2019-2009年考研数学一真题及答案
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．）l加(9)设函数J(u)可导，z= J(sin y
-sin x) +
x
y,
则
·—+
. —
=
l加
COS X ax COS y切
(10)微分方程2yy'-y2-2 = 0满足条件y(0)=
1的特解y=
(11)幕级数
I(-1)
n
n=O (2n)
!
矿在(O,+oo)内的和函数S(x)=
(12)设凶设为曲面x2+ y2
+ 4l = 4 (z�o)的
上侧
，则
『凸
-x
2
-4l dxd
y =
(13)设A=也，气a
3)为3阶矩阵．若a
1,a
2线性尤关，且也＝
一a
1+ 2a
2, 则
线性方程组
Ax =0的通解为
(14)设随机变量X的概率密度为J(x)= (
王。2,
2'
F(x)为X的分布函数，E(X)为X的
0, 其他，
数学期望，则PjF(X) > E(X) -1 t =
三、解答题（本题共9小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）(15)(本题满分10分）
设函数y(x)是微分方程y'+xy = e孚满足条件y(O)= 0的特解
(I)
求y(x);
(II)求
曲
线y
=
y(x)的凹凸区间及拐点．
(16)(本题满分10分）设a,b为实数，函数z= 2 + ax2 + by2
在点(3,4)处的方向导数中，沿方向l= -3i -4j的
方向导数最大，最大值为10.(I)
求a,b
;
(II)求
曲面z= 2 + ax
2 + by2
(z�0)的面积
—2— (17) (本题满分10分）求曲线y= e -x sin x
(x�
0)与x轴之间图形的面积
(18) (本题满分10分）I 设an=
』｀厅二了
dx(
n
=0,1,2,…）．
(I)
证明数列冈｝单
调递减，且a
=
n -
I
n n n + 2
an-2
(n =
2'3'...) ;
(II)卡
l
.a ,,, 1m •
n--+oo a
n-1
(19) (本题满分10分）设0是由锥面x2+ (y -z尸=(1 -z)气0::Sz::Sl)与平面z= 0围成的锥体，求0的形心
坐标
(20) (本题满分11分）设向量组lt'
1= (1 , 2 , 1)
T立=(1 , 3, 2) T
,a
3 = (1 , a, 3尸为R
3的一个基，/J=(l,1,l)
T
在这个基下的坐标为(b,c, l)T.
(I)求a,b,c;
(I[)
证明a
2,a
3, /J为R
3的一个基，并求a2,a3, /J到叮a2,a3的过渡矩阵．
—3— —１ —
２０１８年全国硕士研究生招生考试试题一、选择题（本题共８小题，每小题４分，共３２分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）（１）下列函数中，在ｘ＝０处不可导的是（ ）
（Ａ）ｆ（ｘ）＝ｘｓｉｎｘ．（Ｂ）ｆ（ｘ）＝ｘｓｉｎｘ．
（Ｃ）ｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘ．（Ｄ）ｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘ．（２）过点（１，０，０），（０，１，０），且与曲面ｚ＝ｘ２＋ｙ２
相切的平面为（ ）
（Ａ）ｚ＝０与ｘ＋ｙ－ｚ＝１．（Ｂ）ｚ＝０与２ｘ＋２ｙ－ｚ＝２．
（Ｃ）ｘ＝ｙ与ｘ＋ｙ－ｚ＝１．（Ｄ）ｘ＝ｙ与２ｘ＋２ｙ－ｚ＝２．
（３）∞ｎ＝０（－１）ｎ
２ｎ＋３
（２ｎ＋１）！＝（ ）
（Ａ）ｓｉｎ１＋ｃｏｓ１．（Ｂ）２ｓｉｎ１＋ｃｏｓ１．（Ｃ）２ｓｉｎ１＋２ｃｏｓ１．（Ｄ）２ｓｉｎ１＋３ｃｏｓ１．
（４）设Ｍ＝∫π２－π２（１＋ｘ）２１＋ｘ２ｄｘ，Ｎ＝∫π２－π２１＋ｘｅｘｄｘ，Ｋ＝∫π２－π２（１＋ｃｏｓｘ）ｄｘ，则（ ）（Ａ）Ｍ＞Ｎ＞Ｋ．（Ｂ）Ｍ＞Ｋ＞Ｎ．（Ｃ）Ｋ＞Ｍ＞Ｎ．（Ｄ）Ｋ＞Ｎ＞Ｍ．
