2020年上海市虹口区高考数学二模试卷(含答案解析)
第1页，共15页 2020年上海市虹口区高考数学二模试卷
一、选择题（本大题共4小题，共20.0分） 1. 已知抛物线上的点M到它焦点的距离为5，则点M到y轴的距离为 A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
2. 某几何体的三视图如图所示单位：，则该几何体的表面积单位：是
A. 16 B. 32 C. 44 D. 64
3. 已知函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 4. 设等比数列的前n项和为，首项，且，已知m，，若存在正整数i，，使得，mn，成等差数列，则mn的最小值为 A. 16 B. 12 C. 8 D. 6
二、填空题（本大题共12小题，共54.0分） 5. 函数的最小值为______．
6. 函数的定义域为______． 7. 设全集，若，则______． 8. 3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加志愿者服务活动，则周六没有同学参加活动的概率为______． 9. 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则______．
10. 设复数为虚数单位，若，则______．
11. 若的展开式中的常数项为，则实数a的值为______． 12. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则______． 第2页，共15页
13. 已知点，点P满足线性约束条件，设O为坐标原点，则的最大值为______． 14. 已知，是椭圆的左、右焦点，过原点O且倾斜角为的直线与
椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆C的长轴长为______． 15. 已知球O是三棱锥的外接球，，，点D为BC的中点，且，则球O的体积为______．
16. 已知函数，若方程恰有5个不同的实数根，则实数a的取值范围为______． 三、解答题（本大题共5小题，共76.0分） 17. 已知四棱锥的底面ABCD为矩形，底面ABCD，且，设E，F，G分别为PC，BC，CD的中点，H为EG的中点，如图． 求证：平面PBD； 求直线FH与平面PBC所成角的大小．
18. 已知函数为实常数 讨论函数的奇偶性，并说明理由； 当为奇函数时，对任意的，不等式恒成立，求实数u的最大值． 第3页，共15页
19. 某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为R的圆内做一个关于圆心对称的“H”型图形，“H”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖直的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的
倍，设O为圆心，，记“H”型图形的面积为S． 将AB，AD用R，表示，并将S表示成的函数； 为了突出“H”型图形，设计时应使S尽可能大，则当为何值时，S最大？并求出S的最大值．
20. 设双曲线的左顶点为D，且以点D为圆心的圆D：与双曲线C分别相交于点A，B，如图所示． 求双曲线C的方程； 求的最小值，并求出此时圆D的方程； 设点P为双曲线C上异于点A，B的任意一点，且直线PA，PB分别与x轴相交于点M，N，求证：为定值其中O为坐标原点． 第4页，共15页
21. 已知项数为的数列满足条件：2，，，若数列满足2，，，则称为数列的“关联数列”． 数列1，5，9，13，17是否存在“关联数列”？若存在，写出其“关联数列”，若不存在，请说明理由； 若数列存在“关联数列”，证明：2，，； 已知数列存在“关联数列”，且，，求数列项数的最小值与最大值． 第5页，共15页
-------- 答案与解析 -------- 1.答案：B
解析：解：由抛物线可知，，设其焦点为F， 由抛物线的定义得，，，即点M到y轴的距离为4． 故选：B． 根据抛物线的定义即可得解． 本题考查抛物线的定义及其标准方程，考查学生的运算能力，属于基础题． 2.答案：B
解析：【分析】 本题考查由三视图求面积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，底面然后由直角三角形面积公式求解． 【解答】 解：由三视图还原原几何体如图，
该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，，底面ABC． 又底面ABC，故， ，AC，面PAC， 面PAC， 又面PAC，则．
该几何体的表面积． 故选：B． 3.答案：D
解析：解：函数在区间上有且仅有两个零点， 即在区间上有且仅有两个根． 在区间上，， ，求得， 第6页，共15页
故选：D． 由题意利用正弦函数的图象特征，正函数的周期性，求得实数的取值范围． 本题主要考查正弦函数的图象，正函数的周期性，属于中档题． 4.答案：C
解析：解：数列是等比数列，且首项，， 则， 化简得：， ，． 则．
又，mn，成等差数列，，
上式两边同时除以，得， 整理可得， 又，，满足条件，使得． 故选：C． 由数列是等比数列，且首项，，结合等比数列的前n项和可得得
到再由，mn，成等差数列，得到，整理可
得，再由，得，满足条件，使得，则答案可求． 本题考查等比数列的前n项和与等差数列的性质，考查数列函数特性的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题． 5.答案：
解析：解：，． ，故的最小值为． 故答案为：． 易知，，所以当时，原函数取得最小值． 本题考查正余弦函数的值域，注意换元思想的应用．属于基础题． 6.答案：
解析：解：函数中， 令， 得， 解得， 所以函数的定义域为． 第7页，共15页
故答案为：． 根据二次根式被开方数大于或等于0，列不等式求出自变量的取值范围． 本题考查了根据函数解析式求定义域的问题，是基础题． 7.答案：
解析：解：或，， ． 故答案为：． 可以求出集合A，然后进行补集的运算即可． 本题考查了描述法的定义，绝对值不等式的解法，全集和补集的定义，补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
8.答案：
解析：解：3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加志愿者服务活动， 基本事件总数， 周六没有同学参加活动包含的基本事件总数，
则周六没有同学参加活动的概率为．
故答案为：． 基本事件总数，周六没有同学参加活动包含的基本事件总数，由此能求出周六没有同学参加活动的概率． 本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 9.答案：2
解析：解：函数的图象与函数的图象关于直线对称， 对于函数，令得：， ， ， ，即， 故答案为：2． 利用反函数的定义得，所以，即． 本题主要考查了反函数的定义及其性质，是基础题． 10.答案：1
解析：解：由题意，可知 ，
，即， ， 第8页，共15页
化简整理，得， ，
， ， ，
． 故答案为：1． 本题先根据二阶行列式的定义写出算式，然后根据复数的模的定义式列出算式
，再进行化简整理，并利用三角函数的公式，并将弦化切，进行转化可得，最后代入正切函数的二倍角公式可计算出答案． 本题主要考查三角函数与行列式、复数的综合问题．考查了二阶行列式的计算，复数模的定义，以及三角函数转化计算的能力，数学运算能力，本题属中档题．
11.答案：
解析：解：的展开式中的通项公式为，令，求得． 故展开式的常数项为，则实数， 故答案为：． 在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于，求得实数a的值． 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 12.答案：
解析：解：，，， ，
由正弦定理，可得． 故答案为：． 由已知利用余弦定理可求a，利用正弦定理即可解得sinC的值． 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题． 第9页，共15页
13.答案：16
解析：解：点满足线性约束条件， ，令目标函数， 画出可行域，由解得， 在点A处取得最大值：， 则的最大值为16， 故答案为：16． 根据向量的数量积的坐标表示，的表达式，可以将其看为目标函数，画出约束条件
的可行域，利用线性规划问题进行求解． 本题主要考查简单的线性规划问题以及向量的数量积的问题，解决此题的关键是能够找出目标函数，此题是一道中档题．
14.答案：
解析：解：设，，，， 过原点O且倾斜角为的直线方程为，
联立，消去y得，，， ，，即， ， 化简整理得，，解得，， 椭圆C的长轴长为． 故答案为：． 设，先利用点斜式写出倾斜角为的直线方程，并与椭圆的方程联立，可得，再通过，将其两边平方化简整理后得，结合平面向量
2020年上海虹口高中二模数学试卷
故 单调递增，所以
因此，当不等式
上恒成立时，
19．(本题满分 14分)本题共 2小题，每小题 7分.
解：（1）过点 作
交
则
的中点,从而
记横向矩形为 由条件，可得
如图所示.
…… 3分 …… 14分
又由“H”型图形的特征，得 解得
于是
亦即
2
…… 7分
（2）由（1）可得
所以数列 1,5,9,13,17存在“关联数列”,且其“关联数列”为 11，10，9，8，7.……4分
（2）因为数列 存在“关联数列” 所以
且
……6分
进而
从而 （3）① 因为
……10分
当
有
即当
存在“关联数列”:2049，1.
因此 的最小值为 2.
