考研数学一真题及答案
2024年考研数学一真题及答案详细下载
2024年考研数学一真题及答案考研数一数二数三难度对比首先说课程学习方面(知识点考察内容)，数一和数三大体上都是三门课:高等数学、线性代数、概率论与数理统计。
而数二只考高等数学和线性代数。
其次，高等数学最后几章数二是不考的，而那几章的内容单纯从知识点难度来说是高等数学里最难的。
所以，造就了数二的复习量会远小于数一和数三，尤其是数一。
数一和数三的学习内容也不是完全一模一样的，比如:数一在高数部分会多学一章几何，而数三会多学一些和经济相关的内容。
因为高数内容远多线代和概率等原因，在不考虑知识点难度，纯粹从复习量上来考虑，以数一的复习量为“1”，数三就是“0.96”，而数二只有“0.7”。
其次从考试难度上来讲，首先明确一点，题目难度(出题难度)≠知识点难度。
知识点难度是学习知识的时候体现的，而考试难度是卷子里所呈现出来题目难度出题深度，在考研数学里，单从知识点难度而言，概率难于线代难于高数，但从考研题目而言，高数难于线代难于概率，且压轴题都在高数。
其次，就高数而言，后面的级数等知识应当是最难的一部分知识点，每年都劝退了相当一部分考生，但从题目角度，这方面的题目往往出的比较浅。
题目重点都放在极限微分积分三个方面(这三大计算也是考研高数的重点和基础，压轴题也往往在此)，对于数二，由于只考高数和线代，高数占据比例是三份卷最高的，往往会增加二重积分的考察比重。
就出题难度而言，数一≈数二>数三。
综上而言，数一>数二>数三。
数一难度五颗星，数二难度四颗星，数三难度三颗星。
数学一和数学二在不在一个考场考研数学一和数学二不在一个考场，研究生考试同一考试类型是安排在一起的，经过研究生考试的同学前后左右都是同一个专业和学校的。
研究生考试考点、考场分配是实行统一管理，统一分配的原则，这样便于管理。
从难度系数上看，数学一比较全面，而且题目难度大。
数学二不需要考概论，而且题目比数一简单。
数三的考试也很全面，题目的难度与数一不分上下。
历年考研数学一真题及答案
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)已知 则 = _____________.
(2)设 是连续函数,且 则 =_____________.
(3)设平面曲线 为下半圆周 则曲线积分 =_____________.
(4)向量场 在点 处的散度 =_____________.
六、（本题满分10分）
求幂级数 的收敛域，并求其和函数.
七、（本题满分10分）
求曲面积分
其中 是由曲线 绕 轴旋转一周而成的曲面,其法向量与 轴正向的夹角恒大于
八、（本题满分10分）
设函数 在闭区间 上可微,对于 上的每一个 函数 的值都在开区间 内,且 1,证明在 内有且仅有一个 使得
九、（本题满分8分）
(2)设矩阵 和 满足关系式 其中 求矩阵
四、(本题满分8分)
求微分方程 的通解,其中常数
五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设 则在 处
(A) 的导数存在,且 (B) 取得极大值
(C) 取得极小值(D) 的导数不存在
(1)过点 且与直线 垂直的平面方程是_____________.
(2)设 为非零常数,则 =_____________.
(3)设函数 ,则 =_____________.
(4)积分 的值等于_____________.
(5)已知向量组
则该向量组的秩是_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
2020年考研数学(一)真题及解析
2020年考研数学（一）真题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1. +→0x 时，下列无穷小量中最高阶是（ ）A.()⎰-xt dt e 012B.0ln(1x dt +⎰C.⎰xdt t sin 02sin D.⎰-xdt t cos 103sin【答案】D【解析】()A 22++3200(1)(1)1lim lim33xxt t x x e dt e dt x x →→--==⎰⎰，可知0x +→，2301(1)~3x t e dt x -⎰， ()B ++500222limlim ln(155xx x xx dt→→==+⎰，可知5202ln(1~5x dt x +⎰，0x +→ ()C +++s 3in 2200020sin sin(sin )co cos 1limlim lim 333s x x x xx x t dt x x x →→→===⋅⎰，可知sin 2301sin ~3x t dt x ⎰，0x +→()D ++1co 50s 0limlim x x x →→-===⎰，可知1cos 50~x -⎰，0x +→ 通过对比，⎰-xdt t cos 103sin 的阶数最高，故选()D2. 设函数()x f 在区间()1,1-内有定义，且()0lim 0=→x f x ，则（ ）A. 当()0lim=→xx f x ，()x f 在0=x 处可导.B. 当()0lim2=→xx f x ，()x f 在0=x 处可导.C. 当()x f 在0=x 处可导时，()0lim=→xx f x .D. 当()x f 在0=x 处可导时，()0lim2=→xx f x .【答案】C 【解析】当()f x 在0x =处可导时，由()0(0)lim 0x f f x →==，且0()(0)()(0)limlim 0x x f x f f x f x x →→-'==-，也即0()lim x f x x →存在，从而()0lim0=→xx f x ，故选C 3. 设函数(),f x y 在点()0,0处可微，()00,0=f ，()0,01,,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∂∂∂∂=y f x f n 非零向量d 与n 垂直，则（ ）A.()()()()0,,,lim220,0,=+⋅→yx y x f y x n y x 存在. B.()()()()0,,,lim220,0,=+⨯→yx y x f y x n y x 存在.C. ()()()()0,,,lim220,0,=+⋅→yx y x f y x d y x 存在. D.()()()()0,,,lim220,0,=+⨯→yx y x f y x d y x .【答案】A【解析】函数(),f x y 在点()0,0处可微，()00,0=f ，(,)(0,0)(0,0)(0,0)0x y f x y f f x f y→→''---=，00(,)(0,0)(0,0)0x y f x y f x f y→→''--=由于()(),,,n x y f x y ⋅=(0,0)(0,0)(,)x y f x f y f x y ''+-，所以()()()()0,,,lim220,0,=+⋅→yx y x f y x n y x 存在4. 设R 为幂级数1nn n a r∞=∑的收敛半径，r 是实数，则（ ）A.1nn n a r∞=∑发散时，R r ≥. B.1nn n a r∞=∑发散时，R r ≤.C.R r ≥时，1nn n a r∞=∑发散. D. R r ≤时，1nn n a r∞=∑发散.【答案】A【解析】R 为1nn n a r∞=∑的收敛半径，所以1nn n a r∞=∑在(,)R R -必收敛，所以1nn n a r∞=∑发散时，R r ≥.故选A5. 若矩阵A 经初等列变换化成B ，则（ ）A. 存在矩阵P ，使得B PA =.B.存在矩阵P ，使得A BP =.C.存在矩阵P ，使得A PB =.D. 方程组0=Ax 与0=Bx 同解. 【答案】B【解析】A 经过初等列变换化成B ，存在可逆矩阵1P 使得1AP B =,令11PP -=，得出A BP =,故选B6. 已知直线12121212:c c b b y a a x L -=-=-与直线23232322:c c b b y a a x L -=-=-相交于 一点，法向量i i i i a b c α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，3,2,1=i . 则 A. 1a 可由32,a a 线性表示. B. 2a 可由31,a a 线性表示. C.3a 可由21,a a 线性表示. D. 321,,a a a 线性无关. 【答案】C【解析】令22211112:x a y b c L t a b c ---===，即有21212121=+a a x y b t b t z c c αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由2L 方程得32323223=+a a x y b t b t z c c αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两条线相交，得2132++t t αααα=即2123123+(1)t t t t ααααααα-=⇔+-=，故选C 7. 设A ，B ，C 为三个随机事件，且()()()41===C P B P A P ，()0=AB P ， ()()121==BC P AC P ，则A ，B ，C 中恰有一个事件发生的概率为 A. 43. B. 32. C. 21. D. 125. 