2020届高中数学分册同步讲义(必修1) 初中、高中衔接课 第1课时

初中、高中衔接课

第1课时因式分解

学习目标 1.理解提取公因式法、分组分解法.2.掌握十字相乘法.3.对于复杂的问题利用因式分解简化运算.

知识点一常用的乘法公式

(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.

(2)立方差公式：(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3.

(3)立方和公式：(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3.

(4)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.

(5)三数和平方公式：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.

(6)完全立方公式：(a±b)3＝a3±3a2b＋3ab2±b3.

知识点二因式分解的常用方法

(1)十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数，即运用乘法公式(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab的逆运算进行因式分解.

(2)提取公因式法：当多项式的各项有公因式时，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积形式的方法.

(3)公式法：把乘法公式反过来用，把某些多项式因式分解的方法.

(4)求根法：若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)就可分解为a(x－x1)(x－x2).

(5)试根法：对于简单的高次因式，可以通过先试根再分解的方法分解因式.

如2x3－x－1，试根知x＝1为2x3－x－1＝0的根，通过拆项，2x3－x－1＝2x3－2x2＋2x2－2x ＋x－1提取公因式后分解因式.

1.a3＋b3＝(a＋b)(a2＋ab＋b2).(×)

2.a2＋2ab＋b2＋c2＋2ac＋2bc＝(a＋b＋c)2.(√)

3.a3－3a2b－3ab2＋b3＝(a－b)3.(×)

4.多项式ax2＋bx＋c(a≠0)一定可以分解成a(x－x1)·(x－x2)的形式.(×)

突破一配方法因式分解

例1把下列关于x的二次多项式分解因式：

(1)x2＋2x－1；(2)x2＋4xy－4y2.

解(1)原式＝(x＋1)2－2＝(x＋1－2)(x＋1＋2).

(2)原式＝x2＋4xy＋4y2－8y2＝(x＋2y)2－8y2＝(x＋2y＋22y)(x＋2y－22y).

反思感悟这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解.当然，本题还有其它方法，请大家试验.

跟踪训练1分解因式x2＋6x－16.

解x2＋6x－16＝x2＋2×x×3＋32－32－16＝(x＋3)2－52

＝(x＋3＋5)(x＋3－5)＝(x＋8)(x－2).

突破二十字相乘法因式分解

命题角度1形如x2＋(p＋q)x＋pq型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：

(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和.

x2＋(p＋q)x＋pq＝x2＋px＋qx＋pq＝x(x＋p)＋q(x＋p)＝(x＋p)(x＋q).

因此，x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)，

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.

我们也可以用一个图表，此方法叫做十字相乘法.

例2把下列各式因式分解：

(1)x2－3x＋2；(2)x2＋4x－12；

(3)x2－(a＋b)xy＋aby2；(4)xy－1＋x－y.

解(1)如图1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有x2

－3x ＋2＝(x －1)(x －2).

今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1中的两个x 用1表示(如图2所示).

(2)由图3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6).

(3)由图4，得x 2－(a ＋b )xy ＋aby 2＝(x －ay )(x －by ).

(4)xy －1＋x －y ＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1)(y ＋1)(如图5).

反思感悟 十字相乘法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项，其实质是乘法公式(x ＋a )(x ＋b )＝x 2＋(a ＋b )x ＋ab 的逆运算. 跟踪训练2 把下列各式因式分解：

(1)x 2＋xy －6y 2；

(2)(x 2＋x )2－8(x 2＋x )＋12.

解 (1)x 2＋xy －6y 2＝(x ＋3y )(x －2y ).

(2)(x 2＋x )2－8(x 2＋x )＋12＝(x 2＋x －6)(x 2＋x －2)＝(x ＋3)(x －2)(x ＋2)(x －1).

命题角度2 形如一般二次三项式ax 2＋bx ＋c 型的因式分解

我们知道，(a 1x ＋c 1)(a 2x ＋c 2)＝a 1a 2x 2＋(a 1c 2＋a 2c 1)x ＋c 1c 2.

反过来，就得到：a 1a 2x 2＋(a 1c 2＋a 2c 1)x ＋c 1c 2＝(a 1x ＋c 1)(a 2x ＋c 2)

我们发现，二次项系数 a 分解成a 1a 2，常数项c 分解成c 1c 2，把a 1，a 2，c 1，c 2写成a 1a 2×c 1c 2

，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a 1c 2＋a 2c 1，如果它正好等于ax 2＋bx ＋c 的一次项系数b ，那么ax 2＋bx ＋c 就可以分解成(a 1x ＋c 1)·(a 2x ＋c 2)，其中a 1，c 1位于上一行，a 2，c 2位于下一行.

这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，也叫做十字相乘法. 例3 把下列各式因式分解：

(1)12x 2－5x －2；(2)5x 2＋6xy －8y 2.

解 (1)12x 2－5x －2＝(3x －2)(4x ＋1).

34×－2

1

(2)5x 2＋6xy －8y 2＝(x ＋2y )(5x －4y ).

15×2y

－4y

反思感悟 用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法“凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法“凑”，先“凑”绝对值，然后调整，添加正、负号.

跟踪训练3 把下列各式因式分解：

(1)6x 2＋5x ＋1；(2)6x 2＋11x －7；

(3)42x 2－33x ＋6；(4)2x 4－5x 2＋3.

解 (1)(2x ＋1)(3x ＋1).(2)(2x －1)(3x ＋7).

(3)(6x －3)(7x －2).

(4)2????x ＋62???

?x －62(x ＋1)(x －1).

1.分解因式x 2－3x ＋2为( )

A.(x ＋1)(x ＋2)

B.(x －1)(x －2)

C.(x －1)(x ＋2)

D.(x ＋1)(x －2)

答案 B

2.分解因式x 2－x －1为( )

A.(x －1)(x ＋1)

B.(x ＋1)(x －2)

C.? ????x －1＋52? ??

