浅谈物理问题的向量解法
用杠杆原理解向量问题
用杠杆原理解向量问题
杠杆原理是一种简单易懂的物理原理，它是用来求解物体受到某种力作用时的运动轨迹的，从而可以利用这个原理来解决电路中的等效电路问题，甚至还可以用来解决向量问题。
二、杠杆原理解决向量问题的原理：
杠杆原理的重要概念是“分力”，按照杠杆原理，当某物体受到
多个作用力时，它所受的总力可以通过一条杠杆杆路分解成多个分力，每个分力分别受到每个作用力的作用而形成。
三、杠杆原理解决向量问题的实例：
表：向量A、B和C的大小和方向
向量A：大小：7.5m，方向：北
向量B：大小：5.5m，方向：东
向量C：大小：12.0m，方向：西
用杠杆原理解决该向量问题，首先应将向量A、B和C的大小画
出示意图，如图1所示：
图1量A、B和C的示意图
根据杠杆原理，所要求的最终向量就是三个向量之和。
显然，在图1中，由于向量A是从B指向C的，所以向量A和C是相反的，因此，可以将它们相加，得出最终向量的大小：
最终向量大小 = 7.5m + 12.0m = 19.5m
因此，最终向量的大小为19.5m，方向为东，因此，它的总向量大小为：
最终向量：大小：19.5m，方向：东
四、结论
以上，便是利用杠杆原理解决向量问题的过程，通过本文描述的实例和过程，相信读者对杠杆原理的认识和向量的概念有了一定的了解和掌握。
6.4.2 向量在物理中的应用举例
讲
课 人 ：
A
邢
启 强
9
解：由已知条件得v v2 0
| v | | v1 |2 | v2 |2 96(km / h), 所以 t d 0.5 60 3.1(min).
| v | 96
讲
课
人
：
邢
启 强
10
学习新知
思考2：如果船沿与上游河岸成60°方向行驶，那 么船的实际速度v的大小是多少？
v1
v
60° v2
|v|2＝| v1＋v2|2＝（v1＋v2）2＝84.
讲
课
人
：
邢
启 强
11
学习新知
思考3：船应沿什么方向行驶，才能使航程最短？
B
与上游河岸的夹角为
v1 v
78.73°.
思考4：假设两只手臂的拉力大小相等，夹角为θ， 那么|F1|、|G|、θ之间的关系如何F？
| F1 |
|G | 2 cos 2
θ
F1
F2
θ∈[0°，180°)
G
思考5：上述结论表明，若重力G一定，则拉力的
大小是关于夹角θ的函数.在物理学背景下，这个
函讲课 数的定义域是什么？单调性如何？
人
：
邢
启 强
7
| F1 | | G | , θ∈[0°，180°)
2 cos 2
思考6：|F1|有最大值或最小值吗？|F1| 与|G|可能相等吗？为什么？
1.当逐渐增大时，F1 的大小怎样变化，为什么？ 2.为何值时，F1 最小，最小值是多少？
向量法的用途
向量法的用途向量法是数学中一个重要的分支，具有广泛的应用。
它在物理学、几何学、工程学、计算机图形学、金融学等领域均有重要的用途。
下面将详细介绍向量法在这些领域的具体应用。
在物理学中，向量法是非常重要的工具。
物理学中的许多问题可以用向量来描述。
例如，在运动学中，物体的运动状态可以用位置向量、速度向量和加速度向量来表示。
利用向量的加法和减法可以求得物体的位移、速度和加速度等信息。
在动力学中，力可以表示为矢量。
利用力的合成和分解定理，可以计算物体所受合力的大小和方向。
在静力学中，平衡条件可以用向量的几何法来解决。
向量法在这些物理学的分支领域中有着广泛的应用。
在几何学中，向量法也有重要的应用。
通过向量的定义和运算，可以建立几何空间中的坐标系，将几何问题转化为向量的代数问题。
例如，在平面几何中，可以利用向量的模、方向和位置来确定直线和圆的方程，解决直线的相交和垂直问题，计算线段和向量的交点等。
在立体几何中，可以利用向量的点乘和叉乘来计算平面的法向量，判断直线和平面的关系，求两条直线的夹角等。
向量法为几何学提供了一种简洁而有效的解决问题的工具。
在工程学中，向量法也有着重要的应用。
例如，在土木工程中，利用向量法可以计算力的合成和分解，分析桥梁和建筑物的结构系统。
在电子工程中，可以利用向量法来描述电场、磁场和电流等的分布和变化，分析电路中的电流和电压等。
在机械工程中，可以利用向量法来描述力和力矩的作用，计算机械系统的运动学和动力学量等。
向量法在这些工程学的分支领域中为工程师提供了解决问题和设计方案的重要依据。
在计算机图形学中，向量法是一个基础概念。
图形学中的图像可以用向量来表示。
例如，二维图形可以用顶点的坐标形成的向量表示，三维图形可以用顶点坐标和法向量形成的向量表示。
通过向量的运算，可以进行图形的变换、旋转、缩放和投影等操作。
向量法在计算机图形学中为图形的生成、编辑和呈现提供了基础。
在金融学中，向量法也有广泛的应用。
物理向量题型总结归纳高中
物理向量题型总结归纳高中在高中物理中，向量是一个至关重要的概念。
它不仅在力学中起着重要作用，还在电磁学和热学等领域中发挥着关键作用。
本文将对高中物理中常见的向量题型进行总结和归纳，帮助学生更好地理解和应用向量的概念。
1. 向量的表示方法向量既有方向又有大小，常用有向线段来表示。
向量用字母加箭头表示，如：AB→表示点A到点B的有向线段。
2. 向量的基本运算2.1 向量的相加向量的相加可以采用三角形法则或平行四边形法则。
三角形法则是指将两个向量首尾相接，然后连接首尾形成的第三条边为两个向量的和向量。
平行四边形法则是指将两个向量的起点放在一点，然后连接它们的终点，形成的对角线为两个向量的和向量。
2.2 向量的相减向量的相减可以变换为向量的相加。
即有A - B = A + (-B)，其中-A 表示向量A的反向量。
向量的反向量与原向量大小相等，方向相反。
3. 向量的乘法3.1 数乘向量的数乘是指将向量的大小与一个实数相乘，这个实数可以是正数、负数或零。
数乘后，向量的方向不变，大小可能改变。
3.2 点乘向量的点乘也称为数量积或内积，用点号表示。
点乘的结果是一个标量(即数量)，其计算方法为两个向量的模长相乘再乘以它们的夹角的余弦值。
点乘有一些重要的特性，比如：交换律和分配律。
3.3 叉乘向量的叉乘也称为矢量积或外积，用叉号表示。
叉乘的结果是一个向量，其方向垂直于原来的两个向量所在的平面，并符合右手定则。
叉乘的大小等于两个向量模长的乘积再乘以它们夹角的正弦值。
4. 常见的向量题型4.1 向量共线当两个向量的夹角为0度或180度时，它们共线。
此时，向量的线性组合中的系数与向量的模长之间存在一定的关系。
4.2 向量垂直两个向量的点乘为0时，它们垂直。
根据点乘的性质，可以通过计算两个向量的点乘来判断它们是否垂直。
4.3 物体运动问题在物体运动问题中，常常涉及向量的位移、速度和加速度等概念。
通过将这些物理量用向量表示，可以更清晰地描述物体的运动规律。
数学-向量在物理中的应用举例