【答案】D【解析】()()()(())P ABC P ABUC P A P A BUC ==-111()()()()004126P A P AB P AC P ABC =--+=--+=()()()(())P BAC P B AUC P B P B AUC ==-111()()()()004126P B P AB P BC P ABC =--+=--+=()()()(())P CAB P C AUB P B P C AUB ==-1111()()()()04121212P C P CB P CA P ABC =--+=--+=所以1115()()()661212P ABC P ABC P ABC ++=++= 8. 设n x x x ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，其中()()2110====X P X P ， ()x Φ表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得⎪⎭⎫⎝⎛≤∑=100155i i X P 的近似值为A. ()11Φ-.B. ()1Φ.C.()2,01Φ-.D.()2,0Φ. 【答案】B【解析】由题意12EX =，14DX =,根据中心极限定理1001~(50,25)i i X N =∑,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑=100155i i X P=10050(1)iX P ⎛⎫- ⎪≤=Φ⎝⎭∑二、填空题：9~14小题，每小题2分，共24分.请将解答写在答题纸指定位置上. 9. ()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--→x e x x 1ln 111lim 0 . 【答案】-1【解析】()()()()2000ln 11ln 1111lim lim lim 1ln 1(1)ln 1x x x x x x x x e x e e x e x x →→→⎡⎤⎡⎤+-++-+-==⎢⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎣⎦ =()2222001111ln 1122lim lim 1xx x x x x x x e x x→→----++-+==-10. 设()⎪⎩⎪⎨⎧++=+=1ln 122t t y t x ，则==122t dx y d .【答案】【解析】1dy dy dt dx dx dt t ===22231=dy dy d d d y dt dx dt dx dx dt dx t t t⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===--得212t d y dx==11. 若函数()x f 满足()()()()00>=+'+''a x f x f a x f ，且()m f =0，()n f ='0，则()f x dx +∞=⎰.【答案】n am +【解析】特征方程210a λλ++=，则1212,1a λλλλ+=-⋅=，所以两个特征根都是负的。
2020年考研数学一真题及答案(全)
全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题一、选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纨指定位置上.1- cos Jx _______ _ r > 0(1)若函数/(# = { ax在x连续，则b,x<Q(A) ab = g.(B) ab = —^.(C) ab = 0.(D) ab = 2.【答案】A【详解】由lim --=，_ = b,得出? = L.ax 2a 2(2)设函数可导，且—。
)>0则(A) /(1)>/(-1). (B) /⑴ </(T).© |/W|>|/(-l)|- ⑼ ]〃刈<|〃-1)卜【答案】C【详解】/(刈=[弓2r〉o,从而广(冷单调递增，尸⑴>(3)函数/。
,乂2)=犬〉+ ^在点(1,2,0)处沿着向量〃 =(1,2,2)的方向导数为(A) 12. (B) 6. (C) 4. (D)2 .【答案】D19【详解】方向余弦cosa = -,cos^ = cosy = §，偏导数f； = 2xy,f； = x\f! = 2z，代入 cos af； + cos /f： + cos yf；即可.(4)甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线y =H«)(单位：m/s),虚线表示乙的速度曲线〃=匕(。
(单位：in/s),三块阴影部分面积的数值一次为10, 20, 3,计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s),则(A) r 0 =10. (B) 15<t 0 <20 . (C) 0 = 25. (D) t 0>25.【答案】C【详解】在。
=25时，乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. (5)设a 为〃维单位列向量，七为〃阶单位矩阵，则(A)七一勿肝不可逆. (B) E+aaT 不可逆. (C) E+2a«i 不可逆. (D)不可逆.【答案】A【详解】可设Q = (l,o,…,0)、则或/的特征值为L0,…,0,从而E —皿丁的特征值为 0』,…因此E —不可逆.101 fl 、2 0 , C= 2 0 J 1 2)(A)A 与C 相似，8与。
2020年考研数学一真题及答案解析(完整版)
2020年考研数学一真题及答案解析(完整版)2020年考研数学一真题及答案解析（完整版）一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上。
XXX 时，下列无穷小量中最高阶是（）A。
$\int_{x^2}^{et-1}dt$B。
$\int_0^x\frac{3\ln(1+tdt)}{t}$C。
$\int_0^x\frac{\sin x}{\sin t^2}dt$D。
$\int_0^x\frac{1-\cos x}{\sin t^2}dt$2.设函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 内有定义，且$\lim\limits_{x\to 0}f(x)=0$，则（）A。
当 $\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{|x|}=0$，$f(x)$ 在$x=0$ 处可导。
B。
当 $\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}=0$，$f(x)$ 在$x=0$ 处可导。
C。
当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时，$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{|x|}=0$。
D。
当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时，$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=0$。
3.设函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，$f(0,0)=0,n=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partialx}(0,0)\\\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\\-1\end{pmatrix}$ 非零向量 $d$ 与 $n$ 垂直，则（）A。
$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}n\cdot(x,y,f(x,y))$ 存在。
B。
$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}n\times(x,y,f(x,y))$ 存在。
2001考研数学一试题及答案解析
2001考研数学一试题及答案解析2001年考研数学一试题及答案解析一、选择题1.设A是n阶实对称矩阵，B是n阶对称矩阵，则下列结论正确的是（）A. AB是对称矩阵B. AB是反对称矩阵C. AB是零矩阵D. AB不一定是对称矩阵答案：D解析：对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵，故选D。
2.设A是n阶矩阵，|A|≠0，则下列结论正确的是（）A. A是可逆矩阵B. A的行列式不等于0C. A的秩等于nD. A的特征值不等于0答案：A解析：根据矩阵可逆的定义，可知选项A正确。
3.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，则下列结论正确的是（）A. 函数f(x)在[a,b]上一定有最大值和最小值B. 函数f(x)在(a,b)内一定有极值点C. 函数f(x)在[a,b]上一定有极值点D. 函数f(x)在(a,b)内一定有最大值和最小值答案：B解析：根据极值定理，可知选项B正确。
