一元二次方程全章练习
一元二次方程100道计算题练习(含答案)
一元二次方程100道计算题练习(含答案)1、(x+4)=5(x+4)解：将等式两边展开，得到x+4=5x+20，移项化简得4x=-16，因此x=-4.2、(x+1)=4x解：将等式两边展开，得到x+1=4x，移项化简得3x=1，因此x=1/3.3、(x+3)=(1-2x)2解：将等式两边展开，得到x+3=1-4x+4x2，移项化简得4x2-4x-2=0，因此x=1+√3或x=1-√3.4、2x2-10x=3解：将等式两边移项化简，得到2x2-10x-3=0，利用求根公式得到x=(5+√37)/2或x=(5-√37)/2.5、(x+5)2=16解：将等式两边展开，得到x2+10x+25=16，移项化简得x2+10x+9=0，因此x=-1或x=-9.6、2(2x-1)-x(1-2x)=0解：将等式两边展开，得到4x-2-x+2x2=0，移项化简得2x2+3x-2=0，因此x=1/2或x=-2.7、x2+6x-5=0解：利用求根公式得到x=(-6±√56)/2，化简得到x=-3+√14或x=-3-√14.8、5x2-2/5=0解：将等式两边乘以5，得到25x2-2=0，移项化简得到x=±√(2/25)=±2/5.9、8(3-x)2-72=0解：将等式两边移项化简，得到8(3-x)2=72，化简得到(3-x)2=9，因此x=0或x=6.10、3x(x+2)=5(x+2)解：将等式两边移项化简，得到3x(x+2)-5(x+2)=0，因此(3x-5)(x+2)=0，因此x=5/3或x=-2.11、(1-3y)2+2(3y-1)=0解：将等式展开化简，得到9y2-18y+9+6y-2=0，移项化简得到9y2-12y+7=0，利用求根公式得到y=(6±√12)/9.12、x2+2x+3=0解：利用求根公式得到x=(-2±√(-8))/2，因为无实数解，所以方程无解。
(完整版)一元二次方程计算题及答案
6X2-7X+1=06X2-7X=-1X2- ( 7/6)X+ ( 7/12 )2=-1 /6 +( 7/12 )2 (X-7 /12 )2=25 /144•••X-7 /12= ±5/12•••X1=1,X2=1/ 65X2-18=9X5X2-9X=18X2-1.8X=3.6(X-0.9 )2=4.41•••X-.9= ±2.1•••X1=3,X2=-1.24X 2-3X=52解：X2- ( 3/4 ) X=13(X-3 / 8 )2=13•••X-3 /8= ±29 /8•••X1=4,X2 =-13 / 45X 2=4-2X5X 2+2X=4X2+0.2X=0.8(X+0.1 )2 =0.81X+0.1= ±0.9X1=-1,X2=0.8 就这么几道，最好去百度搜索，那多1)x A2-9x+8=0 答案：x1=8 x2=1⑵ xA2+6x-27=0 答案：x1=3 x2=-9⑶ xA2-2x-80=0 答案：x仁-8 x2=10⑷ xA2+10x-200=0 答案：x1=-20 x2=10(5)xA2-20x+96=0 答案：x仁12 x2=8⑹xA2+23x+76=0 答案：x1=-19 x2=-4(7)xA2-25x+154=0 答案：x1=14 x2=11(8)xA2-12x-108=0 答案：x仁-6 x2=18(9)xA2+4x-252=0 答案：x1=14 x2=-18(10)xA2-11x-102=0 答案：x仁17 x2=-6(11)xA2+15x-54=0 答案：x1=-18 x2=3(12)xA2+11x+18=0 答案：x仁-2 x2=-9(13)xA2-9x+20=0 答案：x1=4 x2=5(14)xA2+19x+90=0 答案：x1=-10 x2=-9(15)xA2-x1=13 x2=1225x+156=0 答案：(16)xA2-22x+57=0 答案：x1=3 x2=19(17)xA2-5x-176=0 答案：x仁16 x2=-11(18)xA2-x1=7 x2=1926x+133=0 答案：(19)xA2+10x-11=0 答案：x1=-11 x2=1(20)xA2-3x-304=0 答案：x1=-16 x2=19(21)xA2+13x-x1=7 x2=-20140=0 答案：(22)xA2+13x-48=0 答案：x1=3 x2=-16(23)xA2+5x-176=0 答案：x1=-16 x2=11(24)x A2+28x+171=0 答案：x仁-9 x2=-19(25)x A2+14x+45=0 答案：x仁-9 x2=-5(26)xA2-9x-136=0 答案：x仁-8 x2=17(27)xA2-15x-76=0 答案：x仁19 x2=-4(28)xA2+23x+126=0 答案：x仁-9 x2=-14(29)xA2+9x-70=0 答案：x1=-14 x2=5(30)xA2-1x-56=0 答案：x1=8 x2=-7(31)xA2+7x-60=0 答案：x1=5 x2=-12(32)xA2+10x-39=0 答案：x1=-13 x2=3(33)xA2+19x+34=0 答案：x1=-17 x2=-2(34)xA2-6x-160=0 答案：x仁16 x2=-10(35)xA2-6x-55=0 答案：x仁11 x2=-5(36)xA2-7x-144=0 答案：x仁-9 x2=16(37)xA2+20x+5 仁0 答案：x仁-3 x2=-17(38)xA2-9x+14=0 答案：x1=2 x2=7(39)xA2-29x+208=0 答案：x1=16 x2=13(40)xA2+19x-20=0 答案：x1=-20 x2=1(41)xA2-13x-48=0 答案：x仁16 x2=-3(42)xA2+10x+24=0 答案：x仁-6 x2=-4(43)xA2+28x+180=0 答案：x1=-10 x2=-18(44)xA2-8x-209=0 答案：x1=-11 x2=19(45)xA2+23x+90=0 答案：x1=-18 x2=-5(46)x A2+7x+6=0 答案：x仁-6 x2=-1(47)x A2+16x+28=0 答案：x1=-14 x2=-2(48)xA2+5x-50=0 答案：x1=-10 x2=5(49)xA2+13x-14=0 答案：x1=1 x2=-14(50)xA2-23x+102=0 答案：x仁17 x2=6(51)xA2+5x-176=0 答案：x1=-16 x2=11(52)xA2-8x-20=0 答案：x仁-2 x2=10(53)xA2-16x+39=0 答案：x1=3 x2=13(54)xA2+32x+240=x1=-20 x2=-120 答案：(55)xA2+34x+288=x1=-18 x2=-160 答案：(56)xA2+22x+105=x仁-7 x2=-150 答案：(57)xA2+19x-20=0 答案：x1=-20 x2=1(58)xA2-7x+6=0 答案：x1=6 x2=1(59)xA2+4x-22 仁0 答案：x仁13 x2=-17(60)xA2+6x-9 仁0 答案：x1=-13 x2=7(61)xA2+8x+12=0 答案：x1=-2 x2=-6(62)xA2+7x-120=0 答案：x1=-15 x2=8(63)xA2-18x+17=0 答案：x1=17 x2=1(64)xA2+7x-170=0 答案：x1=-17 x2=10(65)xA2+6x+8=0 答案：x仁-4 x2=-2(66)x^2+13x+12=0 答案：x仁-1 x2=-12(67)xA2+24x+119=0 答案：x仁-7 x2=-17(68)x A2+11x-42=0 答案：x1=3 x2=-14(69)x A20x-289=0 答案：x仁17 x2=-17(70)xA2+13x+30=0 答案：x仁-3 x2=-10(71)xA2-24x+140=0 答案：x1=14 x2=10(72)xA2+4x-60=0 答案：x1=-10 x2=6(73)xA2+27x+170=0 答案：x1=-10 x2=-17(74)xA2+27x+152=0 答案：x1=-19 x2=-8(75)xA2-2x-99=0 答案：x仁11 x2=-9(76)xA2+12x+11=0 答案：x1=-11 x2=-1(77)xA2+17x+70=0 答案：x1=-10 x2=-7(78)xA2+20x+19=0 答案：x1=-19 x2=-1(79)xA2-2x-168=0 答案：x1=-12 x2=14(80)xA2-13x+30=0 答案：x1=3 x2=10(81)xA2-10x-119=0 答案：x仁17 x2=-7(82)xA2+16x-17=0 答案：x1=1 x2=-17(83)xA2-1x-20=0 答案：x1=5 x2=-4(84)xA2-2x-288=0 答案：x仁18 x2=-16(85)xA2-20x+64=0 答案：x仁16 x2=4(86)xA2+22x+105=0 答案：x仁-7 x2=-15(87)xA2+13x+12=0 答案：x仁-1 x2=-12(88)x^2-4x-285=0 答案：x仁19 x2=-15(89)x^2+26x+133=0 答案：x1=-19 x2=-7(90)x A2-17x+16=0 答案：x1=1 x2=16(91)x A2+3x-4=0 答案：x1=1 x2=-4(92)xA2-14x+48=0 答案：x1=6 x2=8(93)xA2-12x-133=0 答案：x仁19 x2=-7(94)xA2+5x+4=0 答案：x仁-1 x2=-4(95)xA2+6x-9 仁0 答案：x1=7 x2=-13(96)xA2+3x-4=0 答案：x仁-4 x2=1(97)xA2-13x+12=0 答案：x1=12 x2=1(98)xA2+7x-44=0 答案：x1=-11 x2=4(99)xA2-6x-7=0 答案：x仁-1 x2=7 (100)xA2-9x-90=0 答案：x仁15 x2=-6(101)xA2+17x+72=x仁-8 x2=-9 0 答案：(102)xA2+13x-14=0 答案：x1=-14 x2=1 (103)xA2+9x-36=0 答案：x1=-12 x2=3 (104)xA2-9x-90=0 答案：x仁-6 x2=15(105)xA2+14x+13=x仁-1 x2=-13 0 答案：(106)xA2-16x+63=0 答案：x1=7 x2=9 (107)xA2-15x+44=0 答案：x1=4 x2=11 (108)xA2+2x-168=0 答案：x1=-14 x2=12 (109)xA2-6x-216=0 答案：x1=-12 x2=18 (110)xA2-6x-55=0 答案：x仁11 x2=-5(111)x A2+18x+32=0 答案:x1=-2 x2=-16。
一元二次方程(含答案)
第十六期：一元二次方程一元二次方程是在一元一次方程及分式方程的基础上学习的，一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的应用是中考的重点。
题型多样，一般分值在6－9分左右。
知识点1：一元二次方程及其解法例1：方程0232=+-x x 的解是（ ）A ．11=x ，22=xB ．11-=x ，22-=xC ．11=x ，22-=xD ．11-=x ，22=x思路点拨：考查一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有：一是因式分解法；二是配方法；三是求根公式法．此题可以用此三种方法求解，此题以因式分解法较简单，此式可以分解为（x －1）(x －2)=0,所以x －1=0或x －２=0，解得x １=１，x ２=２．故此题选Ａ．例2：若220x x --= ）A ．3B ．3C D 3思路点拨：本题考查整体思想，即由题意知x 2－x=2, 所以原式=3323123222=+-+，选A. 练习：1.关于x 的一元二次方程2x 2－3x －a 2+1=0的一个根为2，则a 的值是（ ）A ．1BC ．D ．2.如果1-是一元二次方程230x bx +-=的一个根，求它的另一根． 3.用配方法解一元二次方程：x 2－2x －2=0． 答案：1.D. 2.解：1-是230x bx +-=的一个根，2(1)(1)30b ∴-+--=．解方程得2b =-． ∴原方程为2230x x --=分解因式，得(1)(3)0x x +-=11x ∴=-，23x =.3.移项，得x 2－2x=2． 配方x 2－2x+12=2+12， （x －1）2=3. 由此可得x －1=±3， x 1=1+3，x 2=1－3. 最新考题1.（2009威海）若关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______．2.（2009年山西省）请你写出一个有一根为1的一元二次方程： ．3.（2009山西省太原市）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -=答案：1.1； 2.答案不唯一，如21x = 3. B 知识点2：一元二次方程的根与系数的关系例1：如果21,x x 是方程0122=--x x 的两个根，那么21x x +的值为：（A ）－1 （B ）2 （C ）21- （D ）21+ 思路点拨：本题考查一元二次方程02=++c bx ax 的根与系数关系即韦达定理，两根之和是a b -， 两根之积是ac，易求出两根之和是2。
人教版九年级数学上册 第21章《一元二次方程》单元同步练习(有答案)
九年级数学第21章《一元二次方程》单元同步练习一、选择题：1、若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根，则x1+x2的值是（）A．﹣10 B． 10 C．﹣16 D．162、已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（）A．6 B．5 C．4 D．33、下列方程有两个相等的实数根的是（）A. x2+x+1=0B.4 x2+2x+1=0C. x2+12x+36=0D. x2+x-2=04、若0是关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的一根，则m值为（）A.1B.0C.2D.1或25、某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（）A．4 B．5 C．8 D．66、我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（）A．8% B．10% C．12% D．11%7、已知一元二次方程x2-8x+12=0 的两个解恰好是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC 的周长为（）A.14B.10C.11D.14或108、某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（）A．（3+x）（4﹣0.5x）=15 B．（x+3）（4+0.5x）=15C．（x+4）（3﹣0.5x）=15 D．（x+1）（4﹣0.5x）=15二、填空题：9、若x=﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1=0的一个解，则m的值为．10、若正数a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根，则a的值是．11、某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为 .12、若3是关于x的方程x2+kx-6=0的一个根，则k=________．13、若一元二次方程式x2﹣8x﹣3×11=0的两根为a、b，且a＞b，则a﹣2b= .14、三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形周长是．三、解答题：15、解一元二次方程：（1）x2﹣5x﹣6=0（因式分解法）（2）2x2﹣4x﹣1=0(公式法）(3)2(x-3)2=x2-9 (4) 4y2=8y+116、在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．销售量y（千克）…34.8 32 29.6 28 …售价x（元/千克）…22.6 24 25.2 26 …（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？17、如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？18、为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？19、某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？20、在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造．（1）原计划今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化的里程数至少是多少千米？（2）到今年5月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值．2017年通过政府投人780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1：2，且里程数之比为2：1．为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入．经测算：从今年6月起至年底，如果政府投入经费在2017年的基础上增加10a%（a＞0），并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值．参考答案一、选择题：1、A2、B3、C4、C5、D6、B7、A8、A二、填空题：9、110、 511、 80（1+x）2=10012、-113、1714、13三、解答题：15、（1）x 1=6，x 2=﹣1； （2）x=2±√62． (3)x 1=3, x 2=9 (4)y=2±√5216、（1） 当天该水果的销售量为33千克．（2） 如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元．17、所围矩形猪舍的长为10m 、宽为8m ．18、（1） 年销售量y 与销售单价x 的函数关系式为y=﹣10x+1000．（2） 该设备的销售单价应是50万元/台．19、(1)每天完成200平方米（2）人行道宽为2米20、（1） 原计划今年1至5月，道路硬化的里程数至少是40千米．（2） a=10．。