② 一方面，由（2）知：
于是
……12分
所以 另一方面，由数列
由于 所以
……6分
因
故当
……8分
此时
所以当
取最小值时，圆 D的方程为
（3）设
则
令
……10分
直线 AP的方程为 ……12分
同理，可得 因点 A,M 在在双曲线 C上，故
……14分 于是
3
因此
……16分
21.(本题满分 18分)本题共 3小题，第 1小题 4分，第 2小题 6分，第 3小题 8分. 解：（1）因为
于是
……8分
设面
的一个法向量为
则
取
设 故
所成的角为 则 所成角的大小为
1
……11分 …… 14分
18．（本题满分 14分）本题共 2小题，每小题 7分．
解：（1） 因当
2020上海高三数学二模汇编-解析几何含答案
解析几何一、直线1、【2020年闵行区二模第3题】若直线10ax by ++=的方向向量为(1,1)，则此直线的倾斜角为 【答案：4π】 2、【2020年黄浦区二模第4题】若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为 【答案： 6- 】3、【2020年金山区二模第13题】已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=，那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的( )． （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 【答案：B 】4、【2020年徐汇区二模第8题】已知直线(2)(1)30a x a y ++--=的方向向量是直线(1)(23)20a x a y -+++= 的法向量，则实数a 的值为 .【答案：11或- 】5、【2020年松江区二模第13题】若为坐标原点，是直线上的动点，则的最小值为（ ） (A)(B)(C)(D)【答案：B 】6、【2020年金山区二模第12题】设*n ∈N ，n a 为()(2)1nn x x +-+的展开式的各项系数之和，162m t =-+，，1222...333n n n a a na b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[x ]表示不超过实数x 的最大整数），则()22()n n t b m -+-的最小值为___________.O P 20-+=x y OP 2R t ∈【答案：95解析：赋值法，令1x =，∴32nnn a =-，∴(32)2[][][()]333n n nn n nna n n n -==-⋅， 可用计算器分析2()3n n ⋅单调性及范围，可知2()(0,1)3n n ⋅∈，∴[]13n n na n =-，∴(1)2n n n b -=，22()()n n t b m -+-的 几何意义为点(,)n n b 到点(,)t m 的距离的平方，如图所示， 当3n =时，点(3,3)到直线162y x =-+的距离最小， ∴min 22512d ==+，即2min95d =。
2020年度上海虹口区高三二模数学卷(含内容答案)
1A虹口区2017学年度第二学期期中教学质量监控测试高三数学试卷（时间120分钟，满分150分）2018.4一．填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）1．已知(,]A a=-∞，[1,2]B=，且A Bφ⋂≠，则实数a的范围是．2．直线(1)10ax a y+-+=与直线420x ay+-=互相平行，则实数a=．3．已知(0,)απ∈，3cos5α=-，则tan()4πα+=．4．长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α，β，γ，则222cos cos cosαβγ++=．5．已知函数20()210xx xf xx-⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，则11[(9)]f f---=．6．从集合{}1,1,2,3-随机取一个为m，从集合{}2,1,1,2--随机取一个为n，则方程221x ym n+=表示双曲线的概率为．7．已知数列{}n a是公比为q的等比数列，且2a，4a，3a成等差数列，则q=_______．8．若将函数6()f x x=表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x=+-+-+-++-则3a的值等于．9．如图，长方体1111ABCD AB C D-的边长11AB AA==，AD=，它的外接球是球O，则A，1A这两点的球面距离等于．10．椭圆的长轴长等于m，短轴长等于n，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为_______.11．[]x是不超过x的最大整数，则方程271(2)2044x x⎡⎤-⋅-=⎣⎦满足x<1的所有实数解是．12．函数()sinf x x=，对于123nx x x x<<<<且[]12,,,0,8nx x xπ∈（10n≥），记1223341()()()()()()()()n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-++-，则M 的最大值等于 ．二．选择题（每小题5分，满分20分） 13．下列函数是奇函数的是（ ）．14．在Rt ABC ∆中，AB AC =，点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运动且满足PC k BC =⋅，当PM PN ⋅取得最小值时，实数k 的值为（ ）15．直线:10l kx y k -++=与圆228x y+=交于A ，B 两点，且AB =过点A ，B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M ，N ，则MN 等于（ ）.A .B4 .C .D 816．已知数列{}n a 的首项1a a =，且04a <≤，14464n n n n n a a a a a +->⎧=⎨-≤⎩，n S 是此数列的前n 项和，则以下结论正确的是（ ）.A 不存在．．．a 和n 使得2015n S = .B 不存在．．．a 和n 使得2016n S = .C 不存在．．．a 和n 使得2017n S = .D 不存在．．．a 和n 使得2018n S =三．解答题（本大题满分76分）17．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.） 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，1AB AC ==,2BAC π∠=，高等于3，点1M ，2M ，1N ，2N 为所在线段的三等分点．（1）求此三棱柱的体积和三棱锥112A AM N -的体积； （2）求异面直线12A N ，1AM 所成的角的大小．18．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）已知ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，cos sin z A i A =+⋅（i 是虚数单位）是方程210z z -+=的根，3a =.（1）若4B π=，求边长c 的值；（2）求ABC ∆面积的最大值.P 2P 1C 1A N 2N 1x19．（本题满分14分.第（1）小题6分，第（2）小题8分.）平面内．．．的“向量列”{}n a ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=，则称此“向量列”为“等差向量列”，d 称为“公差向量”.平面内的“向量列”{}n b ，如果01 ≠b 且对于任意的正整数n ，均有1n n b q b +=⋅（0q ≠），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”. （1）如果“向量列”{}n a 是“等差向量列”，用1a 和“公差向量”d 表示12n a a a +++； （2）已知{}n a 是“等差向量列”，“公差向量”(3,0)d =，1(1,1)a =，(,)n n n a x y =；{}n b 是“等比向量列”，“公比”2q =，1(1,3)b =，(,)n n n b m k =.求1122n n a b a b a b ⋅+⋅++⋅．20．（本题满分16分.第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分.）如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”.已知椭圆22:12x C y +=，点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M 且是椭圆C 的“切线”. （1）证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线”方程是12mxny +=； （2）设A ，B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在坐标轴上，直线MA ，MB 分别交y 轴于点P ，Q ，过M 的椭圆C 的“切线”l 交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点；（3）点(,)M m n 不在x 轴上，记椭圆C 的两个焦点分别为1F 和2F ，判断过M 的椭圆C 的“切线”l 与直线1MF ，2MF 所成夹角是否相等？并说明理由．21．（本题满分18分.第（1）小题3分，第（2）小题7小题8分.）已知函数3()f x ax x a =+-（a R ∈，x R ∈），3()1xg x x =-（x R∈）. （1）如果x =x 的不等式()0f x ≤的解，求实数a 的取值范围；（2）判断()g x 在-(1,]2和[,1)2的单调性，并说明理由；（3）证明：函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q-=+++++成立的充要条件是3a ≥．虹口区2017学年度第二学期高三年级数学学科期中教学质量监控测试题答案一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）1、1a ≥；2、2；3、17-； 4、2； 5、2-； 6、12； 7、1或12-； 8、20； 9、3π； 10、12mn ； 11、1x =-或12x =； 12、16；二、选择题（每小题5分，满分20分）13、B ； 14、C ； 15、D ； 16、A ； 三、解答题（本大题满分76分） 17、（14分）解:（1） 12ABC S ∆=，∴ 11132ABC A B C V -= ……2分 1132AM A S ∆=，1C 到平面11ABB A 的距离等于1，即2N 到平面11ABB A 的距离等于1，∴ 112211131322A AM N N AM A V V --==⨯=∴ 三棱柱111ABC A B C - 的体积等于32（立方单位），三棱锥112A AM N -的体积等于12（立方单位）……………7分 （2）取线段1AA 的三等分点1P ，2P ，连12P M ，1PC . 12A N ∥1PC ，1AM ∥12P M ，∴ 21M PC ∠的大小等于异面直线12A N ，1AM 所成的角或其补角的大小.…………9分121PM AM ==1PC =，2M C = . ∴211cos 2M PC ∠==-.∴ 异面直线12A N ，1AM 所成的角的大小等于3π.