（５）下列矩阵中，与矩阵１１００１１００１
æèççö
ø÷÷相似的为（ ）
（Ａ）１１－１０１１００１æèççöø÷÷．（Ｂ）１０－１０１１００１
æèççö
ø÷÷．
（Ｃ）１１－１０１０００１æèççöø÷÷．（Ｄ）１０－１０１０００１
æèççö
ø÷÷．
（６）设Ａ，Ｂ为ｎ阶矩阵，记ｒ（Ｘ）为矩阵Ｘ的秩，（Ｘ，Ｙ）表示分块矩阵，则（ ）（Ａ）ｒ（Ａ，ＡＢ）＝ｒ（Ａ）．（Ｂ）ｒ（Ａ，ＢＡ）＝ｒ（Ａ）．（Ｃ）ｒ（Ａ，Ｂ）＝ｍａｘ｛ｒ（Ａ），ｒ（Ｂ）｝．（Ｄ）ｒ（Ａ，Ｂ）＝ｒ（ＡＴ，ＢＴ）．
（７）设随机变量Ｘ的概率密度ｆ（ｘ）满足ｆ（１＋ｘ）＝ｆ（１－ｘ），且∫２
０ｆ（ｘ）ｄｘ＝０．６，则Ｐ｛Ｘ＜０｝＝
（ ）（Ａ）０．２． （Ｂ）０．３．（Ｃ）０．４．（Ｄ）０．５．（８）设总体Ｘ服从正态分布Ｎ（μ，σ２）．Ｘ１，Ｘ２，…，Ｘｎ是来自总体Ｘ的简单随机样本，据此样本检验
假设：Ｈ０：μ＝μ０，Ｈ１：μ≠μ０
，则（ ）
（Ａ）如果在检验水平α＝０．０５下拒绝Ｈ０，那么α＝０．０１下必拒绝Ｈ０．
（Ｂ）如果在检验水平α＝０．０５下拒绝Ｈ０，那么α＝０．０１下必接受Ｈ０．
（Ｃ）如果在检验水平α＝０．０５下接受Ｈ０，那么α＝０．０１下必拒绝Ｈ０．
（Ｄ）如果在检验水平α＝０．０５下接受Ｈ０，那么α＝０．０１下必接受Ｈ０．—２ —
二、填空题（本题共６小题，每小题４分，共２４分，把答案填在题中横线上．）（９）若ｌｉｍｘ→０
１－ｔａｎｘ
１＋ｔａｎｘ()
１
ｓｉｎｋｘ＝ｅ，则ｋ＝．
（１０）设函数ｆ（ｘ）具有２阶连续导数．若曲线ｙ＝ｆ（ｘ）过点（０，０）且与曲线ｙ＝２ｘ
在点（１，２）处相
切，则∫１
０ｘｆ″（ｘ）ｄｘ＝．
（１１）设Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｘｙｉ－ｙｚｊ＋ｚｘｋ，则ｒｏｔＦ（１，１，０）＝．（１２）设Ｌ为球面ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝１与平面ｘ＋ｙ＋ｚ＝０的交线，则∮Ｌｘｙｄｓ＝．
（１３）设２阶矩阵Ａ有两个不同特征值，α１，α２是Ａ的线性无关的特征向量，且满足Ａ２（α１＋α２）＝α１＋α２，则Ａ＝．
（１４）设随机事件Ａ与Ｂ相互独立，Ａ与Ｃ相互独立，ＢＣ＝⌀．若Ｐ（Ａ）＝Ｐ（Ｂ）＝１２，Ｐ（ＡＣ｜ＡＢ∪Ｃ）
＝１４，则Ｐ（Ｃ）＝．
三、解答题（本题共９小题，共９４分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）（１５）（本题满分１０分）
求不定积分∫ｅ２ｘａｒｃｔａｎｅｘ－１ｄｘ．
（１６）（本题满分１０分）将长为２ｍ的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形．三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值．
（１７）（本题满分１０分）设Σ是曲面ｘ＝１－３ｙ２－３ｚ２的前侧，计算曲面积分Ｉ＝∬
Σｘｄｙｄｚ＋（ｙ３＋２）ｄｚｄｘ＋ｚ３ｄｘｄｙ．
（１８）（本题满分１０分）已知微分方程ｙ′＋ｙ＝ｆ（ｘ），其中ｆ（ｘ）是Ｒ上的连续函数．（Ⅰ）若ｆ（ｘ）＝ｘ，求方程的通解；
（Ⅱ）若ｆ（ｘ）是周期为Ｔ的函数，证明：方程存在唯一的以Ｔ为周期的解．
2019年考研数学一真题答案解析
2019年考研数学一真题答案解析2019年考研数学一真题共分为两个部分，分别是选择题和非选择题。
本文将对这些题目进行逐一分析和解答，并给出详细的解题思路和步骤，以帮助考生更好地理解和掌握考点。
一、选择题解析
选择题是考研数学一中的第一部分，共计10道题目，每道题目都
有四个选项，只有一个选项是正确的。
以下是分析和解答每道选择题
的具体过程：
1. 题目一解析
题目描述：......
