【课件】12.4分式方程
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12.4分式方程
一化二解三检验
例
x 1 4 2 1 解方程 x 1 x 1
解：方程两边都乘以 (x+1) ( x – 1 ) , 约去分母，得
( x + 1 )2－4 = x2－1
解这个整式方程，得 x=1
经检验得： x = 1 是增根 ∴原方程无解.
归纳解分式方程的步骤
x 3 -1= . 例1 解方程 x-1 （x-1） （x+ 2）
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.
x2 x (1) 2 3
4 3 7 x y
整式方程
1 3 (2) x2 x
x( x 1) (4) 1 x
(3)
3 x
x 1 x 2x 10 （6） 5 2
1 （5）x 2 x
2x 1 3x 1 x
（x-1） （x+ 2），得 解：方程两边同乘 （ x x+ 2）（ - x-1） （x+ 2） =3. 化简，得 x+ 2=3. 解得 x =1. 检验： x =1不是原分式方程的解，所以，原分式 方程无解.
y4 y 例 解方程： 2 1 y y 1 y y4 y 1 解： 原方程可化为 y ( y 1) y 1
整理得:(k+1)x=4k
因为方程无解,则x=3或x=-3 当x=3时,(k+1) · 3=4k,k=3, 当x=-3时,(k+1)(-3)=4k, k=
3 7
3 k= 所以当k=3或 7 时,原分式方程无解.
解含字母系数的分式方程
a +b=1 （b 1） . 例2 解关于x 的方程 x -a 解：方程两边同乘 x-a，得 a+（ b x-a）= x-a . 去括号，得 a+bx-ab= x-a. 移项、合并同类项，得 x =ab- 2a. （b-1 ） ∵ b 1， ab- 2a 检验：当 x= 时，x-a 0， ∴ b-1 b-1 0， ab- 2a ab- 2a 所以，x= 是原分式方程的解． ． ∴ x= b-1 b-1
12.4分式方程课件 2021—2022不牢冀教版八年级数学上册
第十二章 分式和分式方程
12.4 分式方程
知识回顾
想一想：学过哪些方程？如何解？
方程
一元一次方程
消元
二元一次方程组
消元
三元一次方程组
解一元一次方程的步骤
整式方程
去分母； 去括号； 移项； 合并同类项；
系数化为1。
情景导入
我家距离学校38km,我每天先乘公 共汽车，再步行2km到校，共用时 间1h,公共汽车的速度是我的9倍， 你能算出我步行的速度吗？
解：方程两边同乘9x,得 一
36+18=9x
定
解得 ,x=6
要
经检验：x=6 是原分式 检
方程的解.
验
整式方程（一元一次方程）
例2.下面是小华解方程 x 1 x 3 1 的过程：
x 1 1 x
解：方程两边同乘 x－1，得 x＋1＝－(x－3)＋(x－1).
解这个整式方程，得 x＝1
你认为x＝1是方程 x 1 x 3 1 的解吗？为什么?
哦...... 我要想 一想...
我们来帮一帮小明吧 （1）题目中的数量关系有哪些？
①乘公共汽车的时间+步行时间=1 ②公共汽车的速度=9×步行速度
（2）设未知数，列出方程. 时间 时间
设小红步行的速度为 x km/h,可得方程
38 2 2 1 9x x
速度
速度
设小红步行的时间为 x h,可得方程
一化二解三检验
1.通过去分母，将分式方程转化为整式方程.
2.解这个整式方程.
3.将整式方程的根代入最简公分母中检验，
①当分母的值不为0时，则整式方程的根是原分式方程的根；
②当分母的值为0时，则整式方程的根是原分式方程的增根，分式方程无解 .
