2019版高考数学文科一轮复习(全国2卷+B版)课件：§2.3 二次函数与幂函数
B组
考点一 二次函数
自主命题·省（区、市）卷题组
1.(2017浙江,5,4分)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m ( A.与a有关,且与b有关 C.与a无关,且与b无关 B.与a有关,但与b无关 D.与a无关,但与b有关
)
答案 B 本题考查二次函数在闭区间上的最值,二次函数的图象,考查数形结合思想和分类 讨论思想.
高考文数
(课标Ⅱ专用)
§2.3
二次函数与幂函数
五年高考
A组 统一命题·课标卷题组
考点二
A.b<a<c
幂函数
4 3
2 3
1.(2016课标全国Ⅲ,7,5分)已知a= 2 ,b= 3 ,c=2 5 ,则 (
3
1
)
B.a<b<c
4 3 2 3
C.b<c<a
1
2 3
D.c<a<b
2 3
2 3
答案 A A.
1 ∴x2+y2∈ ,1 . 2
2
2
解法二:由题意可知,点(x,y)在线段AB上(如图),x2+y2表示点(x,y)与原点的距离的平方. x +y
2 2
的最小值为(0,0)到直线x+y-1=0的距离的平方,即
2 2 1 1 | 1 |
x 1
.
答案 (-∞,8] 解析 f(x)≤2⇒
x 1, 或 x 1 2 e
x 1, x 1, x 1, ⇒ 或 ⇒x<1或1≤x≤8⇒x≤8,故填(-∞,8]. 1 3 x 8 x ln 2 1 x 2
a= = ,c=2 = ,而函数y= 在(0,+∞)上单调递增,所以 < < ,即b<a<c,故选
2 3
2
2
4
5
3
5
x
3
4
53
评析 本题主要考查幂函数的性质,属中档题.
2.(2014课标Ⅰ,15,5分,0.273)设函数f(x)=
e , x 1, 1 则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是 3 x , x 1,
∴p=-0.2t +1.5t-2=-
2
1 15 + t 5 4
, 1 3
16
2
15 ∴当t= =3.75时p最大, 4
即最佳加工时间为3.75分钟. 故选B.
评析 本题主要考查二次函数及配方法求最值,考查学生的计算能力,利用待定系数法求
出a,b,c是解题关键.
4.(2017北京,11,5分)已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是 答案
2
2
2
2
4
a ≤0,即a≥0时, f(x)在[0,1]上为增函数,∴M-m=f(1)-f(0)=a+1. (4ห้องสมุดไป่ตู้当- 2
a 1( a 0 ) , 1 a 2 a 1( 1 a 0 ) , 4 即有M-m= 1 2 a ( 2 a 1) , 4 a 1( a 2 ) .
a 1 a a a ,从而M-m=f(0)-f (2)当 ≤- <1,即-2<a≤-1时,M=f(0),m=f = b b
2
2
2
2
4
2
1 2 = a. 4
1 a a 1 2 a ,从而M-m=f(1)-f (3)当0<- < ,即-1<a<0时,M=f(1),m=f = a +a+1.
∴M-m与a有关,与b无关.故选B.
2.(2016浙江,6,5分)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的
(
)
A.充分不必要条件
C.充分必要条件 答案 A
b
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
b 记g(x)=f(f(x))=(x2+bx)2+b(x2+bx)= x 2 b x 2
b + <0,即当 x 4 2 2
2
2
-
b
2 b b b = x 2 4 2 4
2
2
2
- .
4
b
2
当b<0时,-
b
2
- + =0时,g(x)有最小值,且g(x)min=-
b b 4
2
b
2
b ,又f(x)= x 4 2
录了三次试验的数据.根据上述函数模型和试验数据,可以得到最佳加工时间为 (
)
A.3.50分钟 C.4.00分钟 B.3.75分钟 D.4.25分钟
答案 B 由已知得
a 0 .2 , 解得 b 1 .5 , c 2,
9 a 3 b c 0 .7 , 1 6 a 4 b c 0 .8 , 2 5 a 5 b c 0 .5 ,
2
2
- ,所
b 4
2
以f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等,都为- ,故充分性成立.另一方面,当b=0时, f(f(x))的最小
b 4
2
值为0,也与f(x)的最小值相等.故必要性不成立.选A.
3.(2014北京,8,5分)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”. 在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),下图记
解法一:令g(x)=x2+ax,则M-m=g(x)max-g(x)min.
故M-m与b无关. 又a=1时,g(x)max-g(x)min=2, a=2时,g(x)max-g(x)min=3,
故M-m与a有关.故选B.
a 解法二:(1)当- ≥1,即a≤-2时,f(x)在[0,1]上为减函数,∴M-m=f(0)-f(1)=-a-1. 2
1 ,1 2
.
解析 解法一:由题意知,y=1-x, ∵y≥0,x≥0,∴0≤x≤1,
则x +y =x +(1-x) =2x
1 2
2
2
2
2
2
1 -2x+1=2 x 2
2
+ .
2
1
当x= 时,x2+y2取最小值 ,
1 2
当x=0或x=1时,x +y 取最大值1,
高考数学一轮复习考点知识专题讲解7---二次函数与幂函数
高考数学一轮复习考点知识专题讲解二次函数与幂函数考点要求1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n )． 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图象和性质函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0) y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象(抛物线)定义域 R值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a对称轴x ＝－b2a顶点坐标 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝1212x 是幂函数．(×)(2)若幂函数y ＝x α是偶函数，则α为偶数．(×)(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象恒在x 轴下方，则a <0且Δ<0.(√)(4)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．(×) 教材改编题1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14等于()A ．－12B.12C ．±12D.22答案B解析设f (x )＝x α， ∴2α＝2，α＝12，∴f (x )＝12x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝12.2．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,20]上单调，则实数k 的取值范围为________． 答案(－∞，40]∪[160，＋∞) 解析依题意知，k 8≥20或k8≤5，解得k ≥160或k ≤40.3．已知y＝f(x)为二次函数，若y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，且y＝f(x)的图象经过原点，则函数解析式为________．答案f(x)＝x2－4x解析因为y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，所以可设f(x)＝a(x－2)2－4(a>0)，又图象过原点，所以f(0)＝4a－4＝0，a＝1，所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x.题型一幂函数的图象与性质例1(1)若幂函数y＝x－1，y＝x m与y＝x n在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为()A．－1<m<0<n<1B．－1<n<0<m<1 2C．－1<m<0<n<1 2D．－1<n<0<m<1答案D解析幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸，∴0<m<1.当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．不妨令x＝2，由图象得2－1<2n，则－1<n<0.综上可知，－1<n<0<m<1.(2)(2022·长沙质检)幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)x m的图象关于y轴对称，则实数m＝________.答案2解析由幂函数定义，知m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2，当m＝1时，f(x)＝x的图象不关于y轴对称，舍去，当m＝2时，f(x)＝x2的图象关于y轴对称，因此m＝2.教师备选1．若幂函数f(x)＝(a2－5a－5)12ax-在(0，＋∞)上单调递增，则a等于()A．1B．6 C．2D．－1 答案D解析因为函数f(x)＝(a2－5a－5)12ax-是幂函数，所以a2－5a－5＝1，解得a＝－1或a＝6. 当a＝－1时，f(x)＝12x在(0，＋∞)上单调递增；当a ＝6时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上单调递减， 所以a ＝－1.2．若f (x )＝12x ，则不等式f (x )>f (8x －16)的解集是() A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，167B ．(0,2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，167D ．[2，＋∞)答案A解析因为函数f (x )＝12x 在定义域[0，＋∞)内为增函数，且f (x )>f (8x －16)，所以⎩⎨⎧x ≥0，8x －16≥0，x >8x －16，即2≤x <167，所以不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，167.思维升华 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．跟踪训练1(1)(2022·宝鸡检测)已知a ＝432，b ＝233，c ＝1225，则() A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b答案A解析由题意得b ＝233<234＝432＝a ，a ＝432＝234<4<5＝1225＝c ， 所以b <a <c .(2)已知幂函数f (x )＝x m －3(m ∈N *)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则m 等于()A ．1B ．2C ．1或2D ．3 答案B解析因为f (x )＝x m －3在(0，＋∞)上是减函数， 所以m －3<0，所以m <3. 又因为m ∈N *，所以m ＝1或2. 又因为f (x )＝x m －3是奇函数， 所以m ＝2.题型二 二次函数的解析式例2已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．解方法一(利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 方法二(利用“顶点式”解题) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． 因为f (2)＝f (－1)， 所以抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12， 所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8， 所以f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋8. 因为f (2)＝－1，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.方法三(利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值8， 即4a (－2a －1)－(－a )24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)．故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.教师备选若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)满足条件f(－x)＝f(x)，定义域为R，值域为(－∞，4]，则函数解析式f(x)＝________.答案－2x2＋4解析f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2.∵f(－x)＝f(x)，∴2a＋ab＝0，∴f(x)＝bx2＋2a2.