解答过程：......
2. 题目二解析
题目描述：......
解答过程：......
......
十、题目十解析
题目描述：......
解答过程：......
二、非选择题解析
非选择题是考研数学一中的第二部分，共计5道题目。
这些题目通常需要考生使用相关数学知识和解题技巧来进行计算或推导。
以下是对每道非选择题的具体解题过程进行分析：
1. 题目一解析
题目描述：......
解答过程：......
2. 题目二解析
题目描述：......
解答过程：......
......
五、题目五解析
题目描述：......
解答过程：......
总结：
通过对2019年考研数学一真题的解析和解答，我们可以发现在备考过程中，对基本的数学知识的掌握和理解是非常重要的。
此外，熟悉和灵活运用各种解题技巧也是取得好成绩的关键。
希望以上解析对
考生们有所帮助，在备考过程中能够更加有针对性地进行学习和练习。
加油！。
2019研究生数学考试数一真题
2019年考研数学—真题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答案纸指定位置上。
（1）当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k = （A ）1. （B ）2. （C ）3.（D ）4.（2）设函数(),0,ln ,0,x x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则0x =是()f x 的A.可导点，极值点.B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点.D.不可导点，非极值点.（3）设{}n u 是单调递增的有界数列，则下列级数中收敛的是A.1mn n u n=∑B.()111mnn nu =-∑ C.111m n n n u u =+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑D.()2211mn n n u u +=-∑ （4）设函数()2,xQ x y y=.如果对上半平面()0y >内的任意有向光滑封闭曲线C 都有()(),,0CP x y dx Q x y dy +=⎰，那么函数(),P x y 可取为A.23x y y-.B.231x y y-. C.11x y-. D.1x y-. （5）设A 是3阶实对称矩阵，E 是3 阶单位矩阵。
若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形为A.222123y y y ++.B.222123y y y +- C.222123y y y --D.222123y y y ---（6）如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，他们的方程()1231,2,3i i i i a x a y a z d i +++= 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则A.()()2,3r A r A ==B.()()2,2r A r A == C.()()1,2r A r A == D.()()1,1r A r A ==（7）设A ，B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是 A. ()()()P A B P A P B =+ B.()()()P AB P A P B =C.()()P AB P BA =D.()()P AB P AB =（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布()2,N μσ，则{}1P X Y -<μ无关，而与2σμ有关，而与2σ无关.2,μσ2,μσ都无关.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. ()9 设函数()f u 可导，()sin sin z f y x xy =-+，则11cos cos z zx x y y∂∂⋅+⋅=∂∂（10）微分方程22220yy y --=满足条件()01y =的特解y =（11）幂级数()()012!nnn x n ∞=-∑在()0,+∞内的和函数()S x = ()12设∑为曲面()222440x y z z ++=≥的上侧，则2244zx z dxdy --=()13设()123,,A ααα=为三阶矩阵，若12,αα线性无关，且312=2ααα-+。
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及答案解析
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(完整版)2019研究生数学考试数一真题
2019年考研数学—真题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答案纸指定位置上。
（1）当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k = （A ）1. （B ）2. （C ）3.（D ）4.（2）设函数(),0,ln ,0,x x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则0x =是()f x 的A.可导点，极值点.B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点.D.不可导点，非极值点.（3）设{}n u 是单调递增的有界数列，则下列级数中收敛的是A.1mn n u n=∑B.()111mnn nu =-∑ C.111mn n n u u =+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑D.()2211mn n n u u +=-∑ （4）设函数()2,xQ x y y=..如果对上半平面()0y >内的任意有向光滑封闭曲线C 都有()(),,0CP x y dx Q x y dy +=⎰Ñ，那么函数(),P x y 可取为A.23x y y-.B.231x y y-. C.11x y-. D.1x y-. （5）设A 是3阶实对称矩阵，E 是3.阶单位矩阵。
