .由于a ，b 符号未知，因此选项A ，C ，D 均不一定恒成立． 选项B 中，由4a ＋b 可知a ＋b ≥0，所以(4a ＋b )4＝a ＋b .故选B.[随堂即时演练]1．化简1－2x2⎝ ⎛⎭⎪⎫x >12的结果是( )A ．1－2xB ．0C ．2x －1D ．(1－2x )2解析：选C ∵1－2x2＝|1－2x |，x >12，∴1－2x <0， ∴1－2x2＝2x －1.2．下列式子中成立的是( ) A ．a －a ＝－a 3B ．a －a ＝－a 3C ．a －a ＝－－a 3D ．a －a ＝a 3解析：选C 要使a －a 有意义，则a ≤0， 故a －a ＝－(－a )－a ＝－－a2－a ＝－－a 3，故选C.3．若x >3，则x 2－6x ＋9－|2－x |＝________. 解析：x 2－6x ＋9－|2－x |＝x －32－|2－x |＝|x －3|－|2－x |＝x －3－(x －2)＝－1.答案：－1 4．化简(a －1)2＋1－a2＋31－a3＝________.解析：由根式a －1有意义可得a －1≥0，即a ≥1， ∴原式＝(a －1)＋(a －1)＋(1－a )＝a －1. 答案：a －15．已知a <b <0，n >1，n ∈N *，化简na －bn＋na ＋bn.解：∵a <b <0，∴a －b <0，a ＋b <0.当n 是奇数时，原式＝(a －b )＋(a ＋b )＝2a ； 当n 是偶数时，原式＝|a －b |＋|a ＋b | ＝(b －a )＋(－a －b )＝－2a . ∴na －bn＋na ＋bn＝⎩⎪⎨⎪⎧2a ，n 为奇数，－2a ，n 为偶数.[课时达标检测]一、选择题1.4a －2＋(a －4)0有意义，则a 的取值范围是( )A ．a ≠2B ．a ≥2C ．a ≠4D ．2≤a ＜4或a ＞4解析：选D 要使原式有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥0，a －4≠0，即a ≥2且a ≠4.2.3－63＋45－44＋35－43的值为( ) A ．－6 B ．25－2 C ．2 5D ．6解析：选A 3－63＝－6，45－44＝|5－4|＝4－5， 35－43＝5－4，∴原式＝－6＋4－5＋5－4＝－6. 3．化简x ＋32－3x －33得( ) A ．6 B ．2xC ．6或－2xD ．6或2x 或－2x解析：选C 注意开偶次方根要加绝对值，x ＋32－3x －33＝|x ＋3|－(x －3)＝⎩⎪⎨⎪⎧6，x ≥－3，－2x ，x <－3，故选C.4.7＋43＋7－43等于( ) A ．－4B ．2 3C ．－2 3D ．4解析：选D7＋43＋7－43＝2＋32＋2－32＝(2＋3)＋(2－3)＝4.5.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋0.1的图象如图所示，则4a －b4的值为( )A ．a ＋bB ．－(a ＋b )C ．a －bD ．b －a解析：选D 由图象知a (－1)2＋b ×(－1)＋0.1<0，∴a <b ，∴4a －b4＝|a －b |＝b －a .二、填空题6．设m <0，则(－m )2＝________. 解析：∵m <0，∴－m >0，∴(－m )2＝－m . 答案：－m7．若x 2－8x ＋16＝x －4，则实数x 的取值范围是________． 解析：∵x 2－8x ＋16＝x －42＝|x －4|又x 2－8x ＋16＝x －4， ∴|x －4|＝x －4，∴x ≥4. 答案：x ≥48．设f (x )＝x 2－4，若0＜a ≤1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＝________.解析：f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2－4＝a 2＋1a2－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ， 由于0＜a ≤1，所以a ≤1a，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＝1a－a .答案：1a－a9．写出使下列等式成立的x 的取值范围：(1)3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －33＝1x －3； (2)x －5x 2－25＝(5－x )x ＋5.解：(1)要使3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －33＝1x －3成立，只需x －3≠0即可， 即x ≠3. (2)x －5x 2－25＝x －52x ＋5.要使x －52x ＋5＝(5－x )x ＋5成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥0，x －5≤0，即－5≤x ≤5. 10．化简(a －1)2＋1－a2＋7a －17.解：由题意可知a －1有意义，∴a ≥1. ∴原式＝(a －1)＋|1－a |＋(a －1) ＝a －1＋a －1＋a －1＝3a －3.第二课时 指数幂及运算分数指数幂的意义[提出问题]问题1：判断下列运算是否正确． (1) 5a 10＝5a 25＝a 2＝a 4(a >0)；(2)3a 12＝3a 43＝a 4＝a (a >0)．提示：正确．问题2：能否把4a 3，3b 2，4c 5写成下列形式： 4a 3＝a (a >0)； 3b 2＝b (b >0)； 4c 5＝c (c >0)．提示：能． [导入新知]分数指数幂的意义(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a ＝1a )＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． [化解疑难]对分数指数幂的理解(1)指数幂a m n 不可以理解为m n个a 相乘，它是根式的一种新写法．在定义的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式上不同而已，这种写法更便于指数运算，所以分数指数幂与根式可以相互转化；(2)通常规定分数指数幂的底数a >0，但要注意在像(－a )14＝4－a 中的a ，则需要a ≤0.有理指数幂的运算性质[导入新知]有理数指数幂的运算性质(1)a r a s＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )；(2)(a r )s ＝a rs(a >0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r＝a r·b r(a >0，b >0，r ∈Q )． [化解疑难]有理指数幂的运算性质的理解与巧记(1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②幂的幂，底数不变，指数相乘；③积的幂等于幂的积．(2)有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循：乘相加，除相减，幂相乘．根式与分数指数幂的互化[例1] (1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A ．－x ＝(－x ) (x >0)B.6y 2＝y (y <0) C ．x ＝41x3(x >0)D ．x ＝－3x (x ≠0)(2)用分数指数幂的形式表示下列各式．①a 2·a (a >0)； ②a a (a >0)；③⎝⎛⎭⎪⎫4b －23 (b >0)； ④y 2xx 3y 3y 6x 3(x >0，y >0)． (1)[解析] －x ＝－x (x >0)； 6y 2＝[(y )2] ＝－y (y <0)；x ＝(x －3) ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x >0)； x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝31x (x ≠0)．[答案] C(2)[解] ①a 2·a ＝a 2·a ＝a 2＋＝a . ② a a ＝a ·a ＝ a ＝()a ＝a . ③原式＝[]()b ＝b ＝b 19.④法一：从外向里化为分数指数幂．y 2xx 3y 3y 6x 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2xx 3y 3y 6x 3 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3y 3y 6x 3＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y 2x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 3y ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 6x 3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫y 6x 3 ＝y x ·x y ·y x ＝x ·yx ·y＝y .法二：从里向外化为分数指数幂．y 2xx 3y 3y 6x 3＝y 2xx 3y ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 6x 3 ＝y 2xx 3y ·y 2x＝y 2xx 2·y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y2x ·xy 12＝y .[类题通法]根式与分数指数幂的互化技巧(1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：a ＝na m和a ＝1a＝1na m，其中字母a 要使式子有意义．(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂．[活学活用]将下列根式化为分数指数幂的形式： (1) 1a 1a(a >0)；(2)13x ·5x 22(x >0)； (3) ab3ab 5(a >0，b >0)．解：(1)原式＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a . (2)原式＝13x ·()x 2＝13x ·x ＝13x＝1()x ＝1x＝x .(3)原式＝[ab 3(ab 5) ]＝[a ·ab 3(b 5) ]＝()ab ＝ab .指数幂的运算[例2] 计算下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫214－0.010.5； (2)0.064－⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋[(－2)3] ＋16－0.75；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫14 ·4ab －130.1－2a 3b －3(a >0，b >0)． [解] (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫49－⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716.(3)原式＝4·4100·a ·a ·b ·b ＝425a 0b 0＝425.[类题通法]利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示． [活学活用] 计算下列各式的值：(1)0.027－⎝ ⎛⎭⎪⎫－17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫279－()2－10； (2)⎝⎛⎭⎪⎫8125 －⎝ ⎛⎭⎪⎫－350＋160.75＋0.25； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2＋3＋23－2－1.030×⎝ ⎛⎭⎪⎫－623. 解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫271 000－⎝ ⎛⎭⎪⎫17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫259－1＝103－49＋53－1＝－45.(2)原式＝52－1＋16＋0.5＝52－1＋8＋0.5＝10.(3)原式＝42＋3＋223－2－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫32 3＝16＋5＋26＋346＝21＋114 6.4.含附加条件的幂的求值问题[典例] (12分)已知x ＋y ＝12，xy ＝9，且x <y ，求： (1)x ＋y ； (2)x －y ； (3)x －y . [解题流程]求x ＋y ，x －y ，x －y 的值，应建立其与x ＋y 及xy 的关系后求解1将x ＋y ，x －y 平方后即可建立其与x ＋y 及xy 的关系；,2可利用平方差公式将x －y 分解成x ＋yx －y 求解x ＋y2＝x ＋y ＋2xy↓x －y2＝x ＋y －2xy↓ (x －y ＝x2－y2＝x ＋y2＝x ＋y x －y[规范解答](1)()x ＋y 2＝x ＋y ＋2xy ＝18，(2分) ∴x ＋y ＝3 2.(4分)(2)()x －y 2＝x ＋y －2xy ＝6，(6分)又x <y ，∴x －y ＝－ 6.(8分) (3)x －y ＝()x 2－()y 2＝()x ＋y ()x -y (10分) ＝32×(－6)＝－3×2×2×3＝－6 3.(12分)[名师批注]由x与x，y与y都具有平方关系，故可先求()x＋y2，然后求x＋y的值，解题时常因找不到此关系而使问题不能得以正确求解.易忽视条件x<y，而得出错误答案.此处巧妙利用了12的结论使问题得以解决.[活学活用]已知a＋a－1＝5，求下列各式的值；(1)a2＋a－2；(2)a－a.解：(1)法一：由a＋a－1＝5两边平方得：a2＋2aa－1＋a－2＝25，即：a2＋a－2＝23；法二：a2＋a－2＝a2＋2aa－1＋a－2－2aa－1＝(a＋a－1)2－2＝25－2＝23；(2)∵(a－a)2＝a＋a－1－2＝5－2＝3，∴|a－a|＝ 3.∴a－a＝± 3.[随堂即时演练]1．若2<a<3，化简2－a2＋43－a4的结果是( )A．