第二十一章一元二次方程练习
21.1 一元二次方程1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )A.x2+=0B.ax2+bx+c=0C.(x-1)(x+2)=1D.3x2-2xy-5y2=02.若关于x的方程ax2-3x+2=0是一元二次方程,则( )A.a>0B.a≠0C.a=1D.a≥03.[2013²安顺]已知关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为x=3,则实数k的值为( )A.1B.-1C.2D.-24.下列关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的说法正确的有( )①若有一个根为零时,则c=0;②若有一个根为1时,则a+b+c=0;③若有一个根为-1时,则a-b+c=0;④只有一个实数根.A.1个B.2个C.3个D.4个5.如图21-1-1所示,图形中四个长方形的长比宽多5,围成的大正方形的面积为125.设长方形的宽为x,则下列方程不正确的是( )A.x(x+5)=25B.x2+5x=25C.x2+5x-20=0D.x(x+5)-25=06.若方程4x k-1+3x+1=0是关于x的一元二次方程,则k的值为 .7.已知关于x的方程x2-mx+n=0的两个根是0和-3,则m= ,n= .8.当x=时,方程(a2-9)x2+(a+3)x+5=0不是关于a的一元二次方程;当a= 时,方程(a2-9)x2+(a+3)x+5=0是关于x的一元一次方程.9.《九章算术》“勾股”章有一题:“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈,问户高、广各几何?”大意是说:已知矩形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么门的高和宽各是多少?(1丈=10尺,1尺=10寸)如果设门的宽为x尺,那么这个门的高为(x+6.8)尺,根据题意,得,整理、化简,得.10.资料中有一这样的题目:把方程x2-x=2化为一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、现把上面的题目改编为下面的两个小题,请解答:(1)下列式子中,有哪几个是方程x2-x=2所化的一元二次方程的一般形式?(答案只写序号).①x2-x-2=0;②-x2+x+2=0;③x2-2x=4;④-x2+2x+4=0;⑤x2-2x-4=0.(2)方程x2-x=2化为一元二次方程的一般形式后,它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系?11.[2013²黔西南州]已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根,则代数式a2+b2+2ab的值是 .12.翠湖公园有一块长为32 m,宽为20 m的长方形空地,现准备在空地中修同样宽的两条“之”字路.如图21-1-2所示,若设道路宽为x m,剩下的空地面积为540 m2,请列出关于x的一元二次方程,把它化为一般形式,并指出二次项系数、一次项系数和常数项.13.已知m是方程x2-2 013x+1=0的一个根,试求代数式m2-2 012m+的值.答案解析21.1 一元二次方程1. C【解析】 A是分式方程,B中缺a≠0,D中含有两个未知数.2. B【解析】一元二次方程的隐含条件是二次项系数a≠0,故选B.3. A【解析】因为x=3是原方程的根,所以将x=3代入原方程,即32-3k-6=0成立,解得k=1.4. C【解析】把x=0代入原方程有a×02+b×0+c=0,得到c=0;把x=1代入原方程有a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0;把x=-1代入原方程有a×(-1)2+b×(-1)+c=0,即a-b+c=0,这说明①②③都正确.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)可以没有实数根,所以④不正确.5. C【解析】大正方形边长为2x+5,则(2x+5)2=125,∴4x2+20x+25=125,∴4x2+20x-100=0,∴x2+5x-25=0,故A、B、D正确,选C.6.3【解析】∵此方程是一元二次方程,∴k-1=2,∴k=3.7.-3 0【解析】由题意得∴8.09.x2+(x+6.8)2=1022x2+13.6x-53.76=010.(1) ①②④⑤(2)解:(2)若设它的二次项系数为a(a≠0),则一次项系数为-2a,常数项为-4a.11.1【解析】∵x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根,∴12+a+b=0,∴a+b=-1.∴a2+b2+2ab=(a+b)2=(-1)2=1.12.【解析】为了便于计算图形的面积,通过如答图所示的方式平移. 解:将图形中的“之”字路进行平移得到如答图所示的图形.依题意得(32-x)(20-x)=540,整理,得一般形式为x2-52x+100=0,二次项系数为1,一次项系数为-52,常数项为100.第12题答图13.解:∵m为方程x2-2 013x+1=0的根,∴m2-2 013m+1=0,即m2-2 013m=-1,m2+1=2 013m,∴m2-2 012m+=m2-2 013m+m+=-1+m+.又由m2-2 013m+1=0,两边同除以m得m+=2 013,∴原式=-1+2 013=2 012.21.2 解一元二次方程用直接开平方法解一元二次方程1.方程(x+2)2-3=0的解为( )A.x1=2+,x2=-2- B.x1=2+,x2=-2+ C.x1=2-,x2=2+ D.x1=-2+,x2=-2-2.[2013²威海]已知关于x的一元二次方程(x+1)2-m=0有两个实数根,则m的取值范围是( )A. m≥-B. m ≥0C.m≥1D. m≥23.方程4x2+4x+1=0的解是( )A.x1=x2=0.2 B.x1=x2=-2 C.x1=x2= D.x1=x2=-4.若a为一元二次方程(x-)2=100的一个根,b为一元二次方程(y-4)2=17的一个根,且a,b都是正数,则a-b等于( )A.5B.6C.D.10-5.[2013²赣州模拟]一元二次方程4(x-1)2-9=0的解是.6.如果分式的值为零,那么x= .7.若x=2是关于x的方程x2-x-a2+5=0的一个根,则a的值为.8.当x= 时,代数式(x-2)2与(2x+5)2的值相等.9.在实数范围内定义运算“☆”,其规则为a☆b=a2-b2,则方程(4☆3)☆x=13的解为x= .10.解下列方程:(1)[2012²永州](x-3)2-9=0; (2)(2x-3)(2x-3)=x2-6x+9; (3)(2x+3)2-(1-)2=0.11.已知等腰三角形的两边长分别是(x-3)2=1的两个解,则这个三角形的周长是( )A.2或4B.8C.10D.8或1012.若关于x的方程(3x-c)2-60=0的两根均为正数,其中c为整数,则c的最小值为( )A.1B.8C.16D.6113.以大约与水平线成45°角的方向,向斜上方抛出标枪,抛出距离s(单位:米)与标枪出手的速度v(单位:米/秒)之间根据物理公式大致有如下关系:s=+2,如果抛出48米,试求标枪出手时的速度(精确到0.1米/秒).14.已知=,求关于x的方程x2-3m=0的解.15.已知a+b=4n+2,ab=1,若19a2+152ab+19b2的值为2 014,求n.答案解析第1课时用直接开平方法解一元二次方程6. D7. B【解析】 (x+1)2-m=0,整理得(x+1)2=m.∵一元二次方程(x+1)2-m=0有两个实数根,∴m≥0.8. D【解析】由4x2+4x+1=0得(2x+1)2=0,∴2x+1=0,x=-,∴x1=x2=-.9. B【解析】 (x-)2=100的根为x1=-10+,x2=10+,又因为a为正数所以a=10+.(y-4)2=17的根为y 1=4+,y2=4-,因为b为正数所以b=4+,所以a-b=10+-(4+)=6.10.x1=-12,x2=126.-2【解析】由题意得x2-4=0且x-2≠0,∴x=-2.7. ±【解析】把x=2代入方程x2-x-a2+5=0得22-2-a2+5=0,即a2=7,所以a=±.8. -7或-1【解析】由(x-2)2=(2x+5)2,得x-2=±(2x+5),即x-2=2x+5或x-2=-2x-5,所以x1=-7,x2=-1.9. ±6【解析】 4☆3=42-32=16-9=7,7☆x=72-x2,10. 解:(1)(x-3)2=9,x-3=±3,∴x1=0,x2=6;(2)原方程可化为(2x-3)2=(x-3)2,两边开平方得2x-3=±(x-3),即2x-3=x-3或2x-3=-(x-3),∴x1=0,x2=2;(3)原方程可化为(2x+3)2=(1-)2,∴2x+3=±(1-).∴2x+3=1-或2x+3=-(1-).∴x1=-1-,x2=-2+.11.C【解析】开方得x-3=±1,即x=4或2,则等腰三角形的三边长只能为4,4,2,则其周长为10.故选C.12.B【解析】原方程可化为(3x-c)2=60,3x-c=±,3x=c±,x=.因为两根均为正数,所以c>>7,所以整数c的最小值为8.故选B.13.解:把s=48代入s=+2,得48=+2,v2=46×9.8,∴v1≈21.2,v2≈-21.2(舍去).答:标枪出手时的速度约为21.2米/秒.14. 解:=,方程两边同时乘m(m-1),得2m=3(m-1),解得m=3.将m=3代入方程x2-3m=0,则x2-9=0,解得x=±3,即关于x的方程x2-3m=0的解为x1=3,x2=-3.15.解:∵19a2+152ab+19b2=19(a+b)2-38ab+152ab =19(a+b)2+114ab,且a+b=4n+2,ab=1,又19a2+152ab+19b2的值为2 014,∴19×(4n+2)2+114×1=2 014,即(4n+2)2=100,∴4n+2=±10,当4n+2=10时,解得n=2;当4n+2=-10时,解得n=-3.故n为2或-3.用配方法解一元二次方程1.用配方法解方程x2-x-4=0时,配方后得( )A.=B.=-C.=D.以上答案都不对2.若一元二次方程x2-2x-3 599=0的两根为a,b,且a>b,则2a-b之值为( )A.-57B.63C.179D.1813.已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p)2=7的形式,那么x2-6x+q=2可以配方成下列的( )A.(x-p)2=5B.(x-p)2=9C.(x-p+2)2=9D.(x-p+2)2=54.用配方法使下列等式成立(1)x2-2x-3=(x- )2+( ); (2)3x2-2x-2=3 (x- )2+( ).5.[2013²吉林]若将方程x2+6x=7化为(x+m)2=16,则m= .6.当m= 时,x2+mx+36是完全平方式.7.用配方法解一元二次方程:(1)x2-2x=5; (2)2x2+1=3x; (3)2t2-6t+3=0; (4)6x2-x-12=0; (5)2y2-4y=4; (6)x2+3=2x.8.用配方法解方程:(1)[2013²山西](2x-1)2=x(3x+2)-7; (2)5(x2+17)=6(x2+2x).9.关于x的一元二次方程x2-5x+p2-2p+5=0的一个根为1,则实数p的值是( )A.4B.0或2C.1D.-110.利用配方法比较代数式3x2+4与代数式2x2+4x值的大小.11.已知a,b,c是△ABC三边长,且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca.试判断△ABC的形状,并说明理由.答案解析第2课时用配方法解一元二次方程1. C【解析】先把方程化为x2-3x-12=0,再移项得x2-3x=12,配方得=.2. D【解析】x2-2x-3 599=0,移项得x2-2x=3 599,x2-2x+1=3 599+1,即(x-1)2=3 600,x-1=60或x-1=-60,解得x=61或x=-59.∵一元二次方程x2-2x-3 599=0的两根为a,b,且a>b,∴a=61,b=-59,∴2a-b=2×61-(-59)=181.3. A【解析】由x2-6x+q=0,得x2-6x+9-9+q=0,即(x-3)2-9+q=0,∴(x-3)2=9-q.∴q=2,p=3.∴x2-6x+q=2即为x2-6x+2=2,x2-6x=0,x2-6x+9=9,(x-3)2=9,即(x-p)2=9.故选B.4.(1)1 -4(2)13735. 36. ±12【解析】∵x2+mx+36=x2+mx+62是完全平方式, ∴m=±2×1×6,∴m=±12.7.解:(1)配方,得(x-1)2=6,∴x-1=±,∴x 1=1+,x2=1-;(2)移项得2x2-3x=-1,二次项系数化为1得x2-x=-,配方得x2-x+=-+,即=,∴x-=±,解得x1=1,x2=;(3)移项、系数化为1得t2-3t=-,配方得t2-3t+=-+,即=,开方得t-=±,∴t1=,t2=.(4)移项,得6x2-x=12,二次项系数化为1,得x 2-=2,配方,得x2-+=2+,即=,∴x-=±,∴x1=,x2=-;(5)系数化为1,得y2-2y=2,配方,得y2-2y+1=2+1,即(y-1)2=3,∴y-1=±,∴y=1+,y2=1-;(6)移项,得x2-2x=-3,配方,得x2-2x+()2=-3+()2,即(x-)2=0,∴x=x2=.8. 解:(1)(2x-1)2=x(3x+2)-7,整理得x2-6x=-8,配方得(x-3)2=1,∴x-3=±1,∴x1=2,x2=4.(2)5(x2+17)=6(x2+2x),整理得:,x2+12x-85=0,∴x2+12x=85,x2+12x+36=85+36,∴(x+6)2=121,∴x+6=±11,∴x1=5,x2=-17.9.C【解析】把x=1代入原方程有1-5+p2-2p+5=0,即p2-2p+1=0,∴(p-1)2=0,∴p=1.10.解:∵(3x2+4)-(2x2+4x)=3x2+4-2x2-4x=x2-4x+4=(x-2)2≥0,∴3x2+4≥2x2+4x.11.解:△ABC是等边三角形.理由略理由:∵a2+b2+c2=ab+bc+ca,∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0,∴a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ca+a2=0, ∴(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,∴a-b=0,b-c=0,c-a=0,∴a=b,b=c,c=a,即a=b=c,∴△ABC是等边三角形.21.2.2 公式法1.[2013²成都]一元二次方程x2+x-2=0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根2.方程x2+x-1=0的一个根是( )A.1-B.C.-1+D.3.[2012²南昌]已知关于x的一元二次方程x2+2x-a=0有两个相等的实数根,则a的值是( )A.1B.-1C.D.-4.方程4y2=5-y化成一般形式后,a= , b= ,c= ,则b2-4ac= ,所以方程的根为 .5.[2013²滨州]一元二次方程2x2-3x+1=0的解为 .6.[2012²上海]如果关于x的一元二次方程x2-6x+c=0(c是常数)没有实数根,那么c的取值范围是.7.不解方程,判断下列一元二次方程的根的情况:(1)3x2-2x-1=0; (2)2x2-x+1=0; (3)4x-x2=x2+2; (4)3x-1=2x2.8.用公式法解方程:(1)x2=6x+1; (2)2x2-3x=0; (3)0.2x2-0.1=0.4x; (4)x-2=2x2.9.[2012²广安]已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是( )A.a>2B.a<2C.a<2且a≠1D.a<-210.用适当的方法解一元二次方程:(1)(3x+1)2-9=0; (2)x2+4x-1=0(用两种方法);(3)3x2-2=4x; (4)(y+2)2=1+2y(用两种方法).11.[2013²北京]已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围;(2)若k为正整数,且该方程的根都是整数,求k的值.答案解析21.2.2公式法1. A2. D【解析】用公式法解得x=.3. B【解析】∵关于x的一元二次方程x2+2x-a=0有两个相等的实数根,∴Δ=b2-4ac=0,即22-4(-a)=0,解得a=-1.4. 4 1 -5 81 y1=1,y2=-5.x1=1,x2=6.c>9【解析】∵关于x的一元二次方程x2-6x+c=0(c是常数)没有实数根,∴Δ=(-6)2-4c<0,即36-4c<0,c>9.7.解:(1)Δ>0,方程有两个不相等的实数根;(2)Δ<0,方程没有实数根;(3)Δ=0,方程有两个相等的实数根;(4)Δ>0,方程有两个不相等的实数根.8.解:(1)x1=,x2=; (2)x1=3+,x2=3-; (3)x1=0,x2=; (4)x1=,x2=;(5)x1=,x2=; (6)无解.9.C【解析】Δ=4-4(a-1)=8-4a>0,得a<2.又a-1≠0,∴a<2且a≠1.10.解:(1)x1=,x2=-;(2)x1=-2-,x2=-2+;(3)x1=,x2=;(4)无解.11.解:(1) Δ=b2-4ac=4-4(2k-4)=20-8k.∵方程有两个不等的实数根,∴20-8k>0,∴k<.(2)∵k为正整数,∴0<k<(且k为整数),即k为1或2.∴当k=1时,方程x2+2x-2=0的根x=-1±不是整数;当k=2时,方程x2+2x=0的根x 1=-2,x2=0.都是整数,综上所述,k=2.创新专题(一) 配方法与公式法的综合一配方法的运用1.若4x2+k xy+y2表示一个完全平方式,则k的值为( )A.4B.±4C.±8D.82.