………………14分 18、（14分）解：（1）210z z -+=的两个根为122z i =±.…………2分 P 2P 1C 1A N 2N 11cos 2A ∴=，sin 2A = ，3A π= .…………4分∴5sin sin124C π== ，sin sin c a C A=，得2c =……………7分 （2）2222cos a b c bc A =+-.∴2292b c bc bc bc bc =+-≥-=，从而9bc ≤，等号当b c =时成立，此时max 1sin 24S bc A ==.∴ABC ∆的面积的最大值等于4.……………14分 19、（14分）解：（1）设(,)n n n a x y =，12(,)d d d =.由1n n a a d +-=，得1112n n n n x x d y y d ++-=⎧⎨-=⎩，所以数列{}n x 是以1x 为首项，公差为1d 的等差数列；数列{}n y 是以1y 首项，公差为2d 的等差数列.……………………3分11(1)2na n n d =+-.………………6分（2）设(,)n n n a x y = ，(,)n n n b m k =.由11111(,)(,)(,)(3,0)n n n n n n n n n n a a x y x y x x y y +++++-=-=--=，从而13n n x x +-=，10n n y y +-=.数列{}n x 是以1为首项，公差为3的等差数列，从而32n x n =-.数列{}n y 是常数列，1n y =.由12n n b b +=得12n n m m +=，12n n k k +=，又11m =，13k =，∴数列{}n m 是以1为首项，公比为2的等比数列；数列{}n k 是以3为首项，公比为2的等比数列，从而有12n n m -=，132n n k -=⋅.……10分令211122114272(32)2n n n n S x m x m x m n -=+++=⨯+⨯+⨯++-⨯………①232124272(32)2n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯…………②.①-②得，23113(2222)(32)2n n n S n --=+++++--⋅，得5(35)2n n S n =+-⨯令11223(12)3(21)12n n n n n T y k y k y k ⋅-=+++==⋅--从而1122(32)22n n n n n a b a b a b S T n ⋅+⋅++⋅=+=-⋅+………………14分20、（16分解：（1）由点(,)M m n 在椭圆C 上，有2212m n +=，∴(,)M m n 在直线12mx ny +=上 当0n =时，由2212m n +=，得22m =，直线方程为2x m=，代入椭圆方程得22220m y m -==，得一个交点2,0)（m，直线l 是椭圆C 切线. 当0n ≠时，有2212m n +=，直线为12m y x n n =-+代入椭圆方程得221102x mx n -+-=，有222214(1)2202m n m n ∆=-⨯-=+-=，直线是椭圆C 切线.…………………4分另解：不讨论将椭圆方程化为222222n x n y n +=，将直线方程12mxny =-代入消y ，得到x 的一元二次方程，然后证明0∆= （2）点(,)M m n 不在坐标轴上，:AM y x =+，得(0,P.:BM y x =-，得(0,Q ……………………6分过点(,)M m n 的切线为:12mx l ny +=，得1(0,)D n .由2212m n +=，得2222m n -=-，从而有24222P Q D n y y y m n-+====-，∴点D 是线段PQ 的中点.…9分（3）(,)M m n ,:12mxl ny +=,l 的方向向量(2,)d n m =-，2212m n +=.1(1,0）F -，2(1,0）F ，1(1,)MF m n =---，2(1,)MF m n =--，记d 与1MF 的夹角α，d 与2MF 的夹角β.………12分11cos 4d MF d MFα⋅====22cos 4d MF d MF β⋅====，所以cos cos αβ=，有αβ=，从而有l 与直线1MF ，2MF 所成的夹角相等.……16分21、（18分）解：(1) 由3()()022a a -+--≤，得3a ≥ ………………3分（2）设21x x > ，212112212133332121()[1()]()()11(1)(1)x x x x x x x x g x g x x x x x -++-=-=----当x x -<<121 时，210x x -> ，3210x -> ，3110x ->121x x <，122x x -<+ 有12122()1x x x x -<+<-，121211()0x x x x -<++<，∴ 21()()0g x g x -<.………………6分当120x x <≤ 时，210x x -> ，3210x -> ，3110x ->，120x x ≤120x x +<，有12121()0x x x x -<+≤，121201()1x x x x <++≤，∴ 21()()0g x g x ->.当1201x x ≤<<时，210x x -> ，3210x -> ，3110x ->，x x x x ++>12121()0，∴ 21()()0g x g x ->. ∴ ()g x在(1,2-递减，在[0]2和[0,1)上递增，从而在[,1)2上递增.………10分 (3) 充分性：当3a ≥-时，有3(022222a f a a -=---=--≤，又(1)10f =>，函数3()f x ax x a =+-在[内的图像连续不断，故在[内一定存在零点q 且1q < ，∴有30aq q a +-=，得31q a q=-，从而4732n a q q q q -=+++++.……14分必要性：当0q =时，0a =. 当0q ≠时，由4732n a q q q q -=+++++成立，可得311q -<<从而得11q -<<，31qa q=-，由（2）中的结论可知3()1xg x x =-在(1,]2-递减，在[,1)2递增，从而，1()32g x ≤<-或()3g x ≥.从而31qa q =-，11q -<<时，有3a ≥-.………………18分。
2023-2024学年上海市高考数学质量检测模拟试题(二模)含答案
2023-2024学年上海市高考数学模拟试题（二模）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.若():1,2x α∈，[]:0,2x β∈，则α是β的______条件．【正确答案】充分非必要【分析】判断集合()1,2和[]0,2之间的关系，即可判断出答案.【详解】由于()1,2是[]0,2的真子集，故α是β的充分非必要条件，故充分非必要2.若34(sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数，则tan θ的值为__________．【正确答案】34-【详解】分析：由纯虚数的概念得305405sin cos θθ⎧-=⎪⎪⎨⎪-≠⎪⎩，结合221sin cos θθ+=可得解.详解：若34sin cos 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，则305405sin cos θθ⎧-=⎪⎪⎨⎪-≠⎪⎩，又由221sin cos θθ+=，可得34sin cos 55θθ==-.所以sin 3tan cos 4θθθ==-.故答案为34-.点睛：本题主要考查了纯虚数的概念及同角三角函数的基本关系，属于基础题.3.已知幂函数f（x）的图象经过点（2，4），则f（x）为______函数．（填奇偶性）【正确答案】偶【分析】根据幂函数的概念设出()f x 的解析式()f x x α=，然后代点求出α，再用函数奇偶性定义判断奇偶性．【详解】因为函数()f x 是幂函数，所以可设()f x x α=，又f（2）=4，即2a=4，解得a=2，∴()2f x x =，∴()()22()f x x x f x -=-==，∴f（x）为偶函数．故答案为偶．本题主要考查了幂函数的基本概念，以及利用定义法判定函数的奇偶性，其中解答中熟记幂函数的基本概念，熟练应用函数奇偶性的定义判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.若双曲线经过点，且渐近线方程是y ＝±13x ，则双曲线的方程是________．【正确答案】2219x y -=【分析】利用渐近线方程为13y x =±，设双曲线的方程是229x y λ-=，代入点即可求解【详解】根据渐近线方程为13y x =±，设双曲线的方程是229x y λ-=，因为双曲线过点，所以9219λ=-=，所以双曲线的方程为2219x y -=故2219x y -=5.已知命题：“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，给出下列四个命题：①M 的元素不都是P 的元素；②M 的元素都不是P 的元素；③M 中有P 的元素；④存在x M ∈，使得x P ∉；其中真命题的序号是________（将正确的序号都填上）.【正确答案】①④【分析】从命题的否定入手．【详解】命题：“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，则命题：“非空集合M 的元素不都是集合P 的元素”是真命题，说明集合M 中至少有一个元素不属于集合P ，或者M 中就没有集合P 中的元素，因此②③错误，①④正确．故答案为①④．本题考查真假命题的理解，对一个假命题，可从反面入手，即它的否定为真命题入手，理解起来较方便．6.一个袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，用X 表示取出的3个球中最大编号，则()E X =______．【正确答案】4.5【分析】求出X 可能取值和概率，再根据()E X 公式进行计算即可.【详解】从中任取3个球，共有()123，，，()124，，，()125，，，()134，，，()135，，，()145，，，()234，，，()235，，，()245，，，()345，，10中情况，所以X 可能取值为345，，，()1310P X ==，()3410==P X ，()635105===P X ，所以()1339345101052E X =⨯+⨯+⨯=.故答案为.4.57.函数tan()42y x ππ=-的部分图象如图所示，则()OA OB AB +⋅= ____.【正确答案】6【详解】试题分析：由图可知(2,0)A ，(3,1)B ，∴()(5,1)(1,1)6OA OB AB +⋅=⋅=.考点：正切型函数的图象与平面向量的数量积运算.【方法点睛】本题主要考查了正切型函数的图象与平面向量的数量积运算，属于中档题.本题解答的关键观察图象发现,A B 分别是函数tan(42y x ππ=-y 轴右侧的第一个零点和函数值为1的点，即可求得,A B 的坐标，进而求得向量(),OA OB AB +的坐标，根据平面向量数量积的坐标运算即可求得答案.8.如果一个球的外切圆锥的高是这个球半径的3倍，那么圆锥侧面积和球的表面积的比值为______．【正确答案】32【分析】设球的半径为r ，则圆锥的高为3r ，取圆锥的轴截面ABC ，其中A 为圆锥的顶点，设球心为O ，作出图形，分析可知ABC 为等边三角形，求出AB ，利用圆锥的侧面积公式以及球体的表面积公式可求得结果.