天津市耀华中学2020-2021学年高一(上)第一次段考数学试题

天津市耀华中学2020-2021学年高一（上）第一次段考数学

试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3,4}A =，{2,

4}B =，则()C B U A ?=（ ） A ．{2，4，5} B ．{1，3，4} C ．{1，2，4}

D ．{2，3，4，5} 2．命题“(0,1)x ?∈，20x x -<”的否定是（ ）

A ．(0,1)x ??，20x x -≥

B ．(0,1)x ?∈，20x x -≥

C ．(0,1)x ??，20x x -<

D ．(0,1)x ?∈，20x x -≥

3．不等式2260x x +-<的解集为（ ） A ．3(2

-，2) B ．3(2,)2- C ．(-∞，3)(22-?，)+∞

D ．? 4．如果0a b >>，0t >，设b M a =，b t N a t +=+，那么（ ） A ．M N <

B ．M N >

C ．M N

D ．M 与N 的大小关系和t 有关 5．若集合{|2}M x N x =∈，则M 的真子集有（ ）

A ．3个

B ．4个

C ．7个

D ．8个 6．设集合{}1,2,4A =，{}

240B x x x m =-+=．若{}1A B ?=，则B = ( )

A ．{}1,3-

B ．{}1,0

C ．{}1,3

D ．{}1,5 7．设a ，b ，c ，d 为实数，则“a ＞b ，c ＞d ”是“a +c ＞b +d ”的（ ） A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

8．若对任意的(0,)x ∈+∞，不等式220x ax -+>恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）

A ．(,-∞

B ．(-

C ．)+∞

D ．(()

22,-∞+∞ 9．若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（ ）

A ．||||a b >

B ．2a ab >

C ．11a b >

D ．11a b a >- 10．已知集合A ＝{x |x ＜a }，B ＝{x |1＜x ＜2}，且A ∪(?R B )＝R ，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．{a |a ≤1}

B ．{a |a ＜1}

C ．{a |a ≥2}

D ．{a |a ＞2}

11．已知{}2:230p A x x x =--≤，{}

22:240q B x x mx m =-+->，若p 是q 成立的充分不必要条件，求m 的取值范围是（ ）

A ．()

(),35,-∞-+∞ B ．()3,5- C ．[]3,5-

D ．(][),35,-∞-+∞ 12．若21,a b a b >0,>0,+=则

231a a b ++的最小值为（ ） A ．8

B ．6

C ．12

D ．9

二、填空题

13．设:p x R ?∈，20x x a ++，若p 是真命题，则实数a 的取值范围是________. 14．已知2x >，则42

y x x =+-的最小值为________. 15．关于x 的不等式()()110ax x --<（其中1a >）的解集为______.

16．已知0x >，0y >，且211x y

+=，求2x y +的最小值_________． 17．已知a b >，二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数恒成立，又0R x ?∈，使

2

020ax x b ++=，则22

a b a b +-的最小值为__________．

三、双空题

18．已知全集U =R ，集合{}13A x x =≤≤，{}24B x x =≥，则A B =__，()U A B =__.

四、解答题

19．已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-，{}

38C x x =≤≤.

（1）若5m =，求B C ?；

（2）若A B B =，求实数m 的取值范围.

20．已知函数2()(41)(31)f x x a x a a =-+++，a 为一常数.

（1）设1a =，当0x >时，记()()f x g x x =

，求函数()g x 的最小值； （2）解不等式()0f x <.

21．设2()24f x mx mx =--.

（1）若对于一切实数x ，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围；

（2）若1m =且(1,)x ∈+∞，求1()26

x y f x x -=

++的最大值及对应的x 的值.

参考答案

1．A

【分析】

根据补集与并集的定义，计算即可.

【详解】

{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3,4}A =，

则{2,

5}U C A =， 又{2,4}B =

所以(){2,4,5}U C A B ?=

故选：A

【点睛】

本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题.

2．D

【分析】

根据含有量词的命题的否定即可得到结论.

【详解】

解：命题为特称命题，则命题“(0,1)x ?∈，20x x -<”的否定(0,1)x ?∈，20x x -≥， 故选：D.

【点睛】

本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题.

3．B

【分析】

把不等式化为(23)(2)0x x -+<，求出解集即可.

【详解】

不等式2260x x +-<可化为(23)(2)0x x -+<， 解得322

x -<<； 所以该不等式的解集为3

(2,)2

-.

故选：B.

【点睛】

该题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，属于基础题目.

4．A

【分析】

对M 与N 作差，根据差值的正负即可比较大小.

