三角形内角和解答题专项练习60题(有答案)
三角形内角和解答题专项练习60题（有答案）1．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=45°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADC的度数？2．如图△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B=36°，∠DAE=16°．求∠CAD的度数．3．如图，已知∠CBE=96°，∠A=27°，∠C=30°，试求∠ADE的度数．4．如图，△ABC中，BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，BD、CD相交于点D，求证：∠D=90°+∠A．5．如图，在△ABC中，∠A=3x°，∠ABC=4x°，∠ACB=5x°，BD，CE分别是边AC，AB上的高，且BD，CE相交于点H，求∠BHC的度数．2013年10月1581698636的初中数学组卷6．如图，D是△ABC的BC边上一点，∠ABC=40°，∠BAC=80°．求：（1）∠C的度数；（2）如果AD是△ABC的BC边上的角平分线，求∠ADC的度数．7．如图，在△ABC中，点D是∠ACB与∠ABC的角平分线的交点，BD的延长线交AC于E，且∠EDC=60°．求∠A的度数．8．如图，∠A=50°∠ABC=60°．（1）若BD为∠ABC平分线，求∠BDC．（2）若CE为∠ACB平分线且交BD于E，求∠BEC．9．如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于O点．（1）若∠A=60°，求∠BOC的度数．（只需写出结果）（2）若∠A=α，求∠BOC的度数．10．如图，已知∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，∠3=∠F，（1）试判断EC与DF是否平行，并说明理由；（2）若∠ACF=110°，求∠A的度数．11．在三角形中，每两条边所组成的角叫三角形的内角，如图1，在三角形ABC中，∠B，∠BAC和∠C是它的三个内角．其实，在学习了平行线的性质以后，我们可以用几何推理的方法去证明“三角形的内角的和等于180°”．请在以下给出的证明过程中填空或填写理由．证明：如图2，延长BA，过点A作AE∥BC．∵AE∥BC（已作）∴∠1=∠（_________ ），（_________ ）又∵AE∥BC（已作）∴∠2=∠（_________ ），（_________ ）∵∠1+∠2+∠BAC=180°（平角定义）∴∠B+∠C+∠BAC=180°（_________ ），即，三角形的内角的和等于180°．12．如图，已知△ABC中，∠B=40°，∠C=62°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．求：∠DAE的度数．（写出推导过程）13．如图，已知，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE交BC的延长线于F，∠B=67°，∠ACB=74°，∠AED=48°，求∠F和∠BDF的度数．14．如图，已知三角形ABC，∠ACB=90°，∠BCD+∠B=90°，∠A与∠BCD有怎样的大小关系？说明你的理由．15．如图，△ABC中，∠C=70°，AD、BD是△ABC的外角平分线，AD与BD交于点D，（1）求∠D的度数；（2）若去掉∠C=70°这个条件，试写出∠C与∠D之间的数量关系．16．（1）如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=45°，∠BAC的平分线与外角∠CBE的平分线相交于点D，则∠D= _________ 度．（2）如图2，将（1）中的条件“∠BAC=45°”去掉，其他条件不变，求∠D的度数．17．已知：如图，AC∥DE，∠ABC=70°，∠E=50°，∠D=75°．求：∠A和∠ABD的度数．18．△ABC中，（1）若∠A=70°，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，求∠BOC的度数；（2）若∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∠A=n°，请直接写出用n°表示∠BOC的关系式．19．已知，如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，若∠A：∠ABC：∠ACB=3：4：5，试求∠ABD的度数．20．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点C落在四边形BADE内部点F的位置．（1）已知∠CDE=50°，求∠ADF的大小；（2）已知∠C=60°，求∠1+∠2的大小．21．已知△ABC中，∠A=∠B=∠C，判断三角形的形状？22．如图，在△ABC中，BA平分∠DBC，∠BAC=124°，BD⊥AC于D，求∠C的度数．23．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，若∠B=47°，∠C=73°，求∠DAE的度数．24．如图，已知△ABC中，∠A=40°，角平分线BE、CF相交于O，求∠BOC的度数．25．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，ED⊥AB于D，∠1=∠2．（1）求证：FG∥BC；（2）若∠A=60°，∠AFG=40°，求∠ACB的度数．26．已知△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，点D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．（1）若AD为△ABC的角平分线（如图1），图中∠1、∠2有何数量关系？为什么？（2）若AD为△ABC的高（如图2），求图中∠1、∠2的度数．27．如图：证明“三角形的内角和是180°”已知：_________求证：_________证明：过B点作直线EF∥AC．28．如图，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，请写出∠A和∠D的关系式，并说明理由．29．已知△ABC．（1）若∠BAC=40°，画∠BAC和外角∠ACD的角平分线相交于O1点（如图①），求∠BO1C的度数；（2）在（1）的条件下，再画∠O1BC和∠O1CD的角平分线相交于O2点（如图②），求∠BO2C的度数；（3）若∠BAC=n°，按上述规律继续画下去，请直接写出∠BO2012C的度数．30．（1）如图（1），在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠A=40°，求∠BOC的度数．（2）如图（2），△DEF两个外角的平分线相交于点G，∠D=40°，求∠EGF的度数．（3）由（1）、（2）可以发现∠BOC与∠EGF有怎样的数量关系？设∠A=∠D=n°，∠BOC与∠EGF是否还具有这样的数量关系？为什么？31．在△ABC中，已知∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE，CF分别是AC和AB边上的高，H是BE和CF的交点，求∠BHC 的度数．32．如图，△ABC中，∠ACB=∠B=2∠A，CD是AB边上的高，求∠BCD．33．如图，已知DM平分∠ADC，BM平分∠ABC，∠A=36°，∠M=44°，求∠C的度数．34．如图，在△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CD是AB边上的高；CE是∠ACB的平分线，DF⊥CE于F，求∠BCE 和∠CDF的度数．35．已知：点D是△ABC的BC边的延长线上的一点，DF⊥AB交AB于F，交AC于E，∠A=30°，∠D=20°，求∠ACB 的度数．36．已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B=30°，∠C=50°，求∠DAE的度数．37．如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E，∠AFD=158°，求∠EDF的度数．38．如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠B=70°，∠ACB=50°，求∠EDC，∠BDC的度数．39．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=80°，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠B=60°；求∠DAE的度数．40．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是三角形∠BAC的角平分线，若∠B=40°，∠C=70°，则∠DAE为多少度？41．如图所示，已知DF⊥AB于F，∠A=40°，∠D=50°，求∠ACB的度数．42．在△ABC中，∠B=∠A+10°，∠C=∠B+10°，求△ABC各内角的度数．43．已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B=30°，∠C=50°．（1）求∠DAE的度数；（2）试写出∠DAE与∠C﹣∠B有何关系？（不必证明）44．如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．已知∠A=30°，∠FCD=80°，求∠D．45．如图，已知△ABC中，∠B=65°，∠C=45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．46．如图：在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=34度．求∠DAE的度数．47．如图，若AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于E、F，EP⊥EF，∠EFD的平分线与EP相交于点P，且∠BEP=40°，求∠P的度数．48．如图已知△ABC中，∠B和∠C外角平分线相交于点P．（1）若∠ABC=30°，∠ACB=70°，求∠BPC度数．（2）若∠ABC=α，∠BPC=β，求∠ACB度数．49．如图，∠B=42°，∠A+10°=∠1，∠ACD=64°，求证：AB∥CD．50．如图：AB∥CD，直线l交AB、CD分别于点E、F，点M在EF上，N是直线CD上的一个动点（点N不与F重合）（1）当点N在射线FC上运动时，∠FMN+∠FNM=∠AEF，说明理由；（2）当点N在射线FD上运动时，∠FMN+∠FNM与∠AEF有什么关系并说明理由．51．如图，△ABC中，∠B=40°，∠C=70°，AD为∠BAC的平分线，AE为BC边上的高，求∠DAE的度数．52．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=50°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．求∠D的度数．53．如图，已知∠A=20°，∠B=27°，AC⊥DE，求∠1，∠D的度数．54．已知：图中，∠B=40°，∠C=60°，AD、AF分别是△ABC的角平分线和高．（1）∠BAC等于多少度？（2）∠DAF等于多少度？55．△ABC中，BE平分∠ABC，AD为BC上的高，且∠ABC=60°，∠BEC=75°，求∠DAC的度数．56．如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠ACB=50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数．57．如图，BE∥AO，∠1=∠2，OE⊥OA于点O，EH⊥CO于点H，那么∠5=∠6，为什么？58．如图，已知△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O，且∠A=60°，求∠BOC的度数．259．已知：如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD⊥BC交于点D，AE平分∠BAC，试说明：∠EAD=（∠C﹣∠B）．60．如图（1），△ABC中，AB=AC，∠B=2∠A．（1）求∠A和∠B的度数；（2）如图（2），BD是△ABC中∠ABC的平分线：①写出图中与BD相等的线段，并说明理由；②直线BC上是否存在其它的点P，使△BDP为等腰三角形，如果存在，请在图（3）中画出满足条件的所有的点P，并直接写出相应的∠BDP的度数；如果不存在，请说明理由．三角形内角和解答题60题参考答案：1．∵AD是△ABC的一条角平分线，∴∠BAD=∠BAC=×60°=30°，∴∠ADC=∠BAD+∠B=30°+45°=75°2．∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∵∠B=36°，∴∠BAD=90°﹣36°=54°，∵∠DAE=16°，∴∠BAE=54°﹣16°=38°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAE=38°，∴∠CAD=38°﹣16°=22°3．∵∠A=27°，∠C=30°，∴∠DFC=∠A+∠C=57°，∵∠DBF=∠CBE=96°，∴∠ADE=180°﹣∠DFC﹣∠FBD=180°﹣57°﹣96°=27°．4．在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A，在△BCD中，∠D=180°﹣（∠DBC+∠DCB）=180°﹣（90°﹣∠A）=90°+∠A，即：∠D=90°+∠A．5．在△ABC中，∵∠A=3x°，∠ABC=4x°，∠ACB=5x°．又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°．∴3x°+4x°+5x°=180°，解得x=15，∠A=3x°=45°，∵BD，CE分别是边AC，AB上的高，∴∠ADB=90°，∠BEC=90°，∵在△ABD中，∠ABD=180°﹣∠ADB﹣∠A=180°﹣90°﹣45°=45°，∴∠BHC=∠ABD+∠BEC=45°+90°=135°6．（1）∵∠ABC=40°，∠BAC=80°，∴∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣40°﹣80°=60°；（2）∵∠BAC=80°，AD是△ABC的BC边上的角平分线，∴∠DAC=∠BAC=40°，∵∠C=60°，∴∠ADC=180°﹣∠CAD﹣∠C=180°﹣40°﹣60°=80°7．∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A），∵∠EDC=∠DBC+∠DCB=60°，∴（180°﹣∠A）=60°，∴∠A=60°8．（1）∵BD为∠ABC平分线，∴∠ABD=∠ABC=×60°=30°，∴∠BDC=∠A+∠ABD=50°+30°=80°．（2）∵∠ACB=180°﹣∠A﹣∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°，又∵CE为∠ACB平分线，∴∠DCE=∠ACB=×70°=35°，∴∠BEC=∠DCE+∠BDC=35°+80°=115°9．（1）∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣60°=120°，∵∠B和∠C的平分线相交于O点，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB=（∠ABC+∠ACB）=×120°=60°，在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣60°=120°；（2））∵∠A=α，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣α，∵∠B和∠C的平分线相交于O点，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣α）=90°﹣α，在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（90°﹣α）=90°+α10．（1）BC∥DF，理由：∵∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，∴∠ABC﹣∠1=∠ACB﹣∠2，即∠3=∠ECB，∵∠3=∠F，∴∠ECB=∠F，∴EC∥DF（同位角相等，两直线平行）；（2）∵∠ACF=110°，∴∠ACB=70°，∵∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=70°，∴∠A=∠ACF﹣∠ABC=110°﹣70°=40°11．证明：如图2，延长BA，过点A作AE∥BC．∵AE∥BC（已作）∴∠1=∠（∠B ），（两直线平行，同位角相等）又∵AE∥BC（已作）∴∠2=∠（∠C ），（两直线平行，内错角相等）∵∠1+∠2+∠BAC=180°（平角定义）∴∠B+∠C+∠BAC=180°（等量代换），即，三角形的内角的和等于180°．12．∵△ABC中，∠B=40°，∠C=62°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣40°﹣62°=78°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠EAC=∠BAC=39°，∵AD是BC边上的高，∴在直角△ADC中，∠DAC=90°﹣∠C=90°﹣62°=28°，∴∠DAE=∠EAC﹣∠DAC=39°﹣28°=11°13．∵∠CEF=∠AED=48°，∠ACB=∠CEF+∠F，∴∠F=∠ACB﹣∠CEF=74°﹣48°=26°；∵∠BDF+∠B+∠F=180°，∴∠BDF=180°﹣∠B﹣∠F=180°﹣67°﹣26°=87°14．∠A=∠BCD，理由是：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠BCD+∠B=90°，∴∠A=∠BCD15．（1）∵∠C=70°，∴∠CAB+∠CBA=180°﹣70°=110°，∴∠EAB+∠FBA=360°﹣110°=250°，∵AD、BD是△ABC的外角平分线，∴∠DAB+∠DBA=（∠EAB+∠FBA）=125°，∴∠D=180°﹣125°=55°；（2）由题意可得，∠CAB+∠CBA=180°﹣∠C，∴∠EAB+∠FBA=360°﹣（∠CAB+∠CBA），=360°﹣（180°﹣∠C），=180°+∠C，∵AD、BD是△ABC的外角平分线，∴∠DAB+∠DBA=（∠EAB+∠FBA），=（180°+∠C），=90°+∠C，∴∠D=180°﹣（90°+∠C），=90°﹣∠C．16．（1）∵∠CBE 是△ABC的外角，∴∠CBE=∠CAB+∠C，∴∠C=∠CBE﹣∠CAB，∵∠BAC的平分线与外角∠CBE的平分线相交于点D，∴∠1=∠CAB，∠2=∠CBE，∵∠2是△ABD的外角，∴∠2=∠1+∠D，∴∠D=∠2﹣∠1=（∠CBE﹣∠CAB）=∠C=×90°=45°；故答案为：45；（2）∵∠CBE 是△ABC的外角，∴∠CBE=∠CAB+∠C，∴∠C=∠CBE﹣∠CAB，∵∠BAC的平分线与外角∠CBE的平分线相交于点D，∴∠1=∠CAB，∠2=∠CBE，∵∠2是△ABD的外角，∴∠2=∠1+∠D，∴∠D=∠2﹣∠1=（∠CBE﹣∠CAB）=∠C=×90°=45°．17．∵AC∥DE，∠E=50°，∠D=75°，∴∠ACB=∠E=50°…（1分）∠1=∠D=75°（3分）又∵∠ABC=70°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣70°﹣50°=60°…（6分）∠ABD=∠1﹣∠A=75°﹣60°=15°…（9分）∴∠A=60°，∠ABD=15°．18．