【详解】设球的半径为r ，则圆锥的高为3r ，取圆锥的轴截面ABC ，其中A 为圆锥的顶点，设球心为O，如下图所示：设圆O 分别切AB 、AC 于点E 、D ，则D 为BC 的中点，由题意可得OD OE r ==，3AD r =，则322AO AD OD r r r OE =-=-==，又因为OE AB ⊥，所以，π6BAD ∠=，同理可得π6CAD ∠=，所以，π3BAC ∠=，又因为AB AC =，故ABC为等边三角形，故πsin 32AD AB ===，所以，圆锥的侧面积为2ππ6πAB BD r ⨯⨯=⨯=，因此，圆锥侧面积和球的表面积的比值为226π34π2r r =.故答案为.329.已知某产品的一类部件由供应商A 和B 提供，占比分别为110和910，供应商A 提供的该部件的良品率为910，供应商B 提供的该部件的良品率为710．若发现某件部件不是良品，那么这个部件来自供应商B 的概率为______（用分数作答）【正确答案】2728【分析】利用全概率公式，条件概率公式求解即可.【详解】设“某件部件不是良品”为事件A ，“这个部件来自供应商B ”为事件B ，()11932810101010100P A =⨯+⨯= ，()93271010100P AB =⨯=，()()()2728P AB P B A P A ∴==.故272810.已知()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，函数()y f x =，x ∈R 的最小正周期为π，将()y f x =的图像向左平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的值是______．【正确答案】π8##1π8【分析】由周期求出ω，即可求出()f x 的解析式，再根据三角函数的变换规则得到平移后的解析式，最后根据对称性得到ϕ的值.【详解】 ()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，函数()y f x =的最小正周期为2ππT ω==，2ω∴=，π()sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．将()y f x =的图像向左平移ϕ个单位长度，可得πsin 224y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，根据所得图像关于y 轴对称，可得ππ2π42k ϕ+=+，Z k ∈，解得ππ28k ϕ=+，Z k ∈，又π02ϕ<<，则令0k =，可得ϕ的值为π8．故π8．11.如图，椭圆的中心在原点，长轴1AA 在x 轴上．以A 、1A 为焦点的双曲线交椭圆于C 、D 、1D 、1C 四点，且112CD AA =．椭圆的一条弦AC 交双曲线于E ，设AE EC λ=，当2334λ≤≤时，双曲线的离心率的取值范围为______．710e ≤≤【分析】由题意设()()1,0,,0A c A c -，则可设,,,22c c D h C h ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据向量的共线求得E 点坐标，代入双曲线的方程22221x y a b-=，结合离心率化简可得2221e e λλ+=-，求出λ的表达式，结合条件可列不等式，即可求得答案.【详解】设()()1,0,,0A c A c -，则设,,,22c c D h C h ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(其中c 为双曲线的半焦距，h 为C .D 到x 轴的距离)，AE EC λ=，则AE EC λ∴= ，即(,)()2,E E E E x c y h x cy λ--+=，()()˙22,1211E E c c c y h x λλλλλλ-+-∴===+++，即E 点坐标为()()2,211c h λλλλ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，设双曲线的方程为22221x y a b -=，将c a e =代入方程，得222221e x y c b-=①，将(,)2c C h ，E ()()2,211c h λλλλ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭代入①式，整理得2˙2222222()121,(1441e h e h b b λλλλ--=-+=+，消去22h b ，得2221e e λλ+=-，所以22213122e e e λ-==-++，由于2334λ≤≤.所以22331324e ≤-≤+，故2710,710e e ≤≤≤≤710e ≤≤12.将关于x 的方程()2sin 2π1x t +=（t 为实常数，01t <<）在区间[)0,∞+上的解从小到大依次记为12,,,,n x x x ，设数列{}n x 的前n 项和为n T ，若20100πT ≤，则t 的取值范围是______．【正确答案】1150,,626⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【分析】先根据三角函数的周期性得出12,x x 满足的关系，然后再根据12,x x 的对称性可得结果.【详解】由()2sin 2π1x t +=得()1sin 2π2x t +=，则方程()2sin 2π1x t +=的解即为函数()sin 2πy x t =+图象与直线12y =交点的横坐标，因为函数()sin 2πy x t =+的周期为πT =，所以135,,x x x 是以x 1为首项，π为公差的等差数列，246,,,x x x 是以x 2为首项，π为公差的等差数列，所以201234201210()90π100πT x x x x x x x =+++++=++≤ ，所以12πx x +≤，令π2π=π()2x t k k ++∈Z 得πππ=242k t x +-，因为[)0,x ∈+∞，所以[)2ππ,x t t +∈+∞，由函数()sin 2πy x t =+图象的对称性知，x 1与2x 对应的点关于函数()sin 2πy x t =+图象的某条对称轴对称，因为01t <<，所以当π0π6t <≤，即106t <≤时，可知x 1与2x 对应的点关于直线ππ=42t x -对称，此时满足12πx x +≤成立；当π5ππ66t <≤，即1566t <≤时，可知x 1与2x 对应的点关于直线3ππ=42t x -对称，此时由123πππ2x x t +=-≤得12t ≥，所以1526t ≤≤；当5πππ6t <<，即516t <<时，可知x 1与2x 对应的点关于直线5ππ=42t x -对称，此时不满足12πx x +≤；综上，106t <≤或1526t ≤≤.故答案为.1150,,626⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦思路点睛：涉及同一函数的不同自变量值对应函数值相等问题，可以转化为直线与函数图象交点横坐标问题，结合函数图象性质求解.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13，14题每题4分，第15，16题每题5分）13.设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【详解】试题分析：运用两直线平行的充要条件得出l 1与l 2平行时a 的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．解：∵当a=1时，直线l 1：x+2y ﹣1=0与直线l 2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．14.已知平面α，β，直线l ，若αβ，l αβ⋂=，则A.垂直于平面β的平面一定平行于平面αB.垂直于直线l 的直线一定垂直于平面αC.垂直于平面β的平面一定平行于直线lD.垂直于直线l 的平面一定与平面α,β都垂直【正确答案】D【详解】选D.由α⊥β，α∩β＝l ，知：垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A 不正确；垂直于直线l 的直线若在平面β内，则一定垂直于平面α，否则不一定，故B 不正确；垂直于平面β的平面与l 的关系有l ⊂β，l ∥β，l 与β相交，故C 不正确；由平面垂直的判定定理知：垂直于直线l 的平面一定与平面α，β都垂直，故D 正确．15.已知抛物线()220y px p =>上一点()()1,0M m m >到其焦点的距离为5，双曲线2221xy a-=的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为（）A.13B.14C.19D.12【正确答案】A 【分析】由152p+=得抛物线方程，M 在抛物线上求得M 坐标，再根据双曲线一条渐近线与直线AM 平行可得答案.【详解】根据题意，抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)(0)M m m >到其焦点的距离为5，则点M 到抛物线的准线2px =-的距离也为5，即152p +=，解得8p =，所以抛物线的方程为216y x =，则216m =，所以4m =，即M 的坐标为14（，），又双曲线2221x y a-=的左顶点(),0A a -，一条渐近线为1y x a =，而41AM k a =+，由双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则有411a a =+，解得13a =.故选：A16.已知函数()y f x =是定义域在R 上的奇函数，且当0x >时，()()()230.02f x x x =--+，则关于()y f x =在R 上零点的说法正确的是（）A.有4个零点，其中只有一个零点在()3,2--内B.有4个零点，其中只有一个零点在()3,2--内，两个在()2,3内C.有5个零点，都不在()0,2内D.有5个零点，其中只有一个零点在()0,2内，一个在()3,+∞【正确答案】C【分析】解法一：先研究0x >时，零点的情况，根据()()23y x x =--零点的情况，以及函数图象的平移，即可得出0x >时零点的个数.然后根据奇函数的对称性以及特性，即可得出答案；解法二：求解方程()0f x =，也可以得出0x >时零点的个数.然后根据奇函数的对称性以及特性，即可得出答案.【详解】解法一：根据对称性可以分三种情况研究(1)0x >的情况，()f x 是把抛物线()()23y x x =--与x 轴交点为()()2,0,3,0向上平移了0.02，则与x 轴交点变至()2,3之间了，所以在()2,3之间有两个零点；(2)当0x <时，()()()230.02f x x x =-++-，根据对称性()3,2--之间也有两个零点(3)()f x 是定义在R 上的奇函数，故()00f =，所以有五个零点.解法二：(1)直接解方程()()230.020x x --+=的两根也可以得两根为52x =，都在()2,3之间；(2)当0x <时，()()()230.02f x x x =-++-，根据对称性()3,2--之间也有两个零点(3)()f x 是定义在R 上的奇函数，故()00f =，所以有五个零点.故选：C.方法点睛：先求出0x >时，零点的情况.然后根据奇函数的性质，即可得出答案.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17.2020年全面建成小康社会取得伟大历史成就，决战脱贫攻坚取得决定性胜利．某市积极探索区域特色经济，引导商家利用多媒体的优势，对本地特产进行广告宣传，取得了社会效益和经济效益的双丰收，某商家统计了7个月的月广告投入x （单位：万元）与月销量y （单位：万件）的数据如表所示：月广告投入x /万元1234567月销量y /万件28323545495260（1）已知可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明，并求y 关于x 的线性回归方程；（2）根据（1）的结论，预计月广告投入大于多少万元时，月销量能突破70万件．