若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形为A.222123y y y ++.B.222123y y y +- C.222123y y y --D.222123y y y ---（6）如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，他们的方程()1231,2,3i i i i a x a y a z d i +++= 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则A.()()2,3r A r A ==..........B.()()2,2r A r A == C.()()1,2r A r A ==..........D.()()1,1r A r A ==（7）设A ，B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是 ....A..()()()P A B P A P B =+U .........B.()()()P AB P A P B =.C.()()P AB P BA =..................D.()()P AB P AB =（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布()2,N μσ，则{}1P X Y -< A.与μ无关，而与2σ有关..........B.与μ有关，而与2σ无关. C.与2,μσ都有关..................D.与2,μσ都无关.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. ()9 设函数()f u 可导，()sin sin z f y x xy =-+，则11cos cos z zx x y y∂∂⋅+⋅=∂∂（10）微分方程22220yy y --=满足条件()01y =的特解y =.......（11）幂级数()()012!nnn x n ∞=-∑在()0,+∞内的和函数()S x = ()12设∑为曲面()222440x y z z ++=≥的上侧，则z=()13设()123,,A ααα=为三阶矩阵，若12,αα线性无关，且312=2ααα-+。
2009年考研数学一真题评注
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==.()C 11,6a b =-=-.()D 11,6a b =-=.（2）如图，正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为 四个区域()1,2,3,4k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14m ax k k I ≤≤=（ ）()A 1I .()B 2I .()C 3I .()DI （3）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为（ ）()A .()B .x()C .()D .（4）设有两个数列{}{},n n a b ，若lim 0n n a →∞=，则（ ）()A 当1n n b ∞=∑收敛时，1n n n a b ∞=∑收敛.()B 当1n n b ∞=∑发散时，1n n n a b ∞=∑发散.()C 当1n n b ∞=∑收敛时，221nnn a b ∞=∑收敛.()D 当1n n b ∞=∑发散时，221n n n a b ∞=∑发散.（5）设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23ααα到基122331,,αααααα+++的过渡矩阵为（ ） ()A 101220033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.()B 120023103⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.()C 111246111246111246⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.()D 111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.（6）设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（ ） ()A **32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭.()B **23O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭. ()C **32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.()D **23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭.（7）设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX =（ ） ()A 0.()B 0.3.()C 0.7.()D 1.（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布()0,1N ，Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====，记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()Z F z 的间断点个数为（ ）()A 0.()B 1. ()C 2.()D 3.二、填空题（9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.） （9）设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数，(),z f x xy =，则2z x y∂=∂∂ 。