4.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，则函数f(x)在[a,b]上（）A. 一定有最大值和最小值B. 一定有极值点C. 一定有极大值和极小值D. 不一定有极值点答案：D解析：函数在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导并不意味着一定有极值点，故选D。
5.若f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，且f'(x)>0，则下列结论正确的是（）A. 函数f(x)在[a,b]上单调递减B. 函数f(x)在[a,b]上单调递增C. 函数f(x)在(a,b)内存在极大值D. 函数f(x)在[a,b]上存在极小值答案：B解析：根据导数的定义，可知选项B正确。
二、填空题1.设A是n阶实对称矩阵，且A的主对角线元素都为1，则A的特征值之和为____。
答案：n+1解析：根据实对称矩阵的特征值之和等于主对角线元素之和，故特征值之和为n+1。
2.设z为复数，|z|=1，则z^3的实部为____。
考研数学一真题及答案解析参考
考研数学⼀真题及答案解析参考2019年考研数学⼀真题⼀、选择题，1~8⼩题，每⼩题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有⼀个选项是符合题⽬要求的.1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶⽆穷⼩，则=k . . ..2.设函数>≤=,0,ln ,0,)(x x x x x x x f 则0=x 是)(x f 的A.可导点，极值点.B.不可导点，极值点.C.可导点，⾮极值点.D.不可导点，⾮极值点.3.设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是A..1∑∞=n n nu B.nn nu 1)1(1∑∞=-. C.∑∞=+-111n n n u u . D.()∑∞=+-1221n n n u u . 4.设函数2),(y xy x Q =，如果对上半平⾯（0>y ）内的任意有向光滑封闭曲线C 都有?=+Cdy y x Q dx y x P 0),(),(，那么函数),(y x P 可取为A.32y x y -.B.321yx y -. C.yx 11-. D.yx 1-. 5.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22=+，且4=A ，则⼆次型Ax x T 的规范形为A.232221y y y ++.B.232221y y y -+. C.232221y y y --.D.232221y y y ---.6.如图所⽰，有3张平⾯两两相交，交线相互平⾏，它们的⽅程组成的线性⽅程组的系数矩阵和增⼴矩阵分别记为A A ,，则A..3)(,2)(==A r A rB..2)(,2)(==A r A rC..2)(,1)(==A r A rD..1)(,1)(==A r A r7.设B A ,为随机事件，则)()(B P A P =的充分必要条件是 A.).()()(B P A P B A P +=Y B.).()()(B P A P AB P = C.).()(A B P B A P =D.).()(B A P AB P =8.设随机变量X 与Y 相互独⽴，且都服从正态分布),(2σµN ，则{}1<-Y X P A.与µ⽆关，⽽与2σ有关. B.与µ有关，⽽与2σ⽆关.C.与2,σµ都有关.D.与2,σµ都⽆关.⼆、填空题：9~14⼩题，每⼩题4分，共24分. 9. 设函数)(u f 可导，,)sin (sin xy x y f z +-=则yz cosy x z cosx +11=. 10. 微分⽅程02'22=--y y y 满⾜条件1)0(=y 的特解=y .11. 幂级数nn n x n ∑∞=-0)!2()1(在)0∞+，（内的和函数=)(x S .12. 设∑为曲⾯)0(44222≥=++z z y x 的上侧，则dxdy z x z--2244=.13. 设），，（321αααA =为3阶矩阵.若21αα，线性⽆关，且2132ααα+-=，则线性⽅程组0=x A 的通解为.14. 设随机变量X 的概率密度为<<=，其他，020,2)(x xx f ）（x F 为X 的分布函数，X E 为X 的数学期望，则{}=->1X X F P E ）（. 三、解答题：15~23⼩题，共94分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）设函数)(x y 是微分⽅程2'2x e xy y -=+满⾜条件0)0(=y 的特解.（1）求)(x y ；（2）求曲线)(x y y =的凹凸区间及拐点. 16.（本题满分10分）设b a ,为实数，函数222by ax z ++=在点（3，4）处的⽅向导数中，沿⽅向j i l 43--=的⽅向导数最⼤，最⼤值为10.（1）求b a ,；（2）求曲⾯222by ax z ++=（0≥z ）的⾯积. 17.求曲线)0(sin ≥=-x x e y x 与x 轴之间图形的⾯积. 18.设dx x x a n n ?-=1 021，n =（0，1，2…）（1）证明数列{}n a 单调减少，且221-+-=n n a n n a （n =2，3…）（2）求1lim-∞→n nn a a .19.设Ω是锥⾯())10()1(2222≤≤-=-+z z y x 与平⾯0=z 围成的锥体，求Ω的形⼼坐标.20.设向量组TT T a )3,,1(,)2,3,1(,)1,2,1(321===ααα，为3R 的⼀个基，T)1,1,1(=β在这个基下的坐标为Tc b )1,,(.（1）求c b a ,,.（2）证明32,a a ，β为3R 的⼀个基，并求,,32a a β到321,,a a a 的过度矩阵.21.已知矩阵----=20022122x A 与-=y B 00010012相似（1）求y x ,.（2）求可可逆矩阵P ，使得.1B AP P =-22.设随机变量X 与Y 相互独⽴，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为{}{}),10(,11,1<<-===-=p p Y P p Y P 令XY Z =（1）求z 的概率密度.（2）p 为何值时，X 与Z 不相关. （3）X 与Z 是否相互独⽴?23.（本题满分11分）设总体X 的概率密度为其中µ是已知参数，0>σ是未知参数，A 是常数，n X …X X ，，21来⾃总体X 的简单随机样本.（1）求A ；（2）求2σ的最⼤似然估计量2019年全国硕⼠研究⽣⼊学统⼀考试数学试题解析（数学⼀）9.yxx y cos cos + 10.23-x e 11.x cos 12.332 13. ，T )1,2,1(-k k 为任意常数. 14. 解：（1）)()()(2 222c x ec dx e ee x y x xdxx xdx+=+??=---?，⼜0)0(=y ，故0=c ，因此.)(221x xe x y -=（2）22221221221)1(x x x ex ex ey ----=-='，22222122132121)3()3()1(2x x x x ex x e x x xex xey -----=-=---=''，令0=''y 得3,0±=x所以，曲线)(x y y =的凹区间为)0,3(-和),3(+∞，凸区间为)3,(--∞和)3,0(,拐点为)0,0(，)3,3(2 3---e ，)3,3(23-e .15. 解：（1）)2,2(by ax z =grad ，)8,6()4,3(b a z =grad ，由题设可得，4836-=-ba ，即b a =，⼜()()108622=+=b a z grad ，所以，.1-==b a（2）dxdy y z x z S y x ??≤+??+??+=22222)()(1=dxdy y x y x ??≤+-+-+22222)2()2(1 =dxdy y x y x ??≤+++22222441=ρρρθπd d ??2241=20232)41(12 12ρπ+?= .313π19.由对称性，2,0==y x ，--===ΩΩ102102101)1()1(dz z dz z z dxdy dz dxdy zdz dv zdv z zzD D ππ=.4131121)1()1(1212==--??dz z dz z z20.（1）123=b c βααα++即11112311231b c a ???????? ? ? ? ?++= ? ? ? ? ? ? ? ?????????，解得322a b c =??=??=-?.（2）()23111111=331011231001ααβ→-，，，所以()233r ααβ=，，，则23ααβ，，可为3R 的⼀个基.则()()1231231101=0121002P ααβααα-??=-??，，，，. 21.（1）A 与B 相似，则()()tr A tr B =，A B =，即41482x y x y -=+??-=-?，解得3 2x y =??=-?（2）A 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=20α?? ?