2001年全国硕士研究生入学统一考试(数二)试题及答案
2001年全国硕士研究生人学统一考试
数学二试题
一、填空题(本题共5小题，每小题3分．满分l5分把答案填在题中横线上)
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分l5分．每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)
三、(本题满分6分)
四、(本题满分7分)
五、(本题满分7分)
六、(本题满分7分)
七、(本题满分7分)
八、(本题满分9分)
九、(本题满分7分)
十、(本题满分8分)
十一、(本题满分6分)
其中E是3阶单位阵，求X．
十二、(本题满分6分)
础解系
参考答案
一、 填空题
1．
2．
3．
4．
5．
二、 选择题
1．
2．
3．
应选（C）。
4．
5．
三、
四、
五、
六、
七、
八、
九、
十、
十一、
十二、
考研数二历年真题(2017-2002)
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1））若函数10(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ） (A)12ab =(B)12ab =-(C)0ab =(D)2ab =【答案】A【解析】00112lim lim ,()2x x xf x ax a++→→==在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒=选A. （2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且''()0f x >，则（ ）()()1111011110()()0()0()()()()()A f x dx B f x dx C f x dx f x dxD f x dx f x dx----><><⎰⎰⎰⎰⎰⎰【答案】B 【解析】()f x 为偶函数时满足题设条件，此时011()()f x dx f x dx -=⎰⎰，排除C,D.取2()21f x x =-满足条件，则()112112()2103f x dx xdx --=-=-<⎰⎰，选B.（3）设数列{}n x 收敛，则（ ）()A 当limsin 0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞= ()B当lim(0n n x →∞+=时，lim 0n n x →∞=()C 当2lim()0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞= ()D 当lim(sin )0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞=【答案】D【解析】特值法：（A ）取n x π=，有limsin 0,lim n n n n x x π→∞→∞==，A 错；取1n x =-，排除B,C.所以选D.（4）微分方程的特解可设为 （A ）22(cos 2sin 2)xx Ae e B x C x ++ （B ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ （C ）22(cos 2sin 2)xx Aexe B x C x ++ （D ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++【答案】A【解析】特征方程为：21,248022i λλλ-+=⇒=±222*2*212()(1cos 2)cos 2,(cos 2sin 2),x x x x x f x e x e e x y Ae y xe B x C x =+=+∴==+ 故特解为：***2212(cos 2sin 2),x xy y y Ae xe B x C x =+=++选C.（5）设(,)f x y 具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y ，都有(,)(,)0,0f x y f x y x y∂∂>>∂∂，则 （A ）(0,0)(1,1)f f > （B ）(0,0)(1,1)f f < （C ）(0,1)(1,0)f f > （D ）(0,1)(1,0)f f < 【答案】C 【解析】(,)(,)0,0,(,)f x y f x y f x y x y∂∂><⇒∂∂是关于x 的单调递增函数，是关于y 的单调递减函数， 所以有(0,1)(1,1)(1,0)f f f <<，故答案选D.（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）()s（A ）010t =（B ）01520t <<（C ）025t =（D ）025t >【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=⎰，当025t =时满足，故选C.（7）设A 为三阶矩阵，123(,,)P ααα=为可逆矩阵，使得1012P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则123(,,)A ααα=（ ） （A ）12αα+ （B ）232αα+ （C ）23αα+ （D ）122αα+【答案】 B【解析】11231232300011(,,)(,,)12222P AP AP P A αααααααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⇒=⇒==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,因此B 正确。
01真题二答案
2001年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．）（1）213lim 21-++--→x x x x x ＝______． （2）设函数y ＝f （x ）由方程e 2x ＋y －cos （xy ）＝e －1所确定，则曲线y ＝f （x ）在点（0，1）处的法线方程为______．（3）x x x x d cos )sin (22π2π23⎰-+＝_______．（4）过点)0,21(且满足关系式11in arcs 2=-+'xy x y 的曲线方程为______． （5）设方程⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡211111111321x x x a a a 有无穷多个解，则α＝______． 二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）（1）设⎩⎨⎧>≤=,1||,0,1||,1)(x x x f 则f {f [f （x ）]}等于（ ） （A ）0． （B ）1．（C ）⎩⎨⎧>≤.1||,0,1||,1x x （D ）⎩⎨⎧>≤.1||,1,1||,0x x（2）设当x →0时，（1－cos x ）ln （1＋x 2）是比x sin x n 高阶的无穷小，x sin x n 是比)1e (2-x 高阶的无穷小，则正整数n 等于（ ）（A ）1． （B ）2． （C ）3． （D ）4．（3）曲线y ＝（x －1）2（x －3）2的拐点个数为（ ）（A ）0． （B ）1． （C ）2． （D ）3．（4）已知函数f （x ）在区间（1－δ，1＋δ）内具有二阶导数，f ′（x ）严格单调减少，且f（1）＝f ′（1）＝1，则（ ）（A ）在（1－δ，1）和（1，1＋δ）内均有f （x ）＜x ．（B ）在（1－δ，1）和（1，1＋δ）内均有f （x ）＞x ．（C ）在（1－δ，1）内，f （x ）＜x ，在（1，1＋δ）内，f （x ）＞x ．（D ）在（1－δ，1）内，f （x ）＞x ，在（1，1＋δ）内，f （x ）＜x ．（5）已知函数y ＝f （x ）在其定义域内可导，它的图形如右图所示，则其导函数y ＝f ′（x ）的图形为（ ）三、（本题满分6分） 求⋅++⎰1)12(d 22x x x四、（本题满分7分） 求极限x t xx t xt sin sin )sin sin (lim -→，记此极限为f （x ），求函数f （x ）的间断点并指出其类型． 五、（本题满分7分）设ρ＝ρ（x ）是抛物线x y =上任一点M （x ，y ）（x ≥1）处的曲率半径，s ＝s （x ）是该抛物线上介于点A （1，1）与M 之间的弧长，计算222)d d (d d 3ss ρρρ-的值．（在直角坐标系下曲率公式为))1(||232'+"=y y K六、（本题满分7分）设函数f （x ）在[0，＋∞）上可导，f （0）＝0，且其反函数为g （x ）．,e d )(2)(0x xf x t tg =⎰若求f （x ）．七、（本题满分7分） 设函数f （x ），g （x ）满足)(e 2)(),()(x f x g x g x f x -='='，且f （0）＝0，g （0）＝2，求.d ))1()(1)((π02x x x f x x g ⎰+-+ 八、（本题满分9分）设L 是一条平面曲线，其上任意一点P （x ，y ）（x ＞0）到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距，且L 经过点).0,21( （1）试求曲线L 的方程；（2）求L 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小．九、（本题满分7分）一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S 成正比，比例常数K ＞0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r 0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的87，问雪堆全部融化需要多少小时？ 十、（本题满分8分）设f （x ）在区间[－a ，a ]（α＞0）上具有二阶连续导数，f （0）＝0，（1）写出f （x ）的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；（2）证明在[－α，a ]上至少存在一点η，使.d )(3)(3x x f f a aa ⎰-="η 十一、（本题满分6分）已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=011101110,11011001B A i ，且矩阵X 满足AXA ＋BXB ＝AXB ＋BXA ＋E ，其中E 是3阶单位阵，求X ．十二、（本题满分6分）已知α1，α2，α3，α4是线性方程组A x ＝0的一个基础解系，若β1＝α1＋t α2，β2＝α2＋t α3，β3＝α3＋t α4，β4＝α4＋t α1，讨论实数t 满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也是Ax ＝0的一个基础解系．。
2001考研数学一真题及答案解析
x
则 y f (x) 的图形为
(2)设 f (x, y) 在点 (0, 0) 附近有定义,且 f x(0,0) 3, f y(0,0) 1,则 (A) dz |(0,0) 3dx dy . (B) 曲面 z f (x, y) 在 (0, 0, f (0, 0)) 处的法向量为{3,1,1}.