利用配方法证明:无论x取何实数值,代数式-x2-x-1的值总是负数,并求它的最大值.3.已知a2-4a+b2-+=0,求a2-4的值.二配方法解方程4.[2012²兰州]已知x是一元二次方程x2-2x+1=0的根.求代数式÷(x+2-)的值.5.[2013²杭州]当x满足条件时,求出方程x2-2x-4=0的根.6.[2012²张家界]阅读材料:对于任何实数,我们规定符号的意义是=ad-bc.例如:=1³4-2³3=-2,=(-2)³5-4³3=-22.(1)按照这个规定请你计算的值;(2)当x2-4x+4=0时,按照这个规定请你计算的值.三公式法解方程7.[2012²珠海]已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0.(1)当m=3时,判断方程的根的情况;(2)当m=-3时,求方程的根.8.[2013²淄博]关于x的一元二次方程(a-6)x2-8x+9=0有实根.(1)求a的最大整数值;(2)当a取最大整数值时,①求出该方程的根;②求2x2-的值.答案解析创新专题(一) 配方法与公式法的综合1. B2. 证明:-x 2-x -1=-+-1=--.∵-≤0,∴--<0, 即无论x 取何值时,代数式-x 2-x -1的值总是负数. 当x =-时,-x 2-x -1有最大值-.3. 解:∵a 2-4a +b 2-+=0,∴(a 2-4a +4)+=0,即(a -2)2+=0, ∴a-2=0且b -=0,∴a=2,b=,∴a 2-4=22-4=4-4×=2.4. 解:∵x 2-2x +1=0,∴(x -1)2=0,∴x 1=x 2=1.原式=÷=·=.当x =1时,原式=.5. 解:由得2<x <4.解方程x 2-2x -4=0得x 1=1+,x 2=1-. 又∵2<<3,2<x<4, ∴x =1+.6. 解:(1)=5×8-7×6=-2;(2)由x 2-4x +4=0得x=2,==3×1-4×1=-1.7. 解:(1)当m =3时,b 2-4ac =22-4×1×3=-8<0,∴原方程没有实数根.(2)当m =-3时,x 2+2x -3=0,∵a =1,b =2,c =-3,Δ=b 2-4ac =4-4×1×(-3)=16,∴x ==,∴x 1=-3,x 2=1.7. 解:(1)∵关于x 的一元二次方程(a -6)x 2-8x +9=0有实根,8.∴a-6≠0,Δ=(-8)2-4×(a-6)×9≥0,解得a≤且a≠6.∴a的最大整数值为7.(2)①当a=7时,原一元二次方程变为x2-8x+9=0. ∵a=1,b=-8,c=9,∴Δ=(-8)2-4×1×9=28,∴x =,即x=4±2, ∴x1=4+2,x2=4-2.②∵x是一元二次方程x2-8x+9=0的根, ∴x2-8x=-9.∴2x2-=2x2-=2x2-16x+=2(x2-8x )+=2×(-9)+=-.教材回归(一) 根的判别式的应用(教材P17习题21.2第13题)无论p取何值,方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根吗?给出答案并说明理由.【思想方法】一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac可以用来判断根的情况,也可以根据一元二次方程根的情况,确定方程中的未知系数.一判断一元二次方程根的情况方程x2+7=8x的根的情况为( )A.方程有两个不相等的实数根B.方程有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.方程没有实数根[2013²滨州]对于任意实数k,关于x的方程x2-2(k+1)x-k2+2k-1=0的根的情况为( )A.有两个相等的实数根B.没有实数根C.有两个不相等的实数根D.无法确定[2012²孝感]已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.求证:无论m取何值,原方程总有两个不相等的实数根.[2012²绵阳]已知关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0.(1)求证:方程恒有两个不相等的实数根;(2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求出以此两根为边长的直角三角形的周长.二确定一元二次方程中字母系数的值关于x的一元二次方程x2+(m-2)x+m+1=0有两个相等的实数根,则m的值是( )A.0B.8C.4±D.0或8[2012²广州]已知关于x的一元二次方程x2-2x-k=0有两个相等的实数根,则k的值为 .已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0(a≠0)有两个相等的实数根,求的值.三确定一元二次方程中字母系数的取值范围[2013²宜宾]若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )A.k<1B. k>1C.k=1D. k≥0已知a,b,c分别是△ABC的三条边,其中a=1,c=4,且关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状.如果关于x的方程mx2-2(m+2)x+m+5=0没有实数根,试判断关于x的方程(m-5)x2-2(m-1)x+m=0的根的情况.答案解析教材回归(一) 根的判别式的应用解:x2-5x+6-p2=0,Δ=(-5)2-4×1×(6-p2)=25-24+4p2=4p2+1>0,所以方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根.AC证明:Δ=(m+3)2-4(m+1)=(m+1)2+4.∵无论m取何值时,(m+1)2+4的值恒大于0,∴原方程总有两个不相等的实数根.【解析】(1)根据关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0的根的判别式的符号来证明结论;(2)根据一元二次方程的解的定义求得m的值,然后把m的值代入原方程求得方程的另一根.分类讨论:①当该直角三角形的两直角边是1,3时,由勾股定理得斜边的长度为;②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1,3时,由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2;再根据三角形的周长公式进行计算.解:(1)∵b2-4ac=[-(m+2)]2-4×1×(2m-1)=m2-4m+8=(m-2)2+4>0,∴方程恒有两个不相等的实数根;(2)把x=1代入方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0中,解得m=2,∴原方程为x2-4x+3=0,解这个方程得x1=1,x2=3,∴方程的另一个根为x=3.①当1,3为直角边长时,斜边长为=,∴直角三角形的周长为1+3+=4+.②当3为斜边长时,另一条直角边长为=2,∴直角三角形的周长为1+3+2=4+2.D【解析】依题意得Δ=(m-2)2-4(m+1)=0,∴m1=0,m2=8.-3【解析】∵关于x的一元二次方程x2-2x-k=0有两个相等的实数根,∴Δ=0,即(-2)2-4×(-k)=12+4k=0,解得k=-3.【解析】由于这个方程有两个相等的实数根,因此Δ=b2-4a=0,可得出a、b之间的关系式,然后将化简后,将a、b之间的关系式代入即可求出这个分式的值.解:∵ax2+bx+1=0(a≠0)有两个相等的实数根,∴Δ=b2-4ac=0,即b2-4a=0.∴=====4.A解:∵关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根,∴Δ=(-4)2-4b=0,∴b=4.∵c=4,∴b=c,∴△ABC是等腰三角形.解:∵方程mx2-2(m+2)x+m+5=0没有实数根,∴m≠0,原方程是关于x的一元二次方程,∴Δ=[-2(m+2)]2-4m(m+5)=4(m2+4m+4-m2-5m)=4(4-m)<0,∴m>4.对于方程(m-5)x2-2(m-1)x+m=0,当m=5时,方程有一个实数根;当m≠5时,Δ=[-2(m-1)]2-4m(m-5)=4(3m+1).∵m>4,∴3m+1>13,∴Δ=4(3m+1)>0,方程有两个不相等的实数根,∴当m=5时,方程(m-5)x2-2(m-1)x+m=0有一个实数根;当m>4且m≠5时,此方程有两个不相等的实数根.21.2.3 因式分解法1.方程(x+1)2=x+1的解是( )=0,x2=-1 C.x1=0,x2=-2 D.x1=1,x2=-1A.x=-1B.x1,x2(x1<x2),则x2-x1= .2.若方程x2-x=0的两根为x13.关于x的方程mx2+mx+1=0有两个相等的实数根,那么m= .4.用因式分解法解下列方程:(1)(x-1)2-2(x-1)=0; (2)9x2-4=0; (3)(3x-1)2-4=0; (4)5x(x-3)=(x-3)(x+1).5.[2012²巴中]解方程:2=3x(用不同的方法解方程).6.已知△ABC的两边长分别为2和3,第三边长是方程(x2-2x)-5(x-2)=0的根,求△ABC的周长.7.已知一直角三角形的三边长为三个连续偶数,试求这个直角三角形的三边长及面积.8.[2013²乐山]已知一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0 .(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根,第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时,求k的值.21.2.3 因式分解法1. B 2、1 3、4【解析】 因为方程有两个相等的实数根,所以m 2-4m =0,所以m 1=0,m 2=4.又m ≠0,所以m =4. 4. 解:(1)x 1=3,x 2=1;(2)x 1=-,x 2=;(3)x 1=-,x 2=1;(4)x 1=3,x 2=. 5. 【解析】 可用因式分解法或公式法. 解:解法一(因式分解法):(x -3)(2-3x )=0, x -3=0或2-3x =0, 所以x 1=3,x 2=.解法二(公式法):2x -6=3x 2-9x ,3x 2-11x +6=0,a=3,b =-11,c =6,b 2-4ac =121-72=49,x =,∴x 1=3,x 2=.6.解: 原方程可化为x (x -2)-5(x -2)=0,∴(x -5)(x-2)=0,∴x 1=5,x 2=2.∵三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,∴第三边的长x 的取值范围是1<x <5,∴x =2, ∴△ABC 的周长为2+3+2=7.7. 解:设三角形的三边长为n -2,n,n +2,则由勾股定理,得(n -2)2+n 2=(n +2)2,整理得n 2-8n =0,解得n =0(舍去)或n =8. 当n =8时,n -2=6,n +2=10, 三角形的面积为×6×8=24. 答:这个直角三角形的三边长分别为6,8,10,面积为24.8. 解:(1)证明:∵一元二次方程为x 2-(2k +1)x +k 2+k =0,Δ=[-(2k +1)]2-4 (k 2+k )=1>0, ∴此方程有两个不相等的实数根.(2)∵△ABC 的两边AB 、AC 的长是这个方程的两个实数根,由(1)知,AB ≠AC ,△ABC 第三边BC 的长为5,且△ABC 是等腰三角形,∴必然有AB=5或AC=5,即x =5是原方程的一个解.将x=5代入方程x 2-(2k +1)x+k 2+k =0,25-5(2k +1)+k 2+k =0,解得k =4或k =5.当k =4时,原方程为x 2-9x +20=0,解得x 1=5,x 2=4.以5,5,4为边长能构成等腰三角形; 当k =5时,原方程为x 2-11x+30=0,解得x 1=5,x 2=6.以5,5,6为边长能构成等腰三角形. ∴k 的值为4或5.*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1.已知方程3x 2-5x -7=0的两根为x 1,x 2,则下列各式中正确的是( ) A.x 1+x 2=5,x 1x 2=7 B.x 1+x 2=-5,x 1x 2=-7 C .x 1+x 2=,x 1x 2=- D.x 1+x 2=-,x 1x 2=-2.[2013²包头]已知方程x 2-2x -1=0,则此方程( )A.无实数根B.两根之和为-2C.两根之积为-1D.有一根为-1+3.[2012²攀枝花]已知一元二次方程x 2-3x -1=0的两个根分别是x 1,x 2,则x 2+x 1的值为( ) A.-3 B.3 C.-6 D.64.已知方程x 2-5x +2=0的两个解分别为x 1,x 2,则x 1+x 2-x 1x 2的值为( ) A.-7 B.-3C.7D.35.若x 1,x 2是方程x 2+x -1=0的两个根,则+= .6.[2012²张家界]已知m 和n 是方程2x 2-5x -3=0的两根,则+= .7.已知x 1,x 2是方程x 2+6x +3=0的两实数根,试求下列代数式的值:(1)+; (2)+; (3)(x 1+1)(x 2+1).8.已知2-是关于x 的一元二次方程x 2-4x+c=0的一个根,求方程的另一个根.9.[2013²泸州]设x1、x2是方程x2+3x-3=0的两个实数根,则+的值为( )A.5B.-5C.1D.-110.关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根分别是x1,x2,且+=7,则(x1-x2)2的值是( )A.1B.12C.13D.2511.设a,b是方程x2+x-2 012=0的两个实数根,则a2+2a+b的值为( )A.2 009B.2 010C.2 011D.2 01212.[2012²莱芜]已知m,n是方程x2+2x+1=0的两根,则代数式的值为( )A.9B.4C.3D.513.[2012²南充]关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2.(1)求m的取值范围;(2)若2(x1+x2)+x1x2+10=0,求m的值.14.[2013²荆州]已知关于x的方程kx2-(3k-1)x+2(k-1)=0.(1)求证:无论k为何实数,方程总有实数根;(2)若此方程有两个实数根x1,x2,且│x1-x2│=2,求k的值.答案解析*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1.C2.C3.A【解析】∵一元二次方程x2-3x-1=0的两个根分别是x1,x2,∴x1+x2=3,x1x2=-1,∴x2+x 1=x1x2(x1+x2)=-1×3=-3.4.D【解析】由根与系数的关系得x1+x2=5,x1x2=2,所以x1+x2-x1x2=5-2=3.5.3【解析】由根与系数的关系得x1+x2=-1,x1x2=-1,所以+=(x1+x2)2-2x1x2=(-1)2-2×(-1)=3.6. -【解析】∵m和n是方程2x2-5x-3=0的两根,∴m+n=-=,mn =-,∴+===-.7. 解:由根与系数的关系得x1+x2=-6,x1x2=3.(1)+=(x1+x2)2-2x1x2=(-6)2-2×3=36-6=30; (2)+===10;(3)(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=3-6+1=-2.8. 解:设方程的另一个根为x1,由x1+2-=4,得x1=2+.9.B10.C【解析】由根与系数的关系知:x1+x2=m,x1x2=2m-1,∴+=(x1+x2)2-2x1x2=m2-2(2m-1)=m2-4m+2,∴m2-4m+2=7,∴m2-4m-5=0,解得m=5或m=-1.当m=5时,原方程为x2-5x+9=0,Δ=(-5)2-4×1×9=25-36=-11<0,此时方程无实根. 当m=-1时,原方程为x2+x-3=0,方程有实根, ∴当m=-1时,x1+x2=-1,x1x2=-3,∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-1)2-4×(-3)=1+12=13,故选C.11.C【解析】∵a是方程x2+x-2 012=0的根,∴a2+a-2 012=0,∴a2+a=2 012.又由根与系数的关系得a+b=-1,∴a2+2a+b=a2+a+(a+b)=2 012-1=2 011,故选C.12.C13. 解:(1)∵原方程有两个实数根,∴Δ=9-4(m-1)≥0,解得m ≤.(2)由根与系数的关系,得x1+x2=-3,x1x2=m-1,∴2×(-3)+(m-1)+10=0,解得m=-3,符合题意.14. 解:(1)证明:当k=0时,x=2,方程有实数根, 当k≠0时,Δ=[-(3k-1)]2-4k·2(k-1)=k2+2k+1=(k+1)2≥0综上所述无论k为何实数,方程总有实数根; (2)由题意得k≠0,由根与系数关系,得x1+x2=,x1x2=.∵│x1-x2│=2,∴(x1-x2)2=4,即(x1+x2)2-4x1x2=4,故-=4,整理,得3k2-2k-1=0.解得k1=1,k2=-.经检验,k1=1,k2=-都是原分式方程的解,∴k1=1,k2=-.21.3 实际问题与一元二次方程第1课时变化率问题与一元二次方程1.[2013²黔西南]某机械厂七月份生产零件50万个,第三季度生产零件196万个.设该厂八、九月份平均每月的增长率为x,那么x满足的方程是( )A.50(1+x)2=196B.50+50(1+x)2=196C.50+50(1+x)+50(1+x)2=196D.50+50(1+x)+50(1+2x)=1962.在一个QQ群里有n个网友在线,每个网友都向其他网友发出一条信息,共有20条信息,则n为( )A.10B.6C.5D.43.某种植物主干长出若干数目的分支,每个分支长出相同数目的小分支,主干、分支、小分支的总数为241,求每个分支长出多少个小分支?若设主干有x个分支,依题意列方程正确的是( )A.1+x+x(x+1)=241B.1+x+x2=241C.1+(x+1)+(x+1)2=241D.1+(x+1)+x2=2414.[2013²哈尔滨]某商品经过连续两次降价,销售单价由原来的125元降到80元,则平均每次降价的百分率为.5.