- ? ；2=1λ-，22=10α-?? ? ? ???；3=2λ-，31=24α-??. 所以存在()1123=P ααα,,，使得111212P AP -??=Λ=-??-. B 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=00ξ?? ? ?；2=1λ-，21=30ξ?? ?- ? ；3=2λ-，30=01ξ??. 所以存在()2123=P ξξξ,,，使得122212P AP -??=Λ=-??-. 所以112211=P AP P AP --=Λ，即1112112B P P APP P AP ---== 其中112111212004P PP --??==--. 22.解：（I ）Z 的分布函数(){}{}{}{}(){},1,11F z P XY z P XY z Y P XY z Y pP X z p P X z =≤=≤=-+≤==≥-+-≤从⽽当0z ≤时，()z F z pe =；当0z >时，()()()()1111z z F z p p e p e --=+--=--则Z 的概率密度为()(),01,0z zpez f z p e z -. （II ）由条件可得()()()()()()()()()22E XZ E X E Z E X E Y E X E Y D X E Y -=-=，⼜()()1,12D X E Y p ==-，从⽽当12p =时，(),0Cov X Z =，即,X Z 不相关.（III ）由上知当12p ≠时，,X Z 相关，从⽽不独⽴；当12p =时，121111111111,,,,2222222222112P X Z P X XY P X X P X X F e -≤≤=≤≤=≤≥-+≤≤???==- ?⽽12112P X e -??≤=-，121111112222222P Z P X P X e -≤=≤+≥-=-?????? ?????????，显然1111,2222P X Z P X P Z≤≤≠≤≤，即,X Z 不独⽴.从⽽,X Z 不独⽴.23.解：（I ）由()2221x Aedx µσµσ--+∞=?t =201t e dt +∞-==?，从⽽A =（II ）构造似然函数()()22112212,,1,2,,,,,,0,ni i n x i n A e x i n L x x x µσµσσ=--?∑≥= ?=? L L 其他，当,1,2,,i x i nµ≥=L 时，取对数得()22211ln ln ln 22ni i n L n A x σµσ==---∑，求导并令其为零，可得()22241ln 1022nii d L n x d µσσσ==-+-=∑，解得2σ的最⼤似然估计量为()211n ii x n µ=-∑.。
1994考研数学一真题及参考答案详解
+ y ≤ R sin xcos 4 xdx , N = ⎰ 2 (sin 3 x + cos 4 x)dx , P = ⎰ 2 ( x 2 sin 3 x - cos 4 x)dx ,(3)设常数 λ > 0 ,且级数 ∑ a 2 收敛,则级数 ∑(-1)n1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1) limcot x( x →01 1- ) = _____________.sin x x(2)曲面 z - e z + 2 x y = 3 在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.x∂ 2u 1(3)设 u = e - x sin,则在点 (2, ) 处的值为_____________.y∂x ∂yπ(4)设区域 D 为 x 22 2,则 ⎰⎰ ( Dx 2 y 2 + a 2 b 2 )dxdy = _____________.(5)已知 α = (1,2,3), β = (1,1 , 1) ,设 A = α T β ,其中α T 是 α 的转置,则 A n = _________.2 3二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.)π (1)设 M =⎰ 2-π 1 + x 2 2π π π π- -2 2则()(A) N < P < M (B) M < P < N (C) N < M < P (D) P < M < N(2)二元函数 f ( x , y) 在点 ( x , y ) 处两个偏导数 f ' ( x , y ) 、 f ' ( x , y ) 存在是 f ( x , y) 在该点连续的() 0 0xy(A)充分条件但非必要条件(B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件又非必要条件∞ ∞ n n =1 n =1(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与 λ 有关| a | nn 2 + λ()(4) lim x →0 a tan x + b (1- cos x) c ln(1- 2 x ) + d (1- e - x 2)= 2 ,其中 a 2 + c 2 ≠ 0 ,则必有()(A) b = 4d (B) b = -4d(C) a = 4c (D) a = -4c(5)已知向量组α 、α 、α 、α 线性无关,则向量组()1 234(A) α + α 、 α + α 、 α + α 、 α + α 线性无关1 2233441(B) α - α 、 α - α 、 α - α 、 α - α 线性无关1 2233441(C) α + α 、 α + α 、 α + α 、 α - α 线性无关1 2233441(D) α + α 、 α + α 、 α - α 、 α - α 线性无关12233441⎪ y = t cos(t 2) - ⎰ td 2 y ∑ 设四元线性齐次方程组 (I ) 为 ⎨ 又已知某线性齐次方程组 (II ) 的通解为 x - x= 0, ⎩三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分.)⎧ x = cos(t 2 ),⎪(1)设 ⎨ ⎩1 2 1 2 u d yπcos udu , dx dx 2 2求 、 在 t =的值.1 1 + x 1(2)将函数 f ( x ) = ln + arctan x - x 展开成 x 的幂级数.4 1 - x 2(3)求 ⎰dx sin 2 x + 2sin x .四、(本题满分 6 分)xdydz + z 2dxdy计算曲面积分 ⎰⎰ ,其中 S 是由曲面 x 2 + y 2 = R 2 及两平面 z = R,x 2 + y 2 + z 2 Sz = - R (R > 0) 所围成立体表面的外侧.五、(本题满分 9 分)设 f ( x ) 具有二阶连续导数, f (0) = 0, f '(0) = 1 ,且[ x y( x + y) - f ( x ) y]dx + [ f '( x ) + x 2 y]dy = 0 为一全微分方程,求 f ( x ) 及此全微分方程的通解.六、(本题满分 8 分)设 f ( x ) 在点 x = 0 的某一领域内具有二阶连续导数,且 lim x →0f ( x ) x= 0 ,证明级数∞n =1 1f ( ) 绝对收敛.n七、(本题满分 6 分)已知点 A 与 B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段 AB 绕 z 轴旋转一周所围成的旋转曲面为 S .求由S 及两平面 z = 0, z = 1所围成的立体体积.八、(本题满分 8 分)⎧ x + x = 0,12 2 4k (0,1,10) + k (-1,2, 2,1) .1 2(1)求线性方程组 (I ) 的基础解系；(2)问线性方程组 (I ) 和 (II ) 是否有非零公共解？若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、(本题满分 6 分)设 A 为 n 阶非零方阵, A * 是 A 的伴随矩阵, A T 是 A 的转置矩阵,当 A * = A T 时,证明| A |≠ 0 .十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1)已知A、B两个事件满足条件P(AB)=P(AB),且P(A)=p,则P(B)=__________.原式 = lim cos x( x - sin x) x →0 x →0 x →02 精心整理(2)设相互独立的两个随机变量 X 、 Y 具有同一分布律,且 X 的分布律为则随机变量 Z = max {X , Y }的分布律为_______.十一、(本题满分 6 分)已知随机变量 ( X , Y ) 服从二维正态分布,且 X 和 Y 分别服从正态分布 N (1,32 ) 和N (0, 42 ) , X 与 Y的相关系数 ρXY1 X Y = - ,设 Z = + ,2 3 2(1)求 Z 的数学期望 E (Z ) 和方差 D(Z ) ；(2)求 X 与 Z 的相关系数 ρ XZ ；(3)问 X 与 Z 是否相互独立？为什么？