初中数学竞赛：圆中的比例线段
2.5 与圆有关的比例线段 课件(人教A选修4-1)
5． 两个等圆⊙O与⊙O′外切，过O作⊙O′的两条切线 OA、OB，A、B是切点，则∠AOB＝ A．90° C．45° B．60° D．30° ( )
解析：如图，连接OO′，O′A. ∵OA为⊙O′的切线， ∴∠OAO′＝90° . 又∵⊙O与⊙O′为等圆且外切， ∴OO′＝2O′A. AO′ 1 ∴sin ∠AOO′＝ ＝ . OO′ 2 ∴∠AOO′＝30° . 又由切线长定理知∠AOB＝2∠AOO′＝60° .
答案：B
6. 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和 ⊙O分别相切于L、M、N、P. 求证：AD＋BC＝AB＋CD. 证明：由圆的切线长定理得 CM＝CN，BL＝BM，AP＝AL，DP＝DN， ∵AB＝AL＋LB，BC＝BM＋MC，
CD＝CN＋ND，AD＝AP＋PD，
∴AD＋BC＝(AP＋PD)＋(BM＋MC) ＝(AL＋ND)＋(BL＋CN)
(2)图形表示：
如图：⊙O的切线PA、PB，则PA ＝ PB ，∠OPA＝ ∠OPB .
[例1]
如图，已知在⊙O中，P是弦AB的中点，过
点P作半径OA的垂线分别交⊙O于C、D两点，垂足是点E. 求证：PC· PD＝AE· AO.
[思路点拨]
由相交弦定理知PC· PD＝AP· PB，又P为AB
的中点，∴PC· PD＝AP2.在Rt△PAO中再使用射影定理即可． [证明] 连接OP， ∵P为AB的中点， ∴OP⊥AB，AP＝PB.
2
EC AE 故DA＝BD，又AD＝AE， 故AD2＝DB· EC.
[例 3]
如图，AB 是⊙O 的直径，C 是
⊙O 上一点，过点 C 的切线与过 A、 B 两点的切线分别交于点 E、F， AF 与 BE 交于点 P. 求证：∠EPC＝∠EBF. [ 思 路 点 拨 ] 切线长定理 → EA＝EC，FC＝FB
2.5 与圆有关的比例线段 课件(人教A选修4-1)
切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、平行
线分线段成比例定理、相似三角形结合在一起解决数学
问题，有时切割线定理利用方程进行计算、求值等．
3．(2012· 湖南高考)如图，过点P的直线 与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1， AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．
解析：设⊙O的半径为R，由割线定理得 PA· PB＝(3－R)(3＋R)，即1×3＝9－R2，∴R＝ 6.
答案：B
6. 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和 ⊙O分别相切于L、M、N、P. 求证：AD＋BC＝AB＋CD. 证明：由圆的切线长定理得 CM＝CN，BL＝BM，AP＝AL，DP＝DN， ∵AB＝AL＋LB，BC＝BM＋MC，
CD＝CN＋ND，AD＝AP＋PD，
∴AD＋BC＝(AP＋PD)＋(BM＋MC) ＝(AL＋ND)＋(BL＋CN)
EC EP → FC＝PB → CP∥FB → 结论
[证明]
∵EA，EF，FB是⊙O的切线，
∴EA＝EC，FC＝FB. ∵EA，FB切⊙O于A，B，AB是直径， ∴EA⊥AB，FB⊥AB. EA EP EC EP ∴EA∥FB.∴BF＝BP.∴FC＝PB. ∴CP∥FB.∴∠EPC＝∠EBF.
运用切线长定理时，注意分析其中的等量关系， 即①切线长相等，②圆外点与圆心的连线平分两条切 线的夹角，然后结合三角形等图形的有关性质进行计 算与证明．
∵PE⊥OA，
∴AP2＝AE· AO. ∵PD· PC＝PA· PB＝AP2， ∴PD· PC＝AE· AO.