(5) 设 随 机 变 量 X 的 方 差 是 2 , 则 根 据 切 比 雪 夫 不 等 式 有 估 计
P{ X E( X ) 2}
y
_____________.
二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)
O
(1)设函数 f (x) 在定义域内可导, y f (x) 的图形如右图所示,
九、(本题满分 6 分)
设1, 2 ,, s 为线性方程组 Ax 0 的一个基础解系, 1 t11 t22 , 2 t12 t23, ,
s t1s t21 ,其中 t1, t2 为实常数.试问 t1, t2 满足什么条件时, 1, 2 ,, s 也为 Ax 0 的一个
(2)设 r x 2 y 2 z 2 ,则 div(gradr) (1,2,2) =_____________.
(3)交换二次积分的积分次序:
0
dy
1y f (x, y)dx ＝_____________.
1
2
(4)设矩阵 A 满足 A2 A 4E 0 ,其中 E 为单位矩阵,则 ( A E)1 =_____________.
(2)
lim
x0
(x)
1 2
.
八、(本题满分 8 分)
设有一高度为
全国硕士研究生入学统一考试数学二试题真题完整版
全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则'(0)f =（ ）（A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n -（3）设0,(1,2,...)n a n >=，1...n n s a a =++，则数列{}n s 有界是数列{}n a 收敛的（ ） (A)充分必要条件. (B)充分非必要条件.（C ）必要非充分条件. （D ）即非充分地非必要条件.（4）设2sin k x k I e xdx π=⎰ (k=1,2,3),则有（ ）（A ）123I I I <<(B)321I I I << (C)231I I I <<(D)213I I I <<（5）设函数(,)f x y 可微，且对任意,x y 都 有(,)0f x y x∂>∂，(,)0f x y y∂<∂，则使得1122(,)(,)f x y f x y <成立的一个充分条件是（ ）(A) 1212,x x y y ><(B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y <<(D) 1212,x x y y <>（6）设区域D 由曲线,1,2,sin =±==y x x y π围成，则())(15⎰⎰=-dxdy y xππ--)(2)(2)()(D C B A（7）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ）（A ）123,,ααα （B ）124,,ααα（C ）134,,ααα （D ）234,,ααα（8）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1112P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()123,,P ααα=，()1223,,Q αααα=+则1Q AQ -=（ ）（A ）121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）112⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ （C ）212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）221⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则202x d ydx== .(10) 22222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭ .(11) 设1ln ,z f x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭其中函数()f u 可微，则2z z x y xy ∂∂+=∂∂ . (12) 微分方程()2d 3d 0y x x y y +-=满足条件11x y==的解为y = .(13) 曲线()20y x x x =+<上曲率为2的点的坐标是 . (14) 设A 为3阶矩阵，=3A ，*A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，则*BA = .三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分)已知函数()11sin x f x x x+=-，记()0lim x a f x →=，(I)求a 的值;(II)若0x →时，()f x a -与kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.(16)(本题满分 10 分)求函数()222,x y f x y xe+-=的极值.(17)(本题满分12分)过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分 10 分)计算二重积分d Dxy σ⎰⎰，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=,(I) 求()f x 的表达式;(II) 求曲线220()()d xy f x f t t =-⎰的拐点.(20)(本题满分10分)证明21ln cos 112x x x x x ++≥+-,(11)x -<<. (21)(本题满分10 分)(I)证明方程1x x x ++=n n-1+()1n >的整数，在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限.(22)(本题满分11 分)设100010001001a a A a a⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，1100β⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(I) 计算行列式A ；(II) 当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解. (23)(本题满分11 分)已知1010111001A a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，二次型()()123,,T T f x x x x A A x =的秩为2， (I) 求实数a 的值；(II) 求正交变换x Qy =将f 化为标准形.2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：（C ）【解析】：221lim 1x x xx →+=∞-，所以1x =为垂直渐近线 22lim 11x x xx →∞+=-，所以1y =为水平渐近线，没有斜渐近线，总共两条渐近线，选（C ）。
全国硕士研究生入学统一考试法律硕士联考专业基础真题2001年_真题-无答案
全国硕士研究生入学统一考试法律硕士联考专业基础真题2001年(总分98,考试时间90分钟)民法学一、单项选择题(备选答案中只有一项是符合题目要求的)1. 公民因意外事故下落不明，从事故发生之日起满______，才能符合宣告死亡的条件。
A. 1年B. 2年C. 3年D. 4年2. 民事行为的有效条件包括______。
A. 行为人具有完全民事行为能力B. 行为人有意思表示C. 行为内容不违法D. 行为的形式为书面形式3. 最长诉讼时效可以适用______的规定。
A. 中止B. 中断C. 延长D. 中止、中断和延长4. 所有权的继受取得方式包括______。
A. 添附B. 买卖C. 拾得遗失物D. 善意取得5. 善意取得制度适用于______。
A. 不动产B. 枪支弹药C. 毒品D. 货币6. 一方委托他方从事研究所完成的发明创造，在协议未作约定时，其专利申请权归______享有。
A. 委托方B. 受委托方C. 双方共同D. 专利主管机关指定的人7. 计算机软件著作权的保护期为______。
A. 25年B. 50年C. 作者终生及死后50年D. 不受限制8. 商标权的有效期为10年，自______起计算。
A. 商标使用之日B. 商标注册申请之日C. 商标核准注册之日D. 公告之日9. 毋须两个以上的见证人在场见证的遗嘱形式为______。
A. 代书遗嘱B. 录音遗嘱C. 口头遗嘱D. 自书遗嘱10. 正当理由是一般侵权民事责任的抗辩事由之一，包括______。
A. 自助行为B. 不可抗力C. 意外事件D. 受害人过错11. 甲于诉讼时效期间的最后6个月内向债务人行使了履行债务请求权，诉讼时效中断。
( )A. 正确B. 错误12. 抵押权与质权的区别是：抵押权以不动产为标的物，而质权则以动产为标的物。
( )A. 正确B. 错误13. 债权转让的，债权人必须通知债务人，未经通知的，转让无效。
( )A. 正确B. 错误14. 违约方依约向守约方支付违约金后，已支付定金的守约方还有权要求违约方双倍返还定金。
2001考研数一真题及解析
即
A E 1 A 2E E,
2
故
A E 1 1 A 2E .