1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】16【解析】原式变形后为“ ”型的极限未定式,又分子分母在点 0 处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有x - sin x= limcos x ⋅ limx →0 x sin 2 x x 3 1 - cos x sin x 1 sin x= lim = lim = .(由重要极限 lim = 1 )x →0 3x 2 x →0 6 x 6 x(2)【答案】 2 x + y - 4 = 0【解析】所求平面的法向量 n 为平行于所给曲面在点 (1,2,0) 处法线方向的方向向量 l ,取 n = l ,又平面过已知点 M (1,2,0) .已知平面的法向量 ( A, B, C ) 和过已知点 ( x , y , z ) 可唯一确定这个平面：0 0A( x - x ) + B( y - y ) + C ( z - z ) = 0 .0 0因点 (1,2,0) 在曲面 F ( x , y , z ) = 0 上.曲面方程 F ( x , y , z) = z - e z + 2 x y - 3 .曲面在该点的法向量⎧ ∂F ∂F ∂F ⎫n =⎨ , , ⎬⎩ ∂x ∂y ∂z ⎭(1,2,0) = { y , 2 x ,1 - e z } = {4, 2,0}= 2 {2,1,0}, (1,2,0)故切平面方程为 2( x - 1) + ( y - 2) = 0 ,即 2 x + y - 4 = 0 .(3)【答案】 π ∂x ⎝∂y ⎭2 e2 .= + = f ' + f ' .4 R 4 ( 原式 =⎰π d θ ⎰rdr = ⎰ 2π ⎪ d θ ⋅ ⎰ r 3dr . 注意：⎰ π cos⎛ cos 2 θ ⎝ a 2b 2 ⎭ 则原式 =⎛ 1⎪ π ⋅ R 4 = R 4⎪ .1 2(5)【答案】 3n -1 2 1⎢3 3 ⎣ 精心整理2e 2【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,为了简化运算,所以本题可以先求∂u∂y∂ ⎛ ∂u ⎫⎪ .∂u x x=- e - x cos ,∂y y y,再求= (-π 2e - x (1- x)cos π x)x =2+ 0 =π 2(可边代值边计算,这样可以简化运算量.)【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数u = ϕ( x , y), v = ψ ( x , y) 都在点 ( x , y) 具有对 x 及对 y 的偏导数,函数 z = f (u , v ) 在对应点 (u , v) 具有连续偏导数,则复合函数z = f (ϕ( x , y),ψ ( x , y)) 在点 ( x , y) 的两个偏导数存在,且有∂z∂z ∂u ∂z ∂v ∂u ∂v = + = f ' + f ' ； ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x 1 ∂x 2 ∂x∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂u ∂v∂y ∂u ∂y ∂v ∂y 1 ∂y 2 ∂y(4)【答案】 π1 1+ ) a 2 b 2【解析】很显然,根据此题的特征用极坐标变换来计算：2 02⎛ cos 2 θ sin 2 θ ⎫ sin 2 θ ⎫ R2 R r 2 + ⎪ + ⎝ a 2 b 2 ⎭ 0 00 0θ d θ = ⎰ 2π sin 2 θ d θ = π ,⎝ a 2 + 1 ⎫ 1 π ⎛ 1 1 ⎫ b 2 ⎭ 4 4 ⎝ a2b 2 ⎭ +⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 1⎢ 2 1 ⎤ 3 ⎥ ⎥ 2 ⎥ 3 ⎥ ⎥ 1 ⎥⎥⎦【解析】由矩阵乘法有结合律,注意 βα T = 1, , ⎪ ⎢2⎥ = 3 是一个数,1 2而 A = α T β = ⎢2⎥ 1, , ⎪ = 21 ⎢3 3⎣ ⎣ 1 2 ⎢3 3 ⎣cos xdx > 0 , P = -2⎰ 2 cos 4 xdx = - N < 0 .2n 2 + λ⎡1⎤⎛ 1 1 ⎫⎢ ⎥ ⎝ 2 3 ⎭⎢⎣3⎥⎦于是,⎢⎡1⎤ ⎢ ⎢ ⎥⎛ 1 1 ⎫ ⎢ ⎝ 2 3 ⎭ ⎢ ⎢3⎥⎦ ⎢ ⎡ 1⎢ 21 ⎤3 ⎥ ⎥ 2 ⎥ 3 ⎥⎥ 1 ⎥⎥⎦,(是一个三阶矩阵)⎡ 1 ⎢ ⎢= 3n -1α T β = 3n -1 ⎢21 ⎢ ⎢ ⎢2 1 ⎤3 ⎥ ⎥ 2 ⎥ 3 ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎥⎦.二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1)【答案】(D)【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性.由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为 0,故 M = 0 ,且由定积分的性质,如果在区间 [a, b ]上,被积函数 f ( x ) ≥ 0 ,则 ⎰ππ所以 N = 2⎰4b af ( x )dx ≥ 0 ( a < b ) .因而 P < M < N ,应选(D).(2)【答案】(D)【解析】 f ( x , y) 在点 ( x , y ) 连续不能保证 f ( x , y) 在点 ( x , y ) 存在偏导数 f '( x , y ),0 0xf '( x , y ) .反之, f ( x , y) 在点 ( x , y ) 存在这两个偏导数 f '( x , y ), f '( x , y ) 也不能保证 f ( x , y) 在点y0 0 0 0 x 0 0 y 0 0( x , y ) 连续,因此应选(D).0 0二元函数 f ( x , y) 在点 ( x , y ) 处两个偏导数存在和在点 ( x , y ) 处连续并没有相关性. 0 0(3)【答案】(C)【解析】考查取绝对值后的级数.因(-1)n | a |1 1 1 1 1 n ≤ a2 + < a 2 + ,2 n 2 n 2 + λ 2 n 2n 21 (第一个不等式是由 a ≥ 0, b ≥ 0, ab ≤(a 2 + b 2 ) 得到的.)2又 ∑ a 收敛, ∑ 收敛,(此为 p 级数： ∑ 2 2n n 2 + λn x 2= o ( x ),1 - e - x 2∞∞2 n n =1n =112n 2∞ n =11 n p 当 p > 1 时收敛；当 p ≤ 1 时发散.)∞1 1∞ (-1)n | a | 所以 ∑a 2 + 收敛,由比较判别法,得 ∑ 收敛.n 2 n =1 n =1故原级数绝对收敛,因此选(C). (4)【答案】(D)【解析】因为1 - cos x故 a tan x + b (1- cos x)1 2 x 2 = o ( x) ,ax ( a ≠ 0) ,c ln(1- 2x) +d (1-e - x 2) -2cx (c ≠ 0) ,因此,原式左边 = lim x →0 ax a= = 2 = 原式右边, ⇒ a = -4c .-2cx -2c当 a = 0, c ≠ 0 时,极限为 0；当 a ≠ 0, c = 0 时,极限为 ∞ ,均与题设矛盾,应选(D).【相关知识点】1.无穷小的比较：设在同一个极限过程中, α ( x ), β ( x ) 为无穷小且存在极限 l im α (x)= l.β ( x )（1） 若 l ≠ 0, 称 α ( x ), β ( x ) 在该极限过程中为同阶无穷小；（2） 若 l = 1, 称 α ( x ), β ( x ) 在该极限过程中为等价无穷小,记为 α ( x )（3） 若 l = 0, 称在该极限过程中α ( x ) 是 β ( x ) 的高阶无穷小,记为α ( x ) = o (β ( x ) ).若 lim α (x)不存在(不为 ∞ ),称 α ( x ), β ( x ) 不可比较.β ( x )2.无穷小量的性质：当 x → x 时, α ( x ), β ( x ) 为无穷小,则α ( x ) β ( x ) ⇔ α ( x ) = β ( x ) + o (β ( x )) .(5)【答案】(C)【解析】这一类题目应当用观察法.若不易用观察法时可转为计算行列式.β ( x ) ；(A)：由于 (α + α 12)- (α + α )+ (α + α )- (α + α ) = 0 ,所以(A)线性相关.2 3 3 4 4 1(B)：由于 (α - α 12)+ (α - α )+ (α - α )+ (α - α ) = 0 ,所以(B)线性相关.2 3 3 4 4 1对于(C),实验几组数据不能得到 0 时,应立即计算由α 的系数构成的行列式,即(1)【解析】 dy 2 ,xx t = πln(1+ x) - ln(1- x) + 精心整理1 0 0 -1 1 1 0 00 1 1 0= 2 ≠ 0 ,0 0 11由行列式不为 0,知道(C)线性无关.故应选(C). 当然,在处理(C)有困难时,也可来看(D),由(α + α ) - (α + α ) + (α - α ) + (α - α ) = 0 ,1 2233441知(D)线性相关,于是用排除法可确定选(C).