某人将2 000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1 000元用作购物,剩下的1 000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后得本金和利息共1 320元(均不计利息税),设这种存款方式的年利率为x,则可列方程为.6.有一人患了流感,经过两轮传染后共有64人患了流感.(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人?(2)如果不及时控制,第三轮将又有多少人被传染?7.[2012²乐山]菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售,由于部分菜农盲目扩大种植,造成该蔬菜滞销.李伟为了加快销售,减少损失,对价格经过两次下调后,以每千克3.2元的单价对外批发销售.(1)求平均每次下调的百分率;(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜,因数量多,李伟决定再给予两种优惠方案以供选择:方案一:打九折销售;方案二:不打折,每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠,请说明理由.8.[2013²绵阳]“低碳生活,绿色出行”,自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加,据统计,该商城1月份销售自行车64辆,3月份销售了100辆.(1)若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同,问该商城4月份卖出多少辆自行车?(2)考虑到自行车需求不断增加,该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车,已知A型车的进价为500元/辆,售价为700元/辆,B型车的进价为1 000元/辆,售价为1 300元/辆.根据销售经验,A型车不少于B型车的2倍,但不超过B型车的2.8倍.假设所进车辆全部售完,为使利润最大,该商城应如何进货?答案解析第1课时变化率问题与一元二次方程1. C2. C【解析】依题意,得n(n-1)=20,解得n=5或n=-4(舍去).3. B【解析】植物有1个主干,1个主干有x个分支,x个分支有x2个小分支,依据题意,得1+x+x2=241.4.20%5.[2 000(1+x)-1 000](1+x)=1 3206.解:(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人,由题意,得1+x+x(1+x)=64.解得x1=7,x2=-9(不合题意,舍去) .答:每轮传染中平均一个人传染了7个人.(2)7×64=448.答:将又有448人被传染.7. 解:(1)设平均每次下调的百分率为x.由题意,得5(1-x)2=3.2,解这个方程,得x1=0.2,x2=1.8.因为降价的百分率不可能大于1,所以x2=1.8不符合题意,符合题目要求的是x1=0.2=20%.答:平均每次下调的百分率是20%.(2)小华选择方案一购买更优惠.理由:方案一所需费用为3.2×0.9×5 000=14 400(元),方案二所需费用为3.2×5 000-200×5=15 000(元).∵14 400元<15 000元,∴小华选择方案一购买更优惠.8.解:(1)设自行车销量的月平均增长率为x,根据题意得:64(1+x)2=100,解得x=0.25=25%或x=-2.25(不合题意)四月份的销量为100×(1+25%)=125(辆),答:四月份的销量为125辆.(2)设购进A型车x辆,根据题意得:2×≤x≤2.8×,解得30≤x≤35,∵A型车的利润率大于B型车的利润率,∴当A型车进货量最大时有最大利润.当购进A型车35辆,应购进B型车=12.5辆,不符合实际; 当购进A型车34辆,应购进B型车=13辆,∴应购进A型车34辆,B型车13辆.第2课时几何图形与一元二次方程1.如图21-3-3,在一条长90 m,宽60 m的矩形草地上修三条小路,小路都等宽,除小路外,草地面积为5 192 m2的6个矩形小块,则小路的宽度应为( )A.1 m或104 mB.1 mC.2 mD.1.5 m图21-3-32.[2013²南京]已知如图21-3-4所示的图形的面积为24,根据图中的条件,可列出方程:.图21-3-43.在一个正方形的铁板正中间,割去一块小正方形铁板后剩余部分面积为32 cm2,并且已知小正方形的边长为大正方形边长的,则大正方形铁板的边长为cm.4.近期随着国家抑制房价新政策的出台,某楼盘房价连续两次下跌,由原来的每平方米10 000元降至每平方米8 100元,设每次降价的百分率相同,则降价百分率为.5.[2013²连云港]小林准备进行如下操作实验:把一根长为40 cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形.(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2,小林该怎么剪?(2)小峰对小林说:“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2”,他的说法对吗?请说明理由.6.[2012²绍兴改编]把一张边长为40 cm的正方形硬纸板进行适当地裁剪,折成一个长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).图21-3-5(1)如图21-3-5,若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形,将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子.要使折成的长方体盒子的底面积为484 cm2,那么剪掉的正方形的边长为多少?(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上),将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子.若折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm2,求此时长方体盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况).答案解析第2课时几何图形与一元二次方程1. B【解析】如答图,将三条小路分别平移到矩形ABCD的最左边和最下边,则剩余部分EFGD也是一个矩形,它的面积=草地的面积.设小路的宽度为x米,则DE为(90-2x) m,DG为(60-x) m.依题意,得(90-2x)(60-x)=5 192,整理,得x2-105x+104=0,解得x1=1,x2=104(不合题意,舍去).故小路的宽度为1 m. 故选B.第1题答图2.答案不唯一,如(x+1)2=253. 64.10%5.解:(1)设其中一个正方形的边长为x cm ,则另一个正方形的边长为(10-x) cm.由题意得x2+(10-x)2=58,解得x1=3,x2=7.4×3=12,4×7=28.所以小林应把铁丝剪成 12 cm 和 28 cm 的两段.(2)小峰的说法对.理由:假设能围成两个正方形,使它们的面积和为48.由(1)得, x2+(10-x)2=48 .化简得x2 -10x+26=0 .因为b2-4ac=(-10)2-4 ×1×26 =- 4 < 0 ,所以此方程没有实数根.所以小峰的说法是对的.6.解:(1)设剪掉的正方形的边长为x cm,则(40-2x)2=484,即40-2x=±22,解得x1=31(不合题意,舍去),x2=9,∴剪掉的正方形的边长为9 cm.(2)如答图所示的一种裁剪方法,设剪掉的正方形的边长为x cm,2(40-2x)(20-x)+2x(20-x)+2x(40-2x)=550,解得x1=-35(不合题意,舍去),x2=15,∴剪掉的正方形的边长为15 cm,此时长方体盒子的长为15 cm,宽为10 cm,高为5 cm.第6题答图本章复习课类型之一一元二次方程的有关概念1.把方程2x(x+5)=10化为一般形式后,二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )A.2、5、10B.2、5、-10C.2、1、5D.2、10、-102.方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则( )A.m=±2B.m=2C.m=-2D.m≠±23.[2013²荆门]设x,x2是方程x2-x-2 013=0的两实数根,则+2 014x2-2 013= .14.已知是关于x的方程x2-x+a=0的一个根,求a-2-的值.类型之二一元二次方程的解法5.用括号中的方法解下列方程:(1)5(x+1)2=(直接开平方法);(2)9(x-2)2=4(x+1)2(因式分解法);(3)4x2+5=12x(配方法);(4)2x2-3x-1=0(公式法).6.[2013²南充]关于x的一元二次方程为(m-1)x2-2mx+m+1=0(1)求出方程的根;(2)m为何整数时,此方程的两个根都为正整数?类型之三一元二次方程根的判别式7.[2013²泸州]若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是( )A.k>-1B.k<1且k≠0C.k≥-1且k≠0D.k>-1且k≠08.[2013²咸宁]关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+3=0有实数根,则整数a的最大值( )A.2B.1C.0D.-19.关于x的一元二次方程x2-(2a-3)x+a-2=0根的情况是( )A.有两个相等的实数根B.没有实数根C.有两个不相等的实数根D.根的情况无法确定10.[2013²郴州]已知关于x的一元二次方程x2+bx+b=0有两个相等的实数根,则b的值是.11.[2012²雅安]若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0无实数解,则m的取值范围是.类型之四一元二次方程根与系数的关系12.[2013²内蒙]已知α、β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,且满足+=-1,则m 的值是( )A. 3B. 1C. 3 或-1D.-3 或 113.[2013²眉山]已知关于x的一元二次方程x2-x-3=0的两个实数根分别为α、β,则(α+3)(β+3)= .14.[2013²孝感]已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1,x2.(1)求实数k的取值范围.(2)是否存在实数k使得x1²x2--≥0成立?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.类型之五一元二次方程的应用15.[2012²广东]据媒体报道,我国2009年公民出境旅游总人数约5 000万人次,2011年公民出境旅游总人数约7 200万人次.若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增,请解答下列问题:(1)求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率;(2)如果2012年仍保持相同的年平均增长率,请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次?类型之六一元二次方程的创新应用16.[2013²临沂]对于实数a,b,定义运算“*”:a*b=例如:4*2,因为4>2,所以4*2=42-4³2=8.若x1,x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根,则x1*x2= .17.[2013²绵阳]已知整数k<5,若△ABC的边长均满足关于x的方程x2-3x+8=0,则△ABC的周长是 .答案解析本章复习课1.D2.B【解析】由一元二次方程的定义知即∴m=2.3.2 0144.解:∵是方程x2-x+a=0的根,∴()2-+a=0,∴a=-2.原式=a-2-。
一元二次方程计算练习 (含答案)
一元二次方程计算练习1．解方程：（1）x2＝4x（因式分解法）；（2）2x2﹣4x﹣3＝0（公式法）．2．解下列方程：（1）x2﹣2x＝0；（2）x2﹣3x﹣4＝0．3．解方程：①x2﹣8x+12＝0；②x2﹣2x﹣8＝0．4．用适当的方法解下列方程：（1）x2﹣10x+16＝0；（2）2x（x﹣1）＝x﹣1．5．选用适当的方法解下列方程．（1）x2﹣4x﹣3＝0（2）5x（x+1）＝2（x+1）6．解方程（1）（x+1）2﹣25＝0（2）x2﹣4x﹣2＝07．（1）（x﹣1）2＝2（x﹣1）（2）2x2﹣5x﹣2＝08．解方程（1）x2﹣4x﹣4＝0（2）2（x+5）2＝x（x+5）9．解方程：（1）x2﹣6x﹣7＝0（2）（x+2）（x+3）＝110．解下列方程：（1）3x2﹣2x﹣1＝0（2）（x﹣1）2﹣16＝0 11．解方程：（1）2x2﹣16＝0；（2）2x2﹣3x﹣1＝0．12．解方程（1）（2x+3）2﹣81＝0；（2）y2﹣7y+6＝0．13．用合适的方法解下列方程．（1）x2﹣x﹣1＝0（2）2（x﹣1）2＝1﹣x．14．解方程：2x2+4x﹣3＝0．15．解方程：（1）x2+10x+9＝0（2）x2﹣x﹣＝0（3）3x2+6x﹣4＝0（4）4x2﹣6x﹣3＝0（5）x2+4x﹣9＝2x﹣11（6）x（x+4）＝8x+12．参考答案与试题解析1．解方程：（1）x2＝4x（因式分解法）；（2）2x2﹣4x﹣3＝0（公式法）．【分析】（1）根据因式分解的方法解方程即可；（2）根据公式法解方程即可．【解答】（1）x2＝4x，解：x2﹣4x＝0，x（x﹣4）＝0，∴x1＝0，x2＝4；（2）2x2﹣4x﹣3＝0，解：a＝2，b＝﹣4，c＝﹣3，代入求根公式，得：，∴，．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法、公式法，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．2．解下列方程：（1）x2﹣2x＝0；（2）x2﹣3x﹣4＝0．【分析】（1）利用因式分解法把方程化为x＝0或x﹣2＝0，然后解一次方程即可；（2）利用因式分解法把方程化为x﹣4＝0或x+1＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：（1）x（x﹣2）＝0，x＝0或x﹣2＝0，所以x1＝0，x2＝2；（2）（x﹣4）（x+1）＝0，x﹣4＝0或x+1＝0，所以x1＝4，x2＝﹣1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法解方程．3．解方程：①x2﹣8x+12＝0；②x2﹣2x﹣8＝0．【分析】利用因式分解法求解可得．【解答】解：①∵x2﹣8x+12＝0，∴（x﹣2）（x﹣6）＝0，则x﹣2＝0或x﹣6＝0，解得x＝2或x＝6；②∵x2﹣2x﹣8＝0，∴（x+2）（x﹣4）＝0，则x+2＝0或x﹣4＝0，解得x＝﹣2或x＝4．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．4．用适当的方法解下列方程：（1）x2﹣10x+16＝0；（2）2x（x﹣1）＝x﹣1．【分析】（1）根据因式分解法节即可求出答案．（2）根据因式分解法即可求出答案．【解答】解：（1）∵x2﹣10x+16＝0，∴（x﹣2）（x﹣8）＝0，∴x＝2或x＝8．（2）∵2x（x﹣1）＝x﹣1，∴（x﹣1）（2x﹣1）＝0，∴x＝1或x＝．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．5．选用适当的方法解下列方程．（1）x2﹣4x﹣3＝0（2）5x（x+1）＝2（x+1）【分析】（1）根据配方法即可求出答案．（2）根据因式分解法即可求出答案．【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣3＝0，∴x2﹣4x+4＝7，∴（x﹣2）2＝7，∴x1＝2+，x2＝2﹣．（2）∵5x（x+1）＝2（x+1），∴（5x﹣2）（x+1）＝0，∴x1＝，x2＝﹣1．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．6．解方程（1）（x+1）2﹣25＝0（2）x2﹣4x﹣2＝0【分析】（1）利用直接开平方法解出方程；（2）先求出一元二次方程的判别式，再解出方程．【解答】解：（1）（x+1）2﹣25＝0，（x+1）2＝25，x+1＝±5，x＝±5﹣1，x1＝4，x2＝﹣6；（2）x2﹣4x﹣2＝0，∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24＞0，∴x＝＝2±，即x1＝2+，x2＝2﹣．【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．7．（1）（x﹣1）2＝2（x﹣1）（2）2x2﹣5x﹣2＝0【分析】（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案．（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】解：（1）∵（x﹣1）2＝2（x﹣1），∴（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0，∴（x﹣1）（x﹣1﹣2）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣1﹣2＝0，∴x1＝1，x2＝3．（2）∵2x2﹣5x﹣2＝0，∴a＝2，b＝﹣5，c＝﹣2，∴△＝25﹣4×2×（﹣2）＝41＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．8．解方程（1）x2﹣4x﹣4＝0（2）2（x+5）2＝x（x+5）【分析】（1）根据配方法即可解方程；（2）根据因式分解法解方程即可．