（本题结果均按四舍五入精确到小数点后两位）【正确答案】（1）0.99r =，线性相关程度相当高；75151ˆ147yx =+.（2）当月公告投入大于9.04万元时，月销售量能突破70万件.【分析】（1）利用相关系数的公式求得r 的值，得出相关性相当高，再求得ˆb和ˆa 的值，即可求得回归直线的方程；（2）结合（1）中的回归方程，根据题意列出不等式，即可求解.【小问1详解】解：由表格中的数据，可得1(1234567)47x =⨯++++++=，1(28323545495270)437y =⨯++++++=，77722111()28,()820,()()150i i i i i i x x y y x x y y ===-=-=--=∑∑∑，可相关系数为7()0.99i x x y y r --==∑，所以y 与x 的线性相关程度相当高，从而用线性回归模型能够很好地拟合y 与x 的关系，又由71721()()7514(i i i i x x y y r x x ==--==-∑∑，可得75151ˆˆ434147a y bx =-=-⨯=，所以y 关于x 的线性回归方程为75151ˆ147y x =+.【小问2详解】解：要使得月销售量突破70万件，则7515170147x +>，解得2269.0425x >≈，所以当月公告投入大于9.04万元时，月销售量能突破70万件.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，90,ACB PA ∠=⊥平面,1,ABCD PA BC AB F ===是BC 的中点.（1）求证:DA ⊥平面PAC ；（2）试在线段PD 上确定一点G ,使//CG 平面PAF ,并求三棱锥A CDG -的体积.【正确答案】（1）证明见解析；（2）112.【分析】（1）因为四边形ABCD 是平行四边形，所以90ACB DAC ∠=∠= ，所以DA AC ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，则,PA DA ⊥又AC PA A ⋂=，故DA ⊥平面PAC .（2）取PD 的中点为G ，构造平行四边形，可证得//CG 平面PAF .此时，高为PA 的一半，所以体积为1111111332212A CDG G ACD ACD V V S h --∆∴==⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=.【小问1详解】因为四边形ABCD 是平行四边形，90,,ACB DAC DA AC PA ∴∠=∠=∴⊥⊥ 平面ABCD ,DA ⊂平面ABCD ，,PA DA ∴⊥又,AC PA A DA =∴⊥ 平面PAC ，【小问2详解】设PD 的中点为G ，连接,AG CG ，在平面PAD 内作GH PA ⊥于点H ,则//GH AD ，且12GH AD =,由已知可得////FC AD GH ,且12FC AD GH ==,连接FH ，则四边形FCGH 为平行四边形，//,GC FH FH ∴⊂ 平面,PAF CG ⊄平面PAF ,//CG ∴平面PAF ,G ∴为PD 的中点时,//CG 平面PAF ,设S 为AD 的中点,连接GS ,则//GS PA ,且11,22GS PA PA ==⊥ 平面ABCD ,GS ∴⊥平面ABCD ,11111··11332212A CDG G ACD ACD V V S GS --∴===⨯⨯⨯⨯= .19.甲、乙两地相距1004千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过120千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以1元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （千米/小时）的立方成正比，比例系数为2，固定部分为a 元()0a >．（1）把全部运输成本y 元表示为速度v （千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？【正确答案】（1）(]()2100420,120a y v v v ⎛⎫=+∈⎪⎝⎭（2）答案见解析【分析】（1）求出汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间，根据货车每小时的运输成本可变部分和固定部分组成，可求得全程运输成本以及函数的定义域；（2）对210042a y v v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求导，分两种情况讨论单调性，从而可求得最小成本时对应的速度.【小问1详解】由题意得，每小时运输成本为()32a v +,全程行驶时间为1004v 小时，所以全部运输成本(]()3210042001004(2),12a y v v v a v v ⎛⎫+⎪=∈+ ⎝=⎭；【小问2详解】由（1）知210042a y v v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求导得3224100441004a v a y v v v -⎛⎫'=-+=⨯ ⎪⎝⎭，令30,40y v a '=-=，解得v =，120<，即304120a <<⨯时，0v <<，200,1042a y v y v ⎛⎫=+ ⎪⎝<⎭'递减；120v <≤，200,1042a y v y v ⎛⎫=+ ⎪⎝>⎭'递增，此时，当v =，y 有最小值；120≥，即34120a ≥⨯时，0120v <≤，200,1042a y v y v ⎛⎫=+ ⎪⎝<⎭'递减；此时，当120v =，y 有最小值.综上，为了使全部运输成本最小，当304120a <<⨯时，汽车应以v =千米/小时行驶；当34120a ≥⨯时，汽车应以120v =千米/小时行驶.20.已知A B 、是平面内的两个定点，且8AB =，动点M 到A 点的距离是10，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，若以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系.（1）试求P 点的轨迹C 的方程;（2）直线()40R mx y m m --=∈与点P 所在曲线C 交于弦EF ，当m 变化时，试求AEF △的面积的最大值.【正确答案】（1）221259x y +=（2）15【分析】（1）根据几何关系将距离转化为10PA PB +=，结合椭圆定义即可求解；（2）先判断直线过定点且斜率不能为0，则三角形的底为定值，即求三角形的高12y y -的最大值，联立直线与椭圆方程，将斜率转化为三角形式，结合三角公式化简，用基本不等式求解即可.【小问1详解】以AB 为x 轴，AB 中垂线为y 轴，则()()4,0,4,0A B -，由题意得，108PA PB PA PM AB +=+==＞，所以P 点的轨迹是以,A B 为左右焦点，长轴长为10的椭圆，设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c ，所以22221028a c a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得534a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以P 点的轨迹C 的方程为221259x y +=【小问2详解】由40mx y m --=得()4y m x =-过定点()4,0B ，显然0m ≠，联立()224,1259y m x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得2297225810,Δ0y y m m ⎛⎫++-=> ⎪⎝⎭恒成立.所以12227272925925m m y y m m +=-=-++，212228181925259m y y m m =-=-++，所以12y y -===因为m 为直线斜率，所以令tan ,tan 0,m θθ=≠所以22122290tan 90tan 125tan 925tan 9sin y y θθθθθ-==⋅++2222290sin 190sin 19015.99cos 25sin sin 916sin sin 416sin sin θθθθθθθθθ=⋅=⋅=≤=+++当且仅当916sin ,sin θθ=即3sin ,4θ=时1215,4max y y -=()115815.24AEF max S =⨯⨯=△思路点睛：圆锥曲线的面积最值问题多采用直线与圆锥曲线联立方程组，运用韦达定理结合基本不等式计算的方法，本题为简化计算，还可以采用三角换元，将直线斜率与三角函数巧妙联系从而更快求解。
2020年度上海虹口区高三二模数学卷(含内容答案)
虹口区 2017 学年度第二学期期中教学质量监控测试
高三数学 试卷
（时间 120 分钟，满分 150 分） 一．填空题（1～6 题每小题 4 分，7～12 题每小题 5 分，本大题满分 54 分）
1．已知 A (,a] ， B [1, 2] ，且 A B ，则实数 a 的范围是
的垂线与 y 轴交于点 M ， N ，则 MN 等于（ ）
A. 2 2
B. 4
C. 4 2
D. 8
16．已知数列 an
的首项
a1
a
，且
0
a
4
，
an1
an 4 6 an
an an
4 4
，
Sn
是此数列的前 n
项和，
则以下结论正确的是（ ）
A. 不．存．在．a 和 n 使得 Sn 2015
B. 不．存．在．a 和 n 使得 Sn 2016
“等比向量列”，“公比” q 2 ， b1 (1, 3) ， bn (mn, kn) .求 a1 b1 a2 b2 an bn ．
20．（本题满分 16 分.第（1）小题 4 分，第（2）小题 5 分，第（3）小题 7 分.）
如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”.已知椭圆 C : x2 y2 1，点 M (m, n) 是 2
8．若将函数 f (x) x6 表示成 f (x) a0 a1(x 1) a2(x 1)2 a3(x 1)3 a6(x 1)6 则 a3 的值等
于
．
A1
9 ． 如 图 ， 长 方 体 ABCD A1B1C1D1 的 边 长 AB AA1 1 ，
2020虹口区高考二模答案
2020虹⼝区⾼考⼆模答案虹⼝区2019学年度第⼆学期学⽣学习能⼒诊断测试⾼三数学参考答案和评分标准2020年5⽉⼀、填空题（本⼤题满分54分）第1-6题，每空填对得4分;第7-12题，每空填对得5分. 1．2．3.4．5．26.17.8．9.1610．11．12.⼆选择题（本⼤题满分分13.B14.A15.D16.C三、解答题（本⼤题共5题，满分76分）17．(本题满分14分)本题共2个⼩题，第1⼩题6分，第2⼩题8分.证：(1)因的中点，故从⽽……2分⼜故……4分由得……6分解：（2）以为原点，直线分别为轴,建⽴空间直⾓坐标系，如图所⽰.则由已知条件，得相关点的坐标为于是……8分设⾯的⼀个法向量为则取……11分设所成的⾓为则故所成⾓的⼤⼩为……14分18．（本题满分14分）本题共2⼩题，每⼩题7分．解：（1）因当时，故于是此时函数既不是偶函数，也不是奇函数.……3分当时，即故此时函数是奇函数.……6分（2）因是奇函数，故由（1）知，从⽽由不等式得……8分令故由于函数单调递增，所以……12分因此，当不等式上恒成⽴时，……14分19．(本题满分14分)本题共2⼩题，每⼩题7分.解：（1）过点作交则的中点,从⽽记横向矩形为如图所⽰.由条件，可得⼜由“H”型图形的特征，得亦即解得于是……7分（2）由（1）可得……10分所以当取得最⼤值时，，即.于是，的最⼤值为.……14分20．（本题满分16分）本题共3⼩题，第1⼩题4分，第2⼩题6分，第3⼩题6分.解：（1）由条件知：双曲线C的左焦点为于是故双曲线C的⽅程为：……4分（2）易知点A,B关于轴对称，设则由点A在双曲线C上，得由于……6分所以因故当……8分此时所以当取最⼩值时，圆D的⽅程为……10分（3）设则直线AP的⽅程为……12分令同理，可得……14分因点A,P在在双曲线C上，故于是因此……16分21.(本题满分18分)本题共3⼩题，第1⼩题4分，第2⼩题6分，第3⼩题8分.解：（1）因为所以数列1存在“数列”“关联数列”“关联数列”……6分进⽽从⽽……10分（3）①因为当有即当存在“关联数列”②⼀⽅⾯，由（2）知：于是所以……14分另⼀⽅⾯，由数列存在“关联数列”所以是2048的正约数，取即取3,5,9,17，33,65, (2049)综合上述，的最⼤值可能为33.……16分当时，可取有符合条件.因此的最⼤值为33.……18分4。