【相关知识点】α ,α ,,α 线性相关的充分必要条件是存在某α (i = 1,2,, s) 可以由1 2siα , α ,α , 1 i -1i +1,α 线性表出.sα ,α , 12,α 线性无关的充分必要条件是任意一个α (i = 1,2,s i, s) 均不能由α , α ,α , 1 i -1i +1,α 线性表出.s三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分.)dy dt dy = ⋅ =dx dt dx d tdx y '= t = dt x 't1cos t 2 - 2t 2 sin t 2 - 2t -2t sin t 2cos t 2 ⋅ 2t= t (t > 0),同理 y '' = xx ( y ' )' 1x t = ,x ' -2t sin t 2t代入参数值 t =π则 y 'x t =π =2π2, y ''2=- 12π.【相关知识点】1.复合函数求导法则:如果 u = g ( x ) 在点 x 可导,而 y = f ( x ) 在点 u = g ( x ) 可导,则复合函数y = f [g ( x )]在点 x 可导,且其导数为dydydy du= f '(u ) ⋅ g '( x ) 或 = ⋅ . dx dx du dx2.对积分上限的函数的求导公式：若 F (t ) = ⎰β (t ) f ( x )dx , α (t ) , β (t ) 均一阶可导,则α (t )F '(t ) = β '(t ) ⋅ f [β (t )]- α'(t ) ⋅ f [α (t )].(2)【解析】 f ( x ) = 1 11arctan x - x .4 4 2先求 f '( x ) 的展开式.将 f ( x ) 微分后,可得简单的展开式,再积分即得原函数的幂级数展开.所以由该级数在端点 x = ±1 处的收敛性,视 α 而定.特别地,当 α = -1 时,有得 f '( x ) = 1 1 = - 1 = ∑ x 4n - 1 = ∑ x 4n (| x |< 1) ,f ( x ) = f (0) + ⎰ xf '( x )dx = ∑ ⎰ xt 4n d t = ∑= ⎢ln (1 - cos x )- ln (1 + cos x )+ ⎦= ⎰ =- ⎰⇒ ⎨2 A - D = 0 ⇒ A = B = , D = .⎪ A + B + D = 1= ⎢ln (1 - cos x )- ln (1 + cos x )+ + C . ⎢ ⎥精心整理1 1 1 1 1 1 1 1+ + - 1 = + - 14 1 + x 4 1 - x 2 1 + x 2 2 1 - x 2 2 1 + x 21∞ ∞ 1 - x 4n =0 n =1积分,由牛顿-莱布尼茨公式得∞ ∞n =1n =1x 4n +14n + 1(| x |< 1) .(3)【解析】方法 1：利用三角函数的二倍角公式 s in 2α = 2sin α ⋅ cos α ,并利用换元积分,结合拆项法求积分, 得(sin 2 x = 1 - cos 2 x )1 ⎡2 ⎤ 8 ⎣ 1 + cos x ⎥其中 C 为任意常数.方法 2：换元 cos x = u 后,有+ C ,原式 = ⎰dx sin xdx 1 du2sin x(cos x + 1) 2sin 2 x(cos x + 1) 2 (1- u )(1+ u )2 .用待定系数法将被积函数分解:( A - B)u 2 + (2 A - D)u + ( A + B + D) = ,(1- u )(1+ u )2⎧ A - B = 0⎪1 1 42 ⎩于是, 原式＝ - 1⎰ ( 1 + 1 + 2 )du = 1 ⎡ln 1 - u - ln 1 + u + 2 ⎤+ C8 1 - u 1 + u (1+ u )2 8 ⎣1 + u ⎦1 ⎡2 ⎤ 8 ⎣ 1 + cos x ⎥⎦四、(本题满分 6 分)【解析】求第二类曲面积分的基本方法:套公式将第二类曲面积分化为第一类曲面积分,再化为二重积分,或用高斯公式转化为求相应的三重积分或简单的曲面积分.这里曲面块的个数不多,积分项也不多,某些积分取零值,如若 ∑ 垂直 yOz 平面,则⎰⎰ P dydz = 0 .化为二重积分时要选择投影平面,注意利用对称性与奇偶性.∑先把积分化简后利用高斯公式也很方便的.方法 1：注意 ⎰⎰Sz 2dxdy x 2 + y 2 + z 2= 0 ,(因为 S 关于 xy 平面对称,被积函数关于 z 轴对称)⎰⎰ = ⎰⎰ ⎰⎰⎰ ∂ ⎛ dV = ⎰⎰⎰ dV = ⎰ R dz ⎰⎰ ∂x ⎝ R 2 + z 2 ⎭ R 2 + z 2 R 2 + z 2 ⎪ [ x y( x + y) - f ( x ) y] = [ f '( x ) + x 2y] , ⎪⎩ y 精心整理所以 I = ⎰⎰Sx dydz x 2 + y 2 + z 2.S 由上下底圆及圆柱面组成.分别记为 S , S , S . S , S 与平面 yOz 垂直 ⇒1 2312xdydz xdydzx 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 s 1s 2= 0 .在 S 上将 x 2 + y 2 = R 2 代入被积表达式 ⇒ I = 3 ⎰⎰s 3xdydz R 2 + z 2.S 在 yz 平面上投影区域为 D : - R ≤ y ≤ R, - R ≤ z ≤ R ,在 S 上, x = ± R 2 - y 2 , S 关于 yz 平面对称,被积3 yz3 3函数对 x 为奇函数,可以推出π1z R 1R 2 ⋅ arctan= π 2 R . = 8⋅4RR2方法 2： S 是封闭曲面,它围成的区域记为 Ω ,记 I =⎰⎰Sx dydz R 2 + z 2.再用高斯公式得 I =x ⎫ 1 dxdy ⎪- RΩ Ω D( z )= 2π R2 ⎰ R 01 1dz = π 2 R (先一后二的求三重积分方法)R 2 + z 2 2其中 D( z ) 是圆域： x 2 + y 2 ≤ R 2 .【相关知识点】高斯公式：设空间闭区域 Ω 是由分片光滑的闭曲面 ∑ 所围成,函数P( x , y , z) 、 Q( x , y , z) 、 R( x , y , z) 在 Ω 上具有一阶连续偏导数,则有或 ⎰⎰⎰⎛ ∂P + ∂Q + ∂R ⎫dv = ⎰⎰ (P cos α + Q cos β + R cos γ )dS , ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎭ Ω ∑这里 ∑ 是 Ω 的整个边界曲面的外侧, cos α 、 cos β 、 cos γ 是 ∑ 在点 ( x , y , z) 处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式. 五、(本题满分 9 分)【解析】由全微分方程的条件,有∂ ∂∂y ∂x即 x 2 + 2 x y - f ( x ) = f ''( x ) + 2 x y ,亦即 f ''( x ) + f ( x ) = x 2 .⎧⎪ y '' + y = x 2 ,因而是初值问题 ⎨的解,此方程为常系数二阶线性非齐次方程,对应的齐次方程的特征方程为= 0, y '= 1,x =0x =0r2+1=0的根为r=±i,原方程右端x2=e0x⋅x2中的λ=0,不同于两个特征根,所以方程有特解形如1,2Y=Ax2+Bx+C.代入方程可求得A=1,B=0,C=2,则特解为x2-2.由题给f(0)=0,f'(0)=1,解得f(x)=2cos x+sin x+x2-2.f(x)的解析式代入原方程,则有[x y2+2y-(2cos x+sin x)y]dx+[x2y+2x-2sin x+cos x]dy=0.先用凑微分法求左端微分式的原函数：11(y2dx2+x2dy2)+2(ydx+xdy)-y d(2sin x-cos x)-(2sin x-cos x)dy=0,221d(x2y2+2x y+y(cos x-2sin x))=0.21其通解为x2y2+2x y+y(cos x-2sin x)=C其中C为任意常数.2【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设y*(x)是二阶线性非齐次方程y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)的一个特解.Y(x)是与之对应的齐次方程y''+P(x)y'+Q(x)y=0的通解,则y=Y(x)+y*(x)是非齐次方程的通解.2.二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解Y(x),可用特征方程法求解：即y''+P(x)y'+Q(x)y=0中的P(x)、Q(x)均是常数,方程变为y''+py'+qy=0.其特征方程写为r2+pr+q=0,在复数域内解出两个特征根r,r；12分三种情况：(1)两个不相等的实数根r,r,则通解为y=C e rx1+C e r2x;1212(2)两个相等的实数根r=r,则通解为y=(C+C x)e rx1;1212(3)一对共轭复根r1,2=α±iβ,则通解为y=eαx(C cosβx+C sinβx).其中C,C为常数.12123.