（1）∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∵∠A=70°，∴∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=180°﹣（180°﹣70°）=125°．故∠BOC的度数为：125°．（2）∵∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∠A=n°，∵∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（180°﹣n°）=120°+n°．故∠BOC=120°+n°19．设∠A、∠ABC、的度数分别为3x、4x、5x．则3x+4x+5x=180°，解得x=15°．∴∠A=45°，∠ACB=75°．又∵∠A+∠ABD=90°，∴∠ABD=90°﹣45°=45°20．（1）由折叠的过程可知：∠3=∠CDE，∵∠CDE=50°，∴∠3=50°，∴∠1=180°﹣∠3﹣∠CDE=80°，即∠ADF=80°；（2）∵∠C=60°，∴∠CDE+∠CED=120°，∵由折叠的过程可知∠CDE+∠CED=∠3+∠4=180°﹣∠C=120°，∴∠CDE+∠CED+∠3+∠4=240°，∵∠1+∠3+∠CDE+∠2+∠4+∠CED=360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠CDE+∠CED=360°，∴∠1+∠2=120°21．∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∠A=∠B=∠C，∴∠A+2∠A+3∠A=180°．∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°．所以△ABC是直角三角形22．在△ABD中，∠BAC=∠D+∠DBA，∵BD⊥AC，∴∠D=90°．又∵∠BAC=124°，∴∠DBA=34°．∵BA平分∠DBC，∴∠DBC=2∠DBA=68°，在△CBD中，∠C=180°﹣（∠D+∠DBC）=22°．23．∵∠B=30°，∠C=70°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=60°，∵AE是角平分线，∴∠EAC=∠BAC=30°．∵AD是高，∠C=73°，∴∠DAC=90°﹣∠C=17°，∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=30°﹣17°=13°24．如图，∵角平分线BE、CF相交于O，∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A+2∠1+2∠2=180°，∴∠1+∠2=90°﹣∠A，又∵∠1+∠2+∠BOC=180°，∴∠1+∠2=180°﹣∠BOC，∴180°﹣∠BOC=90°﹣∠A，∴∠BOC=90°+∠A，而∠A=40°，∴∠BOC=90°+×40°=11025．（1）证明：如图，∵CF⊥AB，ED⊥AB，∴DE∥FC，∴∠1=∠3．又∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴FG∥BC；（2）解：如图，在△AFG中，∠A=60°，∠AFG=40°，∴∠AGF=180°﹣∠A﹣∠AFG=100°．又由（1）知，FG∥BC，∴∠ACB=∠AGF=80°，即∠ACB的度数是80°．26．（1）∠1=∠2，理由如下：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=∠BAC=90°，∴DE∥AC，DF∥AB，∴∠1=∠DAC，∠2=∠DAB，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAB，∴∠1=∠2；（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=∠DEB=∠DFC=∠BAC=90°，∴DE∥AC，∴∠BDE=∠C=30°，∴∠1=∠ADB﹣∠BDE=30°，∵∠FDC=180°﹣∠DFC﹣∠C=60°，∴∠2=∠ADC﹣∠FDC=60°27．过点B作EF∥AC，∴∠EBA=∠A，∠FBC=∠C，∵∠EBA+∠ABC+∠FBC=180°，∴∠A+∠C+∠ABC=180°，∴三角形的内角和等于180°．故答案为△ABC，∠A+∠B+∠C=180°28．∠A=2∠D．理由如下：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，∴∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，∴∠A=∠ACE﹣∠ABC，∠D=∠DCE﹣∠DBC=（∠ACE﹣∠ABC），∴∠A=2∠D29．∵O1B、O1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD=2∠O1CD，∠ABC=2∠O1BC，而∠O1CD=∠O1+∠O1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠01=40°，∴∠O1=20°，同理可得∠O1=2∠O2，即∠A=22∠02=40°，∴∠O2=10°，∴∠A=2n∠A n，∴∠A n=n °×（）n．则∠BO2012C=0．30．（1）∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣40°=140°．∵BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×140°=70°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣70°=110°；（2）设△ABC的两个外角为α、β．则∠G=180°﹣（α+β）（三角形的内角和定理），利用三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．可知α+β=∠D+∠DFE+∠D+∠DEF=180°+40°=220°，∴∠G=180°﹣（α+β）=70°；（3）∠A=∠D=n°，∠BOC与∠EGF互补．证明：当∠A=n°时，∠BOC=180°﹣[（180°﹣n°）÷2]=90°+，∵∠D=n°，∠EGF=180°﹣[360°﹣（180°﹣n°）]÷2=90°﹣，∴∠A+∠D=90°++90°﹣=180°，∴∠BOC与∠EGF互补．31．如图，在△ABC中，∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB180°﹣66°﹣54°=60°，∵BE和CF分别为AC和AB边上的高，∴∠AEB=∠BFC=90°，在Rt△ABE中，∠1=180°﹣∠A﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°，在△BHC中，∠BHC=∠1+∠BFC=30°+90°=120°32．∵∠ACB=∠B=2∠A，∴∠A+∠B+∠ACB=∠A+2∠A+2∠A=180°，解得∠A=36°，∴∠B=2∠A=2×36°=72°，∵CD是AB边上的高，∴∠BCD=90°﹣∠B=90°﹣72°=18°33．∵DM平分∠CDA，∴∠CDM=∠MDA，又∵BM平分∠ABC，∴∠CBM=∠ABM，又∵∠MDA+44°=∠CBM+36°，∴∠CBM﹣∠MDA=8°，∴2∠CBM﹣2∠MDA=16°，即∠ABC﹣∠ADC=16°，又∵∠ADC+∠C=∠ABC+∠A，∴∠C=36°+16°=52°34．∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=68°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠ACB=×68°=34°，∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵∠B=72°，∴∠BCD=90°﹣72°=18°，∴∠FCD=∠BCE﹣∠BCD=16°，∵DF⊥CE，∴∠CFD=90°，∴∠CDF=90°﹣∠FCD=74°，即∠BCE=34°，∠CDF=74°35．在△BFD中，∵DF⊥AB，∠D=20°，∴∠B=90°﹣∠D=90°﹣20°=70°，在△ABC中，∵∠B=70°，∠A=30°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣30°﹣70°=80°．答：∠ACB度数是80°36．∵∠BAC+∠B+∠C=180°，而∠B=30°，∠C=50°，∴∠BAC=180°﹣30°﹣50°=100°，∵AE是△ABC的角平分线，∴∠EAC=∠BAC=50°又∵AD为高线，∴∠ADC=90°，而∠C=50°，∴∠DAC=180°﹣90°﹣50°=40°，∴∠DAE=∠EAC﹣∠DAC=50°﹣40°=10°37．∵FD⊥BC，所以∠FDC=90°，∵∠AFD=∠C+∠FDC，∴∠C=∠AFD﹣∠FDC=158°﹣90°=68°，∴∠B=∠C=68°．∵DE⊥AB，∵∠DEB=90°，∴∠BDE=90°﹣∠B=22°．又∵∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠EDF=180°﹣∠BDE﹣∠FDC=180°﹣22°﹣90°=68°38．∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD=25°．∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD=25°，∴在△BDC中，∠BDC=180°﹣∠B﹣∠BCD=180°﹣70°﹣25°=85°．39．∵AD⊥BC，∴∠BDA=90°．∵∠B=60°，∴∠BAD=180°﹣90°﹣60°=30°∵∠BAC=80°∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=80°﹣30°=50°．∵AE平分∠DAC，∴∠DAE=0.5∠DAC=25°140．∵∠B=40°，∠C=70°，∴在△ABC中，∠BAC=180°﹣40°﹣70°=70°，又∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠EAC=∠BAC=35°，又∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴在△ADC中，∠DAC=180°﹣∠ADC﹣∠C=20°，∴∠DAE=∠EAC﹣∠DAC=35°﹣20°=15°41．在△BDF中，∠B=180﹣∠BFD﹣∠D=180°﹣90°﹣50°=40°，在△ACB中，∠A=40°，故∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣40°﹣40°=100°42．∵∠B=∠A+10°，∠C=∠B+10°，又∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A+（∠A+10°）+（∠A+10°+10°）=180°，3∠A+30°=180°，3∠A=150°，∠A=50°．∴∠B=60°，∠C=70°．43．（1）∵∠B=30°，∠C=50°，∴∠BAC=180°﹣30°﹣50°=100°．∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=50°．在Rt△ABD中，∠BAD=90°﹣∠B=60°，∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=60°﹣50=10°；（2）∠C﹣∠B=2∠DAE44．∵DE⊥AB（已知），∴∠FEA=90°（垂直定义）．∵在△AEF中，∠FEA=90°，∠A=30°（已知），∴∠AFE=180°﹣∠FEA﹣∠A（三角形内角和是180）=180°﹣90°﹣30°=60°．又∵∠CFD=∠AFE（对顶角相等），∴∠CFD=60°．∴在△CDF中，∠CFD=60°∠FCD=80°（已知）∠D=180°﹣∠CFD﹣∠FCD=180°﹣60°﹣80°=40°45．在△ABC中，∵∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=70°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE=35°．又∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=90°，∵在△ABD中∠BAD=90°﹣∠B=25°，∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=10°46．在△ABC中∠BAC=180﹣∠B﹣∠C=76°，又∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=38°，在直角△ACD中，∠DAC=90﹣∠C=56°，∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAC=18°47．∵EP⊥EF，∴∠PEM=90°，∠PEF=90°．∵∠BEP=40°，∴∠BEM=∠PEM﹣∠BEP=90°﹣40°=50°．∵AB∥CD，∴∠BEM=∠EFD=50°．∵FP平分∠EFD，∴∠EFP=∠EFD=25°，∴∠P=90°﹣25°=65°．48．（1）∠BPC =180°﹣（∠EBC+∠BCF）=180°﹣（∠EBC+∠BCF）=180°﹣（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）=180°﹣（180°﹣30°+180°﹣70°）=50°；（2）∠BPC=180°﹣（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）=（∠ABC+∠ACB），∵∠BPC=β，∠ABC=α，∴β=（α+∠ACB）．故∠ACB=2β﹣α49．在△ABC中，∠A+∠B+∠1=180°，∠B=42°，∴∠A+∠1=138°，又∵∠A+10°=∠1，∴∠A+∠A+10°=138°，解得：∠A=64°．∴∠A=∠ACD=64°，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）50．（1）∵AB∥CD，∴∠AEF+∠MFN=180°．∵∠MFN+∠FMN+∠FNM=180°，∴∠FMN+∠FNM=∠AEF．（2）∠FMN+∠FNM+∠AEF=180°．理由：∵AB∥CD，∴∠AEF=∠MFN．∵∠MFN+∠FMN+∠FNM=180°，∴∠FMN+∠FNM+∠AEF=180°．51．∵∠B=40°，∠C=70°，∴∠BAC=180°﹣40°﹣70°=70°，又AD为平分线，∴∠DAC=35°．∵AE⊥BC，∴∠EAC=90°﹣∠C=20°，∴∠DAE=35°﹣20°=15°252．∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠DBC=∠ABC=30°，∠DCB=∠ACB=25°，又∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，∴∠D=180°﹣∠DBC﹣∠DCB=180°﹣30°﹣25°=125°53．∵AC⊥DE，∴∠APE=90°．∵∠1是△AEP的外角，∴∠1=∠A+∠APE．∵∠A=20°，∴∠1=20°+90°=110°．在△BDE中，∠1+∠D+∠B=180°，∵∠B=27°，∴∠D=180°﹣110°﹣27°=43°54．（1）根据三角形的内角和定理，得：∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=80°；（2）∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠BAC=40°，∴∠ADF=∠B+∠BAD=80°，又∵AF是△ABC的高，∴∠DAF=10°55．∵BE平分∠ABC，且∠ABC=60°，∴∠ABE=∠EBC=30°，∴∠C=180°﹣∠EBC﹣∠BEC=180°﹣30°﹣75°=75°．又∵∠C+∠DAC=90°，∴∠DAC=90°﹣∠C=90°﹣75°=15°56．在△ABC中，∵∠ABC=80°，BP平分∠ABC，∴∠CBP=∠ABC=40°．∵∠ACB=50°，CP平分∠ACB，∴∠BCP=∠ACB=25°．在△BCP中∠BPC=180°﹣（∠CBP+∠BCP）=115°57．由OE⊥OA，得∠2+∠3=90°，又∵∠1=∠2，∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠3=∠4，∵EH⊥CO，∴∠5=90°﹣∠3=90°﹣∠4，∴∠5=∠2，∵BE∥AO，∴∠2=∠6，∴∠5=∠658．∵∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠4=（180°﹣∠A）=（180°﹣60°）=60°，故∠BOC=180°﹣（∠2+∠4）=180°﹣60°=120°．59．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE=∠BAC∵∠BAC=180°﹣（∠B+∠C）∴∠EAC=[180°﹣（∠B+∠C）]∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=180°﹣∠ADC﹣∠C=90°﹣∠C，∵∠EAD=∠EAC﹣∠DAC∴∠EAD=[180°﹣（∠B+∠C）]﹣（90°﹣∠C）=（∠C﹣∠B）60．（1）∵AB=AC，∠B=2∠A∴AB=AC，∠C=∠B=2∠A又∵∠C+∠B+∠A=180°∴5∠A=180°，∠A=36°∴∠B=72°；（2）①∵BD是△ABC中∠ABC的平分线∴∠ABD=∠CBD=36°∴∠BDC=72°∴BD=AD=BC；②当BD是腰时，以B为圆心，以BD为半径画弧，交直线BC于点P1（点C除外）此时∠BDP=∠DBC=18°．以D为圆心，以BD为半径画弧，交直线BC于点P3（点C除外）此时∠BDP=108°．当BD是底时，则作BD的垂直平分线和BC的交点即是点P2的一个位置．此时∠BDP=∠PBD=36°。
人教版八年级上册《角平分线、三角形内角和定理》综合考察练习题(含答案)