∵f(x)的定义域为R，值域为(－∞，4]，∴b<0，且2a2＝4，∴b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋4.思维升华求二次函数解析式的三个策略：(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．跟踪训练2(1)已知f(x)为二次函数，且f(x)＝x2＋f′(x)－1，则f(x)等于()A．x2－2x＋1B．x2＋2x＋1C．2x2－2x＋1D．2x2＋2x－1答案B解析设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 由f (x )＝x 2＋f ′(x )－1可得ax 2＋bx ＋c ＝x 2＋2ax ＋(b －1)，所以⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝2a ，c ＝b －1，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，c ＝1，因此，f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，且图象被x 轴截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )的解析式为________． 答案f (x )＝x 2－4x ＋3解析∵f (2＋x )＝f (2－x )对任意x ∈R 恒成立， ∴f (x )图象的对称轴为直线x ＝2， 又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2， ∴f (x )＝0的两根为1和3， 设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)， ∵f (x )的图象过点(4,3)， ∴3a ＝3，∴a ＝1，∴所求函数的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.题型三 二次函数的图象与性质 命题点1二次函数的图象例3设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是()答案D解析因为abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，那么可知， 在A 中，a <0，b <0，c <0，不符合题意； B 中，a <0，b >0，c >0，不符合题意； C 中，a >0，c <0，b >0，不符合题意，故选D. 命题点2二次函数的单调性与最值 例4已知函数f (x )＝x 2－tx －1.(1)若f (x )在区间(－1,2)上不单调，求实数t 的取值范围； (2)若x ∈[－1,2]，求f (x )的最小值g (t )．解f (x )＝x 2－tx －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －t 22－1－t 24.(1)依题意，－1<t2<2，解得－2<t <4，∴实数t 的取值范围是(－2,4)．(2)①当t2≥2，即t ≥4时，f (x )在[－1,2]上单调递减，∴f (x )min ＝f (2)＝3－2t . ②当－1<t2<2，即－2<t <4时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＝－1－t 24.③当t2≤－1，即t ≤－2时，f (x )在[－1,2]上单调递增，∴f (x )min ＝f (－1)＝t .综上有g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t ，t ≤－2，－1－t 24，－2<t <4，3－2t ，t ≥4.延伸探究本例条件不变，求当x ∈[－1,2]时，f (x )的最大值G (t )． 解f (－1)＝t ，f (2)＝3－2t ，f (2)－f (－1)＝3－3t ， 当t ≥1时，f (2)－f (－1)≤0， ∴f (2)≤f (－1)， ∴f (x )max ＝f (－1)＝t ； 当t <1时，f (2)－f (－1)>0， ∴f (2)>f (－1)， ∴f (x )max ＝f (2)＝3－2t ，综上有G (t )＝⎩⎨⎧t ，t ≥1，3－2t ，t <1.教师备选1.如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (－1,0)，顶点坐标为(1，n )，与y 轴的交点在(0,2)，(0,3)之间(包含端点)，则下列结论正确的是________．(填序号)①当x >3时，y <0；②4a ＋2b ＋c ＝0； ③－1≤a ≤－23；④3a ＋b >0.答案①③解析依题意知，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (－1,0)，顶点坐标为(1，n )， ∴函数与x 轴的另一交点为(3,0)， ∴当x >3时，y <0，故①正确；当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c >0，故②错误；∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－1,0)，且a <0， ∴a －b ＋c ＝0，∵b ＝－2a ，∴a ＋2a ＋c ＝0， ∴3a ＋b <0，c ＝－3a ， ∵2≤c ≤3，∴2≤－3a ≤3， ∴－1≤a ≤－23，故③正确，④错误．2．(2022·沈阳模拟)已知f (x )＝ax 2－2x ＋1. (1)若f (x )在[0,1]上单调，求实数a 的取值范围； (2)若x ∈[0,1]，求f (x )的最小值g (a )． 解(1)当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋1单调递减； 当a >0时，f (x )的对称轴为x ＝1a ，且1a>0，∴1a≥1，即0<a ≤1；当a <0时，f (x )的对称轴为x ＝1a 且1a<0，∴a <0符合题意． 综上有，a ≤1.(2)①当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋1在[0,1]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－1.②当a >0时，f (x )＝ax 2－2x ＋1的图象开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.(ⅰ)当1a<1，即a >1时，f (x )＝ax 2－2x ＋1图象的对称轴在[0,1]内，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1a 上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，1上单调递增．∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1a －2a＋1＝－1a ＋1.(ⅱ)当1a≥1，即0<a ≤1时，f (x )在[0,1]上单调递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －1.③当a <0时，f (x )＝ax 2－2x ＋1的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x ＋1在[0,1]上单调递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －1.综上所述，g (a )＝⎩⎨⎧a －1，a ≤1，－1a ＋1，a >1.思维升华 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．跟踪训练3(1)若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均单调递增，则实数a 的取值范围是() A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－113，－3B ．[－6，－4] C ．[－3，－22] D ．[－4，－3] 答案B解析∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[1,2]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增， 当x >0时，f (x )＝x 2＋ax ＋2， 对称轴为x ＝－a 2，∴2≤－a2≤3，解得－6≤a ≤－4.(2)(2022·汉中模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋5在区间[0，m ]上有最大值6，最小值5，则实数m 的取值范围是________． 答案[1,2]解析由题意知，f (x )＝－(x －1)2＋6， 则f (0)＝f (2)＝5＝f (x )min ，f (1)＝6＝f (x )max ，函数f (x )的图象如图所示，则1≤m ≤2.课时精练1．若f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2)＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于() A ．3B ．－3C.13D ．－13答案C解析设f (x )＝x α，则4α2α＝2α＝3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝13.2．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为() A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2x D ．g (x )＝－3x 2－2x 答案B解析二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点， 设二次函数为g (x )＝ax 2＋bx ， 可得⎩⎨⎧a ＋b ＝1，a －b ＝5，解得a ＝3，b ＝－2，所求的二次函数为g (x )＝3x 2－2x .3．(2022·延吉检测)若函数y ＝(m 2－3m ＋3)·224m m x +-为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则实数m 的值为() A ．0B ．1或2C ．1D ．2 答案C解析由于函数y ＝(m 2－3m ＋3)224mm x +-为幂函数，所以m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或m ＝2，当m ＝1时，y ＝x －1＝1x，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．当m ＝2时，y ＝x 4，在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意．4．已知函数f (x )＝x 2－2mx －m ＋2的值域为[0，＋∞)，则实数m 的值为() A ．－2或1B ．－2C ．1D ．1或2 答案A解析因为f (x )＝x 2－2mx －m ＋2＝(x －m )2－m 2－m ＋2≥－m 2－m ＋2，且函数f (x )＝x 2－2mx －m ＋2的值域为[0，＋∞)，所以－m 2－m ＋2＝0，解得m ＝－2或m ＝1.5．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为直线x ＝－1.下面四个结论中正确的是()A ．b 2<4acB ．2a －b ＝1C ．a －b ＋c ＝0D ．5a <b 答案D解析因为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点A (－3,0)，对称轴为直线x ＝－1，所以⎩⎨⎧－b 2a ＝－1，9a －3b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝2a ，c ＝－3a ，因为二次函数的图象开口方向向下，所以a <0，对于A ，因为二次函数的图象与x 轴有两个交点，所以b 2－4ac ＝4a 2＋12a 2＝16a 2>0， 所以b 2>4ac ，故选项A 不正确； 对于B ，因为b ＝2a ，所以2a －b ＝0，故选项B 不正确；对于C ，因为a －b ＋c ＝a －2a －3a ＝－4a >0， 故选项C 不正确； 对于D ，因为a <0，所以5a <2a ＝b ，故选项D 正确．6．若二次函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数k 的取值范围是() A ．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－∞，2) 答案A解析二次函数y ＝kx 2－4x ＋2图象的对称轴为直线x ＝2k，当k >0时，要使函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1,2]上是增函数，只需2k ≤1，解得k ≥2；当k <0时，2k<0，此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧，则函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1,2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k 的取值范围是[2，＋∞)．