高中数学新教材选择性必修第二册《4.3等比数列》全部课件
（二）等比数列的通项公式
等差数列
等比数列
新知探究
通通 项项 公公 式式 的 推公 导差
（二）等比数列的通项公式
等差数列
等比数列
公 比
新知探究 等比数列与等差数列的概念对比
等差数列
定 当三个数 a，A，b成等差数 义 列时，A叫做a与b的等差中项.
等比数列
当三个数 a，A，b成等比数 列时，A叫做a与b的等比中项.
【获取新知】 （1）等比数列前n项和公式：
_________________________________________________. （2）上面推导等比数列前n项和公式的方法是:__错__位__相___减__法__.
典例突破 （一）等比数列前n项和公式的基本运算
典例突破 （一）等比数列前n项和公式的基本运算
典例突破 （三）等差数列的项
变式3. 在等比数列{an}中，已知a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，求an.
典例突破 （四）等比中项的应用
例4. 已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7 的等比中项．
典例突破 （四）等比中项的应用
变式4. 若a,2a＋2,3a＋3成等比数列，求实数a的值．
等比数列的定义、通项公式的推导、等比中项、等比数列 与指数函数的关系等的研究方法都与等差数列相似，你能否根 据研究等差数列的方法来研究等比数列呢？请尝试完成下表.
新知探究
（一）等比数列的概念
等差数列
等比数列
如果一个数列从第2项起，数列 定语
的每一项与前一项的差都等于同 言
一个常数，那么这个数列就叫做 描
①②⑤⑥
典例突破 （四）等差、等比数列的综合应用
例4. 有四个实数，前三个数依次成等比，它们的积是－8，后三 个数依次成等差，它们的积为－80，求出这四个数．
典例突破 （四）等差、等比数列的综合应用
【解题反思】当几个数成等比数列时，如何设最合适？
典例突破 （四）等差、等比数列的综合应用
变式4. 三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列三个数， 又可成为等比数列，这三个数的和为6，则这三个数为 _－__4_,2_,_8__．
典例突破 （三）等比数列前n项和性质的应用
C
典例突破 （三）等比数列前n项和性质的应用
【解析】由已知，设这三个数为a－d，a，a＋d， 则a－d＋a＋a＋d＝6，解得 a＝2， ∴ 这三个数可表示为2－d,2,2＋d，
典例突破 （四）等差、等比数列的综合应用
① 若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，解之得d＝6， 或d＝0(舍去)．此时三个数为－4,2,8.
② 若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解之得d＝－6， 或d＝0(舍去)．此时三个数为8,2，－4.
【解析】∵ a,2a＋2,3a＋3成等比数列 ∴ (2a＋2)2＝a(3a＋3)，解得a＝－1，或a＝－4. 当 a＝－1时，2a＋2,3a＋3均为0，舍去. ∴ a＝－4.
§4.3.1 等比数列（2）
目标定位 学习目标和重难点
【学习目标】 1．结合等差数列的性质，类比出等比数列的性质． 2．理解等比数列的性质． 3．掌握等比数列的性质并能综合应用．
中性
质
项
2A＝a＋b
注 意
任意两个数a与b都有等差中
事 项
项，且等差中项是唯一的.
典例突破 （一）等比数列通项公式的应用
例1. 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这 种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长(精确到1年)？ (放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)
【解析】设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩留量是an. 由条件可得数列{an}是一个等比数列．其中a1＝0.84，q＝0.84. 设an＝0.5，则0.84n＝0.5. 两边取对数，得nlg 0.84＝lg 0.5，用计 算器算得n≈4. ∴ 这种物质的半衰期大约为4年．
典例突破 （一）等比数列通项公式的应用
B
典例突破 （二）等比数列性质的应用1
例2. 若等比数列{an}中，a3＝2，a11＝8，则a7＝________.
典例突破 （二）等比数列性质的应用1
【解题反思】等比数列{an}中，利用等比中项求某一项时，如 何确定该项的符号？
答：等比数列{an}中，奇数项的符号一定相同，偶数项的符号 一定相同. 所以，要确定某项的符号，只需看同类的项（奇数 项或偶数项）的符号. 如果没有同类的项的符号，就要根据公 比的正负判断.