人教版八年级上册《角平分线、三角形内角和定理》综合考察练习题姓名学号（含答案）一．选择题1．三角形的两边长为6cm和3cm，则第三边长可以为（）A．2 B．3 C．4 D．102．若一副三角板按如图所示放置，则∠EGA的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°3．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的图形是（）A．B．C．D．4．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F，交边BC于点E，连接DE．若∠ABC ＝40°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°5．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，延长线段BA至点E，则∠EAC的度数为（）A．105°B．75°C．70°D．60°6．一副三角板如图所示摆放，则∠α与∠β的数量关系为（）A．∠α+∠β＝180°B．∠α+∠β＝225° C．∠α+∠β＝270°D．∠α＝∠β7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，将△BDC沿CD折叠，点B落在AC边上的点B′处，若∠ADB′＝20°，则∠A的度数为（）A．20°B．25°C．35°D．40°8．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A．85°B．75°C．65°D．60°9．如果一个正多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个正多边形的边数为（）A．5 B．6 C．7 D．810．如图，在△ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使B'D∥C'G，B'E∥FG，则∠C'FE 的度数是（）A．B．90°﹣C．α﹣90°D．2α﹣180°11．在直角三角形中，锐角α是另一个内角的一半，则锐角α的度数为．12．如图，在△ABC中内接一个正五边形ADEFG，则∠ABC＝°．13．如图，C是线段AB上一点，∠DAC＝∠D，∠EBC＝∠E，AO平分∠DAC，BO平分∠EBC．若∠DCE＝40°，则∠O＝°．14．如图，已知△ABC，∠B的角平分线与∠C的外角角平分线交于点D，∠B的外角角平分线与∠C的外角角平分线交于点E，则∠E+∠D＝．15．如图，△ABC中，∠BDC＝90°，BE、CE分别平分∠ABD和∠ACD，BF、CF分别平分∠ABE 和∠ACE，若∠A＝40°，则∠F＝°．16．如图，BD为△ABC的角平分线，若∠ABC＝60°，∠ADB＝70°．（1）求∠C的度数；（2）若点E为线段BC上任意一点，当△DEC为直角三角形时，则∠EDC的度数为．17．如图，在△ABC中，∠BAC：∠B：∠C＝3：5：7，点D是BC边上一点，点E是AC边上一点，连接AD、DE，若∠1＝∠2，∠ADB＝102°．（1）求∠1的度数；（2）判断ED与AB的位置关系，并说明理由．18．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点E，且∠DAC＝∠DCA．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若∠AEB＝125°，且∠ABD＝2∠CBD，DF平分∠ADB交AB边于点F，求∠BDF﹣∠CBD 的值．19．用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC 的三个外角．求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°．证法1：∵∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．∴．∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2（∠1+∠2+∠3），∵．∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．20．（1）已知△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝40°，求∠DAE的度数．（2）在图2中，∠B＝x，∠C＝y，其他条件不变，若把“AD⊥BC于D改为“F是AE上一点，FD⊥BC于D“，试用x、y表示∠DFE＝：（3）在图3中，若把（2）中的“点F在AE上“改为点F是AE延长线上一点”，其余条件不变，试用x、y表示∠DFE＝；（4）在图3中，分别作出∠BAE和∠EDF的角平分线，交于点P，如图4．试用x、y表示∠P＝．参考答案一．选择题1．解：设第三边为x，则3＜x＜9，所以符合条件的整数可以为4，故选：C．2．解：∵∠ACF＝∠ACB＝90°，∠F＝45°，∴∠2＝∠1＝45°，∵∠A＝30°，∴∠AGE＝30°+45°＝75°，故选：D．3．解：线段BE是△ABC的高的图是选项A．故选：A．4．解：∵∠B＝40°，∠C＝50°，∴∠BAC＝90°，∵∠ABF＝∠EBF，BF＝BF，∠BFA＝∠BFE＝90°，∴△BFA≌△BFE（ASA），∴BA＝BE，∵BD＝BD，∴△BDA≌△BDE（SAS），∴∠BED＝∠BAD＝90°，∴∠CED＝90°，∴∠CDE＝90°﹣50°＝40°，故选：B．5．解：∵在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，∴∠EAC＝∠C+∠B＝45°+30°＝75°，故选：B．6．解：∵∠α＝60°+45°＝105°，∠β＝90°+30°＝120°，∴∠α+∠β＝105°+120°＝225°，故选：B．7．解：∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵△CDB′是由△CDB翻折得到，∴∠CB′D＝∠B，∵∠CB′D＝∠A+∠ADB′＝∠A+20°，∴∠A+∠A+20°＝90°，解得∠A＝35°．故选：C．8．解：如图所示，∵∠BCD＝60°，∠BCA＝45°，∴∠ACD＝∠BCD﹣∠BCA＝60°﹣45°＝15°，∠α＝180°﹣∠D﹣∠ACD＝180°﹣90°﹣15°＝75°，故选：B．9．解：设正多边形的边数为n，由题意得：（n﹣2）•180°＝3×360°，解得：n＝8，故选：D．10．解：设∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y，∠C′FE＝x，∵DB′∥GC′，∴γ+β＝∠B+∠C＝α，∵EB′∥FG，∴∠CFG＝∠CEB′＝y，∴x+2y＝180°①，∵γ+y＝2∠B，β+x＝2∠C，∴γ+y+β+x＝2α，∴x+y＝α②，②×2﹣①可得x＝2α﹣180°，∴∠C′FE＝2α﹣180°．故选：D．二．填空题（共5小题）11．解：①当锐角α是直角的一半时，α＝＝45°；②当锐角α是另一锐角的一半时，α＝（90°﹣α），此时α＝30°．综上所述，锐角α的度数为45°或30°．故答案是：45°或30°．12．解：∵五边形ADEFG是正五边形，∴∠ADE＝∠DEF＝540°÷5＝108°，∴∠BDE＝∠BED＝72°，∴∠ABC＝180°﹣∠BDE﹣∠BED＝36°，故答案为：36．13．解：∵∠DCE＝40°，∴∠ACD+∠BCE＝180°﹣∠DCE＝180°﹣40°＝140°，∵∠DAC＝∠D，∠EBC＝∠E，∴2∠DAC+2∠CBE＝180°×2﹣140°＝220°，∴∠DAC+∠CBE＝110°，∵AO平分∠DAC，BO平分∠EBC，∴＝＝55°，∴∠O＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝180°﹣55°＝125°，故答案为：125．14．解：∵BD，BE分别是∠B的角平分线和外角平分线，∴∠DBE＝＝90°，∴∠D+∠E＝180°﹣∠DBE＝180°﹣90°＝90°．故答案为：90°．15．解：∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，∵∠BDC＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝140°﹣90°＝50°，∵BE、CE分别平分∠ABD和∠ACD，BF、CF分别平分∠ABE和∠ACE，∴∠FBD+∠FCD＝×50°＝37.5°，∴∠FBC+∠FCB＝37.5°+90°＝127.5°，∴∠F＝180°﹣127.5°＝52.5°，故答案为52.5．三．解答题（共5小题）16．解：（1）∵BD为△ABC的角平分线，∠ABC＝60°∴∠DBC＝∠ABC＝30°，又∵∠ADB是△BDC的外角，∠ADB＝70°，∴∠ADB＝∠DBC+∠C，∴∠C＝∠ADB﹣∠DBC＝40°；（2）情况一，如图1，则∠CDE＝90°；情况二：如图2，当∠CED＝90°时，∠EDC＝90°﹣∠C＝90°﹣40°＝50°，综上所述，∠EDC的度数为90°或50°，故答案为：50°或90°．17．解：（1）∵∠BAC：∠B：∠C＝3：5：7，∴设∠BAC＝3x，∠B＝5x，∠C＝7x，∴3x+5x+7x＝180°，解得：x＝12°，∴∠BAC＝36°，∠B＝60°，∠C＝84°，∵∠ADB＝102°，∴∠1＝∠ADB﹣∠C＝102°﹣84°＝18°；（2）ED∥AB．理由：∵∠1＝∠2，∴∠2＝18°，∵∠BAC＝36°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠1＝36°﹣18°＝18°，∴∠2＝∠BAD，∴ED∥AB．18．解：（1）证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，又∵∠DAC＝∠DCA，∴∠BAC＝∠DAC，∴AC平分∠BAD；（2）∵∠BAC＝∠DAC，∠DAC+∠ADB＝∠AEB＝125°，∴∠ADB＝125°﹣∠BAC，又∵DF平分∠ADB交AB边于点F，∴∠BDF＝，由∠AEB＝125°可得∠BAC＝55°﹣∠ABD，∵∠ABD＝2∠CBD，∴∠BAC＝55°﹣2∠CBD，∴，∴∠BDF﹣∠CBD＝＝35°．19．证明：证法1：∵∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．∴∠BAE＝∠2+∠3，∠CBF＝∠1+∠3，∠ACD＝∠1+∠2．∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2（∠1+∠2+∠3），∵∠1+∠2+∠3＝180°．∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°；证法2：∵平角等于180°，∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3＝180°×3＝540°，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣（∠1+∠2+∠3）．∵∠1+∠2+∠3＝180°，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣180°＝360°．故答案为：∠BAE＝∠2+∠3，∠CBF＝∠1+∠3，∠ACD＝∠1+∠2；∠1+∠2+∠3＝180°．20．（1）解：∵∠B＝70°，∠C＝40°，∴∠BAC＝180°﹣70°﹣40°＝70°，∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠BAD＝∠BAC＝×70°＝35°，在Rt△ABE中，∠BAE＝90°﹣70°＝20°，∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝35°﹣20°＝15°，（2）∵∠BAD＝∠BAC＝（180°﹣x﹣y），∴∠AEB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣x﹣（180°﹣x﹣y）＝90°﹣x+y，∴∠DFE＝90°﹣∠AEB＝90°﹣90°+x﹣y＝（x﹣y）．故答案为（x﹣y）．（3）∵∠BAD＝∠BAC＝（180°﹣x﹣y），∴∠AEB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣x﹣（180°﹣x﹣y）＝90°﹣x+y，∴∠DEF＝∠AEB＝90°﹣x+y，∴∠DFE＝90°﹣∠DEF＝90°﹣90°+x﹣y＝（x﹣y）．故答案为（x﹣y）．（4）∵∠BAD＝∠BAC＝（180°﹣x﹣y），∴∠PAF＝（180°﹣x﹣y），∴∠P＝180°﹣45°﹣[180°﹣（180°﹣x﹣y）﹣x]＝（3x﹣y）．故答案为（3x﹣y）．。
解三角形大题专项训练 (1)
1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）的值．2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若cosB=，△ABC的周长为5，求b的长．3.△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=a．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若C2=b2+a2，求B．4.在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC （1）求cosA的值（2）若a=1，，求边c的值．5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c（1）若，求A的值；（2）若，求sinC的值．6.△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（I）求△ABC的周长；（II）求cos（A﹣C）的值．7.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=．（I）求sinC的值；（Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．8.设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且3b2+3c2﹣3a2=4bc．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）求的值．9.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求sinB+sinC的最大值．10.在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且．（1）确定角C的大小；（2）若，且△ABC的面积为，求a+b的值．11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．12.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=60°，c=3b．求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）cotB+cot C的值．13.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，求：（Ⅰ）A的大小；（Ⅱ）2sinBcosC﹣sin（B﹣C）的值．14.在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知a2+c2=2b2．（Ⅰ）若，且A为钝角，求内角A与C的大小；（Ⅱ）求sinB 的最大值．15.在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ．已知．（1）若△ABC 的面积等于，求a ，b ；（2）若sinC+sin （B ﹣A ）=2sin2A ，求△ABC 的面积．16.设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且cos 3a B =，sin 4b A =． （Ⅰ）求边长a ；（Ⅱ）若ABC △的面积10S =，求ABC △的周长17.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c .已知2223b c a bc +=+，求： （Ⅰ）A 的大小;（Ⅱ）2sin cos sin()B C B C --的值.18. 在ABC △中,内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c .已知2,3c C π==.⑴若ABC △的面积等于3,求,a b ;⑵若sin sin()2sin 2C B A A +-=,求ABC △的面积.答案与评分标准一．选择题（共2小题）1．（2009?福建）已知锐角△ABC 的面积为，BC=4，CA=3，则角C 的大小为（ ）A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°考点：解三角形。
鲁教版七年级三角形内角和定理-填空练习50题及参考答案(难度系数0.8)
初中数学试卷2020年03月26日一、填空题（共50题；共50分）1.如图，l1∥l2，则α+β−γ=________.【答案】180°【解析】【解答】如图：∵l1∥l2，∴∠2=α，∵∠2是三角形的一个外角，∴∠2=γ+∠1，∵∠1与β是邻补角，∴∠1+β=180°，∴∠1+β+∠2=180°+γ+∠1，即：α+β=180°+γ∴α+β− γ=180°故答案为：180°【分析】根据两直线平行同位角相等、三角形外角定理以及邻补角的概念列式计算即可；2.如图，AB∥CD，∠B=68°，∠E=20°，则∠D的度数为________．【答案】48°【解析】【解答】因为AB∥CD，∠B=68°，所以∠CFE=∠B=68°，又∠CFE=∠D+∠E, ∠E=20°，所以∠D=∠CFE-∠E=68°-20°=48°．【分析】根据两直线平行同位角相等，可得∠CFE=∠B=68°，利用三角形外角的性质可得∠D=∠CFE-∠E，据此计算即可．3.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使得点B落在AB边上的点D处，此时点A的对应点E恰好落在BC 边的延长线上。
若∠B=50°，则∠A的度数为________。
【答案】30°【解析】【解答】解：由旋转的性质，得BC=CB，∠ECD=∠ACB，∴∠CDB=∠B=50°，∵∠DCE=∠CDB+∠B=2∠B=100°，∴∠ACB=100°，∴∠A=180°-∠B-∠ACB=30°.故答案为：30°.【分析】根据旋转的性质可得BC=CB，∠ECD=∠ACB，从而可得∠CDB=∠B=50°，利用三角形外角的性质可得∠ACB=∠DCE=∠CDB+∠B=2∠B=100°，根据三角形内角和定理即可求出结论.4.在Rt△ABC 中，锐角A 的平分线与锐角B 的邻补角的平分线相交于点D，则∠ADB=________度．【答案】45【解析】【解答】解：如图，设锐角∠BAC 大小为x，∴∠ABE =90°+x,∵BF平分∠ABE，∴∠ABF=45°+ x2，∵AD平分∠CAB，∴∠BAD=x2，∴∠ADB=∠ABF-∠BAD=45°+ x2-x2=45°．故答案为：45【分析】根据三角形外角的定义得出∠ABE =90°+x,根据角平分线的定义得出∠ABF及∠BAD的度数，最后根据三角形外角性质，由∠ADB=∠ABF-∠BAD算出答案.5.如图，∠1+∠2+∠3+∠4=________度．【答案】360【解析】【解答】解：如图：连接AC∵∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，∠DAC+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠BAC+∠ACB+∠ABC+∠DAC+∠ACD+∠ADC=360°，即∠1+∠2+∠3+∠4=360°．故答案为:360.【分析】连接∠2 和∠4 的顶点，可得两个三角形，根据三角形的内角和定理即可求出答案．6.如图，平面镜A 与B 之间夹角为120°，光线经过平面镜A 反射后射在平面镜B 上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1=________度．【答案】30【解析】【解答】解：如图所示，作出入射光线的法线，根据“入射角等于反射角”可知∠1=∠3，∠2=∠4，∵∠1=∠2，∠AOB=120°，∴1=∠2=（180°﹣120°）÷2=30°．故答案为：30．【分析】因为反射角等于入射角，所以∠1=∠2=∠3=∠4=（180°﹣120°）÷2．7.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=________.【答案】85°【解析】【解答】∵CE是角∠ACD的平分线，∠ACE=60°∴∠ACD=120°又∵∠ACD是△ABC的外角∴∠A=∠ACD-∠B=85°故答案为85°.【分析】根据角平分线的性质，可知∠ACD，进而根据三角形外角定理，即可求得∠A.8.如图,在△ABC中,D是AC延长线上一点,∠A=50°,∠B=70°.则∠BCD=________.【答案】120°【解析】【解答】根据三角形外角的性质∠BCD=∠A+∠B=50°+70°=120°【分析】所求∠BCD为ΔABC的外角，根据三角形的外角的性质解题即可.9.如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若∠B=50°，则∠BDF=________度.【答案】80【解析】【解答】解：根据折叠的性质，可得：AD=DF，∵D是AB边上的中点，即AD=BD，∴BD=DF，∵∠B=50°，∴∠DFB=∠B=50°，∴∠BDF=180°﹣∠B﹣∠DFB=80°.故答案为：80.【分析】根据折叠的性质及中点的定义得出BD=DF，根据等边对等角得出∠DFB=∠B=50°，然后根据三角形的内角和定理即可得出∠BDF的度数.10.如图，在△ABC中，已知∠B=40°，∠A=30°，则∠BCD=________。