5－2a B．2a－5C．1 D．－1解析：选C 由于2<a<3，所以2－a<0,3－a>0，所以原式＝a－2＋3－a＝1.2．(－2ab·(－ab)6÷(－3ab)等于( )A.23ab B ．－23aC ．－23abD.23ab 解析：选A 原式＝(－2)×(－1)6÷(－3)·(ab )·(a 3·b －2)÷(ab )＝23ab =23ab 注意符号不能弄错．3．若10x ＝3,10y ＝4，则102x －y＝________.解析：∵10x＝3，∴102x＝9， ∴102x －y＝102x10y ＝94. 答案：944．化简3a a 的结果是________．解析： 3a a ＝()a a ＝()a ·a ＝()a ＝a . 答案：a5．计算(或化简)下列各式： (1)42＋1·23－22·64；(2)a －b a ＋b －a ＋b －2a ·ba －b. 解：(1)原式＝(22)2＋1·23－22·(26)＝222＋2·23－22·2－4＝222＋2＋3－22－4＝21＝2.(2)原式＝a ＋b a －b a ＋b －a －b 2a －b＝a －b －()a －b ＝0.[课时达标检测]一、选择题 1.a 3a ·5a 4(a >0)的值是( )A ．1B ．aC ．a 15D ．a 1710解析：选D 原式＝a 3·a －12·a －45＝a 3－12－45＝a 1710.2．化简[3－52]34的结果为( ) A ．5 B. 5 C ．－ 5 D ．－5解析：选B [3－52]34＝[(－5)23]34＝512＝ 5. 3.⎝ ⎛⎭⎪⎫1120－(1－0.5－2)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫27823的值为( ) A ．－13B.13C.43D.73解析：选D 原式＝1－(1－22)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1－(－3)×49＝73.故选D.4．若a >1，b >0，a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b等于( ) A. 6 B ．2或－2 C ．－2D ．2解析：选D ∵a >1，b >0，∴a b>a －b，(a b－a －b )2＝(a b ＋a －b )2－4＝(22)2－4＝4， ∴a b －a －b＝2.5．设x ，y 是正数，且x y ＝y x，y ＝9x ，则x 的值为( ) A.19 B.43 C ．1D.39解析：选B x 9x＝(9x )x，(x 9)x＝(9x )x， ∴x 9＝9x .∴x 8＝9.∴x ＝89＝43. 二、填空题6．化简a 3b 23ab 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 14b 1243b a (a >0，b >0)的结果是________．解析：原式＝a 3·b 2·a 13·b2312a ·b 2·a －13·b13＝a 32＋16－1＋13·b 1＋13－2－13＝ab.答案：ab7．已知x ＝12(51n －5－1n )，n ∈N *，则(x ＋1＋x 2)n的值为________．解析：因为1＋x 2＝14(52n ＋2＋5－2n )＝14(51n ＋5－1n )2，所以(x ＋1＋x 2)n＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1251n －5－1n ＋1251n ＋5－1n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫51n n ＝5.答案：58．设a 2＝b 4＝m (a >0，b >0)，且a ＋b ＝6，则m 等于________． 解析：∵a 2＝b 4＝m (a >0，b >0)， ∴a ＝m 12，b ＝m 14，a ＝b 2.由a ＋b ＝6得b 2＋b －6＝0，解得b ＝2或b ＝－3(舍去)． ∴m 14＝2，m ＝24＝16. 答案：16 三、解答题 9．化简求值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027－23－3π0＋3748；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－338－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0；(3)(a －2b －3)·(－4a －1b )÷(12a －4b －2c )； (4)23a ÷46a ·b ×3b 3.解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25912＋10.12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6427－23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100. (2)原式＝(－1)－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋(500)12－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (3)原式＝－4a－2－1b －3＋1÷(12a －4b －2c )＝－13a －3－(－4)b －2－(－2)c －1＝－13ac －1＝－a 3c .(4)原式＝2a 13÷(4a 16b 16)×(3b 32)＝12a 13－16b －16·3b 32＝32a 16b 43. 10．已知a ＝3，求11＋a 14＋11－a 14＋21＋a12＋41＋a 的值．解：11＋a 14＋11－a 14＋21＋a12＋41＋a＝2⎝⎛⎭⎪⎫1＋a 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 14＋21＋a 12＋41＋a＝21－a 12＋21＋a12＋41＋a ＝41－a121＋a12＋41＋a＝41－a ＋41＋a ＝81－a2＝－1. 2．1.2 指数函数及其性质 第一课时 指数函数及其性质指数函数的定义[提出问题]观察下列从数集A 到数集B 的对应： ①A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝2x；②A ＝R ，B ＝(0，＋∞)，f ：x →y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.问题1：这两个对应能构成函数吗？ 提示：能．问题2：这两个函数有什么特点？ 提示：底数是常数，指数是自变量． [导入新知]指数函数的定义函数y ＝a x(a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . [化解疑难]指数函数的概念中规定a >0且a ≠1的原因(1)若a ＝0，则当x >0时，a x＝0；当x ≤0时，a x无意义．(2)若a <0，则对于x 的某些数值，可使a x 无意义．如(－2)x，这时对于x ＝14，x ＝12，…，在实数范围内函数值不存在．(3)若a ＝1，则对于任何x ∈R ，a x＝1，是一个常量，没有研究的必要性．为了避免上述各种情况的发生，所以规定a >0，且a ≠1.在规定以后，对于任何x ∈R ，a x都有意义，且a x>0.指数函数的图象与性质[提出问题]问题1：试作出函数y ＝2x(x ∈R )和y ＝(12)x (x ∈R )的图象．提示：问题2：两函数图象有无交点？ 提示：有交点，其坐标为(0,1)．问题3：两函数的定义域是什么？值域是什么？单调性如何？提示：定义域都是R ；值域都是(0，＋∞)；函数y ＝2x是增函数，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是减函数．[导入新知]指数函数的图象和性质a ＞1 0＜a ＜1图 象性 质定义域R 值域 (0，＋∞)过定点 过点(0,1)即x ＝0时，y ＝1单调性是R 上的增函数是R 上的减函数[化解疑难]透析指数函数的图象与性质(1)当底数a 大小不确定时，必须分a >1和0<a <1两种情况讨论函数的图象和性质． (2)当a >1时，x 的值越小，函数的图象越接近x 轴；当0<a <1时，x 的值越大，函数的图象越接近x 轴．(3)指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象都在第一、二象限．指数函数的概念[例1] (1)①y ＝2·3x；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3.其中，指数函数的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3(2)函数y ＝(a －2)2a x是指数函数，则( ) A ．a ＝1或a ＝3 B ．a ＝1 C ．a ＝3D ．a >0且a ≠1[解析] (1)①中，3x的系数是2，故①不是指数函数； ②中，y ＝3x ＋1的指数是x ＋1，不是自变量x ，故②不是指数函数；③中，y ＝3x,3x的系数是1，幂的指数是自变量x ，且只有3x一项，故③是指数函数； ④中，y ＝x 3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．所以只有③是指数函数．(2)由指数函数定义知⎩⎪⎨⎪⎧a －22＝1，a >0，且a ≠1，所以解得a ＝3.[答案] (1)B (2)C [类题通法]判断一个函数是否为指数函数的方法判断一个函数是否是指数函数，其关键是分析该函数是否具备指数函数三大特征： (1)底数a >0，且a ≠1. (2)a x的系数为1.(3)y ＝a x 中“a 是常数”，x 为自变量，自变量在指数位置上． [活学活用]下列函数中是指数函数的是________(填序号)． ①y ＝2·(2)x；②y ＝2x －1；③y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ；④y ＝x x；⑤y ＝3－1x ；⑥y ＝x 13.解析：①中指数式(2)x的系数不为1，故不是指数函数；②中y ＝2x －1＝12·2x ，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；④中底数为x ，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是x ，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填③.答案：③指数函数的图象问题[例2] (1)a ，b ，c ，d 与1的大小关系为( )A．a<b<1<c<dB．b<a<1<d<cC．1<a<b<c<dD．a<b<1<d<c(2)函数y＝a x－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．[解析] (1)由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.过点(1,0)作直线x＝1，如图所示，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底数，则1<d<c，b<a<1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c.(2)法一：因为指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝a x－3＋3中，令x＝3，得y＝1＋3＝4，即函数的图象过定点(3,4)．法二：将原函数变形，得y－3＝a x－3，然后把y－3看作是(x－3)的指数函数，所以当x－3＝0时，y－3＝1，即x＝3，y＝4，所以原函数的图象过定点(3,4)．[答案] (1)B (2)(3,4)[类题通法]底数a对函数图象的影响(1)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”；当0<a<1时，指数函数的图象“下降”．(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y轴．当a>b>1时，①若x>0，则a x>b x>1；②若x<0，则1>b x>a x>0.当1>a>b>0时，①若x>0，则1>a x>b x>0；②若x<0，则b x>a x>1.[活学活用]若函数y＝a x＋(b－1)(a>0，且a≠1)的图象不经过第二象限，则有( )A．a>1且b<1 B．0<a<1且b≤1C．0<a<1且b>0 D．a>1且b≤0解析：选D 由指数函数图象的特征可知0<a<1时，函数y＝a x＋(b－1)(a>0，且a≠1)的图象必经过第二象限，故排除选项B、C.又函数y＝a x＋(b－1)(a>0，且a≠1)的图象不经过第二象限，则其图象与y轴的交点不在x轴上方，所以当x＝0时，y＝a0＋(b－1)≤0，即b≤0，故选项D正确.与指数函数有关的定义域、值域问题[例3] (1)y ＝1－3x；(2)y ＝21x －4；(3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |.[解] (1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30， 因为函数y ＝3x在R 上是增函数，所以x ≤0， 故函数y ＝1－3x 的定义域为(－∞，0]． 因为x ≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x＜1，所以1－3x∈[0,1)，即函数y ＝1－3x的值域为[0,1)． (2)要使函数式有意义，则x －4≠0，解得x ≠4，所以函数y ＝21x －4的定义域为{x ∈R |x ≠4}． 因为1x －4≠0，所以21x －4≠1，即函数y ＝21x －4的值域为{y |y >0且y ≠1}． (3)要使函数式有意义，则－|x |≥0，解得x ＝0，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |的定义域为{x |x ＝0}．而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝1，则函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |的值域为{y |y ＝1}．