2018年考研数学二试题与答案解析(完整版)
B. a 3, b 2 D. a 3, b 2
lim f x g x lim f x lim g x 1 0 1
x 0 x 0
lim f x g x lim f x lim g x 1 b 1 1 b b 2
6. A.
0
1
dx
2 x2
x
1 xy dy 0 dx x 1 xy dy
B.
1
2 x2
5 3 7 C. 3
【答案】C 【解析】 如图, dx
1
5 6 7 D. 6
1 2 x2
0
2 x2
x
(1 xy )dy dx
0
x
(1 xy )dy (1 xy )dxdy dxdy S D
2
e
x0 2 x
lim
e
e x 2 ax b
x
ax 2 bx
e
x0
lim
e x 2 ax b 2x
lim e x 2 ax b 0 b 1 e x 2 ax b x0 lim 0 1 e x 2 ax b x0 2x a lim 0 2 2x x0
x 0 x 0
x 1 x 1
lim f x lim g x 1 2 a 1 a f x g x xlim 1 x 1 lim f x lim g x 1 1 2 2 1 a a 3 f x g x xlim 1 x 1
B 可导：
f - 0 lim
x 0
lim
x 0
C 可导：
f 0 lim
x 0
cos x 1 x
1 1 x2 x2 cos x 1 lim 2 0, f 0 lim lim 2 0 x 0 x 0 x 0 x x x
Born to win
2018 年考研数学二试题与答案解析（完整版）
——跨考教育数学教研室
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上. ．．． 1.若 lim e x ax 2 bx
x0Leabharlann D D7 . 3Born to win
1 1 0 7.下列矩阵中，与矩阵 0 1 1 相似的为 0 0 1 1 1 1 A. 0 1 1 0 0 1 1 1 1 C. 0 1 0 0 0 1
M
2 2
2x (1 )dx 2 1dx 1 x2 2
x , 时， 1 cos x 1, 所以K M 2 2 令f ( x) 1 x e x , f (0) 0, f ( x) 1 e x 当x 0, 时，f ( x ) 0; 当x , 0 时，f ( x ) 0 2 2 1 x 所以x , 时，有f ( x ) 0，从可有 x 1，由比较定理得N<M, 故选C e 2 2
lim
x 0
x sin x x sin x x sin x 0 lim 0, f lim 0 x 0 x 0 x x x x sin x x sin x x sin x 0 lim 0, f lim 0 x 0 x 0 x x x
1
1 1 1 0 1 1 1 ，所以 0 1 1 与 0 1 1 0 0 1 0 0
1 相似 1 1
故选（A） 8.设 A, B 为 n 阶矩阵，记 r ( X ) 为矩阵 X 的秩， ( X , Y ) 表示分块矩阵，则 A. r ( A AB ) r ( A). C. r ( A B ) max{r ( A)，r ( B )}. 【答案】 （ A） 【解析】 r ( E , B ) n r ( A, AB ) r[ A( E , B )] r ( A) 故选（A） 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸 指定位置上. ．．． 9. lim x [arctan( x 1) arctan x] ____________.
D. 当 f x 0 时， f
1 1 1 1 1 , f x dx x dx 0, f x 1 0 , f 0 0 0 2 2 2
1 1 1 1 f x x 2 , f x dx x 2 dx 0, f x 2 0, f 0 3 0 3
1, 3. 设 函 数 f x 1,
续，则 A. a 3, b 1 C. a 3, b 1 【答案】D 【解析】
x 0 x 0
x 0
2 ax, x 1 , g x x , 1 x 0, 若 f x g x 在 R 上 连 x 0 x b, x 0
2.下列函数中，在 x 0 处不可导的是 A. f x x sin x C. f x cos x 【答案】D 【解析】 A 可导： B. f x x sin D. f x cos
x x
f - 0 lim
x 0
x sin x x x sin x x
1 dx ________________________. 5 x 4x 3 1 【答案】 ln 2 2
11.
2
【解析】
5
1 dx 2 x 4x 3
Born to win
若矩阵 Q与 J 相似，则矩阵 E Q 与 E J 相似，从而 r E Q r E J ，故选（A）
方法二：构造法（利用初等矩阵的性质）
1 1 0 1 1 0 1 令P 0 1 0 ，P 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 P 0 1 1 P 0 1 0 0 1 0 0
2
2
2 2 ， y '' 2 2 ，令 y '' 0 ，则 x x
x0 1 ，由于 x 0 ，故 x0 1 ，故拐点为 (1,1) ， y '( x0 ) 4 ，则过拐点 (1,1) 的切线方程
为 y 1 4( x 1) 即 y 4 x 3 .
Born to win
Born to win
D 不可导：
f 0 lim
x 0
cos
x 1 x
lim
x 0
f 0 f 0
1 1 x -x 1 cos x 1 1 2 , f 0 lim lim 2 x 0 x 0 x 2 x x 2
1 0 2
5.设 M
2
1 x
2
1 x dx, N x dx, K 2 1 cos x dx, 则 1 x2 2 e 2
2
2
A. M N K C. K M N 【答案】C 【解析】
B. M K N D. K N M
x 2
B. r ( A BA) r ( A). D. r ( A B ) r ( A B ).
T T
【答案】1 【解析】原式 拉格朗日中值定理 lim x
x 2
1 1, ( x, x 1) . 1 2
10. 曲线 y x 2 ln x 在其拐点处的切线方程是__________________. 【答案】 y 4 x 3 【解析】 y x 2 ln x ，定义域为 {x x 0} ， y ' 2 x
【答案】A 【解析】 方法一：排除法
1 0 1 B. 0 1 1 0 0 1 1 0 1 D. 0 1 0 0 0 1
1 1 0 令 Q 0 1 1 ，特征值为 1,1,1， r E Q 2 0 0 1 1 1 1 0 1 1 选项 A：令 A 0 1 1 ， A 的特征值为 1,1,1， r E A r 0 0 1 2 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 选项 B：令 B 0 1 1 ， B 的特征值为 1,1,1， r E B r 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 选项 C：令 C 0 1 0 ， C 的特征值为 1,1,1， r E C r 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 选项 B：令 D 0 1 0 ， D 的特征值为 1,1,1， r E D r 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
1 2
1 1 1 0 4 3 12
Born to win
C 错误： f x x D 正确： 由 f x 0 可知函数是凸函数，故由凸函数图像性质即可得出 f
1 1 1 1 1 , f x dx x dx 0, f x 1 0, f 0 0 2 0 2 2
考研数学二模拟题2018年(62)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学二模拟题2018年(62)(总分100, 做题时间90分钟)一、填空题1.积分的值等于______．SSS_FILL该问题分值: 42.交换积分次序f(x，y)dx=______．SSS_FILL该问题分值: 43.交换二次积分的积分次序SSS_FILL该问题分值: 44.设区域D为x 2 +y 2≤R 2，则SSS_FILL该问题分值: 45.微分方程y"+ytanx=cosx的通解为______．SSS_FILL该问题分值: 4y=(x+C)cosx；6.微分方程xy"+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为______．SSS_FILL该问题分值: 4xy=2；7.微分方程xy"+3y"=0的通解为______．SSS_FILL该问题分值: 4y=C1 x -2 +C2；8.微分方程y"-2y"+2y=e x的通解为______．SSS_FILL该问题分值: 4y=e x (C1 cosx+C2sinx)+e x；9.设y=e x (C1 sinx+C2cosx)(C1，C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为______．SSS_FILL该问题分值: 4y"-2y"+2y=0．二、选择题1.已知为某函数的全微分，则a等于______SSS_SINGLE_SELA -1．B 0．C 1．D 2．该问题分值: 4答案:D2.设函数，其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有______ A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:B3.二元函数f(x，y)在点(x0，y)处两个偏导数f"x(x，y)，f"y(x0，y)存在是f(x，y)在该点连续的______SSS_SINGLE_SELA 充分条件而非必要条件．B 必要条件而非充分条件．C 充分必要条件．D 既非充分条件又非必要条件．该问题分值: 4答案:D4.二元函数在点(0，0)处______SSS_SINGLE_SELA 连续，偏导数存在．B 连续，偏导数不存在．C 不连续，偏导数存在．D 不连续，偏导数不存在．该问题分值: 4答案:C5.考虑二元函数的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y)处连续；②f(x，y)在点(x0，y)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x0，y)处可微；④f(x，y)在点(x0，y)处的两个偏导数存在．若用“P Q”表示可由性质P推出性质Q，则有______A．② ③ ①．B．③ ② ①．C．③ ④ ①．D．③ ① ④．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:A6.