【详解】

()()()()()

b a t a b t t b a b b t M N a a t a a t a a t +-+-+-=-==+++，因为0a b >>，所以0b a -<， 又0t >，所以0a t +>，所以()()

0t b a a a t -<+，即0M N -<，所以M N <. 故选：A

【点睛】

本题主要考查作差法比较大小，考查学生的化简分析能力，属于常规题型.

5．C

【分析】

先求出集合M ，明确M 的元素的数目，再由集合的元素与子集的数目关系计算可得答案.

【详解】

根据题意，集合{}{|2}0,1,2M x N x =∈=，共3个元素，

则其真子集的数目为3217-=；

故选：C.

【点睛】

本题考查集合的子集数目的计算，需要注意x ∈N 这个条件.

6．C

【解析】

∵ 集合{}124A =，，，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B =

∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+=

∴3m =

∴{}{}

{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C 7．A

【分析】

根据不等式的可加性可得,a b c d a c b d >>?+>+成立；反之不成立，例如取5c =，1d =，2a =，3b =．

【详解】

根据不等式的可加性可得,a b c d a c b d >>?+>+成立；

反之不成立，例如取5c =，1d =，2a =，3b =，满足a c b d +>+，但是a b >不成立， ∴,a b c d >>是a c b d +>+的充分不必要条件，故选A ．

【点睛】

本题主要考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

8．A

【分析】

先分离参数a ，再由基本不等式得出2x x +

的最小值，即可得出实数a 的取值范围. 【详解】

因为(0,)x ∈+∞时，220x ax -+>恒成立，所以2a x x <+

在(0,)x ∈+∞恒成立

因为2x x +≥=2x x

=，即x =（舍）等号成立

所以a <故选：A

【点睛】

本题主要考查了一元二次不等式在某区间上的恒成立问题以及基本不等式的恒成立问题，属于中档题.

9．D

【分析】

利用不等式的基本性质即可得出.

【详解】

因为0a b <<，所以||||a b >，2a ab >，

11a b >，则A ，B ，C 正确 又0a a b <-<,所以

11a b a

<-，故 D 错误. 故选：D.

【点睛】 本题考查不等式的基本性质，考查学生的简单推理能力与计算能力，属于基础题. 10．C

【分析】

先利用补集运算求得B 的补集，再根据A ∪(?R B )＝R 求解.

【详解】

因为B ＝{x |1＜x ＜2}，

所以?R B ＝{|1x x ≤或}2x ≥，

又集合A ＝{x |x ＜a }，且A ∪(?R B )＝R ，

所以2a ≥

故选：C

【点睛】

本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.

11．A

【分析】

分别解出不等式，化简p 、q ，根据p 是q 成立的充分不必要条件，即可得出m 的取值范围.

【详解】

由2230x x --≤解得：13x -≤≤，[]1,3A ∴=-.

由22240x mx m -+->，即()2

4x m ->，解得2x m >+或2x m <-+. ()(),22,B m m ∴=-∞-++∞. p 是q 成立的充分不必要条件，则A B ，32m ∴<-+或21m +<-，解得：5m >或3m <-.

m ∴的取值范围是()

(),35,-∞-+∞.

故选：A.

【点睛】

本题考查了集合、简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

12．C

【分析】

利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

【详解】

因为,0a b >，21a b +=， 所以231a a b ++()2232a b a a b a b

+++=+ 4422b a a b

=+++ 441

44123

b a a b a b =++≥+===，时，等号成立 故选：C.

【点睛】

本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 13．14

a 【分析】

根据三个二次的关系，利用判别式法作答.

【详解】

若:p x R ?∈，20x x a ++，是真命题，

则140a ?=-，解得14

a ； 故a 的取值范围是：14a ； 故答案为：14

a

. 【点睛】

本题考查二次不等式恒成立问题，考查计算能力，属于基础题.

14．6

【分析】 将函数解析式变形为()442222y x x x x =+

=-++--，利用基本不等式可求得该函数的最小值.

【详解】

因为2x >，所以20x ->，

所以()44222622y x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当422

x x -=

-时，即当4x =时，等号成立， 因此，当2x >时，函数42y x x =+-的最小值为6. 故答案为：6.

【点睛】 本题考查利用基本不等式求函数的最值，解题的关键就是对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于基础题.

15．1,1a ?? ???

【分析】

根据1a >，直接解一元二次不等式即可．

【详解】

解：因为()()110ax x --<，所对应的()()110ax x --=有两个实数根1x =或1x a = 1a >，101a ∴<<， ∴不等式的解集为1,1a ?? ???

． 故答案为：1,1a ??

???

． 【点睛】

本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．

16．8

【分析】 由题意，得到21(2)(2)x y x y x y ??+=++

???，展开后，由基本不等式，即可得出结果. 【详解】

由题得214(2)(2)1=(2)4444=8x y x y x y x y x y y x ??+=+?++=++≥+=+ ???