相交弦定理的运用多与相似三角形联系在一起，
也经常与垂径定理、射影定理、直角三角形的性质相 结合证明某些结论．
1．已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12 cm和
2.5 与圆有关的比例线段 课件(人教A选修4-1)
＝(AL＋BL)＋(ND＋CN)
＝AB＋CD， 即AD＋BC＝AB＋CD.
点击下图进入应用创新演练
故另一段长为32－8＝24或32－24＝8，
所以另一条弦被交点分成的两段长分别为8 cm和24 cm.
2.
如图，已知AB是⊙O的直径，OM＝ON， P是⊙O上的点，PM、PN的延长线分别交 ⊙O于Q、R. 求证：PM· MQ＝PN· NR.
证明： OM＝ON
OA＝OB
AM＝BN ⇒ BM＝AN
1．相交定理 圆内的两条 相交弦 ，被交点分成的两 条线段长的 积相等 ．如图，弦AB与CD相
PD 交于P点，则PA· PB＝ PC· .
2．割线有关定理
(1)割线定理： ①文字叙述： 从圆外一点引圆的两条 割线 ，这一点到每条割线与圆 的 交点 的两条线段长 的积相等．
②图形表示：
如图，⊙O的割线PAB与PCD， PB＝PC· . PD 则有： PA·
2
EC AE 故DA＝BD，又AD＝AE， 故AD2＝DB· EC.
[例 3]
如图，AB 是⊙O 的直径，C 是
⊙O 上一点，过点 C 的切线与过 A、 B 两点的切线分别交于点 E、F， AF 与 BE 交于点 P. 求证：∠EPC＝∠EBF. [ 思 路 点 拨 ] 切线长定理 →示：
如图：⊙O的切线PA、PB，则PA ＝ PB ，∠OPA＝ ∠OPB .
[例1]
如图，已知在⊙O中，P是弦AB的中点，过
点P作半径OA的垂线分别交⊙O于C、D两点，垂足是点E. 求证：PC· PD＝AE· AO.
[思路点拨]
由相交弦定理知PC· PD＝AP· PB，又P为AB
的中点，∴PC· PD＝AP2.在Rt△PAO中再使用射影定理即可． [证明] 连接OP， ∵P为AB的中点， ∴OP⊥AB，AP＝PB.
市北资优九年级分册 第27章 27.7 与圆有关的比例线段+薛琼
27.7与圆有关的比例线段前面，我们已经学习了和圆有关的角，现在我们通过圆内一点引圆的两条弦，他们之间又有什么关系呢？实际上，它们之间存在着数量关系．如图27.7.1，从⊙O 内一点P 引圆的两条弦AB ,CD ，我们称它们为相交弦，这时，各弦分别被P 点分成两条线段，只要联结AD ,BC ，我们马上发现这四条线段在两个△P AD 和△PBC 中，容易证得，△P AD ∽△PBC ，于是得到了PB PD PC PA =，转化成乘积式后为PD CP PB AP ⋅=⋅，便得到相交两条弦的重要性质．相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等．当圆的两条相交的弦在特殊位置时，如图27.7.2，AB 是直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点P ，则CP =PD =21CD ,这时2CP PB AP =⋅．也就是说，如果弦和直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所得两条线段的比例中项．再来讨论两条割线相交于圆外一点时的有关比例线段．如图27.7.3，⊙O 的两条割线P AB 、PCD 交于圆外一点P ，得弦AB 、CD 以及有关线段P A 、PB 、PC 、PD ．由相交弦定理，能否也有PD CP PB AP ⋅=⋅．类似于相交弦定理的推导，可得同样结论．如图27.7.4，分别联结AD 与BC ，∵∠ADC 与∠ABC 所对的弧是AC ，∴∠ADC =∠ABC ．又∵∠P =∠P ，∴△P AD ∽△PCB ．∴PBPD PC PA =．∴PD PC PB PA ⋅=⋅． 于是，得到如下定理：割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两条线段的积相等． 如果两条割线中的一条变为切线呢？又能得到什么结论？