设有三元方程xy-zlny+e xz =1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程______SSS_SINGLE_SELA 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x，y)．B 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x，z)和z=z(x，y)．C 可确定两个具有连续偏导数的隐函数z=x(y，z)和z=z(x，y)．D 可确定两个具有连续偏导数的隐函数,x=x(y，z)和y=y(x，2)．该问题分值: 4答案:D7.已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且，则______SSS_SINGLE_SELA 点(0，0)不是f(x，y)的极值点．B 点(0，0)是f(x，y)的极大值点．C 点(0，0)是f(x，y)的极小值点．D 根据所给条件无法判断点(0，0)是否为f(x，y)的极值点．该问题分值: 4答案:A8.设可微函数f(x，y)在点(x0，y)取得极小值，则下列结论正确的是______SSS_SINGLE_SELA f(x0，y)在y=y0处的导数等于零．B f(x0，y)在y=y0处的导数大于零．C f(x0，y)在y=y0处的导数小于零．D f(x0，y)在y=y0处的导数不存在．该问题分值: 4答案:A9.设f(x，y)连续，且，其中D是由y=0，y=x 2，x=1所围区域，则f(x，y)等于______A．xy．B．2xy．C．D．xy+1．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:C10.设f(x)为连续函数，，则F"(2)等于______SSS_SINGLE_SELA 2f(2)．B f(2)．C -f(2)．D 0．该问题分值: 4答案:B11.设，其中D={(x，y)|x 2 +y 2≤1}，则______SSS_SINGLE_SELA I3＞I2＞I1．B I1＞I2＞I3．C I2＞I1＞I3．D I3＞I1＞I2．该问题分值: 4答案:A12.是设D是xOy平面上以(1，1)，(-1，1)和(-1，-1)为顶点的三角形区域，D1D在第一象限的部分，则等于______A．B．C．D．0．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:A13.累次积分f(rcosθ，rsinθ)rdr可以写成______ A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:D14.设非齐次线性微分方程y"+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y1 (x)，y2(x)，C为任意常数，则该方程的通解是______SSS_SINGLE_SELA C[y1(x)-y2(x)]．B y1(x)+C[y1(x)-y2(x)]．C C[y1(x)+y2(x)]．D y1(x)+C[y1(x)+y2(x)]．该问题分值: 4答案:B15.设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y"+p(x)y"+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是______SSS_SINGLE_SELA C1y1+C2y2+y3．B C1y1+C2y2-(C1+C2)y3．C C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3．D C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3．该问题分值: 4答案:D16.若连续函数f(x)满足关系式，则f(x)等于______ •**．•**．•**+ln2．**+ln2．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:B1。
考研数学二模拟题2018年(44)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学二模拟题2018年(44)(总分100, 做题时间90分钟)一、选择题1.设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的______ SSS_SINGLE_SELA 充分必要条件．B 充分但非必要条件．C 必要但非充分条件．D 既非充分又非必要条件．分值: 2.5答案:A2.设f(x)是连续函数，且，则F"(x)等于______• A.-e-x f(e-x)-f(x)．• B.-e-x f(e-x)+f(x)．•**(e-x)-f(x)．**(e-x)+f(x)．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2.5答案:A3.已知函数f(x)具有任意阶导数，且f"(x)=[f(x)] 2，则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数f (n) (x)是______•**![f(x)]n+1．•**[f(x)]n+1．C.[f(x)]2n．**![f(x)]2n．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2.5答案:A4.设函数对任意x均满足f(1+x)=af(x)，且f"(0)=b，其中a，b为非零常数，则______SSS_SINGLE_SELA f(x)在x=1处不可导．B f(x)在x=1处可导，且f"(1)=a．C f(x)在x=1处可导，且f"(1)=b．D f(x)在x=1处可导，且f"(1)=ab．分值: 2.5答案:D5.设f"(x)=3x 3 +x 2 |x|，则使f (n) (0)存在的最高阶导数n为______ SSS_SINGLE_SELA 0．B 1．C 2．D 3．分值: 2.5答案:C6.设函数y=f(x)在点x0处可导，当自变量x由x增加到x+Δx时，记Δy为f(x)的增量，dy为f(x)的微分，等于______SSS_SINGLE_SELA -1．B 0．C 1．D ∞．分值: 2.5答案:B7.设在x=0处可导，则______SSS_SINGLE_SELA a=1，b=0．B a=0，b为任意常数．C a=0，b=0．D a=1，b为任意常数．分值: 2.5答案:C8.设f(0)=0，则f(x)在x=0处可导的充要条件为______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2.5答案:B9.设函数f(x)在(-∞，+∞)上可导，则______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2.5答案:D10.设函数f(x)在x=a处可导，则函数|f(x)|在x=a处不可导的充分奈件是______ SSS_SINGLE_SELA f(a)=0且f"(a)=0．B f(a)=0且f"(a)≠0．C f(a)＞0且f(a)＞0．D f(a)＜0且f"(a)＜0．分值: 2.5答案:B二、计算题1.讨论函数在x=0处的连续性．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解] 当α≤0时，不存在，所以x=0为第二类间断点；当α＞0时，，所以β=-1时，f(x)在x=0连续；β≠-1时，x=0为第一类跳跃间断点．2.设f(x)在x=0的某邻域内二阶可导，且，求f(0)，f"(0)，f"(0)及SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解]所以，在x=0的某邻域内二阶可导，所以f(x)，f"(x)在x=0处连续．因此3.y=ln[cos(10+3x 2 )]，求y"．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解]4.已知f(u)可导，，求y"．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解]5.已知，求y"．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解]6.设y为x的函数是由方程确定的，求y"．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解]x+yy"=y"x-y，所以7.已知SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解]8.设x=y 2 +y，u=(x 2 +x) 3/2，求SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解] dx=(2y+1)dy，9.设函数f(x)二阶可导，f"(0)≠0，且SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解] 由题意知：10.设曲线x=x(t)，y=y(t)由方程组确定．求该曲线在t=1处的曲率k．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解] 由已知，其中g(x)有二阶连续导数，且g(0)=1SSS_TEXT_QUSTI11.确定a的值，使f(x)在x=0点连续；分值: 5[解] f(x)在x=0点连接，所以SSS_TEXT_QUSTI12.求f"(x)．分值: 5所以13.已知当x≤0时，f(x)有定义且二阶可导，问a，b，c为何值时是二阶可导．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解] F(x)连续，所以，所以c=f(-0)=f(0)；因为F(x)二阶可导，所以F"(x)连续，所以b=f"_(0)=f"(0)，且，F"(0)存在，所以F"_(0)=F"+(0)，所以所以14.已知SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解]f (2k+1) (0)=0，k=0，1,2，…，f 2k (0)=n!，k=0,1,2，…15.设y=xlnx，求f (n)…(1)．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解] 使用莱布尼茨高阶导数公式所以f (n) (1)=(-1) n-2 (n-2)!．16.证明y=(arcsinx) 2满足方程(1-x 2 )y (n-1)…-(2n-1)xy (n) -(n-1) 2 y (n-1) =0．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解] 因为y=(arcsinx) 2，所以所以(1-x 2 )y"=2+xy".对上式二边求n-1阶导数．按莱布尼茨公式有所以(1-x 2 )y (n+1) -(2n-1)xy (n) -(n-1) 2 y (n-1) =0．1。