人教版八年级上册数学 单元练习试题：第十一章 三角形(含答案)
第十一章三角形一、选择题1.一个多边形的每个外角都等于30°，则这个多边形的边数是（）A. 10B. 11C. 12D. 132.下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（）A. 1cm，2cm，2cmB. 1cm，1cm，2cmC. 1cm，2cm，3cmD. 1cm，3cm，5cm；3.如图，AB∥CD，∠A=35°，∠C=75°，则∠E的度数为（）A. 35°B. 40°C. 45°D. 75°4.下面设计的原理不是利用三角形稳定性的是（）A. 三角形的房架B. 由四边形组成的伸缩门C. 斜钉一根木条的长方形窗框D. 自行车的三角形车架5.在△ABC中，如图，CD平分∠ACB，BE平分∠ABC，CD与BE交于点F，若∠DFE=120°，则∠A=（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°6.三角形三条中线的交点叫做三角形的（）A. 内心B. 外心C. 中心D. 重心7.锐角三角形的三个内角是∠A，∠B，∠C，如果α=∠A+∠B，β=∠B+∠C，γ=∠C+∠A，那么α，β，γ这三个角中（）A. 没有锐角B. 有1个锐角C. 有2个锐角D. 有3个锐角8.下列说法中错误的是A. 三角形的中线、角平分线、高线都是线段B. 任意三角形的外角和都是360°C. 有一个内角是直角的三角形是直角三角形D. 三角形的一个外角大于任何一个内角9.如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则等于（）A. 270°B. 180°C. 135°D. 90°10.正多边形的一个内角为140°，则该正多边形的边数为（）A. 9B. 8C. 7D. 411.如图，下列关系正确的是（）A. ∠2＜∠1B. ∠2＞∠1C. ∠2≥∠1D. ∠2=∠112.下列各图中，正确画出AC边上的高的是（）A. B. C. D.二、填空题13.已知一个三角形的三条边长均为正整数.若其中仅有一条边长为5，且它不是最短边，则满足条件的三角形个数为________14.一个多边形的每个外角都是60°，则这个多边形的边数为________15.一个n边形的内角和是1260°，那么n=________．16.如图所示，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是应用了三角形的哪个性质？答：________．（填“稳定性”或“不稳定性”）17.如图，在△ABC中，∠A=40°，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC=________．18.△ABC的两边长分别是3和5，则第三边x的取值范围是________．19.在△ABC中，∠A﹣∠B=10°，，则∠C=________20.如图，计算∠A+∠B+∠C+∠E+∠F+∠AGF= ________ °.三、解答题21.如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，CD平分∠ACB，求∠ACD的度数．22.如图，已知△ABC中，高为AD，角平分线为AE，若∠B=28°，∠ACD=52°，求∠EAD的度数．23.如图，在△ABC中（AB＞BC），AC=2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC 和AB的长．24.某个零件的的形状如图所示，按规定∠A等于90°，∠B、∠D应分别等于20°和30°，小李量得∠BCD=145°，他断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？25.如图，小明从点O出发，前进5m后向右转15°，再前进5m后又向右转15°，…这样一直下去，直到他第一次回到出发点O为止，他所走的路径构成了一个多边形．（1）小明一共走了多少米？（2）这个多边形的内角和是多少度？26.如图：（1）在△ABC中，BC边上的高是________；（2）在△AEC中，AE边上的高是________；（3）若AB＝CD＝2cm，AE＝3cm，求△AEC的面积及CE的长．参考答案一、选择题1.C2. A3. B4. B5. C6. D7. A8. D9. A 10. A 11.B 12. D二、填空题13.10 14.6 15.9 16.稳定性17.110°18.2<x<8 19.150°20.540三、解答题21.解：∵∠A=70°，∠B=50°，∴∠ACB=180°﹣70°﹣50°=60°（三角形内角和定义）．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD= ∠ACB= ×60°=30°22.解：在△ABC中，∵∠ACD=∠B+∠BAC，∴∠BAC=52°﹣28°=24°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE= ∠BAC=12°，∴∠AED=∠B+∠BAE=28°+12°=40°，∵AD为高，∴∠ADE=90°，∴∠EAD=90°﹣∠AED=90°﹣40°=50°23.解：∵AD是BC边上的中线，AC=2BC，∴BD=CD，设BD=CD=x，AB=y，则AC=4x，分为两种情况：①AC+CD=60，AB+BD=40，则4x+x=60，x+y=40，解得：x=12，y=28，即AC=4x=48，AB=28；②AC+CD=40，AB+BD=60，则4x+x=40，x+y=60，解得：x=8，y=52，即AC=4x=32，AB=52，BC=2x=16，此时不符合三角形三边关系定理；综合上述：AC=48，AB=28．24.解：这个零件不合格。
人教版八年级上册数学《与三角形有关的角》同步练习(含答案)
与三角形有关的角一 、选择题1.已知ABC ∆的三个内角为A ∠，B ∠，C ∠，令B C α∠=∠+∠，C A β∠=∠+∠，A B γ∠=∠+∠，则α∠，β∠，γ∠中锐角的个数至多为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个 2.如图，()A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=A ．100︒B ．120︒C ．150︒D ．180︒二 、填空题3.如图，ABC △中，ABC DBE EBC ACD DCE ECB ∠=∠=∠∠=∠=∠，，若145BEC ∠=︒，则BDC ∠等于 ．4.如下图，求A B C D ∠+∠+∠+∠= ．5.如图所示，点E 和D 分别在ABC ∆的边BA 和CA 的延长线上，若3050D B ∠=︒∠=︒，CF 、EF 分别平分ACB ∠和AED ∠，则F ∠的度数为 ．GFEDCBAGFEDCBAED CBA 120︒100︒D CB A6.⑴如图，点P 是ABD ∠与ACD ∠的角平分线的交点，若60A ∠=︒，120D ∠=︒，则______BPC ∠=⑵如图，点P 是ABD ∠与ACD ∠的角平分线的交点，若40A ∠=︒，35P ∠=︒，则______D ∠=7.如右图所示，在ABC ∆中，CD 、BE 是外角平分线，BD 、CE 是内角平分线，BE 、CE 交于E ，BD 、CD 交于D ，试探索D ∠与E ∠的关系： ．8.如图，在ABC △中，BD CD ，是ABC ACB ∠∠，的角平分线，连接AD ,125BDC ∠=︒，求ADB ∠的度数9.已知三角形的三个内角分别为α、β、γ，且αβγ≥≥，2αγ=，则β的取值范围是 ．P DCBA DP CBA DCBA10.ABC ∆中，A ∠是最小角，B ∠是最大角，且25B A ∠=∠，若B ∠的最大值是m ︒，最小值是n ︒．则m n += ．11.如下图，CGE α∠=，则A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠= ．12.如图，ABC △中，90C ∠=︒，13BAD BAE ∠=∠，13ABD ABF ∠=∠，则D ∠= ．三 、解答题13.如下图，求C D ∠+∠的度数．14.如图，BF 是ABD ∠的角平分线，CE 是ACD ∠角的平分线，BE 与CF 交于G ，若140BDC ∠=︒，110BGC ∠=︒，求A ∠的度数．15.（1）若4030A B ∠=︒∠=︒，，求C D ∠+∠的度数（2）若BP CP 、为ABC ACD ∠∠、的角平分线，P ∠与A ∠和D ∠之间的关系αGFEDCBAFE DCB A70︒30︒E DCBA16.如右图所示，BD 是ABC ∠的角平分线，CD 是ABC ∆的外角平分线，BD 、CD交于点D ，若70A ∠=︒，求D ∠．17.如图，在三角形ABC 中，42A ∠=︒，ABC ∠和ACB ∠的三等分线分别交于D 、E ，求BDC ∠的度数．18.如图所示，已知70A ∠=︒，40B ∠=︒，20C ∠=︒，求BOC ∠度数．19.如图，求A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠的度数．20.如图，P 是ABC △内一点，求证：BPC ∠>A ∠DCBAPDCBAABC D EF21.如下图所示，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 、E 为AB 上两点，若AE AC =，45DCE ∠=︒，求证：BC BD =．22.已知三角形有一个内角是(180)x -度，最大角与最小角之差是24︒．求x 的取值范围．PCBA54321E D CB A与三角形有关的角答案解析一 、选择题1.A;实际是问至多有几个顶点所对应的外角是锐角，即至多有几个内角是钝角．总结：一个三角形的内角至多有311⎧⎪⎨⎪⎩锐角个直角个钝角个 ；至少有2个锐角．2.D;如图，连接EF AC ，，则有G D GAD GCA ∠+∠=∠+∠，()()EFC AEF EAC ACF EAD CAD GCF GCA ∠+∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠ ()()()()EAD GCF CAD GCA EAD GCF G D =∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠所以A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠()()()EAD GCF G D B AEB CFB =∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠ ()()EFC AEF B AEB CFB =∠+∠+∠+∠+∠()()180EFC CFB AEB AEF B EFB FEB B =∠+∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒二 、填空题3.110︒;根据燕尾形，故E A ABE ACE ∠=∠+∠+∠，2A E D ∠+∠=∠，35x y +=︒4.220︒．5.40︒;1()=402F D B ∠=∠+∠︒【解析】对顶八字形的应用 6.⑴90BPC ∠=︒;⑵30D ∠=︒7.D E ∠=∠;∵1122D AE A ∠=∠∠=∠，，∴D E ∠=∠ 8.35︒；两内角平分线的应用，1902A BDC ∠+︒=∠，又三内角平分线交于一点9.4572β︒︒≤≤;由题意可得2(180)3αβ=︒-，1803βγ︒-=，解不等式组yxED CBA2180(180)33βββ︒-︒-≥≥， 得：4572β︒︒≤≤．10.175;25A B ∠=∠，依题意得2718055B B B ∠︒-∠∠≤≤，解得75100B ︒∠︒≤≤，故175m n +=．11.2α．12.90︒;()()1118018033DAB ABD BAE ABD CAB ABC ∠+∠=∠+∠=︒-∠+︒-∠，90CAB ABC ∠+∠=︒三 、解答题13.180180100C D CED AEB A B ∠+∠=︒-∠=∠︒-∠=∠+∠=︒ 14.延长BD 交AC 于H ，则BDC HCD DHC ∠=∠+∠∵DHC A ABH ∠=∠+∠∴BDC A ABH HCD ∠=∠+∠+∠①∵BGC GFC FCG ∠=∠+∠，GFC A ABF ∠=∠+∠ ∴BGC A ABF FCG ∠=∠+∠+∠ ∴2222BGC A ABF FCG ∠=∠+∠+∠ 即22BGC A ABH ACD ∠=∠+∠+∠② ②－①得2BGC BDC A ∠-∠=∠ ∴211014080A ∠=⨯︒-︒=︒15.（1）70C D ∠+∠=︒．（2）如图⑤，x A y P +∠=+∠，x P y D +∠=+∠，化简可得2P A D ∠=∠+∠x x yy⑤DPCBA【解析】对顶八字形，需要掌握A B C D ∠+∠=∠+∠，第二问便是这个结论的应用16.∵ACE A ABC ∠=∠+∠∵12DCE ACE ∠=∠，12DBC ABC ∠=∠ ∴12DCE A DBC ∠=∠+∠ ∵DCE D DBC ∠=∠+∠∴12D DBC A DBC ∠+∠=∠+∠，即1352D A ∠=∠=︒．17.设ABC ∠的三分之一为x ，ACB ∠的三分之一为y ，因为三角形内角和为180︒， 所以有：3342180x y ++=︒， 即180423x y ︒-︒+=，所以180421802883BDC ︒-︒∠=︒-⨯=︒． 18.法1：如图(1)，延长BO 交AC 于D ，求得130BOC ∠=法2：如图(2)，连接BC ；法3：如图(3)，连接AO 并延长到点D ．本题的一个重要结论：如例题所示图形，BOC A B C ∠=∠+∠+∠ 19.连接BC ，∵EFD CFB ∠=∠(对顶角相等)∴E D FCB FBC ∠+∠=∠+∠(等量减等量差相等)∴ACB ABC ACD ABE FCB FBC ∠+∠=∠+∠+∠+∠(等量代换) ∵180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒(三角形内角和定义) ∴180A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠=︒(等量代换)20.图中没有三角形的外角，可适当引辅助线构造外角，再比较．延长BP 交AC 于D ．则有BPC PDC ∠>∠，且PDC A ∠>∠，所以BPC A ∠>∠．21.如图，∵245∠=︒，AE AC =，∴523453∠=∠+∠=︒+∠．∴43A ∠=∠+∠，15(453)(90)345445B A A ∠=∠-∠=︒+∠-︒-∠=∠+∠-︒=∠-︒．∴4145BCD ∠=∠+∠︒=∠， ∴BC BD =．22.①若(180)x -度为最大角，则最小角为(156)x -度，那么，156180(180)(156)180x x x x ------≤≤，解得104112x ≤≤；②设(180)x -度是中间角，则121801222x x x --+≤≤，112128x ≤≤； ③设(180)x -度为最小角，则180180(180)(204)204x x x x ------≤≤，解得128136x ≤≤，综合⑴、⑵、⑶得x 的范围是104136x ≤≤．A PCBD。
2022年必考点解析冀教版七年级数学下册第九章 三角形专项练习试卷(含答案详解)
冀教版七年级数学下册第九章 三角形专项练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，已知ACD ∠为ABC 的外角，60ACD ∠=︒，20B ∠=︒，那么A ∠的度数是（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°2、以下长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）A ．2，3，5B ．4，4，8C ．3，4.8，7D ．3，5，93、将一副三角板按不同位置摆放，下图中α∠与β∠互余的是（ ）A ．B ．C．D．∠的度数为()4、三个等边三角形的摆放位置如图所示，若12100∠+∠=°，则3A．80︒B．70︒C．45︒D．305、如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，OA=15米，OB＝10米，A、B间的距离不可能是（）A．5米B．10米C．15米D．20米6、下列各组线段中，能构成三角形的是（）A．2、4、7 B．4、5、9 C．5、8、10 D．1、3、67、如图，图形中的x的值是（）A．50 B．60 C．70 D．808、已知三角形的两边长分别是3cm和7cm，则下列长度的线段中能作为第三边的是（）A ．3cmB ．4cmC ．7cmD ．10cm9、如图，AD ∥BC ，∠C ＝30°，∠ADB ：∠BDC ＝1：2，∠EAB ＝72°，以下四个说法：①∠CDF ＝30°；②∠ADB ＝50°；③∠ABD ＝22°；④∠CBN ＝108°其中正确说法的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10、如图，BD 是ABC 的角平分线，∥DE BC ，交AB 于点E ．若30A ∠=︒，50BDC ∠=︒，则BDE ∠的度数是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．50°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知a ，b ，c 是ABC 的三边长，满足()2720a b -+-=，c 为奇数，则c =______．2、如图，在△ABC 中，D 是AC 延长线上一点，∠A ＝50°，∠B ＝70°，则∠BCD ＝__________°．3、一个三角形的其中两个内角为88︒，32︒，则这个第三个内角的度数为______．4、如图，把△ABC绕点C顺时针旋转某个角度α得到A B C''，∠A＝30°，∠1＝70°，则旋转角α的度数为_____．5、如图，三角形ABC的面积为1，:2:1BD DC=，E为AC的中点，AD与BE相交于P，那么四边形PDCE的面积为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，AB∥CD，∠BMN与∠DNM的平分线相交于点G，完成下面的证明：∵MG平分∠BMN，∠BMN（），∴∠GMN＝12∠DNM．同理∠GNM＝12∵AB∥CD∴∠BMN＋∠DNM＝________（）．∴∠GMN＋∠GNM＝________．∵∠GMN＋∠GNM＋∠G＝________，∴∠G＝________．2、如图1，我们把一副两个三角板如图摆放在一起，其中OA，OD在一条直线上，∠B＝45°，∠C＝30°，固定三角板ODC，将三角板OAB绕点O按顺时针方向旋转，记旋转角∠AOA'＝α（0＜α＜180°）．（1）在旋转过程中，当α为度时，A'B'∥OC，当α为度时，A'B'⊥CD；（2）如图2，将图1中的△OAB以点O为旋转中心旋转到△OA'B'的位置，求当α为多少度时，OB'平分∠COD；拓展应用：（3）当90°＜α＜120°时，连接A'D，利用图3探究∠B'A'D+∠B'OC+∠A'DC值的大小变化情况，并说明理由．3、如图，在△ABC中，∠ABC=30°，∠C=80°，AD是△ABC的角平分线，BE是△ABD中AD边上的高，求∠ABE 的度数．4、如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，射线AE 交BC 于点P ，∠BAE ＝15°；过点C 作CD ⊥AE 于点D ，连接BE ，过点E 作EF ∥BC 交DC 的延长线于点F ．（1）求∠F 的度数；（2）若∠ABE ＝75°，求证：BE ∥CF ．5、如图，AD 是ABC 的高，CE 是ADC 的角平分线．若BAD ECD ∠=∠，70B ∠=︒，求CAD ∠的度数．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】根据三角形的外角性质解答即可．