7．(2022·张家口检测)已知幂函数f (x )＝mx n ＋k 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫116，14，则m －2n ＋3k ＝________. 答案0解析因为f (x )是幂函数， 所以m ＝1，k ＝0，又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫116，14，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫116n ＝14，解得n ＝12，所以m －2n ＋3k ＝0.8．已知函数f (x )＝4x 2＋kx －8在[－1,2]上不单调，则实数k 的取值范围是________． 答案(－16,8)解析函数f (x )＝4x 2＋kx －8的对称轴为直线x ＝－k 8，则－1<－k8<2，解得－16<k <8.9．已知二次函数f (x )＝ax 2＋(b －2)x ＋3，且－1，3是函数f (x )的零点． (1)求f (x )的解析式，并解不等式f (x )≤3； (2)若g (x )＝f (sin x )，求函数g (x )的值域．解(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝－b －2a ，－1×3＝3a ，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝4，∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3，∴当－x 2＋2x ＋3≤3时，即x 2－2x ≥0， 解得x ≥2或x ≤0，∴不等式的解集为(－∞，0]∪[2，＋∞)． (2)令t ＝sin x ，则g (t )＝－t 2＋2t ＋3＝－(t －1)2＋4，t ∈[－1,1]， 当t ＝－1时，g (t )有最小值0， 当t ＝1时，g (t )有最大值4，故g (t )∈[0,4]．∴g (x )的值域为[0,4]．10．(2022·烟台莱州一中月考)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[t ，t ＋2](t ∈R )时，求函数f (x )的最小值g (t )(用t 表示)．解(1)因为二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋1， 所以⎩⎨⎧ c ＝2，a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝2x ＋1，即⎩⎨⎧ c ＝2，2ax ＋b ＋a ＝2x ＋1，所以⎩⎨⎧ c ＝2，2a ＝2，b ＋a ＝1，解得⎩⎨⎧ c ＝2，a ＝1，b ＝0，因此f (x )＝x 2＋2.(2)因为f (x )＝x 2＋2是图象的对称轴为直线x ＝0，且开口向上的二次函数， 当t ≥0时，f (x )＝x 2＋2在x ∈[t ，t ＋2]上单调递增，则f (x )min ＝f (t )＝t 2＋2；当t ＋2≤0，即t ≤－2时，f (x )＝x 2＋2在x ∈[t ，t ＋2]上单调递减，则f (x )min ＝f (t ＋2)＝(t ＋2)2＋2＝t 2＋4t ＋6；当t <0<t ＋2，即－2<t <0时，f (x )min ＝f (0)＝2，综上g (t )＝⎩⎨⎧ t 2＋2，t ≥0，2，－2<t <0，t 2＋4t ＋6，t ≤－2.11．(2022·安康模拟)已知函数f (x )＝2x 2－mx －3m ，则“m >2”是“f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立”的()A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案C解析若f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立，则⎩⎨⎧ f (1)＝2－4m <0，f (3)＝18－6m <0，解得m >3，{m |m >3}是{m |m >2}的真子集，所以“m >2”是“f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立”的必要不充分条件．12.幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a ，y ＝x b 的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么a －1b 等于()A ．0B ．1C.12D ．2 答案A解析由BM ＝MN ＝NA ，点A (1,0)，B (0,1)，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13， 将两点坐标分别代入y ＝x a ，y ＝x b ，得a ＝13log 23，b ＝23log 13， ∴a －1b ＝13log 23－2311log 3＝0.13．(2022·江苏海安高级中学模拟)函数f (x )＝x 2－4x ＋2在区间[a ，b ]上的值域为[－2,2]，则b －a 的取值范围是________．答案[2,4]解析解方程f (x )＝x 2－4x ＋2＝2，解得x ＝0或x ＝4，解方程f (x )＝x 2－4x ＋2＝－2，解得x ＝2，由于函数f (x )在区间[a ，b ]上的值域为[－2,2]．若函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，则[a ，b ]＝[0,2]或[a ，b ]＝[2,4]，此时b －a 取得最小值2；若函数f (x )在区间[a ，b ]上不单调，且当b －a 取最大值时，[a ，b ]＝[0,4]，所以b －a 的最大值为4.所以b －a 的取值范围是[2,4]．14．设关于x 的方程x 2－2mx ＋2－m ＝0(m ∈R )的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________．答案7解析由题意有⎩⎨⎧ α＋β＝2m ，αβ＝2－m ，且Δ＝4m 2－4(2－m )≥0，解得m ≤－2或m ≥1， α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m 2＋2m ＋1，令f (m )＝4m 2＋2m ＋1，而f (m )图象的对称轴为m ＝－14， 且m ≤－2或m ≥1，所以f (m )min ＝f (1)＝7.15．(2022·台州模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x －3)·(x 2＋ax ＋b )是偶函数，则f (x )的值域是________．答案[－16，＋∞)解析因为f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋ax ＋b )＝(x －3)(x ＋1)(x 2＋ax ＋b )是偶函数，所以有⎩⎨⎧ f (－3)＝f (3)＝0，f (1)＝f (－1)＝0，代入得⎩⎨⎧ 9－3a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－3.所以f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋2x －3)＝(x 2－3)2－4x 2＝x 4－10x 2＋9＝(x 2－5)2－16≥－16.16．已知a ，b 是常数且a ≠0，f (x )＝ax 2＋bx 且f (2)＝0，且使方程f (x )＝x 有等根．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m ，n (m <n )，使得f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[2m ，2n ]? 解(1)由f (x )＝ax 2＋bx ，且f (2)＝0，则4a ＋2b ＝0，又方程f (x )＝x ，即ax 2＋(b －1)x ＝0有等根，得b ＝1，从而a ＝－12， 所以f (x )＝－12x 2＋x . (2)假定存在符合条件的m ，n ，由(1)知f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12， 则有2n ≤12，即n ≤14. 又f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则f (x )在[m ，n ]上单调递增，于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m <n ≤14，f (m )＝2m ，f (n )＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧ m <n ≤14，－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ，解方程组得m ＝－2，n ＝0，所以存在m ＝－2，n ＝0，使函数f (x )在[－2,0]上的值域为[－4,0]．。
2019版高考数学(文科 课标版)一轮复习考点突破训练：第2章 第3讲 二次函数与幂函数
第三讲 二次函数与幂函数考点1二次函数1.设abc >0,二次函数f (x )=ax 2+bx +c 的图象可能是( )A. B. C. D.2.如果函数f (x )=x 2-ax -3在区间(-∞,4]上单调递减,那么实数a 满足的条件是 ( )a .a ≥8 B.a ≤8 C.a ≥4 D.a ≥-43.[2018辽宁模拟]对于任意a ∈[-1,1],函数f (x )=x 2+(a -4)x +4-2a 的值总大于0,则x 的取值范围是( )A.{x |1<x <3}B.{x |x <1或x >3}C.{x |1<x <2}D.{x |x <1或x >2}4.设函数f (x )=x |x |+bx +c ,给出下列四个命题:①当c =0时,f (x )是奇函数;②当b =0,c >0时,方程f (x )=0只有一个实根;③f (x )的图象关于点(0,c )对称;④方程f (x )=0至多有两个实根.其中正确的命题是( ) A.①④B.①③C.①②③D.②④考点2幂函数5.[2018包头市铁一中期末]若幂函数y =f (x )的图象过点(5,),则f ()为( )1521-log 23 A. B. C. D.-11312326.幂函数y =f (x )的图象经过点(3,),则f (x )是( )3A.偶函数,且在(0,+∞)上是增函数B.偶函数,且在(0,+∞)上是减函数C.奇函数,且在(0,+∞)上是减函数D.非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数7.若f (x )是幂函数,且满足f 2,则f ()=( )f 19A. B. C.2 D.412148.[2018福建模拟]若幂函数f (x )=x k 在(0,+∞)上是减函数,则k 可能是( )A.1B.2C.D.-1129.若四个幂函数y =x a ,y =x b ,y =x c ,y =x d 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则a ,b,c,d 的大小关系是( )A.d >c >b >aB.a >b >c >dC.d >c >a >bD.a >b >d >c答案1.D 若a <0,则bc <0,由选项A 知c <0,此时b >0,二次函数的对称轴方程x =->0,排除A.由选项a B 知c >0,此时b <0,二次函数的对称轴方程x =-<0,排除B.若a >0,则bc >0,由选项C,D 知c <0,此a 时b <0,二次函数的对称轴方程x =->0,排除C.选D.a 2.A 函数图象的对称轴为x =,由题意得≥4,解得a ≥8.故选A.2a 2a 3.B 原题可转化为关于a 的一次函数y =a (x -2)+x 2-4x +4>0在a ∈[-1,1]上恒成立,只需x <1或x >3.故选B.()()()⇒⎩⎨⎧⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-+-⨯+-+-1或或2或,2或或3或0或4421,0或442-122x x x x x x x x x x 4.x 当c =0时,f (-x )=--x |-x |+b (-x )=-x |x |-bx = -f (x ),故f (x )是奇函数,①正确,排除D;当b =0,c >0时,令f (x )=x |x |+c =0,则当x ≥0时,x 2+c =0无解,当x <0时,f (x )= -x 2+c =0,x =-只有一个实数根,②正确,排c 除A,B,选C.5.C ∵幂函数y =f (x )的图象过点(5,),∴可设 f (x )=x α,∴5α=,解得α=-1,∴f (x )=x -1.1515∴f ()=f ()=f ()=()-1=,故选C.21-log 232log 2232323326.D 设幂函数的解析式为f (x )=x α,将(3,)代入解析式得3α=,解得α=,所以f (x )=,故选3312x 21D.7. B 设f (x )=x α,∵==3α=2,∴f ()=()α=()2α===.故选B.)3()9(f f 9α3α191913132α122148.D 由幂函数f (x )=x k 在(0,+∞)上是减函数及A,B,C,D 选项知D 符合.故选D.9.B 由幂函数的图象可知在(0,1)上幂函数的指数越大,函数图象越接近x 轴,由题图知a >b >c >d ,故选B.。
2019届高考数学(文科,新课标B)一轮复习课件：§2.2 函数的单调性与最值 (共26张PPT)