2018考研数二真题
2018数二真题刚刚考完，凯程的电话瞬间变成了热线，学员兴奋地汇报他们的考试情况，提到了数一真题，都是在集训营训练的过的内容。
凯程近1-2天发布真题解析视频，凯程艾老师预祝同学们复试顺利。
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分.下面每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若2120lim()1,x x x e ax bx →++=则A.1, 1.2a b ==- B.1, 1.2a b =-=-C.1, 1.2a b == D.1, 1.2a b =-=2.下列函数中，在0x =处不可导的是A.()sin .f x x x = B.()sin .f x x x =C.()cos .f x x = D.()cos .f x x =3.设函数2,1,1,0,()(),10,1,0,,0.ax x x f xg x x x x x b x -≤-⎧-<⎧⎪==-<-⎨⎨≥⎩⎪-≥⎩若()()f x g x +在R 上连线，则A.3, 1.a b == B.3, 2.a b ==C.3, 1.a b =-= D.3, 2.a b =-=4.设函数()f x 在[0,1]上二阶可导，且10()0,f x dx =⎰则A.当()0f x '<时，1(0.2f < B.当()0f x ''<时，1(0.2f <C.当()0f x '>时，1(0.2f < D.当()0f x ''>时，1(0.2f <5.设2222222(1)1,,(1cos ),1x x x M dx N dx K x x e ππππππ---++===++⎰⎰⎰则,,M N K 的大小关系为A..M N K >> B..M K N >>C..K M N >> D..K N M >>6.22021210(1-)(1-)x x x x dx xy dy dx xy dy ----+=⎰⎰⎰⎰A.5.3 B.5.6C..3D..67.下列矩阵中，与矩阵110011001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似的为A.111011.001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B.101011.001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C.111010.001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭D.101010.001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭8.设,A B 为n 阶矩阵，记()r X 为矩阵X 的秩，( )X Y 表示分块矩阵，则A.( )().r A AB r A = B.( )().r A BA r A =C.{}( )max (),().r A B r A r B = D.( )( ).T Tr A B r A B =二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.9.2lim [arctan(1)arctan ]x x x x →+∞+-=.10.曲线22ln y x x =+在其拐点处的切线方程是.11.25143dx x x +∞=-+⎰.12.曲线33cos sin x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩在4t π=对应点的曲率为.13.设函数(,)z z x y =由方程1ln z z e xy -+=确定，则1(2,)z x ∂=∂.14.设A 为3阶矩阵，123,,a a a 为线性无关的向量组，若1123,2Aa a a a =++223,2Aa a a =+323,Aa a a =-+则A 的实特征值为.三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）求不定积分2arctan 1x x e e dx-⎰17.（本题满分10分）设平面区域D 由曲线sin ,(02)1cos ,x t t t x y t π=-⎧≤≤⎨=-⎩与轴围成，计算二重积分()2.dx y dxdy +⎰⎰18.（本题满分10分）已知常数ln 2 1.k ≥-证明：2(1)(ln 2ln 1)0.x x x k x --+-≥19.（本题满分10分）将长为2m 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。
考研数学二模拟题2018年(23)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学二模拟题2018年(23)(总分150, 做题时间90分钟)一、选择题每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知当x→0时，函数f(x)=3sinx-sin3x与cx k是等价无穷小，则SSS_SINGLE_SELA k=1，c=4.B k=1，c=-4.C k=3，c=4.D k=3，c=-4.该问题分值: 4答案:C[解析一] 用泰勒公式由题意即所以k=3，c=4.因此应选C．[解析二] 欲使由洛必达法则可得，只需和差化积得亦是所以k=3，c=4.因此应选C．2.设函数y=f(x)由方程cos(xy)+lny-x=1确定，则=SSS_SINGLE_SELA 2.B 1.C -1.D -2.该问题分值: 4答案:A[解析] 在方程cos(xy)+lny-x=1中，令x=0，得y=1，等式两端对x求导得将x=0，y=1代入上式，得y"(0)=1.于是选A.本题利用隐函数求导方法与导数定义，属基本题型．3.设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，其导函数的图形如图所示，则SSS_SINGLE_SELA 函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点．B 函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有3个拐点．C 函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有1个拐点．D 函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点．该问题分值: 4答案:B[解析] 从图可看出，函数f(x)有3个驻点及1个不可导点，前两个驻点两侧f"(x)符号相反，而后一个驻点及不可导点两侧f"(x)符号相同，故函数f(x)有2个极值点．函数f(x)有两个二阶导数等于零的点及一个二阶导数不存在的点，在这些的点两侧曲线y=f"(x)的单调性相反，因而曲线y=f(x)有3个拐点．应选B．4.设函数y=y(x)由参数方程确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是A．B．C．-8ln2+3.D．8ln2+3.SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:A[解析] 先由x=3确定t的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标．当x=3时，有t 2 +2t=3，得t=1，t=-3(舍去，此时y 无意义)，于是可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为：y-ln2=-8(x-3)，令y=0，得其与x轴交点的横坐标为：故应A．注意本题法线的斜率应为-8.此类问题没有本质困难，但在计算过程中应特别小心，稍不注意答案就可能出错．5.设f(x，y)为连续函数，则等于A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:C[解析] 本题考查将极坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分，首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可．由题设可知积分区域D如图所示，显然是Y型域，则故选C．本题为基本题型，关键是首先画出积分区域的图形．6.设函数f(u，v)满足则依次是A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:D[解析一] 先求出f(u，v)，直接求偏导数即可．令则故所以选D．[解析二] 令时，方程两边分别对x，y求偏导数得把代入上两式解方程组有应选D．7.n阶矩阵A具有，n个不同的特征值是A与对角矩阵相似的SSS_SINGLE_SELA 充分必要条件．B 充分而非必要条件．C 必要而非充分条件．D 既非充分也非必要条件．该问题分值: 4答案:B[解析] A～Λ A有n个线性无关的特征向量．当λ1≠λ2时，λ1与λ2的特征向量必线性无关．因此，若A有n个不同的特征值，则矩阵A必有n个线性无关的特征向量．那么矩阵A必可相似对角化．由于矩阵A的特征值有重根时，矩阵A仍有可能相似对角化，所以特征值不同是A能相似对角化的充分条件，并不必要．故应选B．8.设A是n阶矩阵，α是n维列向量，若秩则线性方程组A．Ax=α必有无穷多解．B．Ax=α必有惟一解．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:D[解析] 因A是n阶矩阵，是n+1阶矩阵，有所以必有非零解．二、填空题1.曲线的斜渐近线方程为______．该问题分值: 4[解析] 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可．因为于是所求斜渐近线方程为如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握．这里应注意两点：1.当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2.若当x→∞时，极限不存在，则应进一步讨论x→+∞或x→-∞的情形，即在右或左侧是否存在斜渐近线，本题定义域为x＞0，所以只考虑x→+∞的情形。