向量在物理中的应用举例高中数学 会用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题，体会向量在解决物理和实际问题中的作用．导语 向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答更简捷、更清晰．一、向量与力2例1 如图，用两根分别长5m和10 m的绳子，将100 N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后，G点距屋顶距离恰好为5 m，求A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．解 如图，由已知条件可知AG与铅垂方向成45°角，BG与铅垂方向成60°角．设A处所受力为F a，B处所受力为F b，物体的重力为G.因为∠EGC＝60°，∠EGD＝45°，则有|F a|cos 45°＋|F b|cos 60°＝|G|＝100，①且|F a|sin 45°＝|F b|sin 60°，②26由①②得|F a|＝150－50，26所以A处所受力的大小为(150－50)N.反思感悟 用向量解决物理问题的一般步骤(1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题．(2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型．(3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值．(4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．跟踪训练1 用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为________ N.答案 10解析 设重力为G ，每根绳的拉力分别为F 1，F 2，则由题意得F 1，F 2与－G 都成60°角，且|F 1|＝|F 2|，F 1＋F 2＋G ＝0．∴|F 1|＝|F 2|＝|G |＝10 N ，∴每根绳子的拉力都为10 N.二、向量与速度、加速度、位移例2 (教材P41例4改编)一条宽为 km 的河，水流速度为2 km/h ，在河两岸有两个码头3A ，B ，已知AB ＝ km ，船在水中的最大航速为4 km/h ，问该船怎样安排航行速度可使它3从A 码头最快到达彼岸B 码头？用时多少？解 如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC 和AD 为邻边作▱ACED ，且当AE 与AB 重合时能AC → AD → 最快到达彼岸，根据题意知AC ⊥AE ，在Rt △ADE 和▱ACED 中，||＝||＝2，||＝4，∠AED ＝90°，∴||＝＝2，又AB ＝，∴用时DE → AC → AD → AE → |AD →|2－|DE → |2330.5 h ，易知sin ∠EAD ＝， ∴∠EAD ＝30°.12∴该船航行速度大小为4 km/h ，与水流方向成120°角时能最快到达B 码头，用时0.5 h.反思感悟 速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算．用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算．跟踪训练2 某人从点O 向正东走30 m 到达点A ，再向正北走30 m 到达点B ，则此人的3位移的大小是______ m ，方向是北偏东________．答案 60 30°解析 如图所示，此人的位移是＝＋，且⊥，OB → OA → AB → OA → AB →则||＝＝60(m)，OB → |OA →|2＋|AB → |2tan ∠BOA ＝＝，|AB →||OA → |3所以∠BOA ＝60°.所以的方向为北偏东30°.OB → 三、向量与功例3 已知力F (斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N ，一个质量为8 kg 的木块受力F 的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m ．问力F 和摩擦力f 所做的功分别为多少？(g ＝10 m/s 2)解 如图所示，设木块的位移为s ，则W F ＝F·s ＝|F||s|cos 30°＝50×20×＝500(J)．323将力F 分解，它在铅垂方向上的分力F 1的大小为|F 1|＝|F|sin 30°＝50×＝25(N)，12所以摩擦力f 的大小为|f |＝|μ(G －F 1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，因此W f ＝f·s ＝|f||s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．即F 和f 所做的功分别为500 J 和－22 J.3反思感悟 力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W ＝F·s ＝|F||s|cos θ(θ为F 和s 的夹角)．跟踪训练3 一物体在力F 1＝(3，－4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)的共同作用下从点A (1,1)移动到点B (0,5)．则在这个过程中三个力的合力所做的功为________．答案 －40解析 ∵F 1＝(3，－4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，∴合力F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(8，－8)．又∵＝(－1,4)，AB → ∴F ·＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40，AB → 即三个力的合力做的功等于－40.1．知识清单：(1)利用向量的加、减、数乘运算解决力、位移、速度、加速度的合成与分解．(2)利用向量的数量积解决力所做的功的问题．2．方法归纳：转化法．3．常见误区：不能将物理问题转化为向量问题．1．人骑自行车的速度是v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度大小为( )A ．v 1－v 2B ．v 1＋v 2C ．|v 1|－|v 2|D.|v 1v 2|答案 C 解析 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v 1＋v 2.人的速度和风速方向相反，故选C.2．一物体受到相互垂直的两个力F 1，F 2的作用，两力大小都为5 N ，则两个力的合力的3大小为( )A ．5 NB ．5 N 2C ．5 ND ．5 N36答案 D解析 两个力的合力的大小为|F 1＋F 2|＝＝5(N)．F 21＋F 2＋2F 1·F 263．已知力F 的大小|F |＝10，在F 的作用下产生的位移s 的大小为|s |＝14，F 与s 的夹角为60°，则F 做的功为( )A ．7B ．10C ．14D ．70答案 D 解析 F 做的功为F·s ＝|F ||s |cos 60°＝10×14×＝70.124．当两人提起重量为|G |的旅行包时，两人用力方向的夹角为θ，用力大小都为|F |，若|F |＝|G |，则θ的值为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°答案 D解析 作＝F 1，＝F 2，＝－G (图略)，OA → OB → OC → 则＝＋，OC → OA → OB → 当|F 1|＝|F 2|＝|G |时，△OAC 为正三角形，所以∠AOC ＝60°，从而∠AOB ＝120°.课时对点练1．如果一架飞机向东飞行200 km ，再向南飞行300 km ，记飞机飞行的路程为s ，位移为a ，那么( )A ．s >|a |B ．s <|a |C ．s ＝|a |D ．