【详解】解：∵∠ACD＝60°，∠B＝20°，∴∠A＝∠ACD−∠B＝60°−20°＝40°，故选：B．【点睛】此题考查三角形的外角性质，关键是根据三角形外角性质解答．2、C【解析】【分析】由题意根据三角形的三条边必须满足：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行分析即可．【详解】解：A、2+3=5，不能组成三角形，不符合题意；B、4+4=8，不能组成三角形，不符合题意；C、3+4.8＞7，能组成三角形，符合题意；D、3+5＜9，不能组成三角形，不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．注意掌握判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和大于最大的数即可．3、A【解析】【分析】根据平角的定义可判断A，D，根据同角的余角相等可判断B，根据三角形的外角的性质可判断C，从而可得答案.【详解】解：选项A：根据平角的定义得：∠α+90°+∠β=180°，∴∠α+∠β=90°，即∠α与∠β互余；故A符合题意；选项B：如图，3903,=,故B不符合题意；选项C：如图，9011,故C不符合题意；选项D：18045135,故D不符合题意；故选A【点睛】本题考查的是平角的定义，互余的含义，同角的余角相等，三角形的外角的性质，掌握“与直角三角形有关的角度的计算”是解本题的关键.4、A【解析】【分析】利用三个平角的和减去中间三角形的内角和，再减去三个60︒的角即可．【详解】⨯︒=︒，解：3180540⨯︒=︒，360180∴︒-︒-︒=︒，540180180180∴∠+∠+∠=︒，12318012100∠+∠=︒，∴∠=︒，380故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键．5、A【解析】【分析】根据三角形的三边关系得出5＜AB＜25，根据AB的范围判断即可．【详解】解：连接AB，根据三角形的三边关系定理得：15﹣10＜AB＜15+10，即：5＜AB＜25，∴A、B间的距离在5和25之间，∴A、B间的距离不可能是5米；故选：A．【点睛】本题主要考查对三角形的三边关系定理的理解和掌握，能正确运用三角形的三边关系定理是解此题的关键．6、C【解析】【分析】根据三角形的三边关系定理逐项判断即可得．【详解】解：三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边．+<，不能构成三角形，此项不符题意；A、247+=，不能构成三角形，此项不符题意；B、459+>，能构成三角形，此项符合题意；C、5810D 、136+<，不能构成三角形，此项不符题意；故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．7、B【解析】【分析】根据三角形外角的性质：三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数和进行求解即可．【详解】解：由题意得：()1070x x x ++=+∴1070x x x ++=+，∴60x =，故选B ．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，解一元一次方程，熟知三角形外角的性质是解题的关键．8、C【解析】【分析】设三角形第三边的长为x cm ，再根据三角形的三边关系求出x 的取值范围，找出符合条件的x 的值即可．【详解】解：设三角形的第三边是xcm ．则7-3＜x＜7+3．即4＜x＜10，四个选项中，只有选项C符合题意，故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的应用．此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．9、D【解析】【分析】根据AD∥BC，∠C＝30°，利用内错角相等得出∠FDC=∠C=30°，可判断①正确；根据邻补角性质可求∠ADC=180°-∠FDC=180°-30°=150°，根据∠ADB：∠BDC＝1：2，得出方程3∠ADB=150°，解方程可判断②正确；根据∠EAB＝72°，可求邻补角∠DAN=180°-∠EAB=180°-72°=108°，利用三角形内角和可求∠ABD=180°-∠NAD-∠ADB=180°-108°-50°=22°可判断③正确，利用AD∥BC，同位角相等的∠CBN=∠DAN=108°可判断④正确即可．【详解】解：∵AD∥BC，∠C＝30°，∴∠FDC=∠C=30°，故①正确；∴∠ADC=180°-∠FDC=180°-30°=150°，∵∠ADB：∠BDC＝1：2，∴∠BDC=2∠ADB，∵∠ADC=∠ADB+∠BDC=∠ADB+2∠ADB=3∠ADB=150°，解得∠ADB=50°，故②正确∵∠EAB＝72°，∴∠DAN=180°-∠EAB=180°-72°=108°，∴∠ABD=180°-∠NAD-∠ADB=180°-108°-50°=22°，故③正确∵AD∥BC，∴∠CBN=∠DAN=108°，故④正确其中正确说法的个数是4个．故选择D．【点睛】本题考查平行线性质，角的倍分，邻补角性质，三角形内角和，一元一次方程，掌握平行线性质，邻补角性质，三角形内角和，一元一次方程地解题关键．10、B【解析】【分析】由外角的性质可得∠ABD＝20°，由角平分线的性质可得∠DBC＝20°，由平行线的性质即可求解.【详解】解：（1）∵∠A＝30°，∠BDC＝50°，∠BDC＝∠A＋∠ABD，∴∠ABD＝∠BDC−∠A＝50°−30°＝20°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠DBC＝∠ABD＝20°，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC＝20°，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，灵活应用这些性质解决问题是解决本题的关键．二、填空题1、7【解析】【分析】绝对值与平方的取值均≥0，可知70a -=，20b -=，可得a 、b 的值，根据三角形三边关系a b c a b c+>⎧⎨-<⎩求出c 的取值范围，进而得到c 的值．【详解】 解：()2720a b -+-= 70a ∴-=，20b -=72a b ∴==，由三角形三边关系a b c a b c+>⎧⎨-<⎩可得95c c >⎧⎨<⎩ 59c ∴<<c 为奇数7c ∴=故答案为：7．【点睛】本题考查了绝对值、平方的非负性，三角形的三边关系等知识点．解题的关键是确定所求边长的取值范围．2、120【解析】根据三角形的外角性质，可得BCD A B ∠=∠+∠ ，即可求解．【详解】解：∵BCD ∠ 是ABC 的外角，∴BCD A B ∠=∠+∠ ，∵∠A ＝50°，∠B ＝70°，∴120BCD ∠=︒ ．故答案为：120【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．3、60°##60度【解析】【分析】依题意，利用三角形内角和为：180︒，即可；【详解】由题得：一个三角形的内角和为：180︒；又已知两个其中的内角为：88︒，32︒；∴ 第三个角为：180883260︒-︒-︒=︒；故填：60︒【点睛】本题主要考查三角形的内角和，关键在于熟练并运用基本的计算；4、40︒##40度【解析】由旋转的性质可得30,A A 再利用三角形的外角的性质求解140,A CA A 从而可得答案.【详解】 解： 把△ABC 绕点C 顺时针旋转某个角度α得到A B C ''，∠A ＝30°，30,A A ∠1＝70°，140,A CA A40.故答案为：40︒【点睛】本题考查的是旋转的性质，三角形的外角的性质，利用性质的性质求解30A A '∠=∠=︒是解本题的关键.5、730【解析】【分析】连接CP ．设△CPE 的面积是x ，△CDP 的面积是y ．根据BD ：DC =2：1，E 为AC 的中点，得△BDP 的面积是2y ，△APE 的面积是x ，进而得到△ABP 的面积是4x ．再根据△ABE 的面积是△BCE 的面积相等，得4x +x =2y +x +y ，解得43y x =，再根据△ABC 的面积是1即可求得x 、y 的值，从而求解． 【详解】解：连接CP ， 设△CPE 的面积是x ，△CDP 的面积是y ．∵BD：DC=2：1，E为AC的中点，∴△BDP的面积是2y，△APE的面积是x，1,2 ABE BCES S==∵BD：DC=2：1，CE：AC=1：2，2,ABD ACDS S∴△ABP的面积是4x．∴4x+x=2y+x+y，解得43y x =．又∵4x+x=12，解得：x=110，则412,31015y则四边形PDCE的面积为x+y=730．故答案为：730．【点睛】本题能够根据三角形的面积公式求得三角形的面积之间的关系．等高的两个三角形的面积比等于它们的底的比；等底的两个三角形的面积比等于它们的高的比．三、解答题1、角分线的定义；180°；两直线平行，同旁内角互补；90°；180°；90°【解析】【分析】根据角平分线的定义，可得∠GMN＝12∠BMN，∠GNM＝12∠DNM．再由AB∥CD，可得∠BMN＋∠DNM＝180°，从而得到∠GMN＋∠GNM＝90°．然后根据三角形的内角和定理，即可求解．【详解】证明：∵MG平分∠BMN，∴∠GMN＝12∠BMN（角分线的定义），同理∠GNM＝12∠DNM．∵AB∥CD，∴∠BMN＋∠DNM＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠GMN＋∠GNM＝90°．∵∠GMN＋∠GNM＋∠G＝180°，∴∠G＝90°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．2、（1）30，90；（2）105°；（3）不变，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意作出图形，根据所给的条件求解即可；（2）由旋转的性质可得∠AOB＝∠A'OB'＝45°，由角的数量关系可求解；（3）由α可分别表示∠B'A'D，∠B'OC，∠A'DC再求和即可．【详解】解：（1）当A'B'∥OC时，∴∠A′OC+∠A′＝180°，∵∠A′＝90°，∴∠A′OC＝90°，∴∠AOA′＝180°﹣90°﹣60°＝30°，即α＝30°；当A'B'⊥CD时，则OA′∥CD，∴∠AOA′＝∠ODC＝90°，即α＝90°；故答案为：30；90．（2）∵△OAB以O为中心顺时针旋转得到△OA′B′，∴∠AOB＝∠A'OB'＝45°，∵∠COD＝60°，OB′平分∠COD，∴∠DOB'＝30°，∴∠AOA'＝180°﹣∠DOB′﹣∠A'OB′＝180°﹣30°﹣45°＝105°，即当α为105°时，OB'平分∠COD；（3）不变，理由如下：∵∠AOA′＝α，∴∠B′OD＝180°﹣45°﹣α＝135°﹣α，∴∠B′OC＝60°﹣（135°﹣α）＝α﹣75°，设∠A′DC＝β，∴∠A′DO＝90°﹣β，∴∠B′OD+∠A′DO＝∠B'A'D+∠B′，即135°﹣α+90°﹣β＝∠B'A'D+45°，解得∠B'A'D＝180°﹣α﹣β，∴∠B'A'D+∠B'OC+∠A'DC＝180°﹣α﹣β+α﹣75°+β＝105°．【点睛】本题考查了三角板的角度计算，角平分线的定义，旋转的性质，三角形的内角和与外角的性质，平行线的性质，根据题意作出图形是解题的关键．3、55°【解析】【分析】先根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出∠BAD度数，由AE⊥BE可求出∠AEB=90°，再由三角形的内角和定理即可解答．【详解】解：∵∠ABC=30°，∠C=80°，∴∠BAC=180°-30°-80°=70°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=1×70°=35°，2∵AE ⊥BE ，∴∠AEB =90°，∴∠ABE =180°-∠AEB -∠BAE =180°-90°-35°=55°．【点睛】本题考查的是角平分线的定义，高的定义及三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．4、（1）30F ∠=︒；（2）证明见详解．．【解析】【分析】（1）根据三角形内角和及等腰三角形的性质可得75PAC ∠=︒，45ABC ACB ∠=∠=︒，由各角之间的关系及三角形内角和定理可得30PCD ∠=︒，60PDC ∠=︒，最后由平行线的性质即可得出；（2）由题意及各角之间的关系可得30CBE ∠=︒，得出DCB CBE ∠=∠，利用平行线的判定定理即可证明．【详解】解：（1）∵90BAC ∠=︒，15BAE ∠=︒，AB AC =，∴75PAC ∠=︒，45ABC ACB ∠=∠=︒，∵CD AE ⊥，∴90ADC ∠=︒，18015ACD ADC DAC ∠=︒-∠-∠=︒，∴451530PCD PCA ACD ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴180903060PDC ∠=︒-︒-︒=︒，∵EF BC ∥，∴60DPC PEF ∠=∠=︒，30F DCP ∠=∠=︒，（2）∵75ABE ∠=︒，45ABC ∠=︒，∴754530CBE ∠=︒-︒=︒，由（1）可得30DCP ∠=︒，∴DCB CBE ∠=∠，∴BE CF ∥（内错角相等，两直线平行）．【点睛】题目主要考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理等，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．5、50︒【解析】【分析】AD 是ABC 的高，有90ADB ADC ∠=∠=︒；由70B ∠=︒知20BAD ∠=︒；CE 是ADC 的角平分线可得12ECD ACD ∠=∠；20BAD ECD ∠=∠=︒，40ACD ∠=︒；在ACD △中，904050CAD ∠=︒-︒=︒． 【详解】解：∵AD 是ABC 的高∴90ADB ADC ∠=∠=︒∵70B ∠=︒∴20BAD ∠=︒∵CE 是ADC 的角平分线 ∴12ECD ACD ∠=∠∵20BAD ECD ∠=∠=︒∴在ACD △中，904050CAD ∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查了角平分线．解题的关键在于正确表示各角度之间的数量关系．。
高二数学解三角形测试题(附答案)
解三角形测试题一、选择题：1、ΔABC中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B等于〔〕A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°2、符合以下条件的三角形有且只有一个的是〔〕A．a=1,b=2 ,c=3 B．a=1,b=2,∠A=30°C．a=1,b=2,∠A=100°D．b=c=1, ∠B=45°3、在锐角三角形ABC中，有〔〕A．cosA>sinB且cosB>sinA B．cosA<sinB且cosB<sinAC．cosA>sinB且cosB<sinA D．cosA<sinB且cosB>sinA4、假设(a+b+c)(b+c－a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是〔〕A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形5、设A、B、C为三角形的三内角,且方程(sinB－sinA)x2+(sinA－sinC)x +(sinC－sinB)=0有等根，那么角B 〔〕A．B>60°B．B≥60°C．B<60°D．B ≤60°6、满足A=45,c=6,a=2的△ABC的个数记为m,则a m的值为〔〕A．4 B．2 C．1 D．不定7、如图：D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点仰角分别是β,ABα(α<β),则A 点离地面的高度AB 等于 〔 〕A ．)sin(sin sin αββα-a B ．)cos(sin sin βαβα-⋅aC ．)sin(cos sin αββα-a D ．)cos(sin cos βαβα-a8、两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于a(km), 灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南 偏东60°,则A,B 之间的相距 〔 〕A ．a (km)B ．3a(km)C ．2a(km)D ．2a (km)二、填空题：9、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA=127, 则ΔABC 是______三角形. 10、在ΔABC 中，A=60°, c:b=8:5,内切圆的面积为12π,则外接圆的半径为_____.11、在ΔABC 中，假设S ΔABC =41 (a 2+b 2－c 2),那么角∠C=______. 12、在ΔABC 中，a =5,b = 4,cos(A －B)=3231,则cosC=_______.三、解答题：13、在ΔABC 中,求分别满足以下条件的三角形形状： ①B=60°,b 2=ac ； ②b 2tanA=a 2tanB ； ③sinC=BA BA cos cos sin sin ++④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A －B).D Cα β14、已知ΔABC 三个内角A 、B 、C 满足A+C=2B,A cos 1+ C cos 1 =－B cos 2 , 求2cosCA 的值.15、二次方程ax 2－2bx+c=0,其中a 、b 、c 是一钝角三角形的三边,且以b 为最长.①证明方程有两个不等实根； ②证明两个实根α,β都是正数； ③假设a=c,试求|α－β|的变化范围.16、海岛O 上有一座海拨1000米的山,山顶上设有一个观察站A,上午11时,测得一轮船在岛北60°东C 处,俯角30°,11时10分,又测得该船在岛的北60°西B 处,俯角60°.①这船的速度每小时多少千米？②如果船的航速不变,它何时到达岛的正西方向？此时所在点E离岛多少千米？一、BDBBD AAC 二、〔9〕钝角 〔10〕3314 〔11〕4π 〔12〕81三、〔13〕分析：化简已知条件，找到边角之间的关系，就可判断三角形的形状. ①由余弦定理ac ac c a ac b c a ac b c a =-+⇒=-+⇒-+=︒22222222212260cos 0)(2=-∴c a ，c a =∴. 由a=c 及B=60°可知△ABC 为等边三角形. ②由AAb B a A b cos sin tan tan 222⇒=,2sin 2sin ,cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin cos sin 22222B A B B A A AB a b B A A B B B a =∴=∴==⇒=∴A=B 或A+B=90°，∴△ABC 为等腰△或Rt △. ③BA B A C cos cos sin sin sin ++= ，由正弦定理：,)cos (cos b a B A c +=+再由余弦定理：b a acb c a c bc c b a c +=-+⨯+-+⨯22222222∆∆∴+=∴=--+∴Rt ABC b a c b a c b a 为,,0))((222222. ④由条件变形为2222)sin()sin(ba b a B A B A +-=+-︒=+=∴=∴=⇒=--+-++∴90,2sin 2sin sin sin sin cos cos sin ,)sin()sin()sin()sin(2222B A B A B A BA B A B A b a B A B A B A B A 或. ∴△ABC 是等腰△或Rt △. 点评：这类判定三角形形状的问题的一般解法是：由正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简考察边或角的关系，从而确定三角形的形状. 