考研数学二模拟题2018年(18)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学二模拟题2018年(18) (总分100, 做题时间90分钟)一、填空题1.若线性方程组有解，则常数a1，a2，a3，a4应满足条件______．SSS_FILL 该问题分值: 5a1 +a2+a3+a4=0；2.设其中ai ≠aj(i≠j，i，j=1，2，…，n)，则线性方程A T x=B的解是______．SSS_FILL该问题分值: 5利用克莱姆法则，得唯一解(1，0，…，0) T；3.设A=(aij )3×3是实正交矩阵，且a11=1，b=(1，0，0) T，则线性方程组Ax=b的解是______．SSS_FILL该问题分值: 5(1，0，0) T；4.设方程有无穷多个解，则a=______．SSS_FILL该问题分值: 5-2．5.矩阵的非零特征值是______．SSS_FILL该问题分值: 54；6.矩阵的非零特征值是______．SSS_FILL该问题分值: 54．二、选择题1.设n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩为r，则Ax=0有非零解的充分必要条件是______SSS_SINGLE_SELA r=n．B r≥n．C r＜n．D r＞n．该问题分值: 5答案:C2.设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分条件是______SSS_SINGLE_SELA A的列向量线性无关．B A的列向量线性相关．C A的行向量线性无关．D A的行向量线性相关．该问题分值: 5答案:A3.设A为n阶实矩阵，A T是A的转置矩阵，对于线性方程组(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：A T Ax=0必有______SSS_SINGLE_SELA (Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．B (Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．C (Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．D (Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．该问题分值: 5答案:A4.设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)x=0SSS_SINGLE_SELA 当n＞m时仅有零解．B 当n＞m时必有非零解．C 当m＞n时仅有零解．D 当m＞n时必有非零解．该问题分值: 5答案:D5.设n阶矩阵A的伴随矩阵A *≠0，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系______SSS_SINGLE_SELA 不存在．B 仅含一个非零解向量．C 含有两个线性无关的解向量．D 含有三个线性无关的解向量．该问题分值: 5答案:B6.设A是m×n矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是______SSS_SINGLE_SELA 若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解．B 若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多解．C 若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解．D 若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解．该问题分值: 5答案:D7.非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则______SSS_SINGLE_SELA r=m时，方程组Ax=b有解．B r=n时，方程组Ax=b有唯一解．C m=n时，方程组Ax=b有唯一解．D r＜n时，方程组Ax=b有无穷多解．该问题分值: 5答案:A8.设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，且r(A)=3，α1 =(1，2，3，4) T，α2+α3=(0，1，2，3) T，C表示任意常数，则线性方程组Ax=b的通解x为______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 5答案:C9.设A为n阶可逆矩阵，λ是A的一个特征值，则A的伴随矩阵A *的特征值之一是______• A.λ-1|A|n．• B.λ-1|A|．• C.λ|A|．• D.λ|A|n．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 5答案:B10.设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于______ A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 5答案:B11.设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵．已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P -1 AP) T属于特征值λ的特征向量是______•**α．•**α．•**α．D.(P-1)Tα．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 5答案:B12.n阶矩阵A具有n个不同的特征值是A与对角矩阵相似的______SSS_SINGLE_SELA 充分必要条件．B 充分而非必要条件．C 必要而非充分条件．D 既非充分也非必要条件．该问题分值: 5答案:B13.设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则______SSS_SINGLE_SELA λE-A=λE-B．B A与B有相同的特征值和特征向量．C A与B都相似于一个对角矩阵．D 对任意常数t，tE-A与tE-B相似．该问题分值: 5答案:D14.设矩阵．已知矩阵A相似于B，则r(A-2E)与r(A-E)之和等于______SSS_SINGLE_SELA 2．B 3．C 4．D 5．该问题分值: 5答案:C1。
考研数学二模拟题2018年(28)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学二模拟题2018年(28)(总分100, 做题时间90分钟)一、填空题1.已知f"(lnx)=1+lnx，则f(x)=______．SSS_FILL该问题分值: 4x+e x +C；2.已知∫(x)dx=arcsinx+C，则SSS_FILL该问题分值: 43.设SSS_FILL该问题分值: 44.已知f(x)的一个原函数为ln 2 x，则∫xf"(x)dx=______．SSS_FILL该问题分值: 42lnx-ln 2 x+C；5.已知f"(e x )=xe -x，且f(1)=0，则f(x)=______．SSS_FILL该问题分值: 46.SSS_FILL该问题分值: 47.SSS_FILL该问题分值: 48.SSS_FILL该问题分值: 49.SSS_FILL该问题分值: 4 ln3；10.设f(x)有一个原函数SSS_FILL该问题分值: 411.SSS_FILL该问题分值: 412.SSS_FILL该问题分值: 42(1-2e -1 )；二、选择题1.设f(x)有二阶连续导数，且f"0)=0，，则______SSS_SINGLE_SELA f(0)是f(x)的极大值．B f(0)是f(x)的极小值．C (0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点．D f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点．该问题分值: 4答案:B2.设周期函数f(x)在(-∞，+∞)内可导，周期为4，又，则曲线y=f(x)在(5，f(5))点处的切线斜率为______A．B．0．C．-1．D．-2．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:D3.设函数f(x)在点x=a处可导，则函数|f(x)|在点x=a处不可导的充分条件是______SSS_SINGLE_SELA f(a)=0且f"(a)=0．B f(a)=0且f"(a)≠0．C f(a)＞0且f"(a)＞0．D f(a)＜0且f"(a)＜0．该问题分值: 4答案:B4.设f"(x)在[a，b]上连续，且f"(a)＞0，f"(b)＜0，则下列结论中错误的是______SSS_SINGLE_SELA 至少存在一点x0∈(a，b)，使得f(x0)＞f(a)．B 至少存在一点x0∈(a，b)，使得f(x0)＞f(b)．C 至少存在一点x0∈(a，b)，使得f"(x0)=0．D 至少存在一点x0∈(a，b)，使得f(x0)=0．该问题分值: 4答案:D5.设f(x)的导数在x=a处连续，又，则______SSS_SINGLE_SELA x=a是f(x)的极小值点．B x=a是f(x)的极大值点．C (a，f(a))是曲线y=f(x)的拐点．D x=a不是f(x)的极值点，(a，f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点．该问题分值: 4答案:B6.设函数f(x)在[a，b]上有定义，在开区间(a，b)内可导，则______ A．当f(a)f(b)＜0时，存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)=0．B．对任何ξ∈(a，b)，有．C．当f(a)=f(b)时，存在ξ∈(a，b)，使f"(ξ)=0．D．存在ξ∈(a，b)，使f(b)-f(a)=f"(ξ)(b-a)．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:B7.使函数f(x)=2x 3 -9x 2 +12x-a恰好有两个不同的零点的a等于______ SSS_SINGLE_SELA 2．B 4．C 6．D 8．该问题分值: 4答案:B8.设f(x)=xsinx+cosx，下列命题中正确的是______A．f(0)是极大值，是极小值．B．f(0)是极小值，是极大值．C．f(0)是极大值，也是极大值．D．f(0)是极小值，也是极小值．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:B9.以下四个命题中，正确的是______SSS_SINGLE_SELA 若f"(x)在(0，1)内连续，则f(x)在(0，1)内有界．B 若f(x)在(0，1)内连续，则f(x)在(0，1)内有界．C 若f"(x)在(0，1)内有界，则f(x)在(0，1)内有界．D 若f(x)在(0，1)内有界，则f"(x)在(0，1)内有界．该问题分值: 4答案:C10.设f"(x0 )=f"(x)=0，f"""(x)＞0，则下列选项正确的是______ SSS_SINGLE_SELA f"(x0)是f"(x)的极大值．B f(x0)是f(x)的极大值．C f(x0)是f(x)的极小值．D (x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点．该问题分值: 4答案:D11.设函数f(x)在x=0处连续，且，则______SSS_SINGLE_SELA f(0)=0且f"-(0)存在．B f(0)=1且f"-(0)存在．C f(0)=0且f"+(0)存在．D f(0)=1且f"+(0)存在．该问题分值: 4答案:C12.设f(x)是奇函数，除x=0外处处连续，x=0是其第一类间断点，则是______SSS_SINGLE_SELA 连续的奇函数．B 连续的偶函数．C 在x=0间断的奇函数．D 在x=0间断的偶函数．该问题分值: 4答案:B13.设函数g(x)可微，h(x)=e 1+g(x)，h"(1)=1，g"(1)=2，则g(1)等于______ SSS_SINGLE_SELA ln3-1．B -ln3-1．C -ln2-1．D ln2-1．该问题分值: 4答案:C1。