2
(5)【答案】1 2
【分析】切比雪夫不等式： P X E( X ) D( X )
2
【详解】根据切比雪夫不等式有
x0 x x
x0 x
x0 x 0
可见，若 f (x) 在点 x 0 可导，则极限 lim 1 f (1 eh ) 一定存在；反过来也成立. h0 h
方法 2：排除法：举反例说明(A)，(C)，(D)说明不成立.
比如， f (x) x , 在 x 0 处不可导，但
1
lim
h0
h2
1 cos h
2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分，把答案填在题中横线上)
(1) 设 y ex (c1 sin x c2 cos x) ( c1, c2 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通
解，则该方程为
(2) 设 r x2 y2 z2 , 则 div(gradr) |(1,2,2)
的特征方程为： (1 i) (1 i) 2 2 2 0, 于是所求二阶常系数线性齐次
微分方程为 y 2 y 2 y 0 .
(2)【答案】 2 . 3
【分析】若 r x, y, z 具有连续的一阶偏导数，梯度 gradr 在直角坐标中的计算公式为：
gradr r i r j r k x y z
2 r
2 x2 y2 z2
于是
2
2
2
div(gradr) |(1,2,2) x2 y2 z2
考研数学二(综合)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学二（综合）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(1991年)曲线y＝A．没有渐近线．B．仅有水平渐近线．C．仅有铅直渐近线．D．既有水平渐近线也有铅直渐近线．正确答案：D解析：因为＝1，则原曲线有水平渐近线y＝1，又＝∞，则原曲线有铅直渐近线χ＝0，所以应选D．2．(1993年)设f(χ)＝∫0sinχsin(t2)dt，g(χ)＝χ3＋χ4，则当χ→0时g(χ)是g(χ)的A．等价无穷小．B．同阶但非等价无穷小．C．高阶无穷小．D．低阶无穷小．正确答案：B解析：则应选B．3．(1998年)设周期函数f(χ)在(－∞，＋∞)内可导，周期为4，又＝－1，则曲线y＝f(χ)在点(5，f(5))处的切线斜率为A．B．0C．－1D．－2正确答案：D解析：则f′(1)＝－2，由f′(χ)周期性知，f′(5)＝f′(1)＝－2．故应选D．4．(1997年)设在区间[a，b]上f(χ)＞0，f′(χ)＜0，f〞(χ)＞0，令S1＝∫ab(χ)dχ，S2＝f(b)(b－a)，S3＝[f(a)＋f(b)](b－a)则A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S3＜S1＜S2D．S2＜S3＜S1正确答案：B解析：由题设可知，在[a，b]上，f(χ)＞0单调减，曲线y＝f(χ)上凹，如图1．2，S1表示y＝f(χ)和χ－a，χ－b及χ轴围成曲边梯形面积，S2表示矩形abBC的面积，S3表示梯形AabB的面积，由图1．2可知．S2＜S1＜S3．故应选B．5．(1997年)若f(－χ)＝f(χ)，(－∞＜χ＜∞)，在(－∞，0)内f′(χ)＞0，且f〞(χ)＜0，则在(0，＋∞)内A．f′(χ)＞0，f〞(χ)＜0B．f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0C．f′(χ)＜0，f〞(χ)＜0D．f′(χ)＜0，f〞(χ)＞0正确答案：C解析：由f(－χ)＝f(χ)知，f(χ)为偶函数，而由在(－∞，0)内f′(χ)＞0，且f〞(χ)＜0知在(－∞，0)内，y＝f(χ)的图形下凹单调增，则f(χ)如图1．3可知，在(0，＋∞)内，f′(χ)＜0，f〞(χ)＜0，则应选C．6．(2006年)设函数y＝f(χ)具有二阶导数，且f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0，△χ为自变量χ在点χ0处的增量，△y与dy分别为f(χ)在点χ0处对应的增量与微分，若△χ＞0，则A．0＜dy＜△y．B．0＜△y＜dy．C．△y＜dy＜0．D．dy＜△y＜0．正确答案：A解析：令f(χ)＝χ2，在(0，＋∞)上，f′(χ)＝2χ＞0，f〞(χ)－2＞0，以χ0＝1，则dy＝2△χ，△y－f(1＋△χ)－f(1)＝(1＋△Aχ)2－12＝2△χ＋(△χ)2 由于Aχ＞0，则0＜dy＜△y，从而B、C、D均不正确，故应选A．7．(2006年)设f(χ)是奇函数，除χ＝0外处处连续，χ＝0是其第一类间断点，则∫0χ(f)dt是A．连续的奇函数．B．连续的偶函数．C．在χ＝0间断的奇函数D．在χ＝0间断的偶函数正确答案：B解析：令f(χ)＝sgn(χ)＝，显然f(χ)满足原题设条件，而显然A、C、D均不正确，故应选B．8．(2005年)设函数u(χ，y)＝φ(χ＋y)＋φ(χ－y)＋(t)dt，其中φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有A．B．C．D．正确答案：B解析：令φ(χ)＝χ2，ψ(χ)≡0 则u(χ，y)＝(χ＋y)2＋(χ－y)2＋2χ2＋2y2．显然，由此可知，选项A、C、D均不正确，故应选B．9．(2005年)设区域D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤4，χ≥0，y≥0}，f(χ)为D 上的正值连续函数，a、b为常数，则A．abπ．B．π．C．(a＋b)π．D．正确答案：D解析：令f(χ)≡1，显然f(χ)满足原题设条件，则显然，选项A、B、C均不正确，故应选D．10．(2002年)设函数f(χ)连续，则下列函数中必是偶函数的是A．∫0χf(t2)dt．B．∫0χf2(t)dt．C．∫0χt[f(t)－f(－t)]dt．D．∫0χt[f(t)＋f(－t)]dt．正确答案：D解析：取f(χ)≡1，则∫0χf(t2)dt＝∫0χdt＝χ，∫0χf2(t)dt＝χ，则A、B均不正确．若另取f(χ)＝χ，则∫0χt(t)－f(－t)]dt＝∫0χ2t2dt＝χ3，从而C也不正确，故应选D．11．(1996年)设函数f(χ)在区间(－δ，δ)内有定义，若当χ∈(－δ，δ)时，恒有｜f(χ)｜≤χ2，则χ＝0必是f(χ)A．间断点．B．连续而不可导的点．C．可导的点，且f′(0)＝0．D．可导的点，且f′(0)≠0．正确答案：C解析：令f(χ)＝χ3，显然χ∈(－δ，δ)时，｜f(χ)｜＝｜χ3｜≤χ2，且f′(χ)＝3χ2，f′(0)＝0，则A、B、D均不正确，故应选C．12．(1990年)已知f(χ)在χ＝0某邻域内连续，且f(0)＝0，＝2，则在点χ＝0处f(χ)A．不可导．B．可导且f′(χ)≠0．C．取得极大值．D．取得极小值．正确答案：D解析：由于当χ→0时，1－cosχ～χ2，所以令f(χ)＝χ2，则f(χ)符合原题设条件．而f(χ)在χ＝0处可导，取极小值，f′(0)＝0，则A、B、C均不正确，故应选D．13．(2001年)设f(χ)的导数在χ＝a处连续，又＝－1，则A．χ＝a是f(χ)的极小值点．B．χ＝a是f(χ)的极大值点．C．(a，f(a))是曲线y＝f(χ)的拐点．D．χ＝a不是f(χ)的极值点，(a，f(a))也不是曲线y＝f(χ)的拐点．正确答案：B解析：若取f′(χ)＝－(χ－a)，即令f(χ)＝－(χ－a)2，则显然f(χ)符合原题条件，f(χ)＝－(χ－a)2在χ＝a取极大值，且(a，f(a))也不是y＝－(χ－a)2的拐点，则A、C、D均不正确，故应选B．14．(1999年)设f(χ)是连续函数，F(χ)是f(χ)的原函数，则A．当f(χ)是奇函数时，F(χ)必是偶函数．B．当f(χ)是偶函数时，F(χ)必是奇函数．C．