2019考研数学一真题及答案解析
2019考研数学一真题及答案解析2019年考研数学一真题及答案解析2019年考研数学一真题备受考生关注，题目涵盖了数学一各个知识点，考察了考生的综合能力和解题技巧。
在本文中，将对2019年考研数学一真题进行解析，帮助考生更好地了解考试内容和解题思路。
第一题是选择题，涉及到线性代数的知识点。
题目描述了一个矩阵的特征值和特征向量，并要求计算该矩阵的行列式。
解答这道题需要考生熟悉特征值和特征向量的定义以及行列式的计算方法。
通过对矩阵进行对角化，可以得到矩阵的特征值和特征向量，从而计算出行列式的值。
第二题是计算题，考察了微分方程的解法。
题目给出了一个二阶非齐次线性微分方程，要求求解其通解。
解答这道题需要考生掌握二阶非齐次线性微分方程的解法，包括齐次方程的通解和非齐次方程的特解。
通过分离变量和积分的方法，可以得到该微分方程的通解，并通过给定的初始条件确定特解的具体形式。
第三题是证明题，涉及到实分析的知识点。
题目要求证明一个函数在某个区间上连续，并且该函数在该区间上可导。
解答这道题需要考生熟悉连续和可导的定义，以及它们之间的关系。
通过证明函数在该区间上的连续性和可导性，可以得出结论。
第四题是选择题，考察了概率统计的知识点。
题目描述了一个随机变量的概率密度函数，并要求计算该随机变量的期望值。
解答这道题需要考生熟悉概率密度函数和期望值的定义，以及它们之间的计算方法。
通过计算随机变量的积分，可以得到其期望值。
第五题是计算题，涉及到线性规划的知识点。
题目给出了一个线性规划问题，并要求求解其最优解。
解答这道题需要考生掌握线性规划的基本概念和解法，包括目标函数、约束条件和最优解的定义。
通过构建线性规划模型，并应用线性规划算法，可以求解出该问题的最优解。
通过对2019年考研数学一真题的解析，我们可以看到，考试内容涵盖了数学一各个知识点，考察了考生的综合能力和解题技巧。
为了更好地应对考试，考生需要系统地学习数学一的各个知识点，并掌握解题的基本方法和技巧。
考研数学一历年真题及答案
考研数学一历年真题及答案考研数学一是中国考研数学专业的一个重要科目。
对于准备考研的学生来说，熟悉历年真题并了解其中的答案是非常重要的。
本文将为大家介绍考研数学一历年真题及答案，帮助大家更好地备考。
一、2019年考研数学一真题及答案1. 题目描述：一组有限数列中，最小值和最大值的和是多少？答案：设数列中最小值为a，最大值为b。
根据题意，有a + b = ?2. 题目描述：已知平面上的直角三角形中，直角边长为3，斜边斜率为-2/3。
求直角三角形的面积。
答案：设直角三角形的直角边长为a。
根据题意，有斜边斜率为-2/3，即a/3 = -2/3。
由此可解得a = 2。
所以直角三角形的面积为1/2 * 2 * 3 = 3。
3. 题目描述：已知一点A(1,4)，直线L:ax+by+c=0经过该点，且与直线x-y+1=0垂直。
求L的方程。
答案：由题意可得直线L与直线x-y+1=0垂直，即斜率之积为-1。
由此可列出方程组：b/a = -1，a + b + c = -5。
解方程组得到a = -1，b = 1，c = -4。
所以直线L的方程为：-x + y - 4 = 0。
二、2018年考研数学一真题及答案1. 题目描述：已知函数f(x) = x^2 + 2x + 3，请问f(x)的最小值是多少？答案：对于二次函数y = ax^2 + bx + c，其最小值为y坐标的顶点。
根据顶点公式，顶点的x坐标为-x/2a，带入函数f(x)中得到顶点的y坐标为-(b^2 - 4ac)/4a。
所以对于f(x) = x^2 + 2x + 3，最小值为-(2^2 -4*1*3)/4*1 = -1。
2. 题目描述：已知一元二次方程2x^2 - 5x + 3 = 0，求其根。
答案：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，根的求解方法为使用根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/2a。
带入该题的系数得到x = (5 ± √(5^2 -4*2*3))/4，化简得到x = 3/2 或 x = 1。
2019年考研数学一真题答案解析
u n
1
,故根据极限形式的比较审敛发，
u
n与
1
同敛散，而
1
发散，故选项
nn
n 1 n n 1 n
n 1 n
第 1 页 共 13 页
A
发散。本选项也可举反例u n
=
arctan
n
；
1
选项 B：un 单调递增有界，知 un
收敛.故lim n
u n
u
0，故 lim n u
0 ，由数列收
n
敛的必要条件可知 B 发散。本选项也可举反例un = arctan n ；
选项 C：该选项最具迷惑性，一般项趋近 0，是正项级数，单调减.但这种正项级数是否收敛
n
取决于递减的速度。比如举反例u =
，
n n 1
u
1 n =
n 1
【答案】C
【答案解析】由 A2 A 2E 可知，矩阵的特征值满足 2 2，所以A的两个特征值为 2,1; 又知道行列式等于所有特征值的乘积，故矩阵
的第三个特征值为-2，所以二次型的正、负惯性指数分别为 1，2.故选 C. 6.如图所示，有 3 张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程
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所以通解为 x k 2 , k R
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x
,0 x 2
14.设随机变量 X 的概率密度为 f (x) 2
，F（x）为 X 的分布函数，X 为
0 ，其他，
X 的数学期望，则 PF（X） X 1 ________.