[类题通法]指数型函数的定义域、值域的求法(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y ＝a x型还是y ＝a f (x )型，前者的定义域是R ，后者的定义域与f (x )的定义域一致，而求y ＝f a x 型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)．(2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．[活学活用]求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的定义域和值域．解：定义域为R .∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16.又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3>0，∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的值域为(0,16]．5.利用换元法求函数的值域[典例] (12分)已知函数y＝a2x＋2a x－1(a>0，且a≠1)，当x≥0时，求函数f(x)的值域．[解题流程]求函数f x的值域，应确定函数的类型1若令t＝a x，则原函数可变为y＝t2＋2t－1，从而可利用二次函数的有关性质解决；2应明确换元后的定义域；3由于t＝a x a>0，a≠1，因此应分类确定t的取值范围令t＝a x―→分a>1和0<a<1两种情况，讨论t的范围―→利用二次函数的知识求值域[随堂即时演练]1．已知1>n >m >0，则指数函数①y ＝m x，②y ＝n x的图象为( )解析：选C 由于0<m <n <1，所以y ＝m x与y ＝n x都是减函数，故排除A 、B ，作直线x ＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y ＝m x的图象，故选C.2．若函数y ＝(1－2a )x是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ B ．(－∞，0)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12解析：选B 由题意知，此函数为指数函数，且为实数集R 上的增函数，所以底数1－2a >1，解得a <0.3．指数函数y ＝f (x )的图象过点(2,4)，那么f (2)·f (4)＝________. 解析：设f (x )＝a x(a >0且a ≠1)， 又f (2)＝a 2＝4，∴f (2)·f (4)＝a 2·a 4＝4·42＝43＝64. 答案：644．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1，x ∈[－1,2]的值域为________．解析：∵－1≤x ≤2，∴19≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≤3.∴－89≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1≤2.∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，2. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，2 5．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点(2，12)，其中a >0且a ≠1.(1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．解：(1)因为函数图象过点(2，12)，所以a2－1＝12，则a ＝12. (2)f (x )＝(12)x －1(x ≥0)，由x ≥0得，x －1≥－1， 于是0<(12)x －1≤(12)－1＝2.所以函数的值域为(0,2]．[课时达标检测]一、选择题1．下列函数中，指数函数的个数为( )①y ＝(12)x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x；④y ＝(12)2x －1.A ．0个B ．1个C ．3个D ．4个解析：选B 由指数函数的定义可判定，只有②正确． 2．函数y ＝(3－1)x在R 上是( ) A ．增函数 B ．奇函数 C ．偶函数D ．减函数解析：选D 由于0<3－1<1，所以函数y ＝(3－1)x在R 上是减函数，f (－1)＝(3－1)－1＝3＋12，f (1)＝3－1，则f (－1)≠f (1)，且f (－1)≠－f (1)，所以函数y ＝(3－1)x不具有奇偶性．3．当x >0时，函数f (x )＝(a 2－1)x的值总大于1，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<|a |< 2 B ．|a |<1 C ．|a |>1D ．|a |> 2解析：选D 依题意得a 2－1>1，a 2>2，∴|a |> 2.4．函数y ＝xa x|x |(0<a <1)的图象的大致形状是( )解析：选D 当x >0时，y ＝a x(0<a <1)，故去掉A 、B ，当x <0时，y ＝－a x，与y ＝a x(0<a <1，x <0)的图象关于x 轴对称，故选D.5．若a >1，－1<b <0，则函数y ＝a x＋b 的图象一定在( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、三、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、二、四象限 解析：选A ∵a >1，且－1<b <0，故其图象如图所示．二、填空题6．给出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x， x ≥3，f x ＋1， x ＜3，则f (2)＝________.解析：f (2)＝f (3)＝23＝8. 答案：87.图中的曲线C 1，C 2，C 3，C 4是指数函数y ＝a x的图象，而a ∈{23，13，5，π}，则图象C 1，C 2，C 3，C 4对应的函数的底数依次是________，________，________，________.解析：由底数变化引起指数函数图象变化的规律，在y 轴右侧，底大图高，在y 轴左侧，底大图低．则知C 2的底数<C 1的底数<1<C 4的底数<C 3的底数，而13<23<5<π，故C 1，C 2，C 3，C 4对应函数的底数依次是23，13，π， 5. 答案：23 13π 58．若x 1，x 2是方程2x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1x＋1的两个实数解，则x 1＋x 2＝________. 解析：∵2x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1x＋1，∴2x＝21x －1，∴x ＝1x－1，∴x 2＋x －1＝0. ∴x 1＋x 2＝－1. 答案：－1 三、解答题9．画出函数y ＝2|x |的图象，观察其图象有什么特征？根据图象指出其值域和单调区间． 解：当x ≥0时，y ＝2|x |＝2x ；当x <0时，y ＝2|x |＝2－x ＝(12)x .∴函数y ＝2|x |的图象如图所示，由图象可知，y ＝2|x |的图象关于y 轴对称，且值域是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0]，单调递增区间是[0，＋∞)． 10．如果函数y ＝a 2x ＋2a x－1(a >0且a ≠1)在[－1,1]上的最大值为14，求a 的值．解：函数y ＝a 2x＋2a x －1＝(a x ＋1)2－2，x ∈[－1,1]．若a >1，则x ＝1时，函数取最大值a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3.若0<a <1，则x ＝－1时，函数取最大值a －2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13.综上所述，a ＝3或13.第二课时 指数函数及其性质的应用(习题课)1．指数函数的定义是什么？2．指数函数的定义域和值域分别是什么？3．指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)图象的位置与底数a 之间有什么关系？4．指数函数的单调性与底数之间有什么关系？利用指数函数的单调性比较大小[例1] (1)已知a ＝5－1，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．(2)比较下列各题中两个值的大小：①⎝ ⎛⎭⎪⎫57－1.8，⎝ ⎛⎭⎪⎫57－2.5；②⎝ ⎛⎭⎪⎫23－0.5，⎝ ⎛⎭⎪⎫34－0.5；③0.20.3,0.30.2. (1)[解析] 因为a ＝5－12∈(0,1)，所以函数f (x )＝a x在R 上是减函数．由f (m )>f (n )得m <n . [答案] m <n(2)[解] ①因为0<57<1，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫57x 在其定义域R 上单调递减，又－1.8>－2.5，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫57－1.8<⎝ ⎛⎭⎪⎫57－2.5. ②在同一平面直角坐标系中画出指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x的图象，如图所示．当x ＝－0.5时，由图象观察可得⎝ ⎛⎭⎪⎫23－0.5>⎝ ⎛⎭⎪⎫34－0.5.③因为0<0.2<0.3<1，所以指数函数y ＝0.2x 与y ＝0.3x在定义域R 上均是减函数，且在区间(0，＋∞)上函数y ＝0.2x 的图象在函数y ＝0.3x 的图象的下方，所以0.20.2<0.30.2.又根据指数函数y ＝0.2x的性质可得0.20.3<0.20.2，所以0.20.3<0.30.2. [类题通法]三类指数式的大小比较问题(1)底数相同、指数不同：利用指数函数的单调性解决．(2)底数不同、指数相同：利用指数函数的图象解决．在同一平面直角坐标系中画出各个函数的图象，依据底数a 对指数函数图象的影响，按照逆时针方向观察，底数在逐渐增大，然后观察指数所取值对应的函数值即可．(3)底数不同、指数也不同：采用介值法(中间量法)．取中间量1，其中一个大于1，另一个小于1；或者以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数．比如，要比较a c与bd的大小，可取a d为中间量，a c与a d利用函数的单调性比较大小，b d与a d利用函数的图象比较大小．[活学活用]比较下列各题中两个值的大小： (1)3－1.8,3－2.5；(2)7－0.5,8－0.5；(3)6－0.8,70.7.解：(1)因为3>1，所以函数y ＝3x在定义域R 上单调递增，又－1.8>－2.5，所以3－1.8>3－2.5.(2)依据指数函数中底数a 对函数图象的影响，画出函数y ＝7x与y ＝8x的图象(图略)，可得7－0.5>8－0.5.(3)因为1<6<7，所以指数函数y ＝6x与函数y ＝7x在定义域R 上是增函数，且6－0.8<1,70.7>1，所以6－0.8<70.7.[例2] (1)已知3(2)已知0.2x<25，求实数x 的取值范围．[解] (1)因为3>1，所以指数函数f (x )＝3x在R 上是增函数． 由3x≥30.5，可得x ≥0.5，即x 的取值范围为[0.5，＋∞)． (2)因为0<0.2<1，所以指数函数f (x )＝0.2x在R 上是减函数．又25＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－2＝0.2－2，所以0.2x <0.2－2，则x >－2，即x 的取值范围为(－2，＋∞)． [类题通法]解指数不等式应注意的问题(1)形如a x >a b 的不等式，借助于函数y ＝a x的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论；(2)形如a x >b 的不等式，注意将b 转化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助于函数y ＝a x的单调性求解．[活学活用] 如果a－5x>ax ＋7(a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围．解：①当a >1时，∵a －5x>ax ＋7，∴－5x >x ＋7，解得x <－76.②当0<a <1时，∵a－5x>ax ＋7，∴－5x <x ＋7解得x >－76.综上所述，当a >1时，x ∈(－∞，－76)；当0<a <1时，x ∈(－76，＋∞).指数函数性质的综合应用[例3] 已知函数f (x )＝2x＋2ax ＋b，且f (1)＝52，f (2)＝174.(1)求a ，b 的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明；(3)判断并证明函数f (x )在[0，＋∞)上的单调性，并求f (x )的值域．[解](1)∵⎩⎪⎨⎪⎧f1＝52，f2＝174，∴根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧f1＝2＋2a ＋b＝52，f2＝22＋22a ＋b＝174，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.故a ，b 的值分别为－1,0.(2)由(1)知f (x )＝2x ＋2－x，f (x )的定义域为R ，关于原点对称． 因为f (－x )＝2－x＋2x＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)设任意x 1<x 2，且x 1，x 2∈[0，＋∞)，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1＋2－x 1)－(2x 2＋2－x 2)＝(2x 1－2x 2)＋⎝⎛⎭⎪⎫12x 1－12x 2＝(2x 1－2x 2)·2x 1＋x 2－12x 1＋x 2.