s 与|a |不能比较大小答案 A解析 在△ABC 中，两边之和大于第三边，即s ＝||＋||>||＝|a |，故选A.AB → BC → AC → 2．共点力F 1＝(lg 2，lg 2)，F 2＝(lg 5，lg 2)作用在物体M 上，产生位移s ＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W 为( )A ．lg 2B ．lg 5C ．1D ．2答案 D解析 因为F 1＋F 2＝(1,2lg 2)，所以W ＝(F 1＋F 2)·s＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)＝2lg 5＋2lg 2＝2.3．已知三个力F 1＝(－2，－1)，F 2＝(－3,2)，F 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F 4，则F 4等于( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2)答案 D解析 为使物体平衡，则合力为0，即F 4＝(0－(－2)－(－3)－4,0－(－1)－2－(－3))＝(1,2)．4．河水的流速为2 m/s ，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )A ．10 m/sB ．2 m/s 26C ．4 m/sD ．12 m/s 6答案 B解析 由题意知|v 水|＝2m/s ，|v 船|＝10 m/s ，作出示意图如图．∴|v |＝＝＝2(m/s)．102＋22104265．一个物体受到同一平面内三个力F 1，F 2，F 3的作用，沿北偏东45°方向移动了8 m ，已知|F 1|＝2 N ，方向为北偏东30°，|F 2|＝4 N ，方向为北偏东60°，|F 3|＝6 N ，方向为北偏西30°，则这三个力的合力所做的功为( )A ．24 JB ．24 J 2C ．24 JD ．24 J 36答案 D解析 如图，建立直角坐标系，则F 1＝(1，)，F 2＝(2，2)，F 3＝(－3,3)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(2－2,2＋4)．33333又位移s ＝(4，4)，所以合力F 所做的功W ＝F ·s ＝(2－2)×4＋(2＋4)×4＝24223232 J.66．(多选)关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是( )A ．船垂直到达对岸所用时间最少B ．当船速v 的方向与河岸垂直时用时最少C ．沿任意直线运动到达对岸的时间都一样D ．船垂直到达对岸时航行的距离最短答案 BD解析 根据向量将船速v 分解，当v 垂直河岸时，用时最少．船垂直到达对岸时航行的距离最短．7．一个物体在大小为10 N 的力F 的作用下产生的位移s 的大小为50 m ，且力F 所做的功W ＝250 J ，则F 与s 的夹角等于________．2答案 π4解析 设F 与s 的夹角为θ，由W ＝F·s ，得250＝10×50×cosθ，∴cos θ＝.又222θ∈[0，π]，∴θ＝.π48．一条河宽为8 000 m ，一船从A 处出发垂直航行到达河正对岸的B 处，船速为20 km/h ，水速为12 km/h ，则船到达B 处所需时间为________ h.答案 0.5解析 如图，v 实际＝v 船＋v 水＝v 1＋v 2，|v 1|＝20，|v 2|＝12，∴|v 实际|＝|v 1|2－|v 2|2＝＝16(km/h)．202－122∴所需时间t ＝＝0.5(h)．816∴该船到达B 处所需的时间为0.5 h.9．已知两恒力F 1＝(3,4)，F 2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A (20,15)移动到点B (7,0)．(1)求F 1，F 2分别对质点所做的功；(2)求F 1，F 2的合力F 对质点所做的功．解 (1)＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，AB → W 1＝F 1·＝(3,4)·(－13，－15)AB → ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，W 2＝F 2·＝(6，－5)·(－13，－15)AB → ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．∴力F 1，F 2对质点所做的功分别为－99 J 和－3 J.(2)W ＝F ·＝(F 1＋F 2)·AB → AB →＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J)．∴合力F 对质点所做的功为－102 J.10．在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船在静水中的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？解 如图所示，设表示水流的速度，表示渡船在静水中的速度，表示渡船实际垂直AB → AD → AC →过江的速度．因为＋＝，AB →AD →AC →所以四边形ABCD 为平行四边形．在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，||＝||＝12.5，DC →AB →||＝25，所以∠CAD ＝30°，AD →即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.11．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们的夹角为90°时，合力的大小为20 N ，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为( )A ．40 NB ．10 N2C ．20 N D. N210答案 B解析 对于两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们的夹角为90°，合力的大小为20 N 时，可知这两个力的大小都是10 N ；当它们的夹角为120°时，可知力的合成构成一个等边三2角形，因此合力的大小为10 N.212．长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度v 1的大小为|v 1|＝10 km/h ，水流的速度v 2的大小为|v 2|＝4 km/h.设v 1和v 2的夹角为θ(0°<θ<180°)，北岸的点A ′在A 的正北方向，则游船正好到达A ′处时，cos θ等于( )A. B ．－ C. D ．－2152152525答案 D解析 设船的实际速度为v ，v 1与南岸上游的夹角为α，如图所示．要使得游船正好到达A ′处，则|v 1|cos α＝|v 2|，即cos α＝＝，|v 2||v 1|25又θ＝π－α，所以cos θ＝cos(π－α)＝－cos α＝－.2513．一个物体受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3的作用处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且|F 1|＝3 N ，|F 2|＝4 N ，则F 1与F 3夹角的余弦值是________．