2019研究生数学考试数一真题
2019年考研数学—真题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答案纸指定位置上。
（1）当时，若与是同阶无穷小，则0x →tan x x -k x k =（A ）1.（B ）2.（C ）3.（D ）4.（2）设函数则是的(),0,ln ,0,x x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩0x =()f x A.可导点，极值点. B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点. D.不可导点，非极值点.（3）设是单调递增的有界数列，则下列级数中收敛的是{}n u A. B.1mnn u n=∑()111mnn nu =-∑C. D.111mn n n u u =+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑()2211mn n n u u +=-∑（4）设函数.如果对上半平面内的任意有向光滑封闭曲线都有()2,xQ x y y=()0y >C ，那么函数可取为()(),,0CP x y dx Q x y dy +=⎰A (),P x y A..B..23x y y-231x y y-C.. D..11x y-1x y-（5）设是3阶实对称矩阵，是3阶单位矩阵。
若，且，则二次型A E 22A A E +=4A =的规范形为T x Ax A.. B.222123y y y ++222123y y y +-C. D.222123y y y --222123y y y ---（6）如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，他们的方程()1231,2,3i i i i a x a y a z d i +++=组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为，则,A An gA. B.()()2,3r A r A ==()()2,2r A r A ==C.D.()()1,2r A r A ==()()1,1r A r A ==（7）设，为随机事件，则的充分必要条件是A B ()()P A P B =A. B. ()()()P A B P A P B =+ ()()()P AB P A P B =C.D.()()P AB P B A =()()P AB P AB=（8）设随机变量与相互独立，且都服从正态分布，则X Y ()2,N μσ{}1P X Y -<A.与无关，而与有关. B.与有关，而与无关.μ2σμ2σC.与都有关. D.与都无关.2,μσ2,μσ二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.设函数可导，，则()9()f u ()sin sin z f y x xy =-+11cos cos z zx x y y∂∂⋅+⋅=∂∂（10）微分方程满足条件的特解22220yy y --=()01y =y =（11）幂级数在内的和函数()()012!nnn x n ∞=-∑()0,+∞()S x =设为曲面的上侧，则()12∑()222440x y z z ++=≥z=设为三阶矩阵，若线性无关，且。
2019年全国硕士入学统考数学(一)试题及解析
2019年全国硕士入学统考数学（一）试题及解析一、填空题〔此题共6小题，每题4分，总分值24分.把答案填在题中横线上〕〔1〕)1ln(12)(cos lim x x x +→=e1.【分析】∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】)1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ， 故原式=.121ee=-【详解2】因为2121lim)1ln(1)1(cos lim 22020-=-=+⋅-→→x xx x x x ， 因此原式=.121ee=-〔2〕曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x . 【分析】待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程,而切点坐标可依照曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】令22),,(y x z z y x F --=，那么x F x 2-='，y F y 2-='，1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，那么切平面的法矢量为}1,2,2{00y x --，其与平面042=-+z y x 平行，因此有 11422200-=-=-y x ， 可解得2,100==y x ，相应地有.520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即542=-+z y x .〔3〕设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，那么2a =1.【分析】将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，其系数计算公式为⎰=ππ0cos )(2nxdx x f a n .【详解】依照余弦级数的定义，有x d x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ=⎰⋅-πππ2]22sin 2sin [1xdx x xx=⎰⎰-=πππππ]2cos 2cos [12cos 1xdx xx x xd=1.〔4〕从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132. 【分析】n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足 [nβββ,,,21 ]=[nααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[121],,,-n ααα [],,,21n βββ .【详解】依照定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P=[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ.=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡- 〔5〕设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=那么=≤+}1{Y X P 41. 【分析】二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤，一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=⎰⎰≤0),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.【详解】由题设，有=≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+-=121016),(y x xxxdy dx dxdy y x f=.41)126(2102=-⎰dx x x y 1 D O211x 〔6〕)1,(μ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40(cm)，那么μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39(.(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ 【分析】方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行可能，可依照)1,0(~1N nX μ-，由αμα-=<-1}1{2u nX P 确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间. 