考研数学二模拟题2018年(2)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学二模拟题2018年(2)(总分100, 做题时间90分钟)一、填空题1.曲线y=x 2 e -x2的渐近线方程为______．SSS_FILL分值: 1y=0．[解析] 由于，原曲线仅有一条水平渐近线y=0．2.曲线的渐近线方程为______．SSS_FILL分值: 1． [解析] 计算可得曲线不存在水平渐近线和铅直渐近线．故此曲线的渐近线方程为．3.曲线的斜渐近线方程为______．SSS_FILL分值: 1y=2x+1． [解析]所以斜渐近线方程为y=2x+1．4.曲线的斜渐近线方程为______．SSS_FILL分值: 1． [解析] 因为故斜渐近线方程为．5.曲线的水平渐近线方程为______．SSS_FILL分值: 1． [解析] 因为故曲线的水平渐近线方程为．6.曲线的渐近线方程为______．SSS_FILL分值: 1y=2x． [解析] 由于函数连续，所以曲线无铅直渐近线；又因为都不存在，所以曲线无水平渐近线．考虑到所以曲线有斜渐近线y=2x．7.曲线y=x 2 +x(x＜0)上曲率为的点的坐标是______．SSS_FILL分值: 1(-1，0)． [解析] 将y"=2x+1，y"=2代入曲率公式，得整理后有x 2 +x=0，由于x＜0，故取x=-1，从而y| x=-1 =0，故所求点的坐标为(-1，0)．8.曲线的斜渐近线方程为______．SSS_FILL分值: 1． [解析]则斜渐近线方程为．二、选择题1.当x＞0时，曲线SSS_SINGLE_SELA 有且仅有水平渐近线．B 有且仅有铅直渐近线．C 既有水平渐近线，也有铅直渐近线．D 既无水平渐近线，也无铅直渐近线．分值: 1答案:A[解析] 由于，又，则原曲线在(0，+∞)有且仅有水平渐近线y=1．2.曲线的渐近线有SSS_SINGLE_SELA 1条．B 2条．C 3条．D 4条．分值: 1答案:B[解析] 由可知原曲线有水平渐近线．又，则原曲线有铅直渐近线x=0，虽然原题中当x=1，x=-2时分母为零，但都不是∞，故原曲线的渐近线有两条．3.曲线渐近线的条数为SSS_SINGLE_SELA 0．B 1．C 2．D 3．分值: 1答案:D[解析]所以x=0是一条铅直渐近线．又所以沿x→+∞方向没有水平渐近线．又所以沿x→+∞方向有斜渐近线y=x．再看沿x→-∞方向：所以沿x→-∞方向该曲线有水平渐近线y=0．即然沿x→-∞方向已有水平渐近线，此曲线当然不可能再有斜渐近线．故共有3条渐近线，应选D．对于(*)式中极限还有如下处理：，或者令e x =t，然后再处理．4.曲线的渐近线的条数为SSS_SINGLE_SELA 0．B 1．C 2．D 3．分值: 1答案:C[解析] 因为所以故x=1是曲线的铅直渐近线，且是唯一的一条铅直渐近线．因为所以y=1是曲线的水平渐近线．综上可知，曲线有两条渐近线．5.下列曲线中有渐近线的是A．y=x+sinx．B．y=x 2 +sinx．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:C[解析] 对于，可知．又，所以有斜渐近线y=x，因此应选C．6.曲线上对应于t=1的点处的曲率半径是A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:C[解析] 曲线在点(x，f(x))处的曲率公式，曲率半径．本题中，所以，对应于t=1的点处有y"=3，y"=-1，所以，曲率半径．应选C．7.设函数f(x)在[0，1]上f"(x)＞0，则f"(1)，f"(0)，f(1)-f(0)或f(0)-f(1)的大小顺序是SSS_SINGLE_SELA f"(1)＞f"(0)＞f(1)-f(0)．B f"(1)＞f(1)-f(0)＞f"(0)．C f(1)-f(0)＞f"(1)＞f"(0)．D f"(1)＞f(0)-f(1)＞f"(0)．分值: 1答案:B[解析] 由于f"(x)＞0，x∈[0，1]，则f"(x)单调增加，又f(1)-f(0)=f"(c)，c∈(0，1)，从而f"(1)＞f"(c)＞f"(0)，即f"(1)＞f(1)-f(0)＞f"(0)．8.设函数f(x)，g(x)是大于零的可导函数，且f"(x)g(x)-f(x)g"(x)＜0，则当a ＜x＜b时，有SSS_SINGLE_SELA f(x)g(b)＞f(b)g(x)．B f(x)g(a)＞f(a)g(x)．C f(x)g(x)＞f(b)g(b)．D f(x)g(x)＞f(a)g(a)．分值: 1答案:A[解析] 看起来，选项眼花缭乱，其实仔细审题发现，A，B两项是在区间(a，b)内的值与两端点处的值比大小，C，D两项是f(x)g(x)在区间(a，b)内的值与两端点处的值比大小．题干中含有某种形式的导数的不等式，就想到用单调性．题干中表述的是谁的导数呢?经验算，故应选A．9.已知函数f(x)在区间(1-δ，1+δ)内具有二阶导数，f"(x)严格单调减少，且f(1)=f"(1)=1，则SSS_SINGLE_SELA 在(1-δ，1)和(1，1+δ)内均有f(x)＜x．B 在(1-δ，1)和(1，1+δ)内均有f(x)＞x．C 在(1-δ，1)内，f(x)＜x，在(1，1+δ)内，f(x)＞x．D 在(1-δ，1)内，f(x)＞x，在(1，1+δ)内，f(x)＜x．分值: 1答案:A[解析] 由选项看出，题目是要确定x与f(x)在所讨论区间内的大小关系，因此，构造辅助函数F(x)=f(x)-x．由题目的条件知F(1)=0，F"(1)=0，f"(x)=f"(x)＜0，∈(1-δ，1+δ)，故F(x)在x=1处取得极大值，即F(1)=0在区间(1-δ，1+δ)内为极大值，从而f(x)-x＜0，x∈(1-δ，1)∪(1，1+δ)，即A正确．三、解答题1.对函数填写下表．单调减区间单调增区间极值点极值凹区间凸区间拐点渐近线SSS_TEXT_QUSTI分值: 6解单调减区间(-∞，-2)，(0，+∞) 凹区间(-3，0)，(0，+∞) 单调增区间(-2，0) 凸区间(-∞，-3)极值点-2 拐点极值渐近线x=0和y=0 2.设，求(1)函数的增减区间及极值；(2)函数图像的凹凸区间及拐点；(3)渐近线；(4)作出其图形．SSS_TEXT_QUSTI分值: 7解定义域(-∞，0)∪(0，+∞)．当时，y=0．(1) ，故驻点为x=2．又x (-∞，0) (0，2) 2 (2，+∞)y" + - 0 +y ↗ ↘ 3 ↗所以，(-∞，0)及(2，+∞)为增区间，(0，2)为减区间，x=2为极小值点，极小值为y=3．(2) ，故(-∞，0)，(0，+∞)均为凹区间，无拐点．(3)因所以，x=0为铅直渐近线，y=x为斜渐近线．(4)函数的图形如图所示．3.如图所示，设曲线L的方程y=f(x)，且y"＞0，又MT，MP分别为该曲线在点M(x0，y)处的切线和法线．已知线段MP的长度为(其中y"=y"(x0 )，y"=y"(x))，试推导出点P(ξ，η)的坐标表达式．SSS_TEXT_QUSTI分值: 7解由题设①又PM⊥MT，所以②由①，②式得．由于y"＞0，曲线L是凹的，故y-η＜0，从而．又，于是得因此P点坐标为4.已知函数，求(Ⅰ)函数的增减区间及极值；(Ⅱ)函数图形的凹凸区间及拐点；(Ⅲ)函数图形的渐近线．SSS_TEXT_QUSTI分值: 7解所给函数的定义域为(-∞，1)∪(1，+∞)．，令y"=0，得驻点x=0及x=3．，令y"=0，得x=0．列表讨论如下：x (-∞，0) 0 (0，1) (1，3) 3 (3，+∞)y" + 0 + - 0 +y" - 0 + + + +y ↗ 拐点↗ ↘ 极小值↗由此可知：(Ⅰ)函数的单调增加区间为(-∞，1)和(3，+∞)，单调减少区间为(1，3)；极小值为(Ⅱ)函数图形在区间(-∞，0)内是凸的．在区间(0，1)，(1，+∞)内是凹的，拐点为点(0，0)．(Ⅲ)由知，x=1是函数图形的铅直渐近线．又故y=x+2是函数图形的斜渐近线．5.证明：当x＞0时，有不等式．SSS_TEXT_QUSTI分值: 7证考虑函数x＞0，有所以f(x)在(0，+∞)上是单调减少的．又，知当x＞0时，，即．6.利用导数证明：当x＞1时，SSS_TEXT_QUSTI分值: 7证令f(x)=(1+x)ln(1+x)-xlnx，则，故在[1，+∞)内f(x)为严格增函数．又f(1)=2ln2＞0，所以有f(x)＞0，x＞1．从而得7.设f"(x)＜0，f(0)=0，证明对任何x1＞0，x2＞0，有f(x1+x2)＜f(x1 )+f(x2)．SSS_TEXT_QUSTI分值: 7证法1 令F(x)=f(x)+f(x2 )-f(x+x2)，F(0)=0，又F"(x)=f"(x)-f"(x+x2)=f"(ξ)(-x2)＞0．ξ∈(x，x+x2)(拉格朗日中值定理)，故F(x1)＞F(0)=0，x1＞0，即f(x1)+f(x2)-f(x1+x2)＞0．证法2 不妨设x1≤x2(x2≤x1时类似可证)，则由拉格朗日中值定理可得f(x1 )-f(0)=x1f"(ξ1)，0＜ξ1＜x1，f(x1 +x2)-f(x2)=x1f"(ξ2)，x2＜ξ2＜x1+x2．又已知f"(x)＜0，故f"(ξ2 )＜f"(ξ1)．比较以上两式即得f(x1 +x2)＜f(x1)+f(x2)．证法1采用把其中一个常量字母x1改为变量x(常数变量化)转化为函数不等式，再利用单调性的手段加以证明，这种方法是证明这类常数不等式常用的一种方法．8.设x＞0，常数a＞e．证明：(a+x) a＜a a+x．SSS_TEXT_QUSTI分值: 7证由函数y=lnx的单调性，只需证aln(a+x)＜(a+x)lna．设f(x)=(a+x)lna-aln(a+x)，则f(x)在[0，+∞)内连续、可导，且所以f(x)在[0，+∞)内单增．又f(0)=0．从而得f(x)＞0，x＞0，即aln(a+x)＜(a+x)lna，x＞0．