如图27.7.5，过⊙O 外一点P 引圆的一条割线P AB 和切线PC ，得弦AB 以及有关线段P A 、PB 、PC ．它们有怎样的关系呢？如图27.7.6，分别联结AC 与BC ．∵∠ACP 与∠ABC 所对的弧是AC ，PC 切⊙O 于点C ，∴∠ACP =∠ABC ．又∵∠P =∠P ，∴△P AC ∽△PCB ∴PB PC PC PA =． ∴PB PA PC ⋅=2．于是得到以下定理：切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段的比例中项． 例1 AB 为⊙0直径，点C 在⊙O 上，过点C 引直径AB 的垂线，垂足为D ，点D 分这条直径为2：3的两部分，如果⊙O 的半径等于5，求BC 的长．解 如图27.7.7，延长CD 交⊙O 于点E ，设AD =2x ，则BD =3x （或AD =3x ，BD =2x ）．∵r =5，∴AB =10．∴2x +3x =10．即x =2．∴AD =4（或AD =6）．当AD =4时，BD =6；当AD =6时，BD =4．由相交弦定理，得BD AD ED CD ⋅=⋅．∵直径AB ⊥CE ．∴CD =ED ．∴BD AD CD ⋅=2．∴6264=⨯=CD ．当BD =6时，BC =1523624=+；当BD =4时，BC =1021624=+．例 2 已知：如图27.7.8，AE ⊥BC 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，AE 、BD 相交于点F ，求证：BD BF AE AF AB ⋅+⋅=2．证明 作△BEF 的外接圆，设圆心为0，交AB 于M ．联结FM ，由切割线定理，得AB AM AE AF ⋅=⋅． ∵∠BEF =90°，∴BF 是⊙0的直径．∴∠BMF =∠BDA ．∵∠FBM =∠ABD ．∴△BMF ∽△BDA ． ∴BD BM AB BF =, 即BM AB BD BF ⋅=⋅． ∴2AB BM AB AB AM BD BF AE AF =⋅+⋅=⋅+⋅例3 已知：如图27.7.9，P 是平行四边形ABCD 的边AB 的延长线上一点，DP 与AC 、BC 分别交于点E 、F ，EG 是过B 、F 、P 三点的圆的切线，G 为切点．求证：EG =DE ．证明 ∵AD ∥BC ，∴△AED ∽△CEF ．∴DE :EF =AE :EC ． ①又∵AP ∥DC ，∴△AEP ∽△CED ．∴AE :EC =EP :DE ． ②由①、②得，DE :EF =EP :DE ；即EP EF DE ⋅=2．而EG 是过B 、F 、P 三点的圆的切线，EFP 为此圆的割线∴EP EF EG ⋅=2．∴22EG DE =．∴DE =EG练习27．7（1）1．如图，⊙0的直径AB =10，P 是OA 上一点，弦MN 过点P ，且AP =2，MP =22，求弦心距OQ ．2．已知：如图，AB 是⊙0的直径，P 是⊙0外一点，PD ⊥AB 于D ，交⊙0于E ，P A 交⊙0于C ，BC 交PD 于F ．求证：DP DF DE ⋅=2．3．已知：如图，AB 是⊙0的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，弦AQ 交CD 于点P ．如果AB =10．CD =8，求：（1）DE 的长；（2）AE 的长；（3）AQ AP ⋅的值．4．如图，A 、B 、C 、D 在同一圆上，BC =CD ，AC 、BD 交于E ．若AC =8，CD =4，且线段BE 、ED 为正整数，求BD 的长．5．如图，P AB 为过圆心O 的割线，且P A =OA =4，PCD 为⊙0的另一条割线，且PC =DC ．求：（1）PC 的长；（2）S △P AC :S △PDB ．6．已知：△ABC 是⊙0的内接三角形，∠BAC 的平分线交BC 于D ，交⊙0于E ．求证：DC BD AD AC AB ⋅+=⋅2过一点P 做与圆有关的两条直线，点P 与圆的不同位置有两种：当点P 在圆内时，这两条直线分别交圆于A 、B 和C 、D ，则PD PC PB PA ⋅=⋅，这就是相交弦定理，如图27.7.10（1）．