2020年上海市虹口区中考数学二模试卷-解析版
2020年上海市虹口区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列各数中，无理数是()A. 2−1B. √16C.237D. 2π2.直线y=−x+1不经过()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.如果关于x的方程x2−4x+m=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围为()A. m≤4B. m<4C. m≥4D. m>44.如图为某队员射击10次的成绩统计图，该队员射击成绩的众数与中位数分别是()A. 8，7.5B. 8，7C. 7，7.5D. 7，75.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是()A. ∠ABC=90°B. AC=BDC. OA=OBD. OA=AB6.已知在ABC中，小明按照下列作图步骤进行尺规作图(示意图与作图步骤如表)，那么交点O是△ABC的()示意图作图步骤(1)分别以点B、C为圆心，大于12BC长为半径作圆弧，两弧分别交于点M、N，联结MN交BC于点D；(2)分别以点A、C为圆心，大于12AC长为半径作圆弧，两弧分别交于点P、Q，联结PQ交AC于点E；(3)联结AD、BE，相交于点O外心内切圆的圆心重心中心二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.(a2)3=______．8.化简：√(1−√3)2=______．9.方程√2−x=1的解为______．10. 函数y =√x+1x的定义域为______． 11. 如果抛物线y =(k −1)x 2+9在y 轴左侧的部分是上升的，那么k 的取值范围是______．12. 从一副52张没有大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，抽到梅花的概率是______．13. 某中学为了解初三学生的视力情况，对全体初三学生的视力进行了检测，将所得数据整理后画出频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右第一、二、三、五小组的频率分别为0.05，0.1，0.25，0.1，如果第四小组的频数是180人，那么该校初三共有______位学生．14. 某公司市场营销部的个人月收入y(元)与其每月的销售量x(件)成一次函数关系，其图象如图所示，根据图中给出的信息可知，当营销人员的月销售量为0件时，他的月收入是______元．15. 如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB =BD =BC ，如果∠C =50°，那么∠ABD 的度数是______．16. 如图，在△ABC 中，AD 为边BC 上的中线，DE//AB ，已知ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么用a ⃗ ，b ⃗ 表示AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______．17. 如图，在正方形ABCD 中，AB =10，点E 在正方形内部，且AE ⊥BE ，cot∠BAE =2，如果以E 为圆心，r 为半径的⊙E 与以CD为直径的圆相交，那么r 的取值范围为______．18. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点D 、E 分别是边BC 、AB上一点，DE//AC ，BD =5√2，把△BDE 绕着点B 旋转得到△BD′E′(点D 、E 分别与点D′，E′对应)，如果点A ，D′、E′在同一直线上，那么AE′的长为______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19. 先化简，再求值：(1−1x−1)÷x 2−4x+4x 2−1，其中x =√5+2．20. 解不等式组：{6(23x −2)<x −3①1−x 2−2≤x②并把解集在数轴上表示出来．21. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =kx +3与x ，y 轴分别交于点A 、B ，与双曲线y =mx 交于点C(a,6)，已知△AOB 的面积为3，求直线与双曲线的表达式．22.如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边OM上的点A处，另一端B在边ON上滑动，图2为某一位置从上往下看的平面图，测得∠ABO为37°，∠AOB 为45°，OB长为35厘米，求AB的长(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)23.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边BC上，联结AD，以AD为一边作△ADE，满足AD=AE，∠DAE=∠BAC，联结EC．(1)求证：CA平分∠DCE；(2)如果AB2=BD⋅BC，求证：四边形ABDE是平行四边形．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A(−1,0)和点B(3,0)，该抛物线对称轴上的点P在x轴上方，线段PB绕着点P逆时针旋转90°至PC(点B对应点C)，点C恰好落在抛物线上．(1)求抛物线的表达式并写出抛物线的对称轴；(2)求点P的坐标；(3)点Q在抛物线上，联结AC，如果∠QAC=∠ABC，求点Q的坐标．25.如图1，在梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，cosC=3，DC=5，BC=6，5以点B为圆心，BD为半径作圆弧，分别交边CD、BC于点E、F．(1)求sin∠BDC的值；(2)联结BE，设点G为射线DB上一动点，如果△ADG相似于△BEC，求DG的长；(3)如图2，点P、Q分别为边AD、BC上动点，将扇形DBF沿着直线PQ折叠，折叠后的弧D′F′经过点B与AB上的一点H(点D、F分别对应点D′，F′)，设BH=x，BQ=y，求y关于x的函数关系式(不需要写定义域)．答案和解析1.【答案】D，是分数，属于有理数；【解析】解：A.2−1=12B.√16=4是整数，属于有理数；C.23是分数，属于有理数；7D.2π是无理数；故选：D．根据有理数的分类和无理数的概念求解可得．本题主要考查无理数，解题的关键是了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如π是无理数，因为π是无理数．22.【答案】C【解析】解：∵直线y=−x+1中，k=−1<0，b=1>0，∴直线的图象经过第一，二，四象限．∴不经过第三象限，故选：C．由k=−1<0，b=1>0，即可判断出图象经过的象限．本题考查了一次函数的图象的性质，一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k>0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；②当k>0，b<0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；③当k<0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；④当k<0，b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．3.【答案】B【解析】解：根据题意知△=(−4)2−4m>0，解得m<4，故选：B．由方程有两个不相等的实数根得出△=(−4)2−4m>0，解之可得．本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac 有如下关系：①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△<0时，方程无实数根．4.【答案】A【解析】解：由折线图知，这10个数据分别为3、4、6、7、7、8、8、8、9、10，=7.5，所以这组数据的众数为8，中位数为7+82故选：A．先根据折线图将这10个数据从小到大排列，再根据众数和中位数的概念求解可得．本题主要考查众数和中位数，将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．5.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OA=OB，故A、B、C正确，故错误的是D，故选：D．利用排除法解决问题即可，只要证明A、B、C正确即可．本题考查矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质解决问题，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：由尺规作图可知，MN、PQ分别是线段BC、AC的垂直平分线，∴点D、E分别是BC、AC的中点，∴AD、BE是△ABC的中线，∴点O是△ABC的重心，故选：C．根据尺规作图得到AD、BE是△ABC的中线，根据重心的概念判断即可．本题考查的是尺规作图、三角形的重心的概念，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解题的关键．7.【答案】a6【解析】解：原式=a6．故答案为a6．直接根据幂的乘方法则运算即可．本题考查了幂的乘方与积的乘法：(a m)n=a mn(m,n是正整数)；(ab)n=a n b n(n是正整数)．8.【答案】√3−1【解析】解：因为√3>1，所以√(1−√3)2=√3−1故答案为：√3−1．根据二次根式的性质，算术平方根的值必须是正数，所以开方所得结果是|1−√3|，然后再去绝对值．本题主要考查二次根式的化简，其中必须符合二次根式的性质．9.【答案】x=1【解析】解：方程两边平方，得：2−x=1，解得：x=1．经检验：x=1是方程的解．故答案是：x=1．方程两边平方即可去掉绝对值符号，解方程求得x的值，然后把x的值代入进行检验即可．本题考查了无理方程的解法，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法．10.【答案】x ≥−1且x ≠0【解析】解：由题意得，x +1≥0，x ≠0，解得，x ≥−1且x ≠0，故答案为：x ≥−1且x ≠0．