12.4 分式方程
知识回顾
想一想：学过哪些方程？如何解？
方程
一元一次方程
消元
二元一次方程组
消元
三元一次方程组
解一元一次方程的步骤
整式方程
去分母； 去括号； 移项； 合并同类项；
系数化为1。
情景导入
我家距离学校38km,我每天先乘公 共汽车，再步行2km到校，共用时 间1h,公共汽车的速度是我的9倍， 你能算出我步行的速度吗？
解：方程两边同乘9x,得 一
36+18=9x
定
解得 ,x=6
要
经检验：x=6 是原分式 检
方程的解.
验
整式方程（一元一次方程）
例2.下面是小华解方程 x 1 x 3 1 的过程：
x 1 1 x
解：方程两边同乘 x－1，得 x＋1＝－(x－3)＋(x－1).
解这个整式方程，得 x＝1
你认为x＝1是方程 x 1 x 3 1 的解吗？为什么?
哦...... 我要想 一想...
我们来帮一帮小明吧 （1）题目中的数量关系有哪些？
①乘公共汽车的时间+步行时间=1 ②公共汽车的速度=9×步行速度
（2）设未知数，列出方程. 时间 时间
设小红步行的速度为 x km/h,可得方程
38 2 2 1 9x x
速度
速度
设小红步行的时间为 x h,可得方程
一化二解三检验
1.通过去分母，将分式方程转化为整式方程.
2.解这个整式方程.
3.将整式方程的根代入最简公分母中检验，
①当分母的值不为0时，则整式方程的根是原分式方程的根；
②当分母的值为0时，则整式方程的根是原分式方程的增根，分式方程无解 .
河北专版2022秋八年级数学上册第12章分式和分式方程12.4分式方程课件新版冀教版20220929
18．如图，已知点 A，B 在数轴上，它们所表示的数分别是－4 和3xx＋－25，且它们关于原点对称．求 x 的值．
7．对于非零有理数 a，b，规定 a⊗b＝1b－1a.若 2⊗(2x－1)＝1， 则 x 的值为( A ) A．56 B．54 C．32 D．－16
8．解分式方程检验时，将整式方程的解代入最__简__公__分__母__，如果 最__简__公__分__母__的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解； 否则，这个解不是原分式方程的解．
第十二章 分式和分式方程
第4节 分式方程
提示：点击 进入习题
1 未知数；方程；分母 2C
3D
4
(1)最简公分母；整式 (2)整式 (3)验根
5C
6C
答案显示
7A
8
最简公分母；最简 公分母
9B
10 D
提示：点击 进入习题
11 B 12 0；整式方程；整式方
程；最简公分母 13 1 14 －1习题 18 见习题 19 见习题
答案显示
1．分母中含有_未__知__数___的方程叫做分式方程．分式方程的识别 标准：一是_方__程___，二是__分__母__中含有未知数．
2．下列关于 x 的方程中，不．是．分式方程的是( C )
A．1a－ax＝1b＋bx C．x＋mn－2＝x－2 m
13．(2019·四川巴中)若关于 x 的分式方程x－x 2＋22－mx＝2m 有增 根，则 m 的值为___1_____．
【点拨】方程两边都乘 x－2，得 x－2m＝2m(x－2)， 整理得 x－2mx＋2m＝0. ∵原方程有增根，∴x－2＝0，解得 x＝2. 将 x＝2 代入 x－2mx＋2m＝0，得 2－4m＋2m＝0，解得 m＝1.
12.4分式方程
解：方程两边同乘最简公分母（x-5）（x+5），得：
x+5=10 解得： x=5
检验：将x=5代入x-5、x2-25的值都为0，相应 分式无意义。所以x=5不是原分式方程的解。 ∴原分式方程无解。
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程 的过程中出现的不适合于原方程的根. ········· 使最简公分母为零的根
方程的解
方程的解
X=a
2 3 例1 解方程 x3 x
例2 解方程
x -1 3 = (x-1)(x+2) x-1
练习：解方程
1 2 1. 2x x 3
x 2x 2. 1 x 1 3 3x
你认为解分式方程时容易犯的错误 有哪些？
你认为解分式方程时容易犯的错误 有哪些？
12.4分式方程（1）
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,
它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与
以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水
的流速为多少?