【解答】解：（1）x2﹣4x+4＝8（x﹣2）2＝8x﹣2＝∴x1＝2+2，x2＝2﹣2；（2）2（x+5）2﹣x（x+5）＝0（x+5）（2x+10﹣x）＝0x+5＝0或x+10＝0∴x1＝﹣5，x2＝﹣10．【点评】本题考查了因式分解法和配方法解一元二次方程，解决本题的关键是掌握因式分解法和配方法．9．解方程：（1）x2﹣6x﹣7＝0（2）（x+2）（x+3）＝1【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程．【解答】解：（1）（x﹣7）（x+1）＝0，x﹣7＝0或x+1＝0，所以x1＝7，x2＝﹣1；（2）x2+5x+5＝0，△＝52﹣4×5＝5，x＝，所以x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．10．解下列方程：（1）3x2﹣2x﹣1＝0（2）（x﹣1）2﹣16＝0【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】解：（1）∵3x2﹣2x﹣1＝0，∴（x﹣1）（3x+1）＝0，∴x＝1或x＝；（2）∵（x﹣1）2﹣16＝0，∴（x﹣1）2＝16，∴x﹣1＝±4，∴x＝5或x＝﹣3【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．11．解方程：（1）2x2﹣16＝0；（2）2x2﹣3x﹣1＝0．【分析】（1）根据直接开方法即可求出答案；（2）根据公式法即可求出答案．【解答】解：（1）∵2x2﹣16＝0，∴x2＝8，∴x＝±2，∴x1＝﹣2，x2＝2．（2）∵2x2﹣3x﹣1＝0，∴a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，∴△＝9﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．12．解方程（1）（2x+3）2﹣81＝0；（2）y2﹣7y+6＝0．【分析】（1）先变形为（2x+3）2＝81，然后利用直接开平方法解方程；（2）利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）（2x+3）2＝81，2x+3＝±9，所以x1＝3，x2＝﹣6；（2）（y﹣1）（y﹣6）＝0，y﹣1＝0或y﹣6＝0，所以y1＝1，y2＝6．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了直接开平方法解一元二次方程．13．用合适的方法解下列方程．（1）x2﹣x﹣1＝0（2）2（x﹣1）2＝1﹣x．【分析】（1）直接利用公式法解方程得出答案；（2）直接利用提取公因式法分解因式进而解方程得出答案．【解答】解：（1）x2﹣x﹣1＝0Δ＝b2﹣4ac＝1+4＝5＞0，则x＝，故x1＝，x2＝；（2）2（x﹣1）2＝1﹣x2（1﹣x）2＝1﹣x，则2（1﹣x）2﹣（1﹣x）＝0，故（1﹣x）[2（1﹣x）﹣1]＝0，解得：x1＝1，x2＝．【点评】此题主要考查了公式法以及因式分解法解方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键．14．解方程：2x2+4x﹣3＝0．【分析】先计算判别式的值，然后根据求根公式解方程．【解答】解：△＝42﹣4×2×（﹣3）＝40＞0，x＝＝，所以x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．15．解方程：（1）x2+10x+9＝0（2）x2﹣x﹣＝0（3）3x2+6x﹣4＝0（4）4x2﹣6x﹣3＝0（5）x2+4x﹣9＝2x﹣11（6）x（x+4）＝8x+12．【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可；（3）求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可；（4）求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可；（5）求出b2﹣4ac的值，即可得出答案；（6）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）x2+10x+9＝0，（x+1）（x+9）＝0，x+1＝0，x+9＝0，x1＝﹣1，x2＝﹣9；（2）x2﹣x﹣＝0，b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣）＝8，x＝，x1＝，x2＝；（3）3x2+6x﹣4＝0，b2﹣4ac＝62﹣4×3×（﹣4）＝84，x＝，x1＝，x2＝；（4）4x2﹣6x﹣3＝0，b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×4×（﹣3）＝84，x＝，x1＝，x2＝；（5）x2+4x﹣9＝2x﹣11，x2+2x+2＝0，b2﹣4ac＝22﹣4×1×2＜0，此方程无解；（6）x（x+4）＝8x+12，整理得：x2﹣4x﹣12＝0，（x﹣6）（x+2）＝0，x﹣6＝0，x+2＝0，x1＝6，x2＝﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，难度适中．。
一元二次方程练习题及答案
一元二次方程练习题及答案一、选择题（每小题3分，共30分）1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A。
3，2,1 B. C. D.2。
用配方法解一元二次方程x2-4x=5时，此方程可变形为（）A。
（x+2）2＝1 B。
(x-2)2＝1C。
（x+2)2=9 D。
（x-2）2＝93。
若为方程的解，则的值为（）A.12 B。
6 C.9 D.164.若的值为（）A。
0 B。
—6 C。
6 D.以上都不对5。
某品牌服装原价为173元，连续两次降价后售价为127元，下面所列方程中正确的是（）A。
B.C.D。
6.根据下列表格对应值：判断关于的方程的一个解的范围是( ）A。
＜3.24 B.3。
24＜＜3。
25C.3.25＜＜3。
26 D。
3。
25＜＜3。
287。
以3，4为两边的三角形的第三边长是方程的根，则这个三角形的周长为( ）A。
15或12 B。
12 C。
15 D.以上都不对8。
已知是方程的两个根,则的值为（）A. B.2 C. D.9.关于x的方程的根的情况描述正确的是（)A.k为任何实数，方程都没有实数根B。
k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C.k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D.根据k的取值不同,方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种10。
某城市为了申办冬运会，决定改善城市容貌,绿化环境，计划用两年时间，使绿地面积增加44％,这两年平均每年绿地面积的增长率是（）A。
19％B。
20% C。
21％ D.22%二、填空题(每小题3分，共24分）11。
(2013·山东临沂中考）对于实数a，b，定义运算“*”:例如:4＊2,因为4＞2，所以4＊2=42—4×2=8.若x1,x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，则x1＊x2= 。
12.(2013·山东聊城中考）若x1=－1是关于x的方程x2+mx－5=0的一个根，则此方程的另一个根x2= .13。
一元二次方程100道计算题练习(附答案)
一元二次方程100道计算题练习1、)4(5)4(2+=+x x 2、xx 4)1(2=+3、22)21()3(x x -=+4、31022=-x x 5、（x+5）2=166、2（2x －1）－x （1－2x ）=07、x 2=648、5x 2-52=09、8（3-x ）2–72=010、3x(x+2)=5(x+2)11、（1－3y ）2+2（3y －1）=012、x 2+2x +3=013、x 2+6x －5=014、x 2－4x+3=015、x 2－2x －1=016、2x 2+3x+1=017、3x 2+2x －1=018、5x 2－3x+2=019、7x 2－4x －3=020、-x 2-x+12=021、x 2－6x+9=022、22(32)(23)x x -=-23、x 2-2x-4=024、x 2-3=4x25、3x 2＋8x －3＝0（配方法）26、(3x ＋2)(x ＋3)＝x ＋1427、(x+1)(x+8)=-1228、2(x －3)2＝x 2－929、－3x 2＋22x －24＝030、（2x-1）2+3（2x-1）+2=031、2x 2－9x ＋8＝032、3（x-5）2=x(5-x)33、(x ＋2)2＝8x34、(x －2)2＝(2x ＋3)235、2720x x +=36、24410t t -+=37、()()24330x x x -+-=38、2631350x x -+=39、()2231210x --=40、2223650x x -+=补充练习：一、利用因式分解法解下列方程(x －2)2＝(2x-3)242=-x x 3(1)33x x x +=+x 2()()0165852=+---x x 二、利用开平方法解下列方程51)12(212=-y 4（x-3）2=2524)23(2=+x三、利用配方法解下列方程25220x x -+=012632=--x x 01072=+-x x 四、利用公式法解下列方程－3x 2＋22x －24＝02x （x －3）=x －3．3x 2+5(2x+1)=0五、选用适当的方法解下列方程(x ＋1)2－3(x ＋1)＋2＝022(21)9(3)x x +=-2230x x --=21302x x ++=4)2)(1(13)1(+-=-+x x x x 2)2)(113(=--x x x （x ＋1）－5x ＝0.3x (x －3)＝2(x －1)(x ＋1).应用题：1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，市场每天可多售2件，若商场平均每天盈利1250元，每件衬衫应降价多少元？2、两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多4cm，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少32平方厘米，求大小两个正方形的边长.3、如图，有一块梯形铁板ABCD，AB∥CD，∠A=90°，AB=6m，CD=4m，AD=2m，现在梯形中裁出一内接矩形铁板AEFG，使E在AB上，F在BC上，G在AD上，若矩形铁板的面积为5m2，则矩形的一边EF长为多少？4、如右图，某小在长32米，区规划宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路，使其中两条与AD平行，一条与AB平行，其余部分种草，若使草坪的面积为566米2，问小路应为多宽？5、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，商店想在月销售成本不超过1万元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？6.某工厂1998年初投资100万元生产某种新产品，1998年底将获得的利润与年初的投资的和作为1999年初的投资，到1999年底，两年共获利润56万元，已知1999年的年获利率比1998年的年获利率多10个百分点，求1998年和1999年的年获利率各是多少？思考：1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为。
一元二次方程章节测试及单元测试试卷五套
22.1一元二次方程一、认认真真，书写快乐1．把方程2(21)(1)(1)x x x x +-=+-化成一般形式是 ．2．一元二次方程226x x -=的二次项系数、一次项系数及常数之和为 ． 3．已知1x ≠-是方程260x ax -+=的一个根，则a = ．4．关于x 的方程2(1)230m x mx ++-=是一元二次方程，则m 的取值范围是 ． 5．已知236x x ++的值为9，则代数式2392x x +-的值为 ． 二、仔仔细细，记录自信6．下列关于x 的方程：①20ax bx c ++=；②2430x x+-=；③2540x x -+=；④23x x =中，一元二次方程的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个7．若2530ax x -+=是关于x 的一元二次方程，则不等式360a +>的解集是（ ） A ．2a >-B ．2a <-C ．2a >-且0a ≠D ．12a >8．关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ） A ．1B ．1-C ．1或1-D ．129．已知2是关于x 的方程23202x a -=的一个解，则21a -的值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6三、拓广探索，游刃有余10．如右图所示，相框长为10cm ，宽为6cm ，内有宽度相同的边缘木板，里面用来夹相片的面积为32cm 2，则相框的边缘宽为多少厘米？我们可以这样来解：（1）若设相框的边缘宽为cm x ，可得方程 （一般形式）； （2）分析并确定x 的取值范围； （3（4参考答案：一、1．23320x x ++= 2．5- 3．7- 4．1m ≠-5．7二、6．A7．C8．B9．C三、10．（1）2870x x -+=；（2）03x <<；（3）7，0，5-，8-；（4）1cm ．22．1 一元二次方程一、双基整合: 1．方程（x+3）（x+4）=5，化成一般形式是________．2．若方程kx 2+x=3x 2+1是一元二次方程，则k 的取值范围是_________． 3．若关于的方程x 2-3x+k=0有一个根是1，则它的另一个根是________． 4．已知方程x 2-x-m=0有整数根，则整数m=________．（填上一个你认为正确的答案） 5．根据题意列出方程：有一面积为54m 2（设正方形的边长为m ）的长方形，将它的一边剪短5m ，另一边剪短2m ，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？设正方形的边长为xm ，请列出你求解的方程__________．6．如果两个连续奇数的和是323，求这两个数，如果设其中一个奇数为x ，•你能列出求解x 的方程吗？______________．7．如图，在宽为20m ，长30m 的矩形场地上，修筑同样宽的两条道路，余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为500m 2，若设路宽为xm ，则可列方程为：_________． 8．下列各方程中一定是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．3x 2=4x+mB ．ax 2-8=0C ．x+y 2=0D ．5xy-x+6=09．如果关于x 的方程（m-3）27mx -x+3=0是关于x 的一元二次方程，那么m 的值为（ ）A ．±3B ．3C ．-3D ．都不对10．以-2为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2+2x-x=0B ．x 2-x-2=0C ．x 2+x+2=0D ．x 2+x-2=0 11．若ax 2-5x+3=0是一元二次方程，则不等式3a+6>0的解集是（ ） A ．a>-2 B ．a<-2 C ．a>-2且a≠0 D ．a>1212．生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，•全组共互赠了182件，如果全组有x 名同学，则根据题意列出的方程是（ ） A ．x （x+1）=182 B ．x （x-1）=182 C ．2x （x+1）=182 D ．x （x-1）=182×213．已知关于x 的方程（2k+1）x 2-4kx+（k-1）=0，问：（1）k 为何值时，此方程是一元二次方程？求出这个一元一次方程的根；（2）k 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．14．根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，•且个位上数字与十位上数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数．二、拓广探索:15．先从括号内①②③④备选项中选出合适的一项，填在横线上，•将题目补充完整后再解答．如果a 是关于x 的方程x 2+bx+a=0的根，且a≠0，求________的值． ①ab ②ba③a+b ④a-b 16．如果方程ax 2+bx+c=0（a≠0），a-b+c=0，那么方程必有一个解是________．17．在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，•制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是（ ） A ．x 2+130x-1400=0 B ．x 2+65x-350=0C ．x 2+130x-1400=0D ．x 2-65x-350=0 18．若x 2a+b -3x a-b +1=0是关于x的一元二次方程，求a 、b 的值，下面是两位学生的解法：•甲：根据题意得2a+b=2，a-b=1解方程组得a=1，b=0．乙：由题意得2a+b=2，a-b=1•或2a+b=1，a-b=2解方程组得a=1，b=0或a=1，b=-1．你认为上述两位同学的解法是否正确？•为什么？如果都不正确，请给出正确的解答．三、智能升级19．为争创市规范化学校，某中学向全体师生征集空地绿化 方案，•如图是李刚同学对其中一块正方形空地的设计图，中央绿地面积为24平方米，如果设正方形空地的边长为x ，那么空地中央长方形绿地的长为______米，宽为______米，根据题意，•可得方程___________．20．