因为x 1<x 2，且x 1，x 2∈[0，＋∞)，所以2x 1－2x 2<0,2x 1＋x 2>1，所以2x 1＋x 2－1>0，则f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．所以f (x )在[0，＋∞)上为增函数． 当x ＝0时，函数取得最小值，为f (0)＝1＋1＝2，所以f (x )的值域为[2，＋∞)． [类题通法]解决指数函数性质的综合问题应关注两点(1)指数函数的单调性与底数有关，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系．与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关，其解决方法一般是利用函数单调性的定义．(2)指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质．[活学活用]已知函数f (x )＝2x－12x ＋1.(1)求证：f (x )是奇函数；(2)用单调性的定义证明：f (x )在R 上是增函数．证明：(1)f (x )的定义域是R ，对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝2－x－12－x ＋1＝2－x －1·2x 2－x ＋1·2x ＝1－2x1＋2x ＝－2x－12x ＋1＝－f (x )，所以f (x )是奇函数． (2)f (x )＝2x－12x ＋1＝2x＋1－22x ＋1＝1－22x ＋1(可以不分离常数，但分离常数后计算较简单)．设x 1，x 2是R 上的任意两个值，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(1－22x 1＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x 2＋1＝22x 2＋1－22x 1＋1＝22x 1－2x 22x 1＋12x 2＋1. 因为x 1<x 2，所以2x 1<2x 2，2x 1＋1>1,2x 2＋1>1，所以2x 1－2x 2<0，则f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在R 上是增函数．6.警惕底数a 对指数函数单调性的影响[典例] 若指数函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在区间[1,2]上的最大值是最小值的2倍，则实数a 的值为________．[解析] 当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数，最小值为a 2，最大值为a ，故a ＝2a 2，解得a ＝12.当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，最小值为a ，最大值为a 2. 故a 2＝2a ，解得a ＝2. 综上，a ＝12或a ＝2.[答案] 12或2[易错防范]1．解决上题易忽视对a 的讨论，错认为a 2＝2a ，从而导致得出a ＝2的错误答案．2．求函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在闭区间[s ，t ]上的最值，应先根据底数的大小对指数函数进行分类．当底数大于1时，指数函数为[s ，t ]上的增函数，最小值为a s，最大值为a t.当底数大于0小于1时，指数函数为[s ，t ]上的减函数，最大值为a s ，最小值为a t.[活学活用]f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为6，则a ＝________.解析：由于a x(a >0，且a ≠1)在[1,2]上是单调函数，故其最大值与最小值之和为a 2＋a ＝6，解得a ＝－3(舍去)，或a ＝2，所以a ＝2.答案：2[随堂即时演练]1．若2x ＋1<1，则x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：选D 不等式2x ＋1<1＝20，∵y ＝2x是增函数，∴x ＋1<0，即x <－1.2．已知三个数a ＝60.7，b ＝0.70.8，c ＝0.80.7，则三个数的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．a >c >b解析：选D a ＝60.7>60＝1，c ＝0.80.7>0.70.7>0.70.8＝b ，且c ＝0.80.7<0.80＝1，所以a >c >b . 3．不等式2x<22－3x的解集是________．解析：由2x <22－3x得x <2－3x ，即x <12，解集为{x |x <12}．答案：{x |x <12}4．函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．解析：(1)若a >1，则f (x )在[1,2]上递增，∴a 2－a ＝a 2，即a ＝32或a ＝0(舍去)．(2)若0<a <1，则f (x )在[1,2]上递减，∴a －a 2＝a 2，即a ＝12或a ＝0(舍去)．综上所述，所求a 的值为12或32.答案：12或325．设函数f (x )＝e xa ＋ae x (e 为无理数，且e≈2.718 28…)是R 上的偶函数且a >0.(1)求a 的值；(2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性． 解：(1)∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f (－1)＝f (1)，∴e －1a ＋a e －1＝e a ＋a e ，即1a e －a e ＝ea －a e. ∴1e ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a ＝e ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a ， ∴1a－a ＝0，∴a 2＝1.又a >0，∴a ＝1.(2)f (x )＝e x＋e －x，设x 1，x 2>0，且x 1<x 2，f (x 2)－f (x 1)＝e x 2＋e －x 2－e x 1－e －x 1＝e x 2－e x 1＋1e x 2－1e x 1＝e x 2－e x 1＋e x 1－e x 2e x 1e x 2＝(e x 2－e x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1e x 1e x 2.∵x 1，x 2>0，x 1<x 2，∴e x 2>e x 1且e x 1e x 2>1， ∴(e x 2－e x 1)⎝⎛⎭⎪⎫1－1e x 1e x 2>0，即f (x 2)>f (x 1)， ∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数．[课时达标检测]一、选择题 1．函数y ＝2x ＋1的图象是( )。
2019_2020学年高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.3幂函数课后篇巩固提升(含解析)新人教A版必修1
2.3 幂函数课后篇巩固提升基础巩固1.函数y=3x α-2的图象过定点( ) A.(1,1) B.(-1,1)C.(1,-1)D.(-1,-1)2.在下列幂函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上是增函数的是( ) A.f (x )=x -1B.f (x )=x -2C.f (x )=x 3D.f (x )=x 123.下列结论中,正确的是( ) A.幂函数的图象都过点(0,0),(1,1) B.幂函数的图象可以出现在第四象限C.当幂指数α取1,3,12时,幂函数y=x α都是增函数D.当幂指数α=-1时,幂函数y=x α在其整个定义域上是减函数4.已知当x ∈(1,+∞)时,函数y=x α的图象恒在直线y=x 的下方,则α的取值范围是( ) A.0<α<1 B.α<0 C.α<1 D.α>1α<1.5.已知a=1.212,b=0.9-12,c=√1.1,则( ) A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b0.9-12=(910)-12=(109)12,c=√1.1=1.112,∵12>0,且1.2>109>1.1, ∴1.212>(109)12>1.112,即a>b>c.6.如图是幂函数y=x m与y=x n在第一象限内的图象,则( )A.-1<n<0<m<1B.n<-1,0<m<1C.-1<n<0,m>1D.n<-1,m>1y=x m在(0,+∞)上单调递增,且为上凸函数,故0<m<1.由于y=x n在(0,+∞)上单调递减,且在直线x=1的右侧时,y=x n的图象在y=x-1的图象的下方,故n<-1.故选B.7.若(a+1)13<(3-2a)13,则a的取值范围是.f(x)=x13的定义域为R,且为单调递增函数,所以由不等式可得a+1<3-2a,解得a<23.-∞,23)8.已知幂函数f(x)=x x2-2x-3(m∈Z)的图象关于y轴对称,并且f(x)在第一象限内是单调递减函数,则m=.f(x)=x x2-2x-3(m∈Z)的图象关于y轴对称,所以函数f(x)是偶函数,所以m2-2m-3为偶数,所以m2-2m为奇数.又因为f(x)在第一象限内是单调递减函数,故m=1.9.为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=xα(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是.y=xα(α是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意,得2=4α,解得α=12,则y=x12.由x12=3,得x=9,即明文是9.10.已知函数y=(a2-3a+2)x x2-5x+5(a为常数),问:(1)当a为何值时,此函数为幂函数?(2)当a为何值时,此函数为正比例函数?(3)当a为何值时,此函数为反比例函数?.由题意知a2-3a+2=1,即a2-3a+1=0,解得a=3±√52.(2)由题意知{x 2-5x +5=1,x 2-3x +2≠0,解得a=4.(3)由题意知{x 2-5x +5=-1,x 2-3x +2≠0,解得a=3.11.已知幂函数f (x )=(2m 2-6m+5)x m+1为偶函数. (1)求f (x )的解析式;(2)若函数y=f (x )-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a 的取值范围.由f (x )为幂函数知2m 2-6m+5=1,即m 2-3m+2=0,得m=1或m=2,当m=1时,f (x )=x 2,是偶函数,符合题意;当m=2时,f (x )=x 3,为奇函数,不合题意,舍去. 故f (x )=x 2.(2)由(1)得y=x 2-2(a-1)x+1, 函数的对称轴为x=a-1,由题意知函数在(2,3)上为单调函数,∴a-1≤2或a-1≥3,相应解得a ≤3或a ≥4.能力提升1.已知幂函数g (x )=(2a-1)x a+2的图象过函数f (x )=32x+b的图象所经过的定点,则b 的值等于( ) A.-2B.1C.2D.4g (x )=(2a-1)x a+2为幂函数,则2a-1=1,∴a=1,函数的解析式为g (x )=x 3,幂函数过定点(1,1),在函数f (x )=32x+b中,当2x+b=0时,函数过定点(-x 2,1),据此可得-x2=1,故b=-2.故选A .2.函数f (x )=(m 2-m-1)x x2+x -3是幂函数,对任意x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足x (x 1)-x (x 2)x 1-x 2>0,若a ,b ∈R ,且a+b>0,ab<0,则f (a )+f (b )的值( )A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断f (x )=(m 2-m-1)x x2+x -3是幂函数,可得m 2-m-1=1,解得m=2或m=-1,当m=2时,f (x )=x 3,当m=-1时,f (x )=x -3, 对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足x (x 1)-x (x 2)x 1-x 2>0,函数是单调增函数,所以m=2,此时f (x )=x 3.又a+b>0,ab<0,可知a ,b 异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值, 则f (a )+f (b )恒大于0,故选A .3.已知幂函数f (x )=mx n的图象过点(√2,2√2),设a=f (m ),b=f (n ),c=f (ln 2),则( ) A.c<b<a B.c<a<b C.b<c<aD.a<b<cf (x )=mx n的图象过点(√2,2√2),则{x =1,(√2)x=2√2⇒{x =1,x =3,所以幂函数的解析式为f (x )=x 3,且函数f (x )为单调递增函数.又ln 2<1<3,所以f (ln 2)<f (1)<f (3),即c<a<b ,故选B .4.给出幂函数:①f (x )=x ;②f (x )=x 2;③f (x )=x 3;④f (x )=√x ;⑤f (x )=1x .其中满足条件f (x 1+x 22)>x (x 1)+x (x 2)2(x 2>x 1>0)的函数的个数是( )A.1B.2C.3D.4,只有上凸的函数才满足题中条件,所以只有④满足,其他四个都不满足,故选A .5.若幂函数y=x xx(m ,n ∈N *且m ,n 互质)的图象如图所示,则下列说法中正确的是 .①m ,n是奇数且xx <1;②m是偶数,n是奇数,且xx >1;③m是偶数,n 是奇数,且xx <1;④m ,n 是偶数,且x>1.,函数y=x x x为偶函数,m 为偶数,n 为奇数,又在第一象限向上“凸”,所以xx <1,选③.6.幂函数f (x )=(m 2-3m+3)·x x2-2x +1在区间(0,+∞)上是增函数,则实数m= .f (x )=(m 2-3m+3)x x2-2x +1是幂函数,得m 2-3m+3=1,解得m=2或m=1.当m=2时,f (x )=x 是增函数;当m=1时,f (x )=1是常函数.7.已知函数f (x )={2x ,x ≥2,(x -1)3,x <2.