， 当且仅当4x y y x

=，即24x y ==时，等号成立. 故答案为：8.

【点睛】

本题主要考查利用基本不等式求最值，熟记基本不等式即可，属于常考题型.

17

．【解析】

不等式恒成立，则0a >且440ab =-≤，即1≥ab ，又存在0x R ∈，使20020ax x b ++=成立，可得0=，所以1ab =，1a >．可得

2224231101a a b a a a b a a a a +

++==>---，所以2222242422243222222111124421111222a a a a a a a a a a a a a a a a a ??????++-++-++ ? ? ???+??????=== ?-??????+-+-+- ? ??

???．令2212a t a

+=>，则()()()22432424142444822t t a t a a t t -+-+??+==-++≥+= ?---??．22

a b a b +-的最小值

=

18．{}23x x ≤≤ {}

23x x -<≤.

【分析】

化简集合B ，并求出B 的补集，根据交集，并集的定义求出结论即可.

【详解】

全集U =R ，集合{}13A x x =≤≤，{}{

242B x x x x =≥=≤-或}2x ≥， {}22U B x x ∴=-<<，

因此，{}23A B x x ?=≤≤，(){}23U A B x x ?=-<≤.

故答案为：{}23x x ≤≤；{}23x x -<≤.

【点睛】 本题考查了集合的化简与交集，并集、补集的运算问题，是基础题目.

19．（1）{}39B C x x ?=≤≤；（2）(],3-∞.

【分析】

（1）求出集合B ，进而由并集的定义计算可得答案； （2）根据题意，分析可得若A B B =，则必有B A ?，对于B 分2种情况讨论：①、B 为空集，②B 不为空集，综合2种情况即可得答案.

【详解】

解：（1）根据题意，{}69B x x =≤≤，{}38C x x =≤≤，

则{}39B C x x ?=≤≤； （2）若A B B =，则必有B A ?，对于B 分2种情况讨论：

①B 为空集，必有121m m +>-，解可得2m <，满足A

B B =； ②B 不为空集，则有121m m +≤-，解可得2m ≥，

若B A ?，必有12215m m +≥-??-≤?

，解可得33m -≤≤，又由2m ≥，可得23m ≤≤. 综合可得：m 的取值范围为(],3-∞.

【点睛】

本题考查集合间包含关系的运用，涉及集合之间的混合运算，解（2）时注意B 可以为空集. 20．（1）1-；（2）当12a >-时，不等式的解集为：{|31}x a x a <<+，当12

a =-时，

不等式的解集为：?，当12

a <-

时，不等式的解集为：{|31}x a x a +<<. 【分析】 （1）首先写出()g x 的解析式，然后利用基本不等式即可求得函数的最小值，

（2）首先将所给的不等式进行恒等变形，然后分类讨论求解函数的最小值即可.

【详解】

（1）当1a =时，由于0x >，故2()5444()5251f x x x g x x x x x x x

-+===+-?-=-， 当且仅当2x =时等号成立，即函数()g x 的最小值为1-.

（2）不等式()0f x <即：()[(31)]0x a x a --+<， 当12a >-

时，31a a +>，不等式的解集为：{|31}x a x a <<+， 当12a =-

时，31a a +=，不等式的解集为：?， 当12

a <-时，31a a +<，不等式的解集为：{|31}x a x a +<<， 综上可得：当12a >-时，不等式的解集为：{|31}x a x a <<+， 当12a =-

时，不等式的解集为：?， 当12

a <-时，不等式的解集为：{|31}x a x a +<<. 【点睛】

本题主要考查基本不等式求最值的方法，含参二次不等式的解法，属于中档题.

21．（1）(]4,0-；（2）最大值为

14

，对应的x 的值为1+【分析】

（1）先讨论当0m =的情况，当0m ≠时，结合开口方向及根的判别式，即可求实数m 的取值范围；

（2）将1m =代入先化简，借助基本不等式即可求出最大值及对应的x 的值.

【详解】

解：（1）由已知，2240mx mx --<对于一切实数x 恒成立，

当0m =时，40-<恒成立

当0m ≠时，只需204160

m m m

（2）当1m =时，2()24f x x x =--，

22()26224262f x x x x x x ∴++=--++=+，

2211113()262(1)2(1)3(1)21

x x x y f x x x x x x x ---∴====+++-+-+-++-

≤===当且仅当311

x x -=-

，即1x =+ 故1()26x y f x x -=++

，对应的x

的值为1+【点睛】

本题考查利用不等式恒成立问题求参数的取值范围，考查基本不等式在求解最值问题中的应用，难度一般.