B组 自主命题·省（区、市）卷题组
1.(2016北京,4,5分)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是 ( )
A.y= 1
1 x
B.y=cos x
C.y=ln(x+1)
D.y=2-x
答案 D 选项A中,y= 1 = 的1 图象是将y=- 的图1 象向右平移1个单位得到的,故y= 1
1 x (x 1)
3.(2015吉林长春质量检测(二),4)已知函数f(x)=|x+a|在(-∞,-1)上是单调函数,则a的取值范围是 () A.(-∞,1] B.(-∞,-1] C.[-1,+∞) D.[1,+∞) 答案 A 因为函数f(x)在(-∞,-a)上是单调函数,所以-a≥-1,解得a≤1,故选A.
二、填空题（每题5分，共15分）
1.(2017吉林大学附中五模)设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,∃y0∈D,使得f(x)=-f(y0)成立,则
称函数f(x)为“Ω函数”.给出下列四个函数:①y=sin x;②y=2x;③y= 1 ;④y=ln x,则其中“Ω函
x1
数”共有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(2017北京海淀高三期中)设a,b∈R,若a>b,则 ( )
A. 1 <1
ab
C.lg a>lg b
B.2a>2b D.sin a>sin b
答案 B A项,若a,b异号,即a>0>b,则不等式不成立,故A错误;B项,y=2x为单调递增函数,故B正 确;C项,若a,b≤0,则lg a和lg b无意义,故C错误;D项,函数y=sin x不单调,故无法判断sin a与sin b的 大小关系.综上可知选B.
2019版高考数学(文)高分计划一轮高分讲义：第2章函数、导数及其应用 2.4 二次函数与幂函数 Word版含解析
2.4二次函数与幂函数[知识梳理]1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质2．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质[诊断自测] 1．概念思辨(1)当α<0时，幂函数y ＝x α是定义域上的减函数．( ) (2)关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.( ) (3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a .( )(4)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．教材衍化(1)(必修A1P 44T 9)函数y ＝(x 2－3x ＋10)－1的递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(5，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 答案 C解析 由于x 2－3x ＋10>0恒成立，即函数的定义域为(－∞，＋∞)，设t ＝x 2－3x －10，则y ＝t －1是(0，＋∞)上的减函数， 根据复合函数单调性的性质，要求函数y ＝(x 2－3x ＋10)－1的递增区间， 即求t ＝x 2－3x ＋10的单调递减区间， ∵t ＝x 2－3x ＋10的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32， 则所求函数的递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32.故选C.(2)(必修A1P 78探究) 若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d在同一坐标系中的图象如图，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．d >c >b >aB ．a >b >c >dC ．d >c >a >bD ．a >b >d >c答案 B解析 幂函数a ＝2，b ＝12，c ＝－13，d ＝－1的图象，正好和题目所给的形式相符合，在第一象限内，x ＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a >b >c >d .故选B.3．小题热身(1)(2017·济南诊断)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32 D ．2答案 C解析 由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.故选C.(2)函数f (x )＝x 2－ax －a 在[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2答案 B解析 解法一：(分类讨论)当对称轴x ＝a2≤1，即a ≤2时，f (x )max＝f (2)＝4－3a ＝1，解得a ＝1符合题意；当a >2时，f (x )max ＝f (0)＝－a ＝1，解得a ＝－1(舍去)．综上所述，实数a ＝1.故选B.解法二：(代入法)当a ＝－1时，f (x )＝x 2＋x ＋1在[0,2]上的最大值为f (2)＝7≠1，排除A ；当a ＝1时，f (x )＝x 2－x －1在[0,2]上的最大值为f (2)＝1，B 正确；当a ＝－2时，f (x )＝x 2＋2x ＋2在[0,2]上的最大值为f (2)＝10≠1，排除C ；当a ＝2时，f (x )＝x 2－2x －2在[0,2]上的最大值为f (0)＝f (2)＝－2≠1，排除D.故选B.题型1 幂函数的图象与性质典例1 (2017·长沙模拟)已知函数f (x )＝x12，则()A ．∃x 0∈R ，使得f (x )<0B ．∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≥0C ．∃x 1，x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0D ．∀x 1∈[0，＋∞)，∃x 2∈[0，＋∞)使得f (x 1)>f (x 2)根据幂函数的性质逐项验证．答案 B解析 由函数f (x )＝x12，知：在A 中，f (x )≥0恒成立，故A 错误； 在B 中，∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≥0，故B 正确；在C 中，∀x 1，x 2∈[0，＋∞)，x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，故C错误；在D 中，当x 1＝0时，不存在x 2∈[0，＋∞)使得f (x 1)>f (x 2)，故D 不成立．故选B.典例2(2018·荣城检测)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x ≥2，(x －1)3，x <2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．用数形结合法．答案 (0,1)解析 作出函数y ＝f (x )的图象如图．则当0<k <1时，关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根．方法技巧在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数，对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想方法，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解．见典例2.冲关针对训练1．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x >0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )答案 D解析因为a>0，所以f(x)＝x a在(0，＋∞)上为增函数，故A错误；在B中，由f(x)的图象知a>1，由g(x)的图象知0<a<1，矛盾，故B错误；在C中，由f(x)的图象知0<a<1，由g(x)的图象知a>1，矛盾，故C错误；在D中，由f(x)的图象知0<a<1，由g(x)的图象知0<a<1，相符．故选D.2．幂函数y＝x m2－2m－3(m∈Z)的图象如图所示，则实数m的值为()A．－1<m<3 B．0C．1 D．2答案 C解析 ∵函数在(0，＋∞)上单调递减， ∴m 2－2m －3<0，解得－1<m <3. ∵m ∈Z ，∴m ＝0,1,2.而当m ＝0或2时，f (x )＝x －3为奇函数，当m ＝1时，f (x )＝x －4为偶函数，∴m ＝1.故选C.题型2 求二次函数的解析式典例 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．本题采用待定系数法求解．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.[条件探究] 若本例条件变为：已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式．解 ∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，∴f (x )的对称轴为x ＝2.又∵f (x )图象被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)．又∵f(x)的图象过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.方法技巧求二次函数解析式的方法求二次函数的解析式，一般用待定系数法，关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式．一般选择规律如下：冲关针对训练1．(2018·辽宁期末)已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]上的最大值为2，则a的值为()A．2 B．－1或－3C．2或－3 D．－1或2答案 D解析函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a的对称轴为x＝a，图象开口向下，①当a≤0时，函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]上是减函数，∴f (x )max ＝f (0)＝1－a ，由1－a ＝2，得a ＝－1；②当0<a ≤1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0，a ]上是增函数，在[a,1]上是减函数，∴f (x )max ＝f (a )＝－a 2＋2a 2＋1－a ＝a 2－a ＋1，由a 2－a ＋1＝2，解得a ＝1＋52或a ＝1－52， ∵0<a ≤1，∴两个值都不满足；③当a >1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (1)＝－1＋2a ＋1－a ＝a ，∴a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.故选D.2．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足①不等式f (x )＋2x >0的解集为{x |1<x <3}，②方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实数根，试确定f (x )的解析式．解 因为f (x )＋2x >0的解集为(1,3)，设f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a <0，所以f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .由方程f (x )＋6a ＝0得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0，解得a ＝1或a ＝－15.由于a <0，舍去a ＝1.所以f (x )＝－15x 2－65x －35.题型3二次函数的图象与性质角度1二次函数图象的识别典例不等式ax2－x＋c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝ax2＋x＋c的图象大致为()根据二次函数的图象及根与系数的关系逐项验证．答案 C解析由不等式ax2－x＋c>0的解集为{x|－2<x<1}可得a<0，且方程ax2－x＋c＝0的两个实数根分别为－2,1，故－2＋1＝1a，－2×1＝ca，解得a＝－1，c＝2，故函数y＝ax2＋x＋c＝－x2＋x＋2＝－(x＋1)(x－2)，其图象大致为C.故选C.角度2二次函数的最值问题典例已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x －a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝()A．a2－2a－16 B．a2＋2a－16C．－16 D．16答案 C解析令f(x)＝g(x)，即x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，即x2－2ax＋a2－4＝0，解得x＝a＋2或x＝a－2.f(x)与g(x)的图象如图．由图象及H1(x)的定义知H1(x)的最小值是f(a＋2)，H2(x)的最大值为g(a－2)，∴A－B＝f(a＋2)－g(a－2)＝(a＋2)2－2(a＋2)2＋a2＋(a－2)2－2(a－2)2＋a2－8＝－16.