有时一个条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以混用. 如本例的②④也可用余弦定理，请同学们试试看.〔14〕分析：︒=+︒=∴=+120,60,2C A B B C A 再代入三角式解得A 或 C. 解：︒=+︒=∴=-︒∴=+120.60,2180,2C A B B B B C A .∴由已知条件化为：22cos )120cos(.22)120cos(1cos 1-=+-︒∴-=-︒+A A A A),120cos(cos A A -︒设ααα-︒=+︒==-60,60,2C A CA 则.代入上式得：)60cos(α-︒ )60cos()60cos(22)60cos(ααα-︒+︒-=+︒+.化简整理得023cos 2cos 242=-+αα222cos ,22cos ,0)3cos 22)(2cos 2(=+=∴=+-⇒C A 即ααα. 注：此题有多种解法. 即可以从上式中消去B 、C 求出cosA ，也可以象本例的解法.还可以用和、差化积的公式，同学们可以试一试.〔15〕分析：证明方程有两个不等实根，即只要验证△＞0即可.要证α，β为正数，只要证明αβ＞0，α+β＞0即可. 解：①在钝角△ABC 中，b 边最长.ac b ac b B ac c a b B 424)2(,cos 20cos 122222-=--=∆-+=<<-∴且.0cos 4)(24)cos 2(2222>--=--+=B ac c a ac B ac c a 〔其中0cos 40)(22>-≥-B ac c a 且∴方程有两个不相等的实根. ②,0,02>=>=+aca b αββα ∴两实根α、β都是正数. ③a=c 时，=-=-+=-+=-∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+424)(2)(,12222222a b a a c a bαββααβββααββα2||0,4cos 40,0cos 1,cos 44)cos 2(22222<-<<-<∴<<--=--+βα因此B B B aa B ac c a . 〔16〕分析：这是一个立体的图形，要注意画图和空间的简单感觉.解：①如图：所示. OB=OA 3330tan =(千米)，3=OC 〔千米〕 则313120cos 222=︒⋅-+=OC OB OC OB BC 〔千米〕3926010313=÷=∴v 船速〔千米/小时〕 ②由余弦定理得：=∠=∠∴=⨯-+=∠OBC EBO BC OB OC BC OB OBC sin sin ,261352cos 222 =︒+∠-︒=∠-=∠=-)]30(180sin[sin ,26135cos ,26393)26135(12EBO OEB EBO .131330sin cos 30cos sin )30sin(=︒⨯∠+︒⨯∠=︒+∠EBO EBO EBO 再由正弦定理，得OE=1.5〔千米〕，5),(639==vBEBE 千米〔分钟〕. 答：船的速度为392千米/小时；如果船的航速不变，它5分钟到达岛的正西方向，此时所在点E 离岛1.5千米.。
三角形内角和外角练习题及作业
三⾓形内⾓和外⾓练习题及作业11.2 与三⾓形有关的⾓习题课⼀、知识要点1、三⾓形内⾓和定理：三⾓形三个内⾓的和等于______，即：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=_____理解与延伸：①⼀个三⾓形中最多只有⼀个钝⾓或直⾓②⼀个三⾓形中最少有⼀个⾓不⼩于60°③等边三⾓形每个⾓都是60°2、直⾓三⾓形的性质与判定性质：直⾓三⾓形的两个锐⾓__________；判定：有两个⾓互余的三⾓形是_______________3、三⾓形的外⾓：三⾓形的⼀边与另⼀边的______________组成的⾓特点：①三⾓形的⼀个外⾓和与它同顶点的内⾓互为_______________②三⾓形有____个外⾓，每个顶点处有____个外⾓，但算三⾓形外⾓和时，每个顶点处只算____个外⾓，外⾓和是指三个外⾓的和，三⾓形的外⾓和为________ 性质：三⾓形的外⾓等于与它______________的两个内⾓的和⼆、知识应⽤1、三⾓形内⾓和定理应⽤(1)已知两⾓求第三⾓ (2)已知三⾓的⽐例关系求各⾓ (3)已知三⾓之间相互关系求未知⾓2、三⾓形外⾓性质的应⽤(1)已知外⾓和它不相邻两个内⾓中的⼀个可求“另⼀个”(2)可证⼀个⾓等于另两个⾓的_______(3)经常利⽤它作为中间关系式证明两个⾓相等．三、例题分析1、如图，⼀种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A = 150°，∠B = ∠D = 40°则∠C=_______2、如图，⼀个直⾓三⾓形纸⽚，剪去直⾓后，得到⼀个四边形，则∠1＋∠2=_______3、△ABC中，∠B = ∠A + 10°，∠C = ∠B + 10°.求△ABC的各内⾓的度数4. 将⼀个直⾓三⾓板和⼀把直尺如图放置，如果∠α＝43°，求∠β的度数5、如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数变式：（1）如图①，五⾓形的顶点分别为A、B、C、D、E，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_____（2）如图②，∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E=_____（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_____6、（1）如图1，BO、CO分别是△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线，则∠BOC与∠A的关系是____________________________（2）如图2，BO、CO分别是△ABC两个外⾓∠CBD和∠BCE的平分线，则∠BOC与∠A的关系是____________________________（3）如图3，BO、CO分别是△ABC⼀个内⾓和⼀个外⾓的平分线，则∠BOC与∠A的关系是____________________________（4）请就图2及图2中的结论进⾏证明四、课外作业：A 组题1、如图，已知点B 、C 、D 、E 在同⼀直线上，△ABC 是等边三⾓形，且CG=CD ，DF=DE ，则∠E=______2、如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=______3、把⼀副三⾓板按如图⽅式放置，则两条斜边所形成的钝⾓α=_______度．4、如图，∠1、∠2、∠3的⼤⼩关系为（）A ．∠2＞∠1＞∠3B ．∠1＞∠3＞∠2C ．∠3＞∠2＞∠1D ．∠1＞∠2＞∠35、如果三⾓形的⼀个外⾓和与它不相邻的两个内⾓的和为180°,那么与这个外⾓相邻的内⾓的度数为( )A 、30°B 、60°C 、90°D 、120°6、如图，已知∠1=60°，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（）A 、360°B 、540°C 、240°D 、280°7、如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，点F 在BC 的延长线上，DE ∥BC ，∠A=46°，∠1=52°，求∠2的度数．8、⼀个零件的形状如图，按规定∠A= 90°，∠B 和∠C ，应分别是32°，和21°，检验⼯⼈量得∠BDC = 148°，就断定这两个零件不合格，运⽤三⾓形的有关知识说明零件不合格的理由。
人教版数学中考复习《三角形相关问题》专项练习含答案
三角形相关问题一、综合题1.（•北京）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长．2.（•北京）在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．（1）当⊙O的半径为2时，①在点P1（，0），P2（，），P3（，0）中，⊙O的关联点是________．②点P在直线y=﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．3.（•河南）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是________，位置关系是________；（2）探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．4.（•荆州）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．（1）求证：△ACD≌△EDC；（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．5.（•十堰）已知O为直线MN上一点，OP⊥MN，在等腰Rt△ABO中，∠BAO=90°，AC∥OP交OM于C，D为OB的中点，DE⊥DC交MN于E．（1）如图1，若点B在OP上，则①AC________OE（填“＜”，“=”或“＞”）；②线段CA、CO、CD满足的等量关系式是________；（2）将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α（0°＜α＜45°），如图2，那么（1）中的结论②是否成立？请说明理由；（3）将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α（45°＜α＜90°），请你在图3中画出图形，并直接写出线段CA、CO、CD满足的等量关系式________．6.（•玉林）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点（点E不与端点A，C重合），且AE=CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO=OD，连接DE，DF，GE，GF．（1）求证：四边形EDFG是正方形；（2）当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．7.（•黄石）在现实生活中，我们会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为：1，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形”ABCD中，P 为DC边上一定点，且CP=BC，如图所示．（1）如图①，求证：BA=BP；（2）如图②，点Q在DC上，且DQ=CP，若G为BC边上一动点，当△AGQ的周长最小时，求的值；（3）如图③，已知AD=1，在（2）的条件下，连接AG并延长交DC的延长线于点F，连接BF，T为BF 的中点，M、N分别为线段PF与AB上的动点，且始终保持PM=BN，请证明：△MNT的面积S为定值，并求出这个定值．8.（•荆门）已知：如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△FCE；（2）若∠DCF=120°，DE=2，求BC的长．9.（•海南）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连结CE，过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F，EF交BC于点G．（1）求证：△CDE≌△CBF；（2）当DE= 时，求CG的长；（3）连结AG，在点E运动过程中，四边形CEAG能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若不能，说明理由．10.（•大连）如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB=OD，OC=OA+AB，AD=m，BC=n，∠ABD+∠ADB=∠ACB．（1）填空：∠BAD与∠ACB的数量关系为________；（2）求的值；（3）将△ACD沿CD翻折，得到△A′CD（如图2），连接BA′，与CD相交于点P．若CD= ，求PC 的长．11.（•呼和浩特）如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线．（1）求证：BD=CE；（2）设BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点，当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由．12.（•张家界）如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE．（1）求证：△AGE≌△BGF；（2）试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．13.（•北京）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．14.（•百色）已知反比例函数y= （k≠0）的图象经过点B（3，2），点B与点C关于原点O对称，BA⊥x 轴于点A，CD⊥x轴于点D．（1）求这个反比函数的解析式；（2）求△ACD的面积．15.（•百色）矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，CE、AF分别交BD于G、H两点．求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；（2）证明：EG=FH．16.（•河池）解答题（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF于点M，探究AE与BF 的数量关系，并证明你的结论．17.（•东营）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=30°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．18.（•青岛）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．19.（•威海）如图，四边形ABCD为一个矩形纸片，AB=3，BC=2，动点P自D点出发沿DC方向运动至C 点后停止，△ADP以直线AP为轴翻折，点D落在点D1的位置，设DP=x，△AD1P与原纸片重叠部分的面积为y．（1）当x为何值时，直线AD1过点C？（2）当x为何值时，直线AD1过BC的中点E？（3）求出y与x的函数表达式．20.（•达州）如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD 的平分线于点E、F．（1）若CE=8，CF=6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．21.（•达州）小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：P1P2= 他还利用图2证明了线段P1P2的中点P（x，y）P的坐标公式：x= ，y= ．（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；（2）①已知点M（2，﹣1），N（﹣3，5），则线段MN长度为________；②直接写出以点A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D为顶点的平行四边形顶点D的坐标：________；（3）如图3，点P（2，n）在函数y= x（x≥0）的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上，请在OL、x轴上分别找出点E、F，使△PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．22.（•常德）如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF•AC．23.（•扬州）我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在△ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“极化值”就等于AO2﹣BO2的值，可记为AB△AC=AO2﹣BO2．（1）在图1中，若∠BAC=90°，AB=8，AC=6，AO是BC边上的中线，则AB△AC=________，OC△OA=________；（2）如图2，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，求AB△AC、BA△BC的值；（3）如图3，在△ABC中，AB=AC，AO是BC边上的中线，点N在AO上，且ON= AO．已知AB△AC=14，BN△BA=10，求△ABC的面积．24.（•赤峰）△OPA和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形，点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点．（1）当∠AOB=90°时如图1，连接PE、QE，直接写出EP与EQ的大小关系；（2）将△OQB绕点O逆时针方向旋转，当∠AOB是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．（3）仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使△ABG为等边三角形如图3，求∠AOB的度数．答案解析部分一、综合题1.【答案】（1）证明：∵AD=2BC，E为AD的中点，∴DE=BC，∵AD∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形，∵∠ABD=90°，AE=DE，∴BE=DE，∴四边形BCDE是菱形（2）解：连接AC．∵AD∥BC，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=∠BCA，∴AB=BC=1，∵AD=2BC=2，∴sin∠ADB= ，∴∠ADB=30°，∴∠DAC=30°，∠ADC=60°，在Rt△ACD中，∵AD=2，∴CD=1，AC= ．【解析】【分析】（1）由DE=BC，DE∥BC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE=DE即可解决问题；（2）在Rt△只要证明∠ADC=60°，AD=2即可解决问题；2.【答案】（1）解：①P2，P3②根据定义分析，可得当最小y=﹣x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，∴设P（x，﹣x），当OP=1时，由距离公式得，OP= =1，∴x= ，当OP=3时，OP= =3，解得：x=± ；∴点P的横坐标的取值范围为：﹣≤≤﹣，或≤x≤（2）解：∵直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B，∴A（1，0），B（0，1），如图1，当圆过点A时，此时，CA=3，∴C（﹣2，0），如图2，当直线AB与小圆相切时，切点为D，∴CD=1，∵直线AB的解析式为y=﹣x+1，∴直线AB与x轴的夹角=45°，∴AC= ，∴C（1﹣，0），∴圆心C的横坐标的取值范围为：﹣2≤x C≤1﹣；如图3，当圆过点A，则AC=1，∴C（2，0），如图4，当圆过点B，连接BC，此时，BC=3，∴OC= =2 ，∴C（2 ，0）．