若关于x 的方程f (x )=k 有两个不同的实根,则实数k 的取值范围是 .,则当0<k<1时,关于x 的方程f (x )=k 有两个不同的实根.8.已知幂函数f (x )=(m-1)2x x2-4x +2在(0,+∞)上单调递增,函数g (x )=2x-k.(1)求实数m 的值;(2)当x ∈(1,2]时,记ƒ(x ),g (x )的值域分别为集合A ,B ,若A ∪B=A ,求实数k 的取值范围.依题意得(m-1)2=1.∴m=0或m=2.当m=2时,f (x )=x -2在(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去.∴m=0.(2)由(1)可知f (x )=x 2,当x ∈(1,2]时,函数f (x )和g (x )均单调递增.∴集合A=(1,4],B=(2-k ,4-k ]. ∵A ∪B=A ,∴B ⊆A.∴{2-x ≥1,4-x ≤4.∴0≤k ≤1.∴实数k 的取值范围是[0,1].9.已知幂函数f (x )=x(2-k )(1+k ),k ∈Z ,且f (x )在(0,+∞)上单调递增.(1)求实数k 的值,并写出相应的函数f (x )的解析式.(2)若F (x )=2f (x )-4x+3在区间[2a ,a+1]上不单调,求实数a 的取值范围.(3)试判断是否存在正数q ,使函数g (x )=1-qf (x )+(2q-1)x 在区间[-1,2]上的值域为[-4,178],若存在,求出q 的值;若不存在,请说明理由.由题意知(2-k )(1+k )>0,解得-1<k<2.又k ∈Z ,∴k=0或k=1,分别代入原函数,得f (x )=x 2. (2)由已知得F (x )=2x 2-4x+3. 要使函数在区间[2a ,a+1]上不单调, 则2a<1<a+1,则0<a<12.(3)由已知,g (x )=-qx 2+(2q-1)x+1. 假设存在这样的正数q 符合题意,则函数g (x )的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为x=2x -12x=1-12x <1,因而,函数g (x )在[-1,2]上的最小值只能在x=-1或x=2处取得,又g (2)=-1≠-4,从而必有g (-1)=2-3q=-4,解得q=2.此时,g (x )=-2x 2+3x+1,其对称轴x=34∈[-1,2],∴g (x )在[-1,2]上的最大值为g (34)=-2×(34)2+3×34+1=178,符合题意.∴存在q=2,使函数g (x )=1-qf (x )+(2q-1)x 在区间[-1,2]上的值域为[-4,178].。
2019-2020年高中数学 函数的解析式教案 新人教A版必修1
2019-2020年高中数学函数的解析式教案新人教A版必修1教学目标：1、掌握函数解析式的求法；2、掌握复合函数解析式的求法及应用。
教学重、难点：①函数解析式的求法②复合函数解析式的求法及应用教学过程：一、例题讲解：例1、(1)已知f(x)=x2，g(x)为一次函数，且y随x值增大而增大．若f[g(x)]=4x2-20x+25，求g(x)的解析式解：(1)∵g(x)为一次函数，且y随x值增大而增大故可设g(x)=ax+b(a＞0)∵f[g(x)]=4x2-20x+25∴(ax+b)2=4x2-20x+25即：a2x2+2abx+b2=4x2-20+25解得 a=2，b=-5故g(x)=2x-5于是有t的象是t2-1，即f(t)=t2-1(t≥1)故f(x)=x2-1(x≥1)∴f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x(x≥0)f(x2)=x4-1(x≤-1或x≥1)小结：对于(1)是用待定系数法求函数的解析式，要根据题意设出函数的形式，再利用恒等式的性质解之．求函数解析式的常用方法还有拼凑法，代换法(如(2))，解方程组等．例2、如图1-7，灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽及两边坡总长度为a，边坡的倾角为60°．(1)求横断面积y与底宽x的函数关系式；小结：本题是有关函数的实际问题，其方法是把实际问题用数学的形式表示出来，建立变量之间的函数关系．二、练习1、 已知函数f(x)=x 2+1,则f(3x+2)=__________________2、 已知函数f(x+1)=2x-1 ，则f(1-x)=__________________3、 下列函数表示同一函数的是（ ）A 、f(x)=x ，g(x)=()2；B f(x)=x ，g(x)=2；C 、 f(x)=1，g(x)=；D 、f(x)=x ，g(x)=4、 已知f (x-1)=2x 2-1,则f(0)=__________________ f(1)=___________________5、 已知函数f (x)=⎪⎩⎪⎨⎧<=>+)0(0)0()0(1x x x x π，则f{f[f(-1)]}=__________________6、 如图，植物园要建形状为直角梯形的苗圃，两临边借用夹角为135°的两面墙，另两边总长未30 米，设垂直于底边的腰长为x 米，则苗圃面积S 关于x 的函数解析式为______.7、 已知函数F(x)=f(x)+g(x)，其中f （x ）是x 的正比例函数，g （x ）是x 的反比例函数，且F(1/3)=16，F(1)=8，求F(x)的表达式。
函数的应用(知识精讲)-2019-2020高一数学(人教A版必修第一册)(解析版)
专题十二函数的应用知识精讲一知识结构图二.学法指导1.常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.(2)指数函数模型指数函数模型y＝a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.(3)对数函数模型对数函数模型y＝log a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.2. 由图象判断指数函数、一次函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、一次函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数.3．函数零点的求法(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根.(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.4.判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合.5.已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值.三.知识点贯通知识点1 三种函数模型的性质例1.（1）下面对函数f (x )＝log 12x ，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝－2x 在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是( )A ．f (x )递减速度越来越慢，g (x )递减速度越来越快，h (x )递减速度越来越慢B ．f (x )递减速度越来越快，g (x )递减速度越来越慢，h (x )递减速度越来越快C ．f (x )递减速度越来越慢，g (x )递减速度越来越慢，h (x )递减速度不变D ．f (x )递减速度越来越快，g (x )递减速度越来越快，h (x )递减速度越来越快 【答案】C【解析】观察函数f (x )＝log 12x ，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与h (x )＝－2x 在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知：函数f (x )的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g (x )的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h (x )的图象递减速度不变．（2）函数f (x )＝2x 和g (x )＝2x 的图象如图所示，设两函数的图象交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＜x 2.(1)请指出图中曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32与g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f (2 019)与g (2 019)的大小．【解析】 (1)C 1对应的函数为g (x )＝2x ，C 2对应的函数为f (x )＝2x . (2)∵f (1)＝g (1)，f (2)＝g (2)从图象上可以看出，当1＜x ＜2时，f (x )＜g (x )， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32； 当x ＞2时，f (x )＞g (x )， ∴f (2 019)＞g (2 019)．知识点二 函数的零点对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． 例题2：求函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点；【解析】当x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3； 当x >0时，令－2＋ln x ＝0，解得x ＝e 2.所以函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x >0的零点为－3和e 2.知识点三 判断函数零点所在的区间函数零点存在定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a )f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的解．例题3 .若函数f (x )＝x ＋a x(a ∈R )在区间(1,2)上有零点，则a 的值可能是( )A ．－2B ．0C ．1D ．3【答案】A【解析】f (x )＝x ＋ax (a ∈R )的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f (1)＝1－2＝－1<0，f (2)＝2－1＝1>0.故f (x )在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.知识点四 二分法二分法的定义对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．例题4．已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A．4,4B．3,4C．5,4D．4,3【答案】D[【解析】图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.知识点五函数的应用常用函数模型例0经过一定时间t 后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )×⎝ ⎛⎭⎪⎫12t h，其中T a 表示环境温度，h 称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min ，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？【解析】 先设定半衰期h ，由题意知40－24＝(88－24)×⎝ ⎛⎭⎪⎫1220h，即14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1220h ，解之，得h ＝10，故原式可化简为T －24＝(88－24)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 10，当T ＝32时，代入上式，得32－24＝(88－24)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 10＝864＝18＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，∴t ＝30.因此，需要30 min ，可降温到32 ℃.五 易错点分析易错一 零点个数例题6.已知0<a <1，则函数y ＝a |x |－|log a x |的零点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】函数y ＝a |x |－|log a x |(0<a <1)的零点的个数即方程a |x |＝|log a x |(0<a <1)的根的个数，也就是函数f (x )＝a |x |(0<a <1)与g (x )＝|log a x |(0<a <1)的图象的交点的个数．画出函数f(x)＝a|x|(0<a<1)与g(x)＝|log a x|(0<a<1)的图象，如图所示，观察可得函数f(x)＝a|x|(0<a<1)与g(x)＝|log a x|(0<a<1)的图象的交点的个数为2，从而函数y＝a|x|－|log a x|的零点的个数为2.误区警示利用函数的图象判断零点的个数，应准确地画出函数的图象，一种是画一个函数的图象，看图象与x轴交点的个数，进而判断零点的个数；一种是画两个函数的图象，看两个函数的图象交点的个数，进而判断零点个数。
2019-2020学年高一数学人教A版必修1练习：第二章 基本初等函数(Ⅰ) 测评 Word版含解析