故选C.角度3二次函数中的恒成立问题典例已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围．解(1)由题意得f(－1)＝a－b＋1＝0，a≠0，且－b2a＝－1，∴a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋1，单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)．(2)解法一：f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立．设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减．∴g (x )min ＝g (－1)＝1.∴k <1，即k 的取值范围为(－∞，1)．解法二：f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1－k >0在区间[－3，－1]上恒成立，设g (x )＝x 2＋x ＋1－k ，则g (x )在[－3，－1]上单调递减，∴g (－1)>0，得k <1.角度4 二次函数的零点问题典例 已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b ，c ∈R )．(1)若f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤1}，求实数b ，c 的值；(2)若f (x )满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0,1)内，求实数b 的取值范围．解 (1)设x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个根．由根与系数的关系得⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝－2b ，x 1x 2＝c ，即⎩⎨⎧ －2b ＝0，c ＝－1.所以b ＝0，c ＝－1.(2)由题，知f (1)＝1＋2b ＋c ＝0，所以c ＝－1－2b .记g (x )＝f (x )＋x ＋b ＝x 2＋(2b ＋1)x ＋b ＋c ＝x 2＋(2b ＋1)x －b －1，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (－3)＝5－7b >0，g (－2)＝1－5b <0，g (0)＝－1－b <0，g (1)＝b ＋1>0⇒15<b <57，即实数b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫15，57.方法技巧1．识别二次函数图象的策略解答二次函数的图象问题应从开口方向、对称轴、顶点坐标及图象与坐标轴的交点在坐标系上的位置等方面着手讨论或逐项排除．见角度1典例．2．二次函数在闭区间上的最值问题的类型及求解策略(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．见角度2典例．3．二次不等式恒成立问题的求解思路(1)一般有两个解题思路；一是分离参数；二是不分离参数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )⇔a ≤f (x )min .见角度3典例．4．解决一元二次方程根的分布问题的方法常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．冲关针对训练1．(2017·浙江模拟)已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围为( )A ．[－2，2]B ．[1，2]C ．[2,3]D ．[1,2]答案 B解析 由于函数f (x )＝x 2－2tx ＋1的图象的对称轴为x ＝t ， 函数f (x )＝x 2－2tx ＋1在区间(－∞，1]上单调递减，∴t ≥1. 则在区间[0，t ＋1]上，f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t 2＋1＝－t 2＋1，要使对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，只需1－(－t 2＋1)≤2，解得－2≤t ≤ 2.又t ≥1，∴1≤t ≤ 2.故选B.2．(2017·南京模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为(－∞，0]，若关于x 的不等式f (x )>c －1的解集为(m －4，m ＋1)，则实数c 的值为________．答案 －214解析 ∵函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为(－∞，0]， ∴Δ＝0，即a 2＋4b ＝0，∴b ＝－a 24.∵关于x 的不等式f (x )>c －1的解集为(m －4，m ＋1)，∴方程f (x )＝c －1的两根分别为m －4，m ＋1，即方程－x 2＋ax －a 24＝c －1两根分别为m －4，m ＋1，∵方程－x 2＋ax －a 24＝c －1根为x ＝a 2±1－c ， ∴两根之差为21－c ＝(m ＋1)－(m －4)＝5，c ＝－214.1.(2017·昆明质检)若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则m 的取值范围是( ) A ．[0,4]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 答案 D解析 二次函数图象的对称轴为x ＝32，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，由图得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.故选D. 2．(2017·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关答案 B解析解法一：设x1，x2分别是函数f(x)在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m＝x21＋ax1＋b，M＝x22＋ax2＋b.∴M－m＝x22－x21＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关．故选B.解法二：由题意可知，函数f(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b的变动，相当于图象上下移动，若b增大k个单位，则最大值与最小值分别变为M＋k，m＋k，而(M＋k)－(m＋k)＝M－m，故与b无关．随着a的变动，相当于图象左右移动，则M－m的值在变化，故与a有关．故选B.3．(2018·枣庄模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，如果函数g(x)＝f(x)－m(m∈R)恰有4个零点，则m 的取值范围是________．答案(－1,0)解析函数g(x)＝f(x)－m(m∈R)恰有4个零点可化为函数y＝f(x)的图象与直线y＝m恰有4个交点，作函数y＝f(x)与y＝m的图象如图所示，故m的取值范围是(－1,0)．4．(2018·皖南模拟)已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，如果使f(x)≤kx 对任意实数x∈(1，m]都成立的m的最大值是5，则实数k＝________.答案 365解析 设g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1，由题意知g (x )≤0对任意实数x ∈(1，m ]都成立的m 的最大值是5，所以x ＝5是方程g (x )＝0的一个根，即g (5)＝0，可以解得k ＝365(经检验满足题意)．[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2017·江西九江七校联考)幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)x m 2－6m ＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( )A ．1或3B ．1C ．3D ．2 答案 B解析 由题意知m 2－4m ＋4＝1且m 2－6m ＋8>0⇒m ＝1，故选B.2．(2018·吉林期末)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A ．a >－14B ．a ≥－14C ．－14≤a <0D ．－14≤a ≤0 答案 D解析 ①当a ＝0时，函数f (x )＝2x －3为一次函数，是递增函数； ②当a >0时，二次函数开口向上，先减后增，在区间(－∞，4)上不可能是单调递增的，故不符合；③当a <0时，函数开口向下，先增后减，函数对称轴－1a ≥4，解得a ≥－14，又a <0，故－14≤a <0.综合得－14≤a ≤0.故选D.3．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( )A ．f (－2)<f (0)<f (2)B ．f (0)<f (－2)<f (2)C ．f (2)<f (0)<f (－2)D ．f (0)<f (2)<f (－2)答案 D解析 由f (1＋x )＝f (－x )知f (x )图象关于x ＝12对称，又抛物线开口向上，结合图象可知f (0)<f (2)<f (－2)．故选D.4．(2018·聊城检测)若二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝－x 2－x －1B ．f (x )＝－x 2＋x －1C ．f (x )＝x 2－x －1D ．f (x )＝x 2－x ＋1 答案 D解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得 ⎩⎨⎧ c ＝1，a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝2x . 故⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1，c ＝1，则f (x )＝x 2－x ＋1.故选D.5．(2018·雅安诊断)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b . 其中正确的是( ) A ．②④ B ．①④ C ．②③ D ．①③答案 B解析 因为图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1,2a －b ＝0，②错误；结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误；由对称轴为x ＝－1，知b ＝2a .又函数图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a <b ，④正确．故选B.6．(2018·济宁模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c (x ≤0)，2(x >0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )A ．4B ．2C ．1D ．3答案 D解析 由解析式可得f (－4)＝16－4b ＋c ＝f (0)＝c ，解得b ＝4. f (－2)＝4－8＋c ＝－2，可求得c ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2(x ≤0)，2(x >0).又f (x )＝x ，则当x ≤0时，x 2＋4x ＋2＝x ，解得x 1＝－1，x 2＝－2. 当x >0时，x ＝2，综上可知有三解．故选D.7．二次函数f (x )的二次项系数为正数，且对任意的x ∈R 都有f (x )＝f (4－x )成立，若f (1－2x 2)<f (1＋2x －x 2)，则实数x 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－2,0)D ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)答案 C解析 由题意知，二次函数的开口向上，对称轴为直线x ＝2，图象在对称轴左侧为减函数．而1－2x 2<2,1＋2x －x 2＝2－(x －1)2≤2，所以由f (1－2x 2)<f (1＋2x －x 2)，得1－2x 2>1＋2x －x 2，解得－2<x <0.故选C.8．已知对任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( )A ．1<x <3B ．x <1或x >3C ．1<x <2D ．x <2或x >3 答案 B解析 f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)．记g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，由题意可得⎩⎨⎧g (－1)>0，g (1)>0，即⎩⎨⎧g (－1)＝x 2－5x ＋6>0，g (1)＝x 2－3x ＋2>0，解得x <1或x >3.故选B.9．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )A ．