根据二次根式被开方数是非负数、分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式被开方数是非负数、分式的分母不为0是解题的关键．11.【答案】k <1【解析】解：∵抛物线y =(k −1)x 2+9在y 轴左侧的部分是上升的，∴抛物线开口向下，∴k −1<0，解得k <1．故答案为：k <1．利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，则k −1<0，然后解不等式即可． 本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a >0时，抛物线开口向上；当a <0时，抛物线开口向下．12.【答案】14【解析】解：任意抽取一张牌，抽到梅花的概率=1352=14．故答案为14．直接利用概率公式计算．本题考查了概率公式：随机事件A 的概率P(A)=事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．13.【答案】360【解析】解：∵图中从左到右第一、二、三、五小组的频率分别为0.05，0.1，0.25，0.1， ∴第四小组的频率为1−(0.05+0.1+0.25+0.1)=0.5，又∵第四小组的频数是180人，∴该校初三学生人数为180÷0.5=360(位)，故答案为：360．先根据频率之和为1求出第四组的频率，再结合第四组的频数，利用总数=频数÷频率求解可得．本题主要考查频数(率)分布直方图，解题的关键是掌握频率之和为1、总数=频数÷频率． 14.【答案】3000【解析】解：设y 与x 的函数关系式为y =kx +b ，{100k +b =8000200k +b =13000， 解得，{k =50b =3000， 即y 与x 的函数关系式为y =50x +3000，当x =0时，y =3000，即当营销人员的月销售量为0件时，他的月收入是3000元，故答案为：3000．根据函数图象中的数据，可以求得y 与x 的函数关系式，然后令x =0，求出相应的y 的值，即可解答本题．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．15.【答案】20°【解析】解：∵BD =BC ，∴∠BDC =∠C =50°，∴∠DBC =180°−2∠C =80°，∵AD//BC ，∴∠BDA =∠DBC =80°，∵AB =BD ，∴∠A =∠BDA =80°，∴∠ABD =180°−2∠A =20°．故答案为：20°．根据题意可得三角形BDC 和三角形ABD 是等腰三角形，再根据AD//BC ，可得∠BDA =∠DBC ，再根据三角形内角和即可求出∠ABD 的度数．本题考查了梯形，解决本题的关键是掌握梯形的性质．16.【答案】2a⃗ +12b ⃗ 【解析】解：∵AD 是中线，∴BD =DC ，∵DE//AB ，∴AE =EC ，∴AB//DE ，AB =2DE ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ ，∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12b ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +12b ⃗ ， 故答案为：2a ⃗ +12b ⃗ ． 利用三角形法则可知：AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可解决问题． 本题考查平面向量，三角形法则，平行线等分线段定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17.【答案】3√5−5<r <3√5+5【解析】解：设AB 的中点为G ，连接EG ，延长BE 交CD 于H ，∵AE ⊥BE ，∴∠AEB =90°，∴EG =12AB =5，∵在正方形ABCD 中，∠C =∠ABC =90°，∴∠BAE+∠ABE=∠ABE+∠CBH=90°，∴∠CBH=∠BAE，∴cot∠BAE=cot∠CBH=BCCH=2，∴CH=12BC=12CD=5，∴点H是以CD为直径的圆的圆心，设BE=k，AE=2k，∴AB=√5k=10，∴k=2√5，∴BE=2√5，∵∠C=90°，BC=10，CH=5，∴BH=√102−52=5√5，∴EH=BH−BE=3√5，∵r为半径的⊙E与以CD为直径的圆相交，∴r的取值范围为3√5−5<r<3√5+5，故答案为：3√5−5<r<3√5+5．设AB的中点为G，连接EG，延长BE交CD于H，根据直角三角形的性质得到EG=1 2AB=5，根据三角函数的定义得到CH=12BC=12CD=5，推出点H是以CD为直径的圆的圆心，设BE=k，AE=2k，得到BE=2√5，根据勾股定理得到BH=√102−52= 5√5，求得EH=BH−BE=3√5，于是得到结论．本题主要考查圆与圆的位置关系，解题的关键是掌握圆周角定理、圆心角定理、三角形中位线定理、勾股定理、矩形的性质及圆与圆的位置关系等知识点．18.【答案】35√24或5√24【解析】解：如图1中，当点D′在线段AE′上时，在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=√AC2+BC2=√62+82=10，∵DE//AC，∴△BDE∽△BCA，∴DEAC =BDBC，∴DE6=5√28，∴DE=15√24，∵∠AD′B=90°，∴AD′=√AB2−D′B2=√102−(5√2)2=5√2，∴AE′=AD′+D′E′=5√2+15√24=35√24，如图2中，当E′在线段AD′上时，同法可得AE′=AD′−D′E′=5√2−15√24=5√24综上所述，满足条件的AE′的长为35√24或5√24．故答案为35√24或5√24．分两种情形分别求解：如图1中，当点D′在线段AE′上时，解直角三角形求出AD′，D′E′即可．如图2中，当E′在线段AD′上时，同法可得．本题考查旋转变换，解直角三角形，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．19.【答案】解：原式=(x−1x−1−1x−1)÷(x−2)2(x+1)(x−1)=x−2x−1⋅(x+1)(x−1)(x−2)2=x+1x−2，当x=√5+2时，原式=√5+2+1√5+2−2=√5√5=5+3√55．【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．20.【答案】解：解不等式①，得：x<3，解不等式②，得：x≥−1，则不等式组的解集为−1≤x<3，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21.【答案】解：当x=0时，y=kx+3=3，则B(0,3)，∵△AOB的面积为3，∴1×3×OA=3，解得OA=2，2∴A点坐标为(2,0)，，把A(2,0)代入y=kx+3得2k+3=0，解得k=−32x+3，∴一次函数解析式为y=−32a+3=6，解得a=−2，把C(a,6)代入得−32∴C点坐标为(−2,6)，得m=−2×6=−12，把C(−2,6)代入y=mx∴反比例函数解析式为y=−12．x【解析】先利用一次函数解析式确定B点坐标，再利用三角形面积公式求出OA得到A 点坐标为(2,0)，接着把A点坐标代入y=kx+3中求出k得到一次函数解析式为y= x+3，然后利用一次函数解析式确定C点坐标，最后利用待定系数法求反比例函数−32解析式．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．22.【答案】解：作AC⊥OB于点C，如右图2所示，则∠ACO=∠ACB=90°，∵∠AOC=45°，∴∠AOC=∠COA=45°，∴AC=OC，设AC=x，则OC=x，BC=35−x，∵∠ABC=37°，tan37°≈0.75，∴x=0.75，35−x解得，x=15，∴35−x=20，∴AB=√152+202=25(厘米)，即AB 的长为25厘米．【解析】作AC ⊥OB 于点C ，然后根据题意和锐角三角函数可以求得AC 和BC 的长，再根据勾股定理即可得到AB 的长，本题得以解决．本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答． 23.【答案】(1)证明：∵AB =AC ，∴∠B =∠ACB ，∵∠DAE =∠BAC ，∴∠BAC −∠DAC =∠DAE −∠DAC ，即∠BAD =∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，{AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠B =∠ACE ，∴∠ACB =∠ACE ，∴CA 平分∠DCE ；(2)证明：∵AB 2=BD ⋅BC ，∴AB BC =BD AB ，又∠B =∠B ，∴△ABD∽△CBA ，∴∠BAD =∠ACB ，∵△ABD≌△ACE ，∴∠BAD =∠CAE ，∴∠CAE =∠ACB ，∴AE//BD ，∵AB =AC ，AD =AE ，∠DAE =∠BAC ，∴∠ACB =∠ADE ，∴∠BAD =∠ADE ，∴AB//DE ，∵AE//BD ，AB//DE ，∴四边形ABDE 是平行四边形．【解析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠B =∠ACB ，证明△ABD≌△ACE ，根据全等三角形的性质得到∠B =∠ACE ，根据角平分线的定义证明结论；(2)根据相似三角形的判定定理得到△ABD∽△CBA ，得到∠BAD =∠ACB ，分别证明AE//BD ，AB//DE ，根据平行四边形的判定定理证明．本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定，掌握等腰三角形的性质、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24.【答案】解：(1)将点A 、B 坐标代入抛物线表达式得：{a −b +3=09a +3b +3=0，解得：{a =−1b =2， 故抛物线的表达式为：y =−x 2+2x +3①；函数的对称轴为：x =1；(2)设点C(m,n)，则n =−m 2+2m +3，点P(1,s)，如图1，设抛物线对称轴交x 轴于点N ，过点C 作CM ⊥PN 交抛物线对称轴于点M ，∵∠PBN+∠BPN=90°，∠BPN+∠MPC=90°，∴∠MPC=∠PBN，∵∠PMC=∠BNP=90°，PB=PC，∴△PMC≌△BNP(AAS)，∴PM=BN，MC=PN，∴{m−1=sn−s=2n=−m2+2m+3，解得：{m=2n=3s=1，故点C(2,3)，点P(1,1)；故点P的坐标为(1,1)；(3)设直线AC交y轴于点G，直线AQ交y轴于点H，由(2)知，点C(2,3)，而点A(−1,0)，过点C作CK⊥x轴于点K，则CK=AK=3，故直线AC的倾斜角为45°，故∠AGO=∠GAO=45°，∴tan∠ABC=CKBK=33−2=3∵∠QAC=∠ABC，∴tan∠QAC=3；在△AGH中，过点H作HM⊥AG于点M，设MH=3x，∵∠AGO=45°，则GO=AO=1，∴MG=MH=3x，∵tan∠QAC=3，则AM=x，AG=AM+GM=x+3x=√(−1)2+12=√2，解得：x=√24，在△AHM中，AH=√AM2+MH2=√10x=√52，在△AOH 中，OH =√AH 2−OA 2=12，故点H(0,−12)，由点A 、H 的坐标得，直线AH 的表达式为：y =−12x −12②，联立①②并解得：x =−1(舍去)或72，故点Q 的坐标为：(72,−94).