∴圆心C的横坐标的取值范围为：2≤x C≤2 ；综上所述；圆心C的横坐标的取值范围为：﹣2≤x C≤1﹣或2≤x C≤2【解析】【解答】（1）①∵点P1（，0），P2（，），P3（，0），∴OP1= ，OP2=1，OP3= ，∴P1与⊙O的最小距离为，P2与⊙O的最小距离为1，OP3与⊙O的最小距离为，∴⊙O，⊙O的关联点是P2，P3；故答案为：P2，P3；【分析】（1）①根据点P1（，0），P2（，），P3（，0），求得P1= ，P2=1，OP3= ，于是得到结论；②根据定义分析，可得当最小y=﹣x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，设P（x，﹣x），根据两点间的距离公式得到即可得到结论；（2根据已知条件得到A（1，0），B（0，1），如图1，当圆过点A时，得到C（﹣2，0），如图2，当直线AB与小圆相切时，切点为D，得到C（1﹣，0），于是得到结论；如图3，当圆过点A，则AC=1，得到C（2，0），如图4，当圆过点B，连接BC，根据勾股定理得到C（2 ，0），于是得到结论．3.【答案】（1）PM=PN；PM⊥PN（2）解：由旋转知，∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN= BD，PM= CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形（3）解：如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，∴MN最大时，△PMN的面积最大，∴DE∥BC且DE在顶点A上面，∴MN最大=AM+AN，连接AM，AN，在△ADE中，AD=AE=4，∠DAE=90°，∴AM=2 ，在Rt△ABC中，AB=AC=10，AN=5 ，∴MN最大=2 +5 =7 ，∴S△PMN最大= PM2= × MN2= ×（7 ）2= ．【解析】【解答】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN= BD，∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM∥CE，PM= CE，∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∴PM=PN，∵PN∥BD，∴∠DPN=∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCA，∵∠BAC=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，∴PM⊥PN，故答案为：PM=PN，PM⊥PN，【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM= CE，PN= BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，另为利用三角形的中位线得出平行线即可得出结论；（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM= BD，PN= BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出结论；（3）先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大=AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．4.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，∴AD=EC，在△ACD和△EDC中，，∴△ACD≌△EDC（SAS）（2）解：△BDE是等腰三角形；理由如下：∵AC=BD，DE=AC，∴BD=DE，∴△BDE是等腰三角形【解析】【分析】（1）由矩形的性质得出AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，得出AD=EC，由SAS即可得出结论；（2）由AC=BD，DE=AC，得出BD=DE即可．5.【答案】（1）=；AC2+CO2=CD2（2）如图2，（1）中的结论②不成立，理由是：连接AD，延长CD交OP于F，连接EF，∵AB=AO，D为OB的中点，∴AD⊥OB，∴∠ADO=90°，∵∠CDE=90°，∴∠ADO=∠CDE，∴∠ADO﹣∠CDO=∠CDE﹣∠CDO，即∠ADC=∠EDO，∵∠ADO=∠ACO=90°，∴∠ADO+∠ACO=180°，∴A、D、O、C四点共圆，∴∠ACD=∠AOB，同理得：∠EFO=∠EDO，∴∠EFO=∠AOC，∵△ABO是等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∴∠DCO=45°，∴△COF和△CDE是等腰直角三角形，∴OC=OF，∵∠ACO=∠EOF=90°，∴△ACO≌△EOF，∴OE=AC，AO=EF，∴AC2+OC2=FO2+OE2=EF2，Rt△DEF中，EF＞DE=DC，∴AC2+OC2＞DC2，所以（1）中的结论②不成立（3）OC﹣AC= CD【解析】【解答】解：（1）①AC=OE，理由：如图1，∵在等腰Rt△ABO中，∠BAO=90°，∴∠ABO=∠AOB=45°，∵OP⊥MN，∴∠COP=90°，∴∠AOC=45°，∵AC∥OP，∴∠CAO=∠AOB=45°，∠ACO=∠POE=90°，∴AC=OC，连接AD，∵BD=OD，∴AD=OD，AD⊥OB，∴AD∥OC，∴四边形ADOC是正方形，∴∠DCO=45°，∴AC=OD，∴∠DEO=45°，∴CD=DE，∴OC=OE，∴AC=OE；②在Rt△CDO中，∵CD2=OC2+OD2，∴CD2=AC2+OC2；故答案为：AC2+CO2=CD2；（3.）如图3，结论：OC﹣CA= CD，理由是：连接AD，则AD=OD，同理：∠ADC=∠EDO，∵∠CAB+∠CAO=∠CAO+∠AOC=90°，∴∠CAB=∠AOC，∵∠DAB=∠AOD=45°，∴∠DAB﹣∠CAB=∠AOD﹣∠AOC，即∠DAC=∠DOE，∴△ACD≌△OED，∴AC=OE，CD=DE，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CE2=2CD2，∴（OC﹣OE）2=（OC﹣AC）2=2CD2，∴OC﹣AC= CD，故答案为：OC﹣AC= CD．【分析】（1）①如图1，证明AC=OC和OC=OE可得结论；②根据勾股定理可得：AC2+CO2=CD2；（2）如图2，（1）中的结论②不成立，作辅助线，构建全等三角形，证明A、D、O、C四点共圆，得∠ACD=∠AOB，同理得：∠EFO=∠EDO，再证明△ACO≌△EOF，得OE=AC，AO=EF，根据勾股定理得：AC2+OC2=FO2+OE2=EF2，由直角三角形中最长边为斜边可得结论；（3）如图3，连接AD，则AD=OD证明△ACD≌△OED，根据△CDE是等腰直角三角形，得CE2=2CD2，等量代换可得结论（OC﹣OE）2=（OC ﹣AC）2=2CD2，开方后是：OC﹣AC= CD．6.【答案】（1）证明：连接CD，如图1所示．∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，D是AB的中点，∴∠A=∠DCF=45°，AD=CD．在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE=DF，∠ADE=∠CDF．∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，∴△EDF为等腰直角三角形．∵O为EF的中点，GO=OD，∴GD⊥EF，且GD=2OD=EF，∴四边形EDFG是正方形（2）解：过点D作DE′⊥AC于E′，如图2所示．∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=4，∴DE′= BC=2，AB=4 ，点E′为AC的中点，∴2≤DE＜2 （点E与点E′重合时取等号）．∴4≤S四边形EDFG=DE2＜8．∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4．【解析】【分析】（1）连接CD，根据等腰直角三角形的性质可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD，结合AE=CF 可证出△ADE≌△CDF（SAS），根据全等三角形的性质可得出DE=DF、ADE=∠CDF，通过角的计算可得出∠EDF=90°，再根据O为EF的中点、GO=OD，即可得出GD⊥EF，且GD=2OD=EF，由此即可证出四边形EDFG是正方形；（2）过点D作DE′⊥AC于E′，根据等腰直角三角形的性质可得出DE′的长度，从而得出2≤DE ＜2 ，再根据正方形的面积公式即可得出四边形EDFG的面积的最小值．7.【答案】（1）证明：如图①中，设AD=BC=a，则AB=CD= a．∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°，∵PC=AD=BC=a，∴PB= = a，∴BA=BP（2）解：如图②中，作Q关于BC的对称点Q′，连接AQ′交BC于G，此时△AQG的周长最小．设AD=BC=QD=a，则AB=CD= a，∴CQ=CQ′= a﹣a，∵CQ′//AB，∴= = =（3）证明：如图③中，作TH//AB交NM于H，交BC于K．由（2）可知，AD=BC=1，AB=CD= ，DP=CF= ﹣1，∵S△MNT= •TH•CK+ •TH•BK= HT•（KC+KB）= HT•BC= HT，∵TH//AB//FM，TF=TB，∴HM=HN，∴HT= （FM+BN），∵BN=PM，∴HT= （FM+PM）= PF= •（1+ ﹣1）= ，∴S△MNT= HT= =定值【解析】【分析】（1）如图①中，设AD=BC=a，则AB=CD= a．通过计算得出AB=BP= a，由此即可证明；（2）如图②中，作Q关于BC的对称点Q′，连接AQ′交BC于G，此时△AQG的周长最小．设AD=BC=QD=a，则AB=CD= a，可得CQ=CQ′= a﹣a，由CQ′//AB，推出= = = ；（3）如图③中，作TH//AB交NM于H，交BC于K．由S△MNT= •TH•CK+ •TH•BK= HT•（KC+KB）= HT•BC= HT，利用梯形的中位线定理求出HT即可解决问题；8.【答案】（1）证明：∵点E是CD的中点，∴DE=CE．∵AB∥CF，∴∠BAF=∠AFC．在△ADE与△FCE中，∵，∴△ADE≌△FCE（AAS）（2）解：由（1）得，CD=2DE，∵DE=2，∴CD=4．∵点D为AB的中点，∠ACB=90°，∴AB=2CD=8，AD=CD= AB．∵AB∥CF，∴∠BDC=180°﹣∠DCF=180°﹣120°=60°，∴∠DAC=∠ACD= ∠BDC= ×60°=30°，∴BC= AB= ×8=4【解析】【分析】（1）先根据点E是CD的中点得出DE=CE，再由AB∥CF可知∠BAF=∠AFC，根据AAS 定理可得出△ADE≌△FCE；（2）根据直角三角形的性质可得出AD=CD= AB，再由AB∥CF可知∠BDC=180°﹣∠DCF=180°﹣120°=60°，由三角形外角的性质可得出∠DAC=∠ACD= ∠BDC=30°，进而可得出结论．9.【答案】（1）证明：如图，在正方形ABCD中，DC=BC，∠D=∠ABC=∠DCB=90°，∴∠CBF=180°﹣∠ABC=90°，∠1+∠2=∠DCB=90°，∵CF⊥CE，∴∠ECF=90°，∴∠3+∠2=∠ECF=90°，∴∠1=∠3，在△CDE和△CBF中，，∴△CDE≌△CBF（2）解：在正方形ABCD中，AD∥BC，∴△GBF∽△EAF，∴，由（1）知，△CDE≌△CBF，∴BF=DE= ，∵正方形的边长为1，∴AF=AB+BF= ，AE=AD﹣DE= ，∴，∴BG= ，∴CG=BC﹣BG=（3）解：不能，理由：若四边形CEAG是平行四边形，则必须满足AE∥CG，AE=CG，∴AD﹣AE=BC﹣CG，∴DE=BG，由（1）知，△CDE≌△ECF，∴DE=BF，CE=CF，∴△GBF和△ECF是等腰直角三角形，∴∠GFB=45°，∠CFE=45°，∴∠CFA=∠GFB+∠CFE=90°，此时点F与点B重合，点D与点E重合，与题目条件不符，∴点E在运动过程中，四边形CEAG不能是平行四边形．【解析】【分析】（1）先判断出∠CBF=90°，进而判断出∠1=∠3，即可得出结论；（2）先求出AF，AE，再判断出△GBF∽△EAF，可求出BG，即可得出结论；（3）假设是平行四边形，先判断出DE=BG，进而判断出△GBF和△ECF是等腰直角三角形，即可得出∠GFB=∠CFE=45°，即可得出结论．10.【答案】（1）∠BAD+∠ACB=180°（2）解：如图1中，作DE∥AB交AC于E．∴∠DEA=∠BAE，∠OBA=∠ODE，∵OB=OD，∴△OAB≌△OED，∴AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，∵∠EDA+∠DAB=180°，∠BAD+∠ACB=180°，∴∠EDA=∠ACB，∵∠DEA=∠CAB，∴△EAD∽△ABC，∴= = = ，∴= ，∴4y2+2xy﹣x2=0，∴（）2+ ﹣1=0，∴= （负根已经舍弃），∴= ．（3）解：如图2中，作DE∥AB交AC于E．由（1）可知，DE=CE，∠DCA=∠DCA′，∴∠EDC=∠ECD=∠DCA′，∴DE∥CA′∥AB，∴∠ABC+∠A′CB=180°，∵△EAD∽△ACB，∴∠DAE=∠ABC=∠DA′C，∴∠DA′C+∠A′CB=180°，∴A′D∥BC，∴△PA′D∽△PBC，∴= = ，∴= ，即=∵CD= ，∴PC=1．【解析】【解答】解：（1.）如图1中，在△ABD中，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，又∵∠ABD+∠ADB=∠ACB，∴∠BAD+∠ACB=180°，故答案为∠BAD+∠ACB=180°．【分析】（1）在△ABD中，根据三角形的内角和定理即可得出结论：∠BAD+∠ACB=180°；（2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．由△OAB≌△OED，可得AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，由△EAD∽△ABC，推出= = = ，可得= ，可得4y2+2xy﹣x2=0，即（）2+﹣1=0，求出的值即可解决问题；（3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．想办法证明△PA′D∽△PBC，可得= = ，可得= ，即= ，由此即可解决问题；11.【答案】（1）解：由题意得，AB=AC，∵BD，CE分别是两腰上的中线，∴AD= AC，AE= AB，∴AD=AE，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（ASA）．∴BD=CE；（2）四边形DEMN是正方形，证明：∵E、D分别是AB、AC的中点，∴AE= AB，AD= AC，ED是△ABC的中位线，∴ED∥BC，ED= BC，∵点M、N分别为线段BO和CO中点，∴OM=BM，ON=CN，MN是△OBC的中位线，∴MN∥BC，MN= BC，∴ED∥MN，ED=MN，∴四边形EDNM是平行四边形，由（1）知BD=CE，又∵OE=ON，OD=OM，OM=BM，ON=CN，∴DM=EN，∴四边形EDNM是矩形，在△BDC与△CEB中，，∴△BDC≌△CEB，∴∠BCE=∠CBD，∴OB=OC，∵△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等，∴O到BC的距离= BC，∴BD⊥CE，∴四边形DEMN是正方形．【解析】【分析】（1）根据已知条件得到AD=AE，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据三角形中位线的性质得到ED∥BC，ED= BC，MN∥BC，MN= BC，等量代换得到ED∥MN，ED=MN，推出四边形EDNM是平行四边形，（1）知BD=CE，求得DM=EN，得到四边形EDNM是矩形，根据全等三角形的性质得到OB=OC，由三角形的重心的性质得到O到BC的距离= BC，根据直角三角形的判定得到BD⊥CE，于是得到结论．12.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEG=∠BFG，∵EF垂直平分AB，∴AG=BG，在△AGEH和△BGF中，，∴△AGE≌△BGF（AAS）（2）解：四边形AFBE是菱形，理由如下：∵△AGE≌△BGF，∴AE=BF，∵AD∥BC，∴四边形AFBE是平行四边形，又∵EF⊥AB，∴四边形AFBE是菱形【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠AEG=∠BFG，由AAS证明△AGE≌△BGF 即可；（2）由全等三角形的性质得出AE=BF，由AD∥BC，证出四边形AFBE是平行四边形，再根据EF⊥AB，即可得出结论．13.【答案】（1）解：∠AMQ=45°+α；理由如下：∵∠PAC=α，△ACB是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，∵QH⊥AP，∴∠AHM=90°，∴∠AMQ=180°﹣∠AHM﹣∠PAB=45°+α（2）解：PQ= MB；理由如下：连接AQ，作ME⊥QB，如图所示：∵AC⊥QP，CQ=CP，∴∠QAC=∠PAC=α，∴∠QAM=45°+α=∠AMQ，∴AP=AQ=QM，在△APC和△QME中，，∴△APC≌△QME（AAS），∴PC=ME，∴△AEB是等腰直角三角形，∴PQ= MB，∴PQ= MB．【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，由直角三角形的性质即可得出结论；（2）连接AQ，作ME⊥QB，由AAS证明△APC≌△QME，得出PC=ME，△AEB是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论．14.【答案】（1）解：将B点坐标代入函数解析式，得=2，解得k=6，∴反比例函数的解析式为y= ；（2）解：由B（3，2），点B与点C关于原点O对称，得C（﹣3，﹣2）．由BA⊥x轴于点A，CD⊥x轴于点D，得A（3，0），D（﹣3，0）．∴S△ACD= AD•CD= × [3﹣（﹣3）]×|﹣2|=6．【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据三角形的面积公式，可得答案．15.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，AD=BC，∵E、F分别是AD、BC的中点，∴AE= AD，CF= BC，∴AE CF，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）证明：∵四边形AFCE是平行四边形，∴CE//AF，∴∠DGE=∠AHD=∠BHF，∵AB//CD，∴∠EDG=∠FBH，在△DEG和△BFH中，∴△DEG≌△BFH（AAS），∴EG=FH．【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）可证明EG和FH所在的△DEG、△BFH全等即可．16.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠C，AB=BC．∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF．在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；（2）解：AB= BC，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C，∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF，∴△ABE∽△BCF，∴= ，∴AE= BF．【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AMB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABM与∠BAM的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAM与∠CBF的关系，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案；（2）根据矩形的性质得到∠ABC=∠C，由余角的性质得到∠BAM=∠CBF，根据相似三角形的性质即可得到结论．