当点P 在圆外时，分两种情况：（1）这两条直线与圆都有两个交点，分别为A 、B 与C 、D ，则PD PC PB PA ⋅=⋅称作割线定理，如图27.7.10（2）（2）当这两条直线中一条与圆有两个交点，另一条只有一个交点（切点）M 时，得到割线定理：2PM PB PA =⋅相交弦定理、切割线定理及切割线定理的推论（割线定理），我们统称为圆幂定理．圆幂定理在形式上也可以进一步统一．如图27．7．10（3），点P 在圆内时，像所做的虚线那样，联结OP ，过点P 作弦EF ⊥OP ，交圆于E 、F ，由于PE =PF ，故222-OP r PF PF PE PD PC PB PA ==⋅=⋅=⋅，其中r 为⊙0的半径．如图27．7．10（4），点P 在圆外时，联结OM 、ON 、OP ，有222r OP PM PN PM PD PC PB PA -==⋅=⋅=⋅．综上所述，圆幂定理可以统一为|-|22OP r PB PA =⋅．换言之，圆幂定理可叙述为：通过不在⊙0上一定点P 向⊙0任作一直线交⊙0于A 、B 两点，则有|-|22OP r PB PA =⋅（22-OP r 叫做点P 对于⊙0的幂）．圆幂定理揭示了园中线段的比例关系，对于涉及相交弦，切割线的有关计算，常可利用圆幂定理去求．例1 如图27.7.11，AB 是⊙0的直径，AC 是⊙0的切线，A 为切点，割线CDF 交AB 于E ，并且CD :DE :EF =1:2:1，AC =4，求⊙0的直径AB ．解 设CD =k ，则DE =2k ，EF =k ，CF =4k ，由切割线定理，有CF CD AC ⋅=2． ∴k k 442⋅=，k =2．∴CE =6，DE =4，EF =2．在Rt △ACE 中，由勾股定理， 有52462222=-=-=AC CE AE ．根据相交弦定理，得EF DE EB AE ⋅=⋅．∴2452⨯=⋅EB ，554=EB ．。
2.5 与圆有关的比例线段 课件(人教A选修4-1)
5． 两个等圆⊙O与⊙O′外切，过O作⊙O′的两条切线 OA、OB，A、B是切点，则∠AOB＝ A．90° C．45° B．60° D．30° ( )
解析：如图，连接OO′，O′A. ∵OA为⊙O′的切线， ∴∠OAO′＝90° . 又∵⊙O与⊙O′为等圆且外切， ∴OO′＝2O′A. AO′ 1 ∴sin ∠AOO′＝ ＝ . OO′ 2 ∴∠AOO′＝30° . 又由切线长定理知∠AOB＝2∠AOO′＝60° .
PM· MQ＝AM· MB PN· NR＝BN· AN ⇒PM· MQ＝PN· NR.
[例2]
如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，
ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC＝AB. 证明：(1)AD· AE＝AC2； (2)FG∥AC. [思路点拨] (1)利用切割线定理；
2
EC AE 故DA＝BD，又AD＝AE， 故AD2＝DB· EC.
[例 3]
如图，AB 是⊙O 的直径，C 是
⊙O 上一点，过点 C 的切线与过 A、 B 两点的切线分别交于点 E、F， AF 与 BE 交于点 P. 求证：∠EPC＝∠EBF. [ 思 路 点 拨 ] 切线长定理 → EA＝EC，FC＝FB
＝(AL＋BL)＋(ND＋CN)
＝AB＋CD， 即AD＋BC＝AB＋CD.
点击下图进入应用创新演练
切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、平行
线分线段成比例定理、相似三角形结合在一起解决数学
问题，有时切割线定理利用方程进行计算、求值等．
3．(2012· 湖南高考)如图，过点P的直线 与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1， AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．
解析：设⊙O的半径为R，由割线定理得 PA· PB＝(3－R)(3＋R)，即1×3＝9－R2，∴R＝ 6.