第二章测评(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.计算:log 225·log 52=( )2 A.3B.4C.5D.6225·log 52=3,故选A .2=lg25lg2·lg 812lg52.函数y=x 2,y=x 3,y=x ,y=lg x 中,在区间(0,+∞)上为减函数的是( )12A.y=x 2B.y=x 3C.y=xD.y=lg x123.函数f (x )=的最小值是( ){-x ,x ≤-1,x 2,x >-1A.-1 B.0C.1D.24.满足“对定义域内任意实数x ,y ,都有f (x ·y )=f (x )+f (y )”的函数可以是( )A.f (x )=x 2 B.f (x )=2x C.f (x )=log 2xD.f (x )=e ln x(xy )=log 2xy=log 2x+log 2y=f (x )+f (y ).5.函数f (x )=的定义域为( )1ln (x +1)+4-x 2A.[-2,2] B.(-1,2]C.[-2,0)∪(0,2]D.(-1,0)∪(0,2],x 应满足解得-1<x<0或0<x ≤2,所以该函数的定义域为(-1,0)∪(0,2].{x +1>0,x +1≠1,4-x 2≥0,故选D .6.(2018天津高考,理5)已知a=log 2e,b=ln 2,c=lo ,则a ,b ,c 的大小关系为( )g 1213A .a>b>c B .b>a>c C .c>b>aD .c>a>bc=lo =log 23,a=log 2e,且y=log 2x 在(0,+∞)上单调递增,所以log 23>log 2e >log 22=1,即g 1213c>a>1.因为y=ln x 在(0,+∞)上单调递增,且b=ln 2,所以ln 2<ln e =1,即b<1.综上可知,c>a>b.故选D .7.如果一种放射性元素每年的衰减率是8%,那么a kg 的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t 等于( )A.lgB.lg 0.50.920.920.5C. D.lg0.5lg0.92lg0.92lg0.5t 年后剩余量为y kg,则y=(1-8%)t a=0.92t a.当y=a 时,a=0.92t a ,1212所以0.92t =0.5,则t=log 0.920.5=.lg0.5lg0.928.函数y=log 0.4(-x 2+3x+4)的值域是( )A.(0,2] B.[-2,+∞)C.(-∞,-2]D.[2,+∞)2+3x+4=-,又-x 2+3x+4>0,则0<-x 2+3x+4≤,函数y=log 0.4X 在(0,+∞)内为减(x -32)2+254≤254254函数,则y=log 0.4(-x 2+3x+4)≥log 0.4=-2,故函数的值域为[-2,+∞),选B .2549.(2018全国2高考,理3)函数f (x )=的图象大致为( )e x -e -xx2f (-x )==-f (x ),∴f (x )为奇函数,排除A,令x=10,则f (10)=>1,排除C 、D,故选B .e -x -e xx 2e 10-1e1010010.若函数f (x )=4x -3·2x +3的值域为[1,7],则f (x )的定义域为( )A.(-1,1)∪[2,4] B.(0,1)∪[2,4]C.[2,4]D.(-∞,0]∪[1,2]t=2x ,则t>0,且y=t 2-3t+3=.∵函数f (x )=4x -3·2x +3的值域为[1,7],(t -32)2+34∴函数y=t 2-3t+3的值域为[1,7].由y=1得t=1或t=2,由y=7得t=4或t=-1(舍去),则0<t ≤1或2≤t ≤4,即0<2x ≤1或2≤2x ≤4,解得x ≤0或1≤x ≤2.∴f (x )的定义域是(-∞,0]∪[1,2],故选D .11.如图,点O 为坐标原点,点A (1,1).若函数y=a x (a>0,且a ≠1)及y=log b x (b>0,且b ≠1)的图象与线段OA 分别交于M ,N ,且M ,N 恰好是OA 的两个三等分点,则a ,b 满足( )A.a<b<1B.b<a<1C.b>a>1D.a>b>1,得,即a=,log b ,即,b==a ,且b==1,即a 13=13(13)323=23b 23=23(23)32=(6)3>(13)3(23)32<(23)a<b<1.故选A .12.已知偶函数f (x )与奇函数g (x )的定义域都是(-2,2),它们在[0,2)上的图象如图所示,则使关于x 的不等式f (x )g (x )<0成立的x 的取值范围为( )A.(-2,-1)∪(1,2)B.(-1,0)∪(0,1)C.(-1,0)∪(1,2)D.(-2,-1)∪(0,1),当0<x<1时,f (x )>0,g (x )>0,故f (x )g (x )>0;当1<x<2时,f (x )<0,g (x )>0,故f (x )g (x )<0.故当x>0时,其解集为(1,2).∵y=f (x )是偶函数,y=g (x )是奇函数,∴f (x )g (x )是奇函数,由奇函数的对称性可得当x<0时,其解集为(-1,0).综上,不等式f (x )g (x )<0的解集是(-1,0)∪(1,2),故选C .二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.如果幂函数f (x )的图象过点,那么f (64)= .(16,12)f (x )=x α(α为常数),将代入,求得α=-,则f (x )=,(16,12)14x -14所以f (64)=6.4-14=2414.设函数f (x )=则f (3)+f (4)= .{1+log 6x ,x ≥4,f (x 2),x <4,f (x )={1+log 6x ,x ≥4,f (x 2),x <4,∴f (3)=f (9)=1+log 69,f (4)=1+log 64,∴f (3)+f (4)=2+log 69+log 64=2+log 636=2+2=4.15.已知(1.40.8)a <(0.81.4)a ,则实数a 的取值范围是 .1.40.8>1,0<0.81.4<1,且(1.40.8)a <(0.81.4)a ,∴y=x a 为减函数,∴a 的取值范围是(-∞,0).-∞,0)16.抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D (-1,2),与x 轴的一个交点A 在点(-3,0)和(-2,0)之间,其部分图象如图所示,给出以下结论:①b 2-4ac<0;②a+b+c<0;③c-a=2;④方程ax 2+bx+c-2=0有两个相等的实数根.其中正确结论的序号为 .x 轴有两个不同的交点,因此b 2-4ac>0,故①不对;因为对称轴为直线x=-1,所以另一根在(0,1)之间,故f (1)<0,即a+b+c<0,②对;因为y=a (x+1)2+2=ax 2+2ax+a+2,所以b=2a ,c=a+2,因此c-a=2,③对;ax 2+bx+c-2=a (x+1)2=0有两个相等的实数根,④正确.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)计算:(1)+0.2-2-π0+;(214)32(127)-13(2)log 3(9×272)+log 26-log 23+log 43×log 316.+0.2-2-π0+(214)32(127)-13=-1+(3-3[(32)2]32+(15)-2)-13=+25-1+3=.(32)32438(2)log 3(9×272)+log 26-log 23+log 43×log 316=log 3[32×(33)2]+(log 23+log 22)-log 23+log 43×log 342=log 3[32×36]+log 22+(log 43)×2(log 34)=log 338+1+2=8+1+2=11.18.(本小题满分12分)画出函数f (x )=|log 3x|的图象,并求出其值域、单调区间以及在区间上的最[19,6]大值.f (x )=|log 3x|={log 3x ,x ≥1,-log 3x ,0<x <1,所以在[1,+∞)上f (x )的图象与y=log 3x 的图象相同,在(0,1)上的图象与y=log 3x 的图象关于x 轴对称,据此可画出其图象,如图所示.由图象可知,函数f (x )的值域为[0,+∞),单调递增区间是[1,+∞),单调递减区间是(0,1).当x ∈时,f (x )在上是单调递减的,在(1,6]上是单调递增的.[19,6][19,1]又f =2,f (6)=log 36<2,(19)故f (x )在上的最大值为2.[19,6]19.(本小题满分12分)已知a>0且满足不等式22a+1>25a-2.(1)求实数a 的取值范围;(2)求不等式log a (3x+1)<log a (7-5x );(3)若函数y=log a (2x-1)在区间[1,3]有最小值为-2,求实数a 的值.∵22a+1>25a-2,∴2a+1>5a-2,即3a<3,∴a<1.又∵a>0,∴0<a<1.(2)由(1)知0<a<1,∵log a (3x+1)<log a (7-5x ).∴{3x +1>0,7-5x >0,3x +1>7-5x ,即{x >-13,x <75,x >34,∴<x<,即不等式的解集为.3475(34,75)(3)∵0<a<1,∴函数y=log a (2x-1)在区间[1,3]上为减函数.∴当x=3时,y 有最小值为-2,即log a 5=-2,∴a -2==5,解得a=.1a 25520.(本小题满分12分)已知函数f (x )=log a (1+x )-log a (1-x ),其中a>0且a ≠1.(1)求函数f (x )的定义域;(2)判断f (x )的奇偶性,并说明理由;(3)若f =2,求使f (x )>0成立的x 的集合.(35)要使函数有意义,则解得-1<x<1,即函数f (x )的定义域为(-1,1).{1+x >0,1-x >0,(2)f (x )是奇函数.理由如下:∵f (-x )=log a (-x+1)-log a (1+x )=-[log a (x+1)-log a (1-x )]=-f (x ),∴f (x )是奇函数.(3)若f =2,(35)∴log a -log a =log a 4=2,(1+35)(1-35)解得a=2,∴f (x )=log 2(1+x )-log 2(1-x ).若f (x )>0,则log 2(x+1)>log 2(1-x ),∴x+1>1-x>0,解得0<x<1,故所求x 的集合为(0,1).21.(本小题满分12分)已知函数f (x )=(m ∈Z )为偶函数,且f (3)<f (5).x -2m 2+m +3(1)求函数f (x )的解析式;(2)若g (x )=log a [f (x )-ax ](a>0,且a ≠1)在区间[2,3]上为增函数,求实数a 的取值范围.∵f (x )为偶函数,∴-2m 2+m+3为偶数.又f (3)<f (5),∴,3-2m2+m +3<5-2m2+m +3即有<1.(35)-2m 2+m +3∴-2m 2+m+3>0,∴-1<m<.32又m ∈Z ,∴m=0或m=1.当m=0时,-2m 2+m+3=3为奇数(舍去);当m=1时,-2m 2+m+3=2为偶数,符合题意.∴m=1,f (x )=x 2.(2)由(1)知,g (x )=log a [f (x )-ax ]=log a (x 2-ax )(a>0,且a ≠1)在区间[2,3]上为增函数.令u (x )=x 2-ax ,y=log a u ,①当a>1时,y=log a u 为增函数,只需u (x )=x 2-ax 在区间[2,3]上为增函数,即⇒1<a<2;{a2≤2,u (2)=4-2a >0②当0<a<1时,y=log a u 为减函数,只需u (x )=x 2-ax 在区间[2,3]上为减函数,即⇒a ∈⌀.{a2≥3,u (3)=9-3a >0综上可知,实数a 的取值范围为(1,2).22.(本小题满分12分)已知函数f (x )=-.2x2x +1(1)用定义证明函数f (x )在(-∞,+∞)上为减函数;(2)若x ∈[1,2],求函数f (x )的值域;(3)若g (x )=+f (x ),且当x ∈[1,2]时,g (x )≥0恒成立,求实数a 的取值范围.a2函数f (x )的定义域为R ,设x 1,x 2∈R 且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=.2x 22x 2+1‒2x 12x 1+1=2x 2-2x 1(2x 1+1)(2x 2+1)∵x 1<x 2,∴>0.2x 2‒2x 1又+1>0,+1>0,2x12x2∴f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2).∴f (x )在(-∞,+∞)上为减函数.(2)∵f (x )在(-∞,+∞)上为减函数,∴当x ∈[1,2]时,f (x )min =f (2)=-,f (x )max =f (1)=-.4523∴当x ∈[1,2]时,f (x )的值域为.[-45,-23](3)由(2)得,当x ∈[1,2]时,f (x )∈,[-45,-23]∵g (x )=+f (x ),a2∴当x ∈[1,2]时,g (x )∈.[a 2-45,a 2-23]∵g (x )≥0在x ∈[1,2]上恒成立,∴≥0,∴a ≥.a 2‒4585。
2019-2020学年高一数学人教A版必修1课件：1.2.1 函数的概念
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1.2.1 函数的概念
探究一
探究二
探究三
探习
探究五
思想方法 当堂检测
所以它们不表示同一函数. (2)因为y=x0要求x≠0,且当x≠0时,y=x0=1,故y=x0与y=1(x≠0)的定 义域和对应关系都相同,所以它们表示同一函数. (3)y=2x+1(x∈Z)与y=2x-1(x∈Z)两个函数的定义域相同,但对应 关系不相同,故它们不表示同一函数.
即A∩B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]. 答案:(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5] 反思感悟 (1)正确利用区间表示集合,要特别注意区间的端点值 能否取到,即“小括号”和“中括号”的区别.(2)用区间表示两集合的 交集、并集、补集运算时,应先求出相应集合,再用区间表示.
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1.2.1 函数的概念
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1.2.1 函数的概念
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一二
6.在函数的定义中,值域与集合B有怎样的关系? 提示:值域是集合B的子集. 7.新的函数定义与传统的函数定义有什么异同? 提示:两个定义中的定义域与值域的意义完全相同;两个定义中 的对应关系实际上也一样,只不过叙述的出发点不同,初中的定义 是从运动变化的观点出发,新定义的对应关系是从集合与对应的观 点出发.