当f(χ)是周期函数时，F(χ)必周期函数．D．当f(χ)是单调增函数时，F(χ)必是单调增函数．正确答案：A解析：令f(χ)＝cosχ＋1，F(χ)＝sinχ＋χ＋1．显然f(χ)是偶函数，周期函数，但F(χ)不是奇函数，也不是周期函数，则B、C均不正确．若令f(χ)＝χ，F(χ)＝χ2，则f(χ)单调增，但F(χ)不单调增，因此，D也不正确，故应选A．15．(1996年)设f(χ)处处可导，则A．当f′(χ)＝＋∞时，必有f(χ)＝＋∞．B．当f(χ)＝＋∞时，必有f′(χ)＝＋∞．C．当f′(χ)＝－∞时，必有f(χ)＝－∞．D．当f(χ)＝－∞时，必有f′(χ)＝－∞．正确答案：A解析：令f(χ)＝χ，则f(χ)≡1 f(χ)＝＋∞，但f′(χ)＝1≠＋∞f(χ)＝－∞，但f′(χ)＝1≠－∞则B和D均不正确若令f(χ)＝χ2，则f′(χ)＝2χf′(χ)＝－∞，但f(χ)＝＋∞≠－∞所以C也不正确，故应选A．16．(1996年)设f(χ)有连续导数，f(0)＝0，f′(0)≠0，F(χ)＝∫0χ(χ2－t2)f(t)dt，且当χ→0时，F′(χ)与χk是同阶无穷小，则k等于A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：由f(0)＝0，f′(0)≠0．取f(χ)＝χ则F(χ)＝∫0χ(χ2－t2)tdt ＝．F′(χ)＝χ3．由χ→0时，F′(χ与χk是同阶无穷小，知k＝3，从而，A、B、D均不正确，故应选C．17．(1987年)设f(χ)在χ＝a处可导，则等于A．f′(a)B．2f′(a)C．0D．f′(2a)正确答案：B解析：令f(χ)＝χ，则但f′(χ)＝1，从而f′(a)＝f′(2a)＝1，则A、C、D均不正确，故应选B．18．(1991年)若连续函数f(χ)满足关系式f(χ)＝∫02χf()dt＋ln2 则f(χ)等于A．eχln2B．e2χln2C．eχ＋ln2D．e2χ＋ln2正确答案：B解析：由f(χ)＝∫02χf()dt＋ln2知f(0)＝ln2 (1) f′(χ)＝2f(χ) (2) 显然C、D选项不符合(1)式，A选项不符合(2)式，故应选B．19．(1995年)设f(χ)和φ(χ)在(－∞，＋∞)内有定义，f(χ)为连续函数，且f(χ)≠0，φ(χ)有间断点，则A．φ[f(χ)]必有间断点．B．[φ(χ)]2必有间断点．C．f[φ(χ)]必有间断点．D．必有间断点．正确答案：D解析：令φ(χ)＝，f(χ)＝χ2＋1 显然f(χ)和φ(χ)符合原题条件，而φ(χ)]＝1，φ2(χ)＝1，f[φ(χ)]＝2均无间断点，则A、B、C均不正确，故应选D．20．(1993年)若f(χ)＝－f(－χ)，在(0，＋∞)内，f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0，则f(χ)在(－∞，0)内A．f′(χ)＜0，f〞(χ)＜0B．f′(χ)＜0，f〞(χ)＞0C．f′(χ)＞0，f〞(χ)＜0D．f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0正确答案：C解析：由原题设可令f(χ)＝χ3，显然f(χ)符合原题条件．而在(－∞，0)内，f′(χ)＝3χ2＞0，f〞(χ)＝6χ＜0．则A、B、D均不正确，故应选C．21．(1996年)设f′(χ0)＝f〞(χ0)＝0，f〞′(χ0)＞0，则下列选项正确的是A．f′(χ0)是f′(χ)的极大值．B．f(χ0)是f(χ)的极大值．C．f(χ0)是f(χ)的极小值．D．(χ0，f(χ0))是曲线y＝f(χ)的拐点．正确答案：D解析：由题设f′(χ0)＝f〞(χ0)＝0，f〞′(χ0)＞0．可令f(χ)＝(χ－χ0)3 显然此f(χ)符合原题条件，而f′(χ)＝3(χ－χ0)2 显然f′(χ0)是f′(χ)极小值而不是极大值，则A不正确，又f(χ0)＝0，而在χ0任何邻域内f(χ)可正也可负，从而f(χ0)不是f(χ)的极值点，因此B和C也不正确，故应选D．22．(1998年)设f(χ)连续，则∫0χtf(χ2－t2)dt＝A．χf(χ2)B．－χf(χ2)C．2χf(χ2)D．－2χf(χ2)正确答案：A解析：令f(χ)≡1，则∫0χtf(χ2－t2)dt＝∫0χtdt＝χ显然B、C、D均不正确，故应选A．23．(1994年)设函数f(χ)在闭区间[a，b]上连续，且f(χ)＞0，则方程∫a χf(t)dt＋∫bχdt＝0在开区间(a，b)内的根有A．0个．B．1个．C．2个．D．无穷多个．正确答案：B解析：由题设条件，可令f(χ)≡1，此时方程∫aχf(t)dt＋∫bχdt＝0。
2001数一数三考研数学真题及解析
2001年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设生产函数为Q AL K αβ=,其中Q 是产出量,L 是劳动投入量,K 是资本投入量,而,,A αβ均为大于零的参数,则当1Q=时K 关于L 的弹性为.(2)某公司每年的工资总额在比上一年增加20%的基础上再追加2百万元,若以i W 表示第i 年的工资总额(单位:百万元),则t W 满足的差分方程是.(3)设矩阵111111111111k k A k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,且秩()3r A =,则k = .(4)设随机变量和的数学期望分别为2-和2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5-,则根据切比雪夫不等式{6}P XY +≥≤.(5)设总体X 服从正态分布2(0,2)N ,而1215,,,X X X L 是来自总体X 的简单随机样本,则随机变量221102211152()X X Y X X ++=++L L 服从 分布,参数为.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每题小给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设()f x 的导数在x a =处连续,又'()lim1x af x x a→=--,则 (A ) x a =是()f x 的极小值点. (B ) x a =是()f x 的极大值点. (C ) (,())a f a 是曲线()y f x =的拐点(D ) x a =不是()f x 的极值点, (,())a f a 也不是曲线()y f x =的拐点.(2)设0()()xg x f u du =⎰,其中21(1),01,2()1(1),12,3x x f x x x ⎧+≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩则()g x 在区间(0,2)内(A ) 无界(B ) 递减(C ) 不连续(D ) 连续(3)设1112131414131211212223242423222113132333434333231414243444443424100010100,,,00101000a a a a a a a a a a a a a a a a A B P a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 21000001001000001P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,其中A 可逆,则1B -等于 (A ) 112A P P -.(B ) 112P A P -.(C ) 112P P A -.(D ) 121P A P -.(4)设A 是n 阶矩阵,α是n 维列向量.若秩0TA αα⎛⎫⎪⎝⎭=秩()A ,则线性方程组(A ) AXα=必有无穷多解.(B ) AX α=必有唯一解.