解:设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
100 60 20 v 20 v
思考：所列方程和 以前学过的方程有 什么不同？
(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘． (2)约去分母后，分子是多项式时， 没 有注意添括号．(因分数线有括号的作用）
(3)增根不舍掉。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的 解与分式方程的解相同.
1 x-5
=
10 x2-25
两边同乘(x+5)(x-5) 当x=5时, (x+5)(x-5)=0
x+5=10
分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的 解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式 方程的解.
x+5=10 解得： x=5
检验：将x=5代入x-5、x2-25的值都为0，相应 分式无意义。所以x=5不是原分式方程的解。 ∴原分式方程无解。
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程 的过程中出现的不适合于原方程的根. ········· 使最简公分母为零的根
方程的解
方程的解
X=a
2 3 例1 解方程 x3 x
例2 解方程
x -1 3 = (x-1)(x+2) x-1
练习：解方程
1 2 1. 2x x 3
x 2x 2. 1 x 1 3 3x
你认为解分式方程时容易犯的错误 有哪些？
你认为解分式方程时容易犯的错误 有哪些？
12.4分式方程（1）
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,
它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与
以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水
的流速为多少?
解:设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
100 60 20 v 20 v
思考：所列方程和 以前学过的方程有 什么不同？
(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘． (2)约去分母后，分子是多项式时， 没 有注意添括号．(因分数线有括号的作用）
(3)增根不舍掉。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的 解与分式方程的解相同.
1 x-5
=
10 x2-25
两边同乘(x+5)(x-5) 当x=5时, (x+5)(x-5)=0
x+5=10
分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的 解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式 方程的解.
第十二章 分式和分式方程6.12.4 分式方程
分式方程的解，所以原分式方程无解.
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15
12.4 分式方程
■考点3
返回目录
分式方程的增根
/
考
点
6. 例题变式 教材 P19，例 1 改编 下列关于分式方程增根的说法正确的
集
训 是 （ D ）
夯
A. 使所有的分母的值都为零的解是增根
实
基
B. 分式方程的解为零就是增根
+
合
检 法：甲：若方程的解是负数，则 a＜1；乙：当 a＞1 时，方程的解是正数．关于
测
甲、乙两人的说法，正确的是 （ C ）
巩
固
A． 甲、乙都对
排
B． 只有甲对
查
C． 只有乙对
D． 甲、乙都错
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12.4 分式方程
13. 代数式
+
与代数式
−
的值相等，则 x= ________.
巩
固
（2）当点 A 到原点的距离比 B 到原点的距离多 3，求 x 的值．
排
查
1−
2
−3
−1.5
解：（1）根据题意，得
（2）根据题意，得
2
2−
2−
-
-
−1
2−
−2
=
，当 x=1.5 时，AB=
−2
−0.5
=3；
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分式方程的增根
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考
点
6. 例题变式 教材 P19，例 1 改编 下列关于分式方程增根的说法正确的
集
训 是 （ D ）
夯
A. 使所有的分母的值都为零的解是增根
实
基
B. 分式方程的解为零就是增根
+
合
检 法：甲：若方程的解是负数，则 a＜1；乙：当 a＞1 时，方程的解是正数．关于
测
甲、乙两人的说法，正确的是 （ C ）
巩
固
A． 甲、乙都对
排
B． 只有甲对
查
C． 只有乙对
D． 甲、乙都错
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13. 代数式
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与代数式
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的值相等，则 x= ________.
巩
固
（2）当点 A 到原点的距离比 B 到原点的距离多 3，求 x 的值．
排
查
1−
2
−3
−1.5
解：（1）根据题意，得
（2）根据题意，得
2
2−
2−
-
-
−1
2−
−2
=
，当 x=1.5 时，AB=
−2
−0.5
=3；