《高中竞赛教程》教案：第16讲 圆中比例线段、根轴(学生)
求证：PQ2=AB2+MN2.
8．以O为圆心的圆通过⊿ABC的两个顶点A、C，
且与AB、BC两边分别相交于K、N两点，⊿ABC和⊿KBN的
两外接圆交于B、M两点．证明：∠OMB为直角．
(1985年第26届国际数学竞赛）
9．如图，自圆外一点P向⊙O作切线，PA、PB，A、B为切点，
AB与PO相交于C，弦EF过点C．
A．3+B．2C．D．
7．PT切⊙O于点T，PAB、PCD是割线，弦AB=35㎝，
弦CD=50㎝，AC∶DB=1∶2，求PT的长
8．在ΔABC中，已知CM是 ∠ACB的平分线，ΔAMC的
外接圆交BC于N，若AC=AB，求证：BN=2AM.
9．过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PA、PB，连OP与
⊙O交于点C，过C作AP的垂线，垂足为E.
延长AB和DC相交于E,延长AD和BC相交于F,EP和FQ分别
切⊙O于P、Q.求证：EP2＋FQ2＝EF2.
例5AB是⊙O的直径，ME⊥AB于E，C为⊙O上任一点，
AC、EM交于点D，BC交DE于F．
求证：EM2=ED·EF．
例6(1997年全国高中理科实验班招生考试)如图所示，
PA、PB是⊙O的两条切线，PEC是⊙O的一条割线，
当定点在圆上时，d2-r2=0；
当定点在圆外时，d2-r2>0，d2-r2等于从定点向圆所引切线长的平方.
特别地，我们把d2-r2称为定点对于圆的幂.
一般地我们有如下结论：到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线；如果此二圆相交，那么该轨迹是此二圆的公共弦所在直线．这条直线称为两圆的“根轴”．
2.5 与圆有关的比例线段 课件(人教A选修4-1)(2)
又∵∠PBC＝∠DBP， ∴△BPC∽△BDP，∠BPC＝∠D. 又∵∠E＝∠D，∴∠BPC＝∠E，EF∥PA.
本课时考点是高考的重点内容，题型既有选择题、 填空题，也有解答题，且是多个定理综合应用.2012年 天津高考将相交弦切割线定理与相似三角形的性质相 结合综合考查解决的问题的能力，是高考模拟命题的
本题主要考查相交弦、切割线定理的
应用，以及相似三角形的判定与性质．
解析：由相交弦定理可得 CF· FE＝AF· FB，得 CF＝2.又因 为 CF∥DB，所以
2
CF AF 8 ＝ ，得 DB＝ ，且 AD＝4CD，由切割 DB AB 3
2
4 线定理得 DB ＝DC· DA＝4CD ，得 CD＝ . 3
[小问题·大思维] 1．切割线定理与割线定理之间有什么关系？ 提示：切割线定理是割线定理的一种特殊情况． 2．从圆外一点引圆的切线，则这一点、两个切点及圆 心四点是否共圆？若共圆，圆的直径是什么？
提示：四点共圆．且圆心为圆外一点与原圆心连线的
中点，直径为圆外一点到原圆心的距离．
[研一题]
[例 1] 如图，AB、CD 是半径为 a
(1)求证：∠P＝∠EDF；
(2)求证：CE· EB＝EF· EP； (3)若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求PA的长． 分析：本题考查切割线定理、相交弦定理．以及相似 三角形的判定与性质与切线长定理的综合应用．解答本题
需要分清各个定理的适用条件，并会合理利用．
解：(1)证明：∵DE2＝EF· EC， ∴DE∶CE＝EF∶ED. ∵∠DEF是公共角，∴△DEF∽△CED.
[研一题] [例2] 如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，
直线BMN交AD的延长线于点C，BM
2.5 与圆有关的比例线段 课件(人教A选修4-1)
PD 交于P点，则PA· PB＝ PC· .