若方程（m-1）x 2x=1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A ．m≠1B ．m≥0C ．m≥0且m≠1D ．m 为任意实数21．某大学为改善校园环境，计划在一块长80m ，宽60m •的长方形场地的中央建一个长方形网球场，网球场占地面积为3500m 2．四周为宽度相等的人行走道，如图所示，若设人行走道的宽为xm ．（1）你能列出相应的方程吗？（2）x 可能小于0吗？说说你的理由．（3）x 可能大于40吗？可能大于30吗？说说你的理由．（4）你知道人行走道的宽xm 是多少吗？说说你的求解过程．答案:1．x2+7x+7=0 2．k≠3 3．2 4．2等5．（x+5）（x+2）=54 6．x（x+2）=323或x（x-2）=3237．（30-x）（20-x）=500 8．A 9．C 10．D 11．C 12．B13．（1）k=-12时，方程是一元二次方程，x=34；（2）k≠12，2k+1，-4k，k-1．14．设个位数字为x，则十位数字为x+4，由题意得x2+（x+4）2=10（x+4）x+x-415．③a+b=-1 16．-1 17．B18．解：均不正确，考虑不全，欲使x2a+b-3x（a-b）+1=0是关于x•的一元二次方程，•则2a+b=2，a-b=2；或2a+b=2，a-b=1；或2a+b=2，a-b=0；或2a+b=1，a-b=2；或2a+b=0，a-b=2，∴a=43，b=-23；或a=1，b=0；或a=23，b=23或a=1，b=-1；或a=23，b=-4319．x-2，x-4，（x-2）（x-4）=24 20．C21．（1）设人行道的宽为xm，则网球场的长和宽分别为（80-2x）m，（60-2x）m，•则可列方程：（80-2x）（60-2x）=3500，整理为：x2-70x+325=0；（2）x的值不可能小于0，因为人行道的宽度不可能为负数．（3）x的值不可能大于40，也不可能大于30，因为当x>30时，网球场的宽60-2x<0，这是不符合实际，当然x更不可能大于40．（4）由上面问题可知：x的大致范围应为0<x<30．求解过程如下：显然当x=5时，x-70x+325=0，∴人行道的宽度为5m．人教九上22.2降次——解一元二次方程一、选一选！1. 把方程23402x x ++=左边配成一个完全平方式后，所得方程是（ ）. （A ）2355()416x += （B ）2315()24x +=- （C ）2315()24x += （D ）2355()416x +=-2. （2006年杭州）已知方程260x x q -+=可以配方成2()7x p -=的形式, 那么262x x q -+=可以配方成下列的 ( )(A) 2()5x p -= (B) 2()9x p -= (C) 2(2)9x p -+= (D) 2(2)5x p -+=3. （2006年广州）一元二次方程2230x x --=的两个根分别为( )． (A)X l =1， x 2=3 (B)X l =1， x 2=-3(C)X 1=-1，X 2=3 (D)X I =-1， X 2=-34. 若2222()(1)60m n m n +--+=，则22m n +的值为（ ）.（A ）3 （B ）－2 （C ）3或－2 （D ）－3或2 5. 方程(3)x x x +=的根是（ ）.（A ）－2 （B ）0 （C ）无实根 （D ）0或－26. 已知x 满足方程2310x x -+=，则1x x +的值为（ ）. （A ）3 （B ）－3 （C ）32（D ）以上都不对7. 要使分式2544x x x -+-的值为0，x 等于（ ）.（A ）1 （B ）4或1 （C ）4 （D ）－4或－1 8. 关于x 的方程22(2)0a a x ax b --++=是一元二次方程的条件是（ ）. （A ）2a ≠-且1a = （B ）2a ≠ （C ）2a ≠-且1a =- （D ）1a =- 二、填一填！ 9. 222(_____)[(____)]3y y y -+=+.10. x =__________. 11. 若代数式2713x x -+的值为31，则x =_________________.12.用公式法解方程2815x x =--，其中24b ac -=__________，1x =__________，2x =_______________.13. 一元二次方程x 2-2x-1=0的根是__________．14. 若方程x 2-m=0的根为整数，则m 的值可以是________（只填符合条件的一个即可）15. 若（2x+3y ）2+3（2x+3y ）-4=0，则2x+3y 的值为_________．16. 请写出一个根为x= 1, 另一根满足-1< x< 1 的一元二次方程_______. 三、做一做！17.用配方法解下列方程：（1）210257x x -+=；（2）261x x +=；（3）23830x x +-=；（4）2310x x -+=. 18.用公式法解下列方程：（1）27180x x --=；（2）22980x x -+=；（3）29610x x ++=；（4）21683x x +=. 19.用因式分解法解下列方程：（1）(41)(57)0x x -+=；（2）3(1)22x x x -=-； （3）2(23)4(23)x x +=+；（4）222(3)9x x -=-.20. 阅读材料，解答问题:材料：为解方程（x 2-1）2-5（x 2-1）+4=0我们可以将x 2-1视为一个整体，然后设x 2-1=y ，•则（x 2-1）2=y 2，原方程可化为y 2-5y+4=0，解得y 1=1，y 2=4，当y=1时，x 2-1=1，∴x 2=2，∴x=y=4时，x 2-1=4，∴x 2=5，∴x=x 1x 2x 3x 4解答问题：（1）填空，在解原方程得到①的过程中利用_________法达到了降次的目的，体现了_______•数学思想;（2）利用上述方法解方程x 4-x 2-6=0．21. 若规定两数a 、b 通过“※”运算，得到4ab ，即a ※b=4ab ，例如2※6=4•×2•×6=48 （1）求3※5的值；（2）求x ※x+2※x-2※4=0中x 的值；（3）若无论x 是什么数，总有a ※x=x ，求a 的值．参考答案：一、选一选！ 1.D ； 2.B ； 3.C ； 4.A ； 5.D ； 6.A ； 7.A ； 8.C ；二、填一填！ 9.19，13-； 10. －5或3； 11．9或－2； 12.4，－3，－5；13. x 1x 214.如4 ， 提示：m 应是一个整数的平方，此题可填的数字很多． 15. -•4或1； 16.略；三、做一做！17.（1）15x =25x =（2）13x =-23x =- （3）113x =，23x =-；（4）1x =2x =18.（1）19x =，22x =-；（2）1x =2x =； （3）1213x x ==-；（4）114x =，234x =-； 19.（1）175x =-，214x =；（2）12 3x=-，21x=；（3）13 2x=-，21 2x=；（4）13x=，29x=.20. （1）换元，转化；（2）x=21. （1）3※5=4×3×5=60，（2）由x※x+2※x-2※4=0得4x2+8x-32=0，即x2+2x-8=0，∴x1=2，x2=-4，（3）由a*x=x得4ax=a，无论x为何值总有4ax=x，∴a=14．22.3 实际问题与一元二次方程一、双基整合:1．要用一条长为24cm的铁丝围成一个斜边是10cm的直角三角形，•则两条直角边的长分别为________．2．一个多边形有9条对角线，则这个多边形有________条边．3．一个矩形及与它等积的正方形的周长之和为54cm，矩形两邻边的差为9cm，•则这个矩形的面积为________．4．两个正方形，小正方形边长比正方形边长的一半多4cm，•大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少32cm2，则大小正方形的边长分别是______．5．如图，一块矩形纸片ABCD，长BC=8cm，宽CD=6cm，将这块矩形纸片沿对角线BD 对折（折痕与折叠后得到的图形用虚线表示），得到△BDE，则EF=________．6．从正方形的铁片上，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（）．A．8cm2B．64cm2C．80cm2D．32cm27．用一块长80cm、宽60cm的长方形铁皮，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖长方体盒子，设小正方形的边长为x，则可列出方程（）A．x2-70x+825=0 B．x2+70x-825=0 C．x2-70x-825=0 D．x2+70x+825=0 8．若一个等腰三角形两边长分别是x2-12x+32=0的两根，•则这个等腰三角形的周长为（）A．20 B．16 C．16或20 D．不能确定9．如图，水池中离岸边D点1.5m的C处，直立着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5m，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好在D点，求水池的深度AC．10．一块长方形铁片长32cm，宽24cm，四角都截去相同的小正方形，折起来做成一个无盖铁盒，使底面积是原来面积的一半，求盒子的高．二、拓广探索:11．如图，有一块直角△纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC•沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD=（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm12．线段AB=6cm，点C是AB的黄金分割点（如图），即较长线段AC是较短线段BC和原线段AB的比例中项，那么线段AC的长为（）A B C．（）cm D．（）cm13．如图所示，东西和南北街道交于点O，甲沿东西道由西向东，速度是每秒4m，乙沿南北道由南向北走，速度是每秒3m，当乙通过O点后又继续前进50m时，•甲刚好通过O 点，当甲、乙相距85m时，求每个人位置．14．用一根8米长的木料做成一个长方形的窗框，若设这个长方形的长为x米．（1）这个长方形的面积S=________．（2）根据上式完成下表：（3）你发现了什么？（4）为什么现实生活中，窗户一般都做成一个长与宽接近相等的长方形，•而不做成一个正方形，谈谈你的看法．三、智能升级:15．一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米（如右图），如果梯子的顶端下滑1米，那么（1）猜一猜，底端也将滑动1米吗？（2）•列出底端滑动距离所满足的方程，并说明（1）中结论．16．有一块缺角矩形地皮ABCDE （如下图），其中AB=110m ，BC=80m ，CD=90m ，•∠EDC=135°，现准备用此地建一座地基为长方形（图中用阴影部分表示）的数学大楼，建筑公司在接受任务后，设计了A 、B 、C 、D 四种方案，请你研究探索应选用哪一种方案，•才能使地基面积最大？（1）求出A 、B 两种方案的面积．（2）若设地基的面积为S ，宽为x ，写出方案C （或D ）中S 与x 的关系式．（3（4 （5）用配方法对（2）中的S 与x 之间的关系式进行分析，并检验你的猜测是否正确． （6）你认为A 、B 、C 、D 中哪一种方案合理？答案:1．6cm ，8cm 2．6 3．36cm 2 4．16m 和12cm 5．74cm 6．B 7．A 8．A 9．AC=2 10．4cm 11．B 12．C 13．设甲通过O 点以后t 秒时，甲、乙位置分别是AB （图略）， 则OA`=4t ，OB`=50+3t ，根据题意得（4t ）2+（50+3t ）2=852， 即t 2+12t-189=0，t 1=9，t 2=-21，当t=9时，OA`=36，OB`=77; 当t=-21时，OA`=-84，OB`=-13，答：甲、乙分别都在通过O 点后又前进了36m ，77m 或者尚未通过O 点，分别在距O 点84m ，13m 的位置． 14．（1）S=x×822x=-x 2+4x ， （2）S 的值分别为1.75、3、3.75、3.99、4、3.99、3.75、3、1.75， （3）当长与宽相等时，S 的值最大，即当窗户为正方形时，面积最大，（4）•窗户做成正方形时，面积最大，透光性最大，但同时窗户内部的其他用料也相对增多，如钢筋、水泥等，所以，制成一个长与宽接近相等的长方形，即有利于透光，又可相对地节省材料，当然，也涉及到美学等方面的知识． 15．（1）底端滑动的距离大于1米．（2）设底端将滑动x 米，依题意，得72+（x+6）2=102，•解得x 1，x 2（舍去），-6=7-6=1，∴底端滑动的距离大于1米． 16．（1）方案A 的面积为80×90=7200m 2，方案B 的面积为110×（80-20）=6600m 2；（2）•由于MF=80-x ，∠EDC=135°，所以DF=80-x ，NB=CD+DF=90+（80-x ）=170-x ，S=（170-x ）×x ，即S=-x 2+170x ； （3）S 的值从左到右依次为6000、6600、7000、7125、7176、7189、7200、7209、7216；（4）猜想：当x≤80时，S 随x 的增大而增大； （5）S=-x 2+170x=-（x-85）2+852，所以当x≤85时，S 随x 的增大而增大，由于x≤80，所以，当x=80•时，•S •最大值为7200m 2；（6）选A 种方案．第二十二章一元二次方程水平测试题一．填空题：（每小题２分，共22分）1．方程20x x -=的一次项系数是____________，常数项是____________； 2．若代数式219991998m m -+的值为０，则m 的值为____________； 3．在实数范围内分解因式：221x x --=__________________________；4．已知13x =-是方程2230x kx +-=的一个根，2x 是它的另一个根，则k =_____，2x =____5．方程220x -+=的判别式∆=____________，所以方程_________________实数根；6．已知分式2212x x x -+-的值为０，则x 的值为____________；7．以2，－3为根的一元二次方程是__________________________； 8．当方程()()211120m m xm x +--+-=是一元二次方程时，m 的值为________________；9．若12,x x 是方程25x x -=的两根，则2212x x +=________________；10．已知210x x +-=，则2339x x +-=____________； 11．已知2x y +=，1xy =，则x y -=____________； 二．选择题（每小题３分，共３０分）1．方程()2211x +=化为一般式为（ ） A ．22421x x ++=B ．241x x +=-C ．22410x x ++=D ．22210x x ++=2．用配方法解下列方程，其中应在两端同时加上4的是（ ）A ．225x x -= B ．2245x x -= C ．245x x += D ．225x x += 3．方程()1x x x -=的根是（ ）A ．2x =B ．2x =-C ．122,0x x ==D ．122,0x x =-=4．下列方程中以1,2-为根的一元二次方程是（ ）A ．()()120x x +-=B ．()()121x x -+=C ．()221x +=D ．21924x ⎛⎫+=⎪⎝⎭ 5．下列方程中，无论ｂ取什么实数，总有两个不相等实数根的是（ ）A ．210x bx ++=B ．221x bx b +=+C ．20x bx b ++=D ．22x bx b += 6．将222x x --分解因式为（ ）A ．1144x x ⎛--- ⎝⎭⎝⎭ B ．11244x x ⎛+- ⎝⎭⎝⎭C ．11244x x ⎛-++ ⎝⎭⎝⎭D ．11244x x ⎛-+- ⎝⎭⎝⎭7．县化肥厂今年一季度增产a 吨，以后每季度比上一季度增产的百分率为x ，则第三季度化肥增产的吨数为（ ）A ．()21a x + B ．()21100a x + C ． ()21100x + D ．()2100a a x + 8．已知2120m m+=，则1m -=（ ） A ．０或12- B ．０或－２ C ．－２ D ．12-9．一项工程，甲队独做要ｘ天，乙队独做要ｙ天，若甲乙两队合作，所需天数为（ ）A ．xy x y +B ．2x y+ C ．x y xy+ D ．x y +10．已知方程2220383x x x x+-=+，若设23x x y +=，则原方程可化为（ ）A ．2208y y -= B ．2208y -= C ．208y y -= D ．2208y y -= 三．解方程（组）（每小题5分，共2０分）１．()()22211x x +=- ２．2232211x y x y x y +=⎧⎨+++=⎩３．22431242x x x x -=+--- 4．22124321x x x x +++=++四．解答下列各题（每小题7分，共28分）1．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程()2160x m x m ++++=的两实数根，且22125x x +=，求m 的值是多少？2．求证：无论k 为何值，方程()23210x k x k -++-=总有两个不相等的实数根。
人教版九年级数学上册综合题练习卷：第21章 一元二次方程(包含答案)