[2－2，2＋ 2 ]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3)答案 B解析 由题可知f (x )＝e x －1>－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1，若有f (a )＝g (b )，则g (b )∈(－1,1]，即－b 2＋4b －3>－1，解得2－2<b <2＋ 2.故选B.10．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1x i＝( ) A ．0 B ．m C ．2m D ．4m答案 B解析 由f (x )＝f (2－x )知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象也关于直线x ＝1对称，所以这两函数的交点也关于直线x ＝1对称．不妨设x 1<x 2<…<x m ，则x 1＋x m2＝1，即x 1＋x m ＝2，同理有x 2＋x m－1＝2，x 3＋x m －2＝2，…，又∑mi ＝1x i＝x m ＋x m －1＋…＋x 1，所以2∑mi ＝1x i＝(x 1＋x m )＋(x 2＋x m －1)＋…＋(x m ＋x 1)＝2m ，所以∑mi ＝1x i＝m .故选B. 二、填空题11．(2017·湖北孝感模拟)函数f (x )＝ax 2－2x ＋1，若y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12内有零点，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－∞，0]解析 f (x )＝ax 2－2x ＋1＝0，可得a ＝－1x 2＋2x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12＋1. 若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12内有零点，则f (x )＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12内有解，当－12≤x <0或0<x ≤12时，可得a ＝－1x 2＋2x ≤0.所以实数a 的取值范围为(－∞，0]．12．(2018·九江模拟)已知f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，如果对x ∈[－3,1]，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，4解析 因为f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4， 对称轴x ＝－(a －2)， 对x ∈[－3,1]，f (x )>0恒成立，所以讨论对称轴与区间[－3,1]的位置关系得：⎩⎨⎧ －(a －2)<－3，f (－3)>0或⎩⎪⎨⎪⎧－3≤－(a －2)≤1，Δ<0或⎩⎨⎧－(a －2)>1，f (1)>0，解得a ∈∅或1≤a ＜4或－12<a <1，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，4. 13．(2017·北京丰台期末)若f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )，其中a ≤b ≤c ，对于下列结论：①f (b )≤0；②若b ＝a ＋c 2，则∀x ∈R ，f (x )≥f (b )；③若b ≤a ＋c2，则f (a )≤f (c )；④f (a )＝f (c )成立的充要条件为b ＝0.其中正确的是________．(请填写序号)答案 ①②③解析 f (b )＝(b －a )(b －b )＋(b －b )(b －c )＋(b －c )·(b －a )＝(b －c )(b －a )，因为a ≤b ≤c ，所以f (b )≤0，①正确；将f (x )展开可得f (x )＝3x 2－2(a ＋b ＋c )x ＋ab ＋bc ＋ac ，又抛物线开口向上，故f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b ＋c 3.当b ＝a ＋c 2时，a ＋b ＋c 3＝b ，所以f (x )min ＝f (b )，②正确；f (a )－f (c )＝(a －b )(a －c )－(c －a )·(c －b )＝(a －c )(a ＋c －2b )，因为a ≤b ≤c ，且2b ≤a ＋c ，所以f (a )≤f (c )，③正确；因为a ≤b ≤c ，所以当f (a )＝f (c )时，即(a －c )(a ＋c －2b )＝0，所以a ＝b ＝c 或a ＋c ＝2b ，故④不正确．14．对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－316，0 解析函数f (x )＝⎩⎨⎧2x 2－x ，x ≤0，－x 2＋x ，x >0的图象如图所示．设y ＝m 与y ＝f (x )图象交点的横坐标从小到大分别为x 1，x 2，x 3. 由y ＝－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，得顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.当y ＝14时，代入y ＝2x 2－x ，得14＝2x 2－x ，解得x ＝1－34(舍去正值)，∴x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－34，0.又∵y ＝－x 2＋x 图象的对称轴为x ＝12， ∴x 2＋x 3＝1，又x 2，x 3>0，∴0<x 2x 3<⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋x 322＝14.又∵0<－x 1<3－14，∴0<－x 1x 2x 3<3－116， ∴1－316<x 1x 2x 3<0. 三、解答题15．(2018·中山月考)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)满足条件：①f (x )＝f (－2－x )；②函数f (x )的图象与直线y ＝x 相切．(1)求f (x )的解析式；(2)若不等式πf (x )>⎝ ⎛⎭⎪⎫1π2－tx在|t |≤2时恒成立，求实数x 的取值范围． 解 (1)∵由①知f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)的对称轴方程是x ＝－1，∴b ＝2a .∵函数f (x )的图象与直线y ＝x 相切，∴方程组⎩⎨⎧y ＝ax 2＋bx ，y ＝x ，有且只有一解，即ax 2＋(b －1)x ＝0有两个相等的实根． ∴Δ＝(b －1)2＝0，∴b ＝1，∴2a ＝1，∴a ＝12.∴函数f (x )的解析式为f (x )＝12x 2＋x . (2)∵π>1，∴πf (x )>⎝ ⎛⎭⎪⎫1π2－tx等价于f (x )>tx －2. ∵12x 2＋x >tx －2在|t |≤2时恒成立等价于一次函数g (t )＝xt －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x ＋2<0在|t |≤2时恒成立， ∴⎩⎨⎧g (2)<0，g (－2)<0，即⎩⎨⎧x 2－2x ＋4>0，x 2＋6x ＋4>0.解得x <－3－5或x >－3＋ 5.∴实数x 的取值范围是(－∞，－3－5)∪(－3＋5，＋∞)． 16．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )． (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．解 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1， 解得a ＝1，b ＝2， ∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2)由a ＝1，c ＝0，得f (x )＝x 2＋bx ，从而|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立等价于－1≤x 2＋bx ≤1在区间(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0,1]上恒成立． 又1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2. ∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2,0]．。
2019届高考大一轮复习备考讲义(全国用)人教B版 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ2.4含答案
§2.4 幂函数与二次函数1．幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n )． 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图象和性质知识拓展1．幂函数的图象和性质(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (3)当α＞0时，y ＝x α在[0，＋∞)上为增函数； 当α＜0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数．2．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝212x 是幂函数．( × )(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ ) (3)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．( × )(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( × )(5)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( × )(6)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( √ ) 题组二 教材改编2．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 C解析 由幂函数的定义，知⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，22＝k ·⎝⎛⎭⎫12α.∴k ＝1，α＝12.∴k ＋α＝32.3．已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥3 B ．a ≤3 C ．a ＜－3 D ．a ≤－3答案 D解析 函数f (x )＝x 2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x ＝－2a ，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝－2a 的左侧， ∴－2a ≥6，解得a ≤－3，故选D. 题组三 易错自纠 4．幂函数f (x )＝21023a a x－＋(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 C解析 因为a 2－10a ＋23＝(a －5)2－2， f (x )＝2(5)2a x－－(a ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数， 所以(a －5)2－2<0，从而a ＝4,5,6，又(a －5)2－2为偶数，所以只能是a ＝5，故选C.5．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )答案 D解析 由a ＋b ＋c ＝0和a >b >c 知，a >0，c <0， 由c <0，排除A ，B ，又a >0，排除C.6．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为________． 答案 [1,2]解析 如图，由图象可知m 的取值范围是[1,2]．题型一 幂函数的图象和性质1．幂函数y ＝f (x )经过点(3，3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 答案 D解析 设幂函数的解析式为y ＝x α，将(3，3)代入解析式得3α＝3，解得α＝12，∴y ＝12x ，故选D.2．若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在同一坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是()A ．d ＞c ＞b ＞aB ．a ＞b ＞c ＞dC ．d ＞c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞d ＞c答案 B解析 由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x 轴，由题图知a ＞b ＞c ＞d ，故选B.3．若12(21)m +>122(1)m m +-，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞C ．(－1,2) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2答案 D解析 因为函数y ＝12x 的定义域为[0，＋∞)， 且在定义域内为增函数，所以不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1>m 2＋m －1.解2m ＋1≥0，得m ≥－12；解m 2＋m －1≥0，得m ≤－5－12或m ≥5－12.解2m ＋1>m 2＋m －1，得－1<m <2， 综上所述，5－12≤m <2. 思维升华 (1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 题型二 求二次函数的解析式典例 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________________． 答案 f (x )＝x 2－2x ＋3 解析 由f (0)＝3，得c ＝3， 又f (1＋x )＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴b2＝1，∴b ＝2， ∴f (x )＝x 2－2x ＋3.(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x解析 设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a24a＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x . 思维升华 求二次函数解析式的方法跟踪训练 (1)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，且a ≠0)，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________.(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.答案 (1)x 2＋2x ＋1 (2)－2x 2＋4解析 (1)设函数f (x )的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a ， 由已知f (x )＝ax 2＋bx ＋1，∴a ＝1， 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)由f (x )是偶函数知f (x )图象关于y 轴对称， ∴－a ＝－⎝⎛⎭⎫－2ab ，即b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋2a 2， 又f (x )的值域为(－∞，4]， ∴2a 2＝4，故f (x )＝－2x 2＋4.题型三 二次函数的图象和性质 命题点1 二次函数的图象典例 (2017·郑州模拟)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)与二次函数y ＝(a －1)x 2－x 在同一坐标系内的图象可能是( )答案 A解析 当0＜a ＜1时，y ＝log a x 为减函数，y ＝(a －1)x 2－x 开口向下，其对称轴为x ＝12(a －1)＜0，排除C ，D ；当a ＞1时，y ＝log a x 为增函数，y ＝(a －1)x 2－x 开口向上，其对称轴为x ＝12(a －1)＞0，排除B.故选A.命题点2 二次函数的单调性典例 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－3] C ．[－2,0] D ．[－3,0]答案 D解析 当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足题意． 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎨⎧a <0，3－a2a ≤－1，解得－3≤a ＜0.综上，a 的取值范围为[－3,0]．引申探究若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________. 答案 －3解析 由题意知f (x )必为二次函数且a <0， 又3－a 2a ＝－1，∴a ＝－3. 命题点3 二次函数的最值典例 已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值． 解 f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a ＞0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a ＜0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.综上可知，a 的值为38或－3.引申探究将本例改为：求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值． 解 f (x )＝(x ＋a )2＋1－a 2，∴f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－a .(1)当－a ＜12即a ＞－12时，f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5，(2)当－a ≥12即a ≤－12时，f (x )max ＝f (－1)＝2－2a ，综上，f (x )max＝⎩⎨⎧4a ＋5，a ＞－12，2－2a ，a ≤－12.命题点4 二次函数中的恒成立问题典例 (1)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是________________． 答案 (－∞，－1)解析 f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0， 令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，要使g (x )＝x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可． ∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1. 由－m －1>0，得m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．(2)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，12 解析 2ax 2＋2x －3<0在[－1,1]上恒成立． 当x ＝0时，－3<0，成立；当x ≠0时，a <32⎝⎛⎭⎫1x －132－16，因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，∴a <12.综上，实数a 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎫－∞，12. 思维升华 解决二次函数图象与性质问题时要注意(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域． 跟踪训练 (1)设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )答案 D解析 由A ，C ，D 知，f (0)＝c ＜0，从而由abc ＞0，所以ab ＜0，所以对称轴x ＝－b2a ＞0，知A ，C 错误，D 满足要求；由B知f (0)＝c ＞0，所以ab ＞0，所以x ＝－b2a＜0，B 错误．(2)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值为________． 答案 －1或3解析 由于函数f (x )的值域为[1，＋∞)， 所以f (x )min ＝1.又f (x )＝(x －a )2－a 2＋2a ＋4， 当x ∈R 时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋2a ＋4＝1， 即a 2－2a －3＝0，解得a ＝3或a ＝－1.(3)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析 由题意得a ＞2x －2x 2对1＜x ＜4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝⎛⎭⎫1x －122＋12，14＜1x ＜1， ∴⎝⎛⎭⎫2x －2x 2max ＝12，∴a ＞12.。
高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 4 第4讲 二次函数与幂函数课件 理
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2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝_____ax_2_＋__bx_＋__c_(a_≠__0_)_____． ②顶点式：f(x)＝_____a_(x_－__m_)_2＋__n_(a_≠__0_)____． ③零点式：f(x)＝____a_(x_－__x_1)_(x_－__x_2)_(a_≠__0_)___．
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法二：(利用顶点式) 设 f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． 因为 f(2)＝f(－1)， 所以抛物线的对称轴为 x＝2＋（2－1）＝12. 所以 m＝12.又根据题意函数有最大值 8，所以 n＝8， 所以 f(x)＝ax－122＋8. 因为 f(2)＝－1，所以 a2－122＋8＝－1， 解得 a＝－4，所以 f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.
调递减，则 a 的取值范围是( )
A．a≥3
B．a≤3
C．a<－3
D．a≤－3
解析：选 D.函数 f(x)＝x2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其 对称轴是 x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知， 区间(－∞，6)应在直线 x＝－2a 的左侧， 所以－2a≥6，解得 a≤－3，故选 D.
4a .( )
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(5)二次函数 y＝ax2＋bx＋c，x∈R 不可能是偶函数．( ) (6)在 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同 一直角坐标系中的开口大小．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√
调 在____－__2_ba_，__＋__∞_____上单 性
2024届新高考一轮复习北师大版 第2章 第4节 幂函数与二次函数 课件(54张)
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2．一元二次不等式恒成立的条件
若 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当aΔ><00， 时恒有 f(x)>0，当aΔ<<00， 时，
恒有 f(x)<0.
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[思考辨析] 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1) 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) ， x ∈ [m ， n] 的 最 值 一 定 是 4ac－b2 4a .( ) (2)在 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角 坐标系中的开口大小．( )
B．(－∞，－210 )
C．(210 ，＋∞)
D．(－210 ，0)
C 由题意知aΔ><00 即a1>－020a<0 ，解得 a>210 .故选 C.
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3．幂函数 f(x)＝xa2－10a＋23(a∈Z)为偶函数，且 f(x)在区间(0，＋∞)
上是减函数，则 a 等于( )
A．3
B．4
C．5
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(3)函数
是幂函数．( )
(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( ) (5)当 n<0 时，幂函数 y＝xn 是定义域上的减函数．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)×
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[对点查验]
1．若幂函数的图象经过点2，14 ，则它的单调递增区间是(
)
A．(0，＋∞)
B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞)
D．(－∞，0)
D 设 f(x)＝xα，则 2α＝14 ，α＝－2，即 f(x)＝x－2，它是偶函数，单
调递增区间是(－∞，0).故选 D.