解析:(1){x|2<x≤4}用区间表示为(2,4]. (2){x|x>1,且x≠2}用区间表示为(1,2)∪(2,+∞).
答案:(1)(2,4] (2)(1,2)∪(2,+∞)
(3)(-∞,-3)∪[10,+∞)
-10-
1.2.1 函数的概念
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课前篇 自主预习
2019_2020学年高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.3幂函数课件新人教A版必修1
(A)2
(B)1
(C) 1 2
(D)0
解析:(1)因为函数 f(x)=ax2a+1+b+1 是幂函数,
所以
a b
1, 1
0,
即
a b
1, 1,
所以 a+b=0,故选 D.
(2)(2018·福建龙岩期中)若函数f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数,且图象与坐
标轴无交点,则f(x)( )
.
24
解析:(2)因为幂函数 f(x)=xa 的图象过点( 1 , 1 ), 24
所以( 1 )a= 1 ,解得 a=2, 24
所以 loga8=log28=3. 答案:(2)3
题型二 幂函数的图象 [例 2] (1)与下列幂函数对应的图象序号正确的一组是( )
a.y=x5;b.y=
x
4 3
;c.y=
(A)是偶函数
(B)是奇函数
(C)是单调递减函数 (D)在定义域内有最小值
解析:(2)幂函数f(x)=(m2-m-1)xm的图象与坐标轴无交点,可得m2-m1=1,且m≤0,解得m=-1,则函数f(x)=x-1,所以函数是奇函数,在定义 域上不是减函数,且无最值,故选B.
易错警示
(1)幂函数解析式的结构特征:①解析式是单项式;②幂指数为常数, 底数为自变量,系数为1. (2)幂函数y=xα的图象与坐标轴无交点,则α≤0,而不是α<0.
3
2
(4)4. 15
,3.
8
2 3
和(-1.9)
3 5
.
2
2
解:(4)因为幂函数 y= x 5 在(0,+∞)上为增函数,且 4.1>1,所以 4.15 >1,
2019-2020学年高中数学(人教A版必修一)教师用书：第1章 1.2.1 函数的概念 Word版含解析
1．2.1 函数的概念1．进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点)2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点)3．能够正确使用区间表示数集．(易混点)[基础·初探]教材整理1 函数的相关概念阅读教材P15～P17“思考”，完成下列问题．函数的有关概念定义前提条件给定两个集合A，B为非空数集对应关系错误!错误!错误!错误!错误!x的取值范围A值域函数值的集合错误!判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．( )(2)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.( )(3)在函数的定义中，集合B是函数的值域．( )【解析】(1)×.任何两个非空数集之间都可以建立函数关系．(2)×.根据函数的定义，对于定义域中的任何一个x，在值域中都有唯一确定的y与之对应．(3)×.在函数的定义中，函数的值域是集合B的子集．【答案】(1)×(2)×(3)×教材整理2 区间的概念与表示阅读教材P17“思考”以下至“例1”以上部分，完成下列问题．1．一般区间的表示设a，b∈R，且a＜b，规定如下：2.填空：(1)集合{x|1<x≤3}用区间可表示为________；(2)集合{x|x>－2}用区间可表示为________；(3)集合{x|x≤2}用区间可表示为________．【答案】(1)(1,3] (2)(－2，＋∞) (3)(－∞，2]教材整理3 函数的三要素及函数相等的条件阅读教材P18例1以下至例2以上部分，完成下列问题．1．构成函数的三要素为定义域、对应关系和值域．2．判断两个函数相等，需同时具备以下两个条件：(1)定义域相同；(2)对应关系完全一致．下列函数中，与f(x)＝x＋2相等的是( )A．g(x)＝错误!B．h(x)＝错误!C．F(x)＝(x＋2)2D．G(x)＝错误!【解析】g(x)＝错误!＝|x＋2|与f(x)的对应关系不一致；h(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，与f(x)的定义域(－∞，＋∞)不同；F(x)的定义域为[－2，＋∞)与f(x)的定义域不同，故选D.【答案】 D[小组合作型](1)(2)下列各组函数是同一函数的是( )【导学号：97030025】①f (x )＝－2x3与g(x )＝x －2x ； ②f (x )＝x 与g(x )＝x2； ③f (x )＝x 0与g(x )＝1x0；④f (x )＝x 2－2x －1与g(t )＝t 2－2t －1.A ．①②B ．①③C ．③④D ．①④ (3)判断下列对应是否为函数： ①x →y ，y ＝2x ，x ≠0，x ∈R ，y ∈R ； ②x →y ，y 2＝x ，x ∈N ，y ∈R ；③x →y ，y ＝x ，x ∈{x |0≤x ≤6}，y ∈{y |0≤y ≤3}； ④x →y ，y ＝16x ，x ∈{x |0≤x ≤6}，y ∈{y |0≤y ≤3}．【精彩点拨】 (1)函数的图象与平行于y 轴的直线最多只能有一个交点，对照选项即可得出答案．(2)结合函数的三要素逐一判断． (3)利用函数的定义判定．【自主解答】(1)根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B不符合此条件．故选B.(2)①f(x)＝－2x3＝|x|－2x与y＝x－2x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．②g(x)＝x2＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．③f(x)＝x0与g(x)＝1x0都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④.故选C.【答案】(1)B(2)C(3)①是函数．对x≠0，x∈R的每一个x的值，有唯一的y∈R与之对应．②不是函数．如当x＝4时，y＝2或－2，有两个值与之对应，因此不是函数．③不是函数．如当x＝4时，在{y|0≤y≤3}内没有值与x对应．④是函数．当x∈{x|0≤x≤6}时，16x∈{y|0≤y≤1}⊆{y|0≤y≤3}．1．判断一个对应关系是否为函数的步骤(1)判断A，B是否是非空数集；(2)判断A中任一元素在B中是否有元素与之对应；(3)判断A中任一元素在B中是否有唯一确定的元素与之对应．2．判断函数是否相同的步骤(1)看定义域是否相同；(2)看对应关系是否相同；(3)下结论．[再练一题]1．下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？为什么？(1)f：把x对应到3x＋1；(2)g：把x对应到|x|＋1；(3)h ：把x 对应到1x ； (4)r ：把x 对应到x.【解】 (1)是实数集R 上的一个函数．它的对应关系f 是把x 乘3再加1，对于任一x ∈R,3x ＋1都有唯一确定的值与之对应，如当x ＝－1时，有3x ＋1＝－2与之对应．同理，(2)也是实数集R 上的一个函数．(3)不是实数集R 上的一个函数．因为当x ＝0时，1x 的值不存在． (4)不是实数集R 上的函数．因为当x <0时，x 的值不存在．已知函数f (x )＝11＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )． (1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f (g (2))的值．【精彩点拨】 求f (m )的值，直接把m 代入解析式即可．注意第(2)小题求f (g (2))，可以看成是求以g (2)为自变量的f (x )的函数值．【自主解答】 (1)f (2)＝11＋2＝13，g (2)＝22＋2＝6. (2)f (g (2))＝f (6)＝17.1．f (x )表示自变量为x 的函数，如f (x )＝2x －3，而f (a )表示的是当x ＝a 时的函数值，如f (x )＝2x －3中f (2)＝2×2－3＝1.2．求f (g (a ))时，一般要遵循由里到外的原则．[再练一题]2．已知f (x )＝x 3＋2x ＋3，求f (1)，f (t )，f (2a －1)和f (f (－1))的值.【导学号：97030026】【解】 f (1)＝13＋2×1＋3＝6； f (t )＝t 3＋2t ＋3；f (2a －1)＝(2a －1)3＋2(2a －1)＋3＝8a 3－12a 2＋10a ； f (f (－1))＝f ((－1)3＋2×(－1)＋3)＝f (0)＝3.(1)f (x )＝1x －2； (2)f (x )＝3x ＋2； (3)f (x )＝x ＋1＋12－x .【精彩点拨】 根据函数解析式的结构特点，构造使解析式有意义的不等式(组)，进而解不等式求解．【自主解答】 (1)∵x ≠2时，分式1x －2有意义，∴这个函数的定义域是{}x | x≠2. (2)∵3x ＋2≥0，即x ≥－23时，根式3x ＋2才有意义，∴这个函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x≥－23. (3)∵要使函数有意义，必须⎩⎨⎧ x ＋1≥02－x≠0⇒⎩⎨⎧x≥－1x≠2，∴这个函数的定义域是{}x | x≥－1且x≠2.求函数的定义域应关注四点1．要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0.2．不对解析式化简变形，以免定义域变化．3．当一个函数是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．4．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．[再练一题]3．函数y ＝3x21－2x＋(2x ＋1)0的定义域为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x<12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x<12且x≠－12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x>12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x≤12且x≠－12 【解析】 要使函数有意义，则⎩⎨⎧1－2x>02x ＋1≠0，即⎩⎨⎧x<12，－12，即x ＜12且x ≠－12，故函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x<12且x≠－12， 故选B. 【答案】 B[探究共研型]探究1 (1)设函数f ( (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，那么函数y ＝f (x ＋1)的定义域是什么？【提示】 (1)f (x ＋1)＝x ＋1.令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以f(x ＋1)＝x ＋1的定义域为[－1，＋∞)．(2)函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，所以令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－1，＋∞)．探究2若函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[1,2]，根据函数定义域的定义，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的范围是什么？函数y ＝f (x )的定义域是什么？【提示】 这里的“[1,2]”是自变量x 的取值范围．因为x ∈[1,2]，所以x ＋1∈[2,3]，所以使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的范围是[2,3]，所以函数y ＝f (x )的定义域是[2,3]．(1)已知函数y ＝f (x )的定义域为[－2,3]，求函数y ＝f (2x －3)的定义域； (2)已知函数y ＝f (2x －3)的定义域是[－2,3]，求函数y ＝f (x ＋2)的定义域．【精彩点拨】 (1)由函数y ＝f (x )的定义域为[－2,3]，解不等式－2≤2x －3≤3即可． (2)由函数y ＝f (2x －3)的定义域，先求函数y ＝f (x )的定义域，再求函数y ＝f (x ＋2)的定义域． 【自主解答】 (1)因为函数y ＝f (x )的定义域为[－2,3]，即x ∈[－2,3]，函数y ＝f (2x －3)中2x －3的范围与函数y ＝f (x )中x 的范围相同，所以－2≤2x －3≤3，解得12≤x ≤3，所以函数y ＝f (2x －3)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3.(2)因为x ∈[－2,3]，所以2x －3∈[－7,3]，即函数y ＝f (x )的定义域为[－7,3]， 令－7≤x ＋2≤3，解得－9≤x ≤1，所以函数y ＝f (x ＋2)的定义域为[－9,1]．若已知函数y ＝f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数y ＝f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 解得；若已知函数y ＝f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则函数y ＝f (x )的定义域为函数y ＝g (x )在x ∈[a ，b ]的值域.[再练一题]4．已知函数f (x )的定义域为[2,6]，则函数g(x )＝f (x ＋1)＋x －3的定义域为________.【导学号：97030027】【解析】 由题意可得⎩⎨⎧2≤x ＋1≤6x －3≥0，解得3≤x ≤5，所以g (x )的定义域为[3,5]．【答案】 [3,5]1．下列图象中表示函数图象的是( )【解析】 根据函数的定义，对任意的一个x 都存在唯一的y 与之对应，而A ，B ，D 都是一对多，只有C 是多对一．故选C.【答案】 C2．下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( ) A ．y ＝(x)2 B ．y ＝x2 C ．y ＝|x |D ．y ＝3x3【解析】 函数y ＝x 的定义域为R ；y ＝(x)2的定义域为[0，＋∞)；y ＝x2＝|x |，对应关系不同；y ＝|x |对应关系不同；y ＝3x3＝x ，且定义域为R .故选D.【答案】 D3．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( )【导学号：97030028】A ．{－1,0,3}B ．{0,1,2,3}C ．{y |－1≤y ≤3}D ．{y |0≤y ≤3}【解析】 当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝1－2＝－1；当x ＝2时，y ＝4－2×2＝0；当x ＝3时，y ＝9－2×3＝3，∴函数y ＝x 2－2x 的值域为{－1,0,3}．【答案】 A4．函数f (x )＝x －4＋1x －5的定义域是________． 【解析】 ∵函数f (x )＝x －4＋1x －5， ∴⎩⎨⎧x －4≥0x －5≠0，解得x ≥4，且x ≠5， ∴函数f (x )的定义域是[4,5)∪(5，＋∞)．【答案】[4,5)∪(5，＋∞)5．已知函数f(x)＝x＋1 x，(1)求f(x)的定义域；(2)求f(－1)，f(2)的值；(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．【解】(1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)f(－1)＝－1＋1－1＝－2，f(2)＝2＋12＝52.(3)当a≠－1时，a＋1≠0，∴f(a＋1)＝a＋1＋1a＋1.。