典例突破 （二）等比数列性质的应用1
变式2.（1）若a5＝2，a15＝8，则a10＝_____. （2）在 和 之间插入三个数，使这五个数成等比数列， 则插入的三个数的乘积为___2_1_6_______．
典例突破 （三）等比数列性质的应用2
25
典例突破 （三）等比数列性质的应用2
典例突破 （三）等比数列性质的应用2
等差数列. 这个常数叫做等差数列 义述
的公差，通常用字母d表示.
新知探究
（一）等比数列的概念
等差数列
等比数列
定符 号 表 示
义
新知探究
通
项不
公完
式
全 归
的纳
推法
导
（二）等比数列的通项公式
等差数列
等比数列
新知探究
通 项 公累 式加 的法 推 导
（二）等比数列的通项公式
等差数列
等比数列
新知探究
通 项 公迭 式代 的法 推 导
③ 若2为等比中项，则22＝(2＋d)·(2－d)， 解之得 d＝0(舍)． 综上可知此三数为－4,2,8.
§4.3.2 等比数列的前n项和
目标定位 学习目标和重难点
【学习目标】 1．理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导过程； 2．能够应用前n项和公式解决等比数列的有关问题； 3．进一步提高解方程（组）的能力，以及整体代换思想的应 用能力.
典例突破 （一）等比数列前n项和公式的基本运算
综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.
典例突破 （一）等比数列前n项和公式的基本运算
【解题反思】 （1）等比数列前n项和公式的使用条件是什么？利用该公式解
题时，需要注意什么问题？ （2）在等比数列的五个基本量a1，an，n，q，Sn中，至少要
典例突破 （二）等比数列的判定
【解题反思】如何判定一个数列是否为等比数列？
典例突破 （二）等比数列的判定
典例突破 （三）等差比数列的项
例3. 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第 1项与第2项．
典例突破 （三）等比数列的项
【解题反思】在等比数列{an}中，如何求解a1，q，n，an中的量？ 答：在上述四个量中，至少要知道其中的三个量，才能求其他 的量，而且求解时常常利用方程思想，通过方程组解得．
等差数列
等比数列
新知探究
与 函 数单
调 的性 关 系
（一）与函数的关系类比
等差数列
等比数列
新知探究 （二）性质类比
等差数列
数 列
若m+n=p+q，则
中
am＋an＝ap＋aq .
的 项
性
特别地，若m+n=2p，则
与质
am＋an＝2ap .
序1
号
的
关
系
等比数列
新知探究
数
列
中
的 项
性
与质
序2
号
的
关
系
【解题反思】如何求解等比数列应用题？
答：求解数列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清 问题的哪一部分是数列问题，是哪种数列．在求解过程中应注 意首项的确立，时间的推算．不要在运算中出现问题．
典例突破 （一）等比数列通项公式的应用
典例突破 （二）等比数列的判定
例2. 根据下图中的框图，写出所打印数列的前 5 项，并建立数列的递推公式．这个数列是等 比数列吗？
【重、难点】 重点：探索并掌握等差数列前n项和公式. 难点：等差数列前n项和公式的推导思路的获得
知识链接
新知探究 （一）等比数列的前n项和公式
新知探究 （一）等比数列的前n项和公式
新知探究 （一）等比数列的前n项和公式
问题2. 若把等比数列通项公式代入上式，你会得到什么呢？
新知探究 （一）等比数列的前n项和公式
等差数列
等比数列
新知探究 （二）等比数列前n项和的性质
二．性质对比
等差数列
等比数列
数性
列 中
质
的1
项
与
序 号 的
性 质
关2
系
典例突破 （三）等比数列前n项和性质的应用
例3. 在正项等比数列{an}中，Sn是其前n项和，若S10＝10，S30＝ 130，则S20的值为___4_0____．
【解析】由S10，S20－S10，S30－S20 成等比数列， 得 (S20－S10)2＝S10(S30－S20)， 即 (S20－10)2＝10(130－S20)， 解得S20＝40或S20＝－30 又 S20>0 ∴ S20＝40.