对于求解二阶线性非齐次方程y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)的一个特解y*(x),可用待定系数法,有结论如下：如果f(x)=P(x)eλx,则二阶常系数线性非齐次方程具有形如y*(x)=x k Q(x)eλxm m的特解,其中Q(x)是与P(x)相同次数的多项式,而k按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程m m的重根依次取0、1或2.如果f(x)=eλx[P(x)cosωx+P(x)sinωx],则二阶常系数非齐次线性微分方程l nl 无穷小, p > 1,从而 f ( ) 也是 的 p 阶或高于 p 阶的无穷小,这就证明了级数 ∑ f ( ) 绝对收敛.∑ 1收敛 ⇒ ∑ f ( ) 收敛,即 ∑ f ( ) 绝对收敛.∞ ⇒ f ( x ) = 1 ∑ 1 收敛 ⇒ ∑ f ( )收敛,即 ∑ f ( ) 绝对收敛.∞∑设 ∑uy '' + p ( x ) y ' + q ( x ) y = f ( x ) 的特解可设为y * = x k e λx [ R (1) ( x ) cos ω x + R (2) ( x )sin ω x ] ,mm其中 R (1) ( x ) 与 R (2) ( x ) 是 m 次多项式, m = max { , n },而 k 按 λ + i ω (或 λ - i ω )不是特征方程的根、或是特征mm方程的单根依次取为 0 或1 . 六、(本题满分 8 分)【解析】lim x →0f ( x ) x= 0 表明 x → 0 时 f ( x ) 是比 x 高阶的无穷小,若能进一步确定 f ( x ) 是 x 的 p 阶或高于 p 阶的1 1 ∞ 1n n nn =1方法一：由 lim x →0f ( x ) x= 0 及 f ( x ) 的连续性得知 f (0) = 0, f '(0) = 0 ,再由 f ( x ) 在点 x = 0 的某一领域内具有二阶连续导数以及洛必达法则, lim x →0 洛必达法则,有f ( x ) x 2为“ ”型的极限未定式,又分子分母在点 0 处导数都存在,连续运用两次⇒ lim x →0f ( x ) 1= f ''(0) .x 2 2由函数极限与数列极限的关系 ⇒ lim n →+∞1f ( ) n 1= f ''(0) .1 2 n 2因 ∞ n =1 n2 ∞ 1 1n n n =1 n =1方法二：由 limx →0f ( x ) x= 0 得知 f (0) = 0, f '(0) = 0 ,可用泰勒公式来实现估计. f ( x ) 在点 x = 0 有泰勒公式：因 f ( x ) 在点 x = 0 的某一领域内具有二阶连续导数,⇒ ∃δ > 0, f ''( x ) 在 x ∈ [-δ , δ ] 有界,即 ∃M > 0 ,有 | f ''( x ) |≤ M , x ∈[-δ , δ ]1f ''(θ x) x 2 ≤ Mx 2 , x ∈[-δ , δ ] .2 2对此 δ > 0 , ∃N , n > N 时, 0 < 1 1 1 1 < δ ⇒ f ( ) ≤ M n n 2 n 2.又∞ ∞ 1 1n 2 nnn =1 n =1 n =1【相关知识点】正项级数的比较判别法：∞ ∞n =1 n =1n都是正项级数,且lim n →∞ vn = A, 则 un⑴ 当 0 < A < +∞时, ∑ u∑v⑵ 当 A = 0 时,若 ∑ u 收敛,则 ∑ v 收敛；若 ∑ v 发散,则 ∑ u 发散；∑u∑ v∑u∑v设高度为 z 处的截面 D 的面积为 S ( z ) ,则所求体积V = ⎰ S ( z )dz .]dz = π ⎰ (1 - 2 z + 2 z )dz = π z - z由此V = ⎰ π [(1- z) + z222 + z3 ⎪ =.或者V =⎰⎰⎰ d V = ⎰ dz ⎰⎰ d σ = ⎰ π [(1- z)= π z - z 2 + z 3 ⎪ = .【解析】(1)由已知, (I ) 的系数矩阵, A = ⎢⎡1 1 0 0 ⎤3 ⎦ 精心整理∞n =1 ∞n =1n 同时收敛或同时发散；∞ ∞∞∞nnnnn =1n =1n =1n =1⑶ 当 A = +∞ 时,若 ∞ ∞ ∞ ∞n 发散.n =1 n =1 n =1 n =1七、(本题满分 6 分)【解析】方法 1：用定积分.1zA, B 所在的直线的方向向量为 (0 -1,1 - 0,1- 0) = (-1,1,1) ,且过 A 点,所以 A, B 所在的直线方程为 x - 1 y z ⎧ x = 1 - z= = 或 ⎨-1 1 1 ⎩ y = z.截面 D 是个圆形,其半径的平方 R 2 = x 2 + y 2 = (1- z )2 + z 2 ,则面积zS ( z ) = π R 2 = π [(1- z )2 + z 2 ] ,11⎛2 ⎫ 1 2π2⎝3⎭3方法 2：用三重积分.V = ⎰⎰⎰ dV = ⎰2πd θ ⎰1dz ⎰Ω11+ z 2 ]dz2DzΩ⎛ 2 ⎫ 1 2π⎝ ⎭3 0八、(本题满分 8 分). ⎣0 1 0 -1⎥由于 n - r ( A ) = 2, 所以解空间的维数是 2.(1- z )2 + z 2rdr =2π3,取 x , x 为自由变量,分别令 (x , x 343 4) = (1,0 ), (0,1) ,求出 Ax = 0 的解.故 (I ) 的基础解系可取为 (0,0,1,0),( -1,1,0,1) .(2)方程组 (I ) 和 (II ) 有非零公共解.⎨ ij精心整理将 (II ) 的通解 x = -k , x = k + 2k , x = k + 2k , x = k 代入方程组 (I ) ,则有1 221231242⎧-k + k + 2k = 02 1 2 ⎩k 1 + 2k 2 - k 2 = 0⇒ k = -k . 1 2那么当 k = -k ≠ 0 时,向量 k (0,1,1,0) + k (-1,2, 2,1) = k (1,-1,-1,-1) 是 (I ) 与 (II ) 的非零公共解. 1 2121九、(本题满分 6 分)【解析】证法一：由于 A * = A T ,根据 A * 的定义有A = a (∀i, j = 1,2,L , n) ,其中 A 是行列式 | A | 中 a 的代数余子式.ijij ij ij由于 A ≠ 0 ,不妨设 a ≠ 0 ,那么ij| A |= a A + a A + L + a A = a 2 + a 2 + L + a 2 ≥ a 2 > 0 ,i1 i1 i 2 i 2in ini1i 2in故 | A |≠ 0 .证法二：(反证法)若 | A |= 0 ,则 AA * = AA T = | A | E = 0 .设 A 的行向量为α (i = 1,2,L , n) ,则 α α T = a 2 + a 2 + L + a 2 = 0 (i = 1,2,L , n ) .i i ii1i 2in于是 α = (a , a ,L , a ) = 0 (i = 1,2,L , n ) .i i1i 2in进而有 A = 0 ,这与 A 是非零矩阵相矛盾.故 | A |≠ 0 .十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.)(1)【解析】利用随机事件的概率运算性质进行化简.由概率的基本公式(广义加法公式),有= 1 - P( A) - P( B ) + P( AB) .因题目已知 P( AB) = P( AB ) ,故有P( A ) + P( B ) = 1 , P( B ) = 1 - P( A ) = 1 - p .(2)【解析】由于 X 、 Y 相互独立且同分布,只能取 0、1 两个数值,易见随机变量Z = max {X , Y }只取 0 与 1 两个可能的值,且P {Z = 0}= P {max {X ,Y }= 0}= P {X = 0,Y = 0}= P {X = 0}⋅ P {Y = 0}=P {Z = 1}= 1 - P {Z = 0}=3.4所以随机变量 Z = max {X , Y }的分布律为：01十一、(本题满分 6 分)1 4,得EZ=1DX,)Z=X精心整理【解析】此题的第一小问是求数学期望E(Z)和方差D(Z),是个常规问题；(2)求相关系数ρZ的协方差；(3)考查相关系数为零与相互独立是否等价.(1)由X N(1,32),Y N(0,42),知E(X)=1,D(X)=9,E(Y)=0,D(Y)=16.由数学期望和方差的性质：E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c,D(aX+bY+c)=a2D(X)+b2D(Y)+2ab Cov(X,Y),其中a,b,c为常数.11EX+EY=,32311(2)因为Cov(X,Z)=Cov(X,X+Y)32XZ,关键是计算X与所以ρXZ=Cov(XDZ=0.(3)由于(X,Y)服从二维正态分布,则其线性组合构成的随机变量也服从二维正态分布,而Y+,X=X+0Y,故X和Z都是其线性组合,则(X,Z)服从二维正态分布,根据32ρXZ =Cov(X,Z)DX DZ=0,所以X与Z是相互独立的.。
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考研数学一真题（一）一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分。