所以(a+x) a＜a a+x，x＞0．9.设，且f"(x)＞0，证明：f(x)≥x．SSS_TEXT_QUSTI分值: 7证法1 因f(x)连续且具有一阶导数，故由知f(0)=0．．由f(x)的泰勒公式得，ξ在0与x之间．因f"(ξ)＞0，所以f(x)≥x．证法2 易推知f(0)=0，f"(0)=1，令F(x)=f(x)-x，则F"(x)=f"(x)-1，f"(x)=f"(x)＞0，有F"(0)=f"(0)-1=0，则x=0是唯一的极小值点，也是最小值点，于是F(x)=f(x)-x≥F(0)=0．证毕．设x∈(0，1)，证明：SSS_TEXT_QUSTI10.(1+x)ln 2 (1+x)＜x 2；分值: 3.5证令φ(x)=(1+x)ln 2 (1+x)-x 2，有φ(0)=0，φ"(x)=ln 2 (1+x)+2ln(1+x)-2x，还看不出在(0，1)内φ"(x)是否定号．为此，再计算φ"(0)=0．再计算φ"(0)=0，于是φ"(x)在(0，1)内严格单调减少，又φ"(0)=0，所以在(0，1)内φ"(x)＜o．于是φ"(x)在(0，1)内严格单调减少，又φ"(0)=0，故在(0，1)内φ"(x)＜0．因此φ(x)在(0，1)内严格单调减少，又φ(0)=0，故在(0，1)内φ(x)＜0．证毕．SSS_TEXT_QUSTI11.分值: 3.5证令有由上一小题知，当x∈(0，1)时f"(x)＜0，于是在(0，1)内f(x)严格单调减少，，故当x∈(0，1)时，不等式左边证毕．又故当x∈(0，1)时，．不等式右边证毕．函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式．SSS_TEXT_QUSTI12.求导数f"(x)；分值: 3.5解由题设知上式两边对x求导，得(x+1)f"(x)=-(x+2)f"(x)．设u=f"(x)则有解之得由f(0)=1及f"(0)+f(0)=0，知f"(0)=-1，从而C=-1．因此SSS_TEXT_QUSTI13.证明：当x≥0时，成立不等式：e -x≤f(x)≤1．分值: 3.5证当x≥0时，f"(x)＜0，即f(x)单调减少，又f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1．设φ(x)=f(x)-e -x，则当x≥0时，φ"(x)≥0，即φ(x)单调增加，因而φ(x)≥φ(0)=0，即有f(x)≥e -x．综上所述，当x≥0时，不等式e -x≤f(x)≤1成立．14.设0＜a＜b，证明不等式SSS_TEXT_QUSTI分值: 7证先证右边的不等式．设因为故当x＞a时φ(x)单调减少，又φ(a)=0，所以，当x＞a时，φ(x)＜φ(a)=0，即特别地，当x=b＞a时，便有即其次证明左边的不等式．设f(x)=lnx(x＞a＞0)，由拉格朗日中值定理知，至少存在一点ξ∈(a，b)，使由于0＜a＜ξ＜b，故又由于a 2 +b 2＞2ab，所以，从而有1。
考研数学二模拟题2018年(50)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学二模拟题2018年(50)(总分150, 做题时间90分钟)一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.下列反常积分收敛的是______．A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:B[解析] 因为且α=1≥1，所以发散．因为且α=1≤1，所以发散；对任意的ε＞0，，由得发散．选B．2.设f(x)连续，且，则下列结论正确的是______．SSS_SINGLE_SELA f(1)是f(x)的极大值B f(1)是f(x)的极小值C (1，f(1))不是曲线y=f(x)的拐点D f(1)不是f(x)的极值，但(1，f(1))是曲线y=f(x)的拐点该问题分值: 4答案:B[解析] 因为，所以由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜|x-1|＜δ时，有，即当x∈(1-δ，1)时，f"(x)＜0；当x∈(1，1+δ)时，f"(x)＞0．根据极值的定义，f(1)为f(x)的极小值，选B.3.设f(x)在[a，+∞)内二阶可导，f(a)=A＞0，f"(a)＜0，f"(x)≤0(x＞a)，则f(x)在[a，+∞)内______．SSS_SINGLE_SELA 无根B 有两个根C 有无穷多个根D 有且仅有一个根该问题分值: 4答案:D[解析] ，其中ξ介于a与x之间．因为f(a)=A＞0，，所以f(x)在[a，+∞)上至少有一个根．由单调不增，所以当x＞a时，在[a，+∞)为单调减函数，所以根是唯一的，选D.4.下列结论正确的是______．SSS_SINGLE_SELA 若f(x)可导且单调增加，则f"(x)＞0B 若f(x)，g(x)皆可导且f"(x)＞g"(x)，则f(x)＞g(x)C 若f(x)，g(x)皆可导且f(x)＞g(x)，则f"(x)＞g"(x)D 若f"(x)＞0，则f(x)单调增加该问题分值: 4答案:D[解析] f(x)=x 3为单调增加的函数，f"(x)=3x 2，因为f"(0)=0，所以f"(x)≥0，A不对；令f(x)=x，g(x)=2(x＜1)，显然f"(x)＞g"(x)，但f(x)＜g(x)，B不对；令f(x)=2，g(x)=x(x＜2)，显然f(x)＞g(x)，但f"(x)＜g"(x)，C不对；由微分中值定理得f(x2 )-f(x1)=f"(ξ)(x2-x1)，因为f"(x)＞0，所以x2 -x1与f(x2)-f(x1)同号，即f(x)单调增加，选D.5.设t＞0，则当t→0时，是t的n阶无穷小量，则n为______．SSS_SINGLE_SELA 2B 4C 6D 8该问题分值: 4答案:C[解析]因为所以，即n=6，选C．6.设y1 (x)，y2(x)是微分方程y"+py"+qy=0的解，则由y1(x)，y2(x)能构成方程通解的充分条件是______．•**"1y2-y1y"2=0•**"1y2-y1y"2≠0•**"1y2+y1y"2=0**"1y2+y1y"2≠0SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:B[解析] y1 (x)，y2(x)能构成微分方程y"+py"+qy=0通解的充分必要条件是不是常数，即，选B．7.设A为三阶矩阵，为非齐次线性方程组的解，则______SSS_SINGLE_SELA 当t≠2时，r(A)=1B 当t≠2时，r(A)=2C 当t=2时，r(A)=1D 当t=2时，r(A)=2．该问题分值: 4答案:A[解析] 方法一：当t≠2时，为AX=0的两个线性无关的解，从而3-r(A)≥2，r(A)≤1，又由A≠0得r(A)≥1，即r(A)=1，选A．方法二：令，由已知条件得，r(AB)=1，当t≠2时，B为可逆矩阵，从而r(AB)=r(A)=1，选A．8.设n阶矩阵A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)，AB=(γ1，γ2，γn)，令向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αn；(Ⅱ)：β1，β2，…，βn；(Ⅲ)：γ1，γ2，…，γn，若向量(Ⅲ)线性相关，则______．SSS_SINGLE_SELA 向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)都线性相关B 向量组(Ⅰ)线性相关C 向量组(Ⅱ)线性相关D 向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)至少有一个线性相关该问题分值: 4答案:D[解析] 当向量组(Ⅰ)线性相关时，r(A)＜n，由r(AB)≤r(A)得r(AB)＜n，即向量组(Ⅲ)线性相关；同理，当向量组(Ⅱ)线性相关时，r(B)＜n，由r(AB)≤r(B)得r(AB)＜n，即向量组(Ⅲ)线性相关，选D．二、填空题1.设D：(x 2 +y 2 ) 2≤4(x 2 -y 2 )，则SSS_FILL该问题分值: 4[解析] 由对称性得令则于是2.设t＞0，Dt={(x，y)|0≤x≤y，t≤y≤1}，则SSS_FILL该问题分值: 4[解析] 由得3.SSS_FILL该问题分值: 4[解析]4.设z=f(x，y)连续，且，则dz|(1，2)=______．SSS_FILL该问题分值: 42dx-dy [解析] 令，由f(x，y)连续得f(1，2)=3，由得f(x，y)-2x+y-f(1，2)=o(ρ)，即Δz=f(x，y)-f(1，2)=2(x-1)-(y-2)+o(p)，故dz|(1，2)=2dx-dy.5.SSS_FILL该问题分值: 4[解析] 令于是故6.设A为三阶实对称矩阵，为方程组AX=0的解，为方程组(2E-A)X=0的一个解，|E+A|=0，则A=______．SSS_FILL该问题分值: 4[解析] 显然为A的特征向量，其对应的特征值分别为λ1 =0，λ2=2，因为A为实对称阵，所以，解得k=1，于是又因为|E+A|=0，所以λ3 =-1为A的特征值，令λ3=-1对应的特征向量为，由即得令，由三、解答题共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.计算极限SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 9[解] 当x→0时，，则2.设u=f(x+y，x-y，z)由确定z为x，y的函数，又f连续可偏导，p可导，且p(y+z)-p(x+z)-1≠0，求．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 9[解] 将u=f(x+y，x-y，z)及两边对x求偏导得解得故3.设f(x)在[0，2]上二阶可导，且f"(x)＜0，f"(0)=1，f"(2)=-1，f(0)=f(2)=1．证明：SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 11[解] 首先f"(x)＜0，所以f(x)在(0，2)内不可能取到最小值，从而f(0)=f(2)=1为最小值，故f(x)≥1(x∈[0，2])，从而．又因为f"(x)＜0，所以有所以设抛物线y=x 2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为S，其中一条切线与抛物线相切于点A(a，a 2 )(a＞0)．SSS_TEXT_QUSTI4.求S=S(a)的表达式；该问题分值: 5[解] 设另一个切点为，则抛物线y=x 2的两条切线分别为因为L1⊥L2，所以，两条切线L1，L2的交点为y1=ax，L1，L2及抛物线y=x 2所围成的面积为SSS_TEXT_QUSTI5.当a取何值时，面积S(a)最小?该问题分值: 5[解]因为当时，S"(a)＜0，当时，S"(a)＞0，所以当时，面积S(a)取最小值．