答案 －53737解析 因为物体处于平衡状态，所以F 1＋F 2＋F 3＝0．因此F 3＝－(F 1＋F 2)，于是|F 3|＝(F 1＋F 2)2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2F 1·F 2＝＝，32＋42＋2×3×4·cos 60°37设F 1与F 3的夹角是θ.又F 2＝－(F 1＋F 3)，所以|F 2|＝(F 1＋F 3)2＝|F 1|2＋|F 3|2＋2F 1·F 3＝＝4，32＋37＋2×3×37·cos θ解得cos θ＝－.5373714.如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°＝0.6)，高为2 m 的斜面上，质量为5 kg 的物体m 沿斜面下滑，物体m 受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m 的支持力所做的功为________J ，重力所做的功为________J(g ＝9.8 m/s 2)．答案 0 98解析 物体m 的位移大小为|s |＝＝(m)，则支持力对物体m 所做的功为2sin 37°103W 1＝F·s ＝|F||s|cos90°＝0(J)；重力对物体m 所做的功为W 2＝G·s ＝|G||s|cos 53°＝5×9.8××0.6＝98(J). 10315.(多选)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是( )A ．绳子的拉力不断增大B ．绳子的拉力不断变小C ．船的浮力不断变小D ．船的浮力保持不变答案 AC 解析 设水的阻力为f ，绳的拉力为F ，绳AB 与水平方向的夹角为θ，(0<θ<π2)则|F |cos θ＝|f |，∴|F |＝.|f |cos θ∵θ增大，cos θ减小，∴|F |增大．∵|F |sin θ增大，∴船的浮力减小．16.如图所示，在某海滨城市O 附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O 的东偏南θ 方向，距点O 300 km 的海面P 处，并以20 km/h 的速度向西(cos θ＝210，θ∈(0，π2))偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km/h 的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？参考数据：cos(θ－45°)＝.45解 设t h 后，台风中心移动到Q 处，此时城市开始受到台风的侵袭，∠OPQ ＝θ－45°.∵＝＋，OQ → OP → PQ → ∴2＝(＋)2OQ → OP → PQ → ＝2＋2＋2·OP → PQ → OP → PQ →＝2＋2－2||||cos(θ－45°)OP → PQ → OP → PQ → ＝3002＋(20t )2－2×300×20t ×45＝100(4t 2－96t ＋900)．依题意得2≤(60＋10t )2，OQ → 解得12≤t ≤24.从而12 h 后该城市开始受到台风的侵袭．。
(完整版)必修四向量在物理中的应用举例(附答案)
向量在物理中的应用举例[学习目标] 1.经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其它一些实际问题的过程.2.体会向量是一种处理物理问题的重要工具.3.培养运用向量知识解决物理问题的能力．知识点一平面向量的线性运算在物理中的应用(1)力、速度、位移的合成就是向量的加法，符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则．(2)力、速度、位移的分解就是向量的减法，符合向量减法的三角形法则和平行四边形法则．(3)动量m v就是数乘向量，符合数乘向量的运算律．思考请利用向量的方法解决下列问题：如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.(1)求|F1|，|F2|随θ角的变化而变化的情况；(2)当|F1|≤2|G|时，求θ角的取值范围．解(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得－G＝F1＋F2，|F1|＝|G| cos θ，|F2|＝|G|tan θ，当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐增大．(2)由|F1|＝|G|cos θ，|F1|≤2|G|，得cos θ≥12.又因为0°≤θ<90°，所以0°≤θ≤60°.知识点二平面向量的数量积在物理中的应用物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即W＝|F||s|cos〈F，s〉，功是一个实数，它可正可负，也可以为零．力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它实质是向量F与s的数量积．思考已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平平面上运动了20 m．问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g＝10 m/s2)答案如图所示，设木块的位移为s，则F·s＝|F||s|cos 30°＝50×20×32＝5003(J)．将力F 分解，它在竖直方向上的分力F 1的大小为|F 1|＝|F |sin 30°＝50×12＝25(N)， 所以，摩擦力f 的大小为|f |＝|μ(G －F 1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，因此，f ·s ＝|f ||s |cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．题型一 平面向量的线性运算在物理中的应用例1 某人在静水中游泳，速度为4 3 km /h ，如果他径直游向河对岸，水的流速为4 km/h ，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？解 如图所示，设人游泳的速度为OB →，水流的速度为OA →，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，则此人的实际速度为OA →＋OB →＝OC →，根据勾股定理，|OC→|＝8，Rt △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人沿与河岸夹角60°顺着水流方向前进，速度大小为8 km/h.跟踪训练1 某人骑车以每小时a 千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a 千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向．