典例突破 （二）等比数列前n项和的实际应用
新知探究 （一）等比数列前n项和公式与函数的关系
问题3. 类比等差数列前n项和的性质，你能否得出等比数列前n项 和的性质? 请完成下表. 一．前n项和公式与函数的关系
与
函
数公
的 关
式
系
等差数列
等比数列
新知探究
与 与函
数 函的 数关
系 的 关设 系法
（一）等比数列前n项和公式与函数的关系
§4.3.1 等比数列（1）
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数学人教A版(2019)选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式(共25张ppt)
qSn a1q a1q2 a1qn1 a1qn ②
由①－②得：1 q Sn a1 a1qn
即
Sn
a1 a1qn 1 q
整理得：Sn
a1
1 qn 1 q
q 1
等比数列前n项和公式
Sn
na1
a1(1 q
n
)
1 q
(q 1)
(q 1)
知识巩固：限时训练
例1.判断下列式子中公式运用是否正确
1 ,q 243
0.
求该等比数列的前8项和
解：由a1
27, a9
1 243
可得q8 a9 且q 0 q 1
a1
3
27 1
1
8
S8
3 1640
1 1
81
1
知识巩固：限时训练
例3. 已知数列{an}是等比数列，请完成下表：
题号 a1
q
n
an
Sn
(1)
1 2
1 2
(2) 27
消除相同项
=18446744073709551615≈1.84×1019
情境引入，探索新知
假定千粒麦粒的质量为40克，1.84×1019粒麦粒，大约 7000亿吨，按2018年世界粮食总产量25.87亿吨来计算， 是全世界粮食产量的270多倍.
显然国王兑现不了他发明者的承诺.
情境引入，探索新知
思考：这种求和方法能够推广到一般等比数列的前n项和吗？
倒序相加法求等差数列前n项和
情境引入，探索新知
由刚才的例子可知：这实际上就是一个首项为1，公比为2的 等比数列的前64项的求和问题，可表示为：
S64 1 2 4 8 …… 262 263
人教A版(2019)选择性必修第二册 4-3-1等比数列的概念 课件(53张)
他5年内每年末得到的本利和分别是
2
3
4
5
a (1 + r ), a(1 + r ) , a(1 + r ) , a(1 + r ) , a(1 + r ) .
⑥
导入新课
思考：类比等差数列你能通过运算发现以下数列的取值规律吗？
9, 92 , 93 ， … ，910；
100, 1002, 1003，…，10010；
q
但前一种设法的公比为 q2，只适合数列的各项同正或同负．
a
a
(3)五个数成等比数列，一般可设为 2 ，q ，a，aq，aq2.
q
变式练习
变式3 有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8；
后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数．
b
解：由题意设这四个数分别为q ，b，bq，a，
an＝1，∴32×2
n－1 ＝1，即 26-n＝20，解得 n＝6.
深入探究
等比数列的通项公式的推广
复习：等差数列{an}的 a a ( n 1)d 或a a ( n m )d .
n
1
n
m
通项公式：
例2 已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an.
q ③
a1
a3
an an 1
a4 a 3 a 2
或an
a1
an 1 an 2
a3 a2 a1
a……
n 1
q n 2
an 2
q q
q q q a1 =a1q n1
an
q n 1
n-1个
an 1
2
3
4
5
a (1 + r ), a(1 + r ) , a(1 + r ) , a(1 + r ) , a(1 + r ) .
⑥
导入新课
思考：类比等差数列你能通过运算发现以下数列的取值规律吗？
9, 92 , 93 ， … ，910；
100, 1002, 1003，…，10010；
q
但前一种设法的公比为 q2，只适合数列的各项同正或同负．
a
a
(3)五个数成等比数列，一般可设为 2 ，q ，a，aq，aq2.
q
变式练习
变式3 有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8；
后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数．
b
解：由题意设这四个数分别为q ，b，bq，a，
an＝1，∴32×2
n－1 ＝1，即 26-n＝20，解得 n＝6.
深入探究
等比数列的通项公式的推广
复习：等差数列{an}的 a a ( n 1)d 或a a ( n m )d .
n
1
n
m
通项公式：
例2 已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an.
q ③
a1
a3
an an 1
a4 a 3 a 2
或an
a1
an 1 an 2
a3 a2 a1
a……
n 1
q n 2
an 2
q q
q q q a1 =a1q n1
an
q n 1
n-1个
an 1
高中数学人教A版 选择性必修第二册 等比数列的概念 课件
5.在等比数列an 中， a2 ， a18 是方程 x2 6x 4 0 的两根，则 a4a16 a10 ( )
A.6
B.2
C.2 或 6
D. 2
答案：B
解析：等比数列an 中， a2 ， a18 是方程 x2 6x 4 0 的两根，a2a18 4 ，
且 a2 a18 6 ，a2 0 ，且 a18 0 ，a10 0 ，a4a16 a2a18 4 ， a102 a2a18 4 ， a10 2 ，a4a16 a10 4 2 2 .