6.计算，其中D={(x，y)|x 2 +y 2≤1，x≥0，y≥0}．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 11[解]7.设曲线y=y(x)位于第一卦限且在原点处的切线与x轴相切，P(x，y)为曲线上任一点，该点与原点之间的弧长为l1，点P处的切线与y轴交于点A，点A，P之间的距离为l2，又满足x(3l1+2)=2(x+1)l2，求曲线y=y(x)．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 10[解] 由已知条件得y(0)=0，y"(0)=0，P(x，y)处的切线为Y-y=y"(X-x)，令X=0，则Y=y-xy"，A的坐标为(0，y-xy")，由x(3l1 +2)=2(x+1)l2得两边对x求导整理得1+y "2 =2(x+1)y " y "，令y"=p，，代入得变量分离得积分得ln(1+p 2 )=ln(x+1)+lnC1，即1+p 2 =C1(x+1)，由初始条件得C1=1，即，从而，再由y(0)=0得C2=0，故所求的曲线为．设曲线y=y(x)(x＞0)是微分方程2y"+y"-y=(4-6x)e -x的一个特解，此曲线经过原点且在原点处的切线平行于x轴．SSS_TEXT_QUSTI8.求曲线y=y(x)的表达式；该问题分值: 4[解] 微分方程的特征方程为2λ 2+λ-1=0，特征值为λ1=-1，，则微分方程2y"+y"-y=0的通解为令非齐次线性微分方程2y"+y"-y=(4-6x)e -x的特解为y(x)=x(ax+b)e -x，代入原方程得a=1，b=0，故原方程的特解为y(x)=x 2 e -x，原方程的通解为由初始条件y(0)=y"(0)=0得C1 =C2=0，故y=x 2 e -x．SSS_TEXT_QUSTI9.求曲线y=y(x)到x轴的最大距离；该问题分值: 4[解] 曲线y=x 2 e -x到x轴的距离为d=x 2 e -x，令d"=2xe -x -x 2 e -x =x(2-x)e -x =0，得x=2．当x∈(0，2)时，d"＞0；当x＞2时，d"＜0，则x=2为d=x 2 e -x的最大值点，最大距离为SSS_TEXT_QUSTI10.计算积分该问题分值: 4[解]设非齐次线性方程组有三个线性无关解α1，α2，α3．SSS_TEXT_QUSTI11.证明系数矩阵的秩r(A)=2；该问题分值: 5.5[解] 令r(A)=r，因为系数矩阵至少有两行不成比例，所以r(A)≥2．α1-α2，α1-α3为对应的齐次线性方程组的两个解．令k1(α1-α2)+k2(α1-α3)=0，即(k1+k2)α1-k1α2-k2α3=0．因为α1，α2，α3线性无关，所以k1=k2=0，即α1-α2，α1-α3线性无关，于是对应的齐次线性方程组的基础解系至少含两个线性无关解向量，即4-r≥2或r≤2，故r(A)=2．SSS_TEXT_QUSTI12.求常数a，b的值及通解．该问题分值: 5.5[解]因为，所以解得a=2，b=-3，于是通解为13.设，其中A T =A．又且AB=O．求正交矩阵Q，使得X T AX在正交变换X=QY下化为标准二次型，SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 11[解] ，由AB=O得B的列为AX=0的解，令，由Aα1=0α1，Aα2=0α2得λ1=λ2=0为A的特征值，α1，α2为λ1=λ2=0对应的线性无关的特征向量．又由λ1+λ2+λ3=tr(A)=6得λ3=4，令为λ3=4对应的特征向量，由A T =A得λ3=4对应的线性无关的特征向量为．令单位化得1。
考研数学二模拟题2018年(1)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学二模拟题2018年(1)(总分100, 做题时间90分钟)一、填空题1.SSS_FILL分值: 1．[解析]2.设f(x)连续，且，则f(7)=______．SSS_FILL分值: 1． [解析] 等式，两边对x求导，得3x 2 f(x 3 -1)=1．令x=2得12f(7)=1，则．3.SSS_FILL分值: 1-3f(cos3x)sin3x．[解析] 由变上限积分求导法可知4.设f(x)连续，则SSS_FILL分值: 1xf(x 2 )． [解析] 令u=x 2 -t 2，du=-2tdt．当t=0时，u=x 2，当t=x 时，u=0．故本题属于要先作换元然后才能求导的类型．5.设函数f(x)连续，．若φ(1)=1，φ"(1)=5，则f(1)=______．SSS_FILL分值: 12． [解析] 改写，由变限积分求导法得由得f(1)=2．6.由曲线y=xe x与直线y=ex所围成图形的面积S=______．SSS_FILL分值: 1． [解析] 由xe x =ex可知x(e x -e)=0．则x=0或x=1．故二、选择题1.设，其中f(x)连续，s＞0，t＞0，则I的值SSS_SINGLE_SELA 依赖于s，t．B 依赖于s，t，x．C 依赖于t，x，不依赖于s．D 依赖于s，不依赖于t．分值: 1答案:D[解析] ，由此可见，I的值只与s有关，所以应选D．2.设函数记，0≤x≤2，则A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:B[解析] 当0≤x≤1时，；当1＜x≤2时，．由此可见应选B．f(x)在[0，2]上可积，则在[0，2]上连续，于是排除A，C，D．3.设f(x)连续，，则F"(x)等于•**(x4)．•**(x4)．•**(x4)．**(x2)．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:C[解析] 由知F"(x)=2xf(x 4 )．故应选C．4.已知设，则F(x)为A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:D[解析]所以应选D．f(x)在[0，2]上可积，则在[0，2]上连续，于是排除A，B，C．5.设函数f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:D[解析] 设，则即F(x)是偶函数，D是正确的．类似方法可以证明A，C均为奇函数．而对B中的函数，因为由所给条件不能推出为偶函数．6.设f(x)是奇函数，除x=0外处处连续，x=0是其第一类间断点，则是SSS_SINGLE_SELA 连续的奇函数．B 连续的偶函数．C 在x=0间断的奇函数．D 在x=0间断的偶函数．分值: 1答案:B[解析] 解法1 取函数它满足题设条件，则是一个连续的偶函数，从而排除了选项A，C，D，故选B．解法2 显然f(x)在任何有限区间[a，b]上都可积，于是连续；又因f(x)是奇函数，则是偶函数，故选B．7.设函数y=f(x)在区间[-1，3]上的图形如图所示．则函数的图形为A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:D[解析] 根据题中函数y=f(x)的图形，可知函数在除了x=0，x=2两点外可导，且F"(x)=f(x)．由此可知：函数F(x)在(-1，0)内单调递增，在(0，1)内单调递减，在(1，2)内单调递增，在(2，3)内恒为常数．由于函数F(x)连续，且F(0)=0，所以正确选项只能是D．8.设函数，则SSS_SINGLE_SELA x=π是函数F(x)的跳跃间断点．B x=π是函数F(x)的可去间断点．C F(x)在x=π处连续但不可导．D F(x)在x=π处可导．分值: 1答案:C9.曲线y=x(x-1)(2-x)与x轴所围图形面积可表示为A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:C[解析] y=x(x-1)(2-x)与x轴的交点为x=0，x=1，x=2，因此该曲线与x轴围成的面积为所以应选C．10.由曲线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:B[解析]11.曲线与x轴所围成的图形，绕x轴旋转一周所成旋转体的体积为A．B．π．C．D．π 2．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:C[解析]12.设f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，且g(x)＜f(x)＜m(m为常数)，由曲线y=g(x)，y=f(x)，x=a及x=b所围平面图形绕直线y=m旋转而成的旋转体体积为A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:B[解析] 先画草图如图所示，对x积分。
考研数学二模拟题2018年(31)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学二模拟题2018年(31)(总分150, 做题时间90分钟)一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.设f(x)=|x|，g(x)=x 2 -x，则等式f[g(x)]=g[f(x)]成立时，x的变化范围______SSS_SINGLE_SELA (-∞，1]∪{0}．B (-∞，0]．C [0，+∞)．D [1，+∞)∪{0}．分值: 4答案:D[解析] f[g(x)]=|g(x)|=|x 2 -x|，g[f(x)]=f 2 (x)-f(x)=|x| 2 -|x|=x 2 -|x|．由f[g(x)]=g[f(x)]，得|x 2 -x|=x 2 -|x|．①当x 2≥x，即x≤0或者x≥1时，有x 2 -x=x 2 -|x|，即x=|x|，解得x≥0．综合得x≥1．②当x 2≤x，即1≥x≥0时，x-x 2 =x 2 -x，即2x=2x 2，解得x=1或x=0．综上所述，当x≥1或x=0时，f[g(x)]=g[f(x)]．2.设z=h(x，y)由方程e xyz =x+y+z确定，则h(x，y)在点P(0，1)的两个偏导数______SSS_SINGLE_SELA 分别等于0和-1．B 分别等于-1和0．C 都等于0．D 都等于-1．分值: 4答案:D[解析] 将x=0，y=1代入方程e xyz =x+y+z，得e 0 =1+z0z=0．方程两边对x取偏导数，得e xyz (yz+xyzx )=1+zx．将p(0，1，0)代入上式，得同理可得3.设非负可微函数f(x)满足条件f"(x)≤0，收敛，则______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:A[解析] 由于f"(x)≤0，所以f(x)为单调下降函数．由于收敛，则又故由夹逼定理可知又当x≥1时，0≤f(x)≤xf(x)，从而有4.若F(x)是区间[-1，1]上f(x)的一个原函数，则在[-1，1]上f(x)______SSS_SINGLE_SELA 有界．B 无第一类间断点．C 可积．D 连续．