2019-2020学年高一数学人教A版必修第一册教案：3.1.1 函数的概念 Word版含答案
姓名，年级：时间：第三章函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示3.1.1函数的概念教学设计一、教学目标1.知识与技能掌握函数的概念，理解构成函数的三要素，明确函数的定义域和值域;2.过程与方法通过对具体问题的思考,分析，引导学生抽象概括出函数的概念,培养学生抽象概括的能力以及对函数抽象符号的认识与使用；3.情感态度与价值观通过师生共同探索出函数的概念，总结出函数的要素，激发学生学习数学的兴趣，培养学生刻苦钻研的精神.二、教学重难点1.教学重点体会函数是描述两个变量之间的对应关系的重要数学模型，从集合的观点正确理解函数的概念.2.教学难点对函数概念及符号意义的理解，以及用区间表示函数的定义域和值域.三、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图（4）你能指出变量t和S的取值范围吗?分别用集合A和集合B表示出来.（5)在新写出的对应关系中,是不是对于数集A中的任一时间t，在数集B中都有唯一确定的路程S和它对应?问题2 (1)写出w和d的对应关系式;(2）指出变量d和w的取值范围。
分别用集合A和集合B表示出来。
（3）思考:问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，它们是同一个函数吗？出:要限定S和t的变化范围。
（4）；(5）启发学生发现：在t的变化范围内，任给一个t，按照给定的解析式，都有唯一的一个路程S与之对应。
结合问题1，学生独立思考，自由发言，教师总结。
（1）w=350d；（2）；.（3)不同，因为变量的取值范围不通过问题1,让学生独立解答问题2，加深学生对知识的理解.通过小组讨论，让每个学生都能参与到教学活2。
分析、归纳以上实例，它们有什么共同特点？答：(1）都包含两个非空数集，用A，B来表示；（2）都有一个对应关系;(3)对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应。
3。
总结归纳函数的定义，引进符号f统一表示对应关系:一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x)，x∈A。
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2019-2020年新编人教版高一数学必修一基本初等函数解析基本初等函数一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念：①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。
即若ax n=，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作na ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n②性质：1）aa n n=)(；2）当n 为奇数时，aa nn =；3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n。
（2）．幂的有关概念 ①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n( N *；2）)0(10≠=a a；n 个3）∈=-p aap p(1Q ，4）ma a an m nm ,0(>=、∈n N *且)1>n②性质：1）ra a a a s r s r,0(>=⋅+、∈s Q ）；2）ra a as r s r,0()(>=⋅、∈s Q ）；3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a r r r,0,0()( Q ）。
（注）上述性质对r 、∈s R 均适用。
（3）．对数的概念①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是Na b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,logb N a=其中a 称对数的底，N 称真数1）以10为底的对数称常用对数，N10log 记作N lg ；2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，Ne log ，记作N ln ；②基本性质：1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）1log =a；3）1log =a a；4）对数恒等式：NaNa =log 。
③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则1）NM MN a a alog log )(log +=；2）N M NMa a alog log log -=；3）∈=n M n M a n a(log logR ）④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=N m m a a aNN m m a1）1log log=⋅a b b a；2）b mnb a n amlog log=。
2．指数函数与对数函数 （1）指数函数： ①定义：函数)1,0(≠>=a a ay x且称指数函数，1）函数的定义域为R ；2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数。
②函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向左无限接近x 轴，当1>a 时，图象向右无限接近x轴）；3）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数xxa y a y -==与的图象关于y 轴对称③函数值的变化特征：10<<a 1>a ①100<<>y x 时 ， ②10==y x 时 ， 10><y x 时①10>>y x 时 ，②10==y x 时 ， ③100<<<y x 时（2）对数函数： ①定义：函数)1,0(log≠>=a a x y a且称对数函数，1）函数的定义域为),0(+∞；2）函数的值域为R ； 3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数；4）对数函数x y alog =与指数函数)1,0(≠>=a a ay x且互为反函数②函数图像：1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；2）对数函数都以y 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向上无限接近y 轴；当1>a 时，图象向下无限接近y轴）；4）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数xy x y aa1log log==与的图象关于x 轴对称。
③函数值的变化特征： （3）幂函数1）掌握5个幂函数的图像特点2）a>0时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a<0时在第一象限恒为减函数3）过定点（1，1）当幂函数为偶函数过（-1,1）,10<<a1>a ①01<>y x 时， ②01==y x 时， ③010><<y x 时. ①01>>y x 时，②01==y x 时， ③100<<<y x 时.当幂函数为奇函数时过（-1，-1） 当a>0时过（0，0）4）幂函数一定不经过第四象限四．【典例解析】 题型1：指数运算 例1．（1）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---；（2）化简：5332332323323134)2(248aa a a ab aaab b b a a ⋅⋅⨯-÷++--。
解：（1）原式=41322132)10000625(]102450)81000()949()278[(÷⨯÷+-922)2917(21]1024251253794[=⨯+-=÷⨯⨯+-=；（2）原式=51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()(])2()[(a a a a ab a b b a a b a a ⋅⋅⨯-÷+⋅+-23231616531313131312)2(a a a a aa ba ab a a =⨯⨯=⨯-⨯-=。
点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。
例2．（1）已知11223x x-+=，求22332223x x x x--+-+-的值解：∵11223x x-+=，∴11222()9xx -+=，∴129x x -++=， ∴17x x -+=， ∴12()49x x -+=，∴2247x x -+=，又∵331112222()(1)3(71)18xxx x x x ---+=+⋅-+=⋅-=，∴223322247231833x x x x--+--==-+-。
点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。
题型2：对数运算（2）.(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8--，则满足()f x ＝27的x 的值是 . 答案 13例3．计算（1）2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+；（2）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+；（3）1.0lg 21036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 23--+⋅解：（1）原式22(lg 2)(1lg 5)lg 2lg 5(lg 2lg 51)lg 22lg 5=+++=+++(11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=；（2）原式lg2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3()()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+⋅+=+⋅+ 3lg25lg 352lg 36lg 24=⋅=； （3）分子=3)2lg 5(lg 2lg 35lg 3)2(lg 3)2lg 33(5lg 2=++=++；分母=41006lg 26lg 101100036lg)26(lg =-+=⨯-+；∴原式=43。
点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧例4．设a 、b 、c 为正数，且满足222ab c +=（1）求证：22log (1)log (1)1b c a ca b+-+++=； （2）若4log (1)1b c a ++=，82log ()3a b c +-=，求a 、b 、c 的值。
证明：（1）左边222loglog log ()a b c a b c a b c a b ca b a b+++-+++-=+=⋅22222222222()22log log log log 21a b c a ab b c ab c c ab ab ab +-++-+-=====；解：（2）由4log (1)1b c a ++=得14b ca++=， ∴30a b c -++=……………① 由82log ()3a b c +-=得2384a b c +-==………… ……………②由①+②得2b a -=……………………………………③由①得3c a b =-，代入222a b c +=得2(43)0a a b -=，∵0a >， ∴430a b -=………………………………④由③、④解得6a =，8b =，从而10c =。
点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。
题型3：指数、对数方程例5．(江西师大附中2009届高三数学上学期期中)已知定义域为R 的函数abx f x x ++-=+122)(是奇函数. （1）求a,b 的值；（2）若对任意的R t ∈，不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立，求k 的取值范围.解 （1） 因为)(x f 是R 上的奇函数，所以1,021,0)0(==++-=b abf 解得即 从而有.212)(1ax f x x ++-=+ 又由aa f f ++--=++---=1121412)1()1(知，解得2=a（2）解法一：由（1）知,121212212)(1++-=++-=+x x xx f由上式易知)(x f 在R 上为减函数，又因)(x f 是奇函数，从而不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 等价于).2()2()2(222k t f k t f t t f +-=--<- 因)(x f 是R 上的减函数，由上式推得.2222k t t t +->- 即对一切,0232>--∈k t t R t 有从而31,0124-<<+=∆k k 解得 解法二：由（1）知,2212)(1++-=+x x x f又由题设条件得0221222121221222222<++-+++-+--+--k t k t t t t t即0)12)(22()12)(22(2222212212<+-+++-+-+--+-kt t t tt k t整理得12232>--kt t ，因底数2>1，故0232>--k t t 上式对一切R t ∈均成立，从而判别式.31,0124-<<+=∆k k 解得例6．（2008广东 理7） 设a ∈R ，若函数3axy e x=+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ B ）A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <-【解析】'()3axf x ae =+，若函数在x R ∈上有大于零的极值点，即'()30axf x ae=+=有正根。