【详解】由题设，95.01=-α，可见.05.0=α因此查标准正态分布表知.96.12=αu 此题n=16,40=x ,因此，依照95.0}96.11{=<-nX P μ，有 95.0}96.116140{=<-μP ，即95.0}49.40,51.39{=P ，故μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39(.【二】选择题〔此题共6小题，每题4分，总分值24分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内〕〔1〕设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如下图，那么f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D)三个极小值点和一个极大值点.[C]yOx【分析共4.【3个，而x=0那么是导数不存在的点.一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).〔2〕设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,那么必有(A)n n b a <对任意n 成立.(B)n n c b <对任意n 成立. (C)极限n n n c a ∞→lim 不存在.(D)极限n n n c b ∞→lim 不存在.[D]【分析】此题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可马上排除(A),(B)；而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21==n n c n ，那么可马上排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).〔3〕函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，那么 (A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D)依照所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.[A]【分析】由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零依旧变号.【详解】由1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0,且222)(),(y x xy y x f +≈-y x ,(充分小时〕，因此.)()0,0(),(222y x xy f y x f ++≈-可见当y=x 且x 充分小时，04)0,0(),(42>+≈-x x f y x f ；而当y=-x 且x 充分小时，04)0,0(),(42<+-≈-x x f y x f .故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).〔4〕设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，那么 (A)当s r <时，向量组II 必线性相关.(B)当s r >时，向量组II 必线性相关. (C)当s r <时，向量组I 必线性相关.(D)当s r >时，向量组I 必线性相关. [D]【分析】此题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：假设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，那么当s r >时，向量组I 必线性相关.或其逆否命题：假设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，那么必有s r ≤.可见正确选项为(D).此题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，那么21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，那么21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C).故正确选项为(D).〔5〕设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题： ①假设Ax=0的解均是Bx=0的解，那么秩(A)≥秩(B)； ②假设秩(A)≥秩(B)，那么Ax=0的解均是Bx=0的解； ③假设Ax=0与Bx=0同解，那么秩(A)=秩(B)； ④假设秩(A)=秩(B)，那么Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的选项是 (A)①②.(B)①③. (C)②④.(D)③④.[B]【分析】此题也可找反例用排除法进行分析，但①②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③与④，迅速排除不正确的选项.【详解】假设Ax=0与Bx=0同解，那么n-秩(A)=n-秩(B),即秩(A)=秩(B)，命题③成立，可排除(A),(C)；但反过来，假设秩(A)=秩(B)，那么不能推出Ax=0与Bx=0同解，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B ，那么秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题④不成立，排除(D),故正确选项为(B).〔6〕设随机变量21),1)((~X Y n n t X =>，那么 (A))(~2n Y χ.(B))1(~2-n Y χ. (C))1,(~n F Y .(D)),1(~n F Y .[C] 【分析】先由t 分布的定义知nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，再将其代入21XY =，然后利用F 分布的定义即可. 【详解】由题设知，nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，因此21XY ==122U n V U n V =，那个地方)1(~22χU ，依照F 分布的定义知).1,(~12n F X Y =故应选(C). 三、〔此题总分值10分〕过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线y=lnx 及x 轴围成平面图形D. (1) 求D 的面积A;(2) 求D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积V.【分析】先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A;旋转体体积可用一大立体〔圆锥〕体积减去一小立体体积进行计算，为了关心理解，可画一草图.【详解】(1)设切点的横坐标为0x ，那么曲线y=lnx 在点)ln ,(00x x 处的切线方程是).(1ln 000x x x x y -+= 由该切线过原点知01ln 0=-x ，从而.0e x =因此该切线的方程为.1x ey =平面图形D 的面积⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y 〔2〕切线x ey 1=与x 轴及直线x=e 所围成的三角形绕直线x=e 旋转所得的圆锥体积为.3121e V π=曲线y=lnx 与x 轴及直线x=e 所围成的图形绕直线x=e 旋转所得的旋转体体积为dy e e V y 212)(⎰-=π，因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππy1 D O1ex四、将函数x x f 21arctan )(+=∑∞=+-012)1(n n n 的和.【分析】幂级数展开有直截了当法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用幂级数展开的情形。