(C ) 00TA X y αα⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭仅有零解. (D ) 00TA X y αα⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭必有非零解.(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则X 和Y 的相关系数等于(A ) 1-.(B ) 0.(C )12.(D ) 1.三、(本题满分5分)设(,,)u f x y z =有连续的一阶偏导数,又函数()y y x =及()z z x =分别由下列两式确定:2xy e xy -=和0sin x txte dt t-=⎰, 求du dx.四、(本题满分6分)已知()f x 在(,)-∞+∞内可导,且lim '(),lim()lim[()(1)],xx x x x c f x e f x f x x c→∞→∞→∞+==---求c 的值.五、(本题满分6分) 求二重积分221()2[1]x y Dy xedxdy ++⎰⎰的值,其中D 是由直线,1y x y ==-及1x =围成的平面区域.六、(本题满分7分)已知抛物线2y px qx =+(其中0,0p q <>)在第一象限内与直线5x y +=相切,且此抛物线与x 轴围成的平面图形的面积为S .(1)问p 和q 为何值时,S 达到最大值?(2)求出此最大值.七、(本题满分6分)设()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足110(1)()(1),x k f k xe f x dx k -=>⎰证明至少存在一点(0,1)ξ∈,使得1'()(1)().f f ξξξ-=-八、(本题满分7分) 已知()n f x 满足'1()()n x n n f x f x x e -=+(n 为正整数),且(1)n ef n =,求函数项级数1()n n f x ∞=∑之和.九、(本题满分9分)设矩阵111111a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,112β⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.已知线性方程组Ax β=有解但不唯一,试求: (1)a 的值;(2)正交矩阵Q ,使TQ AQ 为对角矩阵.十、(本题满分8分)设A 为n 阶实对称矩阵,秩(),ij A n A =是()ij n n A a ⨯=中元素ij a 的代数余子式(,1,2,i j =,)n L ,二次型1211(,,,)n nij n i j i j A f x x x x x A===∑∑L .(1)记12(,,,)Tn X x x x =L ,把12(,,,)n f x x x L 写成矩阵形式,并证明二次型()f X 的矩阵为1A -;(2)二次型()Tg X X AX =与()f X 的规范型是否相同?说明理由.十一、(本题满分8分)一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克,标准差为5千克.若用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0,977.((2)0,977,φ=其中()x φ是标准正态分布函数.)十二、(本题满分8分)设随机变量X 和Y 的联合分布是正方形{(,)13,13}G x y x y ≤≤≤≤上的均匀分布,试求随机变量U X Y =-的概率密度()p u .2001年考研数学三试题答案与解析一、填空题(1)【分析】 当1Q =时,1AL K αβ=,等式两边对L 求导得110.dK dK KAL K AL K dL dL Lαβαβααββ--=+⇒=- 由弹性计算公式知,当1Q =时K 关于L 的弹性为.dK L K L dL K L K ααββ⋅=-⋅=-(2)【分析】 由题设知第t 年的工资总额t W (百万元)是两部分之和,其中一部分是固定追加额2(百万元),另一部分比前一年的工资总额1i W -多20%,即是1t W -的1.2倍.于是可得t W 满足的差分方程是11.2 2.t t W W -=+(3)【分析】 由于11133331111111111111(3)111111111111111111k k k k k kk kA k kk kkkk++++===+311110100(3)(3)(1),00100001k k k k k k -=+=+--- 那么()30.r A A =⇒=而1k =时,显然()1r A =,故必有3k =-.(4)【分析】 ()0,E X Y EX EY +=+=()2cov()2D X Y DX X Y DY DX DY ρ+=+++=+143,=+=231{6}.612P X Y +≥≤=(5)【分析】 根据简单随机样本的性质,1215,,,X X X L 相互独立同分布2(0,2)N ,易见11022X X ++L 与111522X X ++L 也相互独立.并且由于2~(0,2)i X N ,故 1101522222101222221511111~(0,1),()()()~(10),22241()()()~(5).224i X X X N X X X X X X χχ++=++++=++L L L L从而有11011011151115222222221()104~(10,5).12()()54X X X X F X X X X ++++=++++L L L L 即~(10,5)Y F .因此第1空应填:F ,第2空应填:(10,5).二、选择题(1)【分析】 排除法.取21()()2f x x a =--,易验证()f x 满足题目条件,但x a =是()f x 的极大值点而不是极小值点,故(A )和(D )不正确,又(,())a f a 也不是曲线()y f x =的拐点,故(C )也不正确.所以应选(B ).(2)【分析】 可直接用已有结论“若()f x 在[,]a b 上可积,于是0()()xg x f u du =⎰是[,]a b 上的连续函数”.本题中()f x 在[0,2]上分段连续,且有界,从而在[0,1]上可积,于是0()()xg x f u du =⎰在[0,2]上连续,故应选(D ).(3)【分析】 把矩阵A 的14、两列对换,23、两列对换即得到矩阵B ,根据初等矩阵的性质,有 12B APP =或21.B AP P =那么1121()B AP P --==11111212P P A PP A ----=.所以应选(C ).(4)【分析】 因为“0Ax =仅有零解”与“0Ax =必有非零解”这两个命题必然是一对一错,不可能两个命题同时正确,也不可能两个命题同时错误.所以本题应当从(C )或(D )入手.由于0TA αα⎡⎤⎢⎥⎣⎦是1n +阶矩阵,A 是n 阶矩阵,故必有 () 1.0T A r r A n n αα⎡⎤=≤<+⎢⎥⎣⎦因此(D )正确.(5)【分析】 依题意Y n X =-,因此X 和Y 的相关系数等于1-,应选(A ).事实上,(,)(,),,Cov X Y Cov X n X DX DY DX =-=-=因此1.XY ρ===-三、【解】.du f f dy f dz dx x y dx z dx∂∂∂=++∂∂∂ (*)由2xyexy -=两边对x 求导,得()()0.xy dy dy dy y e y xy x dx dx dx x+-+=⇒=- ①又由0sin x txte dt t-=⎰两边对x 求导,得 sin()()(1)1.sin()x xx z dz dz e x z e x z dx dx x z --=⋅-⇒=---②将①、②两式代入(*)式,得()[1].sin()x du f y f e x z f dx x x y x z z∂∂-∂=-+-∂∂-∂四、【解】若0c =,则lim() 1.xx x c x c→∞+=-若0c ≠则 2222lim()lim[(1)].x c cxx c c xc x x x c c e x c x c--→∞→∞+=+=-- 由拉格朗日中值定理,有()(1)'()1f x f x f ξ--=⋅,其中ξ介于1x -与x 之间.