，
因此 ba22
a1 d 6 ，所以 b1q 6
a2 b2
1. 故选 B.
7.某个蜂巢里有一只蜜蜂，第 1 天它飞出去带回了五个伙伴，第 2 天六只蜜蜂
飞出去各自带回五个伙伴，如果这个过程继续下去，那么第 6 天所有的蜜蜂归
巢后蜂巢中共有蜜蜂( )
A. 56 只
B. 65 只
C. 55 只
所以只要设法证明当 n 6 时，anbn 递减，且 a13b13 100 即可.
由
an1bn1 anbn
1.05n1 [104 4(n 1)] 1.05n (104 4n)
1 ，得 n
5
，
所以当 n 6 时，anbn 递减.
又 a13b13 98 100 ，所以当13 n 24 时， anbn a13b3 100 .
例 2 已知等比数列an 的公比为 q，试用an 的第 m 项 am 表示 an .
解：由题意得 am a1qm1 ①， an a1qn1 ②，
②的两边分别除以①的两边，得
an am
qnm
，
所以 an amqnm .
例 3 数列an 共有 5 项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第 3 项
高二上学期数学人教A版选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式课件
项的和，则：
奇
①在其前2n项中，
偶
= ；
②在其前2n+1项中，
奇 − 偶 = − + − + ⋯ − + +
+ + + +
=
=
( ≠ −)
−（−）
+
例题解析
例1：在等比数列{an}中，
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
当q=1时， = = ⋯ = ， =
当q≠1时， =
(− )
−
=
−
−
【注意】
(1) 判断q是否等于1;
(2) 当q≠1时，若已知，，，则套用 =
(3) 若已知，，，则套用 =
−
−
(− )
∴3 − 2 = 0，
∴ =
3
2
练习巩固
练习1：在数列{an}中，已知an＋1＝2an，且a1＝1，则数列{an}的前5项
的和等于(
A.－25
D)
B.25
C.－31
D.31
练习2：等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于(
A.
1−
1−
1− −1
B.
， ≠ 1且 ≠ 0
1− −1
①
等式①的两边同时乘以公比q ，得
= + + +··· + − + − +
由①-②，得：(−) ∙ = −
由此得 ≠ 时， =
(− )
−
②
错
位
相
减
法
知识新授
设等比数列{an}的首项为 ,公比为( ≠ )，数列{an}的前和
奇
①在其前2n项中，
偶
= ；
②在其前2n+1项中，
奇 − 偶 = − + − + ⋯ − + +
+ + + +
=
=
( ≠ −)
−（−）
+
例题解析
例1：在等比数列{an}中，
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
当q=1时， = = ⋯ = ， =
当q≠1时， =
(− )
−
=
−
−
【注意】
(1) 判断q是否等于1;
(2) 当q≠1时，若已知，，，则套用 =
(3) 若已知，，，则套用 =
−
−
(− )
∴3 − 2 = 0，
∴ =
3
2
练习巩固
练习1：在数列{an}中，已知an＋1＝2an，且a1＝1，则数列{an}的前5项
的和等于(
A.－25
D)
B.25
C.－31
D.31
练习2：等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于(
A.
1−
1−
1− −1
B.
， ≠ 1且 ≠ 0
1− −1
①
等式①的两边同时乘以公比q ，得
= + + +··· + − + − +
由①-②，得：(−) ∙ = −
由此得 ≠ 时， =
(− )
−
②
错
位
相
减
法
知识新授
设等比数列{an}的首项为 ,公比为( ≠ )，数列{an}的前和
数学人教A版选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式课件
a1 1 q
Sn
1 q
前
n
项
和
首
项
公
比
特殊情况：
n
项
数
a1 an q
q 1
1 q
通
项
a1 1 q n
Sn
1 q
a1 an q
Sn
1 q
回顾思考
国王需要给发明者多少粒小麦？
估计1000粒麦子的质量约为40g，那么麦粒
的总质量超过了7000亿吨，而目前世界年度
4.3.2 等比数列前n项和公式
复习回顾
等比数列的有关概念
an 1
q an 0, n N *
1. 定义:
an
2.通项公式：
an a1q
n 1
新课引入
国际象棋的传说
相传古印度的国王打算重赏国际象棋的发明者——宰相西萨。
于是，这位国王对宰相说:我可以满足你的任何要求.