2．割线有关定理
(1)割线定理： ①文字叙述： 从圆外一点引圆的两条 割线 ，这一点到每条割线与圆 的 交点 的两条线段长 的积相等．
②图形表示：
如图，⊙O的割线PAB与PCD， PB＝PC· . PD 则有： PA·
答案： 6
4．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交
⊙O于点B，C，∠APC的角平分线分
别与AB，AC相交于点D、E，求证：(1)AD＝AE；
(2)AD2＝DB· EC.
证明：(1)因为∠AED＝∠EPC＋∠C，
∠ADE＝∠APD＋∠PAB， PE是∠APC的角平分线， 故∠EPC＝∠APD， 因为PA是⊙O的切线，故∠C＝∠PAB. 所以∠AED＝∠ADE.故AD＝AE.
故另一段长为32－8＝24或32－24＝8，
所以另一条弦被交点分成的两段长分别为8 cm和24 cm.
2.
如图，已知AB是⊙O的直径，OM＝ON， P是⊙O上的点，PM、PN的延长线分别交 ⊙O于Q、R. 求证：PM· MQ＝PN· NR.
证明： OM＝ON
OA＝OB
AM＝BN ⇒ BM＝AN
＝(AL＋BL)＋(ND＋CN)
＝AB＋CD， 即AD＋BC＝AB＋CD.
点击下图进入应用创新演练
(2)证△ADC∽△ACE.
[证明]
(1)∵AB是⊙O的一条切线，
ADE是⊙O的割线， ∴由切割线定理得AD· AE＝AB2. 又AC＝AB，∴AD· AE＝AC2. AD AC (2)由(1)得 AC＝AE， 又∠EAC＝∠DAC，∴△ADC∽△ACE. ∴∠ADC＝∠ACE. 又∠ADC＝∠EGF，∴∠EGF＝∠ACE. ∴FG∥AC.
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初中数学竞赛：圆中的比例线段
圆中的比例线段问题，一般是指圆幂定理以及与圆有关的相似形推证比例线段问题．下面先介绍一下圆幂定理，然后举几个例题，供同学们思考．
例1 (交弦定理)圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
如图3－65，⊙O中两弦AB，CD相交于P点．求证：
PA·PB=PC·PD．
PC=∠DPB，∠C=∠B．最后的条件，只要连结AC，BD即可满足，因此命题得证．
证法2证法1是通常的想法，实际上，本题若换个想法：证明PA·PB为一定值，则可用勾股定理证明．为此作OE⊥AB于E，连OA，且过P作直径GH(图3－66)，则
AP·PB=(AE-PE)(AE+PE)
=AE2-PE2
=(OA2-OE2)-(OP2-OE2)
=OA2-OE2-OP2+OE2
=OA2-OP2
=(OA+OP)(OA-OP)
=PH·PG(定值)．
同理，CP·DP=PH·PG(定值)．所以
PA·PB=PC·PD．
推论弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两线段的比例中项．
如图3－67，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于P．求证：PC2=PA·PB．
证明留给读者．
例2(切割线定理)从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是点到割线与圆的两个交点的两条线段的比例中项．
如图3－68，PC切⊙O于C，割线交⊙O于A，B．求证：PC2=PA·PB．
△PCA∽△PBC，①
为此，只须连结AC，BC，则有
∠ACP=∠CBP，∠P=∠P，
故①成立．
证法1请读者写出．
证法2仿例1之证法2的方法，利用勾股定理证明本题．
作OH⊥AB于H，连OA，OP，OC(图3－69)．因为PC切圆O于C，所以△PCO 中，∠C=90°，所以
PC2=PO2-OC2=(PH2+OH2)-OA2