那么当x →∞时也有ξ→∞,故lim[()(1)]lim '().x x f x f x f e ξ→∞→∞--==于是题设条件可改写为2ce e =,故1.2c =五、【解】积分区域D 如图所示.222211()()22[1]x y x y DDDy xedxdy ydxdy xyedxdy +++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰,其中111112(1),3y Dydxdy dy ydx y y dy --==-=-⎰⎰⎰⎰⎰ 22221111()()221x y x y yDxyedxdy ydy xedx ++-=⎰⎰⎰⎰2211(1)21[]0.y y y ee dy +-=-=⎰于是221()22[1].3x y Dy xedxdy ++=-⎰⎰六、【分析】 先求出本题中的面积S .此时S 中有两个参数p 和q ,再根据抛物线2y px qx =+与5x y +=相切,求出p 和q 的关系,带入S 中只剩一个参数,最后求S 的最大值.【解】依题意,抛物线如图所示求.得它与x 轴交点的横坐标为10x =,2q x p=-. 面积323202()().326q qppp qq S px qx dx x x p --=+=+=⎰(*)因直线5x y +=与抛物线2y px qx =+相切,故他们有唯一公共点,由方程组25,x y y px qx+=⎧⎨=+⎩得2(1)50px q x ++-=.其判别式必等于零,即221(1)200,(1)20q p p q =++==-+V . 将上式代入(*)式得34200().3(1)q S q q =+ 因250,03,200(3)'()0,3,3(1)0,3,q q q S q q q q ><<⎧-⎪===⎨+⎪<>⎩于是当3q =时,()S q 取最大值,此时45p =-.从而得S 的最大值是22532.七、【证明】 分析略令1()()xF x xef x -=,于是(1)(1)F f =,由积分中值定理得,存在满足101c k<<<的c ,使得 1110()()()x e k k xe f x dx ce f c F c --==⎰.由原式110(1)()x k f k xe f x dx -=⎰知,()(1)F c F =.从而()F x 在[,1]c 上满足罗尔定理条件,故存在(,1)(0,1)c ξ∈⊂,使'()0F ξ=,即11['()(1)()]0.e f f ξξξξξ----=而10e ξξ-≠,故1'()(1)()0f f ξξξ---=,即1'()(1)().f f ξξξ-=-八、【解】由已知条件可知()n f x 满足一阶线性微分方程'1()(),n xnn f x f x x e --=⇒其通解为()()nxn x f x e C n=+.由条件(1)n ef n=,得0C =,故()n x n x e f x n =.从而111().n x n xn n n n x e x f x e n n∞∞∞=====∑∑∑记1()nn x S x n ∞==∑,其收敛域为[1,1)-,且(0)0S =,当(1,1)x ∈-时,有111'()1n n s x x x∞-===-∑. 故01()(0)'()ln(1).1xxS x S S t dt dt x t=+==---⎰⎰由()S x 与ln(1)x --在1x =-的连续性知,上述和函数公式在1x =-处也成立.于是,当11x -≤<时,有1()()ln(1).x x n n f x e S x e x ∞===--∑九、【分析】 方程组有解且不唯一,即方程组有无穷多解,故可由()()3r A r A =<来求a 的值.而T Q AQ Λ=即1Q AQ Λ-=,为此应当求出A 的特征值与特征向量再构造正交矩阵Q .【解】对方程组Ax β=的增广矩阵作初等行变换,有211111111111101100110112011200(1)(2)2a a a A a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----++⎣⎦⎣⎦⎣⎦.因为方程组有无穷多解,所以()()3r A r A =<,故2a =-.112121121211211E A λλλλλλλλλ---=-+-=-+-----11110012113(3)(3)211233λλλλλλλλλ=-+-=-+=+-----,故矩阵A 的特征值为:13λ=,20λ=,33λ=-.当13λ=时,由212151(3)0,151090,212000E A x --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦得到属于特征值3λ=的特征向量1(1,0,1)T α=-.当20λ=时,由112112(0)0,121033,211000E A x ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦得到属于特征值0λ=的特征向量2(1,1,1)T α=.当33λ=-时,由412111(3)0,111012,214000E A x --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--=---→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦得到属于特征值3λ=-的特征向量3(1,2,1)Tα=-.实对称矩阵的特征值不同时,其特征向量已经正交,故只需单位化.1231110,1,2.111βββ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎢⎥===-⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥-⎦⎣⎦⎣⎦那么令123(,,)0,Q βββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢==⎢⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦得1.T Q AQ Q AQ Λ=-3⎡⎤⎢⎥==0⎢⎥⎢⎥-3⎣⎦十、【分析】 如果()T f X X AX =,其中A 是实对称矩阵,那么T X AX 就是二次型()f X 的矩阵表示,为此应读出双和号的含义.两个二次型如果其正负惯性指数相同,他们的规范形就一样,反之亦然.而根据惯性定理.经坐标变换二次型的正负惯性指数不变,因而规范形相同.【解】 由于1211(,,,)n n ij n i j i j A f x x x x x A ===∑∑L11121121222212121(,,,),n n n n n nn n A A A x A A A x x x x A A A A x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦L L L M M M M L因为()r A n =,知A 可逆,又因A 是实对称的,有111()()T T A A A ---==. 得知1A A A*-=是实对称矩阵,于是A *是对称的,故二次型()f X 的矩阵是1A -. (2)经坐标变换1X A Y -=,有1111()()()()()T T T T T g X X AX A Y A A Y Y A Y Y Y A Y f Y ----=====,即()g X 与()f X 有相同的规范形.十一、【解】 设(1,2,,)i X i n =L 是装运的第i 箱的重量(单位:千克),n 是所求箱数.