第21章一元二次方程1．在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？2．某商店经销甲、乙两种商品，已知一件甲种商品和一件乙种商品的进价之和为30元，每件甲种商品的利润是4元，每件乙种商品的售价比其进价的2倍少11元，小明在该商店购买8件甲种商品和6件乙种商品一共用了262元．（1）求甲、乙两种商品的进价分别是多少元？（2）在（1）的前提下，经销商统计发现，平均每天可售出甲种商品400件和乙种商品300件，如果将甲种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出7件甲种商品；如果将乙种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出8件乙种商品．经销商决定把两种商品的价格都提高a元，在不考虑其他因素的条件下，当a为多少时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元？3．关于x的一元二次方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54＝0（1）求方程的解；（2）若方程的解为整数，求k值．4．某市为推进养老服务工作的深入开展，在扩大社区养老覆盖率、规范机构养老、科学规划养老服务布局等方面作了大量工作．该市的养老机构拥有的养老床位数从2016年底的2万个增长到2018年底的2.88万个．（1）求该市这两年养老床位数的年平均增长率：（2）该市2018年底正在筹建一社区养老中心，按照规划拟建造三类养老专用房间（一个养老床位的单人间、两个养老床位的双人间、三个养老床位的三人间）共100间，若按规划需要建造的单人间的房间数为m（12≤m≤15），双人间的房间数是单人间的2倍，求该养老中心建成后最多可提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？5．为进一步弘扬“爱国、进步、民主、科学”的五四精神，倡导“我运动、我健康、我快乐”的生活方式，某县团委准备组织一次共青团员青年足球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛，则该县团委应邀请多少个足球队参赛？6．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+2m＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m＝时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径．7．（1）解方程：2x2﹣x﹣1＝0；（2）解不等式组：8．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．9．关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0．（1）当b＝a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．10．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．11．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2＝3，求k的值及方程的根．12．已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程的两根分别是x1、x2，且+＝x1•x2，试求k的值．13．HW公司2018年使用自主研发生产的“QL”系列甲、乙、丙三类芯片共2800万块，生产了2800万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的2倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多400万块．这些“QL”芯片解决了该公司2018年生产的全部手机所需芯片的10%．（1）求2018年甲类芯片的产量；（2）HW公司计划2020年生产的手机全部使用自主研发的“QL”系列芯片．从2019年起逐年扩大“QL”芯片的产量，2019年、2020年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数m%，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数比m%小1，丙类芯片的产量每年按相同的数量递增.2018年到2020年，丙类芯片三年的总产量达到1.44亿块．这样，2020年的HW公司的手机产量比2018年全年的手机产量多10%，求丙类芯片2020年的产量及m的值．14．（1）关于x，y的方程组满足x+y＝5，求m的值．（2）关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0的两个根x1，x2满足x12+x22＝5，求的值．15．已知关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．16．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0，（1）求证：无论实数m取得何值，方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根的平方等于1，求m的值．17．（1）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．（2）解不等式组：18．已知关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0．（1）求证：不论m为何值，方程必有实数根．（2）当m为整数时，方程是否有有理根？若有，求出m的值：若没有，请说明理由．19．建造一个面积为130m2的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长为a米，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆总长为33米．（1）求养鸡场的长与宽各为多少米？（2）若10≤a＜18，题中的解的情况如何？20．2019长春国际马拉松于5月26日上午在长春体育中心鸣枪开跑．某公司为赛事赞助了5000瓶矿泉水，计划以后每年逐年增加，到2021年达到7200瓶，若该公司每年赞助矿泉水数量增加的百分率相同．（1）求平均每年增加的百分率；（2）假设2022年该公司赞助矿泉水增加的百分率与前两年相同，请你预测2022年该公司赞助的矿泉水的数量．参考答案1．【分析】（1）根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，再代入x＝23.5即可求出结论；（2）根据总利润＝每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，将（22.6，34.8）、（24，32）代入y＝kx+b，，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+80．当x＝23.5时，y＝﹣2x+80＝33．答：当天该水果的销售量为33千克．（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，解得：x1＝35，x2＝25．∵20≤x≤32，∴x＝25．答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据表格内的数据，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．2．【分析】（1）可设甲种商品的进价是x元，乙种商品的进价是y元，根据等量关系：①一件甲种商品和一件乙种商品的进价之和为30元；②购买8件甲种商品和6件乙种商品一共用了262元；列出方程组求解即可；（2）根据该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元，列出方程求解即可．【解答】解：（1）设甲种商品的进价是x元，乙种商品的进价是y元，依题意有，解得．故甲种商品的进价是16元，乙种商品的进价是14元；（2）依题意有：（400﹣10a×7）（4+a）+（300﹣10a×8）（14×2﹣11﹣14+a）＝2500，整理，得150a2﹣180a＝0，解得a1＝，a2＝0（舍去）．故当a为时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元．【点评】考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．3．【分析】（1）根据一元二次方程的定义，利用因式分解法可解；（2）根据（1），利用整数根可解．【解答】解：（1）∵该方程是关于x的一元二次方程，∴k≠6，k≠9∵（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54＝0∴[（6﹣k）x﹣9][（9﹣k）x﹣6]＝0解得x＝或∴方程的解为x＝或．（2）∵方程的解为x＝或．若方程的解为整数，①当6﹣k＝±1，±3，±9时，x是整数，此时k＝7、5、3、9、15、﹣3；②当9﹣k＝±1，±2，±3，±6时，x是整数，此时k＝10、8、11、7、12、6、15、3．综上可知，k＝3、7、15时原方程的解为整数．【点评】本题考查了一元二次方程的定义及整数根的求解问题，难度中等．4．【分析】（1）设该市这两年（从2016年度到2018年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，根据“2018年的床位数＝2016年的床位数×（1+增长率）的平方”可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；（2）设规划建造单人间的房间数为m（12≤m≤15），则建造双人间的房间数为2m，根据“可提供的床位数＝单人间数+2倍的双人间数+3倍的三人间数”即可得出y关于m的函数关系式，根据一次函数的性质结合t的取值范围，即可得出结论．【解答】解：（1）设该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为，由题意可列出方程：2（1+x）2＝2.88，解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%．（2）设规划建造单人间的房间数为m（12≤m≤15），则建造双人间的房间数为2m，三人间的房间数为100﹣3m，设该养老中心建成后能提供养老床位y个，由题意得：y＝m+4m+3（100﹣3m）＝﹣4m+300∵y随m的增大而减小∴当m＝12时，y的最大值为252．当m＝15时，y的最小值为240．答：该养老中心建成后最多提供养老床位252个，最少提供养老床位240个．【点评】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于x的一元二次方程；（2）根据数量关系找出y关于t的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（方程组或函数关系式）是关键．5．【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数＝9×5，把相关数值代入即可．【解答】解：该县团委应邀请x个足球队参赛．每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：x（x﹣1）＝9×5．整理，得x2﹣x﹣90＝0．解得x1＝﹣9（不合题意，舍去），x2＝10．答：该县团委应邀请10个足球队参赛．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．6．【分析】（1）由根的判别式列出不等式，解不等式可得m的取值范围；（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝5、x1x2＝5，该矩形外接圆的直径是矩形的对角线AC，根据勾股定理可得结论．【解答】（本题6分）解：（1）∵方程有实数根，∴△＝（﹣5）2﹣4×1×2m≥0，（1分）m≤，（2分）∴当m≤时，原方程有实数根；（3分）（2）当m＝时，原方程可化为：x2﹣5x+5＝0，设方程的两个根分别为x1、x2，则x1+x2＝5，x1•x2＝5，（4分）∵该矩形外接圆的直径是矩形的对角线AC，如图所示，∴AC＝＝＝＝，（5分）∴该矩形外接圆的直径是．（6分）【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系和进行变形是解题的关键．7．【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：（1）2x2﹣x﹣1＝0，（2x+1）（x﹣1）＝0，2x+1＝0，x﹣1＝0，x1＝﹣，x2＝1；（2）∵解不等式①得：x＞﹣4，解不等式②得：x≤3，∴不等式组的解集为﹣4＜x≤3．【点评】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式组，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解（1）的关键，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解（2）的关键．8．【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本＝3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【解答】解：（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1﹣x）2＝361，解得：x1＝0.05＝5%，x2＝1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%．（2）361×（1﹣5%）＝342.95（万元）．答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．9．【分析】（1）计算判别式的值得到△＝a2+4，则可判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；（2）利用方程有两个相等的实数根得到△＝b2﹣4a＝0，设b＝2，a＝1，方程变形为x2+2x+1＝0，然后解方程即可．【解答】解：（1）a≠0，△＝b2﹣4a＝（a+2）2﹣4a＝a2+4a+4﹣4a＝a2+4，∵a2＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4a＝0，若b＝2，a＝1，则方程变形为x2+2x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．10．【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，再利用（x1﹣x2）2+m2＝21得到（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，接着解关于m的方程，然后利用（1）中m的范围确定m的值．【解答】解：（1）根据题意得△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，解得m≥﹣，所以m的最小整数值为﹣2；（2）根据题意得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，∵（x1﹣x2）2+m2＝21，∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2＝21，∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，整理得m2+4m﹣12＝0，解得m1＝2，m2＝﹣6，∵m≥﹣，∴m的值为2．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．11．【分析】（1）由于关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根，可知△＞0，据此进行计算即可；（2）利用根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，进而得出关于k的方程求出即可．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，整理得，4k﹣3＞0，解得：k＞，故实数k的取值范围为k＞；（2）∵方程的两个根分别为x1，x2，∴x1+x2＝2k+1＝3，解得：k＝1，∴原方程为x2﹣3x+2＝0，∴x1＝1，x2＝2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．以及根与系数的关系．12．【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根得到△＝（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0，求出k的取值范围即可；（2）根据根与系数的关系得出方程解答即可．【解答】（1）解：∵原方程有实数根，∴b2﹣4ac≥0∴（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0∴k≤1（2）∵x1，x2是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：x1+x2 ＝2，x1 •x2 ＝2k﹣1又∵+＝x1•x2，∴∴（x1+x2）2﹣2x1 x2 ＝（x1 •x2）2∴22﹣2（2k﹣1）＝（2k﹣1）2解之，得：．经检验，都符合原分式方程的根∵k≤1∴．【点评】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k 的取值范围，此题难度不大．13．【分析】（1）设2018年甲类芯片的产量为x万块，由题意列出方程，解方程即可；（2）2018年万块丙类芯片的产量为3x+400＝1600万块，设丙类芯片的产量每年增加的熟练为y万块，则1600+1600+y+1600+2y＝14400，解得：y＝3200，得出丙类芯片2020年的产量为1600+2×3200＝8000万块，2018年HW公司手机产量为2800÷10%＝28000万部，由题意得出400（1+m%）2+2×400（1+m%﹣1）2+8000＝28000×（1+10%），设m%＝t，整理得：3t2+2t﹣56＝0，解得：t＝4，或t＝﹣（舍去），即可得出答案．