陛下，赏小
等比数列求和问题
Sn a1 a2 a3 a4 an
Sn a1 a1q a1q a1q 究
问题2:当公比为时,等比数列前项和是什么呢？
Sn a1 a1q a1q a1q a1q
2
3
n -1
1
1 q
1
n
1 q
a1 , q, n, Sn , an ，五个基本量，知三求二．
特殊情况：
数学思想：特殊到一般、归纳猜想、分类讨论、方程思想。
课后作业
课本37页练习题
等差数列求和
高斯用首尾相加法来“消项”
高中数学选择性必修二(人教版)《4.3.2等比数列的前n项和》课件
则数列{an}为等比数列，即 Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N *) ⇔数列{an}为_等__比__数__列__．
(二)基本知能小试
1．已知等比数列的公比为 2，且前 5 项和为 1，那么前 10 项和等于 ( )
A．31
B.33
C．35
D.37
解析：根据等比数列性质得S10S－5 S5＝q5，
8
C.3
D.3
()
解析：法一：因为数列{an}是等比数列，所以 S6＝S3＋q3S3，S9＝S6 ＋q6S3＝S3＋q3S3＋q6S3，于是SS63＝1＋Sq33S3＝3，即 1＋q3＝3，所以 q3＝2.于是SS96＝1＋1＋q3＋q3q6＝1＋1＋2＋2 4＝73.
法二：由SS63＝3，得 S6＝3S3. 因为数列{an}是等比数列，且由题意知 q≠－1，所以 S3，S6－S3，S9 －S6 也成等比数列，所以(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，解得 S9＝7S3，所以 SS96＝73. 答案：B
题型三 等比数列前 n 项和的实际应用 [学透用活]
[典例 3] 一个热气球在第 1 min 上升了 25 m 的高度，在以后的每 1 min 里，它上升的高度都是它在前 1 min 上升高度的 80%.这个热气球 上升的高度能达到 125 m 吗？
[解] 用 an 表示热气球在第 n min 上升的高度． 由题意，得 an＋1＝80%an＝45an. 因此，数列{an}是首项 a1＝25，公比 q＝45的等比数列. 热气球在 n min 里上升的总高度为
[答案] 70
[方法技巧] 解决有关等比数列前 n 项和的问题时，若能恰当地使用等比数列前 n 项和的相关性质，则可以避繁就简．不仅可以减少解题步骤，而且可 以使运算简便，同时还可以避免对公比 q 的讨论．
(二)基本知能小试
1．已知等比数列的公比为 2，且前 5 项和为 1，那么前 10 项和等于 ( )
A．31
B.33
C．35
D.37
解析：根据等比数列性质得S10S－5 S5＝q5，
8
C.3
D.3
()
解析：法一：因为数列{an}是等比数列，所以 S6＝S3＋q3S3，S9＝S6 ＋q6S3＝S3＋q3S3＋q6S3，于是SS63＝1＋Sq33S3＝3，即 1＋q3＝3，所以 q3＝2.于是SS96＝1＋1＋q3＋q3q6＝1＋1＋2＋2 4＝73.
法二：由SS63＝3，得 S6＝3S3. 因为数列{an}是等比数列，且由题意知 q≠－1，所以 S3，S6－S3，S9 －S6 也成等比数列，所以(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，解得 S9＝7S3，所以 SS96＝73. 答案：B
题型三 等比数列前 n 项和的实际应用 [学透用活]
[典例 3] 一个热气球在第 1 min 上升了 25 m 的高度，在以后的每 1 min 里，它上升的高度都是它在前 1 min 上升高度的 80%.这个热气球 上升的高度能达到 125 m 吗？
[解] 用 an 表示热气球在第 n min 上升的高度． 由题意，得 an＋1＝80%an＝45an. 因此，数列{an}是首项 a1＝25，公比 q＝45的等比数列. 热气球在 n min 里上升的总高度为
[答案] 70
[方法技巧] 解决有关等比数列前 n 项和的问题时，若能恰当地使用等比数列前 n 项和的相关性质，则可以避繁就简．不仅可以减少解题步骤，而且可 以使运算简便，同时还可以避免对公比 q 的讨论．
高中数学选择性必修第二册《4.3.2 等比数列的前n项和公式》公开课优秀课件(与新教材同步、精品)
1 90
, 求Sn ;
Sn
91 45
(3)若a1 1, a4 64,求q与S4;
q 4, S4 51
(4)若a3
3 2
，S3
9 2
, 求a1与q.