17.【答案】（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∴∠ABD=∠ACB=30°，∴∠ABD=∠ADE=30°，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，∴∠EDC=∠DAB，∴△ABD∽△DCE；（2）解：如图1，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，过A作AF⊥BC于F，∴∠AFB=90°，∵AB=2，∠ABF=30°，∴AF= AB=1，∴BF= ，∴BC=2BF=2 ，∵BD=x，AE=y则DC=2 ﹣x，EC=2﹣y，∵△ABD∽△DCE，∴，∴，化简得：y= x+2（0＜x＜2 ）；（3）解：当AD=DE时，如图2，由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，则AB=CD，即2=2 ﹣x，x=2 ﹣2，代入y= x+2，解得：y=4﹣2 ，即AE=4﹣2 ，当AE=ED时，如图3，∠EAD=∠EDA=30°，∠AED=120°，∴∠DEC=60°，∠EDC=90°，则ED= EC，即y= （2﹣y），解得：y= ，即AE= ，当AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在，∴当△ADE是等腰三角形时，AE=4﹣2 或．【解析】【分析】（1）根据两角相等证明：△ABD∽△DCE；（2）如图1，作高AF，根据直角三角形30°的性质求AF的长，根据勾股定理求BF的长，则可得BC的长，根据（1）中的相似列比例式可得函数关系式，并确定取值；（3）分三种情况进行讨论：①当AD=DE时，如图2，由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，则AB=CD，即2=2 ﹣x；②当AE=ED时，如图3，则ED= EC，即y= （2﹣y）；③当AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在．18.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B=∠D，AB=BC=DC=AD，∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，∴AE=BE=DF=AF，OF= DC，OE= BC，OE∥BC，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS）；（2）解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：由（1）得：AE=OE=OF=AF，∴四边形AEOF是菱形，∵AB⊥BC，OE∥BC，∴OE⊥AB，∴∠AEO=90°，∴四边形AEOF是正方形．【解析】【分析】（1）由菱形的性质得出∠B=∠D，AB=BC=DC=AD，由已知和三角形中位线定理证出AE=BE=DF=AF，OF= DC，OE= BC，OE∥BC，由SAS证明△BCE≌△DCF即可；（2）由（1）得：AE=OE=OF=AF，证出四边形AEOF是菱形，再证出∠AEO=90°，四边形AEOF是正方形．19.【答案】（1）解：如图1，∵由题意得：△ADP≌△AD1P，∴AD=AD1=2，PD=PD1=x，∠D=∠AD1P=90°，∵直线AD1过C，∴PD1⊥AC，在Rt△ABC中，AC= = ，CD1= ﹣2，在Rt△PCD1中，PC2=PD12+CD12，即（3﹣x）2=x2+（﹣2）2，解得：x= ，∴当x= 时，直线AD1过点C（2）解：如图2，连接PE，∵E为BC的中点，∴BE=CE=1，在Rt△ABE中，AE= = ，∵AD1=AD=2，PD=PD1=x，∴D1E= ﹣2，PC=3﹣x，在Rt△PD1E和Rt△PCE中，x2+（﹣2）2=（3﹣x）2+12，解得：x= ，∴当x= 时，直线AD1过BC的中点E；（3）解：如图3，当0＜x≤2时，y=x，如图4，当2＜x≤3时，点D1在矩形ABCD的外部，PD1交AB于F，∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∵∠1=∠3（根据折叠），∴∠2=∠3，∴AF=PF，作PG⊥AB于G，设PF=AF=a，由题意得：AG=DP=x，FG=x﹣a，在Rt△PFG中，由勾股定理得：（x﹣a）2+22=a2，解得：a= ，所以y= = ，综合上述，当0＜x≤2时，y=x；当2＜x≤3时，y=【解析】【分析】（1）根据折叠得出AD=AD1=2，PD=PD1=x，∠D=∠AD1P=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC，在Rt△PCD1中，根据勾股定理得出方程，求出即可；（2）连接PE，求出BE=CE=1，在Rt△ABE中，根据勾股定理求出AE，求出AD1=AD=2，PD=PD1=x，D1E= ﹣2，PC=3﹣x，在Rt△PD1E 和Rt△PCE中，根据勾股定理得出方程，求出即可；（3）分为两种情况：当0＜x≤2时，y=x；当2＜x≤3时，点D1在矩形ABCD的外部，PD1交AB于F，求出AF=PF，作PG⊥AB于G，设PF=AF=a，在Rt△PFG中，由勾股定理得出方程（x﹣a）2+22=a2，求出a即可．20.【答案】（1）解：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，∵MN∥BC，∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，∴OE=OC，OF=OC，∴OE=OF；∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°，∴∠ECF=90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF= =10，∴OC=OE= EF=5（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：当O为AC的中点时，AO=CO，∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．【解析】【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，证出OE=OC=OF，∠ECF=90°，由勾股定理求出EF，即可得出答案；（2）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．21.【答案】（1）证明：∵P1（x1，y1），P2（x2，y2），∴Q1Q2=OQ2﹣OQ1=x2﹣x1，∴Q1Q= ，∴OQ=OQ1+Q1Q=x1+ = ，∵PQ为梯形P1Q1Q2P2的中位线，∴PQ= = ，即线段P1P2的中点P（x，y）P的坐标公式为x= ，y=（2）；（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）（3）解：如图，设P关于直线OL的对称点为M，关于x轴的对称点为N，连接PM交直线OL于点R，连接PN交x轴于点S，连接MN交直线OL于点E，交x轴于点F，由对称性可知EP=EM，FP=FN，∴PE+PF+EF=ME+EF+NF=MN，∴此时△PEF的周长即为MN的长，为最小，设R（x，x），由题意可知OR=OS=2，PR=PS=n，∴=2，解得x=﹣（舍去）或x= ，∴R（，），∴=n，解得n=1，∴P（2，1），∴N（2，﹣1），设M（x，y），则= ，= ，解得x= ，y= ，∴M（，），∴MN= = ，即△PEF的周长的最小值为【解析】【解答】（2）①∵M（2，﹣1），N（﹣3，5），∴MN= = ，故答案为：；②∵A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），∴当AB为平行四边形的对角线时，其对称中心坐标为（0，1），设D（x，y），则x+3=0，y+（﹣1）=2，解得x=﹣3，y=3，∴此时D点坐标为（﹣3，3），当AC为对角线时，同理可求得D点坐标为（7，1），当BC为对角线时，同理可求得D点坐标为（﹣1，﹣3），综上可知D点坐标为（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3），故答案为：（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）；【分析】（1）用P1、P2的坐标分别表示出OQ和PQ的长即可证得结论；（2）①直接利用两点间距离公式可求得MN的长；②分AB、AC、BC为对角线，可求得其中心的坐标，再利用中点坐标公式可求得D点坐标；（3）设P关于直线OL的对称点为M，关于x轴的对称点为N，连接PM交直线OL于点R，连接PN交x轴于点S，则可知OR=OS=2，利用两点间距离公式可求得R的坐标，再由PR=PS=n，可求得n的值，可求得P点坐标，利用中点坐标公式可求得M点坐标，由对称性可求得N点坐标，连接MN交直线OL于点E，交x轴于点S，此时EP=EM，FP=FN，此时满足△PEF的周长最小，利用两点间距离公式可求得其周长的最小值．22.【答案】（1）证明：在Rt△ABE和Rt△DBE中，，∴△ABE≌△DBE（2）证明：①过G作GH∥AD交BC于H，∵AG=BG，∴BH=DH，∵BD=4DC，设DC=1，BD=4，∴BH=DH=2，∵GH∥AD，∴= = ，∴GM=2MC；②过C作CN⊥AC交AD的延长线于N，则CN∥AG，∴△AGM∽△NCM，∴= ，由①知GM=2MC，∴2NC=AG，∵∠BAC=∠AEB=90°，∴∠ABF=∠CAN=90°﹣∠BAE，∴△ACN∽△BAF，∴= ，∵AB=2AG，∴= ，∴2CN•AG=AF•AC，∴AG2=AF•AC．【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）①过G作GH∥AD交BC于H，由AG=BG，得到BH=DH，根据已知条件设DC=1，BD=4，得到BH=DH=2，根据平行线分线段成比例定理得到= = ，求得GM=2MC；②过C作CN⊥AD交AD的延长线于N，则CN∥AG，根据相似三角形的性质得到= ，由①知GM=2MC，得到2NC=AG，根据相似三角形的性质得到= ，等量代换得到= ，于是得到结论．23.【答案】（1）0；7（2）解：①如图2，取BC的中点O，连接AO，∵AB=AC，∴AO⊥BC，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=30°，在Rt△AOB中，AB=4，∠ABC=30°，∴AO=2，OB=2 ，∴AB△AC=AO2﹣BO2=4﹣12=﹣8，②取AC的中点D，连接BD，∴AD=CD= AC=2，过点B作BE⊥AC交CA的延长线于E，在Rt△ABE中，∠BAE=180°﹣∠BAC=60°，∴∠ABE=30°，∵AB=4，∴AE=2，BE=2 ，∴DE=AD+AE=4，在Rt△BED中，根据勾股定理得，BD= = =2 ，∴BA△BC=BD2﹣CD2=24；（3）解：如图3，设ON=x，OB=OC=y，∴BC=2y，OA=3x，∵AB△AC=14，∴OA2﹣OB2=14，∴9x2﹣y2=14①，取AN的中点D，连接BD，∴AD=DB= AN= × OA=ON=x，∴OD=ON+DN=2x，在Rt△BOD中，BD2=OB2+OD2=y2+4x2，∵BN△BA=10，∴BD2﹣DN2=10，∴y2+4x2﹣x2=10，∴3x2+y2=10②联立①②得，或（舍），∴BC=4，OA=3 ，∴S△ABC= BC×AO=6 ．【解析】【解答】解：①∵∠BAC=90°，AB=8，AC=6，∴BC=10，∵点O是BC的中点，∴OA=OB=OC= BC=5，∴AB△AC=AO2﹣BO2=25﹣25=0，②如图1，取AC的中点D，连接OD，∴CD= AC=3，∵OA=OC=5，∴OD⊥AC，在Rt△COD中，OD= =4，∴OC△OA=OD2﹣CD2=16﹣9=7，故答案为0，7；【分析】（1）①先根据勾股定理求出BC=10，再利用直角三角形的性质得出OA=OB=OC=5，最后利用新定义即可得出结论；②再用等腰三角形的性质求出CD=3，再利用勾股定理求出OD，最后用新定义即可得出结论；（2）①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO=2，OB=2 ，再用新定义即可得出结论；②先构造直角三角形求出BE，AE，再用勾股定理求出BD，最后用新定义即可得出结论；（3）先构造直角三角形，表述出OA，BD2，最后用新定义建立方程组求解即可得出结论．24.【答案】（1）解：如图1，延长PE，QB交于点F，∵△APO和△BQO是等腰直角三角形，∴∠APO=∠BQO=90°，∠AOP=∠BOQ=45°，∵∠AOB=90°，∴∠AOP+∠AOB+∠BOQ=180°，∴点P，O，Q在同一条直线上，∵∠APO=∠BQO=90°，∵点E是AB中点，∴AE=BE，∵∠AEP=∠BEF，∴△APE≌△BFE，∴PE=EF，∴点E是Rt△PQF的斜边PF的中点，∴EP=EQ；（2）解：成立，证明：∵点C，E分别是OA，AB的中点，∴CE∥OB，CE= OB，∴∠DOC=∠ECA，∵点D是Rt△OQB斜边中点，∴DQ= OB，∴CE=DQ，同理：PC=DE，∠DOC=∠BDE，∴∠ECA=∠BDE，∵∠PCE=∠EDQ，∴△EPC≌△QED，∴EP=EQ；（3）解：如图2，连接GO，∵点D，C分别是OB，OA的中点，△APO与△QBO都是等腰直角三角形，∴CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，∴GB=GO=GA，∴∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，设∠GOB=x，∠GOA=y，∴x+x+y+y+60°=360°【解析】【分析】（1）先判断出点P，O，Q在同一条直线上，再判断出△APE≌△BFE，最后用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；（2）先判断出CE=DQ，PC=DE，进而判断出△EPC≌△QED 即可得出结论；（3）先判断出CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，进而得出∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，即可得出结论．。
六年级下册数学-小升初三角形专项练习及答案-a8-人教版
六年级下册数学-小升初三角形专项练习及答案-人教版评卷人得分一、解答题1.一个等腰三角形的顶角是底角的4倍，这个等腰三角形的底角和顶角分别是多少度？2.如图，三角形ABC 的面积是56平方米，BD=DC ，DE垂直于AC ，AC=14米．求图中阴影部分的面积．3.你能解释为什么吗？4.平行四边形ABCD 的面积是60平方厘米，求阴影部分的面积．（单位：厘米）5.如图，甲三角形比乙三角形的面积大6平方厘米，求DE 的长．6.小明用一根1米长的铁丝围了一个三角形，量得三角形的一边长是米，另一边长是米，第三边长是多少米？7.计算下列各图形的周长8.一张正方形纸，从一边的中点到邻边的中点连一条线段，沿这条线段剪去一个角，剪去的面积是8平方厘米，剩下的面积是多少平方厘米？（先画出图示，再进行解答）9.求如图中各个三角形中∠A的度数．10.（1）如图1，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ，∠1+∠2= °（2）如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ．参数答案1.设一个底角为X、则顶角为4X、根据三角形内角和为180度可得4X＋X＋X＝180度解得X＝30度答：顶角为120度、两底角分别为30度。
【解析】1.设一个底角为X、则顶角为4X、根据三角形内角和为180度可得4X＋X＋X＝180度解得X＝30度答：顶角为120度、两底角分别为30度2.阴影部分的面积是28平方米【解析】2.试题分析：三角形的面积=底×高÷2，根据等底等高的三角形的面积相等进行计算即可．解答：解：因为BD=DC，所以三角形ABD和三角形ADC的面积相等，因为三角形ABC的面积是56平方米，所以图中阴影部分的面积为：56÷2=28（平方米）答：阴影部分的面积是28平方米．3.见解析【解析】3.试题分析：根据三角形的稳定性进行解答即可．解：在椅子的四条腿上加上两根木棒，使椅子的四条腿分别形成两个三角形，由于三角形的稳定性，这样人们坐在上面更安全．4.6平方厘米【解析】4.试题分析：阴影部分是一个与平行四边形等高的三角形，只要求出三角形的底即可解答；平行四边形的面积=底×高，所以平行四边形的高为：60÷6=10厘米，由此可以得出三角形的底是10﹣8=2厘米．解：（60÷6﹣8）×6÷2，=（10﹣8）×6÷2，=2×6÷2，=6（平方厘米）；答：三角形的面积是6平方厘米．5.6厘米【解析】5.试题分析：根据题意，三角形DEF比三角形ABF面积大6平方厘米，那么三角形BCE 的面积比长方形ABCD的面积大6平方厘米，可利用长方形的面积加上6平方厘米就是三角形的BCE的面积，再根据三角形的面积公式计算出高CE的长，DE=CE﹣CD，列式解答即可得到答案．解：（4×6+6）×2÷6﹣4，=（24+6）×2÷6﹣4，=30×2÷6﹣4，=10﹣4，=6（厘米）．答：DE的长是6厘米．6.米【解析】6.试题分析：根据题意知道1米是围成的三角形的周长，用周长减去两条边的长度就是第三条边的长度．解：1﹣﹣=﹣，=（米）．答：第三边长是米．7.13厘米，110毫米【解析】7.试题分析：根据周长的意义，把三角形的三条边的长度加起来求出三角形的周长；把梯形的四条边的长度加起来求出梯形的周长．解：（1）5+2+6=13（厘米），（2）40+25×2+20，=40+50+20，=110（毫米），答：三角形的周长是13厘米，梯形的周长是110毫米．8.56平方厘米【解析】8.试题分析：根据正方形的特征，从一组邻边的中点剪的是一个等腰直角三角形，又知剪去就分面积是8平方厘米，即可求出剪去这个等腰直角三角形的直角边，从而求出原正方形的边长，由正方形的边长可求出正方形的面积，用正方形的面积减去剪去部分的面积就是剩下的面积．解：如图，8×2=16（平方厘米），16=4×4，即剪去等腰直角三角形的直角边是4厘米；4×2=8（厘米），8×8﹣8，=64﹣8，=56（平方厘米），答：剩下的面积是56平方厘米；故答案为：56平方厘米9.∠A=30°；∠A=25°．【解析】9.试题分析：本题要运用到三角形的内角和180°，用180°﹣已知两个角的度数的和=第三个角，第一图是直角三角形暗含了一个条件90°，不如第二个图形给的条件直接．解：（1）180°﹣90°﹣60°=30°；（2）180°﹣135°﹣20°=25°；答：第一个三角形中的∠A=30°；第二个三角形中的∠A=25°．10.180°，144°，360°．【解析】10.试题分析：（1）根据三角形的内角和定理和三角形的外角和定理进行解答，因为∠1=∠C+∠E，∠2=∠B+∠D，所以∠1+∠2+∠A=180°，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．因为∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，所以∠A=36°，所以∠1+∠2=180°﹣∠A=180°﹣36°=144°（2）根据三角形的内角和定理进行解答，用三个大三角形的内角和减去中间小三角形的内角和，即180°×3﹣180°=360°解：（1）因为∠1=∠C+∠E，∠2=∠B+∠D所以∠1+∠2+∠A=180°所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°又因为∠A=∠B=∠C=∠D=∠E 所以∠A=180°÷5=36°所以∠1+∠2=180°﹣∠A=180°﹣36°=144°（2）180°×3﹣180°=360°。