【解析】(1)将点A 、B 坐标代入抛物线表达式，即可求解；(2)证明△PMC≌△BNP(AAS)，则PM =BN ，MC =PN ，即可求解；(3)设MH =3x ，用x 表示AM 、GM ，利用AG =AM +GM =√2，求出x 的值；在△AOH中，OH =√AH 2−OA 2，求得点H 的坐标，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、三角形全等、解直角三角形等，本题的难点是用解三角形的方法求点H 的坐标． 25.【答案】解：(1)如图1中，连接BE ，过点D 作DK ⊥BC 于K ，过点B 作BJ ⊥CD 于J ．在Rt △CDK 中，∵∠DKC =90°，CD =5，cos∠C =CK CD =35，∴CK =3，∵BC =6，∴BK =CK =3，∵AD//BC ，∠ABC =90°，∴∠A =90°∵DK ⊥BC ，∴∠A =∠ABC =∠DKB =90°，∴四边形ABKD 是矩形，∴AD =BK =3，∴DB =DC =5，DK =√CD 2−CK 2=√52−32=4，∵S △DCB =12⋅BC ⋅DK =12⋅CD ⋅BJ ，∴BJ =245，∴DJ =√BD 2−BJ 2=√52−(245)2=75，∵BD =BE ，BJ ⊥DE ，∴DJ =JE =75，∴EC =CD −DJ =JE =5−145=115，∴sin∠BDC=BJBD =2455=2425．(2)如图2中，∵AD//BC，∴∠ADG=∠DBC，∵DB=DC，∴∠DBC=∠C，∴∠ADG=∠C，∵△ADG相似△BEC，∴有两种情形：当△ADG∽△BCE时，∴ADBC =DGEC，∴36=DG115，∴DG=1110，当△ADG∽△ECB时，AD EC =DGBC，3 11 5=DG6，∴DG=9011．(3)如图3中，过点B作BJ⊥PQ交DF⏜于J，连接BJ，JH，JQ，过点J作JG⊥BH于G，过点Q作QK⊥JH于K．由题意：QB=QJ=y，BJ=BD=5，∵JB=JH，JG⊥BH，∴BG=GH=12x，∴JG=√BJ2−BG2=√25−14x2，∵∠GBQ=∠BGK=∠QKG=90°，∴四边形BGKQ是矩形，∴BQ=GK=y，QK=GB=12x，在Rt△QKJ中，∵JQ2=QK2+KJ2，∴y2=14x2+(√25−14x2−y)2，∴y=25√100−x2100−x2．【解析】(1)如图1中，连接BE，过点D作DK⊥BC于K，过点B作BJ⊥CD于J.想办法求出BJ，BD即可解决问题．(2)分两种情形分别求解：①当△ADG∽△BCE时．②当△ADG∽△ECB时，分别利用相似三角形的性质求解即可．(3)如图3中，过点B作BJ⊥PQ交DF⏜于J，连接BJ，JH，JQ，过点J作JG⊥BH于G，过点Q作QK⊥JH于K.由题意BQ=QJ=y，求出QK，KJ，在Rt△QKJ中，利用勾股定理即可解决问题．本题属于圆综合题，考查了直角梯形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．。
2020届上海市虹口高三二模数学试卷
虹口区2019学年度第二学期学生学习能力诊断测试高三数学试卷考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟。
2.本考试分设试卷和答题纸。
作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分。
一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每空填对得4分：第7-12题，每空填对得5分.请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内.1.函数()3cos21f x x =+的最小值为 .2.函数()f x =的定义域为 . 3.设全集UR =，若{}23A x x =-≥，则U C A = .4.3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加志愿者服务活动，则周六没有同学参加活动的概率为 .5.已知函数()g x 的图像与函数()2()log 31x f x =-的图像关于直线y x =对称，则(3)g = .6.设复数cos sin i ziαα=（i为虚数单位），若z =tan2α= .7.若52ax ⎛+ ⎝的展开式中的常数项为52-，则实数a 的值为 . 8.设ABC∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若8,30b c A ︒===，则sin C = .9.已知点(3,2)A -，点P 满足线性约束条件201024x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，设O 为坐标原点，则OA OP ⋅u u u r u u u r 的最大值为 .10.已知12,F F是椭圆222:1(3x y C a a +=>的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为60︒的直线与椭圆C 的一个交点为M ，若1212MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r，则椭圆C 的长轴长为 .11.已知球O 是三棱锥P ABC -的外接球，2,PA AB BC CA PB =====点D 为BC的中点，且PD =O 的体积为 .12.已知函数51,1()8,11x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪+⎩ ，若方程(())f f x a =恰有5个不同的实数根，则实数a 的取值范围为 .二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分。
2020上海高三数学二模汇编-集合与不等式-含答案
第一部分 集合与不等式一、集合运算1、【2020年浦东新区二模第1题】设全集{0,1,2}U =，集合{0,1}A =，则u C A = . 【答案：{}2】2、【2020年青浦区二模第1题】已知全集U =R ，集合(,2)A =-∞，则集合UA =__________．【答案：[)2,+∞】3、【2020年徐汇区二模第1题】已知{1,2,3,4,5},{1,3,5}U A == ，则U C A = . 【答案：{}2,4 】4、【2020年杨浦区二模第1题】设集合{}1,2,3,4,A =集合{}1,3,5,7,B =则A B ⋂= . 【答案：{}1,3】5、【2020年长宁区二模第1题】已知集合]1,2(-=A ，),0(+∞=B ，则=B A _______________． 【答案：]1,0(】6、【2020年嘉定区二模第1题】 已知集合{2,4,6,8}A =，{1,2,3}B =，则A B =【答案： {2}】7、【2020年闵行区二模第1题】设集合{}1,3,5,7A =，{}47,B x x =≤≤则A B = ．【答案： {5,7}】8、【2020年松江区二模第1题】若集合，，则= ．【答案：{2,4} 】9、【2020年金山区二模第1题】集合{}|0<3A x x =<，{}2B x x =<，则A B ⋂= . 【答案： 02（，）】{2,4,6,8}=A 2{|40}=-≤B x x x A B10、【2020年崇明区二模第2题】设集合{|12}A x x =-≤≤，{|04}B x x =≤≤，则A B =【答案： [0,2]】11、【2020年黄浦区二模第1题】若集合{1,2,3,4,5}A =，2{|60}B x x x =--<，则A B =【答案： {1,2}】12、【2020年虹口区二模第3题】设全集R U =，若{||2|3}A x x =-≥，则UA =【答案：(1,5)- 】13、【2020年奉贤区二模第10题】集合22{|0}24x x A x -=≤-，{|||2}B x x a =-≤，若A B =∅，则实数a 的取值范围是【答案：(,1)[4,)-∞-+∞ 】14、【2020年松江区二模第11题】已知集合，元素称为集合的特征元素．对于中的元素与，定义：．当时，若是集合中的非特征元素，则的概率为 ． 【答案：1873解析：由题意，99129129(1)1111f a a a a a a a ⊗=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=++⋅⋅⋅+=，1i a =或1-， ∵a 是集合9A 中的非特征元素，∴总的情况为921511-=. 其中1a 、2a 、⋅⋅⋅、9a 中有4个1-，∴概率为49511C =1873。
2020-2021学年上海市高考数学二模试卷2及答案解析
上海市高考数学二模试卷一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知集合A={x|x＞﹣1，x∈R}，集合B={x|x＜2，x∈R}，则A∩B= ．2．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i为虚数单位），则|z|= ．3．函数f（x）=的最小正周期是．4．已知双曲线﹣=1（a＞0）的一条渐近线方程为y=2x，则a= ．5．若圆柱的侧面展开图是边长为4cm的正方形，则圆柱的体积为cm3（结果精确到0.1cm3）6．已知x，y满足，则z=2x+y的最大值是．7．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的交点个数是．8．已知函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（）= ．9．设f（x）=1+x+（1+x）2+…+（1+x）n（x≠0，n∈N*）的展开式中x项的系数为T n，则= ．10．生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p= ．11．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为．12．对于给定的实数k＞0，函数f（x）=的图象上总存在点C，使得以C为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为1，则k的取值范围是．二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）13．设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞1且b＞3”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件14．如图，P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1中AC1与BD1的交点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）A．①②③④B．①③C．①④D．②④15．如图，AB为圆O的直径且AB=4，C为圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（+）•的最小值是（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣116．设x1，x2，…，x10为1，2，…，10的一个排列，则满足对任意正整数m，n，且1≤m＜n≤10，都有x m+m≤x n+n成立的不同排列的个数为（）A．512 B．256 C．255 D．64三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。