分值: 4答案:B[解析] F(x)是区间[-1，1]上f(x)的一个原函数对x∈[-1，1]，f(x)=F"(x)．B正确，在[-1，1]上f(x)一定无第一类间断点，利用微分中值定理，通过反证法证明．研究函数F(x)有在(-∞，+∞)上连续，且导函数f(x)在(-∞，+∞)存在，且f(0)=0．但导函数f(x)在x=0点不连续，而且当x→0时，f(x)无界，不可积．因而A、C、D错误．5.设函数f(x)单调，且f"(0)≠0．若则______SSS_SINGLE_SELA f(0)+f"(0)=-1．B f(0)+f"(0)=1．C f(0)+f"(0)=0．D f(0)+f"(0)=2．分值: 4答案:B[解析] 思路一：即f[f(0)]=f(0)．因为f(x)单调，则f(x)在x=0点某邻域内存在反函数f -1．由此可得f(0)=f -1 [f(0)]=0．依题意有f(0)=0，f"(0)=1，f(0)+f"(0)=1．思路二：假设f(x)连续可导，则依题意有f(0)=0，f"(0)=1，f(0)+f"(0)=1．6.设y=y(x)是初值问题的解，则______A．x=1是y(x)的极大点，且极限B．x=1是y(x)的极大点，且极限C．x=1是y(x)的极小点，且极限D．x=1是否为y(x)的极值点与参数a有关，且极限SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:C[解析] 因为y(x)是方程的解．由y"(1)=0，知x=1是y(x)的一个驻点．又y"(1)=(πe x-1 -2y"-ay)|=π＞0，所以x=1是y(x)的极小点．x=17.关于n阶矩阵A，B有如下命题：①A和A T有相同的特征值．②若A～B，则A，B有相同的特征值．③A，B是实对称矩阵，则AB和BA有相同的特征值．④A是可逆矩阵，则AB和BA有相同的特征值．上述正确的个数是______SSS_SINGLE_SELA 1．B 2．C 3．D 4．分值: 4答案:D[解析] 对①：|λE-A|=|(λE-A) T|=|λE-A T | A，A T有相同的特征值．对②：A～B，即可逆矩阵P，使得P -1 AP=B，则|λE-B|=|λE-P -1AP|=|λP -1 P-P -1 AP|=|P -1(λE-A)P|=|λE-A|，则A，B 有相同的特征值．对③：A T =A，B T =B，(AB) T =B T A T =BA，由①知AB和(AB) T =BA有相同的特征值．对④：A可逆，取P=A，则P -1 ABP=A -1 ABA=BA，由③知AB和BA有相同的特征值．故①、②、③、④均成立．8.设A是4阶方阵，则下列线性方程组是同解方程组的是______•**=0和A2X=0．•**=0和A3X=0．•**=0和A4X=0．**=0和A5X=0．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:D[解析] 显然，由A i X=0，两边左乘以A，得A i+1 X=0，i=1，2，3，4，四个选项均成立．反之，若A i+1 X=0，是否有A i X=0．对A，取 A 2 =0，取X=[0，0，0，1] T，则A 2 X=0X=0，但故A不是同解方程组．对B，取 A 3 =0，取X=[0，0，0，1] T，则A 3 X=0，但故B不是同解方程组．对C，取 A 4 =0，取X=[0，0，0，1] T，则A 4 X=0，但故C不是同解方程组．由排除法知，应选择D．对于D：易知A 4 X=0 A 5 X=0，要证A 5 X=0 A 4 X=0，用反证法，设A 5 X=0，而A 4X≠0，因5个四维向量X，AX，A 2 X，A 3 X，A 4 X必线性相关，存在不全为零的数k0，k1，k2，k3，k4使得k0 X+k1AX+k2A 2 X+k3A 3 X+k4A 4 X=0． (*)对(*)式两边左乘A 4，得k0 A 4 X+k1A 5 X+k2A 6 X+k3A 7 X+k4A 8 X=0 kA 4 X=0，又A 4X≠0得k0 =0，将k=0代入(*)式，类似的再两边左乘A 3，可得k1=0，同理可得k2 =k3=k4=0，这和X，AX，A 2 X，A 3 X，A 4 X线性相关矛盾，故A 5 X=0 A 4 X=0．(一般的，当A为n阶方阵时，有A n+1 X=0A n X=0)故A是四阶方阵时，A 4 X=0和A 5 X=0是同解方程组．二、填空题1.设δ＞0，f(x)在[-δ，δ]上有定义，f(0)=1，且有则f"(0)=______．SSS_FILL分值: 41 [解析] 由已知，得则2.设则与直线2x+y=1垂直的曲线y(x)的切线方程为______．SSS_FILL分值: 4[解析] 由已知得由于曲线y(x)切线的斜率应为当x＜0时，无解．当x≥0时，由此得切点为P(1，ln2)．所求切线方程为3.SSS_FILL分值: 40 [解析]4.SSS_FILL分值: 4[解析] 思路一：在极坐标系下，x=ρcosφ，y=ρsinφ，则其中思路二：其中所以5.若y(x)满足且y(0)=y"(0)=0，则y(x)=______．SSS_FILL分值: 4[解析] 因为得新方程为则由y"(0)=0，得则6.设则(A-2E) -1 (A * +E)=______．SSS_FILL分值: 4[解析] 由已知得A可逆，A * =|A|A -1 =-2A -1．故(A-2E) -1 (A * +E)=(A-2E) -1 (-2A -1 +E)=(A-2E) -1 (A-2E)A -1 =A -1，利用初等变换法求逆则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.设z=z(x，y)在全平面R 2上有连续的二阶偏导数，并且满足方程如果f(-x，x)=-x 2，f"1 (-x，x)=-x求f"12(-x，x)，f"11(-x，x)，f"22(-x，x)．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10f(-x，x)=-x 2-f"1 (-x，x)+f"2(-x，x)=-2x-[-f"11 (-x，x)+f"12(-x，x)]+[-f"21(-x，x)+f"22(-x，x)]=-2．由已知得f"11 (-x，x)+f"22(-x，x)=0，f"12(-x，x)=f"21(-x，x)．所以f"12(-x，x)=1．又f"1(-x，x)=-x，故-f"11 (-x，x)+f"12(-x，x)=-1 f"11(-x，x)=2，f"22 (-x，x)=-f"11(-x，x)=-2．2.求定积分的值．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10思路一：思路二：3.计算累次积分SSS_TEXT_QUSTI分值: 10所给累次积分所对应的二重积分的积分域由y=x，y=2，围成．4.设g(x)满足g"(x)+f(x)g(x)=1+x，g(0)=2，求g(x)．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10得到代入方程得由g(0)=2，得到C=1，于是g(x)=(1+x)(1+e -x )．5.若u0 =0，u1=1，n=1，2，…．其中α，β是正实数，求的值．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10由得则设函数集合Ψ，其中每一函数f(x)，满足下列条件：①f(x)是定义在[0，1]上的非负函数，且f(1)=1；②v，u+v∈[0，1]，有f(u+v)≥f(u)+f(v)．SSS_TEXT_QUSTI6.证明Ψ中每一函数f(x)都是单调增加的．分值: 5.5证明f(x)是单调增函数，因为x，x+Δx∈[0，1]，f(x+Δx)≥f(x)+f(Δx)是单调增函数．SSS_TEXT_QUSTI7.对所有这一类函数Ψ，求积分的最大取值．分值: 5.5对有1=f[x+(1-x)]≥f(x)+f(1-x)，从而而今函数f0(x)≡x，x∈[0，1]，显然f(x)∈Ψ．又所以有对所有这一类函数中，积分的最大取值为8.已知曲线求曲线C距离xOy面最远的点和最近的点．SSS_TEXT_QUSTI分值: 11点(x，y，z)到xOy面的距离为d=|z|，故求C上距离xOy面的最远点和最近点的坐标，等价于条件极值问题：构造拉格朗日函数L(x，y，z，λ，μ)=z 2+λ(x 2 +y 2 -2z 2)+μ(x+y+3z-5)，则由(1)(2)得x=y，代入(4)(5)有解得或代入得d=|z|=5或1．即曲线C距离xOy面最远点为(-5，-5，5)，最远距离为5；曲线C距离xOy面最近点为(1，1，1)．最近距离为1．设向量组(ⅰ)α1 =[1，2，-1] T，α2=[1，3，-1] T，α3=[-1，0，a-2] T；(ⅱ)β1 =[-1，-2，3] T，β2=[-2，-4，5] T，β3=[1，b，-1] T；记A=[α1，α2，α3，B=[β1，β2，β3．SSS_TEXT_QUSTI9.问a，b为何值时，A，B等价；a，b为何值时，A，B不等价；分值: 5.5A，B等价r(A)=r(B)，将A，B合并成一起作初等行变换，得当a≠3，b≠2时，r(A)=r(B)=3，A，B等价；当a=3，b=2时，r(A)=r(B)=2，A，B等价；当a=3，b≠2或a≠3，b=2时，r(A)≠r(B)，A，B不等价．SSS_TEXT_QUSTI10.问a，b为何值时，向量组(ⅰ)，(ⅱ)等价；a，b为何值时，向量组(ⅰ)，(ⅱ)不等价．分值: 5.5向量组(ⅰ)，(ⅱ)等价(ⅰ)，(ⅱ)向量组之间可以相互表出．当a≠3，b≠2时，r(A)=r(B)=3，(α1，α2，α3)X=βi，i=1，2，3，(β1，β2，β3)y=αi，i=1，2，3，都有唯一解，故向量组(ⅰ)，(ⅱ)等价；当a=3，b任意时，(α1，α2，α3)X=β1，(或=β2)无解，故向量组(ⅰ)，(ⅱ)不等价；当b=2，a任意时，(β1，β2，β3)y=α2，(或=α3)无解，故向量组(ⅰ)，(ⅱ)不等价．设A，B是n阶矩阵，证明：SSS_TEXT_QUSTI11.当A可逆时，AB和BA有相同的特征值；分值: 5.5[证明] 当A可逆时，因A -1 (AB)A=(A -1 A)BA=BA，故AB～BA．相似矩阵有相同的特征值，故AB和BA有相同的特征值．SSS_TEXT_QUSTI12.证明AB和BA有相同的特征值．分值: 5.5[证明] 思路一：若AB有特征值λ=0，则|AB|=|A||B|=|BA|=0，故BA也有特征值λ=0；若AB有特征值λ≠0，并设相应的特征向量为α(≠0)，即(AB)α=λα，(α≠0) (*)(*)式左乘B，得B(AB)α=λBα (BA)(Bα)=λBα，其中Bα≠0，(若Bα=0，则由(*)式(AB)α=A(Bα)=0，这和λ≠0且α≠0矛盾)，故BA也有特征值λ≠0，对应的特征向量为Bα，得证AB和BA有相同的特征值．思路二： AB有特征值λ=0，则|AB|=|A||B|=|BA|=0，故BA也有特征值λ=0；若λ≠0，则则当λ≠0时，AB和BA有相同的特征值．1。