由条件可以把12,,,n X X X L 视为独立同分布随机变量,而n 箱的总重量12n n T X X X =+++L 是独立同分布随机变量之和.由条件知5;i EX ==50i ET n ==单位:千克). 根据列维-林德伯格中心极限定理,n T 近似服从正态分布(50,25)N n n .箱数n 决定于条件{5000}0.977(2)n p T P φφ≤=≤≈>=.2>,从而98.0199n <,即最多可以装98箱.十二、【解】 由条件知X 和Y 的联合密度为 1,13,13,(,)40,x y f x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩若其他.以(){}()F u P U u u =≤-∞<<∞表示随机变量U 的分布函数.显然,当0u ≤时,()0F u =,当2u ≥时,()1F u =.当02u <<时,如图,则(,)1()(,)4x y u x y ux y G F u f x y dxdy dxdy -≤-≤∈==⎰⎰⎰⎰ 2211[4(2)]1(2)44u u =--=--. 于是,随机变量U 的概率密度为1(2),02,()20,.u u p u ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩若其他。
考研数学二(函数、极限、连续)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)
考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2011年试题，一)已知当x→0时f(x)=3sinx—sin3x与cxk是等价无穷小，则( )．A．k=1，c=4B．k=1，c=-4C．k=3，c=4D．k=3，c=一4正确答案：C解析：因为所以f(x)=4x3+o(x3)一4x3，于是c=4，k=3，故选C．知识模块：函数、极限、连续2．(2009年试题，一)当x→0时，f(x)=x一sinax与g(x)=x2ln(1一bx)为等价无穷小，则( )。
A．a=1，b=一1／6B．a=1，b=1／6C．a=一1，b=一1／6D．a=一1，b=1／6正确答案：A解析：f(x)=x一sinax与g(x)=x2ln(1一bx)为等价无穷小，则有即有a2=一6b，又存在，则即a=1．代入上式可得故正确答案为A。
知识模块：函数、极限、连续3．(2007年试题，一)当x→0时，与等价的无穷小量是( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：常见的等价无穷小量(当x→0时)有：ex一1一x，ln(1+x)一x，则A 选项B选项C选项D选项故应选B．[评注]尽量用等价无穷小量去代换四个选项，然后再与进行比较．知识模块：函数、极限、连续4．(2004年试题，二)把x→0+时的无穷小量排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是( )．A．α，β，γB．α，γ，βC．β，α，γD．β，γ，α正确答案：B解析：由题设，可先求出α，β，γ的一阶导数如下：显然当x→0+时．因此,不是无穷量，是二阶无穷小量，为一阶无穷小量，所以α，β，γ分别为一阶，三阶，二阶无穷小，则按无穷小量的阶排序为α，β，γ，选B．知识模块：函数、极限、连续5．(2001年试题，一)设当x→0时，(1一cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinn是比(ex2一1)高阶的无穷小，则正整数n等于( )。
2000考研数二答案
2000考研数二答案【篇一：2000年-2016年考研数学一历年真题完整版】ss=txt>数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)?=_____________.(2)曲面x2?2y2?3z2?21在点(1,?2,?2)的法线方程为_____________. (3)微分方程xy???3y??0的通解为_____________.1??x1??1??12??????(4)已知方程组23a?2x2?3无解,则a=_____________. ????????1a?2????x3????0??(5)设两个相互独立的事件a和b都不发生的概率为生a不发生的概率相等,则p(a)=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数,且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,则当1,a发生b不发生的概率与b发9a?x?b时,有(a)f(x)g(b)?f(b)g(x) (c)f(x)g(x)?f(b)g(b)(b)f(x)g(a)?f(a)g(x) (d)f(x)g(x)?f(a)g(a)(2)设s:x2?y2?z2?a2(z?0),s1为s在第一卦限中的部分,则有(a)(c) ??xds?4??xdsss1(b)(d)??yds?4??xdsss1ss1??zds?4??xdsss1??xyzds?4??xyzds(3)设级数?un?1?n收敛,则必收敛的级数为u(a)?(?1)nnn?1n?(b)?un?1?2n(c)?(un?1?2n?1?u2n)(d)?(un?1?n?un?1)(5)设二维随机变量(x,y)服从二维正态分布,则随机变量??x?y 与 ??x?y不相关的充分必要条件为(a)e(x)?e(y)(b)e(x2)?[e(x)]2?e(y2)?[e(y)]2 (c)e(x)?e(y)22(d)e(x2)?[e(x)]2?e(y2)?[e(y)]2三、(本题满分6分)求lim(x??2?e1?e1x4x?sinx). x四、(本题满分5分)xx?2z设z?f(xy,)?g(),其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求. yy?x?y五、(本题满分6分)计算曲线积分i?xdy?ydx??l4x2?y2,其中l是以点(1,0)为中心,r为半径的圆周(r?1),取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间x?0内任意的光滑有向封闭曲面s,都有???sxf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy?0,其中函数f(x)在(0,??)内具有连续的一阶f(x)?1,求f(x). 导数,且lim?x?0七、(本题满分6分)八、(本题满分7分)设有一半径为r的球体,p0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到1xn求幂级数?n的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性. n3?(?2)nn?1?p0距离的平方成正比(比例常数k?0),求球体的重心位置.九、(本题满分6分)设函数f(x)在[0,?]上连续,且??f(x)dx?0,?f(x)cosxdx?0.试证:在(0,?)内至?少存在两个不同的点?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0.十、(本题满分6分)?10?01*?设矩阵a的伴随矩阵a??10??0?300?00??,?1?110?且aba?ba?3e,其中e为4阶单?08?位矩阵,求矩阵b.十一、(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将1熟练工支援其6他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有2成为熟练工.