??x －1－52 D.? ????x ＋1－52? ??

??x －1＋52 答案 C

3.分解因式：m 2－4mn －5n 2＝________.

答案 (m ＋n )(m －5n )

4.分解因式：(a －b )2＋11(a －b )＋28＝________.

答案 (a －b ＋4)(a －b ＋7)

5.分解因式：x 2－y 2－x ＋3y －2＝____________.

答案 (x ＋y －2)(x －y ＋1)

一、选择题

1.计算(－2)100＋(－2)101的结果是( )

A.2

B.－2

C.－2100

D.2100

答案 C

解析 (－2)100＋(－2)101 ＝(－2)100＋(－2)×(－2)100 ＝(－2)100 ×(1－2)＝－(－2)100 ＝

－2100，故选C.

2.边长为a，b的长方形周长为12，面积为10，则a2b＋ab2的值为()

A.120

B.60

C.80

D.40

答案 B

解析∵边长为a，b的长方形周长为12，面积为10，∴a＋b＝6，ab＝10，则a2b＋ab2＝ab(a ＋b)＝10×6＝60.故选B.

3.下列各式中，能运用两数和(差)的平方公式进行因式分解的是()

A.x2＋4x

B.a2－4b2

C.x2＋4x＋1

D.x2－2x＋1

答案 D

解析x2＋4x＝x(x＋4)，故A项错误；a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)，故B项错误；x2＋4x＋1不能分解，故C项错误；x2－2x＋1＝(x－1)2，故D项正确.故选D.

4.将代数式x2＋4x－5因式分解的结果为()

A.(x＋5)(x－1)

B.(x－5)(x＋1)

C.(x＋5)(x＋1)

D.(x－5)(x－1)

答案 A

解析x2＋4x－5＝(x＋5)(x－1)，故选A.

5.要在二次三项式x2＋()x－6的括号中填上一个整数，使它能按公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)分解因式，那么这些数只能是()

A.1，－1

B.5，－5

C.1，－1,5，－5

D.以上答案都不对

答案 C

解析－6可以分成：－2×3,2×(－3)，－1×6,1×(－6)，括号中填上的整数应该是－6的两个因数的和，即1，－1,5，－5.故选C.

6.已知多项式x2＋bx＋c因式分解的结果为(x－1)(x＋2)，则b＋c的值为()

A.－3

B.－2

C.－1

D.0

答案 C

解析∵(x－1)(x＋2)＝x2＋2x－x－2＝x2＋x－2，

∴b＝1，c＝－2，

∴b＋c＝－1.

故选C.

7.下列变形正确的是()

A.x3－x2－x＝x(x2－x)

B.x2－3x＋2＝x(x－3)－2

C.a2－9＝(a＋3)(a－3)

D.a2－4a＋4＝(a＋2)2

答案 C

解析x3－x2－x＝x(x2－x－1)，故A项错误；x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)，故B项错误；a2－9＝(a＋3)(a－3)，故C项正确；a2－4a＋4＝(a－2)2，故D项错误.故选C.

8.若2m＋n＝25，m－2n＝2，则(m＋3n)2－(3m－n)2的值为()

A.200

B.－200

C.100

D.－100

答案 B

解析∵2m＋n＝25，m－2n＝2，

∴(m＋3n)2－(3m－n)2

＝[(m＋3n)＋(3m－n)][(m＋3n)－(3m－n)]

＝(4m＋2n)(－2m＋4n)

＝－4(2m＋n)(m－2n)

＝－4×25×2

＝－200.

故选B.

二、填空题

9.因式分解：ax＋ay＋bx＋by＝______________________.

答案(a＋b)(x＋y)

解析ax＋ay＋bx＋by，

＝(ax＋ay)＋(bx＋by)，

＝a(x＋y)＋b(x＋y)，

＝(a＋b)(x＋y).

10.因式分解：(x＋y)2－2y(x＋y)＝_________________________________________________. 答案(x＋y)(x－y)

解析原式＝(x＋y)(x＋y－2y)＝(x＋y)(x－y).

11.分解因式：(a2＋1)2－4a2＝__________________.

答案(a＋1)2(a－1)2

解析(a2＋1)2－4a2＝(a2＋1＋2a)(a2＋1－2a)

＝(a＋1)2(a－1)2.

三、解答题

12.分解因式：

(1)x2＋6x＋8；

(2)x2－x－6.

解(1)x2＋6x＋8＝(x＋2)(x＋4).

(2)x2－x－6＝(x＋2)(x－3).

13.分解因式：x2－2xy－8y2.

解x2－2xy－8y2＝(x－4y)(x＋2y).

14.若x(x＋1)＋y(xy＋y)＝(x＋1)·M，则M＝_______________________________________. 答案x＋y2

解析∵x(x＋1)＋y(xy＋y)＝(x＋1)·M，

∴x(x＋1)＋y2(x＋1)－(x＋1)·M＝0，

∴(x＋1)(x＋y2－M)＝0，

∵x≠－1，

∴x＋y2－M＝0，即M＝x＋y2.

15.分解因式：(1)(x－y)2＋4(x－y)＋3；

(2)m(m＋2)(m2＋2m－2)－3.

解(1)令A＝x－y，

则原式＝A2＋4A＋3＝(A＋1)(A＋3)，

所以(x－y)2＋4(x－y)＋3＝(x－y＋1)(x－y＋3).

(2)令B＝m2＋2m，

则原式＝B(B－2)－3

＝B2－2B－3

＝(B＋1)(B－3)，

所以原式＝(m2＋2m＋1)(m2＋2m－3)

＝(m＋1)2(m－1)(m＋3).