答案写在题中横线上）(1)曲线的斜渐近线方程为。
【答案】【解析】所以斜渐近线方程为。
综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(2)微分方程满足的解为。
【答案】【解析】原方程等价于所以通解为将代入可得综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程(3)设函数,单位向量，则。
【答案】【解析】因为所以综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度(4)设是由锥面与半球面围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则。
【答案】。
【解析】综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲面积分的概念、性质及计算(5)设均为三维列向量，记矩阵如果，那么。
【答案】2。
【解析】【方法一】【方法二】由于两列取行列式，并用行列式乘法公式，所以综上所述，本题正确答案是2。
【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质，行列式按行(列)展开定理(6)从数中任取一个数，记为，再从中任一个数，记为,则。
【答案】。
【解析】【方法一】先求出的概率分布，因为是等可能的取，故关于的边缘分布必有,而只从中抽取，又是等可能抽取的概率为所以即：X Y12341000200304所以【方法二】1综上所述，本题正确答案是。
【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）(7)设函数,则(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点 (D)恰有三个不可导点 【答案】C 。
【解析】 由知由的表达式和其图像可知在处不可导，在其余点均可导。
综上所述，本题正确答案是C 。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念 (8)设是连续函数的一个原函数，表示的充分必要条件是，则必有(A)是偶函数是奇函数 (B)是奇函数是偶函数 (C)是周期函数是周期函数 (D)是单调函数是单调函数【答案】A 。
【解析】 【方法一】 若是偶函数，由导函数的一个基本结论“可导的偶函数其导函数为奇函数”，反之，若为奇函数，则为偶函数，的任意一个原函数可表示为则是偶函数，故应选A。
【方法二】排除法：取，显然连续，,且是偶函数，周期函数。
但不是奇函数,也不是周期函数，排除B和C选项。
若取,排除D，故应选A。
综上所述，本题正确答案是A。
【考点】高等数学—一元函数积分学—原函数和不定积分的概念，积分上限的函数及其导数(9)设函数,其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有(A) (B)(C)(D)【答案】B。
【解析】可见有综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—多元函数微积分学—多元函数的偏导数和全微分(10)设有三元方程,根据隐函数存在定理，存在点的一个邻域，在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数和(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数和(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数和【答案】D。
【解析】则且由此可确定的隐函数为和综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—多元函数微分学—隐函数的求导法(11)设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则线性无关的充分必要条件是(A) (B)(C)(D)【答案】B。
【解析】【方法一】设即有①由于特征值不同特征向量线性无关，所以线性无关，由①可得线性无关只有零解【方法二】因为=那么线性无关由于线性无关，则线性无关综上所述，本题正确答案是B。
【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关，向量组的秩与矩阵的秩之间的关系(12)设为阶可逆矩阵，交换的第1行与第2行得矩阵,分别为的伴随矩阵，则(A)交换的第一列和第二列得(B)交换的第一行和第二行得(C)交换的第一列和第二列得(D)交换的第一行和第二行得【答案】C。
【解析】设为3阶矩阵，因为作初等行变换得到，所以有从而又因为,故即交换的第一列和第二列得综上所述，本题正确答案是C。
【考点】线性代数—矩阵—矩阵的初等变换(13)设二维随机变量的概率分布为X Y0100.410.1已知随机事件和相互，则(A) (B)(C) (D)【答案】B。
【解析】由性可知已知所以有综上所述，本题正确答案是B。
【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，随机变量的性和不相关性(14)设为来自总体的简单随机样本，为样本均值，为样本方差，则(A) (B)(C) (D)【答案】D。
【解析】且与相互，因此综上所述，本题正确答案是D。
【考点】概率论与数理统计—数理统计的基本概念—简单随机样本，统计量，样本均值，分布，分布，分布三、解答题（本题共9小题，满分94分。
解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）(15)（本题满分11分）设，表示不超过的最大整数。
计算二重积分【解析】令则【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用(16)（本题满分12分）求幂级数的收敛区间与和函数【解析】因为所以当时，原级数绝对收敛，当时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为12341243C记 则由于所以又从而【考点】高等数学—无穷级数—幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域，幂级数的和函数，简单幂级数的和函数的求法，初等函数的幂级数展开式(17)（本题满分11分）如图曲线的方程为点(3,2)是它的一个拐点，直线与分别是曲线在点与处的切线，其交点设函数具有三阶连续导数，计算定积分【解析】由点是曲线的拐点知。
由于直线与分别是曲线在点与处的切线，由图易得，直线与的斜率分别为2和-2知，且由图易得则【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法(18)（本题满分12分）已知函数在连续，在内可导，且证明：(I)存在，使得；(II)存在两个不同的点,使得【解析】(I)令由题设知，在上连续，又由连续函数的零点定理知，存在，使得即(II)在区间和上分别对用拉格朗日中值定理得此时，【考点】高等数学—一元函数微分学—微分中值定理(19)（本题满分12分）设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线上，曲线积分的值恒为同一常数(I)证明：对右半平面内的任意分段光滑简单闭曲线有；(II)求函数的表达式。
【解析】(I)如图，将分解成：,另作一条曲线围绕原点且与相连，则(II)设在单连通区域内具有一阶连续偏导数，由（I）知，曲线积分在该区域内与路径无关，故当时，总有而①②比较①，②式的右端得：可得【考点】高等数学—多元函数积分学—平面曲线积分与路径无关的条件(20)已知二次型的秩为2(I)求的值；(II)求正交变换,将化为形；(III)求方程的解【解析】(I)二次型矩阵，由于二次型的秩为2，即,所以有得(II)当时，由得矩阵的特征值是2,2,0。
对于，由得特征向量对，由得特征向量由于特征向量已经两两正交，只需单位化，于是有令,那么经过正交变换,有，(III)【方法一】由（II）知，在正交变换下，化为，解得，从而即方程的解是为任意常数。
【方法二】由于所以其通解为,其中为任意常数。
【考点】线性代数—二次型—用正交变换和配方法化二次型为形(21)（本题满分9分）已知三阶矩阵的第一行是不全为零，矩阵，且，求线性方程组的通解。
【解析】由，知,又,故当时，必有，此时由于,又因为，的列向量是的解。
故的通解为：,是任意常数；当时，则。
此时。
若，则。
的通解为；若则与同解，由，设,那么的通解为,是任意常数【考点】线性代数—线性方程组—齐次线性方程组有非零解的充分必要条件，齐次线性方程组的基础解系和通解(22)（本题满分9分）设二维随机变量的概率密度为(I)求的边缘概率密度；(II)的概率密度。
【解析】(I)(II)当时，；当时，当时，所以【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度(23)（本题满分9分）设是来自总体的简单随机样本，是样本均值，记(I)求的方差；(II)与的协方差。
【解析】(I)(II)【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量函数的数学期望、协方差、相关系数及其性质。