解 设a 表示此人以每小时a 千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为－a ，设实际风速为v ，那么此时人感到风速为v －a ，设OA →＝－a ，OB →＝－2a ，PO →＝v ，因为PO →＋OA →＝P A →，所以P A →＝v －a ，这就是感到由正北方向吹来的风速，因为PO →＋OB →＝PB →，所以PB →＝v －2a .于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是PB →.由题意：∠PBO ＝45°，P A ⊥BO ，BA ＝AO ，从而，△POB 为等腰直角三角形，所以PO ＝PB ＝2a ，即：|v |＝2a . 所以实际风速是每小时2a 千米的西北风．题型二 平面向量的数量积在物理中的应用例2 已知两恒力F 1＝(3,4)，F 2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A (20,15)移动到点B (7,0)．(1)求F 1，F 2分别对质点所做的功；(2)求F 1，F 2的合力F 对质点所做的功．解 (1)AB →＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，W 1＝F 1·AB →＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，W 2＝F 2·AB →＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．∴力F 1，F 2对质点所做的功分别为－99 J 和－3 J.(2)W ＝F ·AB →＝(F 1＋F 2)·AB →＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J)．∴合力F 对质点所做的功为－102 J.跟踪训练2 已知F ＝(2,3)作用于一物体，使物体从A (2,0)移动到B (－2，3)，求F 对物体所做的功．解 AB →＝(－4,3)，W ＝F·s ＝F ·AB →＝(2,3)·(－4,3)＝－8＋9＝1 (J)．∴力F 对物体所做的功为1 J.向量坐标在求解物理问题中的应用例3 帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km /h ，此时水的流向是正东，流速为20 km/h ，若不考虑其他因素，求帆船行驶的速度与方向．分析 设帆船行驶的速度为v ，依题设条件建立直角坐标系，求出向量v 1，v 2的坐标，再利用向量v ＝v 1＋v 2，即可求出帆船行驶的速度与方向．解 如图所示，建立直角坐标系，风力的方向为北偏东30°，速度为|v 1|＝20 km/h ，水流的方向为正东，速度为|v 2|＝20 km/h ，帆船行驶的速度为v ，则v ＝v 1＋v 2.由题意可得向量v 1＝(20cos 60°，20sin 60°)＝(10,103)，向量v 2＝(20,0)，则帆船行驶的速度为v ＝v 1＋v 2＝(10,103)＋(20,0)＝(30,103)，∴|v |＝302＋1032＝203(km/h)．∵sin α＝103203＝12，α为锐角， ∴α＝30°.故帆船向北偏东60°方向行驶，速度为20 3 km/h.1.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10N ，则每根绳子的拉力大小为 N.2．已知一个物体在大小为6 N 的力F 的作用下产生的位移s 的大小为100m ，且F 与s 的夹角为60°，则力F 所做的功W ＝ J.3．一条河宽为8 000 m ，一船从A 出发航行垂直到达河正对岸的B 处，船速为20 km /h ，水速为12 km/h ，则船到达B 处所需时间为 分钟．一、选择题1．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成90°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( )A ．6B ．2C ．2 5D ．272．用力F 推动一物体水平运动s m ，设F 与水平面的夹角为θ，则对物体所做的功为( )A ．|F |·sB ．F cos θ·sC．F sin θ·s D．|F|cos θ·s3．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为()A．40 N B．10 2 NC．20 2 N D．10 3 N4．共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)作用在物体M上，产生位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为()A．lg 2 B．lg 5 C．1 D．25．已知作用在点A的三个力f1＝(3,4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3,1)且A(1,1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为()A．(9,1) B．(1,9) C．(9,0) D．(0,9)6．质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量ν＝(4，－3)(即点P的运动方向与ν相同，且每秒移动的距离为|ν|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为()A．(－2,4) B．(－30,25)C．(10，－5) D．(5，－10)二、填空题7．河水的流速为2 m/s，一艘小船以10 m/s的速度垂直于对岸的方向行驶，则小船在静水中的速度大小为m/s.8．一个重20 N的物体从倾斜角为θ，斜面长1 m的光滑斜面顶端下滑到底端，若重力做的功是10 J，则θ＝.9．力F＝(－1，－5)作用于质点m，使m产生的位移s＝(4,6)，则力F对质点m做的功是．10．如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是(写出正确的所有序号)．①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．三、解答题11．在水流速度为4千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/小时的速度航行，求船实际航行的速度的大小．12．如图所示，两根绳子把重1 kg的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW ＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计，g＝10 N/kg)．13．质量m＝2.0 kg的木块，在平行于斜面向上的拉力F＝10 N的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0 m的距离．(g＝9.8 N/kg)(1)分别求物体所受各力对物体所做的功；(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？当堂检测答案1.答案10解析设重力为G，每根绳的拉力分别为F1，F2，则由题意得F1，F2与－G都成60°角，且|F1|＝|F2|.∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10 N.∴每根绳子的拉力都为10 N.2．答案300解析W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉＝6×100×cos 60°＝300(J)．3．答案30解析v实际＝v船＋v水＝v1＋v2|v1|＝20，|v2|＝12，∴|v|＝|v1|2－|v2|2＝202－122＝16(km/h)．∴所需时间t＝816＝0.5(小时)＝30(分钟)．∴该船到达B处所需的时间为30分钟．课时精练答案一、选择题1．答案C2．答案D3．答案B解析|F1|＝|F2|＝|F|cos 45°＝102，当θ＝120°，由平行四边形法则知：|F合|＝|F1|＝|F2|＝10 2 N.4．答案D解析F1＋F2＝(1,2lg 2)．∴W＝(F1＋F2)·s＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)＝2lg 5＋2lg 2＝2.5．答案 A解析 f ＝f 1＋f 2＋f 3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)，设合力f 的终点为P (x ，y )，则OP →＝OA →＋f ＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)．6．答案 C解析 设(－10,10)为A ，设5秒后P 点的坐标为A 1(x ，y )， 则AA 1→＝(x ＋10，y －10)，由题意有AA 1→＝5ν.即(x ＋10，y －10)＝(20，－15)⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋10＝20y －10＝－15⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10y ＝－5. 二、填空题7．答案 226解析 设河水的流速为v 1，小船在静水中的速度为v 2，船的实际速度为v ，则v ＝v 1＋v 2，|v 1|＝2，|v |＝10.所以|v 2|＝|v －v 1|＝v 2－2v ·v 1＋v 21 ＝100－0＋4＝104＝226.8．答案 30°解析 ∵W G ＝G·s ＝|G|·|s |·cos(90°－θ)＝20×1×cos(90°－θ)＝10 J ，∴cos(90°－θ)＝12，∴θ＝30°. 9．答案 －34解析 ∵W ＝F·s ＝(－1，－5)·(4,6)＝－34，∴力F 对m 所做的功是－34.10．答案 ①③解析 设水的阻力为f ，绳的拉力为F ，F 与水平方向夹角为θ(0<θ<π2)．则|F |cos θ＝|f |，∴|F |＝|f |cos θ. ∵θ增大，cos θ减小，∴|F |增大．∵|F |sin θ增大，∴船的浮力减小．三、解答题11．解 如图用v 0表示水流速度，v 1表示与水流垂直的方向的速度． 则v 0＋v 1表示船实际航行速度，∵|v 0|＝4，|v 1|＝8，∴解直角三角形|v 0＋v 1|＝42＋82＝4 5.故船实际航行的速度为45千米/小时．12．解 设A 、B 所受的力分别为f 1、f 2，10 N 的重力用f 表示，则f 1＋f 2＝f ，以重力的作用点C 为f 1、f 2、f 的始点，作右图，使CE→＝f 1，CF →＝f 2，CG →＝f ，则∠ECG ＝180°－150°＝30°，∠FCG ＝180°－120°＝60°.∴|CE →|＝|CG →|·cos 30°＝10×32＝5 3. |CF →|＝|CG →|·cos 60°＝10×12＝5. ∴在A 处受力为5 3 N ，在B 处受力为5 N.13．解 (1)木块受三个力的作用，重力G ，拉力F 和支持力F N ，如图所示．拉力F 与位移s 方向相同，所以拉力对木块所做的功为：W F ＝F ·s ＝|F ||s |cos 0°＝20(J)．支持力F N 与位移方向垂直，不做功，所以W N ＝F N ·s ＝0.重力G 对物体所做的功为：W G ＝G ·s ＝|G ||s |cos(90°＋θ)＝－19.6(J)．(2)物体所受各力对物体做功的代数和为：W ＝W F ＋W N ＋W G ＝0.4(J)．。
文档：向量在物理中的应用举例
向量在物理中的应用运用向量解决物理问题时，必须清楚哪些物理量是向量，可以从以下几方面理解：1、力，速度，加速度都是向量;2、力，速度，加速度，位移的合成与分解就是向量的加减法，运动的叠加亦用到向量的合成;3、动量是数乘向量;4、功定义即力与所产生位移的内积.例4、如图，重力为的均匀小球放在倾角为α的斜面上，球被与斜面夹角为θ的木板挡住，球面、木板均光滑，若使球对木板压力最小，则木板与斜面间的夹角θ应为多大？分析：本题可以通过把球对木板的压力N表示为关于木板夹角θ的函数，再去求N 的最小值.解：小球受力如图：重力，斜面弹力（垂直于斜面），木板弹力（垂直于木板），其中与合力大小恒为︱︱，方向向上，方向始终不变，随着木板的转动，的大小均在变化.=，当sinθ取最大值1时，︱︱min=︱︱sinα,此时θ=.点评：对于本题的解答，要结合到物理知识即会对物理进行受力分析，才能探讨出N1与θ的函数关系式.例5、今有一小船位于d=60m宽的河边P处，从这里起，在下游L=80m处河流变成“飞流直下三千尺”的瀑布.若河水流速方向由上游指向下游（与河岸平行），水速大小5m/s为，如图所示，为了小船能安全渡河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？分析：本题可分别从数学和物理两个方面进行剖析，因而可以给出以下两种解法.解法一：设船的划速为，方向与上游河岸的夹角为，如图，将正交分解为,,则船同时参与两个分运动：一个是沿方向的速度为的匀速直线运动，另一个是沿方向的速度为的匀速直线运动，这两个分运动的时间和必相等，设船到达对岸时，极其靠近河流与瀑布的交界处.由∴令.显见，当时，有最小值为3m/s.此时解法二：在题设条件下，船的临界合速度沿图的PQ方向，设，从A向PQ作垂线，垂足为B，有向线段 AB即表示最小划速的大小和方向，，，可见当时，划速方向与解法一相同.。
课件4：2.4.2 向量在物理中的应用
sin
sin
方法技巧 物体处于静止状态,受力平衡,即f1和f2的合力与物 体所受的重力G是平衡力,可以应用力的分解解决.于是可以 应用向量的正交分解来处理本题.另外,如果α=β,则为本题的 一个特例,此时|f1| =|f2|,若α>β,则|f1|<|f2|.此外,本题应用了向量 的正交分解,因此可以借助平面直角坐标系来解决.
2
=(
BC
-
BA
)2,即
AC
2
=
2
BC
-2
BC
·BA
+
2
BA
.
所以 36=196-2×14×10×cos∠ABC+100. 解得 cos∠ABC= 13 ,所以∠ABC≈21°47′.
14 即货船的位移是北偏东 66°47′,距离为 14 n mile.
方法技巧 将实际问题转化为平面向量问题,将求长度、 角的问题用向量的知识解决是非常重要的解题思路.解答 过程中,考虑到AB、BC、AC的长度及夹角,运用向量加 法、数量积的运算是关键的一步.
解:如图所示,设渔船在 A 处遇险,货船在 B 处发现渔船遇险, 两船在 C 处相遇,所经时间为 t(h). 由已知,∠BAC=45°+75°=120°, | AB |=10,| AC |=9t,| BC |=21t.