q
1，a1
=
3 2
或q
1 2
，a1
=6
2).已知a b, 且ab 0.对于n N , 证明：
an an1b an2b2 abn1 bn an1 bn1 .
当q 1时, Sn na1.
说明：这种求和方法称为错位相减法
方法二：
Sn = a1 + a2 + ···+ an
= a1 + a1q + a1q2 + ···+ a1 qn-1
= a1 + q ( a1 + a1q + ···+ a1 qn-2 )
= a1 + q Sn-1
= a1 + q ( Sn – an )
“知三求二” (方程思想)
三.巩固新知
1.例1. 已知数列an是等比数列.
(1)若a1
1 2
,
q
1 2
, 求S8 ;
(2)若a1
27,
a9
1 243
,
q
0,
求S8;
解：(1)因为a1
1 2
,
q
1 2
,
所以S8
1 [1 (1)8] 22
1 1
255 . 256
2
解(2)由a1
27, a9
1 ,得 243
高二数学选择性必修第二册 第四章 数列
4.3.2 等比数列的前n项和公式
数学人教A版(2019)选择性必修第二册4.3.2等比数列前n项和公式(共32张ppt)
实际应用
例12 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，‧‧‧ . (1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系; (2) 将(1)中的递推公式表示成cn+1－k = r(cn－k)的形式，其中k，r为常数; (3) 求S10= c1＋c2＋c3＋‧‧‧＋c10的值(精确到1).
题型三：分组求和
题型三：分组求和
例3 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上．(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.
解 (2)由(1)，可得an＝4n－1，an＋1＝4n，所以bn＝log4an＋1＝n，cn＝4n－1＋n，那么Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)＝(40＋41＋…＋4n－1)＋(1＋2＋…＋n)＝＋.
解 (1)因为点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，所以an＋1＝3Sn＋1，当n≥2时，an＝3Sn－1＋1.于是an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)⇒an＋1－an＝3an⇒an＋1＝4an.又当n＝1时，a2＝3S1＋1⇒a2＝3a1＋1＝3t＋1，所以当t＝1时，a2＝4a1，此时，数列{an}是等比数列．
等比数列的前n项和
问题2 我们如何推导出等比数列的前n项和公式？
认真看视频，回答以下几个问题：1.视频中用了什么方法推导等比数列的前n项和呢？它有哪些关键的步骤呢？2.等比数列的前n项和公式是什么？有什么要注意的地方？3.你能否解决本节开头的问题吗？
例12 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，‧‧‧ . (1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系; (2) 将(1)中的递推公式表示成cn+1－k = r(cn－k)的形式，其中k，r为常数; (3) 求S10= c1＋c2＋c3＋‧‧‧＋c10的值(精确到1).
题型三：分组求和
题型三：分组求和
例3 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上．(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.
解 (2)由(1)，可得an＝4n－1，an＋1＝4n，所以bn＝log4an＋1＝n，cn＝4n－1＋n，那么Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)＝(40＋41＋…＋4n－1)＋(1＋2＋…＋n)＝＋.