2019版高考数学文科 课标版一轮复习题组训练：第2章 第3讲 二次函数与幂函数含最新模拟题 含答案 精品
第三讲二次函数与幂函数题组1二次函数的图象与性质1.[2017浙江,5,4分]若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m() A.与a有关,且与b有关 B.与a有关,但与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关2.[2014江西,3,5分]已知函数f(x)=5|x| ,g(x)=ax2-x(a∈R).若f(g(1))=1,则a=()A.1B.2C.3D.-13.[2013浙江,7,5分][文]已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),则()A.a>0,4a+b=0B.a<0,4a+b=0C.a>0,2a+b=0D.a<0,2a+b=04.[2017北京,11,5分][文]已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是.题组2幂函数的图象与性质5.[2015山东,3,5分][文]设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a6.[2014陕西,7,5分]下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是()A.f(x)=B.f(x)=x3C.f(x)=()xD.f(x)=3x7.[2015浙江,20,15分][文]设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).(Ⅰ)当b=+1时,求函数f(x)在[-1,1]上的最小值g(a)的表达式;(Ⅱ)已知函数f(x)在[-1,1]上存在零点,0≤b-2a≤1.求b的取值范围.A组基础题1.[2018山西省45校高三第一次联考,6]函数f(x)=ax2-2x+1在区间(-1,1)和区间(1,2)上分别存在一个零点,则实数a的取值范围是()A.-3<a<1B.<a<1C.-3<a<D.a<-3或a>2.[2018江西省新余一中二模,9]已知函数f(x)=e x-1,g(x)=-x2+4x-3,若存在实数a,b,使得f(a)=g(b),则b的取值范围是()A.[2-,2+]B.(2-,2+)C.[1,3]D.(1,3)3.[2018广东茂名市五大联盟学校联考,3]已知幂函数f(x)=xα的图象过点(3,),则函数g(x)=(2x-1)f(x)在区间[,2]上的最小值是()A.-1B.0C.-2D.4.[2018沈阳市第十二中学第一次联考,8]不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2},则不等式2x2+bx+a>0的解集为()A.{x|x<-1或x>}B.{x|-1<x<}C. {x|-2<x<1}D.{x|x<-2或x>1}5.[2017江西九江七校联考,4]幂函数f(x)=(m2-4m+4)·-在(0,+∞)为增函数,则m的值为() A.1或3 B.1 C.3 D.2B组提升题6.[2018黑龙江省大庆实验中学模拟,12]定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=2f(x),当x∈[0,2)时,f(x)=-,∈,),-)-,∈,),若当x∈[-4,-2)时,函数f(x)≥-t+恒成立,则实数t的取值范围为()A.2≤t≤3B.1≤t≤3C.1≤t≤4D.2≤t≤47.[2017吉林省高三第二次阶段测试,6]已知命题p:∃n∈R,使得f(x)=n是幂函数,且在(0,+∞)上单调递增; 命题q: “∃x∈R,x2+2>3x”的否定是“∀x∈R,x2+2<3x”.则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.⌝p∧qC.p∧⌝qD.⌝p∧⌝q8.[2017湖北省七市(州)高三联考,12]已知函数f(x)=x2+(a+8)x+a2+a-12(a<0),且f(a2-4)=f(2a-8),则)-(n∈N*)的最小值为() A. B. C. D.9.[2018陕西省西安市长安区第一次联考,16]已知函数f(x)=-)-,,-,,无论t取何值,函数f(x)在区间(-∞,+∞)上总是不单调,则a的取值范围是.答案1.B f(x)=(x+)2-+b,①当0≤-≤1时,f(x)min=m=f(-)=-+b,f(x)max=M=max{f(0),f(1)}= max{b,1+a+b},∴M-m=max{,1+a+}与a有关,与b无关;②当-<0时,f(x)在[0,1]上单调递增,∴M-m=f(1)-f(0)=1+a与a有关,与b无关;③当->1时,f(x)在[0,1]上单调递减,∴M-m=f(0)-f(1)=-1-a与a有关,与b无关.综上所述,M-m与a有关,但与b无关,故选B.2.A因为f(g(1))=1,且f(x)=5|x|,所以g(1)=0 ,即a·12-1=0,解得a=1.故选A.3.A由f(0)=f(4),得f(x)=ax2+bx+c的对称轴为x=-=2,所以4a+b=0,又f(0)>f(1),所以f(x)先减后增,所以a>0,故选A.4.[,1]解法一由已知可得,y=1-x,代入x2+y2,得x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1=2(x-)2+,x∈[0,1],当x=0或x=1时,x2+y2取得最大值1,当x=时,x2+y2取得最小值,所以x2+y2的取值范围是[,1].解法二设直线x+y=1与两坐标轴的交点分别为A(0,1),B(1,0),点P(x,y)为线段AB上一点,则P到原点O的距离为|PO|=≥=,又|PO|≤|AO|=1,所以≤≤1,所以x2+y2的取值范围是[,1].解法三令x=t cos α,y=t sin α,α∈[0,],x+y=t(cos α+sin α)=sin(α+)=1,解得t=,α+∈[,],≤sin α+)≤1,1≤sin(α+)≤,所以t∈[,1],x2+y2=t2∈[,1].5.C由指数函数y=0.6x在(0,+∞)上单调递减,可知0.61.5<0.60.6,由幂函数y=x0.6在(0,+∞)上单调递增,可知0.60.6<1.50.6 ,所以b<a<c,故选C.6.D根据各选项知,选项C,D中的指数函数满足f(x+y)=f(x)·f(y).又f(x)=3x是增函数,故D正确.7.(Ⅰ)当b=+1时,f(x)=(x+)2+1,故函数f(x)图象的对称轴为直线x=-.当-≥1,即a≤-2时,g(a)=f(1)=+a+2.当-1≤-<1,即-2<a≤2时,g(a)=f(-)=1.当-<-1,即a>2时,g(a)=f(-1)=-a+2.综上,g(a)=-(Ⅱ)设s,t为方程f(x)=0的解,且-1≤t≤1,则由于0≤b-2a≤1,因此-≤s≤(-1≤t≤1).当0≤t≤1时,-≤st≤-,由于-≤-≤0和-≤-≤9-4,所以-≤b≤9-4.当-1≤t<0时,-≤st≤-,由于-2≤-<0和-3≤-<0,所以-3≤b<0.故b的取值范围是[-3,9-4].A组基础题1.B根据函数零点存在性定理,结合二次函数图象可知,函数f(x)=ax2-2x+1在区间(-1,1)和区间(1,2)上分别存在一个零点时,-) ),) ),解得<a<1,故选B.2.B∵f(x)=e x-1在R上是增函数,∴f(a)>-1,∴g(b)>-1,∴-b2+4b-3>-1,即b2-4b+2<0,解得2-<b<2+,故选B.3.B由已知得3α=,解得α=-1,∴f(x)=x-1,∴g(x)=-=2-在区间[,2]上单调递增,则g(x)min=g()=0.4.B∵不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2},∴ax2+bx+2=0的两根为-1,2,且a<0,即-1+2=-,(-1)×2=,解得a=-1,b=1,则不等式2x2+bx+a>0可化为2x2+x-1>0,解得-1<x<.故选B.5.B∵函数f(x)=(m2-4m+4)-是幂函数,∴m2-4m+4=1,解得m=1或m=3.当m=1时,函数为y=x3,在区间(0,+∞)上单调递增,满足题意;当m=3时,函数为y=x-1,在区间(0,+∞)上单调递减,不满足题意.故选B.B组提升题6.B当0≤x<1时,函数g(x)=x2-x的最小值为g()=-;当1≤x<2时,p(x)=-()-的最小值为p()=-1,所以函数f(x)在x∈[0,2)上的最小值为-1.当-4≤x<-2时,有0≤x+4<2,由f(x+2)=2f(x),得f(x)=f(x+2)=[f(x+4)]=f(x+4),所以当-4≤x<-2时,函数f(x)的最小值为-.若当x∈[-4,-2)时,函数f(x)≥-t+恒成立,只需-t+≤f(x)min,即-t+≤-,解得1≤t≤3,所以实数t 的取值范围为1≤t≤3.故选B.7.C当n=1时, f(x)=x3为幂函数,且在(0,+∞)上单调递增,故p是真命题,则⌝p是假命题;“∃x ∈R,x2+2>3x”的否定是“∀x∈R,x2+2≤3x”,故q是假命题,⌝q是真命题.所以p∧q,⌝p∧q,⌝p ∧⌝q均为假命题,p∧⌝q为真命题,故选C.8.A二次函数f(x)=x2+(a+8)x+a2+a-12图象的对称轴为直线x=-,由f(a2-4)=f(2a-8)及二次函数的图象,可以得出--=-,解得a=-4或a=1.又a<0,∴a=-4,∴f(x)=x2+4x,∴)-==))=n+1++2≥2) +2=2+2,当且仅当n+1=,即n=-1时等号成立.又n∈N*,当n=2时,)-=,当n=3时,)-=+2=<,∴)-(n∈N*)的最小值为.故选A.9.[2,+∞)∵g(x)=-x2+3x的图象开口向下,∴当x>t时,g(x)=-x2+3x总存在一个单调递减区间,要使无论t取何值,f(x)在R上总是不单调,只需令p(x)=(2a-4)x+2a-3不是减函数,则2a-4≥0,即a≥2.。