因为
BC
=
AC
-
AB
,所以
2
BC
=(
AC
-
AB
)2,
即
2
BC
=
2
AC
-2
AC
·AB
即
F1x
F1y
F2x , F2 y
精选向量在物理中的应用举例
一、教学分析向量与物理学天然相联.向量概念的原型就是物理中的力、速度、位以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰.并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题的认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.用向量研究物理问题的相关知识.(1)力、速度、加速度、位移等既然都是向量,那么它们的合成与分解就是向量的加、减法,运动的叠加亦用到向量的合成;(2)动量是数乘向量;(3)功即是力与所产生位移的数量积.用向量知识研究物理问题的基本思路和方法.①通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题;②认真分析物理现象,深刻把握物理量之间的相互关系;③利用向量知识解决这个向量问题,并获得这个向量的解;④利用这个结果,对原物理现象作出合理解释,即用向量知识圆满解决物理问题.教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较,得出抽象的数学模型.例如,物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型.同时,注重向量模型的运用,引导解决现实中的一些物理和几何问题.这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用.二、教学目标1．知识与技能：通过力的合成与分解的物理模型,速度的合成与分解的物理模型,掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤。
2．过程与方法：明了向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识.3．情感态度与价值观：通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力.体会数学在现实生活中的重要作用.养成善于发现生活中的数学,善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯.三、重点难点教学重点:1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算.2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法.教学难点:将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.四、教学设想（一）导入新课思路1.(章头图引入)章头图中,道路、路标体现了向量与位移、速度、力等物理量之间的密切联系.章引言说明了向量的研究对象及研究方法.那么向量究竟是怎样应用于物理的呢？它就像章头图中的高速公路一样,是一条解决物理问题的高速公路.在学生渴望了解的企盼中,教师展示物理模型,由此展开新课.思路2.(问题引入)你能举出物理中的哪些向量比如力、位移、速度、加速度等,既有大小又有方向,都是向量,学生很容易就举出来.进一步,你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗你是怎样解决的？教师由此引导:向量是有广泛应用的数学工具,对向量在物理中的研究,有助于进一步加深对这方面问题的认识.我们可以通过对下面若干问题的研究,体会向量在物理中的重要作用.由此自然地引入新课.（二）应用示例例1在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗活动:这个日常生活问题可以抽象为如图1所示的数学模型,引导学生由向量的平行四边形法则,力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题.这样物理中力的现象就转化为数学中的向量问题.只要分析清楚F 、G 、θ三者之间的关系(其中F 为F 1、F 2的合力),就得到了问题的数学解释.图1在教学中要尽可能地采用多媒体,在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F |、|G |、θ之间在变化过程中所产生的相互影响.由学生独立完成本例后,与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤,也可以由学生自己完成,还可以用信息技术来验证. 用向量解决物理问题的一般步骤是:①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.解:不妨设|F 1|=|F 2|,由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道通过上面的式子,我们发现:当θ由0°到180°逐渐变大时,2θ由0°到90°逐渐变大,cos 2θ的值由大逐渐变小,因此|F 1|由小逐渐变大,即F 1,F 2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力.点评:本例是日常生活中经常遇到的问题,学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验.本例的关键是作出简单的受力分析图,启发学生将物理现象转化成模型,从数学角度进行解释,这就是本例活动中所完成的事情.教学中要充分利用好这个模型,为解决其他物理问题打下基础.得到模型后就可以发现,这是一个很简单的向量问题,这也是向量工具优越性的具体体现.变式训练某人骑摩托车以20km/h 的速度向西行驶,感到风从正南方向吹来,而当其速度变为40km/h 时,他又感到风从西南方向吹来,求实际的风向和风速.图2解:如图2所示.设v 1表示20km/h 的速度,在无风时,此人感到的风速为-v 1,实际的风速为v ,那么此人所感到的风速为v +(-v 1)=v -v 1. 令AB =-v 1,AC =-2v 1,实际风速为v . ∵+=, ∴=v -v 1,这就是骑车人感受到的从正南方向吹来的风的速度. ∵+=, ∴DC =v -2v 1,这就是当车的速度为40km/h 时,骑车人感受到的风速.由题意得∠DC A=45°,DB ⊥AB,AB=BC,∴△DCA 为等腰三角形,DA=DC ,∠DA C=∠DC A=45°.∴DA=DC=2BC=202.∴|v |=202km/h.答:实际的风速v 的大小是202km/h,方向是东南方向.例2如图3所示,利用这个装置(冲击摆)可测定子弹的速度,设有一砂箱悬挂在两线下端,子弹击中砂箱后,陷入箱内,使砂箱摆至某一高度h.设子弹和砂箱的质量分别为m 和M,求子弹的速度v 的大小.图3解:设v 0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度,由于水平方向上动量守恒,所以m|v |=(M+m)|v 0|.①由于机械能守恒,所以21(M+m)v 02=(M+m)gh.② 联立①②解得|v |=.2gh mm M + 又因为m 相对于M 很小,所以|v |≈gh mM 2, 即子弹的速度大小约为gh mM 2. （三）知能训练1.一艘船以4km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2km/h,则经过3小时,该船实际航程为() 1584图42.如图4,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为N;若在图示坐标系中,用坐标表示合力F ,则F =___________.3.一艘船以5km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,而该船实际航行的方向与水流方向成30°角,求水流速度与船的实际速度.解答:点评:由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理,所以要通过作高来求.2.41(5,4)图53.如图5所示,设表示水流速度,表示船垂直于对岸的速度,表示船的实际速度,∠AOC=30°,||=5km/h.因为OACB 为矩形,所以||=||·cot30°=||·cot30°=53≈h,||=ο30cos ||=2335=10km/h. 答:水流速度为h,船的实际速度为10km/h.点评:转化为数学模型,画出向量图,在直角三角形中解出.（四）课堂小结1.与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤.①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.2.与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型.①力、速度、加速度、位移都是向量;②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减;③)动量mv是数乘向量,冲量Δt F也是数乘向量;④功是力F与位移s的数量积,即W=F·s.（五）作业。
新人教版高中数学必修2课件：6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举
则|a|=|b|,a·b=0,又 = + =-a+2 , = + =b+2,
2
1 23
1 2 1 2
所以 · = + 2 · - + 2 =-2a -4a·b+ 2 =-2|a| +2|b| =0.