解 (1)因为点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，所以an＋1＝3Sn＋1，当n≥2时，an＝3Sn－1＋1.于是an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)⇒an＋1－an＝3an⇒an＋1＝4an.又当n＝1时，a2＝3S1＋1⇒a2＝3a1＋1＝3t＋1，所以当t＝1时，a2＝4a1，此时，数列{an}是等比数列．
等比数列的前n项和
问题2 我们如何推导出等比数列的前n项和公式？
认真看视频，回答以下几个问题：1.视频中用了什么方法推导等比数列的前n项和呢？它有哪些关键的步骤呢？2.等比数列的前n项和公式是什么？有什么要注意的地方？3.你能否解决本节开头的问题吗？
2023新教材高中数学第4章数列等比数列的前n项和公式课件新人教A版选择性必修第二册
当 x≠1 时，(1－x)Tn＝2×11－－xxn－2nxn， ∴Tn＝2－2n＋11－xxn＋2 2nxn＋1； 当 x＝1 时，Tn＝2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n．
类型 3 等比数列前 n 项和公式的实际应用 【例 3】 小华准备购买一台售价为 5 000 元的电脑，采用分期 付款方式，并在一年内将款全部付清．商场提出的付款方式为：购买 2 个月后第 1 次付款，再过 2 个月后第 2 次付款……购买 12 个月后 第 6 次付款，每次付款金额相同，约定月利率为 0.8%，每月利息按 复利计算，求小华每期付款金额是多少？
(1)可用基本运算，解方程组的方法求 an 和 bn． (2)尝试用错位相减法求和．
[解] (1)设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn}的公比为 q， 则 q>0．
由题意，得22qq＝ 2＝26＋＋dd，， 解得dq＝ ＝22， ， 故 an＝2＋2(n－1)＝2n，bn＝2·2n－1＝2n．
错位相减法的适用条件及注意事项 (1)适用条件：若数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，由 这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{anbn}，当求该数列的前 n 项和时，常常采用将{anbn}的各项乘公比 q，并向后错位一项与{anbn} 的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，这种数列求和的方 法称为错位相减法． (2)注意事项：若公比为字母，则需对其进行分类讨论．
列出第 k 个月末付款后的欠款本利或第 k 个月时的已付款及利 息，尝试用等比数列前 n 项和解决．
[解] 法一 设小华每期付款 x 元，第 k(k 取 2,4,6,8,10,12)个月 末付款后的欠款本利为 Ak 元，则
A2＝5 000×(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0082－x， A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0084－1.0082x－x， …
4.3.2等比数列前n项和公式课件-高二下学期数学人教A版选择性必修第二册
8
1
C.
8
D.8
.
例 5.（立方差公式）设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和.
已知 a2a4=1,S3=7,则 S5 等于(
15
31
A. 2
)
33
B. 4
C. 4
17
D. 2
[解析]设数列{an}的公比为 q,则显然 q≠1,
由题意得
1 ·1 3 = 1 ,
1 (1- 3)
1-
1(1-5 )
所以8 =
1−
1
1
1−
2
2
=
1
1−
2
255
=
256
8
Sn
a1 1 q n
1 q
1
=1−
2
=1-
1
28
1
=1−
256
8
练习1.设等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,公比q=2,则a4=
[解析] ∵在等比数列{an}中,a1=3,公比 q=2, ∴a4=3×2
3
,S3=
.
3×(1-2 3 )
错
位
两边同时乘以 q 为
相
qSn a1q a1q2 a1q3 a1qn1 a1qn ② 减
由①−② 得 (1 q) Sn a1 1 q n
①
(1 q) S n a1 1 q
n
S
？
a1 1 q n
1 q
n
Байду номын сангаас
等比数列的
通项公式
所以S6=
=
=-63.
1−
1−2
1
C.
8
D.8
.
例 5.（立方差公式）设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和.
已知 a2a4=1,S3=7,则 S5 等于(
15
31
A. 2
)
33
B. 4
C. 4
17
D. 2
[解析]设数列{an}的公比为 q,则显然 q≠1,
由题意得
1 ·1 3 = 1 ,
1 (1- 3)
1-
1(1-5 )
所以8 =
1−
1
1
1−
2
2
=
1
1−
2
255
=
256
8
Sn
a1 1 q n
1 q
1
=1−
2
=1-
1
28
1
=1−
256
8
练习1.设等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,公比q=2,则a4=
[解析] ∵在等比数列{an}中,a1=3,公比 q=2, ∴a4=3×2
3
,S3=
.
3×(1-2 3 )
错
位
两边同时乘以 q 为
相
qSn a1q a1q2 a1q3 a1qn1 a1qn ② 减
由①−② 得 (1 q) Sn a1 1 q n
①
(1 q) S n a1 1 q
n
S
？
a1 1 q n
1 q
n
Байду номын сангаас
等比数列的
通项公式
所以S6=
=
=-63.
1−
1−2