设第n年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为xn和yn,记成向5量??xn??. ?yn??xn?1??xn??xn?1??xn?(1)求??与??的关系式并写成矩阵形式:???a??.yyy?n?1??n??n?1??yn??4??1???1??是a的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值. ?1??1??x1??2??xn?1?(3)当?????时,求?. ??y1??1??yn?1????2?十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为p(0?p?1),各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为x,求x的数学期望e(x)和方差d(x).十三、(本题满分6分)?2e?2(x??)x??设某种元件的使用寿命x的概率密度为f(x;?)??,其中??0为未知x???0参数.又设x1,x2,?,xn是x的一组样本观测值,求参数?的最大似然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设y?ex(asinx?bcosx)(a,b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)r?x2?y2?z2,则div(gradr)(1,?2,2)= _____________.(3)交换二次积分的积分次序:?0?1dy?1?y2f(x,y)dx＝_____________.?12(4)设a?a?4e?o,则(a?2e)= _____________.(5)d(x)?2,则根据车贝晓夫不等式有估计p{x?e(x)?2}?_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数f(x)在定义域内可导,y?f(x)的图形如右图所示,则y?f?(x)的图形为(a) (b)(c) (d)(2)设f(x,y)在点(0,0)的附近有定义,且fx?(0,0)?3,fy?(0,0)?1则(a)dz|(0,0)?3dx?dy【篇二：历年考研数学一真题及答案(2000-2014)】ss=txt>（经典珍藏版）2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)?=_____________.(2)曲面x2?2y2?3z2?21在点(1,?2,?2)的法线方程为_____________.(3)微分方程xy???3y??0的通解为_____________.?121??x1??1(4)已知方程组??23a?2???x???3?无解,则a= ??2???2????1a???x3????0??_____________.(5)设两个相互独立的事件a和b都不发生的概率为19,a发生b不发生的概率与b发生a不发生的概率相等,则p(a)=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数,且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,则当a?x?b时,有(a)f(x)g(b)?f(b)g(x)(b)f(x)g(a)?f(a)g(x)(c)f(x)g(x)?f(b)g(b)(d)f(x)g(x)?f(a)g(a)(2)设s:x2?y2?z2?a2(z?0),s1为s在第一卦限中的部分,则有(a)??xds?4s??xdss1(b)??yds?4??xdsss1(c)??zds?4??xdsss1(d)??xyzds?4??xyzdsss1(3)设级数??un收敛,则必收敛的级数为 n?1(a)???(?1)nun (b)?u2nn?1nn?1(c)??(u2n?1?u2n)n?1(d)??(un?un?1)n?1三、(本题满分6分)1求lim(2?exsinxx??4?1?exx).四、(本题满分5分) 设z? f(xy,xxy)?g(y),其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求?2z ?x?y.五、(本题满分6分) 计算曲线积分i???xdy?ydxl4x2?y2,其中l是以点(1,0)为中心,r为半径的圆周(r?1),取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间x?0内任意的光滑有向封闭曲面s,都有???xf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy?0,其中函数f(x)在s(0,??)内具有连续的一阶导数,且limx?0f(x)?1,求f(x).七、(本题满分6分)求幂级数??1xn3n?(?2)n的收敛区间,并讨论该区间端n?1n点处的收敛性.八、(本题满分7分)设有一半径为r的球体,p0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到p0距离的平方成正比(比例常数k?0),求球体的重心位置.九、(本题满分6分) 设函数f(x)在[0,?]上连续,且???f(x)dx?0,?0f(x)cosxdx?0.试证:在(0,?)内至少存在两个不同的点?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0.十、(本题满分6分)??1000?000? 设矩阵a的伴随矩阵a*??1??1010??,且?0?308??aba?1?ba?1?3e,其中e为4阶单位矩阵,求矩阵b.十一、(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为xn和yn,记成向量??xn??y?. n?(1)求??xn?1??x?y?与?n?的关系式并写成矩阵形?n?1??yn?式:??xn?1???y??a?xn??.n?1??yn?1???1??1??是a的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.?1?(3)当??x1?????2??时,求?x??y?n?11???1??y?.n?1??2??十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为p(0?p?1),各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为x,求x的数学期望e(x)和方差d(x).十三、(本题满分6分) 设某种元件的使用寿命x的概率密度为?2e?2(x??)x??f(x;?)??x???0,其中??0为未知参数.又设x1,x2,?,xn是x的一组样本观测值,求参数?的最大似然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设y?ex(asinx?bcosx)(a,b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________. (2)r?x2?y2?z2,则div(gradr)(1,?2,2)=_____________.(3)交换二次积分的积分次序:?01?y?1dy?2f(x,y)dx＝_____________. (4)设a2?a?4e?o,则(a?2e)?1= _____________.(5)d(x)?2,则根据车贝晓夫不等式有估计p{x?e(x)?2}? _____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设函数f(x)在定义域内可导,y?f(x)的图形如右图所示,则y?f?(x)的图形为(a)(b)(c)【篇三：1999考研数二真题及解析】一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。