故 ⊥ ,即 AF⊥DE.
(方法二)如图,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为 2,则
(2)建立模型,即建立以向量为载体的数学模型;
(3)求解参数,即求向量的模、夹角、数量积等;
(4)回答问题,即把所得的数学结论回归到物理问题.
微练习
(1)已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为
使物体保持平衡,现加上一个力F4,则F4等于(
A.(-1,-2)
1
1
例 1 如图,在平行四边形 ABCD 中,已知 DE= AB,DF= DB,求证:A,E,F 三点共
3Hale Waihona Puke 4线.分析要证明 A,E,F 三点共线,只需证明 ∥ .
1
1
证明 因为 DE= AB,DF= DB,
3
4
1
1
1
所以 = , = = .
3
4
3
1
1
于是 = − = −
3
3
,1 ,
3
· =2.
·
cos∠EAC=
||||
2
3
π
π
=
= 2 .∵0<∠EAC<2,∴∠EAC=6.
2× 233
要点笔记平面几何中夹角问题的求解策略
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浅谈物理问题的向量解法
江西省永丰中学（331500） 刘 忠
（本文发表于《中学数学研究》2004年第11期）
由于物理中力的合成和速度的合成都是向量的加法问题，因此，用数学中的平面向量知识来解决
物理中的有关力和速度的合成问题就成了一种学科外综合的解题方法了.高中学生在学习了平面向
量知识和有关物理知识后，如果数学教师在讲平面向量的应用时能举一些力和速度的合成的例子，而
物理教师又能在讲力和速度的合成问题时讲一讲向量的解法,学生的综合解题能力无疑将得到提高.下
面的几道题及其解法可供各位数学物理教师在教学时参考.
一、速度合成问题的向量解法
例1 某人骑自行车以每小时akm的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当风速为每小时
2akm时感到风从东北方向吹来,试求实际风速和风向.
解析 设v为实际风速向量，a为骑自行车的人每小时akm的速度向量，则此人在无风时感到的
风速向量为－a，有风时所感到的风速向量为v－a. 作等腰直角三角形PAO， 如图1，在等腰直角三
角形PAO中，令OA－a，PO＝v，由于PAOAPO，从而PA=v－
a，这就是感到的由正北方向吹来的风的风速向量. 其次，延长OA到B，
使AB=OA，连PB. 因为A为BO的中点，PA⊥BO，OAPA，∴PBO
为等腰直角三角形. 于是，当人的速度是原来的2倍时所感到的风速向量
就是PB.∴ 图1中的v即为实际风速向量.
由于 PO =2｜a｜, ∴|v|=2a. ∴实际吹来的风是风速为2a的西北风.
例2 一条河的两岸平行，河的宽度为d=500m，一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处，船
的航行速度为|v1|=10km/h，水流速度|v2|=4km/h. ①试求v1与v2的夹角（精确到1°）及船垂直到达对
岸所用的时间(精确到0.1min); ②要使船到达对岸所用的时间最少，v1与v2的夹角应是多少？
解析 ①如图2(a)，要使船垂直到达对岸,就要使v1与v2的合速度的方向正好垂直于对岸，∴ ｜v｜
=2221|v||v|9.2km/h，cos
t=vd=2.95.0=0.543h=3.3min.
②设v1与v2的夹角为θ，如图2(b)，则v1与v
2
在竖直方向上分速度的和为｜v1|·sinθ,而船到达对岸时，在竖直
-av-av-2av-a
A
B
P
O
图1
v
v
v
2
v
2
B
B
v1v
1
A
A
(a)(b)
图2
方向上行驶的路程为d=0.5km，从而所用的时间t=sin105.0，显然当θ=90°时t最小，即船头始终向着
对岸时所用时间最少，为105.0=0.05h=3min.
从本题的答案可知，船垂直到达对岸所用的时间并不是最少的.
二、力合成问题的向量解法
例 3 如图3，两根不可伸长的轻绳吊住一盏受重力为G的灯，开始时，
轻绳OA水平，不断改换轻绳OA，使OA的悬点不断上移，同时保持轻绳
OB的位置不变，则轻绳OA和OB的拉力TA和TB的大小将如何变化？
解析 对灯进行受力分析.∵OB与竖直方向的夹角为不变，设'OA与
竖直方向的夹角为θ，则 .
当θ逐渐由90°变化到0°时，θ+由90°+变化到，∴sin(θ+)先增大后减小，从而|AT|
先减少后增大，且当θ+=90°时, |AT|min=Gsin. 同理， 当θ逐渐由90°
变化到0°时，|BT|逐渐减小,但无最小值.
例4 如图4，木块重量为G，与水平支撑面间的滑动摩擦系数为f，设拉
力P与水平面间的夹角为，试求角为多大时拉动木块最省力？
解析 如图4所示，画出木块的受力图. 设木块所受支撑面的支撑力为N，
则滑动摩擦力为fN，于是，.GPN,NP cosf cos解之，得
|P|=.Gfsincosf
∵f|G|>0且为定值, ∴欲使|P|最小，必须使cos+fsin最大.∵
cos+fsin=222f11cosf1fsinf1=sinf12.令tanβ=20,f1,
即β=arctanf1,则 当+β=2时,cos+fsin取得最大值,最大值为2f1.因此，当=2－arctan
f
1
时拉动木块最省力.
图3
图4
sin
sinGTA,GTT
BA
sinsinsin
P
G
N
f·N
α
α
G
O
A
'
B
T
A
T
B
A