=PH2+OA2-AH2-OA2=PH2-AH2
=(PH+AH)·(PH-AH)=PB·PA．
推论从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
图3－70中，PAB，PCD是⊙O的两条割线．求证：
PA·PB=PC·PD．
证明由例2可直接推出．
说明例1、例2及其推论统称圆幂定理．为什么叫圆幂定理呢？因为在例1中PA·PB是定值，它等于定点P分过此定点的直径的两线段的积；在例2中，PA·PB也是定值，它等于由圆外定点P所引圆的切线长的平方．例1、例2的定值称作定点到圆的幂，因此，例1、例2统称圆幂定理．
例3 如图3－71，⊙O内两弦AB，CD的延长线相交于圆外一点E，由E引AD的平行线与直线BC交于F，作切线FG，G为切点，求证：EF=FG．
分析由于FG切圆O于G，则有FG2=FB·FC，因此，只要证明FE2=FB·FC成立即可．
证因为在△BFE与△EFC中有
∠BEF=∠A=∠C，
又∠BFE=∠EFC，
所以FE2=FB·FC．
又FG2=FB·FC，所以
FE2=FG2，
所以 FE=FG．
例4 在图3－72中，已知CA，CB是⊙O的两条切线，A，B是切点，OC交直线AB于D，OF垂直直线CF于F，交直线AB于E．求证：OD·OC=OE·OF=OA2．
证因为AC，BC是⊙O的两条切线，A，B为切点，所以OC⊥AB于D．又因为OF⊥CF于F，所以
∠CDE=∠EFC=90°，
所以D，C，F，E四点共圆，所以
OD·OC=OE·OF．
又在△COA中，∠CAO=90°，所以
OA2=OD·OC，
所以 OD·OC=OE·OF=OA2．
例5 如图3－73，△ABC内接于圆O，∠BAC的平分线交⊙O于D点，交⊙O 的切线BE于F，连结BD，CD．求证：
(1)BD平分∠CBE；
(2)AB·BF=AF·DC．
分析 (1)可根据同弧所对的圆周角及弦切角的关系推出．
(2)由条件及(1)的结论，可知BD=CD，因此欲求AB·BF=AF·DC，
证 (1)因为∠CAD=∠BAD=∠FBD，∠CAD=∠CBD，所以
∠CBD=∠FBD，
所以BD平分∠CBE．
(2)在△DBF与△BAF中，因为
∠FBD=∠FAB，∠F=∠F，
AB·BF=BD·AF．
又因为BD=CD，所以
AB·BF=CD·AF．
例6 如图3－74，四边形ABCD内接于圆，延长AB和CD相交于E，延长AD 和BC相交于F，EP和FQ分别切圆O于P，Q．求证：EP2+FQ2=EF2．
分析本例有两条切线，因此，可由切割线定理着手思考．证过B，C，E作圆O1，设⊙O1交EF于G，连结CG．因为
∠FDC=∠ABC=∠CGE，
所以F，D，C，G四点共圆，所以
EG·EF=EC·ED，①
FG·EF=FC·BF．②
①+②得
EF2=EC·ED+FC·BF．
又因为EP，FQ为⊙O的切线，所以
EC·ED=EB·EA=EP2，
FC·FB=FD·FA=FQ2，
所以 EF2=EP2+FQ2．
练习十六
1．已知⊙O外一点P，PA是⊙O的切线，切点为A，引割线PBD交⊙O于B，D，过D引直线DE∥PA交⊙O于E，直线BC交⊙O于M点，求证：AM=PM．
2．如图3－75．AD是⊙O的切线，D是切点，ABC是割线，DE⊥AO于E．
(1)求证：AD2=AE·AO；(2)求证：∠AEB=∠C．
3．如图3－76．在⊙O中，弦AB⊥QO于D，AQ交圆O于C，连结BC交QO 于P，求证：OA2=OP·OQ．
4．如图3－77．四边形ABNM内接于圆O，BA和NM的延长线相交于P点，求证：AM·BM·PN=AN·BN·PM．
5．如图3－78．AD是△ABC的高，AE是△ABC外接圆直径，求证：AB·AC=AE·AD．
6．如图3－79．设AB为半圆直径，弦AC和BD交于E，求证：AB2=AE·AC+BE·BD．
(提示：作EF⊥AB于F．)。