【解答】解：（1）设2018年甲类芯片的产量为x万块，由题意得：x+2x+（x+2x）+400＝2800，解得：x＝400；答：2018年甲类芯片的产量为400万块；（2）2018年万块丙类芯片的产量为3x+400＝1600万块，设丙类芯片的产量每年增加的数量为y万块，则1600+1600+y+1600+2y＝14400，解得：y＝3200，∴丙类芯片2020年的产量为1600+2×3200＝8000万块，2018年HW公司手机产量为2800÷10%＝28000万部，则：400（1+m%）2+2×400（1+m%﹣1）2+8000＝28000×（1+10%），设m%＝t，400（1+t）2+2×400（1+t﹣1）2+8000＝28000×（1+10%），整理得：3t2+2t﹣56＝0，解得：t＝4，或t＝﹣（舍去），∴t＝4，∴m%＝4，∴m＝400；答：丙类芯片2020年的产量为8000万块，m＝400．【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及一元二次方程和一元一次方程的解法；弄清数量关系列出方程是解题的关键．14．【分析】（1）观察到方程组两方程相加，左边出现3（x+y），把x+y作为一个整体来计算．（2）根据韦达定理求出用m表示x1+x2和x1x2的值，利用完全平方公式的变形得到x12+x22的式子，进而得到关于m的方程．【解答】解：（1）根据题意把方程组两式相加得：2x+y+x+2y＝m+3m+13（x+y）＝4m+1∴x+y＝又∵x+y＝5∴解得：m＝（2）∵a＝1，b＝﹣（m﹣1），c＝﹣m∴△＝[﹣（m﹣1）]2﹣4•（﹣m）＝m2﹣2m+1+4m＝m2+2m+1＝（m+1）2≥0∴无论m为何值时，方程一定有实数根．∵x1+x2＝＝m﹣1，x1x2＝＝﹣m∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（m﹣1）2+2m∵x12+x22＝5∴（m﹣1）2+2m＝5解得：m＝±2当m＝2时，＝＝当m＝﹣2时，＝＝∴的值为或【点评】本题考查了解二元一次方程，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，分式的加减．15．【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．【解答】解：∵方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＞0，解得：m＜1．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键．16．【分析】（1）求出△＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝（m+1）2，再判断即可；（2）求出方程的根是±1，再代入方程，即可求出答案．）【解答】（1）证明：x2﹣（m+3）x+m+2＝0，△＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝（m+1）2≥0，所以无论实数m取得何值，方程总有两个实数根；（2）解：∵方程有一个根的平方等于1，∴此根是±1，当根是1时，代入得：1﹣（m+3）+m+2＝0，即0＝0，此时m为任何数；当根是﹣1时，1+（m+3）+m+2＝0，解得：m＝﹣3．【点评】本题考查了解一元二次方程和根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．17．【分析】（1）利用配方法解方程；（2）分别解两个一次不等式得到x＞﹣2和x≤2，然后根据确定不等式组的解集．【解答】解：（1）x2﹣2x＝1，x2﹣2x+1＝2，（x﹣1）2＝2，x﹣1＝，所以x1＝1+，x2＝1﹣；（2）解①得x＞﹣2，解②得x≤2，所以不等式组的解集为﹣2＜x≤2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了解一元一次不等式组．18．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝1＞0，由此即可证出方程总有两个不相等的实数根；（2）先计算出△并且设△＝（2m+1）2﹣4（2m﹣1）＝4m2﹣4m+5＝（2m﹣1）2+4＝n2（n为整数），整系数方程有有理根的条件是△为完全平方数．解不定方程，讨论m的存在性．变形为（2m﹣1）2﹣n2＝4，（2m﹣1﹣n）（2m﹣1+n）＝﹣4，利用m，n都为整数进行讨论即可．【解答】（1）证明：①当2m﹣1＝0即m＝时，此时方程是一元一次方程，其根为x＝，符合题意；②当2m﹣1≠0即m≠时，△＝[﹣（2m+1）]2﹣4（2m﹣1）＝（2m﹣1）2+4＞0，∴当m≠时，方程总有两个不相等的实数根；综上所述，不论m为何值，方程必有实数根．（2）当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0没有有理根．理由如下：①当m为整数时，假设关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0有有理根，则要△＝b2﹣4ac为完全平方数，而△＝（2m+1）2﹣4（2m﹣1）＝4m2﹣4m+5＝（2m﹣1）2+4，设△＝n2（n为整数），即（2m﹣1）2+4＝n2（n为整数），所以有（2m﹣1﹣n）（2m﹣1+n）＝﹣4，∵2m﹣1与n的奇偶性相同，并且m、n都是整数，所以或，解得m＝，②2m﹣1＝0时，m＝（不合题意舍去）．所以当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0没有有理根．【点评】考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式为△＝b2﹣4ac．△＝b2﹣4ac为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．同时考查了不定方程特殊解的求法．19．【分析】（1）设养鸡场的宽为x米，则长为（33﹣2x）米，利用厂房的面积公式结合养鸡场的面积为130m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）由（1）的结论结合10≤a＜18，可得出长方形的长为13米宽为10米．【解答】解：（1）设养鸡场的宽为x米，则长为（33﹣2x）米，依题意，得：（33﹣2x）x＝130，解得：x1＝6.5，x2＝10，∴33﹣2x＝20或13．答：养鸡场的长为20米宽为6.5米或长为13米宽为10米．（2）∵10≤a＜18，∴33﹣2x＝13，∴养鸡场的长为13米宽为10米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．20．【分析】（1）设平均每年增加的百分率为x，根据该公式2019年及2021年赞助矿泉水的数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据2022年该公司赞助的矿泉水数量＝2021年该公司赞助的矿泉水数量×（1+增长率），即可求出结论．【解答】解：（1）设平均每年增加的百分率为x，依题意，得：5000（1+x）2＝7200，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：平均每年增加的百分率为20%．（2）7200×（1+20%）＝8640（瓶）．答：预测2022年该公司赞助矿泉水8640瓶．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．。
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第1页（共11页） 一元二次方程全章练习 一．选择题 1．已知关于x的方程（m﹣1）+2x﹣3=0是一元二次方程，则m的值为（ ） A．1 B．﹣1 C．±1 D．不能确定 2．一元二次方程x2﹣6x﹣6=0配方后化为（ ） A．（x﹣3）2=15 B．（x﹣3）2=3 C．（x+3）2=15 D．（x+3）2=3 3．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+3x﹣2=0有实数根，则a的取值范围是（ ） A． B． C．且a≠1 D．且a≠1 4．方程x（x+2）=x+2的两根分别为（ ） A．x1=﹣1，x2=2 B．x1=1，x2=2 C．x1=﹣1，x2=﹣2 D．x1=1，x2=﹣2 5．若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，且x1+x2=1﹣x1x2，则m的值为（ ） A．﹣1或2 B．1或﹣2 C．﹣2 D．1 6．“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，在论坛召开之际，福田欧辉陆续向缅甸仰光公交公司交付1000台清洁能源公交车，以2017客车海外出口第一大单的成绩，创下了客车行业出口之最，同时，这也是在国家“一带一路”战略下，福田欧辉代表“中国制造”走出去的成果．预计到2019年，福田公司将向海外出口清洁能源公交车达到3000台．设平均每年的出口增长率为x，可列方程为（ ） A．1000（1+x%）2=3000 B．1000（1﹣x%）2=3000 C．1000（1+x）2=3000 D．1000（1﹣x）2=3000 二．填空题 7．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，则k的值是 ． 8．无论x取何值，二次三项式﹣3x2+12x﹣11的值不超过 ． 9．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 10．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是 ． 第2页（共11页）
11．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，则k的取值范围是 ． 12．某工程生产一种产品，第一季度共生产了364个，其中1月份生产了100个，若2、3月份的平均月增长率为x，则可列方程为 ． 三．解答题 13．一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1=0，试求a，b，c的值．
14．解方程：2x2﹣4x=1（用配方法） 15．4x2﹣3=12x（用公式法解） 第3页（共11页）
16．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2=0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
17．阅读下面的材料，解答问题：为解方（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+6=0．我们可以将（x2﹣1）看作一个整体，然后x2﹣1=y，那么原方程可化为y2﹣5y+6=0，解得y1=2，y2=3． 当y=2时，x2﹣1=2，x2=3，x=±； 当y=3时，x2﹣1=3，x2=4，x=±2． 当原方程的解为x1=，x2=﹣，x3=2，x4=﹣2． 上述解题方法叫做“换元法”；请利用“换元法”解方程．（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0． 第4页（共11页）
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2， （1）求实数k的取值范围． （2）是否存在实数k使得x1x2﹣x12﹣x22=﹣7成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
19．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？ 第5页（共11页）
参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．已知关于x的方程（m﹣1）+2x﹣3=0是一元二次方程，则m的值为（ ） A．1 B．﹣1 C．±1 D．不能确定 【解答】解：∵关于x的方程（m﹣1）+2x﹣3=0是一元二次方程， ∴m﹣1≠0且m2+1=2， 即m≠1且m=±1， 解得：m=﹣1． 故选B．
2．一元二次方程x2﹣6x﹣6=0配方后化为（ ） A．（x﹣3）2=15 B．（x﹣3）2=3 C．（x+3）2=15 D．（x+3）2=3 【解答】解：方程整理得：x2﹣6x=6， 配方得：x2﹣6x+9=15，即（x﹣3）2=15， 故选A
3．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+3x﹣2=0有实数根，则a的取值范围是（ ） A． B． C．且a≠1 D．且a≠1 【解答】解：根据题意得a≠1且△=32﹣4（a﹣1）•（﹣2）≥0， 解得a≥﹣且a≠1． 故选D．
4．方程x（x+2）=x+2的两根分别为（ ） A．x1=﹣1，x2=2 B．x1=1，x2=2 C．x1=﹣1，x2=﹣2 D．x1=1，x2=﹣2 【解答】解：方程可化为（x+2）（x﹣1）=0， 可化为：x﹣1=0或x+2=0， 第6页（共11页）
解得：x1=1，x2=﹣2． 故选D．
5．若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，且x1+x2=1﹣x1x2，则m的值为（ ） A．﹣1或2 B．1或﹣2 C．﹣2 D．1 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根， ∴x1+x2=2m，x1•x2=m2﹣m﹣1． ∵x1+x2=1﹣x1x2， ∴2m=1﹣（m2﹣m﹣1），即m2+m﹣2=0， 解得：m1=﹣2，m2=1． ∵方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0有实数根， ∴△=（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）=4m+4≥0， 解得：m≥﹣1． ∴m=1． 故选D．
6．“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，在论坛召开之际，福田欧辉陆续向缅甸仰光公交公司交付1000台清洁能源公交车，以2017客车海外出口第一大单的成绩，创下了客车行业出口之最，同时，这也是在国家“一带一路”战略下，福田欧辉代表“中国制造”走出去的成果．预计到2019年，福田公司将向海外出口清洁能源公交车达到3000台．设平均每年的出口增长率为x，可列方程为（ ） A．1000（1+x%）2=3000 B．1000（1﹣x%）2=3000 C．1000（1+x）2=3000 D．1000（1﹣x）2=3000 【解答】解：根据题意：2019年为1000（1+x）2台． 则1000（1+x）2=3000； 故选：C． 第7页（共11页）
二．填空题（共6小题） 7．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，则k的值是 0 ． 【解答】解：由于关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0， 把x=0代入方程，得k2﹣k=0， 解得，k1=1，k2=0 当k=1时，由于二次项系数k﹣1=0， 方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0不是关于x的二次方程，故k≠1． 所以k的值是0． 故答案为：0
8．无论x取何值，二次三项式﹣3x2+12x﹣11的值不超过 1 ． 【解答】解：∵﹣3x2+12x﹣11=﹣3（x2﹣4x+4）+12﹣11=﹣3（x﹣2）2+1≤1， ∴二次三项式﹣3x2+12x﹣11的值不超过1． 故答案为：1．
9．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＞﹣1且k≠0 ． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）=4+4k＞0， ∴k＞﹣1， ∵x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0 ∴k≠0， ∴k的取值范围是：k＞﹣1且k≠0． 故答案为：k＞﹣1且k≠0．
10．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是 12 ． 【解答】解：x2﹣7x+10=0 （x﹣2）（x﹣5）=0， 第8页（共11页）
解得：x1=2（不合题意舍去），x2=5， 故等腰三角形的腰长只能为5，5，底边长为2， 则其周长为：5+5+2=12． 故答案为：12．
11．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，则k的取值范围是 k＜ ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根， ∴， 解得：k＜． 故答案为：k＜．
12．某工程生产一种产品，第一季度共生产了364个，其中1月份生产了100个，若2、3月份的平均月增长率为x，则可列方程为 100+100（1+x）+100（1+x）2=364 ．
【解答】解：依题意得二、三月份共生产的机器100（1+x）+100（1+x）2， 则方程为100+100（1+x）+100（1+x）2=364． 故答案为：100+100（1+x）+100（1+x）2=364．
三．解答题（共7小题） 13．一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1=0，试求a，b，c的值． 【解答】解：一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=0化为一般形式后为ax2﹣（2a﹣b）x﹣（b﹣a﹣c）=0， 一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1=0，得
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